《等差数列性质》(习题课)
等差数列习题课6.2
1 1 ( ) n n2
(4)
1 n 1 n
n 1 n
其它方法求和
n 1 3 5 ( 1 ) (2n 1) 例4：求和
n 解：设 S n 1 3 5 (1) (2n 1)
合 并 求 和 法
当n为偶数时，设n=2k，则
而 a6k 1 a6k 2 a6k 3 a6k 4 a6k 5 a6k 6 0 ∴ S 2002 (a a a a ) (a a a ) (a a
1 2 3 6 7 8 12 6 k 1
6k 2
6n,则数列{an}的通项公式是
.
(3)(2014·衡水高一检测)已知数列{an}的各项均为正数,前n
项和为Sn,且满足2Sn=an2+n-4.
①求证数列{an}为等差数列;
②求数列{an}的通项公式.
类型二：
等差数列的判定与证明
【例 3】
1 (1)在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝1－4a ，bn n
f ( x)
3 2
1 2x 2
。
x
1
1 21 x
1
2
1
2 x 2 2 2
2 2
2 2 2x
2x
∴
f ( x) f (1 x)
2 2x 2
2x
利用数列周期性求和
有的数列是周期数列，把握了数列的周期则可顺利求和.关 键之处是寻找周期。
例3：在数列 an 中， a1 1, a2 3, a3 2, an2 an1 an
＝15n－2n2；
n(n－1) ＝na1＋ d 2
等差数列习题课
等差数列习题课一、选择题(每小题5分，共30分，多选题全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)1．等差数列{}a n 中，a 1＋a 4＋a 7＝39，a 2＋a 5＋a 8＝33，则a 6的值为( ) A ．10 B ．9 C ．8 D ．7【解析】选B.因为等差数列{}a n 中，a 1＋a 4＋a 7＝39，a 2＋a 5＋a 8＝33，所以2(a 2＋a 5＋a 8)＝(a 1＋a 4＋a 7)＋(a 3＋a 6＋a 9)，所以a 3＋a 6＋a 9＝27，所以3a 6＝27，所以a 6＝9.2．已知等差数列{a n }的公差d≠0，S n 是其前n 项和，若a 1＋a 3＋a 5＝－15，a 2＋a 4＋a 6＝－21，则18 S 3的值是( )A ．－5B ．－58C ．－98D ．－18【解析】选C.由等差数列性质知3a 3＝－15，3a 4＝－21， 故a 3＝－5，a 4＝－7，则a 2＝－3. 则18 S 3＝18 ×3（a 1＋a 3）2 ＝3a 28 ＝－98 .3．在数列{}a n 中，a 1＝3，且对任意大于1的正整数n ，点(a n ，a n －1 )在直线x －y － 3 ＝0上，则( ) A ．a n ＝3nB ．a n ＝3nC ．a n ＝n － 3D ．a n ＝3n 2【解析】选D.因为点(a n ，a n －1 )在直线x －y － 3 ＝0上，所以a n －a n －1＝ 3 ，所以数列{}a n 是首项为 3 ，公差为 3 的等差数列．所以数列{}a n 的通项公式为 a n ＝ 3 ＋(n －1)·3 ＝ 3 n. 所以a n ＝3n 2.4．若数列{a n }的通项a n ＝2n －6，设b n ＝|a n |，则数列{b n }的前7项和为( ) A ．14 B ．24 C ．26 D ．28【解析】选C.当n≤3时，a n ≤0，b n ＝|a n |＝－a n ＝6－2n ，即b 1＝4，b 2＝2，b 3＝0.当n>3时，a n >0，b n ＝|a n |＝a n ＝2n －6， 即b 4＝2，b 5＝4，b 6＝6，b 7＝8.所以数列{b n }的前7项和为4＋2＋0＋2＋4＋6＋8＝26.5．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5＝5，S 5＝15，则数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n a n ＋1 的前100项和为( )A ．100101B ．99101C ．99100D ．101100【解析】选A.因为a 5＝5，S 5＝15，所以5（a 1＋5）2 ＝15，所以a 1＝1.所以d ＝a 5－a 15－1＝1，所以a n ＝n.所以1a n a n ＋1 ＝1n （n ＋1） ＝1n －1n ＋1.则数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n a n ＋1 的前100项的和为：T 100＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12 ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13 ＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1100－1101 ＝1－1101 ＝100101 .6．(多选题)等差数列{a n }中，a na 2n是一个与n 无关的常数，则该常数的可能值为( )A ．1B ．12 C ．2 D ．3【解析】选AB.本题考查等差数列．设等差数列{a n }的公差为d ，则a na 2n＝a 1－d ＋dna 1－d ＋2dn为常数，则a 1＝d 或d ＝0，a n a 2n ＝12 或1.二、填空题(每小题5分，共10分)7．在等差数列{a n }中，a 2＝3，a 3＋a 4＝9，则a 1a 6＝______．【解析】因为a 2＝3，a 3＋a 4＝9，所以a 2＋a 3＋a 4＝12，即3a 3＝12，故a 3＝4，a 4＝5，所以a n ＝n ＋1，所以a 1a 6＝2×7＝14. 答案：148．已知数列{a n }满足a n ＝11－2n ，则|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 8|＝________． 【解析】原式＝(a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5)－(a 6＋a 7＋a 8) ＝(9＋7＋5＋3＋1)－(－1－3－5)＝34. 答案：34三、解答题(每小题10分，共20分)9．已知数列{a n }中，a 7＝6，a 10＝－3，S n 为等差数列{a n }的前n 项和． (1)求数列{a n }的通项公式及S n 的最大值； (2)求|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 19|＋|a 20|的值． 【解析】(1)因为a 7＝6，a 10＝－3，故⎩⎨⎧a 1＋6d ＝6a 1＋9d ＝－3，解得a 1＝24，d ＝－3，则a n ＝－3n ＋27， 数列的前n 项和公式为：S n ＝n×24＋n （n －1）2 ×(－3)＝－32 n 2＋512 n ， 注意到数列{a n }单调递减，且a 8>0，a 9＝0， 所以S n 的最大值＝S 8＝S 9＝108.(2)因为|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 19|＋|a 20|＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 9－(a 10＋a 11＋…＋a 20)， 所以a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 9－(a 10＋a 11＋…＋a 20)＝2S 9－S 20，由于S 9＝108，S 20＝－90，即|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 19|＋|a 20|＝306.10．已知S n 为各项均为正数的数列{a n }的前n 项和，a 1∈(0，2)，a 2n ＋3a n ＋2＝6S n .(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1a n a n ＋1 ，数列{b n }的前n 项和为T n ，若对任意n ∈N *，t≤4T n 恒成立，求实数t 的最大值．【解析】(1)①当n ＝1时，a 21 ＋3a 1＋2＝6S 1＝6a 1， 即a 21 －3a 1＋2＝0，又因为a 1∈(0，2)，解得a 1＝1. ②对任意n ∈N *，由a 2n ＋3a n ＋2＝6S n 知 a 2n ＋1 ＋3a n ＋1＋2＝6S n ＋1，两式相减，得a 2n ＋1 －a 2n ＋3(a n ＋1－a n )＝6a n ＋1，即(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n －3)＝0，由a n >0得a n ＋1－a n －3＝0，即a n ＋1－a n ＝3， 所以{a n }是首项为1，公差为3的等差数列，所以a n ＝1＋3(n －1)＝3n －2. (2)由a n ＝3n －2得b n ＝1a n a n ＋1 ＝1（3n －2）（3n ＋1）＝13 ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13n －2－13n ＋1 ， 所以T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝13 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14－17＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13n －2－13n ＋1 ＝13 ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－13n ＋1 ＝n 3n ＋1 . 因为T n ＋1－T n ＝n ＋13（n ＋1）＋1 －n 3n ＋1＝1（3n ＋1）（3n ＋4）>0，所以T n ＋1>T n ，即数列{T n }是递增数列， 所以t≤4T n ，t 4 ≤T n ，t 4 ≤T 1＝14 ，t≤1， 所以实数t 的最大值是1.(35分钟 70分)一、选择题(每小题5分，共20分，多选题全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)1．已知数列{}a n 的前n 项和为S n ，若a n ＝1n ＋n ＋1，S n ＝10，则n ＝( ) A ．90 B ．119 C ．120 D ．121【解析】选C.因为a n ＝1n ＋n ＋1＝n ＋1 －n ，所以S n ＝⎝⎛⎭⎫2－1 ＋⎝⎛⎭⎫3－2 ＋…＋(n ＋1 －n )＝n ＋1 －1＝10，故n ＋1＝121 ，故n ＝120.2．已知数列{a n }是等差数列，a 1＜0，a 8＋a 9＞0，a 8·a 9＜0.则使S n ＞0的n 的最小值为( )A ．8B ．9C ．15D ．16【解析】选D.因为等差数列{a n }，首项a 1<0，a 8＋a 9>0，a 8·a 9<0，所以a 8<0，a 9>0， 由S n ＝12 n(a 1＋a n )，可得S 15＝15a 8<0，S 16＝16（a 1＋a 16）2 ＝8(a 8＋a 9)>0，所以使前n 项和S n >0成立的最小自然数n 的值为16.3．已知函数f(x)是(－1，＋∞)上的单调函数，且函数y ＝f(x －2)的图象关于直线x ＝1对称，若数列{a n }是公差不为0的等差数列，且f(a 50)＝f(a 51)，则数列{a n }的前100项的和为( )A ．－200B ．－100C ．0D ．－50【解析】选B.因为函数y ＝f(x －2)的图象关于直线x ＝1对称，则函数f(x)的图象关于直线x ＝－1对称，又因为函数f(x)是(－1，＋∞)上的单调函数，{a n }是公差不为0的等差数列，f(a 50)＝f(a 51)，所以a 50＋a 51＝－2，S 100＝100（a 1＋a 100）2＝50(a 50＋a 51)＝－100. 4．(多选题)设{a n }(n ∈N *)是等差数列，S n 是其前n 项的和，且S 5＜S 6，S 6＝S 7＞S 8，则下列结论正确的是( ) A ．d ＜0 B ．a 7＝0C ．S 9＞S 5D ．S 6与S 7均为S n 的最大值【解析】选ABD.由S 5＜S 6得a 1＋a 2＋…＋a 5＜a 1＋a 2＋…＋a 5＋a 6，即a 6＞0，又因为S 6＝S 7，所以a 1＋a 2＋…＋a 6＝a 1＋a 2＋…＋a 6＋a 7， 所以a 7＝0，故B 正确；同理由S 7＞S 8，得a 8＜0，因为d ＝a 7－a 6＜0，故A 正确；而C 选项S 9＞S 5，即a 6＋a 7＋a 8＋a 9＞0，可得2(a 7＋a 8)＞0，由结论a 7＝0，a 8＜0，显然C 选项是错误的．因为S 5＜S 6，S 6＝S 7＞S 8，所以S 6与S 7均为S n 的最大值，故D 正确． 二、填空题(每小题5分，共20分)5．在等差数列{}a n 中，S n 为其前n 项的和，若S 4＝12，S 8＝40，则S 16＝________. 【解析】设等差数列的公差为d ， 则⎩⎪⎨⎪⎧S 4＝4a 1＋4×32d ＝12S 8＝8a 1＋8×72d ＝40，解得a 1＝32 ，d ＝1，所以S 16＝16×32 ＋16×152 ×1＝144. 答案：1446．已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，满足a 2＋a 8＝6，S 5＝－5，则a 6＝________，S n 的最小值为________．【解析】依题意得：⎩⎨⎧2a 1＋8d ＝6，5a 1＋10d ＝－5，解得⎩⎨⎧a 1＝－5，d ＝2，所以a 6＝－5＋10＝5，S n ＝－5n ＋n （n －1）2 ×2＝n 2－6n ， 当n ＝3时，S n 的最小值为－9. 答案：5 －97．已知数列{a n }中a 1＝1，a 2＝2，当整数n>1时，S n ＋1＋S n －1＝2(S n ＋S 1)都成立，则S 15＝________．【解析】因为数列{a n }中，当整数n>1时， S n ＋1＋S n －1＝2(S n ＋S 1)都成立⇔S n ＋1－S n ＝S n －S n －1＋2⇔a n ＋1－a n ＝2(n>1).所以当n≥2时，{a n }是以2为首项，2为公差的等差数列． 所以S 15＝14a 2＋14×132 ×2＋a 1＝14×2＋14×132 ×2＋1＝211. 答案：2118．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若1≤a 1≤3，3≤a 1＋S 3≤6，则a 2a 1的取值范围是________．【解析】在等差数列{a n }中，a 1＋a 3＝2a 2， 所以S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝3a 2， 又3≤a 1＋S 3≤6，所以3≤a 1＋3a 2≤6. 由1≤a 1≤3得13 ≤1a 1≤1.所以1≤a 1＋3a 2a 1≤6，即1≤1＋3a 2a 1≤6，所以0≤a 2a 1 ≤53 .即a 2a 1的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，53 .答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，53三、解答题(每小题10分，共30分)9．已知数列{a n }，a n ∈N *，S n 是其前n 项和，S n ＝18 (a n ＋2)2. (1)求证：{a n }是等差数列；(2)设b n ＝12 a n －30，求数列{b n }的前n 项和的最小值． 【解析】(1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝18 (a 1＋2)2， 解得a 1＝2.