2019学年第二学期杭州学军中学高三数学空中课堂测试(三)(1)
浙江省杭州市学军中学2019 学年第二学期高三年级数学月考试卷(word版含答案)
浙江省杭州市学军中学2019 学年第二学期高三年级月考数学试卷考生须知：1.本卷满分150分，考试时间120分钟；2.答题前，在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、试场号、座位号及准考证号。
3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；.4.考试结束后，只需上交答题卷。
选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合A={-1,1,2,3,5},B={2,3,4},C={x∈R|1≤x<3},则(A∩C)∪B=A.{2}B.{2,3}C.{-1,2,3}D.{1,2,3,4}2.双曲线22221(0,0x ya ba b-=>>)的离心率为3,则其渐近线方程为2.2A y x=±3.B y x=±.2C y x=±.3D y x=±3.设x，y满足约束条件23302330,30x yx yy+-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩则z=2x+y的最小值是A-9 B.-15 C.1 D.94.如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为A.20πB.24πC.28πD.32π5.已知直线a,b分别在两个不同的平面a,β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件。
C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.函数2sin()cosx xf xx x+=+在[-π,π]的图像大致为7.已知a,b 为实数，随机变量X,Y 的分布列如下:若E(Y)=P(Y=-1),随机变量ξ满足ξ=XY ，其中随机变量XY 相互独立,则E(ξ)取值范围的是3.[,1]4A - 1.[,0]18B - 1.[,1]18C 3.[,1]4D 8.抛物线22(0)y px p =>的焦点为F,直线l 过点F 且与抛物线交于点M,N(点N 在轴上方)，点E 为轴上F 右侧的一点,若||||3||,123,MNE NF EF MF S ∆===则p=A.1B.2C.3D.99.已知函数2(4),53(),(2),3x x f x f x x ⎧+-≤<-=⎨-≥-⎩若函数g(x)=f(x)-|k(x+1)|有9个零点，则实数k 的取值范围是 1111.(,)(,)4664A --⋃1111.(,)(,)3553B --⋃ 11.(,)64C11.(,)53D 10.已知函数()1,x f x e x =--数列{}n a 的前n 项和为,n S ，且满足111,(),2n n a a f a +==则下列有关数列{}n a 的叙述正确的是A.521|43|a a a <-B.78a a ≤C.101a >D.10026S >非选择题部分(共110分)二、填空题:本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11.若复数31i z i+=- (i 为虚数单位),则z|=___，复数z 对应的点在坐标平面的第____象限. 12.在二项式262()x x -的展开式中，常数项是____，所有二项式系数之和是______.13.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.若△ABC 的面积是b 13,cos ,3C ==则c=___;sin 2sin B C=___. 14.某公司有9个连在一起的停车位，现有5辆不同型号的轿车需停放,若停放后恰有3个空车位连在一起，则不同的停放方法有____种.15.已知e r 为单位向量，平面向量,a b r r 满足||||1,a e b e +=-=r r r r a b ⋅r r 的取值范围是____.16.已知a,b ∈R,且满足2ab-4a+3b-8=0,则22238a b a b ++-的最小值是_____.17.在长方体1111ABCD A B C D -中，14,1,AB BC AA E ===是底面ABCD 的中心，又1(0),2AF AB λλ=≤≤u u u r u u u r 则当λ=____时，长方体过点1,,A E F 的截面面积的最小值为____. 三、解答题:本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.(本小题满分14分)设函数2()sin cos (2f x x x x ωωωω=-->0),且y=f(x) 的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为.4π (I)求ω的值;(II)求f(x)在区间3[,]2ππ上的最大值和最小值.19.(本小题满分15分) 如图，四棱锥P-ABCD 中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD,底面四边形ABCD 中，1,2AB BC AD ==∠BAD=∠ABC=90°,又E 是PD 的中点. （I ）证明：直线CE//平面PAB ；（II ）点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD 所成角为45°，求二面角M-AB-D 的余弦值。
浙江省杭州学军中学2018-2019学年上学期高三期中数学模拟题
浙江省杭州学军中学2018-2019学年上学期高三期中数学模拟题 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1． 函数()2cos()f x x ωϕ=+（0ω>，0ϕ-π<<）的部分图象如图所示，则 f （0）的值为（ ）A.32-B.1-C.D.【命题意图】本题考查诱导公式，三角函数的图象和性质，数形结合思想的灵活应用.2． 已知函数x x x f 2sin )(-=，且)2(),31(log ),23(ln 3.02f c f b f a ===，则（ ）A ．c a b >>B ．a c b >>C ．a b c >>D ．b a c >>【命题意图】本题考查导数在单调性上的应用、指数值和对数值比较大小等基础知识，意在考查基本运算能力．3． 两个随机变量x ，y 的取值表为若x ，y 具有线性相关关系，且y ^＝bx ＋2.6，则下列四个结论错误的是（ ）A ．x 与y 是正相关B ．当y 的估计值为8.3时，x ＝6C ．随机误差e 的均值为0D ．样本点（3，4.8）的残差为0.65 4． 在复平面内，复数1zi+所对应的点为(2,1)-，i 是虚数单位，则z =（ ） A ．3i --B ．3i -+C ．3i -D ．3i +5． 若,m n 是两条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，则下列为真命题的是（ ） A ．若,m βαβ⊂⊥，则m α⊥ B ．若,//m m n αγ=，则//αβC ．若,//m m βα⊥，则αβ⊥D ．若,αγαβ⊥⊥，则βγ⊥6． 已知是虚数单位，,a b R ∈，则“1a b ==-”是“2()2a bi i +=”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件7． 设{}n a 是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是（ ）A ．1B ．2C ．4D ．6 8． 在ABC ∆中，22tan sin tan sin A B B A =，那么ABC ∆一定是（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰三角形或直角三角形 9． 二项式(1)(N )nx n *+?的展开式中3x 项的系数为10，则n =（ ） A ．5 B ．6 C ．8 D ．10 【命题意图】本题考查二项式定理等基础知识，意在考查基本运算能力．10．已知直线l的参数方程为1cos sin x t y t αα=+⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数，α为直线l 的倾斜角），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为4sin()3πρθ=+，直线l 与圆C 的两个交点为,A B ，当||AB 最小时，α的值为（ ）A ．4πα=B ．3πα=C ．34πα=D ．23πα=11．复平面内表示复数的点位于( )A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限12．已知一三棱锥的三视图如图所示，那么它的体积为（ ） A ．13 B ．23C ．1D ．2 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）13．某工厂产生的废气经过过虑后排放，过虑过程中废气的污染物数量P （单位：毫克/升）与时间t （单 位：小时）间的关系为0ektP P -=（0P ，k 均为正常数）．如果前5个小时消除了10%的污染物，为了消除27.1%的污染物，则需要___________小时.【命题意图】本题考指数函数的简单应用，考查函数思想，方程思想的灵活运用.14．当0,1x ∈（）时，函数()e 1xf x =-的图象不在函数2()g x x ax =-的下方，则实数a 的取值范围是___________．【命题意图】本题考查函数图象间的关系、利用导数研究函数的单调性，意在考查等价转化能力、逻辑思维能力、运算求解能力．15．如图所示，圆C 中，弦AB 的长度为4，则AB AC ×的值为_______．【命题意图】本题考查平面向量数量积、垂径定理等基础知识，意在考查对概念理解和转化化归的数学思想． 16．在ABC ∆中，90C ∠=，2BC =，M 为BC 的中点，1sin 3BAM ∠=，则AC 的长为_________. 三、解答题（本大共6小题，共70分。
2024届浙江杭州学军中学高三下学期模拟测试数学试题(含答案解析)
2024届浙江省杭州学军中学高三下学期模拟测试数学试题一、单选题1.设集合A =x ,y |x +y =2 ，B =x ,y |y =x 2 ，则A ∩B =()A.1,1B.-2,4C.1,1 ,-2,4D.∅2.已知a +bi (a ,b ∈R )是1-i1+i的共轭复数，则a +b =A.-1B.-12C.12D.13.设向量a =(1,1),b =(-1,3),c =(2,1)，且(a -λb )⊥c，则λ等于()A.3B.2C.-2D.-34.已知点A 为曲线y =x +4xx >0 上的动点，B 为圆x -2 2+y 2=1上的动点，则AB 的最小值是()A.3B.4C.32D.425.2+x 10的展开式各项的系数中最大的是()A.x 2的系数B.x 3的系数C.x 4的系数D.x 5的系数6.某大学在校学生中，理科生多于文科生，女生多于男生，则下述关于该大学在校学生的结论中，一定成立的是()A.理科男生多于文科女生B.文科女生多于文科男生C.理科女生多于文科男生D.理科女生多于理科男生7.已知三棱锥S -ABC 中，∠SAB =∠ABC =π2,SB =4,AB =2,BC =3，SA 和BC 所成的角为π3，则该三棱锥外接球的表面积是()A.12πB.16πC.24πD.32π8.已知定义在[0,1]上的函数f (x )满足：①f (0)=f (1)=0；②对所有x ,y ∈[0,1]，且x ≠y ，有f (x )-f (y ) <12x -y .若对所有x ,y ∈[0,1]，f (x )-f (y ) <k ，则k 的最小值为A.12B.14C.12πD.18二、多选题9.我国于2015年10月宣布实施普遍二孩政策，为了解户籍、性别对生育二胎选择倾向的影响，某地从育龄群体中随机抽取了容量为200的调查样本，其中城镇户籍与农村户籍各100人；男性120人，女性80人，绘制的不同群体中倾向选择生育二胎与倾向选择不生育二胎的人数比例图如图所示，其中阴影部分表示倾向选择生育二胎的对应比例，则下列叙述正确的是()A.是否倾向选择生育二胎与户籍有关B.是否倾向选择生育二胎与性别无关C.调查样本中倾向选择生育二胎的群体中，男性人数与女性人数相同D.倾向选择不生育二胎的群体中，农村户籍人数多于城镇户籍人数10.双曲线具有以下光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．由此可得，过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角．已知F 1,F 2分别为双曲线C :x 23-y 2=1的左，右焦点，过C 右支上一点A x 0,y 0 x 0>3 作双曲线的切线交x 轴于点M ，交y 轴于点N ，则()A.平面上点B 4,1 ,AF 2 +AB 的最小值为37-23B.直线MN 的方程为xx 0-3yy 0=3C.过点F 1作F 1H ⊥AM ，垂足为H ，则OH =2(O 为坐标原点)D.四边形AF 1NF 2面积的最小值为411.数列a n 满足a n +1=14a n -6 3+6(n =1,2,3⋯)，则()A.当a 1=3时，a n 为递减数列，且存在M ∈R ，使a n >M 恒成立B.当a 1=5时，a n 为递增数列，且存在M ≤6，使a n <M 恒成立C.当a 1=7时，a n 为递减数列，且存在M ≥6，使a n >M 恒成立D.当a 1=9时，a n 递增数列，且存在M ∈R ，使a n <M 恒成立三、填空题12.已知cos a +π6 -sin α=435，则sin α+11π6=．13.设随机试验每次成功的概率为p ，现进行3次独立重复试验．在至少成功1次的条件下，3次试验全部成功的概率为413，则p =．14.若函数f x =e x +cos x +a -1 x 存在最小值，则a 的取值范围是．四、解答题15.在△ABC 中，∠A =90°，点D 在BC 边上．在平面ABC 内，过D 作DF ⊥BC 且DF =AC ．(1)若D 为BC 的中点，且△CDF 的面积等于△ABC 的面积，求∠ABC ；(2)若∠ABC =45°，且BD =3CD ，求cos ∠CFB ．16.如图，四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为矩形.SA⊥底面ABCD，E，F分别为AD，SC的中点，EF与平面ABCD成45°角.(1)证明：EF为异面直线AD与SC的公垂线；BC，求二面角B-SC-D的余弦值.(2)若EF=1217.A，B两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间(单位：天)记录如下：A组：10，11，12，13，14，15，16；B组：12，13，15，16，17，14，a．假设所有病人的康复时间互相独立，从A，B两组随机各选1人，A组选出的人记为甲，B组选出的人记为乙．(1)如果a=25，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；(2)当a为何值时，A，B两组病人康复时间的方差相等?18.已知抛物线y=ax2(a>0)与双曲线y=1x交于点T，两条曲线的公切线分别与抛物线、双曲线切于点P，Q．(1)证明：△PQT存在两条中线互相垂直；(2)求△PQT的面积．19.已知函数f x =x+7中心对称．x+a关于点-1,1(1)求函数f x 的解析式；(2)讨论g x =x f x2在区间0,+∞上的单调性；(3)设a1=1,a n+1=f a n<1．，证明：2n-22ln a n-ln72024届浙江省杭州学军中学高三下学期模拟测试数学试题一、单选题1.