河南省南阳市精选高一下期末考试数学考试试题有答案
河南省南阳市六校2024届数学高一第二学期期末学业水平测试模拟试题含解析
河南省南阳市六校2024届数学高一第二学期期末学业水平测试模拟试题请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．若()1,3A ，()2,3B --，(),7C x ，设AB a =，BC b =，且a b ，则x 的值为（ ）A ．0B ．3C ．15D ．182．等比数列中，，，则的值为（ ）A ．B ．C ．128D ．或3．在等比数列{a n }中，若a 2，a 9是方程x 2﹣2x ﹣6＝0的两根，则a 4•a 7的值为（） A ．6B ．1C ．﹣1D ．﹣64．若向量,a b 的夹角为3π，且||2a =，||1b =，则向量2a b +与向量a 的夹角为（ ） A ．3πB ．6πC ．23π D ．56π5．圆22(3)(2)4x y -++=与圆22(7)(1)36x y -+-=的位置关系是( ) A ．相切B ．内含C ．相离D ．相交6．关于x 的不等式2(2)10x a x a 的解集中，恰有3个整数，则a 的取值范围是（ ） A ．(3,4] B ．(4,5]C ．[)(]4,33,4--D ．[3,2)(4,5]--⋃7．在ABC ∆中，已知a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，若cos cos a Bb A=，则ABC 的形状为 A ．等腰三角形 B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形8．已知数列1，x ，y ，9是等差数列，数列1，a ，b ，c ，9是等比数列，则bx y=+（） A ．910B ．310C ．310-D ．310±9．若直线y ＝﹣x +1的倾斜角为α，则()cos α=A ．1-B ．1C ．22D ．22-10．已知角α的终边过点P(2sin 60°,-2cos 60°),则sin α的值为( ) A ．32B ．12C ．-32D ．-12二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
河南省南阳市2023-2024学年高一下学期期末质量评估数学试题
河南省南阳市2023-2024学年高一下学期期末质量评估数学试题一、单选题1．22cos 15sin 15︒-︒=（ ）A B ．12C D 2．已知：()1i 1i z -=+，其中i 为虚数单位，则z =（ ）A．1B C D ．23．如图是底面半径为1的圆锥，将其放倒在水平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点O 滚动，当这个圆锥在水平面内首次转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了3周，则滚动过程中该圆锥上的点到水平面的距离最大值为（ ）A ．B ．2C D4．已知向量(1,2),(2,4),||a b c ==--r r r 若5(),2a b c +⋅=r r r 则a r 与c r的夹角为（ ）A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒5．在平面直角坐标系xOy 中，平面向量()3,4OA =u u u r ，将OA u u u r 绕原点逆时针旋转2π3得到向量OB u u u r ，则向量OB u u u r 在向量OA u u u r上的投影向量是（ ）A ．32⎛+ ⎝⎭B ．3,22⎛⎫⎪⎝⎭C ．322⎛--- ⎝⎭D ．3,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭6．如图，一个三棱锥容器的三条侧棱上各有一个小洞D ，E ，F ，经测量知:::2:1SD DA SE EB CF FS ===，这个容器最多可盛原来水的（ ）A ．2933B ．2327C ．1927D ．31357．在数学史上，为了三角计算的简便并且更加追求计算的精确性，曾经出现过下列两种三角函数：定义1cos θ-为角θ的正矢，记作sin ver θ；定义1sin θ-为角θ的余矢，记作cov ers θ，则下列命题正确的是（ ）A ．函数()sin cov 1f x ver x ersx =-+的对称中心为ππ,1,4k k ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭ZB ．若()sin cov 1g x ver x ersx =⋅-，则()g x 1C ．若()sin 2cov 1h x ver x ersx =-+，()1h α=且π02α<<，则圆心角为α，半径为3的扇形的面积为4π3D ．若sin 1cov 1ver x ersx --cov 311cov 13ers x ersx -=- 8．如图，在直角梯形ABCD 中，已知//AD BC ，1AD AB ==，90BAD ∠=︒，45BCD ∠=︒，现将ABD △沿BD 折起到PBD △的位置，使二面角P BD C --的大小为45°，则此时三棱锥P BCD -的外接球表面积是（ ）A ．8π3B ．14π3C ．4πD ．6π二、多选题9．下列有关复数内容表述正确的是（ ） A ．若复数z 满足0z z +=，则z 一定为纯虚数 B ．对任意的复数z 均满足：22z z =C ．设在复数范围内方程24130x x -+=的两根为1x ，2x ，则124x x +=D ．对任意两个复数1z ，2z ，若120z z ⋅=，则1z ，2z 至少有一个为010．已知函数()()sin cos 0f x a x b x ab =+≠，且ππ44f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则（ ）A ．a b =B ．函数π4f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭是偶函数C ．函数()f x 的图象关于直线5π4x =对称 D ．函数()f x 在区间ππ,44⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减 11．如图，在正三棱锥A BCD -中，底面边长为a ，侧棱长为2a ，点E ，F 分别为侧棱AC ，AD 上的异于端点的动点.则下列说法正确的是（ ）A ．若BE AC ⊥，则不可能存在这样的点F ，使得EF AC ⊥B ．若13AE AC =u u u r u u u r ，23AF AD =uu u r uuu r ，则29E ABF B EFDC V V --=C ．若//CD 平面BEF ，则//EF CDD ．BEF △周长的最小值是52a三、填空题12．已知向量()1,2OA =u u u r，()2,1OB =-u u u r ，点P 是线段AB 的三等分点，则点P 的坐标是.13．如图，在ABC V 中，60ABC ∠=︒，AC =2BC =，ABC ∠的角平分线交AC 于D ，交过点A 且与BC 平行的直线于点E ，则DE =.14．设(),P xy 为函数()[]()ππsincos 11,122f x x x x ⎛⎫=++∈- ⎪⎝⎭图象上任意一点，的最大值是.四、解答题15．（1）已知复数z 满足13i z z =+-，求()()13i 34i z++；（2）设x ∈R ，复数()2121log 1i log cos 2z x x ⎛⎫=++⋅+ ⎪⎝⎭在复平面内对应的点在第三象限，求x的取值范围.16．已知α为锐角，β为钝角，且sin α=，1tan 7β=-.(1)求sin 2β的值； (2)求2βα-的值.17．在ABC V 中，ABD α∠=，DBC β∠=.(1)求证：()sin sin sin BDBA BCαββα+=+； (2)若AB AC =，72C ∠=︒，求cos36︒的值.18．如图，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为矩形，112PA AB BC ===，点E 是棱PB 的中点.(1)求证：AE PC ⊥；(2)若M ，N 分别是PD ，AC 上的点，且2PM ANDM CN==，Q 为MN上任意一点，试判断：三棱锥P ABQ -的体积是否为定值？若是，请证明并求出该定值；若不是，请说明理由.19．已知在ABC V 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c .圆M 与ABC V 的边AC 及BA ，BC 的延长线相切（即圆M 为ABC V 的一个旁切圆），圆M 与边AC 相切于点T .记ABC V 的面积为S ，圆M 的半径为r .(1)求证：2Sr a b c=-+；(2)若π3B =，8b =， ①求r 的最大值；②当r =AM AC ⋅u u u u r u u u r的值.。
2022-2023学年河南省南阳市高一(下)期末数学试卷【答案版】
2022-2023学年河南省南阳市高一（下）期末数学试卷一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．已知复数z =3+4i1−2i，则|z |＝（ ） A ．√2B ．2√3C ．√5D ．√102．已知△ABC 的边AC 上有一点D ，且满足CD →=3DA →，则BD →=（ ） A ．﹣2BC →+3BA →B ．23BC →+13BA →C ．34BC →+14BA →D ．14BC →+34BA →3．利用斜二测画法画出平面四边形ABCD 的直观图是一个底角为45°的等腰梯形A ′B ′C ′D ′，其中A ′B ′∥C ′D ′且A ′B ′＝4，C ′D ′＝2，则下列说法正确的是（ ） A ．AB ＝2B ．A ′D ′=2√2C ．四边形ABCD 的周长为4+2√2+2√3 D ．四边形ABCD 的面积为6√2 4．已知a =sin 32，b =cos 32，c =tan 32，则实数a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．b ＜a ＜cD ．b ＜c ＜a5．矩形ABGH 由如图所示三个全等的正方形拼接而成，令∠HBG ＝α，∠FBG ＝β，则β+α＝（ ）A ．π6B ．π4C ．π3D ．π26．如图是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中BH 与底面ABCD 的夹角的余弦值为（ ）A ．12B ．√22C ．√33D ．√637．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，B ＝60°且△ABC 的面积为√3，若c +a ＝6，则b ＝（ ） A ．2√6B ．5C ．2√7D ．√308．已知点G 为三角形ABC 的重心，且|GA →+GB →|=|GA →−GB →|，当∠C 取最大值时，cos C ＝（ ）A ．45B ．35C ．25D ．15二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9．已知不重合的两条直线m ，n 和不重合的两个平面α，β，则下列命题正确的是（ ） A ．若m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥β B ．若m ⊥α，m ⊥β，则α∥βC ．若m ⊥α，n ∥β，且m ⊥n ，则α∥βD ．若m ⊥α，n ∥β，且m ∥n ，则α⊥β10．已知复数z 1满足z 1=1+ii ，z 2＝x +yi ，x ，y ∈R ，z 1，z 2所对应的向量分别为OZ 1→，OZ 2→，其中O 为坐标原点，则（ ） A ．z 1的共轭复数为1﹣iB ．当x ＝0时，z 2为纯虚数C ．若OZ 1→∥OZ 2→，则x +y ＝0D ．若OZ 1→⊥OZ 2→，则|z 1+z 2|＝|z 1﹣z 2|11．《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”，四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”，如图在堑堵ABC ﹣A 1B 1C 1中，AC ⊥BC ，且AA 1＝AB ＝2．下列说法正确的是（ ）A ．四棱锥B ﹣A 1ACC 1为“阳马”B ．四面体A 1ACB 的顶点都在同一个球面上，且球的表面积为8πC ．四棱锥B ﹣A 1ACC 1体积最大值为23D ．四面体A 1C 1CB 为“鳖臑”12．已知函数f n (x)=sin n x +cos n x ，(n ∈N ∗)，则下列说法正确的是（ ） A ．f 1（x ）在区间[−π3，π4]上单调递增B ．若f 1(x)=√22，则f 3(x)=3√28C ．f 4（x ）的最小正周期为π2D ．f 4（x ）的图象可以由函数g(x)=14sin4x 的图象先向左平移π8个单位，再向上平移34个单位得到三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13．已知角θ的顶点在坐标原点，始边在x 轴非负半轴，终边经过点P （1，3），则2sinθsinθ+cosθ= ．14．设向量a →=（3，3），b →=（1，﹣1），若（a →+λb →）⊥（a →−λb →），则实数λ＝ ．15．若四面体各棱的长是1或2，且该四面体不是正四面体，则其体积是 （只需写出一个可能的值）．16．如图所示，有一块三角形的空地，∠ABC =7π12，BC ＝4√2千米，AB ＝4千米，则∠ACB ＝ ；现要在空地中修建一个三角形的绿化区域，其三个顶点为B ，D ，E ，其中D ，E 为AC 边上的点，若使∠DBE =π6，则BD +BE 的最小值为 千米．四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）（1）在①z +z =−8，②z 为纯虚数，③z 为非零实数这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并对其求解．已知复数z ＝（m 2﹣2m ﹣3）+（m 2﹣3m ﹣4）i （i 为虚数单位），若____，求实数m 的值． （2）已知x ＝1﹣i 是关于x 的实系数一元二次方程x 2+ax +b ＝0的一个根，求a ，b 的值． 18．（12分）已知a →，b →是同一平面内的两个向量，其中a →=(1，2)，b →=(λ，1)． （1）当λ＝1时，求a →与b →的夹角的余弦值； （2）若a →+2b →与2a →−2b →共线，求实数λ的值．19．（12分）如图，在圆锥PO 中，已知PO =√2，⊙O 的直径AB ＝2，点C 是AB ̂的中点，点D 为AC 的中点．（1）证明：平面POD ⊥平面P AC ； （2）求二面角B ﹣AC ﹣P 的余弦值．20．（12分）已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，向量m →=（sin A ，cos A ），n →=（2sin B ﹣cos C ，﹣sin C ），且m →⊥n →． （1）求角A 的值；（2）若b ＝2，求△ABC 周长的取值范围．21．（12分）如图是一个以△A 1B 1C 1为底面的正三棱柱被一平面所截得的几何体，截面为△ABC ．已知AA 1＝4，BB 1＝2，CC 1＝3．（1）在边AB 上是否存在一点O ，使得OC ∥平面A 1B 1C 1？若存在，求出AO OB的值；若不存在，请说明理由；（2）若A 1B 1＝2，求几何体A 1B 1C 1﹣ABC 的体积．22．（12分）已知函数f(x)=4sinxcos(x +π3)+√3．将函数f （x ）的图象上所有点的横坐标变为原来的23，纵坐标不变，再将所得函数图象向右平移π18个单位长度，得到函数g （x ）的图象．（1）求函数f （x ）在区间[−π4，π6]上的单调递减区间；（2）若对于∀x ∈[0，π3]，g 2(x)−mg(x)−3≤0恒成立，求实数m 的范围．2022-2023学年河南省南阳市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．已知复数z =3+4i1−2i，则|z |＝（ ） A ．√2B ．2√3C ．√5D ．√10解：z =3+4i1−2i =(3+4i)(1+2i)(1−2i)(1+2i)=−5+10i5=−1+2i ，|z |=√(−1)2+22=√5． 故选：C ．2．已知△ABC 的边AC 上有一点D ，且满足CD →=3DA →，则BD →=（ ） A ．﹣2BC →+3BA →B ．23BC →+13BA →C ．34BC →+14BA →D ．14BC →+34BA →解：由CD →=3DA →，可得CD →=34CA →，所以BD →=BC →+CD →=BC →+34CA →=BC →+34(BA →−BC →)=14BC →+34BA →． 故答案为：D ．3．利用斜二测画法画出平面四边形ABCD 的直观图是一个底角为45°的等腰梯形A ′B ′C ′D ′，其中A ′B ′∥C ′D ′且A ′B ′＝4，C ′D ′＝2，则下列说法正确的是（ ） A ．AB ＝2B ．A ′D ′=2√2C ．四边形ABCD 的周长为4+2√2+2√3 D ．四边形ABCD 的面积为6√2 解：根据斜二测画法的直观图知，AB ＝A 'B '＝4，所以选项A 错误； CD ＝C 'D '＝2，A ′D ′=√12+12=√2，选项B 错误； 又AD ＝2A ′D ′＝2√2，BC =√(2√2)2+22=2√3，所以四边形ABCD 的周长为2+4+2√2+2√3=6+2√2+2√3，选项C 错误； 四边形ABCD 的面积为12×（2+4）×2√2=6√2，选项D 正确．故选：D ．4．已知a =sin 32，b =cos 32，c =tan 32，则实数a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．b ＜a ＜cD ．b ＜c ＜a解：因为π3＜32＜π2，所以√32=sin π3＜sin 32＜sin π2=1，即√32＜a ＜1， 12=cos π3＞cos 32＞cos π2=0，即0＜b ＜12， c =tan 32＞tan π3=√3， 所以c ＞a ＞b ． 故选：C ．5．矩形ABGH 由如图所示三个全等的正方形拼接而成，令∠HBG ＝α，∠FBG ＝β，则β+α＝（ ）A ．π6B ．π4C ．π3D ．π2解：不妨设正方形的边长为1，则在Rt △BGH 中，BG =3，GH =1，BH =√10，所以cosα=10sinα=10， 则在Rt △BEF 中，BE =2，EF =1，BF =√5，所以cosβ=25sinβ=15， 所以cos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ=3√102√51√10×1√5=5√50=√22， 又易知，α，β∈(0，π2)，所以α+β∈（0，π），故α+β=π4． 故选：B ．6．如图是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中BH 与底面ABCD 的夹角的余弦值为（ ）A ．12B ．√22C ．√33D ．√63解：由展开图可得直观图，由正方体的性质可知HD ⊥平面ABCD ，则∠HBD 即为BH 与底面ABCD 的夹角， 设正方体的棱长为1，则BD =√12+12=√2，BH =√DH 2+BD 2=√3， 所以cos ∠HBD =BDBH =√23=√63，即BH 与底面ABCD 的夹角的余弦值为√63．故选：D ．7．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，B ＝60°且△ABC 的面积为√3，若c +a ＝6，则b ＝（ ） A ．2√6B ．5C ．2√7D ．√30解：因为△ABC 的面积为√3，故12acsinB =12ac ×√32=√3，故ac ＝4，又b 2＝a 2+c 2﹣2ac cos B ＝a 2+c 2﹣ac ＝（a +c ）2﹣3ac ＝36﹣12＝24， 故b =2√6． 故选：A ．8．已知点G 为三角形ABC 的重心，且|GA →+GB →|=|GA →−GB →|，当∠C 取最大值时，cos C ＝（ ） A ．45B ．35C ．25D ．15解：由题意|GA →+GB →|=|GA →−GB →|， 所以(GA →+GB →)2=(GA →−GB →)2，即GA →2+GB →2+2GA →⋅GB →=GA →2+GB →2−2GA →⋅GB →， 所以GA →⋅GB →=0，所以AG ⊥BG ，又AG →=23×12(AC →+AB →)=13(AC →+AB →)，BG →=23×12(BA →+BC →)=13(BA →+BC →)，则AG →⋅BG →=19(AC →+AB →)⋅(BA →+BC →)=19(AC →⋅BA →+AC →⋅BC →+AB →⋅BA →+AB →⋅BC →)=0， 所以CA →⋅CB →=AC →⋅AB →+BA →⋅BC →+AB →2，即ab cos C ＝bc cos A +ac cos B +c 2，由cosA =b 2+c 2−a 22bc ，cosB =a 2+c 2−b 22ac ，cosC =a 2+b 2−c 22ab， 所以a 2+b 2＝5c 2，所以cosC =a 2+b 2−c 22ab =25(a b +b a )≥45√a b ⋅b a =45，当且仅当a ＝b 时等号成立，又y ＝cos x 在（0，π）上单调递减，C ∈（0，π）， 所以当∠C 取最大值时，cos C =45． 故选：A ．二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9．已知不重合的两条直线m ，n 和不重合的两个平面α，β，则下列命题正确的是（ ） A ．若m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥β B ．若m ⊥α，m ⊥β，则α∥βC ．若m ⊥α，n ∥β，且m ⊥n ，则α∥βD ．若m ⊥α，n ∥β，且m ∥n ，则α⊥β解：对于A ，当m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，且m ，n 相交时，才有α∥β，故A 错误； 对于B ，若m ⊥α，m ⊥β，根据线面垂直的性质定理可得α∥β，故B 正确；对于C ，若m ⊥α，n ∥β，且m ⊥n ，β可绕n 旋转，此时α∥β或α与β相交，故C 错误； 对于D ，∵n ∥β，故在β中存在一条直线s ，使得n ∥s ，∴m ∥s ， 则s ⊥α，而s ⊂β，故α⊥β，故D 正确． 故选：BD ．10．已知复数z 1满足z 1=1+ii ，z 2＝x +yi ，x ，y ∈R ，z 1，z 2所对应的向量分别为OZ 1→，OZ 2→，其中O 为坐标原点，则（ ）A ．z 1的共轭复数为1﹣iB ．当x ＝0时，z 2为纯虚数C ．若OZ 1→∥OZ 2→，则x +y ＝0D ．若OZ 1→⊥OZ 2→，则|z 1+z 2|＝|z 1﹣z 2|解：已知复数z 1满足z 1=1+ii，则z 1＝1﹣i ， 又z 2＝x +yi ，x ，y ∈R ，z 1，z 2所对应的向量分别为OZ 1→，OZ 2→，其中O 为坐标原点， 则OZ 1→=(1，−1)，OZ 2→=(x ，y)，对于选项A ，z 1的共轭复数为1+i ，即选项A 错误；对于选项B ，当x ＝0，y ≠0时，z 2为纯虚数，即选项B 错误；对于选项C ，当OZ 1→∥OZ 2→时，则1×y ＝（﹣1）×x ，则x +y ＝0，即选项C 正确；对于选项D ，若OZ 1→⊥OZ 2→，则x ＝y ，则z 1+z 2＝（1+x ，x ﹣1），z 1﹣z 2＝（1﹣x ，﹣x ﹣1）， 则|z 1+z 2|＝|z 1﹣z 2|=√(1+x)2+(1−x)2，即选项D 正确． 故选：CD ．11．《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”，四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”，如图在堑堵ABC ﹣A 1B 1C 1中，AC ⊥BC ，且AA 1＝AB ＝2．下列说法正确的是（ ）A ．四棱锥B ﹣A 1ACC 1为“阳马”B ．四面体A 1ACB 的顶点都在同一个球面上，且球的表面积为8πC ．四棱锥B ﹣A 1ACC 1体积最大值为23D ．四面体A 1C 1CB 为“鳖臑”解：底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”， ∴在堑堵ABC ﹣A 1B 1C 1中，AC ⊥BC ，侧棱AA 1⊥平面ABC ，对A 选项，AA 1⊥BC ，又AC ⊥BC ，且AA 1∩AC ＝A ，则BC ⊥平面A 1ACC 1， ∴四棱锥B ﹣A 1ACC 1为“阳马”，故A 正确；对C 选项，在底面有4＝AC 2+BC 2≥2AC •BC ，即AC •BC ≤2， 当且仅当AC =BC =√2时取等号，V B−A 1ACC 1=13S A 1ACC 1×BC =13AA 1×AC ×BC =23AC ×BC ≤43，故C 错误；对D 选项，由AC ⊥BC ，即A 1C 1⊥BC ，又A 1C 1⊥C 1C 且BC ∩C 1C ＝C ，BC ，C 1C ⊂平面BB 1C 1C ， ∴A 1C 1⊥平面BB 1C 1C ，∵BC 1⊂平面BB 1C 1C ， ∴A 1C 1⊥BC 1，则△A 1BC 1为直角三角形，又由BC ⊥平面AA 1C 1C ，A 1C ⊂平面AA 1C 1C ，∴BC ⊥A 1C ，则△A 1BC 为直角三角形， 由“堑堵”的定义可得△A 1C 1C 为直角三角形，△CC 1B 为直角三角形， ∴四面体A 1C 1CB 为“鳖臑”，故D 正确；对B 选项，由C 知△A 1BC 为直角三角形，侧棱AA 1⊥平面ABC ，则易知△A 1AB ，△A 1AC 为直角三角形，而△ABC 为直角三角形，则外接球球心O 位于A 1B 的中点， 则外接球半径R =12A 1B =12×√22+22=√2， 则球的表面积为4πR 2=4π×(√2)2=8π，故B 正确． 故选：ABD ．12．已知函数f n (x)=sin n x +cos n x ，(n ∈N ∗)，则下列说法正确的是（ ） A ．f 1（x ）在区间[−π3，π4]上单调递增B ．若f 1(x)=√22，则f 3(x)=3√28C ．f 4（x ）的最小正周期为π2D ．f 4（x ）的图象可以由函数g(x)=14sin4x 的图象先向左平移π8个单位，再向上平移34个单位得到解：对于A ，f 1(x)=sinx +cosx =√2sin(x +π4)， 因为x ∈[−π3，π4]， 所以x +π4∈[−π12，π2]，又y ＝sin x 在(−π2，π2)上递增，故正确； 对于B ，由f 1(x)=sinx +cosx =√22，则f 3(x)=(sinx +cosx)(sin 2x −sinxcosx +cos 2x)=(sinx +cosx)(1−(sinx+cosx)2−12)=√22(1−(√22)2−12)=5√28，故错误；对于C ，f 4(x)=sin 4x +cos 4x =(sin 2x +cos 2x)2−2sin 2x ⋅cos 2x =1−12（sin2x ）2=34+14cos4x ， 则T =2π4=π2，故正确；D ．