线性代数课件第五章§1 向量的内积、长度及正交性
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5-1 向量的内积、长度及正交性
向量的长度 令
2 2 2 || x || [ x, x] x1 x2 xn
||x||称为n维向量x的长度(或范数)
向量的长度的性质 设x y为n维向量 为实数 则 (1)非负性 当x0时 ||x||0 当x0时 ||x||0 (2)齐次性 ||x||||x|| (3)三角不等式 ||xy||||x||||y|| >>>
容易验证b1 b2 br两两正交 且b1 b2 br与a1 a2 ar 等价 把b1 b2 br单位化 即得V的一个规范正交基
e1 1 1 1 b1 e2 b2 er br || b1|| || b2 || || br ||
e1 1 1 2 2 1 1 e2 e3 2 2 0 0 0 0
0 0 0 0 1 1 e4 2 2 1 1 2 2
例2 设a1(1 2 1)T a2(1 3 1)T a3(4 1 0)T 试用施 密特正交化过程把这组向量规范正交化 解 令b1a1
1 1 1 4 5 b2 a2 b1 3 2 1 1 6 1 3 1 [b1, b1] [b1, a2 ] 4 1 1 1 1 5 b3 a3 b1 b2 1 2 1 2 0 0 3 1 3 1 1 [b1, b1] [b2, b2 ] [b1, a3] [b2, a]
施密特正交化方法 设a1 a2 ar是向量空间V中的一个基 取向量组
说明 要找一组两两正交的单位向量e1 e2 er 使e1 e2 er与a1 a2 ar等价 这样一个问题 称为把a1 a2 ar这个 基规范正交化
同济版线性代数课件--1向量的内积、长度及正交性
e1
1
0 0
2 ,e2
1 0 0
2 ,e3
1
0 2 ,e4
1
0 2
.
1 2
1 2
1 2 1 2 0 0
e1
1
0 0
2
, e2
1 0 0
2 ,e3
1
0 2 ,e4
1
0 2
.
1 2 1 2
由于
[ei ,e j ] 0, [ei ,e j ] 1,
例 求向量 1,2,2,3与 3,1,5,1的夹角.
解
cos
18 2 3 26 2
.
4
三、正交向量组的概念及求法
１ 正交的概念 当 [ x, y] 0 时 , 称向量 x 与 y 正交 .(orthogonal)
由定义知,若 x ,则 x 与任何向量都正交.
２ 正交向量组的概念 若一非零向量组中的向量两两正交，则称该向
a2 1,
a3
2
[ 1, 2] [ 1, 1]
1.
其中[1, 2] 1,[1,1
a2 0 , 1
a3
1 1
2
0 1
2
2 . 1
四、正交矩阵与正交变换
定义4 若n阶方阵A满足 AT A E 即A1 AT ,则
称A为 正交矩阵.
3 14
e3
b3 b3
1 6
1,1,2,0
1, 6
1 6
,
2 6
,0
1 1 4
例３
设
a1
2
,a2
3
,
a
3
1
,
试用施密
1 1 0
向量的内积、长度及正交性
欧几里得范数
在多维空间中，向量长度可以通过欧几里得范数计算，即 $||vec{a}|| = sqrt{sum_{i=1}^{n} a_i^2}$。
向量模的计算
在数学软件中，如Matlab或Python的NumPy库，可以直接使 用内置函数计算向量长度，如`numpy.linalg.norm()`。
03
02
CHAPTER
向量的长度
向量长度的定义
定义
向量长度是指向量从原点到终点所经 过的距离，通常用符号“||”表示。
几何意义
向量长度等于向量在欧几里得空间中 的模，即以原点为起点、终点为终点 的有向线段的长度。
向量长度的性质
非负性
向量长度总是大于等于0，即对于任意向量$vec{a}$，有 $||vec{a}|| geq 0$。
CHAPTER
向量的正交性
向量正交的定义
两个向量$mathbf{a}$和 $mathbf{b}$正交，当且仅当它们的 内积为零，即$mathbf{a} cdot mathbf{b} = 0$。
正交意味着两个向量在所有方向上都 相互垂直，没有共同的行或列。
向量正交的性质
1
正交向量之间的内积为零，即$mathbf{a} cdot mathbf{b} = 0$。
2
正交向量的点积为零，但不意味着它们的长度为 零。
3
正交向量之间没有共同的行或列，即它们是垂直 的。
向量正交的判断方法
01
检查向量的点积是 否为零
如果$bf{a}$和$mathbf{b}$正 交。
02
检查向量的模长是 否为零
向量的内积、长度及正交性
目录
CONTENTS
• 向量的内积 • 向量的长度 • 向量的正交性 • 向量的应用
在多维空间中，向量长度可以通过欧几里得范数计算，即 $||vec{a}|| = sqrt{sum_{i=1}^{n} a_i^2}$。
