2013走向高考,贾凤山,高中总复习,数学12-2
2013走向高考,贾凤山,高中总复习,数学12-1
1.如图，CD 是圆O 的切线，切点为C ，点A ，B 在圆O 上，BC ＝1，∠BCD ＝30°，则圆O 的面积为( )A.π2 B ．π C.3π2 D ．2π[答案] B[解析] ∠A ＝∠BCD ＝30°，由BCsin A ＝2R ，得R ＝1，所以圆O 的面积为πR 2＝π.2．(文)如图所示，在▱ABCD 中，BC ＝24，E 、F 为BD 的三等分点，则BM －DN ＝( )A ．6B ．3C ．2D ．4 [答案] A[解析] ∵E 、F 为BD 的三等分点，四边形为平行四边形， ∴M 为BC 的中点，连CF 交AD 于P ，则P 为AD 的中点，由△BCF ∽△DPF 及M 为BC 中点知，N 为DP 的中点，∴BM －DN ＝12－6＝6，故选A.(理)如图，E 是▱ABCD 边BC 上一点，BE EC ＝4，AE 交BD 于F ，BFFD 等于( )A.45B.49C.59D.410 [答案] A[解析] 在AD 上取点G ，使AG :GD ＝1:4，连结CG 交BD 于H ，则CG ∥AE ，∴BF FH ＝BE CE ＝4，DH FH ＝DG GA ＝4，∴BF FD ＝45. 3．如图，Rt △ABC 中，CD 为斜边AB 上的高，CD ＝6，且AD :BD ＝3:2，则斜边AB 上的中线CE 的长为( )A ．5 6 B.562 C.15 D.3102[答案] B[解析] 设AD ＝3x ，则DB ＝2x ，由射影定理得CD 2＝AD ·BD ，∴36＝6x 2，∴x ＝6，∴AB ＝56，∴CE ＝12AB ＝562.4．(文)(2010·湖南考试院)如图，四边形ABCD 中，DF ⊥AB ，垂足为F ，DF ＝3，AF ＝2FB ＝2，延长FB 到E ，使BE ＝FB ，连结BD ，EC .若BD ∥EC ，则四边形ABCD 的面积为( )A ．4B ．5C ．6D ．7[答案] C[解析] 由条件知AF ＝2，BF ＝BE ＝1， ∴S △ADE ＝12AE ×DF ＝12×4×3＝6，∵CE ∥DB ，∴S △DBC ＝S △DBE ，∴S 四边形ABCD ＝S △ADE ＝6.(理)已知矩形ABCD ，R 、P 分别在边CD 、BC 上，E 、F 分别为AP 、PR 的中点，当P 在BC 上由B 向C 运动时，点R 在CD 上固定不变，设BP ＝x ，EF ＝y ，那么下列结论中正确的是( )A ．y 是x 的增函数B ．y 是x 的减函数C ．y 随x 的增大先增大再减小D ．无论x 怎样变化，y 为常数 [答案] D[解析] ∵E 、F 分别为AP 、PR 中点，∴EF 是△PAR 的中位线，∴EF ＝12AR ，∵R 固定，∴AR 是常数，即y 为常数．5．(2011·海淀期末)如图，半径为2的⊙O 中，∠AOB ＝90°，D 为OB 的中点，AD 的延长线交⊙O 于点E ，则线段DE 的长为( )A.55B.255C.355D.32 [答案] C [解析]延长BO 交圆O 于点F ，由D 为OB 的中点，知DF ＝3，DB ＝1，又∠AOB ＝90°，所以AD ＝5，由相交弦定理知AD ·DE ＝DF ·DB ，即5DE ＝3×1，解得DE ＝3556．(2010·广东中山)如图，⊙O 与⊙O ′相交于A 和B ，PQ 切⊙O 于P ，交⊙O ′于Q 和M ，交AB 的延长线于N ，MN ＝3，NQ ＝15，则PN ＝( )A ．3 B.15 C ．3 2 D ．3 5 [答案] D[解析] 由切割线定理知：PN 2＝NB ·NA ＝MN ·NQ ＝3×15＝45， ∴PN ＝3 5.7．(2011·深圳调研)如图，割线PBC 经过圆心O ，OB ＝PB ＝1，OB 绕点O 逆时针旋转120°到OD ，连PD 交圆O 于点E ，则PE ＝________.[答案] 377[解析] ∵∠POD ＝120°，OD ＝OB ＝1，PO ＝2， ∴PD ＝PO 2＋OD 2－2OD ·PO ·cos120°＝7， 由相交弦定理得，PE ·PD ＝PB ·PC ， ∴PE ＝PB ·PC PD ＝1×37＝377.8．(文)(2011·北京西城区模拟)如图，从圆O 外一点P 引圆O 的切线PA 和割线PBC ，已知PA ＝22，PC ＝4，圆心O 到BC 的距离为3，则圆O 的半径为________．[答案] 2[解析] 设圆O 的半径为R .依题意得PA 2＝PB ·PC ， ∴PB ＝PA 2PC ＝2，BC ＝PC －PB ＝2，∴R ＝(12BC )2＋(3)2＝2，即圆O 的半径为2. (理)(2010·广东中山市四校联考)如图，PA 切圆O 于点A ，割线PBC 经过圆心O ，OB ＝PB ＝1，OA 绕点O 逆时针旋转60°到OD ，则PD 的长为________．[答案]7[解析] 由图可知，PA 2＝PB ·PC ＝PB ·(PB ＋BC )＝3，∴PA ＝3，∴∠AOP ＝60°，又∠AOD ＝60°，∴∠POD ＝120°，∵PO ＝2，OD ＝1， ∴cos ∠POD ＝22＋12－PD 22×2×1＝－12，∴PD ＝7.1.(文)(2011·广东湛江高考调研)如图，圆O 上一点C 在直径AB 上的射影为D ，AD ＝2，AC ＝25，则AB ＝________.[答案] 10[解析] 由射影定理知， AC 2＝AD ·AB ， 所以AB ＝(25)22＝10.(理)(2010·茂名市模考)如图所示，已知圆O 直径为6，AB 是圆O 的直径，C 为圆O 上一点，且BC ＝2，过点B 的圆O 的切线交AC 延长线于点D ，则DA ＝________.[答案] 3[解析] ∵AB 为直径， ∴∠ACB 为直角，∵BC ＝2，AB ＝6，∴AC ＝2，∵DB 与⊙O 相切，∴∠DBA 为直角， 由射影定理BC 2＝AC ·CD ，∴CD ＝1，∴AD ＝3.2．(文)如图，BD 为⊙O 的直径，AB ＝AC ，AD 交BC 于E ，AE ＝2，ED ＝4.则AB 的长为________．[答案] 2 3[解析] ∵∠ABC ＝∠C ，∠C ＝∠D ，∴∠ABC ＝∠D ，又∠BAE ＝∠DAB ，∴△ABE ∽△ADB ，∴AB 2＝AE ·AD ，∴AB ＝2 3.(理)已知EB 是半圆O 的直径，A 是BE 延长线上一点，AC 切半圆O 于点D ，BC ⊥AC 于点C ，若BC ＝6，AC ＝8，则AE ＝______，AD ＝________.[答案] 52，5[解析] ∵OD ⊥AC ，BC ⊥AC ， ∴△ADO ∽△ACB ，∴OD BC ＝AOAB ，∵BC ＝6，AC ＝8，∴AB ＝10，设OD ＝R ，则AO ＝53R ，∴R ＋53＝10，∴R ＝154，AE ＝AB －2R ＝52，AD OD ＝AC BC ＝43，∴AD ＝5.3．(文)(2011·广东汕头测试)如图，正△ABC 的边长为2，点M ，N 分别是边AB ，AC 的中点，直线MN 与△ABC 的外接圆的交点为P ，Q ，则线段PM ＝________.[答案]5－12[解析] 设PM ＝x ，则QN ＝x ，由相交弦定理可得PM ·MQ ＝BM ·MA 即x ·(x ＋1)＝1，解得x ＝5－12.(理)(2011·佛山质检)如图，AB ，CD 是半径为a 的圆O 的两条弦，它们相交于AB 的中点P ，PD ＝23a ，∠OAP ＝30°，则CP ＝________.[答案] 9a8[解析] 因为点P 是AB 的中点，由垂径定理知，OP ⊥AB .在Rt △OPA 中，BP ＝AP ＝a cos30°＝32a .由相交弦定理知，BP ·AP ＝CP ·DP ，即32a ·32a ＝CP ·23a ，所以CP ＝98a .4．(文)(2011·惠州市模拟)如图，⊙O 的割线PAB 交⊙O 于A 、B 两点，割线PCD 经过圆心O ，已知PA ＝6，AB ＝223，PO ＝12，则⊙O 的半径是________．[答案] 8[解析] 设⊙O 的半径是R ，∵PA ·PB ＝PC ·PD ＝(PO －R )(PO ＋R )＝PO 2－R 2，∴PA (PA ＋AB )＝PO 2－R 2，将PA ＝6，AB ＝223，PO ＝12代入得R ＝8.(理)(2010·天津理)如下图，四边形ABCD 是圆O 的内接四边形，延长AB 和DC 相交于点P ，若PB PA ＝12，PC PD ＝13，则BCAD的值为__________．[答案] 66[解析] 由割线定理知：PB ·PA ＝PC ·PD ， 又∵PA ＝2PB ，PD ＝3PC ，∴PB ·2PB ＝13PD ·PD ，∴PB 2＝16PD 2，∴PB ＝66PD ，又∵△PBC ∽△PDA ，∴BC AD ＝PB PD ＝66.5．如图，EB 、EC 是⊙O 的两条切线，B 、C 是切点，A 、D 是⊙O 上两点，如果∠E ＝46°，∠DCF ＝32°，则∠A 的度数是________．[答案] 99°[解析] 连接OB 、OC 、AC ，根据弦切角定理得， ∠EBC ＝∠BAC ，∠CAD ＝∠DCF ，可得∠A ＝∠BAC ＋∠CAD ＝12(180°－∠E )＋∠DCF ＝67°＋32°＝99°.[点评] 可由EB ＝EC 及∠E 求得∠ECB ，由∠ECB 和∠DCF 求得∠BCD ，由圆内接四边形对角互补求得∠A .6．(文)(2010·南京市调研)如图，AB 是⊙O 的直径，点P 在AB 的延长线上，PC 与⊙O 相切于点C ，PC ＝AC ＝1，求⊙O 的半径．[解析] 连接OC .设∠PAC ＝θ.因为PC ＝AC ，所以∠CPA ＝θ，∠COP ＝2θ. 又因为PC 与⊙O 相切于点C ，所以OC ⊥PC . 所以3θ＝90°.所以θ＝30°.设⊙O 的半径为r ，在Rt △POC 中， r ＝CP ·tan30°＝1×33＝33. (理)(2010·江苏盐城调研)如图，圆O 的直径AB ＝8，C 为圆周上一点，BC ＝4，过C 作圆的切线l ，过A 作直线l 的垂线AD ，D 为垂足，AD 与圆O 交于点E ，求线段AE 的长．[解析]连结OC 、BE 、AC ，则BE ⊥AE .∵BC ＝4，∴OB ＝OC ＝BC ＝4，即△OBC 为正三角形， ∴∠CBO ＝∠COB ＝60°， 又直线l 切⊙O 于C ， ∴∠DCA ＝∠CBO ＝60°，∵AD ⊥l ，∴∠DAC ＝90°－60°＝30°，而∠OAC ＝∠ACO ＝12∠COB ＝30°，∴∠EAB ＝60°，在Rt △BAE 中，∠EBA ＝30°，∴AE ＝12AB ＝4.7．(文)(2010·辽宁)如图，△ABC 的角平分线AD 的延长线交它的外接圆于点E .(1)证明：△ABE ∽△ADC ；(2)若△ABC 的面积S ＝12AD ·AE ，求∠BAC 的大小．[解析] (1)∵AD 为∠BAC 的角平分线 ∴∠BAE ＝∠CAD又∵∠AEB 与∠ACB 为AB 所对的圆周角 ∴∠AEB ＝∠ACD ，∴△ABE ∽△ADC . (2)由(1)可知△ABE ∽△ADC 故AB AE ＝AD AC， 即AB ·AC ＝AD ·AE ① 又S ＝12AB ·AC sin ∠BAC且S ＝12AD ·AE∴12AB ·AC sin ∠BAC ＝12AD ·AE ② 由①②式得 sin ∠BAC ＝1∵∠BAC 为三角形内角，∴∠BAC ＝90°(理)(2010·辽宁实验中学)如图，⊙O 的直径AB 的延长线与弦CD 的延长线相交于点P ，E 为⊙O 上一点，AE ＝AC ，DE 交AB 于点F ，且AB ＝2BP ＝4，(1)求PF 的长度．(2)若圆F 与圆O 内切，直线PT 与圆F 切于点T ，求线段PT 的长度． [解析] (1)连结OC ，OD ，OE ，由同弧对应的圆周角与圆心角之间的关系，结合题中条件弧长AE 等于弧长AC 可得∠CDE ＝∠AOC ， 又∠CDE ＝∠P ＋∠PFD ，∠AOC ＝∠P ＋∠OCP ， 从而∠PFD ＝∠OCP ，故△PFD ∽△PCO ， ∴PF PC ＝PD PO由割线定理知PC ·PD ＝PA ·PB ＝12， 故PF ＝PC ·PD PO ＝1243.(2)若圆F 与圆O 内切，设圆F 的半径为r ， 因为OF ＝2－r ＝1，即r ＝1，所以OB 是圆F 的直径，且过P 点的圆F 的切线为PT ， 则PT 2＝PB ·PO ＝2×4＝8，即PT ＝2 2.1.如图所示，矩形ABCD 中，AB ＝12，AD ＝10，将此矩形折叠使点B 落在AD 边的中点E 处，则折痕FG 的长为( )A ．13 B.635C.656 D.636[答案] C[解析] 过点A 作AH ∥FG 交DG 于H ，则四边形AFGH 为平行四边形．∴AH ＝FG .∵折叠后B 点与E 点重合，折痕为FG ， ∴B 与E 关于FG 对称．∴BE ⊥FG ，∴BE ⊥AH . ∴∠ABE ＝∠DAH ，∴Rt △ABE ∽Rt △DAH . ∴BE AB ＝AH AD .∵AB ＝12，AD ＝10，AE ＝12AD ＝5， ∴BE ＝122＋52＝13，∴FG ＝AH ＝BE ·AD AB ＝6562．如图所示，在矩形ABCD 中，AE ⊥BD 于E ，S 矩形＝40cm 2，S △ABE :S△DBA＝1:5，则AE 的长为________．[答案] 4cm[解析] ∵∠BAD ＝90°，AE ⊥BD ，∴△ABE ∽△DBA ， ∴S △ABE :S △DBA ＝AB 2:DB 2.∵S △ABE :S △DBA ＝1:5，∴AB 2:DB 2＝1:5， ∴AB :DB ＝1: 5.设AB ＝k ，则DB ＝5k ，AD ＝2k ， ∵S 矩形＝40cm 2，∴k ·2k ＝40，∴k ＝25， ∴BD ＝5k ＝10，AD ＝45， S △ABD ＝12BD ·AE ＝20，∴12×10×AE ＝20，∴AE ＝4cm. 3．(2011·北京朝阳区统考)如图，AB 是⊙O 的直径，CB 切⊙O 于点B ，CD 切⊙O 于点D ，直线CD 交AB 于点E .若AB ＝3，ED ＝2，则CB 的长为________．[答案] 3[解析] 由切割线定理得，ED 2＝EA ·EB ， ∴4＝EA (EA ＋3)，∴EA ＝1，∵CB 是⊙O 的切线，∴EB ⊥CB ， ∴EB 2＋CB 2＝CE 2，又∵CD 是⊙O 的切线，∴CD ＝CB ， ∴42＋CB 2＝(CB ＋2)2，∴CB ＝3. 4.(2011·北京西域区期末)如图所示，过圆C 外一点P 做一条直线与圆C 交于A ，B 两点，AB ＝2AP ，PT 与圆C 相切于T 点．已知圆C 的半径为2，∠CAB ＝30°，则PT ＝________.[答案] 3[解析] ∵AC ＝2，∠CAB ＝30°， ∴AB ＝2AC cos30°＝2×2×32＝23，∴AP ＝12AB ＝3，∴PB ＝AP ＋AB ＝33，∵PT 是⊙C 的切线， ∴PT 2＝AP ·PB ＝9， ∴PT ＝3.5．