由函数g(x)=14sin4x 的图象先向左平移π8个单位得到y =14sin[4(x +π8)]=14sin(4x +π2)=14cos4x ，再向上平移34个单位得到y =34+14cos4x ，故正确．故选：ACD ．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13．已知角θ的顶点在坐标原点，始边在x 轴非负半轴，终边经过点P （1，3），则2sinθsinθ+cosθ=32．解：因为角θ的终边经过点P （1，3），所以tan θ＝3， 所以2sinθsinθ+cosθ=2tanθtanθ+1=2×33+1=32．故答案为：32．14．设向量a →=（3，3），b →=（1，﹣1），若（a →+λb →）⊥（a →−λb →），则实数λ＝ ±3 ． 解：∵向量a →=（3，3），b →=（1，﹣1）， ∴向量|a →|＝3√2，|b →|=√2，向量a →•b →=3﹣3＝0， 若（a →+λb →）⊥（a →−λb →），则（a →+λb →）•（a →−λb →）=|a →|2−λ2|b →|2=0， 即18﹣2λ2＝0， 则λ2＝9， 解得λ＝±3， 故答案为：±3，15．若四面体各棱的长是1或2，且该四面体不是正四面体，则其体积是 √1112（只需写出一个可能的值）．解：由于三棱锥的棱长是1或2，且该四面体不是正四面体，所以三角形的边长不能出现：1，1，2的情况，所以不妨三棱锥的底面为正三角形，棱长长为：2；三棱锥的高为：√22−(23×32×1)2=√113，所以三棱锥的体积为：13×√34×1×1×√113=√1112；故答案为：√1112． 16．如图所示，有一块三角形的空地，∠ABC =7π12，BC ＝4√2千米，AB ＝4千米，则∠ACB ＝ π6；现要在空地中修建一个三角形的绿化区域，其三个顶点为B ，D ，E ，其中D ，E 为AC 边上的点，若使∠DBE =π6，则BD +BE 的最小值为 8（√3−1） 千米．解：因为sin ∠ABC =sin 7π12=sin(π4+π3)=sin π4cos π3+cos π4sin π3=√6+√24， cos ∠ABC =cos7π12=cos(π4+π3)=cos π4cos π3−sin π3sin π4=√2−√64， 在△ABC 中，由余弦定理得AC 2＝AB 2+BC 2﹣2AB •BC cos ∠ACB =8(√3+1)2， ∴AC =2√2(1+√3)， 根据正弦定理有ACsin7π12=AB sin∠ACB，可得sin ∠ACB =4×√6+√242(2+6)=12，因为0＜∠ACB ＜π2，所以，∠ACB =π6，设∠CBD ＝θ，其中0≤θ≤5π12，则∠BDC =5π6−θ，∠BEC =2π3−θ， 在△BCD 中，由正弦定理BD sinπ6=BC sin∠BDC ，可得BD =2√2sin(5π6−θ)，在△BCE 中，由正弦定理BEsinπ6=BC sin∠BEC，可得BE =2√2sin(2π3−θ)，则BD +BE =2√2(1√32sinθ+12cosθ1√32cosθ+12sinθ)=4√2(√3+1)(sinθ+cosθ)√3+4sinθcosθ，令t =sinθ+cosθ，t ∈[1，√2]，则sinθcosθ=t 2−12，则 BD +BE =f(t)=4√2(3+1)t 2t 2−(2−√3)=4√2(3+1)2t−(2−3)t， 易知分母g(t)=2t −(2−√3)t＞0，且是一个单调递增的函数， 则f （t ）是一个单调递减的函数， 当t =√2时，f （t ）有最小值，f(t)min =8(3+1)2+3=8(√3−1)．故答案为：π6；8(√3−1)．四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）（1）在①z +z =−8，②z 为纯虚数，③z 为非零实数这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并对其求解．已知复数z ＝（m 2﹣2m ﹣3）+（m 2﹣3m ﹣4）i （i 为虚数单位），若____，求实数m 的值． （2）已知x ＝1﹣i 是关于x 的实系数一元二次方程x 2+ax +b ＝0的一个根，求a ，b 的值． 解：选条件①：因为z =(m 2−2m −3)−(m 2−3m −4)i ，又z +z =−8， 所以2（m 2﹣2m ﹣3）＝﹣8，解得m ＝1． 选条件②：∵z 为纯虚数，∴{m 2−2m −3=0m 2−3m −4≠0，解得m ＝3． 选条件③：∵z 为非零实数，∴{m 2−2m −3≠0m 2−3m −4=0，解得m ＝4； （2）因为x ＝1﹣i 为实系数一元二次方程：x 2+ax +b ＝0的一个根， ∴（1﹣i ）2+a （1﹣i ）+b ＝0，即a +b ﹣（2+a ）i ＝0，所以{a +b =0a +2=0，解得，a ＝﹣2，b ＝2．18．（12分）已知a →，b →是同一平面内的两个向量，其中a →=(1，2)，b →=(λ，1)． （1）当λ＝1时，求a →与b →的夹角的余弦值； （2）若a →+2b →与2a →−2b →共线，求实数λ的值． 解：（1）当λ＝1时，b →=(1，1)，又a →=(1，2)， 所以cos〈a →，b →〉=a →⋅b→|a →|⋅|b →|=1+2√2×√5=3√1010；（2）因为a →=(1，2)，b →=(λ，1)，所以a →+2b →=(1+2λ，4)，2a →−2b →=(2−2λ，2)， 又a →+2b →与2a →−2b →共线，所以（1+2λ）×2﹣4×（2﹣2λ）＝0，解得λ=12．19．（12分）如图，在圆锥PO 中，已知PO =√2，⊙O 的直径AB ＝2，点C 是AB ̂的中点，点D 为AC 的中点．（1）证明：平面POD ⊥平面P AC ； （2）求二面角B ﹣AC ﹣P 的余弦值．解：（1）连接OC ，因为OA ＝OC ，D 为的AC 中点，所以AC ⊥OD ． 又PO ⊥底面⊙O ，AC ⊂底面⊙O ，所以PO ⊥AC ，又OD ∩PO ＝O ，PO ，OD ⊂面POD ，所以AC ⊥平面POD ， 又AC ⊂平面P AC ，所以平面POD ⊥平面P AC ．（2）由（1）知AC ⊥平面POD ，OD ，PD ⊂面POD ，所以AC ⊥OD ，AC ⊥PD ，故∠PDO 是二面角B ﹣AC ﹣P 的平面角，在Rt △POD 中，PO =√2，又点C 是AB ⌢的中点，点D 为AC 的中点，所以OD =12BC =√22，故PD =√2+12=√102，所以cos ∠PDO =OD PD =√22102=√55，即二面角B ﹣AC ﹣P 的余弦值为√55．20．（12分）已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，向量m →=（sin A ，cos A ），n →=（2sin B ﹣cos C ，﹣sin C ），且m →⊥n →． （1）求角A 的值；（2）若b ＝2，求△ABC 周长的取值范围．解：（1）∵向量m →=（sin A ，cos A ），n →=（2sin B ﹣cos C ，﹣sin C ），且m →⊥n →， ∴sin A （2sin B ﹣cos C ）﹣cos A sin C ＝0，即2sin A sin B ﹣sin （A +C ）＝0， 又在锐角△ABC 中，B ∈（0，π2），2sin A sin B ＝sin B ，∴sin A =12，又A ∈（0，π2），则A =π6；（2）由正弦定理得a +c ＝2R （sin A +sin C ）=2sinB（sin A +sin C ） =2sinB [12+sin （5π6−B ）]=2sinB （12+12cos B +√32sin B ） =√3+1+cosB sinB =√3+1tan B 2，∵△ABC 是锐角三角形，∴{0＜B ＜π20＜5π6−B ＜π2，解得π3＜B ＜π2， ∴π6＜B 2＜π4，则√33＜tan B 2＜1， ∴√3+1＜a +c ＜2√3， ∴3+√3＜a +b +c ＜2√3+2，故△ABC 周长的取值范围为（3+√3，2√3+2）．21．（12分）如图是一个以△A 1B 1C 1为底面的正三棱柱被一平面所截得的几何体，截面为△ABC ．已知AA 1＝4，BB 1＝2，CC 1＝3．（1）在边AB 上是否存在一点O ，使得OC ∥平面A 1B 1C 1？若存在，求出AO OB的值；若不存在，请说明理由；（2）若A 1B 1＝2，求几何体A 1B 1C 1﹣ABC 的体积．解：（1）存在，此时AO OB=1，如图，取AB 的中点O ，连接OC ，作OD ∥AA 1交A 1B 1于点D ，连接C 1D ， 则OD ∥BB 1∥CC 1，因为O 是AB 的中点，所以OD 为梯形AA 1B 1B 的中位线， 所以OD =12(BB 1+AA 1)=3=CC 1， 所以四边形ODC 1C 为平行四边形，所以OC ∥C 1D ，又C 1D ⊂平面A 1B 1C 1，OC ⊄平面A 1B 1C 1，所以OC ∥平面A 1B 1C 1，即在边AB 上是存在一点O ，使得OC ∥平面A 1B 1C 1且AO OB=1．（2）如图在AA 1上取点D 使得A 1D ＝BB 1＝2，在CC 1上取点E 使得C 1E ＝BB 1＝2， 连接BD 、DE 、BE ，则三棱柱A 1B 1C 1﹣DBE 为正三棱柱，取DE 的中点F ，连接BF ， 取A 1C 1的中点G ，连接B 1G ，则BF ⊥DE ，B 1G ⊥A 1C 1， 又平面BDE ⊥平面ACC 1A 1，平面BDE ∩平面ACC 1A 1＝DE ， BF ⊂平面BDE ，所以BF ⊥平面ACC 1A 1，又BF =√22−12=√3，S △A 1B 1C 1=12×2×√3=√3，S ADEC =(1+2)×22=3， 所以V B−ADEC =13×3×√3=√3，V A 1B 1C 1−DBE =S △A 1B 1C 1⋅A 1D =2√3， 所以V A 1B 1C 1−ABC =V B−ADEC +V A 1B 1C 1−DBE =3√3．22．（12分）已知函数f(x)=4sinxcos(x +π3)+√3．将函数f （x ）的图象上所有点的横坐标变为原来的23，纵坐标不变，再将所得函数图象向右平移π18个单位长度，得到函数g （x ）的图象．（1）求函数f （x ）在区间[−π4，π6]上的单调递减区间；（2）若对于∀x ∈[0，π3]，g 2(x)−mg(x)−3≤0恒成立，求实数m 的范围．解：（1）f(x)=4sinxcos(x +π3)+√3=4sinx(12cosx −√32sinx)+√3=sin2x −√3(1−cos2x)+√3=sin2x +√3cos2x =2sin(2x +π3)．因x∈[−π4，π6]，则2x+π3∈[−π6，2π3]，又y＝sin x分别在[−π6，π2]，[π2，2π3]上单调递增和递减，则2x+π3∈[π2，2π3]⇒[π12，π6]，即函数f（x）在区间[−π4，π6]上的单调递减区间为[π12，π6]；（2）函数f（x）的图象上所有点的横坐标变为原来的23，纵坐标不变，所得解析式为2sin(2x⋅32+π3)=2sin(3x+π3)，又将所得函数图象向右平移π18个单位长度，解析式为2sin[3(x−π18)+π3]=2sin(3x+π6)，则g(x)=2sin(3x+π6)．因x∈[0，π3]，则3x+π6∈[π6，7π6]．又y＝sin x在[π6，π2]上单调递增，在[π2，7π6]上单调递减，则sin(3x+π6)∈[−12，1]，故g(x)=2sin(3x+π6)∈[−1，2]．方法1：令g（x）＝t∈[﹣1，2]，则∀x∈[0，π3]，g2(x)−mg(x)−3≤0等价于∀t∈[﹣1，2]，t2﹣mt﹣3≤0，当t＝0时，t2﹣mt﹣3≤0⇔﹣3≤0，则此时m可取任意值；当t∈（0，2]时，t2−mt−3≤0⇔m≥t−3t⇒m≥(t−3t)max，注意到函数y=x，y=−1x均在（0，2]上单调递增，则函数y=t−1t在（0，2]上单调递增，则(t−3t)max=2−32=12⇒m≥12；当t∈[﹣1，0）时，t2−mt−3≤0⇔m≤t−3t⇒m≤(t−3t)min，注意到函数y=x，y=−1x均在[﹣1，0）上单调递增，则函数y=t−1t在[﹣1，0）上单调递增，则(t−3t)min=−1−3−1=2⇒m≤2；综上可得：12≤m ≤2．所以实数m 的范围为[12，2]．方法2：令g （x ）＝t ∈[﹣1，2]， 则∀x ∈[0，π3]，g 2(x)−mg(x)−3≤0，等价于∀t ∈[﹣1，2]，ℎ(t)=t 2−mt −3≤0⇒{ℎ(−1)≤0ℎ(2)≤0⇒{1+m −3≤04−2m −3≤0，解得12≤m ≤2．所以实数m 的范围为[12，2]．。
2021-2022学年河南省南阳市高一下学期期末数学试题(解析版)
2021-2022学年河南省南阳市高一下学期期末数学试题一、单选题1．已知角2022α=，则角α的终边落在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】C【分析】利用象限角的定义判断可得出结论.【详解】因为20222225360α==+⨯，而222是第三象限角，故角α的终边落在第三象限. 故选：C.2．已知向量()1,2a =，(),1b λ=-，且a b ⊥，则λ=（ ） A ．2 B ．2-C ．12D ．12-【答案】A【分析】由向量垂直的坐标表示计算． 【详解】由题意20a b λ⋅=-=，2λ=． 故选：A ． 3．已知复数2i1iz +=-，其中i 为虚数单位，则复数z 的虚部为（ ） A ．3i 2B ．3i 2-C ．32D ．32-【答案】D【分析】利用复数的除法化简复数z ，利用共轭复数的定义结合复数的概念判断可得出合适的选项. 【详解】()()()()2i 1i 2i 13i 13i 1i 1i 1i 222z ++++====+--+，则13i 22z =-， 故z 的虚部为32-.故选：D.4．将函数()sin 2f x x x =的图象向左平移()0ϕϕ>个单位长度得到一个偶函数，则ϕ的最小值为（ ） A ．12π B ．6πC ．3π D ．56π 【答案】A【分析】化简函数()f x 的解析式，求出变换后的函数的解析式，根据正弦型函数的奇偶性可得出关于ϕ的等式，即可求得ϕ的最小值.【详解】因为()sin 23cos 22sin 23f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，将函数()f x 的图象向左平移()0ϕϕ>个单位长度，得到函数()2sin 22sin 2233y x x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫=++=++ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的图象，因为函数2sin 223y x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭为偶函数，则()2Z 32k k ππϕπ+=+∈，解得()Z 122k k ππϕ=+∈， 0ϕ>，则当0k =时，ϕ取最小值12π. 故选：A.5．与图中曲线对应的函数可能是（ ）A ．sin y x =B ．sin y x =C ．sin y x =-D ．sin y x =-【答案】D【分析】判断各选项中函数在区间()0,π或(),2ππ上的函数值符号以及奇偶性，可得出合适的选项.【详解】对于A 选项，当0πx <<时，sin 0y x =>，A 选项不满足条件； 对于B 选项，当0πx <<时，0x π<<，sin 0y x =>，B 选项不满足条件； 对于C 选项，当2x ππ<<时，sin 0y x =-<，C 选项不满足条件； 对于D 选项，令()sin f x x =-，该函数的定义域为R ，()()sin sin f x x x f x -=--=-=，故函数sin y x =-为偶函数，当0πx <<时，()sin 0f x x =-<，D 选项满足条件. 故选：D.622sin 201cos20--+的结果是（ ） A 2B ．2C D ．【答案】D【分析】利用二倍角公式化简可得结果.【详解】原式)2210sin 102sin10cos1012cos 101=+--+- ()sin102cos102cos10sin102cos102sin10--=--=-.故选：D.7．设α，β，γ为两两不重合的平面，l ，m ，n 为两两不重合的直线，给出下列四个命题：①若αγ⊥，βγ⊥，则//αβ；②若m α⊂，n ⊂α，//m β，βn//，则//αβ； ③若//αβ，l α⊂，则//l β； ④若l αβ=，m βγ=，n γα=，//l γ，则//m n .其中真命题是（ ） A ．①③ B ．②④ C ．③④ D ．①②【答案】C【分析】利用线面垂直的判定定理构造反例，可以判定①错误；根据线面平行的判定定理构造反例，可以判定②错误；利用面面平行和线面平行的定义可以证明③正确；根据线面平行的性质定理和直线的平行公理，可证证明④正确.【详解】对于①：设直线a ⊥平面γ,当平面αβ，都经过直线a 时，αγ⊥，βγ⊥，但是a αβ⋂=,故①错误；对于②：当m n 时，若m α⊂，n ⊂α，//m β，βn//，不能得出//αβ，比如当l αβ⋂=时,在平面α中任意平行与直线l 的两条直线，由线面平行的判定定理可知//m β，βn//成立，,m n 满足条件，但结论不成立，故②错误；对于③：若//αβ，根据平面平行的定义，可知αβ，没有公共点，由于l α⊂，直线l 与平面α没有公共点，即//l β，故③正确； 对于④：由l αβ=得l α⊂，又//l γ,n γα= ,∴//l n ，同理//l m ，故//m n ，故④正确； 故选C.【点睛】本题考查线面、面面平行、垂直的定义、判定与性质，属中档题，难度一般. 8．设向量(),m a b =，复数i z a b =+（i 为虚数单位，a 、b ∈R ），则下列说法错误．．的是（ ）A ．m z =B ．22m z =C ．22m z =D ．2m z z =⋅【答案】C【分析】利用平面向量的模长公式以及复数的模长公式、复数的乘法可判断各选项的正误.【详解】因为i R,R z a b a b ∈∈=+，，则i z a b =-，所以，2222m a b z z z =+==⋅，则m z =，但2222222i m a b a b ab z =+≠-+=，ABD 选项正确，C 错. 故选：C.9．若底面边长为1，高为2的正四棱柱的顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ） A ．3π B ．6π C ．12π D ．24π【答案】B【分析】计算出正四棱柱的体对角线长，可得出其外接球的半径，结合球体表面积公式可得结果.【详解】因此，该正四棱柱的外接球半径为R =， 因此，该正四棱柱的外接球的表面积为246R ππ=. 故选：B.10．在锐角．．ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2B A =，则ab的取值范围为（ ）A ．⎝⎭B ．12⎛ ⎝⎭C ．12⎛ ⎝⎭D ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】A【分析】根据锐角三角形可得角ππ64A <<，进而根据正弦定理边化角，结合二倍角公式以及余弦函数的单调性即可求解.【详解】ABC 为锐角三角形，故ππ0022ππππ0022264ππ00π222A A B A A C A A ⎧⎧<<<<⎪⎪⎪⎪⎪⎪<<⇒<<⇒<<⎨⎨⎪⎪⎪⎪<<<--<⎪⎪⎩⎩ ,故cos A ∈⎝⎭进而由正弦定理可得sin sin sin 1sin sin 22sin cos 2cos 2a A A A b B A A A A ====∈⎝⎭故选：A11．已知函数()22tan21tan 2xf x x =+的最小正周期为f T ，值域为f M ，函数()221tan 21tan 2x g x x -=+的最小正周期为g T ，值域为g M ，则（ ） A ．f g T T =，f g M M = B ．f g T T ≠，f g M M = C ．f g T T =，f g M M ≠ D ．f g T T ≠，f g M M ≠【答案】C【分析】由二倍角公式、同角间的三角函数关系化简函数式，然后求出函数的周期和值域，判断各选项．【详解】由已知222sin2cos2()sin sin 21cos 2x x f x x x x ==+，22x k ππ≠+，2x k ππ≠+，Z k ∈，2f T π=，[-1,1]f M =，2222cos sin 22()cos cos sin 22xxg x x xx -==+，22x k ππ≠+，2x k ππ≠+，Z k ∈，2g T π=，(1,1]g M =-， 故选：C ．12．若四面体各棱长是2或4，且该四面体不是．．正四面体，则其体积的值不可能．．．为（ ） ABCD．3【答案】D【分析】对四面体各棱的长度进行分类讨论，结合锥体的体积公式可求得该四面体的可能体积.【详解】设四面体为ABCD ，分以下几种情况讨论：①若2AD BC ==，其余各棱棱长均为4，取BC 的中点O ，连接AO 、OD ，因为4AB AC ==，2BC =，O 为AC 的中点，故AO BC ⊥，且2215AO AB OB =-=， 同理可得15OD =，OD BC ，AO OD O =，AO 、OD ⊂平面AOD ，BC ∴⊥平面AOD ，2AD =，所以，22213cos 215AO OD AD AOD AO OD +-∠==⋅， 所以，2214sin 1cos 15AOD AOD ∠=-∠=， 所以，1sin 142AOD S AO OD AOD =⋅∠=△， 此时，121433A BCD AOD V BC S -=⋅=△；②若2AD =，其余各棱棱长均为4，取BC 的中点O ，连接AO 、OD ，因为4AB AC BC ===，O 为AC 的中点，故AO BC ⊥，且2223AO AB OB - 同理可得3OD =OD BC ，AO OD O =，AO 、OD ⊂平面AOD ，BC ∴⊥平面AOD ，2AD =，所以，2225cos 26AO OD AD AOD AO OD +-∠==⋅， 所以，211sin 1cos 6AOD AOD ∠=-∠，所以，1sin 112AOD S AO OD AOD =⋅∠=△， 此时，141133A BCD AOD V BC S -=⋅=△；③三棱锥A BCD -为正三棱锥，且侧棱长为4，BCD △是边长为2的等边三角形，如下图所示：设顶点A 在底面BCD 内的射影点为M ，连接AM 、CM ， 则2232sin3CM π==，22233AM AC CM =-=， 2323BCD S ==△12113A BCD BCD V S AM -=⋅=△ 故选：D. 二、填空题13．在平面直角坐标系中，(),12A k ，()4,5B ，()10,C k ，若A ，B ，C 三点共线，则正．数．k =______． 【答案】11【分析】根据向量共线的坐标表示即可求解.【详解】由题意可得()()4,7,6,5AB k BC k =--=- ，因为A ，B ，C 三点共线，所以//AB BC ，进而()()2454292202k k k k k --=-⇒--=⇒=- 或11k =因为0k > ，所以11k = ， 故答案为：1114．一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为2的正方形，则原平面四边形的面积为______． 【答案】82【分析】作出原平面图形，可知AB AC ⊥，且2AB =，42AC =面积公式可求得结果.【详解】不妨设正方形A B C D ''''的边长为2，2A B ''=，22A C ''=45B A C '''∠=，如下图所示：则在原平面图形中，AB AC ⊥且2AB =，42AC =，易知四边形ABCD 为平行四边形，因此，平面图形ABCD 的面积为82S AB AC =⋅=故答案为：8215．()()()()2222log 1tan1log 1tan 2log 1tan3log 1tan 45+︒++︒++︒+++︒=______．【答案】23【分析】根据正切的和角公式可得()()1tan 21tan 432++=()(),1tan 221tan 232++=，然后根据对数的运算性质即可求解. 【详解】因为()()()()1tan11tan 441tan1tan 44tan1tan 441tan1tan 44tan 1441tan1tan 44++=+++=+++-2= ，同理可得：()()1tan 21tan 432++=，()(),1tan 221tan 232++= ，故()()()()2222log 1tan1log 1tan 2log 1tan3log 1tan 45++++++++=()()()()2322log 1tan11tan 21tan 441tan 45log223++++==故答案为：2316．如图，在ABC 中，6AC =，8BC =，10AB =，O 是ABC 的内切圆的圆心，则CO AB ⋅=______．【答案】4【分析】利用等面积法计算出圆O 的半径，然后以点C 为坐标原点，CA 、CB 所在直线分别为x 、y 轴建立平面直角坐标系，利用平面向量数量积的坐标运算可求得CO AB ⋅的值.【详解】设圆O 的半径为r ，因为6AC =，8BC =，10AB =，则222AC BC AB +=，AC BC ∴⊥，则()1122ABC S AC BC r AB AC BC =⋅=++△， 则2AC BCr AC BC AB⋅==++，因为90ACB ∠=，易知CO 平分ACB ∠，以点C 为坐标原点，CA 、CB 所在直线分别为x 、y 轴建立如下图所示的平面直角坐标系，则()0,0C 、()2,2O 、()6,0A 、()0,8B ，则()2,2CO =，()6,8AB =-， 因此，62824CO AB ⋅=-⨯+⨯=. 故答案为：4. 三、解答题17．（1）已知复数z 满足13i z z =+-（i 为虚数单位），求z ； （2）求2cos12sin18sin 72-的值．【答案】（1）4i 3z =-+；（23【分析】（1）设()i ,z x y x y =+∈R ，利用复数的模长公式、复数的运算以及复数相等可得出关于x 、y 的方程组，解出这两个量的值，即可得出复数z 的值； （2）利用两角差的余弦公式、诱导公式化简可得出所求代数式的值.【详解】解：（1）设()i ,z x y x y =+∈R ，由13i z z =+-()()13i x y -+-， 由复数相等可得301y x -=⎧⎪⎨-=⎪⎩43x y =-⎧⎨=⎩，故4i 3z =-+； （2）原式()()2cos 7260sin 9072cos723sin 72cos723sin 72sin 72---+-===.18．已知函数()2sin 2cos f x x x θθ=-．(1)若()1f sin 2θ的值； (2)求()22sin 2f θ+的最大值． 