向量模的计算
在数学软件中，如Matlab或Python的NumPy库，可以直接使 用内置函数计算向量长度，如`numpy.linalg.norm()`。
03
02
CHAPTER
向量的长度
向量长度的定义
定义
向量长度是指向量从原点到终点所经 过的距离，通常用符号“||”表示。
几何意义
向量长度等于向量在欧几里得空间中 的模，即以原点为起点、终点为终点 的有向线段的长度。
向量长度的性质
非负性
向量长度总是大于等于0，即对于任意向量$vec{a}$，有 $||vec{a}|| geq 0$。
CHAPTER
向量的正交性
向量正交的定义
两个向量$mathbf{a}$和 $mathbf{b}$正交，当且仅当它们的 内积为零，即$mathbf{a} cdot mathbf{b} = 0$。
正交意味着两个向量在所有方向上都 相互垂直，没有共同的行或列。
向量正交的性质
1
正交向量之间的内积为零，即$mathbf{a} cdot mathbf{b} = 0$。
2
正交向量的点积为零，但不意味着它们的长度为 零。
3
正交向量之间没有共同的行或列，即它们是垂直 的。
向量正交的判断方法
01
检查向量的点积是 否为零
如果$bf{a}$和$mathbf{b}$正 交。
02
检查向量的模长是 否为零
向量的内积、长度及正交性
目录
CONTENTS
• 向量的内积 • 向量的长度 • 向量的正交性 • 向量的应用
1向量的内积长度及正交性
且当且仅当 ai 0(i 1,即2 , n)时， 0 成立,。 0
2. 向量的长度
a1
定义 2
设
n 维向量
a2 ,
an
规定 的长度(或范数)为
[ , ] a12 a22 an2
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1
2
例1
已知
21,
13,
0
0
计算两个向量单位化后的内积.
三、正交矩阵、正交变换
1. 正交矩阵
定义 5 若 n 阶方阵 A 满足 ATA=E，则 A 为正交矩阵. 根据定义，容易证明如下正交矩阵的性质： 设 A, B 皆为 n 阶正交矩阵，则
① A1 AT ; ② A1(即 AT) 也是正交矩阵； ③ AB 也是正交矩阵； ④ A 1或1;
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(2) 由于 Ax x 亦可写成齐次线性方程组 ( A E)x O
因此，使得 ( A E)x O 有非零解的 值都是矩
阵 A 的特征值.
即，使得 A E 0的 值都是矩阵 A 的特征值.
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定义 2 设 n 阶矩阵 A (aij ) ，记
f () A E
a11 a12
相似矩阵及二次型
§1 向量的内积、长度及正交性
上堂课主要内容：
1、内积：对向量
a1
aan2 ,
b1
b2
bn
, a1b1 a2b2 anbn
2、向量的长度：设
a1
a2
an
, a12 a22 an2
3、单位向量：当 1 时，称为单位向量
解 12 22 (1)2 02 6 14
,
,
1 2 2 (3) (1)1 0 0 6 14
线性代数第五章128
b1 b2 br e1 , e2 , , e r , || b1 || || b2 || || br ||
则e1, e2, · · · , en是向量空间V的一组规范正交基. 由线性无关向量组a1, a2, · · · , ar 构造出正交向量组 b1, b2, · · · , br 的过程称为施密特(Schimidt)正交化过程.
1 0 0 0 0 1 0 0 设 1 0 , 2 0 , 3 1 , 4 0 . 0 0 0 1
又设
1 2 1 2 0 0 0 0 1 2 1 2 , e4 . e1 , e2 , e3 1 2 1 2 0 0 1 2 1 2 0 0 0 ij ( i , j 1, 2, 3, 4). 由于 [e i , e j ] ij 1 i j
2 2 2 [x, x] = x = x1 + x2 + + xn
当|| x ||=1时, 称x为单位向量
3.当|| x || 0, || y || 0 时, n维向量 x 与 y 的夹角： [ x, y] arccos 规定0 . || x || || y || 4.向量 x 与 y 正交定义为： π 当[x, y]=0，也即 θ = .
向量的长度及性质
(1) 非负性: || x || 0, 当且仅当x=0时有|| x || = 0;
(2) 齐次性: || x|| = | | || x ||;
(3) 三角不等式: || x+y || || x || + || y ||.
