四川省泸县2020届高三下学期第二次月考数学(文)试题 含答案2
四川省泸县第二中学2020届高三数学下学期第二次适应性考试试题文含解析
四川省泸县第二中学2020届高三数学下学期第二次适应性考试试题文（含解析）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第I 卷选择题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.若复数31iz i=+，则复数z 的虚部为（ ） A.12B. 12iC. 12-D. 12i -【答案】C 【解析】 【分析】根据虚数的性质以及复数的乘除法运算法则化简复数z ，根据共轭复数的概念可得其共轭复数，再根据复数的概念可得结果. 【详解】因为31i z i =+(1)11(1)(1)2i i i i i i i +-+===--+1122i =-+， 所以1122z i =--，所以复数z 的虚部为12-. 故选：C.【点睛】本题考查了复数的乘除法运算法则，考查了共轭复数的概念，属于基础题. 2.采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…，960，分组后某组抽到的号码为41.抽到的32人中，编号落入区间[401,731]的人数为( ) A. 10 B. 11C. 12D. 13【答案】C【解析】 【分析】根据系统抽样的特征可知，抽出的号码成等差数列，由题意即可写出通项公式，解不等式即可求出.【详解】∵9603230÷=，∴每组30人，∴由题意可得抽到的号码构成以30为公差的等差数列， 又某组抽到的号码为41，可知第一组抽到的号码为11，∴由题意可得抽到的号码构成以11为首项、以30为公差的等差数列， ∴等差数列的通项公式为11(1)303019n a n n =+-=-， 由4013019731n ≤-≤，n 为正整数可得1425n ≤≤， ∴编号落入区间[401,731]的人数2514112-+=. 故选：C.【点睛】本题主要考查系统抽样的特征应用，以及等差数列的通项公式的应用，属于基础题. 3.有一散点图如图所示，在5个(,)x y 数据中去掉(3,10)D 后，下列说法正确的是（ ）A. 残差平方和变小B. 相关系数r 变小C. 相关指数2R 变小D. 解释变量x 与预报变量y 的相关性变弱 【答案】A 【解析】 【分析】由散点图可知，去掉(3,10)D 后，y 与x 的线性相关性加强，由相关系数r ，相关指数2R 及残差平方和与相关性的关系得出选项.【详解】∵从散点图可分析得出：只有D 点偏离直线远，去掉D 点，变量x 与变量y 的线性相关性变强， ∴相关系数变大，相关指数变大，残差的平方和变小，故选A.【点睛】该题考查的是有关三点图的问题，涉及到的知识点有利用散点图分析数据，判断相关系数，相关指数，残差的平方和的变化情况，属于简单题目.4.等比数列{}n a 的前项和为n S ，若1,3,2,S S S 成等差数列，则{}n a 的公比q 等于 A. 1 B.12C. -12D. 2【答案】C 【解析】【详解】因为1,3,2,S S S 成等差数列，所以123112232311=+2(202)2a a a a a a a a S q S S ∴++=++∴+=∴=-，选C 5.函数()2ln xf x x x =-的图象大致为（ ） A. B.C. D.【答案】A 【解析】 【分析】根据函数()f x 的奇偶性和单调性，排除错误选项，从而得出正确选项. 【详解】因为()()f x f x -=，所以()f x 是偶函数，排除C 和D.当0x >时，()2ln x x f x x =-，()332ln 1'x x f x x=+-， 令()'0f x <，得01x <<，即()f x 在()0,1上递减；令()'0f x >，得1x >，即()f x 在()1,+∞上递增.所以()f x 在1x =处取得极小值，排除B.故选：A【点睛】本小题主要考查函数图像的识别，考查利用导数研究函数的单调区间和极值，属于中档题.6.已知2a =，2b =，且()b a b ⊥-，则向量a 在b 方向上的投影为（ ）A. 1 C. 2【答案】B 【解析】 【分析】设a 和b 的夹角为α，根据已知得cos 2α=，再求出向量a 在b 方向上的投影. 【详解】设a 和b 的夹角为α， 因为()b a b ⊥-，所以2()=22cos 20,cos b a b a b b αα⋅-⋅-=-=∴=所以向量a 在b 方向上投影为2cos α=故选：B【点睛】本题主要考查平面向量的数量积的计算，考查向量投影的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.7.已知0>ω，函数()sin()4f x x πω=+在(,)2ππ上单调递减，则ω的取值范围是（ ）A. 15[,]24B. 13[,]24C. 1(0,]2D. (0,2]【答案】A 【解析】【详解】由题意可得,322,22442k k k Z ππππππωπωπ+≤+<+≤+∈， ∴1542,24k k k Z ω+≤≤+∈， 0ω>，1524ω∴≤≤．故A 正确．考点：三角函数单调性．8.设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ） A. 若αβ⊥，m α⊂，n β⊂，则m n ⊥ B. 若//αβ，m α⊂，n β⊂，则//m n C. 若m n ⊥，m α⊂，n β⊂，则αβ⊥ D. 若m α⊥，//m n ，//n β，则αβ⊥ 【答案】D 【解析】 试题分析：m α⊥，,n βαβ∴⊥,故选D.考点：点线面的位置关系.9.在ABC 中，()3sin sin 2B C A -+=，3AC =，则角C =（ ） A.2π B. 3πC. 6π或3π D. 6π【答案】D 【解析】 【分析】利用正弦定理、三角形内角和定理化简已知条件，求得sin 2C 的值，进而求得C 的大小. 【详解】依题意3AC AB =，即3b c =，由正弦定理得sin 3sin B C =.由()3sin sin 2B C A -+=得()()3sin sin 2B C B C -++=，化简得32sin cos 2B C =， 即3323sin cos sin 22C C C =⇒=，由于3b c c =>，所以C 为锐角， 即0,022C C ππ<<<<，所以23C π=或223C π=，即6C π=或3C π=.当3C π=时3sin 3sin 12B C ==>，故3C π=不符合，舍去. 所以C 的大小为6π. 故选：D【点睛】本小题主要考查正弦定理解三角形，属于中档题. 10.函数()cos2xf x π=与()g x kx k =-在[]6,8-上最多有n 个交点，交点分别为(),i i x y （1i =，……，n ），则()1niii x y =+=∑（ ）A. 7B. 8C. 9D. 10【答案】C 【解析】 【分析】根据直线()g x 过定点()1,0，采用数形结合，可得最多交点个数， 然后利用对称性，可得结果.【详解】由题可知：直线()g x kx k =-过定点()1,0 且()cos 2xf x π=在[]6,8-是关于()1,0对称 如图通过图像可知：直线()g x 与()f x 最多有9个交点同时点()1,0左、右边各四个交点关于()1,0对称所以()912419iii x y =+=⨯+=∑故选：C【点睛】本题考查函数对称性的应用，数形结合，难点在于正确画出图像，同时掌握基础函数cos y x =的性质，属难题. 11.已知不等式1ln ax x a x x e++≥对()1,x ∈+∞恒成立，则实数a 的最小值为（ ）A. B. e 2- C. e - D. 2e -【答案】C 【解析】 【分析】将不等式变形,通过构造函数()ln g x x x =-,求导数后,结合函数的单调性即可得解. 【详解】不等式1ln a x x a x x e++≥对()1,x ∈+∞恒成立 可变形为1ln ax x x a x e≥-+, 即n n l l x x a a e x x e ----≥对()1,x ∈+∞恒成立 设()ln g x x x =- 则()11'1x g x x x-=-= 当()1,x ∈+∞时,()'0g x >,即()ln g x x x =-在()1,x ∈+∞时单调递增 当()0,1x ∈时,()'0g x <,即()ln g x x x =-在()0,1x ∈时单调递减 因而()()x a g eg x -≥在()1,x ∈+∞上恒成立即可当()1,x ∈+∞时, 10,xee -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭而当0a <时(因四个选项都小于0,所以只需讨论0a <的情况)()0,1a x ∈因为()ln g x x x =-在()0,1x ∈时单调递减,若()()x a g e g x -≥只需x a e x -≤不等式两边同取自然底数的对数,可得ln x a x -≤ 当()1,x ∈+∞时, 0ln x < 化简不等式可得ln xa x-≤ 只需maxln x a x -⎛⎫≤⎪⎝⎭ 令()ln xh x x-=,()1,x ∈+∞ 则()()21ln 'ln xh x x -=,令()'0h x =解得x e =当()1,x e ∈时, ()'0h x >,则()ln xh x x -=在()1,e 内单调递增 当(),x e ∈+∞时, ()'0h x <,则()ln xh x x-=在(),e +∞内单调递减所以()ln x h x x -=在x e =处取得最大值, ()max ln eh x e e-==- 故e a -≤ 所以实数a 最小值为e -故选:C【点睛】本题考查了导数在研究函数单调性与最值中的综合应用,根据不等式恒成立问题求参数的取值,利用构造函数法求最值,对函数式的变形尤为重要,属于难题.12.已知双曲线221221(0,0)x y C a b a b：-=>>的一个焦点F 与抛物线22:2(0)C y px p =>的焦点相同，1C 与2C 交于A ，B 两点，且直线AB 过点F ，则双曲线1C 的离心率为（ ）C. 21【答案】D 【解析】 【分析】由图形的对称性及题设条件AF ⊥x 轴，且,22p c p c ==，不难得到,2p A p ⎛⎫⎪⎝⎭，将其代入双曲线方程化简可得22241c e b-=，再化简整理可得212e e -=，解之即可得到结果.【详解】由图形的对称性及题设条件AF ⊥x 轴，且,22p c p c ==，不妨设交点1,2p A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入22y px =可得1y p =，故,2p A p ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入双曲线方程化简可得222214p p a b-=，即22241c e b -=，也即222241c e c a-=-，由此可得()22214e e -=，即212e e -=，也即2(1)2e -=，所以1e =.所以本题应选D.【点睛】圆锥曲线是平面解析几何的重要内容，也是高考和各级各类考试的重要内容和考点，解答本题时要充分利用题设中提供的有关信息，探寻出,22pc p c ==，及AF ⊥x 轴等条件，这些都是解答本题的重要条件和前提.解答时，将,2p A p ⎛⎫⎪⎝⎭代入双曲线方程化简得到222214p p a b -=后化简并求出双曲线的离心率仍是一个难点，因为22241c e b-=距离求出离心率的目标仍然较远，解这个方程不是很简单，这需引起足够的重视.第II 卷非选择题二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量(,4),(3,2)a m b ==-，且a b ∥，则m =___________. 【答案】6- 【解析】 【分析】由向量平行的坐标表示得出2430m --⨯=，求解即可得出答案. 【详解】因为a b ∥，所以2430m --⨯=，解得6m =-. 故答案为：6-【点睛】本题主要考查了由向量共线或平行求参数，属于基础题.14.已知cos θ=，且,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则tan 2θ=__________．【答案】43【解析】分析：根据cos θ的值得到tan θ的值，再根据二倍角公式得到tan 2θ的值．详解：因此cos θ=且,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故tan 2θ=-，所以()()2224tan 2312θ⨯-==--，故填43． 点睛：三角函数的化简求值问题，可以从四个角度去分析：（1）看函数名的差异；（2）看结构的差异；（3）看角的差异；（4）看次数的差异．对应的方法是：弦切互化法、辅助角公式（或公式的逆用）、角的分拆与整合（用已知的角表示未知的角）、升幂降幂法． 15.我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周盒体而无所失矣.”它体现了一种无限与有限的转化过程.比如在表达式11111+++中“…”既代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程11x x+=求得x ==__________．【解析】 【分析】()0m m =>，平方可得方程23m m +=，解方程即可得到结果.()0m m =>，则两边平方得，得23m += 即23m m +=，解得：m =m =本题正确结果：1132+ 【点睛】本题考查新定义运算的问题，关键是读懂已知条件所给的方程的形式，从而可利用换元法来进行求解.16.设1F ，2F 分别是椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点，直线l 过1F 交椭圆C于A ，B 两点，交y 轴于E 点，若满足112F E AF =，且1260EF F ∠=，则椭圆C 的离心率为______. 【答案】71- 【解析】 【分析】采用数形结合，计算1F E 以及1AF ，然后根据椭圆的定义可得2AF ，并使用余弦定理以及ce a=，可得结果. 【详解】如图由1260EF F ∠=，所以12cos 60cF E c ==由112F E AF =，所以1112AF F E c == 又122AF AF a +=，则22AF a c =-所以222121212121cos 2AF F F AF AF F AF F F +-∠=所以()()22222cos12022c c a c c c+--=⋅化简可得：()227227c a c a c c =-⇒-=则7171c a -==+ 故答案为：713- 【点睛】本题考查椭圆的定义以及余弦定理的使用，关键在于根据角度求出线段的长度，考查分析能力以及计算能力，属中档题.三.解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分17.某度假酒店为了解会员对酒店的满意度，从中抽取50名会员进行调查，把会员对酒店的“住宿满意度”与“餐饮满意度”都分为五个评分标准：1分（很不满意）；2分（不满意）；3分（一般）；4分（满意）；5分（很满意）.其统计结果如下表（住宿满意度为x ，餐饮满意度为y ）.（1）求“住宿满意度”分数的平均数；（2）求“住宿满意度”为3分时的5个“餐饮满意度”人数的方差；（3）为提高对酒店的满意度，现从23x ≤≤且12y 的会员中随机抽取2人征求意见，求至少有1人的“住宿满意度”为2的概率. 【答案】(1)3.16(2)2(3) 45P =. 【解析】 【分析】（1）求出“住宿满意度”分数的总分，然后除以总人数50，求得平均数.（2）利用方差的计算公式，计算出所求的方差.（3）符合条件的所有会员共6人，其中“住宿满意度”为2的有3人，“住宿满意度”为3的有3人，利用列举法和古典概型概率计算公式，计算出所求的概率. 【详解】（1）5192153154653.1650⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（2）当“住宿满意度”为3分时的5个“餐饮满意度”人数的平均数为1253435++++=，其方差为()()()()()22222132353334325-+-+-+-+-=（3）符合条件的所有会员共6人，其中“住宿满意度”为2的3人分别记为,,a b c ，“住宿满意度”为3的3人分别记为,,d e f . 从这6人中抽取2人有如下情况，()()()()()()()()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,a b a c a d a e a f b c b d b e b f c d c e c f d e d f e f ，共15种情况.所以至少有1人的“住宿满意度”为2的概率124155P ==. 【点睛】本小题主要考查平均数的计算，考查方差的计算，考查利用列举法求古典概型问题，属于中档题.18.已知等差数列{}n a 的公差0d >，其前n 项和为n S ，若36S =,且1a ，2a ，31a +成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若2na n nb a -=+，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）n a n =.（2）(1)1122nn n n T +⎛⎫=+- ⎪⎝⎭【解析】 【分析】（1）根据等差数列公式得到()213212316a a a a a a ⎧⋅+=⎨++=⎩，计算得到答案.（2）12nn b n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，利用分组求和法计算得到答案.【详解】（1）依题意，得()213212316a a a a a a ⎧⋅+=⎨++=⎩即()()2111121336a a d a d a d ⎧++=+⎪⎨+=⎪⎩，整理得220d d +-=.∵0d >，∴1d =，11a =.∴数列{}n a 的通项公式()11n a n n =+-= 即数列{}n a 的通项公式n a n =. （2）1222nna n n nb a n n --⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭，12n n T b b b =+++211221122nn ⎛⎫⎛⎫⎪=+++ +++⎪⎝⎭⎝⎭，()231111122222n n T n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦11122(1)1212nn n ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭+⎢⎥⎣⎦=+-11122(1)1212nn n ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥⎪⎝⎭+⎢⎥⎣⎦=+-(1)1122n n n +⎛⎫=+- ⎪⎝⎭故(1)1122nn n n T +⎛⎫=+- ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查了等差数列通项公式，分组求和法求前n 项和，意在考查学生对于数列公式方法综合应用.19.在三棱柱111ABC A B C -中，2,120AC BC ACB ==∠=︒，D 为11A B 的中点.（1）证明：1//AC 平面1BC D ；（2）若11A A AC =，点1A 在平面ABC 的射影在AC 上，且侧面11A ABB 的面积为23三棱锥11B A C D -的体积. 【答案】（1）见解析;（2）14. 【解析】【详解】试题分析：（1）连接1BC 交1BC 于点E ，连接DE .利用中点可得1//DE AC，所以1//AC 平面1BC D .（2）取AC 中点O ，连接1AO ，过点O 作OF AB ⊥于F ，连接1A F ,利用等腰三角形和射影的概念可知1AO ⊥平面ABC ，所以1AO AB ⊥，所以AB ⊥平面1AOF ，所以1AB A F ⊥.利用侧面11A ABB 的面积可计算得三棱锥的高，由此可计算得三棱锥的体积. 试题解析：（1）证明：连接1BC 交1BC 于点E ，连接DE .则E 为1BC 的中点，又D 为11A B 的中点，所以1//DE AC ，且DE ⊂平面1BC D ，1AC ⊄平面1BC D ，则1//AC 平面1BC D .（2）解：取AC 的中点O ，连接1AO ，过点O 作OF AB ⊥于点F ，连接1A F . 因为点1A 在平面ABC 的射影O 在AC 上，且11AA AC =， 所以1AO ⊥平面ABC ，∴1AO AB ⊥，1AO OF O ⋂=，∴AB ⊥平面1AOF ， 则1A F AB ⊥.设1AO=h ，在ABC ∆中，2AC BC ==，120ACB ∠=︒， ∴23AB =12OF =，2114A F h =+，由11A ABB S ==12AO h ==. 则1111A BC D B AC DV V --= 11113BA C D A O S =⨯⨯11123222=⨯⨯⨯ 12sin1204⨯⨯︒=.所以三棱锥11A BC D -的体积为14. 20.已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，过点F ，斜率为1的直线与抛物线C 交于点A ，B ，且8AB =．（1）求抛物线C 的方程；（2）过点Q （1，1）作直线交抛物线C 于不同于R （1，2）的两点D 、E ，若直线DR ，ER 分别交直线:22l y x =+于M ，N 两点，求|MN|取最小值时直线DE 的方程． 【答案】（1）24y x =；（2）20x y +-=． 【解析】 【分析】（1）过点F 且斜率为1的直线方程与抛物线的方程联立，利用8AB =求得p 的值，即可求得抛物线C 的方程；（2）设D （x 1，y 1），E （x 2，y 2），直线DE 的方程为(1)1,0x m y m =-+≠，直线DR 的方程为1(1)2y k x =-+，由题意求出,M N x x 得值，建立MN 的解析式，再求出MN 的最小值以及直线DE 的方程．【详解】（1）抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为(,0)2pF ， 直线方程为：2p y x =-， 代入22(0)y px p =>中，消去y 得： 22304p x px -+=，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则有123x x p +=，由8AB =，得128x x p ++=，即38p p +=，解得2p =，所以抛物线C 的方程为：24y x =；（2）设D （x 1，y 1），E （x 2，y 2），直线DE 的方程为(1)1,0x m y m =-+≠，如图所示，由2(1)14x m y y x=-+⎧⎨=⎩，消去x ，整理得：244(1)0y my m -+-=， ∴12124,4(1)y y m y y m +==-， 设直线DR 的方程为1(1)2y k x =-+，由()11222y k x y x ⎧=-+⎨=+⎩，解得点M 的横坐标112M k x k =-，又k 1=1121y x --=142y +，∴x M =112k k -=-12y ，同理点N 的横坐标22N x y =-， 1221212()4y y y y y y +--==421m m -+，∴|MN|=5|x M -x N |=5|-12y +22y |=25|2112y y y y -|=285141m m m ⋅-+-=22511m m m ⋅-+-，令1,0m t t -=≠，则1m t =+，∴|MN|=25•221t t t++=25•211()1t t ++=25•2113()24t ++≥25•34=15，所以当2t =-，即01x ≠时，|MN|取最小值为15， 此时直线DE 的方程为20x y +-=．【点睛】本题主要考查了抛物线线的标准方程的求解、及直线与抛物线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常联立直线方程与抛物线方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等．21.已知函数21()ln ()2f x x ax x a R =-+∈，函数()23g x x =-+. （Ⅰ）判断函数1()()()2F x f x ag x =+的单调性；（Ⅱ）若21a -≤≤-时，对任意12,[1,2]x x ∈，不等式1212()()()()f x f x t g x g x -≤-恒成立，求实数t 的最小值.【答案】(1) 故函数()y F x =在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减;(2)114. 【解析】 试题分析：（Ⅰ）根据题意得到()F x 的解析式和定义域，求导后根据导函数的符号判断单调性．（Ⅱ）分析题意可得()()()()2211f x tg x f x tg x +≤+对任意21a -≤≤-，1212x x ≤≤≤恒成立，构造函数()()()()21ln 1232h x f x tg x x ax t x t =+=-+-+，则有()()1120h x ax t x'=-+-≤对任意[]2,1a ∈--，[]1,2x ∈恒成立，然后通过求函数的最值可得所求． 试题解析：（I ）由题意得()()()()2113ln 1222F x f x ag x x ax a x a =+=-+-+，()x 0,∈+∞， ∴()()21111ax a x F x ax a x x-+-+=-+-=' ()()11ax x x -++=. 当0a ≤时，()0F x '≥，函数()y F x =在()0,+∞上单调递增； 当0a >时，令()0F x '>，解得10x a <<；令()0F x '<，解得1x a>. 故函数()y F x =在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减.综上，当0a ≤时，函数()y F x =在()0,+∞上单调递增；当0a >时，函数()y F x =在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减.（II ）由题意知0t ≥.()2111ax x f x ax x x-+=='+-+， 当21a -≤≤-时，函数()y f x =单调递增． 不妨设1≤ 122x x ≤≤，又函数()y g x =单调递减，所以原问题等价于：当21a -≤≤-时，对任意1212x x ≤≤≤，不等式()()21f x f x -≤()()12t g x g x ⎡⎤-⎣⎦恒成立，即()()()()2211f x tg x f x tg x +≤+对任意21a -≤≤-，1212x x ≤≤≤恒成立. 记()()()()21ln 1232h x f x tg x x ax t x t =+=-+-+， 由题意得()h x 在[]1,2上单调递减. 所以()()1120h x ax t x'=-+-≤对任意[]2,1a ∈--，[]1,2x ∈恒成立. 令()()112H a xa t x=-++-，[]2,1a ∈--，则()()max 122120H a H x t x=-=++-≤在()0,x ∈+∞上恒成立.故max1212t x x ⎛⎫-≥+ ⎪⎝⎭， 而12y x x=+在[]1,2上单调递增， 所以函数12y x x =+在[]1,2上的最大值为92.由9212t -≥，解得114t ≥.故实数t 的最小值为114．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在平面直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为1x ty t =-+⎧⎨=-⎩（t 为参数）,以原点O 为极点,x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为=4cos ρθ-,直线l 与曲线C交于A 、B 两点.（1）写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）若(1,0)P -,求11AP BP+的值. 【答案】（1）10x y ++=；22(2)4x y ++=（2）3【解析】 【分析】(1)相加消去参数t 可得直线l 的普通方程,对=4cos ρθ-两边乘以ρ再根据极坐标与,x y 的关系化简可得曲线C 的直角坐标方程.(2)将直线l 写成过(1,0)P -的标准直线参数方程,再联立圆的方程化简求得关于t 的二次方程,进而根据t 的几何意义,结合韦达定理求解11AP BP+即可. 【详解】（1）因为1x ty t=-+⎧⎨=-⎩,相加可得直线的普通方程为10x y ++=,.又=4cos ρθ-,即2224cos 40x y x ρρθ=-⇒++=,化简可得曲线C 的直角坐标方程22(2)4x y ++=.（2）直线的参数方程可化为122x y ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）,代入曲线()2224x y ++=可得221422t ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,化简可得230t -=,由韦达定理有1212123,t t t t t t +==--==所以121211||||3t t AP BP t t -+== 【点睛】本题主要考查了参数方程与极坐标和直角坐标方程的互化,同时也考查了直线参数的几何意义,属于中档题. [选修4-5：不等式选讲]23.已知函数()211f x x x =-++. （1）求不等式()2fx x ≤+的解集；（2）若函数()y f x =的最小值记为m ，设0a >，0b >，且有a b m +=.求1212a b +++的最小值.【答案】（1）[]0,1（2）642+ 【解析】【分析】（1）作出函数图象，数形结合即可得到答案；（2）32a b +=⇒9122a b +++=，()()112121212912a b a b a b ⎛⎫+=++++⎡⎤ ⎪⎣⎦++++⎝⎭，在乘开，利用基本不等式即可.【详解】解（1）因为()3,1,12112,1,213,.2x x f x x x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪=-++=-+-≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩从图可知满足不等式()2f x x ≤+的解集为[]0,1.（2）由图可知函数()y f x =的最小值为32，即32m =. 所以32a b +=，从而9122a b +++=，从而()()112121212912a b a b a b ⎛⎫+=++++⎡⎤ ⎪⎣⎦++++⎝⎭()21222339129a b a b ⎡⎡⎤+⎛⎫+=++≥+=⎢⎢⎥ ⎪++⎢⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣当且仅当()21212a b a b ++=++，即1114,22a b -==时，等号成立，∴1212a b +++.【点睛】本题考查解绝对值不等式以基本不等式求最值的问题，是一道中档题.。
2020年四川省泸州市高考(文科)数学二诊试卷 解析版