【答案】(1)4sin 25θ=-(2)4【分析】（1）由已知条件结合辅助角公式可得出()sin 1θϕ-=，其中ϕ为锐角，且cos ϕ=，sin ϕ=sin θ、cos θ的值，再利用二倍角的正弦公式可求得结果；（2）设sin cos 4t πθθθ⎛⎫⎡=-=-∈ ⎪⎣⎝⎭，可得出2sin 21t θ=-，利用二次函数的基本性质可求得()22sin 2f θ+的最大值.【详解】(1)解：因为()()1sin 2cos f θθθϕ=-=-()sin 1θϕ-=，其中ϕ为锐角，且cos ϕ=，sin ϕ= 所以，()2Z 2k k πθϕπ-=+∈，则()2Z 2k k πθπϕ=++∈，所以，cos cos 2sin 2k πθπϕϕ⎛⎫=++=-= ⎪⎝⎭sin sin 2cos 2k πθπϕϕ⎛⎫=++== ⎪⎝⎭，因此，4sin 22sin cos 5θθθ==-.(2)解：因为sin cos 4πθθθ⎛⎫⎡-=-∈ ⎪⎣⎝⎭，()2sin cos 12sin cos 1sin 2θθθθθ-=-=-，令sin cos 2,2t θθ⎡⎤=-∈-⎣⎦，则2sin 21t θ=-，则()()()2222sin 24sin cos 2sin 2421242f t t t t θθθθ+=-+=+-=-++()22144t =--+≤，当且仅当1t =时，()22sin 2f θ+取最大值4.19．如图，已知ABC 是正三角形，AE 、CD 都垂直于平面ABC ，且22EA AB DC ===，F 为BE 的中点．(1)求证：FD//平面ABC ； (2)求证：平面BDE ⊥平面EAB ． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析【分析】（1）取AB 的中点M ，连接MF 、CM ，证明出四边形CDFM 为平行四边形，可得出//DF CM ，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立；（2）证明出CM ⊥平面ABE ，可得出DF ⊥平面ABE ，再利用面面垂直的判定定理可证得结论成立.【详解】(1)证明：取AB 的中点M ，连接MF 、CM ， 因为AE 、CD 都垂直于平面ABC ，则//AE CD 且12CD AE =， 因为M 、F 分别为AB 、BE 的中点，则MF AE //且12MF AE ，//MF CD ∴且MF CD =， 所以，四边形CDFM 为平行四边形，则//DF CM ，DF ⊄平面ABC ，CM ⊂平面ABC ，//DF ∴平面ABC .(2)证明：ABC 为等边三角形，且M 为AB 的中点，所以，CM AB ⊥，AE平面ABC ，CM ⊂平面ABC ，CM AE ∴⊥， ABAE A =，AB 、AE ⊂平面ABE ，CM ∴⊥平面ABE ，//DF CM ，DF ⊥∴平面ABE ，DF ⊂平面BDE ，所以，平面BDE ⊥平面ABE .20．已知函数()()11cos 23cos cos 222f x x x x x =--+，x ∈R ．(1)求()f x 的最小正周期和单调递增区间；(2)求方程()()10f x a a =-<<在[]0,2π内的所有实数根之和． 【答案】(1)最小正周期为π，增区间为(),63Z k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ (2)103π【分析】（1）利用三角恒等化简函数解析式为()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，利用正弦型函数的周期公式可求得函数()f x 的最小正周期，解不等式()222Z 262k x k k πππππ-≤-≤+∈可得出函数()f x 的增区间； （2）232,626t x πππ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦，数形结合可知函数y a =与函数2sin y t =在23,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象有4个交点，利用对称性可求得这4个交点横坐标之和，进而可求得方程()()10f x a a =-<<在[]0,2π内的所有实数根之和. 【详解】(1)解：()2111cos 21123cos cos cos 232cos 222222x f x x x x x x x +=--+=--+32cos 22sin 26x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以，函数()f x 的最小正周期为22T ππ==， 由()222Z 262k x k k πππππ-≤-≤+∈得()Z 63k x k k ππππ-≤≤+∈，所以，函数()f x 的单调递增区间为(),63Z k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦.(2)解：当02x π≤≤时，232666x πππ-≤-≤，令26t x π=-，作出函数y a =与函数2sin y t =在23,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象如下图所示：可知函数y a =与函数2sin y t =在23,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象有4个交点，设这四个交点的横坐标由小到大依次为1t 、2t 、3t 、4t ，设()21,2,3,46i i x t i π-==，故方程()()10f x a a =-<<在[]0,2π内有四个不等的实根1x 、2x 、3x 、4x ， 由图可知，点()1,t a 、()2,t a 关于直线2t π=对称，点()3,t a 、()4,t a 关于直线52t π=对称，所以，12341234522222226666t t t t x x x x ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=⨯+=-+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得1234103x x x x π+++=. 21．如图，在ABC 中，2AB AC =，25cos 5B =，点D 在线段BC 上．(1)当BD AD =时，求ADAC的值； (2)若AD 是A ∠的平分线，5BC =ADC 的面积． 【答案】(1)5AD AC =(2) 13或59． 【分析】（1）由已知利用同角三角函数基本关系式可求sin B 的值，利用正弦定理可求sin 2sin C ABB AC==，由已知利用二倍角的正弦函数公式可得sin 2sin cos ADC B B ∠=，在ADC 中，利用正弦定理可求ADAC的值； （2）设AC x =，则2AB x =，由余弦定理可得x 的值，进而可求DC ，又由（1）可求sin C 的值，利用三角形面积公式即可求值得解． 【详解】解：（1）2cos B =B 是三角形内角，sin B ∴=， 2sin sin AC ABAB AC B C ==，， sin 2sin C ABB AC∴==． BD AD =，2ADC B ∴∠=∠，sin sin22sin cos ADC B B B ∴∠==，∴在ADC 中，sin 2sin 1sin 2sin cos cos AD C B AC ADC B B B ====∠ （2）设AC x =，则2AB x =，在ABC 中，由余弦定理可得：()2222cosx x B +-=解得：1x =或53x =．因为AD 是A ∠的平分线， 所以2BD ABDC AC==，即2BD DC =，而BC =，所以DC =．又由（1）知sin 2sin C B ==，①当1x =时，111sin 1223ADCSAC DC C =⋅⋅=⨯=；②当53x =时，155239ADC S ∆=⨯=．综上，ADC ∆的面积为13或59．【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，正弦定理，二倍角的正弦函数公式，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和分类讨论思想，属于中档题．22．如图，在矩形ABCD 中，1AB =，2BC =，E 为边AD 上的动点，将DCE 沿CE折起，记折起后D 的位置为P ，且P 在平面ABCD 上的射影O 恰好落在折线CE 上．(1)设DCE α∠=，当α为何值时，PBC 的面积最小？(2)当PBC 的面积最小时，在线段BC 上是否存在一点F ，使平面PAF ⊥平面POF ，若存在求出BF 的长，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)π4α=(2)且1BF = 或12BF =【分析】（1）根据线面垂直可得线线垂直，进而根据三角形中的边角关系可得sin 2cos 2PCB α∠=，而三角形的面积为sin BCPS PCB =∠，要使得面积最小，则sin 2cos 2PCB α∠=最大即可；（2）根据空间直角坐标系，根据平面法向量垂直得两平面垂直即可求解.【详解】(1)因为2,1BC PC == ,所以1sin sin 2BCPSBC PC PCB PCB =⋅⋅∠=∠ , 由于PO ⊥ 平面BCEA , PCE α∠=,故在Rt POC 中，sin ,cos PO OC αα== ， 在BOC 中，π2BCO α∠=-由余弦定理可得2222π2cos 4cos 22cos sin 2OB BC OC BC OC αααα⎛⎫=+-⋅-=+-⨯⨯ ⎪⎝⎭，在Rt POB 中，22222sin 4cos 22cos sin 52sin 2PB OP OB ααααα=+=++-⨯⨯=-在PBC 中，()2221452sin 2sin 2cos 242PC BC PB PCB PC BC αα+--+-∠===⋅ 因为π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()20,πα∈，当sin21α= 时，即ππ224αα=⇒= ，cos PCB ∠ 最大，此时sin PCB ∠，而sin BCPSPCB =∠也为最小值，故π4α=(2)以B 为坐标原点，以,BC BA 为,x y 轴的正方向，过B 向上作平面ABCE 的垂线为z 轴正方向，如图，建立空间直角坐标系；()31(0,0,0),0,1,0,(2,0,0),(1,1,0),(,,0),22B A C E O当π4α=时，此时E 是AD 中点，故21,PC PE PO ===,故312(,)22P设()(,0,0),02F a a ≤≤ ,则3122312(,,),0,0,,,,)2222222FP a OP AP ⎛⎫⎛⎫=-==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ; 设平面POF 的法向量为(),,m x y z = ，所以312002220202a x y z m FP m OP z ⎧⎛⎫-++=⎪ ⎪⎧⋅=⎪⎝⎭⇒⎨⎨⋅=⎩⎪=⎪⎩ ，取1x = ，则()1,23,0m a =- 同理可得平面PAF 的法向量为31,,2a n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，因为平面PAF ⊥平面POF ，所以0m n m n ⊥⇒⋅= ，即212301a a a +-=⇒= 或12a = ， 故存在点F ,使得平面PAF ⊥平面POF ，且1BF a == 或12BF =。
河南省南阳市高一下学期数学期末考试试卷
河南省南阳市高一下学期数学期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2017高二下·双鸭山期末) 下列函数，在其定义域中，既是奇函数又是减函数的是（）A .B .C .D .2. （2分）=（2，4）=（﹣1，1），则2﹣=（）A . （5，7）B . （5，9）C . （3，7）D . （3，9）3. （2分）如图，一环形花坛分成A，B，C，D四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为（）A . 96B . 84C . 604. （2分）已知向量 =（cosα﹣2）， =（sinα，1），且，则tan（）=（）A .B . ﹣C . 3D . ﹣35. （2分） (2016高二下·银川期中) 把18个人平均分成两组，每组任意指定正副组长各1人，则甲被指定为正组长的概率为（）A .B .C .D .6. （2分）(2018·栖霞模拟) 如图所示的程序框图中，输出的值是（）A .C .D .7. （2分）如图，在中，点是边上靠近的三等分点，则（）A .B .C .D .8. （2分）如图的茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为（）A .B .C .D .9. （2分）(2017·重庆模拟) △ABC中，AB=3，BC=2，CA= ，若点D满足 =3 ，则△ABD的面积为（）A .B .C . 9D . 1210. （2分）(2018·邯郸模拟) 已知变量，之间满足线性相关关系，且，之间的相关数据如下表所示：则（）A .B .C .D .11. （2分）一个半径为R的扇形，它的周长为4R，则这个扇形所含弓形的面积为（）A . (2－sin1cos1)R2B . sin1cos1R2C . R2D . (1－sin1cos1)R212. （2分）右图给出的是计算的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是（）A . i＜9B . i≤9C . i＜10D . i≤10二、填空题 (共8题；共8分)13. （1分）等腰三角形中，一个底角的正弦值等于，则三角形顶角的余弦值为________．14. （1分） (2016高一下·福州期中) 455与299的最大公约数________．15. （1分） (2017高二下·都匀开学考) 某地区有大型商场x个，中型商场y个，小型商场z个，x：y：z=2：4：9，为了掌握该地区商场的营业情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为45的样本，则抽取的中型商场的个数为________．16. （1分）将38化成二进制数为________ ．17. （1分）设向量=(2,-1)，=(3,4)，则向量在向量上的投影为________18. （1分） (2016高二下·丹阳期中) 在区间[﹣1，1]上随机取一个数x，则cos 的值介于0到之间的概率为________．19. （1分）给出下面的线性规划问题：求z=3x+5y的最大值和最小值，使x、y满足约束条件：，欲使目标函数z只有最小值而无最大值，请你设计一种改变约束条件的办法（仍由三个不等式构成，且只能改变其中一个不等式），那么结果是________．20. （1分）(2018高三上·晋江期中) 已知函数若关于x的函数有8个不同的零点，则实数b的取值范围是________．三、解答题 (共5题；共40分)21. （10分） (2016高一下·商水期中) 已知向量，，且，f（x）= • ﹣2λ| |（λ为常数），求：（1）• 及| |；（2）若f（x）的最小值是，求实数λ的值．22. （10分）(2018·鄂伦春模拟) 根据以往的经验，某建筑工程施工期间的降水量（单位：）对工期的影响如下表：降水量工期延误天数0136根据某气象站的资料，某调查小组抄录了该工程施工地某月前天的降水量的数据，绘制得到降水量的折线图，如下图所示.（1）求这天的平均降水量；（2）根据降水量的折线图，分别估计该工程施工延误天数 X = 0 ,1 ,3 ,6 的概率.23. （5分） (2019高三上·朝阳月考) 在中，，，．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求的值．24. （5分）判断下列函数的奇偶性：（1）y=cos2x，x∈R；（2）y=cos（2x﹣）；（3）y=sin（x+π）；（4）y=cos（x﹣）．25. （10分）(2016·江西模拟) 2016年年初为迎接习总书记并向其报告工作，省有关部门从南昌大学校企业的LED产品中抽取1000件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：（1）求这1000件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2（同一组数据用该区间的中点值作代表）；（2）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N（μ，δ2），其中μ近似为样本平均数，δ2近似为样本方差s2．（i）利用该正态分布，求P（175.6＜Z＜224.4）；（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值为于区间的产品件数，利用（i）的结果，求EX．附：≈12.2．若Z～N（μ，δ2），则P（μ﹣δ＜Z＜μ+δ）=0.6826，P（μ﹣2δ＜Z＜μ+2δ）=0.9544．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共8题；共8分)13-1、14-1、15-1、16-1、17-1、18-1、19-1、20-1、三、解答题 (共5题；共40分) 21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、24-1、25-1、25-2、第11 页共11 页。
2019-2020学年河南省南阳市高一下学期期末数学试卷 (解析版)
2019-2020学年河南省南阳市高一第二学期期末数学试卷一、选择题（共12小题）.1．某校有高一学生450人，高二学生480人．为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校高一高二学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高一学生中抽取15人，则n 为（）A．15B．16C．30D．312．sin75°cos45°﹣sin15°sin45°＝（）A．0B．C．D．13．从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是（）A．“至少有一个黑球”与“都是黑球”B．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”C．“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”D．“至少有一个黑球”与“都是红球”4．已知向量＝（cosθ，sinθ），＝（2，﹣1），且⊥，则的值是（）A．3B．﹣3C．D．5．已知平面向量，是非零向量，||＝2，⊥（+2），则向量在向量方向上的投影为（）A．﹣1B．1C．﹣2D．26．已知函数f（x）＝A tan（ωx+φ），y＝f（x）的部分图象如图，则＝（）A．2+B．C．D．2﹣7．将函数y＝sin（2x+φ）的图象沿x轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能值为（）A．B．C．D．8．阅读算法框图，如果输出的函数值在区间[1，8]上，则输入的实数x的取值范围是（）A．[0，2）B．[2，7]C．[2，4]D．[0，7]9．若sinα+sinβ+sinγ＝0，cosα+cosβ+cosγ＝0，则cos（α﹣β）的值为（）A．﹣1B．1C．﹣D．10．某同学用“随机模拟方法”计算曲线y＝lnx与直线x＝e，y＝0所围成的曲边三角形的面积时，用计算机分别产生了10个在区间[1，e]上的均匀随机数x i和10个区间[0，1]上的均匀随机数，其数据如表的前两行．x 2.50 1.01 1.90 1.22 2.52 2.17 1.89 1.96 1.36 2.22 y0.840.250.980.150.010.600.590.880.840.10 lnx0.900.010.640.200.920.770.640.670.310.80由此可得这个曲边三角形面积的一个近似值是（）A．B．C．D．11．已知函数f（x）＝sinωx（ω＞0）满足对任意x∈R，f（x）＝f（x+π），则函数f（x）在[0，2π]上的零点个数不可能为（）A．5B．9C．21D．2312．已知函数f（x）＝|sin x|+|cos x|，则下面结论不正确的是（）A．f（x）为偶函数B．f（x）的最小正周期为C．f（x）的最大值为2D．f（x）在[，]上单调递增二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知，则＝．14．已知△ABC的三边长AC＝3，BC＝4，AB＝5，P为AB边上任意一点，则的最大值为．15．函数y＝3sin x﹣4cos x在x＝θ处取得最大值，则sinθ＝．16．若不等式sin x﹣tan x+|tan x+sin x|﹣k≤0在x∈[，π]恒成立，则k的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知，且向量与不共线．（1）若与的夹角为45°，求；（2）若向量与的夹角为钝角，求实数k的取值范围．18．某同学用“五点法”画函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：ωx+φ0π2πxA sin（ωx+φ）02﹣20（1）请将上表数据补充完整，并直接写出函数f（x）的解析式；（2）将函数y＝f（x）的图象向左平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y＝g（x）的图象，求g（x）的单调递减区间．19．某种产品的广告费支出x与销售额y（单位：万元）之间有如下对应数据：x24568y3040605070（1）若广告费与销售额具有相关关系，求回归直线方程；（2）在已有的五组数据中任意抽取两组，求两组数据其预测值与实际值之差的绝对值都不超过5的概率．20．已知f（x）＝2sin x cos x +（cos2x﹣sin2x）．（1）求函数y＝f（x）的最小正周期和对称轴方程；（2）若x∈[0，]，求y＝f（x）的值域．21．某科研课题组通过一款手机APP软件，调查了某市1000名跑步爱好者平均每周的跑步量（简称“周跑量”），得到如下的频数分布表：[10，15）[15，20）[20，25）[25，30）[30，35）[35，40）[40，45）[45，50）[50，55）周跑量（km/周）人数100120130180220150603010（1）补全该市1000名跑步爱好者周跑量的频率分布直方图；（2）根据以上图表数据，试求样本的中位数（保留一位小数）（3）根据跑步爱好者的周跑量，将跑步爱好者分成以下三类，不同类别的跑者购买的装备的价格不一样，如表：周跑量小于20公里20公里到40公里不小于40公里类别休闲跑者核心跑者精英跑者装备价格（单位：元）250040004500根据以上数据，估计该市每位跑步爱好者购买装备，平均需要花费多少元？22．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A，B，C三点满足．（1）求||的值；（2）已知A（1，cos x），B（1+cos x，cos x），x∈[0，]，f（x）＝•﹣（2m+）||，若f（x）的最小值为g（m），求g（m）的最大值．参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．某校有高一学生450人，高二学生480人．为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校高一高二学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高一学生中抽取15人，则n 为（）A．15B．16C．30D．31【分析】根据分层抽样为随机抽样，可知即可求出n．解：依题意．可知，所以n＝31，故选：D．2．sin75°cos45°﹣sin15°sin45°＝（）A．0B．C．D．1【分析】由条件利用诱导公式、两角和的余弦公式，进行化简所给的式子，可得结果．解：sin75°cos45°﹣sin15°sin45°＝cos15°cos45°﹣sin15°sin45°＝cos（15°+45°）＝，故选：B．3．从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是（）A．“至少有一个黑球”与“都是黑球”B．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”C．“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”D．“至少有一个黑球”与“都是红球”【分析】利用对立事件、互斥事件的定义求解．解：从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球，在A中，“至少有一个黑球”与“都是黑球”能同时发生，不是互斥事件，故A错误；在B中，“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”能同时发生，不是互斥事件，故B 错误；在C中，“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”不能同时发生，但能同时不发生，是互斥而不对立的两个事件，故C正确；在D中，“至少有一个黑球”与“都是红球”是对立事件，故D错误．故选：C．4．已知向量＝（cosθ，sinθ），＝（2，﹣1），且⊥，则的值是（）A．3B．﹣3C．D．【分析】由已知求得tanθ，然后展开两角差的正切求解．解：由＝（cosθ，sinθ），＝（2，﹣1），且⊥，得2cosθ﹣sinθ＝0，即tanθ＝2．∴＝．故选：C．5．已知平面向量，是非零向量，||＝2，⊥（+2），则向量在向量方向上的投影为（）A．﹣1B．1C．﹣2D．2【分析】先根据向量垂直，得到＝﹣2，再根据投影的定义即可求出．解：∵平面向量是非零向量，，，∴•（）＝0，即+2＝0，即＝﹣2，∴向量在向量方向上的投影为＝＝﹣1，故选：A．6．已知函数f（x）＝A tan（ωx+φ），y＝f（x）的部分图象如图，则＝（）A．2+B．C．D．2﹣【分析】根据函数的图象求出函数的周期，然后求出ω，根据（，0）求出φ的值，图象经过（0.1）确定A的值，求出函数的解析式，然后求出f（）即可．解：由题意可知T＝2×（）＝，所以ω＝＝2，函数的解析式为：f（x）＝A tan（2x+φ），因为函数过（，0），可得：0＝A tan（+φ），又|φ|＜，所以解得：φ＝，又图象经过（0，1），可得：1＝A tan，所以：A＝1，所以：f（x）＝tan（2x+），则f（）＝tan（+）＝tan＝．故选：B．7．将函数y＝sin（2x+φ）的图象沿x轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能值为（）A．B．C．D．【分析】首先利用三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．解：将函数y＝sin（2x+φ）的图象沿x轴向左平移个单位后，得到f（x）＝sin（2x++φ）．