苏科版九年级下册52函数y=ax2+k的图象与性质3yong
苏科版 九年级数学 下第5章二次函数 5.2二次函数的图像和性质课件(15张PPT)-经典教学教辅文
反馈检测 拓展延伸
1.抛物线y=（x-1)2+1的顶点坐标是（ ） A．（1，1） B．（-1，1） C．（1，-1） D．（-1，-1）
2.将抛物线y=3x2向左平移3个单位，再向下平移2个单位后，所得图像的函数表达式是_____．
3.函数y=2x2-4x-1写成y=a（x+h)2+k的形式是______，
向上移 2个单位
y 10
9 y＝ (x＋3)2＋2 8
7
6
5 变式：
4 二次函数y＝ (x－1)2 － 6的图像和y＝x2的图像
3 的位置有什么关系？
2 y＝ (x＋3)2 1
y＝ (x＋3)2 ＋2 y＝x2
-6 -5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 x
5.2 二次函数的图像和性质(4)
活动二：转化迁移 问题（3）函数y＝x2＋2x＋3 的图像也是抛物线吗？如何说明
问题（4） 你能将函数y＝ax2＋bx＋c 转化为 y＝a(x＋h)2＋k 的形式吗？
5.2 二次函数的图像和性质(4) 合作探究 集思广益
函数y＝x2＋2x＋3 的图像也是抛物线吗？
y ＝x2＋2x＋3 ＝x2＋2x＋1＋2 ＝ (x＋1)2＋2．
y＝x2＋2可以看成是y＝x2向 上平移两个单位长度．
y＝ (x＋3)2可以看成是y＝x2向 左平移三个单位长度．
5.2 二次函数的图像和性质(4)
有什么关系？
y＝ (x＋3)2＋2的图像与y＝x2的图像
y ＝ x2
向左移 3个单位
y＝ (x＋3)2
（2）观察图像： 函数y＝ (x＋3)2 ＋2有哪些性质？
初中数学
九年级(下册)
新苏科版九年级数学下册《5章 二次函数 5.2 二次函数的图像和性质 y=ax^2+k、y=a(x+m)^2的图像》教案_35
第五章二次函数5.2二次函数的图像和性质（3）【教学目标】学生会用平移变换解释二次函数y＝ax2＋k、y＝a(x＋m)2和二次函数y＝ax2（a≠0）的位置关系，并能根据图像，认识和理解二次函数y＝ax2＋k、y＝a(x ＋m)2（a≠0）的性质，体会数学研究问题由具体到抽象、特殊到一般的思想方法．[设计意图]本节课是二次函数的图像与性质的第三节课，学生已经学会利用列表、描点、连线的方法画出二次函数y＝ax2的图像，并会从图像上认识此类二次函数的性质，本节课将继续用运动变化的观点，探索二次函数y＝ax2＋k、y ＝a(x＋m)2和二次函数y＝ax2（a≠0）的图像的关系．【教学重难点】重点：从“坐标的数值变化”与“图形的位置变化”的关系着手，探索二次函数y＝ax2＋k、y＝a(x＋m)2的图像和二次函数y＝ax2（a≠0）的位置关系．难点：从二次函数y＝ax2＋k、y＝a(x＋m)2的图像和二次函数y＝ax2（a≠0）的图像的异同中体会它们之间的关系．【教学过程】一、教学情境你还记得二次函数y＝x2的图像是怎样的吗？那么函数y＝x2＋1的图像与函数y＝x2的图像有什么关系？[设计意图]引导学生回忆二次函数y＝x2图像，为本节课学习打下基础，同时用新旧知识的比较来激发学生学习新知识的欲望．二、探索活动【活动1】探索二次函数y＝ax2＋k（a≠0）的图像和性质．操作：在平面直角坐标系中画出函数y＝x2的图像和y＝x2＋1的图像．1．列表：2.描点、连线：观察：两个表中的数据变化和点的坐标变化；思考：（1）从表格的数值看：相同的自变量所对应的两个函数的函数值有什么关系？（2）从对应点的位置看：函数y＝x2＋1的图像和y＝x2的图像的位置有什么关系？交流：函数y＝x2＋1的图像有哪些性质？[设计意图]学生经历列表、描点、作图、观察、比较、思考的过程，引导学生观察表中数据的变化与点在平面内位置的变化的关系，进而得到函数图像位置的变化规律，初步感受点的坐标的变化带来图形位置的变化．总结：（1）由上面的例子，你发现函数y＝ax2＋k的图像与函数y＝ax2（a≠0）的图像有什么关系？（2）二次函数y＝ax2＋k（a≠0）有什么性质？[设计意图]通过学生相互交流、补充，逐步完善函数y＝ax2＋k的性质，函数的增减性、开口方向和最大值（最小值）.注意引导学生体会“变化与对应”，注意分类讨论思想的渗透．【活动2】探索二次函数y＝a(x＋m)2（a≠0）的图像和性质．操作：在平面直角坐标系中画出函数y＝(x＋3)2的图像．1.列表：2．描点、连线：在平面直角坐标系中，画出函数y＝x2与函数y＝(x＋3)2的图像；观察：表格中的数据变化和点的坐标变化；思考：（1）从表格的数值看：函数y＝(x＋3)2与函数y＝x2的函数值相等时，它们所对应的自变量的值有什么关系？（2）从对应点的位置看：函数y＝(x＋3)2的图像与y＝x2的图像的位置有什么关系？交流：函数y＝(x＋3)2的图像有哪些性质？[设计意图]进一步感受在平面直角坐标系中，点坐标的变化与图形运动变化之间的关系．总结：（1）由上面的例子，函数y＝a(x＋m)2的图像与函数y＝ax2（a≠0）的图像有什么关系？（2）函数y＝a(x＋m)2有什么性质？[设计意图]通过学生相互交流、补充，逐步完善函数y＝a(x＋m)2的性质，函数的增减性、开口方向和最大值（最小值），注意引导学生体会“变化与对应”、突出“数形结合”的思想．三、小结思考本节课我学会了哪些知识和方法？我对所学知识还有什么疑惑之处？你认为还有继续探究的问题吗？[设计意图]促进学生学会反思，总结知识和方法，将新知识纳入到自己原有的知识体系，学会自我建构．【教学感悟】本节课第二个活动是难点，学生在画函数y＝(x＋3)2的图像时出现了这样的现象：由于列表选择数值的问题导致画图时仅仅只画出了函数一侧的图像，对于学生画图时出现的这种情况，本节课也要花些时间引导学生如何取值，让学生真切感受到数学其实不难学。
苏科版九年级数学下册_5.2.2二次函数y=ax2+k,y=a(x+ h)2,y=a(x+h)2+k
感悟新知
2. 二次函数y=a(x+h)2的图像与性质
函数
y=a(x＋h)2(a>0)
知2－讲
y=a(x＋h)2(a<0)
图像
开口方向 顶点坐标
对称轴 顶点位置
增减性
向上
向下
(h，0)
直线x=h
当h>0 时，顶点在y 轴的左侧(即x 轴的负半轴上)； 当h<0 时，顶点在y 轴的右侧(即x 轴的正半轴上)
感悟新知
特别解读：
知4－讲
①抛物线y=ax2，y=ax2+k，y=a(x＋h)2，y=a(x－h)2+k中a
值相等， 所以这四条抛物线的形状、大小完全一样，
故它们之间可互相平移得到.
