2021年新高考数学重难点复习：平面向量“奔驰定理”
平面向量奔驰定理的内容及推导
平面向量奔驰定理的内容及推导《平面向量奔驰定理的奇妙世界》
嘿，大家知道吗？平面向量里有个超厉害的定理，叫奔驰定理！这名字是不是很有意思呀？就好像跟汽车还有点关系呢。
先来说说这个定理的内容吧。
简单来说，就是三角形内的一点与三角形三个顶点连线构成的三个向量，它们的和与三角形面积之间有着特别的关系。
哎呀，具体的数学表达式我就不详细写啦，不然你们该觉得头疼啦。
那这个定理是怎么来的呢？这可得好好琢磨琢磨。
就好像我有一次在家拼拼图，一开始我也是毫无头绪，不知道从哪儿下手，但是慢慢尝试、摸索，突然就找到了规律，一块一块就拼起来了。
推导奔驰定理也是这样，数学家们通过不断地思考、尝试，一点一点地找到了其中的奥秘，最后就得出了这么个厉害的定理。
其实呀，平面向量的世界真的很神奇，奔驰定理就是其中一颗闪亮的星星。
它让我们能更好地理解和处理平面向量的问题，就像一把神奇的钥匙，能打开很多难题的大门。
总之，平面向量奔驰定理那真的是相当重要和有趣呀，大家可得好好去研究研究哦！
以上作文仅供参考，你可以根据实际情况进行调整和修改。
高考数学二轮复习考点知识与题型专题讲解21---平面向量“奔驰定理”
高考数学二轮复习考点知识与题型专题讲解第21讲平面向量“奔驰定理”平面向量是高考的必考考点，它可以和函数、三角、数列、几何等知识相结合考查．平面向量的“奔驰定理”，对于解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，更加有效快捷，有着决定性的基石作用．考点一 平面向量“奔驰定理”定理：如图，已知P 为△ABC 内一点，则有S △PBC ·P A →＋S △P AC ·PB →＋S △P AB ·PC →＝0.例1 已知O 是△ABC 内部一点，满足OA →＋2OB →＋mOC →＝0，且S △AOB S △ABC ＝47，则实数m 等于( )A ．2B ．3C ．4D ．5 答案 C解析 由奔驰定理得S △BOC ·OA →＋S △AOC ·OB →＋S △AOB ·OC →＝0， 又OA →＋2OB →＋mOC →＝0，∴S △BOC ∶S △AOC ∶S △AOB ＝1∶2∶m . ∴S △AOB S △ABC ＝m 1＋2＋m ＝47， 解得m ＝4.易错提醒 利用平面向量“奔驰定理”解题时，要严格按照定理的格式，注意定理中的点P 为△ABC 内一点；定理中等式左边三个向量的系数不是三角形的面积，而是面积之比． 跟踪演练1 设点O 在△ABC 内部，且AO →＝13AB →＋14AC →，则S △OAB S △OBC＝________.解析 由AO →＝13AB →＋14AC →，得－12OA →＝4(OB →－OA →)＋3(OC →－OA →)， 整理得5OA →＋4OB →＋3OC →＝0， 所以S △OAB S △OBC ＝35.考点二 “奔驰定理”和三角形的“四心”(四心在三角形内部)(1)O 是△ABC 的重心⇔S △BOC ∶S △AOC ∶S △AOB ＝1∶1∶1 ⇔OA →＋OB →＋OC →＝0. (2)O 是△ABC 的内心⇔S △BOC ∶S △AOC ∶S △AOB ＝a ∶b ∶c ⇔aOA →＋bOB →＋cOC →＝0. (3)O 是△ABC 的外心⇔S △BOC ∶S △AOC ∶S △AOB ＝sin 2A ∶sin 2B ∶sin 2C ⇔sin 2A ·OA →＋sin 2B ·OB →＋sin 2C ·OC →＝0. (4)O 是△ABC 的垂心⇔S △BOC ∶S △AOC ∶S △AOB ＝tan A ∶tan B ∶tan C ⇔tan A ·OA →＋tan B ·OB →＋tan C ·OC →＝0. 考向1 “奔驰定理”与重心例2 已知在△ABC 中，G 是重心，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且56aGA →＋40bGB →＋35cGC →＝0，则B ＝________.解析 依题意，可得56a ＝40b ＝35c ， 所以b ＝75a ，c ＝85a ，所以cos B ＝a 2＋⎝⎛⎭⎫85a 2－⎝⎛⎭⎫75a 22a ×85a＝12，因为0<B <π，所以B ＝π3.考向2 “奔驰定理”与外心例3 已知点P 是△ABC 的外心，且P A →＋PB →＋λPC →＝0，C ＝2π3，则λ＝________.答案 －1 解析 依题意得，sin 2A ∶sin 2B ∶sin 2C ＝1∶1∶λ， ∴sin 2A ＝sin 2B ，∴2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π(舍)， ∴A ＝B ，又C ＝2π3，∴A ＝B ＝π6，又sin 2B sin 2C ＝1λ， ∴λ＝sin 2Csin 2B ＝sin4π3sinπ3＝－1.考向3 “奔驰定理”与内心例4 在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，BC ＝4，O 为△ABC 的内心，若AO →＝λAB →＋μBC →，则3λ＋6μ的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 C解析 AO →＝λAB →＋μBC →可化为 OA →＋λOB →－λOA →＋μOC →－μOB →＝0， 整理得(1－λ)OA →＋(λ－μ)OB →＋μOC →＝0， 所以(1－λ)∶(λ－μ)∶μ＝4∶3∶2， 解得λ＝59，μ＝29，所以3λ＋6μ＝3×59＋6×29＝3.