2020年高考（文科）数学二诊试卷一、选择题1．集合A＝{x|x﹣2≤0}，B＝N，则A∩B＝（）A．{1}B．{1，2}C．{0，1}D．{0，1，2}2．i为虚数单位，则2i31−i的虚部为（）A．﹣i B．i C．﹣1D．1 3．两名男生、一名女生站成一排，其中两名男生刚好相邻的概率为（）A．13B．23C．14D．124．某校团委对“学生性别与中学生追星是否有关”作了一次调查，利用2×2列联表，由计算得K2≈7.218，参照如表：P（K2≥k0）0.010.050.0250.0100.0050.001k0 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828得到正确结论是（）A．有99%以上的把握认为“学生性别与中学生追星无关”B．有99%以上的把握认为“学生性别与中学生追星有关”C．在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“学生性别与中学生追星无关”D．在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“学生性别与中学生追星有关”5．已知tanα=12，则cos2α的值为（）A．−15B．−35C．35D．456．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委菽依垣内角，下周三丈、高七尺、问积及为菽几何？“其意思为：“现将大豆在屋内靠墙堆成半圆锥形，底面半圆的弧长为3丈，高7尺、问这堆大豆的体积和堆放的大豆各为多少？”已知1丈等于10尺，1斛大豆的体积约为2.43立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的大豆有（）A．44斛B．144斛C．288斛D．388斛7．函数f（x）＝x3﹣x2+x的图象在点（1，f（1））处的切线为l，则l在y轴上的截距为（）A．﹣1B．1C．﹣2D．28．执行如图所示的程序框图，输出的S 的值为（ ）A ．﹣6B ．3C ．15D ．109．已知函数f （x ）＝A sin （2x −π3）（A ≠0），若函数f （x ﹣m ）（m ＞0）是偶函数、则实数m 的最小值是（ ） A ．π12B ．π6C ．7π12D ．2π310．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1的短轴长为2，焦距为2√3，F 1、F 2分别是椭圆的左、右焦点，若点P 为C 上的任意一点，则1|PF 1|+1|PF 2|的取值范围为（ ）A ．[1，2]B ．[√2，√3]C ．[√2，4]D ．[1，4]11．若一个正三棱柱的主视图如图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ）A ．16π3B ．19π3C ．19π12D ．4π312．过双曲线C ：x 2a −y 2b =1（a ＞0，b ＞0）左焦点F 的直线l 交C 的左支于A ，B 两点，直线AO （O 是坐标原点）交C 的右支于点D ，若DF ⊥AB ，且|BF |＝|DF |，则C 的离心率是（ ） A ．√52B ．2C ．√5D ．√102二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题纸上）13．已知直线l ：x +m 2y ＝0与直线n ：x +y +m ＝0，若l ∥n ，则m 的值为 ．14．若x ，y 满足约束条件{x −y ≥02x +y −6≤0x +y −2≥0，则z ＝3x +2y 的最小值是 ．15．设函数y ＝f （x ）的图象与y ＝2x +a 的图象关于直线y ＝﹣x 对称，且f （﹣4）＝1，则a ＝ ．16．在△ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c 2＝a 2+b 2﹣ab ，sin A +sin B ＝2√6sin A sin B ，若c ＝3，则a +b 的值为 ．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．已知数列{a n }的前n 项和S n 和通项a n 满足2S n +a n ＝l （n ∈N*）． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）等差数列{b n }中，b 1＝3a 1，b 2＝2，求数列{a n +b n }的前n 项和T n ．18．三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，平面AA 1B 1B ⊥平面ABC ，AB ＝AA 1＝A 1B ＝4，BC ＝2，AC ＝2√3，点F 为AB 的中点，点E 为线段A 1C 1上的动点． （Ⅰ）求证：BC ⊥平面A 1EF ；（Ⅱ）若∠B 1EC 1＝60°，求四面体A 1B 1EF 的体积．19．某公司为抓住经济发展的契机，调查了解了近几年广告投入对销售收益的影响，在若干销售地区分别投入4万元广告费用，并将各地的销售收益绘制成频率分布直方图（如图所示），由于工作人员操作失误，横轴的数据丢失，但可以确定横轴是从0开始计数的．（Ⅰ）根据频率分布直方图计算图中各小长方形的宽度；并估计该公司分别投入4万元广告费用之后，对应地区销售收益的平均值（以各组的区间中点值代表该组的取值）； （Ⅱ）该公司按照类似的研究方法，测得另外一些数据，并整理得到如表：广告投入x （单位：万元） 1 2 3 4 5 销售收益y （单位：万元）2327由表中的数据显示，x 与y 之间存在着线性相关关系，请将（Ⅰ）的结果填入空白栏，根据表格中数据求出y 关于x 的回归真线方程y =b x +a ，并估计该公司下一年投入广告费多少万元时，可使得销售收益达到8万元？ 参考公式：最小二乘法估计分别为b =∑ n i=1x i y i −nxy →∑ ni=1x i 2−n x−2=∑ n i=1(x i −x →)(y i −y →)∑ ni=1(x i −x →)2，a =y →−b x →．20．抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，点P 在C 上，若PF ⊥x 轴，且△POF （O 为坐标原点）的面积为1． （Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）若C 上的两动点A ，B （A ，B 在x 轴异侧）满足OA →•OB →=32，且|FA |+|FB |＝|AB |+2，求|AB |的值． 21．已知函数f （x ）=sinxx，g （x ）＝（x ﹣l ）m ﹣2lnx ． （Ⅰ）求证：当x ∈（0，π]时，f （x ）＜1；（Ⅱ）求证：当m ＞2时，对任意x 0∈（0，π]，存在x 1∈（0，π]和x 2∈（0，π]（x 1≠x 2）使g （x 1）＝g （x 2）＝f （x 0）成立．选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =2cosαy =2+2sinα（α为参数）M 是C 1上的动点，P 点满足OP →=2OM →，P 点的轨迹为曲线C 2 （Ⅰ）求C 2的方程；（Ⅱ）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ=π3与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求|AB|．[选修4-5：不等式选讲]23．已知f（x）＝|x+1|+|x+3|．（Ⅰ）解不等式f（x）＜6；（Ⅱ）若a，b，c均为正数，且f（a）+f（b）+c＝10，求a2+b2+c2的最小值．参考答案一、选择题：共有12个小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．集合A＝{x|x﹣2≤0}，B＝N，则A∩B＝（）A．{1}B．{1，2}C．{0，1}D．{0，1，2}【分析】可以求出集合A，然后进行交集的运算即可．解：∵A＝{x|x≤2}，B＝N，∴A∩B＝{0，1，2}．故选：D．【点评】本题考查了描述法、列举法的定义，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．2．i为虚数单位，则2i31−i的虚部为（）A．﹣i B．i C．﹣1D．1【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．解：∵2i31−i=−2i1−i=−2i(1+i)(1−i)(1+i)=1−i，∴2i31−i的虚部为﹣1．故选：C．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3．两名男生、一名女生站成一排，其中两名男生刚好相邻的概率为（）A．13B．23C．14D．12【分析】基本事件总数n=A33=6，其中两名男生刚好相邻包含的基本事件个数m= A22A22=4，由此能求出其中两名男生刚好相邻的概率．解：两名男生、一名女生站成一排，基本事件总数n=A33=6，其中两名男生刚好相邻包含的基本事件个数m=A22A22=4，∴其中两名男生刚好相邻的概率p=mn=46=23．故选：B．【点评】本题考查概率的求法，考查排列组合、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4．某校团委对“学生性别与中学生追星是否有关”作了一次调查，利用2×2列联表，由计算得K2≈7.218，参照如表：P（K2≥k0）0.010.050.0250.0100.0050.001k0 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828得到正确结论是（）A．有99%以上的把握认为“学生性别与中学生追星无关”B．有99%以上的把握认为“学生性别与中学生追星有关”C．在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“学生性别与中学生追星无关”D．在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“学生性别与中学生追星有关”【分析】利用已知概率对照表，在K2大于对应值是认为相关，在小于对应值时不认为相关．解：K2≈7.218＞6.635，对应的P（K2≥k0）为0.010，可得有99%以上的把握认为“学生性别与中学生追星有关”，故选：B．【点评】本题考查了独立性检验的应用问题，考查判断相关性，是基础题目．5．已知tanα=12，则cos2α的值为（）A．−15B．−35C．35D．45【分析】利用余弦的二倍角公式可求得cos2α＝cos2α﹣sin2α，进而利用同角三角基本关系，使其除以sin2α+cos2α，分子分母同时除以cos a，转化成正切，然后把tanα的值代入即可．解：cos2α=cos2α−sin2α=cos 2α−sin2αcos2α+sin2α=1−tan2α1+tan2α=35，故选：C．【点评】本题主要考查了同角三角函数的基本关系和二倍角的余弦函数的公式．解题的关键是利用同角三角函数中的平方关系，完成了弦切的互化．6．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委菽依垣内角，下周三丈、高七尺、问积及为菽几何？“其意思为：“现将大豆在屋内靠墙堆成半圆锥形，底面半圆的弧长为3丈，高7尺、问这堆大豆的体积和堆放的大豆各为多少？”已知1丈等于10尺，1斛大豆的体积约为2.43立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的大豆有（ ） A ．44斛B ．144斛C ．288斛D ．388斛【分析】先求出圆的半径，再利用圆锥的体积计算公式即可得出． 解：3丈＝30尺， 30＝3×R ，解得R ＝10． 由题意可得：12×13×3×102×7×12.43≈144斛．故选：B ．【点评】本题考查了圆锥的体积计算公式，考查考生的计算能力，属于基础题． 7．函数f （x ）＝x 3﹣x 2+x 的图象在点（1，f （1））处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为（ ） A ．﹣1B ．1C ．﹣2D ．2【分析】先求出切点处的导数值，然后求出切线方程，再令切线中的x ＝0，即可得到切线的纵截距．解：f ′（x ）＝3x 2﹣2x +1， ∴f （1）＝1，f ′（1）＝2， ∴切线l 的方程为y ﹣1＝2（x ﹣1）， 令x ＝0得y ＝﹣1，即切线的纵截距为﹣1． 故选：A ．【点评】本题考查利用导数求切线方程的方法，注意抓住切点满足的两个条件入手．属于基础题．8．执行如图所示的程序框图，输出的S 的值为（ ）A．﹣6B．3C．15D．10【分析】根据题意一步一步进行运算，直到跳出循环．解：i＝1，S＝0，S＝0﹣1＝﹣1，i＝2；S＝﹣1+4＝3，i＝3；S＝3﹣9＝﹣6，i＝4；S＝﹣6+16＝10，i＝5；跳出循环，故选：D．【点评】本题考查程序框图，考查了推理能力，属于基础题．9．已知函数f（x）＝A sin（2x−π3）（A≠0），若函数f（x﹣m）（m＞0）是偶函数、则实数m的最小值是（）A．π12B．π6C．7π12D．2π3【分析】由题意利用三角函数的奇偶性以及图象的对称性，求得m的最小值．解：∵函数f（x）＝A sin（2x−π3）（A≠0），若函数f（x﹣m）＝A sin（2x﹣2m−π3）（m＞0）是偶函数，则2m+π3最小为π2，则实数m的最小值为π12，故选：A．【点评】本题主要考查三角函数的奇偶性以及图象的对称性，属于基础题． 10．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1的短轴长为2，焦距为2√3，F 1、F 2分别是椭圆的左、右焦点，若点P 为C 上的任意一点，则1|PF 1|+1|PF 2|的取值范围为（ ）A ．[1，2]B ．[√2，√3]C ．[√2，4]D ．[1，4]【分析】根据条件得到a ，b ，c 的值，从而得出|PF 1|的范围，得到1|PF 1|+1|PF 2|关于|PF 1|的函数，从而求出答案．解：根据条件可得b ＝1，c =√3，故a ＝2， 则根据椭圆定义可知|PF 1|+|PF 2|＝2a ＝4 所以1|PF 1|+1|PF 2|=4|PF 1||PF 2|=4|PF 1|(4−|PF 1|)，因为2−√3≤|PF 1|≤2+√3，|PF 1|（4﹣|PF 1|）＝﹣（|PF 1|﹣2）2+4， ∴1≤|PF 1|（4﹣|PF 1|）≤4． ∴1≤4|PF 1|(4−|PF 1|)≤4．故选：D ．【点评】本题考查了椭圆的性质，函数最值的计算，属于中档题．11．若一个正三棱柱的主视图如图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ）A ．16π3B ．19π3C ．19π12D ．4π3【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体的结构特征是什么，求出球的表面积即可． 解：根据几何体的三视图，得出该几何体是底面为边长等于2的正三角形，高为1的正三棱柱，则底面外接圆半径r =2√33，球心到底面的球心距d =12所以球半径R 2=(2√33)2+(12)2=1912所以该球的表面积S ＝4πR 2=19π3， 故选：B ．【点评】本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，是基础题目．12．过双曲线C ：x 2a −y 2b =1（a ＞0，b ＞0）左焦点F 的直线l 交C 的左支于A ，B 两点，直线AO （O 是坐标原点）交C 的右支于点D ，若DF ⊥AB ，且|BF |＝|DF |，则C 的离心率是（ ） A ．√52B ．2C ．√5D ．√102【分析】取右焦点F '，由双曲线的定义设|AF |＝x ，则|AF '|＝2a +x ，再由双曲线的对称性，则|DF '|＝x ，|DF |＝|AF '|＝2a +x ，而|BF |＝|DF |，所以|BF |＝2a +x ，|AB |＝2a +2x ，有直角三角形中求出a ，c 的关系求出离心率．解：取右焦点F '，设|AF |＝x ，则|AF '|＝2a +x ，由题意可得DF '∥AF ，所以DF '⊥DF ， 所以|DF '|＝x ，|DF |＝|AF '|＝2a +x ，而|BF |＝|DF |，所以|BF |＝2a +x ，|AB |＝2a +2x ， 进而可得|BF '|＝2a +x +2a ＝4a +x ，在直角三角形BAF '中，|BF '|2＝|AB |2+|AF '|2， 所以（x +4a ）2＝（2x +2a ）2+（x +2a ）2，解得x ＝a ， 所以|AF |＝|DF '|＝a ，|DF |＝3a ，|FF '|＝2c ，在三角形DFF '中a 2+（3a ）2＝（2c ）2，所以可得：e 2＝（ca）2=52，所以e =√102，故选：D ．【点评】本题考查双曲线的性质，及直角三角形的边长的关系，属于中档题． 二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题纸上）13．已知直线l ：x +m 2y ＝0与直线n ：x +y +m ＝0，若l ∥n ，则m 的值为 ±1 ． 【分析】由m 2﹣1＝0，解得m ，经过验证即可得出． 解：由m 2﹣1＝0，解得m ＝±1， 经过验证都满足l ∥n ， 则m ＝±1． 故答案为：±1．【点评】本题考查了两条直线平行与斜率之间的关系．考查考生的计算能力，属于基础题．14．若x ，y 满足约束条件{x −y ≥02x +y −6≤0x +y −2≥0，则z ＝3x +2y 的最小值是 5 ．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可． 解：由z ＝3x +2y 得y =−32x +z2，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：平移直线y =−32x +z 2由图象可知当直线y =−32x +z 2经过点A 时，直线y =−32x +z 2的截距最小，此时z 也最小，将A （1，1）代入目标函数z ＝3x +2y ， 得z ＝5． 故答案为：5．【点评】本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法．15．设函数y ＝f （x ）的图象与y ＝2x +a 的图象关于直线y ＝﹣x 对称，且f （﹣4）＝1，则a ＝ 3 ．【分析】在函数y ＝f （x ）的图象上取点（x ，y ），则关于直线y ＝﹣x 对称点为（﹣y ，﹣x ），代入y ＝2x +a ，可得答案．解：因为函数y ＝f （x ）的图象与y ＝2x +a 的图象关于直线y ＝﹣x 对称，且f （﹣4）＝1； 故（﹣1，4）在y ＝2x +a 的图象上， 故有：4＝2﹣1+a ⇒a ＝3； 故答案为：3．【点评】本题考查函数的解析式，考查图象的对称性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．16．在△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c2＝a2+b2﹣ab，sin A+sin B＝2√6sin A sin B，若c＝3，则a+b的值为3√2．【分析】由a2+b2﹣c2＝ab，及余弦定理，可求cos C，结合范围C∈（0，π），可求C=π3，利用三角函数恒等变换的应用，正弦定理化简已知可求（a+b）c＝3√2ab，代入c＝3，可得：a+b=√2ab，进而可求2（ab）2﹣3ab﹣9＝0，解得ab的值，从而可求a+b的值．解：由c2＝a2+b2﹣ab及余弦定理，可得：cos C=a2+b 2−c22ab =ab2ab=12，又C∈（0，π），所以C=π3，由sin A+sin B＝2√6sin A sin B，可得：（sin A+sin B）sin C＝2√6sin C sin A sin B，可得：（sin A+sin B）sin C＝2√6sin π3sin A sin B，可得：（sin A+sin B）sin C＝3√2sin A sin B，结合正弦定理，可得：（a+b）c＝3√2ab，代入c＝3，可得：a+b=√2ab，再结合a2+b2﹣c2＝ab，可得：（a+b）2﹣2ab﹣32＝ab，可得：（a+b）2﹣3ab﹣9＝0，可得：（√2ab）2﹣3ab﹣9＝0，可得：2（ab）2﹣3ab﹣9＝0，可得：（2ab+3）（ab﹣3）＝0，解得：ab=−32（舍去）或ab＝3．可得：a+b＝3√2．故答案为：3√2．【点评】本题主要考查了余弦定理，三角函数恒等变换的应用，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于中档题．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．已知数列{a n}的前n项和S n和通项a n满足2S n+a n＝l（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）等差数列{b n}中，b1＝3a1，b2＝2，求数列{a n+b n}的前n项和T n．【分析】（1）先由数列{a n }的前n 项和S n 和通项a n 的关系式求出相邻项之间的关系，判断出数列{a n }的类型，再求出通项公式；（2）先由题设条件求出b n ，再结合（1）中的a n 求出a n +b n ，最后求出T n ． 解：（1）当n ＝1时有2S 1+a 1＝1＝3a 1，解得a 1=13．又∵2S n +a n ＝l （n ∈N*）①， ∴2S n +1+a n +1＝1 ②．由②﹣①可得：2（S n +1﹣S n ）+a n +1﹣a n ＝0＝2a n +1+a n +1﹣a n 即a n +1=13a n ，所以数列{a n }是以13为首项，以13为公比的等比数列．∴a n ＝（13）n ．（2）∵等差数列{b n }中，b 1＝3a 1＝1，b 2＝2，∴b n ＝n ，a n +b n ＝（13）n +n ．∴T n ＝[13+(13)2+(13)3+⋯+(13)n]+（1+2+3+…n ）=13[1−(13)n ]1−13+n(1+n)2=1−3−n2+n(n+1)2． 【点评】本题考查等比数列的定义及通项公式和数列求和中的分组求和，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，平面AA 1B 1B ⊥平面ABC ，AB ＝AA 1＝A 1B ＝4，BC ＝2，AC ＝2√3，点F 为AB 的中点，点E 为线段A 1C 1上的动点． （Ⅰ）求证：BC ⊥平面A 1EF ；（Ⅱ）若∠B 1EC 1＝60°，求四面体A 1B 1EF 的体积．【分析】（I ）利用等边三角形的性质可得：A 1F ⊥AB ．利用线面、面面垂直的判定定理与性质定理可得：A 1F ⊥BC ．利用勾股定理的逆定理可得：BC ⊥AC ．进而证明结论． （Ⅱ）利用直角三角形的边角关系可得：EC 1=2tan60°，A 1E ．由（I ）可得：A 1F ⊥底面A1B1C1，A1F⊥A1E，A1F＝2√3．可得△A1EF的面积S．由（I）可得：BC⊥平面A1EF，可得B1C1⊥平面A1EF，即可得出四面体A1B1EF的体积．【解答】（I）证明：∵AB＝AA1＝A1B，点F为AB的中点，∴A1F⊥AB，∵平面AA1B1B ⊥平面ABC，平面AA1B1B∩平面ABC＝AB，∴A1F⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴A1F⊥BC．∵AB＝4，BC＝2，AC＝2√3，∴AB2＝BC2+AC2，∴∠ACB＝90°，∴BC⊥AC．∵AC∥A1C1，∴BC⊥A1C1，又A1F∩A1E＝A1，∴BC⊥平面A1EF；（Ⅱ）解：∵∠B1EC1＝60°，∴EC1=2tan60°=2√33，∴A1E＝2√3−2√33=4√33．由（I）可得：A1F⊥底面A1B1C1，∴A1F⊥A1E，A1F＝2√3．∴△A1EF的面积S=12×2√3×4√33=4．由（I）可得：BC⊥平面A1EF，∵B1C1∥BC，∴B1C1⊥平面A1EF，∴四面体A1B1EF的体积=13×S•B1C1=13×4×2=83．【点评】本题考查了线面、面面垂直的判定定理与性质定理、等边三角形与直角三角形的性质、三棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．某公司为抓住经济发展的契机，调查了解了近几年广告投入对销售收益的影响，在若干销售地区分别投入4万元广告费用，并将各地的销售收益绘制成频率分布直方图（如图所示），由于工作人员操作失误，横轴的数据丢失，但可以确定横轴是从0开始计数的．（Ⅰ）根据频率分布直方图计算图中各小长方形的宽度；并估计该公司分别投入4万元广告费用之后，对应地区销售收益的平均值（以各组的区间中点值代表该组的取值）；（Ⅱ）该公司按照类似的研究方法，测得另外一些数据，并整理得到如表：广告投入x（单位：万元）12345销售收益y（单位：万元）2327由表中的数据显示，x与y之间存在着线性相关关系，请将（Ⅰ）的结果填入空白栏，根据表格中数据求出y关于x的回归真线方程y=b x+a，并估计该公司下一年投入广告费多少万元时，可使得销售收益达到8万元？参考公式：最小二乘法估计分别为b=∑n i=1x i y i−nxy→∑n i=1x i2−n x−2=∑ni=1(x i−x→)(y i−y→)∑n i=1(x i−x→)2，a=y→−b x→．【分析】（Ⅰ）由频率分布直方图各个小长方形的面积总和为1，建立方程，即可求得结论．利用组中值，求出对应销售收益的平均值；（Ⅱ）利用公式求出a，b即可计算y关于x的回归方程．解：（Ⅰ）设长方形的宽度为m，由频率分布直方图各小长方形面积总和为1，可知（0.08+0.1+0.14+0.12+0.04+0.02）m＝1，所以m＝2．小组依次是[0，2），[2，4），[4，6），[6，8），[8，10），[10，12），其中点分别为1，3，5，7，9.11对应的频率分别为0.16，0.20，0.28，0.24，0.08，0.04．故可估计平均值为1×0.16+3×0.20+5×028+7×0.24+9×0.08+11×0.04＝5．（Ⅱ）空白栏中填5．由题意可知，x=3，y=3.8∑5i=1x i y i=69，∑5i=1x i2=55，所以b=69−5×3×3.855−5×32=1.2，a=y−b x=3.8﹣1.2×3＝0.2．所以关于x的回归方程为y＝1.2x+0.2．【点评】本题考查频率分布直方图、线性回归方程的求法和应用，本题解题的关键是看出这组变量是线性相关的，进而正确运算求出线性回归方程的系数，属于中档题． 20．抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，点P 在C 上，若PF ⊥x 轴，且△POF （O 为坐标原点）的面积为1． （Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）若C 上的两动点A ，B （A ，B 在x 轴异侧）满足OA →•OB →=32，且|FA |+|FB |＝|AB |+2，求|AB |的值．【分析】（Ⅰ）先解出P 点坐标，再表示△POF 面积为12×p 2×p =1，解得p ，进而得出抛物线方程．（Ⅱ）设直线AB 方程为x ＝my +n ，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），联立抛物线方程，消元x ，可得含y 的一元二次方程，由韦达定理可得y 1+y 2，y 1y 2，|AB |=√1+m 2√4m 2+8n ①，因为|FA |+|FB |＝|AB |+2，得x 1+x 2＝|AB |，2m 2+2n ＝|AB |②由①②得2m 2+2n =√1+m 2√4m 2+8n ，根据OA →•OB →=32，所以y 124y 224+y 1y 2＝32，n 2﹣8n ﹣128＝0，进而得出答案．解：（Ⅰ）由题知P 点的横坐标为p2，代入抛物线方程得，y 2＝2p ×p2，解得y ＝p 或﹣p ， 所以P （p2，﹣p ）或（p2，p ），△POF 面积为12×p 2×p =1，解得p ＝2，所以抛物线C 方程为y 2＝4x ． S △OFP =12×p2×p =p 24（Ⅱ）设直线AB 方程为x ＝my +n ，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2） 联立抛物线方程得y 2﹣2my ﹣2n ＝0， y 1+y 2＝2m ，y 1y 2＝﹣2n ，|AB |=√1+m 2√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=√1+m 2√4m 2+8n ① 因为|FA |+|FB |＝|AB |+2， 所以x 1+1+x 2+1＝|AB |+2 即x 1+x 2＝|AB |， my 1+n +my 2+n ＝|AB |m （y 1+y 2）+2n ＝|AB | 2m 2+2n ＝|AB |②由①②得2m 2+2n =√1+m 2√4m 2+8n ， 化简得m 2＝n 2﹣2n ，因为OA →•OB →=32，所以x 1x 2+y 1y 2＝32 所以y 124y 224+y 1y 2＝32，（y 1y 2）2+16y 1y 2﹣16×32＝0（﹣2n ）2+16（﹣2n ）﹣16×32＝0， n 2﹣8n ﹣128＝0， 解得n ＝﹣8（舍）或16，所以|AB |＝2m 2+2n ＝2（n 2﹣2n ）+2n ＝2n 2﹣2n ＝480．【点评】本题考查抛物线方程，向量在圆锥曲线的应用，直线与抛物线相交，属于中档题．21．已知函数f （x ）=sinxx，g （x ）＝（x ﹣l ）m ﹣2lnx ． （Ⅰ）求证：当x ∈（0，π]时，f （x ）＜1；（Ⅱ）求证：当m ＞2时，对任意x 0∈（0，π]，存在x 1∈（0，π]和x 2∈（0，π]（x 1≠x 2）使g （x 1）＝g （x 2）＝f （x 0）成立．【分析】（Ⅰ）对函数求导数，研究单调性求出最大值小于1即可；（Ⅱ）只需要求出f （x ）在（0，π]上的值域，然后研究g （x ）的单调性是先增后减或先减后增，同时说明每一段上的函数值范围都包含f （x ）的值域即可． 解：（Ⅰ）f′(x)=xcosx−sinxx 2，令h （x ）＝x cos x ﹣sin x ，∵h ′（x ）＝﹣x sin x ＜0， ∴h （x ）在（0，π]上递减，且h （0）＝0，故x ∈（0，π]时f ′（x ）＜0，f （x ）递减． 又limx→0sinx x =lim x→0cosx1=1，∴x ∈（0，π]时，f （x ）＜1．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f （x ）在（0，π]上递减，且f （x ）＜1；又f （π）＝0，故f （x ）的值域为[0，1）． 又因为g ′（x ）=m −2x=mx−2x ，x ∈（0，π]，m ＞2． 令g′(x)=0得x =2m∈（0，1）．显然y ＝mx ﹣2是增函数．∴x ∈(0，2m )时，g ′（x ）＜0，g （x ）递减；x ∈(2m ，π)，g ′（x ）＞0，g （x ）递增．此时g （x ）min =g(2m)=(2m −1)m −2ln 2m，（m ＞2）． 将上式化简并令r （m ）＝2lnm ﹣m +2﹣2ln 2，m ＞2． ∵r′(m)=2−mm＜0，∴r （m ）在（2，+∞）上递减． 所以r （m ）＜r （2）＝0，故g （x ）min ＜0．显然当x →0时，g （x ）→+∞，即当x ∈(0，2m )时，g （x ）递减，且函数值取值集合包含f （x ）的值域[0，1）；而g （π）＝（π﹣1）m ﹣2ln π＞2（π﹣1）﹣2ln π＝2（π﹣1﹣ln π）＞2（3﹣1﹣ln π），∵lnπ＜lne 32=32，∴g(π)＞2×12=1，即当x ∈(2m ，π)时，g （x ）递增，且函数值取值集合包含f （x ）的值域[0，1）．所以当m ＞2时，对任意x 0∈（0，π]，存在x 1∈（0，π]和x 2∈（0，π]（x 1≠x 2）使g （x 1）＝g （x 2）＝f （x 0）成立．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性、最值等问题．考查了学生运用数学思想方法（转化与化归、数形结合、函数与方程分类讨论）解决问题的能力．同时考查了学生的逻辑推理、数学抽象、数学运算等数学核心素养．属于较难的题目． 一、选择题22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =2cosαy =2+2sinα（α为参数）M 是C 1上的动点，P 点满足OP →=2OM →，P 点的轨迹为曲线C 2 （Ⅰ）求C 2的方程；（Ⅱ）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ=π3与C 1的异于极点的交点为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求|AB |．【分析】（I ）先设出点P 的坐标，然后根据点P 满足的条件代入曲线C 1的方程即可求出曲线C 2的方程；（II ）根据（I ）将求出曲线C 1的极坐标方程，分别求出射线θ=π3与C 1的交点A 的极径为ρ1，以及射线θ=π3与C 2的交点B 的极径为ρ2，最后根据|AB |＝|ρ2﹣ρ1|求出所求． 解：（I ）设P （x ，y ），则由条件知M （x2，y2）．由于M 点在C 1上，所以{x2=2cosαy 2=2+2sinα即{x =4cosαy =4+4sinα 从而C 2的参数方程为 {x =4cosαy =4+4sinα（α为参数） （Ⅱ）曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4sin θ，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝8sin θ． 射线θ=π3与C 1的交点A 的极径为ρ1＝4sin π3，射线θ=π3与C 2的交点B 的极径为ρ2＝8sin π3． 所以|AB |＝|ρ2﹣ρ1|=2√3．【点评】本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，以及轨迹方程的求解和线段的度量，属于中档题． [选修4-5：不等式选讲] 23．已知f （x ）＝|x +1|+|x +3|． （Ⅰ）解不等式f （x ）＜6；（Ⅱ）若a ，b ，c 均为正数，且f （a ）+f （b ）+c ＝10，求a 2+b 2+c 2的最小值． 【分析】（Ⅰ）由绝对值的意义，对x 讨论，去绝对值，解不等式，求并集，可得所求解集；（Ⅱ）求得2a +2b +c ＝2，结合柯西不等式，计算可得所求最小值． 解：（Ⅰ）解不等式f （x ）＜6即|x +1|+||x +3|＜6，等价为 {x ≥−1x +1+x +3＜6或{−3＜x ＜−1−x −1+x +3＜6或{x ≤−3−x −1−x −3＜6， 解得﹣1≤x ＜1或﹣3＜x ＜﹣1或﹣5＜x ≤﹣3， 则原不等式的解集为（﹣5，1）；（Ⅱ）若a ，b ，c 均为正数，且f （a ）+f （b ）+c ＝10， 即为a +1+a +3+（b +1+b +3）+c ＝10，化为2a +2b +c ＝2，由柯西不等式可得（a 2+b 2+c 2）（22+22+12）≥（2a +2b +c ）2，49．化为a 2+b 2+c 2≥49，当且仅当a ＝b ＝2c =49取得等号， 则a 2+b 2+c 2的最小值为【点评】本题考查绝对值不等式的解法，以及柯西不等式的运用：求最值，考查分类讨论思想和转化思想，以及化简运算能力，属于中档题．。