(2011·广东理，15)如下图，过圆O 外作一点P 分别作圆的切线和割线交圆于A ，B ，且PB ＝7，C 是圆上一点使得BC ＝5，∠BAC ＝∠APB ，则AB ＝________.[答案]35[解析] 由圆的切线性质可知∠PAB ＝∠ACB ， 又∠APB ＝∠BAC ，所以△PAB ∽△ACB ， 所以AB BC PB AB ，而BC ＝5，PB ＝7，∴AB 5＝7AB ，∴AB 2＝35，AB ＝35.6．(2011·湖南理，11)如下图，A ，E 是半圆周上的两个三等分点，直径BC ＝4，AD ⊥BC ，垂足为D ，BE 与AD 相交于点F ，则AF 的长为________．[答案] 233[解析]如图，连结CE ，OA ，AB ，∵A 、E 是半圆周上的两个三等分点，BC 为直径，∴∠CEB ＝90°，∠CBE ＝30°，∠AOB ＝60°，又OA ＝2，∴AD ＝3，OD ＝BD ＝1，∴DF ＝33，∴AF ＝AD －DF ＝233. 7．(2011·天津文，13)如图，已知圆中两条弦AB 与CD 相交于点F ，E 是AB 延长线上一点，且DF ＝CF ＝2，AF :FB :BE ＝4:2:1.若CE 与圆相切，则线段CE 的长为________．[答案] 72[解析] 由题意：⎩⎨⎧ AF ·FB ＝DF ·FC ＝2AF FB ＝2∴AF ＝2，FB ＝1，∴BE ＝12，AE ＝AF ＋BF ＋BE ＝72. 由切割线定理得：CE 2＝BE ·AE ＝12×72＝74. ∴CE ＝72. 8．(2011·辽宁文，22)如图，A 、B 、C 、D 四点在同一圆上，AD 的延长线与BC 的延长线交于E 点，且EC ＝ED .(1)证明：CD ∥AB;(2)延长CD 到F ，延长DC 到G ，使得EF ＝EG ，证明：A 、B 、G 、F 四点共圆．[解析] (1)因为EC ＝ED ，所以∠EDC ＝∠ECD .因为A ，B ，C ，D 四点在同一圆上，所以∠EDC ＝∠EBA .故∠ECD ＝∠EBA .所以CD ∥AB .(2)由(1)知，AE ＝BE ，因为EF ＝EG ，故∠EFD ＝∠EGC ，从而∠FED ＝∠GEC .连接AF，BG，则△EFA≌△EGB，故∠F AE＝∠GBE.又CD∥AB，∠EDC＝∠ECD，所以∠F AB＝∠GBA.所以∠AFG＋∠GBA＝180°.故A、B、G、F四点共圆．9．(2011·新课标全国文，22)如图，D，E分别为△ABC的边AB，AC 上的点，且不与△ABC的顶点重合，已知AE的长为m，AC的长为n，AD，AB的长是关于x的方程x2－14x＋mn＝0的两个根．(1)证明：C，B，D，E四点共圆；(2)若∠A＝90°，且m＝4，n＝6，求C，B，D，E所在圆的半径．[解析](1)连结DE，根据题意在△ADE和△ACB中，AD×AB＝mn＝AE×AC，即ADAC＝AEAB.又∠DAE＝∠CAB，从而△ADE∽△ACB.因此∠ADE＝∠ACB.所以C，B，D，E四点共圆。
走向高考贾凤山高中总复习第3篇
《
思
想
方 法
围是
点
拨
的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范
走 向
高
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考 》
高
考
总
课
复
堂
习
·A
典 例
人
讲
教
练
版
数
课
学
堂
巩 固
解析：依题意得，c<b，即c2<b2，∴c2<a2－c2,2c2<a2，
训
练 故离心率
课 后 强
答案：C
化
作
业
首页
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要 第三篇 第2章
点 自 主 归 纳
《
走
思
数 学
堂
巩 固
设方程为
＝1(m>0，n>0)，可以避免讨论和繁琐的
训
练 计算，也可以设为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0)，这种形式在
课 后
解题中更简便．
强
化
作
业
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要 第三篇 第2章
点
自
主
归
纳
《
走
思
向
想
高
方 法
一、函数与方程的思想、待定系数法
考 》
点 拨
高
在圆锥曲线的一些求取值范围及最值的问题中，常将
习 人
讲 练
即(x＋5)(x－5)＋y2＝0. 以下同解法1.
教 版
数
课
学
堂
巩
固
训
练
课 后 强 化 作 业
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2013走向高考,贾凤山,高中总复习,数学(北师大),2-10函数模型及其应用
第2章
第十节
高考数学总复习
对每间客房，若有客住，则成本为 80 元；若空闲，则成本 为 40 元．要使此宾馆每天的住房利润最高，则每间客房的定价 大致应为( ) B．200 元 D．160 元
北 师 大 版
A．220 元 C．180 元
第2章
第十节
高考数学总复习
[答案] C
[解析] 收益分为四种情况： y1＝0.5n×(220－80)－0.5n×40＝50n y2＝0.6n×(200－80)－0.4n×40＝56n y3＝0.7n×(180－80)－0.3n×40＝58n y4＝0.75n×(160－80)－0.25n×40＝50n 所以定价大致为 180 元时利润最高．
北 师 大 版
第2章
第十节
高考数学总复习
1.当 x→＋∞时， 下列函数中， 增长速度最快的应该是( A．y＝2x C．y＝100x B．y＝100x2 1 x D．y＝ e 100
)
北 师 大 版
第2章
第十节
高考数学总复习
[答案] D
1 x [解析] ∵2<e，∴y＝ e 增长速度最快． 100
北 师 大 版
第2章
第十节
高考数学总复习
[答案] 0.6,1,0.8
[解析] 该函数模型 y＝lg2x 已给定， 因而只需要将条件信 息提取出来，按实际情况代入，应用于函数即可解决问题．
北 师 大 版
第2章
第十节
高考数学总复习
设 30 元、50 元、80 元门票的张数分别为 a、b、c(万张)， 则 a＋b＋c＝2.4 ab＝0.6 x＝30a＋50b＋80c， ① ② ③
第2章
2013走向高考,贾凤山,高中总复习,化学1-12-2
第12章
第二节
高考化学总复习
②焰色反应 用焰色反应可检验出溶液中的 K＋和 Na＋。
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(2)特殊检验法
第12章
第二节
高考化学总复习
2．常见阴离子的检验 (1)利用酸碱指示剂检验
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第12章
第二节
高考化学总复习
(2)利用盐酸和其他试剂进行检验
人 教 实 验 版
(3)利用 AgNO3(HNO3 酸化)溶液检验 CI－ ―→生成不溶于稀硝酸的白 色沉淀。
高考化学总复习
【思考· 归纳· 探究】 2．分离提纯要遵守的基本原则有哪些？ 提示：(1)不得引入新杂质； (2)尽量不减少被提纯的物质； (3)使初步被提纯或被分离后的物质容易一步分离； (4)如果在分离操作中，被分离的物质转变为其他物 质，应采用适当的方法将其恢复为原物质。
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第12章
2．物质分离、提纯的常用物理方法
方法、装置 适用范围 注意事项 (1)“一贴”：滤纸紧贴漏斗内壁 ； “二低”：滤纸低于漏斗口 ，液面 把不溶性 固体和液 体进行分 离 低于滤纸边缘；
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烧杯 紧靠玻璃棒 ，玻璃 “三靠”：
棒轻靠三层滤纸处，漏斗下端靠烧
杯内壁 ；
(2)若滤液浑浊，需重新过滤
A.一定含有 NO3 、SO2 和 Cl 4
＋
－
－
－
B．一定含有 Al3 ，可能含有 Ba2
－ －
＋
C．一定含有 NO3 、SO2 ，可能含有 HCO3 4 D．一定不含 Fe2＋、Ba2＋和 HCO－ 3
－
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第12章
第二节
高考化学总复习
2013走向高考,贾凤山,高中总复习,数学2-1
1.(文)已知函数y ＝ax 2＋1的图象与直线y ＝x 相切，则a ＝( ) A.18 B.14 C.12 D ．1[答案] B[解析] ∵y ′＝2ax ，设切点为(x 0，y 0)，则2ax 0＝1 ∴x 0＝12a ∴y 0＝12a 代入y ＝ax 2＋1得，1 2a ＝14a ＋1∴a ＝14故选B.(理)二次函数y ＝f (x )的图象过原点，且它的导函数y ＝f ′(x )的图象是过第一、二、三象限的一条直线，则函数y ＝f (x )的图象的顶点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[答案] C[解析] 由题意可设f (x )＝ax 2＋bx ，f ′(x )＝2ax ＋b ，由于f ′(x )图象是过第一、二、三象限的一条直线，故2a >0，b >0，则f (x )＝a (x ＋b 2a )2－b 24a ，顶点(－b2a ，－b 24a)在第三象限，故选C. 2．(2010·江西文，4)若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)＝( )A ．－1B ．－2C ．2D ．0[答案] B[解析] f ′(x )＝4ax 3＋2bx ，f ′(－1)＝－4a －2b ＝－(4a ＋2b )，f ′(1)＝4a ＋2b ，∴f ′(－1)＝－f ′(1)＝－2，故选B.[点评] 要善于观察，由f ′(x )＝4ax 3＋2bx 知，f ′(x )为奇函数，∴f ′(－1)＝－f ′(1)＝－2.3．(文)若函数f (x )＝e x sin x ，则此函数图象在点(4，f (4))处的切线的倾斜角为( )A.π2 B ．0 C ．钝角 D ．锐角[答案] C[解析] y ′|x ＝4＝(e x sin x ＋e x cos x )|x ＝4＝e 4(sin4＋cos4)＝2e 4sin(4＋π4)<0，故倾斜角为钝角，选C.(理)(2011·山东淄博一中期末)曲线y ＝13x 3＋x 在点⎝⎛⎭⎪⎫1，43处的切线与坐标轴围成的三角形面积为( )A ．1 B.19 C.13 D.23[答案] B[解析] ∵y ′＝x 2＋1，∴k ＝2，切线方程y －43＝2(x －1)，即6x－3y －2＝0，令x ＝0得y ＝－23，令y ＝0得x ＝13，∴S ＝12×13×23＝19.4．(文)(2010·新课标高考)曲线y ＝xx ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为( )A ．y ＝2x ＋1B ．y ＝2x －1C ．y ＝－2x －3D ．y ＝－2x －2[答案] A[解析] ∵y ′＝x ′(x ＋2)－x (x ＋2)′(x ＋2)2＝2(x ＋2)2， ∴k ＝y ′|x ＝－1＝2(－1＋2)2＝2， ∴切线方程为：y ＋1＝2(x ＋1)，即y ＝2x ＋1.(理)(2010·黑龙江省哈三中)已知y ＝sin x1＋cos x ，x ∈(0，π)，当y ′＝2时，x 等于( )A.π3B.23π C.π4 D.π6[答案] B[解析] y ′＝cos x ·(1＋cos x )－sin x ·(－sin x )(1＋cos x )2＝11＋cos x＝2，∴cos x ＝－12，∵x ∈(0，π)，∴x ＝2π3.5．(2011·山东文，4)曲线y ＝x 3＋11在点P (1,12)处的切线与y 轴交点的纵坐标是( )A ．－9B ．－3C ．9D ．15[答案] C[解析] 由y ＝x 3＋11知y ′＝3x 2，所以y ′|x ＝1＝3，所以过点P (1,12)的切线方程为y －12＝3(x －1)，即3x －y ＋9＝0，令x ＝0得y ＝9，故选C.6．(文)已知f (x )＝log a x (a >1)的导函数是f ′(x )，记A ＝f ′(a )，B ＝f (a ＋1)－f (a )，C ＝f ′(a ＋1)，则( )A ．A >B >C B ．A >C >B C ．B >A >CD ．C >B >A [答案] A[解析] 记M (a ，f (a ))，N (a ＋1，f (a ＋1))，则由于B ＝f (a ＋1)－f (a )＝f (a ＋1)－f (a )(a ＋1)－a，表示直线MN 的斜率，A ＝f ′(a )表示函数f (x )＝log a x 在点M 处的切线斜率；C ＝f ′(a ＋1)表示函数f (x )＝log a x 在点N 处的切线斜率．所以，A >B >C .(理)设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6－1(ω>0)的导函数f ′(x )的最大值为3，则f (x )图象的一条对称轴方程是( )A ．x ＝π9B ．x ＝π6C ．x ＝π3D ．x ＝π2[答案] A[解析] f ′(x )＝ωcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6的最大值为3， 即ω＝3，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π6－1. 由3x ＋π6＝π2＋k π得，x ＝π9＋k π3 (k ∈Z)．故A 正确．7．(文)设曲线y ＝ax 2在点(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a ＝________.[答案] 1[解析] 由y ′|x ＝1＝2a ＝2得a ＝1.(理)设a ∈R ，函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a －3)x 的导函数是f ′(x )，若f ′(x )是偶函数，则曲线y ＝f (x )在原点处的切线方程为________．[答案] y ＝－3x[解析] f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋(a －3)，又f ′(－x )＝f ′(x )，即3x 2－2ax ＋(a －3)＝3x 2＋2ax ＋(a －3) 对任意x ∈R 都成立，所以a ＝0，f ′(x )＝3x 2－3，f ′(0)＝－3， 曲线y ＝f (x )在原点处的切线方程为y ＝－3x .8．如图，函数y ＝f (x )的图象在点P (5，f (5))处的切线方程是y ＝－x ＋8，则f (5)＋f ′(5)＝________.