考向4 “奔驰定理”与垂心例5 已知H 是△ABC 的垂心，若HA →＋2HB →＋3HC →＝0，则A ＝________. 答案π4解析 依题意，可得tan A ∶tan B ∶tan C ＝1∶2∶3， 代入tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A tan B tan C ， 可得6tan A ＝6tan 3A ， 因为tan A ≠0， 所以tan A ＝±1.又因为tan A <tan B <tan C ， 所以tan A ＝1，所以A ＝π4.规律方法 涉及三角形的四心问题时，内心和重心一定在三角形内部，而外心和垂心有可能在三角形外部，上述定理及推论中的点都在三角形内部，解题时，要注意观察题目有无这一条件． 跟踪演练2 (1)设I 为△ABC 的内心，且2IA →＋3IB →＋7IC →＝0，则角C ＝________. 答案π3解析 由2IA →＋3IB →＋7IC →＝0，可得a ∶b ∶c ＝2∶3∶7， 令a ＝2k ，b ＝3k ，c ＝7k ， 则cos C ＝4k 2＋9k 2－7k 22·2k ·3k ＝12，又C ∈(0，π)， 所以C ＝π3.(2)设点P 在△ABC 内部且为△ABC 的外心，∠BAC ＝π6，如图．若△PBC ，△PCA ，△P AB 的面积分别为12，x ，y ，则x ＋y 的最大值是______．答案33解析 方法一据奔驰定理得， 12P A →＋xPB →＋yPC →＝0， 即AP →＝2xPB →＋2yPC →，平方得AP →2＝4x 2PB →2＋4y 2PC →2＋8xy |PB →|·|PC →|·cos ∠BPC ， 又因为点P 是△ABC 的外心， 所以|P A →|＝|PB →|＝|PC →|， 且∠BPC ＝2∠BAC ＝π3，所以x 2＋y 2＋xy ＝14，(x ＋y )2＝14＋xy ≤14＋⎝⎛⎭⎫x ＋y 22，解得0<x ＋y ≤33，当且仅当x ＝y ＝36时取等号， 所以(x ＋y )max ＝33. 方法二 S △PBC ∶S △PCA ∶S △P AB ＝ sin 2A ∶sin 2B ∶sin 2C ，sin 2A ∶sin 2B ∶sin 2C ＝12∶x ∶y ，又∠BAC ＝π6，∴sin 2A ＝32， ∵x ＝33sin 2B ，y ＝33sin 2C ， ∴x ＋y ＝33(sin 2B ＋sin 2C ) ＝33⎣⎡⎦⎤sin 2B ＋sin ⎝⎛⎭⎫5π3－2B ＝33sin ⎝⎛⎭⎫2B －π3. 又∵B ∈⎝⎛⎭⎫0，5π6， ∴2B －π3∈⎝⎛⎭⎫－π3，4π3， ∴sin ⎝⎛⎭⎫2B －π3∈⎝⎛⎦⎤－32，1， ∴x ＋y ∈⎝⎛⎦⎤0，33， ∴(x ＋y )max ＝33. 专题强化练1．点P 在△ABC 内部，满足P A →＋2PB →＋3PC →＝0，则S △ABC ∶S △APC 为( )A ．2∶1B ．3∶2C ．3∶1D ．5∶3 答案 C解析 根据奔驰定理得， S △PBC ∶S △P AC ∶S △P AB ＝1∶2∶3. 所以S △ABC ∶S △APC ＝3∶1.2．点O 为△ABC 内一点，若S △AOB ∶S △BOC ∶S △AOC ＝4∶3∶2，设AO →＝λAB →＋μAC →，则实数λ和μ的值分别为( ) A.29，49B.49，29 C.19，29D.29，19 答案 A解析 根据奔驰定理， 得3OA →＋2OB →＋4OC →＝0，即3OA →＋2(OA →＋AB →)＋4(OA →＋AC →)＝0， 整理得AO →＝29AB →＋49AC →，故λ＝29，μ＝49.3．△ABC 的重心为G ，AB ＝6，AC ＝8，BC ＝213，则△BGC 的面积为( ) A ．123B ．8 3 C ．43D ．4 答案 C解析 cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC＝36＋64－522×6×8＝12，又A ∈(0，π)，∴A ＝π3，∴S △ABC ＝12×6×8×sin π3＝123，又G 为△ABC 的重心， ∴GA →＋GB →＋GC →＝0，即S △AGB ∶S △AGC ∶S △BGC ＝1∶1∶1， ∴S △BGC ＝13S △ABC ＝4 3.4.如图所示，在△ABC 中，AB ＝8，AC ＝6，∠BAC ＝60°，M 为△ABC 的外心，若AM →＝λAB →＋μAC →，λ，μ∈R ，则4λ＋3μ等于( )A.34B.53C.73D.83 答案 C解析 在△ABC 中，由余弦定理，可得BC ＝82＋62－2×8×6cos 60°＝213， 所以圆M 的半径R ＝2132sin 60°＝2393，所以S △AMB ＝12×8×⎝⎛⎭⎫23932－42＝833，S △BMC ＝12×213×⎝⎛⎭⎫23932－(13)2＝1333，S △CMA ＝12×6×⎝⎛⎭⎫23932－32＝5 3. 