2020年四川省泸县第二中学高三下学期第二次高考适应性考试数学(文)试题
四川省泸县第二中学高2020届高考适应性考试文科数学 第I 卷选择题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.若复数31iz i =+，则复数z 的虚部为（ ） A. 12B. 12iC.12- D.12i - C根据虚数的性质以及复数的乘除法运算法则化简复数z ，根据共轭复数的概念可得其共轭复数，再根据复数的概念可得结果. 因为31i z i =+(1)11(1)(1)2i i i i i i i +-+===--+1122i =-+， 所以1122z i =--， 所以复数z 的虚部为12-. 故选：C.本题考查了复数的乘除法运算法则，考查了共轭复数的概念，属于基础题.2.采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…，960，分组后某组抽到的号码为41.抽到的32人中，编号落入区间[401,731]的人数为( ) A. 10 B. 11C. 12D. 13C根据系统抽样的特征可知，抽出的号码成等差数列，由题意即可写出通项公式，解不等式即可求出. ∵9603230÷=，∴每组30人，∴由题意可得抽到的号码构成以30为公差的等差数列， 又某组抽到的号码为41，可知第一组抽到的号码为11，∴由题意可得抽到的号码构成以11为首项、以30为公差的等差数列， ∴等差数列的通项公式为11(1)303019n a n n =+-=-， 由4013019731n ≤-≤，n 为正整数可得1425n ≤≤， ∴编号落入区间[401,731]的人数2514112-+=. 故选：C.本题主要考查系统抽样的特征应用，以及等差数列的通项公式的应用，属于基础题. 3.有一散点图如图所示，在5个(,)x y 数据中去掉(3,10)D 后，下列说法正确的是（ ）A. 残差平方和变小B. 相关系数r 变小C. 相关指数2R 变小D. 解释变量x 与预报变量y 的相关性变弱A由散点图可知，去掉(3,10)D 后，y 与x 的线性相关性加强，由相关系数r ，相关指数2R 及残差平方和与相关性的关系得出选项.∵从散点图可分析得出：只有D 点偏离直线远，去掉D 点，变量x 与变量y 的线性相关性变强， ∴相关系数变大，相关指数变大，残差的平方和变小，故选A.该题考查的是有关三点图的问题，涉及到的知识点有利用散点图分析数据，判断相关系数，相关指数，残差的平方和的变化情况，属于简单题目. 4.等比数列{}n a 的前项和为n S ，若1,3,2,S S S 成等差数列，则{}n a 的公比q 等于A. 1B.12C. -12D. 2C因为1,3,2,S S S 成等差数列，所以123112232311=+2(202)2a a a a a a a a S q S S ∴++=++∴+=∴=-，选C 5.函数()2ln xf x x x=-的图象大致为（ ）A. B.C. D.A 根据函数()f x 的奇偶性和单调性，排除错误选项，从而得出正确选项.因为()()f x f x -=，所以()f x 是偶函数，排除C 和D.当0x >时，()2ln x x f x x =-，()332ln 1'x x f x x=+-， 令()'0f x <，得01x <<，即()f x 在()0,1上递减；令()'0f x >，得1x >，即()f x 在()1,+∞上递增.所以()f x 在1x =处取得极小值，排除B.故选：A本小题主要考查函数图像的识别，考查利用导数研究函数的单调区间和极值，属于中档题. 6.已知2a =，2b =，且()b a b ⊥-，则向量a 在b 方向上的投影为（ ）A. 1B.2C.2D.2B设a 和b 的夹角为α，根据已知得2cos 2α=，再求出向量a 在b 方向上的投影. 设a 和b 的夹角为α， 因为()b a b ⊥-，所以22()=22cos 20,cos 2b a b a b b αα⋅-⋅-=-=∴=. 所以向量a 在b 方向上的投影为2cos 2α=故选：B本题主要考查平面向量的数量积的计算，考查向量投影的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 7.已知0>ω，函数()sin()4f x x πω=+在(,)2ππ上单调递减，则ω的取值范围是（ ）A. 15[,]24B. 13[,]24C. 1(0,]2D. (0,2]A由题意可得,322,22442k k k Z ππππππωπωπ+≤+<+≤+∈， ∴1542,24k k k Z ω+≤≤+∈， 0ω>，1524ω∴≤≤．故A 正确．考点：三角函数单调性．8.设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ） A. 若αβ⊥，m α⊂，n β⊂，则m n ⊥ B. 若//αβ，m α⊂，n β⊂，则//m n C. 若m n ⊥，m α⊂，n β⊂，则αβ⊥ D. 若m α⊥，//m n ，//n β，则αβ⊥ D试题分析：m α⊥，,n βαβ∴⊥,故选D.考点：点线面的位置关系. 9.ABC 中，()3sin sin 2B C A -+=，3AC =，则角C =（ ） A. 2π B. 3πC. 6π或3πD.6π D利用正弦定理、三角形内角和定理化简已知条件，求得sin 2C 的值，进而求得C 的大小. 依题意3AC AB =，即3b c =，由正弦定理得sin 3B C =.由()3sin sin 2B C A -+=得()()3sin sin 2B C B C -++=，化简得32sin cos 2B C =， 即3323cos sin 22C C C =⇒=，由于3b c c =>，所以C 为锐角，即0,022C C ππ<<<<，所以23C π=或223C π=，即6C π=或3C π=.当3C π=时3sin 3sin 12B C ==>，故3C π=不符合，舍去. 所以C 的大小为6π. 故选：D本小题主要考查正弦定理解三角形，属于中档题. 10.函数()cos2xf x π=与()g x kx k =-在[]6,8-上最多有n 个交点，交点分别为(),i i x y （1i =，……，n ），则()1nii i xy =+=∑（ ）A. 7B. 8C. 9D. 10C 根据直线()gx 过定点()1,0，采用数形结合，可得最多交点个数， 然后利用对称性，可得结果.由题可知：直线()g x kx k =-过定点()1,0且()cos 2xf x π=在[]6,8-是关于()1,0对称如图通过图像可知：直线()g x 与()f x 最多有9个交点同时点()1,0左、右边各四个交点关于()1,0对称所以()912419iii x y =+=⨯+=∑故选：C本题考查函数对称性的应用，数形结合，难点在于正确画出图像，同时掌握基础函数cos y x =的性质，属难题.11.已知不等式1ln ax x a x x e++≥对()1,x ∈+∞恒成立，则实数a 的最小值为（ ）A. B. e 2-C. e -D.2e -C将不等式变形,通过构造函数()ln g x x x =-,求导数后,结合函数的单调性即可得解.不等式1ln a x x a x x e++≥对()1,x ∈+∞恒成立 可变形为1ln a x x x a x e≥-+, 即n n l l x x a a e x x e ----≥对()1,x ∈+∞恒成立设()ln gx x x =-则()11'1x g x x x-=-= 当()1,x ∈+∞时,()'0g x >,即()ln g x x x =-在()1,x ∈+∞时单调递增当()0,1x ∈时,()'0g x <,即()ln g x x x =-在()0,1x ∈时单调递减因而()()x a ge g x -≥在()1,x ∈+∞上恒成立即可当()1,x ∈+∞时, 10,xe e -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭而当0a <时(因四个选项都小于0,所以只需讨论0a <的情况)()0,1a x ∈因为()ln gx x x =-在()0,1x ∈时单调递减,若()()x a g e g x -≥只需x a e x -≤不等式两边同取自然底数的对数,可得ln x a x -≤ 当()1,x ∈+∞时, 0ln x <化简不等式可得ln xa x-≤ 只需maxln x a x -⎛⎫≤⎪⎝⎭ 令()ln xh x x-=,()1,x ∈+∞ 则()()21ln 'ln xh x x -=,令()'0h x =解得x e =当()1,x e ∈时, ()'0h x >,则()ln xh x x -=在()1,e 内单调递增 当(),x e ∈+∞时, ()'0h x <,则()ln xh x x-=在(),e +∞内单调递减所以()ln x h x x-=在x e =处取得最大值, ()max ln eh x e e -==- 故e a -≤所以实数a 的最小值为e - 故选:C本题考查了导数在研究函数单调性与最值中的综合应用,根据不等式恒成立问题求参数的取值,利用构造函数法求最值,对函数式的变形尤为重要,属于难题.12.已知双曲线221221(0,0)x y C a b a b ：-=>>的一个焦点F 与抛物线22:2(0)C y px p =>的焦点相同，1C 与2C 交于A ，B 两点，且直线AB 过点F ，则双曲线1C 的离心率为（ ）A.B.C. 2D.1D由图形的对称性及题设条件AF ⊥x 轴，且,22p c p c ==，不难得到,2p A p ⎛⎫⎪⎝⎭，将其代入双曲线方程化简可得22241c e b-=，再化简整理可得212e e -=，解之即可得到结果.由图形的对称性及题设条件AF ⊥x 轴，且,22p c p c ==，不妨设交点1,2p A y ⎛⎫⎪⎝⎭代入22y px =可得1y p =，故,2p A p ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入双曲线方程化简可得222214p p a b -=，即22241c e b -=，也即222241c e c a-=-，由此可得()22214ee -=，即212e e -=，也即2(1)2e -=，所以1e =.所以本题应选D.圆锥曲线是平面解析几何的重要内容，也是高考和各级各类考试的重要内容和考点，解答本题时要充分利用题设中提供的有关信息，探寻出,22pc p c ==，及AF ⊥x 轴等条件，这些都是解答本题的重要条件和前提.解答时，将,2p A p ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入双曲线方程化简得到222214p p a b-=后化简并求出双曲线的离心率仍是一个难点，因为22241c e b-=距离求出离心率的目标仍然较远，解这个方程不是很简单，这需引起足够的重视.第II 卷非选择题二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量(,4),(3,2)a m b ==-，且a b ∥，则m =___________.6-由向量平行的坐标表示得出2430m --⨯=，求解即可得出答案. 因为a b ∥，所以2430m --⨯=，解得6m =-. 故答案为：6-本题主要考查了由向量共线或平行求参数，属于基础题. 14.已知cos 5θ=-，且,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则tan 2θ=__________．43分析：根据cos θ的值得到tan θ的值，再根据二倍角公式得到tan 2θ的值．详解：因此cos θ=且,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故tan 2θ=-，所以()()2224tan 2312θ⨯-==--，故填43． 点睛：三角函数的化简求值问题，可以从四个角度去分析：（1）看函数名的差异；（2）看结构的差异；（3）看角的差异；（4）看次数的差异．对应的方法是：弦切互化法、辅助角公式（或公式的逆用）、角的分拆与整合（用已知的角表示未知的角）、升幂降幂法．15.我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周盒体而无所失矣.”它体现了一种无限与有限的转化过程.比如在表达式11111+++中“…”既代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程11x x +=求得x =，类似上述过程，则=__________．先换元令()330m m ++⋅⋅⋅=>，平方可得方程23m m +=，解方程即可得到结果.令()330m m ++⋅⋅⋅=>，则两边平方得，得2333m +++⋅⋅⋅=即23m m +=，解得：113m =+或113m -=（舍去） 本题正确结果：113+ 本题考查新定义运算的问题，关键是读懂已知条件所给的方程的形式，从而可利用换元法来进行求解.16.设1F ，2F 分别是椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点，直线l 过1F 交椭圆C 于A ，B 两点，交y 轴于E 点，若满足112F E AF =，且1260EF F ∠=，则椭圆C 的离心率为______. 713- 采用数形结合，计算1F E 以及1AF ，然后根据椭圆的定义可得2AF ，并使用余弦定理以及ce a=，可得结果. 如图由1260EF F ∠=，所以12cos60cF E c ==由112F E AF =，所以1112AF F E c == 又122AF AF a +=，则22AF a c =-所以222121212121cos 2AF F F AF AF F AF F F +-∠=所以()()22222cos12022c c a c c c+--=⋅化简可得：()227227ca c a c c =-⇒-=则71371c a -==+ 故答案为：713- 本题考查椭圆的定义以及余弦定理的使用，关键在于根据角度求出线段的长度，考查分析能力以及计算能力，属中档题.三.解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分17.某度假酒店为了解会员对酒店的满意度，从中抽取50名会员进行调查，把会员对酒店的“住宿满意度”与“餐饮满意度”都分为五个评分标准：1分（很不满意）；2分（不满意）；3分（一般）；4分（满意）；5分（很满意）.其统计结果如下表（住宿满意度为x ，餐饮满意度为y ）.（1）求“住宿满意度”分数的平均数；（2）求“住宿满意度”为3分时的5个“餐饮满意度”人数的方差；（3）为提高对酒店的满意度，现从23x ≤≤且12y 的会员中随机抽取2人征求意见，求至少有1人的“住宿满意度”为2的概率. (1)3.16(2)2(3) 45P =. （1）求出“住宿满意度”分数的总分，然后除以总人数50，求得平均数.（2）利用方差的计算公式，计算出所求的方差.（3）符合条件的所有会员共6人，其中“住宿满意度”为2的有3人，“住宿满意度”为3的有3人，利用列举法和古典概型概率计算公式，计算出所求的概率. （1）5192153154653.1650⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（2）当“住宿满意度”为3分时的5个“餐饮满意度”人数的平均数为1253435++++=，其方差为()()()()()22222132353334325-+-+-+-+-=（3）符合条件的所有会员共6人，其中“住宿满意度”为2的3人分别记为,,a b c ，“住宿满意度”为3的3人分别记为,,d e f .从这6人中抽取2人有如下情况，()()()()()()()()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,a b a c a d a e a f b c b d b e b f c d c e c f d e d f e f，共15种情况.所以至少有1人的“住宿满意度”为2的概率124155P ==. 本小题主要考查平均数的计算，考查方差的计算，考查利用列举法求古典概型问题，属于中档题. 18.已知等差数列{}n a 的公差0d >，其前n 项和为n S ，若36S =,且1a ，2a ，31a +成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若2na n nb a -=+，求数列{}n b 的前n 项和nT.（1）n a n =.（2）(1)1122nn n n T +⎛⎫=+- ⎪⎝⎭（1）根据等差数列公式得到()213212316a a a a a a ⎧⋅+=⎨++=⎩，计算得到答案.（2）12nn b n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，利用分组求和法计算得到答案. （1）依题意，得()213212316a a a a a a ⎧⋅+=⎨++=⎩即()()2111121336a a d a d a d ⎧++=+⎪⎨+=⎪⎩，整理得220d d +-=.∵0d>，∴1d =，11a =.∴数列{}n a 的通项公式()11n a n n =+-=即数列{}n a 的通项公式n a n =.（2）1222n na nnn b a n n --⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭，12n n T b b b =+++211221122nn ⎛⎫⎛⎫⎪=+++ +++⎪⎝⎭⎝⎭，()231111122222n n T n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦11122(1)1212nn n ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭+⎢⎥⎣⎦=+-11122(1)1212nn n ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥⎪⎝⎭+⎢⎥⎣⎦=+-(1)1122n n n +⎛⎫=+- ⎪⎝⎭故(1)1122nn n n T +⎛⎫=+- ⎪⎝⎭.本题考查了等差数列通项公式，分组求和法求前n 项和，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用. 19.在三棱柱111ABC A B C -中，2,120AC BC ACB ==∠=︒，D 为11A B 的中点.（1）证明：1//A C 平面1BC D ；（2）若11A A A C =，点1A 在平面ABC 的射影在AC 上，且侧面11A ABB 的面积为23，求三棱锥11B A C D -的体积.（1）见解析;（2）14. 试题分析：（1）连接1B C 交1BC 于点E ，连接DE .利用中点可得1//DE A C ，所以1//AC 平面1BC D .（2）取AC 中点O ，连接1A O ，过点O 作OFAB ⊥于F ，连接1A F ,利用等腰三角形和射影的概念可知1A O ⊥平面ABC ，所以1A O AB ⊥，所以AB ⊥平面1A OF ，所以1AB A F ⊥.利用侧面11A ABB 的面积可计算得三棱锥的高，由此可计算得三棱锥的体积. 试题解析：（1）证明：连接1B C 交1BC 于点E ，连接DE .则E 为1B C 的中点，又D 为11A B 的中点，所以1//DE A C ，且DE ⊂平面1BC D ，1AC ⊄平面1BC D ，则1//AC 平面1BC D . （2）解：取AC 的中点O ，连接1A O ，过点O 作OFAB ⊥于点F ，连接1A F .因为点1A 在平面ABC 的射影O 在AC 上，且11A A A C =，所以1A O ⊥平面ABC ，∴1A O AB ⊥，1AO OF O ⋂=，∴AB ⊥平面1A OF ， 则1A F AB ⊥. 设1AO =h ，ABC ∆中，2AC BC ==，120ACB ∠=︒，∴AB =12OF=，1A F =由11A ABB S ==1A O h ==. 则1111A BC D B A C D V V --= 11113BA C D AO S =⨯⨯1112322=⨯⨯ 12sin1204⨯⨯︒=.所以三棱锥11A BC D -的体积为14. 20.已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，过点F ，斜率为1的直线与抛物线C 交于点A ，B ，且8AB =．（1）求抛物线C 的方程；（2）过点Q （1，1）作直线交抛物线C 于不同于R （1，2）的两点D 、E ，若直线DR ，ER 分别交直线:22l y x =+于M ，N 两点，求|MN|取最小值时直线DE 的方程．（1）24y x =；（2）20x y +-=．（1）过点F 且斜率为1的直线方程与抛物线的方程联立，利用8AB =求得p 的值，即可求得抛物线C 的方程；（2）设D （x 1，y 1），E （x 2，y 2），直线DE 的方程为(1)1,0x m y m =-+≠，直线DR 的方程为1(1)2y k x =-+，由题意求出,M N x x 得值，建立MN 的解析式，再求出MN 的最小值以及直线DE 的方程．（1）抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为(,0)2pF ， 直线方程为：2p y x =-，代入22(0)y px p =>中，消去y 得： 22304p x px -+=，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则有123x x p +=， 由8AB =，得128x x p ++=，即38p p +=，解得2p =，所以抛物线C 的方程为：24y x =；（2）设D （x 1，y 1），E （x 2，y 2），直线DE 的方程为(1)1,0x m y m =-+≠，如图所示，由2(1)14x m y y x=-+⎧⎨=⎩，消去x ，整理得：244(1)0y my m -+-=， ∴12124,4(1)y y m y y m +==-， 设直线DR 的方程为1(1)2y k x =-+，由()11222y k x y x ⎧=-+⎨=+⎩，解得点M 的横坐标112M k x k =-， 又k 1=1121y x --=142y +，∴x M =112k k -=-12y ，同理点N 的横坐标22N x y =-，12y y -=，M -x N12y +22y|2112y y y y -|=41m -=1m -， 令1,0m t t -=≠，则1m t =+，∴|MN|=所以当2t =-，即01x ≠时，|MN|取最小值为 此时直线DE 的方程为20x y +-=．本题主要考查了抛物线线的标准方程的求解、及直线与抛物线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常联立直线方程与抛物线方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等．21.已知函数21()ln ()2f x x ax x a R =-+∈，函数()23g x x =-+.（Ⅰ）判断函数1()()()2F x f x ag x =+的单调性；（Ⅱ）若21a -≤≤-时，对任意12,[1,2]x x ∈，不等式1212()()()()f x f x t g x g x -≤-恒成立，求实数t 的最小值.(1) 故函数()y F x =在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减;(2)114. 试题分析：（Ⅰ）根据题意得到()Fx 的解析式和定义域，求导后根据导函数的符号判断单调性．（Ⅱ）分析题意可得()()()()2211f x tg x f x tg x +≤+对任意21a -≤≤-，1212x x ≤≤≤恒成立，构造函数()()()()21ln 1232h x f x tg x x ax t x t =+=-+-+，则有()()1120h x ax t x'=-+-≤对任意[]2,1a ∈--，[]1,2x ∈恒成立，然后通过求函数的最值可得所求．试题解析：（I ）由题意得()()()()2113ln 1222F x f x ag x x ax a x a =+=-+-+，()x 0,∈+∞， ∴()()21111ax a x F x ax a x x-+-+=-+-=' ()()11ax x x -++=.当0a ≤时，()0F x '≥，函数()y F x =在()0,+∞上单调递增； 当0a >时，令()0F x '>，解得10x a<<；令()0F x '<，解得1x a>.故函数()y F x =在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减.综上，当0a ≤时，函数()y F x =在()0,+∞上单调递增；当0a >时，函数()y F x =在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减.（II ）由题意知0t ≥.()2111ax x f x ax x x-+=='+-+， 当21a -≤≤-时，函数()y f x =单调递增．不妨设1≤ 122x x ≤≤，又函数()y g x =单调递减，所以原问题等价于：当21a -≤≤-时，对任意1212x x ≤≤≤，不等式()()21f x f x -≤ ()()12t g x g x ⎡⎤-⎣⎦恒成立， 即()()()()2211f x tg x f x tg x +≤+对任意21a -≤≤-，1212x x ≤≤≤恒成立.记()()()()21ln 1232h x f x tg x x ax t x t =+=-+-+， 由题意得()hx 在[]1,2上单调递减.所以()()1120h x ax t x'=-+-≤对任意[]2,1a ∈--，[]1,2x ∈恒成立. 令()()112H a xa t x=-++-，[]2,1a ∈--，则()()max 122120H a H x t x=-=++-≤在()0,x ∈+∞上恒成立.故max1212t x x ⎛⎫-≥+ ⎪⎝⎭， 而12y x x=+在[]1,2上单调递增， 所以函数12y x x =+在[]1,2上的最大值为92.由9212t -≥，解得114t ≥.故实数t 的最小值为114．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. [选修4-4：坐标系与参数方程]22.在平面直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为1x ty t=-+⎧⎨=-⎩（t 为参数）,以原点O 为极点,x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为=4cos ρθ-,直线l 与曲线C 交于A 、B 两点. （1）写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）若(1,0)P -,求11AP BP+的值. （1）10x y ++=；22(2)4x y ++=（2）3(1)相加消去参数t 可得直线l 的普通方程,对=4cos ρθ-两边乘以ρ再根据极坐标与,x y 的关系化简可得曲线C 的直角坐标方程.(2)将直线l 写成过(1,0)P -的标准直线参数方程,再联立圆的方程化简求得关于t 的二次方程,进而根据t 的几何意义,结合韦达定理求解11AP BP+即可. （1）因为1x ty t=-+⎧⎨=-⎩,相加可得直线的普通方程为10x y ++=,.又=4cos ρθ-,即2224cos 40x y x ρρθ=-⇒++=,化简可得曲线C 的直角坐标方程22(2)4x y ++=.（2）直线的参数方程可化为122x y ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）,代入曲线()2224x y ++=可得221422⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,化简可得230t --=,由韦达定理有1212123,t t t t t t +==--==所以121211||||t t AP BP t t -+==本题主要考查了参数方程与极坐标和直角坐标方程的互化,同时也考查了直线参数的几何意义,属于中档题. [选修4-5：不等式选讲]23.已知函数()211f x x x =-++. （1）求不等式()2f x x ≤+的解集；（2）若函数()y f x =的最小值记为m ，设0a >，0b >，且有a b m +=.求1212a b +++的最小值. （1）[]0,1（2）642+（1）作出函数图象，数形结合即可得到答案； （2）32a b +=⇒9122a b +++=，()()112121212912a b a b a b ⎛⎫+=++++⎡⎤ ⎪⎣⎦++++⎝⎭，在乘开，利用基本不等式即可.解（1）因为()3,1,12112,1,213,.2x x f x x x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪=-++=-+-≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩从图可知满足不等式()2f x x ≤+的解集为[]0,1.（2）由图可知函数()y f x =的最小值为32，即32m =.所以32a b +=，从而9122a b +++=，从而()()112121212912a b a b a b ⎛⎫+=++++⎡⎤ ⎪⎣⎦++++⎝⎭()()21212222642332912912a a b b a b a b ⎡⎡⎤+-⎛⎫+++=++≥+⋅=⎢⎢⎥ ⎪++++⎢⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣ 当且仅当()21212a b a b ++=++，即92111492,22a b --==时，等号成立， ∴1212a b +++最小值为642+.本题考查解绝对值不等式以基本不等式求最值的问题，是一道中档题.。
四川省泸县第四中学2020届高考数学下学期第二次适应性考试试题文【含答案】
的最小值是
1 ln 2 A． 2
B． e 2
ln 2 1
C．
2
e1 D． 2
第 II 卷 非选择题（90 分）
2、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13.曲线
f
x
x ex
0, 0
在点
处的切线方程为
．
y x
14．已知实数
x
，
y
满足
2x y 0 x y 5 ，则
z
x
y
2
的最大值为______.
