刚体力学
(完整版)刚体的基本运动(可编辑修改word版)
第三章刚体力学§3.1 刚体运动的分析§3.2 角速度矢量§3.3 刚体运动微分方程§3.4 刚体平衡方程§3.5 转动惯量§3.6 刚体的平动与定轴转动§3.7 刚体的平面平行运动§3.1 刚体运动的分析一、描述刚体位置的独立变量1.刚体是特殊质点组 dr ij=0,注意:它是一种理想模型,形变大小可忽略时可视为刚体。
2.描述刚体位置的独立变数描述一个质点需(x,y,z), 对刚体是否用 3n 个变量？否,由于任意质点之间的距离不变, 如确定不在同一直线上的三点,即可确定刚体的位置,需 9 个变量，由于两点间的距离保持不变，所以共需 9-3=6 个变量即可。
刚体的任意运动=质心的平动+绕质心的转动，描述质心可用(x,y,z), 描述转轴可由α, β,γ。
二、刚体的运动分类1.平动：刚体在运动过程中，刚体上任意直线始终平行.任意一点均可代表刚体的运动，通常选质心为代表.需要三个独立变量,可以看成质点力学问题.(注意:平动未必是直线运动)2.定轴转动: 刚体上有两点不动,刚体绕过这两点的直线转动,该直线为转轴. 需要一个独立变量φ3.平面平行运动: 刚体上各点均平行于某一固定平面运动。
可以用平行于固定平面的截面代表刚体。
需要三个独立变量。
4.定点运动: 刚体中一点不动,刚体绕过固定点的瞬转转动。
需三个独立的欧拉角。
5.一般运动: 平动+转动§3.2 角速度矢量定轴转动时角位移用有向线段表示,右手法确定其方向.有向线段不一定是矢量,必须满足平行四边形法则,对定点转动时,不能直接推广,因不存在固定轴.ω = lim ∆n=d n刚体在 dt 时间内转过的角位移为 d n ，则角速度定义为角速度反映刚体转动的快慢。
∆t →0 ∆t dt线速度与角速度的关系：d r =d n ⨯r , ∴ v =d rdt=ω ⨯rF 1 F ⨯ M§3.3 刚体运动微分方程一、 基础知识1.力系：作用于刚体上里的集合。
理论力学刚体运动
Ek ( t ) Ek ( t0 ) A外
§6.2 作用在刚体上的力系 一、力系
1、定义：同时作用在一个刚体的一组力称为力系。
2、分类： ①共面力系：所有的力位于同一平面内。 a) 共点力系（汇交力系）：所有力的作用线交 于一点的力系。 b) 平行力系：所有力互相平行或反平行。 ②异面力系：力的作用线不在一个平面内。
二、力系等效
1、等效力系的定义 如果在两个力系作用下，刚体的运动相同，则这 两个力系互为等效力系。
2、力系的等效条件：
F1i F2 j
r1i F1i r1 j F1 j
i j
i
j
3、零力系：力系力的矢量和为零，对固定参考点 的力矩和为零的力系。 说明：①所有的零力系都等效 ②任何力系加上零力系后与原力系等效 ③最简单的零力系是一对平衡力组成的力系
2
角动量定理： dL dt
M外
2、平衡条件： Fi 0,
i
且 Mi 0
i
(对任一定点成立)
例 质量为 m ，长为 a 的匀质杆 AB 由系于两端长是 a 的线悬于 O 点，在 B 端挂质量为 m 的重物。求平衡 时杆与水平方向的夹角θ及每根线中的张力 TA 和 TB 。
2、异面力系： 等效于一个单力与一个力偶
z -F3 A F1
F F3
O
x
B F2
y
§6.3 刚体的平衡
刚体运动 平动： 直线平动、曲线平动
转动： 定轴转动、一般转动 平动：运动过程中刚体任一直线的方向保持不变。
转动：刚体上一直线相对参考系的角度发生变化。
O
刚体的一般运动(n=6)
O
刚体转动力学
刚体的定轴转动
3-1 刚体的定轴转动的角量描述 3-2 刚体定轴转动定律
3-1 刚体的定轴转动的角量描述
一、刚体的运动
刚体：在讨论问题时可以忽略由于受力而引起的
形状和体积的改变的理想模型。 形状和体积的改变的理想模型。
平动：用质心运动讨论
刚体在运动中，其上任意两点的连线始终保持平行。 刚体在运动中，其上任意两点的连线始终保持平行。
mL
mO
1 2 JL1 = mLL 3
2 2 Jo = mo R 5
2 2
JL2 = J0 + m0d = J0 + m0 (L + R)
1 2 2 2 2 J = mLL + mo R + mo (L + R) 3 5
四、刚体定轴转动的转动定律的应用
例１、一个质量为Ｍ、半径为Ｒ 一个质量为Ｍ、半径为Ｒ Ｍ、半径为
2
推广上述结论， 推广上述结论，若有任一轴与过质心的轴 平行，相距为d，刚体对其转动惯量为J， 平行，相距为 ，刚体对其转动惯量为 ， 则有： 则有：J＝JC＋md2。 这个结论称为平行轴定理。
右图所示刚体对经过棒端 且与棒垂直的轴的转动惯量 如何计算？ 棒长为 棒长为L、 如何计算？(棒长为 、圆半 径为R） 径为 ）
