课时达标检测(二十二) 函数y=A

课时达标检测（二十二） 函数y=A sin （ωx+φ）的图象及三角函数模型的简单应用[练基础小题——强化运算能力]1．要得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象( ) A ．向左平移π12个单位B ．向右平移π12个单位C ．向左平移π3个单位D ．向右平移π3个单位解析：选B 由y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π3＝sin ⎣⎡⎦⎤4⎝⎛⎭⎫x －π12得，只需将y ＝sin 4x 的图象向右平移π12个单位即可，故选B.2．(2017·渭南模拟)由y ＝f (x )的图象向左平移π3个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x －π6的图象，则f (x )为( ) A ．2sin ⎝⎛⎭⎫32x ＋π6 B ．2sin ⎝⎛⎭⎫6x －π6 C ．2sin ⎝⎛⎭⎫32x ＋π3 D ．2sin ⎝⎛⎭⎫6x ＋π3 解析：选B y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x －π6错误!y ＝2sin 错误!错误! y ＝2sin ⎣⎡⎦⎤6⎝⎛⎭⎫x －π3－π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫6x －π6＝f (x )． 3.已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则φ＝( )A ．－π6B.π6 C ．－π3D.π3解析：选D 由图可知A ＝2，T ＝4×⎝⎛⎭⎫π3－π12＝π，故ω＝2ππ＝2，又f ⎝⎛⎭⎫π12＝2，所以2sin ⎝⎛⎭⎫2×π12＋φ＝2，所以2×π12＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z)，故φ＝π3＋2k π，k ∈Z ，又|φ|<π2，所以φ＝π3.4．(2016·长沙四校联考)将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)ω>0，－π2≤φ<π2图象上每一点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移π3个单位长度得到y ＝sin x 的图象，则函数f (x )的单调递增区间为( )A.⎣⎡⎦⎤2k π－π12，2k π＋5π12，k ∈Z B.⎣⎡⎦⎤2k π－π6，2k π＋5π6，k ∈Z C.⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z D.⎣⎡⎦⎤k π－π6，k π＋5π6，k ∈Z 解析：选C 将y ＝sin x 的图象向右平移π3个单位长度得到的函数为y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3，将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3的图象上每一点的横坐标缩短为原来的12(纵坐标不变)，则函数变为y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＝f (x )，由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，可得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z ，选C.5.已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则y ＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π6取得最小值时x 的集合为________． 解析：根据所给图象，周期T ＝4×⎝⎛⎫7π12－π3＝π，故ω＝2ππ＝2，因此f (x )＝sin(2x ＋φ)，又图象经过点⎝⎛⎭⎫7π12，0，所以有2×7π12＋φ＝k π(k ∈Z)，再由|φ|<π2，得φ＝－π6，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，则f ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝sin2x ＋π6，当2x ＋π6＝－π2＋2k π(k ∈Z)，即x ＝－π3＋k π(k ∈Z)时，y ＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π6取得最小值． 答案： ⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＝k π－π3，k ∈Z[练常考题点——检验高考能力]一、选择题1．(2017·汕头调研)已知函数周期为π，其图象的一条对称轴是x ＝π3，则此函数的解析式可以是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6 B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6解析：选A 由函数周期为π，排除D ；又其图象的一条对称轴是x ＝π3，所以x ＝π3时，函数取得最值，而f ⎝⎛⎭⎫π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2×π3－π6＝1，所以A 正确． 2.