设集合A =x ,y |x +y =2 ，B =x ,y |y =x 2 ，则A ∩B =()A.1,1B.-2,4C.1,1 ,-2,4D.∅【答案】C【分析】由题意可知A ∩B 实质是求交点，进而联立组成方程组求解即可.【详解】解：集合A 与集合B 均为点集，A ∩B 实质是求x +y =2与y =x 2的交点，所以联立组成方程组得x +y =2y =x 2 ，解得x =1y =1 ，或x =-2y =4 ，从而集合A ∩B =1,1 ,-2,4 ，故选：C .【点睛】本题考查集合的交集运算，属于基础题.2.已知a +bi (a ,b ∈R )是1-i1+i的共轭复数，则a +b =A.-1 B.-12 C.12 D.1【答案】D【解析】首先计算1-i1+i ，然后利用共轭复数的特征计算a ,b 的值.【详解】1-i 1+i =(1-i )2(1+i )(1-i )=-2i2=-i ，∴a +bi =-(-i )=i ，∴a =0,b =1,∴a +b =1.故选:D .【点睛】本题考查复数的计算，属于基础题型.3.设向量a =(1,1),b =(-1,3),c =(2,1)，且(a -λb )⊥c ，则λ等于()A.3B.2C.-2D.-3【答案】A【分析】由向量线性关系及垂直的坐标表示列方程求参即可.【详解】由题意得a -λb =(1+λ,1-3λ)，又(a -λb )⊥c，所以(a-λb )⋅c =2(1+λ)+1-3λ=0，可得λ=3.故选：A4.已知点A 为曲线y =x +4x x >0 上的动点，B 为圆x -2 2+y 2=1上的动点，则AB 的最小值是()A.3B.4C.32D.42【答案】A【分析】数形结合分析可得，当A 2,4 时能够取得|AB |的最小值，根据点到圆心的距离减去半径求解即可.【详解】圆x -2 2+y 2=1的圆心为2,0 ，半径为1，由对勾函数的性质,可知y =x +4x≥4，当且仅当x =2时取等号，结合图象可知当A 点运动到2,4 时能使点A 到圆心的距离最小，最小值为4，从而AB 的最小值为4-1=3.故选：A5.2+x 10的展开式各项的系数中最大的是()A.x 2的系数B.x 3的系数C.x 4的系数D.x 5的系数【答案】B【分析】利用二项式通项的性质和组合数的性质计算出符合条件的k 值即可.【详解】通项公式为T k +1=C k 10⋅2k ⋅x 10-k ，因为C k 10⋅2k ≥C k -110⋅2k -1⇒2C k 10≥C k -110，所以2×10×9×⋯×11-k k !≥10×9×⋯×12-k k -1 !⇒211-k k ≥1⇒k 3k -22 ≤0⇒k ≤223同理C k 10⋅2k ≥C k +110⋅2k +1⇒C k 10≥2C k +110，所以10×9×⋯×11-k k !≥2×10×9×⋯×10-k k +1 !⇒210-k k +1≤1⇒3k -19 k +1 ≥0⇒k ≥193，所以k =7，所以展开式各项的系数中最大的是第八项，为T 8=C 710⋅27⋅x 3，即x 3的系数最大.故选：B6.某大学在校学生中，理科生多于文科生，女生多于男生，则下述关于该大学在校学生的结论中，一定成立的是()A.理科男生多于文科女生B.文科女生多于文科男生C.理科女生多于文科男生D.理科女生多于理科男生【答案】C【分析】将问题转化为不等式问题，利用不等式性质求解.【详解】根据已知条件设理科女生有x 1人，理科男生有x 2人，文科女生有y 1人，文科男生有y 2人；根据题意可知x 1+x 2>y 1+y 2，x 2+y 2<x 1+y 1，根据异向不等式可减的性质有x 1+x 2 -x 2+y 2 >y 1+y 2 -x 1+y 1 ，即有x 1>y 2，所以理科女生多于文科男生，C 正确.其他选项没有足够证据论证.故选：C .7.已知三棱锥S -ABC 中，∠SAB =∠ABC =π2,SB =4,AB =2,BC =3，SA 和BC 所成的角为π3，则该三棱锥外接球的表面积是()A.12πB.16πC.24πD.32π【答案】B【分析】将三棱锥S -ABC 放入长方体ABCD -EFGH 中，并建立适当的空间直角坐标系，由已知表示出各个点的坐标，进一步结合OA =OS=R ，列出方程组求出R 即可进一步求解.【详解】将三棱锥S -ABC 放入长方体ABCD -EFGH 中，S 在棱EH 上面，并以A 为原点，AB ,AD ,AE 所在直线分别为x ,y ,z 轴建立如图所示的空间直角坐标系：由题意∠SAB =∠ABC =π2,SB =4,AB =2,BC =3，所以SA =16-4=23，因为SA 和BC 所成的角为π3，AD ⎳BC ，所以AE =23sin π3=3,ES =23cos π3=3，而底面三角形外接圆圆心为AC 中点O 1，设球心O 到平面ABC 的距离为h ，则A 0,0,0 ,B 2,0,0 ,C 2,3,0 ,S 0,3,3 ,O 11,32,0 ,O 1,32,h ，所以OA =-1,-32,-h ,OS =-1,32,3-h ，则由OA =OS =R ⇒R 2=34+1+h 2=34+1+3-h 2，解得h =32,R 2=4，从而S =4πR 2=16π，即该三棱锥外接球的表面积是16π.故选：B .8.已知定义在[0,1]上的函数f (x )满足：①f (0)=f (1)=0；②对所有x ,y ∈[0,1]，且x ≠y ，有f (x )-f (y ) <12x -y .若对所有x ,y ∈[0,1]，f (x )-f (y ) <k ，则k 的最小值为A.12B.14C.12πD.18【答案】B【详解】试题分析：不妨令0≤x <y ≤1，则f x -f y <12x -y 法一：2f x -f y =f x -f 0 +f x -f y -f y -f 1 ≤f x -f 0 +f x -f y +f y -f 1<12x -0 +12x -y +12y -1 =12x +12y -x +12y -1 =12，即得f x -f y<1 4，另一方面，当u∈0,1 2时，f x ={ux,0≤x≤12-u1-x,12<x≤1，符合题意，当u→12时，f12-f0=u2→14，故k≤1 4法二：当x-y≤12时，f x -f y<12x-y≤14，当x-y>12时，f x -f y=f x -f0-f y -f1≤f x -f1+f y -f0<12x-1+12y-0=121-x+12y=12+12y-x<14，故k≤1 4【解析】1.抽象函数问题；2.绝对值不等式.二、多选题9.我国于2015年10月宣布实施普遍二孩政策，为了解户籍、性别对生育二胎选择倾向的影响，某地从育龄群体中随机抽取了容量为200的调查样本，其中城镇户籍与农村户籍各100人；男性120人，女性80人，绘制的不同群体中倾向选择生育二胎与倾向选择不生育二胎的人数比例图如图所示，其中阴影部分表示倾向选择生育二胎的对应比例，则下列叙述正确的是()A.是否倾向选择生育二胎与户籍有关B.是否倾向选择生育二胎与性别无关C.调查样本中倾向选择生育二胎的群体中，男性人数与女性人数相同D.倾向选择不生育二胎的群体中，农村户籍人数多于城镇户籍人数【答案】AB【分析】根据题中数据结合比例图逐项分析判断.【详解】由不同群体中倾向选择生育二胎与倾向选择不生育二胎的人数比例图，知：在A中，城镇户籍倾向选择生育二胎的比例为40%，农村户籍倾向选择生育二胎的比例为80%，所以是否倾向选择生育二胎与户籍有关，故A正确；在B中，男性倾向选择生育二胎的比例为60%，女性倾向选择生育二胎的比例为60%，所以是否倾向选择生育二胎与性别无关，故B正确；在C中，男性倾向选择生育二胎的比例为60%，人数为120×60%=72人，女性倾向选择生育二胎的比例为60%，人数为80×60%=48人，所以倾向选择生育二胎的人员中，男性人数与女性人数不相同，故C错误；在D 中，倾向选择不生育二胎的人员中，农村户籍人数为100×1-80% =20人，城镇户籍人数为100×1-40% =60人，所以倾向选择不生育二胎的人员中，农村户籍人数少于城镇户籍人数，故D 错误.故选：AB .10.双曲线具有以下光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．由此可得，过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角．已知F 1,F 2分别为双曲线C :x 23-y 2=1的左，右焦点，过C 右支上一点A x 0,y 0 x 0>3 作双曲线的切线交x 轴于点M ，交y 轴于点N ，则()A.平面上点B 4,1 ,AF 2 +AB 的最小值为37-23B.直线MN 的方程为xx 0-3yy 0=3C.过点F 1作F 1H ⊥AM ，垂足为H ，则OH =2(O 为坐标原点)D.四边形AF 1NF 2面积的最小值为4【答案】ABD【分析】对A ，利用双曲线定义将AF 2 转化为AF 1 -2a 可得解；对B ，设出直线MN 的方程为y -y 0=k x -x 0 与双曲线联立，根据Δ=0化简运算得解；对C ，由双曲线的光学性质可知，AM 平分∠F 1AF 2，延长F 1H 与AF 2的延长线交于点E ，则AH 垂直平分F 1E ，即AF 1 =AE ，H 为F 1E 的中点，进而得OH =12F 2E 得解；对D ，求出N 点坐标，根据S AF 1NF 2=S △AF 1F 2+S △NF 1F 2，结合基本不等式可求解.【详解】对于A ，由双曲线定义得AF 1 -AF 2 =2a =23，且F 1-2,0 ，则AF 2 +AB =AF 1 +AB -23≥BF 1 -23=4--22+1-23=37-23，所以AF 2 +AB 的最小值为37-2 3.故A 正确；对于B ，设直线MN 的方程为y -y 0=k x -x 0 ，k ≠±33，联立方程组y -y 0=k x -x 0 x 2-3y 2=3，消去y 整理得，1-3k 2 x 2+6k 2x 0-6ky 0 x -3k 2x 20+6kx 0y 0-3y 20-3=0，∴Δ=0，化简整理得9y 20k 2-6x 0y 0k +x 20=0，解得k =x 03y 0，可得直线MN 的方程为y -y 0=x03y 0x -x 0 ，即x 0x -3y 0y =3，故B 正确；对于C ，由双曲线的光学性质可知，AM 平分∠F 1AF 2，延长F 1H 与AF 2的延长线交于点E ，则AH 垂直平分F 1E ，即AF 1 =AE ，H 为F 1E 的中点，又O 是F 1F 2中点，所以OH =12F 2E =12AE -AF 2 =12AF 1 -AF 2 =a =3，故C 错误；对于D ，由直线MN 的方程为x 0x -3y 0y =3，令x =0，得y =-1y 0，则N 0,-1y 0，S AF 1NF 2=S △AF 1F 2+S △NF 1F 2=12×F 1F 2 ×y 0 +1y 0≥12×4×2y 0 ⋅1y 0=4，当且仅当y 0 =1y 0，即y 0=±1时等号成立，所以四边形AF 1NF 2面积的最小值为4，故D 项正确.故选：ABD ..【点睛】关键点睛：C 项中，结合已知给出的双曲线的光学性质，即可推出AH 垂直平分F 1E ，OH =12F 2E .11.数列a n 满足a n +1=14a n -6 3+6(n =1,2,3⋯)，则()A.当a 1=3时，a n 为递减数列，且存在M ∈R ，使a n >M 恒成立B.当a 1=5时，a n 为递增数列，且存在M ≤6，使a n <M 恒成立C.当a 1=7时，a n 为递减数列，且存在M ≥6，使a n >M 恒成立D.当a 1=9时，a n 递增数列，且存在M ∈R ，使a n <M 恒成立【答案】BC【分析】首先由数学归纳法求出数列的通项，再令a 1=3,5,7,9时代入通项中，求出具体通项公式，最后结合指数函数的性质逐一判断即可.【详解】由题意可知a n +1-6=14a n -6 3，∴a 2-6=14a 1-6 3,a 3-6=14a 2-6 3=1414a 1-6 3 3=14×143×a 1-6 32，归纳猜想：a n -6=141+3+32+⋯+3n -2a 1-6 3n -1=141-3n -11-3a 1-6 3n -1=223n -1a 1-6 3n -1，A ：当a 1=3时，a n -6=-2×32 3n -1，则a n 为递减数列，无边界，故A 错误；B ：当a 1=5时，a n -6=-2×123n -1，则a n 为递增数列，有边界，由指数函数的单调性可知，当n →∞时，a n →6，故存在M ≤6，使a n <M 恒成立，故B 正确；C ：当a 1=7时，a n -6=2×123n -1，则a n 为递减数列，有边界，由指数函数的单调性可知，当n →∞时，a n →6，故存在M ≥6，使a n >M 恒成立，故C 正确；D ：当a 1=9时，a n -6=2×323n -1，则a n 为递增数列，无边界，故D 错误；故选：BC .【点睛】关键点点睛：(1)当所给递推数列较为复杂时，(不为用常见的累加累乘等)可考虑先写出几项，然后用数学归纳法求出通项公式.(2)判断数列是否存在边界或数列不等式恒成立问题可结合指数函数的单调性判断.三、填空题12.已知cos a +π6 -sin α=435，则sin α+11π6=．【答案】-45【分析】由题意可得cos α+π6 -sin α=32cos α-32sin α=-3sin α-π6 =435，结合诱导公式可得结果.【详解】由cos α+π6 -sin α=32cos α-32sin α=-3sin α-π6 =435，∴sin α-π6 =-45而sin α+11π6 =sin α-π6+2π =sin α-π6 =-45．故答案为-45【点睛】本题考查三角函数的恒等变换，考查两角和与差正弦公式、诱导公式，考查计算能力，属于常考题型.13.设随机试验每次成功的概率为p ，现进行3次独立重复试验．在至少成功1次的条件下，3次试验全部成功的概率为413，则p =．【答案】23【分析】利用条件概率直接求解.【详解】在至少成功1次的条件下，3次试验全部成功的概率为413，则p 31-1-p3=413，解得p =23或-2(舍去).故答案为：2314.若函数f x =e x +cos x +a -1 x 存在最小值，则a 的取值范围是．【答案】-∞,1【分析】从a =1，a >1，及a <1进行分析求解.【详解】注意到，当a =1时，f x =e x +cos x ，由于e x >0，-1≤cos x ≤1，显然f x min →-1，没有最小值；当a >1时，e x +cos x >-1且无限接近-1，y =a -1 x 为增函数，则x →-∞，e x +cos x +a -1 x →-∞，x →+∞，e x +cos x +a -1 x →+∞，此时没有最小值；当a <1时，y =a -1 x 为减函数，则x →-∞，e x +cos x +a -1 x →+∞，x →+∞，由于y =e x 增长变化速度远大于y =a -1 x 减少速度，此时e x +cos x +a -1 x →+∞，由于函数定义域为R ,函数连续不断，所以f x =e x +cos x +a -1 x 存在最小值．故答案为：-∞,1四、解答题15.在△ABC 中，∠A =90°，点D 在BC 边上．在平面ABC 内，过D 作DF ⊥BC 且DF =AC ．(1)若D 为BC 的中点，且△CDF 的面积等于△ABC 的面积，求∠ABC ；(2)若∠ABC =45°，且BD =3CD ，求cos ∠CFB ．【答案】(1)∠ABC =60°(2)51751【分析】(1)由两三角形的面积相等可得12AB ⋅AC =12CD ⋅DF ，再由DF =AC 可得CD =AB ，从而结合已知可得BC =2AB ，进而可求得∠ABC ；(2)设AB =k ，则AC =k ,CB =2k ,BD =324k ,DF =k ，然后在△BDF ,△CDF 中分别利用勾股定理求出CF ,BF ，再在△CBF 中利用余弦定理可求得结果.【详解】(1)如图所示在△ABC 中，∠A =90°，点D 在BC 边上．