ω = ω0 + 2β (θ −θ0 )
2 2
ω=
ω0 + ω
2
3-2 刚体定轴转动的转动定律
一、力对转轴的力矩
(1)
Z
Mz
(2)
Z
f1
f
f2
O r θ f d P
O
r P
转动平面
转动平面
Mz = r × f
工程力学刚体的受力分析
工程力学——刚体的受力分析1. 引言工程力学是工程学科的基础课程之一，对于工程师来说，掌握刚体的受力分析是非常重要的。
刚体是一个非常基础的物体模型，广泛应用于机械、土木、航空等各个工程领域中。
本文将介绍刚体的受力分析方法，并通过实例进行说明。
2. 刚体的基本概念刚体是指具有保持形状和大小不变的特性的物体。
在受力作用下，刚体可以执行平动运动和转动运动。
在刚体力学中，主要研究刚体在平面内的运动。
3. 刚体的力学模型为了方便研究刚体的受力分析，我们将刚体简化为力学模型。
常用的力学模型有绳、杆、轮等。
对于简化的刚体模型，需要考虑以下几个方面：3.1 质点与刚体的区别刚体模型中质点与刚体是两个不同的概念。
质点指的是一个不含有结构的物体，可以看作是粒子的模型。
而刚体是由多个质点组成的，具有一定的形状和结构。
3.2 对刚体的受力分析在刚体的受力分析中，我们需要考虑刚体所受的外力和内力。
外力包括作用在刚体上的重力、支撑力、摩擦力等。
内力包括刚体内部各个部分之间的相互作用力。
3.3 绳的作用和特点绳是常用的刚体模型之一，它可以用来连接物体、传递力量。
在绳的受力分析中，需要考虑绳的拉力以及绳与物体之间的接触力。
4. 刚体的受力分析方法刚体的受力分析有多种方法，下面将介绍一些常用的方法。
4.1 分解法分解法是一种常用的受力分析方法。
通过将受力分解为水平方向和竖直方向上的分力，可以简化问题的分析过程。
4.2 力矩法力矩法是一种基于力矩平衡的分析方法。
通过分析刚体受力的力矩作用，可以确定刚体的平衡条件。
4.3 自由体法自由体法是一种将刚体与其周围环境分离开来进行受力分析的方法。
通过将刚体从整体中分离出来，可以更清晰地分析受力情况。
5. 实例分析下面通过一个实例对刚体的受力分析方法进行说明。
假设一个位于水平面上的刚体上有一个绳子和一个悬挂的重物。
我们可以采用分解法进行受力分析，将刚体的受力分解为水平方向和竖直方向的分力，再进行力的平衡和力矩的平衡条件的分析，最终得出刚体的受力分布情况。
大一工程力学的知识点总结
大一工程力学的知识点总结工程力学是工科学生的一门重要基础课程，它是研究物体在受力作用下的平衡和运动的力学学科。
在大一学习工程力学，我们掌握了一些基本的知识点，下面对这些知识点进行一个总结。
一、刚体力学基础1. 刚体的定义：刚体是指在外力作用下，内部各点之间的相对位置保持不变的物体。
2. 力的基本概念：力是物体之间相互作用的原因，它具有大小、方向和作用点。
3. 力的合成与分解：多个力可以合成为一个力，也可以把一个力分解成多个力，这有助于我们计算力的效果。
4. 力的平衡：当物体受到的合外力为零时，物体处于力的平衡状态。
5. 质心与重心：质心是刚体物体内所有质点组成的系统的质点，重心是物体所受重力的合力作用点。
二、静力学1. 牛顿定律：牛顿第一定律表明物体要保持静止或匀速直线运动，需要受到外力的作用；牛顿第二定律描述了物体受力与加速度之间的关系；牛顿第三定律指出任何两个物体之间的相互作用力大小相等、方向相反。
2. 平衡条件：物体处于平衡状态时，合外力与合外力矩都为零。
3. 杠杆原理：杠杆是由支点、力臂和力组成的一种简单机械，它可分为一级杠杆、二级杠杆和三级杠杆。
4. 绳索、滑轮和滑块：通过绳索、滑轮和滑块的组合可以改变力的方向和大小，实现力的平衡和传递。
三、动力学1. 牛顿第二定律的应用：通过牛顿第二定律，可以计算物体的加速度、力和质量之间的关系。
2. 动量和动量守恒定律：动量是物体的质量乘以速度，根据动量守恒定律，当没有外力作用于物体或外力合为零时，物体的动量保持不变。
3. 动能和功：动能是物体具有的由于运动而产生的能量，功是力对物体所做的功。
4. 动力学定律应用：通过应用动力学定律，可以计算物体的加速度、位移、速度和时间之间的关系。
四、静力学和动力学的综合应用1. 摩擦力的计算：摩擦力是物体相对运动时由于接触表面之间的不规则性而产生的阻碍力，可以通过牛顿定律和摩擦系数来计算。
2. 斜面上的运动：当物体在斜面上运动时，需要考虑斜面的角度、重力和摩擦力对物体运动的影响。
刚体和流体
y
角动量的方向: 位矢和动量的矢积方向. 特例: 如果质点绕参考点O作圆周运动
v p
O
L = r p = mv r
注意: 1.角动量与所取的惯性系有关. 2.角动量与参考点O的位置有关.