②抛物线的平移规律是“左加右减，上加下减”，所不
同的是，左右平移时，只针对常数h进行变化，而上下
平移时，只针对常数k进行变化，可简记为左加右减自
当k为正数时，向上平移；“下减”表示当k为负数时，
向下平移；“纵变横不变”表示坐标的平移规律，即：
抛物线平移时其对应点的纵坐标改变而横坐标不变.
感悟新知
知1－讲
例 1 [模拟·镇江] 将抛物线y=－2x2－1 向上平移 3个单位 长度后，得到的抛物线的表达式是__y_=_－__2_x_22_＋__12_____.
解题秘方：根据上加下减的规律，直接在函数表 达式上加 3 可得新函数的表达式. 2
感悟新知
知1－讲
解：∵抛物线y=－2x2－1 向上平移 3 个单位长度，
∴ y=－2x2－1+
3 2
，即y=－2x2+
1 2
.
2
感悟新知
知1－讲
九下数学课件 二次函数y=ax^2+k的图像与性质 (课件)
(2) BF＝BC 理由：在y＝kx＋2中，令x＝0，得y＝2.∴ 点F的坐标为(0，2)．
∴ OF＝2.过点F作FH⊥BC，垂足为H.设点B的坐标为 t， 1 t2 + 1 ，
4
∵ 易知四边形OFHC为矩形，∴ OF＝CH，FH＝OC＝t，BC＝14t2＋1.
∴
BH
＝
BC
－
CH
＝
BC
－
OF
＝
1 4
当x＜0时，y随x增大而减小．
抛物线关于y轴对称．
图像有最低点，过（0,0） y有最小值．
当x＞0时，y随x增大而增大．
抛物线开口向上．
那么y＝x2＋1的图像与y＝x2的图像有什么关系？
在同一坐标系中画出函数y＝x2和y＝x2＋1的图像． （1）列表．
x
… －3 －2 －1 0 1 2 3 …
y=x2 … 9
位置上下平移规律，即：抛物线y=ax2+k 是由抛物线 y=ax2 上下平移｜ k ｜个单位长度得到的，“上加”表 示当k 为正数时，向上平移；“下减”表示当k为负数时， 向下平移；
“纵变横不变”表示坐标的平移规律，即：抛物线平 移时其对应点的纵坐标改变而横坐标不变.
l 归纳：
2. 二次函数y=ax2+k 的图像
l 归纳：
3. 二次函数y=ax2+k 的性质 (1)当a>0时，函数有最小值k，当a<0时，函数有 最大值k； (2)如果a>0，当x<0时，y随x的增大而减小，当 x>0时，y随x的增大而增大；如果a<0，当x<0 时，y随x的增大而增大，当x>0时，y随x的增 大而减小.
l 归纳：
4. 二次函数y=ax2+k 的图象的画法 (1)描点法：类比作二次函数y=ax2 图象的描点法，
新苏科版九年级数学下册《5章二次函数5.2二次函数的图像和性质y=ax^2+k、y=a(x+m)^2的图像》教案_17
3. 函数 y ＝ x 2＋ 1 是由 y＝ x2－ 2 向 _____平移 _____单位得到的。
4. 函数
1 y＝3
x
2－ 4
是由
1 y＝3
x
2＋
5
向
_____平移
_____ 单位得到的。
5.
函数
2
y=ax -a
与
y= a (a
0) 在同一直角坐标系中的图像可能是
x
（）
6. 抛物线 y ax2 c 的顶点坐标为（ 0， -2 ），形状及开口方向与 y 3 x2 1 相同，求 a 与 c 的值。
。将
抛物线 y=-5x 2+1 向下平移 5 个单位 , 所得的抛物线的函数式是
。
观察上面的函数图像，你能总结函数 填写下列表格：
y=ax2+c 的性质 吗？
y=ax2+c (a ≠ 0)
a>0
a<0
开口方向
顶点坐标
对称轴
增减性
最值
2
2
抛物线 y=ax +c (a ≠ 0) 的图像可由 y=ax 的图像通过 ________得到 .
2
可由 y=4x 的图像向
平移 个单位得到。
(2) 、将函数 y=-3x 2+4 的图像向
平移
个单位可得 y=-3x 2的图像；将 y=2x 2-7 的图
像向
平移
个单位得到可由 y=2x 2 的图像。 将 y=x 2-7 的图像向
平移 个单
位可得到 y=x 2+2 的图像。
（3）将抛物线 y=4x2 向上平移 3 个单位， 所得的抛物线的函数式是
检测 反馈
九年级数学二次函数y=ax2k(a≠0)的图像与性质(知识讲解)Word版含解析
【要点梳理】
要点一、二次函数y=ax2+k(x2+k(a≠0)的图像
（1）
（2）
2．二次函数y=ax2+k(a≠0)的图像的性质
关于二次函数y=ax2+k(a≠0)的性质，主要从抛物线的开口方向、顶点、对称轴、函数值的增减性以及函数的最大值或最小值等方面来研究．下面结合图像，将其性质列表归纳如下：
x
﹣2
1
5
y
m
n
p
表中m、n、p的大小关系为（用“＜”连接）．
5．在同一直角坐标系中画出二次函数 与二次函数 的图形．
（1）从抛物线的开口方向、形状、对称轴、顶点等方面说出两个函数图象的相同点与不同点；
（2）说出两个函数图象的性质的相同点与不同点．
6．二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
故答案为>0；=0；1；（0，1）；（-1，0）和（1，0）.
（3）抛物线 的开口方向向上，对称轴是y轴，顶点坐标是（0，-3）.
【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，做出图象后即可得到平移的单位和方向．解题的关键是掌握二次函数的图像和性质.
4．（1）二次函数y＝ax2的图象随着a的变化，开口大小和开口方向都会变化，但是对称轴、顶点坐标不会改变；二次函数y＝﹣2x2+c的图象随着c的变化，开口大小和开口方向都没有改变，对称轴也没有改变，但是，顶点坐标会发生改变；（2）±2，﹣2；（3）p＜m＜n
【详解】（1）抛物线的对称轴为：x=- =0
令x=0，y=4
则顶点坐标为（0，4）；
5.2二次函数的图像和性质 第3课时 二次函数y=ax^2 bx c的图像和性质(教学课件)-初中数
新知导入 课程讲授 随堂练习 课堂小结
y=ax2+bx+c(a≠0)的性质
二次函数y=-x2-4x-5 的图像如图所示.
由图像可知， 当x=-2时， y的值最大， 最大值是-1.
新知导入 课程讲授 随堂练习 课堂小结
y=ax2+bx+c(a≠0)的图像
y＝
1 2
x2－6x＋21
y＝
1 2
(x2－12x)＋21
你知道是怎样配方的吗？ 1. “提”：提出二次项系数；
1 y＝ 2 (x2－12x＋36－36)＋21
y＝ 1 (x－6) 2＋21－18 2
2.“配”：括号内配成完全平方式；
a＜0时，抛物线开口向下，函数有最大值；
4ac － b2
函数在顶点处取得有最大（小）值 4a
.
