中南大学大物课件

b a b a
2、变力的功
元功
F dr
dr
b
b
F
F cos dr

a
F ds
a
ds dr
直角坐标系中 F Fx i Fy j Fz k dr dxi dyj dzk
F F cos
W Fx dx Fy dy Fz dz
4、合力的功 物体同时受 的作用 B B W F合 dr A ( F1 F2 Fn ) dr A B B B F1 dr F2 dr Fn dr
A A A
G mg F kx Fk k FN
Fs max s FN
2.基本的自然力 引力 电磁力 强力
m1m2 F G 2 r q1q2 F k 2 r
流体阻力
Fd kv
弱力
四、牛顿定律的应用
例1：质量为m的小球，在水中受的浮力为常力F，当它 从静止开始沉降时，受到水的粘滞阻力为f=kv (k为常 数),证明小球在水中竖直沉降的速度v与时间t的关系为 kt mg F v (1 e m ) k F 式中t为从沉降开始计算的时间。
二、惯性系与非惯性系
a=0时单摆和小球的状态符合牛顿定律 a≠0时单摆和小球的状态为什麽不符合牛顿定律？ 结论：在有些参照系中牛顿定律成立，这些系称为惯 性系。相对惯性系作加速运动的参照系是非惯性系。 而相对惯性系作匀速直线运动的参照系也是惯性系。
三、力学中常见的几种力 基本自然力 1.常见的几种力 重力 弹力 摩擦力
R Mm F dr G 2 dr
R h
r
dr 1 1 GMm GMm 2 R h r R R h GMmh R( R h)
R
例3、质量为2 kg的质点在力 F＝12ti (SI)
的作用下，从静止出发，沿x轴正向作直线运动。 求前三秒内该力所作的功。 解：（一维运动可以用标量）
a
保守力做正功等于相应势能的减少；
保守力做负功等于相应势能的增加。
E P (a ) E P (b)
b
a
F保 dr
选参考点（势能零点），设 E P (b) 0 Wab E P (a ) 质点在某一点的势能大小等于在相应的保守力的作用 下，由所在点移动到零势能点时保守力所做的功。
0
引力势能（以无穷远为零势能点）
Mm 1 EP ＝ r －G r 2 dr GMm r

注意：
1)计算势能必须规定零势能参考点。势能是相对量，其 量值与零势能点的选取有关。
2)势能函数的形式与保守力的性质密切相关，对应于 一种保守力的函数就可以引进一种相关的势能函数。 3)势能是属于以保守力形式相互作用的物体系统所共 有的。 4)一对保守力的功等于相关势能增量的负值。因此，保 守力做正功时，系统势能减少；保守力做负功时， 系 统势能增加。
x2 3(m ) 处该力作的功：
1. 质点的运动轨道为抛物线 2. 质点的运动轨道为直线
x 4y
2
4y x 6
Y x2 4 y
4y x 6
2.25
1
2
O
3 X
W
B
A
b F dr Fx dx Fy dy Fz dz
a


Y x2 4 y
4y x 6
W1
x2 , y2 x2
1
2.25
1
x1 , y1
( Fx dx Fy dy ) 2 ydx 4dy 2 x y
1
y2
O
3 X
94 x dx 4dy 10.8J 2 2 1 3
2
W2
x2 , y2
x1 , y1
( Fx dx F y dy ) 2 ydx 4dy
第二宇宙速度或逃逸速度
1-4 动能定理 机械能守恒定律
一 、功 功率 1、恒力的功 力在位移方向上的投影与该物体位移大小的乘积。
F
F
r

F
F
W F// r F r cos F r
dW F dr
W dW
x1 y1
x2
y2
94 1 ( x 6)dx 4dy 21.25J 2 2 1 3
做功与路径 有关
例2、一陨石从距地面高为h处由静止开始落向地面， 忽略空气阻力，求陨石下落过程中，万有引力的功是 多少？ a
解：取地心为原点，引力与矢径方向相反 h b R o
W
R
R h
mg F v (1 e k

kt m
)
例2 竖直上抛物体的初速度最小应取多大，才不再返 回地球？ r 解: FG G mM r2 mM 地表物体受到的引力是重力 Fg G 2 mg
R
FG
FG gR dv 2 由牛顿第二定律 a m r dt
gR 2 dv dr dv 2 v , r dr dt dr
典型的保守力：
重力、万有引力、弹性力
与保守力相对应的是耗散力 典型的耗散力： 摩擦力
2、势能
在保守力的作用下，质点从A运动
B 到B，所做的功与路径无关，而只与这
两点的位置有关。可引入一个只与位
置有关的函数，A点的函数值减去B点
A
的函数值，定义为从A 到B保守力所做
的功，该函数就是势能函数。
Wab E P (a ) E P (b)
定义了势能差
W重 (mgz b mgz a )
Mm Mm W引 ( G ) ( G ) rb ra 1 2 1 2 W弹 ( kxb kxa ) 2 2 b W保 F保 dr E p (a ) E p (b) E p
W1 W2 Wn
结论：合力对物体所做的功等于其中各个分力分别 对该物体所做功的代数和。 注意：1、功是过程量，与路径有关。
2、功是标量，但有正负。
3、合力的功为各分力的功的代数和。
例1 作用在质点上的力为 F 2 yi 4 j ( N )
在下列情况下求质点从 x1 2(m ) 处运动到