15．已知 f (x) x | x | ，则满足 f (2x 1) f (x) 0 的 x 的取值范围为_______．
16．函数
f
(x)
sin3
x
3 cos 2
x
x
3
,
2
的值域为_________．
三．解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题，
45 30 15 人，
所以 2 2 列联表为：
选择“物理” 选择“历史” 总计
男生
45
10
55
女生
30
15
45
总计
75
25
100
K 2 100 (4515 3010)2 3.030 3.841
75 25 4555
.所以没有 95%的把握认为选择科目与性别
有关.
（3）选择物理与选择历史的女生人数的比为 2：1，所以按分层抽样有 4 人选择物理，设为
每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共 60 分
2020年四川省泸州市高考(文科)数学二诊试卷 解析版
2020年高考（文科）数学二诊试卷一、选择题1．集合A＝{x|x﹣2≤0}，B＝N，则A∩B＝（）A．{1}B．{1，2}C．{0，1}D．{0，1，2}2．i为虚数单位，则2i31−i的虚部为（）A．﹣i B．i C．﹣1D．1 3．两名男生、一名女生站成一排，其中两名男生刚好相邻的概率为（）A．13B．23C．14D．124．某校团委对“学生性别与中学生追星是否有关”作了一次调查，利用2×2列联表，由计算得K2≈7.218，参照如表：P（K2≥k0）0.010.050.0250.0100.0050.001k0 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828得到正确结论是（）A．有99%以上的把握认为“学生性别与中学生追星无关”B．有99%以上的把握认为“学生性别与中学生追星有关”C．在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“学生性别与中学生追星无关”D．在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“学生性别与中学生追星有关”5．已知tanα=12，则cos2α的值为（）A．−15B．−35C．35D．456．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委菽依垣内角，下周三丈、高七尺、问积及为菽几何？“其意思为：“现将大豆在屋内靠墙堆成半圆锥形，底面半圆的弧长为3丈，高7尺、问这堆大豆的体积和堆放的大豆各为多少？”已知1丈等于10尺，1斛大豆的体积约为2.43立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的大豆有（）A．44斛B．144斛C．288斛D．388斛7．函数f（x）＝x3﹣x2+x的图象在点（1，f（1））处的切线为l，则l在y轴上的截距为（）A．﹣1B．1C．﹣2D．28．执行如图所示的程序框图，输出的S的值为（）A．﹣6B．3C．15D．109．已知函数f（x）＝A sin（2x−π3）（A≠0），若函数f（x﹣m）（m＞0）是偶函数、则实数m的最小值是（）A．π12B．π6C．7π12D．2π310．已知椭圆C：x2a+y2b=1的短轴长为2，焦距为2√3，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，若点P为C上的任意一点，则1|PF1|+1|PF2|的取值范围为（）A ．[1，2]B ．[√2，√3]C ．[√2，4]D ．[1，4]11．若一个正三棱柱的主视图如图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ）A ．16π3B ．19π3C ．19π12D ．4π312．过双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）左焦点F 的直线l 交C 的左支于A ，B 两点，直线AO （O 是坐标原点）交C 的右支于点D ，若DF ⊥AB ，且|BF |＝|DF |，则C 的离心率是（ ） A ．√52B ．2C ．√5D ．√102二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题纸上）13．已知直线l ：x +m 2y ＝0与直线n ：x +y +m ＝0，若l ∥n ，则m 的值为 ． 14．若x ，y 满足约束条件{x −y ≥02x +y −6≤0x +y −2≥0，则z ＝3x +2y 的最小值是 ．15．设函数y ＝f （x ）的图象与y ＝2x +a 的图象关于直线y ＝﹣x 对称，且f （﹣4）＝1，则a ＝ ．16．在△ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c 2＝a 2+b 2﹣ab ，sin A +sin B ＝2√6sin A sin B ，若c ＝3，则a +b 的值为 ．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．已知数列{a n }的前n 项和S n 和通项a n 满足2S n +a n ＝l （n ∈N*）． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）等差数列{b n }中，b 1＝3a 1，b 2＝2，求数列{a n +b n }的前n 项和T n ．18．三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面AA1B1B⊥平面ABC，AB＝AA1＝A1B＝4，BC＝2，AC ＝2√3，点F为AB的中点，点E为线段A1C1上的动点．（Ⅰ）求证：BC⊥平面A1EF；（Ⅱ）若∠B1EC1＝60°，求四面体A1B1EF的体积．19．某公司为抓住经济发展的契机，调查了解了近几年广告投入对销售收益的影响，在若干销售地区分别投入4万元广告费用，并将各地的销售收益绘制成频率分布直方图（如图所示），由于工作人员操作失误，横轴的数据丢失，但可以确定横轴是从0开始计数的．（Ⅰ）根据频率分布直方图计算图中各小长方形的宽度；并估计该公司分别投入4万元广告费用之后，对应地区销售收益的平均值（以各组的区间中点值代表该组的取值）；（Ⅱ）该公司按照类似的研究方法，测得另外一些数据，并整理得到如表：广告投入x（单位：万元）12345销售收益y（单位：万元）2327由表中的数据显示，x与y之间存在着线性相关关系，请将（Ⅰ）的结果填入空白栏，根据表格中数据求出y关于x的回归真线方程y=b x+a，并估计该公司下一年投入广告费多少万元时，可使得销售收益达到8万元？参考公式：最小二乘法估计分别为b=∑n i=1x i y i−nxy→∑n i=1x i2−n x−2=∑ni=1(x i−x→)(y i−y→)∑n i=1(x i−x→)2，a=y→−b x→．20．抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，点P 在C 上，若PF ⊥x 轴，且△POF （O 为坐标原点）的面积为1． （Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）若C 上的两动点A ，B （A ，B 在x 轴异侧）满足OA →•OB →=32，且|FA |+|FB |＝|AB |+2，求|AB |的值．21．已知函数f （x ）=sinxx，g （x ）＝（x ﹣l ）m ﹣2lnx ． （Ⅰ）求证：当x ∈（0，π]时，f （x ）＜1；（Ⅱ）求证：当m ＞2时，对任意x 0∈（0，π]，存在x 1∈（0，π]和x 2∈（0，π]（x 1≠x 2）使g （x 1）＝g （x 2）＝f （x 0）成立．选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =2cosαy =2+2sinα（α为参数）M 是C 1上的动点，P 点满足OP →=2OM →，P 点的轨迹为曲线C 2 （Ⅰ）求C 2的方程；（Ⅱ）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ=π3与C 1的异于极点的交点为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求|AB |．[选修4-5：不等式选讲]23．已知f（x）＝|x+1|+|x+3|．（Ⅰ）解不等式f（x）＜6；（Ⅱ）若a，b，c均为正数，且f（a）+f（b）+c＝10，求a2+b2+c2的最小值．参考答案一、选择题：共有12个小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．集合A＝{x|x﹣2≤0}，B＝N，则A∩B＝（）A．{1}B．{1，2}C．{0，1}D．{0，1，2}【分析】可以求出集合A，然后进行交集的运算即可．解：∵A＝{x|x≤2}，B＝N，∴A∩B＝{0，1，2}．故选：D．【点评】本题考查了描述法、列举法的定义，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．2．i为虚数单位，则2i31−i的虚部为（）A．﹣i B．i C．﹣1D．1【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．解：∵2i31−i=−2i1−i=−2i(1+i)(1−i)(1+i)=1−i，∴2i31−i的虚部为﹣1．故选：C．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3．两名男生、一名女生站成一排，其中两名男生刚好相邻的概率为（）A．13B．23C．14D．12【分析】基本事件总数n=A33=6，其中两名男生刚好相邻包含的基本事件个数m= A22A22=4，由此能求出其中两名男生刚好相邻的概率．解：两名男生、一名女生站成一排，基本事件总数n=A33=6，其中两名男生刚好相邻包含的基本事件个数m=A22A22=4，∴其中两名男生刚好相邻的概率p=mn=46=23．故选：B．【点评】本题考查概率的求法，考查排列组合、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4．某校团委对“学生性别与中学生追星是否有关”作了一次调查，利用2×2列联表，由计算得K2≈7.218，参照如表：P（K2≥k0）0.010.050.0250.0100.0050.001k0 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828得到正确结论是（）A．有99%以上的把握认为“学生性别与中学生追星无关”B．有99%以上的把握认为“学生性别与中学生追星有关”C．在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“学生性别与中学生追星无关”D．在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“学生性别与中学生追星有关”【分析】利用已知概率对照表，在K2大于对应值是认为相关，在小于对应值时不认为相关．解：K2≈7.218＞6.635，对应的P（K2≥k0）为0.010，可得有99%以上的把握认为“学生性别与中学生追星有关”，故选：B．【点评】本题考查了独立性检验的应用问题，考查判断相关性，是基础题目．5．已知tanα=12，则cos2α的值为（）A．−15B．−35C．35D．45【分析】利用余弦的二倍角公式可求得cos2α＝cos2α﹣sin2α，进而利用同角三角基本关系，使其除以sin2α+cos2α，分子分母同时除以cos a，转化成正切，然后把tanα的值代入即可．解：cos2α=cos2α−sin2α=cos 2α−sin2αcos2α+sin2α=1−tan2α1+tan2α=35，故选：C．【点评】本题主要考查了同角三角函数的基本关系和二倍角的余弦函数的公式．解题的关键是利用同角三角函数中的平方关系，完成了弦切的互化．6．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委菽依垣内角，下周三丈、高七尺、问积及为菽几何？“其意思为：“现将大豆在屋内靠墙堆成半圆锥形，底面半圆的弧长为3丈，高7尺、问这堆大豆的体积和堆放的大豆各为多少？”已知1丈等于10尺，1斛大豆的体积约为2.43立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的大豆有（）A．44斛B．144斛C．288斛D．388斛【分析】先求出圆的半径，再利用圆锥的体积计算公式即可得出．解：3丈＝30尺，30＝3×R，解得R＝10．由题意可得：12×13×3×102×7×12.43≈144斛．故选：B ．【点评】本题考查了圆锥的体积计算公式，考查考生的计算能力，属于基础题． 7．函数f （x ）＝x 3﹣x 2+x 的图象在点（1，f （1））处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为（ ） A ．﹣1B ．1C ．﹣2D ．2【分析】先求出切点处的导数值，然后求出切线方程，再令切线中的x ＝0，即可得到切线的纵截距．解：f ′（x ）＝3x 2﹣2x +1， ∴f （1）＝1，f ′（1）＝2， ∴切线l 的方程为y ﹣1＝2（x ﹣1）， 令x ＝0得y ＝﹣1，即切线的纵截距为﹣1． 故选：A ．【点评】本题考查利用导数求切线方程的方法，注意抓住切点满足的两个条件入手．属于基础题．8．执行如图所示的程序框图，输出的S 的值为（ ）A．﹣6B．3C．15D．10【分析】根据题意一步一步进行运算，直到跳出循环．解：i＝1，S＝0，S＝0﹣1＝﹣1，i＝2；S＝﹣1+4＝3，i＝3；S＝3﹣9＝﹣6，i＝4；S＝﹣6+16＝10，i＝5；跳出循环，故选：D．【点评】本题考查程序框图，考查了推理能力，属于基础题．9．已知函数f（x）＝A sin（2x−π3）（A≠0），若函数f（x﹣m）（m＞0）是偶函数、则实数m的最小值是（）A．π12B．π6C．7π12D．2π3【分析】由题意利用三角函数的奇偶性以及图象的对称性，求得m的最小值．解：∵函数f（x）＝A sin（2x−π3）（A≠0），若函数f（x﹣m）＝A sin（2x﹣2m−π3）（m＞0）是偶函数，则2m+π3最小为π2，则实数m的最小值为π12，故选：A．【点评】本题主要考查三角函数的奇偶性以及图象的对称性，属于基础题．10．已知椭圆C：x2a+y2b=1的短轴长为2，焦距为2√3，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，若点P为C上的任意一点，则1|PF1|+1|PF2|的取值范围为（）A．[1，2]B．[√2，√3]C．[√2，4]D．[1，4]【分析】根据条件得到a，b，c的值，从而得出|PF1|的范围，得到1|PF1|+1|PF2|关于|PF1|的函数，从而求出答案．解：根据条件可得b＝1，c=√3，故a＝2，则根据椭圆定义可知|PF1|+|PF2|＝2a＝4所以1|PF1|+1|PF2|=4|PF1||PF2|=4|PF1|(4−|PF1|)，因为2−√3≤|PF1|≤2+√3，|PF1|（4﹣|PF1|）＝﹣（|PF1|﹣2）2+4，∴1≤|PF1|（4﹣|PF1|）≤4．∴1≤4|PF1|(4−|PF1|)≤4．故选：D．【点评】本题考查了椭圆的性质，函数最值的计算，属于中档题．11．若一个正三棱柱的主视图如图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）A ．16π3B ．19π3C ．19π12D ．4π3【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体的结构特征是什么，求出球的表面积即可． 解：根据几何体的三视图，得出该几何体是底面为边长等于2的正三角形，高为1的正三棱柱，则底面外接圆半径r =2√33，球心到底面的球心距d =12所以球半径R 2=(2√33)2+(12)2=1912所以该球的表面积S ＝4πR 2=19π3， 故选：B ．【点评】本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，是基础题目．12．过双曲线C ：x 2a −y 2b =1（a ＞0，b ＞0）左焦点F 的直线l 交C 的左支于A ，B 两点，直线AO （O 是坐标原点）交C 的右支于点D ，若DF ⊥AB ，且|BF |＝|DF |，则C 的离心率是（ ） A ．√52B ．2C ．√5D ．√102【分析】取右焦点F '，由双曲线的定义设|AF |＝x ，则|AF '|＝2a +x ，再由双曲线的对称性，则|DF '|＝x ，|DF |＝|AF '|＝2a +x ，而|BF |＝|DF |，所以|BF |＝2a +x ，|AB |＝2a +2x ，有直角三角形中求出a ，c 的关系求出离心率．解：取右焦点F '，设|AF |＝x ，则|AF '|＝2a +x ，由题意可得DF '∥AF ，所以DF '⊥DF ， 所以|DF '|＝x ，|DF |＝|AF '|＝2a +x ，而|BF |＝|DF |，所以|BF |＝2a +x ，|AB |＝2a +2x ， 进而可得|BF '|＝2a +x +2a ＝4a +x ，在直角三角形BAF'中，|BF'|2＝|AB|2+|AF'|2，所以（x+4a）2＝（2x+2a）2+（x+2a）2，解得x＝a，所以|AF|＝|DF'|＝a，|DF|＝3a，|FF'|＝2c，在三角形DFF'中a2+（3a）2＝（2c）2，所以可得：e2＝（ca）2=52，所以e=√102，故选：D．【点评】本题考查双曲线的性质，及直角三角形的边长的关系，属于中档题．二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题纸上）13．已知直线l：x+m2y＝0与直线n：x+y+m＝0，若l∥n，则m的值为±1．【分析】由m2﹣1＝0，解得m，经过验证即可得出．解：由m2﹣1＝0，解得m＝±1，经过验证都满足l∥n，则m＝±1．故答案为：±1．【点评】本题考查了两条直线平行与斜率之间的关系．考查考生的计算能力，属于基础题．14．若x ，y 满足约束条件{x −y ≥02x +y −6≤0x +y −2≥0，则z ＝3x +2y 的最小值是 5 ．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可． 解：由z ＝3x +2y 得y =−32x +z 2，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：平移直线y =−32x +z 2由图象可知当直线y =−32x +z 2经过点A 时，直线y =−32x +z 2的截距最小，此时z 也最小，将A （1，1）代入目标函数z ＝3x +2y ， 得z ＝5． 故答案为：5．【点评】本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法．15．设函数y ＝f （x ）的图象与y ＝2x +a 的图象关于直线y ＝﹣x 对称，且f （﹣4）＝1，则a ＝ 3 ．【分析】在函数y ＝f （x ）的图象上取点（x ，y ），则关于直线y ＝﹣x 对称点为（﹣y ，﹣x ），代入y ＝2x +a ，可得答案．解：因为函数y＝f（x）的图象与y＝2x+a的图象关于直线y＝﹣x对称，且f（﹣4）＝1；故（﹣1，4）在y＝2x+a的图象上，故有：4＝2﹣1+a⇒a＝3；故答案为：3．【点评】本题考查函数的解析式，考查图象的对称性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．16．在△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c2＝a2+b2﹣ab，sin A+sin B＝2√6sin A sin B，若c＝3，则a+b的值为3√2．【分析】由a2+b2﹣c2＝ab，及余弦定理，可求cos C，结合范围C∈（0，π），可求C=π3，利用三角函数恒等变换的应用，正弦定理化简已知可求（a+b）c＝3√2ab，代入c＝3，可得：a+b=√2ab，进而可求2（ab）2﹣3ab﹣9＝0，解得ab的值，从而可求a+b的值．解：由c2＝a2+b2﹣ab及余弦定理，可得：cos C=a2+b 2−c22ab =ab2ab=12，又C∈（0，π），所以C=π3，由sin A+sin B＝2√6sin A sin B，可得：（sin A+sin B）sin C＝2√6sin C sin A sin B，可得：（sin A+sin B）sin C＝2√6sin π3sin A sin B，可得：（sin A+sin B）sin C＝3√2sin A sin B，结合正弦定理，可得：（a+b）c＝3√2ab，代入c＝3，可得：a+b=√2ab，再结合a2+b2﹣c2＝ab，可得：（a+b）2﹣2ab﹣32＝ab，可得：（a+b）2﹣3ab﹣9＝0，可得：（√2ab）2﹣3ab﹣9＝0，可得：2（ab）2﹣3ab﹣9＝0，可得：（2ab+3）（ab﹣3）＝0，解得：ab=−32（舍去）或ab ＝3． 可得：a +b ＝3√2． 故答案为：3√2．【点评】本题主要考查了余弦定理，三角函数恒等变换的应用，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于中档题．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．已知数列{a n }的前n 项和S n 和通项a n 满足2S n +a n ＝l （n ∈N*）． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）等差数列{b n }中，b 1＝3a 1，b 2＝2，求数列{a n +b n }的前n 项和T n ．【分析】（1）先由数列{a n }的前n 项和S n 和通项a n 的关系式求出相邻项之间的关系，判断出数列{a n }的类型，再求出通项公式；（2）先由题设条件求出b n ，再结合（1）中的a n 求出a n +b n ，最后求出T n ． 解：（1）当n ＝1时有2S 1+a 1＝1＝3a 1，解得a 1=13．又∵2S n +a n ＝l （n ∈N*）①， ∴2S n +1+a n +1＝1 ②．由②﹣①可得：2（S n +1﹣S n ）+a n +1﹣a n ＝0＝2a n +1+a n +1﹣a n 即a n +1=13a n ，所以数列{a n }是以13为首项，以13为公比的等比数列．∴a n ＝（13）n ．（2）∵等差数列{b n }中，b 1＝3a 1＝1，b 2＝2，∴b n ＝n ，a n +b n ＝（13）n +n ．∴T n＝[13+(13)2+(13)3+⋯+(13)n]+（1+2+3+…n）=13[1−(13)n]1−13+n(1+n)2=1−3−n2+n(n+1)2．【点评】本题考查等比数列的定义及通项公式和数列求和中的分组求和，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面AA1B1B⊥平面ABC，AB＝AA1＝A1B＝4，BC＝2，AC ＝2√3，点F为AB的中点，点E为线段A1C1上的动点．（Ⅰ）求证：BC⊥平面A1EF；（Ⅱ）若∠B1EC1＝60°，求四面体A1B1EF的体积．【分析】（I）利用等边三角形的性质可得：A1F⊥AB．利用线面、面面垂直的判定定理与性质定理可得：A1F⊥BC．利用勾股定理的逆定理可得：BC⊥AC．进而证明结论．（Ⅱ）利用直角三角形的边角关系可得：EC1=2tan60°，A1E．由（I）可得：A1F⊥底面A1B1C1，A1F⊥A1E，A1F＝2√3．可得△A1EF的面积S．由（I）可得：BC⊥平面A1EF，可得B1C1⊥平面A1EF，即可得出四面体A1B1EF的体积．【解答】（I）证明：∵AB＝AA1＝A1B，点F为AB的中点，∴A1F⊥AB，∵平面AA1B1B ⊥平面ABC，平面AA1B1B∩平面ABC＝AB，∴A1F⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴A1F⊥BC．∵AB＝4，BC＝2，AC＝2√3，∴AB2＝BC2+AC2，∴∠ACB＝90°，∴BC⊥AC．∵AC∥A1C1，∴BC⊥A1C1，又A1F∩A1E＝A1，∴BC⊥平面A1EF；（Ⅱ）解：∵∠B1EC1＝60°，∴EC1=2tan60°=2√33，∴A1E＝2√3−2√33=4√33．由（I）可得：A1F⊥底面A1B1C1，∴A1F⊥A1E，A1F＝2√3．∴△A1EF的面积S=12×2√3×4√33=4．由（I）可得：BC⊥平面A1EF，∵B1C1∥BC，∴B1C1⊥平面A1EF，∴四面体A1B1EF的体积=13×S•B1C1=13×4×2=83．【点评】本题考查了线面、面面垂直的判定定理与性质定理、等边三角形与直角三角形的性质、三棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．某公司为抓住经济发展的契机，调查了解了近几年广告投入对销售收益的影响，在若干销售地区分别投入4万元广告费用，并将各地的销售收益绘制成频率分布直方图（如图所示），由于工作人员操作失误，横轴的数据丢失，但可以确定横轴是从0开始计数的．（Ⅰ）根据频率分布直方图计算图中各小长方形的宽度；并估计该公司分别投入4万元广告费用之后，对应地区销售收益的平均值（以各组的区间中点值代表该组的取值）；（Ⅱ）该公司按照类似的研究方法，测得另外一些数据，并整理得到如表：广告投入x（单位：万元）12345销售收益y（单位：万元）2327由表中的数据显示，x与y之间存在着线性相关关系，请将（Ⅰ）的结果填入空白栏，根据表格中数据求出y关于x的回归真线方程y=b x+a，并估计该公司下一年投入广告费多少万元时，可使得销售收益达到8万元？参考公式：最小二乘法估计分别为b=∑n i=1x i y i−nxy→∑n i=1x i2−n x−2=∑ni=1(x i−x→)(y i−y→)∑n i=1(x i−x→)2，a=y→−b x→．【分析】（Ⅰ）由频率分布直方图各个小长方形的面积总和为1，建立方程，即可求得结论．利用组中值，求出对应销售收益的平均值；（Ⅱ）利用公式求出a，b即可计算y关于x的回归方程．解：（Ⅰ）设长方形的宽度为m，由频率分布直方图各小长方形面积总和为1，可知（0.08+0.1+0.14+0.12+0.04+0.02）m＝1，所以m＝2．小组依次是[0，2），[2，4），[4，6），[6，8），[8，10），[10，12），其中点分别为1，3，5，7，9.11对应的频率分别为0.16，0.20，0.28，0.24，0.08，0.04．故可估计平均值为1×0.16+3×0.20+5×028+7×0.24+9×0.08+11×0.04＝5．（Ⅱ）空白栏中填5．由题意可知，x=3，y=3.8∑ 5i=1x i y i =69，∑ 5i=1x i 2=55，所以b =69−5×3×3.855−5×32=1.2，a =y −b x =3.8﹣1.2×3＝0.2． 所以关于x 的回归方程为y ＝1.2x +0.2．【点评】本题考查频率分布直方图、线性回归方程的求法和应用，本题解题的关键是看出这组变量是线性相关的，进而正确运算求出线性回归方程的系数，属于中档题． 20．抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，点P 在C 上，若PF ⊥x 轴，且△POF （O 为坐标原点）的面积为1． （Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）若C 上的两动点A ，B （A ，B 在x 轴异侧）满足OA →•OB →=32，且|FA |+|FB |＝|AB |+2，求|AB |的值．【分析】（Ⅰ）先解出P 点坐标，再表示△POF 面积为12×p 2×p =1，解得p ，进而得出抛物线方程．（Ⅱ）设直线AB 方程为x ＝my +n ，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），联立抛物线方程，消元x ，可得含y 的一元二次方程，由韦达定理可得y 1+y 2，y 1y 2，|AB |=√1+m 2√4m 2+8n ①，因为|FA |+|FB |＝|AB |+2，得x 1+x 2＝|AB |，2m 2+2n ＝|AB |②由①②得2m 2+2n =√1+m 2√4m 2+8n ，根据OA →•OB →=32，所以y 124y 224+y 1y 2＝32，n 2﹣8n ﹣128＝0，进而得出答案．解：（Ⅰ）由题知P 点的横坐标为p 2，代入抛物线方程得，y 2＝2p ×p2，解得y ＝p 或﹣p ， 所以P （p2，﹣p ）或（p2，p ），△POF 面积为12×p 2×p =1，解得p ＝2，所以抛物线C 方程为y 2＝4x ．