2013届高考数学(文)一轮复习课件：7-4第4讲 直线、平面平行的判定及性质(人教A版)
2013届高考数学(文)一轮复习课件：7-4第4讲 直线、平面平行的判定及性质(人教A版)
∴A1E∥GB.∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG. ∴A1E∥平面BCHG. ∵A1E∩EF＝E，∴平面EFA1∥平面BCHG.
考向三 线面平行中的探索问题 【例3】►如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，A1A⊥平面 ABC，若D是棱CC1的中点，问在棱AB上是否存在一点E，使 DE∥平面AB1C1？若存在，请确定点E的位置；若不存在，请 说明理由． [审题视点] 取AB、BB1的中点分别为E、F，证明平面DEF∥
α∥β (2)a⊥α，a⊥β⇒
.
一个关系 平行问题的转化关系：
两个防范 (1)在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则， 会出现错误． (2)把线面平行转化为线线平行时，必须说清经过已知直线的 平面与已知平面相交，则直线与交线平行．
双基自测 1．(人教A版教材习题改编)下面命题中正确的是( )．
第4讲 直线、平面平行的判定及性质
【2013年高考会这样考】 1．考查空间平行的判断与命题或充要条件相结合． 2．以解答题的形式考查线面关系的平行． 3．考查空间中平行关系的探索性问题． 【复习指导】 1．在高考中，线、面平行关系的考查仅次于垂直关系的考 查，是高考重点内容，在要求上不高，属容易题，平时训练难 度不宜过大，抓好判定定理的掌握与应用即可． 2．学会应用“化归思想”进行“线线问题，线面问题，面面 问题”的互相转化，牢记解决问题的根源在“定理”．
基础梳理 1．直线与平面的位置关系有 在平面内、 相交 、 平行 三种情 况． 2．平面与平面的位置关系有 相交 、 平行 两种情况．
3．直线和平面平行的判定 (1)定义：直线和平面没有公共点，则称直线平行于平面； (2)判定定理：a⊄α，b⊂α，且a∥b⇒ a∥α ； (3)其他判定方法：α∥β；a⊂α⇒ a∥β 4．直线和平面平行的性质定理：a∥α，a⊂β，α∩β＝l⇒a∥l .
高考数学一轮复习 第4课时 直线、平面平行的判定及性质课件 理 新人教版
∴MQ∥BC，∴MQ∥平面 BCE，又 PM∩MQ＝M， ∴平面 PMQ∥平面 BCE，又 PQ⊂平面 PMQ. ∴PQ∥平面 BCE.
探究 1 判断或证明线面平行的常用方法有： (1)利用线面平行的定义(无公共点)；
(2)利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥
A．m∥β 且 l1∥α C．m∥β 且 n∥β
B．m∥l1 且 n∥l2 D．m∥β 且 n∥l2
答案 B
解析 因 m⊂α，l1⊂β，若 α∥β，则有 m∥β 且 l1∥α， 故 α∥β 的一个必要条件是 m∥β 且 l1∥α，排除 A.因 m， n⊂α，l1，l2⊂β 且 l1 与 l2 相交，若 m∥l1 且 n∥l2，因 l1 与 l2 相交，故 m 与 n 也相交，∴α∥β；若 α∥β，则直线 m 与直线 l1 可能为异面直线，故 α∥β 的一个充分而不必 要条件是 m∥l1 且 n∥l2，应选 B.
3．两个平面平行的判定： (1)定义：两个平面 没有公共点 ，称这两个平面平行； (2)判定定理：一个平面内的 两条相交直线 ，与另一 个平面平行，则这两个平面平行； (3)推论：一个平面内的 两条相交直线 分别平行于 另一个平面内的 两条相交直线 ，则这两个平面平行．
4．两个平面平行的性质：如果两个平行平面同时与 第三个平面相交，那么它们的交线 平行．
解析 ①若 a∥α，b⊂α，则 a，b 平行或异面；②若 a∥α，b∥α，则 a，b 平行、相交、异面都有可能；③若 a∥b，b⊂α，a∥α 或 a⊂α.
3．(2009·福建)设 m，n 是平面 α 内的两条不同直线；
l1，l2 是平面 β 内的两条相交直线，则 α∥β 的一个充分而
不必要条件是( )
高考数学一轮复习 7.4 直线、平面平行的判定及其性质精品课件 理 新人教A版
3．利用面面平行的性质定理：当两平面平行时，其中一个平 面内的任一直线平行于另一平面．
特别警示：线面平行关系没有传递性，即平行线中的一条平 行于一平面，另一条不一定平行于该平面．
[例1] 如右图所示，已知P、Q是正方体ABCD－A1B1C1D1的 面A1B1BA和面ABCD的中心．
证明：PQ∥平面BCC1B1.
答案：D
4．过三棱柱ABC－A1B1C1任意两条棱的中点作直线，其中与 平面ABB1A1平行的直线共有________条．
解析：各中点连线如下图，只有面EFGH与面ABB1A1平行， 在四边形EFGH中有6条符合题意．
D 中，M∈AB，N∈AD，若AMMB ＝NAND，则直线 MN 与平面 BDC 的位置关系是________．
又PE、QE⊂平面PQE，PE∩QE＝E， ∴平面PQE∥平面BCC1B1， 又PQ⊂平面PQE， ∴PQ∥平面BCC1B1.
即时训练 如右图所示，在三棱锥P－ABC中，若D，E，F
分 别 为 PB ， PC ， AC 的 中 点 ， 问 在 PB 上 是 否 存 在 一 点 G ， 使 得 FG∥平面ADE?
[ 例 5] (2010· 湖 南 高 考 ) 如 右 图 所 示 ， 在 正 方 体 ABCD － A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点．
(1)求直线BE和平面ABB1A1所成的角的正弦值； (2)在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F∥平面A1BE？证明你的 结论．
[解] (1)如图(a)所示，取AA1的中点M，连结EM，BM.因为E 是DD1的中点，四边形ADD1A1为正方形，所以EM∥AD.