由于f（x）＝sin（2x++φ）为偶函数，所以φ＝k，整理得φ＝（k∈Z），当k＝﹣1时，φ＝﹣．故选：B．8．阅读算法框图，如果输出的函数值在区间[1，8]上，则输入的实数x的取值范围是（）A．[0，2）B．[2，7]C．[2，4]D．[0，7]【分析】模拟程序框图的运行过程，得出该程序运行输出的是什么，由此得出解答来．解：根据题意，得当x∈（﹣2，2）时，f（x）＝2x，∴1≤2x≤8，∴0≤x≤3；当x∉（﹣2，2）时，f（x）＝x+1，∴1≤x+1≤8，∴0≤x≤7，∴x的取值范围是[0，7]．故选：D．9．若sinα+sinβ+sinγ＝0，cosα+cosβ+cosγ＝0，则cos（α﹣β）的值为（）A．﹣1B．1C．﹣D．【分析】由题意可得（sinα+sinβ）2＝（﹣sinγ）2，（cosα+cosβ）2＝（﹣cosγ）2，两式相加得：2+2（cosαcosβ+sinαsinβ）＝1，再利用两角差的余弦公式即可算出结果．解：∵sinα+sinβ+sinγ＝0，cosα+cosβ+cosγ＝0，∴（sinα+sinβ）2＝（﹣sinγ）2，（cosα+cosβ）2＝（﹣cosγ）2，两式相加得：2+2（cosαcosβ+sinαsinβ）＝1，∴cos（α﹣β）＝﹣，故选：C．10．某同学用“随机模拟方法”计算曲线y＝lnx与直线x＝e，y＝0所围成的曲边三角形的面积时，用计算机分别产生了10个在区间[1，e]上的均匀随机数x i和10个区间[0，1]上的均匀随机数，其数据如表的前两行．x 2.50 1.01 1.90 1.22 2.52 2.17 1.89 1.96 1.36 2.22 y0.840.250.980.150.010.600.590.880.840.10 lnx0.900.010.640.200.920.770.640.670.310.80由此可得这个曲边三角形面积的一个近似值是（）A．B．C．D．【分析】首先确定所给数据中唯一曲边三角形的点的个数，然后利用频率近似概率，结合几何概型求解曲边三角形的面积即可．解：由表可知，向矩形区域{（x，y）|1⩽x⩽e，0⩽y⩽1}内随机抛掷10个点，其中有6个点在曲边三角形内，其横坐标分别为2.5，1.22，2.52，2.17，1.89，2.22其频率为．∵矩形区域的面积为e﹣1，∴曲边三角形面积的近似值为．故选：D．11．已知函数f（x）＝sinωx（ω＞0）满足对任意x∈R，f（x）＝f（x+π），则函数f（x）在[0，2π]上的零点个数不可能为（）A．5B．9C．21D．23【分析】计算f（x）在[0，2π]上的周期个数，根据周期个数得出零点个数．解：f（x）的最小正周期为T＝，∵对任意x∈R，f（x）＝f（x+π），∴π＝•k，k∈N×，故f（x）在[0，2π]上有偶数2k个周期，∴f（x）在[0，2π]上的零点个数为4k+1个，故选：D．12．已知函数f（x）＝|sin x|+|cos x|，则下面结论不正确的是（）A．f（x）为偶函数B．f（x）的最小正周期为C．f（x）的最大值为2D．f（x）在[，]上单调递增【分析】由偶函数的定义判断选项A，由最小正周期的定义判断选项B，再将f（x）化简，利用正弦函数的图象求出f（x）的最值与单调性．解：对于A，f（x）定义域为R，f（﹣x）＝|sin（﹣x）|+|cos（﹣x）|＝|sin x|+|cos x|＝f （x），即f（x）为偶函数，选项正确；对于B，f（x+）＝|sin（x+）|+|cos（x+）|＝|cos x|+|sin x|＝f（x），即f（x）的最小正周期为，选项正确；对于C，f（x）＝|sin x|+|cos x|＝，则当sin2x＝±1时，f（x）的最大值为，选项错误；对于D，x∈[，]时，2x∈[π，]，f（x）＝|sin x|+|cos x|＝，令2x ＝t，则y＝|sin t|在[π，]上单调递增，再由复合函数的单调性可得，f（x）在[，]上单调递增，选项正确；故选：C．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知，则＝．【分析】由已知利用二倍角公式即可计算得解．解：∵，∴．故答案为：．14．已知△ABC的三边长AC＝3，BC＝4，AB＝5，P为AB边上任意一点，则的最大值为9．【分析】先建立直角坐标系，把几个向量的坐标计算出来，再根据向量减法的坐标公式，以及向量的数量积坐标公式计算即可．【解答】解；∵△ABC的三边长AC＝3，BC＝4，AB＝5，∴△ABC为直角三角形，且∠C为直角，以CB为x轴，CA为y轴，建立直角坐标系，则C（0，0），A（0，3），B（4，0），设P（x，y）则＝（x，y）.＝（﹣4，3），＝（4，0），∴＝（x，y）•（0，3）＝3y∵0≤y≤3，∴0≤3y≤9故答案为915．函数y＝3sin x﹣4cos x在x＝θ处取得最大值，则sinθ＝．【分析】利用辅助角公式可得y＝3sin x﹣4cos x＝5sin（x﹣φ）（其中tanφ＝），结合题意可得θ＝2kπ++φ（k∈Z），从而可求得答案．解：y＝3sin x﹣4cos x＝（sin x﹣cos x）＝5sin（x﹣φ）（其中tanφ＝），依题意，θ﹣φ＝2kπ+（k∈Z），故θ＝2kπ++φ（k∈Z），则sinθ＝cosφ＝＝，故答案为：．16．若不等式sin x﹣tan x+|tan x+sin x|﹣k≤0在x∈[，π]恒成立，则k的取值范围是[2，+∞）．【分析】由x的范围判断tan x+sin x的符号，去掉绝对值，将k分离，构造新函数并判断函数的单调性，求出最值代入即可．解：∵x∈[，π]，∴cos x∈[﹣1，﹣]，sin x≥0，tan x∈[﹣1，0]，∴tan x+sin x＝+sin x＝≤0，∴不等式sin x﹣tan x+|tan x+sin x|﹣k≤0可化简为：﹣2tan x﹣k≤0，即k≥﹣2tan x，则k≥（﹣2tan x）max，x∈[，π]，又y＝﹣2tan x在[，π]单调递减，∴k≥2，故答案为：[2，+∞）．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知，且向量与不共线．（1）若与的夹角为45°，求；（2）若向量与的夹角为钝角，求实数k的取值范围．【分析】（1）由与的夹角为45°，可得＝cos45°．展开＝﹣，代入即可得出．（2）由向量与的夹角为钝角，可得（）•（）＜0，且不能反向共线，即可得出．解：（1）∵与的夹角为45°，∴＝cos45°＝＝．∴＝﹣＝2+﹣1＝1+．（2）∵向量与的夹角为钝角，∴（）•（）＜0，且不能反向共线，∴＝k2﹣1＜0，解得﹣1＜k＜1，k≠0∴实数k的取值范围是（﹣1，1）（k≠0）．18．某同学用“五点法”画函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：ωx+φ0π2πxA sin（ωx+φ）02﹣20（1）请将上表数据补充完整，并直接写出函数f（x）的解析式；（2）将函数y＝f（x）的图象向左平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y＝g（x）的图象，求g（x）的单调递减区间．【分析】（1）根据最值求得A，由周期求得ω，五点法做函数y＝A sin（ωx+φ）的图象求得φ的值，可得函数的解析式．（2）根据函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的单调性，得出结论．解：（1）补充表格：由于最大值为2，最小值为﹣2，故A＝2．＝＝﹣＝，∴ω＝2．再根据五点法作图可得2•+φ＝，∴φ＝﹣，故f（x）＝2sin（2x﹣）．ωx+φ0π2πxA sin（ωx+φ）020﹣20（2）将函数y＝f（x）的图象向左平移个单位后，可得y＝2sin[2（x+）﹣]＝2sin（2x+）的图象；再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y＝g（x）＝2sin（x+）的图象．令2kπ+≤x+≤2kπ+，求得4kπ+≤x≤4kπ+，故g（x）的单调递减区间为[4kπ+，4kπ+]，k∈Z．19．某种产品的广告费支出x与销售额y（单位：万元）之间有如下对应数据：x24568y3040605070（1）若广告费与销售额具有相关关系，求回归直线方程；（2）在已有的五组数据中任意抽取两组，求两组数据其预测值与实际值之差的绝对值都不超过5的概率．【分析】（1）由已知求得与的值，则线性回归方程可求；（2）分别求出x＝2，4，5，6，8时的，列出表格，再由古典概型概率公式求解．解：（1）＝＝5，＝＝50，＝＝6.5，，因此，所求回归直线方程为：＝6.5x+17.5；（2）x24568y304060507030.543.55056.569.5基本事件：（30，40），（30，60），（30，50），（30，70），（40，60），（40，50），（40，70），（60，50），（60，70），（50，70）共10个，两组数据其预测值与实际值之差的绝对值都不超过5：（30，40），（30，70），（40，70）共3个．∴两组数据其预测值与实际值之差的绝对值都超过5的概率为．20．已知f（x）＝2sin x cos x+（cos2x﹣sin2x）．（1）求函数y＝f（x）的最小正周期和对称轴方程；（2）若x∈[0，]，求y＝f（x）的值域．【分析】（1）将f（x）化简，利用整体法求出f（x）的对称轴和周期即可；（2）根据正弦函数的单调性，求出f（x）的最大值和最小值即可．解：（1）f（x）＝2sin x cos x +（cos2x﹣sin2x）＝令，则f（x ）的对称轴为，最小正周期；（2）当x∈[0，]时，，因为y＝sin x 在单调递增，在单调递减，在取最大值，在取最小值，所以，所以f（x）∈[﹣1，2]．21．某科研课题组通过一款手机APP软件，调查了某市1000名跑步爱好者平均每周的跑步量（简称“周跑量”），得到如下的频数分布表：[10，15）[15，20）[20，25）[25，30）[30，35）[35，40）[40，45）[45，50）[50，55）周跑量（km/周）人数100120130180220150603010（1）补全该市1000名跑步爱好者周跑量的频率分布直方图；（2）根据以上图表数据，试求样本的中位数（保留一位小数）（3）根据跑步爱好者的周跑量，将跑步爱好者分成以下三类，不同类别的跑者购买的装备的价格不一样，如表：周跑量小于20公里20公里到40公里不小于40公里类别休闲跑者核心跑者精英跑者装备价格（单位：元）250040004500根据以上数据，估计该市每位跑步爱好者购买装备，平均需要花费多少元？【分析】（1）由频数分布表能补全该市1000名跑步爱好者周跑量的频率分布直方图．（2）由频率分布直方图能求出样本的中位数．（3）分别滶出休闲跑者、核心跑者、精英跑者的人数，由此能估计该市每位跑步爱好者购买装备平均需要花费多少钱．解：（1）补全该市1000名跑步爱好者周跑量的频率分布直方图如下：（2）由频率分布直方图得：[10，25）的频率为：（0.02+0.024+0.026）×5＝0.35，[25，30）的频率为0.036×5＝0.18，设样本的中位数为x，则0.35+（x﹣25）×0.036＝0.5，解得x≈29.2．∴样本的中位数约为29.2．（3）依题意知休闲跑者共有：（5×0.02+5×0.024）×1000＝220人，核心跑者共有：（5×0.026+5×0.036+5×0.044+5×0.030）×1000＝680人，精英跑者共有：1000﹣220﹣680＝100人，∴估计该市每位跑步爱好者购买装备，平均需要花费：（220×2500+680×4000+100×4500）＝3720（元）．22．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A，B，C三点满足．（1）求||的值；（2）已知A（1，cos x），B（1+cos x，cos x），x∈[0，]，f（x）＝•﹣（2m+）||，若f（x）的最小值为g（m），求g（m）的最大值．【分析】（1）由已知得：，所以进行向量运算可得，继而可得结果；（2）f（x）＝＝1+＝（cos x﹣m）2+1﹣m2，对m进行讨论，求得不同情况下的最小值，写成关于m的函数式g（m），继而可以求得结果．解：（1）由已知得：，∴，∴，∴，∴；（2）f（x）＝＝1+＝（cos x﹣m）2+1﹣m2，∵x，∴cos x∈[0，1]，当m＜0时，当cos x＝0时，f（x）取得最小值g（m）＝1；当0≤m≤1时，当cos x＝m时，f（x）取得最小值g（m）＝1﹣m2；当m＞1时，当cos x＝1时，f（x）取得最小值g（m）＝2﹣2m，综上所述，g（m）＝，∴g（m）的最大值为1．。
河南省南阳市高一下期末考试数学试题有答案
河南省南阳市年舂期高中一年级期终质量评估数学试卷1.某中学教务处采用系统抽样方法，从学校高一年级全体1000名学生中抽50名学生做学习状况问卷调查．现将1000名学生从1到1000进行编号．在第一组中随机抽取一个号，如果抽到的是17号，则第8组中应取的号码是（ ）A ．177B ．417C ． 157D ．3672.已知扇形的半径为2，面积为4，则这个扇形圆心角的弧度数为（ ） A． B ．2 C ．2 D ．23.从甲、乙、丙、丁四人中任选两人参加问卷调查，则甲被选中的概率是（ ） A．B．C．D．4.已知B A O ,,是平面上的三个点，直线AB 上有一点C ，满足2=+，则等于（ ） A ．OB OA -2 B ．OB OA 2+- C ．OB OA 3132- D ．3231+-5．若0＜α＜2π，则使sin α＜和cos α＞同时成立的α的取值范围是（ ） A ．（﹣，）B ．（0，）C ．（，2π） D ．（0，）∪（，2π）6.把函数cos22y x x = 的图像经过变化而得到2sin 2y x =的图像，这个变化是（ ）A ．向左平移12π个单位 B ．向右平移12π个单位 C ．向左平移6π个单位 D ．向右平移6π个单位7.已知函数)42sin()(π+=x x f ，则函数()f x 满足（ ）A. 最小正周期为2T π=B. 图象关于点)0,8(π对称C. 在区间0,8π⎛⎫⎪⎝⎭上为减函数 D. 图象关于直线8x π=对称8.计算下列几个式子，① 35tan 25tan 335tan 25tan ++, ②2（sin35︒cos25︒+sin55︒cos65︒）, ③15tan 115tan 1-+ , ④ 6tan16tan2ππ-，结果为3的是（ ）A ．①②B ．①③C ．①②③D ．①②③④9.如图所示，平面内有三个向量，，，与夹角为o 120，与夹角为o150，且1OA OB ==，23OC =μλ+=()R ∈μλ，，则=+μλ（ ）AC（A ）1 （B ）6- （C ） 29- （D ）6 10.阅读右边的程序框图，输出结果s 的值为（ ）A. 12B. C. 116 D. 1811.函数f （x ）=Asin （ωx +φ）的部分图象如图所示，若，且f （x 1）=f （x 2）（x 1≠x 2），则f （x 1+x 2）=（ ）A． B． C． D ．112.在边长为4的等边三角形OAB 的内部任取一点P ，使得4≤⋅的概率为（ ） A ．12 B ．14 C ．13 D ．1813.若21tan =α，则ααααcos 3sin 2cos sin -+= ．14.如图表所示，生产甲产品过程中记录的产量x （吨）与相应的生产能耗y （吨标准煤）之间的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y 关于x的值为 ． 15.气象意义上，从春季进入夏季的标志为：“连续5天的日平均温度不低于22℃”.现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据（记录数据都是正整数）： ①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22； ②乙地：5个数据的中位数为27，总体均值为24；③丙地：5个数据的中有一个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.8； 则肯定进入夏季的地区的有 ．16.已知P 、M 、N 是单位圆上互不相同的三个点，且满足||=||，则•的最小值是 ．17.已知平面向量),32(),,1(x x x -+== )(N x ∈ （1）若a 与b 垂直，求x ； （2）若//a b ，求a b -.18.已知sin()cos(10)tan(3)2()5tan()sin()2f παπααπαππαα---+=++．（1） 化简()f α；（2） 若01860α=-，求()f α的值；（3） 若2πα∈（0，），且1sin()63πα-=，求()f α的值．19.为了完成对某城市的工薪阶层是否赞成调整个人所得税税率的调查，随机抽取了60人，作出了他们的月收入频率分布直方图（如图），同时得到了他们月收入情况与赞成人数统计表（如下表）：（1）试根据频率分布直方图估计这60人的平均月收入；（2）若从月收入（单位：百元）在[65，75）的被调查者中随机选取2人进行追踪调查，求2人都不赞成的概率.20.已知函数()23cos cos 2f x x x x =++． （1）当,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，讨论函数()y f x =的单调性； （2）已知0ω>，函数)122()(πω-=x f x g ，若函数()g x 在区间2,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，求ω的最大值．21.如图，一个水轮的半径为4m ，水轮圆心O 距离水面2m ，已知水轮每分钟转动5圈，如果当水轮上点P 从水中浮现时（图中点p 0）开始计算时间．（1）将点p 距离水面的高度z （m ）表示为时间t （s ）的函数； （2）点p 第一次到达最高点大约需要多少时间？22.已知x 0，x 0+是函数f （x ）=cos 2（wx ﹣）﹣sin 2wx （ω＞0）的两个相邻的零点（1）求的值；（2）若对任意]0,127[π-∈x ，都有f （x ）﹣m ≤0，求实数m 的取值范围． （3）若关于x 的方程1)(334=-m x f 在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有两个不同的解，求实数m 的取值范围．高一数学期末参考答案一、选择题1-5 CBAAD 6-10 BDCBC 11-12 AD二、填空题13. 43-14. 3 15. ①③ 16. 21-三、解答题 17.解：（1）由已知得，0)()32(1=-++x x x ，解得，3=x 或1-=x ， 因为N x ∈，所以3=x . ……………5分 （2）若//a b ，则()()1230x x x ⋅--⋅+=，所以0x =或2x =-，因为N x ∈，所以0=x .()2,0a b -=-，2a b -=. ……………10分18.解：（1）cos cos (tan )()cos tan cos f ααααααα-==- ………3分（2）00018606360300α=-=-⨯+ 00()(1860)cos(1860)f f α∴=-=--0001cos(6360300)cos 602=--⨯+=-=- ………7分（3）1sin()cos()26363πππααα∈-=∴-=（0，）,()cos cos[()]cos()cos sin()sin6666661132f ππππππααααα∴=-=--+=--+-=⋅=………12分19.解：（1）由直方图知：(200.015300.015400.025500.02600.015700.01)1043.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=∴这60人的平均月收入约为43.5百元. ………4分（2）根据频率分布直方图和统计图表可知[65，75）的人数为0.01×10×60＝6人，其中2人赞成，4人不赞成 记赞成的人为x ，y ，不赞成的人为a ，b ，c ，d任取2人的情况分别是：xy ，xa ，xb ，xc ，xd ，ya ，yb ，yc ，yd ，ab ，ac ，ad ，bc ，bd ，cd 共15种情况其中2人都不赞成的是：ab ，ac ，ad ，bc ，bd ，cd 共6种情况∴2人都不赞成的概率是：P ＝62155=. ………12分20.解：（1）()1cos 232sin 22226x f x x x π+⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭． ∵,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，∴52,666x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦所以，2626πππ≤+≤-x ，即66ππ≤≤-x 时，()y f x =增，65622πππ≤+≤x ，即36ππ≤≤x 时，()y f x =减， ∴函数()y f x =在]6,6[ππ-上增，在]3,6[ππ上减. ………6分（2）2)6)122(2sin()(++-=ππωx x g 2)sin(+=x ω要使g （x ）在]6,32[ππ-上增，只需322πωπ-≤-，即43≤ω 所以ω的最大值为43. ………12分21.解：（1）依题意可知z 的最大值为6，最小为﹣2，∴⇒；∵op 每秒钟内所转过的角为，得z=4sin，当t=0时，z=0，得sin φ=﹣，即φ=﹣，故所求的函数关系式为z=4sin +2 ………6分（2）令z=4sin +2=6，得sin=1，取，得t=4，故点P 第一次到达最高点大约需要4s ． ………12分22.解：（1）f （x ）=====（）=． 由题意可知，f （x ）的最小正周期T=π，∴， 又∵ω＞0， ∴ω=1，∴f （x ）=．∴=． ………4分（2）由f （x ）﹣m ≤0得，f （x ）≤m ， ∴m ≥f （x ）max ，∵﹣， ∴， ∴，∴﹣≤， 即f （x ）max =，∴43≥m 所以),43[+∞∈m ………8分 （3）原方程可化为1)32sin(23334+=+⋅m x π即1)32sin(2+=+m x π20π≤≤x画出)32sin(2π+=x y 20π≤≤x 的草图x=0时，y=2sin3π=，y 的最大值为2， ∴要使方程在x ∈[0，2π]上有两个不同的解，1＜2， 1． 所以)1,13[-∈m ………12分。
2021学年河南省南阳市高一(下)期末考试数学试卷含答案
2021学年河南省南阳市高一（下）期末考试数学试卷一、选择题1. 完成下列抽样调查，较为合理的抽样方法依次是()①从30件产品中抽取3件进行检查．②某校高中三个年级共有3000人，其中高一900人、高二1500人、高三600人，为了了解学生对新型冠状病毒防控知识掌握情况，拟抽取一个容量为300的样本进行调查；③某剧场有28排，每排有32个座位，在一次报告中恰好坐满了听众，报告结束后，为了了解听众意见，需要请28名听众进行座谈．A.①简单随机抽样，②系统抽样，③分层抽样B.①分层抽样，②系统抽样，③简单随机抽样C.①系统抽样，②简单随机抽样，③分层抽样D.①简单随机抽样，②分层抽样，③系统抽样2. 给出下面的算法：第一步，比较a与b的大小，若a<b，则交换a，b的值．第二步，比较a与c的大小，若a<c，则交换a，c的值．第三步，比较b与c的大小，若b<c，则交换b，c的值．第四步，输出a，b，c．该算法要解决的问题是( )A.输入a，b，c三个数，比较a，b，c的大小B.输入a，b，c三个数，找出a，b，c中的最大数C.输入a，b，c三个数，将其按从大到小的顺序输出D.输入a，b，c三个数，求a，b，c的平均数3. 我国宋代数学家秦九韶完成数学巨著《数书九章》，其中有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1533石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷56粒，则这批米内夹谷约为( )A.1365石B.338石C.168石D.134石4. 某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名学生参加演讲比赛，那么下列两个事件是对立事件的是( )A.“至少1名男生”与“至少1名女生”B.“恰好1名男生”与“恰好2名女生”C.“至少1名男生”与“全是男生”D.“至少1名男生”与“全是女生”5. 下列叙述正确的是( )A.互斥事件一定不是对立事件，但是对立事件一定是互斥事件B.若事件A发生的概率为P(A)，则0≤P(A)≤1C.频率是稳定的，概率是随机的D.5张奖券中有一张有奖，甲先抽，乙后抽，那么乙比甲抽到有奖奖券的可能性小6. 恩格尔系数（记为n）是指居民的食物支出占家庭消费总支出的比重．国际上常用恩格尔系数来衡量一个国家和地区人民生活水平的状况．联合国对消费水平的规定标准如表：2018年每个家庭平均消费支出总额为2万元，其中食物消费支出为1.2万元.预测2018年到2020年每个家庭平均消费支出总额每年的增长率约是30%，而食物消费支出平均每年增加0.2万元，预测该山区的家庭2020年将处于( )A.贫困水平B.温饱水平C.小康水平D.富裕水平7. 已知如图程序，若程序执行后输出的结果是11880，则在程序后面的“横线”处应填( )A.i≥9B.i=8C.i≥10D.i≥88. 某学校为了了解本校学生的上学方式，在全校范围内随机抽查部分学生，了解到上学方式主要有：A结伴步行，B自行乘车，C家人接送，D其他方式，并将收集的数据整理绘制成如下两幅不完整的统计图.请根据图中信息，求本次抽查的学生中A类人数是( )A.30B.40C.42D.489. 如图是求12+12+12的程序框图，图中空白框中应填入( )A.A =12+A B.A ＝2+1AC.A =11+2AD.A =1+12A10. 某研究机构在对具有线性相关的两个变量x 和y 进行统计分析时，得到如下数据：由表中数据求得y 关于x 的回归方程为y ̂=0.65x +a ̂，则在这些样本点中任取一点，该点落在回归直线下方的概率为( ) A.25B.35C.34D.1211. 某班统计一次数学测验的平均分与方差，计算完毕以后才发现有位同学的卷子还未登分，只好重算一次．已知原平均分和原方差分别为x ¯，s 2，新平均分和新方差分别为x ¯1，s 12，若此同学的得分恰好为x ¯，则( ) A.x ¯=x ¯1，s 2=s 12 B.x ¯=x ¯1，s 2<s 12C.x ¯=x ¯1，s 2>s 12 D.x ¯<x ¯1，s 2=s 1212. 某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x 在1，2，3⋯，24这24个整数中等可能随机产生．则按程序框图正确编程运行时输出y 的值为3的概率为( )A.1 8B.16C.13D.12二、填空题已知样本数据x1，x2，⋯,x n的平均数为ℎ，样本数据y1，y2，⋯,y m的平均数为k，则把这两组数据合并成一组以后，这组样本的平均数为________.如图为两种商品2019年前三季度销售量的折线统计图，结合统计图，下列说法中正确的有________.①1∼6月，商品B的月销售量都超过商品A.②7月份商品A与商品B的销售量相等.③对于商品B，7∼8月的月销售量增长率与8∼9月的月销售量增长率相同.④2019年前三季度商品A的销量逐月增长.