在平面ABC 内，过D 作DF ⊥BC 且DF =AC ，所以S △ABC =12AB ⋅AC ，S △CDF =12CD ⋅DF ，且△CDF 的面积等于△ABC 的面积，由于DF =AC ，所以CD =AB ，因为D 为BC 的中点，故BC =2AB ，所以cos ∠ABC =AB BC =AB 2AB=12，因为∠ABC 为锐角，所以∠ABC =60°．(2)如图所示：设AB =k ，由于∠A =90°，∠ABC =45°，BD =3DC ,DF =AC ，所以AC =k ,CB =2k ,BD =324k ,DF =k ，由于DF ⊥BC ，所以CF 2=CD 2+DF 2，则CF =324k ．且BF 2=BD 2+DF 2，解得BF =344k ，在△CBF 中，利用余弦定理得cos ∠CFB =CF 2+BF 2-BC 22CF ⋅BF =98k 2+178k 2-2k 22×324k ⋅344k=5175116.如图，四棱锥S -ABCD 中，底面ABCD 为矩形.SA ⊥底面ABCD ，E ，F 分别为AD ，SC 的中点，EF 与平面ABCD 成45°角.(1)证明：EF 为异面直线AD 与SC 的公垂线；(2)若EF =12BC ，求二面角B -SC -D 的余弦值.【答案】(1)证明见解析；(2)-33.【分析】(1)要证EF 为异面直线AD 与SC 的公垂线，即证AD ⊥EF ，EF ⊥SC ，通过线面垂直即可证明；(2)以A 为坐标原点，AB ，AD ，AS 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，求出平面BSC 和平面SCD 的法向量，计算求解即可.【详解】(1)连接AC ，BD 交于点G ，连接EG ，FG ，因为四边形ABCD 为矩形，且E ，F 分别为AD ，SC 的中点，所以GE ⎳CD ，且GF ⎳SA ，又SA ⊥底面ABCD ，所以GF ⊥底面ABCD ，又AD ⊂平面ABCD ，所以GF ⊥AD ，又AD ⊥GE ，GE ∩GF =G ，GF ,GE ⊂面GEF ，所以AD ⊥平面GEF ，EF ⊂面GEF ，所以AD ⊥EF ，因为EF 与平面ABCD 成45°角，所以∠FEG =45°，所以GF =GE ，由SA =2FG ,AB =2GE ，所以SA =AB ，取SB 的中点H ，连接AH ，FH ，由F ，H 分别为SC ，SB 的中点，知FH ⎳BC ，FH =12BC ，又AE ⎳BC ，AE =12BC ，所以FH ⎳AE ，FH =AE ，所以四边形AEFH 为平行四边形，又SA =AB ，所以AH ⊥SB ，又BC ⊥平面SAB ，AH ⊂平面SAB ，所以BC ⊥AH ，又BC ∩SB =B ，BC ,SB ⊂面SBC ，所以AH ⊥平面SBC ，而AH ⎳EF ，所以EF ⊥平面SBC ，又SC ⊂平面SBC ，所以EF ⊥SC ，所以EF 为异面直线AD 与SC 的公垂线；(2)若EF =12BC ，设BC =2，则EF =1，则GE =GF =22，所以SA =AB =2，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AS 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，则B 2,0,0 ，D 0,2,0 ，S 0,0,2 ，C 2,2,0 ，从而SC =2,2,-2 ，BC =0,2,0 ，CD =-2,0,0 ，设平面BSC 的法向量为n 1 =x 1,y 1,z 1 ，则n 1 ⋅SC =0n 1 ⋅BC =0，即2x 1+2y 1-2z 1=02y 1=0 ，令z 1=1，可得n 1 =1,0,1 ，设平面SCD 的法向量为n 2 =x 2,y 2,z 2 ，则n 2 ⋅SC =0n 2 ⋅CD =0，即2x 2+2y 2-2z 2=0-2x 2=0 ，令z 2=2，可得n 2 =0,1,2 ，所以cos n 1 ,n 2 =n 1 ⋅n 2 n 1 n 2=22⋅3=33，由图可知二面角B -SC -D 的平面角为钝角，所以二面角B -SC -D 的余弦值为-33.17.A ，B 两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间(单位：天)记录如下：A 组：10，11，12，13，14，15，16；B 组：12，13，15，16，17，14，a ．假设所有病人的康复时间互相独立，从A ，B 两组随机各选1人，A 组选出的人记为甲，B 组选出的人记为乙．(1)如果a =25，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；(2)当a 为何值时，A ，B 两组病人康复时间的方差相等?【答案】(1)1049(2)a =11或18【分析】(1)列举出符合条件的方法，利用古典概率计算即可；(2)利用方差的意义求出即可.【详解】(1)从两组中随机选取一人，共有49种方法；其中甲的康复时间比乙的康复时间长的方法如下：13,12 ,14,12 ,14,13 ,15,12 ,15,13 ,15,14 ,16,12 ,16,13 ,16,15 ,16,14 ，共有10种方法，所以概率为1049.(2)把B 组数据调整为：12，13，14，15，16，17，a ，或a ，12，13，14，15，16，17，根据方差的意义为反应样本波动性的大小可知，a =11或18.18.已知抛物线y =ax 2(a >0)与双曲线y =1x交于点T ，两条曲线的公切线分别与抛物线、双曲线切于点P ，Q ．(1)证明：△PQT 存在两条中线互相垂直；(2)求△PQT 的面积．【答案】(1)证明见解析；(2)274.【分析】(1)设出切点P ,Q 的坐标，利用导数的几何意义求出公切线方程，进而求出三边的中点坐标即可推理得证.(2)利用(1)的结论，结合三角形重心定理求出面积.【详解】(1)设P (x P ,ax 2P ),Q x Q ,1x Q，由y =ax 2、y =1x ，求导得y =2ax、y =-1x 2，则抛物线y =ax 2(a >0)在点P 处切线方程为y -ax 2P =2ax P (x -x P )，双曲线y =1x 在点Q 处切线方程为y -1x Q =-1x 2Q(x -x Q )，由直线PQ 是两条曲线的公切线，得2ax P =-1x 2Q -ax 2P =2x Q ，解得x P =4x Q ，且-ax 2P =2x Q ，令x Q =-12t ，则x P =-2t ，P -2t ,4t ,Q -12t,-2t ，且a =t 3,t >0，由y =ax 2y =1x，解得x =1t ,y =t ，即点T 1t ,t ，则边PQ 中点M -54t ,t ，边PT 的中点K -12t ,5t 2 ，边QT 的中点L 14t ,-t 2 ，显然直线MT :y =t ，直线KQ :x =-12t，则直线MT ⊥KQ ，所以△PQT 存在两条中线互相垂直.(2)由(1)知，KQ =9t 2,MT =94t ，令△PQT 的重心为H ，所以△PQT 的面积S △PQT =2S KQT =2⋅12KQ ⋅TH =23KQ ⋅MT =23⋅9t 2⋅94t =274.【点睛】结论点睛：函数y =f (x )是区间D 上的可导函数，则曲线y =f (x )在点(x 0,f (x 0))(x 0∈D )处的切线方程为：y -f (x 0)=f (x 0)(x -x 0).19.已知函数f x =x +7x +a关于点-1,1 中心对称．(1)求函数f x 的解析式；(2)讨论g x =x f x 2在区间0,+∞ 上的单调性；(3)设a 1=1,a n +1=f a n ，证明：2n -22ln a n -ln7 <1．【答案】(1)f x =x +7x +1(2)答案见解析(3)证明见解析【分析】(1)由中心对称函数的性质得出即可；(2)利用导数分析其单调性即可；(3)将要证明的不等式利用对数运算变形为ln a 2n 7<12n -2，再用数学归纳法结合(2)证明即可.【详解】(1)因为函数f x =x +7x +a 关于点-1,1 中心对称，所以f -1-x +f -1+x =2，即-1-x +7a -1-x +-1+x +7-1+x +a =2，取x =2，可得4a -3+8a +1=2，解得a =1或a =7(舍去)，所以a =1，f x =x +7x +1.(2)因为g x =x f x 2，x >0，所以g x =x +7 2x +1 2+2x ×x +7x +1×-6x +12 =x +7 x -2 2+3 x +1 3，因为x +7>0,x +1 3>0,x -2 2+3≥3，所以g x >0恒成立，所以g x =x f x 2在区间0,+∞ 上单调递增.(3)证明：要证2n -22ln a n -ln7 <1，即证ln a 2n 7<12n -2，当n =1时，ln a 217 <121-2⇒ln 17 =ln7<ln e 2=2，成立，即证ln a 2n +17 <12n -1，即证ln a 2n +17 <12ln a 2n 7，由题意得a n >0，则即证ln a 2n +17 <ln a n 7，因为a 1=1,a n +1=f a n =a n +7a n +1，a n +1-7=a n +7a n +1-7=a n -7 1-7 a n +1，由a n >0，即a n -7与a n +1-7异号，当a n >7，0<a n +1<7，即证ln 7a 2n +1<ln a n 7，即证7a 2n +1<a n 7，即证a n a 2n +1>77，即证a n 7+a n 1+a n2>77，由(2)可知，当a n >7,g a n >g 7 =77成立.当a n +1>7,0<a n <7，即证ln a 2n +17<ln 7a n ，即证a 2n +17<7a n，即证a n a 2n +1<77，即证a n 7+a n 1+a n2<77，由(2)可知，当0<a n <7,g a n <g 7 =77成立.综上，得证.【点睛】关键点点睛：(1)若函数f x 满足f m -x +f m +x =2n ，则对称中心为m ,n ；(2)判断符合函数的单调性时，常用导数判断；(3)证明数列不等式，可用数学归纳法证明，分别取当n =1时的特例和n >1的一般情况证明.。
2019届浙江省杭州市高三教学质量检测数学试题(解析版)
2019届浙江省杭州市高三教学质量检测数学试题一、单选题1．设集合{}{}21,|4A x x B x x =>=≤，则A B =I ( ) A ．()1,2 B ．(]1,2C ．(]0,2 D ．()1,+∞【答案】B【解析】首先求解集合B ，然后求A B I . 【详解】24x ≤，解得22x -≤≤，所以{}22B x x =-≤≤， 所以{}12A B x x ⋂=<≤. 故选：B 【点睛】本题考查集合的交集，重点考查不等式的解法，属于基础题型.2．已知复数1z i =+（i 是虚数单位），则211z z -=+( )A ．iB ．i -C ．1i +D ．1i -【答案】A【解析】根据完全平方和除法计算公式计算结果. 【详解】原式()()()()()211212215112225i i i i ii i i i i +----=====++++-.故选：A 【点睛】本题考查复数的化简求值，属于基础计算题型.3．二项式612x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的常数项为( )A ．20B ．-20C ．160D ．-160【答案】D【解析】首先写出二项式的通项公式()6621612rrr r r T C x --+=-⋅⋅，然后令3r =求常数项. 【详解】()()66621661212rrr r rr r r T C x C x x ---+⎛⎫=⋅⋅-=-⋅⋅ ⎪⎝⎭当620r -=时，3r = ，所以二项式的常数项为()333612160C -⋅=-.故选：D 【点睛】本题考查二项式定理指定项的求法，重点考查通项公式，属于基础题型. 4．“a b >”是“a a b b >”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件【答案】C【解析】首先判断y x x =的单调性，再根据单调性判断充分必要条件. 【详解】22,0,0x x y x x x x ⎧≥==⎨-<⎩，函数是奇函数，并且在R 上单调递增，所以a b >时，a a b b >，反过来，若满足a a b b >时，根据函数y x x =是单调递增函数，所以a b >， 所以a b >”是“a a b b >”的充要条件. 故选：C 【点睛】本题考查充分必要条件，重点考查函数单调性的判断方法，转化与化归的思想，属于基础题型.5．《九章算术》卷五商功中有如下问题：今有刍甍（音meng ，底面为矩形的屋脊状的几何体），下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈，问积几何.已知该刍甍的三视图如图所示，则此刍甍的体积等于( )A ．3B ．5C ．6D ．12【答案】B【解析】首先由三视图还原几何体，再将刍甍分为三部分求解体积，最后计算求得刍甍的体积. 【详解】由三视图换元为如图所示的几何体，该几何体分为三部分，中间一部分是直棱柱，两侧是相同的三棱锥，并且三棱锥的体积113113⨯⨯⨯=， 中间棱柱的体积131232V =⨯⨯⨯= , 所以该刍甍的体积是1235⨯+=. 故选：B 【点睛】本题考查组合体的体积，重点考查空间想象能力和计算能力，属于中档题型. 6．函数()()212x y x x e =--（其中e 为自然对数的底数）的图象可能是( )A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】首先判断函数零点，并判断零点左右的正负，排除选项，得到正确答案. 【详解】由函数可知函数有两个零点，1,x =和2x =，当2x >时，0y >，2x <且1x ≠时，0y < ，故排除B,C,D. 满足条件的是A. 故选：A 【点睛】本题考查函数图象的识别，重点考查函数性质的灵活应用，属于基础题型，一般函数图象的识别，首先考查函数的定义域，零点，单调性，极值，特殊值等，一般都是排除选项，得到正确答案.7．已知a c ≠，随机变量ξ，η的分布列如表所示.ξ1 2 3Pabcη1 2 3 P cba命题p ：=E E ξη，命题q ：D D ξη=，则( ) A ．p 真q 真 B ．p 真q 假C ．p 假q 真D ．p 假q 假【答案】C【解析】首先分别求E ξ和E η，然后比较，利用公式()()22D E E ξξξ=-，利用公式1a b c ++=，计算D D ξη-的值.【详解】12323E a b c a b c ξ=⨯+⨯+⨯=++ 12332E c b a a b c η=⨯+⨯+⨯=++ ，()2E E c a ξη-=- a c ≠Q ，E E ξη∴≠，所以命题p 是假命题，()249E a b c ξ=++，()()2223E a b c ξ=++，所以()()24923D a b c a b c ξ=++-++()294E a b c η=++，()()2232E a b c η=++，()()()()2229432D E E a b c a b c ηηη=-=++-++ ，()()()()()2283223D D c a a b c a b c ξη-=-+++-++()()()822444c a a c a b c =-+-++ ， 1a b c ++=Q ，所以()()()()880D D c a a c ξη-=-+-=， 即()()D D ξη=,所以命题q 是真命题. 综上可知p 假q 真. 故选：C 【点睛】本题考查离散型分布列的期望方差，属于重点题型，本题使用的关键公式是()()22D E E ξξξ=-，比较大小的关键是利用1a b c ++=. 8．设函数()111222xxf x ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则函数()()y f f x =( )A ．是偶函数也是周期函数B ．是偶函数但不是周期函数C ．不是偶函数是周期函数D ．