(2017·洛阳统考)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则f (x )的解析式是( )A ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π3B ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 C ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3 D ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6 解析：选D 由图象可知A ＝1，T 4＝5π12－π6，∴T ＝π，∴ω＝2πT ＝2，故排除A ，C ，把x ＝π6代入检验知，选项D 符合题意．3．(2017·湖北八校联考)把函数y ＝sin x (x ∈R)的图象上所有点向左平移π6个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，得到图象的函数解析式为( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π6 D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π6解析：选C 把函数y ＝sin x (x ∈R)的图象上所有点向左平移π6个单位长度，得到函数y＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6(x ∈R)的图象；再把所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，得到图象的函数解析式为y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π6(x ∈R)．4．(2017·郑州模拟)将函数f (x )＝－cos 2x 的图象向右平移π4个单位后得到函数g (x )的图象，则g (x )具有性质( )A ．最大值为1，图象关于直线x ＝π2对称B ．在⎝⎛⎭⎫0，π4上单调递减，为奇函数 C ．在⎝⎛⎭⎫－3π8，π8上单调递增，为偶函数 D ．周期为π，图象关于点⎝⎛⎭⎫3π8，0对称解析：选B 由题意得，g (x )＝－cos 2⎝⎛⎭⎫x －π4＝－cos2x －π2＝－sin 2x .A.最大值为1正确，而g ⎝⎛⎭⎫π2＝0，图象不关于直线x ＝π2对称，故A 错误；B.当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π4时，2x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，g (x )单调递减，显然g (x )是奇函数，故B 正确；C.当x ∈⎝⎛⎭⎫－3π8，π8时，2x ∈⎝⎛⎭⎫－3π4，π4，此时不满足g (x )单调递增，也不满足g (x )是偶函数，故C 错误；D.周期T ＝2π2＝π，g ⎝⎛⎭⎫3π8＝－22，故图象不关于点⎝⎛⎭⎫3π8，0对称．故选B. 5．(2017·太原模拟)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2的最小正周期是π，若将f (x )的图象向右平移π3个单位后得到的图象关于原点对称，则函数f (x )的图象( )A ．关于直线x ＝π12对称 B ．关于直线x ＝5π12对称C ．关于点⎝⎛⎭⎫π12，0对称 D ．关于点⎝⎛⎭⎫5π12，0对称解析：选B ∵f (x )的最小正周期为π，∴2πω＝π，ω＝2，∴f (x )的图象向右平移π3个单位后得到g (x )＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π3＋φ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －2π3＋φ的图象，又g (x )的图象关于原点对称，∴－2π3＋φ＝k π，k ∈Z ，∴φ＝2π3＋k π，k ∈Z ，又|φ|<π2，∴φ＝－π3，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3.当x ＝π12时，2x －π3＝－π6，∴A ，C 错误；当x ＝5π12时，2x －π3＝π2，∴B 正确，D 错误． 6．将函数f (x )＝sin 2x 的图象向右平移φ⎝⎛⎭⎫0<φ<π2个单位后得到函数g (x )的图象．若对满足|f (x 1)－g (x 2)|＝2的x 1，x 2，有|x 1－x 2|min ＝π3，则φ＝( )A.5π12B.π3C.π4D.π6解析：选D 由已知得g (x )＝sin (2x －2φ)，满足|f (x 1)－g (x 2)|＝2，不妨设此时y ＝f (x )和y ＝g (x )分别取得最大值与最小值，又|x 1－x 2|min ＝π3，令2x 1＝π2，2x 2－2φ＝－π2，此时|x 1－x 2|＝⎪⎪⎪⎪π2－φ＝π3，又0<φ<π2，故φ＝π6，选D. 二、填空题7.函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如图所示，若x 1，x 2∈⎝⎛⎭⎫－π6，π3，且f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)＝________. 解析：观察图象可知，A ＝1，T ＝2⎣⎡⎦⎤π3－⎝⎛⎭⎫－π6＝π， ∴ω＝2，∴f (x )＝sin(2x ＋φ)．