北京大学线性代数方博汉线代B2017经院期末考试题

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(完整版)线性代数期末测试题及其答案.doc

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线性代数期末考试题一、填空题(将正确答案填在题中横线上。

每小题 5 分,共 25 分)1 3 1 1.若0 5 x 0,则__________。

1 2 2x1 x2 x3 02.若齐次线性方程组x1 x2 x3 0 只有零解,则应满足。

x1x2x303.已知矩阵A,B,C (c ij )s n,满足 AC CB ,则 A 与 B 分别是阶矩阵。

4.已知矩阵A为 3 3的矩阵,且| A| 3,则| 2A|。

5.n阶方阵A满足A23A E 0 ,则A1。

二、选择题(每小题 5 分,共 25 分)6.已知二次型 f x12 x22 5x32 2tx1x2 2x1 x3 4x2 x3,当t取何值时,该二次型为正定?()A. 40 B.4 4C. 0 t4 4 1t5t D. t2 5 5 5 51 42 1 2 37.已知矩阵A 0 3 4 , B 0 x 6 ,且 A ~ B ,求x的值()0 4 3 0 0 5A.3B.-2C.5D.-58 .设 A 为 n 阶可逆矩阵,则下述说法不正确的是()A. A0B. A 1 0C.r (A) nD.A 的行向量组线性相关9 .过点( 0, 2, 4)且与两平面x 2z 1和 y 3z 2 的交线平行的直线方程为()1xy 2 z 4A.312xy 2 z 4C.31 2x y2 z 4B.32 2x y2 z 4D.322103 1 .已知矩阵 A, 其特征值为()51A. 12, 2 4 B. C.12,24D.三、解答题(每小题 10 分,共 50 分)1 12,2, 22441 1 00 2 1 3 40 2 1 30 1 1 011.设B, C 0 2 1 且 矩 阵满足关系式0 0 1 1 00 10 0 0 2T X(C B)E,求。

a1 12212. 问 a 取何值时,下列向量组线性相关?111, 2a ,3。

2 1 21 a22x 1 x 2x 3 313.为何值时,线性方程组x 1 x 2x 3 2有唯一解,无解和有无穷多解?当方x 1 x 2x 32程组有无穷多解时求其通解。

线性代数试题线性代数试卷及答案大全(173页大合集)

线性代数试题线性代数试卷及答案大全(173页大合集)
由 ,得 的特征值 ,
属于 对应的特征向量为 ,单位化: ,
属于 对应的特征向量为 ,单位化: ,
取 ,则有 。
八、(本题8分)证明:由
得 的特征值 ,

故 的最大特征值是 。
试卷2
闭卷考试时间:100分钟
一、填空题(本题15分,每小题3分)
1、若n阶行列式零元素的个数超过n(n-1)个,则行列式为。
三、(本题8分)解:从第一行开始,每行乘 后逐次往下一行加,再按最后一行展开得:
原式= 。
四、(本题12分)解:由 ,得: ,
可逆,故 ;
由于 , 。
五、(本题14分)解:(1)令 , ,
则 线性无关,故 是向量组 的一个极大无关组;
(2)由于4个3维向量 线性相关,
若 线性无关,则 可由 线性表示,与题设矛盾;
A:矩阵A必没有零行
B:矩阵A不一定是阶梯形矩阵
C:矩阵A必有零行
D:矩阵A的非零行中第一个不等于零的元素都是1
非齐次线性方程组Ax=b中,系数矩阵A和增广矩阵(A b)的秩都等于3,A是3×4矩阵,则▁▁▁。【A】
A:方程组有无穷多解
B:无法确定方程组是否有解
C:方程组有唯一解
D:方程组无解
试卷1
4、若 阶实方阵 , 为 阶单位矩阵,则( )。
(A) (B)
(C) (D)无法比较 与 的大小
5、设 , , , ,其中 为任意常数,则下列向量组线性相关的为( )。
(A) ( B) (C) (D)
三、(10分)计算 阶行列式 , 的主对角线上的元素都为 ,其余位置元素都为 ,且 。
四、(10分)设3阶矩阵 、 满足关系: ,且 ,求矩阵 。
B:Ax=0的基础解系中的解向量的个数不可能为n-r

全国2017年4月高等教育自学线性代数(经管类)试题与详细答案

全国2017年4月高等教育自学线性代数(经管类)试题与详细答案
2017 年 4 月 线性代数(经管类)
线性代数(经管类)试题与详细答案
课程代码:04184
说明:在本卷中,AT 表示矩阵 A 的转置矩阵,A*表示矩阵 A 的伴随矩阵,E 是单位矩阵, |A|表示方阵 A 的行列式,r(A)表示矩阵 A 的秩. 一、单项选择题(本大题共 5 小题,每小题 1 分,共 5 分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其选出并将“答题纸” 的相应代码涂黑。错涂、多涂或未涂均无分。 1. 已知 2 阶行列式 A. 6
所以 r 1 , 2 , 3 2 。 11. 设 3 元非齐次线性方程组 Ax=b 满足 r(A)=2,1 1,2,0 , 2 1,3,1 为其两个
T T
解,则其导出组 Ax=0 的通解为
.
解答:使用非齐次线性方程组解的性质。由于 A1 b , A 2 b ,因此 A1 2 0 , 即 1 2 是 Ax=0 的解,从而 x 1 2 2,1,1 ,即有
6. 行列式
2 0 0 3 1 3 2 5 0 2 0 7

.
解答:使用行列式按行(列)展开法。因为
2 0 0 按第二行展开 2 0 0 3 按第一行展开 3 2 1 4 1 1 1 3 2 111 1 2 8 1 3 2 5 2 0 0 2 0 0 2 0 7
A. 2 B. 1
1 答案整理:郭慧敏 广州大学松田学院
C. 1
D. 2
解答:齐次线性方程组有非零解的 是系数行列式等于零,因此有
2017 年 4 月 线性代数(经管类)
2 k
1 1
1 10
1 1 1
又因为
2 k

《线性代数》样卷B及答案(1)

《线性代数》样卷B及答案(1)