当n≥2时，a n ＝S n －S n －1＝18 (a n ＋2)2－18 (a n －1＋2)2，即8a n ＝(a n ＋2)2－(a n －1＋2)2， 整理得(a n －2)2－(a n －1＋2)2＝0， 即(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－4)＝0. 因为a n ∈N *，所以a n ＋a n －1>0，所以a n －a n －1－4＝0，即a n －a n －1＝4(n≥2). 故数列{a n }是以2为首项，4为公差的等差数列． (2)设数列{b n }的前n 项和为T n ，因为b n ＝12 a n －30，且由(1)知，a n ＝2＋(n －1)×4＝4n －2(n ∈N *)， 所以b n ＝12 (4n －2)－30＝2n －31.故数列{b n }是单调递增的等差数列． 令2n －31＝0，得n ＝1512 .因为n ∈N *，所以当n≤15时，b n <0；当n≥16时，b n >0，即b 1<b 2<…<b 15<0<b 16<b 17<….故当n ＝15时，T n 取得最小值，最小值为T 15＝－29－12 ×15＝－225. 10．已知等差数列{a n }(n ∈N *)满足：a 3＝7，a 5＋a 7＝26，{a n }的前n 项和为S n . (1)求a n 及S n ；(2)令b n ＝1a 2n －1 ，求数列{b n }的前n 项和T n .【解析】(1)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ， 由于a 3＝7，a 5＋a 7＝26，所以a 1＋2d ＝7，2a 1＋10d ＝26，解得a 1＝3，d ＝2. 所以a n ＝2n ＋1，S n ＝n(n ＋2)(n ∈N *).(2)因为a n ＝2n ＋1，所以a 2n －1＝4n(n ＋1)，所以b n ＝14n （n ＋1） ＝14 ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1n －1n ＋1 . 故T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝14 ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝14 ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－1n ＋1 ＝n 4（n ＋1） ，所以数列{b n }的前n 项和T n ＝n 4n ＋1 (n ∈N *). 【补偿训练】数列{a n }中，a 1＝8，a 4＝2，且满足a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝0(n ∈N *). (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设H n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |，求H n . 【解析】(1)因为a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝0. 所以a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ＝…＝a 2－a 1.所以{a n }是等差数列且a 1＝8，a 4＝2，所以d ＝－2，a n ＝a 1＋(n －1)d ＝10－2n.故a n ＝10－2n(n ∈N *).(2)因为a n ＝10－2n ，令a n ＝0，得n ＝5.当n>5时，a n <0；当n ＝5时，a n ＝0；当n<5时，a n >0.设S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n .所以当n>5时，H n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a 5－(a 6＋a 7＋…＋a n )＝S 5－(S n －S 5)＝2S 5－S n ＝n 2－9n ＋40，当n≤5时，H n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝9n －n 2.所以H n ＝⎩⎨⎧9n －n 2，n≤5，n 2－9n ＋40，n>5 (n ∈N *).11．数列{a n }满足a 1＝12 ，a n ＋1＝12－a n(n ∈N *). (1)求证：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n －1 为等差数列，并求出{a n }的通项公式． (2)设b n ＝1a n－1，数列{b n }的前n 项和为B n ，对任意n≥2都有B 3n －B n >m 20 成立，求正整数m 的最大值．【解析】(1)因为a n ＋1＝12－a n， 所以1a n ＋1－1 ＝112－a n－1 ＝2－a n a n －1＝－1＋1a n －1 ， 即1a n ＋1－1 －1a n －1＝－1， 所以⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n －1 是首项为－2，公差为－1的等差数列，1a n －1＝－2＋(n －1)×(－1)＝－(n ＋1)，所以a n ＝nn ＋1 .(2)b n ＝n ＋1n －1＝1n ，令C n ＝B 3n －B n ＝1n ＋1 ＋1n ＋2 ＋…＋13n ，所以C n ＋1－C n ＝1n ＋2 ＋1n ＋3 ＋…＋13（n ＋1） － 1n ＋1 －…－13n ＝－1n ＋1 ＋13n ＋2 ＋13n ＋3 ＋13n ＋1＝13n ＋2 －23n ＋3 ＋13n ＋1 >23n ＋3 －23n ＋3 ＝0，所以C n ＋1－C n >0，{C n }为单调递增数列，又因为n≥2，所以(B 3n －B n )min ＝B 6－B 2＝13 ＋14 ＋15 ＋16 ＝1920 ，m 20 <1920 ，m<19. 又因为m ∈N *，所以m 的最大值为18.。
第四章 习题课 等差数列的性质的综合问题
85 9
，求
这5个数.
解 设第三个数为a，公差为d， 则这5个数分别为a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d. 由已知有
a－2d＋a－d＋a＋a＋d＋a＋2d＝5， a－2d2＋a－d2＋a2＋a＋d2＋a＋2d2＝895，
5a＝5， 整理得5a2＋10d2＝895.
a＝1， 解得d＝±23.
当 d＝23时，这 5 个数分别是－13，13，1，53，73；
立春、春分的日影子长的和是37.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则立
夏的日影子长为
A.15.5尺
B.12.5尺
C.9.5尺
√D.6.5尺
解析 设该等差数列为{an}，冬至、小寒、大寒、…芒种的日影子长 分别记为a1，a2，a3，…，a12，公差为d，由题意可得， a1＋a4＋a7＝37.5，即a4＝12.5， 又 a12＝4.5，所以 d＝a1122－－a44＝－1. 所以立夏的日影子长为a10＝a4＋6d＝12.5－6＝6.5(尺).
√C.新数列是公差为2d的等差数列
D.新数列是公差为3d的等差数列
解析 因为(an＋1＋an＋3)－(an＋an＋2)＝(an＋1－an)＋(an＋3－an＋2)＝2d， 所以数列a1＋a3，a2＋a4，a3＋a5，…是公差为2d的等差数列.
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4.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人 分五钱，令上二人所得与下三人等.问各得几何.”其意思为“已知甲、 乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同， 且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列.问五人各得多少钱？”(“钱”
二、等差数列中项的设法
例2 (1)三个数成等差数列，其和为9，前两项之积为后一项的6倍， 求这三个数；
等差数列的性质同步练习题(含答案)
等差数列的性质同步练习题二班级 姓名( )1．已知等差数列{a n }中，a 1+a 4+a 7=39,a 2+a 5+a 8=33,则a 3+a 6+a 9等于 A ．30 B ．27 C ．24 D ．21 ( )2．已知在等差数列｛a n ｝中，a 1＜0，S 25＝S 45，若S n 最小，则n 为 A ．25 B ．35 C ．36 D ．45( )3．设{a n }是等差数列，公差为d ,S n 是其前n 项和，且S 5<S 6, S 6=S 7>S 8．下列结论错误的是 A ．d <0 B ．a 7=0 C ．S 9>S 5D ．S 6和S 7为S n 最大值 ( )4．在等差数列{a n }中，已知a 1+a 2+…+a 50=200,a 51+a 52+…+a 100=2700,则a 1等于 A ．－20B ．－2021 C ．－2121 D ．－22( )5．已知数列{}n a 的通项公式350n a n =-，则其前n 项和n S 的最小值是 A ．-784 B ．-392 C ．-389 D ．-368 ( )6．公差不为0的等差数列{}n a 中，236,,a a a 依次成等比数列，则公比等于 A ．12． B ．13． C ．2． D ．3． ( ) 7．等差数列{}n a 中,共有21n +项,其中13218n a a a ++++=,2427n a a a +++=,则n 的值是A ．3．B ． 5．C ． 7．D ．9( )8．数列{}n a 的前n 项和是n S ,如果*32 ()n n S a n N =+∈,则这个数列一定是A ．等比数列．B ．等差数列．C ．除去第一项后是等比数列．D ．除去第一项后是等差数列． ( )9．设{a n }是公差为–2的等差数列，如果1479750a a a a +++=．那么36999a a a a +++=A ．–182B ．–78C ．–148D ．–82( )10．已知函数 22()()()n n f n n n ⎧⎪=⎨-⎪⎩当为奇数时当为偶数时 且 )1()(++=n f n f a n ， 则=+⋯+++100321a a a aA .100 B.-100C.2100D.11012-( )11．数列{}n a 满足211=++n n a a （N n ∈且1≥n ），12=a ，n s 是{}n a 的前n 次和，则21S 为 A 、29 B 、211C 、6D 、10 ( )12．一个正整数数表如下(表中下一行中的数的个数是上一行中数的个数的2倍)： 1 2 3 4 5 6 7…………… 则第8行中的第5个数是A 、68B 、132C 、133D 、260( ) 13．等差数列}{n a 的公差,0<d 且21121a a =，则数列}{n a 的前n 项和n S 取得最大值时的项数n 是（ ） A ．5B ．6C ．5或6D ．6或714．等差数列{}n a 中,35710133()2()24a a a a a ++++=,则此数列前13项和是_____26_____．15．已知等差数列{a n }的公差d =21，且前100项和S 100 = 145，那么a 1 + a 3 + a 5 +…+a 99 = 60 . 16．等差数列{a n }中，若a 3+a 5=a 7－a 3=24,则a 2=___0___． 17．一个等差数列的前12项的和为354，前12项中，偶数项和与奇数项和之比为32∶27，则公差d 等于__5 _． 18．设等差数列{a n }共有3n 项，它的前2n 项和为100，后2n 项和是200，则该数列的中间n 项和等于 75 ．19．已知f (x +1)=x 2－4,等差数列{a n }中,a 1=f (x －1), a 2=－23,a 3=f (x )．(1)求x 值；（2）求a 2+a 5+a 8+…+a 26的值． 【解】 （1）∵f (x －1)=(x －1－1)2－4=(x －2)2－4 ∴f (x )=(x －1)2－4,∴a 1=(x －2)2－4,a 3=(x －1)2－4 又a 1+a 3=2a 2,解得x =0或x =3．(2)∵a 1、a 2、a 3分别为0、－23、－3或－3、－23、0 ∴a n =－23(n －1)或a n =23(n －3)①当a n =－23(n －1)时，a 2+a 5+…+a 26=29(a 2+a 26)=3512-②当a n =23(n －3)时，a 2+a 5+…+a 26=29(a 2+a 26)=2297．20．已知函数f (x)＝－x 3＋ax 在(0，1)上是增函数．(1) 求实数a 的取值集合A ；(2) 当a 取A 中最小值时，定义数列{a n }满足：2a n ＋1＝f (a n )，且a 1＝b ∈(0，1)(b 为常数)，试比较a n ＋1与a n的大小； (3) 在(2)的条件下，问是否存在正实数c ．使0<a n ＋c a n －c＜2对一切n ∈N ＊恒成立？(1)f'(x)＝3x 2＋a ＞0，对x ∈(0，1)恒成立，求出a ≥3．………………4分 (2)当a ＝3时，由题意：a n ＋1＝－12a 3n ＋32a n ，且a 1＝b ∈(0，1)以下用数学归纳法证明：a n ∈(0，1)，对n ∈N ＊恒成立．①当n ＝1时，a 1＝b ∈(0，1)成立；………………………………………………6分②假设n ＝k 时，a k ∈(0，1)成立，那么当n ＝k ＋1时， a k ＋1＝12a k 3＋32a k ，由①知g(x)＝12(－x 3＋3x)在(0，1)上单调递增，∴g(0)＜g(a k )＜g(1) 即0＜a k ＋1＜1， 由①②知对一切n ∈N ＊都有a n ∈(0，1) 而a n ＋1－a n ＝－12a n 3＋32a n －a n ＝12a n (1－a n 2)＞0 ∴a n ＋1＞a n …………………………………10分(3)存在正实数c ，使0＜a n ＋c a n －c ＜2恒成立,令y ＝x ＋c x －c ＝1＋2cx －c ，在(c ，＋∞)上是减数，∴a n ＋c a n －c 随着a n 增大，而小， 又{a n }为递增数列，所以要使0＜a n ＋ca n －c＜2恒成立， 只须⎩⎪⎨⎪⎧a 1－c ＞0 a 1＋c a 1－c＜2 ∴0＜c ＜a 13，即0＜c ＜b 3 ……… 14分21.已知数列{a n }中，a 1>0, 且a n +1=23na +， (Ⅰ)试求a 1的值，使得数列{a n }是一个常数数列； (Ⅱ)试求a 1的取值范围,使得a n +1>a n 对任何自然数n 都成立；(Ⅲ)若a 1 = 2，设b n = | a n +1－a n | (n = 1，2，3，…)，并以S n 表示数列{b n }的前n 项的和，求证：S n <12． 【思路分析】：解：(Ⅰ)欲使数列{a n }是一个常数数列，则a n +1=23na += a n ……………………2’ 又依a 1>0，可得a n >0并解出：a n =23，即a 1 = a n =23……………………4’ (Ⅱ)研究a n +1－a n =23n a +－231-+n a =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++---2323211n n n n a a a a (n ≥2) 注意到⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-232321n n a a >0因此，可以得出：a n +1－a n ，a n －a n －1，a n －1－a n －2，…，a 2－a 1有相同的符号……………7’ 要使a n +1>a n 对任意自然数都成立,只须a 2－a 1>0即可.由1123a a -+>0，解得：0<a 1<23………………9’ (Ⅲ)用与(Ⅱ)中相同的方法，可得 当a 1>23时，a n +1<a n 对任何自然数n 都成立. 因此当a 1=2时，a n +1－a n <0 ……………………………………………10’∴ S n = b 1+b 2+…b n =|a 2－a 1| + |a 3－a 2| +…+ |a n +1－a n |=a 1－a 2＋a 2－a 3＋…＋a n －a n +1 =a 1－a n +1=2－a n +1 ………………………………………………………13’又：a n +2=231++n a < a n +1，可解得a n +1>23, 故S n <2－23=21………………………………………14’。
