矩阵在建模中的应用
高考数学矩阵的应用及实例分析
高考数学矩阵的应用及实例分析高考数学是所有文理科生必备的重要课程，而矩阵则是其中必不可少的基础知识点之一。
然而，在实际应用中，矩阵的作用远不止于此，尤其是在计算机领域的广泛应用。
本文将就高考数学矩阵的应用及实例展开阐述和分析。
矩阵的基本定义矩阵是数学中经常用到的对象，其由数或其他数或向量组成的矩形阵列所构成。
例如，一个行列均为m的矩阵记作A=[a_{ij}]，其中i表示行，j表示列，a_{ij}表示A的第i行第j列的元素。
在矩阵中，元素之间的顺序是有意义的，这也是矩阵与普通数组不同的地方。
矩阵的加法和乘法矩阵的加法和乘法是矩阵计算中最基础的两个操作，其定义如下：1.矩阵加法设A=[a_{ij}]，B=[b_{ij}]均为m行n列的矩阵，令C=A+B，且C=[c_{ij}]，则矩阵C的第i行第j列的元素c_{ij}为a_{ij}+b_{ij}。
2.矩阵乘法设A=[a_{ij}]是m行n列的矩阵，B=[b_{ij}]是n行k列的矩阵，令C=A*B，且C=[c_{ij}]，则矩阵C的第i行第j列的元素c_{ij}为c_{ij}=a_{i1}*b_{1j}+a_{i2}*b_{2j}+...+a_{in}*b_{nj}矩阵的应用矩阵的应用不仅局限于高考数学的范畴，其在计算机领域中也有着广泛的应用。
1.图像处理在图像处理中，矩阵被广泛应用于图像滤波和处理算法中。
比如，利用矩阵卷积的方法对图像进行模糊和锐化处理等。
2.数据分析在机器学习和数据分析领域中，矩阵被广泛用于特征向量和特征值计算、预处理和数据降维等方面。
其中，主成分分析（PCA）就是一种常用的算法，它通过矩阵的特征向量和特征值来实现降维和特征提取。
3.计算机图形学在计算机图形学领域中，矩阵被广泛应用于更加复杂的三维图形的建模和变换中。
其中，矩阵变换（旋转、平移等）是基本操作之一，而矩阵在计算机图形学中的应用更加广泛，包括贝塞尔曲线、NURBS曲线等都离不开矩阵的支持。
正交矩阵及其在数学建模中的应用
正交矩阵及其在数学建模中的应用正交矩阵是一种特殊的方阵，其每一行（或每一列）互相垂直且归一化。
其数学特性和应用十分广泛，在数学建模中也有重要的应用。
首先，我们来看一下正交矩阵的基本概念和性质。
正交矩阵的定义是满足 $A A^T = A^T A = I$ 的方阵$A$，其中 $I$ 是单位矩阵。
其中 $A^T$ 表示 $A$ 的转置矩阵。
这里需要注意的是，正交矩阵不一定是方阵，但是一定是列满秩的。
正交矩阵有一个重要的性质是保持向量的模长和内积不变。
具体来说，设 $A$ 是一个 $n \times n$ 的正交矩阵，$x$ 和 $y$ 是$n$ 维向量，则有 $||Ax|| = ||x||$ 和 $<Ax, Ay> = <x, y>$。
这个性质在数学和物理中有广泛的应用。
正交矩阵在数学中有很多重要的应用。
其中一个是它可以用来描述旋转操作。
具体来说，设 $A$ 是一个 $n \times n$ 的正交矩阵，$x$ 是 $n$ 维向量，则 $Ax$ 可以看做将向量 $x$ 绕某个轴旋转一个角度后得到的向量。
这个在三维几何中有着非常广泛的应用。
另一个重要的应用是在信号处理中。
通常情况下，我们需要对信号进行傅里叶变换以提取频率信息。
然而，傅里叶变换只适用于周期性信号，而实际上很多信号并不是周期性的。
因此，我们需要寻找一种方法将非周期性信号转化为周期性信号来进行傅里叶变换。
正交矩阵可以作为一种有效的转换方式，在信号处理中得到广泛的应用。
除此之外，正交矩阵还在机器学习和图像处理中有不少应用。
例如，PCA算法（主成分分析）中利用的就是正交矩阵的性质。
在图像处理中，通过对图像进行奇异值分解并将其分解为正交矩阵和奇异值矩阵，我们可以实现对图像的压缩和降噪等效果。
综上所述，正交矩阵作为一种重要的数学工具，在不同领域中都有广泛的应用。
不仅能够描述旋转操作，还能够用来处理非周期性信号、实现图像压缩和降噪等效果。
社交网络分析的矩阵数据模型
社交网络分析的矩阵数据模型社交网络作为现代社会交流的重要方式，其庞大而复杂的数据也引发了人们对于如何更好地理解和分析这些数据的讨论。
社交网络分析的矩阵数据模型便是一种常用的分析方法，通过构建数据模型来揭示社交网络中隐藏的规律和关系。
本文将深入探讨社交网络分析的矩阵数据模型，阐述其原理、应用和意义。
一、矩阵数据模型的原理在社交网络中，人与人之间的关系可以用图结构来表示，其中节点代表个体，边代表节点之间的关系。
而矩阵数据模型则将这种关系表示为一个矩阵，其中每一行和每一列代表一个节点，矩阵中的元素表示节点之间的连接情况。
例如，如果节点i和节点j之间存在连接，则矩阵的第i行第j列为1，否则为0。
通过构建这样的矩阵数据模型，我们可以方便地对社交网络中的关系进行分析和挖掘。
二、矩阵数据模型的应用1.社交网络图谱构建在社交网络分析中，通过矩阵数据模型可以构建出社交网络的图谱。
通过对图谱的分析，我们可以了解社交网络中的核心节点、社团结构以及信息传播路径等重要信息，为社交网络营销、舆情监控等提供支持。
2.社交网络影响力评估通过矩阵数据模型，我们可以计算出社交网络中每个节点的中心度、影响力等指标。
这些指标可以帮助我们评估不同节点在社交网络中的地位，找出影响力较大的节点，并为社交网络营销、品牌推广等提供决策依据。
3.社交网络演化分析利用矩阵数据模型，我们可以对社交网络的演化过程进行分析。
通过观察矩阵数据模型的变化，我们可以了解社交网络的发展趋势、节点之间的关系变化等信息，为社交网络的发展规划提供参考。
三、矩阵数据模型的意义矩阵数据模型作为社交网络分析的重要方法，具有以下几点意义：1.简化数据复杂度社交网络数据庞大而复杂，通过矩阵数据模型的建模，可以将数据结构简化为易于理解和分析的形式，帮助我们更好地挖掘数据中隐藏的信息。