S △OFP =12×p 2×p =p 24（Ⅱ）设直线AB 方程为x ＝my +n ，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2） 联立抛物线方程得y 2﹣2my ﹣2n ＝0， y 1+y 2＝2m ，y 1y 2＝﹣2n ，|AB |=√1+m 2√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=√1+m 2√4m 2+8n ① 因为|FA |+|FB |＝|AB |+2， 所以x 1+1+x 2+1＝|AB |+2 即x 1+x 2＝|AB |， my 1+n +my 2+n ＝|AB | m （y 1+y 2）+2n ＝|AB | 2m 2+2n ＝|AB |②由①②得2m 2+2n =√1+m 2√4m 2+8n ， 化简得m 2＝n 2﹣2n ，因为OA →•OB →=32，所以x 1x 2+y 1y 2＝32所以y 124y 224+y 1y 2＝32，（y 1y 2）2+16y 1y 2﹣16×32＝0（﹣2n ）2+16（﹣2n ）﹣16×32＝0， n 2﹣8n ﹣128＝0， 解得n ＝﹣8（舍）或16，所以|AB|＝2m2+2n＝2（n2﹣2n）+2n＝2n2﹣2n＝480．【点评】本题考查抛物线方程，向量在圆锥曲线的应用，直线与抛物线相交，属于中档题．21．已知函数f（x）=sinxx，g（x）＝（x﹣l）m﹣2lnx．（Ⅰ）求证：当x∈（0，π]时，f（x）＜1；（Ⅱ）求证：当m＞2时，对任意x0∈（0，π]，存在x1∈（0，π]和x2∈（0，π]（x1≠x2）使g（x1）＝g（x2）＝f（x0）成立．【分析】（Ⅰ）对函数求导数，研究单调性求出最大值小于1即可；（Ⅱ）只需要求出f（x）在（0，π]上的值域，然后研究g（x）的单调性是先增后减或先减后增，同时说明每一段上的函数值范围都包含f（x）的值域即可．解：（Ⅰ）f′(x)=xcosx−sinxx2，令h（x）＝x cos x﹣sin x，∵h′（x）＝﹣x sin x＜0，∴h（x）在（0，π]上递减，且h（0）＝0，故x∈（0，π]时f′（x）＜0，f（x）递减．又limx→0sinxx=limx→0cosx1=1，∴x∈（0，π]时，f（x）＜1．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）在（0，π]上递减，且f（x）＜1；又f（π）＝0，故f（x）的值域为[0，1）．又因为g′（x）=m−2x=mx−2x，x∈（0，π]，m＞2．令g′(x)=0得x=2m∈（0，1）．显然y＝mx﹣2是增函数．∴x∈(0，2m)时，g′（x）＜0，g（x）递减；x∈(2m，π)，g′（x）＞0，g（x）递增．此时g（x）min=g(2m)=(2m−1)m−2ln2m，（m＞2）．将上式化简并令r（m）＝2lnm﹣m+2﹣2ln2，m＞2．∵r′(m)=2−mm＜0，∴r （m ）在（2，+∞）上递减． 所以r （m ）＜r （2）＝0，故g （x ）min ＜0．显然当x →0时，g （x ）→+∞，即当x ∈(0，2m)时，g （x ）递减，且函数值取值集合包含f （x ）的值域[0，1）；而g （π）＝（π﹣1）m ﹣2ln π＞2（π﹣1）﹣2ln π＝2（π﹣1﹣ln π）＞2（3﹣1﹣ln π），∵lnπ＜lne 32=32，∴g(π)＞2×12=1，即当x ∈(2m ，π)时，g （x ）递增，且函数值取值集合包含f （x ）的值域[0，1）．所以当m ＞2时，对任意x 0∈（0，π]，存在x 1∈（0，π]和x 2∈（0，π]（x 1≠x 2）使g （x 1）＝g （x 2）＝f （x 0）成立．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性、最值等问题．考查了学生运用数学思想方法（转化与化归、数形结合、函数与方程分类讨论）解决问题的能力．同时考查了学生的逻辑推理、数学抽象、数学运算等数学核心素养．属于较难的题目． 一、选择题22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =2cosαy =2+2sinα（α为参数）M 是C 1上的动点，P 点满足OP →=2OM →，P 点的轨迹为曲线C 2 （Ⅰ）求C 2的方程；（Ⅱ）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ=π3与C 1的异于极点的交点为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求|AB |．【分析】（I ）先设出点P 的坐标，然后根据点P 满足的条件代入曲线C 1的方程即可求出曲线C 2的方程；（II ）根据（I ）将求出曲线C 1的极坐标方程，分别求出射线θ=π3与C 1的交点A 的极径为ρ1，以及射线θ=π3与C 2的交点B 的极径为ρ2，最后根据|AB |＝|ρ2﹣ρ1|求出所求． 解：（I ）设P （x ，y ），则由条件知M （x2，y2）．由于M 点在C 1上，所以{x2=2cosαy 2=2+2sinα即{x =4cosαy =4+4sinα 从而C 2的参数方程为 {x =4cosαy =4+4sinα（α为参数） （Ⅱ）曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4sin θ，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝8sin θ． 射线θ=π3与C 1的交点A 的极径为ρ1＝4sin π3，射线θ=π3与C 2的交点B 的极径为ρ2＝8sin π3．所以|AB |＝|ρ2﹣ρ1|=2√3．【点评】本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，以及轨迹方程的求解和线段的度量，属于中档题． [选修4-5：不等式选讲] 23．已知f （x ）＝|x +1|+|x +3|． （Ⅰ）解不等式f （x ）＜6；（Ⅱ）若a ，b ，c 均为正数，且f （a ）+f （b ）+c ＝10，求a 2+b 2+c 2的最小值． 【分析】（Ⅰ）由绝对值的意义，对x 讨论，去绝对值，解不等式，求并集，可得所求解集；（Ⅱ）求得2a +2b +c ＝2，结合柯西不等式，计算可得所求最小值． 解：（Ⅰ）解不等式f （x ）＜6即|x +1|+||x +3|＜6，等价为{x ≥−1x +1+x +3＜6或{−3＜x ＜−1−x −1+x +3＜6或{x ≤−3−x −1−x −3＜6， 解得﹣1≤x ＜1或﹣3＜x ＜﹣1或﹣5＜x ≤﹣3， 则原不等式的解集为（﹣5，1）；（Ⅱ）若a ，b ，c 均为正数，且f （a ）+f （b ）+c ＝10， 即为a +1+a +3+（b +1+b +3）+c ＝10，化为2a +2b +c ＝2，由柯西不等式可得（a 2+b 2+c 2）（22+22+12）≥（2a +2b +c ）2，49．化为a 2+b 2+c 2≥49，当且仅当a ＝b ＝2c =49取得等号， 则a 2+b 2+c 2的最小值为【点评】本题考查绝对值不等式的解法，以及柯西不等式的运用：求最值，考查分类讨论思想和转化思想，以及化简运算能力，属于中档题．。
2020届四川省泸县一中高三下学期第二次月考数学(文)试卷及解析
2020届四川省泸县一中高三下学期第二次月考数学（文）试卷★祝考试顺利★(解析版)注意事项：1.答卷前,考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.第I 卷 选择题（60分）一、选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U =R ,{|11}M x x =-<<,{|0}N y y =<,则U ()MN =（ ） A. (1,0)-B. (1,0]-C. (0,1)D. [0,1) 【答案】D【解析】求出集合N 的补集,再进行交集运算.【详解】因为{|0}N y y =<,所以U {|0}N y y =≥ 所以U (){|01}MN x x =≤< 故选：D2.已知复数z 满足21z i -=（其中i 为虚数单位）,则||z =（ ）A. 1B. 2 【答案】D【解析】先求出复数z,然后根据公式z =求出复数的模即可.【详解】21z i -=,∴12z i =+,∴z ==故选D.3.命题p ：x R ∀∈,2210x mx -+>的否定是（ ）A. x R ∀∈,2210x mx -+≤B. x R ∃∈,2210x mx -+<C. x R ∃∈,2210x mx -+>D. x R ∃∈,2210x mx -+≤ 【答案】D【解析】根据含全称量词命题的否定可直接得到结果.【详解】由含全称量词命题否定可知命题p 的否定为：x R ∃∈,2210x mx -+≤ 本题正确选项：D4.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且24S =,416S =,则56a a +=（ ）A. 11B. 16C. 20D. 28 【答案】C【解析】可利用等差数列的性质2S ,42S S -,64S S -仍然成等差数列来解决．【详解】{}n a 为等差数列,前n 项和为n S ,2S ∴,42S S -,64S S -成等差数列,422642()()S S S S S ∴-=+-, 又24S =,416S =,64562444S S a a ∴=+-=++,5620a a ∴+=． 故选：C ．【点睛】本题考查等差数列的性质,关键在于掌握“等差数列中n S ,2n n S S -,32n n S S -⋯仍成等差数列”这一性质,属于基础题．5.在平行四边形ABCD 中,3,4AB AD ==,则AC DB ⋅等于（ ）A. 1B. 7C. 25D. 7-【答案】D【解析】 ()()229167AC BD AB AD AB AD AB AD ⋅=+-=-=-=- ,故选D.。
2020届四川省泸县第五中学高三下学期第二次高考适应性考试数学(文)试题(解析版)
2020届四川省泸县第五中学高三下学期第二次高考适应性考试数学（文）试题一、单选题1．已知集合(){}lg 2A x y x ==-，集合1244xB x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭，则A B =（ ）A ．{}2x x >- B ．{}22x x -<<C ．{}22x x -≤<D ．{}2x x <【答案】C【解析】求出集合的等价条件,利用交集的定义进行求解即可. 【详解】解：∵{}2A x x =<,{}22B x x =-≤≤, ∴{}22A B x x ⋂=-≤<, 故选：C. 【点睛】本题主要考查了对数的定义域与指数不等式的求解以及集合的基本运算,属于基础题. 2．若复数221a ii++（a R ∈）是纯虚数，则复数22a i +在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B 【解析】化简复数221a ii++，由它是纯虚数，求得a ，从而确定22a i +对应的点的坐标． 【详解】221a i i ++2()(1)1(1)(1)(1)a i i a a i i i +-==++-+-是纯虚数，则1010a a +=⎧⎨-≠⎩，1a =-， 2222a i i +=-+，对应点为(2,2)-，在第二象限．故选：B ． 【点睛】本题考查复数的除法运算，考查复数的概念与几何意义．本题属于基础题． 3．设向量(1,)a x x =-，(1,2)b =-，若//a b ，则x =（ ） A ．32-B ．-1C ．23D ．32【答案】C【解析】根据//a b 即可得出2(1)0x x -+=，解出x 即可． 【详解】//a b2(1)0x x ∴-+=∴23x =． 故选C 【点睛】考查主要考查向量坐标的概念以及平行向量的坐标关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.4．如图所示的折线图为某小区小型超市今年一月份到五月份的营业额和支出数据（利润=营业额-支出），根据折线图，下列说法中错误的是（ ）A ．该超市这五个月中的营业额一直在增长；B ．该超市这五个月的利润一直在增长；C ．该超市这五个月中五月份的利润最高；D ．该超市这五个月中的营业额和支出呈正相关. 【答案】B【解析】根据题设中的折线图中的数据，准确计算每个月的利润，即可求解，得到答案． 【详解】由题意，某小区小型超市今年一月份到五月份的营业额和支出数据的折线图，可得： 1月份的利润为3 2.50.5-=万元；2月份的利润为3.5 2.80.7-=万元； 3月份的利润为3.830.8-=万元；4月份的利润为4 3.50.5-=万元； 5月份的利润为541-=万元，所以该超市这五个月的利润一直在增长是不正确的，故选B ． 【点睛】本题主要考查了折线图的应用，其中解答中认真审题，根据数据的折线图的数据，准确计算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题． 5．在ABC 中，D 在BC 边上，且2BD DC =，E 为AD 的中点，则BE =( ) A ．1136AC AB - B ．1536AC AB -+ C ．1136AC AB -+ D ．1536AC AB - 【答案】D【解析】由题意可得，()2233BD BC AC AB ==-，1122BE BA BD =+，从而根据平面向量的线性运算求解即可． 【详解】解：∵2BD DC =， ∴()2233BD BC AC AB ==-， ∵E 为AD 的中点， ∴1122BE BA BD =+()112223AB AC AB =-+⨯-1536AC AB =-， 故选：D ． 【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算，属于基础题． 6．已知a ，b 为实数，则“0a b +=”是“1ab=-”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】分析：首先需要分析当1ab=-时，一定有0a b +=，但如果0a b 时，满足0a b +=，此时a b 无意义，从而得到“0a b +=”是“1ab=-”的必要不充分条件，从而得到正确的结果. 详解：如果1ab=-，则一定有0a b +=， 但是如果0ab 时，满足0a b +=，此时ab无意义，所以“0a b +=”是“1ab=-”的必要不充分条件，故选B.点睛：该题考查的是有关充分必要条件的判断，分析得出谁能推出谁是关键，注意必要条件与充分条件的定义，属于简单题目.7．已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，M 为C 上一点，若4MF =，则MOF △（O 为坐标原点）的面积为( )A B ．C ．D ．【答案】A【解析】根据抛物线的定义求出点M 的坐标，利用三角形的面积公式即可求解. 【详解】因为1OF =，由抛物线的定义可得14M MF x =+=，解得3M x =，代入抛物线方程可得M y =±所以点M 的坐标为(3±，，所以MOF △的面积为11122M OF y ⋅=⨯⨯=， 故选：A. 【点睛】本题考查了抛物线的定义，考查了基本运算求解能力，属于基础题.8．设m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题： ①若m α⊂，//n α，则m ，n 为异面直线；②若m β⊥，αβ⊥，m γ⊥，则αγ⊥； ③若//αγ，//βγ，则//αβ；④若m α⊥，n β⊥，//m n ，则αβ⊥. 则上述命题中真命题的序号为（ ） A ．①② B ．③④C ．②③D ．②④【答案】C【解析】根据线面平行的定义可判断①的正误；利用面面垂直的判定定理可判断②的正误；利用面面平行的性质可判断③的正误；利用线面垂直的性质可判断④的正误.综合可得出结论. 【详解】对于①，若m α⊂，//n α，则m 与n 平行或异面，①错误；对于②，设a αβ⋂=，在平面α内作n a ⊥，因为αβ⊥，由面面垂直的性质定理知n β⊥，又m β⊥，//m n ∴，m γ⊥，则n γ⊥，因为n ⊂α，αγ∴⊥，②正确；对于③，若//αγ，//βγ，由面面平行的性质可知//αβ，③正确； 对于④，若m α⊥，//m n ，则n α⊥，又n β⊥，//αβ∴，④错误. 故选：C. 【点睛】本题考查了空间中线面、面面位置关系的判断，解答时要注意空间中垂直、平行的判定和性质定理的应用，考查推理能力，属于中档题．9．为得到函数sin 3y x x =-的图象，只需要将函数2cos3y x =的图象（ ） A ．向左平行移动6π个单位 B ．向右平行移动6π个单位 C ．向左平行移动518π个单位 D ．向右平行移动518π个单位【答案】D【解析】由题将函数sin 3y x x =可化为2sin(3)3y x π=-，将2cos3y x =的图象转换为2sin(3)2y x π=+，再利用三角函数图像的变换求解.【详解】由题将函数sin 3y x x =-可化为2sin(3)3y x π=-，将2cos3y x =的图象转换为2sin(3)2y x π=+，该图象向右平移518π个单位， 即可得到2sin(3)3y x π=-的图象．故选D 【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的平移变换和伸缩变换的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题．10．已知πa 2=，π3b 7=，πc log 3=，则a ，b ，c 的大小为( ) A ．a b c >> B ．a c b >>C ．b a c >>D ．b c a >>【答案】A【解析】利用幂函数的单调性、对数函数的单调性即可得出． 【详解】因为332871a b πππ==>=>，log 31c π=<， 则,,a b c 的大小为：a b c >>．故选A ． 【点睛】对数或指数的大小比较，可通过寻找合适的单调函数来构建大小关系，如果底数不统一，可以利用对数或指数的运算性质统一底数（或指数）.不同类型的数比较大小，应找一个中间数，通过它实现大小关系的传递.11．设1F 、2F 分别是椭圆()222210y x a b a b+=>>的焦点，过2F 的直线交椭圆于P 、Q两点，且1PQ PF ⊥，1PQ PF =，则椭圆的离心率为（ ） A ．32- B ．63-C ．22-D ．962-【答案】B【解析】设1PQ PF m ==，利用椭圆的定义得出2PF 、2F Q 和1QF ，然后利用勾股定理可得出m 与a 的等量关系，并利用勾股定理可求出该椭圆的离心率. 【详解】 如下图所示：设1PQ PF m ==，由椭圆定义得22PF a m =-，222QF m a =-，142QF a m =-，由勾股定理得22211PF PQ QF +=，可得(422m a =-，(1422PF a ∴=-，()2222PF a =，由勾股定理得2221212PF PF F F +=，即(()22224222224a c ⎡⎤-+=⎢⎥⎣⎦，整理得)12a c =，因此，该椭圆的离心率为)1ce a===.故选：B. 【点睛】本题主要考查了椭圆的简单性质，椭圆的离心率是高考中选择填空题常考的题目，应熟练掌握圆锥曲线中a 、b 、c 和e 的关系．12．已知e 是自然对数的底数，不等于1的两正数,x y 满足5log log 2x y y x +=，若log 1x y >，则ln x y 的最小值为（ ）A ．-1B ．1e-C ．12e-D ．2e-【答案】D【解析】利用对数的运算公式，化简5log log 2x y y x +=，求得log x y 的值，由此求得,x y 的关系式，化简ln x y ，并利用导数求得最小值. 【详解】依题意log log x y y x +=15log log 2x x y y +=，即25log log 102x x y y -+=，由于log 1x y >，故上式解得log 2x y =，即2yx .所以2ln ln 2ln x y x x x x ==.构造函数()2ln f x x x =（x 为不等于1的正数）.()()'21ln f x x =+，故函数在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减，在()1,1,1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上递增，所以最小值为11122ln f e e e e⎛⎫=⨯⨯=- ⎪⎝⎭.故选D. 【点睛】本小题主要考查对数运算，考查利用导数求表达式的最小值的方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.二、填空题13．已知1sin 44x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 2x 的值为_________. 【答案】78【解析】依题意，利用诱导公式与二倍角的余弦公式即可求得答案． 【详解】解：1sin 44x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，217sin 2cos 2cos 212sin 12244168x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-=-=--=-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故答案为：78． 【点睛】本题考查诱导公式与二倍角的余弦，考查观察与基本运算能力，属于中档题． 14．圆()2215x y ++=关于直线y x =对称的圆的标准方程为__________． 【答案】22(1)5x y ++=【解析】圆()2215x y ++=的圆心坐标为()1,0-，它关于直线y x =的对称点坐标为()0,1-，即所求圆的圆心坐标为(01)-，，所以所求圆的标准方程为22(1)5x y ++=． 15．已知数列{}n a 满足11a =，1323nn n a a a +=+，则7a =______.【答案】15【解析】根据递推关系式以及等差数列的定义可得1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，再利用等差数列的通项公式即可求解. 【详解】 由1323n n n a a a +=+，则11233n n n n a a a a +++=，得11123n n a a +=+， 所以1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，111221(1)33n n n a a +=+-⨯=，321n a n =+， 所以715a =. 故答案为：15【点睛】本题考查了由递推关系式证明数列为等差数列、等差数列的通项公式，需熟记公式，属于基础题.16．已知坐标原点为O ，过点()P 2,6作直线()2mx 4m n y 2n 0(m,-++=n 不同时为零)的垂线，垂足为M ，则OM 的取值范围是______．【答案】5⎡⎣【解析】根据题意，将直线变形为()()2420m x y n y ---=，分析可得该直线恒过点()4,2，设()4,2Q ，进而分析可得点M 的轨迹是以PQ 为直径的圆，其方程为()()22345x y -+-=，据此分析可得答案．【详解】根据题意，直线()2420mx m n y n -++=，即()()2420m x y n y ---=，则有2402x y y -=⎧⎨=⎩，解可得42x y =⎧⎨=⎩，则直线l 恒过点()4,2．设()4,2Q ，又由MP 与直线垂直，且M 为垂足，则点M 的轨迹是以PQ 为直径的圆，其方程为()()22345x y -+-=，所以55OM ≤≤；即OM 的取值范围是5⎡⎣；故答案为：5⎡+⎣．【点睛】此类问题为“隐形圆问题”，常规的处理办法是找出动点所在的轨迹（通常为圆），常见的“隐形圆”有：（1）如果,A B 为定点，且动点M 满足()1MA MB λλ=≠，则动点M 的轨迹为圆； （2）如果ABC ∆中，BC 为定长，A 为定值，则动点A 的轨迹为一段圆弧．特别地，当2A π=，则A 的轨迹为圆（除去,B C ）；（3）如果,A B 为定点，且动点M 满足22MA MB λ+=(λ为正常数)，则动点M 的轨迹为圆；三、解答题17．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且22212cos 2B C a b c +⎛⎫+=- ⎪⎝⎭. （1）求角C ；（2）若c =，求ABC ∆周长的最大值.【答案】（1）2πC .3=；（2）4+【解析】（1）由已知根据正弦定理，三角函数恒等变换的应用可得sin 2sin cos A A C =-，结合sin 0A >，可求1cos 2C =-，由0C π<<可求C 的值．（2）由已知利用余弦定理、基本不等式可求4a b +≤，即可解得三角形周长的最大值． 【详解】（1）由22212cos2B C a b c +⎛⎫+=- ⎪⎝⎭得22cos a b c A +=． 根据正弦定理，得sin 2sin 2cos sin A B A C +=，化为()sin 2sin 2cos sin A A C A C ++=，整理得到sin 2sin cos A A C =-，因为sin 0A >， 故1cos 2C =-，又0C π<<，所以23C π=． (2)由余弦定理有2222cos c a b ab C =+-，故2212a b ab ++=， 整理得到()2212122a b a b ab +⎛⎫+=+≤+ ⎪⎝⎭，故4a b +≤， 当且仅当2a b ==时等号成立，所以周长的最大值为2223423++=+． 【点睛】在解三角形中，如果题设条件是边角的混合关系，那么我们可以利用正弦定理或余弦定理把这种混合关系式转化为边的关系式或角的关系式.解三角形中的最值问题，可以用基本不等式或利用正弦定理把最值问题转化为某个角的三角函数式的最值问题． 18．BMI 指数（身体质量指数，英文为BodyMassIndex ，简称BMI ）是衡量人体胖瘦程度的一个标准，BMI =体重（kg ）/身高（m ）的平方.根据中国肥胖问题工作组标准，当BMI ≥28时为肥胖.某地区随机调查了1200名35岁以上成人的身体健康状况，其中有200名高血压患者，被调查者的频率分布直方图如下：（1）求被调查者中肥胖人群的BMI 平均值μ；（2）填写下面列联表，并判断是否有99.9%的把握认为35岁以上成人患高血压与肥胖有关.3.841 肥胖附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++【答案】（1）29.8μ=（2）填表见解析；有99.9%的把握认为35岁以上成人患高血压与肥胖有关【解析】（1）分别计算高血压和非高血压人群中各BMI 值段的人数，然后用各BMI 值段的人数乘以频率分布直方图每个对应表格的中点再求和，最后除以总人数则可得到平均值. （2）根据频率分布直方图，分别计算高血压人群、非高血压人群中肥胖和不肥胖的人数，填表，然后计算观测值2K ，对应给出的表格，得出结论. 【详解】解：（1）根据频率分布直方图，200名高血压患者中，BMI 值在[)28,30的人数为0.1220040⨯⨯=，在[)30,32的人数为0.05220020⨯⨯=，在[)32,34的人数为0.025220010⨯⨯=1000名非高血压患者中，BMI 值在[)28,30的人数为0.0821000160⨯⨯=，在[)30,32的人数为0.032100060⨯⨯=，在[)32,34的人数为0.0052100010⨯⨯= 被调查者中肥胖人群的BMI 平均值(40160)29(2060)31(1010)3329.84020101606010μ+⨯++⨯++⨯==+++++（2）由（1）知，200名高血压患者中，有40201070++=人肥胖，20070130-=人不肥胖1000名非高血压患者中，有1606010230++=人肥胖，1000230770-=人不肥胖肥胖不肥胖 合计 高血压 70 130200非高血压 230770 1000合计 300900 1200221200(70770230130)12.810.8282001000900300K ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯有99.9%的把握认为35岁以上成人患高血压与肥胖有关. 【点睛】本题考查频率分布直方图均值的计算，考查22⨯列联表以及2K 的计算，考查了学生的计算能力，属于中档题.19．如图所示的几何体111ABC A B C -中，四边形11ABB A 是正方形，四边形11BCC B 是梯形，11//B C BC ，且1112B C BC =，AB AC =，平面11ABB A ⊥平面ABC ．（1）求证：平面11A CC ⊥平面11BCC B ；（2）若2AB =，90BAC ∠=︒，求几何体111ABC A B C -的体积. 