第8章平面问题有限元法

如果外力作用面很小，可视为外力作用在一个点上，则这种外力称为集中力。集中力用 Pc表示，它在坐标轴上的投影pcx、pcy、pc z称为集中力分量。 集中力的矩阵表示为 {Pc}={ pcx pcy 二、应力 弹性体受到载荷作用后， 其内部将产生内力。 体内某一点作用于某个截面单位面积上的 内力称为应力（stress），它反映了内力在截面上的分布密度。 为研究弹性体内某一点的应力，从该点附近切出一个微小六面体，称为微分体，其棱边 分别平行于三个坐标轴，如图8-1所示。 微分体每个表面上的应力可分解为一个正应力和两个剪应力。 垂直于表面的应力称为正 应力（normal stress），用字母σ表示，并附加一下角标，以表示应力的作用面和作用方向。 如σx表示作用于垂直于x轴的平面上，沿x轴方向的正应力。平行于表面的应力称为剪应力 （shear stress），用字母τ表示，并加上两个下角标，前一个表示τ的作用面垂直于哪一个 坐标轴，后一个表示作用方向。例如，τxy 是作用在垂直于x轴的平面上且沿着y轴方向的剪 应力。微分体上的应力如图8-1（a）所示。
G= E 2(1+ μ )
ε y =⎪
E
⎪
（8-3）
（8-4）
从式（8-3）的前三式解出 σ x 、σ y 、σ z ，从后三式解出 τ xy 、τ yz 、τ zx ，并考虑式（8-4） 后，物理方程也可写成矩阵形式
μ μ ⎡ 1 0 0 0 ⎤ ⎢ ⎥ μ − − μ 1 1 ⎧σ x ⎫ ⎢ μ ⎥ ⎧εx ⎫ μ ⎪ ⎪ 1 0 0 0 ⎥⎪ ⎪ ⎢ 1− μ ⎪σ y ⎪ ⎢1− μ ⎥ ⎪εy ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ μ ⎢ μ 1 0 0 0 ⎥ ⎪ ⎥⎪ E (1− μ ) ⎢1− μ 1− μ ⎪σ z ⎪ ⎪ ⎪εz ⎪ ⎪ {σ } = ⎨ ⎬ = ⋅⎢ ⋅⎨ ⎬ ⎥ − μ 1 2 + − μ μ ( 1 )( 1 2 ) ⎪τ xy ⎪ ⎢ 0 0 0 0 0 ⎥ ⎪ν xy ⎪ 2(1− μ ) ⎪ ⎪ ⎢ ⎥⎪ ⎪ 1− 2 μ ⎪τ yz ⎪ ⎢ ⎥ ⎪ν ⎪ 0 0 0 0 ⎥ ⎪ yz ⎪ ⎪ ⎪ ⎢ 0 2(1− μ ) ⎪ ⎪ ⎢ ⎩τ zx ⎪ ⎭ ⎩ν zx ⎪ ⎭ 1− 2μ ⎥ ⎢ 0 ⎥ 0 0 0 0 2(1− μ ) ⎦ ⎣
简写为 式中，
{σ } = [ D]{ε }
（8-5）
μ μ ⎡ 1 0 0 0 ⎤ ⎢ ⎥ 1− μ 1− μ ⎢ μ ⎥ μ 1 0 0 0 ⎥ ⎢ 1− μ ⎢1− μ ⎥ μ ⎢ μ 1 0 0 0 ⎥ ⎥ E (1− μ ) ⎢1− μ 1− μ [D] = ⋅⎢ ⎥ 1− 2 μ (1+ μ )(1− 2 μ ) ⎢ 0 0 0 0 0 ⎥ 2(1− μ ) ⎢ ⎥ 1− 2 μ ⎢ ⎥ 0 0 0 0 ⎥ ⎢ 0 2(1− μ ) ⎢ 1− 2 μ ⎥ ⎢ 0 ⎥ 0 0 0 0 2(1− μ ) ⎦ ⎣
y O z x
t
图8-3 平面应力问题
对于平面应力问题，垂直于平面方向上的应力分量为零，即有
σ z = 0 和 τ zx =τ zy = 0
因此这类问题的应力分量和应变分量分别为
（8-7）
{σ } = {σ x σ y τ xy } T
（8-8） （8-9）