已知某运动员每次投篮命中的概率都为0.5，现采用随机模拟的方法估计该运动员四次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定0，1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9表示不命中；再以每四个随机数为一组，代表四次投篮的结果．经随机模拟产生了20组随机数：据此估计，该运动员四次投篮恰有两次命中的概率为________.利用如下算法框图可以用来估计π的近似值（假设函数CONRND(−1, 1)是产生随机数的函数，它能随机产生区间(−1, 1)内的任何一个实数）．如果输入1000，输出的结果为787，则由此可估计π的近似值为________．（保留四位有效数字）三、解答题为了调查甲、乙两个网站受欢迎的程度，随机选取了14天，统计上午8:00−10:00间各自的点击量：甲：73，24，58，72，64，38，66，70，20，41，55，67，8，25乙：12，37，21，5，54，42，61，45，19，6，71，36，42，14(1)请用茎叶图表示上面的数据．(2)甲网站点击量在[10,40]间的频率是多少？(3)甲、乙两个网站哪个更受欢迎？并说明理由．2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除.某单位老、中、青员工分别有72，108，120人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况.(1)应从老、中、青员工中分别抽取多少人？(2)抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为A,B,C,D,E,F.享受情况如表，其中“O”表示享受，“×”表示不享受.现从这6人中随机抽取2人接受采访.①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；②设M 为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件M 发生的概率.根据题意，补全对应的程序框图．把答案填写在答题卡对应的横线上．(1)如图I 给出的是求分段函数f (x )={ π2x −5,x >0,0，x =0,π2x +3,x <0,值的流程图，请补充完整；(2)如图Ⅱ程序框图是为了求出满足3n −2n >1000的最小偶数n ，请补充完整．节能减排以来，统计南阳市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[160,180)，[180,200)，[200,220)，[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300)分组的频率分布直方图如图．(1)求直方图中x 的值；(2)求月平均用电量的众数和中位数；(3)估计月平均用电量落在[220,300)中的概率是多少？随着互联网经济逐步被人们接受，网上购物的人群越来越多，网银交易额也逐年增加，某地连续五年的网银交易额统计表，如表所示：经研究发现，年份与网银交易额之间呈线性相关关系，为了计算的方便，工作人员将上表的数据进行了处理，t =x −2011,z =y −5，得到如表：(1)求z 关于t 的线性回归方程；(2)通过(1)中的方程，求出y 关于x 的回归方程；(3)用所求回归方程预测2020年该地网银交易额． （附：在线性回归方程y ̂=b ̂x +a ̂中，b ̂=∑x i n i=1y i −nx ¯y¯∑x i 2n i=1−n(x ¯)2=∑(n i=1x i −x ¯)(y i −y ¯)∑(n i=1x i −x ¯)2，a ̂=y ¯−bx ¯)．已知关于实数x 的一元二次方程x 2+2ax +b 2=0(a ，b ∈R ).(1)若a 是从区间[0, 3]中任取的一个整数，b 是从区间[0, 2]中任取的一个整数，求上述方程有实根的概率；(2)若a 是从区间[0, 3]任取的一个实数，b 是从区间[0, 2]任取的一个实数，求上述方程有实根的概率．参考答案与试题解析2021学年河南省南阳市高一（下）期末考试数学试卷一、选择题1.【答案】D【考点】收集数据的方法【解析】此题暂无解析【解答】解：①中，总体数量不多，适合用简单随机抽样；②中，某校高中三个年级共有3000人，其中高一900人、高二1500人、高三600人，总体数量较多且各年级间人数差异较大，适合于分层抽样；③中，总体数量较多且编号有序，适合于系统抽样．故选D.2.【答案】C【考点】算法设计【解析】此题暂无解析【解答】解：根据题意，第一步，是选出a，b中较大的数，记为a，较小的数记为b；第二步，是选出a，c中较大的数，记为a，较小的数记为c，即a为三个数中最大数；第三步，是选出b，c中较大的数记为b，较小的数记为c．第四步，是输出最大数a，中间数b，最小数c．故选C．3.【答案】B【考点】随机抽样和样本估计总体的实际应用简单随机抽样【解析】根据254粒内夹谷28粒，可得比例，即可得出结论．【解答】≈338石.解：由题意，这批米内夹谷约为1533×56254故选B.【答案】D【考点】互斥事件与对立事件【解析】此题暂无解析【解答】解：从3名男生和2名女生中任选2名学生参加演讲比赛，“至少1名男生”与“至少1名女生”不互斥；“至少1名男生”与“全是女生”是对立事件；“至少1名男生”与“全是男生”不互斥；“恰好有1名男生”与“恰好有2名女生”是互斥不对立事件．故选D．5.【答案】B【考点】互斥事件与对立事件概率的基本性质【解析】此题暂无解析【解答】解：对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件，故A不正确；必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，随机事件的概率大于0，小于1，∴任意事件A发生的概率P(A)满足0≤P(A)≤1，故B正确；频率是随机的，在试验前不能确定，随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率，概率是稳定的，故C不正确；5张奖券中有一张有奖，甲先抽，乙后抽，甲抽到有奖奖券的概率为15，乙抽到有奖奖券的概率为45×14=15，故D不正确．故选B．6.【答案】C【考点】根据实际问题选择函数类型【解析】用食品消费支出额除以消费支出总额，求出食品消费支出额是消费总额的百分之几（即n），然后找出所处的范围，从而判断其生活水平．【解答】解：2018年每个家庭平均消费支出总额为2万元，其中食物消费支出为1.2万元，预测2018年到2020年每个家庭平均消费支出总额每年的增长率约是30%，而食物消费支出平均每年增加0.2万元，2020年，消费总额为：2×1.32万元，食物消费支出为：1.6万元；≈0.47，0.4<n≤0.5，可得n= 1.62×1.3预测该山区的家庭2020年将处于小康水平．故选C.7.【答案】A【考点】伪代码（算法语句）【解析】根据输出的结果推出循环体执行的次数，再根据s＝1×12×11×10×9＝11880得到程序的条件是什么．【解答】解：因为输出的结果是11880，即S=1×12×11×10×9，需执行4次，则程序中的“条件”应为i≥9．故选A.8.【答案】A【考点】频率分布直方图随机抽样和样本估计总体的实际应用【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意得：30÷25%=120 (人)，则本次抽查的学生中A类人数为120−42−30−18=30(人).故选A.9.【答案】A【考点】程序框图【解析】模拟程序的运行，由题意，依次写出每次得到的A的值，观察规律即可得解．【解答】解：模拟程序的运行，可得：A=1，k=1；2，k=2；满足条件k≤2，执行循环体，A=12+12，k=3；满足条件k≤2，执行循环体，A=12+12+12此时，不满足条件k≤2，退出循环，输出A的值为1，2+12+12观察A 的取值规律可知图中空白框中应填入A =12+A ． 故选A .10.【答案】A【考点】求解线性回归方程古典概型及其概率计算公式【解析】此题暂无解析【解答】解：x ¯=4+6+8+10+125=8， y ¯=1+2+3+5+65=3.4，故3.4=0.65×8+a ̂，解得：a ̂=−1.8，则y ̂=0.65x −1.8.故5个点中落在回归直线下方的有(6,2),(8,3)，共2个，故所求概率是p =25. 故选A ．11.【答案】C【考点】极差、方差与标准差众数、中位数、平均数【解析】根据平均数和方差的公式计算比较即可．【解答】解：设这个班有n 个同学，数据分别是a 1，a 2，⋯a i ⋯，a n ，第i 个同学没登录，第一次计算时总分是(n −1)x ¯，方差是s 2=1n−1[(a 1−x ¯)2+⋯+(a i−1−x ¯)2+(a i+1−x ¯)2+⋯+(a n −x ¯)2]第二次计算时，x ¯1=(n−1)x ¯+x ¯n =x ¯， 方差s 12=1n [(a 1−x ¯)2+⋯+(a i−1−x ¯)2+(a i+1−x ¯)2+⋯+(a n −x ¯)2]=n−1n s 2， 故s 2>s 12，故选C.12.【答案】B【考点】古典概型及其概率计算公式程序框图【解析】此题暂无解析【解答】解：当x 为奇数时，输出y 的值为1，故P 1=12；当x 为偶数但不能被3整除时，即为2，4，8，10，14，16，20，22时，输出y 的值为2，故P 2=13； 当x 为6的倍数时，即为6，12，18，24时，输出y 的值为3，故P 3=16； ∴ 输出y 的值为1的概率为12；输出y 的值为2的概率为13；输出y 的值为3的概率为16. 故选B.二、填空题【答案】nℎ+mk m +n【考点】众数、中位数、平均数【解析】此题暂无解析【解答】解：∵ 样本数据x 1，x 2，⋯,x n 的平均数为ℎ，y 1，y 2，⋯,y m 的平均数为k ， ∴ 第一组数据的和是nℎ，第二组数据的和是mk .把两组数据合成一组以后，数据的个数是m +n ，所有数据的和是nℎ+mk ，∴ 这组数据的平均数是nℎ+mk m+n ， 故答案为：nℎ+mk m+n .【答案】①②④【考点】频率分布折线图、密度曲线【解析】此题暂无解析【解答】解：由图可知，①1∼6月，商品B 的月销售量曲线在商品A 之上，故①正确； ②7月份商品A 与商品B 的销售量都为13/万份，故②正确；③对于商品B ，7∼8月的月销售量增长率为负，8∼9月的月销售量增长率为0，故③错误；④2019年前三季度商品A 的销量折线呈上升趋势，故④正确.故答案为：①②④.【答案】7【考点】模拟方法估计概率【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意知模拟四次投篮的结果，经随机模拟产生了20组随机数，在20组随机数中表示四次投篮恰有两次命中的有：1918，2716，9325，6832，2573，3937，4882，共7组随机数，∴所求概率为720．故答案为：720．【答案】3.148【考点】几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型）程序框图【解析】根据已知中CONRND(−1, 1)是产生均匀随机数的函数，它能随机产生区间[−1, 1]内的任何一个实数，及已知中的程序框图，我们可分析出程序的功能是利用随机模拟实验的方法求任取[−1, 1]上的两个数A，B，求A2+B2≤1的概率，分别计算出满足A∈[−1, 1]，B∈[−1, 1]和A2+B2≤1对应的平面区域的面积，代入几何概型公式，即可得到答案【解答】解：根据已知中的流程图我们可以得到该程序的功能是利用随机模拟实验的方法求任取(−1, 1)上的两个数A，B，求A2+B2≤1的概率，∵A∈(−1, 1)，B∈(−1, 1)，对应的平面区域面积为：2×2=4，而A2+B2≤1对应的平面区域的面积为：π，故m=π4=7871000，⇒π=3.148.故答案为：3.148．三、解答题【答案】解：(1)作出茎叶图如图所示．(2)甲网站点击量在[10,40]间的频数为4，分别为：24,38,20,25，∴甲网站点击量在[10,40]间的频率为414=27.(3)甲网站的点击量集中在茎叶图的下方，而乙网站的点击量集中在茎叶图的上方．从数据的分布情况来看，甲网站更受欢迎．【考点】频数与频率茎叶图【解析】（1）用茎叶图表示两组数据，首先要先确定“茎”值，再将数据按“茎”值分组分类表示在“叶”的位置．（2）甲网站的点击量集中在茎叶图的下方，而乙网站的点击量集中在茎叶图的上方．从数据的分布情况来看，甲网站更受欢迎．【解答】解：(1)作出茎叶图如图所示．(2)甲网站点击量在[10,40]间的频数为4，分别为：24,38,20,25，∴甲网站点击量在[10,40]间的频率为414=27.(3)甲网站的点击量集中在茎叶图的下方，而乙网站的点击量集中在茎叶图的上方．从数据的分布情况来看，甲网站更受欢迎．【答案】解：(1)由已知，老、中、青员工人数之比为6:9:10，由于采用分层抽样的方法从中抽取25位员工，因此应从老、中、青员工中分别抽取6人，9人，10人.(2)①从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为{A,B},{A,C},{A,D},{A,E},{A,F},{B,C},{B,D},{B,E},{B,F},{C,D},{C,E},{C,F},{D,E},{D,F},{E,F},共15种.②由表格知，符合题意的所有可能结果为{A,B},{A,D},{A,E},{A,F},{B,D},{B,E}{B,F},{C,E},{C,F},{D,F},{E,F},共11种.所以，事件M发生的概率P(M)=11.15【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率分层抽样方法【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)由已知，老、中、青员工人数之比为6:9:10，由于采用分层抽样的方法从中抽取25位员工，因此应从老、中、青员工中分别抽取6人，9人，10人.(2)①从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为{A,B},{A,C},{A,D},{A,E},{A,F},{B,C},{B,D},{B,E},{B,F},{C,D},{C,E},{C,F},{D,E},{D,F},{E,F},共15种.②由表格知，符合题意的所有可能结果为{A,B},{A,D},{A,E},{A,F},{B,D},{B,E}{B,F},{C,E},{C,F},{D,F},{E,F},共11种..所以，事件M发生的概率P(M)=1115【答案】解：(1)补充流程图如图所示：(2)补充程序图如图所示：【考点】程序框图设计程序框图解决实际问题分段函数的应用【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)补充流程图如图所示：(2)补充程序图如图所示：【答案】解：(1)依题意，20×(0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025)=1，解得x=0.0075．(2)由图可知，最高矩形的数据组为[220,240)，∴众数为220+240=230.2∵[160,220)的频率之和为(0.002+0.0095+0.011)×20=0.45，∴依题意，设中位数为y，∴0.45+(y−220)×0.0125=0.5．解得y=224，∴中位数为224．(3)月平均用电量在[220,300)中的概率是p =1−(0.002+0.0095+0.011)×20=0.55.【考点】概率的应用众数、中位数、平均数频率分布直方图【解析】无无无【解答】解：(1)依题意，20×(0.002+0.0095+0.011+0.0125+x +0.005+0.0025)=1， 解得x =0.0075．(2)由图可知，最高矩形的数据组为[220,240)，∴ 众数为220+2402=230.∵[160,220)的频率之和为(0.002+0.0095+0.011)×20=0.45，∴ 依题意，设中位数为y ，∴ 0.45+(y −220)×0.0125=0.5．解得y =224，∴ 中位数为224．(3)月平均用电量在[220,300)中的概率是p =1−(0.002+0.0095+0.011)×20=0.55.【答案】解：(1)t ¯=1+2+3+4+55=3，z ¯=1+2+3+0+55=2.2，∑t i 5i=1z i =45，∑t i 25i=1=55.所以b ̂=45−5×3×2.255−5×9=1.2， a ̂=z ¯−b̂t ¯=2.2−3×1.2=−1.4， ∴ẑ=1.2t −1.4．(2)将t =x −2011，z =y −5，代入z =1.2t −1.4得到，y −5=1.2(x −2011)−1.4 ，即y =1.2x −2409.6．(3)由(2)知，y =1.2x −2409.6，当2020年时，y =1.2×2020−2409.6=14.4 ，所以预测2020年该地网银交易额为14.4亿元．【考点】回归分析的初步应用求解线性回归方程【解析】左侧未给出解答解析．左侧未给出解答解析．左侧未给出解答解析．【解答】解：(1)t ¯=1+2+3+4+55=3，z ¯=1+2+3+0+55=2.2，∑t i 5i=1z i =45，∑t i 25i=1=55.所以b̂=45−5×3×2.255−5×9=1.2， a ̂=z ¯−b̂t ¯=2.2−3×1.2=−1.4， ∴ẑ=1.2t −1.4．(2)将t =x −2011，z =y −5，代入z =1.2t −1.4得到，y −5=1.2(x −2011)−1.4 ，即y =1.2x −2409.6．(3)由(2)知，y =1.2x −2409.6，当2020年时，y =1.2×2020−2409.6=14.4 ，所以预测2020年该地网银交易额为14.4亿元．【答案】解：(1)方程有实根的充要条件为：Δ=(2a)2−4b 2≥0，即a 2≥b 2．基本事件共有12个，其中(0, 0)，(1, 0)，(1, 1)，(2, 0)，(2, 1)，(2, 2)，(3, 0)，(3, 1)，(3, 2)满足条件， 则P =912=34． (2)试验的全部结果构成的区域为{(a, b)|0≤a ≤3, 0≤b ≤2}，满足题意的区域为：{(a, b)|0≤a ≤3, 0≤b ≤2, a ≥b}，所构成的区域为矩形OABC 及其内部，且在直线a =b 的右下方部分，即图中的阴影部分，其面积S=3×2−12×2×2=4．由于点(a, b)落在区域内的每一点是随机的，所以方程有实根的概率是46=23．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型）古典概型及其概率计算公式【解析】由题意可得方程有实根的充要条件为：△=(2a)2−4b2≥0，即a2≥b2．(1)基本事件共有12个，其中(0, 0)，(1, 0)，(1, 1)，(2, 0)，(2, 1)，(2, 2)，(3, 0)，(3, 1)，(3, 2)，代入几何概率的求解公式可求(2)试验的全部结果构成的区域为{(a, b)|0≤a≤3, 0≤b≤2}，满足题意的区域为：{(a, b)|0≤a≤3, 0≤b≤2, a<b}，分别求解区域的面积，可求方程没有实根的概率．【解答】解：(1)方程有实根的充要条件为：Δ=(2a)2−4b2≥0，即a2≥b2．基本事件共有12个，其中(0, 0)，(1, 0)，(1, 1)，(2, 0)，(2, 1)，(2, 2)，(3, 0)，(3, 1)，(3, 2)满足条件，则P=912=34．(2)试验的全部结果构成的区域为{(a, b)|0≤a≤3, 0≤b≤2}，满足题意的区域为：{(a, b)|0≤a≤3, 0≤b≤2, a≥b}，所构成的区域为矩形OABC及其内部，且在直线a=b的右下方部分，即图中的阴影部分，其面积S=3×2−12×2×2=4．由于点(a, b)落在区域内的每一点是随机的，所以方程有实根的概率是46=23．试卷第21页，总21页。
2022-2023学年河南省南阳市高一年级下册学期期末数学试题【含答案】
2022-2023学年河南省南阳市高一下学期期末数学试题一、单选题1．已知复数34i12iz +=-，则z =（）A ．55B ．1C ．5D ．5【答案】C【分析】根据条件，利用复数的运算法则和模长的定义即可求出结果.【详解】因为34i (34i)(1+2i)510i12i 12i (12i)(1+2i)5z ++-+====-+--，所以22(1)25z =-+=.故选：C.2．已知ABC 的边AC 上有一点D ，且满足3CD DA = ，则BD =（）A ．23BC BA-+ B ．2133BC BA +C ．3144BC BA+D ．1344BC BA+【答案】D【分析】利用向量的线性运算可得BD的表示形式.【详解】因为3CD DA =，故()3BD BC BA BD -=- ，整理得到：1344BD BC BA =+ ，故选：D.3．如图，四边形ABCD 的斜二测画法的直观图为等腰梯形A B C D ''''，已知4,2A B C D ''''==，则下列说法正确的是（）A ．2AB =B ．22A D ''=C ．四边形ABCD 的周长为42223++D ．四边形ABCD 的面积为62【答案】D【分析】根据直观图与平面图的联系还原计算各选项即可.【详解】如图过D ¢作DE O B ''⊥，由等腰梯形A B C D ''''可得：A D E ''△是等腰直角三角形，即()1242222A D A E '''==⨯-⨯=,即B 错误；还原平面图为下图，即42,22AB CD AD ===，即A 错误；过C 作CF ⊥AB ，由勾股定理得23CB =，故四边形ABCD 的周长为：42222362223+++=++，即C 错误；四边形ABCD 的面积为：()14222622⨯+⨯=，即D 正确.故选：D 4．已知3sin2a =，3cos 2b =，3tan 2c =，则实数,,a b c 的大小关系是（）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．b c a<<【答案】C 【分析】由π3π322<<，根据正弦函数、余弦函数及正切函数的性质判断即可.【详解】因为π3π322<<，所以3π3πsin sin sin 12322=<<=，即312a <<，1π3πcos cos cos 02322=>>=，即102b <<，3πtantan 323c =>=，所以c a b >>.故选：C5．矩形ABGH 由如图所示三个全等的正方形拼接而成，令,HBG FBG αβ∠=∠=，则βα+=（）A ．π6B ．π4C ．π3D ．π2【答案】B【分析】设出正方形的边长，在Rt BGH △和Rt BEF △中，分别求出sin ,cos αα和sin ,cos ββ，从而可求出cos()αβ+的值，再利用(0,π)αβ+∈即可求出结果.【详解】不妨设正方形的边长为1，则在Rt BGH △中，3,1,10BG GH BH ===，所以31cos ,sin 1010αα==，则在Rt BEF △中，2,1,5BE EF BF ===，所以21cos ,sin 55ββ==，所以321152cos()cos cos sin sin 210510550αβαβαβ+=-=⨯-⨯==，又易知，π,(0,)2αβ∈，所以(0,π)αβ+∈，故π4αβ+=.故选：B.6．如图是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中BH 与底面ABCD 的夹角的余弦值为（）A ．12B ．22C ．33D ．63【答案】D【分析】由展开图得到正方体的直观图，则HBD ∠即为BH 与底面ABCD 的夹角，再由锐角三角函数计算可得.【详解】由展开图可得如下直观图，由正方体的性质可知HD ⊥平面ABCD ，则HBD ∠即为BH 与底面ABCD 的夹角，设正方体的棱长为1，则22112BD =+=，223BH DH BD =+=，所以26cos 33BDHBD BH ∠===，即BH 与底面ABCD 的夹角的余弦值为63.故选：D7．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,,60a b c B =︒且ABC 的面积为3，若6c a +=，则b =（）A ．26B ．5C ．27D ．30【答案】A【分析】利用余弦定理结合面积公式可求b .【详解】因为ABC 的面积为3，故113sin 3222ac B ac =⨯=，故4ac =，又()2222222cos 3361224b a c ac B a c ac a c ac =+-=+-=+-=-=，故26b =，故选：A.8．已知点G 为三角形ABC 的重心，且GA GB GA GB +=-，当C ∠取最大值时，cos C =（）A ．45B ．35C ．25D ．15【答案】A【分析】由题设可得0AG BG ⋅=，结合1()3AG AC AB =+ ，1()3BG BA BC =+ 及余弦定理可得2cos ()5a bC b a=+，根据基本不等式即可求解.【详解】由题意GA GB GA GB +=- ，所以22()()GA GB GA GB +=- ，即222222GA GB GA GB GA GB GA GB ++⋅=+-⋅，所以0GA GB ⋅=uur uuu r ，所以AG BG ⊥，又211()()323AG AC AB AC AB =⨯+=+ ，211()()323BG BA BC BA BC =⨯+=+ ，则11()()()099AG BG AC AB BA BC AC BA AC BC AB BA AB BC ⋅=+⋅+=⋅+⋅+⋅+⋅=，所以2CA CB AC AB BA BC AB ⋅=⋅+⋅+ ，即2cos cos cos ab C bc A ac B c =++，由222cos 2b c a A bc +-=，222cos 2a c b B ac+-=，222cos 2a b c C ab +-=，所以2225a b c +=，所以222244cos ()2555a b c a b a b C ab b a b a +-==+≥⋅=，当且仅当a b =时等号成立，又cos y x =在()0,π上单调递减，()0,πC ∈，所以当C ∠取最大值时，cos C =45.故选：A【点睛】关键点点睛：此题考查向量的数量积运算及余弦定理的应用，解题的关键是结合三角形重心的性质和余弦定理可得2225a b c +=，然后利用基本不等式求解，考查转化思想，属于较难题.二、多选题9．已知不重合的两条直线,m n 和不重合的两个平面,αβ，则下列命题正确的是（）A ．若,,//,//m n m n ααββ⊂⊂，则//αβB ．若,m m αβ⊥⊥，则//αβC ．若,//m n αβ⊥，且m n ⊥，则//αβD ．若,//m n αβ⊥，且//m n ，则αβ⊥【答案】BD【分析】根据面面平行的判定定理可得A 的正误，根据线面垂直的性质定理可得B 的正误，根据面面垂直的判定定理可得D 的正误，根据线面的动态关系可判断C 的正误.【详解】对于A ，当,,//,//m n m n ααββ⊂⊂，且,m n 相交时才有//αβ，故A 错误.对于B ，根据线面垂直的性质定理可得B 正确.对于C ，若,//m n αβ⊥，且m n ⊥，β可绕n 旋转，此时//αβ或,αβ相交，故C 错误.