2.揭示关系模式矩阵数据模型可以清晰地展现节点之间的关系，帮助我们发现社交网络中的关系模式和规律，为社交网络管理和优化提供支持。
随机矩阵奇异值分解算法在3D建模中的应用效果评估
随机矩阵奇异值分解算法在3D建模中的应用效果评估随机矩阵奇异值分解（Randomized Singular Value Decomposition, rSVD）算法是一种用于矩阵分解的高效方法，近年来在3D建模领域得到了广泛的应用。
本文将对随机矩阵奇异值分解在3D建模中的应用效果进行评估。
1. 引言3D建模是计算机图形学领域的重要研究方向之一，广泛应用于电影、游戏、虚拟现实等领域。
在3D建模中，常常需要对大量的三维点云数据进行处理和分析。
而随机矩阵奇异值分解算法可以高效地对大规模矩阵进行分解，因此在3D建模中有着广泛的应用前景。
2. 随机矩阵奇异值分解算法随机矩阵奇异值分解算法是一种基于采样和迭代的矩阵分解方法。
它通过对原始矩阵进行随机采样，构造一个低秩近似矩阵，并对其进行奇异值分解。
与传统的奇异值分解算法相比，随机矩阵奇异值分解算法具有更低的计算复杂度和更快的运算速度。
3. 随机矩阵奇异值分解在3D建模中的应用3D建模中常用的数据表示方式之一是三维点云。
而随机矩阵奇异值分解算法可以对三维点云数据进行降维和拟合，从而实现对三维模型的快速建模。
通过将三维点云数据映射到低维空间，随机矩阵奇异值分解算法可以提取出三维模型的主要特征，并去除噪声和冗余信息。
4. 实验设计与结果分析为了评估随机矩阵奇异值分解算法在3D建模中的应用效果，我们设计了实验，并对比了其与传统奇异值分解算法的性能差异。
实验中使用了不同规模的三维点云数据集，并分别对其进行了随机矩阵奇异值分解和传统奇异值分解处理。
结果表明，随机矩阵奇异值分解算法在运算速度和降维效果上都优于传统奇异值分解算法，能够更快速地实现对三维模型的建模和分析。
5. 应用案例分析除了实验评估，本文还通过应用案例对随机矩阵奇异值分解在3D 建模中的具体应用效果进行分析。
通过对真实场景中的三维点云数据进行处理，我们展示了随机矩阵奇异值分解算法在三维模型建模和分析方面的潜力和优势。
数学建模中矩阵的应用
ａｍ１
Ｘｌ
Ｘ２
． ●
ｂ ＝
（） ３ 进而 得 Ｃ ， ２Ｃ 的权重 分别为 ： Ｃ，。
Ｃ１ ０ ３ ３ ０ ５ １ ０ ６ １ ０ １ ３ ０ ５ ８ ＝ ． ３ × ． ７ ＋ ． ３ × ． ４ 十 ． ８
× ０ ２６ ． ８一 Ｏ ４ ．４ ９；
：
它 的求 解 可 借 助 于数 学 软 件 Ｌ ＮＤ 或 ＭＡＴ Ｉ Ｏ（ —
技 术及 国防经 济 的各 个 领 域 中 的应 用 非 常普 遍 ，
Ｃ３ ０ ５ ０× ０ ５ １ ０ ２ １× ０ １ ３ ０ １ ８ — ．０ ．７ ＋ ． １ ． ４ ＋ ． １
× ０． ８： ０ ４ ． ２６ ．３ ９
即 他 对 ３种 选 择 的 份 额 应 为 ： 家 机 关 国 ４． ， ４ ９ 国有 企业 ２ ． ， 资企业 ３ ． ％． ０２ 外 ４９
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基 金 项 目 ： 肃 省 自然 科 学基 金项 目（ Ｓ ２ １） Ｚ ０ ） 甘 Ｇ （ ０ ０ＧＸ ０ ８ ．
作者简介 ： 李生彪（ ９ １） 男 ， １８ 一， 甘肃会宁人 。 甘肃联合大学讲师 。 主要从事数学建模和数理统计研究．
选购 食物才 能既满 足需要 ， 又花 费最 小［ ？ ４ 解
…
个分支 ． 阵在数 学建模 中也 被广泛 的使用 ， 矩 如在
数学 规划 模 型 、 线性 代 数模 型 、 分方 程模 型 、 微 数 据拟合 等 中 都要 用 到 矩 阵［ ．矩 阵 是 一 个 数 表 ， ３ ］ 可 以对 表 中的数据 运用代 数 的方法进 行运算 和 变
多智能体模型的克罗内克积矩阵基础解读
多智能体模型的克罗内克积矩阵基础解读近年来，随着人工智能与机器学习的迅猛发展，多智能体模型越来越受到重视。
在这种模型中，多个智能体相互作用，通常产生复杂的行为和结果。
而在多智能体模型中，克罗内克积矩阵作为一个重要的工具，被广泛应用于对不同智能体之间相互作用的建模与分析。
本文将对多智能体模型的克罗内克积矩阵进行基础解读，并探讨其在多智能体系统中的应用。
一、多智能体模型概述我们先来简要概括一下多智能体模型。
在多智能体系统中，有多个智能体相互作用，它们可以是人工智能代理、机器人、传感器节点等。
这些智能体通过相互交流和协作来完成一定的任务，这种系统通常会产生复杂的动态行为。
多智能体模型的研究旨在理解和分析这些复杂系统，并设计相应的控制策略以实现特定的目标。
二、克罗内克积矩阵的基本概念在多智能体系统中，智能体之间的相互作用可以通过克罗内克积矩阵进行建模。
克罗内克积矩阵是一种用来描述两个矩阵之间的相互作用的数学工具，其定义如下：设A为m×n的矩阵，B为p×q的矩阵，则它们的克罗内克积（记作A⊗B）是一个mp×nq的矩阵。
具体来说，在克罗内克积矩阵中，如果A为一个m×n的矩阵，B为一个p×q的矩阵，则A⊗B是一个mp×nq的矩阵，其元素由A和B 的对应元素相乘得到。
若A为[1 23 4]B为[5 67 8]那么A⊗B就是一个2×2的矩阵：[1*5 1*6 2*5 2*61*7 1*8 2*7 2*83*5 3*6 4*5 4*63*7 3*8 4*7 4*8]三、克罗内克积矩阵在多智能体模型中的应用在多智能体系统中，克罗内克积矩阵可以被应用于多个方面。
其中，最为重要的应用之一就是在描述多智能体之间的相互作用关系。
通过使用克罗内克积矩阵，我们可以将不同智能体的动态模型进行组合，从而得到整个多智能体系统的全局动态模型。
这对于系统的分析和控制策略的设计具有重要意义。
矩阵论在数据分析中的重要性
矩阵论在数据分析中的重要性矩阵论作为数学中的一个重要分支，广泛应用于各个领域，尤其在数据分析领域中扮演着至关重要的角色。
