4反比例
九年级数学-反比例函数
第19讲 反比例函数知识导航1.反比例函数的定义和解析式；2.反比例函数的图象和性质；3.反比例面数与方程及不等式；4.反比例函教与神奇的几何性质；5.反比例函数与直线y ＝a 或x ＝a ；6.反比例函数与全等相似；7.反比例函数与图形变换；8.反比例函数与定值及最值。
【板块一】反比例函数的定义和解析式 方法技巧 根据定义解题1.定义：一般地，形如ky x=（k 为常数，k ≠0）的函数，叫做反比例函数，其中x 是自变量，y 是函数.自变量x 的取值范围是不等于0的一切实数.2.解析式：ky x=（k ≠0）或xy ＝k （k ≠0）或1y kx -= （k ≠0）. 题型一根据定义判断反比例函数【例1】下列函数：①2x y =；@2y x =；③y =12y x =；⑤12y x =+；⑥12y x =- ；⑦2xy =； ⑧12y x -=；⑨22y x = .其中y 是x 的反比例函数的有 （填序号）.【解析】②③④⑦⑧.题型二根据定义确定k 值或解析式 【例2】（1）反比例函数32y x =- ，化为ky x=的形式，相应的k ＝ ； （2）函数ky x =中，当x ＝2时，y ＝3，则函数的解析式为 【解析】（1）32- ；（2）6y x=.题型三根据定义确定待定系数的值【例3】（1）如果函数2+1m y x = 是关于x 的反比例函数，则m 的值为 （2）若函数()252m y m x -=+ （m 为常数）是关于x 的反比例函数，求m 的值及函数的解析式。
【解析】（1）－1；（2）m ＝2，y ＝4x .针对练习11.下列函数中，为反比例函数的是（B ）A . 3x y =B . 13y x =C . 13y x =-D .21y x=答案：B2.反比例函数y ＝一化为ky x=的形式后，相应的k ＝答案： 3.若关于x 的函数()2274mm y m x --=- 是反比例函数，求m 的值答案：3.【板块二】反比例函数的图象和性质 式抓住反比例函数的性质并结合图象解题 一般地，对于反比例函数()0ky k x=≠，由函数图象，并结合解析式，我们可以发现： 1.图象分布当k ＞0时，x ，y （同号或异号），函数图象为第 象限的两支曲线；当k ＜0时，x ，y （同号或异号），函数图象为第 象限的两支曲线。
反比例函数(4)--反比例函数的图像和性质(3)
永定县仙师中学 罗新全
k2 如图，正比例函数y1=k1x和反比例函数y2= x
的图像交于A（-1, 2）、B（1, -2）两点，若
y1 ＜y2，则x的取值范围是（ A. x＜-1或x＞1 B. x＜-1或0＜x＜1 C. -1＜x＜0或 0＜x＜1 D. -1＜x＜0或x＞1 ）
Y D k 如图，已知双曲线 y 和直线y=mx+n交于点 X x S A和B，B点的坐标是（2，-3），AC垂直y轴于 Z 点C，AC=1.5 ； y X （1）求双曲线和直线的 C A 解析式； （2）求△AOB的面积。
O B
x
A3(x3，y3)为双曲线上的三 点，且 x1＜x2＜0＜x3，请 直接写出y1，y2，y3的大小 关系式； （3）观察图象，请直接写出不等
k2 式k1x＋b＞ 的解集． x
如图，已知点A在反比例函数 图象上，AM⊥x轴于点M， 且△AOM的面积为1，则反比 例函数的解析式为 ．
Y D X S Z X
Y D 如图所示，在x轴的正半轴上依次截OA1= A1A2 X = A2A3 = A3A4 = A4A5 …，过A1、A2、A3、A4、 S Z 2 A5 … 分别作x轴的垂线与反比例函数y= 的图 X
x
象交于点P1、P2、P3、P4、P5…，并设△OA1P1、 △A1A2P2、△A2A3P3…的 面积分别为S1、S2、S3…， 按此作法进行下去，则Sn 的值为 （n为正整数）．
பைடு நூலகம்
Y D X S Z X
Y D k2 如图，直线y=k1x+b与双曲线y= 交于A、B两 X x k2 S 点，其横坐标分别为1和5，则不等式k1x +b< Z x X 的解集是_________．
2023年中考数学专题练——4反比例函数
2023年中考数学专题练——4反比例函数一．选择题（共9小题）1．（2022•泉山区校级三模）某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p （千帕）随气球内气体的体积V （立方米）的变化情况如下表所示，此时p 与V 的函数关系最可能是（ ） V （立方米） 64 48 38.4 32 24 … p （千帕） 1.522.534…A ．正比例函数B ．一次函数C ．二次函数D ．反比例函数2．（2022•鼓楼区校级二模）如图，正比例函数y ＝kx 的图象与反比例函数y =8x（x ＞0）的图象交于点A （a ，4）．点B 为x 轴正半轴上一点，过B 作x 轴的垂线交反比例函数的图象于点C ，交正比例函数的图象于点D ．若BC =85，则△ACD 的面积为（ ）A ．15B ．635C ．625D ．143．（2021•徐州模拟）点（3，2）在反比例函数y =kx上，则下列不可能在该函数图象上的点是（ ） A ．（2，3）B ．（﹣2，﹣3）C ．（2，﹣3）D ．（﹣3，﹣2）4．（2021•徐州模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线y =12x ﹣1分别交x 轴，y 轴于点A 和点B ，分别交反比例函数y 1=kx（k ＞0，x ＞0），y 2=2kx（x ＜0）的图象于点C 和点D ，过点C 作CE ⊥x 轴于点E ，连接OC ，OD ．若△COE 的面积是△DOB 的面积的2倍，则k 的值是（ ）A ．6B ．12C ．2D ．45．（2021•徐州一模）如图，反比例函数y 1=k1x 和正比例函数y 2＝k 2x 的图象交于A （﹣2，﹣3）、B （2，3）两点，若k 1x＞k 2x ，则x 的取值范围是（ ）A ．x ＜﹣2或0＜x ＜2B ．﹣2＜x ＜0或x ＞2C ．﹣2＜x ＜0D ．﹣2＜x ＜26．（2021•丰县校级模拟）如图，平行四边形ABCO 的顶点B 在双曲线y =6x 上，顶点C 在双曲线y =kx上，BC 中点P 恰好落在y 轴上，已知S ▱OABC ＝10，则k 的值为（ ）A ．﹣8B ．﹣6C ．﹣4D ．﹣27．（2021•邳州市模拟）如图，在直角坐标系中，以坐标原点O （0，0），A （0，4），B （3，0）为顶点的Rt △AOB ，其两个锐角对应的外角角平分线相交于点P ，且点P 恰好在反比例函数y=kx的图象上，则k的值为（）A．36B．48C．49D．648．（2021•徐州模拟）如图，菱形AOBC的顶点A在x轴上，反比例函数y=kx（k＞0，x＞0）的图象经过顶点B，和边AC的中点D．若OA＝6，则k的值为（）A．√5B．2√5C．4√5D．8√5 9．（2021•徐州模拟）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，四边形ADEF是正方形，点A、D在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，点F在AB上，点B、E在函数y=kx（x＞0，k＞0）的图象上．若正方形ADEF的面积为4，且BF＝2AF，则k的值为（）A．24B．12C．6D．3二．填空题（共10小题）10．（2022•泉山区校级三模）如图，▱OABC的顶点C在反比例函数y=kx的图象上，且点A坐标为（1，﹣3），点B坐标为（5，﹣1），则k的值为．11．（2022•丰县二模）如图，点A、B在反比例函数y=kx（k＞0，x＞0）的图象上，AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D，BE⊥y轴于点E．若OE＝1，OC＝2CD，则AC的长为．12．（2022•徐州二模）如图，点A，B分别在x轴，y轴的正半轴上，反比例函数y=kx（x＜0）的图象经过线段AB的中点C，△ABO的面积为1，则k的值是．13．（2022•徐州一模）已知反比例函数y=1x的图象过点A（a﹣1，y），B（a+1，y2），若y2＞y1，则a的取值范围为．14．