既不是偶函数也不是周期函数【答案】A【解析】首先去绝对值，得到分段函数()y f x =，判断函数的奇偶性，然后根据()f x 的值域，求函数()()y f f x =，判断函数的周期性.【详解】当1x >时，1122x ⎛⎫< ⎪⎝⎭，所以()1111122222x xx f x -⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，当1x ≤时，11,122x⎛⎫⎡⎤∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以()11112222xxf x ⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，所以()112122x f x -⎧-⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩ 11x x ≤> ， 函数满足()()f x f x -= ， 所以函数()f x 是偶函数， 那么()()()()ff x f f x -=，所以函数()()y f f x =是偶函数，1x >时，10x -<，所以1021x -<<，11112222x --<-<，所以函数()f x 的值域是11,22⎡⎫-⎪⎢⎣⎭， 所以()12f f x =-⎡⎤⎣⎦， 所以()()y ff x =是常函数，所以是周期函数，综上可知，函数()()y f f x =是偶函数，也是周期函数.故选：A 【点睛】本题考查含绝对值函数，判断函数的奇偶性和周期，重点考查函数解析式和性质的灵活运用，属于中档题型，本题的关键是求函数()y f x =. 9．已知数列{}n a 满足112(,2)n n n a a a n n *-+∈≥N ≤＋，则（ ） A ．52143a a a ≤- B ．2736a a a a +≤+ C ．76633()a a a a -≥- D ．2367a a a a +≥+【答案】C【解析】由112n n n a a a -+≤＋可知11n n n n a a a a -+-≤-，再根据这个不等关系判断选项正误． 【详解】由题得11n n n n a a a a -+-≤-，则有213243546576a a a a a a a a a a a a -≤-≤-≤-≤-≤-， 76435465633()()()()a a a a a a a a a a -≥-+-+-=-，故选C ．【点睛】本题考查数列的递推关系，用到了放缩的方法，属于难题．10．已知椭圆Γ：()222210x y a b a b+=>>，直线1x y +=与椭圆Γ交于M ，N 两点，以线段MN 为直径的圆经过原点.若椭圆Γ的离心率不大于2，则a 的取值范围为（ ）A ．(B ．2⎛ ⎝C ．⎛ ⎝⎦D ．⎛ ⎝⎦【答案】D【解析】由题意可得a >1，联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理，直径所对的圆周角为直角，化为12120x x y y +=，化简整理，结合离心率公式和不等式的解法，可得a 的范围． 【详解】椭圆Γ：()222210x y a b a b+=>>，直线1x y +=与椭圆Γ交于M ，N 两点，可得a >1，由1x y +=联立椭圆方程可得()222222220a bxa x a ab +-+-=，设()()1122,,,M x y N x y ,可得2222121222222,a a a b x x x x a b a b -+==++， 线段MN 为直径的圆经过原点，可得OM ⊥ON ， 即有12120x x y y +=，可得()()1212110x x x x +--=， 化为()1212210x x x x +-+=，则222222222210a a b a a b a b -⋅+-=++，化为22222a b a b +=，由2e ≤,可得22314b a -≤，即2214b a ≥,可得22212a a a ≥-，即有2214a -≤,解得a ≤， 可得12a <≤ 故选：D . 【点睛】本题主要考查直线与椭圆位置关系问题，根据题目条件列出不等式，重点在于联立方程利用韦达定理代入，化简不等关系可解，属于综合题.二、双空题11．双曲线2214x y -=的焦距为__________；渐近线方程为__________．【答案】 12y x =±【解析】由双曲线2214x y -=可知，224,1,a b ==故2225c a b =+=,焦距2c =渐近线:12b y x x a =±=±,故答案为(1) ， (2) 12y x =±.12．设函数()()()log 020a x x x f x x ⎧>⎪=⎨≤⎪⎩，若1122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则实数a=________；()()2f f =________.【答案】14 2【解析】代入分段函数求a 的值，然后再求()2f 和()()2f f 的值. 【详解】111log 222a f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，得121124a a =⇒=所以()14log 2x x f x ⎧⎪=⎨⎪⎩ 00x x >≤ ，那么()1412log 22f ==-，所以()()1212222f f f -⎛⎫=-== ⎪⎝⎭.故答案为：14；2【点睛】本题考查分段函数求值，属于基础题型.13．在ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知1cos 24C =-，则sin C =________；当2a =，2sin sin A C =时，则b =________.或【解析】首先根据二倍角公式2cos 212sin C C =-计算求值，再根据正弦定理得到2c a =，最后利用余弦定理2222cos c a b ab C =+-，求b .【详解】21cos 212sin 4C C =-=-，所以25sin 8C =0c π<<Q ，sin C ∴=所以cos 4C =±, 由正弦定理可知24c a ==，2222cos c a b ab C ∴=+-,当cos 4C =时，整理为2120b --= ，即(0b b +-=，所以b =当cos 4C =-，整理为2120b +-=，即(0b b -+=，所以b =，所以b =.故答案为：4或【点睛】本题考查二倍角公式，正余弦定理，解三角形，重点考查公式的灵活运用，属于基础题型.14．设实数x，y满足不等式组2502700,0x yx yx y+-≥⎧⎪+-≥⎨⎪≥≥⎩，则2x y+的最小值是________；设22d x y=+，则d的最小值等于________.【答案】5 49 5【解析】首先画出可行域，并且做出初始目标函数20x y+=，根据2z x y=+的几何意义确定z的最小值，再根据22d x y=+的几何意义是可行域内的点到原点距离的平方，由图象确定最小值.【详解】首先如图作出可行域，令2z x y=+，设0z=时，作出初始目标函数20x y+=20x y+=与边界250x y+-=平行，平移初始目标函数20x y+=，当2z x y=+与250x y+-=重合时，z取得最小值，所以5z=；22d x y=+表示可行域内的点与原点连线距离的平方，由图象可知，可行域内的点到原点的最小距离就是原点到直线270x y+-=的距离，即22775521d-'==+，那么d的最小值是275495⎛⎫=⎪⎪⎝⎭.故答案为：5；495【点睛】本题考查线性规划和非线性规划，重点考查数形结合分析问题的能力，属于基础题型.三、填空题15．已知集合{}13,5A =,，{}0,2,4B =，分别从A ，B 中各取2个不同的数，能组成不同的能被3整除的四位偶数的个数是________（用数字作答）. 【答案】32【解析】首先先从两个集合分别选出两个元素，这四个数加起来能被3整除，然后再排列4为偶数，得到最后结果. 【详解】首先先从两个集合中选取元素，分别选取1,3,0,2，1,5,2,4，3,5,0,4共3种组合情况，当四个数是1,3,0,2时，能组成的偶数：个位是0时，共有336A =种，个位是2时，有2224A =种，有6410+=种，当四个数是1,5,2,4时，能组成的偶数有33212A =种，当四个数是3,5,0,4时，能组成的偶数：个位是0时，共有336A =种，个位是4时，有2224A =种，有6410+=种，综上可知能组成不同的能被3整除的四位偶数的个数是10+12+10=32种. 故答案为：32 【点睛】本题考查分步计数和分类计数原理，以及排列，重点考查分析，抽象转化的应用能力，属于中档题型，本题的关键是正确选出4个数字.16．已知向量()1,2a =r ，平面向量b r满足()2a b a +⋅=v v v v，则()4b a b -⋅v v v 的最小值等于________. 【答案】20【解析】由已知条件变形可得10a b ⋅=-rr r ，再利用数量积的公式，将()4b a b-⋅v v v 变形为关于b r的二次函数求最小值.【详解】()222a b a a a b +⋅=+⋅=r rr r r r即105a b b +⋅=r r r ，即510a b b ⋅=-rr r ，()22444540b a b b a b b b -⋅=-⋅=-+r r r r r r r r()22520b =-+r，当25b =r 时，可得()4b a b -⋅r rr 的最小值是20.故答案为：20 【点睛】本题考查向量数量积的应用，二次函数求最值，重点考查转化与化归的思想，计算能力，属于基础题型.17．如图，已知矩形ABCD ，3AB =，1AD =，AF ⊥平面ABC ，且3AF =.E 为线段DC 上一点，沿直线AE 将△ADE 翻折成D AE 'V ，M 为BD '的中点，则三棱锥M BCF -体积的最小值是________.【答案】312【解析】首先分析出11123322BCF S BC BF =⨯⨯=⨯⨯=V 即求棱锥M BCF -体积的最小值即求点M 到平面BCF 的距离的最小值，转化为求点D ¢到平面BCF 距离的最小值，由条件确定点D ¢的运动轨迹为以A 为球心，半径为1的球面的一部分，然后根据图象分析点D ¢到平面BCF 距离的最小值. 【详解】因为AF ⊥平面ABCD ，所以AF BC ⊥, 又因为AB BC ⊥，AB AF A =I ， 所以BC ⊥平面ABF ， 所以BC BF ⊥()223323BF =+=所以11123322BCF S BC BF =⨯⨯=⨯⨯=V所以求棱锥M BCF -体积的最小值即求点M 到平面BCF 的距离的最小值， 因为点M 是BD '的中点，所以点M 到平面BCF 的距离是点D ¢到平面BCF 距离的一半， 因为1AD '=,随着点E 在线段DC 上移动，点D ¢的运动轨迹为以A 为球心，半径为1的球面的一部分， 因为BC ⊥平面ABF ，所以平面BCF ⊥平面ABF ，并且交于BF ， 所以如图，过点A 作AH BF ⊥，即AH ⊥平面BCF ，当D ¢为AH 与球面的交点G 时，D ¢到平面BCF 的距离最小， 此时点E 在线段DC 上， 根据AB AF BF AH ⋅=⋅，可得32AH =,此时31122GH =-=，即D ¢到平面BCF 的距离的最小值是12，那么点M 到平面BCF 距离的最小值是14，所以三棱锥M BCF -体积的最小值是11333412=. 故答案为：312【点睛】本题考查三棱锥体积的最小值，考查空间点的轨迹问题，意在考查空间想象能力，和数形结合分析问题的能力，属于中档题型.四、解答题18．已知函数()23sin 22sin f x x x =+.（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）当,36x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的值域. 【答案】（1）(),63k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；（2）[]1,2-.【解析】（1）首先利用二倍角公式和辅助角公式化简函数()2sin 216f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，再求函数的单调递增区间； （2）先求26x π-的范围，再求函数sin 26x π⎛⎫-⎪⎝⎭的范围，最后求函数的值域. 【详解】（1）因为()3sin 21cos 22sin 216f x x x x π⎛⎫=+-=-+ ⎪⎝⎭， 令222262k x k πππππ-+≤-≤+，解得,63k x k k Z ππππ-+≤≤+∈所以函数()f x 的单调增区间为(),63k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦.（2）因为,36x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以52,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， 所以1sin 21,62x π⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 所以()f x 的值域为[]1,2-. 【点睛】本题考查三角函数恒等变换和函数性质的综合应用，重点考查基本变形，基本方法，属于基础题型.19．如图，四边形ABCD 为矩形，平面ABEF ⊥平面ABCD ，//EF AB ，90BAF ∠=︒，2AD =，1AB AF ==，点P 在线段DF 上.（1）求证：AF ⊥平面ABCD ； （2）若二面角D AP C --，求PF 的长度. 【答案】（1）见解析；（2【解析】（1）先证明AB AF ⊥，又平面ABEF ⊥平面ABCD ，即得AF ⊥平面ABCD ；（2）以A 为原点，以AB ，AD ，AF 为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，由题得cos ,m AB m AB m AB⋅===u u u vu u u v u u u v ，解方程即得解.【详解】（1）证明：∵90BAF ∠=︒，∴AB AF ⊥，又平面ABEF ⊥平面ABCD ，平面ABEF I 平面ABCD AB =，AF ⊂平面ABEF ， ∴AF ⊥平面ABCD .（2）以A 为原点，以AB ，AD ，AF 为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0A ，()1,0,0B ，()1,2,0C ，()0,2,0D，()0,0,1F ，∴()0,2,1FD u u u v =-，()1,2,0AC =u u u v，()1,0,0AB =u u u r由题知，AB ⊥平面ADF ，∴()1,0,0AB =u u u r为平面ADF 的一个法向量，设()01FP FD λλ=≤<u u u v u u u v ，则()0,2,1P λλ-，∴()0,2,1AP λλ=-u u u v， 设平面APC 的一个法向量为(),,x y z =m ，则00m AP m AC ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v u u u v ， ∴()21020y z x y λλ⎧+-=⎨+=⎩，令1y =，可得22,1,1m λλ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭，∴cos ,3m AB m AB m AB⋅===u u u vu u u v u u u v ，得13λ=或1λ=-（舍去），∴PF =【点睛】本题主要考查空间垂直关系的证明，考查二面角的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.20．设等差数列{}n a 前n 项和为n A ，等比数列{}n b 前n 项和为n B .若387n n B B +=+，12a b =，44a b =.