[答案] 2[解析] 由条件知f ′(5)＝－1，又在点P 处切线方程为y －f (5)＝－(x －5)，∴y ＝－x ＋5＋f (5)，即y ＝－x ＋8，∴5＋f (5)＝8，∴f (5)＝3，∴f (5)＋f ′(5)＝2.1.(2011·江西理，4)若f (x )＝x 2－2x －4ln x ，则f ′(x )＞0的解集为( )A ．(0，＋∞)B ．(－1,0)∪(2，＋∞)C ．(2，＋∞)D ．(－1,0)[答案] C[解析] 因为f (x )＝x 2－2x －4ln x ，∴f ′(x )＝2x －2－4x ＝2(x 2－x －2)x>0，即⎩⎪⎨⎪⎧x >0x 2－x －2>0，解得x >2，故选C. 2．(文)函数f (x )＝x cos x 的导函数f ′(x )在区间[－π，π]上的图象大致为( )[答案] A[解析] ∵f (x )＝x cos x ， ∴f ′(x )＝cos x －x sin x ，∴f ′(－x )＝f ′(x )，∴f ′(x )为偶函数，排除C ； ∵f ′(0)＝1，排除D ；由f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－π2<0，f ′(2π)＝1>0，排除B ，故选A.(理)(2010·广东汕头一中)函数f (x )＝e 2x 的图象上的点到直线2x －y －4＝0的距离的最小值是( )A. 3B. 5C.322D.355[答案] B[解析] 设l 为与直线2x －y －4＝0平行的函数f (x )＝e 2x 的图象的切线，切点为(x 0，y 0)，则k l ＝f ′(x 0)＝2e 2x 0＝2，∴x 0＝0，y 0＝1，∴切点(0,1)到直线2x －y －4＝0的距离d ＝55＝5即为所求．3．(2010·东北师大附中模拟)定义方程f (x )＝f ′(x )的实数根x 0叫做函数f (x )的“新驻点”，若函数g (x )＝x ，h (x )＝ln(x ＋1)，φ(x )＝x 3－1的“新驻点”分别为α，β，γ，则α，β，γ的大小关系为( )A ．α>β>γB ．β>α>γC ．γ>α>βD ．β>γ>α[答案] C[解析] 由g (x )＝g ′(x )得，x ＝1，∴α＝1，由h (x )＝h ′(x )得，ln(x ＋1)＝1x ＋1，故知1<x ＋1<2，∴0<x <1，即0<β<1，由φ(x )＝φ′(x )得，x 3－1＝3x 2，∴x 2(x －3)＝1， ∴x >3，故γ>3，∴γ>α>β. [点评] 对于ln(x ＋1)＝1x ＋1，假如0<x ＋1<1，则ln(x ＋1)<0，1x ＋1>1矛盾；假如x ＋1≥2，则1x ＋1≤12，即ln(x ＋1)≤12，∴x ＋1≤e ，∴x ≤e －1与x ≥1矛盾．4．(文)已知函数f (x )＝x p ＋qx ＋r ，f (1)＝6，f ′(1)＝5，f ′(0)＝3，a n ＝1f (n )，n ∈N ＋，则数列{a n }的前n 项和是( )A.n n ＋1B.n n ＋2C.n ＋12n ＋4D.n 2n ＋4[答案] D[解析] ∵f ′(x )＝px p －1＋q ，由条件知 ⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋q ＋r ＝6p ＋q ＝5q ＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧p ＝2q ＝3r ＝2，∴f (x )＝x 2＋3x ＋2.∴a n ＝1f (n )＝1n 2＋3n ＋2＝1(n ＋1)(n ＋2)＝1n ＋1－1n ＋2 ∴{a n }的前n 项和为S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1n ＋1－1n ＋2＝12－1n ＋2＝n2n ＋4. (理)等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，函数f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)，则f ′(0)＝( )A ．26B ．29C ．212D ．215[答案] C[解析] f ′(x )＝x ′·[(x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)]＋[(x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)]′·x＝(x －a 1)(x －a 2)...(x －a 8)＋[(x －a 1)(x －a 2)...(x －a 8)]′.x ， 所以f ′(0)＝(0－a 1)(0－a 2)...(0－a 8)＋[(0－a 1)(0－a 2) 0a 8)]′·0＝a 1a 2…a 8.因为数列{a n }为等比数列，所以a 2a 7＝a 3a 6＝a 4a 5＝a 1a 8＝8，所以f ′(0)＝84＝212.5．(2011·朝阳区统考)若曲线f (x )＝ax 3＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________．[答案] (－∞，0)[解析] 由题意，可知f ′(x )＝3ax 2＋1x ，又因为存在垂直于y 轴的切线，所以3ax 2＋1x ＝0⇒a ＝－13x3(x >0)⇒a ∈(－∞，0)．6．求下列函数的导数： (1)y ＝15x 5－43x 3＋3x 2＋2；(2)y ＝(3x 3－4x )(2x ＋1)； (3)y ＝3x e x －2x ＋e ； (4)y ＝ln x x 2＋1；(5)y ＝x cos x －sin x . (6)(理)y ＝cos 32x ＋e x ； (7)(理)y ＝lg 1－x 2.[解析] 可利用导数公式和导数运算法则求导．(1)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15x 5′－⎝ ⎛⎭⎪⎫43x 3′＋(3x 2)′＋(2)′ ＝x 4－4x 2＋6x .(2)∵y ＝(3x 3－4x )(2x ＋1)＝6x 4＋3x 3－8x 2－4x ，∴y ′＝24x 3＋9x 2－16x －4，或y ′＝(3x 3－4x )′(2x ＋1)＋(3x 3－4x )(2x ＋1)′ ＝(9x 2－4)(2x ＋1)＋(3x 3－4x )·2 ＝24x 3＋9x 2－16x －4.(3)y ′＝(3x e x )′－(2x )′＋(e )′＝(3x )′e x ＋3x (e x )′－(2x )′＝3x ln3·e x ＋3x e x －2x ln2 ＝(ln3＋1)·(3e )x －2x ln2.(4)y ′＝(ln x )′(x 2＋1)－ln x ·(x 2＋1)′(x 2＋1)2＝1x·(x 2＋1)－ln x ·2x (x 2＋1)2＝x 2＋1－2x 2·ln x x (x 2＋1)2. (5)y ′＝(x cos x )′－(sin x )′＝cos x －x sin x －cos x ＝－x sin x . (6)(理)y ′＝3cos 22x ·(cos2x )′＋e x ＝－6sin2x ·cos 22x ＋e x .(7)(理)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12lg (1－x 2)′＝12·lg e 1－x 2·(1－x 2)′＝x lg ex 2－1.7．(文)已知直线l 1为曲线y ＝x 2＋x －2在点(1,0)处的切线，l 2为该曲线的另一条切线，且l 1⊥l 2.(1)求直线l 2的方程；(2)求由直线l 1、l 2和x 轴所围成的三角形的面积．[解析] (1)∵y ′＝2x ＋1，∴曲线在点(1,0)处的切线斜率为k ＝3，故l 1：y ＝3x －3；又l 1⊥l 2，∴l 2的斜率k 1＝－13，由2x ＋1＝－13得，x ＝－23，∴直线l 2与曲线切点为⎝⎛⎭⎪⎫－23，－209， ∴l 2：y ＝－13x －229.(2)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x －3y ＝－13x －229，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝16y ＝－52.所以直线l 1和l 2的交点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫16，－52. l 1、l 2与x 轴交点的坐标分别为(1,0)、⎝ ⎛⎭⎪⎫－223，0. 所以所求三角形的面积S ＝12×253×52＝12512.(理)设函数y ＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象与y 轴交点为P ，且曲线在P 点处的切线方程为12x －y －4＝0. 若函数在x ＝2处取得极值0，试确定函数的解析式.[解析] ∵y ＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象与y 轴的交点为P (0，d )， 又曲线在点P 处的切线方程为y ＝12x －4，P 点坐标适合方程，从而d ＝－4；又切线斜率k ＝12，故在x ＝0处的导数y ′|x ＝0＝12而y ′|x ＝0＝c ，从而c ＝12；又函数在x ＝2处取得极值0，所以⎩⎨⎧y ′|x ＝2＝0f (2)＝0即⎩⎨⎧12a ＋4b ＋12＝08a ＋4b ＋20＝0解得a ＝2，b ＝－9所以所求函数解析式为y ＝2x 3－9x 2＋12x －4.8．设曲线y ＝e －x (x ≥0)在点M (t ，e －t )处的切线l 与x 轴、y 轴所围成的三角形面积为S (t ).(1)求切线l 的方程； (2)求S (t )的最大值．[解析] (1)因为f ′(x )＝(e －x )′＝－e －x ， 所以切线l 的斜率为－e －t ，故切线l 的方程为y －e －t ＝－e －t (x －t )， 即e －t x ＋y －e －t (t ＋1)＝0.(2)令y ＝0得x ＝t ＋1，又令x ＝0得y ＝e －t (t ＋1)，∵t ≥0，∴t ＋1＞0，e －t (t ＋1)＞0， ∴S (t )＝12(t ＋1)·e －t (t ＋1)＝12(t ＋1)2e －t ，从而S ′(t )＝12e －t (1－t )(1＋t )．∵当t ∈(0,1)时，S ′(t )>0，当t ∈(1，＋∞)时，S ′(t )<0，所以S (t )的最大值为S (1)＝2e .1．已知函数f (x )＝k cos x 的图象经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，1，则函数图象上过点P 的切线斜率等于( )A ．1 B. 3 C ．－ 3 D ．－1[答案] C[解析] f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝k cos π3＝1⇒k ＝2，f ′(x )＝－k sin x ，∴点P 处切线斜率为k ′＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝－2sin π3＝－ 3.2.函数y ＝f (x )的图象过原点且它的导函数y ＝f ′(x )的图象是如图所示的一条直线，则y ＝f (x )的图象的顶点在( )A ．第Ⅰ象限B ．第Ⅱ象限C ．第Ⅲ象限D ．第Ⅳ象限[答案] A[解析] 因为y ＝f ′(x )的图象是直线，所以y ＝f (x )是二次函数． 又f (x )的图象过原点，所以可设：f (x )＝ax 2＋bx ， ∴f ′(x )＝2ax ＋b .结合f ′(x )的图象可知，a <0，b >0.∴－b2a >0，4ac －b 24a ＝－b 24a >0，即顶点⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－b 2a，4ac －b 24a 在第一象限． 3．(2010·金华十校)曲线y ＝x 3上一点B 处的切线l 交x 轴于点A ，△OAB (O 是原点)是以A 为顶点的等腰三角形，则切线l 的倾斜角为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°[答案] C[解析] 解法一：设B (x 0，x 30)，则k OB ＝tan ∠AOB ＝x 20，∵AB ＝AO ，∴∠BAx ＝2∠BOA ，曲线y ＝x 3在B 处切线斜率k AB ＝3x 20＝tan ∠BAx ＝tan2∠BOA ＝2x 201－x 40，∴x 20＝33，∴k AB ＝3，∴切线l 倾斜角为60°. 解法二：设B (x 0，x 30)，由于y ′＝3x 2，故曲线l 的方程为y －x 30＝3x 20(x －x 0)，令y ＝0得点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 03，0，由|OA |＝|AB |得⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 032＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－2x 032＋(x 30－0)2，当x 0＝0时，题目中的三角形不存在，故得x 40＝13，故x 20＝33，直线l 的斜率k ＝3x 20＝3，故直线l 的倾斜角为60°. 4．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的导数为f ′(x )，f ′(0)>0，对于任意实数x ，都有f (x )≥0，则f (1)f ′(0)的最小值为( )A ．3 B.52 C ．2 D.32[答案] C[解析] f ′(x )＝2ax ＋b ，由条件f ′(0)>0得b >0，又对任意x ∈R 都有f (x )≥0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a >0b 2－4ac ≤0，∴b ≤2ac .∴f (1)f ′(0)＝a ＋b ＋c b ＝a ＋c b ＋1≥2acb ＋1≥2等号在 ⎩⎨⎧b ＝2aca ＝c，即b ＝2a ＝2c 时成立．∴f (1)f ′(0)的最小值为2. 5．设函数f (x )＝cos(3x ＋φ)(0<φ<π)，若f (x )＋f ′(x )为奇函数，则φ＝________.[答案]π6[解析] f ′(x )＝－3sin(3x ＋φ)， 由条件知cos(3x ＋φ)－3sin(3x ＋φ)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－3x －φ＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋φ－π6为奇函数，且0<φ<π，∴φ＝π6.6．