《线性代数》样卷B一、选择题(本题共10小题,每小题2分,共20分)(从下列备选答案中选择一个正确答案) 1、排 列7352164的逆序数为( ) (A )11 (B )12 (C )13 (D )14 2、若A 为n 阶可逆矩阵,下列各式正确的是( ) (A )11(2)2A A --= (B )0A A *⋅≠(C )11()A A A-*-= (D )111[()][()]T T T A A ---=3、以初等矩阵001010100⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭右乘初等矩阵001100010A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭相当于对矩阵A 施行初等变换为( ) (A )23r r ↔ (B )23C C ↔ (C )13r r → (D )13C C ↔ 4、奇异方阵经过( )后,矩阵的秩有可能改变(A )初等变换 (B )左乘初等矩阵 (C )左右同乘初等矩阵 (D )和一个单位矩阵相加 5、 如果n 元齐次线性方程组0=Ax 有基础解系并且基础解系含有)(n s s <个解向量,那么矩阵A 的秩为( )(A )n (B )s (C )s n - (D )以上答案都不正确 6、向量组123,,βββ 线性无关,234,,βββ 线性相关,则有( )(A )1β可由423,,βββ 线性表示 (B )2β可由143,,βββ 线性表示 (C )3β可由124,,βββ 线性表示 (D )4β可由123,,βββ 线性表示 7、 以下结论正确的是( )(A )一个零向量一定线性无关; (B )一个非零向量一定线性相关; (C )含有零向量的向量组一定线性相关; (D )不含零向量的向量组一定线性无关 8、n 阶方阵A 具有n 个不同的特征值是A 与对角阵相似的( )(A )充要条件 (B )充分不必要条件 (C )必要不充分条件(D )既不充分也不必要条件9、 关于x 的一次多项式10213111()2543111f x x ---=-----,则式中一次项的系数为( )(A )2 (B )—2 (C )3 (D )—3 10、下列不可对角化的矩阵是( )(A )实对称矩阵 (B )有n 个相异特征值的n 阶方阵 (C )有n 个线性无关的特征向量的n 阶方阵 (D )不足n 个线性无关的特征向量的n 阶方阵二、填空题(本题共10空,每空2分,共20分) (请将正确答案填入括号内)1、若三阶方阵A 的3重特征值为2,则行列式A =2、已知6834762332124321D --=--,则212223246834A A A A +-+= . 3. 设A 为三阶可逆矩阵,且13A =,则()13A -= 4、 125=13--⎛⎫ ⎪-⎝⎭5、矩阵112134134-⎛⎫⎪- ⎪⎪--⎝⎭的秩是 6、行列式526742321-中元素-2的代数余子式是7、设0=AX 为一个4元齐次线性方程组,若321,,ξξξ为它的一个基础解系,则秩()R A =8、设211132121A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭的行最简形为: .9、已知(6,4,3),(1,3,2)T T x y ==--,则[],x y = . 10、 设向量T )2,2,3(-=α与向量T t ),3,4(=β正交,则=t三、计算题(本题共2小题,每小题6分,共12分) (要求写出主要计算步骤及结果)1、计算4222242222422224n D =2、已知2()41f x x x =-+,120210002A -⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭,求()f A .四、综合应用题(本题共4小题,共48分) (要求写出主要计算步骤及结果)1、(8分)已知向量组()()()1231,2,3,2,1,1,3,0,5,7,3,4,TTTααα==--=-,(1)求该向量组的秩. (2)求该向量组的一个最大无关组. (3)将不属于最大无关组的向量用最大无关组线性表示. 2、(8分)验证123(0,2,1),(2,1,3),(3,3,4)T T T ααα==-=--为R 3的一个基并求12(1,2,3),(2,3,1)T T ββ==-在这个基中的坐标。

北京大学线性代数方博汉线代B物院2018秋期中考试题

北京大学线性代数方博汉线代B物院2018秋期中考试题
ι : V ∗ → Map(A, K),
这里Map(A, K)是集合A到数域K的函数的全体, 构成一个线性空间. 对 任 何V 上 的 线 性 函 数r ∈ V ∗, ι(r)就 是r限 制 在 集 合A上, 即ι(r)(αi)定 义 为r(αi). 试证明:
• (5分) 若rankA = n, 则ι是单射; • (5分) 若A线性无关, 则ι是满射.
线性代数B 期中考试 十月三十日1:00PM-2:50PM
请在另外提供的答题本上答题。务必在答题本封面清楚的标注您的姓名、院系 和学号。本试卷考试结束后不用回收。请写出解答过程。考试期间不可以使用计算 器手机等电子设备,不可以参考任何电子或纸质材料,不可以从其他人那里获得任 何帮助。本试卷共100分。
(1) (20分) 求下列方程组的通解
x1 + x2 + 5x3 = 0, 3x1 + 2x2 + x3 − x4 = 1,
2x1 + x2 − 4x3 − x4 = 1, 4x1 + 3x2 + 6x3 − 3x4 = 1.
(2) (20分)n × n矩阵A, J为
a11 a12 . . . a1n
现在令V = Q3, 这里Q是有理数域. 设
1
0
1 = 0 , 2 = 1 ,
0
0
0 3 = 0 .
1
若η1, . . . , ηn是另外一组基
2
0
3
η1 = 1 , η2 = 1 , η3 = 0 .
−1
1
1
用V ∗的基 ∨1 ,
∨ 2
,
∨ 3
线性表出η1∨,
η2∨
,
η3∨.
(6) (10分)设A = {α1, . . . , αs}为K上有限维线性空间V 中的向量组, 设V 的维数 是n. 考察映射

线性代数期末考试(B卷)及答案

线性代数期末考试(B卷)及答案

北京师范大学XX 分校2007-2008学年第一学期期末考试(B 卷)开课单位: 应用数学系 课程名称: 线性代数 任课教师:__ __ 考试类型:_ 闭卷_ 考试时间:__120 __分钟 学院___________ 姓名___________ 学号______________ 班级____________试卷说明:(本试卷共4页,满分100分)------------------------------------------------------------------------------------------------------一、 填空(每空3分,共30分)1、行列式123345__0____567= 2、行列式sin cos cos sin _______+-=-1313113xxxx 3、设行列式 -5 11 1 31 0 2D =1,则______-+=21222350A A A4、设A ,B 均为三阶方阵且||,||A B ==45,则||______=20A B5、设A 为3阶方阵,且A =2,则A-=12 46、设矩阵A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭12311102103,则A 的秩()R A = 37、已知3阶矩阵A 的伴随矩阵的行列式A *=9,则=A 38、向量组,,,αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1234111322023001线性相关还是无关 线性相关试卷装订线9、设向量()(),,,,,x αα==1232963线性相关,则___1____=x10、设5元方程组=0A x 的系数矩阵A 的秩为3,则其解向量的秩应为 2二、选择题(每小题3分,共15分)1、行列式13632196233418第2行第2列元素的代数余子式A =22( D )(A )6; (B )9; (C )12; (D )15。