[思路探究] 可考虑用线面平行的判定定理，在平面BCC1B1 内构造与PQ平行的直线；也可利用面面平行的定义来证明，需构 造过PQ且与平面BCC1B1平行的平面．
高考数学一轮复习 74 直线、平面平行的判定和性质课件
其中真命题的序号是( ) A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
(2)(2013·广东卷)设l为直线，α，β是两个不同的平面．下列 命题中正确的是( )
A．若l∥α，l∥β，则α∥β B．若l⊥α，l⊥β，则α∥β C．若l⊥α，l∥β，则α∥β D．若α⊥β，l∥α，则l⊥β
(2)正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，M，N，Q 分别是棱 D1C1， A1D1，BC 的中点．点 P 在对角线 BD1 上，且B→P＝23B→D1，给出下 列四个命题：
①MN∥平面 APC；②C1Q∥平面 APC；③A，P，M 三点共
线；④平面 MNQ∥平面 APC.其中正确命题的序号为( )
考点
互动探究
核心突破 · 导与练
(对应学生用书 P161)
考点1 借助几何模型判断有关平行命题的真假 (长)正方体、三棱柱、三棱锥等常见几何体模型承载着空间
线面位置关系，具有很好的反驳验证功能，在客观性试题中用 好模型，会事半功倍．
(1)m、n是不同的直线，α、β、γ是不同的平面，有以下四 个命题：
图形语言
符号语言
a∥α a⊂β α∩β＝b
⇒ a∥b
2．平面与平面平行 (1)判定定理
文字语言
图形语言
如果一个平面内有两条相 判
交的直线都平行于另一个 定
平
符号语言
a⊂α
b⊂α a∩b＝P⇒
a∥β
b∥β
【解析】 (1)确定命题正确常常需要严格的证明，判断命题 错误只需一个反例就可以了．如图在正方体 ABCD－A1B1C1D1中， 平面 B1C 垂直平面 A1C1，直线 AD 平行平面 B1C，但直线 AD 并 不垂直平面 A1C1，故②错误，排除 C，D；由线面平行的判断定 理知，④缺少 m⊄α 的条件，故④错误．故选 A.
(文理通用)高三数学一轮复习7.4直线平面平行的判定及其性质课件
【规范解答】(1)选D.由正方体的几何特征,可得AE⊥C1G, 但AE与平面BCC1B1不垂直, 故AE⊥CG不成立; 由于EG∥AC,故A,E,G,C四点共面, 所以AE与CG是异面直线错误; 在四边形AEC1F中,AE=EC1=C1F=AF,但AF与AE不垂直, 故四边形AEC1F是正方形错误; 而AE∥C1F,由线面平行的判定定理,可得AE∥平面BC1F.
【规律方法】有关平行关系判断的技巧 (1)熟悉线面关系的各个定理,无论是单项选择还是含选择项的 填空题,都可以从中先选出最熟悉最容易判断的选项先确定或排 除,再逐步判断其余选项. (2)特别注意定理所要求的条件是否完备,图形是否有特殊情形.
【变式训练】已知两条直线a,b,两个平面α,β,则下列结论中 正确的是( ) A.若a⊂β,且α∥β,则a∥α B.若b⊂α,a∥b,则a∥α C.若a∥β,α∥β,则a∥α D.若b∥α,a∥b,则a∥α
【通关锦囊】
【特别提醒】证明线面平行时,要注意说明已知直线不在平面内.
【关注题型】
【通关题组】
1.(2014·宁波模拟)已知直线m,n和平面α,则m∥n的一个必要
不充分条件是( )
A.m∥α,n∥α
B.m⊥α,n⊥α
C.m∥α,n⊂α
D.m,n与α成等角
【解析】选D.对于A,m∥α,n∥α为m∥n的既不充分也不必要条 件;对于B,m⊥α,n⊥α为m∥n的充分不必要条件;对于C, m∥α,n⊂α为m∥n的既不充分也不必要条件;对于D,m,n与α成 等角为m∥n的必要不充分条件,故选D.
【解析】选A.A.因为α∥β,又a⊂β,所以a∥α,故A正确; B.因为b⊂α,a∥b,若a⊂α,则a不可能与α平行,故B错误; C.因为a∥β,α∥β,若a⊂α,则结论不成立,故C错误; D.因为b∥α,a∥b,若a⊂α,则结论不成立,故D错误.
2013版高考数学 7.4 直线、平面平行的判定及其性质课件 文 新人教A版
【解析】①、②中的平面可能平行、相交，故不正确；③因为 a、b相交，可设其确定的平面为γ，根据a∥α，b∥α，可得 γ∥α，同理可得γ∥β，因此α∥β，故③正确． 答案：③
线面平行的判定及性质
【方法点睛】1.判定线面平行的方法
(1)利用定义：判定直线与平面没有公共点(一般结合反证法进 行)； (2)利用线面平行的判定定理； (3)利用面面平行的性质，即两平面平行，则其中一平面内的 直线平行于另一平面．
第四节 直线、平面平行的判定及其性质
三年11考
高考指数:★★★
1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中 线面平行的有关性质和判定定理. 2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平 行关系的简单命题.