新知导入 课程讲授 随堂练习 课堂小结
y=ax2+bx+c(a≠0)的图像
练一练：用配方法将二次函数y=x2-8x-9化为y=a(x-h)2+k的形式 为( B ) A.y=(x-4)2+7 B.y=(x-4)2-25 C.y=(x+4)2+7 D.y=(x+4)2-25
新知导入 课程讲授 随堂练习 课堂小结
y=ax2+bx+c(a≠0)的性质
例1 画出二次函数y=-x2-4x-5的图像，并指出它的开口方向、顶点坐 标、对称轴、最大值或最小值. 【分析】要画出二次函数y=-x2-4x-5的图像，可先将函数表达式变
【最新】苏科版九年级数学下册第五章《y=ax2+k,y=ax+m2图像和性质》公开课课件.ppt
是____,抛物线上有最____点,所以函数有最___值,这个
值是______
3.(1)将函数y=-3x2向上平移5个单位后的函数________;
(2)将函数_________向下平移3个单位后得函数y=2x2-1.
自学指导二
认真看课本P.14第二个“观察与思考”
--15的练习结束，想一想： 1.画二次函数y=a（x-h）2的图象的方法. 2. 二次函数y=a（x-h）2的图象与函数y=ax2 的图象从“坐标的数值变化”看有什么关系？ 3.二次函数y=a（x-h）2的图象与函数y=ax2 的图象从“图形的位置变化”看有什么关系？
课堂感悟
谈谈你的收获与体会!
课堂作业
必做题：课时达标P.7 T1-5 选做题：课时达标P.8 T6-9 思考题：课时达标P.8 T10-11
9、春去春又回，新桃换旧符。在那桃花盛开的地方，在这醉人芬芳的季节，愿你生活像春天一样阳光，心情像桃花一样美丽，日子像桃子一样甜蜜。 2021/1/122021/1/12Tuesday, January 12, 2021
• 14、Thank you very much for taking me with you on that splendid outing to London. It was the first time that I had seen the Tower or any of the other famous sights. If I'd gone alone, I couldn't have seen nearly as much, because I wouldn't have known my way about.
5分钟后,比谁能正确地分析y=a（x-h）2的 图像与性质。
新苏科版九年级数学下册《5章 二次函数 5.2 二次函数的图像和性质 y=ax^2+k、y=a(x+m)^2的图像》教案_25
x10864242-4-2O 《y =a(x+h)²(a ≠0)的图像与性质》教学设计【教学目标】1.会画y =a(x+h) ²的图像；2.探索y =a(x+h) ²与y=ax ²的图像的关系 ；3.通过图像归纳总结y =a(x+h) ² 性质.【教学重点】通过图像归纳总结y =a(x+h) ² 性质.【教学难点】会用平移的思想来归纳总结y =a(x+h) ² 性质． 【教学方法】讨论法、演示法、讲授法. 【学习方法】自主探索、合作交流、小组展示. 【教学过程】 一、课前导学与预习提前自主预习并完成《y =a(x+h)²(a ≠0)的图像与性质》导学案. 二、课堂展示与教学 1.知识复习复习y=ax ²（a ≠ 0） 、y=ax ²+c （a ≠ 0）图像和性质.设计意图：通过复习，回顾已学的y=ax ²（a ≠ 0） 、y=ax+c （a ≠ 0）图像和性质,为本节课的学习做铺垫. 2.小组讨论就课前预习导学案过程中出现的疑难困惑进行小组讨论，初步解决存在的问题，提出新的问题或见解，以备小组展示说明.设计意图：小组讨论，增强学生的合作精神． 3.展示交流 活动一请在同一平面直角坐标系中画出函数y=x ² 、y = (x+3) ² 的图象. 1.操作：x… 6-5- 4- 3- 2- 1-1 2 3 … 2y x =… … 2(3)y x =+…(2)在下图的直角坐标系中，描点并画出函数2 2.思考：（1）函数y=(x+3)2的图象与y=x 2的图象的形状相同吗?（2）从表格中的数值看，函数y=(x+3)2的函数值与函数y=x 2的函数值相等时，它们所对应的自变量的值有什么关系?（3）从点的位置看，函数y=(x+3)2的图象与函数y=x 2的图象的位置有什么关系？它是轴对称图形吗?它的对称轴和顶点坐标分别是什么?3.结论:函数y=(x+3)2的图象可以由函数y=x 2的图像沿x 轴向 平移 个单位长度得到,所以它是 ,这条抛物线的对称轴是 ，顶点坐标是 ,当x 时,y 随x 的增大而增大,当x 时,y 随x 的增大而减小.设计意图：通过动手操作，初步的感受y=x ² 、y = (x+3) ²之间的关系，并能得到y = (x+3) ²的简单性质，也为下面的一般性质做铺垫，让学生感受由特殊到一般的数学思想． 活动二4.观察下图,思考并回答下列问题:①抛物线y=-3(x-1)2可以看作是抛物线y=-3x 2沿x 轴 平移了 个单位;抛物线y=-3(x+1)2可以看作是抛物线y=-3x 2沿x 轴 平移了 个单位. ②图象向左平移还是向右平移,移多少个单位长度,有什么规律吗?设计意图：通过具体图像，感受图形的平移，也为下面的一般函数图像平移做铺垫，让学生感受由特殊到一般的数学思想. 活动三5.归纳：二次函数y=a(x-h)2(a ≠0)的图象和性质： 设计意图：归纳一般结论，为解决实际问题做准备. 例题展示1.二次函数y=2（x+5）2的图像是 ，开口 ，对称轴是 ，当x= 时，y 有最 值，是 .它是由二次函数y=2x 2向____平移______个单位得到.它向左平移6个单位后的二次函数的解析式为___________. 巩固练习1.抛物线y ＝6(x －1)2顶点坐标是 （ ）A.（－1，0）B. （1，0）C. （0，－1）D. （0， 1）2. 顶点为（－2，0），开口方向、形状与函数y ＝221x 的图象相同的抛物线解析式为（ ）A. y ＝2)2(21-x B. y ＝2)2(21+x C. y ＝2)2(21+-x D. y ＝2)2(21--x 设计意图：通过具体的题目巩固基本性质. 6.课堂小结通过本节课的学习,你有哪些收获? 7.布置作业 课后完成训练案三、教学后记。
苏科版九年级下册数学 5.2 y=ax^2+k、y=a^2的图像(共19张PPT)
二次函数y＝a(x ＋ m)2（ m＜0）的图像是由二次函数 y＝ax2的图像沿 x 轴向＿右＿平移｜＿m＿｜个单位长度得到的．
二次函数y＝a(x+m)2 顶点坐标是＿（-m，0）＿ ，对称轴
是＿过（＿-m，0）与y轴平行的直线
．
1．将函数y＝2x2－2的图像先向 上 平移 2 个单 位，就得到函数y ＝ 2x2的图像，再向 右 平移 3 个
幻灯片 7
（2）描点、连线．
从对应点的位置看：函数y＝x2＋1的图像和y＝
x2的图像的位置有什么关系？
y
10
（3）函数y＝x2－2的图像和
9 8
y=x2的图像的位置有何关系？
7 6
5
4
3
2
1
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 x
幻灯片 8
y
y=x2+1
8
6
4
2
y=x2
-10
-5
O
5
x 10
-2
y
8
6
4
y=x2
2
-10
-5
O
5
x 10
y=x2-2
-2
y 10
9 8 7 6 5 4 3 2 1
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 x
2. y＝-x2＋3， y＝-x2-2 与 y＝-x2
又有什么关系呢？ 画出草图，进行比较
函数y=-x2+3的图
象可由y=-x2的图
a>0
向上