已知函数g (x )＝x 3＋x 2－x (x >0)，h (x )＝e x －x ，p (x )＝cos2x,0<x <π的导函数g ′(x )，h ′(x )，p ′(x )的零点依次为x 1，x 2，x 3，则将x 1，x 2，x 3按从小到大用“<”连接起来为________．[答案] x 2<x 1<x 3[解析] 由g ′(x )＝3x 2＋2x －1＝0得x ＝－1或x ＝13，∵x >0，∴x ＝13； 由h ′(x )＝e x －1＝0得，x ＝0；由p ′(x )＝－2sin2x ＝0得，2x ＝k π，k ∈Z ，∴x ＝k π2(k ∈Z)，∵0<x <π，∴x ＝π2，∴x 1＝13，x 2＝0，x 3＝π2，故有x 2<x 1<x 3.7．(2011·宁波市期末)对正整数n ，设曲线y ＝x n (1－x )在x ＝2处的切线与y 轴交点的纵坐标为a n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n ＋1的前n 项和是________．[答案] 2n ＋1－2[解析] ∵y ＝x n (1－x )，∴y ′＝(x n )′(1－x )＋(1－x )′·x n ＝n ·x n －1(1－x )－x n .f ′(2)＝－n ·2n －1－2n ＝(－n －2)·2n －1. 在点x ＝2处点的纵坐标为y ＝－2n . ∴切线方程为y ＋2n ＝(－n －2)·2n －1(x －2)． 令x ＝0得，y ＝(n ＋1)·2n ， ∴a n ＝(n ＋1)·2n ，∴数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n n ＋1的前n 项和为2(2n －1)2－1＝2n ＋1－2.8．已知定义在正实数集上的函数f (x )＝12x 2＋2ax ，g (x )＝3a 2ln x＋b ，其中a >0.设两曲线y ＝f (x )，y ＝g (x )有公共点，且在该点处的切线相同．(1)用a 表示b ，并求b 的最大值；(2)求证：f (x )≥g (x ) (x >0)．[解析] (1)设y ＝f (x )与y ＝g (x )(x >0)的公共点为(x 0，y 0)，∴x 0>0. ∵f ′(x )＝x ＋2a ，g ′(x )＝3a 2x ，由题意f (x 0)＝g (x 0)，且f ′(x 0)＝g ′(x 0)． ∴⎩⎪⎨⎪⎧12x 20＋2ax 0＝3a 2ln x 0＋b x 0＋2a ＝3a 2x 0，由x 0＋2a ＝3a 2x 0得x 0＝a 或x 0＝－3a (舍去)．则有b ＝12a 2＋2a 2－3a 2ln a ＝52a 2－3a 2ln a .令h (a )＝52a 2－3a 2ln a (a >0)，则h ′(a )＝2a (1－3ln a )． 由h ′(a )>0得，0<a <e13， 由h ′(a )<0得，a >e13.故h (a )在(0，e13)为增函数，在(e13，＋∞)上为减函数， ∴h (a )在a ＝e13时取最大值h (e13)＝32e23.(2)设F (x )＝f (x )－g (x )＝12x 2＋2ax －3a 2ln x －b (x >0)，则f ′(x )＝x ＋2a －3a 2x ＝(x －a )(x ＋3a )x(x >0)．故F(x)在(0，a)为减函数，在(a，＋∞)为增函数，于是函数F(x)在(0，＋∞)上的最小值是F(a)＝F(x0)＝f(x0)－g(x0)＝0.故当x>0时，有f(x)－g(x)≥0，即当x>0时，f(x)≥g(x)．。
2013走向高考,贾凤山,高中总复习,数学2-2
1.(2011·辽宁文，11)函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x ∈R，f′(x)>2，则f(x)>2x＋4的解集为()A．(－1,1)B．(－1，＋∞)C．(－∞，－1) D．(－∞，＋∞)[答案] B[解析]由题意，令φ(x)＝f(x)－2x－4，则φ′(x)＝f′(x)－2>0.∴φ(x)在R上是增函数．又φ(－1)＝f(－1)－2×(－1)－4＝0，∴当x>－1时，φ(x)>φ(－1)＝0，∴f(x)－2x－4>0，∴f(x)>2x＋4.故选B.2．(2010·宁夏石嘴山一模)函数y＝2x3－3x2－12x＋5在[0,3]上的最大值，最小值分别是()A．5，－15 B．5，－4C．－4，－15 D．5，－16[答案] A[解析]∵y′＝6x2－6x－12＝0，得x＝－1(舍去)或x＝2，故函数y＝f(x)＝2x3－3x2－12x＋5在[0,3]上的最值可能是x取0,2,3时的函数值，而f(0)＝5，f(2)＝－15，f(3)＝－4，故最大值为5，最小值为－15，故选A.3．(文)已知函数f(x)＝x3－px2－qx的图象与x轴切于(1,0)点，则f(x)的极大值、极小值分别为()A.427，0 B ．0，427C ．－ 427，0D ．0，－ 427[答案] A[解析] f ′(x )＝3x 2－2px －q 由f ′(1)＝0，f (1)＝0得⎩⎪⎨⎪⎧ 3－2p －q ＝01－p －q ＝0 解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝2q ＝－1，∴f (x )＝x 3－2x 2＋x 由f ′(x )＝3x 2－4x ＋1＝0得x ＝13或x ＝1易得当x ＝13时f (x )取极大值427当x ＝1时f (x )取极小值0.(理)设函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx 在x ＝±1处均有极值，且f (－1)＝－1，则a 、b 、c 的值为( )A ．a ＝－ 12，b ＝0，c ＝－32B ．a ＝12，b ＝0，c ＝－32C ．a ＝－12，b ＝0，c ＝32D ．a ＝12，b ＝0，c ＝32[答案] C[解析] f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，所以由题意得 ⎩⎪⎨⎪⎧f ′(1)＝0，f ′(－1)＝0.f (－1)＝－1，即⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋2b ＋c ＝0，3a －2b ＋c ＝0，－a ＋b －c ＝－1，解得a ＝－12，b ＝0，c ＝32.4．(文)函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图象如图所示，则函数f (x )在(a ，b )内的极大值点有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个[答案] B[解析] 由导函数的图象知，f (x )在(a ，b )内变化情况为增→减→增→减，故有两个极大值点．(理)(2010·胶州三中)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)，其导函数f ′(x )的部分图象如图所示，则函数f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫12x ＋π4B ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π4C ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋3π4D ．f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫12x ＋3π4 [答案] A[解析] f ′(x )＝Aωcos(ωx ＋φ)，由f ′(x )的图象知，Aω＝2，设周期为T ，则T 2＝3π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝2π，∴T ＝2πω＝4π，∴ω＝12，∴A ＝4，∵f ′(x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，∴2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12×π2＋φ＝0， ∴π4＋φ＝π2＋k π，k ∈Z ，即φ＝π4＋k π，k ∈Z ， ∵0<φ<π，∴φ＝π4.故选A.5．若函数f (x )＝x 3－12x 在区间(k －1，k ＋1)上不是单调函数，则实数k 的取值范围是( )A ．k ≤－3或－1≤k ≤1或k ≥3B ．－3<k <－1或1<k <3C ．－2<k <2D ．不存在这样的实数 [答案] B[解析] 因为y ′＝3x 2－12，由y ′>0得函数的增区间是(－∞，－2)和(2，＋∞)，由y ′<0，得函数的减区间是(－2，2)，由于函数在(k －1，k ＋1)上不是单调函数，所以有k －1<－2<k ＋1或k －1<2<k ＋1，解得－3<k <－1或1<k <3，故选B.[点评] 已知函数f (x )，由f ′(x )的符号可得到函数f (x )的单调区间，而f (x )在区间(k －1，k ＋1)上不单调，因此，k －1与k ＋1应分布在函数f (x )的两个单调区间内．请再练习下题：已知函数f (x )＝x 3－kx 在区间(－3，－1)上不单调，则实数k 的取值范围是________．[答案] 3<k <27[解析] f ′(x )＝3x 2－k .由3x 2－k >0，得x 2>k3，若k ≤0，则f (x )显然在(－3，－1)上单调递增，∴k >0，∴x >k3或x <－k 3. 由3x 2－k <0得－k 3<x <k 3， ∴f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－k 3上单调递增，在(－k 3，k3)上单调递减，在⎝⎛⎭⎪⎫k3，＋∞上单调递增， 由题设条件知－3<－k3<－1，∴3<k <27. 6．(2010·广东省东莞市)已知函数f (x )的导函数f ′(x )的图象如图所示，那么函数f (x )的图象最有可能的是( )[答案] A[解析] 由图可知，当x >0时，f ′(x )<0，∴函数f (x )的图象在(0，＋∞)上是单调递减的；当x <－2时，f ′(x )<0，∴函数f (x )的图象在(－∞，－2)上也是单调递减的，所以只有A 符合，故选A.7．(2011·福州模拟)已知f (x )＝2x 3－6x 2＋m (m 为常数)在[－2,2]上有最大值为3，那么此函数在[－2,2]上的最小值为________．[答案] －37[解析] f ′(x )＝6x 2－12x ，由f ′(x )＝0得x ＝0或x ＝2，当x <0或x >2时，f ′(x )>0，当0<x <2时，f ′(x )<0，∴f (x )在[－2,0]上单调增，在[0,2]上单调减， 由条件知f (0)＝m ＝3，∴f (2)＝－5，f (－2)＝－37， ∴最小值为－37.8．(2011·惠州三模)已知函数f (x )＝1－x ax ＋ln x ，若函数f (x )在[1，＋∞)上为增函数，则正实数a 的取值范围为________．[答案] [1，＋∞)[解析] ∵f (x )＝1－x ax ＋ln x ，∴f ′(x )＝ax －1ax 2(a >0)，∵函数f (x )在[1，＋∞)上为增函数，∴f ′(x )＝ax －1ax 2≥0对x ∈[1，＋∞)恒成立，∴ax －1≥0对x ∈[1，＋∞)恒成立，即a ≥1x 对x∈[1，＋∞)恒成立，∴a ≥1.1.若a >2，则函数f (x )＝13x 3－ax 2＋1在区间(0,2)上恰好有( )A ．0个零点B ．1个零点C ．2个零点D ．3个零点[答案] B[解析] f ′(x )＝x 2－2ax ＝x (x －2a )＝0⇒x 1＝0，x 2＝2a >4.易知f (x )在(0,2)上为减函数，且f (0)＝1>0，f (2)＝113－4a <0，由零点判定定理知，函数f (x )＝13x 3－ax 2＋1在区间(0,2)上恰好有一个零点．2．(2011·南开区质检)已知实数a ，b ，c ，d 成等比数列，且曲线y ＝3x －x 3的极大值点坐标为(b ，c )，则ad 等于( )A ．2B ．1C ．－1D ．－2[答案] A[解析] ∵a ，b ，c ，d 成等比数列，∴ad ＝bc ， 又(b ，c )为函数y ＝3x －x 3的极大值点， ∴c ＝3b －b 3，且0＝3－3b 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝1c ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－1c ＝－2，∴ad ＝2. 3．(2011·福建文，10)若a >0，b >0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值等于( )A ．2B ．3C ．6D ．9[答案] D[解析] f ′(x )＝12x 2－2ax －2b ＝0的一根为x ＝1，即12－2a －2b ＝0.∴a ＋b ＝6，∴ab ≤(a ＋b 2)2＝9，当且仅当a ＝b ＝3时“＝”号成立．4．(文)(2011·陕西咸阳模拟)已知函数f (x )＝ax 2－1的图象在点A (1，f (1))处的切线l 与直线8x －y ＋2＝0平行，若数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1f (n )的前n 项和为S n ，则S 2010的值为( )A.20102011B.10052011 C.40204021 D.20104021[答案] D[解析] ∵f ′(x )＝2ax ，∴f (x )在点A 处的切线斜率为f ′(1)＝2a ，由条件知2a ＝8，∴a ＝4，∴f (x )＝4x 2－1，∴1f (n )＝14n 2－1＝12n －1·12n ＋1 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1 ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1f (n )的前n 项和S n ＝1f (1)＋1f (2)＋…＋1f (n )＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝n2n ＋1，∴S 2010＝20104021. (理)f (x )是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf ′(x )＋f(x)≤0.对任意正数a、b，若a<b，则必有() A．af(b)≤bf(a) B．bf(a)≤af(b) C．af(a)≤f(b) D．bf(b)≤f(a)[答案] A[解析]∵xf′(x)＋f(x)≤0，又f(x)≥0，∴xf′(x)≤－f(x)≤0.