矩阵论提供了一种高效的数学工具，可以帮助数据分析师处理和分析大量复杂的数据，从而揭示数据背后的规律和信息。
本文将探讨矩阵论在数据分析中的重要性，以及其在数据处理、特征提取、模型建立等方面的应用。
1. 矩阵在数据表示和处理中的作用在数据分析中，数据通常以矩阵的形式进行表示和处理。
矩阵可以将数据结构化地存储起来，方便进行各种运算和分析。
通过矩阵，数据分析师可以将复杂的数据集整理成易于处理的形式，从而更好地理解数据的特征和规律。
例如，对于一个包含多个特征的数据集，可以将其表示为一个矩阵，每一行代表一个样本，每一列代表一个特征，这样就可以方便地进行数据处理和分析。
2. 矩阵在特征提取和降维中的应用在数据分析中，特征提取和降维是非常重要的步骤，可以帮助数据分析师从海量的数据中提取出最具代表性和有效性的特征，从而更好地建立模型和进行预测。
矩阵在特征提取和降维中发挥着关键作用。
通过矩阵分解、奇异值分解等技术，可以将原始数据转换为更低维度的表示，保留数据的主要特征，去除噪声和冗余信息，从而提高数据的表征能力和模型的泛化能力。
3. 矩阵在模型建立和求解中的应用在数据分析中，建立合适的数学模型是解决问题的关键。
而矩阵论提供了丰富的数学工具和方法，可以帮助数据分析师建立各种类型的模型，并对模型进行求解和优化。
例如，在机器学习领域，矩阵在线性回归、逻辑回归、支持向量机等模型中都有广泛的应用。
通过矩阵运算和优化算法，可以高效地求解模型的参数，从而实现对数据的准确建模和预测。
4. 矩阵在数据可视化和图像处理中的应用除了在传统的数据分析中发挥作用外，矩阵论还在数据可视化和图像处理领域有着重要的应用。
通过矩阵变换和处理，可以对图像进行压缩、去噪、增强等操作，实现对图像的高效处理和分析。
同时，矩阵在数据可视化中也扮演着重要角色，可以将高维数据映射到低维空间，实现对数据的可视化展示，帮助人们更直观地理解数据的内在结构和规律。
空间矩阵的概念
空间矩阵的概念空间矩阵是一种在空间中描述物体位置和方向的数学工具。
它由多个维度组成，每个维度代表空间中一个方向的坐标轴。
空间矩阵常用于计算机图形学、三维建模和动画等领域，它能够描述物体的位置、旋转、缩放等变换，从而实现对物体在三维空间中的精确控制。
首先，我们需要了解几个基本概念。
在三维空间中，我们通常使用笛卡尔坐标系来描述物体的位置。
笛卡尔坐标系由三个坐标轴组成，分别是x轴、y轴和z轴。
x轴代表左右方向，y轴代表上下方向，z轴代表前后方向。
在三维空间中，一个点的位置可以通过一个三维向量来表示。
这个向量的三个分量分别表示点在x、y、z轴上的坐标值。
例如，一个点的坐标为(1,2,3)，表示这个点在x轴上的坐标为1，在y轴上的坐标为2，在z轴上的坐标为3。
空间矩阵是一个二维矩阵，通常用一个4x4的矩阵来表示。
这个矩阵中的元素代表了物体在三维空间中的位置、旋转和缩放信息。
一个空间矩阵通常包含了以下几个部分：1. 位移分量：矩阵的最后一列(第4列)，存储了物体的平移信息。
这个分量可以用一个三维向量表示，分别表示在x、y、z轴上的平移距离。
例如，一个物体的平移向量为(1,2,3)，表示这个物体在x轴上平移1个单位，在y轴上平移2个单位，在z轴上平移3个单位。
2. 旋转分量：矩阵的前三列(第1到第3列)，每一列都对应物体绕一个轴旋转的信息。
每一列可以用一个三维向量表示，这个向量表示了相应轴的方向。
例如，物体绕x轴旋转的向量为(1,0,0)，绕y轴旋转的向量为(0,1,0)，绕z轴旋转的向量为(0,0,1)。
这些向量的长度一般为1，表示旋转的方向。
3. 缩放分量：矩阵的对角线上的元素，分别表示物体在x、y、z轴上的缩放比例。
这些元素可以是不同的，从而实现物体在不同方向上的缩放效果。
如果缩放分量为1，则表示没有缩放；如果缩放分量小于1，则表示缩小；如果缩放分量大于1，则表示放大。
利用空间矩阵，我们可以实现对物体的位置、旋转和缩放的控制。
正定矩阵和半正定矩阵
正定矩阵和半正定矩阵正定矩阵和半正定矩阵是矩阵理论中非常重要的一部分，它们经常被用于一些科学计算以及应用到数学建模中。
本文将从矩阵的定义出发，讨论正定矩阵和半正定矩阵的基本特性以及它们应用于数学建模中的重要作用。
全文共有三个部分，分别介绍矩阵的定义、正定矩阵和半正定矩阵的特性以及它们的应用。
首先，从最基本的概念开始，矩阵是一种用于表达数学模型的数据结构，由一系列有序的数字组成。
可以看到，它们有着m行n列（m ×n）的结构，即被称为m×n矩阵。
它们可以表示线性空间中的相关概念，如点、线、平面等。
在线性代数中，矩阵的几何意义很重要，它可以用来表示矢量和空间中的变换，并能把相关运算转化为矩阵乘法的关系。
接下来要讨论的是正定矩阵和半正定矩阵，首先，它们都是实矩阵。
正定矩阵是一种特殊的实矩阵，它有两个重要的性质：（1）它的行列式不等于0，（2）对于任意n×n正定矩阵A，有A=A*A，其中A*表示A的共轭转置。
由此可见，当A是一个正定矩阵时，A正定矩阵的转置也是正定矩阵。
半正定矩阵和正定矩阵有一些相似之处：（1）它们也是实矩阵，（2）它们的行列式也不等于0，（3）它们也具有自身的转置矩阵。
然而，半正定矩阵的性质未必和正定矩阵相同，它只是满足A=A*A，其中A*表示A的共轭转置，转置矩阵并不一定是正定矩阵。
最后，让我们来看看正定矩阵和半正定矩阵在数学建模中的重要作用。
正定矩阵和半正定矩阵常被用于统计回归分析，这是一种用于预测事件结果的模型，可以用来预测变量之间的关系。
正定矩阵和半正定矩阵也可以用来解决优化问题，比如最小二乘法的求解。
另外，它们还可以用来提取线性态度的代数体系，会非常有效地提升计算速度、准确率以及可解释性。
综上所述，正定矩阵和半正定矩阵是矩阵理论中重要的一部分，它们具有行列式不为零及正定矩阵的转置也是正定矩阵等重要性质，并且可以用于统计回归分析、解决优化问题以及提取线性态度的代数体系等，在数学建模中发挥着重要作用。
