2018届高三理科数学一轮专题测试(19-14)
2018届高三数学理科检测试题答案
2018届高三数学理科检测试题答案一、选择题：二、填空题 13．23 14． 98-15．n n 222+ 16． 2三、解答题：）cos b a C =∴由正弦定理得， …………………………2分 …………………………4分(0A ∈又，6分）由余弦定理得， 27b =+8分3，6bc =，10分的周长为5+12分18．（本小题满分12分）解：（1）设事件i A 为甲得分为i 分(1,2,3)i =，事件i B 为乙得分为i 分(1,2,3)i =则………………1分1122()5525P A =⨯= 2421311()555525P A =⨯+⨯= 25125354)(3=⨯=A P1111()5525P B =⨯= 214418()555525P B =⨯+⨯= 34416()5525P B =⨯=………………4分又甲、乙两人同时得3分为事件33B A ⋅故62519225162512)(33=⨯=⋅B A P ．…………………………6分 （2）甲、乙两人得分之和ξ的可能取值为6,5,4,3,2 ………………7分6252251252)()2(11=⨯=⋅==B A P P ξ 625272512511258252)()()3(1221=⨯+⨯=⋅+⋅==B A P B A P P ξ625132251251225825112516252)()()()4(132231=⨯+⨯+⨯=⋅+⋅+⋅==B A P B A P B A P P ξ625272258251225162511)()()5(2332=⨯+⨯=⋅+⋅==B A P B A P P ξ62519225162512)()6(33=⨯=⋅==B A P P ξ …………………………10分ξ的分布列为………11分所以ξ的数学期望为481528136011523125:5625625625625625625E ξ=++++==．……………12分19．（本小题满分12分）解：（1）∵1BB ⊥平面ABCD ∴1BB ⊥AC …………2分在菱形ABCD 中，BD ⊥AC ……………4分 又1BD BB B⋂=∴AC ⊥平面1BB D ……………5分 ∵AC ⊂平面1AB C∴平面1AB C ⊥平面1BB D ……………6分（2）连接BD 、AC 交于点O ，以O 为坐标原点，以OA 为x 轴，以OD 为y 轴，如图建立空间直角坐标系.1(0,1,0),(0,1,0),(0,1,2),B D B A --………………7分11111,2)22B A BA A =⇒-，同理11(,2)2C -131(,2)22BA =,(0,2,0)BD =,11(,,2)22BC =-……………9分设平面1A BD 的法向量),,(z y x =∴10BA n BD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，则(n =- ………………10分 设平面1BDC 的法向量),,(z y x =10BD m BC m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，则m = ………………11分 设二面角11A BD C --为θ，13cos 19m n m nθ⋅==……………12分 20．（本小题满分12分）解：（1）设抛物线22:2(0)C y px p =≠，则有22(0)y p x x=≠，………………1分 据此验证四个点知(3,-，(4,4)-在抛物线上，……………… 2分 易得，抛物线2C 的标准方程为22:4C y x = ………………3分椭圆22122:1(0)y x C a b a b+=>>，………………4分把点(2,0)-，代入可得：224,1a b ==………………5分所以椭圆1C 的标准方程为2214x y +=.……………6分 （2）可设2C 的焦点为F （1，0），当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为1x =………………7分直线l 交椭圆1C 于点(1,M N0OM ON ≠，不满足题意. ……………8分当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为(1)y k x =-， 并设1122(,),(,)M x y N x y由22(1)44y k x x y =-⎧⎨+=⎩，消去y 得， 2222(1)84(1)0k x k x k +-+-=，………………10分 于是221221224(1)8,1414k k x x x x k k -+==++2122314k y y k-=+ ①，………………11分 由OM ON ⊥得12120x x y y += ②将①代入②式，得2222224(1)340141414k k k k k k ----==+++，解得2k =±所以存在直线l 满足条件，且l 的方程为220x y --=或220x y +-=……………12分21.（本小题满分12分）解：（1）依题意：()f x 的定义域为(0,)+∞，2112()2axf x ax x x-'=-+=，当0a ≤时，()0f x '>，()f x ∴在(0,)+∞上单调递增，……………2分当0a >时，令()0f x '=，得x = ……………3分令()0f x '>，得x ∈；令()0f x '<，得)x ∈+∞，……………5分 ()f x ∴在上单调递增，在)+∞上单调递减。
2018届高三理科数学一轮专题测试(19-4)
2018届高三理科数学一轮专题测试（19-4）测试内容：导数的综合应用问题 测试时间：120分钟 满分：150分1．[2017·吉林实验中学模拟](本小题满分15分)已知函数f (x )＝mx ＋ln x ，其中m 为常数，e 为自然对数的底数．(1)当m ＝－1时，求f (x )的最大值；(2)若f (x )在区间(0，e]上的最大值为－3，求m 的值． 解 (1)当m ＝－1时，f (x )＝－x ＋ln x ，定义域为(0，＋∞)． 求导得f ′(x )＝－1＋1x，(2分)令f ′(x )＝0，得x ＝1，当x 变化时，f ′(x )，f (x )变化情况如下：(5分)由表可知f (x )的最大值为f (1)＝－1.(7分) (2)求导得f ′(x )＝m ＋1x.①当m ≥0时，f ′(x )>0恒成立，此时f (x )在(0，e]上单调递增，最大值为f (e)＝m e ＋1＝－3，解得m ＝－4e，不符合要求；(9分)②当m <0时，令f ′(x )＝0，得x ＝－1m，若－1m ≥e ，此时f ′(x )≥0在(0，e]上恒成立，此时f (x )在(0，e]上单调递增，最大值为f (e)＝m e ＋1＝－3，解得m ＝－4e，不符合要求；(12分)若－1m <e ，此时f ′(x )>0在⎝⎛⎭⎫0，－1m 上成立，f ′(x )<0在⎝⎛⎦⎤－1m ，e 上成立，此时f (x )在(0，e]上先增后减，最大值为f ⎝⎛⎭⎫－1m ＝－1＋ln ⎝⎛⎭⎫－1m ＝－3，解得m ＝－e 2，符合要求．(14分) 综上可知，m 的值为－e 2.(15分)2．[2016·天津十二区联考](本小题满分15分)已知函数f (x )＝ln x －1x ，g (x )＝ax ＋b .(1)若函数h (x )＝f (x )－g (x )在(0，＋∞)上单调递增，求实数a 的取值范围； (2)若直线g (x )＝ax ＋b 是函数f (x )＝ln x －1x图象的切线，求a ＋b 的最小值．解 (1)h (x )＝f (x )－g (x )＝ln x －1x －ax －b ，则h ′(x )＝1x ＋1x 2－a ，(2分)∵h (x )＝f (x )－g (x )在(0，＋∞)上单调递增， ∴对∀x >0，都有h ′(x )＝1x ＋1x 2－a ≥0，(3分)即对∀x >0，都有a ≤1x ＋1x 2，(5分)∵1x ＋1x2>0，∴a ≤0， 故实数a 的取值范围是(－∞，0]．(7分) (2)设切点⎝⎛⎭⎫x 0，ln x 0－1x 0，则切线方程为 y －⎝⎛⎭⎫ln x 0－1x 0＝⎝⎛⎭⎫1x 0＋1x 20(x －x 0)， 即y ＝⎝⎛⎭⎫1x 0＋1x 20x －⎝⎛⎭⎫1x 0＋1x 20x 0＋⎝⎛⎭⎫ln x 0－1x 0，亦即 y ＝⎝⎛⎭⎫1x 0＋1x 20x ＋⎝⎛⎭⎫ln x 0－2x 0－1，(10分) 令1x 0＝t >0，由题意得a ＝1x 0＋1x 20＝t ＋t 2，b ＝ln x 0－2x 0－1＝－ln t －2t －1， 令a ＋b ＝φ(t )＝－ln t ＋t 2－t －1，则φ′(t )＝－1t ＋2t －1＝(2t ＋1)(t －1)t ，当t ∈(0,1)时，φ′(t )<0，φ(t )在(0,1)上单调递减；当t ∈(1，＋∞)时，φ′(t )>0，φ(t )在(1，＋∞)上单调递增， ∴a ＋b ＝φ(t )≥φ(1)＝－1，故a ＋b 的最小值为－1.(15分)3．[2017·湖北四校联考](本小题满分20分)已知函数f (x )＝x ln x －ax 2－x . (1)当a ＝12时，证明：f (x )在定义域上为减函数；(2)若a ∈R ，讨论函数f (x )的零点情况．解 (1)证明：由题意可知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝ln x ＋1－x －1＝ln x －x ，令g (x )＝ln x －x ，则g ′(x )＝1x －1＝1－x x ，(3分)当0<x <1时，g ′(x )>0；当x >1时，g ′(x )<0， 所以g (x )max ＝g (1)＝－1，(6分)即g (x )＝ln x －x <0，所以f ′(x )<0，所以f (x )在定义域上为减函数．(8分) (2)f (x )＝x ln x －ax 2－x 的零点情况，即方程x ln x －ax 2－x ＝0的根的情况， 因为x >0，所以方程可化为a ＝ln x －1x，(10分)令h (x )＝ln x －1x ，则h ′(x )＝1－(ln x －1)x 2＝2－ln xx 2，(12分)令h ′(x )＝0，可得x ＝e 2，(13分) 当0<x <e 2时，h ′(x )>0，当x >e 2时，h ′(x )<0，所以h (x )max ＝h (e 2)＝1e 2，且当x →0时，h (x )→－∞；当x >e 2时，h (x )>0，所以h (x )＝ln x －1x 的大致图象如图所示，(15分)结合图象可知，当a >1e 2时，方程a ＝ln x －1x没有根；当a ＝1e 2或a ≤0时，方程a ＝ln x －1x 有一个根；当0<a <1e 2时，方程a ＝ln x －1x 有两个根．所以当a >1e 2时，函数f (x )无零点；当a ＝1e 2或a ≤0时，函数f (x )有一个零点；当0<a <1e2时，函数f (x )有两个零点．(20分)4．[2017·江西七校联考](本小题满分20分)记max{m ，n }表示m ，n 中的最大值，如max{3，10}＝10，已知函数f (x )＝max{x 2－1,2ln x }，g (x )＝max{x ＋ln x ，ax 2＋x }．(1)求函数f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上的值域；(2)试探讨是否存在实数a ，使得g (x )<32x ＋4a 对x ∈(1，＋∞)恒成立？若存在，求a 的取值范围；若不存在，说明理由．解 (1)设F (x )＝x 2－1－2ln x ， F ′(x )＝2x －2x ＝2(x －1)(x ＋1)x，(2分)令F ′(x )>0，得x >1，F (x )递增，令F ′(x )<0，得0<x <1，F (x )递减， ∴F (x )min ＝F (1)＝0，∴F (x )≥0， 即x 2－1≥2ln x ，∴f (x )＝x 2－1，(5分) 故函数f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上的值域为⎣⎡⎦⎤－34，3.(8分) (2)①当a ≤0时，∵x ∈(1，＋∞)，∴x ＋ln x －(ax 2＋x )＝ln x －ax 2>0， ∴x ＋ln x >ax 2＋x ，∴g (x )＝x ＋ln x ，(11分) 若g (x )<32x ＋4a 对x ∈(1，＋∞)恒成立，则ln x －12x <4a 对x ∈(1，＋∞)恒成立，设h (x )＝ln x －12x ，则h ′(x )＝1x －12＝2－x2x，令h ′(x )>0，得1<x <2，h (x )递增，令h ′(x )<0，得x >2，h (x )递减， ∴h (x )max ＝h (2)＝ln 2－1，∴4a >ln 2－1，∴a >ln 2－14.∵a ≤0，∴a ∈⎝⎛⎦⎤ln 2－14，0.(16分)②当a >0时，由①知x ＋ln x <32x ＋4a 对x ∈(1，＋∞)恒成立，若g (x )<32x ＋4a 对x ∈(1，＋∞)恒成立，则ax 2＋x <32x ＋4a 对x ∈(1，＋∞)恒成立，即2ax 2－x －8a <0对x ∈(1，＋∞)恒成立，这显然不可能，即当a >0时，不满足g (x )<32x ＋4a 对x ∈(1，＋∞)恒成立．(19分)故存在实数a ，使得g (x )<32x ＋4a 对x ∈(1，＋∞)恒成立，且a 的取值范围为⎝⎛⎦⎤ln 2－14，0.(20分) 5．[2017·河南豫南联考](本小题满分20分)已知函数f (x )＝m ln (x ＋2)＋12x 2＋1(m ∈R )．(1)讨论函数f (x )的单调性；(2)若0<m ≤2，对任意x 1，x 2∈(0,2]，不等式|f (x 1)－f (x 2)|≤t ⎪⎪⎪⎪1x 1＋2－1x 2＋2恒成立，求t的最小值．解 (1)f ′(x )＝mx ＋2＋x ＝x 2＋2x ＋m x ＋2(x >－2)，(2分)设g (x )＝x 2＋2x ＋m ，令g (x )＝0，则Δ＝4－4m . ①当m ≥1时，Δ＝4－4m ≤0，g (x )≥0恒成立，故f ′(x )≥0在x >－2上恒成立，即函数f (x )在(－2，＋∞)上单调递增．(4分) ②当0<m <1时，Δ＝4－4m >0，不妨设方程g (x )＝x 2＋2x ＋m ＝0的两根为x 1′，x 2′，且x 1′<x 2′， 则有x 1′＝－2－4－4m 2>－2，x 2′＝－2＋4－4m2，则g (x )>0在(－2，x 1′)，(x 2′，＋∞)上成立，即f ′(x )>0在(－2，x 1′)，(x 2′，＋∞)上成立，则函数f (x )在(－2，x 1′)，(x 2′，＋∞)上单调递增；g (x )<0在(x 1′，x 2′)上成立，即f ′(x )<0在(x 1′，x 2′)上成立，故函数f (x )在(x 1′，x 2′)上单调递减．(6分)③当m ＝0时，方程g (x )＝x 2＋2x ＋m ＝0的根为x ＝－2或0，则当x ∈(0，＋∞)时，g (x )>0，即f ′(x )>0，则函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当x ∈(－2,0)时，g (x )<0，即f ′(x )<0，则函数f (x )在(－2,0)上单调递减．(8分) ④当m <0时，Δ＝4－4m >0，设方程g (x )＝x 2＋2x ＋m ＝0的两根为x 3，x 4，且x 3<x 4，则有x 3＝－2－4－4m 2<－2，x 4＝－2＋4－4m 2>－1，则f ′(x )>0在(x 4，＋∞)上成立，故函数f (x )在(x 4，＋∞)上单调递增；f ′(x )<0在(－2，x 4)上成立，故函数f (x )在(－2，x 4)上单调递减．(10分)(2)因为f ′(x )＝m x ＋2＋x ，x >－2,0<m ≤2，所以f ′(x )＝mx ＋2＋x >0在(0,2]上恒成立，故函数f (x )在(0,2]上单调递增．不妨设0<x 1≤x 2≤2，则|f (x 1)－f (x 2)|≤t ⎪⎪⎪⎪1x 1＋2－1x 2＋2可化为f (x 2)＋t x 2＋2≤f (x 1)＋tx 1＋2.(13分)设h (x )＝f (x )＋t x ＋2＝m ln (x ＋2)＋12x 2＋1＋tx ＋2，则h (x 1)≥h (x 2)，所以h (x )为(0,2]上的减函数，即h ′(x )＝m x ＋2＋x －t(x ＋2)2≤0在(0,2]上恒成立，等价于m (x ＋2)＋x (x ＋2)2－t ≤0在(0,2]上恒成立，即t ≥m (x ＋2)＋x (x ＋2)2在(0,2]上恒成立．(17分)又0<m ≤2，所以2(x ＋2)＋x (x ＋2)2≥m (x ＋2)＋x (x ＋2)2， 对于函数y ＝2(x ＋2)＋x (x ＋2)2＝x 3＋4x 2＋6x ＋4，因为y ′＝3x 2＋8x ＋6>0在(0,2]上恒成立，故y ＝x 3＋4x 2＋6x ＋4在(0,2]上是增函数，即y max ＝23＋4×22＋12＋4＝40，所以m (x ＋2)＋x (x ＋2)2≤40，所以t ≥40，即t 的最小值为40.(20分)6．[2017·衡中期末](本小题满分20分)设函数f (x )＝xln x －ax .(1)若函数f (x )在(1，＋∞)上为减函数，求实数a 的最小值；(2)若存在x 1，x 2∈[e ，e 2]，使f (x 1)≤f ′(x 2)＋a 成立，求实数a 的取值范围．解 (1)函数定义域为：{x |x >0，且x ≠1}，对函数f (x )求导：f ′(x )＝ln x －1ln 2x －a ，(3分)若函数f (x )在(1，＋∞)上为减函数，则f ′(x )＝ln x －1ln 2 x －a ≤0在(1，＋∞)恒成立，所以f ′(x )max ≤0.(5分)由f ′(x )＝ln x －1ln 2 x －a ＝－⎝⎛⎭⎫1ln x －122＋14－a ， 故当1ln x ＝12，即x ＝e 2时，f ′(x )max ＝14－a ≤0，所以a ≥14，所以a 的最小值是14.(8分)(2)若存在x 1，x 2∈[e ，e 2]，使f (x 1)≤f ′(x 2)＋a 成立，则问题等价为：当x 1，x 2∈[e ，e 2]时，f (x )min ≤f ′(x )max ＋a . 由(1)知，f ′(x )在x ∈[e ，e 2]的最大值为14－a ，所以f ′(x )max ＋a ＝14，所以问题转化为：当x ∈[e ，e 2]时有f (x )min ≤14.(11分)(ⅰ)当a ≥14时，由(1)知，f (x )在[e ，e 2]是减函数，所以f (x )的最小值是f (e 2)＝e 22－a e 2 ≤14，解得a ≥12－14e2.(13分)(ⅱ)当a <14时，f ′(x )＝－⎝⎛⎭⎫1ln x －122＋14－a 在[e ，e 2]的值域是⎣⎡⎦⎤－a ，14－a . ①当－a ≥0，即a ≤0时，f (x )在[e ，e 2]是增函数，于是 f (x )min ＝f (e)＝e －a e ≥e>14，矛盾．(15分)②当－a <0，即0<a <14时，由f ′(x )的单调性和值域知，存在唯一的x 0∈(e ，e 2)，使得f ′(x 0)＝0，且当x ∈(e ，x 0)时，f ′(x )<0，f (x )为减函数；当x ∈(x 0，e 2)时，f ′(x )>0，f (x )为增函数． 所以，f (x )的最小值为f (x 0)＝x 0ln x 0－ax 0≤14，(18分) 即a ≥1ln x 0－14x 0>1ln e 2－14e ＝12－14e >14，矛盾． 综上有，a ≥12－14e2.(20分)7．[2016·广州一模](本小题满分20分)已知函数f (x )＝e x ＋m－x 3，g (x )＝ln (x ＋1)＋2.(1)若曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线斜率为1，求实数m 的值；(2)当m ≥1时，证明：f (x )>g (x )－x 3. 解 (1)因为f (x )＝e x ＋m －x 3，所以f ′(x )＝e x＋m－3x 2.(2分)因为曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线斜率为1， 所以f ′(0)＝e m ＝1，(4分) 解得m ＝0.(6分) (2)证明：因为f (x )＝e x ＋m－x 3，g (x )＝ln (x ＋1)＋2，所以f (x )>g (x )－x 3等价于e x＋m－ln (x ＋1)－2>0.(7分)当m ≥1时，e x＋m－ln (x ＋1)－2≥e x ＋1－ln (x ＋1)－2.要证e x ＋m －ln (x ＋1)－2>0，只需证明e x ＋1－ln (x ＋1)－2>0.(9分) 以下给出证明e x ＋1－ln (x ＋1)－2>0.设h (x )＝e x ＋1－ln (x ＋1)－2，则h ′(x )＝e x ＋1－1x ＋1.(10分)设p (x )＝e x ＋1－1x ＋1，则p ′(x )＝e x ＋1＋1(x ＋1)2>0.(11分)所以函数p (x )＝h ′(x )＝e x ＋1－1x ＋1在(－1，＋∞)上单调递增． 因为h ′⎝⎛⎭⎫－12＝e 12 －2<0，h ′(0)＝e －1>0，所以函数h ′(x )＝e x ＋1－1x ＋1在(－1，＋∞)上有唯一零点x 0，且x 0∈⎝⎛⎭⎫－12，0.(14分) 因为h ′(x 0)＝0，所以e x 0＋1＝1x 0＋1，即ln (x 0＋1)＝－(x 0＋1)．(15分) 当x ∈(－1，x 0)时，h ′(x )<0； 当x ∈(x 0，＋∞)时，h ′(x )>0， 所以当x ＝x 0时，h (x )取得最小值h (x 0)． 所以h (x )≥h (x 0)＝e x 0＋1－ln (x 0＋1)－2＝1x 0＋1＋(x 0＋1)－2>0.(19分) 综上可知，当m ≥1时，f (x )>g (x )－x 3.(20分)8．[2016·全国卷Ⅰ](本小题满分20分)已知函数f (x )＝(x －2)e x ＋a (x －1)2有两个零点． (1)求a 的取值范围；(2)设x 1，x 2是f (x )的两个零点，证明：x 1＋x 2<2.解 (1)f ′(x )＝(x －1)e x ＋2a (x －1)＝(x －1)(e x ＋2a )．(2分) ①设a ＝0，则f (x )＝(x －2)e x ，f (x )只有一个零点．(4分)②设a >0，则当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )<0，当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，所以f (x )在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．又f (1)＝－e ，f (2)＝a ，取b 满足b <0且b <ln a 2，则f (b )>a2(b －2)＋a (b －1)2＝a ⎝⎛⎭⎫b 2－32b >0， 故f (x )存在两个零点．(7分)③设a <0，由f ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝ln (－2a )．若a ≥－e2，则ln (－2a )≤1，故当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，因此f (x )在(1，＋∞)上单调递增．又当x ≤1时，f (x )<0，所以f (x )不存在两个零点．若a <－e2，则ln (－2a )>1，故当x ∈(1，ln (－2a ))时，f ′(x )<0；当x ∈(ln (－2a )，＋∞)时，f ′(x )>0.因此f (x )在(1，ln (－2a ))上单调递减，在(ln (－2a )，＋∞)上单调递增．又当x ≤1时，f (x )<0，所以f (x )不存在两个零点．(10分)综上，a 的取值范围为(0，＋∞)． (2)证明：不妨设x 1<x 2.由(1)知，x 1∈(－∞，1)，x 2∈(1，＋∞)，2－x 2∈(－∞，1)，又f (x )在(－∞，1)上单调递减，所以x 1＋x 2<2等价于f (x 1)>f (2－x 2)，即f (2－x 2)<0.(13分)由于f (2－x 2)＝－x 2e 2－x 2＋a (x 2－1)2， 而f (x 2)＝(x 2－2)e x2＋a (x 2－1)2＝0， 所以f (2－x 2)＝－x 2e 2－x 2－(x 2－2)e x 2.(15分) 设g (x )＝－x e 2－x －(x －2)e x ，则g ′(x )＝(x －1)(e 2－x －e x )．所以当x >1时，g ′(x )<0，而g (1)＝0， 故当x >1时，g (x )<0.(18分)从而g (x 2)＝f (2－x 2)<0，故x 1＋x 2<2.(20分)。
2018届高三理科数学一轮专题测试(19-8)