同济大学线性代数课件__第五章相似矩阵及二次型
p3
0 4
30
设
1 0 1
P ( p1, p2 , p3 ) 0 1 0
1 1 4
则
1
P 1AP 2
2
31
性质：若l 是 A 的特征值, 即 Ax = lx (x≠0)，则
(1) kl 是 kA 的特征值(k是常数)，且 kAx = klx (2) lm 是 Am 的特征值(m是正整数)，且 Amx = lmx (3) 若 A可逆，则l-1是 A-1的特征值, 且 A-1x = l-1x
16
定义4 若 n 阶矩阵 A 满足 A A E 则称 A 为正交矩阵, 且 A1 A
令 A (1,2 , ,n )
A
A
1
2
(1
,
2
,
n
,n
)
11
21
n1
故
[i , j ] i j
ij
1, 0,
i i
j j
1 2 2 2
n 2
1 n 2 n
nn
17
特征值及二次型问题是线性代数的重要问题。
[ x ty, x ty] 0, t [ x, x] 2[ x, y]t [ y, y]t 2 0
(1) [ x, y ] = [ y, x ]; [ x, y]2 [x, x][ y, y]
(2) [lx, y] = l[ x, y ];
(3) [ x + y, z ] = [ x, z ] + [ y, z ];
解: (1) A2 2A 3E 有特征值 l 2 2l 3
(2) 3阶阵 A有特征值 1, -1, 2，故 | A | 2，A可逆。 A 3A 2E 有特征值 -1，-3，3
线性代数第五章第一节向量的内积长度及正交性课件
a1 a1
a1T a2 a2T a2
a1T a2T
an an
1 0
0 1
0
0
anT
anT a1 anT a2
anT an
0
0
1
于是
[ai , a j ]
aiT a j
1, 0,
i j (i, j 1, 2,
i j
, n)
从而可得
方阵A 为正交阵的充分必要条件是 A 的列向量都是单位向 量，且两两正交．即 A 的列向量组构成Rn 的规范正交基．
例：已知3
维向量空间R3中两个向量
a1
1
,
a2
2
1
1
正交，试求一个非零向量a3 ，使a1, a2, a3 两两正交．
分析：显然a1⊥a2 ．
解：设a3 = (x1, x2, x3)T ，若a1⊥a3 ， a2⊥a3 ，则
[a1, a3] = a1T a3 = x1 + x2 + x3 = 0
b1
[b2 , a3 ] [b2 , b2 ]
b2
c32
c31 c3 c2
a1 b1
b2 a2
第一步：正交化——施密特（Schimidt）正交化过程 设 a1, a2, …, ar 是向量空间 V 中的一个基，那么令
b1 a1
b2
a2
c2
a2
[b1 , [b1 ,
a2 b1
] ]
b1
br
ar
[b1 [b1
齐次性： || l x || = | l | ·|| x ||．
三角不等式： || x + y || ≤ || x || + || y ||．
最新整理1向量的内积长度及正交性.ppt
1
1
例：已知3
维向量空间R3中两个向量
a1
1
,
a2
2
1
1
正交，试求一个非零向量a3 ，使a1, a2, a3 两两正交．
分析：显然a1⊥a2 ．
解：设a3 = (x1, x2, x3)T ，若a1⊥a3 ， a2⊥a3 ，则
[a1, a3] = a1T a3 = x1 + x2 + x3 = 0
第五章 相似矩阵及二次型
§1 向量的内积、长度及正交性
向量的内积
x1
y1
定义：设有
n
维向量 x
x
2
M
,
y
y
2
M
,
xn
yn
令
[ x ,y ] x 1 y 1 x 2 y 2 L x n y n
y1
x1, x2,L
,
x
n
y2MxTyyn 则称 [x, y] 为向量 x 和 y 的内积．
[ x y , z ] ( x y ) T z ( x T y T ) z ( x T z ) ( y T z ) [ x , z ] [ y , z ]
[x, y] = x1 y1 + x2 y2 + … + xn yn = xT y．
内积具有下列性质（其中 x, y, z 为 n 维向量，l 为实数）：
内积具有下列性质（其中 x, y, z 为 n 维向量，l 为实数）：
对称性： [x, y] = [y, x]．
线性性质： [l x, y] = l[x, y]．
[x + y, z] = [x, z] + [y, z]
(完整版)5-1向量的内积、长度及正交性
x11 x22 x2r
则 [ , j ] [x11 x坐2标2 向量x2r , j ]
x1[1, j ] x2[2, j ] xr[r , j ]
0 0 0 x j[ j , j ] 0 0 x j
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3. 施密特(Schimidt)正交化方法
, 2 2 2 即 , 2 [ , ][ , ]
(称为Cauchy-Schwarz不等式) 证 参见 附录 1 .