由AM →＝λAB →＋μAC →，可得MA →＋λMB →－λMA →＋μMC →－μMA →＝0， 整理得(1－λ－μ)MA →＋λMB →＋μMC →＝0， 所以S △AMB ∶S △BMC ∶S △CMA ＝μ∶(1－λ－μ)∶λ ＝8∶13∶15， 解得λ＝512，μ＝29，所以4λ＋3μ＝73.5.(多选)如图，设P ，Q 为△ABC 内的两点，且AP →＝25AB →＋15AC →，AQ →＝23AB →＋14AC →，则( )A.S △ABP S △ABC ＝15B.S △ABQ S △ABC ＝13 C.S △ABP S △ABQ ＝45D.S △ABP S △ABQ ＝34 答案 AC解析 由AP →＝25AB →＋15AC →，可得P A →＋25PB →－25P A →＋15PC →－15P A →＝0，整理得25P A →＋25PB →＋15PC →＝0，所以2P A →＋2PB →＋PC →＝0， S △ABP S △ABC ＝12＋2＋1＝15.由AQ →＝23AB →＋14AC →，可得QA →＋23QB →－23QA →＋14QC →－14QA →＝0，整理得QA →＋8QB →＋3QC →＝0， 所以S △ABQ S △ABC ＝31＋8＋3＝14，S △ABP S △ABQ ＝45.6．△ABC 的内切圆圆心为O ，半径为2，且S △ABC ＝14,2OA →＋2OB →＋3OC →＝0，则△ABC 的外接圆面积为________． 答案64π7解析 ∵2OA →＋2OB →＋3OC →＝0， 且O 为内心， ∴a ∶b ∶c ＝2∶2∶3， 令a ＝2k ， 则b ＝2k ，c ＝3k ，设△ABC 内切圆半径为r ，外接圆半径为R ， 又S △ABC ＝12(a ＋b ＋c )·r⇒12×7k ×2＝14⇒k ＝2， ∴a ＝4，b ＝4，c ＝6， ∴cos C ＝－18，sin C ＝378，又2R ＝c sin C ＝6378⇒R ＝87＝877，∴外接圆面积S ＝πR 2＝64π7.7．若△ABC 内接于以O 为圆心，以1为半径的圆，且3OA →＋4OB →＋5OC →＝0.则△ABC 的面积为______．11 / 11 答案65解析 ∵3OA →＋4OB →＝－5OC →，且|OA →|＝|OB →|＝|OC →|＝1，∴9|OA →|2＋16|OB →|2＋24OA →·OB →＝25|OC →|2，∴OA →·OB →＝0，∴OA ⊥OB ，∴S △AOB ＝12×1×1＝12， 由奔驰定理知，S △BOC ∶S △AOC ∶S △AOB ＝3∶4∶5，∴S △AOB ＝53＋4＋5·S △ABC， ∴S △ABC ＝125S △AOB ＝65. 8.已知点P ，Q 在△ABC 内，P A →＋2PB →＋3PC →＝2QA →＋3QB →＋5QC →＝0，则|PQ →||AB →|＝________.答案130解析 根据奔驰定理得S △PBC ∶S △P AC ∶S △P AB ＝1∶2∶3，S △QBC ∶S △QAC ∶S △QAB ＝2∶3∶5，∴S △P AB ＝S △QAB ＝12S △ABC ，∴PQ ∥AB ， 又∵S △PBC ＝16S △ABC ，S △QBC ＝15S △ABC ， ∴|PQ →||AB →|＝S △QBC －S △PBC S △ABC ＝15－16＝130.。
平面向量奔驰定理
平面向量奔驰定理平面向量奔驰定理引言：平面向量是高中数学中的重要内容之一，它是向量的一种，具有方向和大小，可以进行加减乘除等运算。
本文将介绍平面向量的一个重要定理——平面向量奔驰定理。
一、定义1.1 平面向量平面上的一个有向线段称为平面向量，记作$\vec{a}$。
其中，有起点和终点分别为$A$和$B$，则$\vec{a}=\overrightarrow{AB}$。
1.2 平移在平面上，将一个图形沿着某个方向移动一段距离后所得到的新图形称为原图形的平移。
平移可以用平面向量来表示。
二、定理2.1 平行四边形法则对于任意两个非零向量$\vec{a}$和$\vec{b}$，它们的和$\vec{c}=\vec{a}+\vec{b}$所对应的四边形是一个平行四边形。
证明：如下图所示，以$\overrightarrow{OA}=\vec{a}$和$\overrightarrow{OB}=\vec{b}$为邻边构造一个以$O$为顶点的平行四边形$OABC$。
连接$AC$和$BD$两条对角线，则由于对角线互相平分且相等，所以$AC=BD$。
又因为$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OC }$，所以$\overrightarrow{OC}$是以$\overrightarrow{OA}$和$\overrightarrow{OB}$为邻边的平行四边形对角线。
得证。
2.2 平面向量奔驰定理对于任意两个非零向量$\vec{a}$和$\vec{b}$，它们的和$\vec{c}=\vec{a}+\vec{b}$所对应的三角形的三条边上依次取一点$D,E,F$，则有：$$\frac{\overrightarrow{OD}}{\vec{a}}+\frac{\overrightarrow{OE} }{\vec{b}}+\frac{\overrightarrow{OF}}{\vec{c}}=\vec 0$$其中，$\overrightarrow {OD},\ \overrightarrow {OE},\\overrightarrow {OF}$分别表示向量$\vec a,\ \vec b,\ \vec c$的起点与点$D,\ E,\ F$的连线所组成的向量。