{ε } = {ε x ε y ν xy } T
z σz τzx σy o x τxz σx τzy τyz σy τxy τyx y x o εy νxz εx z εz νzx νzy ν yz εy νxy νyx y εz （b） 微分体的应变
pcz}T
σz
（a）微分体的应力
图8-1 微分体的应力和应变分量
根据剪应力互等定律，微分体上六个剪应力有如下关系：
{d}={u v w}T 弹性体发生变形时，各质点的位移不一定相同，因此位移仍为x、y、z的函数。由各点 位移组成的物理场称为位移场。
8.1.2 弹性力学基本方程
弹性力学基本方程描述弹性体的应力、 应变、 位移以及外力之间的关系， 包括平衡方程、 几何方程和物理方程三类。 本节将直接给出三类方程的形式， 方程的推导过程请参见弹性力 学书籍。 一、平衡方程 处于平衡状态的弹性体， 受到外力作用将发生变形， 变形到一定程度后将达到新的平衡 状态。这时对于弹性体内的微分体，其应力和体力在x、y、z三个方向应分别满足以下平衡 方程
8.1 弹性力学有关知识
8.1.1 弹性力学中的物理量
载荷、应力、应变和位移是弹性力学中的几个主要物理量。 一、载荷 载荷是外界作用在弹性体上的力，又称为外力。它包括体力、面力和集中力三种形式。 体力是分布于整个弹性体体积内的外力，如重力、惯性力。在弹性体内任一点，单位体 积的体力用Pv表示，它可分解为给定坐标系x、y、z三个坐标轴上的投影pvx、pvy、pvz，称为 体力分量。体力可用矩阵表示为 {Pv}={pvx pvy pvz}T
{σ}={σx σy σz τxy τyz τzx }T 由于弹性体内各点的应力状态不一定相同，因此应力分量不是常量，而是坐标x、y、z 的函数，由各点应力组成的物理场称为应力场。 3、应变 外力作用下弹性体将产生变形，因此微分体的棱边长度以及它们之间的夹角将发生变 化。棱边每单位长度的伸缩量称为正应变（normal strain），两棱边之间的直角改变称为剪 应变（shear strain）。 正应变用字母ε表示，下角标表示正应变的方向，如εy为y方向棱边的正应变。正应变 以伸长为正，缩短时为负。剪应变用字母ν表示，两个下角标表示哪两个方向的棱边，如ν
8.1.3 平面问题
严格地讲，任何结构都是空间结构，但是当结构形状和载荷具有某种特殊性时，空间问 题可简化为平面问题。 平面问题分平面应力问题和平面应变问题两类， 本章仅介绍平面应力 问题，所指的平面问题也是指平面应力问题。 当结构厚度尺寸远小于截面尺寸， 即结构形状呈薄板形， 且载荷平行于板平面且沿厚度 方向均匀分布，则这种问题可称为平面应力问题，如图8-所示。链传动中的链片、发动机中 的连杆、内燃机的飞轮、轧机的机架和齿宽较小的直齿圆柱齿轮都可视为平面应力问题。
∂u ⎫ ⎪ ∂x ⎪ ∂v ⎪ εy = ∂y ⎪ ⎪ ∂w εz = ⎪ ∂z ⎪ ∂u ∂v ⎬ ν xy = + ⎪ ∂y ∂x ⎪ ∂v ∂w ⎪ ν yz = + ⎪ ∂z ∂y ⎪ ∂w ∂u ⎪ ν zx = + ⎪ ∂x ∂z ⎭
εx =
写成矩阵形式为
