2017-2018学年河北省卓越联盟高二下学期第三次月考数学(文)试题-解析版

1绝密★启用前河北省卓越联盟2017-2018学年高二下学期第三次月考数学（文）试题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、单选题1．设为虚数单位，复平面内的点表示复数，则表示复数的点是（ ）A.B.C.D.【答案】 A【解析】分析：根据复数的代数形式，进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，整理成最简形式，从而可得结果. 详解：因为复平面内的点表示复数，所以，，复数对应点，故选A点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.2．点的极坐标为，则它的直角坐标为（ ） A.B.C.D.【答案】B【解析】分析：直接利用极坐标与直角坐标的互化公式，即可得结果. 详解：，点的极坐标为，，所以该点的直角坐标为，故选B.点睛：本题考查了极坐标化为直角坐标的方法，意在考查对基本概念掌握熟练程度，属于基础题.3．关于相关关系，下列说法不正确的是（ ）2A. 相关关系是一种非确定关系B. 相关关系越大，两个变量的相关性越强C. 当两个变量相关且相关系数时，表明两个变量正相关D. 相关系数的绝对值越接近1，表明两个变量的相关性越强 【答案】B【解析】分析：根据相关系数的定义与性质，对选项中的命题逐一判断正误即可得结果. 详解：对于，相关关系不同于函数关系，它是一种非确定的关系，正确； 对于，只有两个变量为正相关时，相关关系越大，两个变量的相关性越强，错误； 对于，当两个变量相关且相关系数时，说明两个变量正相关，正确；对于，相关系数的绝对值越接近1，表明两个变量的相关性越强，正确，故选B. 点睛：本题主要考查了相关系数的定义与性质的应用问题，意在考查对基本概念的理解，属于简单题.4．直线21y x =+的参数方程是（ ）。

A.2221x t y t ⎧=⎨=+⎩（t 为参数）B. 2141x t y t =-⎧⎨=+⎩（t 为参数）C. 121x t y t =-⎧⎨=-⎩（t 为参数）D. sin 2sin 1x y θθ=⎧⎨=+⎩（t 为参数）【答案】C 【解析】试题分析：∵y=2x+1，∴y+1=2（x+1），令x+1=t ，则y+1=2t ，可得121x t y t =-⎧⎨=-⎩(t 为参数)，即为直线y=2x+1的参数方程．故选C ． 考点：直线的参数方程。