（1）求n b 和n A ；（2）求数列{}n n b A -的最小项. 【答案】（1）12n nb -=，2n A n n =+；（2）514c =-.【解析】（1）由等比数列的性质，变形条件为3112387n n n B q B a a a B +=+++=+，列方程求等比数列的首项和公比，再由12a b =，44a b =，求等差数列的首项和公差；（2）由（1）可知122n n n b A n n +-=--，判断数列的单调性，再求最小项.【详解】（1）因为3312387n n n B q B b b b B +=+++=+，所以312387q b b b ⎧=⎨++=⎩，解得112b q =⎧⎨=⎩. 所以12n nb -=.又因为122a b ==，448a b ==，所以2d =，2n a n =，因此2n A n n =+. （2）设122n n n n c b A n n -=-=--.又因为()11221n n n c c n -+-=-+，所以当4n ≤时，1n n c c +<，当5n ≥时，1n n c c +>， 所以数列{}n c 的最小项为514c =-.【点睛】本题考查数列的基本量的求解和等比数列的性质，以及数列的单调性，最值的综合应用，意在考查转化与变形，计算能力，属于中档题型，本题第一问巧妙的运用了等比数列的性质33123n n B q B b b b +=+++，这样问题迎刃而解.21．如图，已知()1,1P 为抛物线2y x =上一点，斜率分别为k ，k -()2k >的直线PA ，PB 分别交抛物线于点A ，B （不与点P 重合）.（1）证明：直线AB 的斜率为定值； （2）若△ABP 265. （i ）求△ABP 的周长（用k 表示）； （ii ）求直线AB 的方程.【答案】（1）证明见解析；（2）（i ）22125k k +；（ii ）224y x =-+. 【解析】（1）首先设直线P A 的方程为()11y k x =-+，与抛物线2y x =联立，求得点A 的坐标，将k k =-，求得点B 的坐标，再求直线AB 的斜率；（2）（ⅰ）利用弦长公式，分别求三角形的三边长，（ⅱ）首先求点P 到直线AB 的距离，再利用等面积公式转化方程求k ，最后求直线AB 的方程. 【详解】（1）设直线P A 的方程为()11y k x =-+，与抛物线2y x =联立，得210x kx k -+-=，易知()()21,1A k k --，()()21,1B k k --+， 所以直线AB 的斜率2AB k =-（定值）.（2）由（1）得直线AB 的方程为()()2211y x k k =--++-，所以点P 到直线AB的距离2d =. ()2AP k =-，()2BP k =+，AB =.（ⅰ）求ABP ∆的周长2l =； （ⅱ）设ABP ∆的内切圆半径为r，则r =-2AB d r l⋅====5k =. 所以直线AB 的方程为224y x =-+. 【点睛】本题考查直线与抛物线位置关系的综合应用，重点考查转化与化归的思想，计算能力，坐标法解决几何问题的思想，属于中档题型，本题的关键是利用方程联立求出点,A B 的坐标.22．已知函数()()1xf x x e =-.（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）若方程()(),f x ax b a b R =+∈有非负实数解，求2+4a b 的最小值. 【答案】（1）()0,∞+；（2）()24ln 21--.【解析】（1）首先求函数的导数()xf x xe '=，直接求函数的单调递增区间；（2）设()()g x f x ax b =--，求函数的导数()x g x xe a '=-，当0a ≤时，判断函数在()0,∞+上单调性，当有非负实数解时，求24a b +的最小值，当0a >，转化为存在00x >使()00g x '=，即00x a x e =，且()g x 在[]00,x 上单调递减，在[)0,x +∞上单调递增转化为()002222000441x x a b x ex x e +≥--+，通过构造函数()()22241x x h x x e x x e =--+，求函数的最小值.【详解】（1）因为()xf x xe '=，所以函数()f x 的单调递增区间为()0,∞+.（2）设()()1xg x x e ax b =---，则()xg x xe a '=-.①当0a ≤时，因为()0g x '≥，所以()g x 在[)0,+∞单调递增， 所以()010g b =--≤，得1b ≥-，故244a b +≥-. ②当0a >时，存在00x >使()00g x '=，即00xa x e =，且()g x 在[]00,x 上单调递减，在[)0,x +∞上单调递增.所以()()000010xg x x e ax b =---≤，解得()()0002000011x x x b x e ax x e x e ≥--=--，因此()002222000441x x a b x e x x e +≥--+.设()()22241xx h x x ex x e =--+，则()()()222x x x h x x e e =+-'，所以()h x 在[]0,ln 2上单调递减，在[)ln 2,+∞上单调递增， 所以()()ln 204h h <=-，()()2ln 24ln 28ln 28h x h ≥=-+-.所以当2ln2a =，22ln 22ln 22b =-+-时，24a b +取到最小值()24ln 21--，此时方程()f x ax b =+有零点ln 2.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，最值，零点，属于综合性强的题型，本题的难点是第二问0a >时的讨论，通过转化，变形构造函数，转化为求函数的最小值.。
学军中学高三数学试卷
一、选择题（每题5分，共50分）1. 已知函数$f(x)=\sqrt{1-x^2}$，则函数的值域为（）A. $[0,1]$B. $[0,+\infty)$C. $[-1,0]$D. $[-1,1]$2. 若等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，且$a_1+a_5=12$，$S_9=81$，则$a_4$的值为（）A. 5B. 6C. 7D. 83. 在平面直角坐标系中，直线$y=2x+1$与圆$x^2+y^2=4$相交于A、B两点，若$\angle AOB=90^\circ$，则线段AB的中点坐标为（）A. $(0,1)$B. $(1,0)$C. $(-1,0)$D. $(0,-1)$4. 已知复数$z$满足$|z-1|=|z+1|$，则$z$在复平面上的对应点一定位于（）A. 实轴上B. 虚轴上C. 第一象限D. 第二象限5. 已知函数$f(x)=x^3-3x^2+4x-6$，则$f(x)$的极值点为（）A. $x=1$B. $x=2$C. $x=3$D. $x=4$6. 若等比数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，且$a_1+a_3=6$，$a_2+a_4=12$，则$a_1$的值为（）A. 2B. 3C. 4D. 67. 在平面直角坐标系中，抛物线$y^2=4x$的焦点为（）A. $(0,1)$B. $(0,2)$C. $(1,0)$D. $(2,0)$8. 已知复数$z$满足$|z-1|=|z+1|$，则$z$在复平面上的对应点一定位于（）A. 实轴上B. 虚轴上C. 第一象限D. 第二象限9. 若函数$f(x)=x^3-3x^2+4x-6$在区间$[0,3]$上单调递增，则$f(0)$、$f(1)$、$f(2)$、$f(3)$的大小关系为（）A. $f(0)>f(1)>f(2)>f(3)$B. $f(0)<f(1)<f(2)<f(3)$C. $f(0)>f(1)<f(2)>f(3)$D. $f(0)<f(1)>f(2)<f(3)$10. 已知等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，且$a_1+a_5=12$，$S_9=81$，则$a_4$的值为（）A. 5B. 6C. 7D. 8二、填空题（每题5分，共25分）11. 函数$f(x)=x^2-2x+1$的对称轴方程为______。
2019届学军中学数学试卷
A． 1
B．0
C．1
D．0 或 1
5．函数 f ( x) ( x 1) ln(| x 1 |) 的大致图象是（ ）
y
y
y
y
1 O 12
1 O
x
12
O x 1 1 2
O
x
1 1 2
x
A．
B．
C．
D．
6．已知直线 l1 : ax 2 y 4 0 ， l2 : x (a 1) y 2 0 ，则“ a 1 ”是“ l1 // l2 ”的（ ）
(第 19 题图)
20．（本题满分 15 分）数列 an 是等比数列，公比大于 0 ，前 n 项和 Sn n N ，bn 是等差数
列，已知 a1
1 2
，
1 a3
1 a2
4 ， a3
b4
1 b6
， a4
b5
1 2b7
.
（Ⅰ）求数列an ，bn 的通项公式 an ， bn ；
（Ⅱ）设 Sn的前 n 项和为Tn n N ，
n
（i）求 Tn ；（ii）证明： i 1
Ti1 bi1 bi3 1 .
bi1 bi2
2
21．（本题满分 15 分）已知直线 l：y kx b 与抛物线 C : y2 4x 交于不同
的两点 A，B.F 为抛物线 C 的焦点，O 为坐标原点，G 是△OAB 的重心，直线
l
恒过点
P
(7 2
．
14.已知函数 f (x) x2 tx t (t 0) ，若 x [1, 0] 时， f (x)max 2 ，则 t
记集合 A {x | f (x) 0} ，若 A Z （ Z 为整数集）中恰有一个元素，则 t 的取值范围
浙江省杭州市2019学年第二学期高三年级教学质量检测数学试题含答案(2020.5)
16.函数 ye x4x 1( 其中 e 为自然对数的底数 )的图象可能是 (2019学年第二学期杭州市高三年级教学质量检测数学试卷 2020.5一、选择题1.设集合 A=x|y 4 x 2 B {x|y ln x 1},则 A ∩B=( )A. 2,2B. 2.2C. 1,2D. 1.2x y 1 02.设 M 为不等式所表示的平面区域 ,则位于 M 内的点是 ()x y 1 0A 0,2B 2,0C 0, 2 D.(20)3. 某空间几何体的三视图如图所示 ,则该几何体的体积为 ( )4,n a 3n 是”函数 f x |x 1| |x a| x R 的最小值等于 2”的()A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C.既不充分也不必要条件 D.充要条件5.在我国古代数学著作 《详解九章算法》 中,记载着如图所示的一张数表 ,表中除 1 以外的每一个数都等于它肩上两个数之和 ,如:6=3+3则这个表格中第 8行第6个 数是 ( ) A.21 B.28 C.35 D.565D 4C 5B7.抛掷一枚质地均匀的硬币 ,若出现正面朝上则停止抛掷 ,至多抛掷 n i 次,设抛掷次数为随机变量 i ,i 1,2.若 n 1=3n 2=5,则()A.E( 1) E, 2 <D 1 <D 2B.E 1 E 2 ,D 1 <D 2C.E 1 E 2 ,D 1 D 2 )D.E 1 E 2 ,D 2 ,D 1 D 28.已知函数 f xsin(x a)(x 0) 是偶函数,则 ab 的值可能是 ( ) cos(x b),(x 0)2A.a ,bB.a ,b 3 3 3 6C. ,bD.a 2 ,b 53 6 3 69.设 a,b,c 为非零不共线向量 ,若|a tc (1 t)b ⋯|a c|(t R) 则(1 1 1 1A ． 6B ． 4C ．3D ．2A. a b a cB. a bb*c C. a c a b D. a cbc10.数列｛a n ｝满足a n4a n 13 3n N * . 若存在实数 c.使不等式 a 2n <c<a 2n-1 4对任意 n ∈N *恒成立,当 a 1 1 时,c=()11. 设复数z a i且z 1 b（i a,b R, i为虚数单位）则ab= ▲ |z|= ▲1i612. x 1的的展开式的所有二次项系数和为▲ 常数项为▲x2213. 设双曲线, x2y21 a 0,b 0 的左、右焦点为F,2P 为该双曲线上一点ab且2|PF1| 3|PF2|若F1PF2 60 ,则该双曲线的离心率为▲ 渐近线方程为▲14. 在VABC中,若2sin2 A 3sin A,sin B C 2cosBsinC .2则 A _____ , AC _______AB15.已知S n是等差数列{a n}的前n项和,若S2厔4, S4 16,则a3的最大值是▲16. 安排ABCDEF 共6 名志愿者照顾甲、乙、丙三位老人,每两位志愿者照顾一位老人,考虑到志愿者与老人住址距离问题,志愿者 A 安排照顾老人甲,志愿者 B 不安排照顾老人乙,则安排方法共有▲ 种17. 已知函数 f x |x3a| |3x b| a,b R .当x 0,2 ., f x 的最大值为M a,b ,则M a,b 的最小值为▲18.已知函数 f x 12sin x 3cos 2 2x 23, 0(1)若 ω=1.求 f x 的单调递增区间 2)若 f1. 求 f x 的最小正周期 T 的最大值319. 如图 ,在四棱锥 P=ABCD 中,PC ⊥底面 ABCD,底面 ABCD 是直角梯形AB AD.ABPCD AB=2AD=2CD=2 ，E 是 PB 上的点 (1)求证 :平面 EAC ⊥ PBC;(2)若E 是PB 的中点,且二面角P AC E 的余弦值为 36 ,求直线 PA 与平20. (本题满分 15分)已知数列 {a n } 的各项均为正数 其前 n 项和为 S n ,b 2 S 6 81. (1)求数列{a n } 的通项公式(2)c n1 a 1 1 a 21 a n,T na1a23L n , 若对任意的正整数 n,都有c 1 c 2 c 3c n4aT n <c 恒成立 ,求实数 a 的取值范围21. (本题满分 15分)如图,已知 M(1,2)为抛物线 C:y 2 2px p 0 上一点，过点 D 2, 2 的直线与抛物线 C 交于 AB 两点 (AB 两点异于 M),记直线 AM,BM 的料 率分面 EAC 所成角的正弦值,{b n } 是等差数列别为k1,,,,k2(1)求k1k2 的值(2)记VAMD ,VBMD 的面积分别为S1,S2,当k1 1,2 ,L求S1的取值范围22. (本题满分15 分)已知函数f x e x a ln x a , x⋯0 . 其中 a 0,(1)若a=l.求证: f x 0.(2)若不等式f x ⋯2x a 1 1 ln2 对x 0恒成立,试求a的取值范围玄三伐辛•箒I « CA 4 «)2019学年第二学期杭州市高三年级教学质量检测数学试題琴考答案及评分标准三.解(本大贮共5小越，共74分>18.⑴出QMI 时./(x)≡-sinx÷ >∕3cos ,- - — =-sinx÷-八 2 2 2 222A∏--Z≤1≤2jtπ÷-l ▲奁 Z6 6听以/COtfJ 单调递培区间是［”兀一｛・2心! + 2LkZ ・••••・•7分6 6(II)由 /(Λ)=丄Sinm÷ 73cos 2 — -—=丄Sinfar÷ -Λ>S ^X =si ∣Xm ÷-)・ 2 2 2 22 3因为所以sin<∙, I ÷ — = 2皿 + 亍∙ Λ e Z .乂因为函数/⑴的最小J ：JBJuT =—•且e>()∙ 所以^ω=⅛j. 7•的艮人伯为"・-k 选擇If ：本大题共10小込 毎小通4分•共40分.在每小題绘出的四个选项中・只有一项是符合題目要求的.非选择题部分(共110分)二 填空本大範共7小⅛L 多空贮毎憩6分，≡≥½⅜S4分.共％分. "・ 一6,√ΠT I2・ M∙ 2014. I15・916・ 1817・7U. √7: ⅜≡^√Sr COSx = SIn(X÷-)・2 J19.(I)∣M ¾ FC—平(M ABCD.AC U平(fc ABCD.