高中全程复习方略配套课件：11.3二项式定理

x 1 r r ( ) r C5 25r 1 x 52r . x ∴ (x 1 )(2x 1 )5 的展开式中的常数项为 x x
r Tr 1 C5 2x 5 r
∴x2的系数为-6 答案：-6
【反思·感悟】解决有理项是字母指数为整数的项的问题必须 合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其为整数， 再根据数的整除性来求解.若求二项展开式中的整式项，则其通 项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项
的方式一致.
二项式系数和或各项的系数和
【方法点睛】
赋值法的应用
(1)对形如(ax+b)n、(ax2+bx+c)m(a,b,c∈R)的式子求其展开式
的各项系数之和，常用赋值法，只需令x=1即可；对形如 (ax+by)n(a,b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令 x=y=1即可.
(2)若f(x)=a0＋a1x＋a2x2＋„＋anxn，则f(x)展开式中各项系数 之和为f(1)，
0 2 3 (2) C11 2C1 4C11 8C11 211 C11 =______. 11 11
【解析】原式=(1-2)11=-1.
答案：-1
x y 6 (3) ( － ) 的展开式中，x3的系数等于______. y x r 【解析】( x － y )6 的通项为 Tr＋1＝C6 ( x )6－r (－ y ) r y x y x
(1)若 (x－ 1 ) n 的展开式中第3项的二项式系数是15，则展开式
2x
中所有项的系数之和为______.
(2)已知(3-x)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，则a0-a1+a2-a3+a4等于
_______. (3)已知(1－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则(a0 ＋a2 ＋a4)(a1＋a3＋a5)的值等于_______．
所以4×6n＋5n＋1－9能被20整除.
(2)1.025=(1+0.02)5
2 4 = 1 C1 0.02 C5 0.022 C3 0.023 C5 0.024 C5 0.025 5 5 5 2 ∵ C5 0.022 0.004,C3 0.023 8 105 5
【规范解答】(1)∵ T C x r 1
r 20
20 r
(3 ) y C 3 x 20r y r，
r r 20
1 4 r
r 4
要求系数为有理数的项，则r必须能被4整除.由0≤r≤20且r∈N 知，当且仅当r=0,4,8,12,16,20时所对应的项系数为有理数. 答案：6 (2)∵(1+x2)n的通项 T Cr x 2 r Cr x 2r r 1 n n
4


20
的展开式中，系数为
有理数的项共有______项. (2)(2012·六安模拟)如果(1+x2)n+(1+x)2n(n∈N*)的展开式中x 项的系数与x2项的系数之和为40，则n的值等于______. (3)(2012·黄山模拟) 1 x 4 (1 x )3 展开式中x2的系数为
______.
【解题指南】(1)先明确系数为有理数的项的特征，然后由二项 展开式的通项找出符合条件的项的个数. (2)分别写出(1+x2)n与(1+x)2n的通项，再分别求出x项与x2项的 系数进而求出n. (3)先明确(1-x)4与 (1 x)3 的通项，再让通项相乘，可得(1x)4 (1 x)3 的通项，最后分情况讨论即可.
1.二项式定理
Cn a Cn a b Cn a b (a+b)n=________________________
0 n 1 n 1 2 n 2 2
二项式定理
Cn a b ห้องสมุดไป่ตู้n b __________________(n∈N*)
r r n n
n r
二项式通项
Crn a n r b r Tr+1=__________,它表示第______项 r 1
【规范解答】(1)令x=1,得 a0+ a1+ a2+ a3+ a4=(3-1)4=16. (2)令x=-1得 a0- a1+ a2- a3+ a4=(-3-1)4=256, 而由(1)知 a0+ a1+ a2+ a3+ a4=(3-1)4=16. 两式相加，得 a0+ a2+ a4=136.
(3)由(1)、(2)得
第三节
二项式定理
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三年10考
高考指数:★★★
会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.
1.二项展开式的通项公式的应用，利用通项公式求特定的项或
特定项的系数，或已知某项，求指数n等是考查重点；
2.赋值法、化归思想是解决二项展开式问题的基本思想和方法， 也是高考考查的热点； 3.题型以选择题和填空题为主，与其他知识点交汇则以解答题 为主.