北京大学线性代数方博汉线代B物院2018秋期末考试题(回忆版)

北京大学线性代数方博汉线代B物院2018秋期末考试题(回忆版)

2018秋线性代数期末(回忆版)教师:⽅博汉(1)(20分) V 为实数域 ℝ 上 n 维线性空间,若正交线性映射 f:V →V 特征值为1的特征⼦空间 W 维数为 n −1 。

证明 f =id -−2P ,其中 id - 为 V 上恒同映射, P 为向 W 的正交补空间 W 0 的正交投影映射。

(2)(20分) 复数和四元数的矩阵表⽰• 设 V 为实数域上2阶实矩阵空间 M 2×2(ℝ) 的⼦空间,试找到⼀组基 {1,i} ,使得1 ∙1=1,1∙i =i ∙1=i,i ∙i =−1• 设 V 为实数域上2阶复矩阵空间 M 2×2(ℝ) 的⼦空间(所以共有8维),试找到⼀组基 {1,i,j,k} 使得1∙1=1,1∙i =i ∙1=1,1∙j =j ∙1=j,1∙k =k ∙1=1 i 2=j 2=k 2=i ∙j ∙k =−1 (3)(20分) 设矩阵A =>0000011010010000@ 若将 A 视为实数域上正交矩阵,求⼀组正交基,使得A 化为标准的分块对⾓化的形式(10分);若将A 视为⾣矩阵,求⾣空间中⼀组正交基,使得A 对⾓化。

(10分)(4)(20分) 若A 为复数域上 n 阶⽅阵,定义exp (A )=D A E k!GEHI =I +A +A 22!+A L 3!+⋯可以⽤Jordan 标准形证明,对于任意矩阵,右边的式⼦是收敛的(你不⽤证明)。

• (10分)证明:expOtr (A )R =det (exp (A))•(10分)证明:若A是反对称矩阵,则 exp (A) 是正交矩阵。

(提⽰:先证明 若AB=BA,则 exp(A+B)=exp(A)∙exp (B) 可以直接⽤这个结论证明,得5分)(5)(20分) 设 V 为复数域上 n 维线性空间。

我们知道 V⊗V 上有同构σ(α⊗β)=β⊗α(a) (2分) 设 S={v∈V⊗V |σ(v)=v } ,S 是 V⊗V 的⼦空间(你不⽤证明这个事实),求 S 的维数,设 V 的⼀组基为 {e\,e2,⋯,e]}。

2017线性代数试题及答案

2017线性代数试题及答案

(试卷一)一、 填空题(本题总计20分,每小题2分)1. 排列7623451的逆序数是 15_______。

2. 若122211211=a aa a ,则=16030322211211a aa a 33. 已知n 阶矩阵A 、B 和C 满足E ABC =,其中E 为n 阶单位矩阵,则CAB =-1。

4. 若A 为n m ⨯矩阵,则非齐次线性方程组AX b =有唯一解的充分要条件是 R(A)=R(A,b)=n_5.设A 为86⨯的矩阵,已知它的秩为4,则以A 为系数矩阵的齐次线性方程组的解空间维数为__2___________。

6. 设A 为三阶可逆阵,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-1230120011A,则=*A7.若A 为n m ⨯矩阵,则齐次线性方程组0Ax =有非零解的充分必要条件是R (A ) < n 8.已知五阶行列式1234532011111112140354321=D ,则=++++4544434241A A A A A 09. 向量α=(2,1,0,2)T-的模(范数)______________。

10.若()Tk 11=α与()T121-=β正交,则=k 1 1-2k+1=0二、选择题(本题总计10分,每小题2分) 1. 向量组rααα,,,21 线性相关且秩为s ,则(D)A.s r = B.s r ≤ C.r s ≤ D.r s <2. 若A 为三阶 方阵,且043,02,02=-=+=+E A E A E A ,则=A (A )A.8 B.8-C.34 D.34- 3.设向量组A 能由向量组B 线性表示,则( D )A.)()(A R B R ≤ B.)()(A R B R < C.)()(A R B R = D.)()(A R B R ≥4. 设n 阶矩阵A 的行列式等于D ,则()*kA 等于_____。

C)(A *kA )(B *A k n)(C *-A k n 1)(D *A5. 设n 阶矩阵A ,B 和C ,则下列说法正确的是B _____。

2017年自考线性代数历年考试试题及答案解析

2017年自考线性代数历年考试试题及答案解析

第一部分选择题(共28分)一、单项选择题(本大题共14小题,每小题2分,共28分)在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填在题后的括号内。

错选或未选均无分。

1.设行列式a aa a11122122=m,a aa a13112321=n,则行列式a a aa a a111213212223++等于()A. m+nB. -(m+n)C. n-mD. m-n2.设矩阵A=100020003⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪,则A-1等于()A.130012001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪B.100120013⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪C.13000100012⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪D.120013001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪3.设矩阵A=312101214---⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪,A*是A的伴随矩阵,则A *中位于(1,2)的元素是()A. –6B. 6C. 2D. –24.设A是方阵,如有矩阵关系式AB=AC,则必有()A. A =0B. B≠C时A=0C. A≠0时B=CD. |A|≠0时B=C5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关,则秩(A T)等于()A. 1B. 2C. 3D. 46.设两个向量组α1,α2,…,αs和β1,β2,…,βs均线性相关,则()A.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0B.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs使λ1(α1+β1)+λ2(α2+β2)+…+λs(αs+βs)=0C.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs使λ1(α1-β1)+λ2(α2-β2)+…+λs(αs-βs)=0D.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs和不全为0的数μ1,μ2,…,μs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=07.设矩阵A的秩为r,则A中()A.所有r-1阶子式都不为0B.所有r-1阶子式全为0C.至少有一个r阶子式不等于0D.所有r阶子式都不为08.设Ax=b是一非齐次线性方程组,η1,η2是其任意2个解,则下列结论错误的是()A.η1+η2是Ax=0的一个解B.12η1+12η2是Ax=b的一个解C.η1-η2是Ax=0的一个解D.2η1-η2是Ax=b的一个解9.设n阶方阵A不可逆,则必有()A.秩(A)<nB.秩(A)=n-1C.A=0D.方程组Ax=0只有零解10.设A是一个n(≥3)阶方阵,下列陈述中正确的是()A.如存在数λ和向量α使Aα=λα,则α是A的属于特征值λ的特征向量B.如存在数λ和非零向量α,使(λE-A)α=0,则λ是A的特征值C.A的2个不同的特征值可以有同一个特征向量D.如λ1,λ2,λ3是A的3个互不相同的特征值,α1,α2,α3依次是A的属于λ1,λ2,λ3的特征向量,则α1,α2,α3有可能线性相关11.设λ0是矩阵A的特征方程的3重根,A的属于λ0的线性无关的特征向量的个数为k,则必有()A. k≤3B. k<3C. k=3D. k>312.设A是正交矩阵,则下列结论错误的是()A.|A|2必为1B.|A|必为1C.A-1=A TD.A的行(列)向量组是正交单位向量组13.设A是实对称矩阵,C是实可逆矩阵,B=C T AC.则()A.A与B相似B. A与B不等价C. A与B有相同的特征值D. A与B合同14.下列矩阵中是正定矩阵的为()A.2334⎛⎝⎫⎭⎪ B.3426⎛⎝⎫⎭⎪C.100023035--⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪D.111120102⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪第二部分非选择题(共72分)二、填空题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)不写解答过程,将正确的答案写在每小题的空格内。