所以AC丄PC∙因为Λtf=2∙ .4D=CD=L所以AC・BC・4・所以^C2+ΛC J≡A∕F,所以A「丄〃G又BCWG所以AC丄半L⅛ PBC9⅛i为ACC SΛΛFΛC.HrW T-而UC丄半面MU(II)以C为原点•建所示的空何fl：角生标系.则QO, 0. O)VΛh Ir 0). Ba9 -L 0), i殳R0∙ 0. U)(α>0X则Eg -I t S>t CA=(]. L 0). CP=(O. 0. “)∙ C£=(|・一孑≡).IuIW■(】• -I. 0).则m CP≡m G*≡()∙所以炳为J F⅛1MC的法向SLta ∕>≡(-r. .▼• J为TffiMC 的沐向fit•则/I C4=Λ L7=(>∙即j x+p ()• 取Λ=<f t V=-α. :=-2. >!J ∕f=(α. —σ. —2). (,X —y ÷ αz = 0 ・依电岂kσss ∙ ^I=-T⅛Γ7=τ∙解得“=2.所以∕∣=(2. -2. 一2)・设自钱PA与半面UC階或用为次Zl Sintf= ∣c∞<^∙ Λ>l=γ∙ 即直线∕¾ iJTd∏以「所成如的正弦值为耳・……R分20.(本题满分15分)廉(I) VuK｝的公差为几由h∙⅛=81. ^(2+jχi2+15Λ=8l. 即5√7÷14d-19 = 0・⅜m <∕-ι¾<∕--⅛因为敦列g∙｝为⅛l⅞j⅛为正汰加=壽=2•術以dtθ∙听以d≈∖.所以Z>R=Λ+1.所以切=匸寻・... 7分(Λ4 «)(E因为”(T)(T)..(一為)呼号(n+iy 2(π+l)t 術以件∙2∣GY)+G-9+ +(⅛-⅛)∣-⅛⅛Γ以彳、徐式4<⑺VS 化为4α上严C・>lτ4 ZIIB即gαvdi=l+丄+亠恒戚立. n(n*l) n ・1*n血刘川・I ■ • * ,~1 " 1t,洞ifil>t∙n <a÷R所以8α<h BPα≤⅛21. (4题满分15分)(I)柠丽(∣∙ 2)代入拠罚线G y = 2f n方出得P≈2. 所以柚物线力用为Γ-4t.方用为：Λ=∕F<,V+2>+2∙代入枪切线方出,冯V2-Jm—8〃Lg=0・设A(xι9Vi>∙ B(X V2)∙则V∣+y2≡4m. y∣yz=-(8∏ι+8).IIA ii∑2∙^÷^ ∙ 7⅛z^≡ ----- --- ----■---------- -------- ≡ -4.,∙χ>-ι γ-ι γ-ι (r.÷2χy a÷2) r∣y j÷2(y l4yj44)所以4Mi=~4. ••••••8 分(H)由(1)⅛lA∣=τ⅛e∣1∙ 2]∙所以yι+2≡(2∙ 4|.fc≡7⅛∙ EP T⅛⅛=^4* 朋⅛^=^I'∙廿¾=⅛≡∣1∙ 4】)・22. ｛本题洪分15分)(I) fh<i=l∙ ^/(Λ)=e'∙,-lnu+h. t>0,所以⅛7Xn≡e--'--lτ・所以∕w在IQy>)上单WJtm・且∕χo)=;-∣<o. ∕u)=∣>o.&三做竿•活3 A c⅛4 «)所以存在.u∈(0∙ l)t 使∕t%)=O.所以∙^Λ∈(O. ∕W<O. T∙rw(3 +*)时∙βTYQ>O∙所以U∙ ≡∕(⅞) -C rO"1—∣n( tβ +1). (•)^∙-t-¼T=0∙即k沽.网边馭对数.得In(M+ l>=l-χo∙代入(♦)• fi∕C<>mΛ=∕(¼)=^77+^o~ 1 =τ^77^θ∙ ...... 8 分(II)由直恿福e,*w-ln(x÷4∣)>√2x ÷ α + 1 -1 -InZ 对x>3 成立. (O必婪性，将戈=1代入上迩小等式.宙c r--ln< 1 +tf)^√7TT-∣-l∏2.即ln( 1 +α)+ STr3-C1-*-1 - I∏2≤O∙令X(Ol=IlM 1 +α)+√α + 3—严一I —1∏2 ・易知的)在® 4»)上单UIjaiβ∙且S(I)-O.所以UVaWl.(Ii)下iff1⅜O<a≤l B*j∙ e x*d-ln(.r+tθ^√ir + a + 1 — 1 —In2 对J^O 戚立. 即证l∏(τ+a)+√2x + a ÷≤ I + >∏2.因为O<aWl∙所以ln(Λ+a)+√2χ + a ÷ 1 — c^*,j≤ln(Λ +1)+√Zx + 2—c**i.⅛ ∕XΛ>=ltv+l>+√2x + 2—e fβ,.÷÷⅛T-^,∙显然⅛t<)ft(o. +工)上型调递瞇・IiΛυ)=o.所以Λ<nit[()∙ 1)丄单眦⑥fi∙ ffl∣∙ +巧上单询迪裱•故ΛU)WΛ(l)∙l+ta2∙不尊式得1£・由(I)和(ii> 可⅛1 OVaWl. ...... 7⅞«(Λ4 «)。
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杭州学军中学高三第三次月考数学参考答案二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分． 11. 630 12. 2k 13.987514. ①②③ 三、解答题：本大题共6个小题，每小题14分，共84分． 15．:102P x x ><-或(4分) :11Q x m x m >-<+或由题意得⎪⎩⎪⎨⎧≤-->+<⎪⎩⎪⎨⎧<--≥+<101210101210m m m m m m 或 30m ∴-≤<16． ξ有分布列：从而期望123.1212123E ξ=⨯+⨯+⨯= 17．（1）111111190,90C B B A C B A ABC ⊥∴︒=∠∴︒=∠ 又1111111,C B A BB C B A ABC 底面为直三棱柱⊥∴- C C BB B A B A BB 1111111平面⊥∴⊥∴(2) C B C C BB C A C C BB B A 11111111内的射影为在平面平面∴⊥ 为正方形故和根椐C C BB BC B BB BC 111190︒=∠=1111BC C A BC C B ⊥⊥∴由三垂线定理得(3)DE//AB,ABC DE ABC AB ABC DE 平面平面平面//,∴⊂⊄(4)设BB 1的中点为F ，连接EF 、DF ，则EF 是DF 在平面BB 1C 1C 上的射影。
因为BB 1C 1C 是正方形，11BB DF BB EF ⊥∴⊥∴21t a n t a n 4121,21,90,1==∠=∴===︒=∠∆--∠∴EF DE DFE BC AB DE BC EF DEF DEF E B B D DFE θ中在的平面角为二面角18.(1) 由题意得2122414ab a ab b⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪++⎩ 24()1x f x x ∴=+(2) 2/224(1)4(2)()(1)x x x f x x +-=+所以直线l 的斜率为22/000222220004(1)821()4[](1)(1)1x x k f x x x x +-===-+++ 令]1,0(,1120∈=+t t x ，则直线l 的斜率]1,0(),2(42∈-=t t t k ，]4,21[-∈∴k19．（1）由韦达定理得,2,n n n n n n -=-=+γβγβ ()n n a n n n n n +=-+=∴222γβγβ2,2211=-+=-=∴++n n n n n b b n a a b {}n b ∴是首项为4，公差为2的等差数列。
浙江省杭州市学军中学2019-2020学年高三下学期4月月考数学试题
浙江省杭州市学军中学2019-2020学年高三下学期4月月考数学试题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、单选题1．已知集合{}2|230A x R x x =∈--<，{}1,0,1,2,3,4B =-，则（ ） A ．{}|13A B x x ⋂=-<<B ．{}0,1,2A B =C ．{}|14A B x x =-<<D ．{}1,0,1234A B ⋃=-2．若复数z 满足()232i z i -=+（其中i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3．已知直线1:240l ax y ++=，2:(1)20l x a y +-+=，则“1a =-”是“12l l ”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 4．||cos x xx x y e e -=+ 的部分图像大致为 A ． B ． C ． D ． 5．已知随机变量X 有三个不同的取值，其分布列如下表，则()E X 的最大值为（ ）A ．25+B ．6C ．2+D ．2 6．将函数()sin(2)cos(2)44f x x x ππ=+-+的图象沿着x 轴向左平移6π个单位后得到函数()y g x =的图象，则下列直线方程可为()y g x =的对称轴的是（ ）A ．12x π=- B ．12x π= C ．6x π= D ．6x π=-7．已知在矩形ABCD 中，AD =，沿直线BD 将△ABD 折成A BD '，使得点A '在平面BCD 上的射影在BCD 内（不含边界），设二面角A BD C '--的大小为θ，直线A D ' , A C '与平面BCD 中所成的角分别为,αβ，则（ ）A ．αθβ<<B ．βθα<<C ．βαθ<<D ．αβθ<<8．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ， 以F 为圆心，实半轴长为半径的圆与双曲线C 的某一条渐近线交于两点,P Q ，若3OQ OP =（其中O 为原点），则双曲线C 的离心率为（ ）A B C D ．29．已知函数()()2log 02{?424x x f x f x x <≤=-<<，设方程()()1x f x t t R e-=∈的四个不等实根从小到大依次为1234,,,x x x x ，则下列判断中一定成立的是（ ）A ．1212x x +=B ．1214x x <<C ．3449x x <<D ．()()340444x x <--<10．已知数列{a n }满足：a 1=0，1ln(1)n a n n a e a +=+-（n ∈N *），前n 项和为S n (参考数据： ln2≈0.693，ln3≈1.099)，则下列选项中错误的是（ ）A ．{}21n a -是单调递增数列，{}2n a 是单调递减数列B ．1ln 3n n a a ++≤C ．2020666S <D ．212n n a a -<第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、双空题11．已知实数x ，y 满足2102701x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥-⎩，则23z x y =+的最大值是_______，最小值是_______．12．若二项式5(ax -的展开式中各项系数之和为32，则a =_______，展开式中2x 的系数为_______．13．如图为某几何体的三视图，若该几何体的体积为，则该几何体的最长的棱长为_______．该几何体的表面积为_______．14．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若,(4cos 6A b a B π==+，且b =1，则B =____；△ABC 的面积为____. 三、填空题15．已知实数x，y 满足20x y >>，且11122x y x y+=-+．则x y +的最小值为_________．16．已知,a b ∈R ，函数22()2x ax b x ax b f x +++--=的最小值为2b ，则b 的取值范围是：______. 17．若平面向量,a b 是两个单位向量，且12a b ⋅=，空间向量c 满足||13c =，1a c ⋅=，2c b ⋅=，则对任意的实数1t ，2t ，12||c t a t b --的最小值是_________．四、解答题18．已知ABC 中，角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，且满足cos sin 3c A B a =-． （I ）求角A 的大小;（II ）若2c =，ABC 的面积为2，D 为边BC 的中点，求AD 的长度． 19．如图，菱形ABCD 中，4AB =，120ADC =∠︒，O 为线段CD 的中点，将BCO沿BO 折到BC O ' 的位置，使得DC '=，E 为BC '的中点．（1）求证:AB OE ⊥;（2）求直线AE 与平面ADC '所成角的正弦值20．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足12a =，()*132n n a S n N +=-+∈． （1）求{}n a 的通项公式（2）数列{}n b 满足12b =-，()()21(31)n n n b b n n n a +-+=+，求{}n b 的通项公式．21．椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的右焦点为F 到直线30x y -=的距离为5，抛物线2:2(0)G y px p =>的焦点与椭圆E 的焦点F 重合，过F 作与x 轴垂直的直线交椭圆于S ，T 两点，交抛物线于C ，D 两点，且||||CD ST = （1）求椭圆E 及抛物线G 的方程; （2）过点F 且斜率为k 的直线l 交椭圆于A ，B 点，交抛物线于M ，N 两点，如图所示，请问是否存在实常数λ，使1||||AB MN λ+为常数，若存在，求出λ的值;若不存在，说明理由．22．已知函数2()(0)f x x x alnx a =+-≠．（1）讨论函数()f x 的单调性;（2）若函数()()f x x g x ax-=在区间(1,)+∞上有两个极值点1x ，2x ，证明:()12ln a x x <-．参考答案1．B【解析】【分析】先化简集合A ，再利用集合的基本运算求解.【详解】因为集合{}{}2|230|13A x R x x x R x =∈--<=∈-<<，{}1,0,1,2,3,4B =-， 所以{}0,1,2AB =故选：B 【点睛】本题主要考查集合的基本运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.2．A【解析】【分析】设z x yi =+根据复数z 满足()232i z i -=+，得到()2232x y y i x i ++-=+，再利用复数相等求解.【详解】设z x yi =+，,x y R ∈.因为复数z 满足()232i z i -=+，所以()2232x y y i x i ++-=+，所以2322x y y x +=⎧⎨-=⎩， 所以4575x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. 故选：A【点睛】本题主要考查复数的运算及几何意义，还考查了运算求解的能力，属于基础题.【解析】【分析】先得出两直线平行的充要条件，根据小范围可推导出大范围，可得到答案.【详解】直线1:240l ax y ++=，()2:120l x a y +-+=，12l l 的充要条件是()1221a a a a -=⇒==-或，当a=2时，化简后发现两直线是重合的，故舍去，最终a=-1.因此得到“1a =-”是“12l l ”的充分必要条件.故答案为C.【点睛】判断充要条件的方法是：①若p ⇒q 为真命题且q ⇒p 为假命题，则命题p 是命题q 的充分不必要条件；②若p ⇒q 为假命题且q ⇒p 为真命题，则命题p 是命题q 的必要不充分条件；③若p ⇒q 为真命题且q ⇒p 为真命题，则命题p 是命题q 的充要条件；④若p ⇒q 为假命题且q ⇒p 为假命题，则命题p 是命题q 的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p 与命题q 所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p 与命题q 的关系． 4．A【解析】【分析】先判断函数的奇偶性，然后利用特殊点的函数值的符号进行排除即可．