2018届高三理科数学一轮专题测试（19-8）测试内容：数列 测试时间：120分钟 满分：150分第Ⅰ卷 (选择题，共60分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合题意) 1．[2016·宁夏银川模拟]已知数列{a n }满足a n ＋1＝11－a n ，若a 1＝12，则a 2016＝( )A ．－1 B.12 C ．1 D.2答案 A解析 由a 1＝12，a n ＋1＝11－a n ，得a 2＝11－a 1＝2，a 3＝11－a 2＝－1，a 4＝11－a 3＝12，a 5＝11－a 4＝2，…，于是归纳可得a 3n －2＝12，a 3n －1＝2，a 3n ＝－1，因此a 2016＝a 3×672＝－1，故选A.2．[2017·辽宁丹东测试]等差数列{a n }中，公差d ≠0，若lg a 1，lg a 2，lg a 4也成等差数列，a 5＝10，则{a n }的前5项和S 5＝( )A ．40 B.35 C ．30 D.25答案 C解析 lg a 1，lg a 2，lg a 4成等差数列，2lg a 2＝lg a 1＋lg a 4⇒lg a 22＝lg a 1a 4⇒a 22＝a 1a 4⇒d2＝a 1d ，因为d ≠0，所以，a 1＝d ，a 5＝a 1＋4d ＝10，a 1＝2，d ＝2，S 5＝5a 1＋5×42d ＝30.3．[2016·西安八校联考]已知{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 10＝( ) A ．7 B.5 C ．－5 D.－7答案 D解析 ∵a 4＋a 7＝2，由等比数列的性质可得，a 5a 6＝a 4a 7＝－8. ∴a 4＝4，a 7＝－2或a 4＝－2，a 7＝4. 当a 4＝4，a 7＝－2时，q 3＝－12，∴a 1＝－8，a 10＝1， ∴a 1＋a 10＝－7.当a 4＝－2，a 7＝4时，q 3＝－2，则a 10＝－8，a 1＝1， ∴a 1＋a 10＝－7.综上可得，a 1＋a 10＝－7， 故选D.4．[2017·湖北重点中学联考]设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝( )A ．3B.4C ．5 D.6答案 C解析 a m ＝S m －S m －1＝2，a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝3，所以公差d ＝a m ＋1－a m ＝1，S m ＝m (a 1＋a m )2＝0，得a 1＝－2，所以a m ＝－2＋(m －1)·1＝2，解得m ＝5，故选C.5．[2016·甘肃模拟]在等比数列{a n }中，公比q ＝2，前87项和S 87＝140，则a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 87等于( )A.1403 B.60 C ．80 D.160答案 C解析 解法一：a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 87＝a 3(1＋q 3＋q 6＋…＋q 84)＝a 1q 2×1－(q 3)291－q 3＝q 21＋q ＋q 2×a 1(1－q 87)1－q＝47×140＝80.故选C.解法二：设b 1＝a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 85，b 2＝a 2＋a 5＋a 8＋…＋a 86，b 3＝a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 87，因为b 1q ＝b 2，b 2q ＝b 3，且b 1＋b 2＋b 3＝140，所以b 1(1＋q ＋q 2)＝140，而1＋q ＋q 2＝7，所以b 1＝20，b 3＝q 2b 1＝4×20＝80.故选C.6．[2016·沈阳质检]设等差数列{a n }满足a 2＝7，a 4＝3，S n 是数列{a n }的前n 项和，则使得S n >0最大的自然数n 是( )A ．9 B.10 C ．11 D.12答案 A解析 解出{a n }的公差d ＝3－74－2＝－2，于是{a n }的通项为a n ＝7－2(n －2)＝－2n ＋11，可见{a n }是递减数列，且a 5>0>a 6，a 5＋a 6＝0，于是S 9＝2a 52·9>0，S 10＝a 5＋a 62·10＝0，S 11＝2a 62·11<0，从而该题选A. 7．[2016·河北五校联考]已知数列{a n }满足ln a 12·ln a 25·ln a 38·…·ln a n 3n －1＝3n ＋22(n ∈N *)，则a 10＝( )A ．e 26 B.e 29 C ．e 32 D.e 35答案 C解析 解法一：由题意可知，等式左边各个因式的分母成等差数列{3n －1}，右边为3n ＋22，又因为左边是连乘式，因此各个因式的分子与后一个因式的分母相同，因此ln a n 对应的下一个因式的分母是3n ＋2，即ln a n ＝3n ＋2，所以a n ＝e 3n ＋2，所以a 10＝e 32，故选C.解法二：∵ln a 12·ln a 25·…·ln a n 3n －1＝3n ＋22，①∴ln a 12·ln a 25·…·ln a n －13n －4＝3n －12(n ≥2)．② 由①②可知ln a n 3n －1＝3n ＋23n －1，∴ln a n ＝3n ＋2.又ln a 1＝5(适合上式)， ∴ln a n ＝3n ＋2，即a n ＝e 3n ＋2，∴a 10＝e 32，故选C.8．[2016·太原一模]等比数列{a n }中，a 1＝1，公比q ＝2，前n 项和为S n ，下列结论正确的是( )答案 C 解析9．[2016·贵阳月考]设数列{a n }的前n 项和为S n ，若n >1时，2a n ＝a n ＋1＋a n －1，且S 3<S 5<S 4，则满足S n －1S n <0(n >1)的正整数n 的值为( )A ．9 B.8 C ．7 D.6答案 A解析 ∵n >1时，2a n ＝a n ＋1＋a n －1，∴数列{a n }是等差数列，又因为S 3<S 5<S 4，∴a 1＋a 2＋a 3<a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5<a 1＋a 2＋a 3＋a 4，则a 5<0，a 4＋a 5>0， ∴S 9＝9a 5<0，S 8＝8(a 1＋a 8)2＝4(a 4＋a 5)>0，∴满足S n －1S n <0的正整数n 的值为9，故选A.10．[2017.湖北襄阳四校期末]我国古代数学名著《九章算术》中，有已知长方形面积求一边的算法，其方法的前两步为： 第一步：构造数列1，12，13，14， (1).①第二步：将数列①的各项乘以n2，得到一个新数列a 1，a 2，a 3，…，a n .则a 1a 2＋a 2a 3＋a 3a 4＋…＋a n －1a n ＝( ) A.n 24 B.(n －1)24C.n (n －1)4D.n (n ＋1)4答案 C解析 由题意知所得新数列为1×n 2，12×n 2，13×n 2，…，1n ×n2，所以a 1a 2＋a 2a 3＋a 3a 4＋…＋a n －1a n ＝n 24⎣⎡⎦⎤11×2＋12×3＋13×4＋…＋1(n －1)×n＝n 24⎣⎡⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋⎝⎛⎭⎫13－14＋…⎦⎤＋⎝⎛⎭⎫1n －1－1n ＝n 24⎝⎛⎭⎫1－1n ＝n (n －1)4，故选C.11．[2016·浙江高考]如图，点列{A n }，{B n }分别在某锐角的两边上，且|A n A n ＋1|＝|A n ＋1A n＋2|，A n ≠A n ＋2，n ∈N *，|B n B n ＋1|＝|B n ＋1B n ＋2|，B n ≠B n ＋2，n ∈N *(P ≠Q 表示点P 与Q 不重合)．若d n ＝|A n B n |，S n 为△A n B n B n ＋1的面积，则( )A ．{S n }是等差数列 B.{S 2n }是等差数列 C ．{d n }是等差数列 D.{d 2n }是等差数列答案 A解析 由题意，过点A 1，A 2，A 3，…，A n ，A n ＋1，…分别作直线B 1B n ＋1的垂线，高分别记为h 1，h 2，h 3，…，h n ，h n ＋1，…，根据平行线的性质，得h 1，h 2，h 3，…，h n ，h n ＋1，…成等差数列，又S n ＝12×|B n B n ＋1|×h n ，|B n B n ＋1|为定值，所以{S n }是等差数列．故选A.12．[2016·湖南六校联考]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－|x －1|，x <2，2f (x －2)，x ≥2，g (x )＝2 x －12，设方程f (x )＝g (x )的根从小到大依次为x 1，x 2，…x n …，n ∈N *，则数列{f (x n )}的前n 项和为( )A ．2n ＋1－2B.2n －1 C ．n 2 D.n 2－1答案 B解析 函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－|x －1|，x <2，2f (x －2)，x ≥2的图象如图所示，x ＝1时，f (x )＝1，x ＝3时，f (x )＝2，x ＝5时，f (x )＝4，所以方程f (x )＝2x -12的根从小到大依次为1,3,5，…，数列{f (x n )}从小到大依次为1,2,4，…，组成以1为首项，2为公比的等比数列，所以数列{f (x n )}的前n 项和为S n ＝2n －1，故选B.第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．[2016·沈阳质检]设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，a n ＋1＝2S n ＋3，则S 4＝________.答案 66解析 依题意a n ＝2S n －1＋3(n ≥2)，与原式作差得，a n ＋1－a n ＝2a n ，即a n ＋1＝3a n ，n ≥2，可见，数列{a n }从第二项起是公比为3的等比数列，a 2＝5，所以S 4＝1＋5(1－33)1－3＝66.故答案为66.14．[2016·全国卷Ⅰ]设等比数列{a n }满足a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝5，则a 1a 2…a n 的最大值为________．答案 64解析 设{a n }的公比为q ，由a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝5，得a 1＝8，q ＝12，则a 2＝4，a 3＝2，a 4＝1，a 5＝12，所以a 1a 2…a n ≤a 1a 2a 3a 4＝64.15．[2016·安庆二模]已知数列{a n }是各项均不为零的等差数列，S n 为其前n 项和，且a n＝S 2n －1(n ∈N *)．若不等式λa n ≤n ＋8n对任意n ∈N *恒成立，则实数λ的最大值为________．答案 9解析 a n ＝S 2n －1⇒a n ＝(2n －1)(a 1＋a 2n －1)2＝(2n －1)a n⇒a 2n ＝(2n －1)a n ⇒a n ＝2n －1，n ∈N *.由λa n ≤n ＋8n 对任意n ∈N *恒成立， 可得λ≤(n ＋8)(2n －1)n ⇒λ≤2n －8n＋15.因为2n －8n ＋15在n ≥1时单调递增，当n ＝1时，其最小为9，所以λ≤9，故实数λ的最大值为9.16．[2017·湖南联考]已知数列{a n }的前n 项和为S n ，对任意的n ∈N *，S n ＝(－1)n a n ＋12n＋n －3且(a n ＋1－p )(a n －p )<0恒成立，则实数p 的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎭⎫－34，114 解析 由S n ＝(－1)n a n ＋12n ＋n －3，得a 1＝－34；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(－1)n a n ＋12n ＋n －3－(－1)n －1a n －1－12n －1－(n －1)＋3＝(－1)n a n ＋(－1)n a n －1－12n ＋1.若n 为偶数，则a n －1＝12n －1，∴a n ＝12n ＋1－1(n 为正奇数)；若n 为奇数，则a n －1＝－2a n －12n ＋1＝－2⎝⎛⎭⎫12n ＋1－1－12n ＋1＝3－12n －1，∴a n ＝3－12n (n 为正偶数)．函数a n ＝12n ＋1－1(n 为正奇数)为减函数，最大值为a 1＝－34，函数a n ＝3－12n (n 为正偶数)为增函数，最小值为a 2＝114.若(a n ＋1－p )(a n －p )<0恒成立，则a 1<p <a 2，即－34<p <114.故答案为⎝⎛⎭⎫－34，114. 三、解答题(共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．[2016·唐山一中模拟](本小题满分10分)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝－7，S 8＝0.(1)求数列{a n }的前n 项和S n ；(2)数列{b n }满足b 1＝116，b n b n ＋1＝2a n ，求数列{b n }的通项公式．解 (1)由S 8＝0，得a 1＋a 8＝－7＋a 8＝0， ∴a 8＝7，d ＝a 8－a 18－1＝2，(2分)所以{a n }的前n 项和为S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝－7n ＋n (n －1)＝n 2－8n .(4分)(2)由题设得b n b n ＋1＝2a n ，b n ＋1b n ＋2＝2a n ＋1， 两式相除得b n ＋2＝4b n ，(6分)又b 1b 2＝2a1＝1128，b 1＝116，所以b 2＝18＝2b 1，所以b n ＋1＝2b n ，即{b n }是以116为首项，以2为公比的等比数列，(8分) 故b n ＝2n －5.(10分)18．[2016·长春质检](本小题满分12分)已知数列{a n }满足a 1＝511,4a n ＝a n －1－3(n ≥2)． (1)求证：数列{a n ＋1}为等比数列；(2)令b n ＝|log 2(a n ＋1)|，求数列{b n }的前n 项和S n . 解 (1)证明：由a n ＝14a n －1－34知a n ＋1＝14(a n －1＋1)，(2分)由a n ＋1≠0知a n ＋1a n －1＋1＝14，则数列{a n ＋1}是以512为首项，14为公比的等比数列．(4分)(2)由(1)知log 2(a n ＋1)＝11－2n ，设{log 2(a n ＋1)}的前n 项和为T n ，T n ＝10n －n 2.(6分) b n ＝|log 2(a n ＋1)|，当n ≤5时，log 2(a n ＋1)>0，S n ＝T n ＝10n －n 2，(8分) 当n ≥6时，S n ＝T 5－log 2(a 6－1)－…－log 2(a n ＋1)＝T 5－(T n －T 5)＝2T 5－T n ＝n 2－10n ＋50.(10分)综上得S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧10n －n 2，n ≤5，n 2－10n ＋50，n ≥6.(12分)19．[2016·天津河西区质检](本小题满分12分)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }是等比数列，满足a 1＝3，b 1＝1，b 2＋S 2＝10，a 5－2b 2＝a 3.(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)令c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2S n (n 为奇数)，b n (n 为偶数)，设数列{c n }的前n 项和T n ，求T n .解 (1)设数列{a n }的公差为d ，数列{b n }的公比为q ，则由a 1＝3，b 1＝1及⎩⎪⎨⎪⎧ b 2＋S 2＝10，a 5－2b 2＝a 3，得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝2，q ＝2，(2分)所以a n ＝2n ＋1，b n ＝2n －1. (4分)(2)由(1)可得，S n ＝n (n ＋2)， 则c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2n (n ＋2)(n 为奇数)，2n －1(n 为偶数)，即c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1n －1n ＋2(n 为奇数)，2n －1(n 为偶数)，(6分)当n 为奇数时，T n ＝⎝⎛⎭⎫1－13＋13－15＋…＋1n －1n ＋2＋(21＋23＋…＋2n －2)＝1－1n ＋2＋2⎭⎪⎫(1－4 n -12 1－4＝2n ＋13－1n ＋2；(8分)当n 为偶数时，T n ＝⎝⎛⎭⎫1－13＋13－15＋…＋1n －1－1n ＋1＋(21＋23＋…＋2n －1)(10分)＝1－1n ＋1＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－4 n 2 1－4＝2n ＋1＋13－1n ＋1.(12分) 20．[2017·衡水中学模拟](本小题满分12分)中国人口已经出现老龄化与少子化并存的结构特征，测算显示中国是世界上人口老龄化速度最快的国家之一，再不实施“放开二胎”新政策，整个社会将会出现一系列的问题．若某地区2015年人口总数为45万，实施“放开二胎”新政策后专家估计人口总数将发生如下变化：从2016年开始到2025年每年人口比上年增加0.5万人，从2026年开始到2035年每年人口为上一年的99%.(1)求实施新政策后第n 年的人口总数a n 的表达式(注：2016年为第一年)；(2)若新政策实施后的2016年到2035年人口平均值超过49万，则需调整政策，否则继续实施．问到2035年后是否需要调整政策？(说明：0.9910＝(1－0.01)10≈0.9)解 (1)当n ≤10时，数列{a n }是首项为45.5，公差为0.5的等差数列， ∴a n ＝45.5＋0.5(n －1)＝45＋0.5n ，(3分)当n ≥11时，数列{a n }是以公比为0.99的等比数列． 又∵a 10＝50，∴a n ＝50×0.99n－10，(5分)因此，新政策实施后第n 年的人口总数a n (单位：万)的表达式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧45＋0.5n ，1≤n ≤10，50×0.99n －10，11≤n ≤20.(6分) (2)设S n 为数列{a n }的前n 项和，则从2016年到2035年共20年，由等差数列及等比数列的求和公式，得S 20＝S 10＋(a 11＋a 12＋…＋a 20)＝477.5＋4950×(1－0.9910)≈972.5万，∴新政策实施到2035年人口均值为S 2020≈48.63万，由S 2020<49，故到2035年不需要调整政策．(12分)21．[2016·西安八校联考](本小题满分12分)数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2n ＋1a na n ＋2n(n ∈N ＋)．(1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫2na n 是等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式a n ；(3)设b n ＝n (n ＋1)a n ，求数列{b n }的前n 项和S n . 解 (1)证明：由已知可得a n ＋12n ＋1＝a na n ＋2n ，即2n ＋1a n ＋1＝2n a n ＋1，即2n ＋1a n ＋1－2na n＝1. ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫2na n 是公差为1的等差数列．(4分)(2)由(1)知2n a n ＝2a 1＋(n －1)×1＝n ＋1，∴a n ＝2nn ＋1.(8分)(3)由(2)知b n ＝n ·2n ，S n ＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n ， 2S n ＝1×22＋2×23＋…＋(n －1)×2n ＋n ×2n ＋1，相减得：－S n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ·2n ＋1＝2(1－2n )1－2－n ·2n ＋1＝2n ＋1－2－n ·2n ＋1，∴S n ＝(n －1)·2n ＋1＋2.(12分)22．[2016·江苏联考](本小题满分12分)已知数列{a n }中，a 1＝5，a 2＝2，且2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1.(1)求证：数列{a n ＋1－2a n }和⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1－12a n 都是等比数列；(2)求数列{2n －3a n }的前n 项和S n .解 (1)证明：∵2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1， ∴2a n ＋2a n ＋2＝5a n ＋1， ∴2(a n ＋2－2a n ＋1)＝a n ＋1－2a n ， ∴a n ＋2－2a n ＋1a n ＋1－2a n ＝12，∵a 2－2a 1＝2－2×5＝－8，∴{a n ＋1－2a n }是以－8为首项，12为公比的等比数列；(3分)∴a n ＋1－2a n ＝－8×⎝⎛⎭⎫12n －1. ∵2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1， ∴a n ＋2－12a n ＋1＝2⎝⎛⎭⎫a n ＋1－12a n ，∴a n ＋2－12a n ＋1a n ＋1－12a n＝2，∵a 2－12a 1＝2－12×5＝－12，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1－12a n 是以－12为首项，2为公比的等比数列，∴a n ＋1－12a n ＝－12×2n －1.(6分)(2)由(1)知a n ＋1－2a n ＝－8×⎝⎛⎭⎫12n －1，① a n ＋1－12a n ＝－12×2n －1，②由①②解得a n ＝23(24－n －2n －2)，(9分)验证a 1＝5，a 2＝2适合上式，∴2n －3a n ＝23(24－n －2n －2)·2n －3＝23(2－22n －5)，∴S n ＝23(2－2－3)＋23(2－2－1)＋23(2－2)＋…＋23(2－22n －5)＝23[2n －(2－3＋2－1＋2＋ (22)－5)]＝23[ 2n －18(1－4n )1－4 ]＝4n 3－4n 36＋136.(12分)。
2018届高三理科数学一轮专题测试(19-15)
2018届高三理科数学一轮专题测试（19-15）测试内容：计数原理、概率与统计 测试时间：120分钟 满分：150分第Ⅰ卷 (选择题，共60分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合题意) 1．[2016·济南教学调研]某校高一、高二、高三年级学生人数分别是400,320,280.采用分层抽样的方法抽取50人，参加学校举行的社会主义核心价值观知识竞赛，则样本中高三年级的人数是( )A ．20B ．16C ．15D ．14 答案 D解析 高三年级的人数是280400＋320＋280×50＝14(人)．故答案为D.2．[2016·河北重点中学联考]以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分)已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x ，y 的值分别为( ) A ．2,5 B ．5,5 C ．5,8 D ．8,8 答案 C解析 ∵甲组数据的中位数为15， ∴x ＝5，乙组数据的平均数为16.8， ∴9＋15＋10＋y ＋18＋245＝16.8，∴y ＝8，选C.3．[2016·山东中学模拟]下列叙述错误的是( ) A ．若事件A 发生的概率为P (A )，则0≤P (A )≤1B ．系统抽样是不放回抽样，每个个体被抽到的可能性相等C ．线性回归直线y ^＝b ^x ＋a ^必过点(x －，y －)D ．对于任意两个事件A 和B ，都有P (A ∪B )＝P (A )＋P (B ) 答案 D解析 对于A ，根据概率的定义可得，若事件A 发生的概率为P (A )，则0≤P (A )≤1，故A 正确；对于B ，根据系统抽样的定义得，系统抽样是不放回抽样，每个个体被抽到的可能性相等，故B 正确；对于C ，线性回归直线y ^＝b ^x ＋a ^必过点(x －，y －)，故C 正确；对于D ，对于任意两个事件A 和B ，P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )－P (A ∩B )，只有当事件A 和B 是互斥事件时，才有P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )，故D 不正确．故选D.4．[2016·全国卷Ⅰ]某公司的班车在7：30,8：00,8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( )A.13B.12C.23D.34 答案 B解析 由题意得图：由图得等车时间不超过10分钟的概率为12.5．[2016·吉大附中一模]两枚均匀的骰子一起投掷，记事件A ＝{至少有一枚骰子6点向上}，B ＝{两枚骰子都是6点向上}，则P (B |A )＝( )A.16B.136C.112D.111 答案 D解析 至少有一枚骰子6点向上的概率为1－56×56＝1136，两枚骰子都是6点向上的概率为16×16＝136，故至少有一枚骰子6点向上的条件下，另一枚骰子也是6点向上的概率是1361136＝111.故选D. 6．[2016·全国卷Ⅱ]如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为()A ．24B ．18C ．12D ．9 答案 B解析 由题意可知E →F 共有6种走法，F →G 共有3种走法，由乘法计数原理知，共有6×3＝18种走法，故选B.7．[2016·河北名校联考]菜市中心购物商场在“双11”开展的“买三免一”促销活动异常火爆，对当日8时至22时的销售额进行统计，以组距为2小时的频率分布直方图如图所示．已知12时至16时的销售额为90万元，则10时至12时的销售额为( )A ．120万元B ．100万元C ．80万元D ．60万元 答案 D解析 该商场11月11日8时至22时的总销售额为90(0.100＋0.125)×2＝200万元，所以10时至12时的销售额为200×(0.150×2)＝60万元，故选D.8．[2017·四川巴中质检]正月十六登高是“中国石刻艺术之乡”“中国民间文化艺术之乡”四川省巴中市沿袭千年的独特民俗．登高节前夕，李大伯在家门前的树上挂了两串喜庆彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮．那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是( )A.14B.13C.12D.34 答案 D解析 设两串彩灯第一次闪亮的时刻分别为x ，y ，∴全部基本事件构成的区域为⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤4，0≤y ≤4，符合题意的区域为⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤4，0≤y ≤4，－2≤y －x ≤2，如右图所示，由几何概型可知，所求概率为P ＝1－2×12×2×216＝34，故答案为D.9．[2016·浙江重点高中模拟](1－x 2)4⎝⎛⎭⎫x ＋1x 5的展开式中1x 的系数为( )A ．5B ．11C ．－21D ．－29 答案 D 解析 (1－x 2)4⎝⎛⎭⎫x ＋1x 5＝(1－x 2)4⎝⎛⎭⎫1＋1x 5， (1－x 2)4⎝⎛⎭⎫1＋1x 5的展开式中的x －1的系数是以下几部分的和； (1－x 2)4的常数项与⎝⎛⎭⎫1＋1x 5的展开式中含x －1的系数的乘积； (1－x 2)4含x 2项的系数与⎝⎛⎭⎫1＋1x 5的展开式中含x －3的系数的乘积； (1－x 2)4含x 4项的系数与⎝⎛⎭⎫1＋1x 5的展开式中含x －5的系数的乘积． ∵(1－x 2)4、⎝⎛⎭⎫1＋1x 5的展开式的通项分别为T r ＋1＝C r 4(－x 2)r ，T k ＋1＝C k 5⎝⎛⎭⎫1x k， ∴(1－x 2)4⎝⎛⎭⎫1＋1x 5的展开式中x －1的系数为C 04C 15－C 14C 35＋C 24C 55＝－29. 