线性代数B期末考试题及答案

线性代数B期末考试题及答案

线性代数B期末考试题及答案一、选择题(每题5分,共20分)1. 以下哪个矩阵是可逆的?A. \(\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}\)B. \(\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}\)C. \(\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\)D. \(\begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 5 \end{bmatrix}\)答案:C2. 设 \(A\) 是一个 \(3 \times 3\) 矩阵,若 \(A^2 = I\),则\(A\) 一定是:A. 正交矩阵B. 斜对称矩阵C. 单位矩阵D. 对角矩阵答案:A3. 线性方程组 \(\begin{cases} x + 2y - z = 1 \\ 3x - 4y + 2z = 2 \\ 5x + 6y + 3z = 3 \end{cases}\) 的解的情况是:A. 有唯一解B. 有无穷多解C. 无解D. 不能确定答案:B4. 设 \(A\) 是一个 \(3 \times 3\) 矩阵,若 \(\det(A) = 0\),则 \(A\) 的秩:A. 等于3B. 小于3C. 等于0D. 大于等于3答案:B二、填空题(每题5分,共20分)1. 设 \(A\) 是一个 \(3 \times 3\) 矩阵,且 \(A\) 的行列式\(\det(A) = 2\),则 \(A\) 的伴随矩阵 \(\text{adj}(A)\) 的行列式是 _______。

答案:82. 若 \(A\) 是一个 \(3 \times 3\) 矩阵,且 \(A\) 的特征值为1,2,3,则 \(A\) 的迹数 \(\text{tr}(A)\) 等于 _______。

2017年10月线性代数(经管类)04184自考试题及解答

2017年10月线性代数(经管类)04184自考试题及解答


x12

4
x
2 2

2 tx1 x2

2 x1 x 3 为正定二次型,(1)确定 t 的取
值范围;(2)写出二次型 f (x1, x2 , x3 ) 的规范型。
1 t 1
解:(1)二次型的矩阵
A


t 1
4 0
0 2

由于 f (x1, x2 , x3 ) 为正定二次型,则 A 的顺序主子式

不能对角化。
1 1 1
1 0 0 证明:由 E A 1 1 0 ( 1)3 0
1 1 1
得 A 的特征值为 1 2 3 1
0 0 0
由于
E

A


1
0
0

的秩为
2,所以矩阵
A
的属于特征值
1

2

3
1 的线
4
2 0 0
21.设矩阵
A


0
3
2

,求可逆矩阵 P 和对角矩阵 ,使得 P1AP 。
0 2 3
2 0 0 解: E A 0 3 2 ( 1)( 2)( 5)
0 2 3
所以 A 的 3 个特征值分别为1, 2, 5 。
示。
1 1 1 4 1 1 2 1 1 1 2 1
解:1
,
2
,
3
,
4



1 1
3 5
3 4
3 1



2 3
3 2
1 2

北京大学《线性代数》六套试卷与答案

北京大学《线性代数》六套试卷与答案

线性代数参考题一一. 填空题(每小题3分,满分30分)1. 写出4阶行列式44434241343332312423222114131211a a a a a a a a a a a a a a a a 中含因子2311a a 的项为_________。

2. 行列式01112222=+b b a a b ab a 的充分必要条件为___________。

3. 设A 为方阵,满足022=--E A A ,则=-1A _________。

4. C B A ,,同阶方阵,0≠A ,若AC AB =,必有C B =,则A 应为_______矩阵。

5. 设A 为n 阶方阵,0=Ax 有非零解,则A 必有一个特征值为_________。

6. 设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=122212221A 相似于对角阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-α51,则=α_________。

7. 设向量组r A αα,,:1 是向量组T 的一个最大无关组,则A 与T 间关系为___________。

8. 由()()()0,1,1,1,0,1,1,1,0321===ααα所生成的线性空间为_________。

9. 二次型xz xy z y x f 44465222++---=的正定性为________。

10.若⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=t A 31322101,且()3=A R ,则=t _________。

二. (8分)计算2n 阶行列式d cdc dc b a ba ba D n 0002=三. (8分)解矩阵方程⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1302313512343122321X求?=X四. (10分)设向量组A:()()()()3,6,2,0,1,3,0,1,3,1,1,2,0,1,4,14321-=--=--==αααα求向量组A 的秩及一个最大无关组. 五. 12分)讨论方程组的解的情况⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++23213213211λλλλλx x x x x x x x x六. (16分)求正交变换PY X =,将二次型323121232221222222x x x x x x x x x f ---++=化为标准形,并写出其标准形.七. (8分)设n n ααβααβαβ++=+== 121211,,,且n αα,,1 线性无关, 证明:n ββ,,1 线性无关.八. (8分)A 为n 阶方阵,且A 与())1,,2,1(1-=-+n i iE A i均不可逆.则A 可否对角化?线性代数参考题二一、 填空题(每小题3分,满分30分) 1. 设B A ,都是5阶矩阵,且2,31=-=-B A ,则=A B2. 已知0222=++I A A ,则=+-1)(I A (其中I 是n 阶单位阵)3. ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=12241031x A 设,已知矩阵A 的秩r(A)=2,则=x4.()814370122222632144-==⨯ija A 设,又ij A 是ij a 的代数余子式,则=+++44434241A A A A5.若一向量组只有唯一的极大无关组,则该向量组6.设3221232221321222),,(x tx x x x x x x x x f ++++=是正定二次型, 则t 的取值区间为7.设A 是n 阶正交矩阵,1-=A ,则()=*TA8.设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=20002121x A 相似于对角阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--211,则=x9.设非齐次线性方程组b AX =的两个解为)(,,2121ξξξξ≠A 的秩为1-n ,则 b AX =的一般解=ξ .10.已知向量组[][][]1,4,2,1,0,,0,2,1,1,2,1321--==-=αααt 的秩为2,则=t 二.(8分)计算n 阶行列式ba a a ab a a a a b a D n n n n ---=212121三.(8分)求矩阵X 满足⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡1041120112201117241X 四.(10分)设[][][][]10,2,1,2,4,1,5,1,3,6,3,11,5,5,10,2,3,2,1,24321-==-=-=αααα求向量组的秩及其一个极大无关组. 五. (12分)问常数b a ,各取何值时, 方程组()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++++=++++=+-=+++,5853,34232,12,1432143214324321x a x x x b x x a x x x x x x x x x 无解,有唯一解,或有无穷多解,并在有无穷多解时写出其一般解. 六. (16分)求正交变换PY X =,将二次型()323121232221321222222,,x x x x x x x x x x x x f ---++=化为标准形,并写出其标准形.七. (8分)设向量432,,,1αααα线性无关,且43214432134321243211,,,ββββαββββαββββαββββα+---=-+--=--+-=---=证明向量组4321,,,ββββ线性无关.八. (8分)A 为n 阶方阵,且A 与())1,,2,1(1-=-+n i iI A i均不可逆。