对根式和指数的运算要细心,以防出差错.
2.求特定项的步骤
第一步:根据所给出的条件(特定项)和通项公式建立方程来确定
指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n为正整 数，r为非负整数，且r≤n)； 第二步:根据所求项的指数特征求所要求解的项.
【例1】(1)(2012·宁波模拟)在 x 3y
f 1 f 1 奇数项系数之和为a0+a2+a4+„= , 2 f 1 f 1 2
偶数项系数之和为a1+a3+a5+„=
.
【提醒】“赋值法”是求二项展开式系数问题常用的方法，注 意取值要有利于问题的解决，可以取一个值或几个值，也可以 取几组值，解题易出现漏项等情况，应引起注意.
x x
项系数的和为2，则该展开式中常数项为(
)
(A)-40
(B)-20
(C)20
(D)40
【解题指南】用赋值法求各项系数和，确定a的值，然后再求常 数项.
【规范解答】选D.令x=1，可得 (x a )(2x 1 )5 的展开式中各项
x x
系数和为1+a，
∴1+a=2，即a=1. ∵ (2x 1 )5 的通项公式
r (1+x)2n的通项 Tr1 C2n x r
∴令r=1，r′=1，r′=2得：
2 C1 C1 C2n 40 n 2n
∴n2+n-20=0,∴n=4. 答案：4 (3)∵(1-x)4的通项 Tr 1 Cr4 1r x r , r∈{0，1，2，3，4}
r (1 x)3 的通项Tr′+1= C3 1 x r
2 n C0 C1 Cn Cn 2n 即____________________. n n
(3)二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项 式系数的和，即 C0 C2 C4 C1 C3 C5 2n1. n n n n n n
【即时应用】
( a0+ a1+ a2+ a3+ a4)-( a0+ a2+ a4)
= a1+ a3=-120.
(4)令x=0得a0=1，亦得 a1+ a2+ a3+ a4= a0+ a1+ a2+ a3+ a4-a0 =16-1=15. (5)各项二项式系数的和为
C0 C1 C2 C3 C4 24 16. 4 4 4 4 4
二项式定理求解.
(2)把1.025转化为二项式，适当展开，根据精确度的要求取必
要的几项即可.
【规范解答】(1)4×6n＋5n＋1－9＝4(6n－1)＋5(5n－1)＝4［(5 ＋1)n－1］＋5［(4＋1)n－1］＝20［(5n－1＋
C1 5n－2 n
＋„＋
Cn－1 )＋(4n－1＋C1 4n－2＋＋Cn－1 )］， 是20的倍数， n n n
【解析】(1)依题意，得 C2 ＝15，即 n
n n－ 1 2
＝15，n(n－1)＝
30(其中n≥2)，由此解得n＝6，因此展开式中所有项的系数之 和为 (1－
1 6 1 )＝ . 2 1 64
(2)由题意可知，令x＝－1，代入式子，可得a0-a1+a2-a3+a4＝ ［3－(－1)］4＝256. (3)分别令x＝1、x＝－1,得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝0,a0－
4
r 2
，r′∈{0，1，2，3}
r r
r ∴ 1 x (1 x )3 的通项 T Cr4 C3 1
x
r
r 2
令 r r 2 2
r 2 r 1 . ,∴ 或 r 0 r 2
r 1 2 当 时,x2的系数为 C1 C3 13 12, 4 r 2 r 2 0 当 时，x2的系数为 C2C3 12 6 4 r 0
【例2】设(3x-1)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4. (1)求a0+a1+a2+a3+a4; (2)求a0+a2+a4; (3)求a1+a3;
(4)求a1+a2+a3+a4;
(5)求各项二项式系数的和.
【解题指南】本题给出二项式及其二项展开式，求各项系数和
或部分项系数和，可用赋值法，即令x取特殊值来解决.
二项展开式中各项的系数为 二项式系数
Cn _____(r=0,1,2,„,n)