向量长度的性质：
① 0 , 等号成立当且仅当 O；(非负性) ② k k ； (齐次性) ③ (三角不等式)
性质①②显然成立，性质③的证明参见 附录 2 .
同理，对(*) 式两端同时左乘 iT，可得 ki 0 . 证毕
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2. 规范正交基
一组两两正交的单位向量，称为正交单位向量组，
即
i， j
1 , 0,
若i 若i
j j
定义 4 设1，2，，r 是 r 维向量空间 V 的一组基.
如果 1，2，，r 是正交单位向量组，则称 1，2，，r
,bn
)
a2
a1b1 a2b2 anbn
an
则，内积可用矩阵记号表示为 , T T
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(2) 若已知 是行向量， 为列向量，则内积应为
,
根据定义，容易证明内积具有如下运算性质：
(设, , 为 n 维实向量，k 为实数)
① , , ； (交换律) ② k , k , ；(结合律) ③ , , , ；(分配律)
施密特正交化方法：
一组线性无关的非零向量 1，2，，r
作特定的线性运算
与1，2，，r 等价的正交单位向量组
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同济版线性代数课件-1向量的内积、长度及正交性
在解析几何中，正交向量可以用来描述平面或空间中的点或线，并帮助解 决几何问题。
在物理中，正交向量可以用来描述相互垂直的力、速度或加速度等物理量 ，并用于解决物理问题。
在信号处理中，正交向量可以用来表示信号的频率分量和相位信息，并用 于信号分析和处理。
04
CATALOGUE
线性无关性及向量组的秩
线性无关的定义及性质
向量长度在几何中的应用
点到点距离 线段长度 角度测量
向量模的平方
向量的长度可以用来计算两点之间的距离，即连接两点的线段 的长度。
向量的长度可以用来计算线段的长度，即线段两端点之间的距 离。
向量的长度可以用来测量两个向量之间的夹角，通过计算两个 向量的内积可以得到夹角的余弦值。
向量的长度平方等于向量与自身的内积，即$|mathbf{a}|^2 = mathbf{a} cdot mathbf{a}$。
通过行变换或列变换将向量组转化为阶梯形矩阵，然后数阶梯形矩阵中非零行的个数即 为向量组的秩。
秩的应用及意义
要点一
秩的应用
在解决线性方程组、向量空间、矩阵分解等问题中，秩的 概念具有重要应用。
要点二
秩的意义
秩是描述向量组中独立分量个数的量，反映了向量组内部 的结构特性，是线性代数中重要的概念之一。
05
CATALOGUE
特征值和特征向量
特征值和特征向量的定义及性质
特征值和特征向量的定义
对于给定的矩阵A，如果存在一个非零向量 x，使得Ax=λx成立，则称λ为矩阵A的特征 值，x为矩阵A的对应于特征值λ的特征向量 。
特征值的性质
特征值是实数，特征向量是相应的特征Байду номын сангаас程 的解，特征向量与特征值是对应的。
在物理中，正交向量可以用来描述相互垂直的力、速度或加速度等物理量 ，并用于解决物理问题。
在信号处理中，正交向量可以用来表示信号的频率分量和相位信息，并用 于信号分析和处理。
04
CATALOGUE
线性无关性及向量组的秩
线性无关的定义及性质
向量长度在几何中的应用
点到点距离 线段长度 角度测量
向量模的平方
向量的长度可以用来计算两点之间的距离，即连接两点的线段 的长度。
向量的长度可以用来计算线段的长度，即线段两端点之间的距 离。
向量的长度可以用来测量两个向量之间的夹角，通过计算两个 向量的内积可以得到夹角的余弦值。
向量的长度平方等于向量与自身的内积，即$|mathbf{a}|^2 = mathbf{a} cdot mathbf{a}$。
通过行变换或列变换将向量组转化为阶梯形矩阵，然后数阶梯形矩阵中非零行的个数即 为向量组的秩。
秩的应用及意义
要点一
秩的应用
在解决线性方程组、向量空间、矩阵分解等问题中，秩的 概念具有重要应用。
要点二
秩的意义
秩是描述向量组中独立分量个数的量，反映了向量组内部 的结构特性，是线性代数中重要的概念之一。
05
CATALOGUE
特征值和特征向量
特征值和特征向量的定义及性质
特征值和特征向量的定义
对于给定的矩阵A，如果存在一个非零向量 x，使得Ax=λx成立，则称λ为矩阵A的特征 值，x为矩阵A的对应于特征值λ的特征向量 。
特征值的性质
特征值是实数，特征向量是相应的特征Байду номын сангаас程 的解，特征向量与特征值是对应的。
5.1 向量的内积和正交矩阵(《线性代数》闫厉 著)
y1 a11 x1 a12 x2 a1 nx n , y2 a21 x1 a22 x2 a2 nx n ,
ym am1 x1 am 2 x2 amn xn .