线性代数B期末试卷及答案

线性代数B期末试卷及答案

2008 -2009学年第二学期《线性代数 B 》试卷量组1,2, ,m , 的秩为5. 设A 为实对称阵,且AI M 0,则二次型f =x T A x 化为f =y T A -1 y 的线性变换是x= __________ .T6. 设 R 3 的两组基为 a 11,1,1 ,a 2 1,0, 1 ,a 3 1,0,1 ;2,3,4 , 3 3,4,3 ,则由基 a !,a 2,a 3到基 1, 2, 3的过渡矩阵为、单项选择题(共6小题,每小题3分,满分18 分)一一一-二二 -三四五六总分(共 0 0 12. A 为n 阶方阵,AA T = E 且A 0,则A E |.3•设方阵A1 2 24 t 3 , B 为三阶非零矩阵,且AB=O,则t 3114.设向量组m线性无关,向量 不能由它们线性表示,贝U 向1(1,2,1,)T ,22009年6月22日6小题,每小题3分,满分18分)、填空题 1 0 0 10 01.设D n 为n 阶行列式,则D n = 0的必要条件是[]. (A) D n 中有两行元素对应成比例; (B) D n 中各行元素之和为零; (C) D n 中有一行元素全为零;(D)以D n 为系数行列式的齐次线性方程组有非零解.2.若向量组 ,,线性无关,,, 线性相关,则[](A)必可由,, 线性表示; (B)必可由,, 线性表示; (C)必可由,, 线性表示; (D)必可由,,线性表示.3.设3阶方阵A 有特征值0,— 1,1,其对应的特征向量为P i , P 2,P 3, 令1 亠( P 1, P 2, P 3),则 P —1AP =[ ].1 0 00 0 0(A) 01 0 ;(B) 01 0 ;0 0 0 0 0 10 01 0(C) 0 10 ;(D) 0 00 .0 0 —10 0—14. 设 a 1, a, a 线性无关,则下列向量组线性相关的是[](A) a, a, a - a ;(B) a 1,a + a, a 1+ a ;(C) a +( 也, a + a, a + a ; (D) a 1- a, a - a, a - a .5. 若矩阵A a x 4有一个3阶子式不为0,则A 的秩R ( A )=[]. (A) 1; (B) 2; (C) 3;(D) 4.6. 实二次型f 二X T A X 为正定的充分必要条件是[].(A) A 的特征值全大于零; (B) A 的负惯性指数为零;(C)AI > 0 ;(D) R(A) = n .、解答题(共5小题,每道题8分,满分40分)。

2017年4月 线代

2017年4月 线代

2017年4月高等教育自学考试全国统一命题考试线性代数(经管类) 试卷(课程代码04184)本试卷共3页,满分l00分,考试时间l50分钟。

考生答题注意事项:1.本卷所有试题必须在答题卡上作答。

答在试卷上无效,试卷空白处和背面均可作草稿纸。

2.第一部分为选择题。

必须对应试卷上的题号使用2B铅笔将“答题卡”的相应代码涂黑。

3.第二部分为非选择题。

必须注明大、小题号,使用0.5毫米黑色字迹签字笔作答。

4.合理安排答题空间。

超出答题区域无效。

说明:在本卷中。

A T表示矩阵A的转置矩阵。

A*表示矩阵A的伴随矩阵,E是单位矩阵,︱A ︱表示方阵A的行列式,r(A)表示矩阵A的秩。

第一部分选择题一、单项选择题(本大题共5小题,每小题2分,共10分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其选出并将“答题卡”的相应代码涂黑。

未涂、错涂或多涂均无分。

1.已知2阶行列式−3a2a1+2a2−3b2b1+2b2=6,则a1a2b1b2=A.-6B.-2C.2D.62.若矩阵A中有一个r+1阶子式等于零,且所有r阶子式都不为零,则必有A.r A=rB. r A≥rC. r A<rD. r A=r+13.设向量组α=1,0,0T,β=0,1,0T,下列向量中可以表为α,β线性组合的是A.2,1,0TB.2,1,1TC.2,0,1TD.0,1,1T4.设线性方程组2x1+x2+x3=0kx1+x2+x3=0x1−x2+x3=0有非零解,则k的值为A.-2B.-1C.1D.25.设A=123−1x2001,且A的特征值为1,2,3,则x=A.-2B.2C.3D.4第二部分非选择题二、填空题 (本大题共l0小题。