（2022•睢宁县模拟）如图，反比例函数y=kx(k＞0，x＞0)的图象经过菱形OABD的顶点A和边BD的一点C，且DC=13DB，若点D的坐标为（8，0），则k的值为．15．（2022•鼓楼区校级一模）如图，一次函数y ＝2x 与反比例函数y =kx（k ＞0）的图象交于A ，B 两点，点M 在以C （2，0）为圆心，半径为1的⊙C 上，N 是AM 的中点，已知ON 长的最大值为32，则k 的值是 ．16．（2021•邳州市模拟）设函数y =3x与y ＝﹣3x ﹣9的图象的交点坐标为（a ，b ），则a +b 值是 ．17．（2021•徐州模拟）若A （﹣3，y 1），B （1，y 2），C （2，y 3）是反比例函数y =kx （k ＞0）图象上的三点，则y 1，y 2，y 3的大小关系是 （用“＜”号连接）． 18．（2021•徐州一模）若反比例函数y =kx的图象经过点A （2，1），则k ＝ ． 19．（2021•徐州模拟）若正比例函数y ＝2kx 与反比例函数y =kx （k ≠0）的图象交于点A （m ，1），则k 的值是 ． 三．解答题（共7小题）20．（2022•贾汪区二模）如图，直线y 1＝kx +3分别与x 轴、y 轴交于点A 、B ，与反比例函数y 2=mx （x ＜0）的图象交于点C ，连接OC ．已知点A 的坐标（6，0），AB ＝3BC ． （1）求k 、m 的值；（2）若OC绕点O旋转得OC′，当点C′落在反比例函数y2=mx的图象上时，请直接写出点C′坐标（点C除外）．21．（2022•徐州一模）如图，已知一次函数y＝﹣2x+8的图象与坐标轴交于A，B两点，并与反比例函数y=8x的图象只有一个公共点C．（1）点C的坐标是；（2）点M为线段BC的中点，将点C和点M向左平移m（m＞0）个单位，平移后的对应点都落在反比例函数y=kx（k≠0）的图象上时，求k的值．22．（2022•鼓楼区校级三模）如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCO的对角线BO在x轴上，若正方形ABCO的边长为2√2，点B在x轴负半轴上，反比例函数y=kx的图象经过C点．（1）求该反比例函数的解析式；（2）当函数值y＞﹣2时，请直接写出自变量x的取值范围；（3）若点P是反比例函数上的一点，且△PBO的面积恰好等于正方形ABCO的面积，求点P的坐标．23．（2021•徐州模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，0），B（0，−32），作直线AB与反比例函数y=mx（x＞0）的图象交于点C，且A是线段BC的中点．（1）求m的值；（2）D是线段BC上一动点，过点D作DE∥y轴，交反比例函数的图象于点E，是否存在点D，使△ODE的面积有最大值？若存在，求出最大值及点D的坐标．24．（2021•徐州模拟）工匠制作某种金属工具要进行材料煅烧和锻造两个工序，即需要将材料烧到800℃，然后停止煅烧进行锻造操作，经过8min时，材料温度降为600℃．如图，煅烧时温度y（℃）与时间x（min）成一次函数关系；锻造时，温度y（℃）与时间x（min）成反比例函数关系．已知该材料初始温度是32℃．（1）分别求出材料煅烧和锻造时y与x的函数关系式，并且写出自变量x的取值范围；（2）根据工艺要求，当材料温度低于400℃时，须停止操作．那么锻造的操作时间最多有多长？（3）如果加工每个零件需要锻造12分钟，并且当材料温度低于400℃时，需要重新煅烧．通过计算说明加工第一个零件，一共需要多少分钟．25．（2021•徐州模拟）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=12x+5和y＝﹣2x的图象相交于点A，反比例函数y=kx的图象经过点A．（1）求反比例函数的表达式；（2）设一次函数y=12x+5的图象与反比例函数y=kx的图象的另一个交点为B，连接OB，求△ABO的面积．26．（2021•徐州模拟）如图，▱OABC的边OA在x轴的正半轴上，OA＝5，反比例函数y=m x（x＞0）的图象经过点C（1，4）．（1）求反比例函数的关系式和点B的坐标；（2）过AB的中点D作DP∥x轴交反比例函数图象于点P，连接CP，OP．求△COP 的面积．2023年江苏省徐州市中考数学专题练——4反比例函数参考答案与试题解析一．选择题（共9小题）1．（2022•泉山区校级三模）某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p （千帕）随气球内气体的体积V （立方米）的变化情况如下表所示，此时p 与V 的函数关系最可能是（ ） V （立方米） 64 48 38.4 32 24 … p （千帕） 1.522.534…A ．正比例函数B ．一次函数C ．二次函数D ．反比例函数【解答】解：由题意可知，64×1.5＝96；48×2＝96；38.4×2.5＝96；32×3＝96；24×4＝96，…由此可得出p 和v 的函数关系是为：p =96V． 故选：D ．2．（2022•鼓楼区校级二模）如图，正比例函数y ＝kx 的图象与反比例函数y =8x（x ＞0）的图象交于点A （a ，4）．点B 为x 轴正半轴上一点，过B 作x 轴的垂线交反比例函数的图象于点C ，交正比例函数的图象于点D ．若BC =85，则△ACD 的面积为（ ）A ．15B ．635C ．625D ．14【解答】解：∵A （a ，4）在y =8x ， ∴a ＝2， ∴A （2，4），把x ＝2，y ＝4代入y ＝kx ， 2k ＝4， ∴k ＝2，∴y＝2x，∵BC=85，即y=85代入y=8x，解得x＝5，即OB＝5，∵D点在y＝2x上，把x＝5代入y＝2x＝10，∴DC＝10−85=425，点A到DC距离为3，∴S△ACD=12×3×425=12.6．故选：B．3．（2021•徐州模拟）点（3，2）在反比例函数y=kx上，则下列不可能在该函数图象上的点是（）A．（2，3）B．（﹣2，﹣3）C．（2，﹣3）D．（﹣3，﹣2）【解答】解：∵点（3，2）在反比例函数y=kx上，∴k＝3×2＝6，A、∵2×3＝6，∴此点在该函数图象上，故本选项错误；B、∵﹣2×（﹣3）＝6，∴此点在该函数图象上，故本选项错误；C、∵2×（﹣3）＝﹣6≠6，∴此点不在该函数图象上，故本选项正确；D、∵﹣3×（﹣2）＝6，∴此点在该函数图象上，故本选项错误．故选：C．4．（2021•徐州模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线y=12x﹣1分别交x轴，y轴于点A和点B，分别交反比例函数y1=kx（k＞0，x＞0），y2=2kx（x＜0）的图象于点C和点D，过点C作CE⊥x轴于点E，连接OC，OD．若△COE的面积是△DOB的面积的2倍，则k的值是（）A ．6B ．12C ．2D ．4【解答】解：令x ＝0，得y =12x ﹣1＝﹣1， ∴B （0，﹣1）， ∴OB ＝1，把y =12x ﹣1代入y 2=2k x （x ＜0）得，12x ﹣1=2kx （x ＜0），解得，x ＝1−√4k +1， ∴x D ＝1−√4k +1，∴S △OBD =12OB •|x D |=12√4k +1−12，∵CE ⊥x 轴， ∴S △OCE =12k ，∵△COE 的面积是△DOB 的面积的2倍， ∴2（12√4k +1−12）=12k ， ∴k ＝12，或k ＝0（舍去）． 经检验，k ＝12是原方程的解． 故选：B ．5．（2021•徐州一模）如图，反比例函数y 1=k1x 和正比例函数y 2＝k 2x 的图象交于A （﹣2，﹣3）、B （2，3）两点，若k 1x＞k 2x ，则x 的取值范围是（ ）A．x＜﹣2或0＜x＜2B．﹣2＜x＜0或x＞2 C．﹣2＜x＜0D．﹣2＜x＜2【解答】解：根据图象，当k1x＞k2x，即反比例函数的值大于正比例函数值时自变量的取值范围为0＜x＜2或x＜﹣2，故选：A．6．（2021•丰县校级模拟）如图，平行四边形ABCO的顶点B在双曲线y=6x上，顶点C在双曲线y=kx上，BC中点P恰好落在y轴上，已知S▱OABC＝10，则k的值为（）A．﹣8B．﹣6C．﹣4D．