(0 ,c)
y轴
当x<0时， y随着x的增大而减小。
当x>0时， y随着x的增大而增大。
苏科版 九年级数学下册 5-2二次函数的图像与性质 同步课时训练试卷【含答案】
苏科版 九年级数学下册 5.2二次函数的图像与性质 同步课时训练试卷一、单选题1．不论m 取任何实数，抛物线2()1(0)y a x m m a =+++≠的顶点都（ ）． A ．在1y x =+直线上 B ．在直线1y x =--上C ．在直线1y x =-+上D ．不确定2．抛物线()213y x =+-（22x -≤≤），如图所示，则函数y 的最小值和最大值分别是（ ）A ．2-和6B ．3-和6C ．4-和2-D ．1-和23．已知11122(,),(,)P x y P x y 是抛物线22y ax ax =-上的点，下列命题正确的是（ ） A ．若1211x x ->-，则12y y > B ．若1211x x ->-，则12y y < C ．若1211x x -=-，则12y y =D ．若12y y =，则12x x =4．二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图，给出下列四个结论：①20ac b -<；①320b c +<；①()m am b b a ++≤；①22()a c b +<；其中正确结论的个数有（ ）A ．1B ．2C ．3D ．45．已知二次函数²8y ax ax =-（a 为常数）的图象不经过第二象限，在自变量x 的值满足23x ≤≤时，其对应的函数值y 的最大值为3，则a 的值为（ ）A ．14-B ．14C ．15-D ．156．已知函数y ＝ax 2﹣2ax ﹣1（a 是常数，a ≠0），下列结论正确的是（ ） A ．当a ＝﹣2时，函数图象与x 轴没有交点 B ．若a ＜0，函数图象的顶点始终在x 轴的下方 C ．若a ＞0，则当x ≥1时，y 随x 的增大而减小 D ．不论a 为何值，函数图象必经过（2，﹣1）7．已知二次函数y ＝2x 2+4x ，当﹣3≤x≤1.5时，该函数的最大值与最小值的差是（ ） A ．92B ．8C ．212D ．2528．函数y ＝﹣2x 2﹣8x +m 的图象上有两点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），若x 1＜x 2＜﹣2，则（ ） A ．y 1＜y 2 B ．y 1＞y 2C ．y 1＝y 2D ．y 1、y 2的大小不确定9．二次函数y ＝ax 2+bx +c ，若ab ＜0，a ﹣b 2＞0，点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）在该二次函数的图象上，其中x 1＜x 2，x 1+x 2＝0，则（ ） A ．y 1＝﹣y 2 B ．y 1＞y 2C ．y 1＜y 2D ．y 1、y 2的大小无法确定10．方程2||2x kx x =+有四个实数解，实数k 的取值范围为（ ） A ．1＜k ＜3 B ．k ＞3C ．k ＞1D ．0＜k ＜1二、填空题11．如图是抛物线y 1＝ax 2+bx+c (a ≠0)图象的一部分，抛物线的顶点坐标是A (1，3)，与x 轴的一个交点B (4，0)，直线y 2＝mx+n (m ≠0)与抛物线交于A 、B 两点．下列结论： ①2a +b ＝0；①abc ＞0；①方程ax 2+bx+c ＝3有两个相等的实数根；①抛物线与x 轴的另一个交点是(﹣1，0)；①当1＜x ＜4时，有y 2＜y 1；①a +b ≥m (am+b )(m 实数)． 其中正确的有___________．12．如图，抛物线24y x x =+与直线22y x =+交于A ，B 两点，将抛物线沿着射线AB平移___________．13．抛物线2y x bx c =-++的部分图象如图所示，若0y >，则x 的取值范围是_________．14．抛物线231y x =--向左移2个单位长度，再下平移3个单位长度，则抛物线为________15．函数y ＝﹣(x ﹣1)2﹣7的最大值为_____．16．已知（﹣3，y 1），（﹣2，y 2），（1，y 3）是抛物线y ＝﹣3x 2﹣12x +m 上的点，则y 1，y 2，y 3的大小关系是_____．三、解答题17．在平面直角坐标系中，已知函数21322y x x =--+（122n x n -≤≤+，且3n ≠）． （1）若点(,1)M n 在该函数图像上，求n 值；（2）若该函数图像上任意两点()11,P x y ，()22,Q x y ．当12x x <时，12y y <恒成立，求n 的取值范围；（3）若该函数最大值与最小值的差为32，求n 的值； （4）以原点为中心，4||n 为边长构造正方形ABCD ，且正方形的边长与坐标轴平行，该函数图像在正方形内部的部分所对应的函数值y 随x 的增大而减小时，直接写出n 的取值范围．18．抛物线y=ax 2+bx+c 交x 轴于A （1，0）、B （-3，0）两点，顶点纵坐标为-4 （1）求抛物线的解析式；（2）直线l ：y=kx -k （0≤k≤3）与抛物线交于M （x M ，y M ）、N （x N ，y N ），x M ＜x N ， ①求y M 的范围；①点P （x P ，y P ）在抛物线上（x M ＜x P ＜x N ），点Q （x Q ，y Q ）在直线l 上，x P =x Q ，PQ 的长度记为d ．对于每一个k ，d 都有最大值，请求出d 的最大值与k 的函数关系式． 19．已知二次函数222y mx mx =--． （1）求图象的顶点坐标（用m 的代数式表示）．（2）若无论m 取何非零实数，该图象必过两定点，请求出这两个定点的坐标． （3）若0m >，当14x -≤≤时，图象的最高点P 的纵坐标为6，求最低点Q 的坐标． （4）若()()1122,,,A x y B x y 为该图象上的两点，当23x ≥时，有12y y ≥，设11t x t ≤≤+，请直接写出t 的取值范围．20．如图，在直角坐标系中，已知直线142y x =-+与y 轴交于A 点，与x 轴交于B 点，C 点的坐标为()2,0-．（1）求经过A ，B ，C 三点的抛物线的表达式；（2）如果M 为抛物线的顶点，连接AM ，BM ，求ABM ∆的面积． （3）抛物线上是否存在一点P ，使12OBP ACO S S ∆∆=若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．答案 1．C 2．B 3．C 4．D 5．C 6．D 7．D 8．A 9．B 10．C 11．①①①① 12．()2,2- 13．-3＜x ＜1． 14．()2324y x =-+- 15．﹣7 16．y 2＞y 1＞y 317．（1）1n =-+2）332n -<≤-；（3）2n =-或322n =-+；（4）142+n -<≤或1n ≤< 【详解】解：（1）把点(,1)M n 代入21322y x x =-=+得， 213122n n --+=解得1n =-±①22n n ≤+， ①2n ≥-故n 的值为：1n =-（2）由题可知，函数的对称轴为11122x =-=-⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭①函数图像上任意两点()11,P x y ，()22,Q x y ，当12x x <时，12y y <恒成立 ①函数图像上的函数值y 随x 的增大而增大， ①221n +≤-， ①32n ≤-又①122n n -<+， ①3n >- ①332n -<≤-（3）当1x =-时，213(1)(1)222y =----+= 当1x n =-时，22131(1)(1)2222y n n n =----+=-+当22x n =+时，22135(22)(22)26222y n n n n =-+-++=---①当32n ≤-时，22513262222n n n ⎛⎫-----+= ⎪⎝⎭解得2n =-①当0n ≥时，22513262222n n n ⎛⎫-----+=- ⎪⎝⎭解得2n =-±①当302n -<<时，21332222x x -+=-解得11=-x21x =--①11221n n ⎧-=-⎪⎨+≤-+⎪⎩或11221n n ⎧-≥-=⎪⎨+=-+⎪⎩①32n =-+综上所述2n =-或322n =-+（4）①正方形以原点为中心， ①其边长与坐标轴平行，联立21322y x y x x =⎧⎪⎨=--+⎪⎩，解得，x =联立21322y x y x x =-⎧⎪⎨=--+⎪⎩，解得，2x =-所以，44||+n -<≤故，1n -<≤或1n ≤< 18．