每小题2分,共20分) 请在答题卡上作答。

6.行列式0002001321350207=__________7.设−10x11−11−11=a1x+a0,则a1=__________8.设A,B为3阶矩阵,且A=2,B=−3,则3A∗B−1=__________9.设A,B均为2阶可逆矩阵,则3A OO B−1=__________10.向量组α1=110T,α2=30−9T,α3=123T的秩为__________11.设3元非齐次线性方程组Ax=b,满足r(A)=2,α1=−120T,α2= 131T为其两个解,则其导出组Ax=0的通解为__________12.设线性方程组x1−2x2+3x3=ax2− x3=bx1+ x3=c有解,则数a,b,c应满足__________13.设3阶矩阵A的特征值为1,-2,3,则A2+E=__________14.若n阶矩阵A满足3E+2A=0,则A必有一个特征值为__________15.二次型f x1,x2,x3=x1x2+x2x3的矩阵为__________三、计算题(本大题共7小题,每小题9分,共63分)16.计算行列式D=1+x1111−x111111+y11111−y17.设矩阵A=121011002,求A2−3A+E18.设矩阵A和B满足AB=A+2B,其中A=301110014,求矩阵B19.求向量组α1=1,2,1,4T,α2=0,3,−1,−3T,α3=1,−2,8,8T,α4=2,3,8,9T的一个极大无关组,并把其余向量用该极大无关组线性表出.20.设线性方程组−x1−4x2+ x3=1kx2− 3x3=3x1+3x2+k+1x3=0确定k取何值时,方程组有唯一解,无解,有无穷多解,并在有无穷多解时求出其通解(要求用其一个特解和导出组的基础解系表示)20.解:A=−1−410k−313k+11314−10−1k+200k+3k−1−11k+321.已知矩阵A=20000101x与B=2000y000−1相似,求(1)常数x与y的值;(2)可逆矩阵P,使得P−1AP=B22.求正交变换x=Qy,将二次型f x1,x2=5x12−4x1x2+5x22化为标准形四、证明题(本大题共l小题,共7分)请在答题卡上作答。

线性代数B期末试卷及答案

线性代数B期末试卷及答案

线性代数B期末试卷及答案2008 – 2009学年第⼆学期《线性代数B 》试卷⼀⼆三四五六总分⼀、填空题(共6⼩题,每⼩题 3 分,满分18分)1。

设??-=*8030010000100001A ,则A =。

2。

A 为n 阶⽅阵,T AA =E 且=+3.设⽅阵12243,311t -??=-A B 为三阶⾮零矩阵,且AB=O ,则=t . 4。

设向量组m ααα,,,21 线性⽆关,向量不能由它们线性表⽰,则向量组,,,,21m ααα的秩为。

5.设A 为实对称阵,且|A |≠0,则⼆次型f =x T A x 化为f =y T A —1 y 的线性变换是x = .6.设3R 的两组基为()T11,1,1a =,()21,0,1a T=-,()31,0,1a T=;),1,2,1(1=βT ,()()232,3,4,3,4,3ββ==T T,则由基123,,a a a 到基123,,βββ的过渡矩阵为 .得分6⼩题,每⼩题3分,满分18分)1.设D n为n阶⾏列式,则D n=0的必要条件是[ ].(A)D n中有两⾏元素对应成⽐例;(B) D n中各⾏元素之和为零;(C) D n中有⼀⾏元素全为零;(D)以D n为系数⾏列式的齐次线性⽅程组有⾮零解.2.若向量组,,线性⽆关,,,线性相关,则[ ].(A)必可由,,线性表⽰;(B) 必可由,,线性表⽰;(C)必可由,,线性表⽰;(D)必可由,,线性表⽰.3.设3阶⽅阵A有特征值0,-1,1,其对应的特征向量为P1,P2,P3,令P=(P1,P2,P3),则P-1AP=[ ]。

(A)100010000-;(B)000010001-;(C)000010001-; (D)100000001-.4.设α1,α2,α3线性⽆关,则下列向量组线性相关的是[ ].(A)α1,α2,α3 - α1;(B)α1,α1+α2,α1+α3;(C)α1+α2,α2+α3,α3+α1; (D)α1-α2,α2—α3,α3—α1.5.若矩阵A3×4有⼀个3阶⼦式不为0,则A的秩R(A) =[ ].(A) 1; (B)2;(C)3; (D)4.6.实⼆次型f=x T Ax为正定的充分必要条件是[].(A) A的特征值全⼤于零;(B) A的负惯性指数为零;(C)|A| > 0 ; (D) R(A) = n .得分三、解答题(共5⼩题,每道题8分,满分40分)1。

2017级线代试卷B答案

2017级线代试卷B答案

1 2 2 3 1 0 0 1
= 1时, B 0
1
1
1
0
1
1
1
0 0 0 0
0 0 0 0
R A R B 2 3,方程组有无穷多解;
此时,
x1 x2
=1 x3
, 1

x3 c,得通解
0 1
X
c
11
01
其中 c为任意常数. 12
2
江南大学考试卷专用纸
本题 得分
(B) 存在可逆阵 P , 使得P T A P B;
(C) 存在可逆阵 P , Q , 使得 P A Q B ; (D) A B .
(4) 设 A , B 为 n 阶相似方阵,则下列结论错误的是
[D]
(A) R A R B ;
(B) A , B 的特征值相同 ; (C) A 与 B 同时可逆或不可逆;
江南大学考试卷专用纸
2017 级《线性代数 II》期末考试卷(B)答案
使用专业、班级
学号
姓名
题号







得分
l
总分
本题 得分
一、填空题(每小题 4 分, 共 24 分)
2 0 0
(1 )
设矩阵
A
0
3
4
,则
A 1 =
0 4 5
1 2
0
0
0 0
5 4
4
3
.
(2) 设向量 = 1 , 1 , 0 T , 2 , 3 , 1 ,矩阵 A , 则 A100
又由1 , 2 , 3 线性相关 可知 3 能由1 , 2 线性表示 若 1 , 2 , 3 4 线性相关,则 3 4 能由 1 , 2 线性表示 故 4 能由 1 , 2 线性表示 即1 , 2 , 4 线性相关 与1 , 2 , 4 线性无关矛盾. 因此 1 , 2 , 3 4 线性无关.