10．[2016·全国卷Ⅱ]从区间[0,1]随机抽取2n 个数x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y n ，构成n 个数对(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( )A.4n mB.2n mC.4m nD.2mn 答案 C解析 设由⎩⎪⎨⎪⎧0≤x n ≤1，0≤y n ≤1构成的正方形的面积为S ，x 2n ＋y 2n <1构成的图形的面积为S ′，所以S ′S ＝14π1＝m n ，所以π＝4mn，故选C.11．[2016·河北模拟]袋内有8个白球和2个红球，每次从中随机取出一个球，然后放回1个白球，则第4次恰好取完所有红球的概率为( )A ．0.0324B ．0.0434C ．0.0528D ．0.0562 答案 B解析 第4次恰好取完所有红球有三种情形，红白白红，白红白红，白白红红，所以第4次恰好取完所有红球的概率为：210×⎝⎛⎭⎫9102×110＋810×210×910×110＋⎝⎛⎭⎫8102×210×110＝0.0434，故选B.12．[2016·武邑中学强化训练]已知⎝⎛⎭⎫1a ＋ax 5－⎝⎛⎭⎫1b ＋bx 5的展开式中含x 2与x 3的项的系数的绝对值之比为1∶6，则a 2＋b 2的最小值为( )A ．6B ．9C ．12D ．18 答案 C解析 ⎝⎛⎭⎫1a ＋ax 5－⎝⎛⎭⎫1b ＋bx 5 的展开式中含x 2项的系数为C 25⎝⎛⎭⎫1a 3a 2－C 25⎝⎛⎭⎫1b 3b 2＝10(b －a )ab，含x 3的项的系数为C 35⎝⎛⎭⎫1a 2a 3－C 35⎝⎛⎭⎫1b 2b 3＝10(a －b )，则由题意，得⎪⎪⎪⎪10(b －a )ab |10(a －b )|＝16，即|ab |＝6，则a 2＋b 2＝|a |2＋|b |2≥2|ab |＝12，故选C.第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．[2017·山西四校联考]已知随机变量ξ服从正态分布，且方程x 2＋2x ＋ξ＝0有实数解的概率为12，若P (ξ≤2)＝0.75，则P (0≤ξ≤2)________．答案 0.5解析 ∵方程x 2＋2x ＋ξ＝0有实数解的概率为12，∴P (Δ≥0)＝12，即P (ξ≥1)＝12，故正态曲线的对称轴是x ＝1，如图，∵P (ξ≤2)＝0.75，∴P (ξ≤0)＝0.25.∴P (0≤ξ≤2)＝1－(0.25＋0.25)＝0.5.14．[2017·河南郑州质检]在区间[0,1]内任取三个数，则这三个数的平方和小于1的概率是________．答案 π6解析 记这三个数分别为x ，y ，z ，则0≤x ≤1,0≤y ≤1，0≤z ≤1.在空间直角坐标系中点(x ，y ，z )构成在第一卦限的单位正方体，{(x ，y ，z )|x 2＋y 2＋z 2<1}表示的单位球体在第一卦限的部分的体积是18×43π＝π6.故所求的概率是π6.15．[2016·安庆二模]将⎝⎛⎭⎫x ＋4x －43展开后，常数项是________． 答案 －160解析 展开后的通项是C m 3C n 3－m x m ·⎝⎛⎭⎫4x n ·(－4)3－m －n，当m ＝n 时为常数． 于是C m 3C n 3－m x m ·⎝⎛⎭⎫4x n ·(－4)3－m －n ＝C m 3C m 3－mx m ·⎝⎛⎭⎫4x m ·(－4)3－2m . 若m ＝0，则(－4)3＝－64；若m ＝1，则C 13C 12·4·(－4)＝－96. 故常数项是－64－96＝－160.或：⎝⎛⎭⎫x ＋4x －43＝⎝⎛⎭⎫x －2x 6展开后的通项是 C k 6(x )6－k ·⎝⎛⎭⎫－2x k ＝(－2)k C k 6(x )6－2k.令6－2k＝0，得k＝3.所以常数项是C36(－2)3＝－160.16．[2017·安徽四校联考]甲与其四位朋友各有一辆私家车，车牌尾数分别是0,0,2,1,5，为遵守当地某月5日至9日5天的限行规定(奇数日车牌尾数为奇数的车通行，偶数日车牌尾数为偶数的车通行)，五人商议拼车出行，每天任选一辆符合规定的车，但甲的车最多只能用一天，则不同的用车方案总数为________．答案64解析5日到9日，分别为5,6,7,8,9，有3天奇数日，2天偶数日．第一步安排奇数日出行，每天都有2种选择，共有23＝8种．第二步安排偶数日出行分两类，第一类，先选1天安排甲的车，另外一天安排其它车，有2×2＝4种．第二类不安排甲的车，每天都有2种选择，共有2×2＝4种，共计4＋4＝8种．根据分步计数原理，不同的用车方案种数共有8×8＝64种．故填64.三、解答题(共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．[2016·湖北八校联考](本小题满分10分)某中学为研究学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系，对该校200名高三学生的课外体育锻炼平均每天运动的时间进行调查，如下表：(平均每天锻炼的时间单位：分钟)将学生日均课外体育运动时间在[40,60)上的学生评价为“课外体育达标”．(1)请根据上述表格中的统计数据填写下面2×2列联表，并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“课外体育达标”与性别有关？(2)将上述调查所得到的频率视为概率．现在从该校高三学生中，抽取3名学生，记被抽取的3名学生中的“课外体育达标”学生人数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的数学期望和方差．参考公式：K2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d. 参考数据：解 (1)(3K 2＝200×(60×20－30×90)2150×50×90×110＝20033≈6.060<6.635，所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下不能判断“课外体育达标”与性别有关．(5分)(2)由表中数据可得，抽到“课外体育达标”学生的频率为0.25，将频率视为概率， ∴X ～B ⎝⎛⎭⎫3，14， ∴E (X )＝3×14＝34，D (X )＝3×14×34＝916.(10分)18．[2016·南开中学月考](本小题满分12分)某学校为了解高三年级学生寒假期间的学习情况，抽取甲、乙两班，调查这两个班的学生在寒假期间每天平均学习的时间(单位：小时)，统计结果绘成频率分布直方图(如图)．已知甲、乙两班学生人数相同，甲班学生每天平均学习时间在区间[2,4]的有8人．(1)图中a 的值为________；(2)用各组时间的组中值代替各组平均值，估算乙班学生每天学习的平均时间； (3)从甲、乙两个班每天平均学习时间大于10个小时的学生中任取4人参加测试，设4人中甲班学生的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．解 (1)由频率分布直方图的性质得：(a ＋0.0875＋0.1＋0.125＋0.15)×2＝1，计算得a ＝0.0375.(2分)(2)由频率分布直方图估算乙班学生每天学习的平均时长为：x ＝3×0.05＋5×0.15＋7×0.35＋9×0.35＋11×0.1＝7.6(小时)．(6分)(3)因为甲班学习时间在区间[2,4]的有8人，所以甲班的学生人数为80.2＝40(人)，故甲、乙两班人数均为40人．所以甲班学习时间在区间(10,12]的人数为40×0.0375×2＝3(人)． 乙班学习时间在区间(10,12]的人数为40×0.05×2＝4(人)．(8分)在两班中学习时间大于10小时的同学共7人，ξ的所有可能取值为0,1,2,3.P (ξ＝0)＝C 03C 44C 47＝135，P (ξ＝1)＝C 13C 34C 47＝1235，P (ξ＝2)＝C 23C 24C 47＝1835，P (ξ＝3)＝C 33C 14C 47＝435.所以随机变量ξ的分布列为：∴E (ξ)＝0×135＋1×1235＋2×1835＋3×435＝127.(12分)19．[2016·云南师大附中月考](本小题满分12分)某校准备从报名的7位教师(其中男教师4人，女教师3人)中选3人去边区支教．(1)设所选3人中女教师的人数为X ，求X 的分布列及数学期望；(2)若选派的三人依次到甲、乙、丙三个地方支教，求甲地是男教师的情况下，乙地为女教师的概率．解 (1)X 的所有可能取值为0,1,2,3，且P (X ＝0)＝C 34C 37＝435，P (X ＝1)＝C 13C 24C 37＝1835，P (X ＝2)＝C 23C 14C 37＝1235，P (X ＝3)＝C 33C 37＝135，所以X 的分布列为：(6分)故E (X )＝0×435＋1×1835＋2×1235＋3×135＝97.(8分)(2)设事件A 为“甲地是男教师”，事件B 为“乙地是女教师”，则P (A )＝C 14A 26A 37＝47，P (AB )＝C 14C 13C 15A 37＝27， 所以P (B |A )＝P (AB )P (A )＝12.(12分) 20．[2017·湖北黄冈期末](本小题满分12分)菜农定期使用低害杀虫农药对蔬菜进行喷洒，以防止害虫的危害，但采集上市时蔬菜仍存有少量的残留农药，食用时需要用清水清洗干净，下表是用清水x (单位：千克)清洗该蔬菜1千克后，蔬菜上残留的农药y (单位：微克)的统计表：(1)(2)若用解析式y ^＝cx 2＋d 作为蔬菜农药残量y ^与用水量x 的回归方程，令ω＝x 2，计算平均值ω－和y －，完成以下表格，求出y ^与x 的回归方程．(c ，d 精确到0.1)(3)对于某种残留在蔬菜上的农药，当它的残留量低于20微克时对人体无害，为了放心食用该蔬菜，请估计需要用多少千克的清水清洗一千克蔬菜？(精确到0.1，参考数据5≈2.236)(附：线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^中系数计算公式分别为： b ^＝∑ni ＝1 (x i －x －)(y i －y －)(x i －x －)2，a ^＝y －－b ^x －.)解 (1)作出散点图如下图：由散点图可以知道变量x 与y 负相关；(3分)(2)ω－＝1＋4＋9＋16＋255＝11，y －＝58＋54＋39＋29＋105＝38c ＝－10×20＋(－7)×16＋(－2)×1＋5×(－9)＋14×(－28)(－10)2＋(－7)2＋(－2)2＋52＋142＝－751374＝－2.008≈－2.0， d ＝y －－c ω－＝38＋2.0×11＝60.0，y ^＝－2.0ω＋60.0＝－2.0x 2＋60.0.(8分) (3)当y ^<20时，－2.0x 2＋60.0<20，x >25≈4.5∴为了放心食用该蔬菜，估计需要用4.5千克的清水清洗一千克的蔬菜．(12分) 21．[2017·湖南长沙模拟](本小题满分12分)空气质量指数(Air Quality Index ，简称AQI)是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照AQI 大小分为六级，0～50为优；51～100为良；101～150为轻度污染；151～200为中度污染；201～300为重度污染；大于300为严重污染．一环保人士记录去年某地某月10天的AQI 的茎叶图(如图)．(1)利用该样本估计该地本月空气质量优良(AQI ≤100)的天数(按这个月总共30天计算)； (2)将频率视为概率，从本月中随机抽取3天，记空气质量优良的天数为ξ，求ξ的概率分布列和数学期望．解 (1)从茎叶图中可发现该样本中空气质量优的天数为2，空气质量良的天数为4，故该样本中空气质量优良的频率为610＝35，从而估计该月空气质量优良的天数为30×35＝18.(4分)(2)由(1)估计某天空气质量优良的概率为35，ξ的所有可能取值为0,1,2,3.(5分)P (ξ＝0)＝⎝⎛⎫253＝8125，P (ξ＝1)＝C 1335⎝⎛⎭⎫252＝36125， P (ξ＝2)＝C 23⎝⎛⎭⎫35225＝54125，P (ξ＝3)＝⎝⎛⎭⎫353＝27125，故ξ的分布列为：(9分)显然ξ～B ⎝⎛⎭⎫3，35，(11分) E (ξ)＝3×35＝1.8.(12分)22．[2017·河南质监](本小题满分12分)小李参加一种红包接龙游戏：他在红包里塞了12元，然后发给朋友A ，如果A 猜中，A 将获得红包里的所有金额；如果A 未猜中，A 将当前的红包转发给朋友B ，如果B 猜中，A 、B 平分红包里的金额；如果B 未猜中，B 将当前的红包转发给朋友C ，如果C 猜中，A 、B 和C 平分红包里的金额；如果C 未猜中，红包里的钱将退回小李的帐户，设A 、B 、C 猜中的概率分别为13，12，13，且A 、B 、C 是否猜中互不影响．(1)求A 恰好获得4元的概率；(2)设A 获得的金额为X 元，求X 的分布列；(3)设B 获得的金额为Y 元，C 获得的金额为Z 元，判断A 所获得的金额的期望能否超过Y 的期望与Z 的期望之和．解 (1)A 恰好获得4元的概率为23×12×13＝19.(2分)(2)X 的可能取值为0,4,6,12， P (X ＝4)＝19，P (X ＝0)＝23×12×23＝29，P (X ＝6)＝23×12＝13，P (X ＝12)＝13，(5分)所以X 的分布列为：(6分)(3)Y 的可能取值为0,4,6；Z 的可能取值为0,4. 因为P (Y ＝0)＝13＋23×12×23＝59，P (Y ＝4)＝23×12×13＝19，P (Y ＝6)＝23×12＝13，(8分)P (Z ＝0)＝13＋23×12＋23×12×23＝89，P (Z ＝4)＝23×12×13＝19，(9分)所以E (Y )＝0×59＋4×19＋6×13＝229，E (Z )＝0×89＋4×19＝49，所以E (Y )＋E (Z )＝269，又E (X )＝0×29＋4×19＋6×13＋12×13＝589，(11分)由于E (X )>E (Y )＋E (Z )，所以A 所获得的金额的期望能超过Y 的期望与Z 的期望之和．(12分)。
2018届 高三上学期第一次联考数学试卷(理科) Word版含解析
2018届 高三上学期第一次联考试卷数学（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.1．已知集合A={ x|≥1}，集合B={ x|log 2x ＜1}，则 A ∩B=（ ）A ．（﹣∞，2）B ．（0，1）C ．（0，2）D ．（1，2）2．已知复数z=（i 为虚数单位），则在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知sin α=，则cos （π﹣2α）=（ ）A ．﹣B ．﹣C ．D ．4．已知函数f （x ）=lg ，则f =（ ）A ．0B ．2C ．20D ．40345．若一个正六棱柱（底面是正六边形，侧棱垂直于底面）的正视图如图所示，则其体积等于（ ）A ．B ．C ．2D ．66．设ω＞0，函数的图象向左平移个单位后与原图象重合，则ω的最小值是（ ）A ．B ．C ．D ．37．如图，画一个边长为2的正三角形，再将这个正三角形各边的中点相连得到第二个正三角形，依此类推，一共画了5个正三角形．那么这五个正三角形的面积之和等于（ ）A ．2B ．C ．D ．8．已知a ＜0，则“ax 0=b ”的充要条件是（ ）A ．∃x ∈R ， ax 2﹣bx ≥ax 02﹣bx 0B ．∃x ∈R ， ax 2﹣bx ≤ax 02﹣bx 0C ．∀x ∈R ， ax 2﹣bx ≤ax 02﹣bx 0D ．∀x ∈R ， ax 2﹣bx ≥ax 02﹣bx 09．设F 1，F 2分别为双曲线=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点P ，满足|PF 2|=|F 1F 2|，且F 2到直线PF 1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．210．已知直线l ：y=k （x ﹣1）与抛物线C ：y 2=4x 相交于A 、B 两点，过AB 分别作直线x=﹣1的垂线，垂足分别是M 、N ．那么以线段MN 为直径的圆与直线l 的位置关系是（ ） A ．相交B ．相切C ．相离D ．以上都有可能11．已知函数f （x ）=x 3+2x ﹣1（x ＜0）与g （x ）=x 3﹣log 2（x+a ）+1的图象上存在关于原点对称的点，则实数a 的取值范围为（ ）A ．（﹣∞，2）B ．（0，）C ．（，2）D ．（0，2）12．函数f （x ）=（x 2﹣3）e x ，当m 在R 上变化时，设关于x 的方程f 2（x ）﹣mf （x ）﹣=0的不同实数解的个数为n ，则n 的所有可能的值为（ ） A ．3 B ．1或3 C ．3或5 D ．1或3或5二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上.13．设M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，，，则= ．14．如果不等式组表示的平面区域内存在点P （x 0，y 0）在函数y=2x +a 的图象上，那么实数a 的取值范围是 ．15．四面体A ﹣BCD 中，AB=AC=DB=DC=2，AD=BC=4，则它的外接球表面积等于 ．16．四边形ABCD 中，∠BAC=90°，BD+CD=2，则它的面积最大值等于 ．三、解答题：本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．已知数列{a n }的前n 项和S n ，满足S n =n 2﹣3n ． （I ）求数列{a n }的通项公式a n ；（II ）设b n =，数列{b n }的前n 项和T n （n ∈N*），当T n ＞时，求n 的最小值．18．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且asinA=（b ﹣c ）sinB+（c﹣b ）sinC ．（1）求角A 的大小；（2）若a=，cosB=，D 为AC 的中点，求BD 的长．19．如图，已知长方形ABCD 中，AB=2，AD=，M 为DC 的中点，将△ADM 沿AM 折起，使得平面ADM ⊥平面ABCM （Ⅰ）求证：AD ⊥BM（Ⅱ）若点E 是线段DB 上的一动点，问点E 在何位置时，二面角E ﹣AM ﹣D 的余弦值为．20．已知椭圆M ： +=1（a ＞b ＞0）的一个焦点为F （﹣1，0），离心率e=左右顶点分别为A 、B ，经过点F 的直线l 与椭圆M 交于C 、D 两点（与A 、B 不重合）． （I ）求椭圆M 的方程；（II ）记△ABC 与△ABD 的面积分别为S 1和S 2，求|S 1﹣S 2|的最大值，并求此时l 的方程．21．设函数f （x ）=e x ﹣x 2﹣x ﹣1，函数f′（x ）为f （x ）的导函数． （I ）求函数f′（x ）的单调区间和极值；（II ）已知函数y=g （x ）的图象与函数y=f （x ）的图象关于原点对称，证明：当x ＞0时，f （x ）＞g （x ）；（Ⅲ）如果x 1≠x 2，且f （x 1）+f （x 2）=0，证明：x 1+x 2＜0．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为ρ=2sinθ．（I）求圆C的直角坐标方程；（II）设圆C与直线l交于点A、B，若点P的坐标为（3，），求|PA|+|PB|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）=|x﹣|+|x+m|（m＞0）（1）证明：f（x）≥4；（2）若f（2）＞5，求m的取值范围．2018届高三上学期第一次联考试卷数学（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.x＜1}，则 A∩B=（）1．已知集合A={ x|≥1}，集合B={ x|log2A．（﹣∞，2） B．（0，1）C．（0，2）D．（1，2）【考点】交集及其运算．【分析】先求出集合A和B，利用交集定义能求出A∩B．【解答】解：∵集合A={ x|≥1}={x|1＜x≤2}，x＜1}={x|0＜x＜2}，集合B={ x|log2∴A∩B={x|1＜x＜2}=（1，2）．故选：D．2．已知复数z=（i为虚数单位），则在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】复数的分子与分母同乘分母的共轭复数，化简为a+bi的形式，即可推出结果．【解答】解： ==，故它所表示复平面内的点是（）．在复平面内对应的点，在第一象限．故选A．3．已知sinα=，则cos（π﹣2α）=（）A．﹣B．﹣C．D．【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】利用诱导公式、二倍角的余弦公式，求得cos（π﹣2α）的值．【解答】解：sinα=，则cos（π﹣2α）=﹣cos2α=﹣（1﹣2sin2α）=2sin2α﹣1=﹣，故选：B．4．已知函数f （x）=lg，则f =（）A．0 B．2 C．20 D．4034【考点】对数的运算性质．【分析】利用对数的运算性质可得f（﹣x）+f（x）=2，即可得出．【解答】解：f（﹣x）+f（x）=lg+==2，∴f =2．故选：B．5．若一个正六棱柱（底面是正六边形，侧棱垂直于底面）的正视图如图所示，则其体积等于（）A．B．C．2D．6【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由正视图可得，正六边形的边长为，正六棱柱的高为1，即可求出其体积．【解答】解：由正视图可得，正六边形的边长为，正六棱柱的高为1，则体积为=2，故选C．6．设ω＞0，函数的图象向左平移个单位后与原图象重合，则ω的最小值是（）A．B．C．D．3【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】根据图象向左平移个单位后与原图象重合，得到是一个周期，写出周期的表示式，解出不等式，得到ω的最小值．【解答】解：∵图象向左平移个单位后与原图象重合∴是一个周期∴ω≥3 所以最小是3故选D．7．如图，画一个边长为2的正三角形，再将这个正三角形各边的中点相连得到第二个正三角形，依此类推，一共画了5个正三角形．那么这五个正三角形的面积之和等于（）A．2B．C．D．【考点】等比数列的前n项和．【分析】此五个正三角形的边长a形成等比数列：2，1，，，．再利用等比数列的求和n公式即可得出这五个正三角形的面积之和．【解答】解：此五个正三角形的边长a形成等比数列：2，1，，，．n∴这五个正三角形的面积之和=×==．故选：D．8．已知a ＜0，则“ax 0=b”的充要条件是（ ）A ．∃x ∈R ， ax 2﹣bx ≥ax 02﹣bx 0B ．∃x ∈R ， ax 2﹣bx ≤ax 02﹣bx 0C ．∀x ∈R ， ax 2﹣bx ≤ax 02﹣bx 0D ．∀x ∈R ， ax 2﹣bx ≥ax 02﹣bx 0 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】a ＜0，令f （x ）=ax 2﹣bx ，利用导数可得：x=函数f （x ）的极大值点即最大值点，即可判断出结论．【解答】解：a ＜0，令f （x ）=ax 2﹣bx ，则f′（x ）=ax ﹣b ，令f′（x ）=0，解得x=．∴x=函数f （x ）的极大值点即最大值点，∴∀x ∈R ， ax 2﹣bx ≤ax 02﹣bx 0，∴a ＜0，则“ax 0=b”的充要条件是：∀x ∈R ， ax 2﹣bx ≤ax 02﹣bx 0， 故选：C ．9．设F 1，F 2分别为双曲线=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点P ，满足|PF 2|=|F 1F 2|，且F 2到直线PF 1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．2【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用题设条件和双曲线性质在三角形中寻找等量关系，得出a 与b 之间的等量关系，运用双曲线的a ，b ，c 的关系和离心率公式即可求出双曲线的离心率． 【解答】解：依题意|PF 2|=|F 1F 2|，可知三角形PF 2F 1是一个等腰三角形， F 2在直线PF 1的投影是其中点，且F 2到直线PF 1的距离等于双曲线的实轴长， 由勾股定理可知|PF 1|=4b ，根据双曲定义可知4b ﹣2c=2a ，整理得c=2b ﹣a ， 代入c 2=a 2+b 2整理得3b 2﹣4ab=0，求得=，即b=a ， 则c==a ，即有e==． 故选：A ．10．已知直线l ：y=k （x ﹣1）与抛物线C ：y 2=4x 相交于A 、B 两点，过AB 分别作直线x=﹣1的垂线，垂足分别是M 、N ．那么以线段MN 为直径的圆与直线l 的位置关系是（ ） A ．相交B ．相切C ．相离D ．以上都有可能【考点】抛物线的简单性质．【分析】先由抛物线定义可知AM=AF ，可推断∠1=∠2；又根据AM ∥x 轴，可知∠1=∠3，进而可得∠2=∠3，同理可求得∠4=∠6，最后根据∠MFN=∠3+∠6，则答案可得． 【解答】解：如图，由抛物线定义可知AM=AF ，故∠1=∠2， 又∵AM ∥x 轴，∴∠1=∠3，从而∠2=∠3，同理可证得∠4=∠6， 而∠2+∠3+∠4+∠6=180°，∴∠MFN=∠3+∠6=×180°=90°，∴以线段MN 为直径的圆与直线l 的位置关系是相切， 故选B ．11．已知函数f （x ）=x 3+2x ﹣1（x ＜0）与g （x ）=x 3﹣log 2（x+a ）+1的图象上存在关于原点对称的点，则实数a 的取值范围为（ ）A ．（﹣∞，2）B ．（0，）C ．（，2）D ．（0，2）【考点】函数与方程的综合运用；函数的图象．【分析】设出对称点的坐标，代入两个函数的解析式，转化为方程有解，利用函数图象关系列出不等式求解即可．【解答】解：函数f（x）=x3+2x﹣1（x＜0）与g（x）=x3﹣log2（x+a）+1的图象上存在关于原点对称的点，设函数f（x）=x3+2x﹣1（x＜0）上的一点为（m，n），m＜0，可得n=m3+2m﹣1，则（﹣m，﹣n）在g（x）=x3﹣log2（x+a）+1的图象上，﹣n=﹣m3﹣log2（﹣m+a）+1，可得2m=log2（﹣m+a），即（m＜0）有解，即，t＞0有解．作出y=，与y=log2（t+a），t＞0的图象，如图：只需log2a＜1即可．解得a∈（0，2）．故选：D．12．函数f（x）=（x2﹣3）e x，当m在R上变化时，设关于x的方程f2（x）﹣mf（x）﹣=0的不同实数解的个数为n，则n的所有可能的值为（）A．3 B．1或3 C．3或5 D．