之间的
表示一个从变量 x1 , x2 ,, xn 到变量 y1 , y2 ,, ym 线性变换， 其中aij 为常数.
b1
(b2 (b2
, ,
a3 b2
) )
b2
c32
c31 c3 c2
a1 b1
b2 a2
a2
a2－b1 b2
b1 c2
令 c2 为 a2 在 b1 上的投影，则 c2 = b1 ， 若令 b2 = a2 － c2 = a2 － b1 ，则 b1⊥b2 ． 下面确定 的值．因为
0 (b2 , b1 ) (a2 b1, b1 ) (a2 , b1 ) (b1, b1 )
biT bj
1, 0,
i j i j
(i, j 1, 2,, n)
定义5.1.5：如果 n 阶矩阵A 满足 ATA = E，即 A－1 = AT， 则称矩阵A 为正交矩阵，简称正交阵．
n 方阵A 为正交阵的充分必要条件是 A 的列向量都是单位向 量，且两两正交．即 A 的列向量组构成Rn 的标准正交基．
n 方阵A 为正交阵的充分必要条件是 A 的行向量都是单位向 量，且两两正交． 即 A 的行向量组构成Rn 的标准正交基.
正交矩阵具有下列性质：(定理5.1.3) ü 若 A 是正交阵，则AT （即A−1 ）也是正交阵， ü |A| = 1 或－1; ü 若 A 和B是正交阵，则 AB 也是正交阵． 定义：若 P 是正交阵，则线性变换 y = Px 称为正交变换．
AT
A
a1T
5.1向量的内积长度及正交性
1a1 2a2 r ar 0
T 以a1 左乘上式两端, 得
T T T 1a1 a1 2a1 a2 r a1 ar 0 T T T 因为a1 , a2 , , ar 两两正交 a1 a2 a1 a3 a1 ar 0
a a1 0,
1 0 1 0 1 0
对应方程组
x1
x3 0 x2 0
1 0 1
x1 x3 x2 0
令 x3 1 得基础解系
1 取 a3 0 为所求. 1
补充 (1) 向量空间 且集合 设V为n维向量的集合， 如果集合V 非空， V 对于加法及数乘两种运算封闭， 则称V为向量空间. 集合 V 对于加法及乘数两种运算封闭指
例如
e1
1 1 2 2 1 1 , e2 ， e3 2 2 0 0 0 0
0 0 1 , e3 2 1 2
a与b的内积
夹角 cos(a, b) a b .
ab
2.内积的概念 定义1 设有 n 维向量
y1 x1 x 2 ， y y2 , x yn xn
[ x, y] x1 y1 x2 y2 xn yn xT y.
T 1 1
T a1 a1 [a1 , a1 ] a1
2
由a1 0, a a1 a1
T 1
2
0, 1 0.
同理可得2 r 0, a1 , a2 , , ar 线性无关.
证毕
1向量的内积长度及正交性
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定理 4 A为 n 阶正交矩阵的充要条件是：A 的列向量 组是正交单位向量组.
证 a11 a12 a1n
设
A
a22
a22
a2n
，按列分块为
(1
,
2
,
,
n
),
an1 an2 ann
1T
1T1 1T2
a1
a2
an
, a12 a22 an2
3、单位向量：当 1 时，称为单位向量
将非零向量单位化：取向量
*
1
，
4、正交：如果向量 与 满足 , 0 ，则称
向量 与 正交。
一、向量的内积
1. 向量的内积
n 维向量的内积是 几何向量内积的推广.
a1
b1
定义 1
设有 n 维向量
a2
,
b2
，
规定 和 的内积为
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ an
bn
, a1b1 a2b2 anbn
定理 3 非零正交向量组是线性无关的 .
证 设 1，2，， s 是非零正交向量组，
即
(非零)
i，i iTi
0
(i, j 1,2,, s)
(正交) i， j iT j 0 (i j)
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设 k11 k22 ks s O (1) 证明 1，2，， s 线性无关，就是要证明上式中的组
定理 4 A为 n 阶正交矩阵的充要条件是：A 的列向量 组是正交单位向量组.