﹣2【解答】解：连接BO，过B点和C点分别作y轴的垂线段BE和CD，∴∠BEP＝∠CDP，又∠BPE＝∠CPD，BP＝CP，∴△BEP≌△CDP（AAS）．∴△BEP面积＝△CDP面积．∵点B在双曲线y=6x上，所以△BOE面积=12×6＝3．∵点C在双曲线y=kx上，且从图象得出k＜0，∴△COD面积=12|k|．∴△BOC面积＝△BPO面积+△CPD面积+△COD面积＝3+12|k|＝5．∵四边形ABCO是平行四边形，∴平行四边形ABCO面积＝2×△BOC面积＝2（3+12|k|），∴2（3+12|k|）＝10，解得k＝±4，因为k＜0，所以k＝﹣4．故选：C．7．（2021•邳州市模拟）如图，在直角坐标系中，以坐标原点O（0，0），A（0，4），B（3，0）为顶点的Rt△AOB，其两个锐角对应的外角角平分线相交于点P，且点P恰好在反比例函数y=kx的图象上，则k的值为（）A．36B．48C．49D．64【解答】解：过P分别作AB、x轴、y轴的垂线，垂足分别为C、D、E，如图，∵A（0，4），B（3，0），∴OA＝4，OB＝3，∴AB=√32+42=5，∵△OAB的两个锐角对应的外角角平分线相交于点P，∴PE＝PC，PD＝PC，∴PE＝PC＝PD，设P （t ，t ），则PC ＝t ，∵S △P AE +S △P AB +S △PBD +S △OAB ＝S 矩形PEOD ，∴12×t ×（t ﹣4）+12×5×t +12×t ×（t ﹣3）+12×3×4＝t ×t ，解得t ＝6， ∴P （6，6），把P （6，6）代入y =kx 得k ＝6×6＝36． 故选：A ．8．（2021•徐州模拟）如图，菱形AOBC 的顶点A 在x 轴上，反比例函数y =kx （k ＞0，x ＞0）的图象经过顶点B ，和边AC 的中点D ．若OA ＝6，则k 的值为（ ）A ．√5B ．2√5C ．4√5D ．8√5【解答】解：设B （t ，k t）， ∵四边形OBCA 为菱形， ∴OA ＝OB ＝BC ＝6，BC ∥OA ， ∴C （t +6，kt ），∵点D 为AC 的中点， ∴D （12t +6，k2t），∵点B （t ，k t）和点D （12t +6，k2t）在反比例函数y =kx 上，∴k ＝（12t +6）•k2t，解得t ＝4，∴B （4，k4），∵OB ＝6，∴42+（k4）2＝62，解得k 1＝﹣8√5，k 2＝8√5，∵k ＞0， ∴k ＝8√5． 故选：D ．9．（2021•徐州模拟）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是矩形，四边形ADEF 是正方形，点A 、D 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，点F 在AB 上，点B 、E 在函数y =kx（x ＞0，k ＞0）的图象上．若正方形ADEF 的面积为4，且BF ＝2AF ，则k 的值为（ ）A ．24B ．12C ．6D ．3【解答】解：∵正方形ADEF 的面积为4， ∴正方形ADEF 的边长为2，∴BF ＝2AF ＝4，AB ＝AF +BF ＝2+4＝6． 设B 点坐标为（t ，6），则E 点坐标（t +2，2）， ∵点B 、E 在反比例函数y =kx 的图象上， ∴k ＝6t ＝2（t +2）， 解得t ＝1，k ＝6． 故选：C ．二．填空题（共10小题）10．（2022•泉山区校级三模）如图，▱OABC 的顶点C 在反比例函数y =kx的图象上，且点A 坐标为（1，﹣3），点B 坐标为（5，﹣1），则k 的值为 8 ．【解答】解：作CD ⊥x 轴于D ，BF ∥x 轴，交y 轴于F ，作AG ⊥x 轴，交BF 于E ，交x 轴于G ，∵四边形OABC 是平行四边形， ∴OA ∥BC ，∠AOC ＝∠ABC ，OC ＝AB ， ∴∠FBC ＝∠AFB ， ∵BF ∥x 轴， ∴∠AFB ＝∠AOD ， ∴∠FBC ＝∠AOD ， ∴∠DOC ＝∠ABE ， 在△COD 和△ABE 中， {∠DOC =∠ABE∠ODC =∠AEB =90°OC =AB， ∴△COD ≌△ABE （AAS ）， ∴OD ＝BE ，CD ＝AE ，∵点A 坐标为（1，﹣3），点B 坐标为（5，﹣1）． ∴EF ＝1，AG ＝3，BF ＝5，EG ＝1， ∴AE ＝3﹣1＝2，BE ＝5﹣1＝4， ∴OD ＝4，CD ＝2， ∴C （4，2），∵顶点C 在反比例函数y =kx 的图象上， ∴k ＝4×2＝8， 故答案为：8．11．（2022•丰县二模）如图，点A、B在反比例函数y=kx（k＞0，x＞0）的图象上，AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D，BE⊥y轴于点E．若OE＝1，OC＝2CD，则AC的长为32．【解答】解：∵BD⊥x轴于点D，BE⊥y轴于点E，∴四边形BDOE是矩形，∴BD＝OE＝1，把y＝1代入y=kx，求得x＝k，∴B（k，1），∴OD＝k，∵OC＝2CD，∴OC=23k，∵AC⊥x轴于点C，把x=23k代入y=kx得，y=32，∴AC=3 2，故答案为：32．12．（2022•徐州二模）如图，点A ，B 分别在x 轴，y 轴的正半轴上，反比例函数y =k x（x ＜0）的图象经过线段AB 的中点C ，△ABO 的面积为1，则k 的值是 −12．【解答】解：设点A （a ，0），点B （0，b ）， ∵点C 是AB 中点， ∴点C （a2，b2），∵△ABO 的面积为1，即12（﹣a ）b ＝1，∴ab ＝﹣2， ∴a =−2b ， ∴C （−1b，b2），∵点C 在双曲线y =kx （x ＜0）上， ∴k =−1b ×b 2=−12， ∴k 的值为−12， 故答案为：−12．13．（2022•徐州一模）已知反比例函数y =1x 的图象过点A （a ﹣1，y ），B （a +1，y 2），若y 2＞y 1，则a 的取值范围为 ﹣1＜a ＜1 ． 【解答】解：∵反比例函数y =1x 中的k ＝1＞0，∴反比例函数y =1x的图象经过第一、三象限，且在每一象限内y 随x 的增大而减小． ∵y 2＞y 1，a +1＞a ﹣1，∴点A 位于第三象限，点B 位于第一象限， ∴{a −1＜0a +1＞0，解得﹣1＜a ＜1． 故答案是：﹣1＜a ＜1．14．（2022•睢宁县模拟）如图，反比例函数y =k x(k ＞0，x ＞0)的图象经过菱形OABD 的顶点A 和边BD 的一点C ，且DC =13DB ，若点D 的坐标为（8，0），则k 的值为 3√55 ．【解答】解：作AE ⊥x 轴于E ，CF ⊥x 轴于F ， ∵四边形OABD 是菱形，点D 的坐标为（8，0）， ∴OA ∥BD ，OA ＝BD ＝8， ∴∠AOE ＝∠CDF ， ∵∠AEO ＝∠CFD ＝90°， ∴△AOE ∽△CDF ， ∴OE DF=AE CF =OA CD，∵DC =13DB ， ∴OE DF=AE CF=OA CD=3，∴OE ＝3DF ，AE ＝3CF ，设DF ＝m ，CF ＝n ，则C （8+m ，n ），A （3m ，3n ）， ∵点A 、C 在反比例函数y =kx(k ＞0，x ＞0)的图象上， ∴（8+m ）•n ＝3m •3n ， ∴m ＝1， ∴A （3，3n ）， ∴OE ＝3，AE ＝3n ，在Rt △AOE 中，OA 2＝OE 2+AE 2， ∴82＝32+（3n ）2，解得n =√553，∴A （3，√55）， ∴k ＝3×√55=3√55， 故答案为：3√55．15．（2022•鼓楼区校级一模）如图，一次函数y ＝2x 与反比例函数y =kx （k ＞0）的图象交于A ，B 两点，点M 在以C （2，0）为圆心，半径为1的⊙C 上，N 是AM 的中点，已知ON 长的最大值为32，则k 的值是3225．