（1）223y x x =+-；（2）-4≤y M ≤0；（3）d=14k 2-2k+4 【详解】解：（1）设抛物线的表达式为212()()(1)(3)(23)y a x x x x a x x a x x =--=-+=+-， 函数的对称轴为x=12(1-3)=-1， 当1x =-时，2(23)44y a x x a =+-=-=-， 解得1a =，故抛物线的表达式为223y x x =+-； （2）①y=kx -k=k(x -1)， 当x=1时，y=kx -k=0，故该函数过点（1，0），即点N （1，0）， 故点N 、A 重合，如图：联立223y x x y kx k⎧=++⎨=-⎩，整理得：x 2+(2-k)x+k -3=0， 则x M +x N =k -2， 而x N =1， 故x M =k -3，当x=k -3时，y=kx -k=k(x -1)=k(k -3-1)=k 2-4k=y M ， ①0≤k≤3， 故-4≤k 2-4k≤0，即y M 的范围为-4≤y M ≤0； ①由题意知，PQ①y 轴，设点P 的坐标为（x ，x 2+2x -3），则点Q （x ，kx -k ）， 则PQ=kx -k -x 2-2x+3=-x 2+(k -2)x+(3-k)， ①-1＜0， 故PQ 有最大值，当222b k x a -=-=时， PQ 的最大值为222()(2)()(3)22k k k k --=-+-+-， 即d 的最大值为21244d k k =-+．19．（1）（1，2m --）；（2）（0，-2），（2，-2）；（3）（1，-3）；（4）当m ＞0时，3t ≥或2t ≤-；当m ＜0时，12t -≤≤ 【详解】解：（1）在二次函数222y mx mx =--中，顶点坐标为22m m --()()24224m m m⨯---，即（1，2m --）；（2）222y mx mx =--=()222m x x --，令220x x -=， 解得：x =0或2， 当x =0时，y =-2 当x =2时，y =-2，①两个定点的坐标为（0，-2），（2，-2）； （3）①m ＞0时，抛物线开口向上，()()212y m x m =--+，①抛物线的对称轴为直线x =1， 当-1≤x ≤4时，取得最高点P （4，6），当x =4时，代入得：()()26412m m =--+， 解得：m =1， ①()213y x =--，即抛物线的最低点为Q （1，-3）；（4）当m ＞0时，函数图像开口向上，对称轴为直线x =1， 又①11t x t ≤≤+，当23x ≥时，具有12y y ≥，()()1122,,,A x y B x y 在函数图像上，①3t ≥或2t ≤-；当m ＜0时，函数图像开口向上，对称轴为直线x =1， ①11t x t ≤≤+，当23x ≥时，具有12y y ≥，()()1122,,,A x y B x y 在函数图像上，①13.1(31)t t +≤⎧⎨≥--⎩， ①12t -≤≤，综上所述：当m ＞0时，3t ≥或2t ≤-；当m ＜0时，12t -≤≤．20．（1）213442y x x =-++；（2）5；（3）存在，点P 的坐标为：()1或()1或()1或()1 【详解】解：（1）当x=0时，142y x =-+=4，则A （0，4）， 当y=0时，142x -+=0，解得x=8，则B （8，0）， 设抛物线解析式为y=a （x+2）（x -8）， 把A （0，4）代入得a•2•（-8）=4，解得14a =-， ①抛物线解析式为1(2)(8)4=-+-y x x ①213442y x x =-++ （2）①213442y x x =-++ ①2125(3)44y x =--+ ①25(3,)4M作MD①x 轴于D ，交AB 于E ，如图，把x=3代入142y x =-+得出52y =； ①25515424EM =-=， ①ABM ∆的面积=AEM ∆的面积+BEM ∆的面积=1115815224EM OB ⨯⨯=⨯⨯=； （3）存在理由如下：①1142422∆=⨯⨯=⨯⨯=ACO S OA OC ， ①12OBP ACO S S ∆∆=， ①11y 8y 422P P OB ⨯⨯=⨯⨯=， ①y 1=P ；①y 1=±P ；①点P 在抛物线上， ①2134=142-++x x 或2134=-142-++x x解得：1x ，2x 3x 4x①点P 的坐标为：()1或()1或()1或()1。
5.2二次函数的图像与性质（1）教案-苏科版九年级数学下册
集体备课教案纸教学内容5.2二次函数的图像与性质（1）课型 新课 主备教师备课时间12.24使用教师教学目标1、用列表描点法作出二次函数的图像，从中获得研究函数图像性质的经验；2、能准确的说出二次函数图像的形状、开口方向、顶点坐标、对称轴及增减性等性质；教学重点 在用列表描点法作图像过程中获得研究函数图像和性质的经验教学难点 归纳二次函数图像的性质教具ppt活动一：探究函数和的图像问题1：大家还记得画函数图像的一般步骤吗？列表、描点、连线。
问题2：画出函数和的图像： ……………………二次备课学生自学共研的内容方法（按环节设计自学、讨论、训练、探索、创新等内容）回顾知识点，仔细思考。
从每一个知识点入手OyxOyx活动二：利用图像探究和的性质观察这两个图像，你能说说函数和有什么性质吗？请你与同学交流。
活动三：类比探究的性质（1）猜想一下：对函数图像有什么影响吗？（2）请观看课件，你能结合上面的讨论归纳函数的性质吗？图像开口方向顶点坐标对称轴增减性最值教师施教提要（启发、精讲、活动等让每一位学生都能够融入到课堂中来。
课堂检测 填表图像特征函数的最值开口方向顶点坐标 对称轴增减性 23y x -= 当x ＝ y 最( )值＝ 231x y =当x ＝ y 最( )值＝年级：九年级 科 目：数学 单元： 二次函数板书设计教 后 感会用描点法画函数y ＝ax 2能根据图像认识和理解二次函数y ＝ax 2的性质； 体会数学研究问题由具体到抽象．．．．．、特殊到一般．．．．．的思想方法§5.2二次函数 图像性质1一、自主先学： 学生活动1 数学思想… … … … … … 二、合作互学： 学生活动2 教师点拨… … … … … …。
江苏省句容市九年级数学下册 第5章 二次函数 5.2 二次函数的图象和性质(2)学案(新版)苏科版