⎧ ∂u ⎫ ⎡ ∂ ⎧ ε x ⎫ ⎪ ∂x ⎪ ⎢ ∂x ⎪ ⎪ ⎪ ∂v ⎪ ⎢ ⎪ ε y ⎪ ⎪ ∂y ⎪ ⎢ 0 ⎪ ⎪ ⎪ ∂w ⎪ ⎢ ⎪ ⎪ ⎢0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪εz ⎪ {ε } = ⎨ ⎬ = ⎨ ∂u∂z∂v ⎬ = ⎢ ∂ ⎪ν xy ⎪ ⎪ ∂y + ∂x ⎪ ⎢∂y ⎪ ⎢ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ν yz ⎪ ⎪ ∂v + ∂w ⎪ ⎢ 0 ⎪ ⎪ ⎪ ∂z ∂y ⎪ ⎢ ⎪ ∂w + ∂u ⎪ ⎢ ∂ ⎭ ⎪ ⎩ν zx ⎪ ⎪ ⎢ ∂z ⎭ ⎣ ⎩ ∂ x ∂z ⎪
说明：本书用花括号“{ }”表示列矩阵，方括号“[ ]”表示方阵。为节省书写空间， 列矩阵通常写成转置矩阵的形式，上标T表示转置矩阵。 面力是作用于弹性体表面上的外力，如气体压力、液体压力、接触压力。在表面上任一 它在坐标轴上的三个投影psx、 psy、 psz称为面力分量。 点， 作用在单位面积上的面力用Ps表示， 面力的矩阵表示为 {Ps}={ psx psy psz}T
τxy=τyx ，τxz=τzx ，τyz=τzy
因此微分体上只有六个独立应力，即三个正应力σx、σy、σz和三个剪应力τxy、τyz、
τzx。
某一点在不同方向截面上的应力是不同的， 但任意斜截面上的应力都可通过上述六个应 力求出，同时也可求得该点的最大、最小正应力和剪应力。也就是说，这六个应力决定了一 点的应力状态，称之为该点的应力分量。矩阵表示为
ε x = 1 (σ x − μσ y − μσ z ) ⎫
⎪ E 1 ε z = (σ z − μσ x − μσ y ) ⎪ ⎪ E ⎪ ⎬ ν xy = 1 τ xy ⎪ G ⎪ ⎪ ν yz = 1 τ yz ⎪ G ⎪ 1 ⎪ ν zx = τ zx ⎭ G 式中，E为材料的弹性模量，G为剪切弹性模量， μ 为泊松比。它们满足式
⎧ ∂σ x ∂τ xy ∂τ xz ⎪ ∂x + ∂y + ∂z + pvx = 0 ⎪∂τ ⎪ xy ∂σ y ∂τ yz ⎨ ∂x + ∂y + ∂z + pvy = 0 ⎪ ⎪ ∂τ xz ∂τ yz ∂σ z ⎪ ∂x + ∂y + ∂z + pvz = 0 ⎩
（8-1）
平衡方程是微分体必须满足的条件， 它说明六个应力分量不是独立的， 它们通过三个平 衡方程相互联系。 二、几何方程 几何方程描述几何量应变和位移之间的关系，这些关系用以下6个方程描述
0⎤ ⎥ ∂ 0⎥ ⎥ ∂y ⎥⎧u ⎫ ∂ 0 ⎪ ⎪ ⎪ ∂z ⎥ ⎪ ⎥ ∂ 0 ⎨v ⎬ ⎥⎪ ⎪ ∂x ⎪ ⎪ w⎭ ⎥⎩ ∂ ∂⎥ ∂z ∂y ⎥ 0 ∂ ⎥ ⎥ ∂x ⎦ 0
（8-2）
几何方程描述了应变和位移之间的关系， 说明一点的六个应变分量可用三个位移分量表 示，因此六个应变分量也不是独立的。 三、物理方程 物理方程描述应力分量与应变分量之间的关系， 这种关系与材料特性有关。 物理方程共 有六个，其形式为
称为弹性矩阵，由材料的弹性模量E和泊松比μ确定，与坐标无关。
（8-6）
由上可见，三类基本方程共包括15个方程，含有6个应力分量、6个应变分量和3个位移 分量，共15个未知量，因而原则上可以解出这15个物理量。实际求解时并不是同时求出全部 未知量，而是先求出一部分，再通过方程求出其它未知量。首先求出的未知量称为基本未知 量，根据基本未知量的选法不同，也就产生了三种不同的解题方法——位移法、应力法和混 合法。位移法以三个位移分量作为基本未知量，目前有限元法主要采用这种方法。