【解答】解：方法一、联立{y =kxy =2x ，∴x 2=k 2， ∴x =±√k 2，∴A （−√k2，−2√k2），B （√k2，2√k2）， ∴A 与B 关于原点O 对称， ∴O 是线段AB 的中点， ∵N 是线段AM 的中点，连接BM ，则ON ∥BM ，且ON =12BM ， ∵ON 的最大值为32，∴BM 的最大值为3， ∵M 在⊙C 上运动，∴当B ，C ，M 三点共线时，BM 最大， 此时BC ＝BM ﹣CM ＝2， ∴（(√k 2−2)2+(2√k 2)2=4， ∴k ＝0或3225，∵k ＞0， ∴k =3225，方法二、设点B （a ，2a ），∵一次函数y ＝2x 与反比例函数y =kx（k ＞0）的图象交于A ，B 两点， ∴A 与B 关于原点O 对称， ∴O 是线段AB 的中点， ∵N 是线段AM 的中点，连接BM ，则ON ∥BM ，且ON =12BM ， ∵ON 的最大值为32，∴BM 的最大值为3，∵M 在⊙C 上运动，∴当B ，C ，M 三点共线时，BM 最大， 此时BC ＝BM ﹣CM ＝2， ∴√(a −2)2+(2a)2=2，∴a 1=45或a 2＝0（不合题意舍去）， ∴点B （45，85），∴k =3225， 故答案为：3225．16．（2021•邳州市模拟）设函数y =3x 与y ＝﹣3x ﹣9的图象的交点坐标为（a ，b ），则a +b 值是 ﹣6−√5或﹣6+√5 ．【解答】解：∵函数y =3x 与y ＝﹣3x ﹣9的图象的交点坐标为（a ，b ）， ∴ab ＝3，b ＝﹣3a ﹣9， a （﹣3a ﹣9）＝3， 整理得，a 2+3a +1＝0， 解得a =−3+√52或a =−3−√52∴b =−9−3√52或b =−9+3√52， ∴a +b ＝﹣6−√5或﹣6+√5 故答案为：﹣6−√5或﹣6+√5．17．（2021•徐州模拟）若A （﹣3，y 1），B （1，y 2），C （2，y 3）是反比例函数y =kx （k ＞0）图象上的三点，则y 1，y 2，y 3的大小关系是 y 1＜y 3＜y 2 （用“＜”号连接）． 【解答】解：∵k ＞0，故反比例函数图象的两个分支在一三象限，且在每个象限内y 随x 的增大而减小．∴A （﹣3，y 1）在第三象限，B （1，y 2），C （2，y 3）在第一象限，且1＜2， ∴y 1＜0，0＜y 3＜y 2，故y 1，y 2，y 3的大小关系为y 1＜y 3＜y 2． 故答案为y 1＜y 3＜y 2．18．（2021•徐州一模）若反比例函数y =k x的图象经过点A （2，1），则k ＝ 2 ． 【解答】解：把点A （2，1）代入反比例函数y =kx 得， k ＝2×1＝2， 故答案为：2．19．（2021•徐州模拟）若正比例函数y ＝2kx 与反比例函数y =kx （k ≠0）的图象交于点A （m ，1），则k 的值是 ±√22． 【解答】解：∵点A （m ，1）在反比例函数y =k x（k ≠0）的图象上， ∴k ＝m ×1＝m ，∵点A （m ，1）在正比例函数y ＝2kx 的图象上， ∴1＝2km ，即2m 2＝1，解得m ＝±√22，即k ＝±√22． 三．解答题（共7小题）20．（2022•贾汪区二模）如图，直线y 1＝kx +3分别与x 轴、y 轴交于点A 、B ，与反比例函数y 2=mx（x ＜0）的图象交于点C ，连接OC ．已知点A 的坐标（6，0），AB ＝3BC ． （1）求k 、m 的值；（2）若OC 绕点O 旋转得OC ′，当点C ′落在反比例函数y 2=mx 的图象上时，请直接写出点C ′坐标（点C 除外）．【解答】解：（1）作CD ⊥x 轴于D ， 则△ABO ∽△ACD ， ∴AB AC=OB CD，∵AB ＝3BC ，∴CD=43OB，∵x＝0时，y1＝kx+3＝3，∴B（0，3），∴OB＝3，∴CD＝4，∵点A（6，0）在一次函数y1＝kx+3的图象上，∴6k+3＝0，∴k=−1 2，∴y=−12x+3，当y＝4时，则4=−12x+3，解得x＝﹣2，∴C（﹣2，4），∵点C在反比例函数y2=mx（x＜0）的图象上，∴m＝﹣2×4＝﹣8；（2）若OC绕点O旋转得OC′，当点C′落在反比例函数y2=mx的图象上，C（﹣2，4），由反比例函数的对称性，C′（﹣4，2）或（2，﹣4）或（4，﹣2）．21．（2022•徐州一模）如图，已知一次函数y＝﹣2x+8的图象与坐标轴交于A，B两点，并与反比例函数y=8x的图象只有一个公共点C．（1）点C的坐标是（2，4）；（2）点M为线段BC的中点，将点C和点M向左平移m（m＞0）个单位，平移后的对应点都落在反比例函数y=kx（k≠0）的图象上时，求k的值．【解答】解：（1）∵一次函数y＝﹣2x+8的图象与反比例函数y=8x的图象只有一个公共点C，∴﹣2x+8=8 x，∴x＝2，∴点C坐标为（2，4），故答案为：（2，4）；（2）∵一次函数y＝﹣2x+8的图象与坐标轴交于A，B两点，∴点B（4，0），∵点M为线段BC的中点，∴点M（3，2），∴点C和点M平移后的对应点坐标分别为（2﹣m，4），（3﹣m，2），∴k＝4（2﹣m）＝2（3﹣m），∴m＝1，∴k＝4．22．（2022•鼓楼区校级三模）如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCO的对角线BO在x轴上，若正方形ABCO的边长为2√2，点B在x轴负半轴上，反比例函数y=kx的图象经过C点．（1）求该反比例函数的解析式；（2）当函数值y＞﹣2时，请直接写出自变量x的取值范围；（3）若点P是反比例函数上的一点，且△PBO的面积恰好等于正方形ABCO的面积，求点P的坐标．【解答】解：（1）过C 作CE ⊥x 轴于E ，则∠CEB ＝90°， ∵正方形ABCO 的边长为2√2， ∴CO ＝2√2，∠COE ＝45°， ∴CE ＝OE =2√2√2=2， 即k ＝﹣2×（﹣2）＝4，所以反比例函数的解析式是y =4x ；（2）把y ＝﹣2代入y =4x 得：x ＝﹣2，所以当函数值y ＞﹣2时，自变量x 的取值范围是x ＜﹣2或x ＞0；（3）设P 点的纵坐标为a ， ∵正方形ABCO 的边长为2√2，∴由勾股定理得：OB =√(2√2)2+(2√2)2=4， ∵△PBO 的面积恰好等于正方形ABCO 的面积， ∴12×4×|a |＝2√2×2√2，解得：a ＝±4，即P 点的纵坐标是4或﹣4，代入y =4x得：x ＝1或﹣1，即P 点的坐标是（1，4）或（﹣1，﹣4）．23．（2021•徐州模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知点A （2，0），B （0，−32），作直线AB 与反比例函数y =mx （x ＞0）的图象交于点C ，且A 是线段BC 的中点． （1）求m 的值；（2）D 是线段BC 上一动点，过点D 作DE ∥y 轴，交反比例函数的图象于点E ，是否存在点D ，使△ODE 的面积有最大值？若存在，求出最大值及点D 的坐标．【解答】解：（1）∵点A （2，0），B （0，−32）， ∴OA ＝2，OB =32， 过C 作CF ⊥x 轴于F ， ∴∠AOB ＝∠AFC ＝90°， ∵A 是线段BC 的中点， ∴AB ＝AC ， ∵∠BAO ＝∠CAF ， ∴△AOB ≌△AFC （AAS ）， ∴AF ＝AO ＝2，CF ＝OB =32， ∴OF ＝4 ∴C （4，32），∴m ＝4×32=6；（2）设直线AB 的解析式为y ＝kx +b ，把点A （2，0），B （0，−32），代入得{2k +b =0b =−32，解得{k =34b =−32， ∴直线AB 的解析式为y =34x −32； ∵点D 为线段AB 上的一个动点， ∴设D （x ，34x −32）（0＜x ≤4），∵DE ∥y 轴， ∴E （x ，6x ），∴S △ODE =12x •（6x−34x +32）=−38x 2+34x +3=−38（x ﹣1）2+278， ∴当x ＝1时，△ODE 的面积的最大值为278，点D 的坐标为（1，−34）．24．（2021•徐州模拟）工匠制作某种金属工具要进行材料煅烧和锻造两个工序，即需要将材料烧到800℃，然后停止煅烧进行锻造操作，经过8min 时，材料温度降为600℃．如图，煅烧时温度y （℃）与时间x （min ）成一次函数关系；锻造时，温度y （℃）与时间x （min ）成反比例函数关系．已知该材料初始温度是32℃．（1）分别求出材料煅烧和锻造时y 与x 的函数关系式，并且写出自变量x 的取值范围； （2）根据工艺要求，当材料温度低于400℃时，须停止操作．那么锻造的操作时间最多有多长？（3）如果加工每个零件需要锻造12分钟，并且当材料温度低于400℃时，需要重新煅烧．