将⎝⎛⎭⎫－π6，0代入上式得sin ⎝⎛⎭⎫－π3＋φ＝0， 即－π3＋φ＝k π，k ∈Z ，由|φ|＜π2，得φ＝π3，则f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 函数图象的对称轴为x ＝－π6＋π32＝π12.又x 1，x 2∈⎝⎛⎭⎫－π6，π3，且f (x 1)＝f (x 2)， ∴x 1＋x 22＝π12，即x 1＋x 2＝π6， ∴f (x 1＋x 2)＝sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋π3＝32. 答案：328．(2017·山东师大附中模拟)设P 为函数f (x )＝sin π2x 的图象上的一个最高点，Q 为函数g (x )＝cos π2x 的图象上的一个最低点，则|PQ |的最小值是________．解析：由题意知两个函数的周期都为T ＝2ππ2＝4，由正、余弦函数的图象知，f (x )与g (x )的图象相差14个周期，设P ，Q 分别为函数f (x )，g (x )图象上的相邻的最高点和最低点，设P (x 0,1)，则Q (x 0＋1，－1)，则|PQ |min ＝(x 0＋1－x 0)2＋(－1－1)2＝ 5.答案： 59．将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)ω>0，－π2≤φ<π2图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移π6个单位长度得到y ＝sin x 的图象，则f π6＝________.解析：把函数y ＝sin x 的图象向左平移π6个单位长度得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的图象，再把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6图象上每一点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π6的图象，所以f ⎝⎛⎭⎫π6＝sin ⎝⎛⎭⎫12×π6＋π6＝sin π4＝22. 答案：2210．已知f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(ω>0)，f ⎝⎛⎭⎫π6＝f ⎝⎛⎭⎫π3，且f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π6，π3上有最小值，无最大值，则ω＝________.解析：依题意，x ＝π6＋π32＝π4时，y 有最小值，即sin ⎝⎛⎭⎫π4ω＋π3＝－1，则π4ω＋π3＝2k π＋3π2(k ∈Z)．所以ω＝8k ＋143(k ∈Z)．因为f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π6，π3上有最小值，无最大值，所以π3－π4≤πω，即ω≤12，令k ＝0，得ω＝143. 答案：143三、解答题11.函数f (x )＝cos(πx ＋φ)0<φ<π2的部分图象如图所示．(1)求φ及图中x 0的值；(2)设g (x )＝f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x ＋13，求函数g (x )在区间⎣⎡⎦⎤－12，13上的最大值和最小值． 解：(1)由题图得f (0)＝32，所以cos φ＝32，因为0<φ<π2，故φ＝π6.由于f (x )的最小正周期等于2，所以由题图可知1<x 0<2，故7π6<πx 0＋π6<13π6，由f (x 0)＝32得cos ⎝⎛⎭⎫πx 0＋π6＝32，所以πx 0＋π6＝11π6，故x 0＝53.(2)因为f ⎝⎛⎭⎫x ＋13＝cos ⎣⎡⎦⎤π⎝⎛⎭⎫x ＋13＋π6＝cos ⎝⎛⎭⎫πx ＋π2＝－sin πx ，所以g (x )＝f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x ＋13＝cos ⎝⎛⎭⎫πx ＋π6－sin πx ＝cos πx cos π6－sin πx sin π6 －sin πx ＝32cos πx －32sin πx ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π6－πx .当x ∈⎣⎡⎦⎤－12，13时，－π6≤π6－πx ≤2π3.所以－12≤sin ⎝⎛⎭⎫π6－πx ≤1，故当π6－πx ＝π2，即x ＝－13时，g (x )取得最大值3；当π6－πx ＝－π6，即x ＝13时，g (x )取得最小值－32.12．(2017·洛阳质检)如图，摩天轮上一点P 在时刻t (单位：分钟)距离地面的高度y (单位：米)满足y ＝A sin(ωt ＋φ)＋b ，φ∈[－π，π]，已知该摩天轮的半径为50米，圆心O 距地面的高度为60米，摩天轮做匀速转动，每3分钟转一圈，点P 的起始位置在摩天轮的最低点处．(1)根据条件写出y 关于t 的解析式；(2)在摩天轮转动的一圈内，有多长时间点P 距离地面的高度超过85米？ 解：(1)由题设可知A ＝50，b ＝60， 又T ＝2πω＝3，所以ω＝2π3， 从而y ＝50sin ⎝⎛⎭⎫2π3t ＋φ＋60. 由题设知t ＝0时y ＝10，将t ＝0，y ＝10代入y ＝50sin ⎝⎛⎭⎫2π3t ＋φ＋60，得sin φ＝－1，又φ∈[－π，π]，从而φ＝－π2， 因此y ＝60－50cos 2π3t (t ≥0)．(2)要使点P 距离地面的高度超过85米，则有y ＝60－50cos 2π3t >85，即cos 2π3t <－12，解得2π3<2π3t <4π3，即1<t <2，所以在摩天轮转动的一圈内，点P 距离地面的高度超过85米的时间有1分钟.。