矩阵和行列式的几何意义及其应用
矩阵和行列式的几何意义及其应用矩阵和行列式是线性代数中非常重要的概念，它们不仅在数学理论中有着重要的地位，而且在现实生活中也有着广泛的应用。
矩阵和行列式的几何意义和应用是我们必须深入了解的内容，本文将就此进行探讨。
我们来说说矩阵的几何意义。
矩阵可以看作是一个矩形的数组，其中的元素通常代表着某种量，比如空间中的坐标，或者物理问题中的力、速度等。
在几何中，矩阵可以表示空间中的旋转、缩放、平移等变换。
二维空间中的平移可以通过一个2x2的矩阵来表示：\[ \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \]这个矩阵表示了在x和y方向上都不发生变化，也就是相当于没有平移。
而如果我们希望在x方向上平移了2个单位，那么可以使用如下的矩阵来表示：我们来说说行列式的几何意义。
行列式是矩阵的一个重要性质，它可以用来判断矩阵是否可逆，从而也可以用来判断一个线性变换是否可以逆转。
几何上来看，行列式可以表示一个线性变换对空间形状的影响。
如果一个矩阵的行列式为0，那么它代表的线性变换将使空间中的一些维度丢失，从而导致形状变得扁平或者折痕，这种情况往往是不可逆的。
接下来，让我们来说说矩阵和行列式在实际生活中的应用。
矩阵和行列式在很多领域都有着广泛的应用，下面就以几个具体的例子来说明。
矩阵和行列式在计算机图形学中有着重要的应用。
在计算机图形学中，我们经常需要对图形进行平移、旋转、缩放等变换，而这些变换都可以通过矩阵来表示。
计算机图形学中还经常需要进行投影变换，而将一个三维空间中的坐标点投影到二维屏幕上，也可以通过矩阵来表示。
矩阵和行列式在计算机图形学中有着广泛的应用。
矩阵和行列式在机器学习和人工智能领域也有着重要的应用。
在机器学习中，我们经常需要对大量的数据进行处理和分析，而矩阵运算在这个过程中是非常高效的工具。
很多机器学习算法都可以通过矩阵运算来表示，比如主成分分析（PCA）和奇异值分解（SVD）等。
量子力学基于矩阵力学的建模
量子力学基于矩阵力学的建模量子力学是描述微观世界的基本理论之一。
在量子力学中，矩阵力学是一种重要的建模方法，它为我们理解粒子的行为提供了一种数学框架。
本文将探讨量子力学基于矩阵力学的建模方法，以及它在解释实验现象和开发新技术方面的应用。
矩阵力学是由物理学家额尔温·海森堡于1925年提出的，它是量子力学的早期形式之一。
在矩阵力学中，波函数被表示为一个复数矩阵，称为“状矩阵”。
这个矩阵描述了系统的状态，通过对矩阵的操作和运算，我们可以计算出一系列物理量的期望值。
矩阵力学中最重要的概念之一是矩阵的本征值和本征态。
本征值表示物理量的测量结果，而本征态则代表相应的物理量所处的状态。
通过矩阵力学的形式，我们可以计算出任意物理量的本征值和本征态。
这使得我们能够描述不同态下的系统行为，并预测实验结果。
在矩阵力学的建模中，哈密顿算符是非常重要的。
哈密顿算符是描述系统总能量的算符，通过矩阵力学的方法，我们可以求解哈密顿算符的本征值和本征态。
这使得我们能够计算出系统的能级和能量谱，从而理解、解释和预测实验中观测到的现象。
除了哈密顿算符，动量算符和角动量算符也是矩阵力学中的重要概念。
通过对这些算符的矩阵表示，我们可以计算出系统的动量和角动量的本征值和本征态。
这为我们研究微观粒子的运动和旋转提供了重要的数学工具。
量子力学基于矩阵力学的建模方法在解释实验现象方面发挥了重要作用。
例如，双缝干涉实验是量子力学中的经典实验之一。
通过矩阵力学的建模，我们可以解释光子在双缝实验中表现出的波粒二象性，以及干涉和衍射现象。
此外，量子力学基于矩阵力学的建模方法还在开发新技术方面发挥了关键作用。
量子计算是近年来备受关注的领域之一，矩阵力学提供了一种计算量子态演化和量子门操作的方法和工具。
通过矩阵力学的建模，我们可以模拟和优化量子计算机的设计和运行，为开发出更强大的计算能力提供了新途径。
除了量子计算，量子通信和量子密码学等领域也受益于量子力学基于矩阵力学的建模方法。
矩阵在数学建模中的应用举例
维普资讯
刘 鹏 ：矩 阵 在 数 学 建 模 中 的 应 用 举 例
｛ｆ ｒｌ１ａｌ＋ｒｌ２ａ２＋ … ＋ｒＩｍａｍ＝Ｙｌ 【，
、
ｎ ＞ ｍ ）
Ｒ
ａ
ｙ ＝
如 果 有 向量 ａ使 得 （ｒｉ ａ。＋ｒｉ ＋… ＋ｒｉ ａ 一Ｙ ） 达 到最 小 ，则 称 ａ为 上 述 超 定 方 程组 的
Ｘｌ（ｔ）
ｇｌ（ｔ）
Ｃ１）
Ｘ２（ｔ）
ｇ２（ｔ）
Ｃ２
其 中 ，Ａ（ｔ）＝［ａ （ｔ）］ ，ｘ（ｔ）＝
， ｇ（ｔ）＝
， Ｃ（ｔ）＝
● ● ●
● ● ●
Ｘ （ｔ）
Ｃ
例 ３：设 ，（ｔ），ａｉ（ｔ）（ｉ＝１，２，… ，ｎ一１）为 纯 量 函数 ，ｃｊ（ｊ＝ｉ＝１，２，… ，ｎ一１）为 纯 量 ，若 纯
若 要求 相 邻 槽 高 相 差 不 超 过 ４（≤４），问 一批 锁 具 中有 多 少 不 同的 锁 ？ 这 个 问题 用 数 学 语 言 叙 述 就 是设 集 合
Ａ＝｛（Ｘｌ，Ｘ２，…Ｘ５）Ｉ Ｘｉ∈｛１，２，… ，６｝，ｉ－１，２，… ，５；Ｉ Ｘ．一Ｘ… Ｉ≠５，ｉ＝１，２，３，４｝ 求 Ａ 中元 素 个 数 Ｉ Ａ Ｉ。考 虑 这 个 问题 可 以有 许 多 思 路 ：一 种 最 自然 的 想 法 就 是 作 组 合 计
Ｍ ｉｎ Ｚ ＝ Ｃ Ｘ
Ｘ
Ｓ．ｔ．ＡＸ ＝ Ｂ
· ５ · 楚 雄 币范 学 院 学 报 ２００６ 年 第 ６ 期
维普资讯
楚 雄 师 范 学 院 学 报
其 中 Ｘ＝ 。Ａ＝
ｂｌ
ｂ２
。Ｂ＝
Ｃ ＝
数学建模中矩阵的应用_李生彪
） 解 （ 设 Ｇ， 他） 的 重要 性 大 小 １ Ｉ， Ｓ 对于 Ｍ （ 的 判 断 矩阵为 １ ４ ２ 熿 燄 （ ） ／ ／ ＡＭ ＝ １ ４ ２ ， １ １ ／ １ ２ ２ １燅 燀 算得 Ａ （ Ｍ ）的 权 重 向 量 为 （ ０． ５ ７ １， ０． １ ４ ３， ）． ０ ． ２ ８ ６