通过计算说明加工第一个零件，一共需要多少分钟．【解答】解：（1）材料锻造时，设y=kx（k≠0），由题意得600=k 8，解得k＝4800，当y＝800时，4800x=800，解得x＝6，∴点B的坐标为（6，800），材料煅烧时，设y＝ax+32（a≠0），由题意得800＝6a+32，解得a＝128，∴材料煅烧时，y与x的函数关系式为y＝128x+32（0≤x≤6）．∴锻造操作时y与x的函数关系式为y=4800x（x＞6）；（2）把y＝400代入y=4800x中，得x＝12，12﹣6＝6（min），答：锻造的操作时间6min；（3）当y＝400时，由128x+32＝400，∴x=23 8，从400℃升到800℃需要6−238=258（min），∵加工每个零件需要12min，每次锻造6min，∴加工第一个零件需要锻造、煅烧两次，一共需要12+258+6=1698min ．25．（2021•徐州模拟）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y =12x +5和y ＝﹣2x 的图象相交于点A ，反比例函数y =kx的图象经过点A ． （1）求反比例函数的表达式；（2）设一次函数y =12x +5的图象与反比例函数y =kx 的图象的另一个交点为B ，连接OB ，求△ABO 的面积．【解答】解：（1）联立y =12x +5①和y ＝﹣2x 得：{y =12x +5y =−2x，解得：{x =−2y =4，故点A （﹣2，4），将点A 的坐标代入反比例函数表达式得：4=k−2，解得：k ＝﹣8， 故反比例函数表达式为：y =−8x ②；（2）联立①②并解得：x ＝﹣2或﹣8， 当x ＝﹣8时，y =12x +5＝1，故点B （﹣8，1）， 设y =12x +5交x 轴于点C ，令y ＝0，则12x +5＝0， ∴x ＝﹣10，∴C （﹣10，0），过点A 、B 分别作x 轴的垂线交x 轴于点M 、N ，则S △AOB ＝S △AOC ﹣S △BOC =12×OC •AM −12OC •BN =12×4×10−12×10×1=15． 26．（2021•徐州模拟）如图，▱OABC 的边OA 在x 轴的正半轴上，OA ＝5，反比例函数y =m x （x ＞0）的图象经过点C （1，4）．（1）求反比例函数的关系式和点B 的坐标；（2）过AB 的中点D 作DP ∥x 轴交反比例函数图象于点P ，连接CP ，OP ．求△COP 的面积．【解答】解：（1）∵反比例函数y =m x （x ＞0）的图象经过点C （1，4）．∴m ＝1×4＝4，∴反比例函数的关系式为y =4x （x ＞0）．∵四边形OABC 为平行四边形，且点O （0，0），OA ＝5，点C （1，4），∴点A （5，0），∴点B （6，4）．（2）延长DP 交OC 于点E ，如图所示．∵点D 为线段BA 的中点，点A （5，0）、B （6，4）， ∴点D （112，2）． 令y =4x 中y ＝2，则x ＝2，∴点P （2，2），∴PD =112−2=72，EP ＝ED ﹣PD =32， ∴S △COP =12EP •（y C ﹣y O ）=12×32×（4﹣0）＝3．。
反比例函数的应用PPT
解：把 t =5
240
代入 v
t
240
48.
，得 v
t
从结果可以看出，如果全部货物恰好用 5 天卸载完，
则平均每天卸载 48 吨. 而观察求得的反比例函数
的解析式可知，t 越小，v 越大. 这样若货物不超
过 5 天卸载完，则平均每天至少要卸载 48 吨.
过程
确数学问题
实际问题
中的反比
例函数
实际问题中的两个变量往往都只能取非
注意 负值；
作实际问题中的函数图象时，横、纵坐
标的单位长度不一定相同
随堂练习
1．近视眼镜的度数y(度)与镜片焦距x(m)成反比例(即y＝ ，
k≠0)，已知400度近视眼镜的镜片焦距为0.25 m，则y与x之间的
100
y＝
函数关系式是____________.
2．一个水池装水12 m3，如果从水管每小时流出x(m3)的水，经
12
y＝
过y(h)可以把水放完，那么y与x之间的函数关系式是________，
塞加压，测出每一次加压后缸内气体的体积和气体对汽缸壁所
产生的压强，如下表：
体积x/ml
100
80
60
40
20
压强y/kPa
60
75
100
150
300
则可以反映y与x之间的关系的式子是 ( D )A．y＝3000x
6000
3000
B．y＝6000x C．y＝
D．y＝
5．如图，在直角坐标系xOy中，直线 y＝mx与双曲线
解：(1)由题意设函数表达式为I＝ ，
(常考题)北师大版初中数学九年级数学上册第六单元《反比例函数》测试卷(有答案解析)(4)
一、选择题1．关于反比例函数y =4x，下列说法不正确的是（ ） A ．图象关于原点成中心对称 B ．当x >0时，y 随x 的增大而减小C ．图象与坐标轴无交点D ．图象位于第二、四象限 【答案】D【分析】根据反比例函数图象的性质判断即可．【详解】解：根据反比例函数的性质可知，图象关于原点成中心对称，图象与坐标轴无交点，所以A 、C 不符合题意；因为比例系数是4，大于0，所以当x >0时，y 随x 的增大而减小，故B 不符合题意； 因为比例系数是4，大于0，所以图象位于第一、三象限，故D 错误，符合题意； 故选：D ．【点睛】本题考查了反比例函数图象的性质，解题关键是掌握反比例函数图象的性质并熟练运用．2．一辆汽车匀速通过某段公路，所需时间（h ）与行驶速度v （km/h ）满足函数关系t =点(0)k >，其图象为如图所示的一段双曲线，端点为(40,1)A 和(,0.5)B m ，若行驶速度不得超过60 km/h ，则汽车通过该路段最少需要（ ）A ．23分钟 B ．40分钟 C ．60分钟 D ．2003分钟 【答案】B【分析】 把点A （40，1）代入t ＝k v ，求得k 的值，再把点B 代入求出的解析式中，求得m 的值，然后把v ＝60代入t ＝40v，求出t 的值即可． 【详解】解：由题意得，函数的解析式为t＝kv函数经过点（40，1），把（40，1）代入t＝kv，得k＝40，则解析式为t＝40v，再把（m，0.5）代入t＝40v，得m＝80；把v＝60代入t＝40v，得t＝23，23小时＝40分钟，则汽车通过该路段最少需要40分钟；故选：B．【点睛】此题考查了反比例函数的应用，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式，注意要把小时化成分钟．3．反比例函数y=kx的图像如图所示，下列说法正确的是（）A．k>0B．y 随x的增大而增大C．若矩形 OABC的面积为2，则2k=-D．若图像上点B的坐标是（-2，1），则当x<-2时，y的取值范围是y<1【答案】C【分析】根据反比例函数的性质以及系数k的几何意义进行判断．【详解】解：A、反比例函数图象分布在第二、四象限，则k＜0，所以A选项错误；B、在每一象限，y随x的增大而增大，所以B选项错误；C、矩形OABC面积为2，则|k|＝2，而k＜0，所以k＝﹣2，所以C选项正确；D、若图象上点B的坐标是（﹣2，1），则当x＜﹣2时，y的取值范围是0＜y＜1，所以D 选项错误．故选C【点睛】本题考查了反比例函数系数k 的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x 轴和y 轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．也考查了反比例函数的性质．4．若反比例函数1y k x +=（k 是常数）的图象在第一、三象限，则k 的取值范围是（ ） A ．0k <B ．0k >C ．1k <-D ．1k >- 【答案】D【分析】先根据反比例函数的性质得出k+1＞0，再解不等式即可得出结果．【详解】解：∵反比例函数1y k x+=（k 为常数）的图象在第一、三象限， ∴k+1＞0，解得k>-1．故选：D ．【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质：当k ＞0时，图象分别位于第一、三象限；当k ＜0时，图象分别位于第二、四象限．5．