平面向量奔驰定理
平面向量奔驰定理一、概述在平面向量的运算中，有一个重要的定理被称为奔驰定理。
奔驰定理是向量的加法与减法的一种推广，通过该定理，我们可以更加方便地进行平面向量的运算。
二、奔驰定理的表述奔驰定理表述如下：对于任意三个向量a⃗，b⃗⃗和c⃗，有如下关系：a⃗+b⃗⃗+c⃗=0⃗⃗其中，0⃗⃗表示零向量。
三、奔驰定理的证明为了证明奔驰定理，我们可以利用向量的法则进行推导。
假设有三个向量a⃗，b⃗⃗和c⃗，令d⃗=a⃗+b⃗⃗+c⃗，则有：d⃗+a⃗=a⃗+b⃗⃗+c⃗+a⃗d⃗+a⃗=a⃗+a⃗+b⃗⃗+c⃗d⃗+a⃗=2a⃗+b⃗⃗+c⃗同理，我们可以得到：d⃗+b⃗⃗=a⃗+2b⃗⃗+c⃗d⃗+c⃗=a⃗+b⃗⃗+2c⃗将以上三个等式相加，可以得到：d⃗+a⃗+d⃗+b⃗⃗+d⃗+c⃗=2a⃗+b⃗⃗+c⃗+a⃗+2b⃗⃗+c⃗+a⃗+b⃗⃗+2c⃗化简可得：3d⃗=6(a⃗+b⃗⃗+c⃗)再进一步化简得到：d⃗=2(a⃗+b⃗⃗+c⃗)即：a⃗+b⃗⃗+c⃗=1 2 d⃗由于d⃗=a⃗+b⃗⃗+c⃗，将其代入上式得到：a⃗+b⃗⃗+c⃗=12(a⃗+b⃗⃗+c⃗)进一步化简可得：a⃗+b⃗⃗+c⃗=0⃗⃗因此，奔驰定理得证。
四、奔驰定理的应用奔驰定理在向量运算中有重要的应用。
通过奔驰定理，我们可以方便地进行向量的加法和减法运算。
以下是一些常见的奔驰定理的应用场景：1. 向量相加设有三个向量a⃗，b⃗⃗和c⃗，要求d⃗=a⃗+b⃗⃗+c⃗，则可以利用奔驰定理进行如下计算：d⃗=a⃗+b⃗⃗+c⃗=0⃗⃗2. 向量相减设有三个向量a⃗，b⃗⃗和c⃗，要求d⃗=a⃗−b⃗⃗−c⃗，则可以利用奔驰定理进行如下计算：d⃗=a⃗−b⃗⃗−c⃗=0⃗⃗3. 向量之间的关系判断对于已知的三个向量a⃗，b⃗⃗和c⃗，如果已知a⃗+b⃗⃗+c⃗=0⃗⃗，则可以判断三个向量之间存在某种关系，比如共线、共面等。
五、总结通过对奔驰定理的学习和理解，我们可以更加灵活地进行平面向量的运算。
平面向量中的奔驰定理
平面向量中的奔驰定理在向量题目中，同学会经常遇到一类题型，涉及三角形各心的向量表达式，如果在此基础上探究，不免会遇到一个更一般性的问题，即因为本题的图形特别象奔驰汽车的标志，所以把此结论称为奔驰定理。
【证法一】取点,,A B C '''，使得,,OA OA OB OB OC OC αβγ'''===，则0OA OB OC '''++=，即O 为'''A B C ∆的重心，''''''B OC A OC A OB S S S ∆∆∆⇒== 1sin 121''''sin ''2AOBPOB OA OB AOB S OA OB S OA OB OA OB A OB αβ∆⋅∠⋅===⋅⋅∠ 1OB A OB S S αβ∆Λ''⇒= 同理11,AOC A OC BOC B OC S S S S αγβγ∆∆''∆∆''== 111::::::BOC AOC AOB S S S αβγβγαγαβ∆∆∆⇒==。
【分析】即证明0BOC AOC AOB S OA S OB S OC ∆∆∆⋅+⋅+⋅=【证法二】以O 为原点建立坐标系，设()()()111222333,,,,,,,,A x y z B x y z C x y z ， 则221111333322111,,222BOC AOC AOB x y x y x y S S S x y x y x y ∆∆∆===， BOC AOC AOB S OA S OB S OC∆∆∆⋅++⋅ ()()()221111112233333322111,,,(0,0)0222x y x y x y x y x y x y x y x y x y =++== 若O 为△ABC 内任一点，有0OA OB OC αβγ++=，则::::BOC AOC AOB S S S αβγ∆∆∆=.【证法三】()BOC AOC AOB S OA S OB S OC OA ∆∆∆⋅+⋅+⋅⨯ AOC AOB S OB OA S OC OA ∆∆=⋅⨯+⋅⨯()()220AOC AOB AOB AOC S S S S ∆∆∆∆=⋅-+⋅=同理()0BOC AOC AOB S OA S OB S OC OB ∆∆∆⋅+⋅+⋅⨯=所以0BOC AOC AOB S OA S OB S OC ∆∆∆⋅+⋅+=． 【题目】已知O 为△ABC 的垂线，且230OA OB OC ++=，求∠A ．【解答】如图，由平面向量中的奔驰定理可得::1:2:3BOC AOC AOB S S S ∆∆∆=， 1212BOCAOCOC BD S BD S AD OC AD ∆∆⋅⋅==⋅⋅，在△ACD 和△BCD 中，tan ,tan CD CD A B AD BD ==， 所以tan tan A BD B AD=，故tan tan BOC AOC S A S B ∆∆=，同理tan tan BOC AOB S A S C ∆∆=， 故::tan :tan :tan BOC AOC AOB S S S A B C ∆∆∆=，即tan :tan :tan 1:2:3A B C =， 又tan tan tan tan()1tan tan B C A B C B C +=-+=--， 所以tan 1,45A A ︒=∠=．评注：由此题的结论可得若O 为△ABC 的垂心，则有::tan :tan :tan ::BOC AOC AOB S S S A B C αβγ∆∆∆==．B。