设y＝f(x)x，则y′＝x·f′(x)－f(x)x2≤0，故y＝f(x)x为减函数或为常数函数．又a<b，∴f(a)a≥f(b)b，∵a、b>0，∴a·f(b)≤b·f(a)．[点评]观察条件式xf′(x)＋f(x)≤0的特点，可见不等式左边是函数y＝xf(x)的导函数，故可构造函数y＝xf(x)或y＝f(x)x通过取导数利用条件式来得到函数的单调性推得结论，请再练习下题：已知a，b是实数，且e<a<b，其中e是自然对数的底数，则a b 与b a的大小关系是()A．a b>b aB．a b<b aC．a b＝b aD．a b与b a的大小关系不确定[答案] A[解析]令f(x)＝ln xx，则f′(x)＝1－ln xx2.当x>e时，f′(x)<0，∴f(x)在(e，＋∞)上单调递减．∵e <a <b ，∴f (a )>f (b )，即ln a a >ln bb ， ∴b ln a >a ln b ，∴ln a b >ln b a ，∴a b >b a .5．(文)设P 为曲线C ：y ＝x 2－x ＋1上一点，曲线C 在点P 处的切线的斜率的范围是[－1,3]，则点P 纵坐标的取值范围是________．[答案] ⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，3[解析] 设P (a ，a 2－a ＋1)，y ′|x ＝a ＝2a －1∈[－1,3]，∴0≤a ≤2.∴a 2－a ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋34，当a ＝12时，取最小值34，当a ＝2时，取最大值3，故P 点纵坐标范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，3. (理)(2011·苏北四市调研)已知函数f (x )＝mx 3＋nx 2的图象在点(－1,2)处的切线恰好与直线3x ＋y ＝0平行，若f (x )在区间[t ，t ＋1]上单调递减，则实数t 的取值范围是________．[答案] [－2，－1][解析] 由题意知，点(－1,2)在函数f (x )的图象上，故－m ＋n ＝2 ①又f ′(x )＝3mx 2＋2nx ，由条件知f ′(－1)＝－3，故3m －2n ＝－3 ② 联立①②解得：m ＝1，n ＝3，即f (x )＝x 3＋3x 2， 令f ′(x )＝3x 2＋6x ≤0，解得－2≤x ≤0， 则[t ，t ＋1]⊆[－2,0]，故t ≥－2且t ＋1≤0， 所以t ∈[－2，－1]．[点评] f (x )在区间[t ，t ＋1]上单调递减，故[t ，t ＋1]是f (x )的减区间的子集．6．(2011·安庆质检)已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－4在x ＝2处取得极值，若m 、n ∈[－1,1]，则f (m )＋f ′(n )的最小值是________．[答案] －13[解析] 求导得f ′(x )＝－3x 2＋2ax ，由函数f (x )在x ＝2处取得极值知f ′(2)＝0，即－3×4＋2a ×2＝0，∴a ＝3.由此可得f (x )＝－x 3＋3x 2－4，f ′(x )＝－3x 2＋6x ，易知f (x )在(－1,0)上单调递减，在(0,1)上单调递增，∴当m ∈[－1,1]时，f (m )min ＝f (0)＝－4.又∵f ′(x )＝－3x 2＋6x 的图象开口向下，且对称轴为x ＝1，∴当n ∈[－1,1]时，f ′(n )min ＝f ′(－1)＝－9.故f (m )＋f ′(n )的最小值为－13.7．(文)设函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，且与y ＝0在原点相切，若函数的极小值为－4.(1)求a 、b 、c 的值； (2)求函数的递减区间．[解析] (1)函数的图象经过(0,0)点，∴c ＝0. 又图象与x 轴相切于(0,0)点，y ′＝3x 2＋2ax ＋b ， ∴b ＝0，∴y ＝x 3＋ax 2，y ′＝3x 2＋2ax . ∵当x ＝－23a 时，函数有极小值－4.∴⎝⎛⎭⎪⎫－2a 33＋a ⎝⎛⎭⎪⎫－2a 32＝－4，得a ＝－3. (2)y ′＝3x 2－6x <0，解得0<x <2.∴递减区间是(0,2)． (理)设函数f (x )＝x 3－3ax ＋b (a ≠0)．(1)若曲线y ＝f (x )在点(2，f (x ))处与直线y ＝8相切，求a ，b 的值； (2)求函数f (x )的单调区间与极值点． [解析] (1)f ′(x )＝3x 2－3a .因为曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处与直线y ＝8相切，所以⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(2)＝0，f (2)＝8.即⎩⎪⎨⎪⎧12－3a ＝0，8－6a ＋b ＝8.解得a ＝4，b ＝24.(2)f ′(x )＝3(x 2－a )(a ≠0)．当a <0时，f ′(x )>0，函数f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增；此时函数f (x )没有极值点．当a >0时，由f ′(x )＝0得x ＝±a .当x ∈(－∞，－a )时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增； 当x ∈(－a ，a )时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减； 当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增．∴f (x )的单调增区间为(－∞，－a )和(a ，＋∞)，单调减区间为(－a ，a )．故x ＝－a 是f (x )的极大值点，x ＝a 是f (x )的极小值点． 8．(文)(2011·天津文，19)已知函数f (x )＝4x 3＋3tx 2－6t 2x ＋t －1，x ∈R ，其中t ∈R.(1)当t ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程． (2)当t ≠0，求f (x )的单调区间．(3)证明：对任意t ∈(0，＋∞)，f (x )在区间(0,1)内均存在零点． [解析] (1)当t ＝1时，f (x )＝4x 3＋3x 2－6x ，f (0)＝0，f ′(x )＝12x 2＋6x －6，f ′(0)＝－6，所以曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝－6x .(2)解：f ′(x )＝12x 2＋6tx －6t 2，令f ′(x )＝0，解得x ＝－t 或x ＝t2，因为t ≠0，以下分两种情况讨论： ①若t <0，则t2<－t ，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以，f (x )的单调递增区间是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，t 2，(－t ，＋∞)；f (x )的单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2，－t . ②若t >0，则－t <t2，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以，f (x )的单调递增区间是(－∞，－t )，⎝ ⎛⎭⎪t 2，＋∞：f (x )的单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－t ，t 2， (3)证明：由(2)可知，当t >0时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，t 2内单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2，＋∞内单调递增，以下分两种情况讨论：①当t2≥1，即t ≥2时，f (x )在(0,1)内单调递减，在(1，＋∞)内单调递增．f (0)＝t －1>0，f (1)＝－6t 2＋4t ＋3≤－6×4＋4×2＋3<0.所以对任意t ∈[2，＋∞)，f (x )在区间(0,1)内均存在零点．②当0<t2<1，即0<t <2时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，t 2内单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2，1内单调递增，若t ∈(0,1]，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2＝－74t 3＋t －1≤－74t 3<0，f (1)＝－6t 2＋4t ＋3≥－6t ＋4t ＋3＝－2t ＋3>0，所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2，1内存在零点．若t ∈(1,2)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2＝－74t 3＋(t －1)<－74t 3＋1<0，f (0)＝t －1>0，所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，t 2内存在零点．所以，对任意t ∈(0,2)，f (x )在区间(0,1)内均存在零点， 综上，对任意t ∈(0，＋∞)，f (x )在区间(0,1)内均存在零点． (理)(2011·辽宁文，20)设函数f (x )＝x ＋ax 2＋b ln x ，曲线y ＝f (x )过P (1,0)，且在P 点处的切线斜率为2.(1)求a ，b 的值； (2)证明：f (x )≤2x －2. [解析] (1)f ′(x )＝1＋2ax ＋bx .由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)＝0，f ′(1)＝2.即⎩⎪⎨⎪⎧1＋a ＝0，1＋2a ＋b ＝2.解得a ＝－1，b ＝3.(2)f (x )的定义域为(0，＋∞)， 由(1)知f (x )＝x －x 2＋3ln x .设g (x )＝f (x )－(2x －2)＝2－x －x 2＋3ln x ，则 g ′(x )＝－1－2x ＋3x ＝－(x －1)(2x ＋3)x . 当0<x <1时，g ′(x )>0；当x >1时，g ′(x )<0. 所以g (x )在(0,1)单调递增，在(1，＋∞)单调递减． 而g (1)＝0，故当x >0时，g (x )≤0，即f (x )≤2x －2.1．设函数f (x )是R 上以5为周期的可导偶函数，则曲线y ＝f (x )在x ＝5处的切线的斜率为( )A ．－ 15B ．0 C.15 D ．5[答案] B[解析] ∵f (x )为可导偶函数．∴f (x )在x ＝0两边的导数符号相反，且在x ＝0处连续．∴f ′(0)＝0，又∵f (x )的周期为5. ∴f ′(x )的周期也为5.∴f ′(5)＝0， 即f (x )在x ＝5处的切线斜率为0.2.(2010·四川双流县质检)已知函数f (x )的定义域为R ，f ′(x )为其导函数，函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，且f (－2)＝1，f (3)＝1，则不等式f (x 2－6)>1的解集为( )A．(2,3)∪(－3，－2) B．(－2，2)C．(2,3) D．(－∞，－2)∪(2，＋∞) [答案] A[解析]由f′(x)图象知，f(x)在(－∞，0]上单调递增，在[0，＋∞)上单调递减，∴由条件可知f(x2－6)>1可化为0≤x2－6<3或0≥x2－6>－2，∴2<x<3或－3<x<－2.3．(2010·安徽合肥质检)已知R上可导函数f(x)的图象如图所示，则不等式(x2－2x－3)f′(x)>0的解集为()A．(－∞，－2)∪(1，＋∞)B．(－∞，－2)∪(1,2)C．(－∞，－1)∪(－1,0)∪(2，＋∞)D．(－∞，－1)∪(－1,1)∪(3，＋∞)[答案] D[解析] 不等式(x 2－2x －3)f ′(x )>0化为⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－2x －3>0f ′(x )>0(1)或⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －3<0f ′(x )<0(2) ∵f (x )在(－∞，－1)和(1，＋∞)上单调增，在(－1,1)上单调减， ∴f ′(x )>0的解集为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，f ′(x )<0解集为(－1,1)，由x 2－2x －3>0得，x <－1或x >3， 由x 2－2x －3<0得，－1<x <3.∴由(1)得⎩⎪⎨⎪⎧x <－1或x >3x <－1或x >1，∴x <－1或x >3；由(2)得⎩⎪⎨⎪⎧－1<x <3－1<x <1，∴－1<x <1.综上可知，x ∈(－∞，－1)∪(－1,1)∪(3，＋∞)．4．(2011·浙江文，10)设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R)，若x ＝－1为函数f (x )e x 的一个极值点，则下列图象不可能为y ＝f (x )的图象是( )[答案] D[解析] 设g (x )＝f (x )e x ，则g (x )＝(ax 2＋bx ＋c )e x ，∴g ′(x )＝e x [ax 2＋(b ＋2a )x ＋b ＋c ]，由已知g ′(－1)＝0，∴a －b －2a ＋b ＋c ＝0，∴a ＝c .∴f (x )＝ax 2＋bx ＋c 可化为f (x )＝ax 2＋bx ＋a ， ∴f (x )＝0若有根时，两根之积为1.而D 中两根x 1<－1，x 2<－1，x 1x 2>1.所以D 图一定不成立．故选D.5．已知函数f (x )＝ln x ＋ax 的图象在x ＝1处的切线与直线2x －y －1＝0垂直，则a ＝________.[答案] －32[解析] ∵f ′(x )＝1x ＋a ，∴f ′(1)＝1＋a ，由条件知，1＋a ＝－12，∴a ＝－32. 6．已知y ＝f (x )是奇函数，当x ∈(0,2)时，f (x )＝ln x －ax (a >12)，当x ∈(－2,0)时，f (x )的最小值为1，则a 的值为________．[答案] 1[解析] 因为f (x )是奇函数，所以f (x )在(0,2)上的最大值为－1，当x ∈(0,2)时，f ′(x )＝1x －a ，令f ′(x )＝0得x ＝1a ，又a >12，所以0<1a <2.