【答案】（1）证明见解析（2）103【解析】（1）取BC 的中点E ，连接1,AE C E ，可证明AE ⊥平面11BCC B ，根据11BC BE ∥可证明四边形11AAC E 为平行四边形，从而可证11AC ⊥平面11BCC B ，进而证明平面11A CC ⊥平面11BCC B .（2）将所求几何体分割为四棱锥11C AA C E -和直三棱柱111ABE A B C -两部分，通过四棱锥和棱柱的体积分别计算求和可得几何体的体积.【详解】解：（1）取BC 的中点E ，连接1,AE C E ，∵AB AC =，∴AE BC ⊥∵11ABB A 是正方形，∴1BB AB ⊥，又平面11ABB A ⊥平面ABC ，∴1BB ⊥平面ABC ， 又∵AE ⊂平面ABC ，∴1AE BB ⊥ 又∵1BB ，BC ⊂平面11BCC B ，1BB BC B =，∴AE ⊥平面11BCC B∵11BC BE ∥，∴四边形11BB C E 为平行四边形，∴111C B B E A A ∥∥， ∴四边形11AAC E 为平行四边形 ∴11AE AC ∥，∴11AC ⊥平面11BCC B 又11A C ⊂平面11A CC ，∴平面11A CC ⊥平面11BCC B（2）由（1）知所求几何体为四棱锥11C AA C E -和直三棱柱111ABE A B C -的组合体 ∵CE AE ⊥，1CE AA ⊥，1AA ，AE ⊂平面11AAC E ，∴CE ⊥平面11AAC E ， ∴四棱锥11C AA C E -的体积1111111142223333C AA C E AA C E V S CE AA AE CE -=⋅=⋅⋅⋅==矩形直三棱柱111ABE A B C -的体积11111112222ABE A B C ABE V S AA BE AE AA -=⋅=⋅⋅⋅==∴所求几何体111ABC A B C -的体积11111410233C AA C E ABE A B C V V V --=+=+= 【点睛】本题考查面面垂直的判定定理，考查求棱锥和棱柱的体积，考查学生数形结合的能力，属于中档题.20．已知椭圆E 的中心在原点，左焦点1F 、右焦点2F 都在x 轴上，点M 是椭圆E 上的动点，12F MF ∆，在x 轴上方使122MF MF ⋅=成立的点M 只有一个．（1）求椭圆E 的方程；（2）过点(1,0)-的两直线1l ，2l 分别与椭圆E 交于点A ，B 和点C ，D ，且12l l ⊥，比较12()AB CD +与7AB CD 的大小．【答案】（1）22143x y +=（2）12()7AB CD AB CD +=【解析】（1）根据已知设椭圆E 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，由已知分析得221232bc MF MF b c c ⎧=⎪⋅=-=⎨⎪=⎩，解得2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩E 的方程为22143x y +=.（2）先证明直线AB 的斜率为0或不存在时，()127AB CD AB CD +=.再证明若AB 的斜率存在且不为0时，()127AB CD AB CD +=. 【详解】（1）根据已知设椭圆E 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，c =在x 轴上方使122MF MF ⋅=成立的点M 只有一个，∴在x 轴上方使122MF MF ⋅=成立的点M 是椭圆E 的短轴的端点.当点M 是短轴的端点时，由已知得221232bc MF MF b c c ⎧=⎪⋅=-=⎨⎪=⎩，解得2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩∴椭圆E 的方程为22143x y +=.（2）()127AB CD AB CD +=.若直线AB 的斜率为0或不存在时，24AB a =-且223b CD a ==或24CD a ==且223b AB a==.由()()12123484AB CD +=⨯+=，773484AB CD =⨯⨯=得()127AB CD AB CD +=.若AB 的斜率存在且不为0时，设AB ：()()10y k x k =+≠，由()221143y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩得()22224384120k x k x k +++-=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则2122843k x x k +=-+，212241243k x x k -=+，于是21AB x =-=()2212143k k +=+.同理可得()2222112112134143k k CD k k ⎡⎤⎛⎫-+⎢⎥ ⎪+⎝⎭⎢⎥⎣⎦==+⎛⎫-+ ⎪⎝⎭.∴()222113443712121k k AB CD k ++++==+. ∴()127AB CD AB CD +=. 综上()127AB CD AB CD +=. 【点睛】本题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查椭圆的弦长的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.21．已知函数()1ln 1f x a x bx x=+++. （1）若24a b +=，则当2a >时，讨论()f x 的单调性； （2）若()()21,F b x f x x==-，且当2a ≥-时，不等式()2F x ≥在区间(]0,2上有解，求实数a 的取值范围.【答案】(1)答案见解析；(2)12ln 2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，. 【解析】试题分析：（1）函数()f x 的定义域为()0+∞，，且()()1421f x alnx a x x =++-+，()()()22121a x x f x x ⎡⎤----⎣⎦='．分类讨论可得：当4a =时，()f x 在()0+∞，内单调递减； 当24a <<时，()f x 在11022a ⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，，，上单调递减，在1122a ⎛⎫ ⎪-⎝⎭，上单调递增；当4a >时，()f x 在11022a ⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，，，上单调递减，在1122a ⎛⎫ ⎪-⎝⎭，上单调递增． （2）原问题等价于当2a ≥-时，()F x 在区间(]02，上的最大值()2max F x ≥． 且()11F x alnx x x =-++，则()221(02)x ax F x x x=<'++≤.分类讨论22a -≤≤和2a >两种情况可得()()2max F x F =．据此求解关于实数a 的不等式可得实数a 的取值范围是122ln ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，． 试题解析：（1）函数()f x 的定义域为()0+∞，，由24a b +=得()()1421f x alnx a x x=++-+， 所以()()()()222121142a x x a f x a x x x ⎡⎤----⎣⎦=-+-='． 当4a =时，()0f x '≤，()f x 在()0+∞，内单调递减；当24a <<时，()()111000222f x x f x x a ；>⇒<<<⇒<'<-'或12x a >-， 所以，()f x 在11022a ⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭，，，上单调递减，在1122a ⎛⎫ ⎪-⎝⎭，上单调递增；当4a >时，()()111000222f x x f x x a a >⇒<<<⇒<<-''-；或12x >， 所以，()f x 在11022a ⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，，，上单调递减，在1122a ⎛⎫ ⎪-⎝⎭，上单调递增． （2）由题意，当2a ≥-时，()F x 在区间(]02，上的最大值()2max F x ≥． 当1b =时，()12111F x alnx x alnx x x x x=+++-=-++， 则()221(02)x ax F x x x=<'++≤. ①当22a -≤≤时，()2221240a a x F x x ⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭'=>， 故()F x 在(]02，上单调递增，()()2max F x F =； ②当2a >时，设2210(40)x ax a ++=∆=->的两根分别为12x x ，， 则1212120?100x x a x x x x +=-<=∴<<，，，，所以在(]02，上()2210x ax F x x++=>'， 故()F x 在(]02，上单调递增，()()2max F x F =． 综上，当2a ≥-时，()F x 在区间(]02，上的最大值()()1222122max F x F aln ==-++≥，解得122a ln ≥-，所以实数a 的取值范围是122ln ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，． 点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及命题角度 从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．22．以直角坐标系xOy 的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，并且在两种坐标系中取相同的长度单位.若将曲线5cos sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数）上每一点的横坐标变为原来的15（纵坐标不变），然后将所得图象向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到曲线C .直线l的极坐标方程为sin 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭. （1）求曲线C 的普通方程；（2）设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，与x 轴交于点P ，线段AB 的中点为M ，求PM . 【答案】（1）()()222+3=1x y --；（2）2. 【解析】（1）根据题意得到cos +2sin +3x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数）后，消去参数α即可得到曲线C 的普通方程；（2）将直线l 的方程化为参数方程的标准形式并代入到圆C 的方程，利用参数的几何意义可解得结果. 【详解】（1）将曲线5cos sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数）上每一点的横坐标变为原来的15（纵坐标不变），得到cos sin x y αα=⎧⎨=⎩， 然后将所得图像向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到cos +2sin +3x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），消去参数α得圆C 的普通方程为()()222+3=1x y --. （2）由sin 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭得sin cos cos sin 44ππρθρθ-=sin cos 2ρθρθ-=，因为sin ,cos y x ρθρθ==，所以2y x -=，即直线l 的直角坐标方程为：20x y -+=，倾斜角为4π，点()2,0P -， 设直线l的参数方程为2+22x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，代入圆C 的普通方程()()222+3=1x y --并整理得：2+24=0t -，因为(24240∆=-⨯>，设A 、B 两点对应的参数分别为1t ，2t ，则M 点对应的参数为122t t +，由韦达定理得12t t +=1224t t =，则12==22t t PM +. 【点睛】本题考查了图象变换、参数方程化普通方程，考查了极坐标方程化直角坐标方程，考查了直线参数方程中参数的几何意义，属于基础题. 23．已知函数()12f x x x a =-+-. （Ⅰ）当1a =时，求()1f x ≥的解集；（Ⅱ）当[1,1]x ∈-时，()1f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】(1)[)1-1+3⎛⎤∞⋃∞ ⎥⎝⎦，，;(2)(][)-03+∞⋃∞，，. 【解析】试题分析：（Ⅰ）利用零点分段去绝对值求解即可；（Ⅱ）当[]11x ∈-，时，()1f x ≥恒成立，即211x a x x -≥--=，显然当[)10x ，∈-时，不等式恒成立，当[]01x ∈，时，讨论2a和定义域的关系即可.试题解析：（Ⅰ）当1a =时，由()1f x ≥，可得1211x x -+-≥，12321x x ⎧<⎪∴⎨⎪-+≥⎩，①或1121x x ⎧≤≤⎪⎨⎪≥⎩，②或1321x x ，，>⎧⎨-≥⎩③ 解①求得13x ≤，解②求得1x =，解③求得1x >， 综上可得不等式的解集为[)113⎛⎤-∞⋃+∞ ⎥⎝⎦，，． （Ⅱ）∵当[]11x ∈-，时，()1f x ≥恒成立，即211x a x x -≥--=， 当[)10x ，∈-时，a R ∈； 当[]01x ∈，时，若02a≤，即0a ≤时，22x a x a x -=-≥，3a x ≤，所以0a ≤; 若12a≥，即2a ≥时，22x a a x x -=-≥，3a x ≥，所以3a ≥; 若012a <<，即02a <<时，2ax =时，不等式不成立综上，][()03a ∈-∞⋃+∞，，． 点晴：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解.第二问将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向.。
2020年四川泸州高三二模数学试卷(文科)
，且
，则 的离心率是（ ）．
3
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 已知直线
与直线
，若 ，则 的值为
．
14. 若 ， 满足约束条件
，则
的最小值是
．
15. 设函数
的图象与
的图象关于直线
对称，且
，则
．
16.
的角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ， 且
，
．若 ，则 的值为
.
三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分）
由表中的数据显示， 与 之间存在着线性相关关系，请将（ ）的结果填入空白栏，根据表格中数据求
出 关于 的回归直线方程
，并估计该公司下一年投入广告费多少万元时，可使得销售收益
达到 万元？
参考公式：最小二乘法估计分别为
，
．
20. 抛物线
的焦点为 ，点 在 上，若
面积为 ．
（ 1 ） 求抛物线 的方程．
（ 2 ） 若 上的两动点 ， （ ， 在 轴异侧）满足
， ，
． ．
12. D 解析: 设双曲线右焦点为 ，连接 ， ，
y
x
∵
，
∴
，
∴四边形
为矩形，
设
，则
，
又
，
，
又在
中有
∴
，
又
，
∴在
中有
∴
，
．
故选 ．
， ，
13. 解析: ∵，
10
∴
，
∴
，
，
，
且
时，
与 都不重合，
故
．
14. 解析:
y
四川省泸县第五中学2020届高三下学期第二次月考数学(文)试题 Word版含解析
2020年春四川省泸县第五中学高三第二学月考试文科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第I 卷 选择题（60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{|||2}A x x =<，{1,0,1,2,3}B =-，则A B =A. {0,1}B. {0,1,2}C. {1,0,1}-D. {1,0,1,2}-【答案】C 【解析】 试题分析：由，得，选C.【考点】集合的交集运算.【名师点睛】1.首先要弄清构成集合的元素是什么(即元素的意义)，是数集还是点集，如集合，，三者是不同的．2.集合中的元素具有三性——确定性、互异性、无序性，特别是互异性，在判断集合中元素的个数时，以及在含参的集合运算中，常因忽略互异性而出错．3.数形结合常使集合间的运算更简捷、直观．对离散的数集间的运算或抽象集合间的运算，可借助Venn 图；对连续的数集间的运算，常利用数轴；对点集间的运算，则通过坐标平面内的图形求解，这在本质上是数形结合思想的体现和运用．4.空集是不含任何元素的集合，在未明确说明一个集合非空的情况下，要考虑集合为空集的可能．另外，不可忽略空集是任何集合的子集．2.复数12z i =-的虚部为( ) A. 2i B. 2i -C. 2D. -2【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的概念可知复数12z i =-的虚部.【详解】形如(,)a bi a R b R +∈∈的数叫做复数，a 和b 分别叫它的实部和虚部, 所以复数12z i =-的虚部为-2. 故选：D.【点睛】考查复数的概念，知识点较为基础.3.已知向量()()1,2,,4a b x ==，且a b ⊥，那么x 的值为（ ） A. 2- B. 4-C. 8-D. 16-【答案】C 【解析】·80a b x =+=，所以8x =-，故选择C.4.下面左图是某学习小组学生数学考试成绩的茎叶图，1号到16号同学的成绩依次为A 1，A 2，…，A 16，右图是统计茎叶图中成绩在一定范围内的学生人数的算法流程图，那么该算法流程图输出的结果是（ ）A. 6B. 10C. 91D. 92【答案】B 【解析】【分析】根据流程图可知该算法表示统计数学成绩中大于等于90的人数，接下来根据茎叶图找出成绩大于等于90分的人数即可得到答案.【详解】由算法流程图可知，其统计的是数学成绩大于等于90的人数， 所以由茎叶图知，数学成绩大于等于90的人数为10， 因此输出结果为10. 故选：B .【点睛】本题考查学生对茎叶图的认识和对算法流程图的认识,关键是掌握茎叶图的特点，是基础题.5.把函数sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象上各点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再将图象向右平移3π个单位，得到函数()y g x =，那么3g π⎛⎫ ⎪⎝⎭的值为（ ）A. 12-B.12C.2D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据图象变换求出()y g x =，然后代入可得3g π⎛⎫ ⎪⎝⎭的值. 【详解】把函数sin 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭图象上各点的横坐标缩短到原来的12倍，得到的函数图象对应的解析式为sin 46y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭， 再将图象向右平移3π个单位，得到7()sin 46g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以1()sin 362g ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭. 故选：B.【点睛】本题主要考查三角函数的图象变换，进行图象变换时，要关注x 的系数对结果的影响，侧重考查逻辑推理的核心素养.6.函数f (x )=2sin cos x xx x ++在[—π，π]的图像大致为A.B.C. D.【答案】D 【解析】 【分析】先判断函数的奇偶性，得()f x 是奇函数，排除A ，再注意到选项的区别，利用特殊值得正确答案．【详解】由22sin()()sin ()()cos()()cos x x x xf x f x x x x x -+----===--+-+，得()f x 是奇函数，其图象关于原点对称．又221422()1,2()2f πππππ++==>2()01f πππ=>-+．故选D ． 【点睛】本题考查函数的性质与图象，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养．采取性质法或赋值法，利用数形结合思想解题．7.已知定义在R 上的函数()2xf x x =⋅，3(log 5)a f =，31(log )2b f =-，(ln 3)c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A. c b a >>B. b c a >>C. a b c >>D.c a b >>【答案】D 【解析】 【分析】先判断函数在0x >时的单调性，可以判断出函数是奇函数，利用奇函数的性质可以得到3(log 2)b f =，比较33log 5,log 2,ln3三个数的大小，然后根据函数在0x >时的单调性，比较出三个数,,a b c 的大小.【详解】当0x >时，'()22()2ln 220xx x x f x x x f x x =⋅=⋅⇒=+⋅⋅>，函数()f x 在0x >时，是增函数.因为()22()xx f x x x f x --=-⋅=-⋅=-，所以函数()f x 是奇函数，所以有33311(log )(log )(log 2)22b f f f =-=-=，因为3log lo ln31g 20>>>>，函数()f x 在0x >时，是增函数，所以c a b >>，故本题选D.【点睛】本题考查了利用函数的单调性判断函数值大小问题，判断出函数的奇偶性、单调性是解题的关键.8.0.70.60.7log 6,6,0.7a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（ ）A. a b c >>B. c a b >>C. b a c >>D.b c a >>【答案】D 【解析】 【分析】利用指数函数和对数函数的单调性，分别比较三个数与0或1的大小，进而可得结果. 【详解】由对数函数与指数函数的单调性可得，0.700.70.7log 6log 10,661,0a b ====<0.60.7c =00.71<=，b c a ∴>>，故选D.【点睛】本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于难题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间()()(),0,0,1,1,-∞+∞ ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.9.在ABC ∆中，D 为BC 上一点，E 是AD 的中点，若BD DC λ=，13CE AB AC μ=+，则λμ+=（ ） A.13B. 13-C.76D. 76-【答案】B 【解析】 【分析】将CE 利用平面向量的加法和减法运算，转化为以CD 和CA 为基底表示出来，根据E 是AD的中点列方程，求得,λμ的值. 【详解】()1111133333CE CB CA AC CB CA CD CA λμμμ+⎛⎫⎛⎫=-+=+--=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为E 是AD 的中点， 所以1132λ+=，1132μ--=，解得15,26λμ==- ，13λμ+=-.故选B.【点睛】本题考查平面向量的线性运算和平面向量的基本定理，考查推理论证的能力.属于中档题10.设函数()cos 2sin f x x x =+，下述四个结论： ①()f x 是偶函数； ②()f x 的最小正周期为π； ③()f x 的最小值为0； ④()f x 在[]0,2π上有3个零点 其中所有正确结论的编号是（ ） A. ①② B. ①②③C. ①③④D. ②③④【答案】B 【解析】 【分析】根据函数相关知识对各选项逐个判断，即可得出其真假．【详解】因为函数f （x ）定义域为R ，而且f （﹣x ）＝cos|2x |+|sin x |＝f （x ），所以f （x ）是偶函数，①正确；因为函数y ＝cos|2x |的最小正周期为π，y ＝|sin x |的最小正周期为π，所以f （x ）的最小正周期为π，②正确；f （x ）＝cos|2x |+|sin x |＝cos2x +|sin x |＝1﹣2sin 2x +|sin x |＝﹣2（|sin x |14-）298+，而|sin x |∈[0，1]，所以当|sin x |＝1时，f （x ）的最小值为0，③正确； 由上可知f （x ）＝0可得1﹣2sin 2x +|sin x |＝0，解得|sin x |＝1或|sin x |12=-（舍去） 因此在[0，2π]上只有x 2π=或x 32π=，所以④不正确．故选：B ．【点睛】本题主要考查命题的真假判断，涉及三角函数的有关性质的应用，属于中档题． 11.四面体ABCD 的四个顶点都在球O 的表面上，AB BCD ⊥平面，BCD 是边长为3的等边三角形，若2AB =，则球O 的表面积为( ) A. 16π B.323π C. 12π D. 32π【答案】A 【解析】 【分析】先求底面外接圆直径,再求球的直径,再利用表面积2S D π=求解即可.【详解】BCD外接圆直径sin CD d CBD ===∠故球的直径平方22222216D AB d =+=+=,故外接球表面积216S D ππ== 故选A【点睛】本题主要考查侧棱垂直底面的锥体外接球表面积问题,先利用正弦定理求得底面直径d ,再利用锥体高h ,根据球直径D =求解即可.属于中等题型.12.已知抛物线21:8C y x =，圆222:(2)1C x y -+=，若点,P Q 分别在12,C C 上运动，且设点(4,0)M ，则||||PM PQ 的最小值为（ ） A.35 B.45C. 4D. -4【答案】B 【解析】 【分析】设点(),P x y ,圆222:(2)1C x y -+=圆心为()2,0N ,半径为1r =,要保证||||PM PQ 取得最小值,应PQ PN r =+,画出几何图形,结合已知,即可求得答案. 【详解】画出几何图形,如图:设点()(),,0P x y x >,圆222:(2)1C x y -+=圆心为()2,0N ,半径为1r =,要保证||||PM PQ 取得最小值 ∴ 根据图像可知应:222(2)1(2)81PQ PN r x y x x =+=-+=-+224481(2)13x x x x x =-++=+=+又22(4)PM x y =-+22816816x x x x -++=+ ∴2163PM x PQx +=+故()2222226967||16||(3)(3)x x x PM x PQ x x ++-++==++ 226762511(3)3(3)x x x x -=-=-++++令11,033t t x ⎛⎫=<≤ ⎪+⎝⎭ ∴ 222||2561||PM t t PQ =-+ 由二次函数可知:当0325t =时,22||||PM PQ 取得最小425361642525⨯-=⨯∴||||PM PQ 的最小值为:45. 故选:B.【点睛】本题考查了圆锥曲线的最值问题,解题关键是掌握圆锥曲线的基础知识和在使用换元法时,要注意引入新变量的范围,在数量关系复杂时,画出几何草图,数学结合,寻找数量关系,考查了分析能力和计算能力,属于难题.第II 卷 非选择题（90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知实数,x y 满足约束条件402200x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则2z x y=+的最大值为_______.【答案】6 【解析】 【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z 的最大值．【详解】作出实数x ，y 满足约束条件402200x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩对应的平面区域如图：（阴影部分）由2z x y =+得y ＝﹣12x +12z ，平移直线y ＝﹣12x +12z ， 由图象可知当直线y ＝﹣12x +12z 经过点A 时，直线y ＝﹣12x +12z 的截距最大，此时z 最大．由40220x y x y +-=⎧⎨-+=⎩，解得A （2，2），代入目标函数z ＝x +2y 得z ＝2×2+2＝6.故答案为：6．