5.2 二次函数的图像和性质（2）【学习目标】基本目标：会用描点法画二次函数k ax y +=2的图象，掌握它的性质. 提升目标：探究并理解二次函数k ax y +=2图像性质以及与2ax y =的关系 【重点难点】重 点:二次函数k ax y +=2的图象及性质难 点: 二次函数k ax y +=2图象及性质的探究和运用. 【预习导航】1．一次函数2y x =+的图像可以由一次函数y x =的图像经过怎样的变化得到？ 2．你能想象二次函数21y x =+的图像可以由二次函数2y x =的图像经过怎样变化得到？ 设计意图:新旧知识比较，猜想激发学生学习新知识的欲望． 【新知导学】 活动一：1、画出二次函数2x y =和22+=x y 的图象： ⑴列表：x… -2 -1 0 1 2 … 2x y =… 4 1 0 1 4 … 22+=x y……观察表中所填数据，你发现什么？⑵在下列平面直角坐标系中描出表中各点，并把这些点连成平滑的曲线： 2、观察左图: ⑴函数22+=x y 与2x y =的图象的 相同， 相同， 相同， 不同；⑵函数22+=x y 可以看成2x y =的图象向平移 个单位长度得到；它的顶点坐标是 ，说明当x = 时，y 有最 值是 .xyy=x 2O 1123456-1-22-1-2⑶猜想函数22-=x y 的与性质：22-=x y 与2x y =的图象的 相同， 相同， 相同， 不同；函数22-=x y 可以看成2x y =的图象向平移 个单位长度得到；它的顶点坐标是 ，说明当x = 时，y 有最 值是 .设计意图:学生经历列表、描点、作图、观察、比较、思考的过程，引导学生观察表中数据的变化与点在平面内位置的变化的关系，进而得到函数图像位置的变化规律，初步感受点坐标的变化带来图形位置的变化，丰富了学生对上下平移的认识．总结归纳：1、二次函数k ax y +=2的图象是一条 ，它对称轴是 ；顶点坐标是 ， 说明当x = 时，y 有最值是 . 2、当0>k 时，k ax y +=2的图象可以看成是2ax y =的图象向 平移 个单位得到； 当0<k 时，k ax y +=2的图象可以看成是2ax y =的图象向 平移 个单位得到. 3、当0>a时，抛物线开口向 ，顶点是抛物线的最 点.在对称轴的左侧，即x 时，y 随x的增大而 ；在对称轴的右侧，即x 时，y 随x 的增大而 ；当0<a 时，抛物线开口向 ，顶点是抛物线的最 点.在对称轴的左侧，即x 时，y 随x 的增大而 ；在对称轴的右侧，即x 时，y 随x 的增大而 .设计意图:通过学生相互交流、补充，逐步完善函数y ＝ax 2＋k 的性质，函数的增减性、开口方向和最大（小）值要分a ＞0和a ＜0来讨论．【典型例题】例1：二次函数k ax y +=2()0≠a 的经过点A （1，-1）、B （2，5）.⑴点A 的对称点的坐标是 ，点B 的对称点的坐标是 ； ⑵求该函数的表达式；⑶若点C (-2，m ),D （n ，7）也在函数的上，求m 、n 的值； ⑷点E （2，6）在不在这个函数的图象上？为什么？例2：已知一个二次函数的图象是由抛物线y =232x 上、下平移得到的，且当x =-1时，y =52； （1）求此二次函数的表达式，并写出它的对称轴和顶点坐标； （2）当x 满足什么条件时，y 随着x 的增大而减小．（3）若点1(,)A x m 和点2(,)B x m 是此二次函数图像上的两个点，当12x x x =+时，求y 的值；设计意图:通过例题，培养学生运用知识的能力，加深对知识的理解，体会对“变化与对应”和“数形结合”等数学思想的理解．【课堂检测】1、抛物线y=-x 2+3的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ；在对称轴的 左侧，y 随x 的增大而 ，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而 ；当x = 时，y 取得最 值，这个值等于 .2、抛物线y =2x 2-1的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ；在对称 轴的左侧，y 随x 的增大而 ，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而 ； 当x = 时，y 取得最 值，这个值等于 .3、函数y =4x 2+5的可由y =4x 2的向 平移 个单位得到；y =4x 2-11的【课后巩固】 一、基础检测1、抛物线y =7x 2-3的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ；在对称轴的左侧，y 随x 的增大而 ，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而 ；当x = 时，y 取得最值，这个值等于 .2、抛物线9412-=x y 是由抛物线241x y =向 平移 个单位得到的． 3、当m = 时，抛物线y =（m ＋1）x mm +2＋9开口向下，对称轴是 ．在对称轴左侧，y 随x 的增大而 ；在对称轴右侧，y 随x 的增大而4、将函数y =-3x 2+4的图象向 平移 个单位可得y =-3x 2的图象；将y =2x 2-7的图象向 平移 个单位得到可由 y =2x 2的图象；将y =x 2-7的图象向 平移 个单位可得到 y=x 2+2的图象.5、在直角坐标系中，函数x y 3-=与12-=x y 的图像大致是_________（1） （2） （3） （4） 6、在同一直角坐标系中，画出下列二次函数的图象的草图：221x y =， 2212+=x y ， 2212-=x y ． 观察三条抛物线的相互关系，并分别指出它们的开口方向及对称轴、顶点的位置．7、已知3)1(2--=-kkx k y 是二次函数.⑴当0<x 时，y 随x 的增大而减少，求k 的值. ⑵若y 有最大值，求该函数的表达式.二、拓展延伸8、（1）已知二次函数y =3x 2+4，点A(x 1，y 1), B(x 2，y 2), C(x 3，y 3)，D(x 4,y 4)在其图象上，且x 2< x 4<0,0<x 3< x 1， |x 2|>|x 1|， |x 3|>|x 4|， 则 ( )A. y1>y2>y3>y4B. y2>y1>y3>y4C. y3>y2>y4>y1D. y4>y2>y3>y1（2）已知二次函数y=ax2+c，当x取x1，x2（x1≠x2，x1，x2分别是A,B两点的横坐标）时，函数值相等，则当x取x1+x2时，函数值为（）A. a+cB. a-cC. –cD. c（3）函数y=ax2-a与y=)0(axa在同一直角坐标系中的图象可能是（）9.如图，抛物线y＝ax2+c与x轴交于点A（-1，0）和点B（1，0），直线y=2x-1与y轴交于点C，与抛物线交于点C、D．（1）求抛物线的解析式；（2）求点A到直线CD的距离;教师评价家长签字。
九年级数学下册第五章二次函数的图象与性质二次函数y=ax2(a≠0)的图像和性质课件新版苏科版
当x=0 时,y最小值=0 当x=0 时,y 最大值=0
要点解读:
知2－讲
①判断二次函数的增减性的技巧:从抛物线的对称轴分开,自左
向右看,“上坡路”就是y随x的增大而增大,“下坡路”就是y
随x 的增大而减小.
②在二次函数y=ax(2a≠0)中,a的正负性决定开口方向, |a|决定开
口的大小．|a|越大,抛物线开口越小,反之,|a|越小,抛物线开口
的值要在坐标原点(0,0)的左右两边对称选取,
③连线时,按照自变量由小到大(或由大到小)的顺序,并且用光滑
的曲线顺次连接,初始点和末端点处要注意适当“向外延伸”,
切忌用线段连接或漏点、跨点连接
注意:
知1－讲
(1)由表格可知,在画y= 12x2的图像时,我们可以先描出
(03)连线:按自变量由小到大(或由大到小)的顺序,依次用平 滑的曲线连接各点.
知1－讲
2. 抛物线 二次函数y=ax2的图像是一条抛物线,抛物线的顶点在原 点、对称轴是y 轴. 当a＞ 0 时,抛物线的开口向上,顶点是抛物线的最低点； 当a＜ 0 时,抛物线的开口向下,顶点是抛物线的最高点.
特别提醒:
知2－讲
解:由抛物线的开口方向,知a＞0,b＞0,c＜0,d＜0,由抛 物线的开口大小,知|a|＞|b|,|c|＞|d|,因此a＞b,c＜d. ∴ a＞ b＞d＞c.