1或3或5【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】求f（x）的导数，单调区间和极值，作出f（x）的图象，令t=f（x），则t2﹣mt﹣=0，由判别式和根与系数的关系可得方程有一正一负根，结合图象可得原方程实根的个数．【解答】解：函数f（x）=（x2﹣3）e x的导数为f′（x）=（x+3）（x﹣1）e x，当x＞1或x＜﹣3时，f′（x）＞0，f（x）递增；当﹣3＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）递减．即有f（x）在x=1处取得极小值﹣2e；在x=﹣3处取得极大值6e﹣3，作出f（x）的图象，如图所示；关于x的方程f2（x）﹣mf（x）﹣=0，由判别式为m2+＞0，方程有两个不等实根，令t=f（x），则t2﹣mt﹣=0，t1t2=﹣＜0，则原方程有一正一负实根．当t＞6e﹣3，y=t和y=f（x）有一个交点，当0＜t＜6e﹣3，y=t和y=f（x）有三个交点，当﹣2e＜t＜0时，y=t和y=f（x）有两个交点，当t＜﹣2e时，y=t和y=f（x）没有交点，则x的方程f2（x）﹣mf（x）﹣=0的实根个数为3．故选：A．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上.13．设M是线段BC的中点，点A在直线BC外，，，则= 2 ．【考点】向量在几何中的应用．【分析】根据向量加法的平行四边形形法则和减法的三角形法则，可得以AB、AC为邻边的平行四边形ABDC为矩形，可得AM是Rt△ABC斜边BC上的中线，可得=，结合题中数据即可算出的值．【解答】解：∵∴以AB、AC为邻边作平行四边形，可得对角线AD与BC长度相等因此，四边形ABDC为矩形∵M是线段BC的中点，∴AM是Rt△ABC斜边BC上的中线，可得=∵，得2=16，即=4∴==2故答案为：214．如果不等式组表示的平面区域内存在点P（x0，y）在函数y=2x+a的图象上，那么实数a的取值范围是[﹣3，0] ．【考点】简单线性规划．【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，推出a的范围即可．【解答】解：不等式组表示的可行域如图：平面区域内存在点P（x0，y）在函数y=2x+a的图象上，可得a≤0，指数函数y=2x，向下平移a单位，经过可行域的A时，a可得最小值，由，可得A（2，1），此时1=22+a，解得a=﹣3，实数a的取值范围是：[﹣3，0]故答案为：[﹣3，0]．15．四面体A﹣BCD中，AB=AC=DB=DC=2，AD=BC=4，则它的外接球表面积等于32π．【考点】球的体积和表面积．【分析】如图，取BC、AD中点分别为E、F，连结DE，AE，EF，取EF中点O，AO=DO=OB=OC=2，即可得O为四面体A﹣BCD的外接球，半径R=2，【解答】解：如图，取BC、AD中点分别为E、F，连结DE，AE，EF，∵AB=AC=DB=DC=2，∴AE⊥BC，DE⊥BC，∴AE=DE，∴EF⊥AD，取EF中点O，OF=，∴AO=DO=，同理可得OB=OC=2，故O为四面体A﹣BCD的外接球，半径R=2，则它的外接球表面积等于4πR2=32π，故答案为：32π．16．四边形ABCD中，∠BAC=90°，BD+CD=2，则它的面积最大值等于．【考点】三角形中的几何计算．【分析】由题意，当D 在BC 的正上方时S △DBC 面积最大，A 为BC 的正下方时S △ABC 面积最大，设BC 为2x ，可求DH=，S四边形ABCD=x 2+x ，设x=sin θ，则利用三角函数恒等变换的应用化简可得S 四边形= [1+sin （2θ﹣）]，利用正弦函数的性质即可求得S 四边形的最大值．【解答】解：∵∠BAC=90°，BD+CD=2，∴D 在以BC 为焦点的椭圆上运动，A 在以BC 为直径的圆上运动，∴当D 在BC 的正上方时S △DBC 面积最大，A 为BC 的正下方时S △ABC 面积最大，此时，设BC 为2x ，则DH=，∴S 四边形ABCD =S △BCD +S ABC =x +=x 2+x，设x=sin θ，则=cos θ，∴S 四边形=sin 2θ+sin θcos θ=（2sin 2θ+2sin θcos θ）=（1﹣cos2θ+sin2θ）= [1+sin（2θ﹣）]，∴当sin （2θ﹣）=1时，即θ=时，S 四边形取得最大值，最大值为：．故答案为：．三、解答题：本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．已知数列{a n }的前n 项和S n ，满足S n =n 2﹣3n ． （I ）求数列{a n }的通项公式a n ；（II ）设b n =，数列{b n }的前n 项和T n （n ∈N*），当T n ＞时，求n 的最小值．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（I ）利用公式a n =S n ﹣S n ﹣1得出通项公式，再验证n=1是否成立即可；（2）化简bn，使用裂项法求和，解不等式得出n的范围即可．【解答】解：（I）∵Sn=n2﹣3n．∴当n=1时，S1=12﹣3×1=﹣2，即 a1=﹣2，当n≥2时，Sn﹣1=（n﹣1）2﹣3（n﹣1）=n2﹣5n+4∴an =Sn﹣Sn﹣1=2n﹣4，显然，n=1时，2n﹣4=﹣2=a1也满足上式，∴数列{an }的通项公式an=2n﹣4．（II）bn===﹣，∴Tn=（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）=1﹣=．令＞得 n＞2016，∵n∈N*，故n的最小值为2017．18．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且asinA=（b﹣c）sinB+（c ﹣b）sinC．（1）求角A的大小；（2）若a=，cosB=，D为AC的中点，求BD的长．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（I）由已知，利用正弦定理可得a2=（b﹣c）b+（c﹣b）c，化简可得2bc=（b2+c2﹣a2），再利用余弦定理即可得出cosA，结合A的范围即可得解A的值．（Ⅱ）△ABC中，先由正弦定理求得AC的值，再由余弦定理求得AB的值，△ABD中，由余弦定理求得BD的值．【解答】解：（I）∵，∴由正弦定理可得： a2=（b﹣c）b+（c﹣b）c，即2bc=（b2+c2﹣a2），∴由余弦定理可得：cosA==，∵A∈（0，π），∴A=．（Ⅱ）∵由cosB=，可得sinB=，再由正弦定理可得，即，∴得b=AC=2．∵△ABC中，由余弦定理可得BC2=AB2+AC2﹣2AB•AC•cos∠A，即10=AB2+4﹣2AB•2•，求得AB=32．△ABD中，由余弦定理可得BD2=AB2+AD2﹣2AB•AD•cos∠A=18+1﹣6•=13，∴BD=．19．如图，已知长方形ABCD中，AB=2，AD=，M为DC的中点，将△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM（Ⅰ）求证：AD⊥BM（Ⅱ）若点E是线段DB上的一动点，问点E在何位置时，二面角E﹣AM﹣D的余弦值为．【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（Ⅰ）根据线面垂直的性质证明BM⊥平面ADM即可证明AD⊥BM（Ⅱ）建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法建立二面角的夹角关系，解方程即可．【解答】（1）证明：∵长方形ABCD中，AB=2，AD=，M为DC的中点，∴AM=BM=2，∴BM⊥AM．∵平面ADM⊥平面ABCM，平面ADM∩平面ABCM=AM，BM⊂平面ABCM∴BM⊥平面ADM∵AD⊂平面ADM∴AD⊥BM；（2）建立如图所示的直角坐标系，设，则平面AMD的一个法向量=（0，1，0），=+=（1﹣λ，2λ，1﹣λ），=（﹣2，0，0），设平面AME的一个法向量为=（x，y，z），则，取y=1，得x=0，z=，则=（0，1，），∵cos＜，＞==，∴求得，故E为BD的中点．20．已知椭圆M： +=1（a＞b＞0）的一个焦点为F（﹣1，0），离心率e=左右顶点分别为A、B，经过点F的直线l与椭圆M交于C、D两点（与A、B不重合）．（I）求椭圆M的方程；（II）记△ABC与△ABD的面积分别为S1和S2，求|S1﹣S2|的最大值，并求此时l的方程．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由焦点F坐标可求c值，根据离心率e及a，b，c的平方关系可求得a值；（Ⅱ）当直线l不存在斜率时可得，|S1﹣S2|=0；当直线l斜率存在（显然k≠0）时，设直线方程为y=k（x+1）（k≠0），与椭圆方程联立消y可得x的方程，根据韦达定理可用k表示x1+x2，x 1x2，|S1﹣S2|可转化为关于x1，x2的式子，进而变为关于k的表达式，再用基本不等式即可求得其最大值．【解答】解：（I）设椭圆M的半焦距为c，即c=1，又离心率e=，即=∴a=2，b2=a2﹣c2=3∴椭圆M的方程为（II ）设直线l 的方程为x=my ﹣1，C （x 1，y 2），D （x 2，y 2），联立方程组，消去x 得，（3m 2+4）y 2﹣6my ﹣9=0∴y 1+y 2=，y 1y 2=﹣＜0S 1=S △ABC =|AB|•|y 1|，S 2=S △ABD =|AB|•|y 2|，且y 1，y 2异号∴|S 1﹣S 2|=|AB|•|y 1+y 2|=×4×|y 1+y 2|==∵3|m|+≥4，当且仅当3|m|=，即m=±时，等号成立∴|S 1﹣S 2|的最大值为=此时l 的方程为x ±2y+=021．设函数f （x ）=e x ﹣x 2﹣x ﹣1，函数f′（x ）为f （x ）的导函数． （I ）求函数f′（x ）的单调区间和极值；（II ）已知函数y=g （x ）的图象与函数y=f （x ）的图象关于原点对称，证明：当x ＞0时，f （x ）＞g （x ）；（Ⅲ）如果x 1≠x 2，且f （x 1）+f （x 2）=0，证明：x 1+x 2＜0． 【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间和极值即可； （Ⅱ）令F （x ）=f （x ）﹣g （x ），求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出F （x ）＞F （0），证出结论即可；（Ⅲ）要证x 1+x 2＜0，即证x 1＜﹣x 2，根据函数的单调性只需证﹣f （x 2）=f （x 1）＜f （﹣x 2），即f （x 2）+f （﹣x 2）＞0，结合（Ⅱ）得出结论． 【解答】解：（I ）f′（x ）=e x ﹣x ﹣1，f′′（x ）=e x ﹣1 当x ＜0时，f′′（x ）＜0，当x ＞0时，f′′（x ）＞0∴f′（x ）在（﹣∞，0）上单调递减；在（0，+∞）上单调递增． 当x=0时，f′（0）=0为f′（x ）极小值，无极大值．（II）证明：由题意g （x）=﹣f （﹣x）=﹣e﹣x+x2﹣x+1，令F （x）=f （x）﹣g （x）=f （x）+f （﹣x）=e x+e﹣x﹣x2﹣2（x≥0），F′（x）=e x﹣e﹣x﹣2x，F′′（x）=e x+e﹣x﹣2≥0因此，F′（x）在[0，+∞）上单调递增，从而有F′（x）≥F′（0）=0；因此，F （x）在[0，+∞）上单调递增，当x＞0时，有F （x）＞F （0）=0，即f （x）＞g （x）．（III）证明：由（I）知，f′（x）≥0，即f （x）在R上单调递增，且f （0）=0．因为x1≠x2，不妨设x1＜x2，于是有x1＜0，x2＞0，要证x1+x2＜0，即证x1＜﹣x2．因为f （x）单调递增，f （x1）+f （x2）=0故只需证﹣f （x2）=f （x1）＜f （﹣x2），即f （x2）+f （﹣x2）＞0因为x2＞0，由（II）知上不等式成立，从而x1+x2＜0成立．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为ρ=2sinθ．（I）求圆C的直角坐标方程；（II）设圆C与直线l交于点A、B，若点P的坐标为（3，），求|PA|+|PB|的值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（I）由圆的极坐标方程ρ=2sinθ，可得ρ2=2ρsinθ，即可求圆C的直角坐标方程；（II）设A、B点所对应的参数分别为t1，t2，把直线l的参数方程代入圆C的方程，利用参数的几何意义，即可求|PA|+|PB|的值．【解答】解：（I）由圆的极坐标方程ρ=2sinθ，可得ρ2=2ρsinθ，∴x 2+y 2=2y ，∴圆C 的直角坐标方程为，x 2+y 2﹣2y=0（II ）设A 、B 点所对应的参数分别为t 1，t 2，把直线l 的参数方程代入圆C 的方程 则t 1，t 2是下面方程的根（3+t ）2+（+t ）2﹣2（+t ）=0整理得，t 2+3t+4=0所以，t 1+t 2=﹣3，t 1t 2=4（t 1，t 2同号）∵直线l 过P （3，）∴根据t 的几何意义可知|PA|=|t 1|，|PB|=|t 2|∴|PA|+|PB|=|t 1|+|t 2|=|t 1+t 2|=3[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f （x ）=|x ﹣|+|x+m|（m ＞0） （1）证明：f （x ）≥4；（2）若f （2）＞5，求m 的取值范围． 【考点】带绝对值的函数．【分析】（1）运用绝对值不等式的性质：绝对值的和不小于差的绝对值，利用基本不等式即可证得结论．（2）若f （2）＞5，即|2﹣|+|2+m|＞5，即有|2﹣|＞3﹣m ，即2﹣＞3﹣m 或2﹣＜m ﹣3．转化为二次不等式，解出即可，注意m ＞0．【解答】（1）证明：∵f （x ）=|x ﹣|+|x+m|≥|（x ﹣）﹣（x+m ）|=|﹣﹣m|=+m （m ＞0）又m ＞0，则+m ≥4，当且仅当m=2取最小值4． ∴f （x ）≥4；（2）解：若f （2）＞5，即|2﹣|+|2+m|＞5，即有|2﹣|＞3﹣m ，即2﹣＞3﹣m或2﹣＜m﹣3．由于m＞0，则m2﹣m﹣4＞0或m2﹣5m+4＞0，解得m＞或m＞4或0＜m＜1．故m的取值范围是（，+∞）∪（0，1）．。
2018届高三理科数学一轮专题测试(19-5)
2018届高三理科数学一轮专题测试（19-5）测试内容：三角函数与解三角形 测试时间：120分钟 满分：150分第Ⅰ卷 (选择题，共60分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合题意) 1．[2016·长春质检]已知tan α＝2，α为第一象限角，则sin2α＋cos α＝( ) A. 5 B.4＋255C.4＋55D.5－25答案 C解析 由三角函数定义sin α＝255，cos α＝55，故sin2α＋cos α＝2sin αcos α＋cos α＝4＋55.故选C.2．[2016·西安八校联考]已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4(x ∈R )，为了得到函数g (x )＝cos2x 的图象，只需将y ＝f (x )的图象( )A ．向左平移π8个单位B.向右平移π8个单位C ．向左平移π4个单位D.向右平移π4个单位答案 A解析 ∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4可变形为 f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫π4－2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4， ∴平移函数g (x )＝cos2x 的图象，向右平移π8个单位长度，即可得到f (x )的图象．为了得到函数g (x )＝cos2x 的图象，只需将y ＝f (x )的图象向左平移π8个单位．故选A.3．[2016·天津高考]在△ABC 中，若AB ＝13，BC ＝3，∠C ＝120°，则AC ＝( ) A ．1 B.2 C ．3 D.4答案 A解析 设△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则a ＝3，c ＝13，∠C ＝120°，由余弦定理得13＝9＋b 2＋3b ，解得b ＝1，即AC ＝1.4．[2016·江南十校联考]已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)( ω>0，|φ|<π2 )的最小正周期为4π，且对∀x ∈R ，有f (x )≤f ⎝⎛⎭⎫π3成立，则f (x )的一个对称中心坐标是( )A.⎝⎛⎭⎫－2π3，0 B.⎝⎛⎭⎫－π3，0 C.⎝⎛⎭⎫2π3，0 D.⎝⎛⎭⎫5π3，0答案 A解析 由f (x )＝sin(ωx ＋φ)的最小正周期为4π，得ω＝12.因为f (x )≤f ⎝⎛⎭⎫π3恒成立，所以f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫π3，即12×π3＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，由|φ|<π2，得φ＝π3，故f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π3.令12x ＋π3＝k π(k ∈Z )，得x ＝2k π－2π3(k ∈Z )，故f (x )的对称中心为⎝⎛⎭⎫2k π－2π3，0(k ∈Z )，当k ＝0时，f (x )的对称中心为⎝⎛⎭⎫－2π3，0，故选A. 5．[2017·重庆检测]已知α是第四象限角，且sin α＋cos α＝15，则tan α2＝( )A.13 B.－13C.12D.－12答案 B解析 解法一：因为sin α＋cos α＝15，α是第四象限角，所以sin α＝－35，cos α＝45，则tanα2＝sinα2cos α2＝2sin 2α22sin α2cos α2＝1－cos αsin α＝－13.解法二：因为α是第四象限角，sin α＋cos α＝15，则cos α＝45，α2是第二、四象限角，tan α2＝－sin 2α2cos 2α2＝－1－cos α21＋cos α2＝－1－cos α1＋cos α＝－1－451＋45＝－13. 6.[2016·安庆二模]已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)( A >0，ω>0，|φ|<π2 )，如图所示，则f (x )的递增区间为( )A.⎝⎛⎭⎫－π12＋2k π，5π12＋2k π，k ∈Z B.⎝⎛⎭⎫－π12＋k π，5π12＋k π，k ∈Z C.⎝⎛⎭⎫－π6＋2k π，5π6＋2k π，k ∈Z D.⎝⎛⎭⎫－π6＋k π，5π6＋k π，k ∈Z 答案 B解析 解法一：由图象可知A ＝2，34T ＝11π12－π6＝3π4，所以T ＝π，故ω＝2.由f ⎝⎛⎭⎫1112π＝－2，得φ＝2k π－π3(k ∈Z )． ∵|φ|<π2，∴φ＝－π3.所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. 由2x －π3∈⎝⎛⎭⎫2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )， 得x ∈⎝⎛⎭⎫k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )． 解法二：34T ＝11π12－π6＝3π4，所以T ＝π，π6－T 4＝π6－π4＝－π12，π6＋T 4＝π6＋π4＝5π12， 所以f (x )的递增区间是⎝⎛⎭⎫k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )． 7．[2016·北京高考]将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3图象上的点P ⎝⎛⎭⎫π4，t 向左平移s (s >0)个单位长度得到点P ′.若P ′位于函数y ＝sin2x 的图象上，则( )A ．t ＝12，s 的最小值为π6B.t ＝32，s 的最小值为π6 C ．t ＝12，s 的最小值为π3D.t ＝32，s 的最小值为π3答案 A解析 因为点P ⎝⎛⎭⎫π4，t 在函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象上，所以t ＝sin ⎝⎛⎭⎫2×π4－π3＝sin π6＝12.又P ′⎝⎛⎭⎫π4－s ，12在函数y ＝sin2x 的图象上，所以12＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π4－s ，则2⎝⎛⎭⎫π4－s ＝2k π＋π6或2⎝⎛⎭⎫π4－s ＝2k π＋5π6，k ∈Z ，得s ＝－k π＋π6或s ＝－k π－π6，k ∈Z .又s >0，故s 的最小值为π6.故选A.8．[2017·四川绵阳模拟]已知sin θ＋cos θ＝2sin α，sin2θ＝2sin 2β，则( ) A ．cos β＝2cos α B.cos 2β＝2cos 2α C ．cos2β＋2cos2α＝0 D.cos2β＝2cos2α答案 D解析 sin θ＋cos θ＝2sin α⇒1＋sin2θ＝4sin 2α，所以1＋2sin 2β＝4sin 2α，1＋1－cos2β＝2(1－cos2α)，cos2β＝2cos2α，故选D.9．[2017·辽宁抚顺模拟]将函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象向左平移π12个单位，再向上平移1个单位，得到g (x )的图象．若g (x 1)g (x 2)＝9，且x 1，x 2∈[－2π，2π]，则2x 1－x 2的最大值为( )A.25π6B.35π6C.49π12D.17π4答案 C解析 由题意可得g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π12＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋1，所以g (x )max ＝3，又g (x 1)g (x 2)＝9，所以g (x 1)＝g (x 2)＝3，由g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋1＝3，得2x ＋π3＝π2＋2k π(k ∈Z )，因为x 1，x 2∈[－2π，2π]，所以(2x 2－x 1)max ＝2×⎝⎛⎭⎫π12＋π－⎝⎛⎭⎫π12－2π＝49π12，故选C.10．[2017·黑龙江、吉林八校期末]已知△ABC 三边a ，b ，c 上的高分别为12，22，1，则cos A 等于( )A.32B.－22 C ．－24D.－34答案 C解析 设△ABC 面积为S ⇒a ＝4S ，b ＝22S ，c ＝2S ⇒cos A ＝(22)2＋22－422×22×2＝－24，故选C.11.[2016·河北百校联盟联考]已知函数f (x )＝|sin x |＋|cos x |，则下列结论中错误的是( )A ．f (x )是周期函数B ．f (x )的对称轴方程为x ＝k π4，k ∈ZC ．f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π4，3π4上为增函数 D ．方程f (x )＝65在区间⎣⎡⎦⎤－32π，0有6个根 答案 C解析 因为f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＋⎪⎪⎪⎪cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π2 ＝|sin x |＋|cos x |＝f (x )，所以f (x )是周期为π2的函数，因为f (x )为偶函数，所以f (x )的对称轴方程为x ＝k π4，k ∈Z ，故A 、B 项正确；当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，f (x )＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，作出函数f (x )的部分图象如图所示，由图象可知C 项错误，D 项正确．12．[2016·长春质检]在△ABC 中，D 是BC 中点，已知∠BAD ＋∠C ＝90°，则△ABC的形状为( )A ．等腰三角形 B.直角三角形C ．等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形答案 D解析 如图，由题可知，∠BAD ＋∠C ＝∠B ＋∠CAD ＝90°，在△ABD中，BD sin ∠BAD ＝AD sin B ＝BD cos C ，在△ADC 中，CD sin ∠CAD ＝AD sin C ＝CD cos B ，所以sin B cos C ＝sin C cos B，即sin2B ＝sin2C ，所以B ＝C 或2B ＋2C ＝π，则此三角形为等腰三角形或直角三角形．故选D.第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．[2016·浙江高考]已知2cos 2x ＋sin2x ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A >0)，则A ＋b ＝________. 答案2＋1解析 由于2cos 2x ＋sin2x ＝1＋cos2x ＋sin2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1，所以A ＝2，b ＝1，即A ＋b ＝2＋1.14．[2016·衡水大联考]已知sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝13，则sin ⎝⎛⎭⎫2α－5π6 ＝________. 答案 79解析 sin ⎝⎛⎭⎫2α－5π6＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫α＋π3－3π2 ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫α＋π3＋π2＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫α＋π3 ＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎫α＋π3＝1－2×⎝⎛⎭⎫132＝79. 15．[2017·湖北四地七校联考]三国魏人刘徽，自撰《海岛算经》，专论测高望远．其中有一题：今有望海岛，立两表齐，高三丈，前后相去千步，令后表与前表相直．从前表却行一百二十三步，人目著地取望岛峰，与表末参合．从后表却行一百二十七步，人目著地取望岛峰，亦与表末参合．问岛高及去表各几何？