普通高等学校2018届高三招生全国统一考试仿真卷(六) 数学(理) Word版含答案

绝密 ★ 启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷理科数学（六）本试题卷共2页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．在复平面内，复数1z 和2z 对应的点分别是()2,1A 和()0,1B ，则12z z =（ ） A ．12i --B ．12i -+C ．12i -D ．12i +2．已知集合{}|1M x x =<，{}21x N x =>，则M N =（ ）A ．{}|01x x <<B ．{}|0x x <C ．{}|1x x <D ．∅3．已知函数()ln f x x =，若()11f x -<，则实数x 的取值范围是（ ） A ．(),e 1-∞+B ．()0,+∞C ．()1,e 1+D ．()e 1,++∞姓名 准考证号 考场号 座位号卷只装订不密封4，则cos 2α等于（ ）A ．35B ．12C ．13D ．3-5．已知向量()2,1=-a ，()1,A x -，()1,1B -，若AB ⊥a ，则实数x 的值为（ ） A ．5-B ．0C ．1-D ．56．《九章算术》卷5《商功》记载一个问题“今有圆堡瑽，周四丈八尺，高一丈一尺．问积几何？答曰：二千一百一十二尺．术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”．这里所说的圆堡瑽就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一”．就是说：圆堡瑽（圆柱体）的体积为112V =⨯（底面圆的周长的平方⨯高），则由此可推得圆周率π的取值为（ ） A ．3B ．3.1C ．3.14D ．3.27．已知三角形ABC中，AB AC ==，3DB AD =，连接CD 并取线段CD 的中点F ，则AF CD ⋅的值为（ ） A ．5-B ．154-C ．52-D ．2-8．已知正项数列{}n a 满足221120n n n n a a a a ++--={}n b 的前n 项和为（ ） A ．nB ．()12n n -C ．()12n n +D ．()()122n n ++9．设不等式组33240,0x y x y x y -≤⎧⎪-≥-⎨⎪≥≥⎩所表示的平面区域为M ，在M 内任取一点(),P x y ，1x y +≤的概率是（ ）A ．17B ．27C ．37D ．4710．如图，网格纸上小正方形的边长为2，粗实线及粗虚线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的外接球的表面积为（ ）ABC ．41πD ．31π11． e 为自然对数的底数，已知函数()y f x ax =-有唯一零点的充要条件是（ ）A ．1a <-98 B ．1a <-C ．1a >-D ．1a >-或98a >12．已知抛物线2:2(0)E y px p =>的焦点为F ，O ,12p N ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，连结OM ，ON 分别交抛物线E 于点A ，B ，且A ，B ，F 三点共线，则p 的值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4第Ⅱ卷卷包括必考题和选考题两部分。

第(13)~(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第(22)~(23)题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

13．执行如图所示的程序框图，输出S 的值为___________．14．如图，在平面直角坐标系xOy 中，函数()sin y x ωϕ=+(0ω>，)0πϕ<<的图像与x 轴的交点A ，B ，C 满足2OA OC OB +=，则ϕ=________．15．函数21x x y x++=n 个交点，其坐标依次为()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，则()1ni i i x y =+=∑__________．16．已知圆C 的圆心在直线240x y --=C 上存在点M ，它到定点()0,4A -的距离与到原点O则圆心C 的纵坐标的取值范围是__________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c，已知（1）求cos B 的值；（2）若1a c +=，求b 的取值范围．18．某城市为鼓励人们绿色出行，乘坐地铁，地铁公司决定按照乘客经过地铁站的数量实施分段优惠政策，不超过30站的地铁票价如下表：现有甲、乙两位乘客同时从起点乘坐同一辆地铁，已知他们乘坐地铁都不超过30站．甲、乙乘坐不超过10站的概率分别为14，13；甲、乙乘坐超过20站的概率分别为12，13．（1）求甲、乙两人付费相同的概率；（2）设甲、乙两人所付费用之和为随机变量X，求X的分布列和数学期望．19．如图，在三棱锥P ABCD -中，平面ABC ⊥平面APC ，AB BC AP PC ====，90ABC ∠=︒． （1）求直线PA 与平面PBC 所成角的正弦值；（2）若动点M 在底面ABC △边界及内部，二面角MPA C --，求BM的最小值．20．给定椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，称圆22221:C x y a b +=+为椭圆C 的“伴随圆”．已知点()2,1A 是椭圆22:4G x y m +=上的点（1）若过点(P 的直线l 与椭圆G 有且只有一个公共点，求l 被椭圆G 的伴随圆1G 所截得的弦长：（2）B ，C 是椭圆G 上的两点，设1k ，2k 是直线AB ，AC 的斜率，且满足1241k k ⋅=-，试问：直线BC 是否过定点，如果过定点，求出定点坐标，如果不过定点，试说明理由．21．已知函数()()ln 1af x x x a a x=+-+-∈R ． （1）求函数()f x 的单调区间； （2）若存在1x >，使()1xf x x x-+<成立，求整数a 的最小值．请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。