【详解】由题函数的定义域为,R ()cos cos x x x x x x x x f x f x e e e e （）（）-----===++，则f x （）是偶函数，排除C ，cos 0f e e e e ππππππππ---==++（）＜， 排除B ，D ，故选：A ．【点睛】 本题考查函数图象的判断和识别，结合函数奇偶性和特殊值的符号是否一致是解决本题的关键．【解析】【分析】利用分布列的性质求出m ，然后求得期望的表达式，利用函数的导数求解最值.【详解】 因为14114m ++=， 所以12m =，所以()()111442,22442=⨯++⨯=+-≤≤E X x x x ， 所以()1E X '=-， 令()10E X '=-=， 解得245x =，当x <<时，()0E X '>2x <<时，()0E X '<，所以当5x =()E X 取得最大值为：25E ⎛= ⎝⎭. 故选：D【点睛】本题主要考查离散型随机变量的分布列以及导数与函数的最值，还考查了运算求解的能力，属于中档题.6．B【解析】【分析】先化简函数为()2f x x =，再利用图象变换得到()23y g x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，然后验证即可.【详解】因为()sin(2)cos(2)244f x x x x ππ=+-+=，则()f x 的图象沿着x 轴向左平移6π个单位后得到函数()23x g x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，因为212123g πππ⎛⎫⎛⎫=⨯+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 故12x π=为()y g x =的一条对称轴.故选：B【点睛】本题主要考查三角函数的图形变换以及三角函数的对称性，还考查了运算求解的能力，属于中档题.7．D【解析】【分析】由题意画出图形，由两种特殊位置得到点A′在平面BCD 上的射影的情况，由线段的长度关系可得三个角的正弦的大小，则答案可求．【详解】如图，∵四边形ABCD 为矩形，∴BA′⊥A′D ，当A′点在底面上的射影O 落在BC 上时，有平面A′BC ⊥底面BCD ，又DC ⊥BC ，可得DC ⊥平面A′BC，则DC ⊥BA′，∴BA′⊥平面A′DC，在Rt △BA′C 中，设BA′=1，则A′C=1，说明O 为BC 的中点；当A′点在底面上的射影E落在BD上时，可知A′E⊥BD，设BA′=1，则'A D=，要使点A′在平面BCD上的射影F在△BCD内（不含边界），则点A′的射影F落在线段OE 上（不含端点）．可知∠A′EF为二面角A′﹣BD﹣C的平面角θ，直线A′D与平面BCD所成的角为∠A′DF=α，直线A′C与平面BCD所成的角为∠A′CF=β，可求得DF＞CF，∴A′C＜A′D，且'1A E=，而A′C的最小值为1，∴sin∠A′DF＜sin∠A′CF＜sin∠A′EO，则α＜β＜θ．故选D．【点睛】本题考查二面角的平面角，考查空间想象能力和思维能力，考查了正弦函数单调性的应用，是中档题．8．D【解析】【分析】设双曲线的一条渐近线方程为yba=x，H为PQ的中点，可得FH⊥PQ，由3OQ OP=，可知H为OQ的三等分点，用两种方式表示OH，即可得到双曲线C的离心率. 【详解】解：设双曲线的一条渐近线方程为yba=x，H为PQ的中点，可得FH⊥PQ，由F （c ，0）到渐近线的距离为FH=d==b ，∴3OQ OP =∴OH=即2274a c =，∴7e =故选D 【点睛】本题考查了双曲线的几何性质——离心率的求解，其中根据条件转化为圆锥曲线的离心率的方程，得到a,c 的关系式是解得的关键，对于双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a,c ，代入公式c e a=；②只需要根据一个条件得到关于a,b,c 的齐次式，转化为a,c 的齐次式，然后转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得e (e 的取值范围)． 9．C 【解析】 方程()()xf x eb b R -=+∈的四个实根从小到大依次为1234,,,,x x x x ∴函数()()2l ,024,24og x x f x f x x ⎧<≤⎪=⎨-<<⎪⎩与函数xy e b -=+的图象有四个不同的交点，且交点的横坐标从左到右为1234,,,x x x x ，作函数()()2l ,024,24og x x f x f x x ⎧<≤⎪=⎨-<<⎪⎩与函数xy e b -=+的图象如下，由图可知，123401234x x x x <<<<<<<<，故344x x ⋅>，3412x x ⋅<，50< 易知()()2324l 4l 4og x og x ->-，即()()2324l 4l 4og x og x ->--，即()()2324l 4l 40og x og x -+->，即()34341641x x x x -++⋅>，即()3434415x x x x +<⋅+，又343415x x x x +>∴<⋅+，)34350,30,9x x ∴><⋅<，故3449x x <⋅<，故选C.【方法点睛】已知函数零点(方程根)的个数，求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数()(),y g x y h x ==的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为(),y a y g x ==的交点个数的图象的交点个数问题 . 10．C 【解析】 【分析】设nn a e b =，则有1111,n n n n n n b b b b b b +++⋅=+=，2211n n n b b b ++=+，构建()211x g x x +=+，求导分析可知导函数恒大于零，即数列{}{}221,n n b b -都是单调数列，分别判定1324,b b b b <>，即得单调性，数列{}n a 与数列{}n b 的单调性一致，可判定A 选项正确；B 、C 选项利用分析法证明，可知B 正确，C 错误；D选项利用数学归纳法证分两边证21212n n b b -<<，即可证得212n n a a -<.【详解】由题可知，a 1=0，1ln(1)n a n n a e a +=+-，020l ln(1n 2)a e =+=-设,0nn a n b eb =>，则有1111,n n n n n n b b b b b b +++⋅=+=，即2211n n n b b b ++=+ 令()211x g x x +=+，则()()2101g x x '=>+，这里将()()22,,,n n n n b b b b -+视为()g x 上的前后两点，因函数()g x 单调递增，所以220n nn n b b b b +-->-，所以数列{}{}221,n n b b -都是单调数列又因为1011,a e b e ===同理可知，1324,b b b b <>，所以{}21n b -单调递增，{}2n b 单调递减因为数列{}n a 与数列{}n b 的单调性一致，所以{}21n a -单调递增，{}2n a 单调递减， 故A 选项正确； 因为nn a eb =，则ln n n a b =，欲证()111ln ln ln ln3n n n n n n a a b b b b ++++=+=⋅≤，即13132n n n n b b b b +⋅≤⇒+≤⇒≤由11n n n b b b ++=，上式化为111121n n n b b b ---+≤⇒≥， 显然2n =时，11b =，当3n ≥时，21211n n n b b b ---+=>，故11n b -≥成立； 所以原不等式成立 故B 选项正确；欲证12ln 3n n n a a a ++++≥，只需证12ln ln ln ln 3n n n b b b ++++≥，即()12ln ln3n n n b b b ++⋅⋅≥ 即12121331311n n n n n n n n n n b b b b b b b b b b ++++⋅⋅≥⇒⋅⋅≥⇒2+≥⇒≥+，显然成立 故12ln 31n n n a a a ++++≥>，所以20201998199816663S S >>⨯= 故C 选项错误；欲证212n n a a -<，因单调性一致则只需证212n n b b -<，只需证212n n b b -<<因为1112b =<，若2112n b -<，则21212121211122112n n n n b b b b -+--+==-<=++；又因为22b =>，若2n b >22222211122112n n n n b b b b +++==->=++；由数学归纳法有212n n b b -<<，则212n n a a -<成立 故D 选项正确。
浙江省杭州市2019届高三高考模拟卷模拟数学试卷3附答案
2019年高考模拟试卷数学卷考生须知：1. 本卷满分150分，考试时间120分钟；2. 答题前务必将自己的姓名,准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的地方。
3. 答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范答题，在本试卷纸上答题一律无效。
4. 考试结束后，只需上交答题卷。
参考公式：如果事件,A B 互斥，那么柱体的体积公式()()()P A B P A P B +=+ V Sh =如果事件,A B 相互独立,那么 其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高()()()P AB P A P B = 锥体的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率为p ,那么n13V Sh =次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率为 其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高()()10,1,2),,(k k n k n n P k C p p k n -==⋯－ 球的表面积公式台体的体积公式 24S R =π121()3V S S h =球的体积公式其中12,S S 分别表示台体的上、下底面积， 343V R =πh 表示为台体的高 其中R 表示球的半径选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．(原创) 1．已知U R =，集合{}|11A x x =-<<，则U C A =A ．(1,1)-B ．(,1)(1,)-∞-+∞ C ．[1,1]-D ．(,1][1,)-∞-+∞【命题意图】考查集合的基本运算（★）(原创) 2．设i z +=11，i z -=12（i 是虚数单位），则2111z z +＝ A ．1 B ．－1 C ．i D ．－i 【命题意图】考查复数的基本运算（★）(原创) 3．若实数,x y 满足约束条件0,30,20,y x y x y ⎧⎪⎨⎪⎩+--≥≤≥ 则2z x y =+的取值范围是A ．[4,)+∞B ．[0,6]C ．[0,4]D ．[6,)+∞【命题意图】考查简单的二元一次线性规划（★★）(原创) 4．已知互相垂直的平面,αβ交于直线l ．若直线,m n 满足//m α，n β⊥，则 A ．//l mB ．//m nC ．n l ⊥D ．m n ⊥【命题意图】考查立体几何线面平行、面垂直的性质定理（★★） (原创) 5．观察下列各式： ,则A ．196B ．197C ．198D ．199【命题意图】考查斐波那契数列的简单推理（★★） (改编) 6．已知函数且,则A ．B.C.D.【命题意图】考查函数的图像与性质（★★★） (原创) 7．已知 是正整数，满足的正整数解有A ．54种B ．55种C ．56种D ．57种【命题意图】考查排列组合（★★★） (改编) 8．已知点为的外心，则的最小值为A ．1B ．2C ．D ．【命题意图】考查向量的应用（★★★★）(原创) 9．已知为双曲线C:上的一点，若的内切圆的直径为a,则双曲线C 的离心率的取值范围为A. B. C. D.【命题意图】考查求曲线的离心率（★★★★） 10．已知函数 ,函数,若函数恰有4个零点，则的取值范围为 A ．B ．C ．D ．【命题意图】用函数数形结合（★★★★）摘自《至精至简的数学思想方法》非选择题部分 (共110分)二、填空题:本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。
优质金卷：浙江杭州学军中学2019年高三5月重点考试数学试卷(解析版)
优良金卷：浙江杭州学军中学2019 年高三 5 月要点考试数学试卷（分析版）详解：由题得 P={y|y>0},Q={y|0 ≤y ≤1} ，因此 P ∩Q=.故答案为：D点睛：〔1〕本题主要考察会合的化简与交集运算，意在考察学生对这些基础知识的掌握能力 .(2)化简会合 Q 时，要先求函数的定义域，再利用二次函数的图像和性质求函数的值域,必定要注意函数的问题定义域优先的原那么 .点睛： (1)本题主要考察双曲线的渐近线方程，意在考察学生对该基础知识的掌握能力 .(2)双曲线的渐近线方程为，双曲线的渐近线方程为.3． B 【分析】由三视图易知该几何体为三棱锥 . 该几何体的体积 V1 1 1 1 22 .3 26应选： B点睛：思虑三视图复原空间几何体第一应深刻理解三视图之间的关系，按照〝长对正，高平齐，宽相等〞的基根源那么，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.4．C 【分析】画出可行域如以下列图所示， 由图可知，目标函数在点0, 1处获得最大值为 1.点睛：〔1〕本题主要考察函数奇偶性的判断，意在考察学生对该基础知识的掌握能力 .(2)判断函数的奇偶性常用定义法，第一一定考虑函数的定义域，假如函数的定义域不对于原点对称，那么函数必定是非奇非偶函数；假如函数的定义域对于原点对称， 那么持续求；最后比较和 的关系，假如有= ，那么函数是偶函数，假如有 =-，那么函数是奇函数，否那么是非奇非偶函数 .6． C 【分析】试题剖析：a 2 a 8 a 11 a 1 da 1 7da 1 10d 3a 1 18d 3 a 1 6d 3a 7 ，因此 a 7 是定值，13 a 1a1313a 7 是定值S 132考点：等差数列通项公式乞降公式及性质评论：本题用到的知识点 a n a1 n 1 d, S nn a1an，性质：假定2m n p q 那么a m a n a p a q，此性质在数列题目中应用宽泛7． C【分析】剖析：先研究函数f(x) 的奇偶性和单一性，再利用函数的奇偶性和单一性研究充要条件.详解：由题得函数的定义域为R., 因此函数 f(x) 是奇函数 .当 x≥0 时，是增函数，是增函数.因此函数 f(x) 在上是增函数.因为函数 f(x) 是奇函数，因此函数 f(x) 是 R 上的增函数 .[根源m]因此因此〝〞是〝〞的充要条件.故答案为： C点睛：〔1〕本题主要考察函数的奇偶性和单一性，考察函数的充要条件的判断，意在考察学生对这些基础知识的掌握能力和基本运算能力 .(2)解答本题的要点是判断函数的单一性，解答利用了函数单一性的性质，增〔减〕函数+增〔减〕函数 =增〔减〕函数 .详解：由题意可得：ξ表示红球的个数，那么ξ 可能取的值为：0，1，2，依据题意可得： P〔ξ =0〕=，P〔ξ =1〕=，[根源:]P〔ξ =2〕=，因此ξ 的散布列为：ξ01 2P因此 Eξ=1×+2×=1，因此 Dξ=+=，而且1≤m≤9，因此当 m=5 时， Dξ取最大值．故答案为： B点睛：〔1〕本题主要考察失散型随机变量的散布列和希望方差的计算，意在考察学生对这些基础知识的掌握能力和计算能力 .(2)失散型随机变量的希望为，其方差为.∴BA ′⊥平面 A ′DC，在Rt△BA ′C 中，设BA ′=1，那么BC= ，∴A′C=1，说明 O 为 BC 的中点；当 A′点在底面上的射影 E 落在 BD 上时，可知 A′E⊥BD ，设 BA ′=1，那么，∴ A′E=，BE=．