译文如下：要测量海岛上一座山峰A 的高度AH ，立两根高均为3丈的标杆BC 和DE ，前后标杆相距1000步，使后标杆杆脚D 与前标杆杆脚B 与山峰脚H 在同一直线上，从前标杆杆脚B 退行123步到F ，人眼著地观测到岛峰，A 、C 、F 三点共线，从后标杆杆脚D 退行127步到G ，人眼著地观测到岛峰，A 、E 、G 三点也共线，问岛峰的高度AH ＝________步．(古制：1步＝6尺，1里＝180丈＝1800尺＝300步)答案 1255解析 如图，由题意BC ＝DE ＝5步，设AH ＝h 步，BF＝123步，DG ＝127步，BC AH ＝BF HF ，HF ＝123h5步，同理HG ＝127h 5步，由题意得(HG －DG )－(HF －BF )＝1000步，即127h 5－123h5－4＝1000，h ＝1255. 16．[2017·江西九江十校联考]已知a ，b ，c 为△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边，且A ＝30°，a ＝1，D 为BC 的中点，则|AD →|2的最大值为________．答案43＋74解析 AD →＝12(AB →＋AC →)，|AD →|2＝14(AB →＋AC →)2＝14(AB →2＋AC →2＋2|AB →|·|AC →|cos A )＝14⎝⎛⎭⎫c 2＋b 2＋2cb 32＝14(b 2＋c 2＋3bc )． 根据余弦定理知cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝32，又a ＝1，得b 2＋c 2－1＝3bc ，故b 2＋c 2＝3bc ＋1，由b 2＋c 2＝3bc ＋1≥2bc ，得bc ≤2＋3，|AD →|2＝14(23bc ＋1)≤14(43＋7)．三、解答题(共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．[2017·福建福州模拟](本小题满分10分)已知函数f (x )＝3sin2ωx ＋cos 4ωx －sin 4ωx ＋1(其中0<ω<1)，若点⎝⎛⎭⎫－π6，1是函数f (x )图象的一个对称中心． (1)求f (x )的解析式，并求距y 轴最近的一条对称轴的方程； (2)先列表，再作出函数f (x )在区间[－π，π]上的图象．解 (1)f (x )＝3sin2ωx ＋(cos 2ωx －sin 2ωx )(cos 2ωx ＋sin 2ωx )＋1＝3sin2ωx ＋cos2ωx ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π6＋1.(2分) ∵点⎝⎛⎭⎫－π6，1是函数f (x )图象的一个对称中心， ∴－ωπ3＋π6＝k π，k ∈Z ，∴ω＝－3k ＋12，k ∈Z .∵0<ω<1，∴k ＝0，ω＝12，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋1.(4分)由x ＋π6＝k π＋π2，k ∈Z ，得x ＝k π＋π3，k ∈Z ，令k ＝0，得距y 轴最近的一条对称轴方程为x ＝π3.(5分)(2)由(1)知，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋1，当x ∈[－π，π]时，列表如下：(7分)则函数f (x )在区间[－π，π]上的图象如图所示．(10分)18．[2016·济南质检](本小题满分12分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos 2A2＋()cos B －3sin B cos C ＝1.(1)求角C 的值；(2)若c ＝2，且△ABC 的面积为3，求a ，b .解 (1)2cos 2A2＋(cos B －3sin B )cos C ＝1，故cos A ＋cos B cos C －3sin B cos C ＝0，(2分)则－cos(B ＋C )＋cos B cos C －3sin B cos C ＝0，(4分) 展开得：sin B sin C －3sin B cos C ＝0，∵sin B ≠0，即tan C ＝3，∵C ∈(0，π)，C ＝π3.(6分)(2)三角形面积为12ab sin π3＝3，故ab ＝4.(8分)由余弦定理得4＝(a ＋b )2－2ab －ab ，所以a ＋b ＝4，(10分) 故a ＝b ＝2.(12分)19．[2016·四川高考](本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且cos A a ＋cos B b ＝sin C c.(1)证明：sin A sin B ＝sin C ； (2)若b 2＋c 2－a 2＝65bc ，求tan B .解 (1)证明：根据正弦定理，可设a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝k (k >0)，则a ＝k sin A ，b ＝k sin B ，c ＝k sin C .(2分)代入cos A a ＋cos B b ＝sin C c 中，有cos A k sin A ＋cos B k sin B ＝sin C k sin C ，变形可得sin A sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝sin(A ＋B )．(4分)在△ABC 中，由A ＋B ＋C ＝π，有sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ，所以sin A sin B ＝sin C .(6分)(2)由已知，b 2＋c 2－a 2＝65bc ，根据余弦定理，有cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝35.因为A ∈(0，π)，(9分)所以sin A ＝1－cos 2A ＝45.由(1)，sin A sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ， 所以45sin B ＝45cos B ＋35sin B ，(11分)故tan B ＝sin B cos B＝4.(12分)20．[2017·河北武邑二调](本小题满分12分)某驾校拟围着一座山修建一条环形训练道路OASBCD ，道路的平面图如图所示(单位：km)，已知曲线ASB 为函数y ＝A sin(ωx ＋φ)( A >0,0<ω<1，|φ|<π2 )，x ∈[0,3]的图象，且最高点为S (1,2)，折线段AOD 为固定线路，其中AO ＝3，OD ＝4，折线段BCD 为可变线路，但为保证驾驶安全，限定∠BCD ＝120°.(1)求A ，ω，φ的值；(2)若∠CBD ＝θ，试用θ表示折线段道路BCD 的长，并求折线段道路BCD 长度的最大值．解 (1)由已知A ＝2，(1分) 且有2sin(ω·0＋φ)＝3，即sin φ＝32，由|φ|<π2，得φ＝π3.(3分) 又∵最高点为(1,2)，∴2sin ⎝⎛⎭⎫ω＋π3＝2，解得ω＝π6，(5分) ∴y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π6x ＋π3.(6分)(2)∵B 点的横坐标为3，代入函数解析式，得 y B ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π6×3＋π3＝1， ∴BD ＝12＋(4－3)2＝ 2.(8分)在△BCD 中，设∠CBD ＝θ，则∠BDC ＝180°－120°－θ＝60°－θ. 由正弦定理，有BD sin120°＝CD sinθ＝BCsin (60°－θ)，∴CD ＝263sin θ，BC ＝263sin(60°－θ)，(9分)∴BC ＋CD ＝263[sin θ＋sin(60°－θ)]＝263⎣⎡⎦⎤sin θ＋32cos θ－12sin θ＝263sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3， ∴当且仅当θ＝π6时，折线段BCD 最长，最长为263千米．(12分)21．[2016·北京东城区模拟](本小题满分12分)在△ABC 中，BC ＝22，AC ＝2，且cos(A ＋B )＝－22. (1)求AB 的长度；(2)若f (x )＝sin(2x ＋C )，求y ＝f (x )与直线y ＝32相邻交点间的最小距离． 解 (1)∵cos C ＝cos[π－(A ＋B )]＝－cos(A ＋B )＝22， ∴C ＝45°.(2分) ∵BC ＝22，AC ＝2，∴AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos C ＝(22)2＋22－82cos45°＝4， ∴AB ＝2.(4分)(2)由f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＝32， 解得2x ＋π4＝2k π＋π3或2x ＋π4＝2k π＋2π3，k ∈Z ，(6分)解得x 1＝k 1π＋π24或x 2＝k 2π＋5π24，k 1，k 2∈Z .(8分)因为|x 1－x 2|＝⎪⎪⎪⎪(k 2－k 1)π＋π6≥π6， 当k 1＝k 2时取等号，(10分) 所以当f (x )＝32时，相邻两交点间最小的距离为π6.(12分)22.[2016·安庆二模](本小题满分12分)如图，D 是直角△ABC斜边BC 上一点，AC ＝3DC .(1)若∠DAC ＝30°，求角B 的大小；(2)若BD ＝2DC ，且AD ＝22，求DC 的长． 解 (1)在△ADC 中，根据正弦定理， 有AC sin ∠ADC ＝DCsin ∠DAC.因为AC ＝3DC ，所以sin ∠ADC ＝3sin ∠DAC ＝32.(2分) 又∠ADC ＝∠B ＋∠BAD ＝∠B ＋60°>60°， 所以∠ADC ＝120°.(4分)于是∠C ＝180°－120°－30°＝30°，所以∠B ＝60°.(6分) (2)设DC ＝x ，则BD ＝2x ，BC ＝3x ，AC ＝3x . 于是sin B ＝AC BC ＝33，cos B ＝63，AB ＝6x .(8分)在△ABD 中，由余弦定理，得AD 2＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD cos B ， 即(22)2＝6x 2＋4x 2－2×6x ×2x ×63＝2x 2，(10分) 得x ＝2. 故DC ＝2.(12分)。
全国新高考2018届高三月考数学理试卷 含答案 精品
2018年全国新高考月考数学（理）试题数学学科（理）高三年级第I 卷（选择题）一．选择题：共12题，每小题5分，共60分，每道小题只有一个正确的答案，把你选的答案涂在答题卡上.1．“a = 1”是“复数21(1)a a i -++（a R ∈，i 为虚数单位）是纯虚数”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 2.函数x y 216-=的定义域和值域分别是A 和B ，则B A = A.[0,)+∞ B.[0,4] C.[0,4) D.(0,4)3.设变量x ，y 满足约束条件3,1,1,x y x y y +≤⎧⎪-≥-⎨⎪≥⎩则目标函数42z x y =+的最大值为A.12B.10C.8D.24．若向量a ＝(1,2)，b ＝(1，－1)，则2a ＋b 与a －b 的夹角等于 A ．4π-B ．6π C ．4π D ．43π 5．在一次国际学术会议上，来自四个国家的五位代表被安排坐在一张圆桌，为了使他们能够自由交谈，事先了解到的情况如下： 甲是中国人，还会说英语； 乙是法国人，还会说日语； 丙是英国人，还会说法语； 丁是日本人，还会说汉语； 戊是法国人，还会说德语； 则这五位代表的座位顺序应为Ａ．甲丙丁戊乙 B ．甲丁丙乙戊 Ｃ．甲丙戊乙丁 Ｄ．甲乙丙丁戊 6．在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关。
”则下列说法错误的是Ａ．此人第二天走了九十六里路 Ｂ．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里. Ｃ．此人第三天走的路程占全程的81Ｄ．此人后三天共走了42里路 7．在斜ABC ∆中，31tan tan ,cos cos 3sin -=-=C B C B A ,则角A 等于 A.4π B.6π C. 43π D.3π 8．阅读如图所示的程序框图，若输入的9=k ，则该算法的功能是A ．计算数列{}12n -的前10项和B ．计算数列{}12n -的前9项和C ．计算数列{}21n -的前10项和 D ．计算数列{}21n -的前9项和9．某几何体的三视图如右上图，则该几何体的表面积为A ．3+ B ．8+ C ．6+ D ．8+10．如图,在直三棱柱111C B A ABC -中，1AC AB AA ==,112AE BC ==,则异面直线AE 与C A 1所成的角是 A ．π6 B ．π4 C ．π3 D ．π211.三棱锥BCD A -的外接球为球O ，球O 的直径是AD ，且ABC ∆、BCD ∆都是边长为1的等边三角形，则三棱锥BCD A -的体积是（第10题图）A ．122 B ．81 C ．61D ．82 12.已知函数x ae x x x f -=ln )((e 为自然对数的底数）有两个极值点，则实数a 的取值范围是A ．)1,0(eB ．),0(eC ．),1(e eD ．),(e -∞第II 卷（非选择题）二．填空题：共4题，每小题5分，共20分，把每道小题的答案写在答题纸相应的位置上. 13.已知曲线x x y C 2:2+=在点（0，0）处的切线为l ，则由l C ,及直线1=x 围成的区域面积等于______________.14.已知1=，m =，π43=∠AOB ，点C 在AOB ∠内且0=∙OC OA 若)0(2≠+=λλλ则m = ．15．已知函数xx y --=112的图像与函数y kx =的图像恰有两个交点,则实数k 的取值范围是________.16．若数列}{n a )(*N n ∈是等差数列，则有数列)(*21N n na a ab nn ∈+++=也为等差数列，类比上述性质，相应地：若数列}{n c 是等比数列，且)(0*N n c n ∈>，则有=n d __________)(*N n ∈也是等比数列.三、解答题：解答应写文字说明，证明过程或演算步骤． 17.（本小题满分12分）已知函数()sin()(0,0,)2f x A x A πωϕωϕ=+>><的图象与y 轴的交点为(0,1)，它在y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别 为0(,2)x 和0(2,2)x π+-．（Ⅰ）求()f x 的解析式及0x 的值； （Ⅱ）若锐角θ满足31cos =θ，求)4(θf 的值．18.（本小题满分12分）如图,矩形ABCD 和梯形BEFC 所在平面互相垂直，CF BE //，CF BC ⊥,4,3,2,3====CF BE EF AD .（Ⅰ）求证：⊥EF 平面DCE ;（Ⅱ）当AB 的长为何值时,二面角C EF A --的大小为60°．19.（本小题12分）数列{}n a 为递增的等比数列,{}⊆321,,a a a {}27,16,9,4,1,0,2,3,8---， 数列{}n b 满足112,28n n n b b b a +=-=． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）求证：⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n b 2是等差数列； （Ⅲ）设数列{}n c 满足14+⋅=n n n n b b c ，且数列{}n c 的前n 项和n T ，并求使得1n m T a >对任意*∈N n 都成立的正整数m 的最小值.20.（本小题满分12分）ABC ∆中，内角A B C 、、的对边分别是a b c 、、，已知a b c 、、成等比数列，且3cos 4B =（Ⅰ）求cot cot A C +的值;（Ⅱ）设32BA BC ⋅=，求a c +的值.21.（本小题满分12分）设函数2()f x x =，()ln (0)g x a x bx a =+>． （Ⅰ）若(1)(1),'(1)'(1)f g f g ==，求()()()F x f x g x =-的极小值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，是否存在实常数k 和m ，使得()f x kx m ≥+和()g x kx m ≤+？若存在，求出k 和m 的值．若不存在，说明理由；（Ⅲ）设()()2()G x f x g x =+-有两个零点12,x x ，且102,,x x x 成等差数列，试探究0'()G x 值的符号．请考生在22、23三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
2018届高三理科数学一轮专题测试(19-19)
*
4β α 4βα ＝ ，即 α ＝ ・ ＝ 3 当且仅当 αβ α β
(
2， β ＝ 1 时取等号 ， (9 分 )
)
4 1 又因为 α ，β >1 ，所以 ＋ >3 恒成立， α β 4 1 故 ＋ >3.(10 分 ) α β 5． [2017 ・ 广东惠州二调 ] 设函数 f(x) ＝ |2x＋ 3|＋ |x－ 1|. (1) 解不等式 f(x)>4 ； 3 (2) 若存在 x∈ － ， 1 使不等式 a＋ 1> f(x) 成立，求实数 2 解 (1) ∵ f(x) ＝ |2x＋ 3|＋ |x－ 1|. 3 － 3x － 2， x< － ， 2 ∴ f(x) ＝ 3 x ＋ 4 ，－ ≤ x≤ 1 ， 2 3x ＋ 2， x>1 ， 3 x< － ， 2 － 3x － 2>4 3 － ≤ x≤ 1 ， 2 或 x ＋ 4>4 x>1 ， 3x ＋ 2>4. (4 分 ) (2 分 ) a 的取值范围．
∴ 1－ m ≤ x － 2 ≤ m－ 1，即 3－ m≤ x≤ m＋ 1.(3 分 ) ∵其解集为 [0,4] ， ∴ 3－ m ＝ 0， m＋ 1 ＝ 4， ∴ m＝ 3.(5 分 )
(2) 由 (1) 知 a＋ b＝ 3 ， ∵ (a ＋ b) ＝ a ＋ b ＋ 2ab≤ (a ＋ b )＋ ( a ＋ b ) ＝ 2(a ＋ b ) ， 9 2 2 ∴ a ＋ b ≥ ， (8 分 ) 2 3 9 2 2 ∴当且仅当 a＝ b ＝ 时， a ＋ b 取最小值为 .(10 分 ) 2 2 3． [2017 ・ 山西忻州联考 ] 已知 f(x) ＝ |x ＋ 2|－ |2x－ 1|， M 为不等式 f(x)>0 的解集． (1) 求 M ； (2) 求证：当 x， y ∈ M 时， |x＋ y＋ xy|<15. x－ 3， x<－ 2， 解 (1)f(x) ＝ 1 3x＋ 1 ，－ 2 ≤ x≤ ， 2 1 － x ＋ 3， x> ， 2 当 x<－ 2 时，由 x－ 3>0 ，得 x>3 ，舍去； (3 分 ) 1 1 1 1 当－ 2≤ x≤ 时，由 3x ＋ 1>0 ，得 x>－ ，即－ <x ≤ ； (4 分 ) 2 3 3 2 1 1 当 x> 时，由－ x ＋ 3>0 ，得 x<3 ，即 <x<3.(5 分 ) 2 2 1 综上， M ＝ － ， 3 .(6 分 ) 3 (2) 证明：∵ x， y ∈ M ，∴ |x|<3， |y|<3， ∴ |x＋ y＋ xy|≤ |x＋ y|＋ |xy|≤ |x|＋ |y|＋ |xy |＝ |x|＋ |y|＋ |x| ・ |y|<3 ＋ 3＋ 3× 3 ＝ 15.(10 分 ) 4． [2017 ・ 广西河池联考 ] 已知定义在 使 f(x)<2 成立． (1) 求实数 m 的值； (2) 若 α ，β >1 ， f( α ) ＋ f( β ) ＝ 4，求证： 解 4 1 ＋ >3. α β R 上的函数 f(x) ＝ |x－ m|＋ |x|， m∈ N ，存在实数
衡水中学2018届高三数学上学期周测一轮复习试卷理科有答案
衡水中学2018届高三数学上学期周测一轮复习试卷（理科有答案）2017-2018学年度高三一轮复习周测卷（一）理数一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.下列说法正确的是（）A．0与的意义相同B．高一（1）班个子比较高的同学可以形成一个集合C．集合是有限集D．方程的解集只有一个元素2.已知集合，则（）A．B．C．D．3.设命题“”，则为（）A．B．C．D．4.已知集合，则集合（）A．B．C.D．5.设，则“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C.充要条件D．既不充分也不必要条件6.设，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（）A．B．C.D．7.已知命题有解，命题，则下列选项中是假命题的为（）A．B．C.D．8.已知集合，则集合不可能是（）A．B．C.D．9.设，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（）A．B．C.D．10.已知命题，命题.若命题且是真命题，则实数的取值范围为（）A．B．C.D．11.对于任意两个正整数，定义某种运算“*”，法则如下：当都是正奇数时，；当不全为正奇数时，，则在此定义下，集合的真子集的个数是（）A．B．C.D．12.用表示非空集合中的元素个数，定义，若，且，设实数的所有可能取值集合是，则（）A．4B．3C.2D．1二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题纸上）13.已知含有三个实数的集合既可表示成，又可表示成，则等于．14.已知集合，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围为．15.已知集合，若，则实数的所有可能取值的集合为．16.下列说法中错误的是（填序号）.①命题“，有”的否定是“，有”；②若一个命题的逆命题为真命题，则它的否命题也一定为真命题；③已知，若为真命题，则实数的取值范围是；④“”是“”成立的充分条件.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知集合.（1）分别求；（2）已知集合，若，求实数的取值范围.18.（1）已知关于的方程有实根；关于的函数在区间上是增函数，若“或”是真命题，“或”是真命题，“且”是假命题，求实数的取值范围；（2）已知，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.19.集合.（1）若集合只有一个元素，求实数的值；（2）若是的真子集，求实数的取值范围.20.已知函数的值域是集合，关于的不等式的解集为，集合，集合.（1）若，求实数的取值范围；（2）若，求实数的取值范围.21.已知函数的定义域为，集合.（1）若，求实数的值；（2）若，使，求实数的取值范围.22.已知是定义域为的奇函数，且当时，，设“”.（1）若为真，求实数的取值范围；（2）设集合与集合的交集为，若为假，为真，求实数的取值范围.试卷答案一、选择题1-5:DDBCA6-10:BBDAA11、12：CB二、填空题13.-114.15.16.①③④三、解答题17.解：（1）∵，即，∴，∴，∵，即，∴，∴，∴，；（2）由（1）知，若，当为空集时，，当为非空集合时，可得，综上所述，实数的取值范围为.18.解：（1）若真，则，∴或，若真，则，∴，由“或”是真命题，“且”是假命题，知、一真一假，当真假时：；当假真时：.综上，实数的取值范围为；（2），∴，∴，∴实数的取值范围为.19.解：（1）根据题意知集合有两个相等的实数根，所以或-1；（2）根据条件，知，是的真子集，所以当时，，当时，根据（1）将分别代入集合检验，当时，，不满足条件，舍去；当时，，满足条件.综上，实数的取值范围是.20.解：（1）因为，所以在区间上单调递增，所以，所以. 由，可得，即，所以，所以.又因为，所以．所以，解得，所以实数的取值范围为．（2）由，解得，所以．因为，①当，即时，，满足；②当，即时，，所以，解得，又因为，所以，综上所述，实数的取值范围为.21.解：（1），因为，所以，且，所以.（2）由已知，得，所以或，解得或，所以实数的取值范围为.22.解：（1）∵函数是奇函数，∴，∵当时，，∴函数为内的增函数，∵，∴，∴.若为真，则，解得.∴实数的取值范围是. （2），若为真，则.∵为假，为真，∴一真一假. 若真假，则；若假真，则.综上，实数的取值范围是.。
2018届湖南省十四校高三第一次联考数学理科试卷及答案解析
2018 届高三·十四校联考
第Ⅰ卷（共 60 分）
第一次考试
数学（理科）试卷
一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的. 1.已知复数 z 满足 2 i z 3 4i ，则 z 的共轭复数是（ A． 2 i B． 2 i C． 2 i D． 2 i ）
2.已知全集为 R ，集合 A x 2 1 ， B x x 3x 2 0 ，则 A ðR B （ A． x x 0
x
2
）
B． x 0 x 1或x 2
C． x 1 x 2
D． x 0 x 1或x 2
3.袋中装有大小相同的四个球，四个球上分别标有数字“ 2 ”“ 0 ”“ 1”“ 8 ”，现从中随 机选取三个球，则所选的三个球上的数字能构成等差数列的概率是（ A． ）
k
．
3
2018 届湖南省十四校高三第一次联考数学理科试卷及答案解析
16.已知数列 an 满足： a1 3 ， an 2an 1 3 1
n
n 2 .设 ak 是等差数列，数列
t
kt t N 是各项均为正整数的递增数列，若 k1 1 ，则 k3 k2
2 3
B．
1 2
C．
1 3
D．
1 4
4.若双曲线 A． 0 或 4
x2 y2 1 的焦距为 4 ，则 m 等于（ 3 m m 1
山东省泰安市2018届高三第一轮复习质量检测数学理试题
山东省泰安市2018年3月高三第一轮质量检测数学试题(理科) 2018．3第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分。