1.对线线平行、线面平行和面面平行的考查是高考的热点； 2.平行关系的判断多以选择题和填空题的形式出现，考查对与 平行有关的概念、公理、定理、性质、结论的理解和运用，题 目难度较小；
2.线面平行的性质
(1)直线与平面平行，则该直线与平面无公共点. (2)由线面平行可得线线平行. 【提醒】利用线面平行的性质和判定定理时，适当添加辅助线 (或面)是解题的常用方法．
【例1】(1)若一条直线和两个相交平面都平行，则这条直线和 它们的交线的位置关系是________. (2)如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，点N在BD上，点M在B1C上， 并且CM=DN．求证：MN∥平面AA1B1B．
BM AB h ME h h .同理， . CF AC h AD h
1 h h S△BEM CF AD (1 － )sinBME. 2 h h
据题意知，AD与CF是异面直线，只是β在α与γ间变化位置. 故CF、AD是常量，sin∠BME是AD与CF所成角的正弦值，也是常
高考数学一轮复习第六章第四讲直线、平面平行的判定与性质课件
【名师点睛】平行关系中的重要结论
(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若 a⊥α，a⊥β，则 α∥β.
(2)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若 a⊥α，b⊥α，则 a∥b.
(3)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则 α∥γ.
(4)垂直于同一平面的两个平面不一定平行，平行于同一直线 的两个平面不一定平行.
∴GH∥B1C1. 又 B1C1∥BC，∴GH∥BC. ∵GH 平面 ABC，BC⊂平面 ABC， ∴GH∥平面 ABC.
(2)∵在三棱柱 ABC-A1B1C1 中， E，F，G，H 分别是 AB，AC，A1B1，A1C1 的中点， ∴EF∥BC，A1G BE，
∴四边形 BGA1E 是平行四边形，∴A1E∥BG. ∵A1E 平面 BCHG，BG⊂平面 BCHG， ∴A1E∥平面 BCHG.同理 EF∥平面 BCHG. 又 A1E∩EF＝E， ∴平面 EFA1∥平面 BCHG.
(1)求证：EF∥平面β； (2)若 E，F 分别是 AB，CD 的中点，AC＝4， BD＝6，且 AC，BD 所成的角为 60°，求 EF 的 长.
图 6-4-9
(1)证明：①当 AB，CD 在同一平面内时，由平面α∥平面β， 平面α∩平面 ABDC＝AC，平面β∩平面 ABDC＝BD，知 AC∥BD.
图 6-4-1
(1)证明：如图 6-4-2，记 AC 与 BD 的交点为 O，连接 OE.
图 6-4-2 因为 O，M 分别为 AC，EF 的中点，四边形 ACEF 是矩形， 所以四边形 AOEM 是平行四边形，所以 AM∥OE.
又因为 OE⊂平面 BDE，AM 平面 BDE，
所以 AM∥平面 BDE.
2.如图 6-4-7，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是平行四边 形，M 是 AD 的中点.过点 M 且平行于平面 PCD 的平面交棱 PB于 点 E.求PEEB的值.
高考数学一轮总复习 第7章 第4节 直线、平面平行的判定及其性质课件 理
法二 如图(4)，取 AB 的中点 E，连接 ME，DE. 在梯形 ABCD 中，BE∥CD，且 BE＝CD， ∴四边形 BCDE 为平行四边形， ∴DE∥BC.
图(4)
又 DE⊄平面 PBC，BC⊂平面 PBC， ∴DE∥平面 PBC. 又在△PAB 中，ME∥PB，ME⊄平面 PBC， PB⊂平面 PBC, ∴ME∥平面 PBC. 又 DE∩ME＝E， ∴平面 DME∥平面 PBC. 又 DM⊂平面 DME，∴DM∥平面 PBC.
【解】 (1)连接 AC，交 BD 于 O，易知 AO⊥平面 BDEF.
计算 AE，AB，PD 的长度，再画出正视图； (2)根据线面或面面平行的判定与性质证明．
【尝试解答】 (1)在梯形 ABCD 中，如图(1)，过点 C 作 CE⊥AB，垂足为 E.由已知得，四边形 ADCE 为矩形，AE＝ CD＝3，
图(1)
在 Rt△BEC 中，由 BC＝5，CE＝4，依勾股定理得 BE＝3，从而 AB＝6. 又由 PD⊥平面 ABCD，得 PD⊥AD， 从而在 Rt△PDA 中，由 AD＝4，∠PAD＝60°， 得 PD＝4 3. 正视图如图(2)所示．
第四节 直线、平面平行的判定及其性质
考纲传真 1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点， 认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理.2.能运用 公理、定理和已获得的结论，证明一些空间图形的平行关系 的简单命题．
1．直线与平面平行的判定
(1)定义：直线与平面没有公共点，则称直线平行于平面． (2)判定定理：若 a⊂α，b⊄α，a∥b ，则 b∥α.
4．(2014·杭州模拟)若直线 l 不平行于平面 α，且 l⊄α，则
A．α 内的所有直线与 l 异面
()
(广东专用)2013高考数学总复习 第七章第四节 直线、平面平行的判定及其性质 文 课件 人教版
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】 ∵l∥α时，l与m并不一定平行，而l∥m时，l与α也不一定
平行，有可能l⊂α，
∴条件甲是条件乙的既不充分也不必要条件．
【答案】 D
3．已知不重合的直线a，b和平面α， ①若a∥α，b⊂α，则a∥b； ②若a∥α，b∥α，则a∥b； ③若a∥b，b⊂α，a⊄α，则a∥α； ④若a∥b，a∥α，则b∥α或b⊂α. 上面命题中正确的是________(填序号)． 【解析】 ①中直线a与b可能平行或异面，②中直线a与b也不一定 平行，可能异面，由线面平行的判定知③④正确． 【答案】 ③④
上取点F，使AF＝EG，
∵EG∥CD∥AF，EG＝AF，
∴四边形FEGA为平行四边形，
∴FE∥AG.
又AG⊂平面PAD，FE⊄平面PAD，
∴EF∥平面PAD.