令f ′(x )>0得x <1a ，∴f (x )在(0，1a )上单调递增；令f ′(x )<0得x >1a ，∴f (x )在(1a ，2)上单调递减；所以当x ∈(0,2)时，f (x )max ＝f (1a )＝ln 1a －a ·1a ＝－1，所以ln 1a ＝0，所以a ＝1.7．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋bx ＋c 在(－∞，0)上是减函数，在(0,1)上是增函数，函数f (x )在R 上有三个零点，且1是其中一个零点．(1)b 的值为________； (2)f (2)的取值范围是________．[答案] (1)0 (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，＋∞ [解析] (1)∵f (x )＝－x 3＋ax 2＋bx ＋c ， ∴f ′(x )＝－3x 2＋2ax ＋b .∵f (x )在(－∞，0)上是减函数，在(0,1)上是增函数， ∴当x ＝0时，f (x )取到极小值，即f ′(0)＝0， ∴b ＝0.(2)由(1)知，f (x )＝－x 3＋ax 2＋c ，∵1是函数f (x )的一个零点，即f (1)＝0，∴c ＝1－a . ∵f ′(x )＝－3x 2＋2ax ＝0的两个根分别为x 1＝0，x 2＝2a3.又∵f (x )在(－∞，0)上是减函数，在(0,1)上是增函数，且函数f (x )在R 上有三个零点，∴2a 3应是f (x )的一个极大值点，因此应有x 2＝2a3>1， 即a >32.∴f (2)＝－8＋4a ＋(1－a )＝3a －7>－52.故f (2)的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，＋∞. 8．(2011·安徽理，16)设f (x )＝e x1＋ax 2，其中a 为正实数．(1)当a ＝43时，求f (x )的极值点；(2)若f (x )为R 上的单调函数，求a 的取值范围．[解析] 对f (x )求导得f ′(x )＝e x1＋ax 2－2ax (1＋ax 2)2. ①(1)当a ＝43时，若f ′(x )＝0，则4x 2－8x ＋3＝0，解得x 1＝32，x 2＝12.结合①，可知 所以，x 1＝32是极小值点，x 2＝12是极大值点．(2)若f (x )为R 上的单调函数，则f ′(x )在R 上不变号，结合①与条件a >0，知ax 2－2ax ＋1≥0在R 上恒成立，由此Δ＝4a 2－4a ＝4a (a －1)≤0，因为a >0，所以0<a ≤1.。
2013走向高考,贾凤山,高中总复习,数学1-9
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第九节
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100 20 P(12)＝ ≈1.19，Q(13)＝ ≈1.18. 84 17 即 F(12)>F(13)． 所以用 13 名工人制作课桌， 名工人制作椅子完成 17 任务最快.
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二次函数模型
[例 4] 某市现有从事第二产业人员 100 万人，平均
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解析：由题意知，f(3)＝ln3－1>0，f(4)＝ln4－2<0， 所以该函数在区间(3,4)内有零点，所以 k＝3.
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答案：3
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(理)已知三个函数 f(x)＝2x＋x，g(x)＝x－2，h(x)＝ log2x＋x 的零点依次为 a，b，c，则( A．a<b<c C．b<a<c B．a<c<b D．c<a<b )
h(x)的零点 c
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答案：B
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二分法
[例 2] 下图是函数 f(x)的图象， 它与 x 轴有 4 个不同 的公共点． 给出下列 4 个区间， 不能用二分法求出函数 f(x) 的零点的区间是( )
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A．[－2.1，－1] C．[4.1,5]
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2013走向高考,贾凤山,高中总复习,数学12-2
1.(2011·北京海淀期中)在极坐标系下，已知圆C 的方程为ρ＝2cos θ，则下列各点中，在圆C 上的是( )A ．(1，－π3)B ．(1，π6)C ．(2，3π4) D ．(2，5π4) [答案] A[解析] 将备选答案代入圆C 的方程，因为2cos(－π3)＝2×12＝1，所以A 成立．2．(2011·上海奉贤区摸底)已知点P (3，m )在以点F 为焦点的抛物线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t 2y ＝4t (t 为参数)上，则|PF |＝( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 [答案] D[解析] 将抛物线的参数方程化为普通方程为y 2＝4x ，则焦点F (1,0)，准线方程为x ＝－1，又P (3，m )在抛物线上，由抛物线的定义知|PF |＝3－(－1)＝4.3．(文)(2010·北京理，5)极坐标方程(ρ－1)(θ－π)＝0(ρ≥0)表示的图形是( )A ．两个圆B ．两条直线C ．一个圆和一条射线D ．一条直线和一条射线[答案] C[解析] 原方程等价于ρ＝1或θ＝π，前者是半径为1的圆，后者是一条射线．(理)(2010·湖南文，4)极坐标方程ρ＝cos θ和参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－ty ＝2＋t (t 为参数)所表示的图形分别是( )A ．直线、直线B ．直线、圆C ．圆、圆D ．圆、直线[答案] D[解析] 由ρ＝cos θ得ρ2＝ρcos θ，∴x 2＋y 2－x ＝0.此方程所表示的图形是圆．消去方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－ty ＝2＋t 中的参数t 可得，x ＋y －1＝0，此方程所表示的图形是直线．4．(2011·衡阳市联考)在极坐标系中，曲线ρcos θ＋ρsin θ＝2(0≤θ<2π)与θ＝π4的交点的极坐标为( )A ．(1,1)B ．(1，π4)C ．(2，π4)D ．(－2，π4)[答案] C[解析] 将θ＝π4代入到ρcos θ＋ρsin θ＝2中得交点(2，π4)．[点评] 本题也可以先化为直角坐标方程求解，但求出交点后还需要再化为极坐标，不如直接求解简便．5．(文)(2011·湖南十二校联考)若直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋3ty ＝2－3t (t 为参数)，则直线的倾斜角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150° [答案] D[解析] 由直线的参数方程知，斜率k ＝y －2x －1＝－3t 3t ＝－33＝tan θ，θ为直线的倾斜角，所以该直线的倾斜角为150°.(理)直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t sin50°－1y ＝－t cos50°(t 为参数)，则直线的倾斜角为( )A ．40°B ．50°C ．140°D ．130° [答案] C[解析] 将直线的参数方程变形得，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－t cos140°y ＝－t sin140°，∴倾斜角为140°.6．(文)(2011·皖中地区示范高中联考)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t y ＝t ＋1(t ∈R)，圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ＋1y ＝sin θ(θ∈[0,2π))，则圆心C 到直线l 的距离为( )A ．0B ．2 C. 2 D.22[答案] C[解析] 化直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＝t ＋1(t ∈R)为普通方程为x －y ＋1＝0，化圆的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ＋1y ＝sin θ(θ∈[0,2π))为普通方程为(x －1)2＋y 2＝1，则圆心C (1,0)到直线l 的距离为|1－0＋1|12＋(－1)2＝ 2.(理)(2011·北京市西城区高三模拟)在极坐标系中，过点(1,0)并且与极轴垂直的直线方程是( )A ．ρ＝cos θB ．ρ＝sin θC ．ρcos θ＝1D ．ρsin θ＝1[答案] C[解析] 过点(1,0)且与极轴垂直的直线，在直角坐标系中的方程为x ＝1，所以其极坐标方程为ρcos θ＝1，故选C.7．(2011·西安质检)若直线l 1：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1－2t y ＝2＋kt (t 为参数)与直线l 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sy ＝1－2s(s 为参数)垂直，则k ＝______.[答案] －1[解析] l 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2ty ＝2＋kt(t 为参数)化为普通方程为y －2＝－k2(x －1)，l 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝s y ＝1－2s(s 为参数)化为普通方程为y －1＝－2x ，∵l 1⊥l 2，∴－k 2·(－2)＝－1，k ＝－1.8．(2010·广东文)在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ＜2π)中，曲线ρ(cos θ＋sin θ)＝1与ρ(sin θ－cos θ)＝1的交点的极坐标为__________．[答案] (1，π2)[解析] 曲线ρ(cos θ＋sin θ)＝1化为直角坐标方程为x ＋y ＝1，ρ(sin θ－cos θ)＝1化为直角坐标方程为y －x ＝1.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1y －x ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝1，则交点为(0,1)，对应的极坐标为(1，π2)．[点评] 可直接由两方程联立解出交点坐标，由⎩⎪⎨⎪⎧ρcos θ＋ρsin θ＝1ρsin θ－ρcos θ＝1得，⎩⎪⎨⎪⎧ρcos θ＝0ρsin θ＝1， ∵ρ≠0，∴cos θ＝0，∴θ＝π2＋k π (k ∈Z)，∴sin θ＝±1，∵ρ>0，∴sin θ＝1， ∴θ＝π2＋2n π(n ∈Z)，ρ＝1，令n ＝0得，交点的一个极坐标为(1，π2).1.(2011·广东理，14)已知两曲线参数方程分别为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos θy ＝sin θ(0≤θ<π)和⎩⎨⎧x ＝54t 2y ＝t(t ∈R)，它们的交点坐标为________．[答案] ⎝⎛⎭⎪⎫1，255[解析] ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos θy ＝sin θ(0≤θ≤π) 化为普通方程为x 25＋y 2＝1(0≤y ≤1)，而⎩⎨⎧x ＝54t 2y ＝t化为普通方程为x ＝54y 2，由⎩⎪⎨⎪⎧ x 25＋y 2＝1(0≤y ≤1)x ＝54y2得⎩⎨⎧x ＝1y ＝255，即交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，255. 2．(2010·湖南师大附中)已知曲线C 1，C 2的极坐标方程分别为ρcos θ＝3，ρ＝4cos θ(ρ≥0,0≤θ<π2)，则曲线C 1与C 2交点的极坐标为________．[答案] ⎝⎛⎭⎪⎫23，π6 [解析] 化为直角坐标方程为x ＝3和x 2＋y 2＝4x (y ≥0)，故交点为(3，3)，其极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，π6. [点评] 可直接解⎩⎪⎨⎪⎧ρcos θ＝3ρ＝4cos θ，得⎩⎨⎧ρ＝23θ＝π6.3．(文)极坐标系中，点A 在曲线ρ＝2sin θ上，点B 在曲线ρcos θ＝－2上，则|AB |的最小值为________．[答案] 1[解析] ρ＝2sin θ⇒ρ2＝2ρsin θ ∴x 2＋y 2－2y ＝0，即x 2＋(y －1)2＝1； ∵ρcos θ＝－2，∴x ＝－2，易知圆心(0,1)到直线x ＝－2的距离为2，圆半径为1，故|AB |min ＝1.(理)(2011·陕西文，15)在直角坐标系xOy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A ，B 分别在曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋cos θy ＝sin θ(θ为参数)和曲线C 2：ρ＝1上，则|AB |的最小值为________．[答案] 1[解析] 曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋cos θy ＝sin θ表示圆心在(3,0)，半径为1的圆，而C 2：ρ＝1表示圆心(0,0)，半径为1的圆，所以|AB |的最小值为1.4．(2011·安徽皖南八校联考)已知直线l 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝1＋12ty ＝32t(t为参数)，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ＋4sin θ，则直线l 被圆C 所截得的弦长等于________．