共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}-1012A =，，，，集合{}23,B y y x x A ==-∈⋂，则A B 等于A ．{}101-，，B ．{}11-，C ．{}112-，，D ．{}012，，2．若()125i z i -=，则z 的值为A ．3B ．5CD 3．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，6483,a a a =+则A ．有最小值6B ．有最大值6C ．有最大值9D ．有最小值34．下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A 产品过程中记录的产量x 与相应的生产能耗y 的几组对应数据：根据上表可得回归方程9.49.1y x =+，那么表中m 的值为A ．27．9B ．25．5C ．26．9D ．265．阅读右侧程序框图，运行相应程序，则输出i 的值为A ．3B ．4C ．5D ．66．将函数()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向右平移6π个单位，得到函数()g x 的图像，则下列说法不正确．．．的是A ．()g x 的周期为πB ．6g π⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．()3x g x π=是的一条对称轴 D ．()g x 为奇函数7．以()0,02P F P ⎛⎫> ⎪⎝⎭为焦点的抛物线C 的准线与双曲线222x y -=相交于M ，N 两点，若MNF ∆为正三角形，则抛物线C 的标准方程为A ．2y =B ．2y =C ．2x =D ．2x = 8．()9201cos 2a x dx ax ax π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭⎰，则展开式中3x 项的系数为 A ．212- B ．638- C ．638 D ．63169．已知m ，n 是两条不同直线，,,αβγ是三个不同平面，则下列命题正确的是A ．//,//,//m n m n αα若则B ．,//αγβγαβ⊥⊥若，则C ．//,//,//m m αβαβ若则D ．,,//m n m n αα⊥⊥若则10．如图，平面四边形ABCD 中，90ABC ADC ∠=∠=，2BC CD ==，点E 在对角线AC 上，AC=4，AE=1，则EB ED ⋅的值为A ．17B ．13C ．5D ．111．已知双曲线()222210,0x y C a b a b-=>>：的右顶点为A ，O 为坐标原点，以A 为圆心的圆与双曲线C 的一条渐近线交于两点P ，Q ，若60PAQ ∠=，且3OQ OP =，则双曲线C 的离心率为A B C C 12．已知函数()f x 的定义域为R ，其导函数为()()1f x y f x '=-，函数是奇函数，当()()()()1110x x f x x f x '<-+++<⎡⎤⎣⎦时，，则不等式()()10xf x f ->的解集为A ．(1，+∞)B ．(－∞，－1)C ．(－1，1)D ．(－∞，－1)∪(1，+∞)第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题~第23题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把正确答案填在答题卡中的横线上．13．设函数()()()()2211log 2,16log 112,1x x x f x f f x -⎧+-<⎪=-+=⎨≥⎪⎩，则 ▲ ． 14．已知实数,x y 满足关系2040,0x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩则22x y -+的最大值是 ▲ ．15．已知一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ▲ ．16．对任意数列123:,,,,,n A a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅，定义A ∆为数列2132431,,,,,n n a a a a a a a a +---⋅⋅⋅-⋅⋅⋅，如果数列A 使得数列()A ∆∆的所有项都是1，且122220a a a ===，则 ▲ ．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分12分)在ABC ∆中，角A ，B ，C所对的边分别为()222,,24a b c a b c =-，且． (I)求角B 的大小；(Ⅱ)若1b c =-的取值范围．18．(本小题满分12分)如图，三棱柱1111ABC A B C A -，点在平面ABC 内的射影D 在AC 上11602BAC CAA AB AC AA ∠=∠====，且．(I)求证：11B C A B ⊥；(Ⅱ)求二面角1A B C B --的余弦值．19．(本小题满分12分)体检评价标准指出：健康指数不低于70者为身体状况好，健康指数低于70者为身体状况一般。
最新2018年高考理科数学一轮复习测试题及答案系列三
最新2018年高考理科数学一轮复习测试题及答案系列三第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2015·郑州模拟)将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有( )A ．12种B ．10种C ．9种D ．8种解：分两步：第一步，选派一名教师到甲地，另一名到乙地，共有C 12＝2种选派方法；第二步，选派两名学生到甲地，另外两名到乙地，共有C 24＝6种选派方法．由分步乘法计数原理得不同的选派方案共有2×6＝12(种)．故选A .2．从1，2，3，4这四个数中依次取(不放回)两个数a ，b ，则方程bx 2＋ax ＋1＝0有实根的概率为( )A .13B .512C .12D .15解：由题意知a ，b 满足a 2－4b ≥0，即a 2≥4b .当a ＝2时，b ＝1；当a ＝3时，b ＝1，2；当a ＝4时，b ＝1，2，3，所以共有6种情况，所以P ＝ 64×3＝12.故选C . 3．(2015·湖南)已知⎝⎛⎭⎫x －a x 5的展开式中含x 32的项的系数为30，则a ＝( )A . 3B ．－ 3C ．6D ．－6解：展开式的通项T r ＋1＝C r 5(x )5－r·⎝⎛⎭⎫－ax r＝(－a )r·C r5522r rx --，展开式中含x 32的项的系数为30，所以5－2r 2＝32，所以r ＝1，并且(－a )1·C 15＝30，所以a ＝－6.故选D .4．如图所示的茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为( )A .15B .25C .35D .45解：记其中被污损数字为x ，则甲的五次综合测评的平均成绩是15(80×2＋90×3＋8＋9＋2＋1＋0)＝90，乙的五次综合测评的平均成绩是15(80×3＋90×2＋3＋3＋7＋x ＋9)＝15(442＋x )．令90>15(442＋x )，由此解得x <8，即x 取0，1，2，…，7时符合要求，因此所求概率为810＝45.故选D .5．袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n 号的有n 个(n ＝1，2，3，4)．现从袋中任取一球，ξ表示所取球的标号．若η＝ aξ－2，E (η)＝1，则a 的值为( )A ．2B ．－2C ．1.5D ．3解：由题意知ξ的可能取值为0，1，2，3，4， ξ的分布列为所以E (ξ)＝0×2＋1×20＋2×10＋3×320＋4×15＝32，因为η＝aξ－2，E (η)＝1， 所以aE (ξ)－2＝1，所以32a －2＝1，解得a ＝2.故选A .6．(2015·山东)已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N (0，32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3，6)内的概率为( )(附：若随机变量ξ服从正态分布N (μ，σ2)，则P (μ－σ＜ξ＜μ＋σ)＝68.26%，P (μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)＝95.44%)A ．4.56%B ．13.59%C ．27.18%D ．31.74%解：已知μ＝0，σ＝3，所以P (3＜ξ＜6)＝12[P (－6＜ξ＜6)－P (－3＜ξ＜3)]＝12(95.44%－68.26%)＝12×27.18%＝13.59%.故选B . 7．在正三棱锥S ABC 内任取一点P ，使得V P ABC ＜12V S ABC 的概率是( )A .78B .34C .12D .14解：如图，D ，E ，F 为中点，则P 在棱台DEF ABC 内，而S △DEF ＝14S △ABC ，所以V S DEF ＝18V S ABC .所以所求概率P ＝V DEF ABC V S ABC ＝78.故选A .8．设(x 2＋1)(x ＋1)9＝a 0＋a 1(x ＋2)＋a 2(x ＋2)2＋…＋a 11(x ＋2)11，则a 1＋a 2＋…＋a 11＝( )A ．5B ．4C ．3D ．2解：令x ＋2＝0，则x ＝－2，(x 2＋1)(x ＋1)9＝－5＝a 0；令x ＋2＝1，则x ＝－1，(x 2＋1)(x ＋1)9＝0＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 11，所以a 1＋a 2＋…＋a 11＝－a 0＝5.故选A .9．(2016·沧州模拟)如图，在一个长为π，宽为2的矩形OABC 内，曲线y ＝sin x (0≤x ≤π)与x 轴围成如图所示的阴影部分，向矩形OABC 内随机投一点(该点落在矩形OABC 内任意一点是等可能的)，则所投的点落在阴影部分的概率是( )A .1πB .2πC .π4D .3π解：由定积分可求得阴影部分的面积为 ⎠⎛0πsin xdx ＝－cos x |π0＝2，矩形OABC 的面积为2π，根据几何概型概率公式得所投的点落在阴影部分的概率为22π＝1π.故选A .10．甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则为“3局2胜”，即以先赢2局者为胜．根据经验，每局比赛中甲获胜的概率为0.6，则本次比赛甲获胜的概率是( )A ．0.216B ．0.36C ．0.6D ．0.648解：由题意知，甲获胜有两种情况， 一是甲以2∶0获胜，此时P 1＝0.62＝0.36；二是甲以2∶1获胜，此时P 2＝C 12×0.6×0.4×0.6＝0.288，故甲获胜的概率P ＝P 1＋P 2＝0.648.故选D . 11．一袋中有红、黄、蓝三种颜色的小球各一个，每次从中取出一个，记下颜色后放回，当三种颜色的球全部取出时停止取球，则恰好取5次球时停止取球的概率为( )A .581B .1481C .2281D .2581解：前4次只取到2种颜色球，数量可能为1种1次，另1种3次，或2种均2次，最后一球有C 13种选择，故所求概率为P ＝C 13（2C 14＋C 24）35＝1481，故选B .12．一个盒子内部有如图所示的六个小格子，现有桔子，苹果和香蕉各两个，将这六个水果随机放入这六个格子里，每个格子放一个，放好之后每行、每列的水果种类各不相同的概率是( )A .215B .29C .15D .13解：依题意先排第一列有A 33种放法，排第二列有两种放法，而六个水果随机放入六个格子里共有A 6623种放法，故所求概率P ＝23×2A 33A 66＝215.故选A .二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．用1，2，3，4这四个数字组成无重复数字的四位数，这个数是恰有一个偶数夹在两个奇数之间的四位数的概率为____________．解：用1，2，3，4这四个数字组成无重复数字的四位数有A 44＝24(个)，其中恰有一个偶数夹在两个奇数之间的四位数有2A 22·A 22＝8(个)．所以所求概率为P ＝824＝13.故填13.14．二项式⎝⎛⎭⎫x －1x 15的展开式中系数最大的项是第________项．解：二项展开式的通项 T r ＋1＝C r 15x15－r·(－1)r ·x －r ＝C r 15(－1)rx15－2r，对于二项式系数C r 15，中间的两项C 715，C 815相等，且同时取得最大值，又因为(－1)7<(－1)8，所以展开式中系数最大的项是第9项．故填9.15．(2016·南昌模拟)已知二元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －19≥0，x －y ＋8≥0，2x ＋y －14≤0所表示的平面区域为M ，若在区间(0，14)内任意取一个数a ，则函数y ＝a x 的图象过区域M 的概率为____________．解：二元一次不等式组所表示的平面区域M 如图中阴影部分所示，且左、右两端点的坐标分别为P (1，9)，Q (3，8)．当a ＝1时，函数y ＝a x 变为y ＝1，不过区域M ；当a ≠1时，由函数y ＝a x 的图象经过区域M 知2≤ a ≤9.所以a 的取值范围是[2，9]，故所求的概率为9－214－0＝12.故填12. 16．某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位的二进制数A ＝a 1a 2a 3a 4a 5，其中A 的各位数中，a 1＝1，a k (k ＝2，3，4，5)出现0的概率为13，出现1的概率为23.记ξ＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5，当程序运行一次时，ξ的数学期望E (ξ)＝____________(结果用最简分数表示)．解：令η＝ξ－1，则η～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，23，所以 E (η)＝E (ξ－1)＝4×23，即E (ξ)－1＝83，E (ξ)＝113.故填113.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(10分)安排5名歌手的演出顺序时． (1)要求某名歌手不第一个出场，有多少种不同的排法？(2)要求某名歌手不第一个出场，另一名歌手不最后一个出场，有多少种不同的排法？解：(1)C 14A 44＝96种．(2)解法一：A 55－2A 44＋A 33＝78种． 解法二：分两步完成任务：第一步：先排两名特殊歌手有4＋3＋3＋3＝13方案中选择一种，已知q ＝38，那么甲集团选择哪种投资方案，才能使得一年后盈利金额的数学期望较大？给出结果并说明理由．解：(1)因为投资文化地产后，投资结果只有“盈利50%”“不赔不赚”“亏损35%”三种，且三种投资结果相互独立，所以p ＋18＋q ＝1，又p ＝1124，所以q ＝512.(2)记事件A 为“甲集团选择投资新能源汽车且盈利”，事件B 为“乙集团选择投资文化地产且盈利”，事件C 为“一年后两集团中至少有一个集团盈利”，则C ＝(AB )∪(AB )∪(AB )，且A ，B 相互独立．由图表可知，P (A )＝12，P (B )＝p ，所以P (C )＝P (AB )＋P (AB )＋P (AB ) ＝12×(1－p )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×p ＋12×p ＝12＋12p . 因为P (C )＝12＋12p >34，所以p >12.又p ＋18＋q ＝1，q ≥0，所以p ≤78.所以12<p ≤78.所以p 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤12，78. (3)假设甲集团选择投资新能源汽车，记X 为甲集团投资新能源汽车的盈利金额(单位：亿元)，则X 的所有可能取值为4，0，－2，所以随机变量XE (X )＝4×2＋0×6＋(－2)×3＝3.假设甲集团选择投资文化地产，记Y 为甲集团投资文化地产的盈利金额(单位：亿元)，则Y 的所有可能取值为5，0，－3.5，因为q ＝38，所以p ＝1－18－q ＝12.E (Y )＝5×2＋0×8＋(－3.5)×8＝16.因为43>1916，所以E (X )>E (Y )．故甲集团选择投资新能源汽车，才能使得一年后盈利金额的数学期望较大．21．(12分)(2016·郑州质检)某学校为了丰富学生的业余生活，以班级为单位组织学生开展古诗词背诵比赛，随机抽取题目，背诵正确加10分，背诵错误减10分，只有“正确”和“错误”两种结果，其中某班级对每个题目背诵正确的概率为23，背诵错误的概率为13，现记“该班级完成n 首背诵后总得分为S n ”．(1)求S 6＝20且S i ≥0(i ＝1，2，3)的概率； (2)记ξ＝|S 5|，求ξ的分布列及数学期望．解：(1)S 6＝20，即背诵6首后，正确的个数为4，错误的个数为2，又因为S i ≥0(i ＝1，2，3)，所以背诵正确与否的可能顺序为：①第一首和第二首背诵正确，其余4首可任意背诵正确2首；②第一首背诵正确，第二首背诵错误，第三首背诵正确，则其余3首可任意背诵正确2首．故所求概率P ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232×C 24×⎝ ⎛⎭⎪⎫232×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋23×13×23×C 23×⎝ ⎛⎭⎪⎫232×13＝1681. (2)ξ＝|S 5|的可能取值为10，30，50，则P (ξ＝10)＝C 35×⎝ ⎛⎭⎪⎫233×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋C 25×⎝ ⎛⎭⎪⎫232×⎝ ⎛⎭⎪⎫133＝4081， P (ξ＝30)＝C 45×⎝ ⎛⎭⎪⎫234×13＋C 15×23×⎝ ⎛⎭⎪⎫134＝1027，P (ξ＝50)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫235＋⎝ ⎛⎭⎪⎫135＝1181，所以ξ的数学期望E (ξ)＝10×81＋30×1027＋50×1181＝1 85081.22．(12分)计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量X (年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米)都在40以上．其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年．将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立．(1)求未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率；(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X 限制，并有元；若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元．欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？解：(1)依题意，p 1＝P (40<X <80)＝1050＝0.2，p 2＝P (80≤X ≤120)＝3550＝0.7，p 3＝P (X >120)＝550＝0.1.由二项分布，在未来4年中至多有1年的年入流量超过120的概率为p ＝C 04(1－p 3)4＋C 14(1－p 3)3p 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫9104＋4×⎝ ⎛⎭⎪⎫9103×110＝0.947 7. (2)记水电站年总利润为Y (单位：万元)． (Ⅰ)安装1台发电机的情形．由于水库年入流量总大于40，故一台发电机运行的概率为1，对应的年利润Y ＝5 000，E (Y )＝5 000×1＝5 000.(Ⅱ)安装2台发电机的情形．依题意，当40<X <80时，一台发电机运行， 此时Y ＝5 000－800＝4 200，因此P (Y ＝4 200)＝P (40<X <80)＝p 1＝0.2； 当X ≥80时，两台发电机运行， 此时Y ＝5 000×2＝10 000，因此P (Y ＝10 000)＝P (X ≥80)＝p 2＋p 3＝0.8. 所以×0.8＝ 8 840.(Ⅲ)安装3台发电机的情形．依题意，当40<X <80时，一台发电机运行， 此时Y ＝5 000－1 600＝3 400，因此P (Y ＝3 400)＝P (40<X <80)＝p 1＝0.2； 当80≤X ≤120时，两台发电机运行， 此时Y ＝5 000×2－800＝9 200，因此P (Y ＝9 200)＝P (80≤X ≤120)＝p 2＝0.7；当X >120时，三台发电机运行， 此时Y ＝5 000×3＝15 000，因此P (Y ＝15 000)＝P(X >120)＝p 3＝0.1. ＋ 15 000×0.1＝8 620.综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台．第十一章统计一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．现要完成下列3项抽样调查：①从10盒酸奶中抽取3盒进行食品卫生检查．②科技报告厅有32排，每排有40个座位，有一次报告会恰好坐满了听众，报告会结束后，为了听取意见，需要请32名听众进行座谈．③东方中学共有160名教职工，其中一般教师120名，行政人员16名，后勤人员24名．为了解教职工对学校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为20的样本．较为合理的抽样方法是( )A．①简单随机抽样；②系统抽样；③分层抽样B．①简单随机抽样；②分层抽样；③系统抽样C．①系统抽样；②简单随机抽样；③分层抽样D．①分层抽样；②系统抽样；③简单随机抽样解：由各抽样方法的适用范围可知较为合理的抽样方法是：①用简单随机抽样，②用系统抽样，③用分层抽样．故选A.2．某校老年、中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本中的老年AC．180 D．300解：设样本中的老年教师人数为x，则3201 600＝x900，解得x＝180.故选C.3．某市2016年各月的平均气温(℃)数据的茎叶图如下：则这组数据的中位数是( )A．19 B．20 C．21.5 D．23解：根据茎叶图易求得这组数据的中位数是20.故选B.4．在检验某产品直径尺寸的过程中，将尺寸数据分成若干组，[a，b)是其中的一组，抽查出的个体数在该组上的频率为m，该组在频率分布直方图上的高为h，则|a－b|＝( )A.mh B.hmC．mh D．与h，m无关解：根据频率分布直方图的概念可知，|a－b|×h＝m，由此可知|a－b|＝mh.故选A.5．在一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x n，y n)(n≥2，x1，x2，…，x n不全相等)的散点图中，若所有样本点(x i，y i)(i＝1，2，…，n)都在直线y ＝12x＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为( )A．－1 B．0 C.12D．1解：因为所有点都分布在一条直线上，说明相关性很强，且正相关系数达到最大值，即为1.故选D.6．(2016·成都第二次诊断)某校高三(1)班在某次单元测试中，每位同学的考试分数都在区间[100，128]内，将该班所有同学的考试分数分为七个组：[100，104)，[104，108)，[108，112)，[112，116)，[116，120)，[120，124)，[124，128]，绘制出频率分布直方图如图所示，已知分数低于112分的有18人，则分数不低于120分的人数为( )A．10 B．12 C．20 D．40解：分数低于112分的人对应的频率/组距为0.09，分数不低于120分的人对应的频率/组距为0.05，故其人数为180.09×0.05＝10(人)．故选A.7．为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位附：K2＝A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“需要志愿者提供帮助与性别有关”B．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“需要志愿者提供帮助与性别无关”C．有99%以上的把握认为“需要志愿者提供帮助与性别有关”D．有99%以上的把握认为“需要志愿者提供帮助与性别无关”解：由于K2＝500×（40×270－160×30）2 200×300×70×430≈9.967>6.635，所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关．故选C.8．(2016·离石区一模)为了确定加工零件所花费的时间，进行了5次试验，得到5组数据(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，(x4，y4)，(x5，y5)，根据收集到的数据可知x＝20，由最小二乘法求得回归直线方程y^＝0.6x＋48，则y1＋y2＋y3＋y4＋y5＝( ) A．60 B．120 C．150 D．300解：将x＝20代入回归直线方程得y＝0.6×20＋48＝60.所以y1＋y2＋y3＋y4＋y5＝5y＝300.故选D.9．(2013·湖北)四名同学根据各自的样本数据研究变量x，y之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：①y与x负相关且y^＝2.347x－6.423；②y与x负相关且y^＝－3.476x＋5.648；③y与x正相关且y^＝5.437x＋8.493；④y与x正相关且y^＝－4.326x－4.578.其中一定不正确．．．的结论的序号是() A．①②B．②③C．③④D．①④解：当y与x正相关时，应满足斜率大于0；当y与x负相关时，应满足斜率小于0，故①④一定不正确．故选D.10．在某次测量中得到的A样本数据如下：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88.若B样本数据恰好是A样本数据每个都加2后所得数据，则A，B两样本的下列数字特征对应相同的是( ) A．众数B．平均数C．中位数D．标准差解：样本数据每个都加2后所得数据的波动情况并没有发生改变，所以标准差不变．故选D.11．甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则下列说法正确的是( )A．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数B．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数C．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差D．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差解：由题意可知，甲的成绩为4，5，6，7，8，乙的成绩为5，5，5，6，9.所以甲、乙的成绩的平均数均为6，A 错；甲、乙的成绩的中位数分别为6，5，B 错；甲、乙的成绩的方差分别为s 21＝15×[(4－6)2＋(5－6)2＋(6－6)2＋(7－6)2＋(8－6)2]＝2，s 22＝15×[(5－6)2＋(5－6)2＋(5－6)2＋ (6－6)2＋(9－6)2]＝125，C 正确；甲、乙的成绩的极差均为4，D 错．故选C .假设根据上表数据所得线性回归直线方程为y ^＝b ^x ＋a ^.