2017-2018下线性代数B(考试)试卷 B

2017-2018下线性代数B(考试)试卷 B

新乡学院2016―2017学年度第二学期 《 线性代数 》期末试卷B 卷课程归属部门:数学与信息科学学院 试卷适用范围:2016级本科 工商管理类1、2、3、4班;经济与贸易类1、2班.考试形式:闭卷 考试时间: 110 分钟1.如果A 为三阶方阵,且2=A ,则=*A ( ).A.4B.8C.2D.162. 若A 为n 阶矩阵,且03=A ,则矩阵=--1)(A E ( ).A.2A A E +-B.2A A E ++C.2A A E -+ D.2A A E --3. 设33)(⨯=ij a A ,⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++=232122213331313113111211333a a a a a a a a a a a a B ,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0101000011P ,⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1000103012P , 那么( ).A.B P AP =21B.B A P P =12C.B AP P =21D.B AP P =12 4. 设三阶方阵A 有特征值2,-2,-2,则=A ( ).A.2B.8C.-2D.-8 5.设A 是正交矩阵,则下列结论错误的是( ). A.2A 必为1 B.A 必为1C.T A A=-1D.A 的行(列)向量组是正交单位向量组1. 排列24315是 排列.(奇或偶)2. 三阶行列式154222321=D ,则=++131211A A A __________.3. 设0=AX 为一个4元齐次线性方程组,若321,,ξξξ为它的一个基础解系,则 =)(A R _________.4. 在向量空间3R 中,若()1,2,1Tα=-与()2,3,Tt β=正交,则t =_________.5. 设矩阵010********A ⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭,已知212α⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭是它的一个特征向量,则α所对应的特征值为 .1. 若行列式D 中每个元素都大于零,则0>D . ( )2. 任意1+n 个n 维向量线性相关. ( )3. n 元齐次线性方程组0Ax =有非零解的充分必要条件是n A R <)(. ( )4.B A ,均为n 阶矩阵,则BA AB =. ( )5. 设21,ηη是非齐次线性方程组b Ax =任意2个解,则21ηη-是0=Ax 的一个解. ( )6. 行列式102=021325D ---的第二行第一列元素的代数余子式为4-. ( )一、选择题(每题3分,共15分)二、填空题(每题3分,共15分)三、判断题(每题2分,共20分)院系:_________________ 班级: ________________ 姓名:______________ 学号:_____________ ….…………………..………….密………………….……封………….………….…线……………….……….……….………7. 矩阵120000100001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦是一个标准形矩阵. ( ) 8. n 阶方阵A 可逆的充分必要条件是A 的列秩为n . ( ) 9. 112)2(--=A A . ( )10. 设3=α,则62-=-α. ( )1. 计算行列式2140312112325062D -=.2.设130261011A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,求1A -.3. 设矩阵12102242662102333334A --⎛⎫ ⎪--⎪= ⎪- ⎪⎝⎭求:(1)A 的秩()R A . (2)求A 的列向量组的一个最大无关组,并将其余向量用该最大无关组线性表示.四、计算题(每题10分,共40分)4. 求非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=--=----=-+3314623214321421x x x x x x x x x x 的通解.已知向量组321,,a a a 线性无关,2112a a b +=,3223a a b +=,3134a a b +=, 证明:向量组123,,b b b 线性无关.五、证明题(共10分)院系:_________________ 班级: ________________ 姓名:______________ 学号:_____________ ….…………………..………….密………………….……封………….………….…线……………….……….……….………。

线性代数考试练习题带答案大全(二)

线性代数考试练习题带答案大全(二)

线性代数考试练习题带答案一、单项选择题(每小题3分,共15分)1.设A 为m n ⨯矩阵,齐次线性方程组0AX =仅有零解的充分必要条件是A 的( A ). (A ) 列向量组线性无关, (B ) 列向量组线性相关, (C )行向量组线性无关, (D ) 行向量组线性相关. 2.向量,,αβγ线性无关,而,,αβδ线性相关,则( C )。

(A ) α必可由,,βγδ线性表出, (B )β必不可由,,αγδ线性表出, (C )δ必可由,,αβγ线性表出, (D )δ必不可由,,αβγ线性表出. 3. 二次型()222123123(,,)(1)1f x x x x x x λλλ=-+++,当满足( C )时,是正定二次型.(A )1λ>-; (B )0λ>; (C )1λ>; (D )1λ≥.4.初等矩阵(A );(A ) 都可以经过初等变换化为单位矩阵;(B ) 所对应的行列式的值都等于1; (C ) 相乘仍为初等矩阵; (D ) 相加仍为初等矩阵 5.已知12,,,n ααα线性无关,则(C )A. 12231,,,n n αααααα-+++必线性无关;B. 若n 为奇数,则必有122311,,,,n n n αααααααα-++++线性相关;C. 若n 为偶数,则必有122311,,,,n n n αααααααα-++++线性相关;D. 以上都不对。

二、填空题(每小题3分,共15分)6.实二次型()232221213214,,x x x x tx x x x f +++=秩为2,则=t7.设矩阵020003400A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,则1A -=8.设A 是n 阶方阵,*A 是A 的伴随矩阵,已知5A =,则*AA 的特征值为 。

9.行列式111213212223313233a b a b a b a b a b a b a b a b a b =______ ____;10. 设A 是4×3矩阵,()2R A =,若102020003B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,则()R AB =_____________;三、计算题(每小题10分,共50分)11.求行列式111213212223313233a b a b a b D a b a b a b a b a b a b +++=++++++的值。

线性代数B试卷答案

线性代数B试卷答案

《线性代数B 》课程试卷一、填空(本题共6小题,每小题3分,共18分)1. 设A 是四阶方阵,且,1=A 则=2-1-A16 .2.设三阶方阵A 的特征值为1,-1,2,则E A A B 2+5-=2的特征值为 -2,8,-4.3. 已知321ααα,,线性相关,3α不能由21αα,线性表示,则21αα,线性 相关.4. 设矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2-0151-4-02021=t A 的秩为2,则t = 3 . 5. 设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛400021032=A ,则1-A =⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛4100021-03-2.6.设4阶矩阵[]321=γγγα,,,A ,[]321=γγγβ,,,B ,且,2=A ,3=B 则=+B A 40.二、单项选择(本题共5小题,每小题3分,共15分)1. 矩阵A 适合条件( D )时,它的秩为r)(A A 中任何1+r 列线性相关;)(B A 中任何r 列线性相关;)(C A 中有r 列线性无关; )(D A 中线性无关的列向量最多有r 个.2. 若n 阶方阵B A , 均可逆,C AXB = ,则=X ( C ) C BAA 1-1-)( ; 1-1-ACBB )(; 1-1-CBAC )(; 1-1-CABD )( .3、设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n a a a a A1111,⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n A A A A B1111,其中ij A 是ij a 的 代数余子式(i ,j=1,2,…,n ),则 ( C ))(A A 是B 的伴随矩阵; )(B B 是A 的伴随矩阵;)(C B 是T A 的伴随矩阵; )(D B 不是TA 的伴随矩阵.4. A 与B 均为n 阶矩阵,若A 与B 相似,则下列说法正确的是( C ).)A (A 与B 有相同的特征值和特征向量; )B ( B E A E -=-λλ;)C (对任意常数k ,有 A kE -与B kE -相似; )D (A 与B 都相似于同一对角阵.5. 非齐次线性方程组b Ax =中A 为)(n m n m ≠⨯矩阵,则( B )(A) 若b Ax =有无穷多解,则0=Ax 仅有零解;(B) 若b Ax =有唯一解,则0=Ax 仅有零解; (C) 若0=Ax 有非零解,则b Ax =有无穷多解; (D) 若0=Ax 仅有零解,则b Ax =有唯一解.三、计算.(10分)1-1-1-n 2121n 21a a a a a a a a a n解 )1-=∑1=ni i n a D (1-11-11222n n n a a a a a a分4=)1-∑1=ni i a (1-0101-1001分8 1-1-=n )()1-∑1=ni i a (分10四、(10分)设B A ,满足关系式A B AB +2=,且 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛410011103=A , 求矩阵B . 解 A E A B 1-2-=)( 分3 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡4121001101-1103101=2- )(A E A 分5 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡410211-12-1-1-0103101−→−分6 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡322-1002-3-40102-2-5001−→−分9⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡322-2-3-42-2-5=∴X 分10 (分或8⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡111-1-2-21-1-2=2-1- )(E A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡322-2-3-42-2-5=∴X 分10 )五、 (14分) 已知非齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=----=+++-=+-+=+-+bx x x x x ax x x x x x x x x x x 4321432143214321617231462032,问a 、b 为何值时,方程组有解,并求出所有解。