v r
第三章 刚体力学基础
质点对定轴的角动量
v v v v v L = r × p = r × mv
L = mvr = mr 2ω = Jω
(原点O在棒的左端点)
第三章 刚体力学基础
例题2: 一质量为m, 半径为R的均匀圆盘, 求通过盘中心并与 盘面垂直的轴的转动惯量. 解: dm = σdS = σ 2 π rdr
J = ∫ r dm = 2 πσ ∫ r dr
2
3
J = 2πσ ∫ r dr
3
R
R
r O
dr
πσ R 1 2 = = mR 2 2
v v v 加速度: 合外力矩: M z = ∑ ri × Fi v v v v v M z = ∑ ∆mi ri × aiτ + ∑ ∆mi ri × ain
v第三章v刚体力学基础 v ai = aiτ + ain
v 2 v v v v v 其中: ri × ain = 0 ri × aiτ = ri aiτ sin 90°k = ri β k v v 2 M z = ∑ ∆mi ri β 转动惯量 J v v 转动定律: M z = Jβ
θ ( rad) 角位移: ∆θ , dθ dθ −1 ( rad ⋅ s ) 方向右旋 ω= dt v
第三章 刚体力学基础
线速度与角速度之间的关系
r v v v dv d ω v v dr a= = ×r +ω× dt dt dt v 2 v = β reτ + ω ren
质心平动绕质心转动
刚体转动的总动能为
绕定轴转动
Ri dm
x
y
I / 2 Ek
Eik
12
2
mi Ri2
2
或
1 2
(
I
c
md
2 ) 2
1 2
Ic 2
1 2
mv
2 c
即：刚体绕定轴转动的动能等于质心绕定轴的动能加
上刚体绕质心平行轴转动的动能。
1/5/2020 11:17 PM
Lz mi ri2 sin2 i mi Ri2
i ri
引入转动惯量 I z mi Ri2
x
y
则有： Lz I z
刚体绕固定轴的转动定律为：
对应关系
z
dLz dt
d(Iz )
dt
Iz
直
x、v、a
、、
角
线
m
I
运
运
P mv
L I
动
F m a 动1/5/2020 11:17 PM
例3.3 细棒绕通过中心且与棒垂直轴旋转的转动惯量
1/5/2020 11:17 PM
8
2. 平行轴定理
刚体对任一转动轴 的转动惯量 等于 刚体过质心且平行 这一转动轴的转动 惯量 再加上刚体
I Ic md2
I
Ic
I
dm ( x2 y2 )
o
x
d
oc dm y
dm [(xc x)2 ( yc y)2 ]
)
/
ri
mi (i
刚体机械能的表达式
刚体机械能的表达式刚体是指在运动或静止过程中，其形状和体积保持不变的物体。
刚体力学是研究刚体运动和静止的学科，其中一个重要的概念就是机械能。
机械能是描述刚体运动的重要物理量，它包括刚体的动能和势能。
刚体的动能是由其运动状态决定的，它与刚体的质量和速度有关。
刚体的质量是一个常数，而速度则是刚体运动的关键因素。
刚体的速度可以分解为质心速度和角速度两个部分。
质心速度是刚体整体运动的线性速度，而角速度则是刚体绕质心旋转的速度。
刚体的动能可以表示为动能的线性部分和旋转部分之和。
刚体的动能的线性部分可以用以下公式表示：动能线性= 1/2 * m * v²其中，m是刚体的质量，v是刚体的质心速度。
这个公式表明，刚体的动能线性与质量和速度的平方成正比。
刚体的动能的旋转部分可以用以下公式表示：动能旋转= 1/2 * Iω²其中，I是刚体的转动惯量，ω是刚体的角速度。
这个公式表明，刚体的动能旋转与转动惯量和角速度的平方成正比。
刚体的势能是由其位置和形状决定的，它与刚体的高度和形状的势能有关。
刚体的高度可以分解为质心高度和旋转高度两个部分。
质心高度是刚体质心的垂直距离，旋转高度是刚体绕质心旋转的半径。
刚体的势能可以表示为势能的线性部分和旋转部分之和。
刚体的势能的线性部分可以用以下公式表示：势能线性 = m * g * h其中，m是刚体的质量，g是重力加速度，h是刚体的质心高度。
这个公式表明，刚体的势能线性与质量、重力加速度和质心高度成正比。
刚体的势能的旋转部分可以用以下公式表示：势能旋转= 1/2 * k * θ²其中，k是刚体的转动刚度，θ是刚体的旋转角度。
这个公式表明，刚体的势能旋转与转动刚度和旋转角度的平方成正比。
刚体的机械能可以表示为动能和势能的总和：机械能 = 动能线性 + 动能旋转 + 势能线性 + 势能旋转刚体的机械能在运动过程中是守恒的，即机械能的总量保持不变。
这个原理可以由能量守恒定律来解释，即能量既不能被创造也不能被消灭，只能从一种形式转化为另一种形式。
刚体的运动及描述
v r
P点线加速度 an r
2
dv at r dt
z
ω ,α v r θ
匀角加速转动的运动学关系：
P
参 考 方 向
0 t ( 0 ) 0 t 1 t 2 2 2 2 0 2 ( 0 )
刚体
r O ×
定轴
第5章 刚体力学基础
5-1 刚体的运动及描述
矢量形式
v r 2 an r at r
或： a t r e
刚体定轴转动(一维转动) 的转动方向可以用角速 度的正、负来表示。 角加速度
第5章 刚体力学基础
5-1 刚体的运动及描述
定点转动：
运动中刚体上只有一点固定不动，整个刚体绕过该固
定点的某一瞬时轴线转动.