若某同学根据上表中的前两组数据(1，0)和(2，2)求得的直线方程为y ＝b ′x ＋a ′，则以下结论正确的是( )A.b ^>b ′，a ^>a ′ B.b ^>b ′，a ^<a ′ C.b ^<b ′，a ^>a ′D.b ^<b ′，a ^<a ′ 解：由题意得n ＝6，x ＝1＋2＋3＋4＋5＋66＝72，y ＝0＋2＋1＋3＋3＋46＝136，b ^＝∑∑==--ni i ni i i x n xyx n y x 1221＝58－45.591－6×⎝⎛⎭⎫722＝57，a ^＝y －b ^x ＝136－57×72＝－13.∵直线y ＝b ′x ＋a ′过两点(1，0)和(2，2)，∴b ′＝2－02－1＝2，把点(1，0)代入y ＝2x ＋a ′得a ′＝－2.通过比较可得b^<b ′，a ^>a ′.故选C .二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．(2016·桂林期末)为了判断高中三年级学生是否选修文科与性别的关系，现随机抽取50名学已(K 2≥5.024)≈0.025.根据表中数据，得K 2＝50×（13×20－10×7）223×27×20×30≈4.844.则认为选修文科与性别有关系出错的可能性为__________．解：因为根据表中数据得到K 2≈4.844>3.841，所以认为选修文科与性别有关系出错的可能性为5%.故填5%. 14．甲、乙两套设备生产的同类型产品共4 800件，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测．若样本中有50件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为________件．解：分层抽样中各层的抽样比相同．样本中甲设备生产的有50件，则乙设备生产的有30件．在4 800件产品中，甲、乙设备生产的产品总数比为5∶3，所以乙设备生产的产品总数为 4 800×38＝1 800件．故填1 800.15．已知某单位有40名职工，现要从中抽取5名职工，将全体职工随机按1～40编号，并按编号顺序平均分成5组．按系统抽样方法在各组内抽取一个号码．(1)若第1组抽出的号码为2，则所有被抽出的职工号码为____________；(2)分别统计这5名职工的体重(单位：kg )，获得体重数据的茎叶图如图所示，则该样本方差为____________．解：(1)由分组可知，抽号的间隔为8，又第1组抽出的号码为2，所以所有被抽出的职工号码为2，10，18，26，34.(2)由茎叶图知5名职工体重的平均数x ＝59＋62＋70＋73＋815＝69，则该样本的方差s 2＝15[(59－69)2＋(62－69)2＋(70－69)2＋(73－69)2＋(81－69)2]＝62.故填2，10，18，26，34；62.16．(2015·江苏模拟)某中学为了解学生数学课程的学习情况，在3 000名学生中随机抽取200名，并统计这200名学生的某次数学考试成绩，得到了样本的频率分布直方图(如图)．根据频率分布直方图推测，这3 000名学生在该次数学考试中成绩小于60分的学生人数是____________．解：由频率分布直方图知，随机抽取的200名学生中成绩小于60分的学生人数是(0.002＋0.006＋0.012)×10×200＝40，设这3 000名学生中该次数学成绩小于60分的学生人数为x，则40x ＝2003 000，解得x＝600.故填600.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(10分)从参加环保知识竞赛的学生中抽出60名，将其成绩(均为整数)整理后画出的频率分布直方图如图，观察图形，回答下列问题：(1)[79.5，89.5)这一组的频数、频率分别是多少？(2)估计这次环保知识竞赛的及格率(60分及以上为及格)．解：(1)频率为：0.025×10＝0.25，频数：60×0.25＝15.(2)因为0.015×10＋0.025×10＋0.03×10＋0.005×10＝0.75，所以估计这次环保知识竞赛的及格率为0.75.18．(12分)(2016·江西校级月考)为了促进人口的均衡发展，我国从2016年1月1日起，全国统一实施全面放开两孩政策．为了解适龄国民对放开生育二胎政策的态度，某部门选取70后和80后年龄段的人作为调查对象，进行了问卷调查，其中，持“支持生二胎”“不支持生二胎”和“保留意抽取n个人，其中持“支持”态度的共36人，求n 的值；(2)在持“不支持”态度的人中，仍用分层抽样的方法抽取5人，并将其看成一个总体，从这5人中任意选取2人，求至少有1个80后的概率．解：(1)所有参与调查的人数为780＋120＋420＋180＋200＋300＝2 000，由分层抽样知n＝36900×2 000＝80.(2)由分层抽样知抽取的5人中有2个80后，3个70后．从这5人中任取2人有C25＝10种情形，其中至少有1个80后的有C12C13＋C22＝7种，故所求概率为P＝710.19．(12分)从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入x i(单位：千元)与月储蓄y i(单位：千元)的数据资料，算得∑=101iix=80，∑=101iiy=20，∑=101iiiyx=184，∑=1012iix＝720.(1)求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程y＝bx＋a；(2)判断变量x与y之间是正相关还是负相关；(3)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．附：线性回归方程y＝bx＋a中，b ＝∑∑==--n i i ni i i x n x yx n y x 1221，a ＝y －b x ， 其中x ，y 为样本平均值，线性回归方程也可写为y ^＝b ^x ＋a ^.解：(1)由题意知n ＝10，x ＝1n ∑i ＝1n x i ＝8010＝8， y ＝1n ∑i ＝1n y i ＝2010＝2，又∑=ni i x 12－2x n ＝720－10×82=80，∑=ni i i y x 1－y x n =184－10×8×2＝24，由此得b ＝2480＝0.3，a ＝y －bx ＝2－0.3×8＝－0.4，故所求回归方程为y ＝0.3x －0.4.(2)由于变量y 的值随x 的值增加而增加(b ＝0.3>0)，故x 与y 之间是正相关．(3)将x ＝7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为y ＝0.3×7－0.4＝1.7(千元)．20．(12分)(2016·成都校级模拟)记者对某城市的工薪阶层关于“义务献血”态度进行了调查，随机抽取了60人，作出了他们的月收入的频率分布直方图(如图)，同时得到了他们的月收入情况与“义务献血”赞成人数统计表(如表)：入的中位数和平均数； (2)若从月收入(单位：百元)在[65，75)的被调查者中随机选取2人进行追踪调查，求被选取的2人都不赞成的概率．解：(1)设中位数为x ，由直方图知：10×0.015＋10×0.015＋(x －35)×0.025＝0.5，解得x ＝43(百元)；平均数为(20×0.015＋30×0.015＋40× 0.025＋50×0.02＋60×0.015＋70×0.01)×10＝43.5(百元)．(2)月收入(单位：百元)在[65，75)的人数为60×10×0.01＝6(人)，由表格知赞成的人数为2人，则不赞成的人数为4人，从这6人中任选2人有C 26＝15种选法，被选取的2人都不赞成有C 24＝6种选法，故所求概率为P ＝615＝25.21．(12分)(2016·银川校级一模)某校高二文科一班主任为了解同学们对某时政要闻的关注情况，在该班进行了一次调查，发现在全班50名同学中，对此事关注的同学有30名，该班在本学期期末考试中政治成绩(满分100分)的茎叶图如图所示．(1)求“对此事不关注者”的政治期末考试成绩的中位数与平均数；(2)若成绩不低于60分记为“及格”，从“对此事不关注者”中随机抽取1人，该同学及格的概率为P 1，从“对此事关注者”中随机抽取1人，该同学及格的概率为P 2，求P 2－P 1的值；(3)若成绩不低于80分记为“优秀”，请以是否优秀为分类变量．①补充下面的2×2列联表：注”与政治期末成绩是否优秀有关系？n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ），其中n ＝a ＋b ＋c ＋d .解：(1)“对此事不关注者”的20名同学，成绩从低到高依次为：42，46，50，52，53，56，61，61，63，64，66，66，72，72，76，82，82，86，90，94，中位数为64＋662＝65，平均数为120(42＋46＋50＋52＋53＋56＋61＋61＋63＋64＋66＋66＋72＋72＋76＋82＋82＋86＋90＋94)＝66.7.(2)由条件可得P 1＝20－620＝710，P 2＝30－530＝56，所以P 2－P 1＝56－710＝215.(3)①补充的2×2列联表如下：②由2×2列联表可得K2＝50×（12×15－18×5）230×20×17×33＝225187≈1.203 2<2.706，所以，没有90%以上的把握认为“对此事是否关注”与政治期末成绩是否优秀有关系．22．(12分)(2016·湖北七校联盟高三2月联考)心理学家发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学 (男30人，女20人), 给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答．选题情况如下表：(单位：人)(1)能否据此判断有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关？(2)经过多次测试后，女生甲每次解答一道几何题所用的时间在5～7分钟，女生乙每次解答一道几何题所用的时间在6～8分钟，现甲、乙各解同一道几何题，求乙比甲先解答完的概率；(3)现从选择做几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究，记甲、 乙两女生被抽到的人数为X ，求X的分布列及数学期望E (X )．K 2＝n （ad －bc ）（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）.解：(1)由表中数据得K 2的观测值k ＝50×（22×12－8×8）230×20×30×20＝509≈5.556>5.024，所以能根据已知判断有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关．(2)设甲、乙解答一道几何题的时间分别为x ，y 分钟，则基本事件满足的区域为不等式组⎩⎨⎧5≤x ≤7，6≤y ≤8表示的平面区域(如图所示)．设事件A 为“乙比甲先解答完此道题”，则满足的区域为x >y (图中阴影部分所示)．所以由几何概型P (A )＝12×1×12×2＝18，即乙比甲先解答完的概率为18.(3)在选择做几何题的8名女生中任意抽取2人，抽取方法有C 28＝28种，其中甲、乙两人没有一个人被抽到有C 26＝15种；恰有一人被抽到有C 12C 16＝12种；两人都被抽到有C 22＝1种，所以X 可能的取值为0，1，2，且P (X ＝0)＝1528，P (X ＝1)＝1228＝37，P (X ＝2)＝128.X 的分布列为所以E (X )＝0×28＋1×7＋2×28＝2.第十二章算法初步、推理与证明一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2015·开封市月考)算法有三种基本逻辑结构：顺序结构、条件结构、循环结构，在下列说法中正确的是( )A．一个算法中只能含有一种逻辑结构B．一个算法中可以含有以上三种逻辑结构C．一个算法中必须含有以上三种逻辑结构D．一个算法中最多可以含有以上两种逻辑结构解：算法中的逻辑结构可以是一种或多种，故选B.2．计算机执行下面的程序段后，输出的结果是( )a＝1b＝3a＝a＋bb＝a－bPRINT a，bA．1，3 B．4，1C．0，0 D．6，0解：把1赋给变量a，把3赋给变量b，由语句“a＝a＋b”得a＝4，即把4赋给变量a，由语句“b＝a－b”得b＝1，即把1赋给变量b，输出a，b，即输出4，1.故选B.3．(2015·武汉华师一附中期中考试)用反证法证明命题“若sinθ1－cos2θ＋cosθ1－sin2θ＝1，则sinθ≥0且cosθ≥0”时，下列假设的结论正确的是( )A．sinθ≥0或cosθ≥0B．sinθ<0且cosθ<0C．sinθ<0或cosθ<0D．sinθ>0且cosθ>0解：用反证法证明，只需要否定命题的结论，即sinθ<0或cosθ<0.故选C.4．(2015·广东清远一中期中)观察按下列顺序排列的等式：9×0＋1＝1，9×1＋2＝11，9×2＋3＝21，9×3＋4＝31，…，猜想第n(n∈N＋)个等式应为( )A．9(n＋1)＋n＝10n＋9B．9(n－1)＋n＝10n－9C．9n＋(n－1)＝10n－1D．9(n－1)＋(n－1)＝10n－10解：结合前4个式子的共同特点可知第n个式子为9(n－1)＋n＝10n－9，故选B.5．(2016·北京)执行如图所示的程序框图，若输入的a值为1，则输出的k值为( )A．1 B．2 C．3 D．4解：输入a＝1，则b＝1，第一次循环，a＝－12，k＝1；第二次循环，a＝－2，k＝2；第三次循环，a＝1，此时a＝b，结束循环，输出k＝2.故选B.6．(2014·陕西五校联考)设△ABC的三边长分别为a，b，c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r＝2Sa＋b＋c；类比这个结论可知：若四面体PABC的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，四面体PABC的体积为V，内切球的半径为R，则R＝( )A.VS1＋S2＋S3＋S4B.2VS1＋S2＋S3＋S4C.3VS1＋S2＋S3＋S4D.4VS1＋S2＋S3＋S4解：设四面体PABC的内切球球心为O，那么V＝V OABC＋V OP AB＋V OP AC＋V OPBC，即V＝13 S1R＋13S2R＋13S3R＋13S4R，可得R＝3VS1＋S2＋S3＋S4，故选C.7．阅读下列程序，输出结果为2的是()解：运行各选项程序，易知A 选项的输出结果为2.故选A .8．(2016·柳州模拟)阅读如图所示程序框图，如果输出的函数值在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12内，那么输入实数x 的取值范围是( )A ．[－2，－1]B ．(－∞，－1]C ．[－1，2]D ．[2，＋∞)解：该框图的作用是计算分段函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ∈[－2，2]，2，x ∈（－∞，－2）∪（2，＋∞）的值．其输出的函数值在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12，则有14≤2x ≤12，得－2≤x ≤－1.故选A .9．观察下列各式：72＝49，73＝343，74＝2401，…，则72 016的末两位数字为( )A ．01B ．43C ．07D ．49解：75＝16 807，76＝117 649，又71＝07，观察可见7n (n ∈N *)的末两位数字呈周期出现，且周期为4，因为2 016＝504×4，所以72 016与74末两位数字相同，故选A .10．(2016·长沙模拟)执行如图所示的程序框图，则输出的S 值是( )A .22 B ．－1 C ．0 D ．－1－22解：在数列{a n }中，a n ＝cos n π4，a 1＝22，a 2＝0，a 3＝－22，a 4＝－1，a 5＝－22，a 6＝0，a 7＝22，a 8＝1，a 9＝22，…，该数列是以8为周期的周期数列，则其前8项和等于0，结合题中的程序框图得知，最后输出的值等于数列{a n }的前2 017项的和，而2 017＝8×252＋1，因此前2 017项的和为252×0＋22＝22.故选A . 11．(2015·吉林市期中考试)如图，第n 个图形由正n ＋2边形“扩展”而来(n ＝1，2，3，…)，则在第n 个图形中顶点的个数为( )A．(n＋1)(n＋2) B．(n＋2)(n＋3)C．n2D．n解：第1个图形由三角形“扩展”而来，共3×4＝12个顶点；第2个图形由正方形“扩展”而来，共4×5＝20个顶点；第3个图形由正五边形“扩展”而来，共5×6＝30个顶点；第4个图形由正六边形“扩展”而来，共6×7＝42个顶点；…；第n个图形由正n＋2边形“扩展”而来，共(n＋2)(n＋3)个顶点．故选B.12．(2016·北京)袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半．甲、乙、丙是三个空盒．每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则( )A．乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B．乙盒中红球与丙盒中黑球一样多C．乙盒中红球不多于丙盒中红球D．乙盒中黑球与丙盒中红球一样多解：若乙盒中放入的是红球，则须保证抽到的两个均是红球；若乙盒中放入的是黑球，则须保证抽到的两个球是一红一黑，且红球放入甲盒；若丙盒中放入的是红球，则须保证抽到的两个球是一红一黑，且黑球放入甲盒；若丙盒中放入的是黑球，则须保证抽到的两个球都是黑球．由于抽到两个红球的次数与抽到两个黑球的次数应是相等的，故乙盒中红球与丙盒中黑球一样多．故选B.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．(2015·山东)执行下边的程序框图，输出的T的值为____________．解：初始条件n＝1，T＝1，运行第一次：T＝1＋⎠⎛1xdx＝1＋12＝32，n＝2；运行第二次：T＝32＋⎠⎛1x2dx＝32＋13＝116，n＝3，n<3不成立，输出T的值为116.故填116.14．(2016·厦门模拟)已知等差数列{a n}中，有a11＋a12＋…＋a2010＝a1＋a2＋…＋a3030，则在等比数列{b n}中，会有类似的结论：________________________．解：由等比数列的性质可知b1b30＝b2b29＝…＝b11b20，所以10b11b12…b20＝30b1b2…b30.故填10b11b12 (20)30b1b2 (30)。
湖南省澧县一中2018届高三一轮复习第一次检测考试数学(理科)试题(解析版)
湖南省澧县一中2018届高三一轮复习第一次检测考试数学（理科）试题一、选择题(共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1.已知集合A={x ∈N|x 2+2x ﹣3≤0}，则集合A 的真子集个数为 （ ） A. 3 B. 4 C. 31 D. 32 【答案】A 【解析】 【分析】 求出集合 ，由此能求出集合A 的真子集的个数．【详解】由题集合 ，∴集合A 的真子集个数为 ．故选：A ．【点睛】本题考查集合真子集的个数的求法，考查真子集等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．2.命题：“，”的否定 为A. ,B. ,C.,D.,【答案】C 【解析】特称命题的否定是全称命题，特称命题“”的否定为全称命题：，故选C.3.若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B 【解析】分析：先对两边取对数，求出的值，再根据对数的换底公式和运算性质计算，即可求出答案.详解：，，故选B.点睛：本题考查指对互化，对数的换底公式和运算性质，属于基础题.4.设，则等于（）A. B. C. 1 D.【答案】D【解析】【分析】原积分化为根据定积分的计算法则计算即可【详解】由题故选：D．【点睛】本题考查了定积分的计算，关键是求出原函数，属于基础题，5.已知曲线f(x)=lnx+在点（1，f（1））处的切线的倾斜角为，则a的值为（）A. 1B. ﹣4C. ﹣D. ﹣1【答案】D【解析】分析：求导，利用函数f（x）在x=1处的倾斜角为得f′（1）=﹣1，由此可求a的值. 详解: 函数（x＞0）的导数，∵函数f（x）在x=1处的倾斜角为∴f′（1）=﹣1，∴1+=﹣1，∴a=﹣1．故选：D．点睛：求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点及斜率，其求法为：设是曲线上的一点，则以的切点的切线方程为：．若曲线在点的切线平行于轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为．6.已知偶函数f（x）在[0，+∞）单调递增，若f（2）=﹣2，则满足f（x﹣1）≥﹣2的x的取值范围是（）A. （﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）B. （﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）C. [﹣1，﹣3]D. （﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）【答案】B【解析】【分析】根据题意，结合函数的奇偶性与单调性分析可得若，即有，可得，解可得的取值范围，即可得答案．【详解】根据题意，偶函数在单调递增，且，可得，若，即有，可得，解可得：即的取值范围是；故选：B．【点睛】本题考查函数的单调性与奇偶性的综合应用，关键是利用函数的奇偶性与单调性转化原不等式．7.已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+2）=﹣f（x），若f（﹣1）＞﹣2，f（﹣7）=，则实数a的取值范围为（）A. B. （﹣2，1） C. D.【答案】C【解析】【分析】由是定义在上的奇函数，且满足，求出函数的周期，由此能求出实数的取值范围．【详解】∵是定义在上的奇函数，且满足，，函数的周期为4，则又，即，即解得故选C．【点睛】本题考查函数的周期性和奇偶性的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．8.若函数f（x）=a x﹣a﹣x（a＞0且a≠1）在R上为减函数，则函数y=log a（|x|﹣1）的图象可以是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由函数在上为减函数，由此求得的范围，结合的解析式．再根据对数函数的图象特征，得出结论．【详解】由函数在上为减函数，故．函数是偶函数，定义域为函数的图象，时是把函数的图象向右平移1个单位得到的，故选：D．【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和单调性的应用，对数函数的图象特征，函数图象的平移规律，属于中档题．9.已知函数f（x）是定义域为R的周期为3的奇函数，且当x∈（0，1.5）时f（x）=ln（x2﹣x+1），则方程f（x）= 0在区间[0，6]上的解的个数是（）A. 5B. 7C. 9D. 11【答案】C【解析】【分析】要求方程在区间上的解的个数，根据函数是定义域为的周期为3的奇函数，且当时，可得一个周期内函数零点的个数，根据周期性进行分析不难得到结论．【详解】∵时，令，则，解得，又∵是定义域为的的奇函数，∴在区间上，，又∵函数是周期为3的周期函数则方程在区间的解有0，1，1.5，2，3，4，4.5，5，6共9个故选：D．【点睛】本题考查函数零点个数的判断，考查函数的奇偶性，周期性的应用，属中档题.10.点P在边长为1的正方形ABCD的边上运动，M是CD的中点，则当P沿A﹣B﹣C﹣M运动时，点P经过的路程x与△APM的面积y的函数y=f（x）的图象的形状大致是图中的（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】随着点P的位置的不同，讨论三种情形即在AB上，在BC上，以及在CM上分别建立面积的函数，分段画出图象即可．【详解】根据题意得，分段函数图象分段画即可，故选：A．【点睛】本题主要考查了分段函数的图象，分段函数问题，应切实理解分段函数的含义，把握分段解决的策略．11.对于任意x∈R，函数f（x）满足f（2﹣x）=﹣f（x），且当x≥1时，函数f（x）=lnx，若a=f（2﹣0.3），b=f（log3π），c=f（﹣）则a，b，c大小关系是（）A. b＞a＞cB. b＞c＞aC. c＞a＞bD. c＞b＞a【答案】A【解析】【分析】由判断函数关于点对称，根据时是单调增函数，判断在定义域上单调递增；再由自变量的大小判断函数值的大小．【详解】对于任意函数满足，∴函数关于点对称，将向左平移一个单位得到，此时函数关于原点对称，则函数）是奇函数；当时，是单调增函数，∴在定义域R上是单调增函数；由∴∴b＞a＞c．故选：A．【点睛】本题主要考查了与函数有关的命题真假判断问题，涉及函数的单调性与对称性问题，是中档题．12.设函数f'（x）是函数f（x）（x∈R）的导函数，已知f'（x）＜f（x），且f'（x）=f'（4﹣x），f（4）=0，f（2）=1，则使得f（x）﹣2e x＜0成立的x的取值范围是（）A. （﹣2，+∞）B. （0，+∞）C. （1，+∞）D. （4，+∞）【答案】B【解析】【分析】构造函数，利用的导数判断函数的单调性，求出不等式的解集即可．【详解】设则即函数在上单调递减，因为，即导函数关于直线对称，所以函数是中心对称图形，且对称中心，由于，即函数过点，其关于点（的对称点（也在函数上，所以有，所以而不等式即即所以故使得不等式成立的的取值范围是故选：B．【点睛】本题考查了利用导数判断函数的单调性，并由函数的单调性和对称性解不等式的应用问题，属中档题．二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上．）13.已知命题p：“存在x∈R，使”，若“非p”是假命题，则实数m的取值范围是_____．【答案】【解析】试题分析：非p即：“对任意x∈R，4x+2x+1+m0”，如果“非p”是假命题，即m－4x－2x+1，而令t=，y===，，所以m<0，故答案为。
2018届高三数学(理)一轮复习阶段检测卷一Word版含解析