证 a11 a12 a1n
设
A
a22
a22
a2n
，按列分块为
(1
,
2
,
,
n
),
an1 an2 ann
1T
1T1 1T2
a1
a2
an
, a12 a22 an2
3、单位向量：当 1 时，称为单位向量
将非零向量单位化：取向量
*
1
，
4、正交：如果向量 与 满足 , 0 ，则称
向量 与 正交。
一、向量的内积
1. 向量的内积
n 维向量的内积是 几何向量内积的推广.
a1
b1
定义 1
设有 n 维向量
a2
,
b2
，
规定 和 的内积为
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ an
bn
, a1b1 a2b2 anbn
定理 3 非零正交向量组是线性无关的 .
证 设 1，2，， s 是非零正交向量组，
即
(非零)
i，i iTi
0
(i, j 1,2,, s)
(正交) i， j iT j 0 (i j)
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设 k11 k22 ks s O (1) 证明 1，2，， s 线性无关，就是要证明上式中的组
线性代数第五章第一节29页PPT
3. 向量的夹角 向量的内积满足施瓦茨不等式
[ x, y ]2 ≤ [ x, x ][ y, y ] , 由此可得
[ x,y ] 1 (当 || x || || y || 0 时), xy
于是有下面的定义:
定义 当 || x || 0, || y || 0 时,
arccos[x,y]
xy 称为 n 维向量 x 与 y 的夹角.
（3） [x + y, z] = [x, z] + [y, z]; （4） [x, x] ≥ 0, 且当 x 0 时有 [x, x] > 0.
在解析几何中，我们曾引进向量的数量积
x ·y = |x| |y| cos ,
且在直角坐标系中，有 ( x1, x2, x3 ) ·(y1, y2 , y3 ) = x1y1 + x2y2 + x3y3 .
间V( V Rn ) 的一个基, 如果 e1 , ···, er 两两正交,
且都是单位向量, 则称 e1, ···, er 是 V 的一个规范 正交基.
例例 22 设设
11
11
55
11
aa11 323211,,aa22 110011,,aa33 101044,,aa44 1132324 4
11442 2 101044 ,, ee44
11 22 22101110334 4
是是 RR 4 的的 一一 个个 规规 范范 正正 交交基基 , 试试 用用 e11, e22 , e33 , e4 表表 示示
aa((11,,11,,11,,11))TT.. 解 由 公 式 ki = eiT a = [a, ei] , 得
是是 例例 11 中中 所所 求求 正正交交向向量量组组, 试试求求 RR 44 的的 一一个个规规范范正正
线性代数5.1向量内积
当 [ x , y ] = 0，称向量 x 与 y 正交. 显然，若x = 0，则x与任何向量都正交.
下面讨论正交向量组的性质. 所谓正交向量组， 是指一组两两正交的非零向量.
定理 5.1 正交向量组是线性无关的. 证明
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例 5.1 试求一个非零向量a3 ，使它与向量
1 1
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1 1 4
例 5.2
设
a1
21
，a2
3 1
，a3
1 0
，
试用施密特正交化过程把这组向量规范正交化.
解 取 b1=a1，
1 1 1
b2
a2
[ a2 [ b1
证明 A = ( a1 , a2 ,…, an ) 为正交矩阵等价于
A A E, 即
AT
A
a1T a2T
M
a1 ,a2 ,L
,an
a1Ta1 a2Ta1
M
a1Ta2 a2Ta2
M
L L
anT
anTa1
anTa2
L
a1Tan a2Tan
M
xn
yn
令
x, y x1y1 x2 y2 L xn yn,
[ x , y ] 称为向量 x 与 y 的内积.
内积是两个向量的一种运算，用矩阵记号表示
[ x , y ] = xT y.
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下面讨论正交向量组的性质. 所谓正交向量组， 是指一组两两正交的非零向量.
定理 5.1 正交向量组是线性无关的. 证明
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例 5.1 试求一个非零向量a3 ，使它与向量
1 1
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例 5.2
设
a1
21
，a2
3 1
，a3
1 0
，
试用施密特正交化过程把这组向量规范正交化.
解 取 b1=a1，
1 1 1
b2
a2
[ a2 [ b1
证明 A = ( a1 , a2 ,…, an ) 为正交矩阵等价于
A A E, 即
AT
A
a1T a2T
M
a1 ,a2 ,L
,an
a1Ta1 a2Ta1
M
a1Ta2 a2Ta2
M
L L
anT
anTa1
anTa2
L
a1Tan a2Tan
M
xn
yn
令
x, y x1y1 x2 y2 L xn yn,
[ x , y ] 称为向量 x 与 y 的内积.