如图，四边形AOBC 和四边形CDEF 都是正方形，边OA 在y 轴上，边OB 在x 轴上，点F 在边AC 上，反比例函数y ＝10x在第一象限的图象经过点E ，则正方形AOBC 和正方形CDEF 的面积之差为（ ）A ．12B ．10C ．6D ．4【答案】B【分析】 设正方形AOBC 的边长为a ，正方形CDEF 的边长为b ，则E (a ﹣b ，a +b )，代入反比例函数解析式即可求解．【详解】解：设正方形AOBC 的边长为a ，正方形CDEF 的边长为b ，则E (a ﹣b ，a +b )，∴(a +b )•(a ﹣b )＝10，整理为a 2﹣b 2＝10，∵S 正方形AOBC ＝a 2，S 正方形CDEF ＝b 2，∴S 正方形AOBC ﹣S 正方形CDEF ＝10，故选：B ．【点睛】 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数k y x=(k 是常数，k ≠0)的图象是双曲线，图象上的点(x ，y )的横纵坐标的积是定值k ，即xy =k ．6．反比例函数4y x =-，下列说法不正确的是（ ） A ．图象经过点()1,4-B ．当0x <时，y 随x 的增大而减小C ．图象关于直线y x =对称D ．图象位于第二、四象限【答案】B【分析】根据反比例函数的性质判断即可．【详解】解：A. 图象经过点()1,4-，正确，不符合题意；B. 当0x <时，y 随x 的增大而增大，原描述错误，符合题意；C. 图象关于直线y x =对称，正确，不符合题意；D. 图象位于第二、四象限，正确，不符合题意；故选：B ．【点睛】本题考查了反比例函数的性质，解题关键是熟记反比例函数的性质，灵活应用这些性质解题．7．若点()()()123,1,,2,,3A x B x C x --在反比例函数21k y x+=的图象上，则123,,x x x 的大小关系是（ ）A ．123x x x <<B ．231x x x <<C ．312x x x <<D ．213x x x <<【答案】B【分析】不论k 取何值，2k +1恒为正数，图像分布在一、三象限，根据反比例函数图像性质求解即可.【详解】∵不论k 取何值，2k +1恒为正数，∴反比例函数21k y x+=的图象分布在第一、第三象限， ∵点()()()123,1,,2,,3A x B x C x --在反比例函数21k y x+=的图象上， ∴1x ＞0，∴230x x <<，∴231x x x <<，故选B.【点睛】本题考查了反比例函数图像的性质，解答时，熟记性质是解题的关键.8．已知反比例函数k y x =经过点()2,3-，则该函数图像必经过点（ ） A ．()2,3B ．()1,6-C ．()2,3--D ．31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ 【答案】B【分析】由已知可以确定函数解析式为6k=-，将选项依次代入验证即可． 【详解】解：∵反比例函数k y x =图象经过点（2，−3）， ∴2(3)6k =⨯-=-，A 、∵2×3=6≠-6，∴此点不在函数图象上，故本选项错误；B 、∵(-1)×6=-6，∴此点在函数图象上，故本选项正确；C 、∵（-2）×（-3）=6≠-6，∴此点不在函数图象上，故本选项错误；D 、∵331()622⨯-=-≠-，∴此点不在函数图象上，故本选项错误． 故选：B【点睛】本题考查反比函数图象及性质；掌握待定系数法求函数解析式，点与函数解析式的特点是解题的关键．9．下列命题中，错误的是（ ）A ．顺次连接矩形四边的中点所得到的四边形是菱形B ．反比例函数的图象是轴对称图形C ．线段AB 的长度是2，点C 是线段AB 的黄金分割点且AC BC <，则1AC =D ．对于任意的实数b ，方程230x bx --=有两个不相等的实数根【答案】C【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．【详解】A.顺次连接矩形四边中点得到的四边形是菱形，故此命题是真命题，故此选项正确；B.反比例函数的图象是轴对称图形，故此命题正确；C. 线段AB 的长度是2，点C 是线段AB 的黄金分割点且AC BC <，则21BC ==，则 D.对于任意的实数b ，方程230x bx --=有两个不相等的实数根,因为△=b²-4ac=b²+12＞0，故此命题正确．故选C ．【点睛】本题考查了命题和定理以及命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉掌握性质定理．10．下列关于函数310y x =-的说法错误的是（ ） A ．它是反比例函数B ．它的图象关于原点中心对称C ．它的图象经过点10,13⎛⎫-⎪⎝⎭ D ．当0x <时，y 随x 的增大而增大 【答案】C【分析】根据题目中的函数解析式可以判断各个选项是否正确，从而可以解答本题．【详解】解：∵函数310y x=-， ∴该函数是反比例函数，故选项A 正确，它的图象在第二、四象限，且关于原点对称，故选项B 正确，当x=103时，y=-9100，故选项C 错误， 当x ＜0时，y 随x 的增大而增大，故选项D 正确，故选：C ．【点睛】本题考查反比例函数的性质、反比例函数的定义，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．11．已知点()()121,,2,A y B y -在双曲线a y x=-上，则12,y y 的大小关系是（ ）A ．12y y >B ．12y y <C ．12y y =D ．无法判断【答案】D【分析】 根据反比例函数的性质和图像上点的坐标特征即可判断．【详解】∵当-a ＜0时，双曲线在二，四象限，则点A 在第二象限，y 1＞0，点B 在第四象限，y 2＜0，∴y 1＞y 2，∵∵当-a ＞0时，双曲线在一，三象限，则点A 在第三象限，y 1＜0，点B 在第一象限，y 2＞0，∴y 1＜y 2，综上所述，无法判断12,y y 的大小关系．故选D ．【点睛】本题主要考查反比例函数的图像和性质，熟练掌握反比例函数的比例系数的意义，是解题的关键．12．如图，四边形OABC 是菱形，CD ⊥x 轴，垂足为D ，函数12y x=的图象经过点C ，若CD ＝4，则菱形OABC 的面积为（ ）A ．15B ．20C ．29D ．24【答案】B【分析】 根据反比例函数系数k 的几何意义得到S △COD ＝12×12＝6，得到OD ＝3，根据勾股定理得到OC 22CD OD +5，根据菱形的性质得到OC ＝OA ＝5，则可求解菱形OABC 的面积．【详解】解：∵函数12y x =的图象经过点C ，CD ⊥x 轴， ∴S △COD ＝12×12＝6． ∵CD ＝4，∴OD ＝3．∴由勾股定理得OC ＝22CD OD +＝5．∵四边形OABC 是菱形，∴OC ＝OA ＝5．∴S 菱形OABC ＝OA•CD ＝5×4＝20．故选：B ．【点睛】本题考查了反比例函数系数k 的几何意义的应用，掌握反比例函数的比例系数的几何意义及菱形的性质是解题的关键．二、填空题13．从3-，1-，0，1，2这五个数中任意取出一个数记作k ，则既能使函数k y x =的图象经过第一、三象限，又能使关于x 的一元二次方程210x kx -+=有实数根的概率为__________．14．在平面直角坐标系xOy 中，点A ，B 在反比例函数()20=>y x x的图象上，且点A 与点B 关于直线y x =对称，C 为AB 的中点，若4AB =，则线段OC 的长为______．15．如图，反比例函数(0)k y k x=≠在第二象限内的图象上有一点P ，过点P 作PA y ⊥轴于点A ，点B 是x 轴上任一点，若3ABP S =，则k 的值是_______．16．当m __时，函数y ＝1m x-的图象在第二、四象限内． 17．如图，一次函数22y x =+与x 轴、y 轴分别交于A B 、两点，以AB 为一边在第二象限作正方形ABCD ，反比例函数()0k y k x=≠经过点D ．将正方形沿x 轴正方向平移a 个单位后，点C 恰好落在反比例函数上，则a 的值是_______．18．