向量奔驰定理的内容及推导过程
向量奔驰定理的内容及推导过程向量奔驰定理，也称为平行四边形定理或平行四边形法则，是解决向量运算中平行四边形性质的一个重要定理。
该定理表明，如果在平行四边形中，两条对角线的向量和相等，则该平行四边形的对边是平行的。
推导过程如下：假设平行四边形的两条对角线分别为向量AB和向量AC，平行四边形的两条对边分别为向量AD和向量BC。
根据向量的定义，向量可以表示为有向线段。
我们需要证明向量和的性质，即两个向量相加的结果仍然是一个向量。
假设有向线段AB和有向线段BC，将它们首尾相连，得到一个新的有向线段AC。
根据平行四边形的性质，向量AC与向量AB和向量BC具有相同的大小和方向。
因此，向量和AC可以表示为向量AB加上向量BC，即AC = AB + BC。
接下来，我们需要证明平行四边形的对角线的向量和相等。
假设平行四边形的两条对角线分别为向量AB和向量AC，它们的向量和为向量AD。
根据向量和的性质，我们可以得到向量AC = AB + BC。
同时，根据平行四边形的性质，向量AD与向量AB和向量BC具有相同的大小和方向。
因此，向量AD可以表示为向量AB加上向量BC，即AD = AB + BC。
将上述两个等式联立，我们可以得到向量AD = AC。
根据向量的定义，两个向量相等意味着它们具有相同的大小和方向。
因此，我们可以得出结论：如果在平行四边形中，两条对角线的向量和相等，则该平行四边形的对边是平行的。
应用向量奔驰定理，我们可以解决一些与平行四边形相关的问题。
例如，已知平行四边形的两条对角线的向量和等于向量d，而其中一条对角线的向量为向量a，另一条对角线的向量为向量b。
我们可以根据向量奔驰定理得出结论：向量a + 向量b = 向量d。
通过代入已知条件，我们可以求解出未知的向量或边长。
总结一下，向量奔驰定理是解决向量运算中平行四边形性质的一个重要定理。
它表明，如果在平行四边形中，两条对角线的向量和相等，则该平行四边形的对边是平行的。
向量中的“奔驰定理”证明及应用与推广
向量中的“奔驰定理”证明及应用与推广奔驰定理是求解向量中的三角形面积的重要定理，它的证明基于向量叉乘的性质。
下面我们将详细介绍奔驰定理的证明、应用及推广。
奔驰定理的证明：设向量AB=c,AC=a,向量AD=d，则三角形的面积可以表示为：S=1/2×AB×AC的正好(通过向量叉乘的定义和性质可知)奔驰定理指出，若三个向量互相平行，则这三个向量的长度(或模)与他们所夹三角形的面积之间满足以下关系：S=1/2×，AB×AC证明：首先，设向量AB=c,AC=a,向量BC=b.由题设可知,AB∥AC，因此存在一个实数λ,使得AB=λAC。
即c=λa.同理，由题设可知，AB∥BC，因此存在一个实数μ,使得AB=μBC。
即c=μb。
两者联立得到：λa=μb两边同时做叉乘得到：a×(λa)=b×(μb)由叉乘的性质可知，a×(λa)=(λa)×a=(λa)×(-a)=0;b×(μb)=(μb)×b=(μb)×(-b)=0所以，0=a×(λa)=b×(μb)根据向量叉乘的性质可知，当两个向量叉乘结果为零时，这两个向量互相平行。
由此可得，a与(λa)平行，b与(μb)平行。
由已知得到的结果可知，AB=λAC,AB=μBC。
因此，λAC=μBC。
等式两边同时除以AB得到：λ=μ×，AC/AB，=μ×，AC，AB即，AB，/，AC，=λ/μ=，AB×AC，/，AC×BC因此这就是奔驰定理的证明过程。
奔驰定理的应用与推广：1.应用：奔驰定理广泛应用于解决向量的平行、垂直、共面问题，尤其在几何证明题中使用较为频繁。
例如，可以利用奔驰定理来判断两个向量是否平行，从而简化证明的过程。
2.推广：奔驰定理可以推广到更多的向量问题中。
例如，对于四面体ABCD，我们可以通过向量叉乘得到其体积：V=1/3，AB×AC·AD对于平行六面体，连续使用奔驰定理，可以得到其体积公式：V=，AB×AC·AD奔驰定理还可以应用于计算向量的夹角，设两个向量AB=a,AC=b，夹角θ，则有：cosθ=(a·b)/(，a，b，)奔驰定理的证明及应用与推广使我们更加深入地理解了向量的叉乘操作和向量的几何性质。
平面向量奔驰定理
平面向量奔驰定理在平面向量的广袤世界中，有一个名为“奔驰定理”的重要概念，它宛如一颗璀璨的明珠，为解决众多向量相关的问题提供了有力的工具。
首先，咱们来了解一下什么是平面向量。
简单来说，平面向量就是既有大小又有方向的量。
比如说，在一个平面内，一个物体移动的方向和距离就可以用向量来表示。
那么，奔驰定理到底是什么呢？奔驰定理指出：如果有一个三角形ABC，其内部一点P 与三个顶点A、B、C 形成的三个向量分别为PA、PB、PC，那么就有 S△PBC·PA ＋ S△PAC·PB ＋ S△PAB·PC ＝ 0 。
这里的 S 表示三角形的面积。
可能您看到这个式子会觉得有些复杂，别担心，咱们通过一个具体的例子来理解。
假设在三角形 ABC 中，点 P 是其内部的一点，三角形ABC 的面积为 12，三角形 PAB 的面积为 3，三角形 PAC 的面积为 4。
那么三角形 PBC 的面积就是 12 3 4 ＝ 5 。