[答案] 4[解析] 依题意得，直线l 的普通方程是y ＝3(x －1)，即3x －y －3＝0；圆C 的直角坐标方程是x 2＋y 2＝2x ＋4y ，即(x －1)2＋(y －2)2＝5.圆心C (1,2)到直线l 的距离d ＝|3×1－2－3|3＋1＝1，因此直线l 被圆C 所截得的弦长等于2(5)2－12＝4.[点评] ∵(12)2＋(32)2＝1，∴可只将⊙C 方程化为普通方程x 2＋y 2－2x－4y ＝0，将⎩⎨⎧x ＝1＋12ty ＝32t代入得t 2－23t －1＝0，∴t 1＋t 2＝23，t 1t 2＝－1， ∴|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝4， ∴直线l 被⊙C 所截弦长为4.5．(2011·深圳调研)在极坐标系中，设P 是直线l ：ρ(cos θ＋sin θ)＝4上任一点，Q 是圆C ：ρ2＝4ρcos θ－3上任一点，则|PQ |的最小值是________．[答案]2－1[解析] 直线l 方程化为x ＋y －4＝0， ⊙C 方程化为x 2＋y 2－4x ＋3＝0， 即(x －2)2＋y 2＝1.圆心C (2,0)到直线l 的距离d ＝|2＋0－4|2＝2，∴|PQ |min ＝2－1.6．(2011·天津理，11)已知抛物线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8t 2，y ＝8t ，(t 为参数)，若斜率为1的直线经过抛物线C 的焦点，且与圆(x －4)2＋y 2＝r 2(r >0)相切，则r ＝________.[答案] 2[解析] 根据抛物线C 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8t2y ＝8t，得出y 2＝8x ，得出抛物线焦点坐标为(2,0)，所以直线方程：y ＝x －2，利用圆心到直线距离等于半径，得出r ＝22＝ 2. 7．(文)(2010·吉林省调研)已知曲线C 1：ρ＝2sin θ，曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－35t ＋2y ＝45t(t 为参数)．(1)化C 1为直角坐标方程，化C 2为普通方程；(2)若M 为曲线C 2与x 轴的交点，N 为曲线C 1上一动点，求|MN |的最大值．[解析] (1)曲线C 1的方程化为ρ2＝2ρsin θ 又x 2＋y 2＝ρ2，x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ所以曲线C 1的直角坐标方程x 2＋y 2－2y ＝0， 因为曲线C 2的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－35t ＋2y ＝45t ，消去参数t 得曲线C 2的普通方程4x ＋3y －8＝0.(2)在曲线C 2的方程中，令y ＝0得x ＝2， 即M 点的坐标为(2,0)，又曲线C 1为圆，其圆心坐标为C 1(0,1)，半径r ＝1， 则|MC 1|＝5，∴|MN |≤|MC 1|＋r ＝5＋1，|MN |的最大值为5＋1.(理)(2010·南京调研)已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4－2ty ＝t －2(t 为参数)，P是椭圆x 24＋y 2＝1上任意一点，求点P 到直线l 的距离的最大值．[解析] 直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4－2ty ＝t －2(t 为参数)故直线l 的普通方程为x ＋2y ＝0因为P 为椭圆x 24＋y 2＝1上任意一点，故可设P (2cos θ，sin θ)其中θ∈R.因此点P 到直线l 的距离是d ＝|2cos θ＋2sin θ|12＋22＝22|sin (θ＋π4)|5 所以当θ＝k π＋π4，k ∈Z 时，d 取得最大值2105.8．(2010·哈师大附中)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋45ty ＝－1－35t(t 为参数)，若以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos(θ＋π4)，求直线l 被曲线C 所截的弦长．[解析]将方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋45t y ＝－1－35t(t 为参数)化为普通方程得，3x ＋4y ＋1＝0，将方程ρ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4化为普通方程得，x 2＋y 2－x ＋y ＝0，它表示圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，半径为22的圆，则圆心到直线的距离d ＝110，弦长为2r 2－d 2＝212－1100＝75.1．(2011·西安检测)已知直线l ：⎩⎨⎧x ＝1－22t y ＝1＋22t (t 为参数)与圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cos θy ＝1＋2sin θ(θ为参数)，它们的公共点个数为________个． [答案] 2[解析] 直线l 的普通方程为x ＋y －2＝0，⊙C 的圆心(1,1)，半径r ＝2，圆心C 在直线l 上，∴l 与⊙C 相交．2．(2011·咸阳模拟)若直线3x ＋4y ＋m ＝0与圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θy ＝－2＋sin θ(θ为参数)没有公共点，则实数m 的取值范围是________．[答案] (－∞，0)∪(10，＋∞)[解析] 由条件知，圆心C (1，－2)到直线3x ＋4y ＋m ＝0的距离大于圆的半径1，∴|3－8＋m |5>1，∴m <0或m >10.3．以椭圆x 225＋y 216＝1的焦点为焦点，以直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t y ＝4t为渐近线的双曲线的参数方程为________________．[答案] ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sec θy ＝22tan θ(θ≠k π＋π2)[解析] ∵椭圆的焦点(±3,0)，∴双曲线中c ＝3，又直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2ty ＝4t化为y ＝22x ，它是双曲线的渐近线，∴ba ＝22，∴a 2＝1，b 2＝8，∴a ＝1，b ＝22，∴双曲线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sec θy ＝22tan θ(θ≠k π＋π2)．4．(2010·宁夏诊断)以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且两个坐标坐标系取相等的单位长度．已知直线l 经过点P (1,1)，倾斜角α＝π6.(1)写出直线l 的参数方程；(2)设l 与圆ρ＝2相交于两点A 、B ，求点P 到A 、B 两点的距离之积．[解析] (1)直线的参数方程是⎩⎨⎧x ＝1＋32ty ＝1＋12t(t 是参数)(2)因为点A ，B 都在直线l 上，所以可设它们对应的参数为t 1和t 2，圆ρ＝2化为直角坐标系的方程x 2＋y 2＝4.将直线l 的参数方程代入圆的方程x 2＋y 2＝4整理得到t 2＋(3＋1)t －2＝0①因为t 1和t 2是方程①的解，从而t 1t 2＝－2， ∴|PA |·|PB |＝|t 1t 2|＝2.5.如图所示，OA 是圆C 的直径，且OA ＝2a ，射线OB 与圆交于Q 点，和经过A 点的切线交于B 点，作PQ ⊥OA ，PB ∥OA ，PQ 与PB 相交于P 点，试求点P 的轨迹方程．[解析] 设P (x ，y )，∠DOQ ＝θ，则－π2<θ<π2，∵PQ ⊥OA ，PB ∥OA .∴x ＝OQ cos θ＝OA cos 2θ＝2a cos 2θ，y ＝OA tan θ＝2a tan θ由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2a cos 2θy ＝2a tan θ消去θ得，y 2＝4a 2(2a x －1)． [点评]∵PD ⊥OA ，PB ∥OA ，∴只要求出B 点与Q 点坐标，就能得到P 点坐标．设直线OB ：y ＝kx .∵直线AB ：x ＝2a ，∴B (2a,2ak )由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx x 2＋y 2－2ax ＝0得Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 1＋k 2，2ak 1＋k 2.∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 1＋k 2，2ak 此即P 点的参数坐标．。
2013走向高考,贾凤山,高中总复习,数学2-2
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高考数学总复习
解析：y′＝sinx＋xcosx－sinx＝xcosx， π 当 x∈(－π，－ )时，y′＝xcosx>0，∴y 为增函数； 2 π 当 x∈(－ ，0)时，y′＝xcosx<0，∴y 为减函数； 2 π 当 x∈(0， )时，y′＝xcosx>0，∴y 为增函数； 2
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第2章
第二节
高考数学总复习
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第2章
第二节
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利用导数研究函数的单调性
[例 1] 函数 y＝xsinx＋cosx，x∈(－π，π)的单调增 区间是( )
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π π A．(－π，－ )和(0， ) 2 2 π π B．(－ ，0)和(0， ) 2 2 π π C．(－π，－ )和( ，π) 2 2 π π D．(－ ，0)和( ，π) 2 2
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第2章
第二节
高考数学总复习
(2011· 泉州二模)函数 f(x)＝x3－3x2＋2 在区间[－ 1,1]上的最大值是( A．－2 C．2 ) B．0 D．4
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第二节
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解析：对函数求导后可知f ′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)， 则f(x)在区间[－1,0]上递增，在[0,1]上递减，因此最大值是
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第2章
第二节
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4．求函数的极值、最值时，要严格按解题步骤规范 条理的写出解答过程， 养成列表的习惯， 含参数时注意分 类讨论， 已知单调性求参数的值域或取值范围时， 要注意 其中隐含 f ′(x)≥0(或 f ′(x)≤0)恒成立．还要注意 f(x) 在区间 A 上单调增(或减)与 f(x)的单调增(或减)区间是 A 的区别．
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第2章 导数及其应用
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●命题趋势 (1)求导数及切线方程． (2)用导数研究函数的单调性， 求函数的极值与最值． (3)已知函数的单调性或值域等讨论字母参数． (4)导数的综合应用． (5)(理)定积分与微积分基本定理的应用．
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第2章 导数及其应用
高考数学总复习
●备考指南 1．熟练掌握导数的定义及运算法则 主要包括理解导数的定义及几何意义，熟记求导公 式、导数的四则运算法则、复合函数求导法则，并能运 用上述公式与法则进行求导计算. 导数的几何意义是重 点必考内容，要熟练掌握求解曲线在某点或经过某点的 切线问题．
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第2章 导数及其应用
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第2章 导数及其应用
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●课程标准 1．导数概念及其几何意义 (1)通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡 到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道 瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵． (2)通过函数图象直观地理解导数的几何意义．
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第2章
第一节
高考数学总复习
误区警示 1．导数公式 (1)要注意公式的适用范围．如(xn)′＝nxn－1 中，n∈ N＋，若 n∈Q 且 n≠0，则应有 x>0. (2)注意公式不要用混， 如(a )′＝a lna， 而不是(a )′ ＝xa
x－1 x x x
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u u′ .还要特别注意(uv)′≠u′v′，v ′≠ . v′
解析：(1)∵A(2,4)在 y＝x2 上， 由 y＝x2 得 y′＝2x，∴y′|x＝2＝4. 因此所求直线的方程为 y－4＝4(x－2)， 即 4x－y－4＝0.