ｎ
ｍ ｉ ｎ ｆ＝ 烆
ｋ 矩阵 表 示 形 式 为
， 作者简介 ： 李 生 彪（ 男， 甘肃 会 宁 人 ， 甘肃联合 大 学 讲 师 ， 主 要从事 数学建模 和 数 理 统 计 研究 ． １ ９ ８ １ －）
第１期
李生彪 等 ： 数 学建 模 中矩阵 的 应用
２ ３
Ａ ｘ ｂ， 烄 ≥ ｘ ≥ ０， 烅 ｍ ｉ ｎ ｘ． ｆ ＝ｃ 烆
Ｃ ． １ ６ ７×０． ５ ７ １＋０． １ ５ ８×０． １ ４ ３＋０． ２ ９ ４ ２ ＝０
×０． ２ ６ ８＝０． ２ ０ ２；
2 线性代数模型中的矩阵
线性代数模型 是 以 向 量 和 矩 阵 为 对 象 ， 以实 向 量 空 间为 背 景 的 一 种 抽 象 数 学 工 具 ， 它在科学 技术 及 国 防 经 济 的 各 个 领 域 中 的 应 用 非 常 普 遍 ， 矩阵 在 这 类 模型 中 的 应 用 最 为 广 泛 ． 层次分析法 是一 种 定 性 和 定 量 相 结合 的多 准 则 决 策 （ 或 评 价） 方法 ， 它 是 在 多 目 标、 多 条 件 下， 对多种对象（ 目
ｘ ｂ ｃ ２ ２ ２ Ｔ ， ， ｂ＝ ｃ ． ＝
（ ） 进 而得 Ｃ ３ Ｃ Ｃ １， ２， ３ 的权重分别为：
Ｃ ． ３ ３ ３×０． ５ ７ １＋０． ６ ３ １×０． １ ４ ３＋０． ５ ８ ８ １ ＝０
MAYA中的矩阵运用
第25卷第8期 计算机应用与软件Vo l 25No .82008年8月 Co m puter Applicati o ns and Soft w are Aug .2008MAYA 中的矩阵运用胡春阳 陈 涛(上海幻维数码创意科技有限公司 上海200072)收稿日期:2007-10-09。
上海市科研计划课题项目(065115005)。
胡春阳,高工,主研领域:计算机应用,视觉特效,信息管理。
摘 要 矩阵已作为一种常用的数学表示方法被普遍地运用在三维动画领域中,然而大多数线性代数书籍中关于矩阵的描述都是基于普遍性的数学概念的介绍,这种矩阵对于很多三维动画从业人员来说,还较难理解。
旨在通过使用M aya ,对矩阵这个数学概念在三维动画中担当的角色以及其作用进行简单说明,以提供给三维动画制作者一个易懂易用的参考。
关键词 矩阵 三维动画 M ay a 坐标变换PRACTI CAL USAGE OF MATRI CES AND COORDINATES IN M AYAH u Chunyang Chen Tao(Shangha iM otion M ag ic En t ertain m en t In c .,Shang ha i200072,Ch i na )Abstrac t A s an e ffecti ve m ethod ,m atr i x is w i de l y used i n 3D ani m a tion i ndustry .H owever ,m ost li near a l g ebra tex tbooks still i ntroduce it i n g ener i c m athema ti ca l expression for m at ,and th i s result in m ak i ng ma tr i x a m yste ri ous concept for many e m ployees wo rk i n th i s secto r .T h i s article i s w r itten for expla i ni ng t he ro l es the m atri x play in 3D an i m ati on so ft w are by the use o fM aya ,as w ell as to m ake a re l ationsh i p bet w een the basic m athe m atical ope ra tion and t he prac tica l usage i n 3D ani m ation productions .H ope i t w ill prov i de an understandab l e re fer ence to wo rkers i n th i s i ndustry .K eywords M atr i x 3d ani m a tion M aya Coo rdina tes transf o r m ati on0 引 言对于使用M aya ,尤其是经常在M aya 中进行绑定和设置的人大都会注意到一系列诸如w or l d m atr i x 、parent i nverse m atri x 之类的属性,也常常会遇到需要将两个旋转值相加却无法获得自己想要的结果的情况。
matlab刚度矩阵建模
matlab刚度矩阵建模Matlab是一种强大的数值计算和科学数据可视化软件，它在工程学、科学研究和技术开发中广泛应用。
在Matlab中，刚度矩阵是一种重要的概念，用于建模和分析结构的刚度特性。
本文将围绕刚度矩阵这一主题展开，介绍刚度矩阵的概念、构建方法以及其在结构分析中的应用。
刚度矩阵是描述结构刚度特性的数学工具，它包含了结构的几何形状、材料性质以及边界条件等信息。
刚度矩阵的构建过程可以通过离散化方法实现，将结构离散成有限个单元，然后计算每个单元的刚度矩阵并组装得到整体刚度矩阵。
在离散化的过程中，常用的单元包括梁单元、弹簧单元和壳单元等。
以梁单元为例，其刚度矩阵可以通过材料的弹性模量、截面面积和长度等参数计算得到。
对于一个梁单元，其刚度矩阵可以表示为一个4x4的矩阵，其中每个元素代表了对应位置的刚度。
在Matlab中，可以使用符号计算工具箱来构建刚度矩阵。