如：陀螺的运动
i3
（转轴方向（2），绕轴转角（1））
第5章 刚体力学基础
5-1 刚体的运动及描述
3 平面平行运动 刚体上各点都平行于某一固定平面的运动称为刚体的 平面运动，又称为刚体的平面平行运动。 如：车轮直线滚动 可以分解为： 刚体随质心的平动（i=2） 和绕质心垂直于运动平 面的定轴转动（i=1）
·
Δ
· o
o
第5章 刚体力学基础
5-1 刚体的运动及描述
刚体的一般运动可看作： 随质心的平动 + 绕质心的转动 的合成
第5章 刚体力学基础
5-1 刚体的运动及描述
5.1.3 刚体定轴转动的运动学描述
定轴转动：刚体上任意点都绕同一 轴在各自的转动平面内作圆周运动。
O
z
ω
r P’(t+dt) d P(t)
理论力学周衍柏第三章
(e) dT Fi dri
(e) 若 Fi dri dV 则 T V E
为辅助方程，可代替上述6个方程中任何一个
§3.5 转动惯量
一、刚体的动量矩 1. 某时刻刚体绕瞬轴OO’转动,则pi点的速度为
vi rii
动量矩为 2. 坐标表示
R Fi Fi 0 M M i ri Fi 0
2. 几种特例 1）汇交力系（力的作用线汇交于一点）：取汇交点为 简化中心，则
Fix 0 R Fi 0 Fiy 0 Fiz 0
三、力偶力偶矩 1. 力偶：等大、反向、不共线的两个力组成的利系。
力 偶 所在平面角力偶面. 2. 力偶矩: 对任意一点O M rA F rB F (rA rB ) F r F M Fd
方向 : 右手法则 上式表明:
J z x mi zi xi y mi zi yi z mi ( xi2 yi2 )
I yy mi ( zi2 源自xi2 ) I zy mi zi yi I yz mi yi zi I xz mi xi zi
I zz mi ( xi2 yi2 )
名词解释刚体的概念
名词解释刚体的概念刚体是一个物理学中的重要概念，它是一个理想化的物体模型。
在三维空间中，刚体是指无论接受到多大的外力或外力矩，其形状、大小和体积都不会发生变化的物体。
本文将从不同角度解释和探讨刚体的概念。
一、定义刚体是指在外力作用下不会发生形状、大小和体积变化的物体。
也就是说，刚体在受到外力时，内部各部分之间的相对位置保持不变。
这个定义要求刚体具有精确的几何形状，且不受约束。
二、运动与静止刚体可以进行平动和转动两种运动。
平动是指整个刚体沿一个直线或曲线移动，而转动是刚体绕一个固定轴旋转。
无论是平动还是转动，刚体的几何形状不会发生变化。
三、刚体的惯性刚体具有惯性的特性。
惯性是指物体继续保持原来状态的性质。
刚体由于具有惯性，所以在没有外力作用时，保持静止或匀速直线运动。
这个性质是牛顿第一定律的基础。
四、刚体力学基本定律刚体力学基本定律包含平衡定律和运动学定律。
平衡定律主要包括平衡条件和力矩平衡条件。
平衡条件要求刚体的合力为零，力矩平衡条件要求刚体的合力矩为零。
运动学定律主要包括质心运动定律和角动量定律。
五、刚体的应用刚体的概念在物理学和工程学中有广泛的应用。
在物理学中，刚体概念常用于解释刚体物理学中的各种现象与规律。
在工程学中，刚体的概念被应用于机械设计、结构工程和材料力学等领域。
例如，刚体的概念在建筑物的结构设计中发挥重要作用，确保建筑物在外力作用下保持稳定。
六、刚体的限制与现实世界的差异虽然刚体是一个理想化的模型，但实际物体很难完全符合刚体的定义。
现实世界的物体通常都有一定的柔软性和变形性。
即使是最坚硬的材料也会在受到极大外力时发生一些微小的变形。
这种变形可能是临时的，也可能是永久性的。
因此，在实际应用中，我们需要根据具体情况进行刚体假设的简化。
综上所述，刚体是一个理想化的物体模型，它在物理学和工程学中起着重要的作用。
刚体的定义、运动学特性和力学定律是深入研究和理解刚体的关键。
尽管现实世界的物体不太可能完全符合刚体的定义，但刚体模型仍然具有广泛的应用价值。
理论力学中的刚体运动与力学参数计算
理论力学中的刚体运动与力学参数计算理论力学是力学的基础理论之一，研究物体在力的作用下的运动规律以及相关力学参数的计算。
刚体运动是理论力学研究的重要内容之一，刚体是指在外力作用下，物体内部各部分的相对位置保持不变的物体。
本文将针对理论力学中的刚体运动进行探讨，并介绍相关的力学参数计算方法。
一、刚体运动的类型刚体运动主要包括平动和转动两种类型。
平动是指刚体的质心沿直线轨迹运动，质心速度相等。
而转动是指刚体围绕某一轴旋转，各点角速度相等，且轴上任意两点连线垂直于轴。
根据刚体的运动类型，可以采用不同的方法进行力学参数的计算。
二、平动刚体运动的力学参数计算1. 速度：平动刚体的速度由质心速度来表示，质心速度的计算公式为v = Δx/Δt，其中Δx为质心位置变化的距离，Δt为质心位置变化所经过的时间。
2. 加速度：平动刚体的加速度由质心加速度来表示，质心加速度的计算公式为a = Δv/Δt，其中Δv为质心速度变化的差值，Δt为质心速度变化所经过的时间。
3. 质量：平动刚体的质量常用m来表示，可以通过测量质心处的物体质量来得到，计算公式为m = F/g，其中F为物体所受合力的大小，g为重力加速度。
三、转动刚体运动的力学参数计算1. 角速度：转动刚体的角速度由角位移与时间的比值来表示，角速度的计算公式为ω = Δθ/Δt，其中Δθ为角位移的变化值，Δt为变化所经过的时间。
2. 角加速度：转动刚体的角加速度由角速度变化的差值与时间变化量的比值来表示，角加速度的计算公式为α = Δω/Δt，其中Δω为角速度的变化差值，Δt为角速度变化所经过的时间。
3. 转动惯量：转动刚体的转动惯量常用I来表示，转动惯量决定了物体在旋转运动中的惯性大小。