22． [选修4—4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线1:1C x y +=与曲线222cos :2sin x C y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数，[)0,2πϕ∈）．以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． （1）写出曲线1C ，2C 的极坐标方程；（2）在极坐标系中，已知点A 是射线():0l θαρ=≥与1C 的公共点，点B 是l 与2C 的公共点，当αOB OA 的最大值．23．选修4-5：不等式选讲已知0a >，0b >，0c >，函数()f x c a x x b =+-++． （1）当1a b c ===时，求不等式()3f x >的解集； （2）当()f x 的最小值为3时，求a b c ++的值，并求111a b c++的最小值．绝密 ★ 启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷理科数学（六）答案第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．C 2．A 3．C 4．A 5．A 6．A 7．B8．C9．A10．C11．A12．C第Ⅱ卷卷包括必考题和选考题两部分。

第(13)~(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第(22)~(23)题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

13．4814．34π15．416．13,5⎡⎤-⎢⎥⎣⎦三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．【答案】（1（2【解析】（1·······3分因为sin 0A ≠，∴．又cos 0B ≠，∴又0πB <<，∴·······6分（2）由余弦定理，有2222cos b a c ac B =+-． 因为1a c +=，1cos 2B =，·······9分，又01a <<，于是有·······12分18．【答案】（1）13；（2 【解析】（1）由题意知甲乘坐超过10站且不超过20站的概率为1111424--=， 乙乘坐超过10站且不超过20站的概率为1111333--=，设“甲、乙两人付费相同”为事件A ， 则()11114343P A =⨯+⨯111233+⨯=，所以甲、乙两人付费相同的概率是13．·······5分（2）由题意可知X 的所有可能取值为：6，9，12，15，18．·······6分()11164312P X ==⨯=，·······7分()11943P X ==⨯111436+⨯=，·······8分 ()11112432P X ==⨯+11113433⨯+⨯=，·······9分 ()11112432P X ==⨯+1134⨯=，·······10分 ()11118236P X ==⨯=．·······11分 因此X 的分布列如下：所以X ·······12分19．【答案】（1（2．【解析】（1）取AC 中点O ，AB BC =，AP PC =，OB OC ∴⊥，OP OC ⊥．平面ABC ⊥平面APC ，平面ABC平面APC AC =，OB ∴⊥平面PAC ，OB OP ∴⊥．以O 为坐标原点，OB 、OC 、OP 分别为x 、y 、z 轴建立如图所示空间直角坐标系，AB BC =1OB OC OP ∴===，()0,0,0O ∴，()0,1,0A -，()1,0,0B ，()0,1,0C ，()0,0,1P ， ∴()1,1,0BC =-，()1,0,1PB =-，()0,1,1AP =，·······2分设平面PBC 的法向量(),,x y z =m ，由0BC ⋅=m ，0PB ⋅=m 得方程组00x y x z -+=-=⎧⎨⎩，取()1,1,1=m ，·······4分 ,AP <>=m ·······5分∴直线PA 与平面PBC ．·······6分（2）由题意平面PAC 的法向量()1,0,0=n ， 设平面PAM 的法向量为()000,,x y z =k ，(),,0M m n ， ∵()0,1,1AP =，(),1,0AM m n =+，0AP ⋅=k ，0AM ⋅=k ，∴()0000010y z mx n y +=++=⎧⎨⎩，取·······9分219n m +⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴13n m +=或13n m +=-（舍去）． ∴B 点到AM 的最小值为垂直距离d =·······12分 20．