阶段检测一集合、常用逻辑用语、函数与导数(时间:120分钟 总分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.命题“存在x 0∈R,≤0”的否定是( )A.不存在x 0∈R,>0 B.存在x 0∈R,>0C.对任意的x ∈R ,2x≤0 D.对任意的x ∈R ,2x>02.已知全集U={0,1,2,3,4,5},集合M={0,3,5},则满足M ∩(∁U A)={0,3}的集合A 可以是( ) A.{1,2,4}B.{1,2,5}C.{2,3,4}D.{2,3,5}3.已知log 2a>log 2b,则下列不等式一定成立的是( ) A.>B.log 2(a-b)>0C.2a-b<1D.<4.若m>1,则f(m)=的最小值为( )A.-1B.1C.-2D.25.命题p:∃x ∈N ,x 3<x 2,命题q:∀a ∈(0,1)∪(1,+∞),函数f(x)=log a (x-1)的图象过点(2,0),则( ) A.p 假q 真 B.p 真q 假C.p 假q 假D.p 真q 真6.函数f(x)=cosx(-π≤x ≤π且x ≠0)的图象可能为()7.已知函数f(x)=+x 3,则不等式f(2a)+f(1-a)>0的解集为( )A.(0,+∞)B.-1,+∞)C.(-1,+∞)D.(-1,0)8.已知实数a,b 满足2a=3,3b=2,则函数f(x)=a x+x-b 的零点所在的区间是( ) A.(-2,-1)B. (-1,0)C.(0,1)D.(1,2)9.设三次函数f(x)的导函数为f'(x),函数y=x ·f'(x)的图象的一部分如图所示,则下列说法正确的是()A.f(x)的极大值为f(),极小值为f(-)B.f(x)的极大值为f(-),极小值为f()C.f(x)的极大值为f(-3),极小值为f(3)D.f(x)的极大值为f(3),极小值为f(-3)10.设平行于y 轴的直线分别与函数y 1=log 2x 及函数y 2=log 2x+2的图象交于B,C 两点,点A(m,n)位于函数y 2=log 2x+2的图象上,如图.若△ABC 为正三角形,则m ·2n=()A.8B.12C.12D.1511.已知幂函数f(x)=(m-1)2在(0,+∞)上单调递增,函数g(x)=2x-k.当x ∈1,2)时,记f(x),g(x)的值域分别为集合A,B,若A ∪B=A,则实数k 的取值范围为( ) A.(0,1)B.0, 1)C.(0,1]D.0,1]12.已知定义域为A 的函数f(x),若对任意的x 1,x 2∈A,都有f(x 1+x 2)-f(x 1)≤f(x 2),则称函数f(x)为“定义域上的M 函数”,给出以下五个函数: ①f(x)=2x+3,x∈R ;②f(x)=x 2,x ∈;③f(x)=x 2+1,x ∈;④f(x)=sinx,x∈;⑤f(x)=log 2x,x ∈2,+∞).其中是“定义域上的M 函数”的有( ) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中的横线上) 13.若函数f(x)=(a ∈R )在x=1处取得极值,则a= .14.已知函数f(x)=g(x)=log 2x,若f(a)+f(g(2))=0,则实数a 的值为 .15.设a,b ∈Z ,已知函数f(x)=log 2(4-|x|)的定义域为a,b],其值域为0,2],若方程+a+1=0恰有一个解,则b-a= .16.设函数y=f(x)在(a,b)上的导函数为f'(x),f'(x)在(a,b)上的导函数为f″(x),若在(a,b)上f″(x)<0恒成立,则称函数f(x)在(a,b)上为“凸函数”.已知f(x)=x4-x3-x2在(1,3)上为“凸函数”,则实数m的取值范围是.三、解答题(共70分,解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)已知函数f(x)=lg的定义域为集合A,g(x)=(a>0)的定义域为集合B,集合C={x|>1}.(1)若A∪B=B,求实数a的取值范围;(2)如果“若x∈B,则x∈C”为真命题,求实数a的取值范围.18.(本小题满分12分)已知函数f(x)=lg(a≠1)是奇函数.(1)求a的值;(2)若g(x)=f(x)+,x∈(-1,1),求g+g的值.19.(本小题满分12分)已知函数f(x)=. (1)试确定函数f(x)在(0,+∞)上的单调性; (2)若a>0,函数h(x)=xf(x)-x-ax2在(0,2)上有极值,求实数a的取值范围.20.(本小题满分12分)某旅游景点预计2017年1月份起前x个月的旅游人数的和p(x)(单位:万人)与x的关系近似为p(x)=x·(x+1)(39-2x)(x∈N*,且x≤12).已知第x个月的人均消费额q(x)(单位:元)与x的关系近似是q(x)=(1)写出2017年第x个月的旅游人数f(x)(单位:万人)与x的函数关系式;(2)试问2017年第几个月的旅游消费总额最大?最大月旅游消费总额为多少元?21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=lnx+(a-2)x(a是常数),此函数对应的曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与x轴平行.(1)求a的值,并求f(x)的最大值;(2)设m>0,函数g(x)=mx3-mx,x∈(1,2),若对任意的x1∈(1,2),总存在x2∈(1,2),使f(x1)-g(x2)=0,求实数m的取值范围.22.(本小题满分12分)若函数f(x)在定义域D内的某个区间I上是增函数,而F(x)=在I上是减函数,则称y=f(x)是I 上的“非完美增函数”.已知f(x)=lnx,g(x)=2x++alnx(a∈R).(1)判断f(x)在(0,1]上是否为“非完美增函数”;(2)若g(x)是1,+∞)上的“非完美增函数”,求实数a的取值范围.阶段检测一集合、常用逻辑用语、函数与导数一、选择题1.D由题意知,原命题的否定为“对任意的x∈R,2x>0”,故选D.2.B由题意得,0∈∁U A,3∈∁U A,且5∉∁U A,则0∉A,3∉A,且5∈A.故选B.3.D因为log2a>log2b,故a>b>0,故<<,故选D.4.A f(m)===m+-5≥4-5=-1,当且仅当m=2时等号成立,故选A.5.A因为x3<x2,所以x2(x-1)<0,解得x<0或0<x<1,显然在这个范围内没有自然数,所以命题p为假命题.命题q显然为真命题.故选A.6.D函数f(x)=cosx(-π≤x≤π且x≠0)为奇函数,排除选项A,B;当x=π时,f(x)=cosπ=-π<0,排除选项C,故选D.7.C因为f(x)=+x3=1-+x3,所以f(x)在R上是增函数,又f(-x)=-x3=-=-f(x),所以f(x)在R 上是奇函数,故f(2a)+f(1-a)>0⇒f(2a)>-f(1-a)=f(a-1)⇒2a>a-1⇒a>-1.8.B因为2a=3,3b=2,所以a>1,0<b<1.因为f(x)=a x+x-b,所以f(x)在R上单调递增,又f(-1)=-1-b<0,f(0)=1-b>0,故由零点存在性定理可知f(x)在区间(-1,0)上存在零点.故选B.9.D观察题中图象知,当x<-3时,y=x·f'(x)>0,∴f'(x)<0;当-3<x<0时,y=x·f'(x)<0,∴f'(x)>0;当0<x<3时,y=x·f'(x)>0,∴f'(x)>0;当x>3时,y=x·f'(x)<0,∴f'(x)<0.∴f(x)的极小值为f(-3),f(x)的极大值为f(3).10.B由题意知,n=log2m+2,所以m=2n-2.又BC=2,△ABC为正三角形,所以B(m+,n-1),又点B在y1=log2x的图象上,所以n-1=log2(m+),即m=2n-1-,所以2n =4,所以m=,所以m·2n =×4=12.故选B. 11.D由幂函数的定义可得(m-1)2=1,解得m=0或m=2.当m=2时,f(x)=x-2在(0,+∞)上单调递减,与题设矛盾,舍去,∴m=0,f (x)=x2.根据幂函数和指数函数的单调性可知,当x∈1,2)时,f(x),g(x)均单调递增,∴A=1,4),B=2-k,4-k).∵A∪B=A,∴B⊆A,∴解得0≤k≤1.故实数k的取值范围是0,1].12.C对于①,∀x1,x2∈R,f(x1+x2)=2(x1+x2)+3<2(x1+x2)+6=f(x1)+f(x2),故①满足条件;对于②,∀x1,x2∈,f(x1+x2)=++2x1x2,f(x1)+f(x2)=+,当x1x2>0时,不满足f(x1+x2)≤f(x1)+f(x2),故②不是“定义域上的M函数”;对于③,∀x1,x2∈,f(x1+x2)=++2x1x2+1,f(x1)+f(x2)=++2,因为x1,x2∈,所以2x1x2≤<1,故f(x1+x2)<f(x1)+f(x2),故③满足条件;对于④,∀x1,x2∈,f(x1+x2)=sinx1·cosx2+sinx2cosx1≤sinx1+sinx2=f(x1)+f(x2),故④满足条件;对于⑤,∀x1,x2∈2,+∞),f(x1+x2)=log2(x1+x2),f(x1)+f(x2)=log2(x1x2),因为x1,x2∈2,+∞),所以+≤1,可得x1+x2≤x1x2,即f(x1+x2)≤f(x1)+f(x2),故⑤满足条件.所以是“定义域上的M函数”的有①③④⑤,共4个.二、填空题13.答案 3解析f'(x)='==,∵x=1为函数的极值点,∴f'(1)=0,即1+2×1-a=0,解得a=3(经检验满足题意).14.答案-2解析因为函数f(x)=g(x)=log2x,所以g(2)=log22=1,f(g(2))=f(1)=1,由f(a)+f(g(2))=0,得f(a)=-1.当a>0时,因为f(a)=a2≠-1,所以不符合题意;当a≤0时,f(a)=a+1=-1,解得a=-2.15.答案 5解析由方程+a+1=0恰有一个解,得a=-2.由题意知解得-2≤x≤3,所以函数f(x)的定义域为-2,3](经检验满足题意),b=3.所以b-a=3-(-2)=5.16.答案2,+∞)解析依题意得f'(x)=x3-x2-3x,当x∈(1,3)时,f″(x)=x2-mx-3<0,即m>x-恒成立.函数y=x-在区间(1,3)上是增函数,因此m≥3-=2,即实数m的取值范围是2,+∞).三、解答题17.解析集合A={x|1<x<2},B={x|a≤x≤3a},C={x|x<2或x>4}.(1)因为A∪B=B,所以A⊆B,故得≤a≤1.(2)“若x∈B,则x∈C”为真命题,则B⊆C,所以或a>4,所以a的取值范围是0<a<或a>4.18.解析(1)因为f(x)为奇函数,所以对定义域内任意的x,都有f(-x)+f(x)=0,即lg +lg =lg=0,所以a=±1,由条件知a≠1,所以a=-1(经检验满足题意).(2)因为f(x)为奇函数,所以f +f=0.令h(x)=,则h +h =+=2,所以g +g=2.19.解析(1)对已知函数f(x)求导,得f'(x)=.令f'(x)=0,即1-lnx=0,得x=e.当x∈(0,e)时,f'(x)>0,当x∈(e,+∞)时,f'(x)<0,∴函数f(x)在(0,e)上单调递增,在(e,+∞)上单调递减.(2)由h(x)=xf(x)-x-ax2,可得h(x)=lnx-x-ax2,h'(x)=-1-2ax=.设φ(x)=-2ax2-x+1,易知函数φ(x)的图象的对称轴为直线x=-,开口向下,又a>0,故函数φ(x)在(0,2)上单调递减.易知φ(0)=1>0,结合题意可知φ(2)<0,解得a>-,又a>0,∴实数a的取值范围是(0,+∞).20.解析(1)当x=1时,f(1)=p(1)=37,当2≤x≤12,且x∈N*时,f(x)=p(x)-p(x-1)=x(x+1)(39-2x)-(x-1)x(41-2x)=-3x2+40x,经验证x=1时也满足此式,所以f(x)=-3x2+40x(x∈N*,且1≤x≤12).(2)由题意知第x个月的旅游消费总额(单位:万元)为g(x)=即g(x)=①当1≤x≤6,且x∈N*时, g'(x)=18x2-370x+1400,令g'(x)=0,解得x=5或x=(舍去).当1≤x≤5时,g'(x)≥0,当5<x≤6时,g'(x)<0,∴g(x)max=g(5)=3125(万元).②当7≤x≤12,且x∈N*时,g(x)=-480x+6400是减函数,∴g(x)max=g(7)=3040(万元).综上,2017年5月份的旅游消费总额最大,最大月旅游消费总额为3125万元.21.解析(1)对f(x)求导,得f'(x)=+a-2,则f'(1)=1+a-2=0,解得a=1.所以f(x)=lnx-x,定义域为(0,+∞),且f'(x)=-1=,当0<x<1时,f'(x)>0;当x>1时,f'(x)<0.所以f(x)在(0,1)上是增函数,在(1,+∞)上是减函数,于是f(x)max=f(1)=ln1-1=-1.(2)设f(x)(x∈(1,2))的值域为A,g(x)的值域为B,则由对于任意的x1∈(1,2),总存在x2∈(1,2),使f(x1)-g(x2)=0,得A⊆B.由(1)知f(x)在x∈(1,2)上单调递减,所以A= (ln2-2,-1).对g(x)=mx3-mx求导,得g'(x)=mx2-m=m(x-1)(x+1).因为m>0,所以g(x)在x∈(1,2)上是增函数,故B=. 又A⊆B,则结合m>0,解得m≥3-ln2.所以实数m 的取值范围是.22.解析(1)对f(x)求导,得f'(x)=,f'(x)>0在(0,1]上恒成立,所以f(x)=lnx在(0,1]上是增函数.又F(x)==,求导得F'(x)=.因为x∈(0,1],所以lnx≤0,故F'(x)>0在(0,1]上恒成立,所以F(x)=在(0,1]上是增函数.由定义知,f(x)在(0,1]上不是“非完美增函数”.(2)若g(x)=2x++alnx(a∈R)是1,+∞)上的“非完美增函数”,则g(x)=2x++alnx在1,+∞)上单调递增,G(x)==2++在1,+∞)上单调递减.①g'(x)=2-+≥0在1,+∞)上恒成立,则a≥-2x在1,+∞)上恒成立,又y=-2x在1,+∞)上单调递减,则a≥0.②G'(x)=-+≤0在1,+∞)上恒成立,即-4+ax-axlnx≤0在1,+∞)上恒成立,令t(x)=-4+ax-axlnx,x∈1,+∞),因为t'(x)=-alnx,由①知a≥0,又x≥1,所以t'(x)≤0恒成立,所以t(x)=-4+ax-axlnx在1,+∞)上单调递减,则t(x)≤t(1)=a-4,要使t(x)=-4+ax-axlnx≤0在1,+∞)上恒成立,则a-4≤0,即a≤4.所以实数a的取值范围为0,4].。
2018届高三理科数学一轮专题测试(19-17)
ξ
n ad－ bc ，其中 n ＝ a＋ b＋ c＋ d 为样本容量． ) (注： K ＝ a＋ b c ＋ d a ＋ c b ＋ d
2 2 P(K ≥ k 0)
2
0.100 2.706
0.050 3.841
0.025 5.024
0.010 6.635
2
0.001 10.828
k0 解 K ＝
2
(2) ①∵ μ ＝ 89.1， σ ＝ 7，∴ (82.1,103.1) ＝ ( μ －σ ，μ ＋ 2σ )， ∴该生英语成绩在 (82.1,103.1) 的概率为 0.6826＋ 0.9544 ＝ 0.8185.(10 分 ) 2
②由题可得 X 服从二项分布
B(10000,0.8185) ，
∴ E(X)＝ 10000 × 0.8185 ＝ 8185.(15 分 ) 2． [2016 ・ 江西两校联考 ] 前不久，社科院发布了 2015 年度“全国城市居民幸福排行 10
①若从这 90 万名学生中随机抽取 ②若从这 90 万名学生中随机抽取 的人数，求 X 的数学期望． 解 (1) 通过计算可得这
1 万名，记 X 为这 1 万名学生中英语成绩在
20 个数据的平均数为
－ x ＝ 90，
∴由题可得 μ ＝ 90－ 0.9＝ 89.1 ， σ ＝
49.9 － 0.9 ＝ 7.(5 分 )
样比为 1 ∶ 2∶ 4 ∶ 6∶ 4∶ 3，故在抽取的 20 辆轿车中， 销售单价在 [10,12) 内的轿车有 20× ＝ 2( 辆 ) ， X 的所有可能取值为
0 2
0,1,2，
C2C18 153 则 P(X＝ 0) ＝ 2 ＝ ， C20 190 C2C18 36 18 ＝ ， 2 ＝ P(X＝ 1) ＝ C 20 190 95 C2 1 P(X＝ 2) ＝ 2 ＝ .(12 分 ) C20 190 所以 X 的分布列为 X P E(X) ＝ 0× 0 153 190 1 18 95 2 1 190
2018届高三理科数学一轮专题测试(19-2)
f － x＋
1 2
x sinx 1 1 1 1 ＝ 2－ 4 ，即 f x ＋ ＋ f － x ＋ ＝ 4 ，令 t ＝ x＋ ，则－ x ＋ ＝－ t ＋ 1 ，所以 f(t)＋ f (－ t ＋ 2 2 2 2 x ＋2 1 2 2016 1) ＝ 4，所以 f 2017 ＋ f 2017 ＋ , ＋ f 2017 ＝ 1008 × 4＝ 4032. 9． [2016 ・ 昆明一中模拟 ] 若关于 x 的不等式 － a ≥ 2 ，则实数 k 的取值范围为 ( A ． [ 2，＋∞ ) C． (0 ， 2] 答案 解析 A 令 y 1＝ 9 － x ， y 2＝ k(x ＋ 1) ，其示意图如图， A(1,2 2) ，若 k>0 ，要满足 y 1≤ y 2， 2 2 ＝ 2；若 k<0 ，要满足 y1≤ y2，则 a ＝－ 3 ，则 b ≥ a 1＋ 1 k≥ 2 ，选 A.
4． [2016 ・ 衡水联考 ] 已知奇函数 F(x)＝
1 x 4 － x>0 ， 2 3 f x x<0 ，
1 则 F f log 2 3 A ．－ 5 6 13 3
＝(
) B. 5 6 1 2 1 3 － 4 3
C.
1 2
D. A 1 因为 F(x) ＝－ F (－ x)， log 2 <0 ， 3
数，若
<f(1) ，则 x 的取值范围是 (
) B.(0 ， e) D.(e ，＋∞ )
1 0 ， A. e 1 C. e， e 答案 解析 C
由题可知函数在 (－ ∞，＋ ∞ ) 上单调递增，所求不等式等价于 1 <x<e，故选 C. e
|f(ln x)|< f(1) ，从而
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y ＝ 2x＋ 2 于 M ， N 两点，求 |MN |最小时直线 AB 的方程． 解 (1) 将 R(1,2) 代入抛物线中，可得 p ＝ 2，所以抛物线方程为 y ＝ 4x.(6 分 )
(2) 设 AB 所在直线方程为 y ＝ 4x， x ＝ my－ m ＋ 1，
2 2
x＝ m(y － 1) ＋ 1( m≠ 0) ， A(x 1， y 1)， B( x2， y2)与抛物线联立
2 k ＋1
2
，所以 |PQ|＝
2
4 －
2
2
＝4
4k ＋ 3 2 .(14 分 ) k ＋1
故四边形 MPNQ 的面积 1 S＝ |MN ||PQ |＝ 12 2 1＋ 1 .(15 分 ) 4k ＋ 3
2
可得当 l 与 x 轴不垂直时，四边形 当 l 与 x 轴垂直时，其方程为 分) 综上，四边形
2 2
2
2
A( － 1,0) ， B(1,0) ， |AB|＝ 2 ，由椭圆定义可得点
E 的轨迹方程为
x y ＋ ＝ 4 3
2
2
l 的方程为 y ＝ k(x－ 1)( k≠ 0) ， M (x1， y1)， N(x 2， y 2) ．
2 2 2
得 (4k ＋ 3) x － 8k x ＋ 4k － 12＝ 0 ， (10 分 )
2 2 2 2 2 2 2 2
得 (3 ＋ 4k )x － 8k x ＋ 4k － 12 ＝ 0.(7 分 ) 设 A， B 两点的坐标分别为 8k x1＋ x2 ＝ 2， 3＋ 4k 则 4k － 12 ＝ x1 x2 2， 3 ＋ 4k
2 2 2
(x 1， y 1) ， (x 2， y 2) ，
2 2 2
→ → F 1，所以 B 1F 1・ B 2F 1＝ 0，又 F 1( － 1,0) ，所以 (－ 1－ x 1)( － 1
2 2
－ x 2) ＋ y1y2＝ 0，即 (1 ＋ k )x 1x2＋ (1 － k )( x1＋ x2)＋ 1 ＋ k ＝ 0 ， 9 2 解得 k ＝ ， 7 由 y ＝ 4x， y ＝ k x－ 1 ，
4k ＋ 3 ， (12 分 ) 2 k ＋1
12 k ＋ 1 1 ＝ ， (13 分 ) |AB | |・ CD |＝ ACBD 2 2 4k ＋ 3
2
2
12 k ＋ 1 12 14 由 ＝ ， 2 7 ＋ 3 4k 解得 k ＝ 1 或 k ＝－ 1， (14 分 ) 由 k>0 ，得 k ＝ 1.(15 分 ) 3．[2016 ・ 全国卷Ⅰ ]( 本小题满分 20 分 ) 设圆 x ＋ y ＋ 2x－ 15＝ 0 的圆心为 A ，直线 l 过点 B(1,0) 且与 x 轴不重合， l 交圆 A 于 C ， D 两点，过 B 作 AC 的平行线交 AD 于点 E. (1) 证明 |EA|＋ |EB |为定值，并写出点 (2) 设点 E 的轨迹为曲线 交于 P ， Q 两点，求四边形 解 E 的轨迹方程； A
MPNQ 面积的取值范围为
(12,8 3) ． (17 分 )
x ＝ 1， |MN |＝ 3 ， |PQ|＝ 8，四边形 MPNQ 的面积为 12.(19
MPNQ 面积的取值范围为
[12,8 3) ． (20 分 )
4． [2017 ・ 广州统测 ]( 本小题满分 20 分 ) 已知动圆 P 的圆心为点 P，圆 P 过点 F (1,0) 且与 直线 l ： x ＝－ 1 相切． (1) 求点 P 的轨迹 C 的方程； (2) 若圆 P 与圆 F ： (x － 1) ＋ y ＝ 1 相交于 M ， N 两点，求 |MN |的取值范围． 解 (1) 依题意，点 P 到点 F(1,0) 的距离等于点 F 为焦点，直线
得 y － 4my＋ 4(m－ 1) ＝ 0 ，
所以 y 1＋ y 2＝ 4m ， y1y2＝ 4(m－ 1) ． (10 分 ) 设 AR： y＝ k 1(x－ 1) ＋ 2 ， 由 y ＝ k1 x － 1 ＋ 2， y ＝ 2x ＋ 2 ， 得 xM ＝ k1 ， k 1－ 2
而 k 1＝
y 1－ 2 y1－ 2 4 ＝ 2 ＝ ， x 1－ 1 y1 y1＋ 2 －1 4 2 2 ，同理 x N＝－ ， (14 分 ) y1 y2 5|x M － x N|＝ 2 5 m － m＋ 1 . |m－ 1|
＝ |MF 1 |＋ |MP |＝ |PF 1|＝ 4>|F 1F 2|， 所以点 M 的轨迹是以 F 1， F2 为焦点的椭圆， 其中长轴长 2a＝ 4，得到 a ＝ 2 ，焦距 2c＝ 2 ， x y 则短半轴长 b＝ 3 ，则轨迹 C 的方程为 ＋ ＝ 1.(6 分 ) 4 3 → → 3 3 又 F 1( － 1,0) ， (2) 当直线 l 与 x 轴垂直时， 可取 B 1 1 ， 2 ，B2 1 ，－ 2 ， 此时 B1F 1・ B 2F 1≠ 0， 所以以 B 1B2 为直径的圆不经过 F 1，不满足条件． (8 分 ) l ： y＝ k( x－ 1) ，
(8 分 )
∴ |AB|＝
12 k ＋ 1 1＋ k |x 1－ x2|＝ 2 .(10 分 ) 3 ＋ 4k
2
∵圆心 (0,0) 到直线 CD ： x＋ ky－ 1 ＝ 0 的距离 d＝
2
1 k ＋1
2
，
2
|CD | 2 又 ＋ d ＝ 4 ，∴ |CD |＝ 2 4 ∵ AB⊥ CD ， ∴ S 四边形
理科数学一轮测试
两条直线， l 1 交 C 1 于 A ， B 两点， l 2 交 C2 于 C ， D 两点． (1) 求 C 1 的标准方程； (2) 当四边形 ACBD 的面积为 解 12 14时，求直线 l 1 的斜率 k(k>0) ． 7
(1) 由题意得 2a＝ 4，∴ a ＝ 2.(1 分 )
(2) 直线 l 经过 F2 ，与抛物线 y ＝ 4x 交于 A1，A2 两点， 与 C 交于 B1，B 2 两点， 当以 B 1B2 为直径的圆经过 解 F 1 时，求 |A1 A2 |.
2
(1) 由题意得 F 1( － 1,0) ， F 2(1,0) ，圆 F 1 的半径为 4 ，且 |MF 2|＝ |MP |，从而 |MF 1 |＋ |MF 2|
2
得 k x － (2k ＋ 4)x＋ k ＝ 0 ， k ≠ 0.
2
2 2
2
2
因为直线 l 与抛物线有两个交点，所以
2k ＋ 4 4 设 A 1(x 3， y3) ， A 2(x 4， y 4) ，则 x 3＋ x 4＝ 2 ＝ 2＋ 2， x 3x 4＝ 1， k k 所以 |A1A2|＝ x3＋ x4 ＋ p＝ 2 ＋ 2． [2017 ・ 东北三省四市统考
2
4k － 12 8k 则 x 1＋ x 2＝ 2 ， x 1x 2＝ 2 ， 4k ＋ 3 4k ＋ 3 所以 |MN |＝ 12 k ＋ 1 1 ＋ k |x1－ x 2|＝ 2 .(12 分 ) 4k ＋ 3
2 2
过点 B(1,0) 且与 l 垂直的直线 2 k ＋1
2 2
1 m： y＝－ (x － 1) ， A 到 m 的距离为 k
2
3 1 ∴ ≤ 1－ 2<1 ， (18 分 ) 4 4 x 0＋ 1 ∴ 3≤ |MN |<2， ∴ |MN |的取值范围为 [ 3 ， 2) ． (20 分 )
5． [2016 ・ 吉林三调测试 ]( 本小题满分 20 分 ) 已知抛物线 C 的方程为 y ＝ 2px(p>0) ，点 R(1,2) 在抛物线 C 上． (1) 求抛物线 C 的方程； (2) 过点 Q(1,1) 作直线交抛物线 C 于不同于 R 的两点 A，B.若直线 AR，BR 分别交直线 l ：
2 2
4 64 2＋ 2 ＝ .(15 分 ) k 9 ]( 本小题满分 x y 15 分 ) 椭圆 C 1： 2＋ 2＝ 1(a>b>0) 的长轴长等 a b 1 .直线 l 1 和 l 2 是过点 M (1,0) ，且互相垂直的 2
1
2 2
于圆 C 2：x ＋ y ＝ 4 的直径，且 C1 的离心率等于
2
可得 x M＝－
所以 |MN |＝
令 m－ 1 ＝ t(t ≠ 0) ，则 m＝ t ＋ 1，
理科数学一轮测试
4
所以 |MN |＝ ＝2 5
5|x M － x N| 1 1 2 3 ＋ ＋ ≥ t 2 4 15， x＋ y－ 2 ＝ 0.(20 分 )
2 2
此时 m ＝－ 1， AB 所在直线方程为：
2 2 2
P 到直线 l 的距离， (2 分 ) (4 分 )
∴点 P 的轨迹是以点
l ： x＝－ 1 为准线的抛物线，
∴曲线 C 的方程为 y ＝ 4x.(6 分 ) (2) 设点 P(x0， y0)，则圆 P 的半径 r ＝ |x 0＋ 1|.(7 分 ) ∴圆 P 的方程为 (x － x0 ) ＋ (y－ y0) ＝ (x0 ＋ 1) .① (8 分 ) 圆 F ： (x － 1) ＋ y ＝ 1 ，② ①－②得直线 MN 的方程为 2(1－ x 0)x－ 2y0y＋ y 2 0－ 2x 0－ 1 ＝ 0.(10 分 )
2 2
C1，直线 l 交 C1 于 M ， N 两点，过 B 且与 l 垂直的直线与圆 MPNQ 面积的取值范围．
(1) 证明：因为 |AD |＝ |AC|， EB ∥ AC，故∠ EBD ＝∠ ACD ＝∠ ADC .(2 分 )
所以 |EB|＝ |ED |，故 |EA|＋ |EB |＝ |EA |＋ |ED |＝ |AD|.(4 分 )
x y 6．[2016 ・ 贵阳适应性月考 ]( 本小题满分 20 分 ) 已知椭圆 C ： 2＋ 2＝ 1(a>b>0) 的右焦点是 a b 抛物线 y ＝ 4x 的焦点， 以原点 O 为圆心， 以椭圆的长半轴长为半径的圆与直线 0 相切． (1) 求椭圆 C 的标准方程； (2) 若直线 l ： y ＝ kx＋ m 与椭圆 C 相交于 P， Q 两点，且△ POQ 的面积为定值 断直线 OP 与 OQ 的斜率之积是否为定值？若为定值， 解