转动惯量的计算公式为I = ΣmiRi^2，其中mi为物体质点的质量，Ri为质点到转轴的距离。
四、力学参数计算实例以平动刚体为例，假设一个质量为m的物体受到一个水平方向的恒定力F作用，求该物体在t时间后的速度v。
刚体保持形状不变的物体
刚体保持形状不变的物体刚体是指在任何外界力的作用下，物体的形状和大小都不会发生改变的物体。
在物理学中，刚体是一个非常重要的概念，它在力学和静力学等领域具有广泛的应用。
本文将探讨刚体的定义、性质和应用。
一、刚体的定义刚体是指具有固定形状和大小的物体，它的所有部分在任何外界力的作用下保持不变。
具体来说，刚体的形变和扭转非常小，可以忽略不计。
这就意味着刚体的所有分子和原子在空间中保持相对稳定的排列和距离。
二、刚体的性质1. 形状不变性：刚体在受到外界力的作用下，不会改变其形状和大小。
这是刚体最基本的性质，也是刚性约束系统的基础。
2. 内部粒子之间的相对位置不变：刚体内部的粒子之间的相对位置在刚体运动或受力作用下保持不变。
这意味着刚体的内部结构是相对稳定的，粒子之间的排列方式相对固定。
3. 外界点受力后刚体整体进行平移或旋转：当外界力作用在一个刚体上时，在刚体的质心或者其他轴线上产生的力矩下，刚体整体将产生平移或者旋转运动。
4. 静力学平衡条件：刚体在受到多个力的作用下能够保持平衡的条件是力的合力为零，并且力矩的合为零。
这是刚体平衡条件的数学表达形式。
三、刚体的应用1. 工程设计与构造：刚体的保持形状不变性在工程设计和构造中起着重要的作用。
例如，在机械结构和建筑物的设计过程中，需要考虑材料的刚性特性以保证结构的稳定性和安全性。
2. 刚体力学分析：力学中的刚体力学是研究刚体受力和运动的学科。
通过对刚体的力学分析，可以计算刚体受力时发生的平衡和运动情况，为工程实践提供可靠的理论支持。
3. 惯性导航系统：惯性导航系统是一种基于刚体运动定律的导航技术。
通过利用刚体保持形状不变的特性，测量刚体的加速度和角速度，可以精确计算和预测物体的位置和姿态。
4. 机器人学：在机器人学中，刚体假设是机器人的基本特性之一。
通过模拟刚体的保持形状不变性，可以实现机器人的精准定位和运动控制。
结语：刚体是物理学中的一个重要概念，它具有保持形状不变的性质。
6.1 刚体运动学(大学物理)
1、转动惯量
刚体转动时，刚 体内的各质点作圆周 运动，刚体的动能等 于各质点动能之和。
mn
m1
rn
r1
r2 m2
1 1 1 2 2 2 Ek m1v1 m2v2 mnvn 2 2 2 n n 1 1 2 2 mivi mi (ri ) i 1 2 i 1 2 1 n 2 2 ( miri ) 2 i 1
1 l 1 2 2 J ml m ml 结果与前相同。 3 12 2
t
0
1 2 0 0 t t 2
v v 2a( x x0 )
2 2 0
2 ( )
2 2 0 0
匀变速转动
六 角量与线量之间的关系
1、位移与角位移之间的关系 刚体转过 刚体上的一点 位移 s
o
r
s
x
s r
第六章 刚体力学
本章主要内容：
6－1 刚体的运动 6－2 刚体的角动量、转动动能、转动惯量
6－3 力矩
刚体定轴转动定律
6－4 定轴转动的动能定理 6－5 刚体对定轴的角动量守恒定律
6－6 进动*
本章学习要求
2.理解转动惯量、力矩的概念，掌握转动定律。 3.掌握刚体转动的动能定理、角动量定理。
1.掌握刚体定轴转动的特点，理解角坐标、角位移 角速度、角加速度的概念。
1 n 刚体的转动动能 Ek ( miri2 ) 2 2 i 1 1 2 与平动动能比较 Ek mv 2 n 2 miri ：相对于转轴的特征的物理量
i 1
转动惯量的定义：
单位：kg ·m2
J m r
i 1
大学物理第四章
二、平动和转动
1、平动 当刚体运动时，如果刚体内任何一条给定的直
线，在运动中始终保持它的方向不变，这种运动叫 平动（translation）。
平动时，刚体内各质点在任一时 刻具有相同的速度和加速度。
刚体内任何一个质点的运动，都可代表整个刚体的 运动，如质心。
可以用质点动力学的方法来处理刚体的平动问题。
如：车轮的滚动。
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3、刚体的定轴转动 定轴转动时，刚体上各点都绕同一固定转轴作
不同半径的圆周运动。
在同一时间内，各点转过的圆弧长度不同，但 在相同时间内转过的角度相同，称为角位移，它可 以用来描述整个刚体的转动。
作定轴转动时，刚体内各点具 有相同的角量，包括角位移、角速 度和角加速度。但不同位置的质点 具有不同的线量，包括位移、速度 和加速度。
直角坐标系中，采用用 、 ，如图所示：
最后，刚体绕定轴转动时，需
要一个坐标来描述，选定参考方 z
向后，转动位置用表示。
p
总的说来，刚体共有6个自由
度，其中3个平动自由度，3个转 动自由度。
y
物体有几个自由度，它
o
的运动定律可归结为几个
独立的方程。
x
返回 退出
返回 退出
§4-2 力矩 转动惯量 定轴转动定律 一、力矩
v r
返回 退出
三、定轴转动定律
对刚体中任一质量元
mi
受外力 Fi 和内力 fi
应用牛顿第二定律，可得：
F ifi m ia i
采用自然坐标系，上式切向分量式为：
F isii n fisi i n m ia it m ir i
F ir isiin fir isiin m ir i2
四大基础力学
四大基础力学力学是物理学的一个重要分支，主要研究物体运动的原因和规律。
在力学中，存在着四大基础力学，它们分别是：质点力学、刚体力学、弹性力学和流体力学。