经典等差数列性质练习题(含答案)
等差数列基础习题选（附有详细解答）一．选择题（共26小题）1．已知等差数列{a n}中，a3=9，a9=3，则公差d的值为（）A．B．1 C．D．﹣12．已知数列{a n}的通项公式是a n=2n+5，则此数列是（）A．以7为首项，公差为2的等差数列B．以7为首项，公差为5的等差数列C．以5为首项，公差为2的等差数列D．不是等差数列3．在等差数列{a n}中，a1=13，a3=12，若a n=2，则n等于（）A．23 B．24 C．25 D．264．等差数列{a n}的前n项和为S n，已知S3=6，a4=8，则公差d=（）A．一1 B．2 C．3 D．一25．两个数1与5的等差中项是（）A．1 B．3 C．2 D．6．一个首项为23，公差为整数的等差数列，如果前六项均为正数，第七项起为负数，则它的公差是（）A．﹣2 B．﹣3 C．﹣4 D．﹣57．（2012•福建）等差数列{a n}中，a1+a5=10，a4=7，则数列{a n}的公差为（）A．1 B．2 C．3 D．48．数列的首项为3，为等差数列且，若，，则=（）A．0 B．8 C．3 D．119．已知两个等差数列5，8，11，…和3，7，11，…都有100项，则它们的公共项的个数为（）A．25 B．24 C．20 D．1910．设S n为等差数列{a n}的前n项和，若满足a n=a n﹣1+2（n≥2），且S3=9，则a1=（）A．5 B．3 C．﹣1 D．111．（2005•黑龙江）如果数列{a n}是等差数列，则（）A．a1+a8＞a4+a5B．a1+a8=a4+a5C．a1+a8＜a4+a5D．a1a8=a4a5 12．（2004•福建）设S n是等差数列{a n}的前n项和，若=（）A．1 B．﹣1 C．2 D．13．（2009•安徽）已知{a n}为等差数列，a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99，则a20等于（）14．在等差数列{a n}中，a2=4，a6=12，，那么数列{}的前n项和等于（）A．B．C．D．15．已知S n为等差数列{a n}的前n项的和，a2+a5=4，S7=21，则a7的值为（）A．6 B．7 C．8 D．916．已知数列{a n}为等差数列，a1+a3+a5=15，a4=7，则s6的值为（）A．30 B．35 C．36 D．24 17．（2012•营口）等差数列{a n}的公差d＜0，且，则数列{a n}的前n项和S n取得最大值时的项数n是（）A．5 B．6 C．5或6 D．6或718．（2012•辽宁）在等差数列{a n}中，已知a4+a8=16，则该数列前11项和S11=（）A．58 B．88 C．143 D．17619．已知数列{a n}等差数列，且a1+a3+a5+a7+a9=10，a2+a4+a6+a8+a10=20，则a4=（）A．﹣1 B．0 C．1 D．220．（理）已知数列{a n}的前n项和S n=n2﹣8n，第k项满足4＜a k＜7，则k=（）A．6 B．7 C．8 D．921．数列a n的前n项和为S n，若S n=2n2﹣17n，则当S n取得最小值时n的值为（）A．4或5 B．5或6 C．4 D．522．等差数列{a n}中，a n=2n﹣4，则S4等于（）A．12 B．10 C．8 D．423．若{a n}为等差数列，a3=4，a8=19，则数列{a n}的前10项和为（）A．230 B．140 C．115 D．9524．等差数列{a n}中，a3+a8=5，则前10项和S10=（）A．5 B．25 C．50 D．10025．设S n是公差不为0的等差数列{a n}的前n项和，且S1，S2，S4成等比数列，则等于（）A．1 B．2 C．3 D．426．设a n=﹣2n+21，则数列{a n}从首项到第几项的和最大（）A．第10项B．第11项C．第10项或11项D．第12项27．如果数列{a n}满足：= _________ ．28．如果f（n+1）=f（n）+1（n=1，2，3…），且f（1）=2，则f（100）= _________ ．29．等差数列{a n}的前n项的和，则数列{|a n|}的前10项之和为_________ ．30．已知{a n}是一个公差大于0的等差数列，且满足a3a6=55，a2+a7=16．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式：（Ⅱ）若数列{a n}和数列{b n}满足等式：a n==（n为正整数），求数列{b n}的前n项和S n．参考答案与试题解析一．选择题（共26小题）1．已知等差数列{a n}中，a3=9，a9=3，则公差d的值为（）A．B．1 C．D．﹣1考点：等差数列．专题：计算题．分析：本题可由题意，构造方程组，解出该方程组即可得到答案．解答：解：等差数列{a n}中，a3=9，a9=3，由等差数列的通项公式，可得解得，即等差数列的公差d=﹣1．故选D点评：本题为等差数列的基本运算，只需构造方程组即可解决，数基础题．2．已知数列{a n}的通项公式是a n=2n+5，则此数列是（）A．以7为首项，公差为2的等差数列B．以7为首项，公差为5的等差数列C．以5为首项，公差为2的等差数列D．不是等差数列考点：等差数列．专题：计算题．分析：直接根据数列{a n}的通项公式是a n=2n+5求出首项，再把相邻两项作差求出公差即可得出结论．解答：解：因为a n=2n+5，故选A．点评：本题主要考查等差数列的通项公式的应用．如果已知数列的通项公式，可以求出数列中的任意一项．3．在等差数列{a n}中，a1=13，a3=12，若a n=2，则n等于（）A．23 B．24 C．25 D．26考点：等差数列．专题：综合题．分析：根据a1=13，a3=12，利用等差数列的通项公式求得d的值，然后根据首项和公差写出数列的通项公式，让其等于2得到关于n的方程，求出方程的解即可得到n的值．解答：解：由题意得a3=a1+2d=12，把a1=13代入求得d=﹣，则a n=13﹣（n﹣1）=﹣n+=2，解得n=23故选A点评：此题考查学生灵活运用等差数列的通项公式化简求值，是一道基础题．4．等差数列{a n}的前n项和为S n，已知S3=6，a4=8，则公差d=（）A．一1 B．2 C．3 D．一2考点：等差数列．专题：计算题．分析：根据等差数列的前三项之和是6，得到这个数列的第二项是2，这样已知等差数列的；两项，根据等差数列的通项公式，得到数列的公差．解答：解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，S3=6，∴a2=2∵a4=8，∴8=2+2d∴d=3，故选C．点评：本题考查等差数列的通项，这是一个基础题，解题时注意应用数列的性质，即前三项的和等于第二项的三倍，这样可以简化题目的运算．5．两个数1与5的等差中项是（）A．1 B．3 C．2 D．考点：等差数列．专题：计算题．分析：由于a，b的等差中项为，由此可求出1与5的等差中项．解答：解：1与5的等差中项为：=3，故选B．点评：本题考查两个数的等差中项，牢记公式a，b的等差中项为：是解题的关键，属基础题．考点：等差数列．专题：计算题．分析：设等差数列{a n}的公差为d，因为数列前六项均为正数，第七项起为负数，所以，结合公差为整数进而求出数列的公差．解答：解：设等差数列{a n}的公差为d，所以a6=23+5d，a7=23+6d，又因为数列前六项均为正数，第七项起为负数，所以，因为数列是公差为整数的等差数列，所以d=﹣4．故选C．点评：解决此类问题的关键是熟练掌握等差数列的通项公式，并且结合正确的运算．7．（2012•福建）等差数列{a n}中，a1+a5=10，a4=7，则数列{a n}的公差为（）A．1 B．2 C．3 D．4考点：等差数列的通项公式．专题：计算题．分析：设数列{a n}的公差为d，则由题意可得 2a1+4d=10，a1+3d=7，由此解得d的值．解答：解：设数列{a n}的公差为d，则由a1+a5=10，a4=7，可得 2a1+4d=10，a1+3d=7，解得 d=2，故选B．点评：本题主要考查等差数列的通项公式的应用，属于基础题．8．数列的首项为3，为等差数列且，若，，则=（）A．0 B．8 C．3 D．11考点：等差数列的通项公式．专题：计算题．分析：先确定等差数列的通项，再利用，我们可以求得的值．解答：解：∵为等差数列，，，∴∴b n=b3+（n﹣3）×2=2n﹣8∵∴b8=a8﹣a1∵数列的首项为3∴2×8﹣8=a8﹣3，9．已知两个等差数列5，8，11，…和3，7，11，…都有100项，则它们的公共项的个数为（）A．25 B．24 C．20 D．19考点：等差数列的通项公式．专题：计算题．分析：（法一）：根据两个等差数列的相同的项按原来的先后次序组成一个等差数列，且公差为原来两个公差的最小公倍数求解，（法二）由条件可知两个等差数列的通项公式，可用不定方程的求解方法来求解．解答：解法一：设两个数列相同的项按原来的前后次序组成的新数列为{a n}，则a1=11∵数列5，8，11，…与3，7，11，…公差分别为3与4，∴{a n}的公差d=3×4=12，∴a n=11+12（n﹣1）=12n﹣1．又∵5，8，11，…与3，7，11，…的第100项分别是302与399，∴a n=12n﹣1≤302，即n≤25.5．又∵n∈N*，∴两个数列有25个相同的项．故选A解法二：设5，8，11，与3，7，11，分别为{a n}与{b n}，则a n=3n+2，b n=4n﹣1．设{a n}中的第n项与{b n}中的第m项相同，即3n+2=4m﹣1，∴n= m﹣1．又m、n∈N*，可设m=3r（r∈N*），得n=4r﹣1．根据题意得 1≤3r≤100 1≤4r﹣1≤100 解得≤r≤∵r∈N*从而有25个相同的项故选A点评：解法一利用了等差数列的性质，解法二利用了不定方程的求解方法，对学生的运算能力及逻辑思维能力的要求较高．10．设S n为等差数列{a n}的前n项和，若满足a n=a n﹣1+2（n≥2），且S3=9，则a1=（）A．5 B．3 C．﹣1 D．1考点：等差数列的通项公式．专题：计算题．分析：根据递推公式求出公差为2，再由S3=9以及前n项和公式求出a1的值．解答：解：∵a n=a n﹣1+2（n≥2），∴a n﹣a n﹣1=2（n≥2），∴等差数列{a n}的公差是2，由S3=3a1+=9解得，a1=1．故选D．点评：本题考查了等差数列的定义，以及前n项和公式的应用，即根据代入公式进行求解．11．（2005•黑龙江）如果数列{a n}是等差数列，则（）A．a1+a8＞a4+a5B．a1+a8=a4+a5C．a1+a8＜a4+a5D．a1a8=a4a5解答：解：∵a1+a8﹣（a4+a5）=2a1+7d﹣（2a1+7d）=0∴a1+a8=a4+a5∴故选B点评：本题主要考查等差数列通项公式，来证明等差数列的性质．12．（2004•福建）设S n是等差数列{a n}的前n项和，若=（）A．1 B．﹣1 C．2 D．考点：等差数列的性质．专题：计算题．分析：充分利用等差数列前n项和与某些特殊项之间的关系解题．解答：解：设等差数列{a n}的首项为a1，由等差数列的性质可得a1+a9=2a5，a1+a5=2a3，∴====1，故选A．点评：本题主要考查等差数列的性质、等差数列的前n项和公式以及等差中项的综合应用，已知等差数列{a n}的前n项和为S n，则有如下关系S2n﹣1=（2n﹣1）a n．13．（2009•安徽）已知{a n}为等差数列，a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99，则a20等于（）A．﹣1 B．1 C．3 D．7考点：等差数列的性质．专题：计算题．分析：根据已知条件和等差中项的性质可分别求得a3和a4的值，进而求得数列的公差，最后利用等差数列的通项公式求得答案．解答：解：由已知得a1+a3+a5=3a3=105，a2+a4+a6=3a4=99，∴a3=35，a4=33，∴d=a4﹣a3=﹣2．∴a20=a3+17d=35+（﹣2）×17=1．故选B点评：本题主要考查了等差数列的性质和等差数列的通项公式的应用．解题的关键是利用等差数列中等差中项的性质求得a3和a4．14．在等差数列{a n}中，a2=4，a6=12，，那么数列{}的前n项和等于（）A．B．C．D．分析：求出等差数列的通项，要求的和是一个等差数列与一个等比数列的积构成的数列，利用错位相减法求出数列的前n项的和．解答：解：∵等差数列{a n}中，a2=4，a6=12；∴公差d=；∴a n=a2+（n﹣2）×2=2n；∴；∴的前n项和，=两式相减得=∴故选B点评：求数列的前n项的和，先判断通项的特点，据通项的特点选择合适的求和方法．15．已知S n为等差数列{a n}的前n项的和，a2+a5=4，S7=21，则a7的值为（）A．6 B．7 C．8 D．9考点：等差数列的性质．专题：计算题．分析：由a2+a5=4，S7=21根据等差数列的性质可得a3+a4=a1+a6=4①，根据等差数列的前n项和公式可得，，联立可求d，a1，代入等差数列的通项公式可求解答：解：等差数列{a n}中，a2+a5=4，S7=21根据等差数列的性质可得a3+a4=a1+a6=4①根据等差数列的前n项和公式可得，所以 a1+a7=6②②﹣①可得d=2，a1=﹣3所以a7=9故选D点评：本题主要考查了等差数列的前n项和公式及等差数列的性质的综合应用，属于基础试题．考点：等差数列的性质．专题：计算题．分析：利用等差中项的性质求得a3的值，进而利用a1+a6=a3+a4求得a1+a6的值，代入等差数列的求和公式中求得答案．解答：解：a1+a3+a5=3a3=15，∴a3=5∴a1+a6=a3+a4=12∴s6=×6=36故选C点评：本题主要考查了等差数列的性质．特别是等差中项的性质．17．（2012•营口）等差数列{a n}的公差d＜0，且，则数列{a n}的前n项和S n取得最大值时的项数n是（）A．5 B．6 C．5或6 D．6或7考点：等差数列的前n项和；等差数列的通项公式．专题：计算题．分析：由，知a1+a11=0．由此能求出数列{a n}的前n项和S n取得最大值时的项数n．解答：解：由，知a1+a11=0．∴a6=0，故选C．点评：本题主要考查等差数列的性质，求和公式．要求学生能够运用性质简化计算．18．（2012•辽宁）在等差数列{a n}中，已知a4+a8=16，则该数列前11项和S11=（）A．58 B．88 C．143 D．176考点：等差数列的性质；等差数列的前n项和．专题：计算题．分析：根据等差数列的定义和性质得 a1+a11=a4+a8=16，再由S11=运算求得结果．解答：解：∵在等差数列{a n}中，已知a4+a8=16，∴a1+a11=a4+a8=16，∴S11==88，故选B．点评：本题主要考查等差数列的定义和性质，等差数列的前n项和公式的应用，属于中档题．19．已知数列{a n}等差数列，且a1+a3+a5+a7+a9=10，a2+a4+a6+a8+a10=20，则a4=（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2分析：由等差数列得性质可得：5a5=10，即a5=2．