要使点 A′在平面 BCD 上的射影 F 在△ BCD 内〔不含界限〕，那么点可知∠ A′EF 为二面角 A′﹣ BD﹣ C 的平面角θ，直线 A′D 与平面直线 A′C 与平面 BCD 所成的角为∠ A′ CF=β，可求得 DF＞CF，∴A ′C＜A′D，且 A′E=，而A′C的最小值为 1，∴s in∠A′DF＜sin∠A′CF＜sin∠A′ EO，那么α＜β＜θ．故答案为： D点睛：本题主要考察二面角的平面角和直线与平面所成的角，考察正弦函数的单一性，意在考察学生对这些基础知识的掌握能力和空间想象能力剖析推理能力 .10．A【分析】剖析：先转变为，再转变为，再求 g(x)的最大值得解 .此时,设 g(x)=因此因此故答案为： A点睛：〔1〕本题主要考察利用导数求函数的单一性和最值，考察利用导数解答恒成立问题，意在考察学生对这些知识的掌握能力和剖析推理能力.(2)解答本题的要点有两点，其一是原不等式能够化为求,其二是设 g(x)=求g(x)的最大值.，11．.【分析】剖析：先化简复数详解：由题得因此复数 z 的虚部为 4，故答案为： 4；5. z,再求z 的虚部和模..点睛：〔1〕本题主要考察复数的运算，考察复数的模和实部虚部，意在考察学生对这些基础知识的掌握能力 .(2)复数的实部是 a,虚部是 b,不是 bi.12．. 80.【分析】剖析：先令x=-1 得的值，再从头结构二项式求的值 .点睛：〔1〕本题主要考察二项式定理求值，意在考察学生对该基础知识的掌握能力和察看剖析能力 .(2)本题解题的要点是..13． . 2.【分析】剖析：由利用三角函数恒等变换的应用可得 sin〔2A+ 〕= ，可求范围： 2A+ ∈〔，〕，利用正弦函数的图象和性质可求A 的值，利用三角形面积公式可求 c 的值，从而利用余弦定理可求 a 的值，依据比率的性质及正弦定理即可计算得解．学 & 科网详解：∵，可得： cos2A+ sin2A=1，∴s in〔2A+ 〕= ，∵0＜A＜π，可得： 2A+ ∈〔，〕，∴2A+ = ，可得： A= ．∵b=1，S△ABC= = bcsinA=，∴ c=2，∴由余弦定理可得： a==，∴故答案为：， 2．点睛：〔1〕本题主要考察了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质，三角形面积公式，余弦定理，比率的性质及正弦定理在解三角形中的综合应用，考察了计算能力和转变思想．〔2〕解三角方程 sin〔2A +〕= ，必定要注意求出 2A+ ∈〔，〕，不可以直接写出结果 .14． . .【分析】剖析：设出 Q 的坐标，利用对称知识，会合椭圆方程推出椭圆几何量之间的关系，而后求解离心率即可．即 4e6﹣2e4+2e4﹣e2+2e2﹣1=0，可得〔 2e2﹣1〕〔2e4+e2+1〕=0解得 e= ．因此因此 Q(0，1)因此是等腰直角三角形，因此故答案为： (1)(2)点睛：〔1〕本题主要考察椭圆的简单几何性质和对称问题，意在考察学生对这些基础知识的转变能力和剖析能力.(2)求点 A对于直线l：的对称点 B时，因为直线l 是 AB 的垂直均分线，因此只要解方程即可 .【点睛】本题考察了有限制条件的摆列问题，〔 1〕一般有限制的元素或地点优先排，〔2〕相邻问题，有几个元素一定在一同，那就将这几个元素当作一个整体，与其余元素当作同样的元素进行摆列，但其内部也需进行摆列，〔3〕不相邻问题，有几个元素不相邻，先排不受限元素，再将受限元素插空；〔4〕部分元素次序必定，能够都当作同样的元素，再除以次序一n定的元素的摆列A n，〔5〕对于至多，起码，能够选择间接法.A m m16．.【分析】剖析：配方可得2sin2〔x+y﹣1〕=，由基本不等式可得，或，从而可得sin〔x+y﹣1〕=±1，x= ,，由此可得xy 的表达式，取k=-1 可得最值．详解：∵，∴2sin2〔 x+y﹣1〕=∴2sin2〔 x+y﹣1〕=，由基本不等式可得，或∴2sin2〔x+y﹣1〕≥2，由三角函数的有界性可得 2sin2〔x+y﹣1〕=2，此时 x-y+1=1,即 x=y.故 sin2〔x+y ﹣1〕=1，即 sin〔x+y﹣ 1〕=±1，x= , ∴x+y﹣1=kπ + ，k∈Z，故 x+y=k π+ +1，解得故 xy= ，当 k=-1 时， xy 的最小值，故答案为：点睛：〔1〕本题主要考察基本不等式和三角函数的图像和性质，考察二次函数的图像和性质，意在考察学生对这些基础知识的掌握能力和剖析推理能力 .(2)解答本题有两个要点点，其一是裂项 2sin2〔x+y ﹣1〕=，其二是判断k=-1 时， xy 的最小值,不是k=0 时取最小值.17．.【分析】剖析：先成立直角坐标系，设A(x,y) ，B(5，0),C(0, 5),再转变为求的最小值，再转变为求|PD|+|PA|的最小值 .详解：设 A(x,y) ，B(5，0),C(0,5),那么=问题转变为点到点 A(x,y) 的距离和到点 D〔 0,2〕的距离之和最小，点睛：〔1〕本题主要考察坐标法的运用，考察对称的思想方法，意在考察学生对这些基础知识的掌握能力和剖析转变能力.(2) 本题有三个难点，其一是要想到成立直角坐标系，其二是转变为求的最小值，其三转变为求|PD|+|PA| 的最小值 .18．〔1〕.〔2〕或.【分析】剖析：〔 1〕先利用三角恒等变换的公式化简函数f〔x〕,再求其最小正周期 .(2)先化简获得 B= 或，，再利用正弦定理求的值 .详解 :(1)由题得因此函数 f(x) 的最小正周期为或..因此B=或，因此或.点睛：〔1〕本题主要考察三角恒等变换，考察正弦定理解三角形，意在考察学生对这些基础知识的掌握能力和转变能力 . (2)解答本题注意不要漏解，或.19．(1)看法析 .(2) .【分析】剖析：〔1〕先证明平面，再证明.(2) 设交于，先证明为与平面所成的角，再求其正弦值 .详解：〔1〕证明：∵中∴ 在平面内的射影为的中点，连结，那么平面∴∵在直角梯形中，，，∴∴∴∵∴平面∴〔2〕设交于，那么[ 根源 :1ZXXK]在中，∴∴ 与平面所成角的正弦值为 .点睛：〔1〕本题主要考察空间直线和平面地点关系的证明，考察求直线和平面所成的角，意在考察学生对这些基础知识的掌握能力和空间想象转变能力 .(2) 直线和平面所成的角的求法一般有两种求法，方法一：〔几何法〕找作〔定义法〕证〔定义〕指求〔解三角形〕，其要点是找到直线在平面内的射影作出直线和平面所成的角和解三角形 .方法二：〔向量法〕，此中是直线的方向向量，是平面的法向量，是直线和平面所成的角.20．(1) .(2) .再求【分析】剖析：〔1〕先求导，再分别参数转变为a 的取值范围 .(2)先对 a 分类议论求函数在区间，得，再求和 a 的值 .[ 根源 :学§科§网详解：〔1〕∵在上有解，上极大值]因此=在上有解，在上有解，设 g(x)=因此函数 g(x)在〔 1，2〕上是减函数，在〔 2，+∞〕上是增函数 .因此∴因此函数在上单一递减，在上单一递加，在上单一递减，由极大值，得〔*〕又∵，∴代入〔*〕得设函数，那么因此函数在上单一递加，而因此，因此∴当时，函数在由极大值.点睛：〔1〕本题主要考察利用导数求函数的单一性和最值、极值，意在考察学生对这些基础知识的掌握能力和剖析推理的能力.(2)解答本题的难点求得极大值，得〔*〕后，怎样求的值.这里又利用了结构函数和求导解答.21．(1) .(2) .【分析】剖析：〔 1〕设的定义求得 p=1，即得抛物线的方程，先求得.(2)先求出，再依据抛物线，再利用换元和导数求其最小值详解：〔1〕抛物线的焦点，设由题意可知，那么点到抛物线的准线的距离为解得，于是抛物线的方程为.又∵ 到的距离∴∴令，那么∴令，那么.∴时.点睛：〔1〕本题主要考察抛物线的简单几何性质，考察直线和抛物线的地点关系，意在考察学生对这些知识的掌握能力和剖析推理能力计算能力.(2)解答本题的要点有两点，其一是求出，这个计算量有点大 .其二是换元获得新的函数.22．(1)看法析 .(2)看法析 .(3)看法析 .〔2〕又因为.故可知故，故.[根源 :1]〔3〕第一证明：.证明以下：因此右式〔1〕本题主要考察数列性质的证明和数列单一性的证明，考察数列不等式的证明，意在考察学生对这些知识的掌握能力和剖析推理能力本题的难点在第 3 问，先要经过察看剖析想到证明.(2) .。
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2019学年第二学期杭州学军中学高三数学空中课堂测试（三） 命题 杨建忠 审题 吴 昊 注：共有A 组（10小题）+B 组（10小题）+C 组（5小题） A 组
选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的． 1.已知全集}6,5,4,3,2,1{=U ,}421{，，=P ,}6432{，，，=Q .则）Q C P U ( =（ ） A.}5421{，，， B. }64321{，，，， C. }42{，
D. }1{ 2.双曲线C ：
14
9
2
2=x y —
的离心率是（ ） A ．
35 B ．313 C ．913
D ．213
3.复数
i
215
-（i 为虚数单位）的共轭复数是（ ） A. i 21+- B. i 21+ C. i 21-- D. i 21-
4.某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ） A.16 B. 32 C. 48 D. 144
5.函数()sin ln ||f x x x =⋅的图象大致是（ ）
6.若1
0<
<x ，随机变量ξ的分布列是
则当x 在）
，（2
0内增大时，D （ξ）（ ） A. 减小 B. 增大 C . 先减小后增大 D. 先增大后减小
7.设10<<x ,则“2
1
sin 2<
x x ”是“21tan <x x ”的（ ）
A ．充要条件
B ．充分不必要条件
C ．必要不充分条件
D ．既不充分也不必要条件
8.在△ABC 中，︒=90A ，︒=60B ，点D 满足）（λλ-+=2）（R ∈λ，点E 是线段BC 上的动点。
若⋅为定值，则=λ（ ） A ．
21 B ．4
3
C ．1
D ．
2
3
9. 已知数列}{n a 是公比为)0(≠q q 的等比数列，且对任意+
∈N n ，均有0>n n S a （其中n S 为数列｝｛n a 的前n 项和），则下列命题一定成立的是（ ） A ．0>q B ．数列|}{|n a 有最小值 C ． |S ||S |n 2n ≥+ D ．若2≥n ,则|S ||S |n 1n ≥+
B 组
选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的． 11.设集合{}
2230M x x x =+-=，{}1,1,3N =-，则=N M （ ） A ．{}1,1,3,3-- B ．{}1,1,3- C ．}1{ D ．{}1,1,3-- 12．若直线l 不平行于平面α，且l α⊄，则（ ）
A ．α内所有直线与l 异面
B ．α内只存在有限条直线与l 共面
C ．α内存在无数条直线与l 垂直
D ．α内存在唯一的直线与l 平行
13．等比数列{a n }的首项01>a ，则“32a a <”是“数列{a n }是递增数列”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
14.复数i 21+=z （i 为虚数单位），z 为z 的共轭复数，则（ ）
A ．i 21-z +=
B ．4z =⋅z
C ． i 452
+=z D ．i 4z =-z 15．已知随机变量ξ满足1
(0)3
P ξ==
，(1)P x ξ==，2(2)3P x ξ==-，若
2
03
x <<
，当x 增大时，（ ） A ．()E ξ减小，()D ξ减小 B ．()E ξ减小，()D ξ增大 C ．()E ξ增大，()D ξ增大 D ．()E ξ增大，()D ξ减小 16.定义⎩
⎨
⎧∉∈=A s A
s f A ,0,1S
（A 是非空集合），对非空集合B A 、，下列命题错误的是（ ）
A.若A B ⊆，则S
A S
B f f ≤ B.S
B S
A S
B A f f f = （其中∅≠⋂B A ）
C.S B S A S B A f f f +≤ 2
D.S
B S A S B A S B A f f f f +=+ （其中∅≠⋂B A ） 17.在三棱锥P AB
C -中，PA ⊥平面ABC ，90BAC ∠=︒，,
D
E 分别是,BC AB 的中点，AB AC ≠，且AC AD >.设PC 与DE 所成角为α，PD 与平面ABC 所成角为β，二面角P BC A --为γ，则（ ）
A ．γβα<<
B ．αγβ<< C. βαγ<< D ．αβγ
<< 18.设θ为两个非零向量a ,b 的夹角且2
0π
θ<<,已知对任意实数
)1,1(-∈t ,|b +t a |无最小值，则下列说法正确的是（ ）
A.若θ和|b |确定，则|a |唯一确定.
B.若θ和|b |确定，则|a |有最大值.
C.若θ确定，则|a |≥|b |.
D.若θ不确定，则|a |和|b |的大小关系不确定.
19.已知双曲线C
: 22
2
21(0,0)x y a b a b
-=>>的右顶点为A ，O 为坐标原点，以为圆心的
圆与双曲线C 的一条渐近线交于两点P ，Q ，若,43
PAQ OQ OP π
∠==，则双曲线C 的
离心率为（ ） A ．
3 B ．5
C ．6
D 20．设函数f(x)=min{|x −2|,x 2,|x +2|}，其中min{x,y,z}表示x,y,z 中的最小者．下列说法错误的是（ ）
A ．函数f(x)为偶函数
B ．若x ∈[1,+∞)，则f(x −2)≤f(x)
C ．若x ∈[−4,4]，则|f(x)−2|≥f(x)
D ．若x ∈R ，则f(f(x))≤f(x)
A
C 组
选择题：本大题共5小题，每小题4分，共20分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
21．设椭圆22
22:1(0)x y E a b a b
+=>>的一个焦点F （2，0），点A （﹣2，1）为椭圆E 内一
点，若椭圆E 上存在一点P ，使得|P A |+|PF |＝8，则椭圆E 的离心率的取值范围是 ） A ．44[,]97
B ．44(,)97
C ．22[,)97
D ．22[,]97
22．如图正四面体P-ABC 的体积为V ，底面积为S ，O 为高PH 的中点，过O 的平面α与
棱PA ，PB ，PC 分别交于点D ，E ，F ，设三棱锥P-DEF 的体积为0V ，截面三角形DEF 的面积为0S ，则（ ） A. 008,4V V S S ≥≤ B. 008,4V V S S ≤≥ C. 008,4V V S S ≤≤ D. 008,4V V S S ≥≥ 23．已知向量a ，b 夹角为
3
π
，||2b =，对任意R x ∈，有||||b xa a b +≥-，则 ||||(2
R)a
tb a tb t -+-∈的最小值是（ ）
A ．
2 B ．3
2
C ．12+
D ．2
24. 已知βα,为两个不重合的平面，n m ,为两条不重合的直线，且m =βα ，β⊂n . 记直线m 与直线n 的夹角和二面角βα--m 均为1θ，直线n 与平面α的夹角为2θ，则下列说法正确的是（ ） A ．若6
01π
θ<<,则212θθ> B ．若4
6
1π
θπ
<<,则21tan 2tan θθ> C ．若3
4
1π
θπ
<
<,则21sin sin θθ< D ．若
23
1π
θπ
<
<,则21cos 4
3
cos θθ>
25．已知数列{}n a 是公比为(1)q q ≠±的等比数列，且10a >，则下列叙述错误的是（ ） A ．若2413ln ln a a a a +=+，则1q < B ．若1423a a
a a e e +=+，则1q <-
C ．若2
413,a a a e a e =则2(1)(1)0a q ++< D ．
若1423ln ln ,a a a a =则3()(1)0a e q -->。