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用图象平行求得目标函数的最大值和最小值，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法，属于基础题．14.已知集合{}|25A x x =-≤≤，{}|121B x m x m =+<<-，若B A ⊆，则实数m 的取值范围是____． 【答案】(],3-∞ 【解析】 【分析】运用分类讨论的思想和子集的概念可得出结果.【详解】解：根据题意得：当 B =∅时，121m m +≥-，即2m ≤.当B ≠∅时，12112215m m m m +<-⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩，解得23m <≤.综上，3m ≤. 故答案：(],3-∞.【点睛】本题考查集合中子集的概念，易错点是忽略空集，属于基础题.15.已知()f x 是奇函数，且当0x <时，()e axf x =-.若(ln 2)8f =，则a =__________.【答案】-3 【解析】 【分析】当0x >时0x -<，()()axf x f x e-=--=代入条件即可得解.【详解】因为()f x 是奇函数，且当0x >时0x -<，()()axf x f x e -=--=．又因为ln 2(0,1)∈，(ln 2)8f =，所以ln 28a e -=，两边取以e 为底的对数得ln 23ln 2a -=，所以3a -=，即3a =-． 【点睛】本题主要考查函数奇偶性，对数的计算．渗透了数学运算、直观想象素养．使用转化思想得出答案．16.已知数列{}n a 满足123...2(n n a a a a n a n ++++=-∈N *)，()222n n nb a -=-,则数列{}n b 中最大项的值是__________．【答案】18【解析】【详解】依题意有2n n S n a =-，当1n =时，1a 为1，当2n ≥时，112n n n n n a S S a a --=-=-+，即1112n n a a -=+，也即()11222n n a a --=-，所以1122n n a -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，1122n n a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以22n nn b -=，12311,0,28b b b =-==，当3n >时，3n b b ≤，所以最大项为18. 点睛：本题主要考查数列已知n S 求n a 的方法，考查递推数列求通项的配凑法，考查数列的最大项的求解方法.首先根据题目所给n S 与n a 的关系，利用1n n n a S S -=-，然后利用配凑成等比数列的方法，求出n a 的通项公式，代入n b 后先求得前几项的值，然后利用函数的单调性来解决最值问题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.某餐厅通过查阅了最近5次食品交易会参会人数x （万人）与餐厅所用原材料数量y （袋），到如下统计表：（1）根据所给5组数据，求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆy bxa =+；（2）已知购买原材料的费用C （元）与数量t （袋）关系为()()40020,036380,36t t t N C t t t N ⎧-<<∈⎪=⎨≥∈⎪⎩，投入使用的每袋原材料相应的销售收入为700元，多余的原材料只能无偿返还，据悉本次交易大会大约有15万人参加.根据（1）中求出的线性回归方程，预测餐厅应购买多少袋原材料，才能获得最大利润，最大利润是多少？（注：利润L =销售收入-原材料费用）..参考公式：()()()^1111212nniii ii i n n i i i i x x yy x yb x x x nxynx====--==---∑∑∑∑，ˆˆay bx =-. 参考数据：511343i ii x y==∑，521558i i x ==∑，5213237i i y ==∑.【答案】(1) 2.51y x =-.（2）餐厅应该购买36袋原材料，才能使利润获得最大，最大利润为11520元. 【解析】【详解】试题分析：（1）根据公式求出b ，再将样本中心代入求出a ，进而得到回归方程；（2）40020,036,380,36,t t t N C t t t N -<<∈⎧=⎨≥∈⎩，利润为赚的钱减去花出去的钱，根据分段函数的表达式，分段列出利润表达式，分别讨论利润的最值，最终取分段函数中较大的利润值. 解析：(1)由所给数据可得：1398101210.45x ++++==，3223182428255y ++++==，515222151343510.425 2.5558510.45ˆi i i i i x y xy b x x ==--⨯⨯===-⨯-∑∑，25 2.510.41ˆˆa y bx =-=-⨯=-， 则y 关于x 的线性回归方程为 2.51ˆˆyx =-. (2)由(1)中求出的线性回归方程知，当15x =时，36.5y =，即预计需要原材料36.5袋，因为40020,036,380,36,t t t NC t t t N -<<∈⎧=⎨≥∈⎩，所以当36t <时，利润()7004002030020L t t t =--=+， 当35t =时，max 300352010480L =⨯-=；当36t ≥时，利润700380320L t t t =-=， 当36t =时，700363803611520L =⨯-⨯=， 当37t =时，70036.53803711416L =⨯-⨯=．综上所述，餐厅应该购买36袋原材料，才能使利润获得最大，最大利润为11520元. 18.如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是矩形，1A D 与1AD 交于点E ，124AA AD AB ===．（1）证明：AE ⊥平面ECD ．（2）求直线1A C 与平面EAC 所成角的正弦值．【答案】(1)见解析6【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理，先证明CD ⊥平面11AA D D ，得到CD AE ⊥，进而可证明结论成立；（2）以A 为坐标原点建立空间直角坐标系A xyz -，求出直线1A C 的方向向量、平面EAC 的一个法向量，求两向量夹角的余弦值，即可得出结果.【详解】（1）证明：因为四棱柱1111ABCD A B C D -是直四棱柱，所以1AA ⊥平面ABCD ，则1AA CD ⊥ . 又CD AD ⊥，1AA AD A =，所以CD ⊥平面11AA D D ，所以CD AE ⊥.因为1AA AD ⊥，1AA AD =，所以11AA D D 是正方形，所以AE ED ⊥. 又CDED D =，所以AE ⊥平面ECD .（2）因为四棱柱1111ABCD A B C D -是直四棱柱，底面ABCD 是矩形，所以以A 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，则()()10,0,0,0,0,4A A ,()()2,4,0,0,2,2C E ，()2,4,0AC = , ()0,2,2AE = ,()12,4,4AC =- 设平面EAC 的法向量为(),,n x y z =由n AC ⊥，n AE ⊥，可得240,220x y y z +=+=， 令1z =，则()2,1,1n =-，设直线1A C 与平面EAC 所成的角为α， 则116sin 9A C n A C nα⋅==. 所以直线1A C 与平面EAC 所成角的正弦值为6.【点睛】本题主要考查线面垂直的判定、以及求线面角的问题，熟记线面垂直的判定定理、灵活运用空间向量的方法求空间角即可，属于常考题型. 19.ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 23)cos 2B AC +=. （1）求sin B ；（2）若ABC 的周长为8，求ABC 的面积的取值范围.【答案】⎛ ⎝⎦【解析】 【分析】（1）利用三角形内角和定理即二倍角公式化简已知等式，结合B 的范围即可得到结果． （2）利用三角形的面积求出ac ，利用余弦定理结合基本不等式求出ac 的范围，即可得面积的范围． 【详解】（1）23sin()cos 2BA C +=且sin()sin A C B +=22sin cos cos 222B B BB ==， 又022B π<<，sin 0cos 222B BB∴>=tansin 2263B B B B ππ∴==∴=∴=（2）由题意知：8()b a c =-+2226416()21cos 222a c b a c ac B ac ac +--++-∴===36416()64ac a c ∴=-++≥-+36408)0ac ∴-≥∴≥83≤8≥（舍）649ac ∴≤1sin 2ABC S ac B ∆∴==≤a c =时取“=”）综上，ABC 的面积的取值范围为⎛ ⎝⎦【点睛】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，余弦定理，三角形面积公式，二倍角公式的应用，考查了计算能力，属于中档题．20.已知ABC ∆的两个顶点,A B 的坐标分别为()2,0-，()2,0，且,CA CB 所在直线的斜率之积等于34-，记顶点C 的轨迹为Γ. （Ⅰ）求顶点C 的轨迹Γ的方程；（Ⅱ）若直线:l y kx m =+与曲线Γ交于,M N 两点，点P 在曲线Γ上，且O 为PMN ∆的重心（O 为坐标原点），求证：PMN ∆的面积为定值，并求出该定值.【答案】（Ⅰ）()221243x y x +=≠±（Ⅱ）证明见解析，定值为92.【解析】 【分析】（Ⅰ）设(),C x y ，根据题意列方程即可求解.（Ⅱ）设()11,M x y ，()22,N x y ，()33,P x y ，由O 为PMN ∆的重心，可得0OP MO NO ++=，从而1230x x x ++=，1230y y y ++=，将直线与椭圆方程联立整理利用韦达定理求出点P 坐标，代入椭圆方程可得22443m k =+，再利用弦长公式以及三角形的面积公式即可求解. 【详解】（Ⅰ）设(),C x y ，因为点A 的坐标为()2,0-，所以直线AC 的斜率为()22AC yk x x =≠-+ 同理，直线BC 的斜率为()22BC yk x x =≠- 由题设条件可得，()32224y y x x x ⋅=-≠±+-. 化简整理得，顶点C 的轨迹Γ的方程为：()221243x y x +=≠±.（Ⅱ）设()11,M x y ，()22,N x y ，()33,P x y ， 因为O 为PMN ∆的重心，所以0OP MO NO ++=， 所以1230x x x ++=，1230y y y ++=，由22143y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2224384120k x kmx m +++-=，()()()2222264443412484320k m k m k m ∆=-+-=+-> 122843kmx x k -+=+，()121226243m y y k x x m k +=++=+， 32843km x k =+，32643m y k =-+，∴2286,4343kmm P k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭， 又点P 在椭圆上，所以()()2222222161214343k m m kk+=++，∴22443m k =+，因为O 为PMN ∆的重心，所以PMN ∆是OMN ∆的3倍，21MN x =-=，原点O 到直线MN的距离为d =12OMNS MN d ∆=⋅=32==. 所以932PMN OMN S S ∆∆==， 所以，PMN ∆的面积为定值，该定值为92. 【点睛】本题考查了直接法求曲线的轨迹方程、直线与椭圆的位置关系，考查了学生的计算能力，属于中档题.21.已知a 为常数，a R ∈，函数2()ln f x x ax x =+-，()xg x e =（其中e 是自然对数的底数）.（1）过坐标原点O 作曲线()y f x =切线，设切点为00(,)P x y ，求证：01x =；（2）令()()()f x F xg x =，若函数()F x 在区间(0,1]上是单调函数，求a 的取值范围． 【答案】(1) 01x =;(2) 2a ≤.【解析】试题分析：（1）先对函数求导，()12f x x a x'=+-，可得切线的斜率20000x ax lnx k x +-=，即200ln 10x x +-=，由01x =是方程的解，且2ln 1y x x =+-在∞（0，+）上是增函数，可证；（2）由()()()2xf x x ax lnx F xg x e +-==，()()212'xx a x a lnx x F x e -+-+-+=，先研究函数()()212ln h x x a x a x x =-+-+-+，则()211'22h x x a x x=-+++-，由()h x '在(]0,1上是减函数，可得()()12h x h a ''≥=-，通过研究2a -的正负可判断()h x 的单调性，进而可得函数()F x 的单调性，可求出参数范围. 试题解析：（1）()1'2f x x a x=+-（0x >）， 所以切线的斜率2000000ln 12x ax x k x a x x +-=+-=， 整理得200ln 10x x +-=，显然，01x =是这个方程的解，又因为2ln 1y x x =+-在()0,+∞上是增函数，所以方程2ln 10x x +-=有唯一实数解， 故01x =．（2）()()()2ln xf x x ax x F xg x e+-==，()()212ln 'xx a x a x x F x e -+-+-+=， 设()()212ln h x x a x a x x =-+-+-+，则()211'22h x x a x x=-+++-，易知()'h x 在(]0,1上是减函数，从而()()''12h x h a ≥=-．①当20a -≥，即2a ≤时，()'0h x ≥，()h x 在区间()0,1上是增函数， ∵()10h =，∴()0h x ≤在(]0,1上恒成立，即()'0F x ≤在(]0,1上恒成立． ∴()F x 在区间(]0,1上是减函数，所以2a ≤满足题意． ②当20a -<，即2a >时，设函数()'h x 的唯一零点为0x ，则()h x 在()00,x 上递增，在()0,1x 上递减， 又∵()10h =，∴()00h x >， 又∵()()22ln 0aaa a a h eea e a e e ----=-+-+-+<，∴()h x 在()0,1内有唯一一个零点'x ，当()0,'x x ∈时，()0h x <，当()',1x x ∈时，()0h x >.从而()F x 在()0,'x 递减，在()',1x 递增，与在区间(]0,1上是单调函数矛盾. ∴2a >不合题意．综上①②得，2a ≤．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22.已知曲线1C 的参数方程为1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为ρθ=.（1）写出曲线1C 的极坐标方程，并求出曲线1C 与2C 公共弦所在直线的极坐标方程；（2）若射线02πθφφ=<<（）与曲线1C 交于,O A 两点，与曲线2C 交于,O B 点，且||2AB =，求tan φ的值.【答案】（1）曲线1C 的极坐标方程为2cos ρθ=，公共弦所在直线的极坐标方程6R πθρ=∈（）（2）tan φ=【解析】 【分析】（1）先得到C 1的一般方程，再由极坐标与直角坐标的互化公式得到极坐标方程，将ρθ=，2cos ρθ=联立，得到公共弦所在直线的极坐标方程；（2）先求得|OA |，|OB |，可得||2AB ==|OA |-|OB |，化简可得到3πφ=.【详解】（1）曲线1C 的直角坐标方程为2211x y -+=（），将极坐标与直角坐标的互化公式：cos ,sin x y ρθρθ==代入2211x y -+=（），可得曲线1C 的极坐标方程为2cos ρθ=.联立ρθ=与2cos ρθ=，得tan 3θ=∴曲线1C 与2C 公共弦所在直线的极坐标方程6R πθρ=∈（）,（或6πθ=和76θπ=）（2）把0θφφπ=<<（），代入ρθ=，2cos ρθ=，得||2cos OA φ=；||OB φ=又||2AB =，则2cos φφ-=2，可得1sin62663ππππφφ-=-∈-（），（，）所以3πφ=，tan φ=【点睛】本题考查了参数方程化为普通方程的方法，以及极坐标中极径的几何意义，极径代表的是曲线上的点到极点的距离，在参数方程和极坐标方程中，能表示距离的量一个是极径，一个是t 的几何意义，其中极径多数用于过极点的曲线，而t 的应用更广泛一些，是中档题． [选修4-5：不等式选讲]23.已知函数()2f x x =.（1）求不等式()1f x >的解集；（2）若正数a ，b ，c 满足14923a b c f ⎛⎫++=+ ⎪⎝⎭，求149a b c++的最小值. 【答案】（1）11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭（2）1963【解析】 【分析】(1)由题意零点分段求解绝对值不等式即可；(2)由题意结合题中所给的式子的特点利用柯西不等式求解其最值即可. 【详解】（1）化简得()221f x x x =-->.①当0x ≤时，()()222f x x x x =---=+，由()1f x >，即21x +>，解得1x >-，又0x ≤，所以10x -<≤；②当02x <<时，()23f x x =-，由()1f x >，即231x ->， 解得13x <，又02x <<，所以103x <<； ③当2x ≥时，()2f x x =--不满足()1f x >，此时不等式无解；综上，不等式()1f x >的解集为：11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭. （2）由于111221333f ⎛⎫=--⨯= ⎪⎝⎭，故149233a b c f ⎛⎫++=+= ⎪⎝⎭， ∴()1491149493a b c a b c a b c ⎛⎫++=++++ ⎪⎝⎭， ∵,,0a b c >，∴由柯西不等式：上式((22222213⎡⎤⎛⎛⎡⎤⎢⎥=++⋅++ ⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎝⎝⎣⎦((213⎡≥⨯⨯⎢⎣()2119614933=++=. 当且仅当314a b c ===时，等号成立. 所以149a b c ++的最小值为1963. 【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法，柯西不等式求最值的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.。
四川省泸县第二中学2020届高考下学期第二次适应性考试试题 数学(文)【含答案】
四川省泸县第二中学2020届高考下学期第二次适应性考试试题数学（文）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若复数31iz i =+，则复数z 的虚部为 A ．12B ．12i C ．12-D ．12i -2．采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…，960，分组后某组抽到的号码为41.抽到的32人中，编号落入区间[401,731]的人数为 A ．10B ．11C ．12D ．133．有一散点图如图所示，在5个(,)x y 数据中去掉(3,10)D 后，下列说法正确的是A ．残差平方和变小B ．相关系数r 变小C ．相关指数2R 变小D ．解释变量x 与预报变量y 的相关性变弱4．等比数列{}n a 的前项和为n S ，若1,3,2,S S S 成等差数列，则{}n a 的公比q 等于 A ．1B ．12C ．-12D ．25．函数()2ln xf x x x=-的图象大致为 A ．B ．C ．D ．6．已知2a =，2b =，且()b a b ⊥-，则向量a 在b 方向上的投影为A ．1B 2C ．2D ．227．已知0>ω，函数()sin()4f x x πω=+在(,)2ππ上单调递减，则ω的取值范围是A ．15[,]24B ．13[,]24C ．1(0,]2D ．(0,2]8．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是 A ．若αβ⊥，m α⊂，n β⊂，则m n ⊥ B ．若//αβ，m α⊂，n β⊂，则//m n C ．若m n ⊥，m α⊂，n β⊂，则αβ⊥D ．若m α⊥，//m n ，//n β，则αβ⊥9．在ABC 中，()3sin sin 2B C A -+=,AC 3AB =，则角C = A ．2π B ． 3πC ． 6π或3πD ．6π10．函数()cos2xf x π=与()g x kx k =-在[]6,8-上最多有n 个交点，交点分别为(),x y （1i =，……，n ），则()1ni i i x y =+=∑A ．7B ．8C ．9D ．1011．已知不等式1ln a x x a x x e ++≥对()1,x ∈+∞恒成立，则实数a 的最小值为 A ．e -B ．e 2- C ．e - D ．2e -12．已知双曲线221221(0,0)x y C a b a b：-=>>的一个焦点F 与抛物线22:2(0)C y px p =>的焦点相同，1C 与2C 交于A ，B 两点，且直线AB 过点F ，则双曲线1C 的离心率为 A 2B 3C ．2D 21第II 卷 非选择题（90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
四川省泸县2020届高三下学期第二次高考适应性考试数学(文)试卷
文科数学第I 卷选择题（60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设全集为，集合，，则A ．B ．C ．D ．2．已知复数的实部和虚部相等，且()()23z i bi b R +=-∈，则z =A ．32B ．22C ．3D ．3．如图是国家统计局于2020年1月9日发布的2018年12月到2019年12月全国居民消费价格的涨跌幅情况折线图.（注：同比是指本期与同期作对比；环比是指本期与上期作对比.如：2019年2月与2018年2月相比较称同比，2019年2月与2019年1月相比较称环比）根据该折线图，下列结论错误的是A ．2019年12月份，全国居民消费价格环比持平B ．2018年12月至2019年12月全国居民消费价格环比均上涨C ．2018年12月至2019年12月全国居民消费价格同比均上涨D ．2018年11月的全国居民消费价格高于2017年12月的全国居民消费价格4．若变量，满足约束条件310260x y x y x y +≥⎧⎪-+≤⎨⎪+-≤⎩，则目标函数2z x y =-的最小值是A ．3-B ．0C ．13D ．1035．函数225()2xx xf x e +=的大致图像是A ．B ．C ．D ．6．已知{}n a 为等差数列，135246105,99a a a a a a ++=++=，则20a 等于A ．1-B ．1C ．3D ．77．已知35sin(),(,)4524πππαα-=∈，则sin =α A ．7210 B ．210-C ．210±D ．210-或72108．已知函数()sin()(0,0)f x x ωϕωπϕ=+>-<<的最小正周期是，将函数()f x 的图象向左平移3π个单位长度后所得的函数图象过点(0,1)P ，则下列结论中正确的是 A ．()f x 的最大值为B ．()f x 在区间ππ(,)63-上单调递增 C ．()f x 的图像关于直线12x π=对称D ．()f x 的图像关于点(,0)3π对称9．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是 A ．2025+B ．1445+C ．26D ．1225+10．已知函数()lg f x x =.若a b ≠且，()()f a f b =，则+a b 的取值范围是 A ．(1,)+∞B ．[1,)+∞C ．(2,)+∞D ．[2,)+∞11．设抛物线22y px =(0p >)的焦点为,准线为l ,过焦点的直线分别交抛物线于,A B 两点,分别过,A B 作l 的垂线,垂足为,C D .若3AF BF =,且三角形CDF 的面积为3,则的值为 A ．23B ．3 C ．6 D ．2612．已知为自然对数的底数，若对任意的1,1e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，总存在唯一的(0,)y ∈+∞，使得ln ln 1y yx x a y+++=成立，则实数的取值范围是 A ．(),0-∞B ．(],0-∞C ．2,e e ⎛⎤⎥⎝⎦D ．(],1-∞-第II 卷非选择题（90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
解析】四川省泸县第四中学2020届高三下学期第二次高考适应性考试数学(文)试题
解得：tanx＝﹣3，
所以：cosxcos（x ）＝﹣sinxcosx= = ，
故选A．
【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，诱导公式,同角三角函数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．
7.已知 类产品共两件 ， 类产品共三件 ，混放在一起，现需要通过检测将其区分开来，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件 类产品或者检测出3件 类产品时，检测结束，则第一次检测出 类产品，第二次检测出 类产品的概率为（ ）
【详解】由题意，可得 ，
令 ， ，即 ，
则 ，
当 时， ，当 时， ，
即 在 为增函数，在 为减函数，
又 ， ， ，
故函数的值域为： ．
【点睛】本题主要考查了三角函数的最值，以及利用导数研究函数的单调性与最值，其中解答中合理利用换元法得到函数 ，再利用导数求解函数的单调性与最值是解答的关键，着重考查了推理与预算能力，属于基础题．
【详解】由题意 ，∴2a q2=a q+a ，∴2q2=q+1，∴q=1或q=
故选D．
【点睛】本题考查等差等比数列的综合，利用等差数列的性质建立方程求q是解题的关键，对于等比数列的通项公式也要熟练．
6.若 则 ( )
A. B. C. D.
【★答案★】A
【解析】
分析】
直接利用三角函数的诱导公式和同角三角函数关系式的应用求出结果．
【详解】方体的长、宽、高分别为 ,其顶点都在一个球面上,长方体的对角线的
长就是外接球的直径，所以球直径为： ，
所以球的半径为 ，所以球的表面积是 ，故选B
9.过抛物线y2=4x的焦点的直线l与抛物线交于A，B两点，设点M（3，0）.若△MAB的面积为 ，则|AB|=( )
泸县第五中学2020届高三数学下学期第二次月考试题理含解析
8。 ，则 的大小关系为( ）
A. B. C. D。
【答案】D
【解析】
【分析】
利用指数函数和对数函数的单调性，分别比较三个数与0或1的大小,进而可得结果。
【详解】由对数函数与指数函数的单调性可得,
，
，故选D。
故选：D。
【点睛】考查复数的概念,知识点较为基础。
3。已知向量 ，且 ,那么 的值为（ ）
A. B。 C. D.
【答案】C
【解析】
，所以 ，故选择C。
4。下面左图是某学习小组学生数学考试成绩的茎叶图，1号到16号同学的成绩依次为A1，A2，…,A16，右图是统计茎叶图中成绩在一定范围内的学生人数的算法流程图，那么该算法流程图输出的结果是（ ）
第II卷 非选择题（90分）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分,共20分。
13.已知实数 满足约束条件 ，则 的最大值为_______.
【答案】6
【解析】
【分析】
作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．
【详解】作出实数x，y满足约束条件 对应的平面区域如图:（阴影部分）
15。2019年11月5日，第二届中国国际进口博览会在国家会展中心（上海）开幕,共有155个国家和地区,26个国际组织参加。现有甲、乙、丙、丁、戊、己六家企业参加某主题展览活动,每个企业一个展位.在排成一排的6个展位中，甲、乙、丙三个企业两两互不相邻的排法有________ 种.
【答案】144
【解析】
(2）将同学乙的成绩的频率分布直方图补充完整;
（3)现从甲乙两位同学的不低于140分的成绩中任意选出2个成绩，设选出的2个成绩中含甲的成绩的个数为 ，求 的分布列及数学期望.