这四个力学领域各自独立，但又相互联系，共同构成了力学的基础。
一、质点力学质点力学是研究质点在力的作用下的运动规律的力学分支。
质点是物体的极限，可以看做是没有大小和形状的。
质点力学主要研究质点的运动、力的性质以及质点之间的相互作用。
它的基本原理是牛顿三定律，即质点在外力作用下的运动满足牛顿第一定律、第二定律和第三定律。
质点力学是力学的基础，其他力学领域都是在质点力学的基础上发展起来的。
二、刚体力学刚体力学是研究刚体在力的作用下的运动规律的力学分支。
刚体是指形状和大小不变的物体，可以看做是由许多质点组成的。
刚体力学主要研究刚体的平衡、运动以及刚体之间的相互作用。
它的基本原理是牛顿力学的扩展，包括平衡条件、力矩和角动量等概念。
刚体力学的研究对象更加复杂，需要考虑物体的形状和结构，但仍然是力学的基础。
三、弹性力学弹性力学是研究物体在外力作用下变形和恢复的规律的力学分支。
弹性力学主要研究物体的弹性性质、弹性变形以及弹性力的作用。
它的基本原理是胡克定律，即物体的变形与所受外力成正比。
弹性力学的研究对象是弹性体，它们能够在外力作用下发生形变，但在外力消失后能够完全恢复原状。
弹性力学在工程和材料科学中有广泛的应用，例如弹性体的设计和材料的选用等。
四、流体力学流体力学是研究流体运动规律的力学分支。
流体可以分为液体和气体，它们都具有流动性。
流体力学主要研究流体的运动、流体之间的相互作用以及流体力的作用。
它的基本原理是质量守恒、动量守恒和能量守恒等基本方程。
流体力学的研究对象更加复杂，需要考虑流体的流动性和形状变化等因素。
流体力学在气象学、海洋学和工程学等领域有重要的应用价值。
四大基础力学共同构成了力学的基础，它们各自研究不同的物体和力的作用规律。
质点力学研究质点的运动，刚体力学研究刚体的运动，弹性力学研究物体的变形，流体力学研究流体的流动。
大学物理第5章刚体
B C
分析受力和力矩情况
第一篇 力 学
解：由ABC和绳子组成系统为研究对象，分析受力和力矩情况。
系统受到的合力矩： M m2 gr m3gr
对整个系统列出角动量定理积分形式
t
Mdt Lt L0
t0
分别计算，有 Mdt (m2gr m1gr)t
L0 0
0
L
LA
若质量连续分布 J r2dm
一维
二维
三维
dm
dl
线密度 dm dl
J r2dl
面密度 dm dS
J r2dS
体密度 dm dV
J r2dV
第一篇 力 学
例1．求长为L、质量为m的均匀细棒对图中不同轴的转动惯量。
解：取如图坐标，dm=dx
J A
L x2dx mL2 / 3
0
L
JC
2 L
x2dx
mL2
/12
2
A L
A
C
L/2
B X
B L/2 X
例2．求质量为m、半径为R的均匀圆环的转动惯量。轴与圆环平面垂
直并通过圆心。
解：
J R2dm R2 dm mR2
O
R
dm
第一篇 力 学
例3．求长求质量为m、半径为R均匀圆盘的转动惯量。轴与盘平面垂 直并通过盘心。
解：取半径为r宽为dr 的薄圆环
dm 2rdr
dJ r2dm 2r3dr
dr rR
J dJ R 2r3dr 1 R4
0
2
m
R 2
刚体的名词解释
刚体的名词解释刚体是物理学中一个重要的概念，它指的是在力的作用下保持形状和体积不发生变化的物体。
刚体的特点在于其分子间力的排列十分紧密，使得物体内部的分子结构保持相对稳定。
因此，当外力作用于刚体上时，其分子不会发生相对运动，使得刚体整体保持静止或者保持几何形状不变。
在日常生活中，我们常常可以观察到刚体的存在。
比如，当我们拿起一个书本时，它的形状不会因我们的力的作用而发生变化。
同样，当我们推开一扇门或者踢一个足球时，这些物体也都表现出了刚体的特性。
刚体的特性可以通过刚体力学来进行研究。
刚体力学是古典力学的一个分支，主要研究刚体在外力作用下的平衡、运动和相互作用等性质。
其中，刚体的平衡是指刚体在受到力的作用下既不发生平动也不发生转动的状态。
刚体力学的研究为我们解决日常生活中的一些实际问题提供了有力工具。
比如，在设计桥梁、建筑物和机械装置时，需要考虑刚体的受力情况。
通过对刚体平衡的分析，工程师们可以确定结构的稳定性，保证其在使用过程中不会发生意外事故。
除了平衡问题，刚体在运动中的行为也是刚体力学的研究重点之一。
刚体的运动可以分为两类：平移运动和转动运动。
平移运动是指刚体以某个固定点为中心，整体进行移动，而转动运动则是指刚体绕某个固定轴进行旋转。
在实际应用中，我们可以利用刚体运动的性质来解决一些工程问题。
比如，在制作机械零件时，需要保证零件的连接部位具有良好的刚性，以保证机械设备在运行过程中不会产生位移或者变形。
此外，通过对刚体运动的研究，我们也可以解决一些运动物体的设计问题，如汽车制动系统、摩托车稳定性等。
刚体在相互作用中也表现出一些特殊的性质。
当两个刚体相互接触时，它们之间存在力的传递和反作用的情况。
这种相互作用可以通过牛顿第三定律来描述，即“作用力与反作用力大小相等，方向相反，且作用在同一直线上”。
通过对刚体相互作用的研究，我们可以了解到一些有趣的现象。
比如，当两个刚体以不同的速度相撞时，会发生动量的转移和守恒。
质心平动绕质心转动
rj
合外力矩 i
ri
FiE
o
x
i
3. 刚体的运动特征
刚体的各点在任意时刻具有相同的角速度。 证明
角速度成为刚体重要的运动特征，它在刚体运动中占 有特殊显要的地位。
一该3/2/2般点020刚以8:14体角AM的 速运 度动，作可转以动看的成合某运点动的。平动运动和刚体绕 3
二、刚体动力学
2
mi Ri2
2
或
1 2
(Ic
md
2 ) 2
1 2
Ic 2