对于D ，因为//n β，故在β中存在一条直线s ，使得//n s ，所以//m s ，所以s α⊥，而s β⊂，故αβ⊥，故D 正确.故选：BD.10．已知复数1z 满足11iiz +=，2=+z x yi ，x ，y ∈R ，1z ，2z 所对应的向量分别为1OZ ，2OZ ，其中O 为坐标原点，则（）A ．1z 的共辄复数为1i-B ．当0x =时，2z 为纯虚数C ．若12OZ OZ ∥，则0x y +=D ．若12OZ OZ ⊥，则1212z z z z +=-【答案】CD【分析】根据复数的除法运算化简复数11i z =-，进而根据共轭复数以及虚部的定义可判断A ，B,根据复数的几何意义以及向量的垂直平行坐标满足的关系，即可判断C ，结合复数模长公式即可判断D.【详解】A 选项：由于11i1i iz +==-，所以1z 的共轭复数为1i +，故选项A 错误，,B 选项：当当0x =时，2i z y =，若0y =，则2z 为为实数，故选项B 错误；C 选项：易知()11,1OZ =- ，()2,OZ x y = ，又12//OZ OZ ，则11x y=-，即0x y +=，故选项C 正确;D 选项：由于12OZ OZ ⊥，则0x y -=，()()()()()2222222121i i 111121z z x y x y x x x +=-++=++-=++-=+，()()()()()2222222121i i 111121z z x y x y x x x -=---=-++=-++=+，故1212z z z z +=-，选项D 正确．故选：CD.11．《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”，四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”，如图在堑堵111ABC A B C -中，AC ⊥BC ，且12AA AB ==．下列说法正确的是（）A ．四棱锥11B A ACC -为“阳马”B ．四面体1A ACB 的顶点都在同一个球面上，且球的表面积为8πC ．四棱锥11B A ACC -体积最大值为23D ．四面体11AC CB 为“鳖臑”【答案】ABD【分析】根据“阳马”和“鳖臑”的定义，可判断A ，D 的正误；当且仅当AC BC =时，四棱锥11B A ACC -体积有最大值，求值可判断C 的正误；根据题意找到四面体1A ACB 的外接球的球心位置，求出外接球半径，利用球的表面积公式即可得到判断B.【详解】底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”，∴在堑堵111ABC A B C -中，AC BC ⊥，侧棱1AA ⊥平面ABC ，对A 选项，∴1AA BC ⊥，又AC BC ⊥，且1AA AC A = ，则BC ⊥平面11A ACC ，∴四棱锥11B A ACC -为“阳马”，对；对C 选项，在底面有2242AC BC AC BC =+≥⋅，即2AC BC ⋅≤，当且仅当2AC BC ==时取等号，1111111243333B A ACC A ACC V S BC AA AC BC AC BC -=⨯=⨯⨯=⨯≤，故C 错误；对D 选项，由AC BC ⊥，即11AC BC ⊥，又111AC C C ⊥且1BC C C C ⋂=，1,BC C C ⊂平面11BB C C ，∴11A C ⊥平面11BB C C ，1BC ⊂ 平面11BB C C ,∴111AC BC ⊥，则11A BC V 为直角三角形，又由BC ⊥平面11AAC C ，1AC ⊂平面11AAC C ，BC ∴⊥1AC ，则1A BC 为直角三角形，由“堑堵”的定义可得11AC C 为直角三角形，1CC B 为直角三角形．∴四面体11AC CB 为“鳖臑”，故D 正确；对B 选项，由C 知1A BC 为直角三角形，侧棱1AA ⊥平面ABC ，则易知1A AB △,1A AC △为直角三角形，而ABC 为直角三角形，则外接球球心O 位于1A B 的中点，则外接球半径2211122222R A B ==⨯+=，则球的表面积为()224428R πππ=⨯=，故B 正确.故选：ABD ．12．已知函数()()*sin cos ,N n n n f x x x n =+∈，则下列说法正确的是（）A ．()1f x 在区间ππ,34⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增B ．若()122f x =，则()3328f x =C ．()4f x 的最小正周期为π2D ．()4f x 的图象可以由函数()1sin44g x x =的图象先向左平移π8个单位，再向上平移34个单位得到【答案】ACD【分析】A.由()1πsin cos 2sin 4f x x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，利用这些函数的性质判断；B.由()()()223sin cos sin sin cos cos f x x x x x x x =+-+()()2sin cos 1sin cos 12x x x x ⎛⎫+- ⎪=+- ⎪⎝⎭求解判断；C.由()()24422224sin cos sin cos 2sin cos f x x x x x x x=+=+-⋅31cos 444x =+判断；D.由函数()1sin44g x x =利用平移变换和伸缩变换判断.【详解】A.()1πsin cos 2sin 4f x x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，因为ππ,34x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，所以πππ,4122x ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，又sin y x =在ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上递增，故正确；B.由()12sin cos 2f x x x =+=，则()()()223sin cos sin sin cos cos f x x x x x x x =+-+，()()2sin cos 1sin cos 12x x x x ⎛⎫+- ⎪=+-⎪⎝⎭，22122521228⎛⎫⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，故错误；C.()()24422224sin cos sin cos 2sin cos f x x x x x x x=+=+-⋅，()()222222131sin cos 2sin cos 1sin2cos 4244x xx x x x =+-⋅=-=+，则2ππ42T ==，故正确；D.由函数()1sin44g x x =的图象先向左平移π8个单位得到1π1π1sin 4sin 4cos 448424y x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，再向上平移34个单位得到31cos 444y x =+，故正确，故选：ACD三、填空题13．已知角θ的顶点在坐标原点，始边在x 轴非负半轴，终边经过点()1,3P ，则2sin sin cos θθθ=+.【答案】32/1.5【分析】根据三角函数的定义，利用条件求出tan 3θ=，再利用齐次式即可求出结果.【详解】因为角θ的终边经过点()1,3P ，所以tan 3θ=，所以2sin 2tan 233sin cos tan 1312θθθθθ⨯===+++，故答案为：32.14．已知向量()()3,3,1,1a b ==-，若()()a b a b λλ+⊥- ，则实数λ=.【答案】3±【分析】利用向量垂直与数量积间的关系，得到2220a b λ-= ，再根据条件即可求出结果.【详解】因为()()a b a b λλ+⊥- ，所以()()2220a b a b a b λλλ+⋅-=-= ，又()()3,3,1,1a b ==-，所以21820λ-=，解得3λ=±.故答案为：3±.15．若四面体各棱的长是1或2，且该四面体不是正四面体，则其体积是（只需写出一个可能的值）【答案】116或1412或1112(写出其中一个即可)【分析】考虑一条边为1，两条边为1，三条边为1三种情况，如图所示，分别利用体积公式，和利用长方体体积减去四个三棱锥的体积，计算得到答案.【详解】一条边为1，其余边为2时，如图1，不妨设1AD =，BC 中点为E ，连接,AE DE ，作DH AE ⊥于H ，易知BC DE ⊥，BC AE ⊥，AE DE E = ，故BC ⊥平面DEA ，DH ⊂平面DEA ，故DH BC ⊥，又DH AE ⊥，BC AE E = ，故DH ⊥平面ABC ，易知3DE AE ==，3315cos 6233DEA +-∠==⨯，故25333sin 3166DH DEA ⎛⎫=⨯∠=⨯-= ⎪⎝⎭，11133112333266ABC V S DH =⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=△.当有两条边为1时，只能时对边为1，如图2，不妨设1AD BC ==设对应长方体的长宽高分别为：,,a b c ，则222222441a b b c c a ⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩，解得2214222a b c ⎧=⎪⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎪⎩，故22141122141442223222212V =⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯=.当有三条边为1时，只能是底边三条边为1，如图3所示，E 是BC 中点，连接AE ，故DH AE ⊥于H ，易知BC DE ⊥，BC AE ⊥，AE DE E = ，故BC ⊥平面DEA ，DH ⊂平面DEA ，故DH BC ⊥，又DH AE ⊥，BC AE E = ，故DH ⊥平面ABC ，易知152DE =，32AE =，1534544cos 15153222DEA +-∠==⨯⨯，故21515533sin 122153DH DEA ⎛⎫=⨯∠=⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭，1113331113322312ABC V S DH =⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=△.其他情况不满足.故答案为：116或1412或1112(写出其中一个即可)四、双空题16．如图所示，有一块三角形的空地，已知7,4212ABC BC π∠==千米，AB ＝4千米，则∠ACB ＝；现要在空地中修建一个三角形的绿化区域，其三个顶点为B ，D ，E ，其中D ，E 为AC边上的点，若使6DBE π∠=，则BD ＋BE 最小值为平方千米．【答案】6π/30︒8(31)-【分析】在ABC 中，利用余弦定理求得22(13)AC =+，再由正弦定理求解；设5π012CBD θθ⎡⎤∠=∈⎢⎥⎣⎦，，，分别在BCD △，BCE 中，利用正弦定理分别求得BD ，BE ，再由42(31)(sin cos )34sin cos BD BE θθθθ+++=+；令sin cos [12]t t θθ=+∈，，，转化为242(31)()2(23)t BD BE f t t ++==--42(31)(23)2t t+=--求解.【详解】在ABC 中，由余弦定理得()2222··cos 1632AC AB BC AB BC ABC =+-∠=+，28(423)8(13)=+=+，则22(13)AC =+，根据正弦定理有7πsin sin 12AC ABACB=∠，所以1πsin 022ACB ACB ⎛⎫∠=∠∈ ⎪⎝⎭，，，π6ACB ∠=∴；设5π012CBD θθ⎡⎤∠=∈⎢⎥⎣⎦，，，则5π2π63BDC BEC θθ∠=-∠=-，，在BCD △中，由正弦定理得πsin sin 6BC BD BDC ==∠ 225πsin 6θ⎛⎫- ⎪⎝⎭，在BCE 中，由正弦定理得π22·sin 2πsin 6sin 3BC BE BEC θ==∠⎛⎫- ⎪⎝⎭，则1142(31)(sin cos )22313134sin cos sin cos cos sin 2222BD BE θθθθθθθθ⎛⎫⎪++ ⎪+=+=+ ⎪++ ⎪⎝⎭；令sin cos [12]t t θθ=+∈，，，则21sin cos 2t θθ-=，则242(31)()2(23)t BD BE f t t ++==--42(31)(23)2t t+=--，易知分母(23)()20g t t t-=->，且是一个单调递增的函数，则()f t 是一个单调递减的函数，当2t =时，()f t 有最小值，min 8(31)()8(31)23f t +==-+．故答案为：π6；8(31)-.五、解答题17．（1）在①8z z +=-，②z 为纯虚数，③z 为非零实数这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并对其求解.已知复数()()222334i(i z m m m m =--+--为虚数单位)，若__________，求实数m 的值.注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答给分.（2）已知1i x =-是关于x 的实系数一元二次方程20x ax b ++=的一个根，求,a b 的值.【答案】（1）答案见解析；（2）2,2a b =-=【分析】（1）由复数的类型以及运算，列出关系式，从而得出实数m 的值；（2）将1i x =-代入方程求得,a b .【详解】选条件①：因为()()222334i z m m m m =-----，又8z z +=-，所以，()22238m m --=-，解得1m =.选条件②：z 为纯虚数22230340m m m m ⎧--=∴⎨--≠⎩，解得 3.m =选条件③：z 为非零实数，22230340m m m m ⎧--≠∴⎨--=⎩，解得4m =.（2）因为1i x =-为实系数一元二次方程：20x ax b ++=的一个根，()2(1i)1i 0a b ∴-+-+=，即(2)i 0a b a +-+=，所以020a b a +=⎧⎨+=⎩，解得，2,2a b =-=.18．已知,a b是同一平面内的两个向量，其中()()1,2,,1a b λ== .(1)当1λ=时，求a 与b的夹角的余弦值；(2)若2a b + 与22a b -共线，求实数λ的值.【答案】(1)31010(2)12【分析】（1）由两向量余弦的夹角公式，根据条件，利用数量积的坐标运算和模长公式即可求出结果；（2）根据条件，先求2a b + 与22a b -的坐标，再利用共线的坐标运算即可求出结果.【详解】（1）当1λ=时，()1,1b =，又()1,2a =，所以12310cos ,1025a b a b a b⋅+===⨯⋅.（2）因为()()1,2,,1a b λ== ，所以2(12,4)a b λ+=+，22(22,2)a b λ-=- ，又2a b +与22a b - 共线，所以(12)24(22)0λλ+⨯-⨯-=，解得12λ=.19．如图，在圆锥PO 中，已知2,PO O = 的直径2AB =，点C 是 AB 的中点，点D 为AC 的中点.(1)证明：平面POD ⊥平面PAC ；(2)求二面角B AC P --的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)55【分析】（1）由圆锥的性质可得PO AC ⊥，由圆的性质可得AC OD ⊥，由线面垂直的判定定理可得AC ⊥平面POD ，再由面面垂直的判定定理可证得结论；（2）利用（1）条件得到PDO ∠是二面角B AC P --的平面角，再利用条件求出Rt POD 的三边长即可求出结果.【详解】（1）连接OC ，因为OA OC =,D 为的AC 中点，所以AC OD ⊥.又PO ⊥底面O ，AC ⊂底面O ，所以PO AC ⊥，又OD PO O = ，,PO OD ⊂面POD ，所以AC ⊥平面POD ，又AC ⊂平面PAC ，所以平面POD ⊥平面PAC ．（2）由（1）知AC ⊥平面POD ，,OD PD ⊂面POD ，所以,AC OD AC PD ⊥⊥，故PDO ∠是二面角B AC P --的平面角，在Rt POD 中，2PO =，又点C 是 AB 的中点，点D 为AC 的中点，所以1222OD BC ==，故110222PD =+=，所以252cos 5102OD PDO PD ∠===，即二面角B AC P --的余弦值为55.20．已知锐角ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，向量()sin ,cos m A A =，()2sin cos ,sin n B C C =-- ，且m n ⊥ .(1)求角A 的值；(2)若2b =，求ABC 周长的取值范围.【答案】(1)π6A =(2)()33,223++【分析】（1）利用向量垂直的坐标形式结合三角变换可得1sin 2A =，故可求π6A =.（2）利用正弦定理结合三角变换公式可得13tan2a c B +=+，据此可求周长的取值范围.【详解】（1）因为m n ⊥，故()()sin 2sin cos cos sin 0A B C A C -+-=，整理得到：2sin sin sin cos cos sin 0A B A C A C --=，故2sin sin sin A B B =，而π0,2B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故sin 0B >，所以1sin 2A =，而π0,2A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故π6A =.（2）22(sin sin )(sin sin )sin a c R A C A C B+=+=+215π2113sin()cos sin sin 26sin 222B B B B B ⎛⎫⎡⎤=+-=++ ⎪⎢⎥ ⎪⎣⎦⎝⎭1cos 133sin tan 2B B B +=+=+,因为ABC 为锐角三角形，故π025ππ062B B ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，故ππ32B <<，所以ππ624B <<，故3tan 132B <<，所以3123a c +<+<，故周长的取值范围为()33,223++.21．如图是一个以111A B C △为底面的正三棱柱被一平面所截得的几何体，截面为ABC .已知1114,2,3AA BB CC ===.(1)在边AB 上是否存在一点O ，使得//OC 平面111A B C 若存在，求出AOOB的值；若不存在，请说明理由；(2)若112A B =，求几何体111A B C ABC -的体积.【答案】(1)存在，此时1AOOB=，理由见解析(2)33【分析】（1）取AB 的中点O ，连接OC ，作1//OD AA 交11A B 于点D ，连接1C D ，从而得到四边形1ODC C 为平行四边形，即可得到1//OC C D ，从而得证；（2）将几何体转化为一个四棱锥和正三棱柱的体积进行计算.【详解】（1）存在，此时1AOOB=，如图，取AB 的中点O ，连接OC ，作1//OD AA 交11A B 于点D ，连接1C D ，则11////OD BB CC ，因为O 是AB 的中点，所以OD 为梯形11AA B B 的中位线，所以()111132OD BB AA CC =+==，所以四边形1ODC C 为平行四边形，所以1//OC C D ，又1C D ⊂平面111A B C ，OC ⊄平面111A B C ，所以//OC 平面111A B C ，即在边AB 上是存在一点O ，使得//OC 平面111A B C 且1AOOB=.（2）如图在1AA 上取点D 使得112A D BB ==，在1CC 上取点E 使得112C E BB ==，连接BD 、DE 、BE ，则三棱柱111DBE A B C -为正三棱柱，取DE 的中点F ，连接BF ，取11A C 的中点G ，连接1B G ，则BF DE ⊥，111B G A C ⊥，又平面BDE ⊥平面11ACC A ，平面BDE ⋂平面11ACC A DE =，BF ⊂平面BDE ，所以BF ⊥平面11ACC A ，又22213BF =-=，11112332A B C S =⨯⨯=!，()12232ADEC S +⨯==，所以13333B ADEC V -=⨯⨯=，111111123DBE C A C B B A V S AD -⋅== ，所以11111133A B C ABC B ADEC BE A D B C V V V ---+==.22．已知函数()π4sin cos 33f x x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.将函数()f x 的图象上所有点的横坐标变为原来的23，纵坐标不变，再将所得函数图象向右平移π18个单位长度，得到函数()g x 的图象.(1)求函数()f x 在区间[π4-，π6]上的单调递减区间；(2)若对于()()20303π,,x g x mg x ⎡⎤∀∈--≤⎢⎥⎣⎦恒成立，求实数m 的范围.【答案】(1)ππ,126⎡⎤⎢⎥⎣⎦(2)1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】（1）利用辅助角公式可将()f x 化为π2sin 23x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，因x ∈[π4-，π6]，则22,πππ363x ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，后由sin y x =在π2π,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调递减区间可得答案；（2）由题可得()236πsin g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，后利用sin y x =在π7π,66⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调性可得()[]1,2g x ∈-.方法1：令()12,g x t ⎡⎤=∈-⎣⎦，则()()20303π,,x g x mg x ⎡⎤∀∈--≤⎢⎥⎣⎦等价于12,t ⎡⎤∀∈-⎣⎦，230t mt --≤，后分)(10002,,,,t t t ⎡⎤∈-=∈⎣⎦三种情况，利用分离参数结合函数3=-y t t单调性可得答案；方法2：令()12,g x t ⎡⎤=∈-⎣⎦，则()()20303π,,x g x mg x ⎡⎤∀∈--≤⎢⎥⎣⎦等价于12,t ⎡⎤∀∈-⎣⎦，()230h t t mt =--≤，则()()2010h h ⎧≤⎪⎨-≤⎪⎩，即可得答案.【详解】（1）()134343322πsin cos sin cos sin f x x x x x x⎛⎫⎛⎫=++=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()23123232223πsin cos sin cos sin x x x x x ⎛⎫=--+=+=+ ⎪⎝⎭.因x ∈[π4-，π6]，则22,πππ363x ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，又sin y x =分别在πππ2π,,,6223⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦上单调递增和递减，则22323126πππππ,,x ⎡⎤⎡⎤+∈⇒⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，即函数()f x 在区间[π4-，π6]上的单调递减区间为ππ,126⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）函数()f x 的图象上所有点的横坐标变为原来的23，纵坐标不变，所得解析式为32223233ππsin sin x x ⎛⎫⎛⎫⋅+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又将所得函数图象向右平移π18个单位长度，解析式为23231836πππsin sin x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+=+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦，则()236πsin g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.因π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则73666πππ,x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦.又sin y x =在ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在π7π,26⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则13162πsin ,x ⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故()23126πsin ,g x x ⎛⎫⎡⎤=+∈- ⎪⎣⎦⎝⎭.方法1：令()12,g x t ⎡⎤=∈-⎣⎦，则()()20303π,,x g x mg x ⎡⎤∀∈--≤⎢⎥⎣⎦等价于12,t ⎡⎤∀∈-⎣⎦，230t mt --≤.当0=t 时，23030t mt --≤⇔-≤，则此时m 可取任意值；当(]0,2t ∈时，23330max t mt m t m t t t ⎛⎫--≤⇔≥-⇒≥- ⎪⎝⎭，注意到函数1,y x y x ==-均在(]0,2上单调递增，则函数1y t t=-在(]0,2上单调递增，则33112222max t m t ⎛⎫-=-=⇒≥ ⎪⎝⎭；当[)1,0t ∈-时，23330min t mt m t m t t t ⎛⎫--≤⇔≤-⇒≤- ⎪⎝⎭，注意到函数1,y x y x ==-均在[)1,0-上单调递增，则函数1y t t=-在[)1,0-上单调递增，则331221mint m t ⎛⎫-=--=⇒≤ ⎪-⎝⎭；综上可得：122m ≤≤.方法2：令()12,g x t ⎡⎤=∈-⎣⎦，则()()20303π,,x g x mg x ⎡⎤∀∈--≤⎢⎥⎣⎦等价于12,t ⎡⎤∀∈-⎣⎦，()()()21013030204230h m h t t mt h m ⎧-≤+-≤⎧⎪=--≤⇒⇒⎨⎨≤--≤⎪⎩⎩.则122m ≤≤.【点睛】关键点点睛：本题涉及求正弦型函数的单调区间及恒成立问题，难度较大.（1）问较为基础，（2）问为恒成立问题，方法1转化为最值问题，方法2利用二次函数观点解决问题.。