∴F即为所求的点．
又PA⊥面ABCD，∴PA⊥BC，
又 BC⊥AB，∴BC⊥面 PAB. ∴PB⊥BC. ∴PC2＝BC2＋PB2＝BC2＋AB2＋PA2. 设 PA＝x 则 PC＝ 2a2＋x2， 由 PB·BC＝BE·PC 得：
平面 AB1C＝AC，
∴EF∥AC，∴F 为 DC 中点，∴EF＝12AC＝ 2. 【答案】 2
(2011·山东高考)如图7－4－2，在四棱台ABCD—A1B1C1D1中，
D1D⊥平面ABCD，底面ABCD是平行四边形，
AB＝2AD，AD＝A1B1，∠BAD＝60°.
(1)证明：AA1⊥BD； (2)证明：CC1∥平面A1BD.
如图7－4－3，四边形ABCD是平行四边
形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM
高考数学(文)(新课标)一轮复习配套课件：第七章立体几何第4讲直线、平面平行的判定与性质
第七章立体几何■翟第4讲直线、平面平行的判定与性质e—if羲丽回顾［夯实直应 _________________________________ 课本温故追根求源S ✓知识梳理1.直线与平面平行的判定定理和性质定理2.平面与平面平行的判定定理和性质定理［做一做］其中正确的命题是（c ）A.①②③ C.②解析：②正确・①错在久与〃可能相交.③④错在0可能 在么内•1.似b 、c 为三条不重合的直线, Q 、卩、丫为三个不重合 的平面, 现给出四个命题:0〃cja//a // Y0〃儿a // cd/c r a//a// y 1B.①④ D.①③④要点整合1.辨明两个易误点(1)直线与平面平行的判定中易忽视"线在面内”这一关键条件.(2)面面平行的判定中易忽视“面内两条相交线”这一条件.2.判断线面平行的两种常用方法面面平行判定的落脚点是线面平行，因此掌握线面平行的判定方法是必要的，判定线面平行的两种方法:(1)利用线面平行的判定定理；(2)利用面面平行的性质定理，即当两平面平行时，其中一平面内的任一直线平行于另一平面.［做一做］2.对于直线7W, n和平面aa m//a v的（D ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件u m//n v是9若a,贝03.在正方体ABCD・AiBiCiZ)i中，E是。
卩的中点，则BQ 与平面ACE的位置关系为平行.解析：如图，连接AC, BD交于O点，连接OE,因为OE//BD l9而OEU平面ACE, BD&平面ACE,所以B£>i 〃平面ACE.名师导悟以例说法典例剖析•考点突破线面平行的判定及性质（高频考点）面面平行的判定与性质平行关系的综合应用考点一线面平行的判定及性质(高频考点) 平行关系是空间几何中的一种重要关系，包括线线平行、线面平行、面面平行，其中线面平行在高考试题中出现的频率很高, 一般出现在解答题中.高考对线面平行的判定及性质的考查常有以下三个命题角度:(1)判断线面的位置关系;(2)线面平行的证明;(3)线面平行性质的应用.如图，在四棱锥7MBCD中,CD〃AB,DC=|A B,若PM=MB,求证：CM〃平面HW.：A B胚［证明］法一：取AP的中点F,连接FM9 DF9B!) FM//AB f FM=^AB. 9：CD//AB t CD=^AB f :.FM//CD, FM=CD.•••四边形CDFM为平行四边形.:.CM//DF.•・・DFU平面BW, CMG平面•••CM 〃平面PAD.法二：在四边形ABCD中，设BC的延长线与AD的延长线交于点0连接P0 AC.VCD//AB,:.ZQCD=ZQBA.V ZCQD = ZBQA9 :仏CQD S^B QA..QC=CD=I"QB~AB~29:.CM//PQ.•••c为®2的中点.为BP的中点,•••PQU平面PAD, CMG平面:.CM〃平面PAD.［规律方法］(1)证明线面平行时，先直观判断平面内是否存在一条直线和已知直线平行，若找不到这样的直线，可以考虑通过面面平行来推导线面平行.(2)应用线面平行性质的关键是如何确定交线的位置，有时需要经过已知直线作辅助平面来确定交线.点，在DM 上取一点G,过G 和AP 作平 面交平面BDM 于GH ・ 求证：AP//GH.(2)(2015-浙江六市六校联盟模拟)如图所示， 侧棱AAi 丄底面ABC, ABLBC, D 为AC 的中点，AA 1=AB=2.①求证：ABi 〃平面BCQ ； ②若BC=39求三棱锥D-BCiC 的体积.通关题组百踢躍軀I 四边形ABCD 是平行四边形，点P 是¥ffi ABCD 外一点, M 是PC 的中 在三棱柱ABGA/1C1中,A B解：⑴证明：连接AC交BD于点O,连接MO, VPM=MC, AO=OC9:.PA//MO 9平面MBD,MOU 平面MBD,:.PA//平面MBD.A B V平面PAG n平面MBD=GE,:.AP//GH.⑵①证明：连接BiC,设B X C与BCi相交于点O,连接OD. V四边形BCC、B\是平行四边形.•••点O为B1C的中点••••D为AC的中点、：・OD为ZVLBiC的中位线, :・OD〃AB\・TODU平面BCiD f平面〃（7辺, :.ABJ/平面BCiD.AB②在三棱柱ABC^BiCi中, 侧棱CC^/AA L 又VAAj±平面ABC,•••侧棱CG丄平面故CG为三棱锥C r BCD 的高，l=iA\A==CC T]=2,T s厶BCD = m“ABC =^D BCC l= ^C1BCD = 2^^i S^B CD・ AB)=|,考点二面面平行的判定与性质如图，在三棱柱ABGA01C1中，E, F 9 G, H 分 ［证明］(l)TGH 是△A0G 的中位线，：.GH//BS 又•:Bg/BC, :.GH//BC,AB, C, H, G 四点共面. 典例2 别是AB, AC, AG 的中点，求证: (1)B, C, H, G 四点共面;⑵平面EFAi//平面BCHG.B(2)VE, F 分别为AC 的中点，:.EF//BC, TEF评面BCHG, BCU平面BCHG,・・・EF 〃平面BCHG.•:AiG 紈EB,:.A^EZ/GB. •••四边形A、EBG是平行四边形,•••A0Q平面BCHG, GBU平面BCHG,AAjE 〃平面BCHG.9：A1EQEF=E9•••平面EE4I〃平面BCHG.使得EM 〃平面A1ACC1?解：存在.当M 为BCi 的中点时成立.