知2－讲
巧题妙解: 如图5.2-3,当x=1 时,四个函数值分别等于二次项系数, ∴ 直 线 x=1 与 四 条 抛 物 线 的 交 点 从 上 到 下 依 次 为
第5章 二次函数
5.2 二次函数的图像和性质
5.2.1 二次函数y=ax2(a≠0)的图像和性质
1 课时讲解 二次函数y=ax2 的图像的画法
苏科版数学九年级下册 二次函数y=ax2(a≠0)的图像与性质
5.2 二次函数y=ax2(a≠0)的图像与性质要点一、二次函数y=ax2（a≠0）的图像及性质1.二次函数y=ax2(a≠0)的图像用描点法画出二次函数y=ax2（a≠0）的图像，如图，它是一条关于y轴对称的曲线，这样的曲线叫做抛物线.因为抛物线y=x2关于y轴对称，所以y轴是这条抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，从图上看，抛物线y=x2的顶点是图像的最低点。
因为抛物线y=x2有最低点，所以函数y=x2有最小值，它的最小值就是最低点的纵坐标.2.二次函数y=ax2(a≠0)的图像的画法用描点法画二次函数y=ax2（a≠0）的图像时，应在顶点的左、右两侧对称地选取自变量x 的值，然后计算出对应的y值，这样的对应值选取越密集，描出的图像越准确.画草图时应抓住以下几点：1）开口方向，2）对称轴，3）顶点，4）与轴的交点，5）与轴的交点.3.二次函数y=ax2(a≠0)的图像的性质二次函数y=ax2（a≠0）的图像的性质，见下表：x y函数图像开口方向顶点坐标对称轴函数变化最大（小）值y=ax2a>0 向上（0，0）y轴x>0时，y随x增大而增大；x<0时，y随x增大而减小.当x=0时，y最小=0y=ax2a<0 向下（0，0）y轴x>0时，y随x增大而减小；x<0时，y随x增大而增大.当x=0时，y最大=0类型一、2作出二次函数y=ax 的图象 1． ．画函数212y x =-的图像．类型二、2二次函数y=ax 的参数值 2．如图所示四个二次函数的图像中，分别对应的是① y ＝ax 2；② y ＝bx 2；③ y ＝cx 2；④ y ＝dx 2．则a 、b 、c 、d 的大小关系为_____．举一反三：【变式1】如图，已知点A （-4，8）和点B （2，n ）在抛物线y=ax 2上．求a 的值及点B 的坐标.【变式2】已知四个二次函数的图像如图所示，那么a 1，a 2，a 3，a 4的大小关系是_____．（请用“＞”连接排序）类型三、2二次函数y=ax 的开口方向、对称轴、顶点坐标、特殊点坐标 3、函数y=ax 2（a≠0）与直线y=2x -3的图像交于点（1，b ）．求：（1）a 和b 的值；（2）求抛物线y=ax 2的开口方向、对称轴、顶点坐标；（3）作y=ax 2的草图．举一反三：【变式】已知函数()2323m m y m x+-=+是关于x 的二次函数．（1）求m 的值．（2）当m 为何值时，该函数图像的开口向下？（3）当m 为何值时，该函数有最小值，最小值是多少？类型四、2二次函数y=ax 的增减性 4、已知22(1)ky k x -=+是关于x 的二次函数.(1)求满足条件的k 的值； (2)k 为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点.当x 为何值时，y 的值随x 值的增大而增大？(3)k 为何值时，函数有最大值？最大值是多少？当x 为何值时，y 的值随x 值的增大而减小？举一反三：【变式1】已知24(2)kk y k x +-=+ 是二次函数，且函数图像有最高点． （1）求k 的值；（2）求顶点坐标和对称轴，并说明当x 为何值时，y 随x 的增大而减少．【变式2】已知函数y ＝（k ﹣2）245kk x -+是关于x 的二次函数，求：（1）满足条件的k 的值；（2）当k 为何值时，抛物线有最高点？求出这个最高点，这时，x 为何值时，y 随x 的增大而增大？（3）当k 为何值时，函数有最小值？最小值是多少？这时，当x 为何值时，y 与x 的增大而减小？类型五、2二次函数y=ax 的综合应用 5、如图，梯形ABCD 的顶点都在抛物线2y x =-上，且////AB CD x 轴.A 点坐标为（a,-4），C 点坐标为（3,b ）.（1）求a ，b 的值；（2）求B ，D 两点的坐标；（3）求梯形的面积.。
苏科版九年级数学下册第五章《y=ax2+k,y=ax+m2图像和性质》优课件
You made my day!
我们，还在路上……
的内容,结合“卡通人”的对话想一想：
1.画二次函数y=ax2+c的图象的方法. 2.从“从表格中函数值的变化”看二次函数 y=ax2+c的图象与函数y=ax2的图象有什么关系？ 3.从“图形的位置变化”看二次函数y=ax2+c的图象
与函数y=ax2的图象有什么关系？
5分钟后，比谁能分析y=ax2+c的图像与性质。
5分钟后,比谁能正确地分析y=a（x-h）2的 图像与性质。
自学反馈
根据自己的理解，分析y=2（x+3）2 及y=-2（x+3）2的图像与性质。
自学检测二
1．当m＞0时，函数y=a(x+m)2是由函数y=ax2的图象沿
向
平移
单位。
当m＜0时，函数y=a(x+m)2是由函数y=ax2的图象沿
向
平移
单位。
2.抛物线y=-3(x+1)2的开口_____,对称轴是_____,顶点
坐
标是____,抛物线上有最____点,所以函数有最___值,
这个值是______.