如果向量 PA 的长度为 2，方向朝右，向量 PB 的长度为 3，方向朝上，向量 PC 的长度为 4，方向朝左。
那么根据奔驰定理，5×PA ＋ 4×PB ＋ 3×PC ＝ 0 。
那奔驰定理有什么用呢？它的用处可大了！比如说，在判断一个点是否在三角形内部时，如果满足奔驰定理，那么这个点就在三角形内部；如果不满足，那就在外部。
再比如，在求解三角形内部一点到三个顶点的距离比例关系时，奔驰定理也能发挥巨大的作用。
我们来详细说一说奔驰定理在解决具体问题中的应用。
假设已知三角形 ABC 中，点 P 满足奔驰定理，且三角形 ABC 的三条边长分别为a、b、c，对应的三个内角分别为 A、B、C。
我们要求点 P 到三条边的距离之比。
通过奔驰定理，我们可以得到三角形 PBC、PAC、PAB 的面积与向量之间的关系。
然后利用三角形面积的不同表达式，比如 S ＝ 1/2 ×底×高，就可以求出点 P 到三条边的距离。
向量中的奔驰定理及应用
向量中的奔驰定理及应用引言：在数学中，向量是一个有方向和大小的量。
它在物理、几何和工程学中有着广泛的应用。
而奔驰定理是向量的一个重要定理，它描述了向量的加法和减法的运算规律。
本文将介绍奔驰定理的概念及其应用，并探讨如何利用奔驰定理解决实际问题。
一、奔驰定理的概念奔驰定理，又称平行四边形法则，是向量运算中的一个基本定理。
它表明，如果在平面上取两个向量a和b，那么以这两个向量为邻边所构成的平行四边形的对角线向量c，其大小等于两个向量的和。
奔驰定理可以用公式表示为：c = a + b其中，a、b和c分别表示向量a、b和c的大小和方向。
二、奔驰定理的应用奔驰定理在几何学和物理学中有着广泛的应用。
以下是奔驰定理在实际问题中的几个应用示例。
1. 力的合成在物理学中，奔驰定理可以用于力的合成。
当一个物体受到两个力的作用时，可以利用奔驰定理求出合力的大小和方向。
假设一个物体受到两个力F1和F2的作用，它们的大小和方向分别为F1和F2，那么合力F的大小和方向可以用奔驰定理表示为：F = F1 + F2。
2. 速度的合成在运动学中，奔驰定理可以用于速度的合成。
当一个物体在平面上同时具有水平和竖直方向上的速度时，可以利用奔驰定理求出合速度的大小和方向。
假设一个物体的水平速度为v1，竖直速度为v2，那么合速度v的大小和方向可以用奔驰定理表示为：v = v1 + v2。
3. 矢量的平行和垂直关系利用奔驰定理，我们可以判断两个向量之间的平行和垂直关系。
如果两个向量的和为零向量，即a + b = 0，那么这两个向量是平行的。
如果两个向量的点积为零，即a · b = 0，那么这两个向量是垂直的。
这些性质在几何学和物理学中具有重要的意义。
4. 位移的计算在力学中，奔驰定理可以用于位移的计算。
当一个物体在平面上同时受到水平方向和竖直方向的力作用时，可以利用奔驰定理求出物体的位移。
假设物体在水平方向上的位移为x1，竖直方向上的位移为x2，那么物体的总位移x可以用奔驰定理表示为：x = x1 + x2。
平面向量奔驰定理证明
平面向量奔驰定理证明引言平面向量是高中数学中一个重要的概念，它可以用来描述平面上的运动、力以及几何图形等。
而奔驰定理是平面向量的一个重要性质，它在解决几何问题中起到了重要的作用。
本文将对平面向量奔驰定理进行证明，并探讨其应用。
平面向量什么是平面向量？平面向量是指在平面上有确定的长度和方向的量，它可以用有序数对(a,b)表示。
其中a称为x轴分量，b称为y轴分量。
平面向量可以表示为向量运算的形式：A= a i + b j，其中i和j分别是x轴和y轴上的单位向量。
平面向量的运算平面向量有加法和数乘两种运算，具体定义如下： - 加法：两个向量A和B的和，表示为A + B = (a1 + b1, a2 + b2)，即分量分别相加。
- 数乘：一个向量A与一个实数k的数乘，表示为kA = (ka1, ka2)，即分量分别乘以k。
平面向量的性质平面向量有以下重要性质： 1. 两个向量相等，当且仅当它们的对应分量相等。
2. 两个向量的和与次序无关，即A + B = B + A。
3. 数乘满足结合律和分配律。
奔驰定理奔驰定理的表述奔驰定理又称平面向量的三角形定理，它的表述如下：如果向量【图片】共线，那么存在实数k1、k2和k3，使得【图片】。
其中k1、k2和k3可以为任意实数。
奔驰定理的证明为了证明奔驰定理，我们需要利用平面向量的运算性质和一些基本几何知识。
步骤一：引入中点向量设【图片】，则【图片】为【图片】和【图片】的中点，即【图片】。
步骤二：利用中点向量的性质根据中点向量的性质，可以得到以下等式：【图片】。
步骤三：利用平行四边形法则根据平行四边形法则，可以得到以下等式：【图片】。
步骤四：整理等式将步骤二和步骤三得到的等式整理为同一形式，可以得到以下等式：【图片】。
步骤五：化简等式根据等式【图片】，可以得到以下等式：【图片】。
步骤六：整理等式将步骤五得到的等式整理为同一形式，可以得到以下等式：【图片】。
步骤七：证明奔驰定理根据步骤一至步骤六得出的等式，可以得到【图片】。
2021高考复习向量奔驰定理应用
由正弦定理，a : b : c sin A : sin B : sin C 5 : 7 : 8
由余弦定理，cos B a2 c2 b2 52 82 72 1
2ac
258 2
B (0, ), B
3
例题1
点评：关于三角形重心的结论
B
SC O SB
SA
C
知识梳理——2证明（方法一）