内积是两个向量的一种运算，用矩阵记号表示
[ x , y ] = xT y.
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1 20 . 1
再把它们单位化，取
e1
b1 b1
1 6
1 2 1
,
e2
b2 b2
1 3
1 1 1
,
1
e3 b3 b3
1 2
0 1
.
e1,e2,e3即为所. 求
例 4 已 1知 1 ,1 ,1 T ,求非 2,零 3 使 1 向 ,2,3量
两两 . 正交
解 a2,a3应满足 a1 Tx方 0,程 即 x1x2x30.
基.
解 设 3 x 1 ,x 2 ,x 3 T 0 ,且分 1 ,2 正 .别
则有 [1 ,3 ] [2 ,3 ] 0
即
[[ 2 1,, 3 3]] x x1 1 2 xx 22xx 3300
解之得 x 1 x 3,x 2 0 .
若令 x31,则有 3
x1 x2
1 0
x3 1
定义4 若 n 阶 A 满 方 A T A 足 E 阵 即 A 1 A T ,则
称 A 为 正.交矩阵
定理 A为正交矩阵的充要条件是 A的列向量都
是单位向量且两两正交．
定义5 若 P为正交阵，则线性变换yPx称为正
交变换．
性质 正交变换保持向量的长度不变.(还有P118) 证明 设yPx为正交变 , 换 则 y y T 有 y x T P T P x x T x x .
范正 . 交化
下面介绍施密特正交化方法（Gram-Schmidt orthogonalization’s method ）
若 a1,a2,,ar为向V 量 的空 一 , 间 个基
(1) 正交化 , 取 b1 ，a1
b2a2bb11,,ab12b1,
b3a3[[b b1 1,,a b1 3]]b1[[b b2 2,,a b2 3]]b2
２ 正交向量组的概念 若一非零向量组中的向量两两正交，则称该向
量组为正交向量组．
３ 正交向量组的性质
定理1 若n维向α1量 ,α2,,αr 是一组两两 非零向 ,则α量 1,α2,,αr 线性无关.
证明 设1,有 2, ,r使 11 22 r 0
以a1T左乘上式,两 得端 11T1 0
由 1 0 1 T1 1 2 0 ,从而 1有 0.
同理 2 可 r 得 0 .故 1,2,,r线性.无
４ 向量空间的正交基
若 1,2,,r是向量 V的 空一 间,个 且 1基 ,2, ,r是两两正交组 的 ,则非 称 1,零 2,向 ,r是 量
向量V 空 的间 正.交基
例1 已知三维向量空间中两个向量
1
1 1,
1
1
2 2
1
正交，试求 3 使1,2,3构成三维空间的一个正交
1 1 4
例３
设a1
2,a2
3,a31,试用施密
1 1 0
特正交化过程量 把规 这范 组正 向 . 交化
解
取 b1a1;
1 1
b2
a2 [a2,b21]b1
b1
3 1
4 6
2 1
5 3
1 1 1
;
b3a3[a3,b21]b1[a3,b22]b2
b1
b2
0411312153111
1 02,e4 1 2
1
0 2
.
1 2
1 2 1 2 0 0 e11002,e21002,e311022,e411022.
由 于 [ [e e ii,,e ejj] ] 1 0 ,, ii jj且 且 ii,,jj 1 1 ,,2 2 ,,3 3 ,,4 4 ..
所以 e1,e2,e3,e4为R4的一个规范 . 正交
4
14
再单位化，得规范正交向量组如下
e1b b1 11 21,1,1,1 1 2,1 2,1 2,1 2 e 2 b b 2 21 10 4 , 2 , 1 ,3 0 , 1 2 , 4 1 1 ,4 3 1 4
e 3b b 3 31 6 1 ,1 , 2 ,0 1 6 ,1 6 , 6 2 ,0
同理可知
1 0 0 0
1
00,
2
10,
3
10,
4
00.
0 0 0 1
也为R4的一个规范正交. 基
６ 求规范正交基的方法
设1,2,,r是向量空V的 间一个,要 基求V
的一个规范正,就交是基要找一组两的 两单 正交
位 向 量 e1,e2,,er ,使e1,e2,,er与1,2,,r等
价,这样一个问 ,称题 为把 1,2,,r这个基
b r a r [ [ b b 1 1 , ,a b 1 r ] ] b 1 [ [ b b 2 2 , ,a b 2 r ] ] b 2 [ [ b b r r 1 1 ,, b a r r 1 ] ] b r 1
那 b 1 , ,b 么 r 两,且 两 b 1 , ,b r 与 正 a 1 , a r 等 交 . 价
它的基础解系为 1 0
1 0 ,2 1 .