首先，定义梁单元的弹性模量、截面面积和长度等参数为符号变量，然后根据梁单元的几何形状和材料性质，利用符号计算工具箱中的函数计算得到刚度矩阵的表达式。
最后，将表达式转换为数值形式，并存储为一个矩阵。
除了使用符号计算工具箱，Matlab还提供了其他一些函数和工具箱来构建和操作刚度矩阵。
例如，可以使用MATLAB的线性代数函数来进行刚度矩阵的求解和特征值分析。
此外，还可以使用Matlab的图形界面来可视化刚度矩阵的结果，以便更直观地理解结构的刚度特性。
刚度矩阵在结构分析中有着广泛的应用。
通过解析刚度矩阵，可以计算出结构的应力、应变分布，以及结构的位移响应。
此外，刚度矩阵还可以用于求解结构的固有频率和振型，以及进行模态分析和动力响应分析等。
刚度矩阵是一种重要的数学工具，用于描述结构的刚度特性。
在Matlab中，可以使用符号计算工具箱和其他函数来构建和操作刚度矩阵。
刚度矩阵在结构分析中有着广泛的应用，可以用于计算结构的应力、应变分布，以及求解固有频率和振型等。
mpc中的矩阵应用
mpc中的矩阵应用MPC中的矩阵应用在现代控制理论和应用中，模型预测控制（Model Predictive Control，简称MPC）是一种常用的控制方法。
MPC通过建立系统的数学模型，预测未来一段时间内的系统状态，并通过优化算法选择最优的控制输入，从而实现对系统的控制。
其中，矩阵应用是MPC中的重要组成部分。
矩阵是MPC中的核心工具，它们用于描述系统的动态行为、约束条件以及优化目标。
在MPC中，通常使用矩阵来表示系统的状态方程、输出方程和约束条件。
下面将从这三个方面介绍矩阵在MPC 中的应用。
矩阵应用于描述系统的状态方程。
系统的状态方程描述了系统的演化规律，它将当前时刻的状态和控制输入映射到下一时刻的状态。
在MPC中，状态方程通常以矩阵形式表示，其中状态向量和控制输入向量通过矩阵相乘得到下一时刻的状态向量。
这种矩阵乘法的形式使得状态方程的表示更加简洁和灵活，便于在MPC算法中进行处理和优化。
矩阵应用于描述系统的输出方程。
系统的输出方程用于将系统的状态映射到观测量，从而与期望输出进行比较并计算误差。
在MPC 中，输出方程也常常以矩阵形式表示，其中状态向量通过矩阵乘法得到输出向量。
通过矩阵表示输出方程，可以方便地对系统的输出进行计算和优化。
矩阵应用于描述系统的约束条件。
在实际控制问题中，系统通常会受到一些约束条件的限制，例如控制输入的范围、输出的约束等。
在MPC中，这些约束条件可以通过矩阵表示，其中约束向量通过矩阵乘法得到约束矩阵。
通过矩阵表示约束条件，可以方便地对约束条件进行处理和优化。
除了上述三个方面，矩阵在MPC中还应用于优化目标的描述。
MPC通过优化算法选择最优的控制输入，使得系统的输出尽可能接近期望输出，并满足约束条件。
在MPC中，优化目标通常由矩阵表示，其中目标向量通过矩阵乘法得到目标矩阵。
通过矩阵表示优化目标，可以方便地进行优化算法的求解。
矩阵应用是MPC中的重要组成部分，它们用于描述系统的动态行为、约束条件以及优化目标。
应变位移矩阵
应变位移矩阵：从建模到应用应变位移矩阵是结构分析与设计中经常用到的重要工具。
它是将结构的变形状态与位移状态相联系的一种矩阵表达形式，能够描述出结构在空间上的各个方向的变形与位移。
在结构分析中，应变位移矩阵常常用来实现结构模型的建立、分析与验证；在结构设计中，则能够用来确保结构的正确性和稳定性。
应变位移矩阵由位移和应变两个部分组成。
根据不同的应用要求和结构特征，可以采用不同的位移和应变表达方式来构建应变位移矩阵。
其中，常用的构建方法包括小位移假设、有限元方法、模态分析等多种手段。
在结构分析中，应变位移矩阵常常作为求解结构的基础矩阵之一。
通过应变位移矩阵，可以将结构的位移状态和应变状态转化为矩阵形式，从而实现对结构状态的描述和计算。
在强度、刚度与稳定性等多个方面，应变位移矩阵能够提供有效的理论支持与计算手段。
同时，它也为结构动力学分析中的动态响应、模态分析等问题提供了重要的计算基础。
在结构设计中，应变位移矩阵同样具有重要的应用价值。
通过构建结构的应变位移矩阵，可以对结构进行形态分析、合理性评估与优化设计。
同时，应变位移矩阵还能够用于判断结构材料的强度、刚度与稳定性等性质是否满足设计要求。
总之，应变位移矩阵是结构分析与设计中不可或缺的工具之一。
通过合理的构建和有效的应用，它能够为结构的安全、稳定以及优化设计等多个方面提供有力的支撑。
数学建模协方差矩阵
数学建模协方差矩阵协方差矩阵是数学中用于描述多个随机变量之间相关性的重要工具。
它不仅可以帮助我们理解变量之间的关系，还可以用于数据分析、风险评估等多个领域。
让我们来了解一下什么是协方差。
协方差是衡量两个变量之间关系的统计量，它描述的是两个变量的变动是如何同步进行的。
协方差的数值可以为正、负或零，分别表示两个变量之间存在正相关、负相关或者没有线性关系。
协方差矩阵是一个方阵，其中的元素是各个变量之间的协方差。
假设我们有n个变量，那么协方差矩阵的维度就是n×n。
协方差矩阵的对角线上的元素是各个变量的方差，非对角线上的元素是两两变量之间的协方差。
协方差矩阵在数据分析中具有重要的作用。
通过分析协方差矩阵，我们可以了解到变量之间的相关关系。
如果两个变量之间的协方差为正，则说明它们之间存在正相关关系；如果协方差为负，则说明它们之间存在负相关关系；如果协方差为零，则说明它们之间没有线性关系。
协方差矩阵还可以用于风险评估。
在金融领域中，我们常常需要评估不同投资资产之间的风险。
通过计算资产收益率的协方差矩阵，我们可以了解到不同资产之间的风险关系。
如果两个资产之间的协方差较大，则它们之间的风险关联性较高，投资者在进行投资决策时需要考虑到这种关联性。
除了使用协方差矩阵来了解变量之间的关系和进行风险评估，我们还可以利用它进行数据分析。
通过对协方差矩阵的特征值分解，我们可以得到变量的主成分，从而实现数据降维。