证明：延长AO交BC于点D
BD SABD SBOD SABD S BOD SC
S S S S DC
ACD
COD
S ACD
COD
B
OD
DC BC
OB
BD
BC
OC
OB OC SB
SB SC
SC
SB SC
B
OD SA OD SA DA SABC OA SB SC
sin
2B
SC
1 2
R2
sin
2C
知识梳理——3推论
由此定理可得三角形四心向量式
(4)O是ABC的垂心 SA : SB : SC tan A : tan B : tanC tan A• OA tan B • OB tan C • OC 0
证明：O是垂心
tan B AD ,tanC AD
THANKS
O是ABC的重心 OA OB OC 0 要牢记，OA,OB,OC 前面的系数之比为1:1:1
例题
例2、已知D是ABC所在平面内一点，且AD 1 AB 1 AC， 32
则 SBCD
B
SACD
解法1：设AB 1 AB，AC 1 AC,
3
高考数学提分专项复习解析几何奔驰定理
高考数学提分专项复习解析几何奔驰定理
1. 引言
解析几何是高考数学中的重要内容，其中的奔驰定理是一条核心定理。
本文将对奔驰定理进行详细解析，帮助学生在高考数学中取得更高的分数。
2. 奔驰定理的定义和原理
奔驰定理是解析几何中用于证明两直线平行的重要定理。
具体而言，当两直线被一对平行线截断时，所成的对应角相等。
3. 奔驰定理的应用
奔驰定理在高考数学中的应用广泛。
掌握了奔驰定理，可以用于解决平行线相关的几何问题，例如判定两条直线是否平行，求证两条直线平行的条件等等。
4. 解题示例
以下是一道应用奔驰定理的解题示例：
题目：已知线段AB和线段CD是两对平行线截断的边，若
∠ADE = 60°，求证∠BEC = 60°。
解析：根据奔驰定理，当两直线被一对平行线截断时，所成的
对应角相等。
因此，∠ADE = ∠BEC。
已知∠ADE = 60°，所以
∠BEC = 60°。
证毕。
5. 总结
奔驰定理是解析几何中的重要定理，对于高考数学来说至关重要。
掌握了奔驰定理的定义、原理和应用，可以在解决平行线问题
时轻松应对。
希望通过本文的解析，能帮助学生提高数学成绩，取
得更好的高考成绩。
以上就是关于高考数学提分专项复习解析几何奔驰定理的文档。
如果还有其他问题，欢迎继续咨询。
祝您在高考中取得优异的成绩！。
2021年高考数学7.2 平面向量基本定理及坐标表示
平面向量
高考第一轮复习 第二节 平面向量基本定理及坐标表示
1高考引航
2必备知识
3关键能力
高考引航
答案知识清单
必备知识
答案
基础训练
题型归纳题型一 平面向量基本定理的应用
关键能力
点拨：用平面向量基本定理解决问题的一般思路
(1)先选择一组基底,并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式,再通过向量的运算来解决.
(2)在基底未给出的情况下,合理地选取基底会给解题带来方便.另外,要熟练运用平面几何的一些性质定理.
答案
解析
题型二 向量坐标的基本运算
答案
解析
点拨：向量坐标运算的策略
①向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行;
②若已知有向线段两端点的坐标,则应先求出向量的坐标;
③解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则.
解析
题型三 共线向量的坐标表示
解析
点拨：(1)运用向量的坐标表示,使向量的运算完全代数化,将数与形有机结合.
(2)根据平行的条件建立方程求参数是解决这类题目的常用方法.
答案
解析
答案
方法突破
方法一 利用转化和化归的思想解决向量的线性运算问题解析
方法二 求向量中的取值范围、最值问题
解析
解析
方法三 用坐标法解决平面向量问题
答案
解析
谢谢观赏。
2021年高考数学复习 专题07 平面向量 平面向量基本定理考点剖析
2021年高考数学复习专题07 平面向量平面向量基本定理考点剖析主标题：平面向量基本定理
副标题：为学生详细的分析指数函数的高考考点、命题方向以及规律总结。
关键词：函数，指数函数，知识总结
难度：3
重要程度：4
考点剖析：本考点包括平面向量的基本定理，考纲明确要求要了解平面向量的基本定理及其意义，理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步掌握应用向量解决实际问题的重要思想方法；能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达.
命题方向：
1.在平面内，任意一个向量可以用不共线的向量来表示，根据系数是唯一的求参数的取值是近几年高考的热点．
2.通过具体问题中适当的选取基底，利用平面向量的基本定理解决问题．
3.题型以选择题和填空题为主.
规律总结：
1.平面向量基本定理规律总结
一组基底：
，是同一平面内的两个不共线向量，不共线的向量可以作为一组基底，基底
不是唯一的.
两个防范
(1)，是同一平面内的两个不共线非零向量，不共线是作为基底的前提．
(2) 由定理可将任一向量在给出基底，的条件下进行分解，实数对是唯一的．平面向量的基本定理
如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使.