2013走向高考,贾凤山,高中总复习,化学1-12-3
方法
微热法
液差法
吹气法
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烧杯中有气泡产 生，停止微热冷 现象 却后导气管末端 说明 形成一段水柱， 且保持一段时间 不下降
一段时间后长颈 漏斗中的液面高 于试管中的液 面，且液面差不 改变
推动注射器之后 导管中出现一段 液柱，且液面差 不改变，拉动注 射器试管中产生 气泡
第12章
第三节
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第12章
第三节
高考化学总复习
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A．①⑤⑧ C．②⑤⑥
B．③④⑦ D．②④⑧
第12章 第三节
高考化学总复习
MnO2 解析： H2O2 制 O2 的反应原理为 2H2O2=====2H2O 用 ＋O2↑，由反应物的状态和反应条件可选②作为制取装 臵。干燥 O2 可选用④或⑤装臵，要收集干燥的 O2 只能 用⑥装臵，故合理的装臵组合为②⑤⑥或②④⑥。
b
c
d 浓 H2SO4 浓 H2SO4 固体
浓 H2SO4 NaOH 溶液 MnO2 NaOH 溶液
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NH3
溶液 稀 HNO3
消石灰
H2O
NaOH P2O5
NO
铜屑
H2O
第12章
第三节
高考化学总复习
(1)上述方法中可以得到干燥、 纯净的气体是______。 (2)指出不能用上述方法制取的气体，并说明理由。 (可以不填满) ①气体________，理由是________。 ②气体________，理由是________。 ③气体________，理由是________。 ④气体________，理由是________。
解析：根据干燥剂选择原则，干燥剂不能与被干燥 气体发生反应，因浓 H2SO4 具有氧化性及酸性，故不能 干燥还原性气体(H2S)及碱性气体(NH3)，SO3(g)被吸收为 发烟硫酸。
2013走向高考,贾凤山,高中总复习,数学12-3
(2011·江西文，15)对于x∈R，不等式|x＋10|－|x－
2|≥8的解集为________．
－12， x≤－10， 解析：令 y＝|x＋10|－|x－2|＝2x＋8，－10<x<2， 12， x≥2. 则可画出函数图象如图所示：
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第12章
第三节
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由图象可以观察出使 y≥8 的 x 的取值范围为[0，＋ ∞)． ∴|x＋10|－|x－2|≥8 的解集为[0，＋∞)．
第12章 第三节 人 教
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三、不等式的解法 (1)含绝对值不等式解法 ①|ax＋b|≤c(c>0)⇔－c≤ax＋b≤c， |ax＋b|≥c(c>0)⇔ax＋b≥c 或 ax＋b≤－c， ②|x－a|＋|x－b|≤c，|x－a|＋|x－b|≥c 型不等式解法．
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第12章
第三节
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第12章
第三节
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(2011·陕西长安五校一模)如果存在实数x使不等式|x ＋1|－|x－2|<k成立，则实数k的取值范围是________． 分析：存在x使f(x)<k成立，即不等式f(x)<k有解，只 要使k>f(x)的最小值．
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第12章 第三节 人 教
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解法二：在数轴上到点－1 和 2 距离的和为 4 的点 3 5 3 5 为－ ， ， 故使|x＋1|＋|x－2|≤4 的点 x 在－ 和 之间， 2 2 2 2 3 5 ∴－ ≤x≤ . 2 2
3 5 答案：[－ ， ] 2 2
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5 答案： 5
第12章 第二节
高考数学总复习
参数方程与普通方程的互化
[例 3]
x＝cosα， y＝1＋sinα
(2010· 陕西理，15)已知圆 C 的参数方程为 (α 为参数)，以原点为极点、x 轴正半轴为极
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轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 ρsinθ＝1，则直 线 l 与圆 C 的交点的直角坐标为____________． 分析：将参数方程化为普通方程，将极坐标方程化为 直角坐标方程，则不难求出直线与圆的交点．
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方程F(x，y)＝0，求得另一关系y＝φ(t)〔或x＝f(t)〕．
第12章
第二节
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第12章
第二节
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平面直角坐标系中的伸缩变换
1 x′＝ x 2 后，对应曲线 [例 1] 曲线 C 经过伸缩变换 y′＝3y 的方程为 x2＋y2＝1，则曲线 C 的方程为________．
第二节
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解析：将极坐标方程化为直角坐标方程，得圆的方程 为 x2＋y2＝2x，即(x－1)2＋y2＝1，直线方程为 3x＋4y＋a |3×1＋4×0＋a| ＝0，又圆与直线相切，所以 ＝1，解得 a 2 2 3 ＋4 ＝2 或 a＝－8.
答案：2 或－8
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第12章
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第12章 第二节 人 教
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(2)空间点 P 的直角坐标(x，y，z)与球坐标(r，φ，θ)之 x＝rsinφcosθ 间的变换关系为y＝rsinφsinθ z＝rcosφ
.
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二、参数方程 1．参数方程的概念 在平面直角坐标系中， 如果曲线上任意一点的坐标 x、 y 都是某个变数 t
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3．极坐标方程 θ＝θ1 表示一条射线并非直线，只有当 允许 ρ<0 时，θ＝θ1 才表示一条直线． 4．只有在 a ＋b ＝1
2 2
x＝x ＋at 0 时，直线 y＝y0＋bt
(t 为参数)
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中的参数 t 才表示由 M(x0，y0)指向 N(x，y)的有向线段的 数量，而在 a2＋b2≠1 时，MN＝ a2＋b2· t. 5．消参后应将原参数的取值范围相应地转化为变量 x(或 y)的取值范围．
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1．求曲线的极坐标方程 f(ρ，θ)＝0 的步骤与求曲线 的直角坐标方程步骤完全相同．特别注意的是求极坐标方 程时，常常要解一个三角形． 2．由点的直角坐标(x，y)化为极坐标(ρ，θ)时，直接 将 x、y 的值代入可求 ρ＝ x2＋y2，求极角 θ 时，先由(x， y y)所在象限得出 θ 所在象限，再由 tanθ＝ 确定角 θ 的值． x
(文)(2010·广东理)在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ<2π)中，曲 线ρ＝2sinθ与ρcosθ＝－1的交点的极坐标为________．
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解析：由 ρ＝2sinθ 与 ρcosθ＝－1 得 2sinθcosθ＝－1， ∴sin2θ＝－1，∵0≤θ<2π 且 sinθ>0，cosθ<0， 3π 3π ∴θ＝ ，∴ρ＝2sin ＝ 2. 4 4
x2＋y2＝1 的曲线
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x2 C 的方程为： ＋9y2＝1. 4
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x2 答案： ＋9y2＝1 4
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x′＝λx 点评：在坐标变换式 y′＝μy
中，点(x′，y′)是变
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换后点的坐标，应满足变换后的曲线方程 x2＋y2＝1(x，y) x2 是变换前点的坐标，应满足变换前曲线的方程 ＋9y2＝1. 4
x′＝λx 分析：在伸缩变换 y′＝μy
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下，点(x′，y′)是变换后
的点的坐标， y)是变换前的对应点的坐标， (x， 故点(x′， y′) 的坐标满足变换后的曲线方程 x2＋y2＝1.
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1 解析：由条件知点 x，3y在方程 2 1 2 上，∴ x ＋(3y)2＝1，即曲线 2
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4．圆锥曲线的参数方程 (1)椭圆的参数方程 x2 y2 中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆 2＋ 2＝ a b
x＝acosθ 1(a>b>0)的参数方程是 y＝bsinθ
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(θ 为参数，且
0≤θ<2π)．
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(2)双曲线的参数方程 x2 y2 中 心 在 原 点 ，坐 标 轴 为 对称 轴 的 双曲 线 2 － 2 ＝ a b
π Aa， (a>0)与极轴平行的直线 2
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ρsinθ＝a.
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4．柱坐标系 (1)如图，空间直角坐标系 O－xyz 中，设 P 是空间任意 一点，它在 Oxy 平面上的射影为 Q，用(ρ，θ)(ρ≥0,0≤θ<2π)
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来表示点 Q 在平面 Oxy 上的极坐标． 则点 P 的位置可用有序 A 数组(ρ，θ，z)(z∈R)表示．把建立了空间的点与有序数组(ρ， θ，z)之间的这种对应关系的坐标系叫做柱坐标系，有序数组 (ρ， θ ， z) 叫做 点 P 的柱 坐标， 记作 P(ρ， θ， z) ，其 中 ρ≥0,0≤θ<2π，－∞<z<＋∞.
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极坐标与直角坐标的互化
[例 2] (2011· 合肥一检)在极坐标系中，已知圆 ρ＝
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2cosθ 与直线 3ρcosθ＋4ρsinθ＋a＝0 相切，则实数 a＝ ________. 分析：可将极坐标方程化为直角坐标方程后，用 Δ ＝0 或 d＝r 求解．
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(t 为参数)． 特别当 a ＋b ＝1 时，设直线的倾斜角为 α，则直线的
x＝x ＋tcosα 0 参数方程为： y＝y0＋tsinα
2 2
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(t 为参数)，
这时，参数 t 的几何意义是以直线 l 上点 M(x0，y0)为起 → 点，任意一点 N(x，y)为终点的有向线段MN的数量 MN 且|t| ＝|MN|.
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选考部分
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第 二 节
坐标系与参数方程
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重点难点 重点：1.极坐标与直角坐标互化，直线与圆的极坐标 方程 2．直线、圆、圆锥曲线的参数方程． 难点：1.直线与圆的极坐标方程 2．参数方程中参数的几何意义．
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(2)空间点 P 的直角坐标(x，y，z)与柱坐标(ρ，θ，z) x＝ρcosθ 之间的变换公式为y＝ρsinθ z＝z
.
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5．球坐标系 (1)如图空间直角坐标系 O－xyz 中，设 P 是空间任意 一点，记|OP|＝r，OP 与 Oz 轴正向所夹的角为 φ，设 P 在 xOy 平面上的射影为 Q，Ox 轴按逆时针方向旋转到 OQ 时 所转过的最小正角为 θ， 则点 P 用有序数组(r， θ)表示． φ， 把 空间的点与有序数组(r，φ，θ)之间建立的这种对应关系的 坐标系叫做球坐标系或空间极坐标系，有序数组(r，φ，θ) 叫做点 P 的球坐标，记作 P(r，φ，θ)，其中 r≥0,0≤φ≤π， 0≤θ<2π.
第12章 第二节
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3．圆的参数方程 (1)圆心在原点、半径为 r 的圆的参数方程为
x＝rcosθ y＝rsinθ
(θ 为参数)；
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(2)圆心为 C(a，b)，半径为 r 的圆的参数方程为
x＝a＋rcosθ y＝b＋rsinθ
(θ 为参数)．
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曲线上的点的极坐标不一定满足曲线的极坐标方程， 但曲线上一点P的无数个极坐标中，必有一个适合曲线的
极坐标方程．
2．极坐标与直角坐标互化条件： (1)极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合；(2) 极轴与x轴的正半轴重合；(3)两种坐标系中取相同的长度 单位
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x＝asecθ 1(a>0，b>0)的参数方程为 y＝btanθ
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(θ 为参数)．
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(3)抛物线 数)．
x＝2pt2 2 y ＝2px(p>0)的参数方程 y＝2pt
(t 为参
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5．其它常见曲线的参数方程 (1)圆心在原点，半径为 r 的圆的渐开线的参数方程