分别以矩形OABC 的边OA ，OC 所在的直线为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，点B 的坐标是(4，2)，将矩形OABC 折叠使点B 落在G(3，0)上，折痕为EF ，若反比例函数k y x=的图象恰好经过点E ，则k 的值为_______．19．已知反比例函数6y x=，在其位于第三像限内的图像上有一点M ，从M 点向y 轴引垂线与y 轴交于点N ，连接M 与坐标原点O ，则ΔMNO 面积是_____． 20．如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝ax ＋b 交坐标轴于A 、B 点，点C(－4， 2 )在线段AB 上，以BC 为一边向直线AB 斜下方作正方形BCDE ．且正方形边长为5，若双曲线y ＝k x经过点E ，则k 的值为_______．三、解答题21．如图，直线y x b =+与双曲线()0k y k x=≠交于A 、B 两点，且点A 的坐标为()2,3．（1）求双曲线与直线的解析式；（2）求点B 的坐标；（3）若k x b x+>，直接写出x 的取值范围．22．如图，直线y x =和双曲线()0k y k x=≠交于A ，B 两点，AE x ⊥轴，垂足为E ，射线AC AD ⊥，AC 交y 轴于点C ，AD 交x 轴于点D ，且四边形ACOD 的面积为1． （1）求双曲线k y x=的解析式． （2）求A ，B 两点的坐标．23．如图，反比例函数()0k y k x=≠的图象与正比例函数2y x =的图象相交于()1,,A a B 两点． （1）求反比例函数的解析式；（2）求不等式2k x x >的解集．24．已知反比例函数1k yx-=的图象经过点(2,4)A-，点(,6)B m-（1）求k及m的值．（2）点()11,M x y，()22,N x y均在反比例函数1kyx-=的图象上，若12x x<，比较1y，2y的大小关系．25．已知点1(x，1)y和2(x，2)y在反比例函数1yx=图象上．（1）如果12x x>，那么1y与2y有怎样的大小关系？（2）当1>0x，2x>，且122x x-=时，求2112y yy y-的值；26．如图，一次函数1y kx b=+的图象与反比例函数2myx=的图象交于点()()3,2,,6A B n--两点．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）求AOB的面积；【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．无2．无3．无4．无5．无6．无7．无8．无9．无10．无11．无12．无二、填空题13．【分析】确定使函数的图象经过第一三象限的k的值然后确定使方程有实数根的k值找到同时满足两个条件的k的值即可【详解】解：这5个数中能使函数y＝的图象经过第一第三象限的有12这2个数∵关于x的一元二次方解析：1 5【分析】确定使函数的图象经过第一、三象限的k的值，然后确定使方程有实数根的k值，找到同时满足两个条件的k的值即可．【详解】解：这5个数中能使函数y＝kx的图象经过第一、第三象限的有1，2这2个数，∵关于x的一元二次方程x2﹣kx+1＝0有实数根，∴k2﹣4≥0，解得k≤﹣2或k≥2，能满足这一条件的数是：﹣3、2这2个数，∴能同时满足这两个条件的只有2这个数，∴此概率为15，故答案为：15． 【点睛】 本题考查了反比例函数图象与系数的关系，及一元二次方程根的判别式的知识，根据反比例函数性质与方程的根的判别式得出k 的值是解答此题的关键.14．【分析】设A （t ）利用关于直线y=x 对称的点的坐标特征得到B （t ）再根据两点间的距离公式得到（t-）2+（-t ）2=42则t-=2或t-=-2解分式方程得到t 的值确定出点AB 坐标接着利用线段中点坐标解析：【分析】设A （t ，2t ），利用关于直线y=x 对称的点的坐标特征得到B （2t，t ），再根据两点间的距离公式得到（t-2t ）2+（2t -t ）2=42，则t-2t t-2t t 的值，确定出点A ，B 坐标，接着利用线段中点坐标公式写出C 点坐标，然后利用两点间的距离公式求出OC 的长．【详解】解：设A （t ，2t）， ∵点A 与点B 关于直线y=x 对称，∴B （2t，t ）， ∵AB=4， ∴（t-2t ）2+（2t -t ）2=42，即t-2t 或t-2t ，解方程t-2t ，得-2（由于点A 在第一象限，所以舍去）或+2，经检验，+2，符合题意，∴A （+2+2），B ，+2），∵C 为AB 的中点，∴C （2，2），∴．解方程t-2t -2（由于点A 在第一象限，所以舍去）或+2，经检验，+2，符合题意，∴B （+2），A ，+2），∵C 为AB 的中点，∴C （2，2），∴．故答案为【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=k x（k≠0）图象上的点（x ，y ）的横纵坐标的积是定值k ，即xy=k ；双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称．也考查了两点关于直线y=x 对称的坐标特征．15．-6【分析】根据题意设点P 为（xy ）则PA=结合即可求出k 的值【详解】解：∵点P 在反比例函数的图像上设点P 为（xy ）则∵轴点P 在第二象限则∴∴∵∴∴；故答案为：【点睛】本题考查了反比例函数的性质反比 解析：-6【分析】根据题意，设点P 为（x ，y ），则PA=x ，OA y =，结合132ABP SPA OA =•=，即可求出k 的值．【详解】解：∵点P 在反比例函数(0)k y k x=≠的图像上， 设点P 为（x ，y ），则=k xy ，∵PA y ⊥轴，点P 在第二象限，则0,0x y <>， ∴PA x x ==-，OA y =， ∴11()322ABP S PA OA x y =•=•-•=， ∵=k xy ， ∴132k -=， ∴6k =-；故答案为：6-．【点睛】本题考查了反比例函数的性质，反比例函数的几何意义，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质进行解题．16．＜1【分析】根据反比例函数的性质结合反比例函数图象所在象限求出m 的取值范围【详解】解：∵函数y ＝的图象在第二四象限内∴m ﹣1＜0∴m ＜1故当m ＜1时函数y ＝的图象在第二四象限内故答案为：＜1【点睛】解析：＜1【分析】根据反比例函数的性质，结合反比例函数图象所在象限，求出m的取值范围．【详解】解：∵函数y＝1mx-的图象在第二、四象限内，∴m﹣1＜0，∴m＜1，故当m＜1时，函数y＝1mx-的图象在第二、四象限内，故答案为：＜1．【点睛】本题主要考查了反比例函数的性质，象限内点的坐标特征，关键是根据反比例函数图象的位置确定m的取值范围．17．1【分析】过点C作CE⊥y轴于点E交双曲线于点G过点D作DF⊥x轴于点F如图先求出点AB的坐标然后利用正方形的性质余角的性质可证△OAB≌△FDA≌△EBC进而可利用全等三角形的性质求出点DC的坐标解析：1【分析】过点C作CE⊥y轴于点E，交双曲线于点G，过点D作DF⊥x轴于点F，如图，先求出点A、B的坐标，然后利用正方形的性质、余角的性质可证△OAB≌△FDA≌△EBC，进而可利用全等三角形的性质求出点D、C的坐标，进一步即可求出反比例函数的解析式，于是可得点G坐标，再根据平移的性质即可求出答案．【详解】解：过点C作CE⊥y轴于点E，交双曲线于点G，过点D作DF⊥x轴于点F，如图，在y＝2x+2中，令x＝0，解得：y＝2，即B的坐标是（0，2），令y＝0，解得：x＝﹣1，即A的坐标是（﹣1，0）．则OB＝2，OA＝1．∵∠BAD＝90°，∴∠BAO+∠DAF＝90°，又∵直角△ABO中，∠BAO+∠OBA＝90°，∴∠DAF＝∠OBA，在△OAB和△FDA中，∵∠OBA ＝∠DAF ，∠BOA ＝∠AFD ，AB ＝AD ，∴△OAB ≌△FDA （AAS ），同理可证：△OAB ≌△EBC ，∴AF ＝OB ＝EC ＝2，DF ＝OA ＝BE ＝1，∴D 的坐标是（﹣3，1），C 的坐标是（﹣2，3）．将点D 代入k y x=得：k ＝﹣3， 则函数的解析式是：y ＝﹣3x． ∴G 的坐标是（﹣1，3）， ∴当点C 与G 重合时，正方形沿x 轴正方向平移了1个单位，即a ＝1．