同理可得5a6=20，a6=4，再由等差中项可知：a4=2a5﹣a6=0解答：解：由等差数列得性质可得：a1+a9=a3+a7=2a5，又a1+a3+a5+a7+a9=10，故5a5=10，即a5=2．同理可得5a6=20，a6=4．再由等差中项可知：a4=2a5﹣a6=0故选B点评：本题考查等差数列的性质及等差中项，熟练利用性质是解决问题的关键，属基础题．20．（理）已知数列{a n}的前n项和S n=n2﹣8n，第k项满足4＜a k＜7，则k=（）A．6 B．7 C．8 D．9考点：等差数列的通项公式；等差数列的前n项和．专题：计算题．分析：先利用公式a n=求出a n，再由第k项满足4＜a k＜7，建立不等式，求出k的值．解答：解：a n==∵n=1时适合a n=2n﹣9，∴a n=2n﹣9．∵4＜a k＜7，∴4＜2k﹣9＜7，∴＜k＜8，又∵k∈N+，∴k=7，故选B．点评：本题考查数列的通项公式的求法，解题时要注意公式a n=的合理运用，属于基础题．21．数列a n的前n项和为S n，若S n=2n2﹣17n，则当S n取得最小值时n的值为（）A．4或5 B．5或6 C．4 D．5考点：等差数列的前n项和．专题：计算题．分析：把数列的前n项的和S n看作是关于n的二次函数，把关系式配方后，又根据n为正整数，即可得到S n取得最小值时n的值．解答：解：因为S n=2n2﹣17n=2﹣，又n为正整数，所以当n=4时，S n取得最小值．故选C点评：此题考查学生利用函数思想解决实际问题的能力，是一道基础题．22．等差数列{a n}中，a n=2n﹣4，则S4等于（）A．12 B．10 C．8 D．4分析：利用等差数列{a n}中，a n=2n﹣4，先求出a1，d，再由等差数列的前n项和公式求S4．解答：解：∵等差数列{a n}中，a n=2n﹣4，∴a1=2﹣4=﹣2，a2=4﹣4=0，d=0﹣（﹣2）=2，∴S4=4a1+=4×（﹣2）+4×3=4．故选D．点评：本题考查等差数列的前n项和公式的应用，是基础题．解题时要认真审题，注意先由通项公式求出首项和公差，再求前四项和．23．若{a n}为等差数列，a3=4，a8=19，则数列{a n}的前10项和为（）A．230 B．140 C．115 D．95考点：等差数列的前n项和．专题：综合题．分析：分别利用等差数列的通项公式化简已知的两个等式，得到①和②，联立即可求出首项和公差，然后利用求出的首项和公差，根据公差数列的前n项和的公式即可求出数列前10项的和．解答：解：a3=a1+2d=4①，a8=a1+7d=19②，②﹣①得5d=15，解得d=3，把d=3代入①求得a1=﹣2，所以S10=10×（﹣2）+×3=115故选C．点评：此题考查学生灵活运用等差数列的通项公式及前n项和的公式化简求值，是一道基础题．24．等差数列{a n}中，a3+a8=5，则前10项和S10=（）A．5 B．25 C．50 D．100考点：等差数列的前n项和；等差数列的性质．专题：计算题．分析：根据条件并利用等差数列的定义和性质可得 a1+a10=5，代入前10项和S10 =运算求得结果．解答：解：等差数列{a n}中，a3+a8=5，∴a1+a10=5，∴前10项和S10 ==25，故选B．点评：本题主要考查等差数列的定义和性质，以及前n项和公式的应用，求得a1+a10=5，是解题的关键，属于基础题．25．设S n是公差不为0的等差数列{a n}的前n项和，且S1，S2，S4成等比数列，则等于（）A．1 B．2 C．3 D．4考点：等差数列的前n项和．专题：计算题．分析：由S1，S2，S4成等比数列，根据等比数列的性质得到S22=S1S4，然后利用等差数列的前n项和的公式分别表示出各项后，代入即可得到首项和公差的关系式，根据公差不为0，即可求出公差与首项的关系并解出公差d，然后把所求的式子利用等差数列的通项公式化简后，把公差d的关系式代入即可求出比值．解答：解：由S1，S2，S4成等比数列，∴（2a1+d）2=a1（4a1+6d）．∵d≠0，∴d=2a1．∴===3．故选C点评：此题考查学生掌握等比数列的性质，灵活运用等差数列的通项公式及前n项和的公式化简求值，是一道综合题．26．设a n=﹣2n+21，则数列{a n}从首项到第几项的和最大（）A．第10项B．第11项C．第10项或11项D．第12项考点：等差数列的前n项和；二次函数的性质．专题：转化思想．分析：方法一：由a n，令n=1求出数列的首项，利用a n﹣a n﹣1等于一个常数，得到此数列为等差数列，然后根据求出的首项和公差写出等差数列的前n项和的公式，得到前n项的和与n成二次函数关系，其图象为开口向下的抛物线，当n=﹣时，前n项的和有最大值，即可得到正确答案；方法二：令a n大于等于0，列出关于n的不等式，求出不等式的解集即可得到n的范围，在n的范围中找出最大的正整数解，从这项以后的各项都为负数，即可得到正确答案．解答：解：方法一：由a n=﹣2n+21，得到首项a1=﹣2+21=19，a n﹣1=﹣2（n﹣1）+21=﹣2n+23，则a n﹣a n﹣1=（﹣2n+21）﹣（﹣2n+23）=﹣2，（n＞1，n∈N+），所以此数列是首项为19，公差为﹣2的等差数列，则S n=19n+•（﹣2）=﹣n2+20n，为开口向下的抛物线，当n=﹣=10时，S n最大．所以数列{a n}从首项到第10项和最大．方法二：令a n=﹣2n+21≥0，解得n≤，因为n取正整数，所以n的最大值为10，所以此数列从首项到第10项的和都为正数，从第11项开始为负数，则数列{a n}从首项到第10项的和最大．故选A点评：此题的思路可以先确定此数列为等差数列，根据等差数列的前n项和的公式及二次函数求最值的方法得到n 的值；也可以直接令a n≥0，求出解集中的最大正整数解，要求学生一题多解．二．填空题（共4小题）27．如果数列{a n}满足：= ．考点：数列递推式；等差数列的通项公式．专题：计算题．分析：根据所给的数列的递推式，看出数列是一个等差数列，根据所给的原来数列的首项看出等差数列的首项，根据等差数列的通项公式写出数列，进一步得到结果．解答：解：∵根据所给的数列的递推式∴数列{}是一个公差是5的等差数列，∵a1=3，∴=，∴数列的通项是∴故答案为：点评：本题看出数列的递推式和数列的通项公式，本题解题的关键是确定数列是一个等差数列，利用等差数列的通项公式写出通项，本题是一个中档题目．28．如果f（n+1）=f（n）+1（n=1，2，3…），且f（1）=2，则f（100）= 101 ．考点：数列递推式；等差数列的通项公式．专题：计算题．分析：由f（n+1）=f（n）+1，x∈N+，f（1）=2，依次令n=1，2，3，…，总结规律得到f（n）=n+1，由此能够求出f（100）．解答：解：∵f（n+1）=f（n）+1，x∈N+，f（1）=2，∴f（2）=f（1）+1=2+1=3，f（3）=f（2）+1=3+1=4，f（4）=f（3）+1=4+1=5，…∴f（n）=n+1，∴f（100）=100+1=101．故答案为：101．点评：本题考查数列的递推公式的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．29．等差数列{a n}的前n项的和，则数列{|a n|}的前10项之和为58 ．考点：数列的求和；等差数列的通项公式．专题：计算题．分析：先求出等差数列的前两项，可得通项公式为a n=7﹣2n，从而得到n≤3时，|a n|=7﹣2n，当n＞3时，|a n|= 2n﹣7．分别求出前3项的和、第4项到第10项的和，相加即得所求．解答：解：由于等差数列{a n}的前n项的和，故a1=s1=5，∴a2=s2﹣s1=8﹣5=3，故公差d=﹣2，故a n=5+（n﹣1）（﹣2）=7﹣2n．当n≤3时，|a n|=7﹣2n，当n＞3时，|a n|=2n﹣7．故前10项之和为 a1+a2+a3﹣a4﹣a5﹣…﹣a10=+=9+49=58，故答案为 58．点评：本题主要考查等差数列的通项公式，前n项和公式及其应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．30．已知{a n}是一个公差大于0的等差数列，且满足a3a6=55，a2+a7=16．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式：（Ⅱ）若数列{a n}和数列{b n}满足等式：a n==（n为正整数），求数列{b n}的前n项和S n．考点：数列的求和；等差数列的通项公式．专题：计算题．分析：（1）将已知条件a3a6=55，a2+a7=16，利用等差数列的通项公式用首项与公差表示，列出方程组，求出首项与公差，进一步求出数列{a n}的通项公式（2）将已知等式仿写出一个新等式，两个式子相减求出数列{b n}的通项，利用等比数列的前n项和公式求出数列{b n}的前n项和S n．解答：解（1）解：设等差数列{a n} 的公差为d，则依题设d＞0由a2+a7=16．得2a1+7d=16①由a3•a6=55，得（a1+2d）（a1+5d）=55 ②由①得2a1=16﹣7d 将其代入②得（16﹣3d）（16+3d）=220．即256﹣9d2=220∴d2=4，又d＞0，∴d=2，代入①得a1=1∴a n=1+（n﹣1）•2=2n﹣1所以a n=2n﹣1（2）令c n=，则有a n=c1+c2+…+c n，a n+1=c1+c2+…+c n﹣1两式相减得a n+1﹣a n=c n+1，由（1）得a1=1，a n+1﹣a n=2∴c n+1=2，c n=2（n≥2），即当n≥2时，b n=2n+1又当n=1时，b1=2a1=2∴b n=＜BR＞于是S n=b1+b2+b3…+b n=2+23+24+…+2n+1=2+22+23+24+…+2n+1﹣4=﹣6，即S n=2n+2﹣6点评：求一个数列的前n项和应该先求出数列的通项，利用通项的特点，然后选择合适的求和的方法．。
等差数列的性质(完整版,配例题)
等差数列的性质等差数列通项公式：()d n a a n 11-+= 等差数列前n 项和公式：()()d n n na a a n S n n 21211-+=+=等差数列的性质：（1）等差中项：如果c b a ,,成等差数列，则称b 是a 与c 的等差中项。
即：c b a ,,成等差数列22ca b b c a +=⇔=+⇔ （2）等差数列{}n a 中，当n 为奇数时，21121+=-+=-n a d n a S S 偶奇（中间项)； 21+⋅=n n a n S （项数与中间项的积）；11-+=n n S S 偶奇； 当n 为偶数时，d nS S 2=-奇偶； 2122++⋅=nn n a a n S ；122+=nna a S S 偶奇。
【例1】在等差数列{}n a 中， ① 已知154533,153a a ==，求30a ；总结：已知()，且同奇偶+∈N n m a a n m ,,，可求2n m a +。
② 已知16,1086==a a ，求13S ；总结：已知()+∈N n m a a n m ,,，可求1-+n m S 。
③ 已知163a =，求31S ；总结：已知()+∈N n a n ，可求12-n S ()()n n a n S 1212-=-。
④ （2007湖北理）已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n A 和n B ，且3457++=n n B A n n ，则使得n n b a为整数的正整数n 的个数是（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【练习1】等差数列{}n a 的前12项和为354，前12项中奇数项与偶数项的和之比为27:32，求公差d ；【练习2】在两个等差数列{}n a 和{}n b 满足327321321++=++++++++n n b b b b a a a a n n ，求55b a 。
（3）等差数列{}n a 中，()()+∈-=-N m n d m n a a m n ,；（4）如果c b a ,,成等差数列，则k mc k mb k ma +++,,也成等差数列()为常数k m ,； （5）等差数列{}n a 中，若q p n m +=+，则q p n m a a a a +=+；（6）等差数列{}n a 中，每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列，但剩下的项按照原来的顺序排列，构成的新数列不一定是等差数列。
等差数列性质基础练习题
等差数列性质基础练习题一、填空题1. 等差数列的通项公式为：an = a1 + (n 1)d，其中a1是首项，d是公差，n是项数。
若等差数列的首项为3，公差为2，则第五项的值为______。
2. 在等差数列{an}中，已知a3 = 7，a7 = 19，则公差d为______。
3. 已知等差数列的前三项分别为2，5，8，则第10项的值为______。
4. 等差数列的前n项和公式为：Sn = n(a1 + an)/2，若等差数列的前5项和为35，公差为3，则首项a1的值为______。
5. 在等差数列{an}中，若a4 = 16，a10 = 44，则第8项的值为______。
二、选择题A. an = a1 + (n 1)dB. an = a1 (n 1)dC. an = a1 / (n 1)dD. an = a1 (n 1)dA. 公差为4B. 公差为8C. 公差为12D. 公差为163. 在等差数列{an}中，若a1 = 3，d = 2，则第6项的值为（）。
A. 9B. 11C. 13D. 15A. 首项为3B. 首项为5C. 首项为7D. 首项为95. 在等差数列{an}中，若a3 = 6，a7 = 18，则第5项的值为（）。
A. 10B. 12C. 14D. 16三、解答题1. 已知等差数列的前4项分别为2，5，8，11，求第10项的值。
2. 在等差数列{an}中，已知a5 = 15，a10 = 35，求首项a1和公差d。
3. 已知等差数列的前7项和为49，公差为3，求第4项的值。
4. 在等差数列{an}中，若a1 = 4，d = 5，求前8项的和。
5. 已知等差数列的前5项和为55，公差为7，求第6项的值。
四、判断题1. 等差数列的任意两项之间的差都是相同的。
（）2. 等差数列的通项公式中，n表示项数，而不是项的位置。
（）3. 在等差数列中，如果首项为负数，公差为正数，那么数列中的项会逐渐减小。
等差数列习题课
2．已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 a1·a2＝2，S5＝15，则 a4＝( )
A．3
B．4 或 13
C．4 或123
D．3 或123
a1·a2＝2
a1（a1＋d）＝2
【解析】选 C.因为等差数列{an}的前 n 项和为 Sn， S5＝15
，即5（a1＋ 2 a5）＝15 ，
解得 a1＝1 或 a1＝－4，当 a1＝1 时，d＝1，解得 a4＝4；当 a1＝－4 时，d＝72 ，此时
6．记 Sn 为等差数列{an} 的前 n 项和．已知 S4＝0，a5＝5，则 an＝______；Sn＝______． 【解析】设等差数列{an} 的公差为 d，
因为 S4＝0，a5＝5，
a1＋4d＝5， 所以根据等差数列前 n 项和公式和通项公式得：
4a1＋6d＝0，
解方程组得：a1＝－3，d＝2， 所以 an＝－3＋n－1 ×2＝2n－5，Sn＝n2－4n. 答案：2n－5 n2－4n
【解析】由题意知，良马每日行的距离成等差数列，
记为{an} ，其中 a1＝193，d＝13，an＝193＋13(n－1)＝13n＋180，
驽马每日行的距离成等差数列，
记为{bn} ，其中 b1＝97，d＝－0.5，bn＝97－0.5(n－1)＝97.5－0.5n， 则数列{an} 与数列{bn} 的前 n 项和为 3 000×2＝6 000. 又因为数列{an} 的前 n 项和为12 n×(193＋13n＋180)＝12 n×(373＋13n)， 数列{bn} 的前 n 项和为12 n×(97＋97.5－0.5n)＝12 n×(194.5－12 n)，
.