点评：简单题，将直线的普通方程化为参数方程，其关键是把直线的普通方程写成点斜式方程。

5．通过随机询问250名不同性别的高中生在购买食物时是否看营养说明书，得到如下列联表：从调查的结果分析，认为性别和读营养说明书的关系为（ ） 附：.A. 95%以上认为无关B. 90%～95%认为有关C. 95%～99.9%认为有关D. 99.9%以上认为有关【答案】D【解析】分析：由列联表中的数据，利用公式求得，与邻界值比较，即可得到结论.详解：，有的把握认为性别和读营养说明书的有关.点睛：独立性检验的一般步骤：（1）根据样本数据制成列联表；（2）根据公式计算的值；(3) 查表比较与临界值的大小关系，作统计判断.（注意：在实际问题中，独立性检验的结论也仅仅是一种数学关系，得到的结论也可能犯错误.）6．在同一平面的直角坐标系中，直线变成直线的伸缩变换是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：将直线变成直线，即直线，横坐标不变，纵坐标变为原来的倍，故有是.详解：直线，即直线，将直线变成直线，即直线，故变换时横坐标不变，纵坐标变为原来的倍，34即有伸缩变换是，故选C.点睛：本题考查函数的图象变换，判断横坐标不变，纵坐标变为原来的倍，是解答的关键.7．某餐厅的原料费支出与销售额（单位：元）之间有如下数据，根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出与的线性回归方程为，则表中的值为（ ）A. 50B. 55C. 60D. 65 【答案】C【解析】试题分析：，又，因此，选C.考点：线性回归方程 8．极坐标方程表示的曲线是（ ）A. 一个圆B. 两个圆C. 两条直线D. 一个圆和一条直线 【答案】D 【解析】分析：化为，然后化为直角坐标方程即可得结论. 详解：化为，因为表示一条直线表示圆，所以，极坐标方程表示的曲线是一个圆和一条直线，故选D. 点睛：本题主要考查极坐标方程的应用，属于中档题. 极坐标方程与直角坐标方程互化，这类问题一般我们可以先把曲线方程化为直角坐标方程，用直角坐标方程解决相应问题．9．下面四个推理中，属于演绎推理的是（ ） A. 观察下列各式：，，，…，则的末两位数字为43B. 观察，，，可得偶函数的导函数为奇函数5C. 在平面上，若两个正三角形的边长比为，则它们的面积比为，类似的，在空间中，若两个正四面体的棱长比为，则它们的体积之比为D. 已知碱金属都能与水发生还原反应，钠为碱金属，所以钠能与水发生反应 【答案】D【解析】选项、都是归纳推理，选项为类比推理，选项为演绎推理.故选D.10．已知过曲线（为参数，且）上一点和原点的直线的倾斜角为，则点的坐标是（ ）A.B.C.D.【答案】B【解析】分析：先将曲线的参数方程利用平方法消去参数化为普通方程，利用点斜式求出直线方程，再将二者联立即可得结果. 详解：将曲线为参数，消去参数，化为普通方程为，直线的概率斜角为，，直线方程为，联立，，解得，即，故选B.点睛：消去参数的常用方法有：①代入消元法；②加减消元法；③乘除消元法；④三角恒等式消元法. 11．若)0P Q a ==≥，则,P Q 的大小关系是A. P Q >B. P Q =C. P Q <D. 由a 的取值确定 【答案】C【解析】取1a =得14P =，24Q =>，所以P Q <，故选C ． （证明如下：要证P Q <，只要证22P Q <，只要证62727a a ++<++只要证227712a a a a +<++，只要证012<，显然012<成立，所以P Q <成立）12．极坐标方程表示的曲线是（ ）A. 抛物线B. 椭圆C. 双曲线的一支D. 圆 【答案】A 【解析】分析：本题先用半角公式进行降次化简，再利用极坐标与直角坐标的互化公式，将方程化成直角坐标方程，根据方程判断曲线的形状，可得结论.详解：极坐标方程，，，，，，极坐标方程为曲线为抛物线，故选A.点睛：本题考查的是极坐标与直角坐标的关系，三角函数的半角公式，属于中档题. 利用关系式，等可以把极坐标方程与直角坐标方程互化，这类问题一般我们可以先把曲线方程化为直角坐标方程，用直角坐标方程解决相应问题．第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明二、填空题13．在极坐标系中，直线的方程为，则点到直线的距离为__________．【答案】2【解析】分析：先利用直角坐标与极坐标间的互化公式，将直线的方程化成直角坐标方程，化为直角坐标，再利用点到直线的距离公式求解即可.详解：，它的直角坐标方程为，又点的直角坐标，由点到直线的距离公式得，故答案为.点睛：本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会极坐标系和平面直角坐标系刻画点的位置区别，能进行极坐标的互化.14．在极坐标系中，是极点，设点，，则的面积是__________．【答案】5【解析】分析：根据极角可得三角形的内角，由极经得边的长，根据三角形的面积公式即可得结果.详解：如图，根据极径与极角的定义可得，中，，78（平方单位），故答案为.点睛：本题主要考查极坐标系内，极径与极角的几何意义及其应用，意在考查灵活应用所学知识解决问题的能力.. 15．；；；；…观察上面列出的等式，则可得出第个等式为__________． 【答案】（）【解析】分析：观察所给的等式，等号右边是，第个应该是，左边的式子的项数与右边的底数一致，每个等式都是从这一个等式的序数的数字开始相加的，从而可得结果. 详解：观察所给的等式，，等号右边是，第个应该是，左边的式子的项数与右边的底数一致，每个等式都是从这一个等式的序数的数字开始相加的， 照此规律，第个等式为，故答案为.点睛：本题通过观察几组等式，归纳出一般规律来考查归纳推理，属于中档题.归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.16．在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。