证明如下：连接EM （图略），在AABC,中, E, M 分别为4B, BCi 的中点， :.EM^AC U 又 EMG 平面AiACCi ，ACiU 平面 AjACCi ，•••EM 〃平面 AiACCi.［规律方法］判定面面平行的方法：在本例条件下，线段BC X 上是否存在一点M（1）利用定义：即证两个平面没有公共点（不常用）; （2）利用面面平行的判定定理（主要方法）；（3）利用垂直于同一条直线的两平面平行（客观题可用）;⑷利用平面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行（客观题可用）.跟踪训练 2. (2013-高考陕西卷)如图, 四棱柱ABCD^B.C.Dr的底面ABCD是正方形,O是底面中心, 丄底面ABCD, AB=AA1=y/2.(1)证明：底面41BD〃平面CD/］；⑵求三棱柱ABD^B^的体积.解：⑴证明：由题设知，BB\統DD“ •••四边形BB^D 是平行四边形, 又BDG平面CDiBi，•••BD 〃平面CD/1.狹嵌BC,•••四边形AiBCDr是平行四边形,:.A X B//D X C.又AiBG平面仞出1，••山迢〃平面CDiBi.又BDQA1B=B9•••平面A1BD〃平面CD/1・(2) ••• 4 & 丄平面ABCD,：.AiO是三棱柱ABD^BiDr的高.又AO=^AC=19 AAi=y]29 J.A^O =y)AAl—OA2 = 1.•；V 三棱柱= • A \O = 1.考点三平行关系的综合应用典例3(2015•河南洛阳月考)如图，ABCD与ADEF为平行四边形，M, N, G分别是AB, AD, EF的中点.⑴求证：BE〃平面DMF；(2)求证：平面〃平面MNG.［证明］⑴如图，连接AE,则AE必过DF与GN的交点O,连接MO,则MO为ZvlBE的中位线，所以又平面DMF9 MOU平面DMF, 所以BE〃平面DMF.C (2)因为N, G分别为平行四边形ADEF的边AD, EF的中点，所以DE//GN,又DEQ平面MNG, GNU平面MNG,所以DE〃平面MNG.又M为AB中点，所以MN为AABD的中位线，所以BD//MN,又平面MNG, MNU平面MNG, 所以妙〃平面MNG, 又DE与BD为平面BDE内的两条相交直线，所以平面〃平面MNG.［规律方法］在应用线面平行、面面平行的判定定理和性质定理进行平行转化时，一定要注意定理成立的条件，严格按照定理成立的条件规范书写步骤，如把线面平行转化为线线平行时，必须说清经过已知直线的平面与已知平面相交，则直线与交线平行.是BQi 的中点，E. F 、G 分别是BC 、DC 、SC 的中点，求证:⑵平面EFG 〃平面BDD^i. 证明：⑴如图,连接SB,•:E 、G 分别是BC 、SC 的中点,:.EG//SB.又 TSBU 平面 BDDiBi ，EGG 平面 BDD X B^ 跟瘵训练 如图，在正方体ABCD^B^Dr 中，S⑴直线EG 〃平面BDDiB^D\ G d ______________ C]:.直线EG //平面BDD1B l•⑵连接SD,IF、G分别是DC、SC的中点，:.FG//SD.又・.・SDU平面BDDiB lf FGQ平面BDD X B^・・・FG〃平面BDD1B1，且EGU平面EFG,FGU平面EFG, EGQFG=G f・•・平面EFG 〃平面BDDiB—名师讲坛•素养提升)拓展升华触类旁通方法思想一转化与化归思想解决平行关系中的探索性问题如图，在四面体PABC 中，PC±AB 9 E4丄BC,点 D, E, F, G 分别是棱 AP, AC, BC ，⑴求证：DE 〃平面BCP ； (2)求证：四边形DEFG 为矩形;六条棱的中点的距离相等？说明理由. 典例 (3)是否存在点0到四面体PABCPB 的中点.C懈］⑴证明：因为D, E分别是AP, AC的中点，所以又因为DEG平面BCP, PCU平面BCP,所以DE〃平面BCP, (2)证明：因为D, E, F, G分别为AP, AC, BC, PB的中点，所以DE〃PC〃FG, DG//AB//EF. 所以四边形DEFG为平行四边形. 又因为PC丄AB,所以DE丄DG. 所以四边形DEFG为矩形.(3)存在点0满足条件，理由如下：连接DF, EG,设0为EG的中点，由(2)知，BDFQEG=Q9 K QD=QE=QF=QG=^EG.分别取PC, AB的中点M, N9连接ME, EN, NG, MG, MN.与⑵同理，可证四边形MENG为矩形，其对角线交点为EG 的中点0 QM=QN=^EG9 所以0为满足条件的点.［名师点评］(1)立体几何中的探索性问题主要是对平行、垂直关系的探究，对条件和结论不完备的开放性问题的探究，解决这类问题一般根据探索性问题的设问，假设其存在并探索出结论，然后在这个假设下进行推理论证，若得到合乎情理的结论就肯定假设，若得到矛盾就否定假设.(2)这类问题也可以按类似于分析法的格式书写步骤：从结论出发“要使……成立”，"只需使……成立”.跟踪训练如图所示，在三棱柱中，D是棱CG的中点，问在棱AB±是否存在一点E,使DE〃平面ABiG?若存在，请确定点E的位置；若不存在，请说明理由.解：点E为AB的中点时DE〃平面ABiCx，证明如下: 法一：取ABi的中点F,连接DE、EF. FC i9•:E、F分别为的中点, :・EF〃BB\且EF=^BB X.在三棱柱ABC-A^Cr中，DC、//BBr且DC X =^BB U四边形EFC\D为平行四边形,:.ED//FC X.又EDG平面ABiCi, FC、u 平面ABiG,•••ED 〃平面法二：取BBi的中点H,连接EH, DH f・・・£, H分别是AB, BBi的中点，则EH/ZAB L又EHG平面AB1C1，ABiU 平面ABiG，・・・EH 〃平面ABiCi，又HD〃BS同理可得HD〃平面4BiG，又EHCHD=H,・•・平面EHD //平面ABiCi,•••EDU 平面EHD,・•・££> 〃平面ABiCi.以练促学强技提能矢口語丿I际二西公iS吴%本部分内容讲解结束%。
高考数学第一轮章节复习课件 第四节 直线、平面平行的判定及其性质
如图，已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为3的正方体， 点E在AA1上，点F在CC1上，G在BB1上，且AE＝FC1＝B1G＝1， H是B1C1的中点． (1)求证：E，B，F，D1四点共面； (2)求证：平面A1GH∥平面BED1F.