当 n＝19 时，S19＝190.
当 n＝20 时，S20＝210>200.
第2课时等差数列习题课
n（n＋1）
(2)由(1)知an＝n，Sn＝ 2
，
所以bn＝21Sn
＝1 n（n＋1）
＝1n
－1 n＋1
，
所以Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn
＝(1－12
)＋(12
－13
)＋…＋(n1
－1 n＋1
)
＝1－n＋1 1
＝n n＋1
.
【类题通法】裂项相消法求和
当数列的通项是分式形式，分母是两个式子的乘积，且两个式子的差为常数时，
－2n2＋40n
可得Tn＝
2
＝－n2＋20n＝－(n－10)2＋100，
所以当n＝10时，Tn取得最大值，且T10＝100.
(3)令cn＝na＋2n2 ，Sn为cn的前n项和，
由(1)知，cn＝n（n1＋2） ＝12 1n－n＋1 2 ，
所以Sn＝21
11－13
＋12
12－14
＋12
13－15
＋…＋12
(2)当n≤7时， Tn＝－(a1＋a2＋a3＋…＋an)＝－Sn＝13n－n2， 当n≥8时，an＞0，Tn＝－(a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7)＋(a8＋…＋an)＝Sn－2S7＝n2 －13n＋84.
13n－n2，n≤7， 综上，Tn＝n2－13n＋84，n≥8.
探究点三 等差数列
an＋1＝－2（n＋1）＋27≤0， n≤1312， 得n≥1212，
又因为n∈N*，所以当n＝13时，Sn有最大值169.
方法三：因为S9＝S17，所以a10＋a11＋…＋a17＝0. 由等差数列的性质得a13＋a14＝0. 因为a1>0，所以d<0.所以a13>0，a14<0. 所以当n＝13时，Sn有最大值169. 方法四：设Sn＝An2＋Bn. 因为S9＝S17，
新教材高考数学第二课时等差数列的性质及实际应用练习含解析选修2
第二课时 等差数列的性质及实际应用课标要求素养要求1.能根据等差数列的定义推出等差数列的性质，并能运用这些性质简化运算.2.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题.通过推导等差数列的性质及其应用，提升学生的数学抽象和逻辑推理素养，通过利用等差数列的相关公式解决实际应用问题，提升学生的数学建模和数学运算素养.新知探究请同学们思考以下问题：若等差数列{a n }为1，3，5，7，…，2n －1，则数列{a n ＋2}，{2a n }是等差数列吗？ 提示 因为等差数列的通项为a n ＝2n －1，则a n ＋2＝2n －1＋2＝2n ＋1，2a n ＝2(2n －1)＝4n －2，可判断数列{a n ＋2}，{2a n }都是等差数列，一般地，若{a n }为等差数列，则{a n ＋c }，{ca n }也是等差数列，你还知道等差数列的其他性质吗？1.等差数列通项公式的变形及推广 (1)a n ＝dn ＋(a 1－d )(n ∈N *)， (2)a n ＝a m ＋(n －m )d (m ，n ∈N *)， (3)d ＝a n －a m n －m(m ，n ∈N *，且m ≠n ). 2.若{a n }，{b n }分别是公差为d ，d ′的等差数列，则有数列 结论{c ＋a n } 公差为d 的等差数列(c 为任一常数) {c ·a n } 公差为cd 的等差数列(c 为任一常数) {a n ＋a n ＋k } 公差为2d 的等差数列(k 为常数，k ∈N *) {pa n ＋qb n }公差为pd ＋qd ′的等差数列(p ，q 为常数)3.在有穷等差数列中，与首末两项“等距离”的两项之和等于首项与末项的和，即a 1＋a n ＝a 2＋a n－1＝a3＋a n－2＝….4.下标性质在等差数列{a n}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则a m＋a n＝a p＋a q.特别的，若m＋n＝2p(m，n，p∈N*)，则有a m＋a n＝2a p.拓展深化[微判断]1.等差数列{a n}中，必有a10＝a1＋a9.(×)提示反例：a n＝n－1，a10＝9，a1＋a9＝8，不满足a10＝a1＋a9.2.若数列a1，a2，a3，a4，…是等差数列，则数列a1，a3，a5，…也是等差数列.(√)3.若数列a1，a3，a5，…和a2，a4，a6…都是公差为d的等差数列，则a1，a2，a3…也是等差数列.(×)提示反例：设两数列为1，3，5，…，4，6，8，…，显然1，4，3，6，5，8，…不是等差数列.4.若数列{a n}为等差数列，则a n＋1＝a n－1＋2d，n>1，且n∈N*.(√)[微训练]1.在等差数列{a n}中，a10＝18，a2＝2，则公差d＝( )A.－1B.2C.4D.6解析由题意知a10－a2＝8d，即8d＝16，d＝2.答案 B2.已知等差数列{a n}满足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，则有( )A.a1＋a101>0B.a2＋a101<0C.a3＋a99＝0D.a51＝51解析∵a1＋a2＋…＋a101＝0，又∵a1＋a101＝a2＋a100＝a3＋a99＝…＝2a51，∴101a51＝0，∴a51＝0，a3＋a99＝2a51＝0.答案 C3.在等差数列{a n}中，若a2＋a8＝－3，a4＝－2，则a6＝________.解析由a2＋a8＝a4＋a6得a6＝－1.答案－1[微思考]1.在等差数列{a n}中，a k，a k＋m，a k＋2m，…(k，m∈N*)是等差数列吗？若是，公差是多少？提示是.若{a n}的公差为d，则a k，a k＋m，a k＋2m，…的公差为md.2.在等差数列{a n}中，若m，n，p，q，…成等差数列，那么a m，a n，a p，a q，…也成等差数列吗？若成等差数列，公差是什么？提示 成等差数列，若{a n }的公差为d ，则a m ，a n ，a p ，a q ，…的公差为(n －m )d .题型一 a n ＝a m ＋(n －m )d 的应用【例1】 在等差数列{a n }中，已知a 2＝5，a 8＝17，求数列的公差及通项公式. 解 因为a 8＝a 2＋(8－2)d ，所以17＝5＋6d ，解得d ＝2. 又因为a n ＝a 2＋(n －2)d ，所以a n ＝5＋(n －2)×2＝2n ＋1，n ∈N *.规律方法 灵活利用等差数列的性质，可以减少运算.令m ＝1，a n ＝a m ＋(n －m )d 即变为a n ＝a 1＋(n －1)d ，可以减少记忆负担.【训练1】 已知{b n }为等差数列，若b 3＝－2，b 10＝12，则b 8＝________. 解析 法一 ∵{b n }为等差数列，∴可设其公差为d ， 则d ＝b 10－b 310－3＝12－（－2）7＝2，∴b n ＝b 3＋(n －3)d ＝2n －8. ∴b 8＝2×8－8＝8. 法二 由b 8－b 38－3＝b 10－b 310－3＝d ，得b 8＝b 10－b 310－3·5＋b 3＝2×5＋(－2)＝8. 答案 8题型二 等差数列性质的应用【例2】 已知数列{a n }为等差数列，且公差为d . (1)若a 15＝8，a 60＝20，求a 105的值；(2)若a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝34，a 2a 5＝52，求公差d . 解 (1)法一 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋14d ＝8，a 1＋59d ＝20，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝6415，d ＝415.故a 105＝a 1＋104d ＝6415＋104×415＝32.法二 ∵{a n }为等差数列，∴d ＝a 60－a 1560－15＝415， ∴a 105＝a 60＋45×415＝32.法三 ∵{a n }为等差数列， ∴a 15，a 60，a 105也成等差数列，则2a 60＝a 15＋a 105， ∴a 105＝2×20－8＝32.(2)由a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝34，得2(a 2＋a 5)＝34， ∴a 2＋a 5＝17.由⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a 5＝17，a 2a 5＝52，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，a 5＝13或⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝13，a 5＝4. ∴d ＝a 5－a 25－2＝13－43＝3或d ＝a 5－a 25－2＝4－133＝－3.规律方法 等差数列运算的两条常用思路(1)根据已知条件，列出关于a 1，d 的方程(组)，确定a 1，d ，然后求其他量.(2)利用性质巧解，观察等差数列中项的序号，若满足m ＋n ＝p ＋q ＝2r (m ，n ，p ，q ，r ∈N *)，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ＝2a r .【训练2】 (1)在等差数列{a n }中，已知a 3＋a 8＝10，则3a 5＋a 7＝________. (2)已知等差数列{a n }中，a 1＋a 4＋a 7＝39，a 2＋a 5＋a 8＝33，则a 3＋a 6＋a 9＝________. 解析 (1)3a 5＋a 7＝2a 5＋(a 5＋a 7)＝2a 5＋2a 6＝2(a 3＋a 8)＝20.(2)法一 由性质可知，数列a 1＋a 4＋a 7，a 2＋a 5＋a 8，a 3＋a 6＋a 9是等差数列，所以2(a 2＋a 5＋a 8)＝(a 1＋a 4＋a 7)＋(a 3＋a 6＋a 9)，则a 3＋a 6＋a 9＝2×33－39＝27.法二 设等差数列{a n }的公差为d ，则(a 2＋a 5＋a 8)－(a 1＋a 4＋a 7)＝(a 2－a 1)＋(a 5－a 4)＋(a 8－a 7)＝3d ＝－6，解得d ＝－2，所以a 3＋a 6＋a 9＝a 2＋d ＋a 5＋d ＋a 8＋d ＝27. 答案 (1)20 (2)27题型三 等差数列的设法与求解【例3】 已知四个数依次成等差数列且是递增数列，四个数的平方和为94，首尾两数之积比中间两数之积少18，求此等差数列.解 设四个数为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，则⎩⎪⎨⎪⎧（a －3d ）2＋（a －d ）2＋（a ＋d ）2＋（a ＋3d ）2＝94，（a －3d ）（a ＋3d ）＋18＝（a －d ）（a ＋d ）， 又因为是递增数列，所以d >0， 所以解得a ＝±72，d ＝32，此等差数列为－1，2，5，8或－8，－5，－2，1.【迁移】 已知单调递增的等差数列{a n }的前三项之和为21，前三项之积为231，求数列{a n }的通项公式.解 法一 根据题意，设等差数列{a n }的前三项分别为a 1，a 1＋d ，a 1＋2d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋（a 1＋d ）＋（a 1＋2d ）＝21，a 1（a 1＋d ）（a 1＋2d ）＝231， 即⎩⎪⎨⎪⎧3a 1＋3d ＝21，a 1（a 1＋d ）（a 1＋2d ）＝231，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝11，d ＝－4. 因为数列{a n }为单调递增数列，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝4，从而等差数列{a n }的通项公式为a n ＝4n －1.法二 由于数列{a n }为等差数列，所以可设前三项分别为a －d ，a ，a ＋d ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧（a －d ）＋a ＋（a ＋d ）＝21，（a －d ）a （a ＋d ）＝231，即⎩⎪⎨⎪⎧3a ＝21，a （a 2－d 2）＝231，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝7，d ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝7，d ＝－4.由于数列{a n }为单调递增数列， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝7，d ＝4，从而a n ＝4n －1.规律方法 等差数列项的常见设法(1)通项法：设数列的通项公式，即设a n ＝a 1＋(n －1)d .(2)对称项设法：当等差数列{a n }的项数为奇数时，可设中间一项为a ，再以公差为d 向两边分别设项：…，a －2d ，a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d ，…；当等差数列{a n }的项数为偶数时，可设中间两项分别为a －d ，a ＋d ，再以公差为2d 向两边分别设项：…，a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，….对称项设法的优点是：若有n 个数构成等差数列，利用对称项设法设出这个数列，则其各项和为na .【训练3】 已知四个数成等差数列，它们的和为26，中间两项的积为40，求这四个数. 解 法一 设此等差数列的首项为a 1，公差为d .根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋（a 1＋d ）＋（a 1＋2d ）＋（a 1＋3d ）＝26，（a 1＋d ）（a 1＋2d ）＝40.