2021年新高考数学重难点复习：平面向量“奔驰定理”

第 1 页 共 4 页 2021年新高考数学重难点复习：平面向量“奔驰定理” 定理：如图，已知P 为△ABC 内一点，则有S △PBC ·P A →＋S △P AC ·PB →＋S △P AB ·PC →

＝0

.

由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理”．这个定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，有着决定性的基石作用．

例 (1)已知点A ，B ，C ，P 在同一平面内， PQ →

＝13P A →，QR →＝13QB →

， RP →＝13

RC →，则S △ABC ∶S △PBC 等于( )

A ．14∶3

B ．19∶4

C ．24∶5

D ．29∶6

答案 B

解析 由QR →＝13QB →，得PR →－PQ →＝13

(PB →－PQ →)， 整理得PR →＝13PB →＋23PQ →＝13PB →＋29

P A →， 由RP →＝13RC →，得RP →＝13

(PC →－PR →)， 整理得PR →＝－12PC →，∴－12PC →＝13PB →＋29

P A →， 整理得4P A →＋6PB →＋9PC →＝0，

∴S △ABC ∶S △PBC ＝(4＋6＋9)∶4＝19∶4.

(2)已知点P ，Q 在△ABC 内，P A →＋2PB →＋3PC →＝2QA →＋3QB →＋5QC →＝0，则|P Q →

||A B →|等于( )

A.130

B.131

C.132

D.133

答案 A