1 2
mv
2 c
即：刚体绕定轴转动的动能等于质心绕定轴的动能加
上刚体绕质心平行轴转动的动能。
3/2/2020 8:14 AM
11
* 质心运动定律 * 绕质心的转动定律
F
mac
Ic
三、转动惯量
Iz mi Ri2 或 R2dm
1. 举例给出常用物体形状的转动惯量计算
例3.1 圆盘绕轴心旋转的转动惯量
例3.2 圆球绕通过球心某轴旋转的转动惯量
例3.3 细棒绕通过中心且与棒垂直轴旋转的转动惯量
3/2/2020 8:14 AM
8
2. 平行轴定理
刚体对任一转动轴 的转动惯量 等于 刚体过质心且平行 这一转动轴的转动 惯量 再加上刚体
I Ic md2
I
Ic
I
dm ( x2 y2 )
o
x
d
oc dm y
dm [(xc x)2 ( yc y)2 ]
质量乘上两平行轴
之间的距离的平方。
dm [(xc2 Ic md2
刚体的定义
刚体的定义引言刚体是力学研究中重要的概念之一。
它在物体的运动以及力的作用等方面都扮演着重要角色。
在本文中，我们将深入探讨刚体的定义以及与之相关的概念。
通过了解刚体的特性和性质，我们可以更好地理解物体的运动和力的作用。
1. 刚体的概念刚体是指在外力作用下形状和大小都不会发生改变的物体。
不同于弹性体或流体，刚体不会因受到外力而发生形变或变形。
刚体的形状和大小是固定的，不受外界因素的影响。
这使得刚体成为力学研究中非常有用的理想模型。
2. 刚体的性质2.1 定义性质刚体的定义性质是指刚体在运动或力作用下，其形状和大小保持不变的性质。
这意味着刚体的各个部分不会相对移动或发生变形。
刚体的定义性质是刚体概念的基础，也是刚体运动和力学性质的重要前提。
2.2 运动性质刚体的运动性质是指刚体在外力作用下的运动规律。
当外力作用于刚体时，刚体将根据力的大小和作用位置发生平动和转动的运动。
平动是指刚体的质心沿直线移动，而转动是指刚体绕着固定轴线旋转。
2.3 力的作用性质刚体在受到外力作用时会产生力矩。
力矩是指力在物体上产生的转动效果。
当外力作用于刚体时，力会对刚体产生力矩，并引起刚体的转动。
力矩的大小由力的大小和作用位置决定。
3. 刚体的模型为了研究刚体的运动和力学性质，我们需要使用刚体的模型。
最简单的刚体模型是质点，质点将整个刚体近似为一个质点，并忽略其形状和大小。
在实际应用中，常用的刚体模型包括刚体的杆、圆盘和球等。
通过合理选择刚体模型，我们可以更好地描述和理解刚体的运动和力学性质。
4. 刚体的应用刚体的概念和性质在生活中和科学研究中有着广泛的应用。
在机械工程领域，刚体的运动和力学性质是设计和优化机械系统的重要基础。
在土木工程中，刚体的概念被用于分析和设计桥梁、建筑和其他结构。
在运动学和动力学研究中，刚体的运动规律和力学性质对于描述和理解物体的运动轨迹和力的作用至关重要。
结论刚体作为力学研究中重要的概念之一，其定义、性质和应用在科学和工程领域起着重要作用。
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p
x
= (t)
(2) 角位移 为 t时间内刚体所转过的角度. O
p x
备注
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第七章 刚体力学
(3) 角速度
角速度
Δ d lim Δt 0 Δt dt
&1
P(t+t )
+
O
在定轴转动中,转向只可能有两
个方向.取逆时针转动 >0，顺 时针转动 < 0. 每分转n转 (4) 角加速度 角加速度
Vxdm xc Vdm
V ydm yc Vdm
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V zdm zc Vdm
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第七章 刚体力学
引入体密度
V xdV xc V dV
均质物体
xc
V ydV yc V dV
V zdV zc V dV
V zdV
V
VxdV
nπ 400 3.1416 rad/s 41.9 rad/s 30 30
根据质心运动定理
F m 2d 5.0 41.92 0.001N 8.8 N
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结束
第七章 刚体力学
§7.3 刚体定轴转动的角动量· 转动惯量
(一) 刚体定轴转动对轴上一点的角动量 (二) 刚体对一定转轴的转动惯量
与屏幕垂直.
y
y
1
2 2´
rB B
r A
x
O
x
在平面上任取一点B，称为基点，以基点B为原
点建各坐标轴平行于Oxyz的动坐标系Bx´y´z´.
rB (t ) xB (t )i yB (t ) j
刚体平面运动 = B点平动 + 绕B点轴转动
(t )
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vcy z r
acy z r
[证] 以圆柱体中心轴线上一点C为基点,则边缘上一点
当边缘上一点P与支承面接触的瞬时， v 0 vc r 0
v vc r
vcy z r
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备注
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第七章 刚体力学
vc
Δ d lim Δt 0 Δt dt
P(t) x
2πn πn rad/s 60 30
可正可负, 当与 同号时,转动加快,异号时减慢.