【答案】（1）（2）过原点．【解析】（1）因为点()2,1A 是椭圆22:4G x y m +=上的点．22241m ∴+⋅=，8m ∴=即椭圆22:182x y G +=，·······2分 28a ∴=，22b =，∴伴随圆221:10G x y +=，当直线l 的斜率不存在时：显然不满足l 与椭圆G 有且只有一个公共点，·······3分当直接l 的斜率存在时：将直线:l y kx =与椭圆22:48G x y +=联立，得()2214320k x +++=，由直线l 与椭圆G解得1k=±，由对称性取直线:l y x=:0l x y -=，圆心到直线l的距离为d ==直线l 被椭圆G 的伴随圆1G所截得的弦长==，·······6分 （2）设直线AB ，AC 的方程分别为()112y k x -=-，()212y k x -=-， 设点()11,B x y ，()22,C x y ，联立22:48G x y +=得()()22221111114168161640k x k k x k k +--+--=，则21112116164214k k x k --=+得21112188214k k x k --=+同理22222288214k k x k --=+，·······8分斜率()2111112111121441882OBk x y k k k x x k k -+--+===--，·······9分 同理222222441882OCk k k k k --+=--，因为1241k k ⋅=-，·······10分 所以22111122111111441441442881188244OCOB k k k k k k k k k k ⎛⎫⎛⎫----+ ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭===+-⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， B ∴，O ，C 三点共线，即直线BC 过定点()0,0O ．·······12分21．【答案】（1）答案见解析；（2）5．【解析】（1）由题意可知，0x >，()22211a x x af x x x x -+-'=--=，·······1分方程20x x a -+-=对应的14a ∆=-， 当140a ∆=-≤，即14a ≥时，当()0,x ∈+∞时，()0f x '≤， ∴()f x 在()0,+∞上单调递减；·······2分 当104a <<时，方程20x x a -+-=的两根为12，且11022<<此时，()f x 在⎝⎭上()0f x '>，函数()f x 单调递增，在10,2⎛ ⎝⎭，12⎛⎫++∞ ⎪ ⎪⎝⎭上()0f x '<，函数()f x 单调递减；·······4分当0a ≤0<0>，此时当x ⎛∈ ⎝⎭，()0f x '>，()f x 单调递增，当x ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减；综上：当0a ≤时，x ⎛∈ ⎝⎭，()f x 单调递增，当12x ⎛⎫+∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭时，()f x 单调递减；当104a <<时，()f x 在⎝⎭上单调递增，在⎛ ⎝⎭，⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递减； 当14a ≥时，()f x 在()0,+∞上单调递减；·······6分 （2）原式等价于()1ln 21x a x x x ->+-， 即存在1x >，使()ln 211x x x a x +->-成立．设()()ln 211x x x g x x +-=-，1x >，则()()2ln 21x x g x x --'=-，·······7分 设()ln 2h x x x =--， 则()1110x h x x x-'=-=>，∴()h x 在()1,+∞上单调递增． 又()33ln321ln30h =--=-<，()44ln4222ln20h =--=->，根据零点存在性定理，可知()h x 在()1,+∞上有唯一零点，设该零点为0x ，·······9分则()03,4x ∈，且()000ln 20h x x x =--=，即002ln x x -=， ∴()0000min 0ln 2111x x x g x x x +-==+-，由题意可知01a x >+，又()03,4x ∈，a ∈Z ，∴a 的最小值为5．······12分请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。