zz mgdz
b
a
O
b
mg
mgz a mgz b
初态量 末态量
Y
X
万有引力的功 两个质点之间在引力作用下相对运动时 ，以M所在处 为原点, M指向m的方向为矢径的正方向。m受的引力 方向与矢径方向相反。
W

ra
rb
ra
Mm G 3 r dr r
初态量 末态量

某些力对质点所做的功只 Mm Mm W ( G ) ( G ) 与质点的始末位置有关， ra rb 而与路径无关。这种力称 1 1 2 2 W kxa kxb 为保守力。 2 2
W mgz a mgz b
W F dr 0
L
W 平均功率： P t
W dW 瞬时功率： P lim t 0 t dt dW F dr dr P F F v dt
瞬时功率等与力与物体速度的标积
6、作用力和反作用力做功之和 m1、m2组成一个封闭系 dr2
dr1 m1 r1 o F1 F2 r12 r2
即
gR 2dr 2 vdv r
mgR 2 FG r2
2
gR dr 2 vdv r
2
gR 2 dr vdv , r R v0
2 2 R g 2 v v0 2 Rg r
r
2
v
v0 2 Rg 2 6.4 106 9.8 11.2 km/s
E p (a )
零势能点
ra
F保 dr
重力势能（以地面为零势能点） E p (a )

零势能点
ra
F保 dr
E P mgdy mg (0 y ) mgy
y
0
弹性势能（以弹簧原长为零势能点）
1 2 1 2 E p kx dx (0 kx ) kx x 2 2
3、保守力和势能的关系：
势能是保守力对路径的线积分
F
A
E p (a )
零势能点
a
F保 dl
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保守力所做元功
dl

Fl
l
dEP F d l F cos dl Fl dl
dEP Fl dl
保守力沿某一给定的l方向的分量等于与此保守 力相应的势能函数沿l方向的空间变化率。
1-3 牛顿运动定律
一、牛顿运动定律的表述 牛顿第一定律（Newton first law)(惯性定律)
任何物体都保持静止或匀速直线运动的状态，直
到受到力的作用迫使它改变这种状态为止。 包含两个重要概念：惯性和力
固有特性
牛顿第二定律（Newton second law）
在受到外力作用时，物体所获得的加速度的大 小与外力成正比，与物体的质量成反比；加速度的 方向与外力的矢量和的方向相同。 特点：
W＝ F dr 12tvdt
t 12t F v v0 adt 0 dt dt 3t 2 0 0 m 0 2 t t
W 12t 3t dt 36t 3dt 9t 4 729J
2 0 0
3
3
5、功率
力在单位时间内所作的功
b
Fx dx F y d y Fz d z
x0 y0 z0
a x
y
z
3、功的几何意义
W F ds
a
b
F
a
b
t2 r v dt
x v x dt
t1
t1 t2
O
sa ds
sb
v x a x dt
t1
t2
注意：积分表达式可以是曲线下的面积。
m2
m2
r2
F2 dr2
F1 F2
二、势能
势能曲线
1、保守力的功 重力的功
m在重力作用下由a运动到b，取地面为坐标原点.
W mg dr Z a b ( mg )k (dxi dyj dzk )
b
a
a
dr
自然坐标系中：
dv z Fz ma z m dt
dv Ft ma m dt
Fn ma n m v2

第三定律（Newton third law）
两个物体之间对各自对方的相互作用总是相等
的，而且指向相反的方向。
作用力与反作用力：
1、它们总是成对出现。它们之间一一对应。
2、它们分别作用在两个物体上。绝不是平衡力。 3、它们一定是属于同一性质的力。
rb
Mm G 3 rdr r
r dr r dr cos rdr Mm F G 3 r r rb dr
r
F
b
dr
Mm Mm ( G ) ( G ) ra rb
r
初态量
末态量
M ra
m
a
弹力的功
F kxi
xb
1 1 2 2 W kxi dxi ( kxb kxa ) xa 2 2 1 1 2 2 kxa kxb 2 2 弹簧振子
证明：取坐标，作受力图。 根据牛顿第二定律，有 f a x
dv mg kv F ma m dt
mg
dv mg kv F ma m dt
初始条件：t=0 时 v=0
t dv 0 (mg kv F ) m 0 dt t m v d ( mg kv F ) dt 0 k 0 ( mg kv F ) kt v ln( mg kv F ) 0 m v
F ma
瞬时性；迭加性；矢量性；定量的量度了惯性
1、瞬时性： 之间一一对应
2、迭加性： F F1 F2 FN
F
N 1
i
i
3、矢量性：具体运算时应写成分量式
直角坐标系中：
dv x Fx ma x m dt dv y Fy ma y m dt