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备注
结束
第七章 刚体力学 (5)刚体定轴转动运动方程
d ( t )dt
0 (t )dt
切向加速度 at r (7.1.10)
et
O s x
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第七章 刚体力学 角量与线量的矢量关系式为
v r
&1
d at r dt
an ( r ) a a t an d r ( r ) dt
图中rij 表示质元指向质元的矢量 i j ,
由平动定义知道ij为恒矢量 r
dri dt dt 2 d r j d 2 ri 2 2 dt dt dr j
rj ri rij
v j vi
a j ai
O
rj
rij
ri
V
yc
V ydV
V
zc
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第七章 刚体力学 [例题1]求质量均匀，半径为R的半球的质心位置. [解] 设半球的密度为，将半球分割成许多厚为dx的圆 片，任取其一
dV πy dx π( R x )dx
2 2 2
y
y
1 4 2 3 V πR πR 3 2 3 3
方程（2）变为
d
2 1
用积分表得 ch(k 2 x / R) 回到原来变量 y，有
y R[1
k arch 2 0.88137
1 ch( k 2 x / R)] 2 它表示链座曲线为一悬链连.
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第七章 刚体力学
§7.2 刚体的动量和质心运动定理
v r
x
y vc P r
v Cv c
r
A O
实际上,当柱体绕中心转动,其中心轴前进的距离
yc r
微分
r
C
vc r
ac r
r
2r
y
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结束
第七章 刚体力学
备注
图7.9
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第七章 刚体力学 [例题] 如图所示, 初时方轮一尖角在链槽夹角处，经转 自学 过90°,相邻尖角进入相邻尖槽。转45° 时，方形一边中
xc
R
O
V
xd V V
0
R
xπ( R 2 x 2 )dx πR 3 2 / 3
x dx
z
x
3 R 8
由对称性得
yc zc 0
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第七章 刚体力学
[例题2] 在半径为R的均质等厚大圆板的一侧挖掉半径为
R/2的小圆板,大小圆板相切,如图所示.求余下部分的质心. [解] 由对称性，yc= 0 y
(三) 刚体定轴转动的角动量定理和转动定理 (四) 刚体的重心 (五) 典型例子
(2)组内任意两点间的距离保持不变.
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第七章 刚体力学
§7.1 刚体运动的描述
(一) 刚体的平动
rij
ri
P209
rj
O
定义: 平动——刚体运动时,刚体内任一直线恒保持平
行的运动.
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备注
结束
第七章 刚体力学
备注
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第七章 刚体力学 取参考点O
(1)刚体上各点都在垂直于固定轴的平面内(转动平面)
做圆周运动.其圆心都在一条固定不动的直线(转轴)上.
(2)刚体上各点到转轴的垂直线在同样的时间内所转过 的角度都相同.因而用角量描述刚体的运动.
备注
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第七章 刚体力学 2. 定轴转动的描述 (1) 角坐标 称角位置或角坐标. 规定逆时针转向 为正. 刚体定轴转动 的运动学方程 O
角速度也是矢量.而有限角位移不
是矢量.
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第七章 刚体力学 角速度和角加速度在直角坐标系的正交分解式为 x i y j z k x i y j z k 其中
x
d x dt
y
d y dt
第七章 刚体力学
第七章
刚体力学
§7.1 刚体运动的描述
(一) 刚体的平动
(二) 刚体绕固定轴的转动
(三) 角速度矢量 (四) 刚体的平面运动
备注
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第七章 刚体力学
第七章
想模型.
刚体力学
刚体——是受力时不改变形状和体积的物体. 是理
(1)是一个质点组（刚体可以看成由许多质点 特点 组成， 刚体的动量和质心运动定理 刚体动量 p mvc
质心运动定律 &1
dv c Fi m dt mac
刚体的总质量 质心加速度
刚体所受的外力矢量和
备注
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第七章 刚体力学
[例题3]一圆盘形均质飞轮质量为m=5.0kg，半径为
r=0.15m,转速为n=400r/min.飞轮作匀速转动.飞轮质心 距转轴d=0.001m，求飞轮作用于轴承的压力.计入飞轮 质量但不考虑飞轮重量（这意味着仅计算由于飞轮的转 动使轴承受到的压力，不考虑飞轮所受重力对该压力的 影响）. [解]
(1)每一质元轨迹都是一条平面曲线，质心始终落在
一个平面上.
(2)转轴总是保持平行，并与固定平面垂直. (3)刚体内垂直于固定平面的直线上的各点，运动状
况都相同. (4)可用与固定平面平行的平面在刚体内截出一平面 图形来代表刚体.
备注
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第七章 刚体力学 2. 平面运动的方程
建立坐标系Oxyz，使平面图形在Oxyz面内, z轴
(一) 刚体的质心
(二) 刚体的动量和质心运动定理
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第七章 刚体力学
§7.2 刚体的动量和质心运动定理
(一) 刚体的质心
在O-xyz坐标中，质点系的质心坐标为
xc
m x m
i i
i
yc
m y m
i i
i
zc
m z m
i
i i
刚体是特殊质点系，上述各式同样适用于刚体. 对质量连续分布的刚体,
dy 2 2 1 ( ) [ ( R y )]2 dx R
(2)
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第七章 刚体力学
采用
自学 取
se c ，（1）式变成
R / 2 y R, 又有1＋（
dy dy d dx d dx 2 dx
dy 2 ） 2 dx R d
2 dx R
备注
结束
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第七章 刚体力学 3. 平面运动的刚体上任意一点的速度 平面上A点相对于Oxyz系的位置矢量
y
y
r rB r
r 是A点相对 点的位矢 B
rB B
r A
x
刚体绕过基点的角速度
O dr drB dr v vB v dt dt dt