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其中A, B ∈ Mn×n(R), Bt是矩阵B的转置, tr表示矩阵的迹. • 请验证如此定义的双线性函数确实是内积, 这样Mn×n(R)构成了一个 欧几里德空间. (5分)
• 设U ⊂ Mn×n(R)为所有反对称矩阵的全体, 它是一个子空间(不用证 明). 对任何的方阵A = (aij), 试用aij写出PU A, 即A在子空间U 上的正 交投影. (10分)
1
2
LINEAR ALGEBRA B FINAL, 2:00PM-4:00PM
• 正交补空间U ⊥的维数是多少? (8分) • 若非零子空间U 里的任何两个向量α, β满足f (α, β) = 0, 这样的子空间
是否存在(2分), 可能的最大维数是多少(5分)? (6) (15分) 设V 是复数域C上的n维线性空间.
(1) (15分) 设矩阵A为
A=
1 −1
2 4
• 写出A的特征值和特征向量. A可不可以对角化? (8分)
• 考察线性变换A : M2×2(C) → M2×2(C), 定义为A(U ) = A−1U A, 这 里U ∈ M2×2(C)是一个2阶复数方阵. 写出这个线性变换的特征值和特 征向量, 并且判断A是不是可以对角化并说明理由. (7分)
(4) (15分) 实对称矩阵
0 2 4 A = 2 −3 2 .
420
是否存在实矩阵B使得B2 = A; 若没有,是否存在复矩阵B使得B2 = A? 请说明你这么判断的理由.
(5) (15分) 设K是一个数域, 考察下述K2n上的非退化反对称双线性函数
f (α, β) = x1y1 − y1x1 + x2y2 − y2x2 + · · · + xnyn − ynxn, 其中
– 证明 (α, β)是一个非退化的实反对称双线性函数(意即V 作为实 数域上线性空间在此反对称双线性函数下构成一个非退化的辛 空间).
(7) (10分) 定义数域K上的线性空间V 的对偶空间V ∗为从V 到K的所有线性映
射构成的集合Hom(V, K). 我们知道, 做为这种线性映射的全体, V ∗是线性
(2) (15分) 在R4中(R为实数域), 求空间
V1 = (−1, 5, 3, 2), (4, 1, −2, 9)

V2 = (2, 0, −1, 4), (0, 3, 4, −5)
的交空间V1 ∩ V2的一组基(7分); 求V1 + V2的一组基(8分).
(3) (15分) 定义空间Mn×n(R) (实数域上的n阶方阵全体构成的线性空间) 上的 内积为 (A, B) = tr(ABt).
(α, β) = (α, β) + (α, β)i,
其中 (α, β)表示(α, β)的实部, (α, β)表示(α, β)的虚部, i是虚数单位. 若把V 视为实数域R上的线性空间,
– 证明 (α, β)是一个实对称非退化双线性函数(意即V 作为实数域 上线性空间在这个对称双线性函数下构成欧几里德空间);
• 如果把V 视为实数域R上的线性空间, 就是说作为线性空间的加法不变, 对任何实数k和α ∈ V , 其数乘就是把k视为复数在原来复数域线性空间 中的数乘kα. 那么作为实数域上的线性空间, V 的维数是多少? 为什 么? (5分)
• (10分) 设V 是一个酉空间, 那么V 上的Hermitian内积有实部和虚部. 对 任何V 中的向量α, β, 其内积
0
1
1
若η1, . . . , ηn是另外一组基
2
0
3
η1 = 1 , η2 = 1 , η3 = 0 .
−1
1
1
任何一个向量α ∈ V 都可以唯一分解为
α = k1η1 + k2η2 + k3η3.
对l = 1, 2, 3, 定义映射fl : V → Q为取一个向量的在η1, η2, η3下的第l个 坐标: 对任何α ∈ V , 定义为fl(α) = kl. 这是一个线性映射(你不用证 明), 于是fl ∈ V ∗. 对l = 1, 2, 3, 把每个fl写成 ∨1 , ∨2 , ∨3 的线性组合. (7分)
α = (x1, y1, x2, y2, . . . , xn, yn), β = (x1, y1, x2, y2, . . . , xn, yn). 对于K2n的一个k维子空间U (k ≤ 2n), 类似于实内积空间, 定义正交补空间
U ⊥ = {α ∈ K2n|f (α, β) = 0, 对任意的β ∈ U }.
空间.

若V 的一组基是
1, . . . ,
n, 定义
∨ i

V
∗使得∀j,
∨i ( j ) = δij =
1, if i = j, 0, if i = j.
试证明
∨ 1
,
.
.
.
,
∨ n
是V∗Leabharlann 一组基.(3分)• 现在令V = Q3, 这里Q是有理数域. 设
1
0
1
1 = 0 , 2 = 1 , 3 = 0 .
线性代数B 期末考试 一月三日2:00PM-4:00PM
请在另外提供的答题本上答题. 务必在答题本封面清楚的标注您的姓名, 院系和 学号. 本试卷考试结束后不用回收. 请写出解答过程. 考试期间不可以使用计算器 手机等电子设备, 不可以参考任何电子或纸质材料, 不可以从其他人那里获得任何 帮助. 本试卷共100分.
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