其中不共线的向量，叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。
当时，恒有；
当0时，共线；当时，共线。
20752 5110 儐j33616 8350 荐31384 7A98 窘X T30660 77C4 矄38081 94C1 铁 30044 755C 畜35487 8A9F 誟~T+。
平面向量终极套路秒杀秘籍之一-奔驰定理
秒杀技巧一奔驰定理奔驰定理：若O 为ABC △内任意一点，有=++OC z OB y OA x 0，则z y x S S S OAB OAC OBC ::=△△△：：.奔驰定理与三角形“四心”的结合：(1)O 是ABC △的重心：=++⇔=S S S OAB OAC OBC 1:1:1△△△：：0(2)O 是ABC △的内心：=++⇔=OC c OB b OA a c b a S S S OAB OAC OBC ::△△△：：0(3)O 是ABC △的外心：=⋅+⋅+⋅⇔=C B A C B A S S S OAB OAC OBC 2sin 2sin 2sin 2sin :2sin :2sin △△△：：0(4)O 是ABC △的垂心：=⋅+⋅+⋅⇔=C B A C B A S S S OAB OAC OBC tan tan tan tan :tan :tan △△△：：0例1.已知点O 是ABC △内部一点，且满足=++OC OB OA 4320，则AOC BOC AOB ，△，△△的面积之比为.例2.已知点P 是ABC △所在平面内一点，=++P A PC PB 20，现将一粒黄豆随机撒在ABC △内，则黄豆落在PBC △内的概率是.例3.在ABC △所在的平面内有一点P ，若PB AB PC P A +=+2，则PBC △的面积与ABC △的面积之比是.1.（宜昌一中2020届高三周考8）已知G 在ABC △内，且满足=++GC GB GA 4320，现在ABC △内随机取一点，此点取自GBC GAB GAC 、△、△△的概率分别记为321P P P 、、，则（）321.P P P A ==123.P P P B >>321.P P P C >>312.P P P D >>2.若点O 在ABC ∆的内部，且=++OC m OB OA 20，74=∆∆ABC AOB S S ，则实数m =_________.3.设P 是ABC ∆所在平面上一点，且满足)0(,43>=+m AB m PC P A ，若ABP ∆的面积为8，则ABC ∆的面积是.4.已知ABC ∆的外接圆半径为1，圆心为O ，且=++OC OB OA 5430，则ABC ∆的面积为_________.5.在ABC ∆中，D 为三角形所在平面内一点，且AC AB AD 2131+=，则=ABDBCD S S △△_________.6.已知点O 是ABC △的垂心，且=++OC OB OA 320，则=A _________.。
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所以(x＋y)max＝ .
(1)若O为△ABC的重心，则 ＋ ＋ ＝0.
(2)若O为△ABC的外心，则sin 2A· ＋sin 2B· ＋sin 2C· ＝0.
(3)若O为△ABC的内心，则a· ＋b· ＋c· ＝0.
备注：若O为△ABC的内心，则sinA· ＋sinB· ＋sinC· ＝0也对．
(4)若O为△ABC的垂心，则tanA· ＋tanB· ＋tanC· ＝0.
答案
解析根据奔驰定理得， ＋x ＋y ＝0，
即 ＝2x ＋2y ，
平方得 2＝4x2 2＋4y2 2＋8xy| |·| |·cos∠BPC，
又因为点P是△ABC的外心，
所以| |＝| |＝| |，
且∠BPC＝2∠BAC＝60°，所以x2＋y2＋xy＝ ，
(x＋y)2＝ ＋ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱy≤ ＋ 2，
解得0<x＋y≤ ，
1．点P在△ABC内部，满足 ＋2 ＋3 ＝0，则S△ABC∶S△APC为()
A．2∶1 B．3∶2 C．3∶1 D．5∶3
答案C
解析根据奔驰定理得，S△PBC∶S△PAC∶S△PAB＝1∶2∶3.
∴S△ABC∶S△APC＝3∶1.
2．点O为△ABC内一点，若S△AOB∶S△BOC∶S△AOC＝4∶3∶2，设 ＝λ ＋μ ，则实数λ和μ的值分别为()
答案
解析因为O是重心，所以 ＋ ＋ ＝0，即 ＝－ － ，
＝ ⇒ － ＝ ( － )⇒ ＝ ＋ ＝
－ － ，
＝n ⇒ － ＝n( － )
⇒ ＝n ＋(1－n) ，
因为P，O，Q三点共线，所以 ∥ ，
所以－ (1－n)＝－ n，解得n＝ .
“奔驰定理”与三角形“四心”：
已知点O在△ABC内部，有以下四个推论：
A. B. C. D.
答案A
解析根据奔驰定理得，S△PBC∶S△PAC∶S△PAB＝1∶2∶3，S△QBC∶S△QAC∶S△QAB＝2∶3∶5，
∴S△PAB＝S△QAB＝ S△ABC，∴PQ∥AB，
又∵S△PBC＝ S△ABC，S△QBC＝ S△ABC，
∴ ＝ － ＝ .
(3)过△ABC重心O的直线PQ交AC于点P，交BC于点Q， ＝ ， ＝n ，则n的值为________．
2021
定理：如图，已知P为△ABC内一点，则有S△PBC· ＋S△PAC· ＋S△PAB· ＝0.
由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理”．这个定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，有着决定性的基石作用．
例(1)已知点A，B，C，P在同一平面内， ＝ ， ＝ ， ＝ ，则S△ABC∶S△PBC等于()
A. ， B. ， C. ， D. ，
答案A
解析根据奔驰定理，得3 ＋2 ＋4 ＝0，
即3 ＋2( ＋ )＋4( ＋ )＝0，
整理得 ＝ ＋ ，故选A.
3.设点P在△ABC内且为△ABC的外心，∠BAC＝30°，如图．若△PBC，△PCA，△PAB的面积分别为 ，x，y，则x＋y的最大值是________．
A．14∶3 B．19∶4 C．24∶5 D．29∶6
答案B
解析由 ＝ ，得 － ＝ ( － )，
整理得 ＝ ＋ ＝ ＋ ，
由 ＝ ，得 ＝ ( － )，
整理得 ＝－ ，∴－ ＝ ＋ ，
整理得4 ＋6 ＋9 ＝0，
∴S△ABC∶S△PBC＝(4＋6＋9)∶4＝19∶4.
(2)已知点P，Q在△ABC内， ＋2 ＋3 ＝2 ＋3 ＋5 ＝0，则 等于()