（1）只需证明BE∥D1F或BF∥D1E,即可证明 B，E，D1，F
线面平行⇒线线平Байду номын сангаас) .
符号语言
二、平面与平面平行 1．判定定理 文字语言
图形语言
如果一个平面内有两 判 条相交的直线都平行
定 于另一个平面，那么
定 这两个平面平行(简 理 记为“ 线面
平行⇒面面平行”)
符号语言
2．两平面平行的性质定理
文字语言
图形语言 符号语言
性 如果两平行平面同时和
质 定
第三个平面 相交 ，那
证明：如图，连接AC交BD于O，连接MO， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴O是AC中点，又M是PC的中点， ∴AP∥OM. 则有PA∥平面BMD.(根据直线和平面平行的判定定理) ∵平面PAHG∩平面BMD=GH， ∴PA∥GH.(根据直线和平面平行的性质定理)
平面与平面平行问题 (1)在平面和平面平行的判定定理中，“两条相交直线”中的
答案：C
判定直线与平面平行，主要有三种方法： 1．利用定义(常用反证法)． 2．利用判定定理：关键是找平面内与已知直线平行的直
线．可先直观判断平面内是否已有，若没有，则需作出 该直线，常考虑三角形的中位线、平行四边形的对边或 过已知直线作一平面找其交线． 3．利用面面平行的性质定理：当两平面平行时，其中一 个平面内的任一直线平行于另一平面．
（2）利用面面平行的判定条件证明.
【证明】 (1)∵AE＝B1G＝1，∴BG＝A1E＝2， ∴BG A1E，∴A1G∥BE. 又同理，C1F B1G， ∴四边形C1FGB1是平行四边形， ∴FG C1B1 D1A1， ∴四边形A1GFD1是平行四边形． ∴A1G D1F，∴D1F EB， 故E、B、F、D1四点共面．
高考数学 第七章 第四节 直线平面平行的判定及性质课件 文
高分障障碍要破除 [针对训练] 证明：存在．证明如下：取棱 PC 的中点 F， 线段 PE 的中点 M，连接 BD. 设 BD∩AC＝O. 连接 BF，MF，BM，OE. ∵PE∶ED＝2∶1，F 为 PC 的中点，M 是 PE 的中点，E 是 MD 的中点， ∴MF∥EC，BM∥OE. ∵MF⊄平面 AEC，CE⊂平面 AEC，BM⊄平 面 AEC，OE⊂平面 AEC，
第五页，共18页。
[以题试法1] (1)选C 由直线l与点P可确定一个平面β，且平 面α，β有公共点，因此它们有一条公共直线，设该公共直线为 m，因为l∥α，所以l∥m，故过点P且平行于直线l的直线只有 一条，且在平面α内． (2)选D 由定理(dìnglǐ)“如果一个平面内有两条相交直线分别 与另一个平面平行，那么这两个平面平行”可得，由选项D可 推知α∥β.
第十五页，共18页。
(2)因为(yīn wèi)四边形AMND是矩形， 所以AM⊥MN. 因为(yīn wèi)平面AMND⊥平面MBCN，且平面AMND∩平面 MBCN＝MN， 所以AM⊥平面MBCN. 因为(yīn wèi)BC⊂平面MBCN， 所以AM⊥BC. 因为(yīn wèi)MC⊥BC，MC∩AM＝M， 所以BC⊥平面AMC. 因为(yīn wèi)AC⊂平面AMC， 所以BC⊥AC.
第十四页，共18页。
[以题试法(shì fǎ)3] 证明：(1)因为MB∥NC，MB⊄平面DNC， NC⊂平面DNC， 所以MB∥平面DNC. 又因为四边形AMND为矩形，所以MA∥DN. 又MA⊄平面DNC，DN⊂平面DNC. 所以MA∥平面DNC. 又MA∩MB＝M，且MA，MB⊂平面AMB， 所以平面AMB∥平面DNC.
第七页，共18页。
高三文科数学总复习课件：7.4直线、平面平行的判定及其性质
(3)(2015·杭州模拟)设α,β,γ为平面,a,b为直线,给出下列条件:
①a⊂α,b⊂β,a∥β,b∥α
②α∥γ,β∥γ
(3)记忆口诀: 判断线和面平行,面中找条平行线; 已知线和面平行,过线作面找交线; 要证面与面平行,面中找出两交线; 线面平行若成立,面面平行不用看; 若是面面已平行,线面平行是必然.