2020届高三数学下学期第二次月考试题文(含解析)_1
2020届高三数学下学期第二次月考试题文（含解析）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第I卷选择题（60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，则A. B. C. D.【答案】B【解析】,选B.【考点】集合的运算【名师点睛】集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图进行处理.2.已知复数满足，则（）A. B. 5 C. D.【答案】C【解析】【分析】先由复数除法求出，然后再求模．【详解】由题意，∴．故选：C．【点睛】本题考查求复数的模，考查复数的除法运算．属于基础题．本题还可以由模的性质求解：由得，，，．3.已知命题，，则为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】试题分析：根据全称命题与存在性命题的关系，可知命题，，则为“”故选D．考点：命题的否定．4.等差数列的前项和为，若，，则等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据成等差数列列方程组，解方程求得的值.【详解】由于是等差数列，故成等差数列，所以，即，解得.故选B.【点睛】本小题主要考查等差数列前项和的性质，考查方程的思想，属于基础题.5.在中，D为边BC上的一点，且，则( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】D为边BC上的一点，且，D是四等分点，结合，最后得到答案．【详解】∵D为边BC上的一点，且，∴D是四等分点，，故选：B．【点睛】本题考查了向量的线性运算及平面向量基本定理的应用，属于基础题.6.已知，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由三角函数的诱导公式求得，再由余弦的倍角公式，即可求解.【详解】由三角函数的诱导公式，可得，即，又由.【点睛】本题主要考查了三角函数的化简求值问题，其中解答中熟练应用三角函数的诱导公式和余弦的倍角公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.7.“，”为真命题的充分必要条件是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用参变量分离法得出，求出函数在区间上的最小值，即可得出实数的取值范围，即可得出答案.【详解】“，”为真命题，对任意的恒成立，由于函数在区间上单调递增，则，.故选：A.【点睛】本题考查利用全称命题的真假求参数的取值范围，灵活利用参变量分离法求解是解题的关键，考查运算求解能力，属于中等题.8.中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴. 一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的面积为，圆面中剩余部分的面积为，当与的比值为时，扇面看上去形状较为美观，那么此时扇形的圆心角的弧度数为( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据扇形与圆面积公式，可知面积比即为圆心角之比，再根据圆心角和的关系，求解出扇形的圆心角.【详解】与所在扇形圆心角的比即为它们的面积比，设与所在扇形圆心角分别为，则，又，解得【点睛】本题考查圆与扇形的面积计算，难度较易.扇形的面积公式：，其中是扇形圆心角的弧度数，是扇形的弧长.9.已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先推导出函数的周期为，可得出，然后利用函数的奇偶性结合函数的解析式可计算出结果.【详解】函数是上的奇函数，且，，，所以，函数的周期为，则.故选：C.【点睛】本题考查利用函数的奇偶性和周期求函数值，解题的关键就是推导出函数的周期，考查计算能力，属于中等题. 10.已知抛物线：的准线与圆：相切，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先由抛物线方程得到准线方程，再由准线与圆相切，即可得出结果.【详解】因为抛物线的准线为，又准线与圆相切，所以，则.故选D【点睛】本题考查抛物线与圆的几何性质，熟记抛物线与圆的性质即可，属于常考题型.11.三棱锥四个顶点均在同一球面上，正面，，则该球体积（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意把三棱锥扩展为三棱柱，求出上下底面中心连线的中点与的距离为球的半径，然后求出球的体积.【详解】由题意画出几何体的图形如图，把三棱锥扩展为三棱柱，上下底面中心连线的中点与的距离为球的半径，，，是正三角形，∴，∴，∴，∴，故选：D．【点睛】本题考查球的内接体与球的关系，考查空间想象能力，利用割补法结合球内接多面体的几何特征求出球的半径是解题的关键.12.已知双曲线的左、右焦点分别为，若双曲线的左支上存在一点，使得与双曲线的一条渐近线垂直于点，且，则此双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用与双曲线的一条渐近线垂直于点可求出的坐标，再利用求出的坐标（用表示），将的坐标代入双曲线的方程后可求离心率.详解】双曲线的渐近线为，取一条渐近线为，则直线，由得，故.因为，故，从而，所以，将的坐标代入双曲线的方程可以得到：，化简可得，所以，故选D.【点睛】圆锥曲线中的离心率的计算，关键是利用题设条件构建关于的一个等式关系．而离心率的取值范围，则需要利用坐标的范围、几何量的范围或点的位置关系构建关于的不等式或不等式组．第II卷非选择题（90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若变量，满足约束条件，则的最大值是______.【答案】9【解析】做出可行域，根据可行域的图像特征，即可求出线性目标函数的最大值.【详解】做出可行域如下图所示：当目标函数过点时，取最大值为.故答案为:9【点睛】本题考查二元一次不等式组表示平面区域，考查线性目标函数的最值，考查数形结合思想，属于基础题.14.如图，在中，，点，分别为的中点，若，，则______.【答案】【解析】根据为直角三角形，利用勾股定理可求出，以及．以为基底，表示出，由数量积的运算即可求出的值．【详解】因为，所以，．而点，分别为的中点，所以为的重心，即有．．故答案为：．【点睛】本题主要考查数量积的运算和三角形重心性质的应用，解题关键是选择合适的基底，意在考查学生的数学运算能力，属于中档题．15.已知函数，对任意，且，都有，则实数的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】根据函数解析式可知函数为偶函数.由不等式可知函数在为单调递增函数.即可根据函数单调性求得导函数,令导函数大于0.即可分离参数,构造函数,并利用导函数求得最值,进而求得的取值范围.【详解】函数,由解析式可知函数为偶函数由不等式可知函数在为单调递增函数所以当时,所以即令则令,解得当时, ,则在时单调递减当时, ,则在时单调递增所以当时,取得最小值,即所以同理可求得当时,综上可知,的取值范围为故答案为:【点睛】本题考查了函数单调性与偶函数综合应用,导数与单调性的关系,分离参数法与构造函数法求参数的取值范围,属于中档题.16.为椭圆上异于顶点的任意一点，过作直线、分别与圆相切于、两点，则直线与两坐标轴围成的三角形面积最小值为___________.【答案】【解析】【分析】设为椭圆上的点，则，由基本不等式可得，再求出以OP为直径的圆的方程，和已知圆的方程作差求出两圆公共弦的方程，求出直线与坐标轴的交点，结合三角形面积公式即可得结果.【详解】设为椭圆上的点，则，∴，即，当且仅当时等号成立，以OP为直径的圆的方程为，整理得：①又圆②②-①得，直线的方程为，取，得；取，得，∴直线与两坐标轴围成的三角形面积，即三角形面积的最小值为，故答案为：.【点睛】本题主要考查了圆的方程的求法，两圆相交公共弦所在的直线方程，关键是求出过点与圆相切的两切线切点的直线AB的方程，是中档题．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.在平面四边形中，已知，，．（1）若，求的面积；（2）若，，求的长．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）在中，由余弦定理，求得,进而利用三角形的面积公式，即可求解；（2）利用三角函数的诱导公式化和恒等变换的公式，求解，再在中，利用正弦定理和余弦定理，即可求解.【详解】（1）在中，即,解得.所以.（2）因为,所以，,.在中，, .所以.【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.18.到2020年，我国将全面建立起新的高考制度，新高考采用模式，其中语文、数学、英语三科为必考科目，满分各150分，另外考生还要依据想考取的高校及专业的要求，结合自己的兴趣、爱好等因素，在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6门科目中自选3门（6选3）参加考试，满分各100分.为了顺利迎接新高考改革，某学校采用分层抽样的方法从高一年级1000名（其中男生550名，女生450名）学生中抽取了名学生进行调查.（1）已知抽取的名学生中有女生45名，求的值及抽取的男生的人数.（2）该校计划在高一上学期开设选修中的“物理”和“地理”两个科目，为了解学生对这两个科目的选课情况，对在（1）的条件下抽取到的名学生进行问卷调查（假定每名学生在这两个科目中必须选择一个科目，且只能选择一个科目），得到如下列联表.（i）请将列联表补充完整，并判断是否有以上的把握认为选择科目与性别有关系.（ii）在抽取的选择“地理”的学生中按性别分层抽样抽取6名，再从这6名学生中抽取2名，求这2名中至少有1名男生的概率.附：，其中.0053.841【答案】(1) ，55人 (2) （i）见解析；（ii）【解析】【分析】（1）根据题意可得求解即可得出的值，进而可得抽取的男生人数；（2）（i）根据题中数据先完善列联表，再由题中公式，求出的值，结合临界值表即可的结果；（ii）先由题易知抽取的选择“地理”的6名学生中，有2名男生，分别记为，，4名女生，分别记为，，，；用列举法分别列举出“6名学生中随机抽取2名”和“其中至少有1名男生”所包含的基本事件，基本事件个数比即是所求概率.【详解】解：（1）由题意得，解得，则抽取的男生的人数为.（2）（i）则，所以有以上的把握认为送择科目与性别有关系.（ii）由题易知抽取的选择“地理”的6名学生中，有2名男生，分别记为，，4名女生，分别记为，，，.从6名学生中随机抽取2名，有，，，，，，，，，，，，，，共15种情况，其中至少有1名男生的有，，，，，，，，共9种情况，故所求概率为.【点睛】本题主要考查分层抽样、独立性检验以及古典概型的问题，需要考生熟记分层抽样特征、独立性检验的思想、以及古典概型的计算公式，属于常考题型.19.如图所示，四棱锥中，底面，，，，为线段上一点，，.（1）证明：平面；（2）求四面体的体积.【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）想要证明线面平行，就要证线线平行．取的中点，可以证明，进一步可以证明，这样根据平行四边形的性质可以得到线线平行，命题得证；（2）根据平面，为的中点，可以求出到平面的距离，利用等积法可以求出四面体的体积．【详解】解：（1）证明：由已知得如图，取的中点，连接，，由为中点知，.又，故，∴，又∵平面，从而证得平面；（2）因为平面，为的中点，所以到平面的距离为，如图，取的中点，连接.由得，则.故.所以四面体的体积.【点睛】本题考查了线面平行的判定，一般取中点是常见的方法．同时本题也考查了利用等积法求三棱锥的体积．20.设是曲线上两点，两点的横坐标之和为4，直线的斜率为2.（1）求曲线的方程；（2）设是曲线上一点，曲线在点处的切线与直线平行，且，试求三角形的面积.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由题意设出直线方程,并设.联立直线与抛物线方程,用韦达定理求得,即可得曲线的方程;（2）将曲线C的方程变形,求得导函数.根据题意可求得切点M的坐标.联立直线与抛物线,结合韦达定理可得.结合直线方程可表示出.利用平面向量数量积定义,表示出.根据即可得.所以可得直线方程.结合弦长公式即可求得,利用点到直线距离公式可得点到直线的距离,进而求得三角形的面积.【详解】（1）设直线方程为：则,则,所以即曲线C的方程为；（2）设,曲线,变形可得,则曲线在点处的切线与直线平行可得：,所以,,化简可得则,,,即∴直线方程为：弦长,高为点到直线的距离,所以【点睛】本题考查了抛物线方程的几何性质,直线与抛物线的综合应用,平面向量数量积的定义,点到直线距离公式的应用,综合性较强,属于难题.21.已知函数．（1）若，证明：．（2）若函数在处有极大值，求实数的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）求出导函数，，讨论单调性得最值，即可证明；（2）分析极大值点左右两侧导数值的符号，分类讨论即可得解.【详解】（1）若，，，由得，由由得，所以在单调递减，在单调递增，所以恒成立；（2），，，，函数在处有极大值，即，处左正右负，且在处连续，必存在，，必有，，，记，若恒成立，则在定义域单调递增，，不合题意，舍去；若，在上单调递增，即，不合题意，舍去；当单调递增，，必存在，使得当时，，此时在单调递减，必有，，，即函数在递增，在递减，即函数在处有极大值，综上所述：【点睛】此题考查利用导函数证明不等式，通过导函数讨论单调性分析函数极值最值问题，涉及分类讨论，第二问若能利用极大值点二阶导性质分析，只需解一个不等式即可得解，可以减少计算量，但是需要再去证明.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.在直角坐标系中，直线（为参数）与曲线（为参数）相交于不同的两点，.（1）当时，求直线与曲线的普通方程；（2）若，其中，求直线的倾斜角.【答案】(1) ；；(2) 或【解析】【分析】（1）直接化曲线C的参数方程为普通方程，将α代入l的参数方程，再化为普通方程.（2）将l的参数方程代入C的普通方程，利用此时t的几何意义及根与系数的关系得|MA|•|MB|，,然后求得tanα即可．【详解】（1）当时直线的普通方程为：；曲线的普通方程为；（2）将直线代入得所以直线的倾斜角为或【点睛】本题考查参数方程化普通方程，考查直线方程中此时t的几何意义的应用，是中档题．23.已知函数，.（1）若不等式对恒成立，求实数的取值范围.（2）设实数为（1）中的最大值，若实数、、满足，求的最小值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由题意得出，利用绝对值三角不等式可得出，解出即可；（2）由题意得出，然后利用柯西不等式可求出的最小值.【详解】（1）因为对恒成立，则，由绝对值三角不等式可得，即，解得.故实数的取值范围是；（2）由题意，故，由柯西不等式知，，所以，当且仅当时等号成立从而，最小值为，当且仅当，，时等号成立.【点睛】本题考查绝对值不等式恒成立问题，同时也考查了利用柯西不等式求最值，涉及绝对值三角不等式的应用，考查运算求解能力，属于中等题.2020届高三数学下学期第二次月考试题文（含解析）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第I卷选择题（60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，则A. B. C. D.【答案】B【解析】,选B.【考点】集合的运算【名师点睛】集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图进行处理.2.已知复数满足，则（）A. B. 5 C. D.【答案】C【解析】【分析】先由复数除法求出，然后再求模．【详解】由题意，∴．故选：C．【点睛】本题考查求复数的模，考查复数的除法运算．属于基础题．本题还可以由模的性质求解：由得，，，．3.已知命题，，则为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】试题分析：根据全称命题与存在性命题的关系，可知命题，，则为“”故选D．考点：命题的否定．4.等差数列的前项和为，若，，则等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据成等差数列列方程组，解方程求得的值.【详解】由于是等差数列，故成等差数列，所以，即，解得.故选B.【点睛】本小题主要考查等差数列前项和的性质，考查方程的思想，属于基础题.5.在中，D为边BC上的一点，且，则( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】D为边BC上的一点，且，D是四等分点，结合，最后得到答案．【详解】∵D为边BC上的一点，且，∴D是四等分点，，故选：B．【点睛】本题考查了向量的线性运算及平面向量基本定理的应用，属于基础题.6.已知，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由三角函数的诱导公式求得，再由余弦的倍角公式，即可求解.【详解】由三角函数的诱导公式，可得，即，又由.【点睛】本题主要考查了三角函数的化简求值问题，其中解答中熟练应用三角函数的诱导公式和余弦的倍角公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.7.“，”为真命题的充分必要条件是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用参变量分离法得出，求出函数在区间上的最小值，即可得出实数的取值范围，即可得出答案.【详解】“，”为真命题，对任意的恒成立，由于函数在区间上单调递增，则，.故选：A.【点睛】本题考查利用全称命题的真假求参数的取值范围，灵活利用参变量分离法求解是解题的关键，考查运算求解能力，属于中等题.8.中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴. 一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的面积为，圆面中剩余部分的面积为，当与的比值为时，扇面看上去形状较为美观，那么此时扇形的圆心角的弧度数为( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据扇形与圆面积公式，可知面积比即为圆心角之比，再根据圆心角和的关系，求解出扇形的圆心角.【详解】与所在扇形圆心角的比即为它们的面积比，设与所在扇形圆心角分别为，则，又，解得【点睛】本题考查圆与扇形的面积计算，难度较易.扇形的面积公式：，其中是扇形圆心角的弧度数，是扇形的弧长.9.已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先推导出函数的周期为，可得出，然后利用函数的奇偶性结合函数的解析式可计算出结果.【详解】函数是上的奇函数，且，，，所以，函数的周期为，则.故选：C.【点睛】本题考查利用函数的奇偶性和周期求函数值，解题的关键就是推导出函数的周期，考查计算能力，属于中等题.10.已知抛物线：的准线与圆：相切，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先由抛物线方程得到准线方程，再由准线与圆相切，即可得出结果.【详解】因为抛物线的准线为，又准线与圆相切，所以，则.故选D【点睛】本题考查抛物线与圆的几何性质，熟记抛物线与圆的性质即可，属于常考题型.11.三棱锥四个顶点均在同一球面上，正面，，则该球体积（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意把三棱锥扩展为三棱柱，求出上下底面中心连线的中点与的距离为球的半径，然后求出球的体积.【详解】由题意画出几何体的图形如图，把三棱锥扩展为三棱柱，上下底面中心连线的中点与的距离为球的半径，，，是正三角形，∴，∴，∴，∴，故选：D．【点睛】本题考查球的内接体与球的关系，考查空间想象能力，利用割补法结合球内接多面体的几何特征求出球的半径是解题的关键.12.已知双曲线的左、右焦点分别为，若双曲线的左支上存在一点，使得与双曲线的一条渐近线垂直于点，且，则此双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用与双曲线的一条渐近线垂直于点可求出的坐标，再利用求出的坐标（用表示），将的坐标代入双曲线的方程后可求离心率.详解】双曲线的渐近线为，取一条渐近线为，则直线，由得，故.因为，故，从而，所以，将的坐标代入双曲线的方程可以得到：，化简可得，所以，故选D.【点睛】圆锥曲线中的离心率的计算，关键是利用题设条件构建关于的一个等式关系．而离心率的取值范围，则需要利用坐标的范围、几何量的范围或点的位置关系构建关于的不等式或不等式组．第II卷非选择题（90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若变量，满足约束条件，则的最大值是______.【答案】9【解析】【分析】做出可行域，根据可行域的图像特征，即可求出线性目标函数的最大值.【详解】做出可行域如下图所示：当目标函数过点时，取最大值为.故答案为:9【点睛】本题考查二元一次不等式组表示平面区域，考查线性目标函数的最值，考查数形结合思想，属于基础题.14.如图，在中，，点，分别为的中点，若，，则______.【答案】【解析】【分析】根据为直角三角形，利用勾股定理可求出，以及．以为基底，表示出，由数量积的运算即可求出的值．【详解】因为，所以，．而点，分别为的中点，所以为的重心，即有．．故答案为：．【点睛】本题主要考查数量积的运算和三角形重心性质的应用，解题关键是选择合适的基底，意在考查学生的数学运算能力，属于中档题．15.已知函数，对任意，且，都有，则实数的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】根据函数解析式可知函数为偶函数.由不等式可知函数在为单调递增函数.即可根据函数单调性求得导函数,令导函数大于0.即可分离参数,构造函数,并利用导函数求得最值,进而求得的取值范围.【详解】函数,由解析式可知函数为偶函数由不等式可知函数在为单调递增函数所以当时,所以即令则令,解得当时, ,则在时单调递减当时, ,则在时单调递增所以当时,取得最小值,即所以同理可求得当时,综上可知,的取值范围为故答案为:【点睛】本题考查了函数单调性与偶函数综合应用,导数与单调性的关系,分离参数法与构造函数法求参数的取值范围,属于中档题.16.为椭圆上异于顶点的任意一点，过作直线、分别与圆相切于、两点，则直线与两坐标轴围成的三角形面积最小值为___________.【答案】【解析】【分析】设为椭圆上的点，则，由基本不等式可得，再求出以OP为直径的圆的方程，和已知圆的方程作差求出两圆公共弦的方程，求出直线与坐标轴的交点，结合三角形面积公式即可得结果.【详解】设为椭圆上的点，则，∴，即，当且仅当时等号成立，以OP为直径的圆的方程为，整理得：①又圆②②-①得，直线的方程为，取，得；取，得，∴直线与两坐标轴围成的三角形面积，即三角形面积的最小值为，故答案为：.【点睛】本题主要考查了圆的方程的求法，两圆相交公共弦所在的直线方程，关键是求出过点与圆相切的两切线切点的直线AB的方程，是中档题．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.在平面四边形中，已知，，．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2020年春四川省泸县高三第二学月考试文科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I 卷 选择题（60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知全集U =R ，{|11}M x x =-<<，{|0}N y y =<，则U ()M N =A ．[0,1)B ．(1,0)-C ．(1,0]-D ．(0,1)2．已知复数z 满足21z i -=（其中i 为虚数单位），则z =A ．1B ．1CD 3．命题p ：x R ∀∈，2210x mx -+>的否定是 A ．x R ∀∈，2210x mx -+≤ B ．x R ∃∈，2210x mx -+< C ．x R ∃∈，2210x mx -+>D ．x R ∃∈，2210x mx -+≤4．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且24S =，416S =，则56a a += A ．11B ．16C ．20D ．285．在平行四边形ABCD 中， 3,4AB AD ==，则AC DB ⋅等于 A ．1B ．7C ．25D ．7-6．已知()sin cos2f x x =，则()cos15f 的值为A ．12-B ．12C ．D 7．“a ＜0”是“方程ax 2＋1＝0至少有一个负根”的A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．对两个变量进行回归分析，给出如下一组样本数据：()0.675,0.989-，()1.102,0.010-，()2.899,1.024，()9.101,2.978，下列函数模型中拟合较好的是A ．3y x =B ．3x y =C ．()21y x =--D ．3log y x =9．若两个正实数x ，y 满足142x y +=，且不等式2m 4yx m +<-有解，则实数m 的取值范围是 A ．(1,2)- B ．(,2)(1,)-∞-+∞C ．()2,1-D ．(,1)(2,)-∞-+∞10．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且满足()()11f x f x -=+，当()0,1x ∈时，()()2log 1f x x =+，则()2019f =A ．1B ．1-C ．0D ．2log 311．等腰三角形ABC 的腰5AB AC ==，6BC =，将它沿高AD 翻折，使二面角B AD C --成60︒，此时四面体ABCD 外接球的体积为 A ．287π B ．7πC ．28πD ．1919π 12．已知F 1，F 2是双曲线C ：()2222100x y a b a b-=＞，＞的两个焦点，以线段F 1F 2为边作正三角形MF 1F 2，若边MF 1的中点P 在双曲线C 上，则双曲线C 的离心率为 A ．31+B ．4+22C ．3-1D ．31+第II 卷 非选择题（90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．设x ，y 满足约束条件360200,0x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥≥⎩，则目标函数2z x y =+的最大值为_____.14．已知1sincos225αα-=，则sin α=_____. 15．已知函数222,0()0,0,0x x x f x x x mx x ⎧-+>⎪==⎨⎪+<⎩是奇函数，若函数()f x 在区间[1,2]a --上单调递增，则实数a 的取值范围是_________.16．如图,在直四棱柱1111 ABCD A B C D -中,底面ABCD 是菱形,,E F 分别是11,BB DD 的中点, G 为AE 的中点且3FG =,则EFG 面积的最大值为________．三．解答题：共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。
第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17．（12分）在ABC ∆中，设角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知222cos sin cos sin sin A B C A B =++.（I ）求角C 的大小； （II ）若3c =，求ABC ∆周长的取值范围.18．（12分）某小学举办“父母养育我，我报父母恩”的活动，对六个年级（一年级到六年级的年级代码分别为1，2…，6）的学生给父母洗脚的百分比y%进行了调查统计，绘制得到下面的散点图．（I ）由散点图看出，可用线性回归模型拟合y 与x 的关系，请用相关系数加以说明； （II ）建立y 关于x 的回归方程，并据此预计该校学生升入中学的第一年（年级代码为7）给父母洗脚的百分比．附注：参考数据：()()()6621131117.5,35,133000365i i x x x x y y ==-=--=≈∑∑参考公式：相关系数()()()()12211niii nniii i x x y y r x x y y ===--=--∑∑∑，若r ＞0.95，则y 与x 的线性相关程度相当高，可用线性回归模型拟合y 与x 的关系．回归方程y bx a =+中斜率与截距的最小二乘估计公式分别为b ＝()()()121niii nii x x y y x x ==---∑∑ ，a y bx =-．19．(12分)如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，D 为BC 边上一点，3BD =，122AA AB AD ===.（I ）证明：平面1ADB ⊥平面11BB C C .（II ）若BD CD =，试问：1A C 是否与平面1ADB 平行？若平行，求三 棱锥11A A B D -的体积；若不平行，请说明理由.20．（12分）在椭圆2222:1(20)x y C b a b a b+=>>>上任取一点P （P 不为长轴端点），连结1PF 、2PF ，并延长与椭圆C 分别交于点A 、B 两点，已知2APF ∆的周长为8，12F PF ∆面积的最大值为3. （I ）求椭圆C 的方程；（II ）设坐标原点为O ，当P 不是椭圆的顶点时，直线OP 和直线AB 的斜率之积是否为定值？若是定值，请求出这个定值；若不是定值，请说明理由.21．（12分）已知函数，其中，为自然对数的底数. （I ）当时，讨论函数的单调性；（II ）当时，求证：对任意的，.（二）选考题：共10分。
请考生在第22、23题中任选一题作答。
如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1cos 2sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数，α为直线l 的倾斜角），以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin ρθ=.（I ）写出曲线C 的直角坐标方程，并求23πα=时直线l 的普通方程； （II ）直线l 和曲线C 交于A 、B 两点，点P 的直角坐标为()1,2，求||||PA PB +的最大值.23．[选修4-5：不等式选讲]（10分） 设函数()|21|2|1|f x x x =-++.（I ）若存在0x R ∈，使得()205f x m m +≤+，求实数m 的取值范围；（II ）若m 是()I 中的最大值，且33a b m +=，证明：02a b <+≤.2020年春四川省泸县高三第二学月考试文科数学参考答案1．A 2．D3．D4．C5．D6．C7．C8．D9．D10．B11．A 12．A 13．1414．242515．(]3,116．317．解：（1）由题意知2221sin sin 1sin sin sin A B C A B -=+-+， 即222sin sin sin sin sin A B C A B +-=-， 由正弦定理得222a b c ab +-=-由余弦定理得2221cos 222a b c ab C ab ab +--===-，又20,3C C ππ<<∴=. （2）2,2sin ,2sin 2sin sin sin sin3a b c a A b BA B Cπ====∴==，则ABC ∆的周长()2sin sin 2sin sin 2sin 33L a b c A B A A A ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+=+-+=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦20,,sin 133333A A A πππππ⎛⎫<<∴<+<<+≤ ⎪⎝⎭， 2sin 23A π⎛⎫∴<++≤ ⎪⎝⎭ABC ∴∆周长的取值范围是(2.18.解（1）因为()1y 111316152021166=⨯+++++=所以()62ii 1y y 76=-=∑，所以r ==365≈，36.5≈，所以35r 0.96.36.5≈≈ 由于y 与x 的相关系数约为0.960.95>，说明y 与x 的线性相关程度相当高，从而可用线性回归模型拟合y 与x 的关系.(2)35b 217.5== 因为()1x 12345+6=3.56=⨯++++，所以ˆˆa y bx 9=-= 所以回归方程为ˆy2x 9.=+ 将x 7=，代入回归方程可得ˆy23=， 所以预计该校学生升入中学的第一年给父母洗脚的百分比为23%. 19(1)证明：因为AA 1⊥平面ABC ，所以BB 1⊥平面ABC ， 因为AD ABC ⊂平面，所以AD ⊥BB 1．在△ABD 中，由余弦定理可得，2222?cos603BD AB AD AB AD =+-︒=，则222AB AD BD =+，所以AD ⊥BC ，又1BC BB B ⋂＝，所以AD ⊥平面BB 1C 1C ，因为1AD ADB ⊂平面， 所以平面ADB 1⊥平面BB 1C 1C ． (2)解：A 1C 与平面ADB 1平行．证明如下：取B 1C 1的中点E ，连接DE ，CE ，A 1E ， 因为BD ＝CD ，所以DE ∥AA 1，且DE ＝AA 1， 所以四边形ADEA 1为平行四边形，则A 1E ∥AD ．同理可证CE ∥B 1D ．因为1A E CE E ⋂＝，所以平面ADB 1∥平面A 1CE ，又11AC ACE ⊂平面， 所以A 1C ∥平面ADB 1．因为AA 1∥BB 1，所以111B AA D B AA D V V --=，又BD =，且易证BD ⊥平面AA 1D ，所以11111112132A A B D B AA D B AA D V V V ---===⨯⨯=．20．解：（1）因为2APF ∆的周长为8，所以有11228482AF PF PF AF a a +++=⇒=⇒= 设00(,)P x y ，因为12F PF ∆3所以1212y F F P ⋅3，由椭圆的范围，当y P b =时，面积最大，因此有3bc =22c b a +=，因为20b a b >>>，所以2,3a b ==，所以椭圆标准方程为：22143x y +=；（2）当P 不是椭圆的顶点时，因此00120,0,(1,0),(1,0)x y F F ≠≠-. 直线1PF 的方程为：00(1)1y y x x =++，与椭圆的方程联立，得： ()()()022*********22000(1)484131201113412y y x y y y x x x x x x x y ⎧⎛⎫=+⎪+ ⎪⇒+++-=⎨ ⎪+++⎪⎝⎭+=⎩， ()2200000152********A x x xx x x x x -++∴⋅==-++，0000583,2525A Ax y x y x x +-∴=-=++， 同理直线2PF 的方程为：00(1)1y y x x =--，与椭圆的方程联立，得： ()()()022*********22000(1)484131201113412y y x y y y x x x x x x x y ⎧⎛⎫=-⎪- ⎪⇒+-+-=⎨ ⎪---⎪⎝⎭+=⎩200005825B x x x x x -⇒⋅=⇒-0000583,2525B B x y x y x x -==--，()00002200123208054B AB A x y x y y y kAB x x x x -∴===---， ()220022003394205453AB OPy y k k x y ∴⋅===-⎛⎫-⨯- ⎪⎝⎭为定值.21．解：（1）当时，，， ，∵当时，，∴.∴在上为减函数.（2）设，，，令，，则，当时，，有，∴在上是减函数，即在上是减函数， 又∵，，∴存在唯一的，使得，∴当时，，在区间单调递增；当时，，在区间单调递减，因此在区间上，∵，∴，将其代入上式得，令，，则，即有，，∵的对称轴，∴函数在区间上是增函数，且，∴，即任意，，∴，因此任意，.22．解：（1）∵2sin ρθ=，∴22sin ρρθ=，∴曲线C 的直角坐标方程为2220x y y +-=，当23πα=时，直线l 20y +-=； （2）把直线l 的参数方程为1cos 2sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩代入2220x y y +-=，得()22sin 2cos 10t t αα+++=，()122sin 2cos t t αα+=-+，121t t =，则1t 与2t 同号且小于0，由()22sin 2cos 40αα∆=+->得：2sin 2cos 2αα+<-或2sin 2cos 2αα+>，∴()12||||PA PB t t +=-+2sin 2cos αα=+)4πα=+，∴||||PA PB +的最大值为 23．解：（1）()()212121213f x x x x x =-++≥--+=存在0x R ∈，使得()205f x m m +≤+ 235m m ∴+≤+ 220,m m ∴--≤12m ∴-≤≤（2）由（1）知:max |2m =332a b ∴+=()()()23322232024b a b a b a ab b a b a b ⎡⎤⎛⎫∴=+=+-+=+-+>⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦而223024b a b ⎡⎤⎛⎫-+>⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦0a b∴<+①332a b ∴=+()()22a b a ab b=+-+()()()()()222334a b a b ab a b a b a b ⎡⎤⎡⎤=++-≥++-+⎢⎥⎣⎦⎣⎦()314a b =+ ()38a b ∴+≤ 2a b ∴+≤②由①②02a b ∴<+≤。