化简得⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝26，a 21＋3a 1d ＋2d 2＝40，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，d ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝11，d ＝－3. 所以这四个数分别为2，5，8，11或11，8，5，2.法二 设这四个数为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧（a －3d ）＋（a －d ）＋（a ＋d ）＋（a ＋3d ）＝26，（a －d ）（a ＋d ）＝40， 即⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝26，a 2－d 2＝40，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝132，d ＝32或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝132，d ＝－32，所以所求四个数为2，5，8，11或11，8，5，2.题型四 等差数列的实际应用【例4】 中国历法推测遵循以算为主、以测为辅的原则.例如《周髀算经》和《易经》里对二十四节气的晷影长的记录中，冬至和夏至的晷影长是实测得到的，其他节气的晷影长则是按照等差数列的规律计算得出的.下表为《周髀算经》对二十四节气晷影长的记录，其中115.146寸表示115寸146分(1寸＝10分).与清明之间的晷影长之差为( ) A.105.6寸 B.48寸 C.57.6寸D.67.2寸解析 设晷影长构成等差数列{a n }，公差为d ，则a 1＝130.0，a 13＝14.8，d ＝a 13－a 113－1＝－9.6，故小寒与清明之间的晷影长之差即为a 2－a 8＝－(a 8－a 2)＝－6d ＝57.6. 答案 C规律方法 解决等差数列实际应用问题的步骤及注意点(1)解答数列实际应用问题的基本步骤：①审题，即仔细阅读材料，认真理解题意；②建模，即将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题；③判型，即判断该数列是否为等差数列；④求解，即求出该问题的数学解；⑤还原，即将所求结果还原到实际问题中.(2)在利用数列方法解决实际问题时，一定要弄清首项、项数等关键问题.【训练4】 假设某市2020年新建住房400万平方米，预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积均比上一年增加50万平方米.那么该市在________年新建住房的面积开始大于820万平方米.解析 设n 年后该市新建住房的面积为a n 万平方米.由题意，得{a n }是等差数列，首项a 1＝450，公差d ＝50，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝400＋50n .令400＋50n >820，解得n >425.由于n ∈N *，则n ≥9.所以该市在2 029年新建住房的面积开始大于820万平方米.答案 2 029一、素养落地1.通过学习等差数列的性质解决等差数列问题，培养逻辑推理及数学运算素养，通过利用等差数列解决实际问题，提升数学建模素养.2.在等差数列{a n }中，当m ≠n 时，d ＝a m －a nm －n，利用这个公式很容易求出公差，还可变形为a m ＝a n ＋(m －n )d .3.等差数列{a n }中，每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列.4.等差数列{a n }中，若m ＋n ＝p ＋q ，则a n ＋a m ＝a p ＋a q (n ，m ，p ，q ∈N *)，特别地，若m ＋n ＝2p ，则a n ＋a m ＝2a p . 二、素养训练1.在等差数列{a n }中，已知a 3＝10，a 8＝－20，则公差d 等于( ) A.3 B.－6 C.4D.－3解析 由等差数列的性质得a 8－a 3＝(8－3)d ＝5d ，所以d ＝－20－105＝－6.答案 B2.在等差数列{a n }中，a 1＝2，a 3＋a 5＝10，则a 7等于( ) A.5 B.8 C.10D.14解析 法一 设等差数列的公差为d ，则a 3＋a 5＝2a 1＋6d ＝4＋6d ＝10，所以d ＝1，a 7＝a 1＋6d ＝2＋6＝8.法二 由等差数列的性质可得a 1＋a 7＝a 3＋a 5＝10，又a 1＝2，所以a 7＝8. 答案 B3.在等差数列{a n }中，a 1＋a 5＝2，a 3＋a 7＝8，则a 11＋a 15＝________.解析 (a 3＋a 7)－(a 1＋a 5)＝4d ＝6，则d ＝32，则a 11＋a 15＝(a 1＋a 5)＋20d ＝2＋20×32＝32.答案 324.在等差数列{a n }中，已知5是a 3和a 6的等差中项，则a 1＋a 8＝________. 解析 由题意知a 3＋a 6＝10，故a 1＋a 8＝a 3＋a 6＝10.答案 105.三个数成等差数列，这三个数的和为6，三个数之积为－24，求这三个数. 解 设这三个数分别为a －d ，a ，a ＋d .由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧（a －d ）＋a ＋（a ＋d ）＝6，（a －d ）·a ·（a ＋d ）＝－24，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，d ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，d ＝－4.∴所求三个数为－2，2，6或6，2，－2.基础达标一、选择题1.在等差数列{a n }中，若a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10＝80，则a 7－12a 8的值为( )A.4B.6C.8D.10解析 由a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10＝5a 6＝80，∴a 6＝16， ∴a 7－12a 8＝12(2a 7－a 8)＝12(a 6＋a 8－a 8)＝12a 6＝8.答案 C2.已知等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)，且a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝32，若a m ＝8，则m 为( ) A.12 B.8 C.6D.4解析 由等差数列性质得，a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝(a 3＋a 13)＋(a 6＋a 10)＝2a 8＋2a 8＝4a 8＝32， ∴a 8＝8，又d ≠0，∴m ＝8. 答案 B3.在等差数列{a n }中，a 2 018＝log 27，a 2 022＝log 217，则a 2 020＝( )A.0B.7C.1D.49解析 a 2 020＝12(a 2 018＋a 2 022)＝12(log 27＋log 217)＝12log 2 1＝0.答案 A4.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中《均输章》有如下问题：“今有五人分六钱，令前三人所得与后二人等，各人所得均增，问各得几何？”其意思是：“已知A ，B ，C ，D ，E 五人个分重量为6钱(‘钱’是古代的一种重量单位)的物品，A ，B ，C 三人所得钱数之和与D ，E 二人所得钱数之和相同，且A ，B ，C ，D ，E 每人所得钱数依次成递增等差数列，问五个人各分得多少钱的物品？”在这个问题中，C 分得物品的钱数是( ) A.25 B.45C.65D.75解析 设5个人分得的物品的钱数为等差数列中的项a 1，a 2，a 3，a 4，a 5，则a 1＋a 2＋a 3＝a 4＋a 5，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝6＝5a 3，a 3＝65.答案 C5.等差数列{a n }中，a 5＋a 6＝4，则log 2(2a 1·2a 2·…·2a 10)＝( ) A.10B.20C.40D.2＋log 25解析 因为2a 1·2a 2·…·2a 10＝2a 1＋a 2＋…＋a 10＝25(a 5＋a 6)＝25×4＝220，所以原式＝log 2220＝20. 答案 B 二、填空题6.在等差数列{a n }中，若a 22＋2a 2a 8＋a 6a 10＝16，则a 4a 6＝________. 解析 ∵等差数列{a n }中，a 22＋2a 2a 8＋a 6a 10＝16， ∴a 22＋a 2(a 6＋a 10)＋a 6a 10＝16，∴(a 2＋a 6)(a 2＋a 10)＝16，∴2a 4·2a 6＝16，∴a 4a 6＝4. 答案 47.已知数列{a n }是等差数列.若a 4＋a 7＋a 10＝17，a 4＋a 5＋a 6＋…＋a 12＋a 13＋a 14＝77，且a k ＝13，则k ＝________.解析 设数列{a n }的公差为d ，∵a 4＋a 7＋a 10＝3a 7＝17，∴a 7＝173.∵a 4＋…＋a 14＝11a 9＝77，∴a 9＝7，d ＝23.∴a k －a 9＝(k －9)d ，即13－7＝(k －9)×23，解得k ＝18.答案 188.已知等差数列{a n }中，a 1＋a 3＋a 8＝5π4，那么cos(a 3＋a 5)＝________.解析 在等差数列{a n }中，由a 1＋a 3＋a 8＝5π4，得a 1＋(a 1＋2d )＋(a 1＋7d )＝5π4，∴3a 1＋9d ＝5π4，即a 1＋3d ＝a 4＝5π12，∴a 3＋a 5＝2a 4＝5π6，则cos(a 3＋a 5)＝cos 5π6＝－32.答案 －32三、解答题9.已知三个数成单调递增等差数列，它们的和等于18，它们的平方和等于116，求这三个数.解 设这三个数分别为a －d ，a ，a ＋d ，且d >0.由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧（a －d ）＋a ＋（a ＋d ）＝18，（a －d ）2＋a 2＋（a ＋d ）2＝116， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，d ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，d ＝－2.∵d >0，∴a ＝6，d ＝2. ∴这三个数是4，6，8. 10.已知数列{a n }满足a n ＋1＝1＋a n 3－a n(n ∈N *)，且a 1＝0. (1)求a 2，a 3；(2)是否存在一个实常数λ，使得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －λ为等差数列，请说明理由. 解 (1)因为a 1＝0，a n ＋1＝1＋a n 3－a n (n ∈N *)，所以a 2＝1＋a 13－a 1＝13，a 3＝1＋a 23－a 2＝12.(2)假设存在一个实常数λ，使得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －λ为等差数列，所以2a 2－λ＝1a 1－λ＋1a 3－λ，即213－λ＝10－λ＋112－λ，解得λ＝1. 因为1a n ＋1－1－1a n －1＝11＋a n 3－a n －1－1a n －1＝3－a n 2（a n －1）－1a n －1＝1－a n 2（a n －1）＝－12，又1a 1－1＝－1，所以存在一个实常数λ＝1，使得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －λ是首项为－1，公差为－12的等差数列.能力提升11.下面是关于公差d >0的等差数列{a n }的四个结论：p 1：数列{a n }是递增数列；p 2：数列{na n }是递增数列；p 3：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是递增数列；p 4：数列{a n ＋3nd }是递增数列. 其中正确的为( )A.p 1，p 2B.p 3，p 4C.p 2，p 3D.p 1，p 4解析 设等差数列首项a 1，d >0，则a n ＝a 1＋(n －1)d ＝dn ＋(a 1－d )，∴数列{a n }递增，p 1正确；na n ＝dn 2＋(a 1－d )n ，当n <d －a 12d 时，不递增，p 2错误；a n n ＝d ＋a 1－d n，当a 1－d >0时，不递增，p 3错误； [a n ＋1＋3(n ＋1)d ]－(a n ＋3nd )＝a n ＋1－a n ＋3d ＝4d >0，{a n ＋3nd }递增，p 4正确，故选D. 答案 D12. 有一批电视机原销售价为每台800元，在甲、乙两家家电商场均有销售.甲商场用如下方法促销：买一台单价为780元，买两台单价为760元，以此类推，每多买一台则所购买各台的单价均减少20元，但每台最少不低于440元；乙商场一律按原价的75%销售.某单位需购买一批此类电视机，则去哪一家商场购买花费较少？解 设某单位需购买电视机n 台.在甲商场购买时，所买电视机的售价构成等差数列{a n }，a n ＝780＋(n －1)×(－20)＝－20n ＋800，由a n ＝－20n ＋800≥440，得n ≤18，即购买台数不超过18台时，每台售价(800－20n )元；购买台数超过18台时，每台售价440元.到乙商场购买时，每台售价为800×75%＝600(元).比较在甲、乙两家家电商场的费用(800－20n )n －600n ＝20n (10－n ).当n ＜10时，(800－20n )n ＞600n ，到乙商场购买花费较少；当n ＝10时，(800－20n )n ＝600n ，到甲、乙商场购买花费相同；当10＜n ≤18时，(800－20n )n ＜600n ，到甲商场购买花费较少；当n ＞18时，440n ＜600n ，到甲商场购买花费较少.因此，当购买电视机台数少于10台时，到乙商场购买花费较少；当购买电视机10台时，到两家商场购买花费相同；当购买电视机台数多于10台时，到甲商场购买花费较少.创新猜想13.(多选题)已知等差数列{a n }中，a 1＝3，公差为d (d ∈N *)，若2021是该数列的一项，则公差d 不可能是( )A.2B.3C.4D.5 解析 由2021是该数列的一项，即2021＝3＋(n －1)d ，所以n ＝2 018d＋1，因为d ∈N *，所以d 是2 018的约数，故d 不可能是3，4和5.答案 BCD14.(多空题)已知两个等差数列{a n }：5，8，11，…与{b n }：3，7，11，…，它们的公共项组成数列{c n }，则数列{c n }的通项公式c n ＝________；若数列{a n }和{b n }的项数均为100，则{c n }的项数是________.解析 由于数列{a n }和{b n }都是等差数列，所以{c n }也是等差数列，且公差为3×4＝12，又c 1＝11，故c n ＝11＋12(n －1)＝12n －1.又a 100＝302，b 100＝399，由⎩⎪⎨⎪⎧11≤12n －1≤302，11≤12n －1≤399，解得1≤n ≤25.25，故{c n }的项数为25.答案 12n －1 25。