【小题快练】 1.思考辨析 静心思考 判一判 (1)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行.( ) (2)如果两个平面平行,那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面.( ) (3)若直线a与平面α内无数条直线平行,则a∥α.( ) (4)平行于同一平面的两条直线平行.( ) (5)若α∥β,且直线a∥α,则直线a∥β.( )
ACE的位置关系为
.
【解析】由正方体知,四边形ACC1A1为平行四边形,则A1C1∥AC,又A1C1⊄平面 AEC,AC⊂平面AEC,所以A1C1∥平面ACE. 答案:平行
3.真题小试 感悟考题 试一试 (1)(2013·广东高考)设l为直线,α,β是两个不同的平面.下列命题中正确的是( ) A.若l∥α,l∥β,则α∥β B.若l⊥α,l⊥β,则α∥β C.若l⊥α,l∥β,则α∥β D.若α⊥β,l∥α,则l⊥β
【解析】选D.A错误,因a可能在经过b的平面内;B错误,a与α内的直 线平行或异面;C错误,两个平面可能相交;D正确,由a∥α,可得a平行 于经过直线a的平面与α的交线c,即a∥c,又a∥b,所以b∥c,b⊄α, c⊂α,所以b∥α.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
17
金太阳新课标资源网 老师都说好!
证明
连接D1C，则MN为△DD1C的中位线，
∴MN∥D1C. 又∵D1C∥A1B，∴MN∥A1B.同理，MP∥C1B. 而MN与MP相交，MN，MP在平面MNP内，A1B，C1B在平面 A1C1B内．∴平面MNP∥平面A1C1B.
18
金太阳新课标资源网 老师都说好!
【训练3】 如图，在四棱锥PABCD中，底面是平行四边形，PA ⊥平面ABCD，点M、N分别为BC、PA的中点．在线段PD上是 否存在一点E，使NM∥平面ACE？若存在，请确定点E的位 置；若不存在，请说明理由．
25
金太阳新课标资源网 老师都说好!
解 在PD上存在一点E，使得NM∥平面ACE. 证明如下：如图，取PD的中点E，连接NE，EC，AE， 1 因为N，E分别为PA，PD的中点，所以NE綉2AD.
19
金太阳新课标资源网 老师都说好!
【训练2】 如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，E，F，G，H分别 是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证： (1)B，C，H，G四点共面； (2)平面EFA1∥平面BCHG.
20
证明 金太阳新课标资源网 1B1C1的中位线，∴GH∥B1C1. (1)∵GH是△A 老师都说好! 又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC， ∴B，C，H，G四点共面． (2)∵E、F分别为AB、AC的中点，∴EF∥BC， ∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG， ∴EF∥平面BCHG. ∵A1G綉EB，∴四边形A1EBG是平行四边形，
2
金太阳新课标资源网 老师都说好!
基础梳理 1．直线与平面的位置关系有 在平面内、 相交 、 平行 三种情 况． 2．平面与平面的位置关系有 相交 、 平行 两种情况．
3
金太阳新课标资源网 老师都说好!
3．直线和平面平行的判定 (1)定义：直线和平面没有公共点，则称直线平行于平面； (2)判定定理：a⊄α，b⊂α，且a∥b⇒ a∥α ； (3)其他判定方法：α∥β；a⊂α⇒ a∥β 4．直线和平面平行的性质定理：a∥α，a⊂β，α∩β＝l⇒a∥l .
金太阳新课标资源网 老师都说好!
第4讲 直线、平面平行的判定及性质
1
金太阳新课标资源网 老师都说好!
【2013年高考会这样考】 1．考查空间平行的判断与命题或充要条件相结合． 2．以解答题的形式考查线面关系的平行． 3．考查空间中平行关系的探索性问题． 【复习指导】 1．在高考中，线、面平行关系的考查仅次于垂直关系的考 查，是高考重点内容，在要求上不高，属容易题，平时训练难 度不宜过大，抓好判定定理的掌握与应用即可． 2．学会应用“化归思想”进行“线线问题，线面问题，面面 问题”的互相转化，牢记解决问题的根源在“定理”．
∴A1E∥GB.∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG. ∴A1E∥平面BCHG. ∵A1E∩EF＝E，∴平面EFA1∥平面BCHG.
21
金太阳新课标资源网 老师都说好!
考向三 线面平行中的探索问题 【例3】►如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，A1A⊥平面 ABC，若D是棱CC1的中点，问在棱AB上是否存在一点E，使 DE∥平面AB1C1？若存在，请确定点E的位置；若不存在，请 说明理由． [审题视点] 取AB、BB1的中点分别为E、F，证明平面DEF∥
①若一个平面内有两条直线与另一个平面平行，则这两个平面 平行； ②若一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，则这两个平 面平行； ③若一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个 平面平行； ④若一个平面内的两条相交直线分别与另一个平面平行，则这 两个平面平行． A．①③ B．②④ C．②③④ D．③④
平面AB1C1即可．
22
金太阳新课标资源网 老师都说好!
解 存在点E，且E为AB的中点． 下面给出证明： 如图，取BB1的中点F，连接DF， 则DF∥B1C1. ∵AB的中点为E，连接EF， 则EF∥AB1. B1C1与AB1是相交直线， ∴平面DEF∥平面AB1C1. 而DE⊂平面DEF，∴DE∥平面AB1C1.
9
金太阳新课标资源网 老师都说好!
3．在空间中，下列命题正确的是( A．若a∥α，b∥a，则b∥α
)．
B．若a∥α，b∥α，a⊂β，b⊂β，则β∥α C．若α∥β，b∥α，则b∥β D．若α∥β，a⊂α，则a∥β 解析 若a∥α，b∥a，则b∥α或b⊂α，故A错误；由面面平行 的判定定理知，B错误；若α∥β，b∥α，则b∥β或b⊂β，故C 错误． 答案 D
解析
选项A中，如图①，n∥m，m⊥α⇒n⊥α一定成立，A正
确；选项B中，如图②，α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m与n互为异面 直线，∴B不正确；选项C中，如图③，m⊥α，m⊥n⇒n⊂α， ∴C不正确；选项D中，如图④，m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β⇒ α与β相交，∴D不正确.