1 1
把基础解系正交化，即合所求．亦即取
a21, a32[[11,,12]]1.
其 [1 ,中 2 ] 1 ,[1 ,1 ]2 ,于是得
1 a2 0 , 1
0 1 1 1 1 a311201221.
四、正交矩阵与正交变换
例５ 判别下列矩阵是否为正交阵．
1
1 1
2
1 2 1
1 3 1 2,
1 3 1 2 1
解
111 2
1 2 1 3 1 1 2
1
2
9 8
9
4 9
8 9 1
9 4
9
1 3 1 2 1
考察矩阵的第一列和第二列，
4
9 4
.
9
7
9
由于 11 21 211 31 20, 所以它不是正交矩阵．
第五章 相似矩阵及二次型
§1 向量的内积、长度及正交性
一、内积的定义及性质 二、向量的长度及性质 三、正交向量组的概念及求法 四、正交矩阵与正交变换
一、内积的定义及性质
x1
1.定义1 设有n维向量
x
x2
,
令 x , y x 1 y 1 x 2 y 2 x n y n xn
解 先正交化，取
b 1 a 1 1 ,1 ,1 ,1
b2 a1 2, 1 ,bb0 11,,,4 ab12 b11 1 41 ,1 ,1 ,1 0 , 2 , 1 ,3
1 1 1 1
b3a3[[b b1 1,,a b1 3]]b1[[b b2 2,,a b2 3]]b2
3 ,5 ,1 , 1 8 1 ,1 ,1 ,1 1 0 ,4 2 , 1 ,3 1 ,1 , 2,0
由上可知1,2,3构成三维空间的一个正交基.
５ 规范正交基
定义3 设n维向量 e1,e2,,er是向量空 V(V间
Rn)的一个,如 基果 e1,e2,,er两两正交且都是 向量 ,则称 e1,e2,,er是V的一个规范.正交基
例如
1 2 1 2 0 0
e1
1
002,e2
1002,e3 来自y1 yy2
,
yn
称 x ,y 为x 与 向 y 的 内积量 . (Inner product)
2.内积的运算性质
其 x ,y ,中 z 为 n 维 , 为 向 :实 量数
( 1 )x ,y y ,x ;
( 2 )x ,y x ,y ;或 x ,y x ,y ;
( 3 ) x y , z x , z y , z ; 或 x , y z x , y x , z ;
(2) 单位化 , 取 e1b b 1 1, e2b b 2 2, ,erb b r r,
那么 e1,e2,,er为V的一个规范 . 正交基
上述由线性无 a1,关 ,ar构 向造 量出 组正 向量b1,组 ,br的过,称 程为 施密特正交化过程 .
例２ 用施密特正交化方法，将向量组
a 1 ( 1 , 1 , 1 , 1 ) a 2 , ( 1 , 1 , 0 , 4 ) a 3 , ( 3 , 5 , 1 , 1 ) 正交规范化.
( 4 )[ x ,x ] 0 ,且 x 时 当 [ x ,x ] 有 0 .
(5)[x,y]2[x,x]y [,y] 施瓦茨不等式
二、向量的长度及性质
1.定义2 令
x x ,x x 1 2 x 2 2 x n 2 , 称 x 为 n 维 x 的 长向 度 或 范数量 .(norm)
1 8 4
2
9 8
9 1
9 4
9 9
9
由于
4 9
4 9
7 9
1
9
8
8 9 1
4
9 4
1
9 8
8 9 1
4
9 4
T
1 0
0 1
0 0
9 9
4 9
4 9
9 7 9
9 4
9
9 4
9
7 9 0 0 1 9
所以它是正交矩阵．
向量的长度具有下述性质：
1. 非负性 当 x 时 ,x 0 ; 当 x 时 ,x 0 ;
2. 齐次性 xx;
3. 三角不等式 xyxy.
2. 单位向n量 维及 向量间的夹角
1 当 x 1 时 ,称 x 为 单位向量 .
2 当 x0 ,y0 时 ,arc x ,y cos
xy 称n维 为向 x与 y的 量 夹角 .
例 求 向 1 , 2 , 2 , 3 与 量 3 , 1 , 5 , 1 的 . 夹
解
cos
18 2 3 26 2
.