河南省南阳市高一下学期数学期末考试试卷
河南省南阳市高一下学期数学期末考试试卷姓名:________班级:________成绩:________一、 单选题 (共 12 题；共 24 分)1. （2 分） 一个体积为 12 的正三棱柱（即底面为正三角形，侧棱垂直于底面的三棱柱）的三视图如图所 示，则这个三棱柱的侧视图的面积为（ ）A . 12 B.8C.D.2. （2 分） 直线 x﹣y+1=0 的倾斜角的大小为（ ）A . 30°B . 60°C . 120°D . 150°3. （2 分） 直线 l：2x﹣2y+1=0 的倾斜角为（ ）A . 30°B . 45°C . 60°第 1 页 共 12 页D . 90° 4. （2 分） 某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是个半圆，则该几何体的表面积为（ ）A. B. C. D. 5. （2 分） 已知两圆的方程是 x2+y2=1 和 x2+y2﹣6x﹣8y+9=0，那么这两个圆的公切线的条数是（ ） A.4 B.3 C.2 D.1 6. （2 分） (2016·新课标Ⅲ卷文) 在△ABC 中，B= ，BC 边上的高等于 BC，则 sinA=（ ） A. B. C. D.第 2 页 共 12 页7. （2 分） (2017·诸暨模拟) 已知三棱锥 A﹣BCD 的所有棱长都相等，若 AB 与平面 α 所成角等于 平面 ACD 与平面 α 所成角的正弦值的取值范围是（ ），则A.[，]B.[，1]C.[ ﹣ ， + ]D . [ ﹣ ，1] 8. （2 分） 直线 x+y+1=0 的倾斜角和在 y 轴上的截距分别为（ ）A . 135°，﹣1B . 135°，1C . 45°，﹣1D . 45°，19. （2 分） (2019 高二下·上海月考) 已知直线 、 ，平面 、 ，给出下列命题：①若，，且，则②若，，且，则③若，，且，则④若，，且，则其中正确的命题是（ ）A . ①③B . ②④C . ③④D.①第 3 页 共 12 页10. （2 分） 如图，在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中，AB=AA1=2，M、N 分别是 BB1 和 B1C1 的中点，则直线 AM 与 CN 所成角的余弦值等于（ ）A. B. C. D. 11. （2 分） 在长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，底面是边长为 2 的正方形，高为 4，则点 A1 到截面 AB1D1 的距离 是（ ） A. B. C. D. 12. （2 分） 如图,在 Rt△ABC 中,∠B=90°,D 是 AB 上一点,且 AD=2DB,以 D 为圆心,DB 为半径的圆与 AC 相切, 则 sin A 等于（ ）第 4 页 共 12 页A. B. C.D.二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)13. （1 分） (2018 高二上·台州月考) 若动点 在直线上，动点 在直线上，记线段 的中点为，则点 的轨迹方程为________，的最小值为________.14. （1 分） 已知直线 y=kx+2k+1，则直线恒经过的定点________15. （1 分） (2019 高二上·四川期中) 两圆，则公共弦所在的直线的方程是________.（结果用一般式表示）相交于 ， 两点，16. （1 分） (2017 高一下·保定期中) P 为△ABC 所在平面外一点，平面 α∥平面 ABC，α 分别交线段 PA、PB、PC 于 A1、B1、C1 ， 若 PA1：A1A=2：3，则=________．三、 解答题 (共 6 题；共 65 分)17. （10 分） (2018 高一上·湘东月考) 已知圆 :，直线 ：．（1） 设点 的面积的最小值；是直线 上的一动点，过 点作圆 的两条切线，切点分别为，求四边形（2） 过 作直线 的垂线交圆 于 的两个不同点，且满足：点， 为 关于 轴的对称点，若，试证明直线的斜率为定值．是圆 上异于18. （10 分） (2018 高一上·珠海期末) 如图，是平面四边形的对角线，，，且.现在沿 所在的直线把折起来，使平面平面，如图.第 5 页 共 12 页（1） 求证：平面；（2） 求点 到平面的距离.19. （10 分） (2016 高二上·苏州期中) 已知圆 C 和 y 轴相切，圆心在直线 x﹣3y=0 上，且被直线 y=x 截得的弦长为，求圆 C 的方程．20. （10 分） (2018·枣庄模拟) 如图，四棱锥平面， 为 的中点，，中，底面 ，是平行四边形，且平面 ．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求证：平面平面．21. （10 分） (2018·衡水模拟) 已知圆与直线（1） 若直线与圆 交于两点，求；（2） 设圆 与 轴的负半轴的交点为 ，过点 作两条斜率分别为第 6 页 共 12 页相切.的直线交圆 于两点，且，试证明直线 恒过一定点，并求出该定点的坐标.22. （15 分） (2019 高一上·哈尔滨月考) 已知（1） 求函数 （2） 若函数的定义域 的最小值为，求实数 的值第 7 页 共 12 页一、 单选题 (共 12 题；共 24 分)1-1、 2-1、 3-1、 4-1、 5-1、 6-1、 7-1、 8-1、 9-1、 10-1、 11-1、 12-1、二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)参考答案13-1、 14-1、 15-1、第 8 页 共 12 页16-1、三、 解答题 (共 6 题；共 65 分)17-1、17-2、18-1、 18-2、第 9 页 共 12 页19-1、第 10 页 共 12 页20-1、21-1、21-2、22-1、22-2、。
南阳六校2024届数学高一下期末质量检测模拟试题含解析
南阳六校2024届数学高一下期末质量检测模拟试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符． 4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．用斜二测画法画一个边长为2的正三角形的直观图，则直观图的面积是：A ．2B ．4C ．4D ．22．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若22()6c a b =-+，3C π=，则ABC 的面积是（ ）A B ．2C ．2D ．3．已知cos 4θ=，且,02πθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则tan 4πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A ．7-B ．7C ．17-D ．174．平面向量a 与b 的夹角为60，(2,0)a =，||1b =，则|2|a b +=A B ．12C ．4D ．5．在△ABC 中，已知9,sin cos sin ,6ABC AB AC B A C S ∆⋅==⋅=，P 为线段AB上的点，且,||||CA CBCP x y xy CA CB =⋅+⋅则的最大值为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 6．下列命题正确的是（ ）A ．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱．B ．有两个面平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱．C ．绕直角三角形的一边旋转所形成的几何体叫圆锥．D ．用一个面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台． 7．已知函数()()sin 2f x x ϕ=+的图像关于直线3x π=对称，则ϕ可能取值是( ).A ．2π B ．12π-C ．6π D ．6π-8．我国魏晋时期的数学家刘徽，创立了用圆内接正多边形面积无限逼近圆面积的方法，称为“割圆术”，为圆周率的研究提供了科学的方法.在半径为1的圆内任取一点，则该点取自圆内接正十二边形外的概率为 A ．3πB ．31π-C ．3πD ．31π-9．已知椭圆C 的方程为22218x y m +=(0m >)，如果直线22y x =与椭圆的一个交点M 在x 轴上的射影恰好是椭圆的右焦点F ，则m 的值为（）A ．2B ．22C ．4D ．810．如图所示是正方体的平面展开图，在这个正方体中CN 与BM 所成角为（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
河南省南阳市16—17学年下学期高一期末考试数学试题(扫描版)(附答案)
高一数学期末参考答案一、选择题1-5 CBAAD 6-10 BDCBC 11-12 AD二、填空题 13. 43- 14. 3 15. ①③ 16. 21-三、解答题17.解：（1）由已知得，0)()32(1=-++x x x ，解得，3=x 或1-=x ， 因为N x ∈，所以3=x . ……………5分 （2）若//a b ，则()()1230x x x ⋅--⋅+=，所以0x =或2x =-，因为N x ∈，所以0=x .()2,0a b -=-，2a b -=. ……………10分18.解：（1）cos cos (tan )()cos tan cos f ααααααα-==- ………3分（2）000186********α=-=-⨯+00()(1860)cos(1860)f f α∴=-=--0001cos(6360300)cos 602=--⨯+=-=-………7分 （3）1sin()cos()2636πππααα∈-=∴-=（0，）,()cos cos[()]cos()cos sin()sin 66666611132326f ππππππααααα∴=-=--+=--+--=-⋅+⋅=………12分19.解：（1）由直方图知：(200.015300.015400.025500.02600.015700.01)1043.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=∴这60人的平均月收入约为43.5百元. ………4分（2）根据频率分布直方图和统计图表可知[65，75）的人数为0.01×10×60＝6人，其中2人赞成，4人不赞成 记赞成的人为x ，y ，不赞成的人为a ，b ，c ，d任取2人的情况分别是：xy ，xa ，xb ，xc ，xd ，ya ，yb ，yc ，yd ，ab ，ac ，ad ，bc ，bd ，cd 共15种情况其中2人都不赞成的是：ab ，ac ，ad ，bc ，bd ，cd 共6种情况 ∴2人都不赞成的概率是：P ＝62155=. ………12分20.解：（1）()1cos 232sin 22226x f x x x π+⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭． ∵,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，∴52,666x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦所以，2626πππ≤+≤-x ，即66ππ≤≤-x 时，()y f x =增，65622πππ≤+≤x ，即36ππ≤≤x 时，()y f x =减， ∴函数()y f x =在]6,6[ππ-上增，在]3,6[ππ上减. ………6分 （2）2)6)122(2sin()(++-=ππωx x g 2)sin(+=x ω 要使g （x ）在]6,32[ππ-上增，只需322πωπ-≤-，即43≤ω 所以ω的最大值为43. ………12分21.解：（1）依题意可知z 的最大值为6，最小为﹣2， ∴⇒；∵op 每秒钟内所转过的角为，得z=4sin，当t=0时，z=0，得sinφ=﹣，即φ=﹣，故所求的函数关系式为z=4sin +2 ………6分（2）令z=4sin +2=6，得sin=1，取，得t=4，故点P 第一次到达最高点大约需要4s ． ………12分22.解：（1）f （x ）=====（）=．由题意可知，f （x ）的最小正周期T=π，∴， 又∵ω＞0， ∴ω=1，∴f （x ）=．∴=． ………4分（2）由f （x ）﹣m ≤0得，f （x ）≤m ， ∴m≥f （x ）max ，∵﹣，∴，∴，∴﹣≤， 即f （x ）max =，∴43≥m 所以),43[+∞∈m ………8分 （3）原方程可化为1)32sin(23334+=+⋅m x π即1)32sin(2+=+m x π20π≤≤x画出)32sin(2π+=x y 20π≤≤x 的草图x=0时，y=2sin3π=，y 的最大值为2， ∴要使方程在x ∈[0，2π]上有两个不同的解，1＜2， 1≤m ＜1． 所以)1,13[-∈m ………12分。
2022-2023学年河南省南阳市六校高一年级下册学期期末考试数学试题【含答案】
2022-2023学年河南省南阳市六校高一下学期期末考试数学试题一、单选题1．已知O 的半径为2，弦AB 的长等于半径，则劣弧 AB 的长为（）A ．π3B ．π2C ．2π3D ．π【答案】C【分析】由弦长可确定 AB 所对圆心角，代入扇形弧长公式即可.【详解】 弦AB 的长等于半径， AB ∴所对的圆心角为π3， AB ∴的长为π2π233⨯=.故选：C.2．复数4i13iz =-在复平面内对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【分析】利用复数的四则运算进行化简，从而得出对应点的坐标即可.【详解】()4i 13i4i 3i 413iz +===-+-，故对应点的坐标为()3,1-，在第二象限.故选：B3．已知0πα<<，且6sin cos 3αα+=，则sin cos αα-=（）A ．33B ．233C ．66D ．63【答案】B【分析】根据题意，求得12sin cos 03αα=-<，得到sin 0,cos 0αα><，结合三角函数的基本关系式，即可求解.【详解】由6sin cos 3αα+=，平方可得()22sin cos 12sin cos 3αααα+=+=，可得12sin cos 03αα=-<，因为0πα<<，所以sin 0,cos 0αα><，所以sin cos 0αα->，又由()24sin cos 12sin cos 3αααα-=-=，所以23sin cos 3αα-=.故选：B.4．如图，一个水平放置的平行四边形ABCD 的斜二测画法的直观图为矩形A B C D ''''，若4A B ''=，3B C ''=，则在原平行四边形ABCD 中，AD =（）A ．3B ．32C ．62D ．9【答案】D【分析】根据斜二测画法规则把直观图还原为原图形即可求解.【详解】在直观图A B C D ''''中，4A B ''=，3B C ''=，则3D E ''=，32A E ''=，把直观图还原为原图，如图，则根据斜二测画法规则得3DE =，62AE =，所以229AD DE AE =+=.故选：D.5．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若21cos 2cos 22A A -=且b c =，则B =（）A ．π3B ．π4C ．π6D ．π12【答案】A【分析】利用降幂公式和二倍角公式进行化简，求出A 的值后即可求B .【详解】21cos 2cos22A A -=，()212cos 11+cos 22A A --∴=，21+cos 22cos A A =-，()()2cos 1cos 10A A -+=，在△ABC 中，()0,π,cos 1A A ∈≠-.1πcos ,,23A A ==b c = ,()1ππ23B C A ==-=.故选：A.6．将函数()()π2sin 22f x x θθ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭图象上各点的横坐标缩小为原来的12，再将所得图象向右平移π6个单位长度得到一个偶函数()g x 的图象，则()f x 的零点为（）A ．()ππ62k k -+∈Z B ．()ππ64k k -+∈Z C ．()ππ122k k -+∈Z D ．()ππ124k k -+∈Z 【答案】C【分析】由图象变换可得()2π2sin 43g x x θ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，根据题意结合诱导公式可得π6θ=-，以π26x +为整体，结合正弦函数求零点.【详解】将函数()f x 图象上各点的横坐标缩小为原来的12，得到()2sin 4y x θ=-，再将所得图象向右平移π6个单位长度，得到()π2π2sin 42sin 463g x x x θθ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，因为()g x 为偶函数，则()1112πππ21π,322k k k θ+=+=+∈Z ，解得11ππ,6k k θ=-∈Z ，又因为ππ,22θ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则1π0,6k θ==-，所以()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令π2π,6x k k +=∈Z ，解得ππ,122k x k =-+∈Z ，即()f x 的零点为()ππ122k k -+∈Z .故选：C.7．已知某正四棱台上底面的边长为22，下底面的边长为42，外接球的表面积为80π，则该正四棱台的体积为（）A ．224B ．112C ．224或2243D ．112或1123【答案】D【分析】确定上底面和下底面的中心，连接两个中心MN ，分球心在线段MN 上和延长线上两种情况考虑，利用勾股定理可求出正四棱台的高，近一步计算即可.【详解】根据题意，球心位置分为两种情况：(1)若球心位置在几何体内，如图所示：设O 为外接球球心，R 为外接球半径，则1OC OC R ==,又上底面是边长为22的正方形，故1112,2A C MC ==下底面的边长为42的正方形，故4,2ACNC ==外接球的表面积为24π80π,R =所以25,R =125,OC OC R ===则22112044,OM OC MC =-=-=2220162,ON OC NC =-=-=所以正四棱台的高6,h MN OM ON ==+=正四棱台的体积11()6(832832)112,33V h S S SS '=⨯⨯++=⨯⨯++⨯='(2)当球心在MN 的延长线上时，正四棱台的高2,h OM ON =-=则正四棱台的体积11112()2(832832),333V h S S SS =⨯⨯++=⨯⨯++⨯=''故选：D.8．已知△ABC 中，sin sin 2π33,A B ACB ∠==::，且△ABC 的面积为63，则△ABC 的边AB 上的中线长为（）A ．3192B ．19C ．32D ．33【答案】B【分析】根据题意利用正弦定理可得:2:3a b =，结合面积公式可得4,6a b ==，再根据向量可知1122CD CA CB =+，结合数量积的运算律求模长.【详解】由正弦定理可得：sin :sin :2:3A B a b ==，设2,3,0a k b k k ==>，由面积公式1sin 2ABC S ab C = ，即2133********k k k ⨯⨯⨯==，解得2k =，则4,6a b ==，设边AB 上的中线为CD ，则1122CD CA CB =+，可得2221111111366416194244224CD CA CA CB CB =+⋅+=⨯+⨯⨯⨯+⨯=uuu r uur uur uur uur ，即19CD =uuu r.故选：B.二、多选题9．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A ．若m n ⊥，m α⊂，n β⊂，则αβ⊥B ．若m α⊥，m n ∥，αβ⊥，则n β∥C ．若αβ∥，n β⊥，m α∥，则m n ⊥D ．若αβ⊥，m β⊥，n α⊥，则m n ⊥【答案】CD【分析】根据线面位置关系逐项判断即可求解.【详解】A 项，α，β可平行，可相交，故A 项错误；B 项，由m α⊥，m n ∥，可得n α⊥，又αβ⊥，所以n 与β可能平行，还可能n β⊂，故B 项错误；C 项，由于αβ∥，n β⊥，所以n α⊥，又m α∥，所以m n ⊥，故C 项正确；D 项，由αβ⊥，m β⊥，可知m α∥或m α⊂，又n α⊥，所以m n ⊥，故D 项正确；故选：CD.10．已知复数3i z =+，则下列说法正确的是（）A ．z 的虚部为iB ．2023i 13i44z =--C ．()213i z z =-D ．若01z =，则0z z -的最小值是1【答案】BCD【分析】根据复数的概念，可判定A 不正确；根据复数的运算法则，可判定B 、C 正确；根据复数的几何意义，可判定D 正确.【详解】由复数3i z =+，可得复数z 虚部为1，所以A 不正确；由复数2023i i i(3i)13i 443i (3i)(3i)z ---===--++-，所以B 正确；由复数2232i z =-，()()()13i 13i3i 232i z -=-+=-，所以C 正确；由复数01z =，可得复数0z 在复平面内表示以原点为圆心，半径为1的单位圆，如图所示，又由复数3i z =+在复平面内对应点(3,1)Z ，可得2OZ =，所以0z z -的最小值为11OZ -=，所以D 正确.故选：BCD.11．如图，正三棱锥-P ABC 的底面边长是侧棱长的2倍，E ，F ，H 分别是AB ，AC ，BC 的中点，D 为PH 的中点，且EF AH O ⋂=，则下列结论中正确的是（）A ．平面PAH ⊥平面ABCB ．平面PEF ⊥平面PAHC ．平面PEF ⊥平面ABCD ．平面EFD ⊥平面PBC【答案】ABD【分析】利用平面与平面垂直的判定定理判断即可.【详解】选项A ，因为H 是BC 的中点，在等腰三角形PBC 中，PH BC ⊥，在等腰三角形ABC 中，AH BC ⊥,又因为AH PH H ⋂=,,PH AH ⊂平面PAH 中，所以BC ⊥平面PAH ,因为BC ⊂平面ABC ,所以平面PAH ⊥平面ABC ，故A 正确；选项B ，因为E ，F 分别是AB ，AC 的中点，所以EF ∥BC ,所以EF ⊥平面PAH ,因为EF ⊂平面PEF ,所以平面PEF ⊥平面PAH ，故B 正确；选项C ，由已知条件可知PE PF =,O 为EF 的中点，则PO EF ⊥,若平面PEF ⊥平面ABC ，则PO ⊥平面ABC ,根据正三棱锥的结构特征可知点P 在底面ABC 内的射影是三角形ABC 的中心，同时也是AH 的三等分点，而此处O 为AH 的中点，故C 错误；选项D ，连接OD ，,O D 分别为,AH PH 的中点，所以OD ∥AP ,因为正三棱锥-P ABC 的底边长为侧棱的2倍，所以三棱锥-P ABC 的侧面均为等腰直角三角形，所以PA PB ⊥，PA PC ⊥，因为PB PC P ⋂=,,PB PC ⊂平面PBC ,所以PA ⊥平面PBC ,所以OD ⊥平面PBC ,又因为OD ⊂平面EFD ,所以平面EFD ⊥平面PBC ，故D 正确；故选：ABD .12．已知函数()()()2cos cos 2sin 2cos 22f x x x x ϕϕϕ=++-+，则（）A ．()f x 的图象关于点3π,08⎛⎫⎪⎝⎭中心对称B ．()f x 的值域为[]22-,C ．满足()f x 在区间[](),0m m m ->上单调递增的m 的最大值为π8D ．()1f x =在区间π11π,88⎛⎫- ⎪⎝⎭上的所有实根之和为5π2【答案】ACD【分析】利用两角和差公式、二倍角和辅助角公式可化简得到()π2sin 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；利用代入检验法可知A 正确；根据正弦型函数值域可知B 错误；根据函数单调递增，利用整体代换法可求得m 范围，知C 正确；将问题转化为πsin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭与22y =交点横坐标之和的问题，由对称性可求得D 正确.【详解】()[]2cos cos 2cos sin 2sin sin 2cos 2cos 2sin 2sin 2f x x x x x x ϕϕϕϕϕ=-+-+()cos 21cos 2sin 2sin 2sin 2cos 2cos 2sin 2sin 2x x x x x ϕϕϕϕ=+-+-+πcos 2sin 22sin 24x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭；对于A ，当3π8x =时，π3ππ2π444x +=+=，此时()2sin π0f x ==，()f x \的图象关于点3π,08⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，A 正确；对于B ，[]πsin 21,14x ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，()f x \的值域为2,2⎡⎤-⎣⎦，B 错误；对于C ，若()f x 在[],m m -上单调递增，则()ππ22π42ππ22π42m k k m k ⎧-+≥-+⎪⎪∈⎨⎪+≤+⎪⎩Z ，解得：()3ππ8ππ8m k k m k ⎧≤-⎪⎪∈⎨⎪≤+⎪⎩Z ，又0m >，3ππ08ππ08k k ⎧->⎪⎪∴⎨⎪+>⎪⎩，解得：1388k -<<，0k ∴=，π08m ∴<≤，则m 的最大值为π8，C 正确；对于D ，令()1f x =，则π2sin 242x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭；当π11π,88x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()π20,3π4x +∈，作出πsin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭与22y =的图象如下图所示，πsin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭与22y =的交点1234,,,x x x x 即为方程()1f x =的根，由对称性可知：12π4+=x x ，349π4x x +=，1234π9π5π442x x x x ∴+++=+=，D 正确.故选：ACD.【点睛】关键点点睛：本题考查三角恒等变换与三角函数性质相关问题的求解；本题求解方程实根之和的关键是将问题转化为两函数交点的问题，采用数形结合的方式，结合正弦函数对称性可求得结果.三、填空题13．已知向量()()1,2,1,1,2a b c a b λ==-=+ ，若c b ⊥，则c =．【答案】62【分析】根据向量的坐标运算结合向量垂直可得4λ=，进而可求模长.【详解】由题意可得()22,22c a b λλλ=+=+-r r r，若c b ⊥，则()()()1212240λλλ⨯++-⨯-=-+=，解得4λ=，所以()6,6c =r ，则226662c =+=r .