答案
A
12
金太阳新课标资源网 老师都说好!
6．两个平面平行的性质定理 (1)α∥β，a⊂α⇒ a∥β ； (2)α∥β，γ∩α＝a，γ∩β＝b⇒ a∥b . 7．与垂直相关的平行的判定 (1)a⊥α，b⊥α⇒ a∥b ；
α∥β (2)a⊥α，a⊥β⇒
.
5
金太阳新课标资源网 老师都说好!
一个关系 平行问题的转化关系：
考向一
直线与平面平行的判定与性质
【例1】►(2011· 天津改编)如图，在四棱锥PABCD中，底面 ABCD为平行四边形，O为AC的中点，M为PD的中点． 求证：PB∥平面ACM. [审题视点] 连接MO，证明PB∥MO即可．
14
金太阳新课标资源网 老师都说好!
证明 连接BD，MO.在平行四边形ABCD中，因为O为AC的中 点，所以O为BD的中点．又M为PD的中点，所以PB∥MO.因 为PB⊄平面ACM，MO⊂平面ACM，所以PB∥平面ACM.
23
金太阳新课标资源网 老师都说好!
解决探究性问题一般要采用执果索因的方法，假设求解的结 果存在，从这个结果出发，寻找使这个结论成立的充分条件， 如果找到了符合题目结果要求的条件，则存在；如果找不到符 合题目结果要求的条件(出现矛盾)，则不存在．
24
金太阳新课标资源网 老师都说好!
5．(2012· 衡阳质检)在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是DD1的中 点，则BD1与平面ACE的位置关系为________． 解析 如图． 连接AC、BD交于O点，连结OE， 因为OE∥BD1，而OE⊂平面ACE，BD1⊄ 平面ACE，所以BD1∥平面ACE. 答案 平行
13
金太阳新课标资源网 老师都说好!
28
金太阳新课标资源网 老师都说好!
【示例】►(本题满分12分)(2011· 山东)如图，在四棱台 ABCDA1B1C1D1中，D1D⊥平面ABCD，底面ABCD是平行四边 形，AB＝2AD，AD＝A1B1，∠BAD＝60° . (1)证明：AA1⊥BD； (2)证明：CC1∥平面A1BD.
1 则FM∥CD且FM＝2CD. 1 又∵AE∥CD且AE＝2CD， ∴FM綉AE，即四边形AFME是平行四边形．
∴AF∥ME，又∵AF⊄平面PCE，EM⊂平面PCE， ∴AF∥平面PCE.
16
金太阳新课标资源网 老师都说好!
【例2】►如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N、P分别为 所在边的中点． 求证：平面MNP∥平面A1C1B. [审题视点] 证明MN∥A1B， MP∥C1B.
第(1)问转化为证明BD垂直A1A所在平面；第(2)问在平面A1BD 内寻找一条线与CC1平行．
29
金太阳新课标资源网 老师都说好!
[解答示范] ABCD，
证明 (1)因为D1D⊥平面ABCD，且BD⊂平面
所以D1D⊥BD.(1分) 又因为AB＝2AD，∠BAD＝60° ， 在△ABD中，由余弦定理得BD2＝AD2＋AB2－2AD· ABcos ＝3AD2，所以AD2＋BD2＝AB2， 因此AD⊥BD.(4分) 又AD∩D1D＝D， 所以BD⊥平面ADD1A1.又AA1⊂平面ADD1A1， 故AA1⊥BD.(6分)
30
60°
金太阳新课标资源网 老师都说好!
(2)如图，连结AC，A1C1， 设AC∩BD＝E，连结EA1， 因为四边形ABCD为平行四边形， 1 所以EC＝ AC.(8分) 2 由棱台定义及AB＝2AD＝2A1B1知A1C1∥EC且A1C1＝EC，所以 四边形A1ECC1为平行四边形，(10分) 因此CC1∥EA1. 又因为EA1⊂平面A1BD，CC1⊄平面A1BD， 所以CC1∥平面A1BD.(12分)
7
金太阳新课标资源网 老师都说好!
解析 ①②中两个平面可以相交，③是两个平面平行的定义， ④是两个平面平行的判定定理． 答案 D
8
金太阳新课标资源网 老师都说好!
2．平面α∥平面β，a⊂α，b⊂β，则直线a，b的位置关系是 ( A．平行 C．异面 答案 D B．相交 D．平行或异面 )．
证明面面平行的方法有： (1)面面平行的定义； (2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都 平行于另一个平面，那么这两个平面平行； (3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行； (4)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行； (5)利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互 转化．
4
5．两个平面平行的判定
金太阳新课标资源网 老师都说好!
(1)定义：两个平面没有公共点，称这两个平面平行；
α∥β ； (2)判定定理：a⊂α，b⊂α，a∩b＝M，a∥β，b∥β⇒
(3)推论：a∩b＝M，a，b⊂α，a′∩b′＝M′，a′，b′⊂
α∥β . β，a∥a′，b∥b′⇒
规范解答12——怎样证明线线、线面、面面平行与垂直的综合 性问题 【问题研究】 高考对平行、垂直关系的考查主要以线面平 行、线面垂直为核心，以多面体为载体结合平面几何知识，考 查判定定理、性质定理等内容，难度为中低档题目. 【解决方案】 利用定理证明线面关系时要注意结合几何体的 结构特征，尤其注意对正棱柱、正棱锥等特殊几何体性质的灵 活运用，进行空间线面关系的相互转化.