这在处理高维数据时非常有用，可以帮助我们提取出最具代表性的特征，并减少数据的维度。
在实际应用中，我们可以通过计算样本数据的协方差矩阵来估计总体的协方差矩阵。
通过大量样本数据的计算，我们可以更准确地了解变量之间的关系。
同时，协方差矩阵还可以通过一些统计方法进行假设检验，帮助我们判断变量之间的相关性是否显著。
协方差矩阵是数学中用于描述多个随机变量之间相关性的重要工具。
它可以帮助我们了解变量之间的关系、进行风险评估、数据分析等多个方面的应用。
矩阵在各种变换下的不变量及其运用分析
矩阵在各种变换下的不变量及其运用分析矩阵在数学和物理学中具有非常重要的作用，它们可以用来描述各种变换和表示数据。
在矩阵代数中，不变量是指在变换下保持不变的属性或特征。
本文将讨论矩阵在各种变换下的不变量及其在数学和物理学中的应用。
我们将重点讨论矩阵在线性变换、相似变换和正交变换下的不变量，并分析它们在几何变换、特征值问题和物理建模中的应用。
对于一个n×n矩阵A，在线性变换下的不变量是指在A作用下向量空间的结构和性质不变的向量或子空间。
如果一个向量在A作用下仍然保持在原来的子空间中，那么这个子空间就是A的不变子空间。
矩阵A的不变子空间可以通过A的特征值和特征向量来求得。
特征向量是指在A作用下保持方向不变的非零向量，而特征值则是A作用在特征向量上得到的标量。
特征值和特征向量是A在线性变换下的不变量，它们可以用来求得A的不变子空间，并且在求解物理问题中也有很多应用，比如在量子力学中描述物质的能级和波函数等问题。
在相似变换下，矩阵A和其相似矩阵B有相同的特征值，这意味着它们在线性变换下的不变子空间是相同的。
相似变换通常用来简化计算，因为通过相似变换可以将复杂的矩阵转化为对角矩阵，而对角矩阵的特征值就是它的对角元素，从而可以简单地求得矩阵的特征值和特征向量。
相似变换的不变量是矩阵的相似性质，它们在数学推导和计算中有广泛的应用，比如在求解微分方程和矩阵分解问题中。
在正交变换下，矩阵A的不变量是指在正交变换下保持不变的矩阵属性和特征。
正交变换不改变向量的长度和内积，因此A的特征值和特征向量在正交变换下也保持不变。
在几何变换中，正交变换可以用来保持几何图形的形状和大小不变，从而简化了几何分析和计算。
在物理建模中，正交矩阵可以用来描述对称性和不变性，比如在描述晶体结构和粒子运动中有很多应用。
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C3＝0.500×0.571＋0.211×0.143＋0.118×0.268＝0.349。 也就是说，大学生对于此三种选择的份额情况如下：国家机
用十分广泛，例 如 进 行 层 次 分 析 、对 投 入 产 出 的 分 析 、数 学 规 划 关为 44.9％，国有企业则为 20.2％，而外资企业则为 34.9％。
表明矩阵可以简化所建立模型中的微分方程组形式， 使得所建
立模型更为简洁易懂。
4 矩阵在动态趋势预测模型中的应用分析
若矩阵形式是方阵，此时线性变换可持续进行，即线性代数
中所谓的矩阵方幂问题，其涉及到了矩阵的乘法、对角化及其方
程等多方面知识，此问题在生物领域的应用十分重要，以下举例
说明。
例： 假设农场某一种动物中的雌性的生存年龄最长是 N
dxn dt
=-ɑn-1 （t）xn -…-ɑ1 （t）x1
行处理时，虽可能导致结果可行性不足或是实际情况达到最优， +f（t）
但其结合经验及试验数据来对客观规律及数据进行分析， 因而
将此一阶方程组进行转变后，所得到的矩阵形式如下所示：
还是能够得到较为满意的结果。 以下对矩阵在规划模型中的应 用情况进行实例说明。
本文主要就矩阵在规划、线性代数、微分方程以及动态趋势预测 的过程必不可少，而矩阵在此模型中的应用也较为广泛，以如下
等模型中的应用情况进行具体分析。
实例说明：
1 矩阵在规划模型中的应用分析 一直以来，规划方面的问题对于经管、科研以及工程技术等
多个领域而言总是最为常见的问题之一。例如，设计人员在对材
例 ： 假 设 f （t）、ɑi （t） （i=1，2， … ，n-1） 是 纯 量 函 数 ， 而 cj （j=
测。
（0.571，0.143，0.286）T。 假 设 ，C1、C2、C3 对 G、I、S 重 要 程 度 的 判 断 矩 阵 是 A （G）、A
（I）及 A（S），得到 A（G）、A（I）及 A（S）三者的权重向量分别如下 （0.333，0.167，0.500）T、（0.631，0.158，0.211）T 及（0.588，0.294，0.118）T。
于此，本文重点对矩阵在建模中的应用情况进行了探讨，希望能为相关领域的研究提供借鉴。
关键词：矩阵 建模 应用
中 图 分 类 号 ：G642
文献标识码： A
文 章 编 号 ：1672-1578（2012)11-0021-01
作为数学中基本概念的一种， 矩阵一直以来都是人们对复 杂事物本质进行把握的关键工具之一。在建模过程中，矩阵的应
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从而可得出 C1、C2、C3 三者权重分别如下： C1＝0.333×0.571＋0.631×0.143＋0.588×0.268＝0.449 C2＝0.167×0.571＋0.158×0.143＋0.294×0.268＝0.202
参考文献： [1]李 明. 线 性 代 数 中 矩 阵 的 应 用 研 究[J].常 州 工 学 院 学 报 ，2011 (03):59-62. [2]黄玉梅， 彭涛. 线性代数中矩阵的应用典型案例[J].兰州大学 学 报 ，2010(01):123-125. [3]王 惠 文 ，张 瑛.结 构 方 程 模 型 的 预 测 建 模 方 法 [J]. 北 京 航 空 航 天 大 学 学 报 ，2007，33(4):477-480.