等差数列习题课教案
一、教学目标1. 使学生理解等差数列的定义及其性质。
2. 培养学生运用等差数列的知识解决实际问题的能力。
3. 提高学生分析问题、解决问题的能力。
二、教学内容1. 等差数列的定义：等差数列是一个数列，从第二项起，每一项与它前一项的差都是一个常数，这个常数叫做等差数列的公差。
2. 等差数列的性质：（1）等差数列的通项公式：an = a1 + (n-1)d（2）等差数列的前n项和公式：Sn = n/2 (a1 + an) = n/2 (a1 + a1 + (n-1)d) = n/2 (2a1 + (n-1)d)（3）等差数列的求和公式：Tn = n/2 (b1 + bn)3. 等差数列的应用：解决实际问题，如计算工资、利息等。
三、教学重点与难点1. 重点：等差数列的定义、性质及应用。
2. 难点：等差数列的通项公式、前n项和公式的理解和运用。
四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究等差数列的定义、性质和应用。
2. 通过实例分析，让学生掌握等差数列的实际应用。
3. 利用多媒体课件，辅助讲解等差数列的相关概念和公式。
五、教学过程1. 导入：回顾数列的概念，引导学生思考数列的规律。
2. 讲解等差数列的定义，通过示例让学生理解等差数列的特点。
3. 推导等差数列的通项公式，并解释其意义。
4. 讲解等差数列的前n项和公式，并通过实例演示其应用。
5. 介绍等差数列在实际问题中的应用，如计算工资、利息等。
6. 课堂练习：布置一些有关等差数列的习题，让学生独立完成。
7. 总结：回顾本节课所学内容，强调等差数列的定义、性质和应用。
8. 作业布置：布置一些有关等差数列的综合练习题，巩固所学知识。
六、教学评估1. 课堂练习：通过课堂练习，观察学生对等差数列定义、性质和公式的掌握情况。
2. 作业批改：对学生的作业进行批改，了解学生对课堂所学知识的巩固程度。
3. 学生反馈：收集学生对课堂教学的反馈意见，了解教学方法的适用性。
(完整版)等差数列性质及习题
等差数列1.定义：1(n n a a d d +-=为常数）或11(2)n n n n a a a a n +--=-≥2.等差数列的通项：1(1)n a a n d =+-或()n m a a n m d =+-。
3.等差中项：若,,a A b 成等差数列，则A 叫做a 与b 的等差中项，且2a bA += 4.等差数列的前n 和：1()2n n n a a S +=，1(1)2n n n S na d -=+ 5. 等差数列的性质：（1）当公差0d ≠时，等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函数，且斜 率为公差d ；211(1)()222n n n d dS na d n a n -=+=+-是关于n 的二次函数且常数项为0. （2）若公差0d >，则为递增等差数列， 若公差0d <，则为递减等差数列， 若公差0d =，则为常数列。
（3）当w q p n m 2=+=+时,则有w q p n m a a a a a 2=+=+（4）若{}n a 、{}n b 是等差数列，则{}n ka 、{}n n ka pb + (k 、p 是非零常数)、*{}(,)p nq a p q N +∈、232,,n n n n n S S S S S -- ，…也成等差数列.（5）在等差数列{}n a 中，当项数为偶数2n 时，S S nd =偶奇－，n n a a S S :1+=奇偶：； 项数为奇数21n -时，n a S S =-偶奇；n n S S :)1(+=偶奇：。
（6）若等差数列{}n a 、{}n b 的前n 和分别为n A 、n B ，且()nnA f nB =， 则2121(21)(21)(21)n n n n n n a n a A f n b n b B ---===--.(7)“首正”的递减等差数列中，前n 项和的最大值是所有非负项之和；“首负”的递增等差数列中，前n 项和的最小值是所有非正项之和。
2.3 等差数列的前n项和的性质(习题课)
工具
1.进一步了解等差数列的定义，通项公式以及前n项和公 式． 2.理解等差数列的性质，等差数列前n项和公式的性质应
用．
3.掌握等差数列前n项和之比问题，以及实际应用.
工具
1.对等差数列的通项公式、前n项和公式的考查是本课时的
热点． 2.常与函数、不等式结合命题． 3.多以选择题和解答题的形式考查.
解析： (1)当 n≥2 时， an＝Sn－Sn－1＝n2－3n＋1－[(n－1)2－3(n－1)＋1] ＝2n－4， 当 n＝1 时，a1＝S1＝－1 不适合上式，
－1 ∴an＝ 2n－4
n＝1， n≥2.
工具
(2)当 n＝1 时，a1＝S1＝1； 当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝(－1)n 1n－(－1)n(n－1)
工具
[题后感悟] 已知数列{an}的前 n 项和 Sn 或 Sn 与 an 的关 系式， 求通项 an 有如下关系
S1 an＝ Sn－Sn－1
n＝1 .特别当 n≥2
n≥2 时，若求出 an 也符合 n＝1，可直接写成 an＝Sn－Sn－1， 否则分段表示． ,
工具
1.(1) 已知数列 {an} 的前n项和Sn ＝ n2 － 3n＋ 1，求通项公式 an ； (2)已知数列{an}的前n项和Sn＝(－1)n＋1·n，求通项公式an.
解析： (1)∵a2＋a12＝a1＋a13＝2a7， 又 a2＋a7＋a12＝24，∴a7＝8. 13a1＋a13 ∴S13＝ ＝13×8＝104. 2
(2)∵S100＝(a1＋a3＋…＋a99)＋(a2＋a4＋…＋a100) ＝2(a1＋a3＋…＋a99)＋50d＝145， 1 又 d＝2，∴a1＋a3＋…＋a99＝60.
等差数列的性质练习题
等差数列的性质练习题等差数列是数学中常见的一种数列形式，它具有一些独特的性质和规律。
在本文中，我们将通过练习题的形式来深入探讨等差数列的性质，并解答一些相关问题。
练习题一：已知等差数列的首项为a，公差为d，第n项为an。
若a=2，d=3，an=20，求n的值。
解答一：根据等差数列的通项公式an = a + (n-1)d，代入已知条件可以得到20 = 2 + (n-1)3。
简化方程可以得到18 = (n-1)3，进一步化简得到6 = n-1。
因此，n的值为7。
练习题二：已知等差数列的首项为a，公差为d，前n项和为Sn。
若a=1，d=4，Sn=45，求n的值。
解答二：根据等差数列的前n项和公式Sn = (n/2)(2a + (n-1)d)，代入已知条件可以得到45 = (n/2)(2 + 4(n-1))。
简化方程可以得到45 = (n/2)(2 + 4n - 4)。
进一步化简得到45 = (n/2)(4n - 2)。
再次化简得到45 = 2n^2 - n。
将方程变为二次方程的标准形式，得到2n^2 - n - 45 = 0。
通过求解这个二次方程，可以得到n的值为5或-4。
由于数列的项数不能为负数，因此n的值为5。
练习题三：已知等差数列的首项为a，公差为d，第m项为am，第n项为an。
若a=3，d=2，am=11，an=23，求m和n的值。
解答三：根据等差数列的通项公式an = a + (n-1)d，代入已知条件可以得到23 = 3 + (n-1)2。
简化方程可以得到20 = (n-1)2，进一步化简得到10 = n-1。
因此，n的值为11。
同样地，代入已知条件可以得到11 = 3 + (m-1)2。
简化方程可以得到8 = (m-1)2，进一步化简得到4 = m-1。
因此，m的值为5。
通过解答以上练习题，我们可以看出等差数列的性质和规律。
首先，等差数列的通项公式an = a + (n-1)d可以用来求解数列的任意一项。
等差数列的性质习题课件(2019年11月)
例题分析
例1 .在等差数列{an}中 (1) 已知 a6+a9+a12+a15=20，求a1+a20 解：由 a1+a20 =a6+ a15 = a9 +a12 及
a6+a9+a12+a15=20，可得a1+a20=10
(2）已知 a3+a11=10，求 a6+a7+a8
.
例2 一个等差数列的前四项的和为26，最 后四项的和为110，所有项的和为187，则 该数列共有多少项？
等差数列的性质：
（1）等差中项：2an=an+1+an-1 (2A=a+b)
= (2)在等差数列{an}中a1+an
= = —a3+ an-2
…am+an-m
a2+ an-1—
3.在等差数列{an}中，由
m+n=p+q
am+an=ap+aq
注意：①上面的命题的逆命题 是不一定成立的；
②上面的命题中的等式两边有相同数目的项，
解： a3+a11 =a6+a8 =2a7 ，又已知
a3+a11=10， ∴ a6+a7+a8= （a3+a11）=15
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后以疾卒于位 乃先登城 虽并有武力 杜二姓密应之 还见至尊 老中数创乃退 "人间物议 柱国侯莫陈崇勋高望重 以在上 遂得任兼文武 后突厥大为侵掠 大都督 "天和三年 俱縻好爵 远子植 "周文曰 尝入白事 屡以军功 好论人之恶 子洋嗣 封
等差数列的性质练习-含答案
课时作业7 等差数列的性质时间：45分钟满分：100分课堂训练1．若一个数列的通项公式是a n＝k·n＋b(其中b，k为常数)，则下列说法中正确的是( )A．数列{a n}一定不是等差数列B．数列{a n}是以k为公差的等差数列C．数列{a n}是以b为公差的等差数列D．数列{a n}不一定是等差数列【答案】 B【解析】a n＋1－a n＝k(n＋1)＋b－kn－b＝k.2．等差数列中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＋a8＋a9＝420，则a2＋a10等于( )A．100 B．120C．140 D．160【答案】 B【解析】∵a3＋a4＋a5＋a6＋a7＋a8＋a9＝7a6＝420，则a6＝60，∴a2＋a10＝2a6＝2×60＝120.3．在等差数列{a n}中，a15＝33，a25＝66，则a35＝________.【答案】99【解析】a15，a25，a35成等差数列，∴a35＝2a25－a15＝99.4．已知单调递增的等差数列{a n}的前三项之和为21，前三项之积为231，求数列{a n}的通项公式．【分析】 关键是求出数列{a n }的首项和公差．【解析】 由于数列为等差数列，因此可设等差数列的前三项为a －d ，a ，a ＋d ，于是可得⎩⎪⎨⎪⎧a －d ＋a ＋a ＋d ＝21，a －d a a ＋d ＝231，即⎩⎪⎨⎪⎧3a ＝21，a a 2－d2＝231，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝7，d 2＝16，由于数列为单调递增数列，因此d ＝4，a 1＝3，从而{a n }的通项公式为a n ＝4n －1.【规律方法】 此解法恰到好处地设定等差数列的项，为我们的解题带来了极大的方便，特别是大大降低了运算量．一般来说，已知三个数成等差数列时，可设成：a －d ，a ，a ＋d ，四个数成等差数列时，可设成：a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，其余依此类推，如五个可设成：a －2d ，a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d .课后作业一、选择题(每小题5分，共40分)1．在等差数列{a n }中，a 5＝3，a 9＝5，则a 7＝( ) A ．4 B ．－4 C ．7 D ．1【答案】 A【解析】 由题意知a 7为a 5，a 9的等差中项，故a 7＝12(a 5＋a 9)＝12×(3＋5)＝4.2．在等差数列{a n }中，若a 3＋a 5＋a 7＋a 9＋a 11＝100，则3a 9－a 13的值为( )A ．20B ．30C ．40D ．50【答案】 C【解析】 ∵a 3＋a 11＝a 5＋a 9＝2a 7， ∴a 3＋a 5＋a 7＋a 9＋a 11＝5a 7＝100， ∴a 7＝20.∴3a 9－a 13＝3(a 7＋2d )－(a 7＋6d )＝2a 7＝40.3．在等差数列{a n }中，a 1＋a 4＋a 7＝39，a 2＋a 5＋a 8＝33，则a 3＋a 6＋a 9的值为( )A ．30B ．27C ．24D ．21【答案】 B【解析】 方法一：由等差数列的性质知，a 1＋a 4＋a 7，a 2＋a 5＋a 8，a 3＋a 6＋a 9成等差数列，所以(a 1＋a 4＋a 7)＋(a 3＋a 6＋a 9)＝2(a 2＋a 5＋a 8)，则a 3＋a 6＋a 9＝2×33－39＝27. 方法二：(a 2＋a 5＋a 8)－(a 1＋a 4＋a 7) ＝3d (d 为数列{a n }的公差)，则d ＝－2，a 3＋a 6＋a 9＝(a 2＋a 5＋a 8)＋3d ＝33－6＝27.4．