已知直线x t y =-⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）与曲线1:4sin C ρθ=异于点O 的交点为A ，与曲线2:2sin C ρθ=异于点O 的交点为B ，则AB = .【答案】3 【解析】试题分析：直线x t y =-⎧⎪⎨=⎪⎩t 为参数）的普通方程为y =；曲线1:4sin C ρθ=的普通方程为224x y y +=；曲线2:2sin C ρθ=的普通方程为222x y y +=.易得9|||||OA OB AB ==∴考点：极坐标与参数方程.三、解答题17．已知在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）；在极坐标系（与直角坐标系取相同的单位长度，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴）中，直线的方程为.（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程； （2）求直线被曲线截得的弦长. 【答案】（1），；（2）【解析】分析：（1）把曲线的参数方程利用同角三角函数的平方关系消去参数，化为普通方程，再根据，得到直线的直角坐标方程；（2）曲线的圆心到直线：的距离，半径，根据勾股定理可得直线被曲线截得的弦长为.详解：（1）∵ 曲线的参数方程为（为参数）， ∴ 消去参数得到曲线的普通方程为；∵ 直线的极坐标方程为， ∴ 直线的直角坐标方程为；（2）∵ 曲线的圆心到直线：的距离，半径，∴ 直线被曲线截得的弦长为.点睛：对直角坐标方程与极坐标方程的互化问题，要熟记互化公式，另外要注意互化时要将极坐标方程作适当转化，若是和角，常用两角和与差的三角公式展开，化为可以公式形式，有时为了出现公式形式，两边可以同乘以，对直线与圆或圆与圆的位置关系，常化为直角坐标方程，再解决.1018．某校为了分析本校高中生的性别与是否喜欢数学之间的关系，在高中生中随机地抽取了90名学生调查，得到了如下列联表：（1）求①②③④处分别对应的值；（2）能有多大把握认为“高中生的性别与喜欢数学”有关？ 附：.【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】分析：（1）根据列联表的特征，可得到①②③④处分别对应的值；（2）由列联表中的数据，利用公式求得 ，与邻界值比较，即可得到结论. 详解：（1）①②③④处分别对应的值分别为15，20，50，40；（2）∵ ,又,∴ 有超过的把握，认为“高中生的性别与喜欢数学”有关.点睛：独立性检验的一般步骤：（1）根据样本数据制成列联表；（2）根据公式计算的值；(3) 查表比较与临界值的大小关系，作统计判断.（注意：在实际问题中，独立性检验的结论也仅仅是一种数学关系，得到的结论也可能犯错误.） 19．已知直线：（为参数），曲线：（为参数）.（1）设与相交于，两点，求的值；（2）若把曲线上各点的横坐标压缩为原来的，纵坐标压缩为原来的，得到曲线，设点是曲线上的一个动点，求它到直线的距离的最小值.【答案】（1）；（2）【解析】分析：（1）可以将直线的方程化为普通方程后，利用点到直线距离公式以及勾股定理求出的值；（2）将曲线上各点的横坐标压缩为原来的，纵坐标压缩为原来的，利用曲线的变换规律，求出到曲线的方程，可设点，求出点到直线的距离，利用辅助角公式，结合三角函数的有界性即可得结果. 详解：（1）直线的普通方程为，曲线的普通方程为．∵ 圆心到直线的距离，圆的半径，∴；（2）把曲线：上各点的横坐标压缩为原来的，纵坐标压缩为原来的，得到曲线：，设点，则点到直线的距离，当时取等号 .点睛：参数方程主要通过代入法或者已知恒等式（如等三角恒等式）消去参数化为普通方程，通过选取相应的参数可以把普通方程化为参数方程．20．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{ 1x rcos y rsin ϕϕ==+（0r >， ϕ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin 13πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，若直线l 与曲线C 相切； （1）求曲线C 的极坐标方程；（2）在曲线C 上取两点M ， N 与原点O 构成MON ∆，且满足6MON π∠=，求面积MON ∆的最大值.【答案】（1）4sin 3πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭；（2）2+【解析】试题分析：（1）利用极坐标与直角坐标的互化公式可得直线l 的直角坐标方程为2y =+，，消去参数ϕ可知曲线C 是圆心为)，半径为r 的圆，由直线l 与曲线C 相切，可得： 2r =；则曲线C 的方程为(()2214x y +-=， 再次利用极坐标与直角坐标的互化公式可得可得曲线C 的极坐标方程.(2)由（1）不妨设M （1,ρθ），，（120,0ρρ>>），1sin 26MON S OM ON π∆=，，由此可求MON ∆面积的最大值.试题解析：（1）由题意可知直线l 的直角坐标方程为2y =+，曲线C 是圆心为)1，半径为r 的圆，直线l 与曲线C 相切，可得：2r ==；可知曲线C 的方程为(()2214x y +-=，所以曲线C 的极坐标方程为2cos 2sin 0ρθρθ--=， 即4sin 3πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭. (2)由（1）不妨设M （1,ρθ），，（120,0ρρ>>），1sin 26MON S OM ON π∆=，，当12πθ=时， 2MON S ∆≤所以△MON 面积的最大值为221．已知在直角坐标系中，曲线的方程是，直线经过点，倾斜角为，以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （1）写出曲线的极坐标方程和直线的参数方程； （2）设直线与曲线相交于，两点，求的值.【答案】（1），（为参数）；（2）1 【解析】分析：（1）曲线的方程是，展开把，，代入可得极坐标方程，由于直线经过点，倾斜角为，可得参数方程（为参数）；（2）直线的参数方程为（为参数）．代入曲线的方程中整理得，利用韦达定理以及直线参数方程法几何意义可得结果.. 详解：（1）曲线的极坐标方程为，∵ 直线经过点，倾斜角为，∴ 直线的参数方程可以写成（为参数）；（2）由直线经过点，倾斜角为，可得直线过原点，以点为参考点的直线的参数方程为（为参数）．代入曲线的方程中整理得，∴ ，∴ .点睛：本题考查参数方程和普通方程的转化、直线极坐标方程和直角坐标方程的转化以及点到直线距离公式，消去参数方程中的参数，就可把参数方程化为普通方程，消去参数的常用方法有：①代入消元法；②加减消元法；③乘除消元法；④三角恒等式消元法，极坐标方程化为直角坐标方程，只要将和换成和即可.22．极坐标系与直角坐标系有相同的长度单位，以原点为极点，轴正半轴为极轴.已知曲线的极坐标为，曲线的参数方程为（为参数，），射线，，与曲线交于（不包括极点）三点，，，（1）求证：；（2）当时，，两点在曲线上，求与的值.【答案】（1）见解析；（2）【解析】试题分析：(1)依题意，，利用三角恒等变换，可得，由此即可求出结果；(2)当时，两点的极坐标分别为，再把它们化为直角坐标，，根据曲线是经过点，且倾斜角为的直线，又因为经过点的直线方程为，由此即可求出结果.试题解析：(1)依题意，，则；(2)当时，两点的极坐标分别为，化为直角坐标为，曲线是经过点，且倾斜角为的直线，又因为经过点的直线方程为，所以．。