3.(1)将抛物线y=-3x2向左平移5个单位后的抛物线解析
式
是_____________;
(2)抛物线_________向右平移3个单位后得y=-3(x-2)2
自学反馈
根据自己的理解，分析y=2x2+3 及y=-2x2+3的图像与性质。
检测练习一
1．当k＞0时，函数y=ax2+k是由函数y=ax2的图象沿
向
平移
单位。
当k＜0时，函数y=ax2+k是由函数y=ax2的图象沿
九年级数学下册第五章二次函数第47讲二次函数y=ax2、k的图象
第47讲
二次函数y=ax2+k的图象（1）y=6x21；（2）y=x2+8；（3）y=23x2．
（1）y=x211；（2）y=3x2+2；（3）y=76x2．
第47二次函数y=ax2+k的象
一：解．
解：列表：
x⋯21012⋯
y=1
x2⋯21012⋯222
x⋯21012⋯
⋯11
1
1
⋯2
1
2
描点、，如所示：
函数y=1
x2和函数y=
1
x21的张口大小和方向同样，都是张口向上，称同样，都是y，只有点22
0，0）（0，1）．
坐的地点不一样，分是（
二：解．
解：列表：
x⋯21012⋯y=2x2⋯82028⋯x⋯21012⋯
⋯60206⋯描点、，如所示：
函数y=2x2图象与函数y=2x22的图象的张口方向同样，都是向上；对称轴同样，都是y轴；极点不一样，
函数
y =2
x
2的极点坐标(0，0)，函数
y
=222的极点坐标(0，2)．
x
题三：见详解．
详解：（1）张口向上，对称轴y轴，极点坐标（0，1）；
2）张口向下，对称轴y轴，极点坐标（0，8）；
3）张口向下，对称轴y轴，极点坐标（0，2）．
（题四：见详解．
（详解：（1）张口向上，对称轴y轴，极点坐标（0，11）；（2）张口向上，对称轴y轴，极点坐标：（0，2）
（3）张口向下，对称轴y轴，极点坐标（0，7）．。
九年级数学下册第五章二次函数第47讲二次函数y=ax2、k的图象
第47讲二次函数y=ax2+k的图象（1）y = 6x21；（2）y = x2+8；（3）y = 23x2．
（1）y = x211；（2）y = 3x2+2；（3）y = 76x2．
第47讲二次函数y=ax2+k的图象
题一：见详解．
详解：列表：
x … 2 1 0 1 2 …
y=1
2x2… 2 1
2
1
2
2 …
x … 2 1 0 1 2 …
… 1 1
2
1
1
2
1 …
描点、连线，如图所示：
函数y =1
2
x2和函数y =1
2
x21的开口大小和方向相同，都是开口向上，对称轴相同，都是y轴，只有顶点
坐标的位置不同，分别是（0，0）（0，1）．
题二：见详解．
x … 2 1 0 1 2 …y = 2x2…8 2 0 2 8 …
x … 2 1 0 1 2 …
… 6 0 2 0 6 …
函数y = 2x2图象与函数y = 2x22的图象的开口方向相同，都是向上；对称轴相同，都是y轴；顶点不同，函数y = 2x2的顶点坐标(0，0) ，函数y =2x22的顶点坐标(0，2)．
题三：见详解．
详解：（1）开口向上，对称轴y轴，顶点坐标（0，1）；
（2）开口向下，对称轴y轴，顶点坐标（0，8）；
（3）开口向下，对称轴y轴，顶点坐标（0，2）．
题四：见详解．
详解：（1）开口向上，对称轴y轴，顶点坐标（0，11）；
（2）开口向上，对称轴y轴，顶点坐标：（0，2）
（3）开口向下，对称轴y轴，顶点坐标（0，7）．。
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10 … 8 4 3 2 1
0
y
y=x2+1 y=x2－1
然后描点画图，得到 y=x2+1,y=x2-1的图 像
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5
x
(1) 抛物线 y=x2+1,y=x2－1 的开口方向、对 称轴、顶点各是 什么?
5、2二次函数的图形和性质3
• 1、会用描点法画出二次函数y＝ax2＋k的 图象 ； • 2、掌握二次函数y＝ax2＋k的性质； • 3、理解抛物线y＝ax2＋k与抛物线y＝ax2 的位置关系。
课前复习: 上 ， 1．二次函数y＝2x2的图象是抛物线 ____，它的开口向___
y轴 顶点坐标是_____ ；对称轴是______ ，在对称轴的左 （0，0） 减小 ，在对称轴的右侧，y随x的 侧，y随x的增大而______ 0 增大 小 值，其 增大而______ ，当x＝______ 时， y有最____ 0 小 最______ 值是______ 。
2.二次函数y＝-2x2的图象是抛物线 _______ ，它的开口向 下 ，顶点坐标是 y轴 （ 0，0）；对称轴是______ _____ _____ ，在对称 轴的左侧，y随x的增大而增大 ___，在对称轴的右侧，y随 减小 ，当x＝____ x的增大而_____ 时， y有最______ 值， 0 大 其最___ 。 0 大 值是______
(1)抛物线y=ax2+h与y=3x2形状相同，且其 顶点坐标是（0,1），则其表达式为
_______
y=3x2+1或y=-3x2+1
（2）把抛物线y=-4x2+1的图像向 下 8 个单位得到y=-4x2-7 __________平移________
的图像。
（3）抛物线y=-x2-2可由y=-x2+3向 5 下 _______________ 平移_______________ 个单位得到
1、把抛物线y=-2x2向上平移 3个单位长度，得 2 y=-2x +3 到的抛物线是 2、把抛物线y=-x2-2向下平移5个单位，得到的 2-7 y=-x 抛物线是 3、一条抛物线向上平移2.5个单位后得到抛物 2-2.5 y=0.5x 2 线y=0.5x ，原抛物线是 4、分别说下列抛物线的开口方向，对称轴、 顶点坐标。 （1）y=-x2-3
一般地,抛物线y=ax2+k的对称轴，顶点坐标， 及函数图像的移动规律:
(1)对称轴是y轴;
(2)顶点是(0,k). (3)抛物线y=ax2+k可以
由抛物线y=ax2向上或向 下平移|k|个单位得到.
k>0,向上平移; k<0,向下平移. (简称上加下减)
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
y
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5
x
二次函数y=ax2+k的性质
y＝ax2+k 图象 开口向上 开口向下 a＞0 a＜0
开口方向 对称轴 顶点 增减性
y轴 （0，k ） 顶点是最低点 顶点是最高点 在对称轴左侧递减 在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递增 在对称轴右侧递减
（1）抛物线y=-3x2+5的开口 向下，对称轴 是 y轴 ，顶点坐标是 (0,5) ，在对称轴的左侧，y 随x的增大而 增大，在对称轴的右侧，y随x的 增大而 减小 ，当x= 0 时，取得最 大 值，这个 最大值等于 5 。 （2）抛物线y=7x2-3的开口 向上 ，对称轴 是 y轴 ，顶点坐标是 (0,-3) ，在对称轴的 左侧，y随x的增大而 减小 ，在对称轴的右 侧，y随x的增大而 增大 ，当x= 0 时，取得 最 小 值，这个最小值等于 -3 。
10 9 8 7 6 5 4 3 2 ● 1
y
y=x2+1
y=x2－1
x
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 ●
抛物线y=x2+1: 开口向上,对称轴是y轴, 顶点为(0,1). 抛物线y=x2－1: 开口向上, 对称轴是y轴, 顶点为(0, －1).
二次函数y=x2+1,y=x2－1与抛物线y=x2的位置关 系: 向上平移 2 抛物线y=x 抛物线 y=x2+1
1个单位 抛物线y=x2 向下平移 抛物线 y=x2－1 1个单位
把抛物线y=2x2向上平移
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
y
y=x2+1
上加
5个单位,会得到那条抛物线?向 下平移4个单位呢?
y=x2
下减
(1)得到抛物线y=2x2+5
(2)得到抛物线y=2x2－4
y=x2－1
x
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5
二次函数y=ax2的性质
y＝ax2 图象 a＞ 0
O
a＜ 0
O
开口方向
开口向上
开口向下
对称轴
顶点 最值 增减性
y轴 顶点坐标是原点（0，0） 顶点是最高点.y最大值=0 顶点是最低点.y =0
最小值
在对称轴左侧递减 在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递增 在对称轴右侧递减
2
例. 在同一直角坐标系中,画出二次函数y=x2+1和y=x2 －1的图像 x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … 解: 先列表
课后作业:
必做题： 选做题 ： 课本P19第3题 补充题
（2）y=2x2+1
5、在直角坐标系中，二次函数y=3x2+2的 图象大致是下图中的( A ) y 0 x A B y 0 x 0 C y x y 0 x D
1.（2010山东新泰）二次函数y＝x2的图象向下 平移2个单位，得到新图象的二次函数表达式是 （A） A．y＝x2－2 B．y＝(x－2)2 C．y＝x2＋2 D．y＝(x＋2)2 2.（2010年河南中考题）将抛物线y=﹣3 x2向 上平移一个单位后，得到的抛物线解析式 y=-3X2+1 。 是