故答案为：62.14．已知函数()πtan 204y ax a ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的最小正周期为π2，则函数tan 1y ax =-的定义域为．【答案】πππ,π,42k k k ⎡⎫++∈⎪⎢⎣⎭Z【分析】根据正切型函数的周期可得1a =，再令tan 10x -≥，结合正切函数求定义域.【详解】由题意可得：ππ22T a ==，且0a >，解得1a =，对于函数tan 1y x =-，令tan 10x -≥，即tan 1x ≥，解得ππππ,42k x k k +≤<+∈Z ，所以函数tan 1y x =-的定义域为πππ,π,42k k k ⎡⎫++∈⎪⎢⎣⎭Z .故答案为：πππ,π,42k k k ⎡⎫++∈⎪⎢⎣⎭Z .15．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，点()(),30P m m m -≠是角α终边上的一点，则()()()sin 2π3cos π9π2sin sin 7π2αααα-+-=⎛⎫-+++ ⎪⎝⎭．【答案】6-【分析】先利用三角函数的定义求得sin α和cos α，再根据诱导公式化简求解即可.【详解】因为角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，点()(),30P m m m -≠是角α终边上的一点，所以()223310sin 103m mm m m α-==-+-，()2210cos ,sin 3cos ,10103m m m m m m m ααα====-+-，所以()()()sin 2π3cos πsin 3cos 3cos 3cos 69π2cos sin 2cos 3cos 2sin sin 7π2αααααααααααα-+----===----+⎛⎫-+++ ⎪⎝⎭，故答案为：6-四、双空题16．已知向量,a b满足3,2a b == ，则a b a b ++- 的最小值是，最大值是．【答案】6213【分析】利用向量数量积运算律可得到1312cos a b θ+=+ ，1312cos a b θ-=-，令1312cos 1312cos t θθ=++-，平方后可求得2t 的范围，进而得到t 的范围，即可求得所求最值.【详解】设,a b的夹角为θ，22221312cos a b a b a a b b θ+=+=+⋅+=+ ，22221312cos a b a b a a b b θ-=-=-⋅+=- ，1312cos 1312cos a b a b θθ∴++-=++-，令1312cos 1312cos t θθ=++-，则0t ≥且22262169144cos t θ=+-，[]2cos 0,1θ∈ ，[]2169144cos 25,169θ∴-∈，[]236,52t ∴∈，6213t ∴≤≤，即a b a b ++-的最小值为6，最大值为213.故答案为：6；213.五、解答题17．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC ⊥，1BC CC =，点D 是AC 的中点．(1)求证：1//AB 平面1BC D ，(2)若三棱柱111ABC A B C -的体积为6，求四面体11A C BD 的体积．【答案】(1)证明见解析(2)2【分析】（1）连接1B C 交1BC 于点O ，可得1//DO AB ，利用线面平行的判断定理可得答案；（2）设1BC CC a ==，AC b =，利用三棱柱111ABC A B C -的体积为6可得212a b =，再由111121136B ACD A C D V S BC a b -=⨯= 可得答案.【详解】（1）连接1B C 交1BC 于点O ，连接DO ，因为11BCC B 为平行四边形，所以O 为1B C 的中点，可得DO 为1ACB 的中位线，所以1//DO AB ，因为DO ⊂平面1BC D ，1AB ⊄平面1BC D ，1//AB 平面1BC D ；（2）在直三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥底面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以1CC BC ⊥，因为AC BC ⊥，1CC AC C =I ，1CC AC ⊂、平面11ACC A ，所以BC ⊥平面11ACC A ，点D 是AC 的中点，设1BC CC a ==，AC b =，所以三棱柱111ABC A B C -的体积为21111622ABC V S C AC BC C a C b C =⨯=⨯=⨯= ，可得212a b =，所以11112111111123326B ACD A C D V S BC A C C BC C a b -=⨯=⨯⨯=⨯= .18．如图，在ABC 中，2,CD DB AE EC == ．(1)用AB ，AD 表示AC ，BE ；(2)若点M 满足1324AM AB AC =-+ ，证明：B ，M ，E 三点共线．【答案】(1)23AC AB AD =-+ ，BE 322AB AD =-+ (2)证明见解析【分析】（1）利用向量的线性运算和基本定理求解即可.（2）利用三点共线的判定证明即可.【详解】（1）因为2,CD DB AE EC == ，3AC AB BC AB BD=+=+ ()323AB AD AB AB AD =+-=-+ ，12BE BA AE AB AC =+=-+ ()111222AB BC BA AB BC =-+-=-+ ()1111332222AB BD AB AD AB =-+⨯=-+⨯- 322AB AD =-+ .（2）由1324AM AB AC =-+ ，可得131322422AM AB AE AB AE =-+⨯=-+ ，所以23AM AB AE =-+ ，()2AE AB AM AE -=- ，即2BE EM = ，所以B ，M ，E 三点共线.19．已知复数12sin 3i z θ=-，()212cos i z θ=+，π5π,66θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．(1)若12z z ⋅为实数，求θ的值；(2)设复数12,z z 在复平面内对应的向量分别是,a b ，若()()22a b a b -⊥- ，求πcos 3θ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值．【答案】(1)π3θ=(2)35【分析】（1）根据题意，由复数的运算将12z z ⋅化简，然后由12z z ⋅为实数列出方程，即可得到结果；（2）根据题意，由()()22a b a b -⊥- 列出方程即可得到πsin 3θ⎛⎫- ⎪⎝⎭，再由同角的平方关系，即可得到结果.【详解】（1）因为12sin 3i z θ=-，()212cos i z θ=+，所以()()122sin 3i 12cos i z z θθ⋅=-⋅+⎡⎤⎣⎦()()2sin 23cos 4sin cos 3i θθθθ=++-，且12z z ⋅为实数，所以4sin cos 30θθ-=，即3sin 22θ=，又因为π5π,66θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以π23π35,θ⎛⎫ ⎪⎝⎭∈，所以2π23θ=，则π3θ=.（2）由题意可得，()2sin ,3a θ=- ，()1,2cos b θ= ，因为()()22a b a b -⊥- ，所以()()22022225a b a a b b a b ⋅=+---⋅= ，即()()()2224sin 3214cos 52sin 23cos 0θθθθ+++--=，化简可得8sin 3cos 5θθ-=，所以π4sin 35θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，又因为π5π,66θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则πππ,362θ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以2ππ3cos 1sin 335θθ⎛⎫⎛⎫-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.20．将函数sin y x =的图象向左平移π6个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的()1N ωω*∈，纵坐标不变，得到函数()f x 的图象，已知()f x 的图象在区间[]0,π上有且仅有两条对称轴．(1)求π()6f -；(2)求()f x 在[]0,π上的单调区间．【答案】(1)12-(2)递增区间为π[0,]6和2π[,π]3，递减区间为π2π[,]63.【分析】（1）根据三角函数的图象变换得到()sin(π)6f x x ω=+，再由()f x 的图象在区间[]0,π上有且仅有两条对称轴，求得41436ω≤<，得到2ω=，得出()πsin(2)6f x x =+，即可求得π()6f -的值；（2）由[]0,πx ∈，可得ππ13π[,]6662x +∈，结合三角函数的图象与性质，即可求解.【详解】（1）解：将函数sin y x =的图象向左平移π6个单位长度，得到函数πsin()6y x =+，再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的1ω，纵坐标不变，得到()sin(π)6f x x ω=+，因为[]0,πx ∈，可得πππ[,π]666x ωω∈++，又因为()f x 的图象在区间[]0,π上有且仅有两条对称轴，则满足3ππ5ππ262ω+≤<，解得4733ω≤<，因为N ω*∈，所以2ω=，所以()πsin(2)6f x x =+，则πππππ1()]sin(sin[2()sin 666)662f =--=-=-=-+.（2）解：由函数()πsin(2)6f x x =+，又由[]0,πx ∈，可得ππ13π[,]6662x +∈，当πππ2662x ≤+≤时，即π06x ≤≤时，函数()f x 单调递增；当ππ3π2262x ≤+≤时，即π2π63x ≤≤时，函数()f x 单调递减；当63ππ13π262x ≤+≤时，即2ππ3x ＃时，函数()f x 单调递增，所以函数()f x 的单调递增区间为π[0,]6和2π[,π]3，单调递减区间为π2π[,]63.21．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且π2sin 6a B b c ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭．(1)求A ；(2)若2a =，求bc 的取值范围．【答案】(1)π3A =(2)8,43⎛⎤ ⎥⎝⎦【分析】（1）利用正弦定理边化角，再由内角和等于π消去角C ，然后通过两角和差的正弦公式展开化简即可求解；（2）由正弦定理、三角恒等变换化简可得8π4sin 2363bc B ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，结合角A 的范围和正弦函数的性质即可求解.【详解】（1）已知π2sin 6a B b c ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，由正弦定理可得π2sin sin sin sin 6A B B C ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，即312sin sin cos sin sin()22A B B B A B ⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎝⎭，整理得3sin sin sin cos sin A B B A B =+，又()0,πB ∈，所以sin 0B ≠，所以3sin cos 1A A -=，即π1sin 62A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，又()0,πA ∈，ππ5π,666A ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭所以ππ66A -=，即π3A =.（2）由（1）知π3A =，又2a =，由正弦定理，得4sin sin sin 3a b c ABC ===，所以44sin ,sin 33b B c C ==，所以161621631sin sin sin sin πsin cos sin 333322bc B C B B B B B ⎛⎫⎛⎫==-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()216318π4sin 21cos sin 2344363B B B ⎡⎤⎛⎫=+-=-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，在锐角ABC 中，2ππ0ππ32π6202C B B B ⎧<=-<⎪⎪⇒<<⎨⎪<<⎪⎩，则ππ5π2666B <-<，当ππ262B -=时，πsin 216B ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，当ππ266B -=时，π1sin 262B ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以π61sin 212B ⎛⎫<-≤ ⎪⎝⎭，则843bc <≤，故ABC 的周长的取值范围为8,43⎛⎤ ⎥⎝⎦.22．如图，圆锥PO 的体积8π3V =，点A ，B ，C ，D 都在底面圆周上，且AB CD O = ，AB CD ⊥，AB ＝4，E 为PB的中点．(1)求圆锥PO 的侧面积；(2)求直线CE 与平面PCD 所成角的余弦值．【答案】(1)42π(2)306【分析】（1）利用圆锥的体积公式求出PO 的长，从而求出圆锥的母线长，即可求出圆锥的侧面积；（2）易得AB ⊥平面PCD ,从而过E 作AB 的平行线，即面PCD 的垂线，从而得到ECF ∠即线面角，然后利用勾股定理求出各边长度即可.【详解】（1）AB ＝4，且AB CD O = ，所以底面圆的半径122R AB ==,圆锥PO 的体积22118ππ=π2,333V R PO PO =⋅⨯⨯=2,PO ∴=圆锥母线长2222,l PB PO OB ==+=所以圆锥PO 的侧面积π42πS Rl ==；（2）取PO 中点为F ，且E 为PB 的中点．所以1,12EF OB EF OB ==∥,圆锥PO 可知，PO ⊥平面ABCD ,PO AB ∴⊥，且AB CD ⊥，PO CD O = ,所以AB ⊥平面PCD ,,B EF A ∥所以EF ⊥平面PCD ，所以ECF ∠即直线CE 与平面PCD 所成角.2225CF OF OC =+=，2226CE CF EF =+=，故530cos 66CF ECF CE ∠===.故答案为306.。
2020-2021学年河南省南阳市高一下学期期末考试数学试题及答案
2020-2021学年河南省南阳市高一下学期期末考试数学试题★祝考试顺利★(含答案)本试卷考试时间120分钟，试卷满分150分.第I 卷选择题(共60分)一､选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.cos2010=（ ）A.12B.12- 2.AB BC AD +-=（ ）A.CDB.BDC.DCD.AC3.函数2sin 2y x =的最小正周期是（ ） A.2πB.πC.2πD.4π4.如图是为了求出满足321000n n ->的最小偶数n ，那么在和两个空白框中，可以分别填入（ ）A.1000A >和1n n =+B.1000A >和2n n =+C.1000A 和1n n =+D.1000A 和2n n =+5.一支田径队共有运动员98人，其中女运动员42人，用分层抽样的方法抽取一个样本，每名运动员被抽到的概率都是，则男运动员应抽取（ ）A.18人B.16人C.14人D.12人6.函数()2sin cos x x f x x x +=+在[],ππ-的图像大致为（ ） A. B.C. D.7.向量2sin ,3,cos ,cos 222x x x m n ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎝⎭，函数()f x m n =⋅，则()f x 的图像的一条对称轴方程是（ ）A.3x π= B.6x π= C.3x π=- D.2x π=8.如图为中国古代刘徽的《九章算术注》中研究“勾股容方”问题的图形，图中ABC 为直角三角形，四边形DEFC 为其内接正方形.已知2BC =，4AC =，若在ABC 内任取一点，则此点取白正方形DEFC 内的概率为（ ）A.19B.29C.49D.599.()()sin f x A x ωϕ=+(共中0,0,2A πωϕ>><)的图像如图所示，为了得到()sin2g x x =的图。
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河南省南阳市2019年舂期高中一年级期终质量评估数学试卷1.某中学教务处采用系统抽样方法，从学校高一年级全体1000名学生中抽50名学生做学习状况问卷调查．现将1000名学生从1到1000进行编号．在第一组中随机抽取一个号，如果抽到的是17号，则第8组中应取的号码是（ ）A ．177B ．417C ． 157D ．3672.已知扇形的半径为2，面积为4，则这个扇形圆心角的弧度数为（ ）A ．B ．2C ．2D ．23.从甲、乙、丙、丁四人中任选两人参加问卷调查，则甲被选中的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．4.已知B A O ,,是平面上的三个点，直线AB 上有一点C ，满足02=+CB AC ，则OC 等于（ ）A ．OB OA -2 B ．OB OA 2+-C ．OB OA 3132- D ．3231+-5．若0＜α＜2π，则使sin α＜和cos α＞同时成立的α的取值范围是（ ）A ．（﹣，）B ．（0，）C ．（，2π）D ．（0，）∪（，2π）6.把函数cos 22y x x =+ 的图像经过变化而得到2sin 2y x =的图像，这个变化是（ ） A ．向左平移12π个单位 B ．向右平移12π个单位 C ．向左平移6π个单位 D ．向右平移6π个单位 7.已知函数)42sin()(π+=x x f ，则函数()f x 满足（ ）A. 最小正周期为2T π=B. 图象关于点)0,8(π对称C. 在区间0,8π⎛⎫⎪⎝⎭上为减函数 D. 图象关于直线8x π=对称8.计算下列几个式子，① 35tan 25tan 335tan 25tan ++,②2（sin35︒cos25︒+sin55︒cos65︒）, ③15tan 115tan 1-+ , ④ 6tan16tan2ππ-，结果为3的是（ ）A ．①②B ．①③C ．①②③D ．①②③④9.如图所示，平面内有三个向量OA ，OB ，OC ，OA 与OB 夹角为o 120，与夹角为o 150，且1OA OB ==，23OC =OB OA OC μλ+=()R ∈μλ，，则=+μλ（ ）AC（A ）1 （B ）6- （C ） 29- （D ）610.阅读右边的程序框图，输出结果s 的值为（ ） A. 12 B. 116 D. 1811.函数f （x ）=Asin （ωx+φ）的部分图象如图所示，若，且f （x 1）=f （x 2）（x 1≠x 2），则f （x 1+x 2）=（ ）A． B． C． D ．112.在边长为4的等边三角形OAB 的内部任取一点P ，使得4≤⋅OP OA 的概率为（ ） A ．12 B ．14 C ．13 D ．1813.若21tan =α，则ααααcos 3sin 2cos sin -+= ．14.如图表所示，生产甲产品过程中记录的产量x （吨）与相应的生产能耗y （吨标准煤）之间的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程ˆ0.70.35yx =+，那么表中m 的值为 ． 15.气象意义上，从春季进入夏季的标志为：“连续5天的日平均温度不低于22℃”.现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据（记录数据都是正整数）： ①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22； ②乙地：5个数据的中位数为27，总体均值为24；③丙地：5个数据的中有一个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.8； 则肯定进入夏季的地区的有 ．16.已知P 、M 、N 是单位圆上互不相同的三个点，且满足||=||，则•的最小值是 ．17.已知平面向量),32(),,1(x x b x a -+== )(N x ∈ （1）若a 与b 垂直，求x ； （2）若//a b ，求a b -.18.已知sin()cos(10)tan(3)2()5tan()sin()2f παπααπαππαα---+=++．（1） 化简()f α；（2） 若01860α=-，求()f α的值；（3） 若2πα∈（0，），且1sin()63πα-=，求()f α的值．19.为了完成对某城市的工薪阶层是否赞成调整个人所得税税率的调查，随机抽取了60人，作出了他们的月收入频率分布直方图（如图），同时得到了他们月收入情况与赞成人数统计表（如下表）：（1）试根据频率分布直方图估计这60人的平均月收入；（2）若从月收入（单位：百元）在[65，75）的被调查者中随机选取2人进行追踪调查，求2人都不赞成的概率.20.已知函数()23cos cos 2f x x x x =++．（1）当,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，讨论函数()y f x =的单调性；（2）已知0ω>，函数)122()(πω-=xf xg ，若函数()g x 在区间2,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，求ω的最大值．21.如图，一个水轮的半径为4m ，水轮圆心O 距离水面2m ，已知水轮每分钟转动5圈，如果当水轮上点P 从水中浮现时（图中点p 0）开始计算时间． （1）将点p 距离水面的高度z （m ）表示为时间t （s ）的函数； （2）点p 第一次到达最高点大约需要多少时间？22.已知x 0，x 0+是函数f （x ）=cos 2（wx ﹣）﹣sin 2wx （ω＞0）的两个相邻的零点（1）求的值；（2）若对任意]0,127[π-∈x ，都有f （x ）﹣m ≤0，求实数m 的取值范围． （3）若关于x 的方程1)(334=-m x f 在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有两个不同的解，求实数m 的取值范围．高一数学期末参考答案一、选择题1-5 CBAAD 6-10 BDCBC 11-12 AD二、填空题 13. 43- 14. 3 15. ①③ 16. 21-三、解答题17.解：（1）由已知得，0)()32(1=-++x x x ，解得，3=x 或1-=x ，因为N x ∈，所以3=x . ……………5分 （2）若//a b ，则()()1230x x x ⋅--⋅+=，所以0x =或2x =-，因为N x ∈，所以0=x .()2,0a b -=-，2a b -=. ……………10分18.解：（1）cos cos (tan )()cos tan cos f ααααααα-==- ………3分（2）00018606360300α=-=-⨯+ 00()(1860)cos(1860)f f α∴=-=--0001cos(6360300)cos602=--⨯+=-=- ………7分（3）1sin()cos()2636πππααα∈-=∴-=（0，）,()cos cos[()]cos()cos sin()sin6666661132f ππππππααααα∴=-=--+=--+-=+⋅=………12分19.解：（1）由直方图知：(200.015300.015400.025500.02600.015700.01)1043.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯= ∴这60人的平均月收入约为43.5百元. ………4分 （2）根据频率分布直方图和统计图表可知[65，75）的人数为0.01×10×60＝6人，其中2人赞成，4人不赞成 记赞成的人为x ，y ，不赞成的人为a ，b ，c ，d任取2人的情况分别是：xy ，xa ，xb ，xc ，xd ，ya ，yb ，yc ，yd ，ab ，ac ，ad ，bc ，bd ，cd 共15种情况其中2人都不赞成的是：ab ，ac ，ad ，bc ，bd ，cd 共6种情况 ∴2人都不赞成的概率是：P ＝62155=. ………12分20.解：（1）()1cos 232sin 22226x f x x x π+⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭． ∵,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，∴52,666x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦所以，2626πππ≤+≤-x ，即66ππ≤≤-x 时，()y f x =增，65622πππ≤+≤x ，即36ππ≤≤x 时，()y f x =减， ∴函数()y f x =在]6,6[ππ-上增，在]3,6[ππ上减. ………6分 （2）2)6)122(2sin()(++-=ππωxx g 2)sin(+=x ω要使g （x ）在]6,32[ππ-上增，只需322πωπ-≤-，即43≤ω 所以ω的最大值为43. ………12分21.解：（1）依题意可知z 的最大值为6，最小为﹣2，∴⇒；∵op 每秒钟内所转过的角为，得z=4sin ，当t=0时，z=0，得sin φ=﹣，即φ=﹣，故所求的函数关系式为z=4sin+2 ………6分（2）令z=4sin +2=6，得sin=1，取，得t=4，故点P 第一次到达最高点大约需要4s ． ………12分22.解：（1）f （x ）=====（）=．由题意可知，f （x ）的最小正周期T=π，∴， 又∵ω＞0， ∴ω=1，∴f （x ）=．∴=． ………4分（2）由f （x ）﹣m ≤0得，f （x ）≤m ， ∴m ≥f （x ）max ，∵﹣， ∴， ∴，∴﹣≤， 即f （x ）max =，∴43≥m 所以),43[+∞∈m ………8分 （3）原方程可化为1)32sin(23334+=+⋅m x π即1)32sin(2+=+m x π20π≤≤x画出)32sin(2π+=x y 20π≤≤x 的草图x=0时，y=2sin3π=，y 的最大值为2，∴要使方程在x ∈[0，2π]上有两个不同的解，即m+1＜2， 即﹣1≤m ＜1． 所以)1,13[-∈m ………12分。