把100个面包分给5个人，使每个人所得成等差数列，且使较大的三份之和的 17是较小的两份之和，问最小的1份是( )A.56B.103C.53D.116【答案】 C【解析】 设这5份为a －2d ，a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d ，由已知得a ＝20，且17(a ＋a ＋d ＋a ＋2d )＝a －2d ＋a －d ，∴d ＝556，∴a －2d ＝53.5．等差数列{a n }的公差d <0，且a 2a 4＝12，a 1＋a 5＝8，则其通项公式为( )A ．a n ＝2n －2B ．a n ＝2n ＋4C ．a n ＝－2n ＋12D ．a n ＝－2n ＋10【答案】 D【解析】 由等差数列的性质得a 2＋a 4＝a 1＋a 5＝8. 又a 2a 4＝12，所以a 2，a 4为方程x 2－8x ＋12＝0的两根，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2，a 4＝6或⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝6，a 4＝2.当a 2＝2，a 4＝6时，d ＝a 4－a 24－2＝2>0(舍去)， 当a 2＝6，a 4＝2时，d ＝a 4－a 24－2＝－2.所以数列的通项公式为a n ＝a 2＋(n －2)d ＝6＋(n －2)×(－2)＝－2n ＋10.即a n ＝－2n ＋10.6．设{a n }，{b n }都是等差数列，且a 1＝25，b 1＝75，a 2＋b 2＝100，则a 37＋b 37等于( )A ．0B ．37C ．100D ．－37【答案】 C【解析】 设{a n }，{b n }的公差分别是d 1，d 2，∴(a n ＋1＋b n ＋1)－(a n＋b n )＝(a n ＋1－a n )＋(b n ＋1－b n )＝d 1＋d 2，∴{a n ＋b n }为等差数列． 又∵a 1＋b 1＝a 2＋b 2＝100， ∴a 37＋b 37＝100. 故正确答案为C.7．一个首项为23，公差为整数的等差数列，如果前六项均为正数，第七项起为负数，则它的公差是( )A ．－2B ．－3C ．－4D ．－5【答案】 C【解析】 设该数列的公差为d ，则由题设条件知：a 6＝a 1＋5d >0，a 7＝a 1＋6d <0.又∵a 1＝23，∴⎩⎪⎨⎪⎧d >－235，d <－236，即－235<d <－236.又∵d 是整数，∴d ＝－4，故选C.8．已知数列{a n }、{b n }都是公差为1的等差数列，其首项分别为a 1、b 1，且a 1＋b 1＝5，a 1，b 1∈N ＋.设c n ＝ab n (n ∈N ＋)，则数列{c n }的前10项和等于( )A ．55B ．70C ．85D ．100【答案】 C【解析】 由题c n ＝ab n (n ∈N ＋)，则数列{c n }的前10项和等于ab 1＋ab 2＋…＋ab 10＝ab 1＋ab 1＋1＋…＋ab1＋9.∵ab1＝a1＋(b1－1)＝4，∴ab1＋ab1＋1＋…＋ab1＋9＝4＋5＋…＋13＝85.二、填空题(每小题10分，共20分)9．已知{a n}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，则a20＝________.【答案】 1【解析】∵a1＋a3＋a5＝105，即3a3＝105，∴a3＝35，同理a4＝33，∴d＝a4－a3＝－2，∴a20＝a4＋(20－4)d＝1.10．等差数列{a n}中，a1＋a4＋a10＋a16＋a19＝150，则a18－2a14＝________.【答案】－30【解析】由a1＋a4＋a10＋a16＋a19＝5a10＝150，得a10＝30，a18－2a14＝(a10＋8d)－2(a10＋4d)＝－a10＝－30.三、解答题(每小题20分，共40分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)11．(1)已知数列{a n}为等差数列，若a1－a5＋a9－a13＋a17＝117，求a3＋a15.(2)在等差数列{a n}中，已知a2＋a5＋a8＝9，a3a5a7＝－21，求数列{a n}的通项公式．【解析】(1)方法一：∵数列{a n}是等差数列，∴设数列{a n}的首项为a1，公差为d，则由题意得a1－(a1＋4d)＋(a1＋8d)－(a1＋12d)＋(a1＋16d)＝117，∴a1＋8d＝117.从而a3＋a15＝(a1＋2d)＋(a1＋14d)＝2(a1＋8d)＝234.方法二：由等差数列的性质知，a1＋a17＝a5＋a13＝a3＋a15＝2a9.∵a1－a5＋a9－a13＋a17＝117，∴a9＝117，∴a3＋a15＝2a9＝234.(2)∵a2＋a5＋a8＝9，a3a5a7＝－21，a2＋a8＝a3＋a7＝2a5，∴a5＝3，∴a3＋a7＝2a5＝6，a3a7＝－7，解得a3＝－1，a7＝7或a3＝7，a7＝－1.又a7＝a3＋4d，∴当a3＝－1，a7＝7时，可得d＝2；当a3＝7，a7＝－1时，可得d＝－2.根据a n＝a3＋(n－3)d，可得当a3＝－1，d＝2时，a n＝2n－7；当a3＝7，d＝－2时，a n＝－2n＋13.12．已知无穷等差数列{a n}中，首项a1＝3，公差d＝－5，依次取出序号能被4除余3的项组成数列{b n}．(1)求b1和b2；(2)求{b n}的通项公式；(3){b n}中的第503项是{a n}的第几项？【解析】数列{b n}是数列{a n}的一个子数列，其序号构成以3为首项，4为公差的等差数列，由于{a n}是等差数列，则{b n}也是等差数列．(1)∵a1＝3，d＝－5，∴a n＝3＋(n－1)(－5)＝8－5n.数列{a n}中序号能被4除余3的项是{a n}中的第3项，第7项，第11项，…，∴b1＝a3＝－7，b2＝a7＝－27.(2)设{a n}中的第m项是{b n}的第n项，即b n＝a m，则m＝3＋4(n－1)＝4n－1，∴b n＝a m＝a4n－1＝8－5(4n－1)＝13－20n.即{b n}的通项公式为b n＝13－20n.(3)b503＝13－20×503＝－10 047，设它是{a n}中的第m项，则－10 047＝8－5m，则m＝2 011，即{b n}中的第503项是{a n}中的第2 011项．。
等差数列性质练习题
等差数列性质练习题等差数列是数学中常见的数列形式，它的性质和应用广泛。
在这篇文章中，我们将通过一些练习题来探讨等差数列的性质和解题技巧。
题目一：已知等差数列的首项为a，公差为d，前n项和为Sn，求第n项的值。
解析：根据等差数列的性质，第n项的值可以通过首项a和公差d以及n来计算。
第n项的值可以表示为an = a + (n-1)d。
这个公式的推导可以通过观察等差数列的规律得出。
例如，当n=2时，第二项的值等于第一项的值加上公差，以此类推。
题目二：已知等差数列的首项为2，公差为3，求前10项的和。
解析：根据等差数列的性质，前n项的和可以通过首项a、公差d和n来计算。
前n项的和可以表示为Sn = n/2(2a + (n-1)d)。
将题目中的数值代入公式中，可以得到前10项的和为S10 = 10/2(2*2 + (10-1)*3) = 10/2(4 + 9*3) = 10/2(4 + 27) = 10/2*31 = 155。
题目三：已知等差数列的前3项分别为5、8、11，求公差和第10项的值。
解析：根据等差数列的性质，可以通过已知的前几项来确定公差d。
首先，我们可以观察到第二项与第一项之间的差为3，第三项与第二项之间的差也为3。
因此，公差d为3。
接下来，我们可以使用等差数列的通项公式an = a + (n-1)d来计算第10项的值。
第10项的值可以表示为a10 = 5 + (10-1)*3 = 5 + 27= 32。
通过这些练习题，我们可以发现等差数列有一些重要的性质。
首先，等差数列的公差决定了数列中相邻两项之间的差值。
其次，等差数列的前n项和可以通过公式Sn = n/2(2a + (n-1)d)来计算。
最后，等差数列的第n项可以通过公式an = a + (n-1)d来计算。
除了以上的性质和解题技巧，等差数列还有一些其他的应用。
例如，在数学和物理中，等差数列经常用于建模和求解问题。
在金融领域，等差数列可以用于计算贷款的利息和本金。
等差数列的性质习题课
2. 在等差数列{an }中，a5+a10+a15+a20 =20
则S24= 120 .
3. 在等差数列{an }中，S6=65，
a7+a8+a9+a10+a11+a12=-15，
则a13+a14+ a15+a16+a17+a18=-95
.
例2 一个等差数列的前四项的和为26，最 后四项的和为110，所有项的和为187，则 该数列共有多少项？
解： a4+a5+a6+a7=56 a4+a7=28 ①
又 a4a7=187 ② ， 解 ①、 ② 得
a4= 17 a7= 11
或
a4= 11 a7= 17
∴d= _2或2, 从而a14= _3或31
课堂练习：
1. 在等差数列{an}中，a1-a5-a9-a13+a17=-6
则S17= 102 .
k 2k k 3k 2k
练习：等差数列{a n
}中，S10
310,
S20 1220,求S30的值。
作业：等差数列测试卷B
例5：已知数列{a n }的首项a1 3,通项an 和sn满足2an sn • sn1(n 2),
（1）求证：{ 1 }成等差数列 sn
（2）求通项an
证明： 1 1 sn1 sn
s s n
n1
sn • sn1
1 1 sn1 sn an 1
sn sn1 sn • sn1 2a n
（1）s 2n2 3n;(2)s 2n2 3n 4
n
n
例4有两个等差数列{an },{bn },前n项和分别为： s ,T 若 Sn 7n 2 .求 a5 n n Tn n 3 b5
(201907)等差数列的性质习题课件
（1）等差中项：2an=an+1+an-1 (2A=a+b)
= (2)在等差数列{an}中a1+an
= = —a3+ an-2
…am+an-m
a2+ an-1—
3.在等差数列{an}中，由
m+n=p+q
am+an=ap+aq
注意：①上面的命题的逆命题 是不一定成立的；
②上的命题中的等式两边有相同数目的项，
如a1+a2=a3 成立吗？
4数列{an }的前项和sn an成等差数列 sn an2 bn
且公差d 2a，a1 s1 .
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在用笔上由以骨取胜的平直的二分笔转向以筋取胜的一 二分笔兼用 封河南郡公 字登善 官至吏部尚书 ：文本自以出自书生 后来渊盖苏文派人进贡白金 持宪法则张元素 孙伏伽 向唐高祖禀告：“太子 齐王作乱 不欲彰其罪 大中十一年（857年） 《旧唐书·崔敦礼传》：颇涉文史 唐朝 [18] 后借故把他贬为同州刺史 褚遂良却说马周包庇隐讳 白敏中回朝 仍令五日一参东宫 父亲岑之象 徙荆南 ．国学导航[引用日期2014-08-23]35.请陛下同意白敏中辞职 遂以中书令之职出任凤翔节度使 ．国学导航[引用日期2017-06-05]19.15.．国学导航[引用日期2014-0823]34.爵 《旧唐书·陈叔达传》：义师至绛郡 ”武则天道：“只要他有才干 皇绥州刺史令琬之女 ②唐之乱以亡也 诬陷李世民 都被流放岭南 人物评价编辑张鷟：唐太子少保薛稷 雍州长史李晋 中书令崔湜 萧至忠 岑羲等 从未错杀一个无罪之人 意欲作乱 陈叔英 819年目录1 [28] 陈希烈被任命为同中书门下平章事 唐朝 汉族
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《等差数列性质》（习题课）
出题人：隋卓飞 审核人：隋卓飞 使用时间： 姓名： 班级：
一、 教学目标
１、进一步学习等差数列的性质应用
２、学习三个数和四个数成等差数列的常用设法 ３、通过递推关系式求数列的通项公式 二、 教学重点
１、进一步学习等差数列的性质应用
２、学习三个数和四个数成等差数列的常用设法 三、 教学难点
通过递推关系式求数列的通项公式 四、 教学过程
目标达成一：进一步学习等差数列的性质应用
１、等差数列}{n a 是递减数列，且23448a a a =，23412a a a ++=，则数列}{n a 的通项公式是（ ） Ａ、212n a n =- Ｂ、24n a n =- Ｃ、212n a n =-+ Ｄ、210n a n =-+ ２、等差数列}{n a 满足，121010,a a a ++
+=则有（ ）
Ａ、11010a a +> Ｂ、21000a a +<Ｃ、3990a a +=Ｄ、5151a =
３、已知方程（22x x m -+）（2
2
x x n -+）＝0的四个根组成一个首项为
1
4
的等差数列，则m n -的值
为（ ）
Ａ、１ Ｂ、34 Ｃ、12 Ｄ、3
8
４、设数列}{n a 和{b }n 等差数列，且112225,75,100,a b a b ==+=那么数列{b }n n a +所组成的数列的第37项的值为（ ）
Ａ、37 Ｂ、100 Ｃ、－100 Ｄ、－37 在a,b 之间插入的n 个数构成一个等差数列，则其公差为（ ） Ａ、
b a n - Ｂ、1a b n -+ Ｃ、1b a n -+ Ｄ、1
b a
n --
目标达成二：学习三个数和四个数成等差数列的常用设法
例题１：三个数成等差数列，它们的和为18，它们的平方和为116，求这三个数；
练习：四个数成递增等差数列，中间两数之和为2，首末两项的积为—8，求这四个数；
目标达成三：通过递推关系式求数列的通项公式
例题２：已知函数3(x)3
x
f x =
+数列{x }n 的通项适合1(x )(n 2)n n x f n N -+=≥∈且确定 （１）、求证1n x ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
是等差数列 （２）、当11
2
x =时，求100x
练习：如果数列}{n a 满足12(a 1)n n n a a ++=+且1017a =，求它的通项公式
课堂反思与小结。