解：设 G、I、S 对大学生的重要程度的判断矩阵如下：
2 2 1 4 2
A (M)= 1/4 1 1/2 ， 可 求 出 A （M） 权 重 向 量 如 下 ： 1/2 2 1
dx dt
=A（t）X（t）+F（t），X（0）=C。
由上述一阶方程组和相应的矩阵
形式可知，一阶方程组形式更为复杂，而矩阵形式更为简便，这
过程以及数据拟合等过程均需要借助于矩阵对实际问题进行分 3 矩阵在微分方程模型中的应用分析
析和解决。 通常而言， 建模过程中所涉及到的矩阵类型包括 L
在对随时间变化，某对象某特征的变化规律的分析、未来发
矩阵、成对比较矩阵、一致阵、素阵以及随机矩阵等等多种类型。 展情况的预测及其控制措施的研究过程中， 构建微分方程模型
第 9 卷 第 11 期
Vol. 9 No.11
读与写杂志 Ｒｅａｄ ａｎｄ Ｗｒｉｔｅ Ｐｅｒｉｏｄｉｃａｌ
2012 年 11 月 November 2012
矩阵在建模中的应用
居旗
（长江大学信息与数学学院 湖北 荆州 434023）
摘 要 ：作 为 了 解 和 认 识 复 杂 事 物 的 一 种 有 效 工 具 ，矩 阵 一 直 以 来 在 各 学 科 领 域 中 均 有 广 泛 的 推 广 和 应 用 ，特 别 是 在 建 模 中 的 应 用 。 鉴
（k） k （0）
k=1，2，…，n-1，因此，可得到 X =A X ，k=1，2，…，n-1。
若初始时刻此动物种群不同年龄数量分布情况已知， 则可
求出 tk 时刻此动物种群不同年龄 段 的 数 量 分 布 情 况 X（k）。 若 想 对多年后此动物种群的发展趋势进行预测， 应考虑当 k 趋向于
无穷大时所得的极限， 以对动物数量的变化进行动态科学的预
1，2，… ，n-1）是 纯 量 ，则 令
y=x1,y′
=x2，
…
，y
=x （n-1） n
则可得到如下
一阶方程组：
料的尺寸进行选择时， 如何在符合强度等多方面条件要求的情 况下，确保结构的总重量的最小化。采用建模方法对规划问题进
dx1 dt
=x2 ，
dx2 dt
=x3 ，…，
dxn-1 dt
=xn ，
例：n 种食物中，每一种含营养 m 种，在第 j 种食物中，每单 位下第 i 种营养成 分 是 ɑij。 设 一 个 人 每 一 天 对 第 i 种 营 养 的 最 小 需 求 为 bi，而 第 j 种 食 物 单 价 为 cj，则 每 人 如 何 进 行 食 物 选 购 才能在满足其自身需求的同时花费最低？
解 ：假 设 选 购 食 物 时 第 j 种 食 物 其 数 量 是 xj（j=1，2，… ，n）
n
Σ 时 ，则 可 得 到 ： ɑij xj ≥bj （j=1，2 … ，m），xj ≥0 （j=1，2， … ，n），
Σ minf= ck xk 此时， 其矩阵形式如下：Ax≥b，x≥0,minf=cx 所得
N，k=1，2 … ， 则
tk
时刻时
（k）
（k） （k）
（k） T
此动物种群的年龄分布为：X =（x1 ，x2 ，…，xn ） 。 表明在时刻
tk 时，首个年龄段中的雌性 动 物 数 量 同 2tk-1 ，tk 2时 间 段 内 不 同 年
（k）
（k-1）
龄段生育幼仔数量总和相同， 则结合矩阵的乘积：X =AX ，
例：对于大学生而言，其有 3 种工作选择，C1 为国家机关，C2 为国有企业，C3 则为外资企业。 而其考虑最多的因素如下：收入 G、 发展 I 及声誉 S． 以 C1、C2、C3 对 G、I、S 的作用程度情况，及 G、I、S 对个人的重要程度情况， 由此来决定 C1、C2、C3 三种选择 的份额情况。
矩阵可采用 Matlab 数学软件对其进行求解。 2 矩阵在线性代数模型中的应用分析
对于线性代数模型而言，其主要将矩阵及向量作为对象，并 将实向量空间作为背景， 对较为抽象复杂的问题进行解决的工 具之一，作为一种可定性及定量的多准则评价手段，层次分析法 可对多种方案在多目标及条件下进行评价，且简便有效。以下对 矩阵在层次分析法中的应用进行实例分析。
年，则将其生长区间[0，n]进行 n 个年龄段的等分，第 i 年龄段是
2 2 i-1 n
N，
i n
N
， 而 第 i 年 龄 段 生 育 率 和 存 活 率 分 别 为 ɑi、bi，如
果初始时刻此动物种群的年龄分布如下：
0
（0） （0）
（0） T
X =（x1 ，x2 ，…，xn ）
，若取
tk =
k n