故答案为1．【点睛】本题考查了正方形的性质、平移的性质、全等三角形的判定和性质以及反比例函数图象上点的坐标特征，求出点C 、D 的坐标是解题的关键．18．3【分析】设CE 的长为a 利用折叠的性质得到EG=BE=4-aED=3-a 在Rt △EGD 中利用勾股定理可求得a 的值得到点E 的坐标即可求解【详解】过G 作GD ⊥BC 于D 则点D(32)设CE 的长为a 根据折叠解析：3【分析】设CE 的长为a ，利用折叠的性质得到EG=BE=4-a ，ED=3-a ，在Rt △EGD 中，利用勾股定理可求得a 的值，得到点E 的坐标，即可求解．【详解】过G 作GD ⊥BC 于D ，则点D(3，2)，设CE 的长为a ，根据折叠的性质知：EG=BE=4-a ，ED=3-a ，在Rt △EGD 中，222EG ED DG =+，∴()()2224a 3a 2-=-+， 解得：32a =， ∴点E 的坐标为(32，2)，∵反比例函数k y x =的图象恰好经过点E ， ∴3232k xy ==⨯=， 故答案为：3．【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理的应用，反比例函数图象上点的特征，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．19．3【分析】根据反比例函数系数k 的几何意义得到：△MNO 的面积为|k|即可得出答案【详解】∵反比例函数的解析式为∴k=6∵点M 在反比例函数图象上MN ⊥y 轴于N ∴S △MNO=|k|=3故答案为：3【点睛解析：3【分析】根据反比例函数系数k 的几何意义得到：△MNO 的面积为12|k|，即可得出答案． 【详解】∵反比例函数的解析式为6y x =， ∴k=6，∵点M 在反比例函数6y x =图象上，MN ⊥y 轴于N ， ∴S △MNO =12|k|=3， 故答案为：3【点睛】本题考查反比例函数系数k 的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|．本知识点是中考的重要考点，同学们应高度关注．20．3【分析】作CF ⊥y 轴于FEG ⊥y 轴于G 根据勾股定理求得BF 证得△BCF ≌△EBG （AAS ）从而求得E 的坐标然后代入y=即可求得k 的值【详解】解：作CF ⊥y 轴于FEG ⊥y 轴于G 如图∵C(－42)∴C解析：3【分析】作CF ⊥y 轴于F ，EG ⊥y 轴于G ，根据勾股定理求得BF ，证得△BCF ≌△EBG （AAS ），从而求得E 的坐标，然后代入y=k x，即可求得k 的值． 【详解】解：作CF ⊥y 轴于F ，EG ⊥y 轴于G ，如图．∵C(－4， 2 )∴CF=4，OF=2．∵正方形BCDE 的边长为5，∴BC=BE=5，∴2222543BC CF -=-=∵∠BFC=90°，∴∠BCF+∠CBF=90°，∵∠CBE=90°∴∠EBG+∠CBF=90°，∴∠BCF=∠EBG ，在△BCF 与△EBG 中90BCF EBG BFC EGB BC EB ︒∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩∴△BCF ≌△EBG （AAS ），∴BF=EG=3，CF=BG=4，∴FG=BG-BF=4-3=1∴OG=OF-FG=2-1=1∴E （3,1）∴双曲线y=k x经过点E ， ∴k=3×1=3．故答案为：3．【点睛】 本题考查一次函数与反比例函数的交点，正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，待定系数法求反比例函数的解析式，解题关键是求得E 的坐标．三、解答题21．（1）6y x=，1y x =+；（2）（-3，-2）；（3）30x -<<或2x >； 【分析】（1）把A 的坐标代入一次函数与反比例函数的解析式即可求出解析式；（2）把一次函数与反比例函数的解析式联立得出方程组，求出方程组的解即可； （3）根据A 、B 的坐标结合图象即可得出答案．【详解】解：（1）∵点A （2，3）在双曲线k y x =上，也在直线y x b =+上， ∴326k =⨯=，321b =-=；∴双曲线的解析式为6y x=， 直线的解析式为1y x =+；（2）∵点B 是直线1y x =+和双曲线6y x=的交点， ∴点B 的坐标是方程组16y x y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩的一个解； ∴1123x y =⎧⎨=⎩，2232x y =-⎧⎨=-⎩； ∴点B 的坐标为（-3，-2）；（3）由图象可知，若k x b x+>，则x 的范围是：-3＜x ＜0或x ＞2． ．【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的解析式，用待定系数法求出一次函数的解析式，函数与不等式等知识点的应用，主要考查学生的计算能力和观察图形的能力，用了数形结合思想．22．1）双曲线的解析式为1y x=；（2）A(1，1)，B(-1，-1)． 【分析】（1）过A 作AF ⊥y 轴于F ，利用角平分线性质可得AE=AF ，可证△CAF ≌△DAE （ASA ），可证S △CAF =S △DAE ，可求S 正方形OFAE =S 四边形CADO =1即可；（2）联立方程组1y x yx =⎧⎪⎨=⎪⎩，解方程组即可． 【详解】解：（1）过A 作AF ⊥y 轴于F ，∵直线y x =是一三象限的角平分线，AE x ⊥轴，AF ⊥y 轴，∴AE=AF ，∵AC AD ⊥，∴∠CAD=90°，∴∠CAF+∠FAD=90°，∠FAD+∠DAE=90°，∴∠CAF=∠DAE ，∵∠CFA=∠DEA=90°∴△CAF ≌△DAE （ASA ），∴S △CAF =S △DAE ，∴S 正方形OFAE =S 四边形OFAD +S △DAE = S 四边形OFAD +S △CAF =S 四边形CADO =1，∴k=1，双曲线的解析式为1y x=； （2）∵直线y x =和双曲线1y x =交于A ，B 两点， ∴联立方程组1y x y x =⎧⎪⎨=⎪⎩， 消去y 得2=1x ，解得=1x ±，∴y=x=±1，A(1，1)，B(-1，-1)．【点睛】本题考查反比例函数解析式，三角形全等，面积和差计算，解方程组，掌握反比例函数解析式，三角形全等，面积和差计算，解方程组，引辅助线构造三角形全等是解题关键．23．（1）2y x=；（2）01x <<或1x <- 【分析】 （1）先利用正比例函数解析式确定A （1，2），再根据A 点坐标即可得到反比例函数解析式；（2）结合两个函数，先求出点B 的坐标，然后结合图像，即可得到答案．【详解】解：()1把()1,A a 代入2y x =，解得：2,a =则()1,2A把()1,2A 代入k y x=， 得：122,k =⨯= ∴反比例函数解析式为2y x =； ()2解方程组22y xy x =⎧⎪⎨=⎪⎩， 得：12x y =⎧⎨=⎩或12x y =-⎧⎨=-⎩， B ∴点坐标为(1,2)--， 观察图象可知，不等式2k x x>的解集为：01x <<或1x <-． 【点睛】本题考查了反比例函数和正比例函数的性质，解题的关键是掌握待定系数法求函数的解析式．24．（1）9k =，43m =；（2）当0＜x 1＜x 2或x 1＜x 2＜0时，y 1＜y 2；当x 1＜0＜x 2时，y 2＜y 1．【分析】（1）把点A 的坐标代入函数解析式，利用待定系数法确定函数关系式；根据反比例函数图象上的点（x ，y ）的横纵坐标的积是定值k ，把B 点代入函数求解即可；（2）分类讨论：当0＜x 1＜x 2或x 1＜x 2＜0，则y 1＜y 2；当x 1＜0＜x 2，则y 2＜y 1．【详解】解：（1）依题意得：1﹣k ＝2×（﹣4）＝﹣8，所以k ＝9；∵点B （m ，﹣6）在这个反比例函数的图象上，∴﹣6m ＝﹣8，∴m ＝43； （2）∵点M （x 1，y 1）、N （x 2，y 2）都在反比例函数y ＝﹣8x 的图象上， ∴函数在每个象限内，y 随x 的增大而增大，当0＜x 1＜x 2或x 1＜x 2＜0时，y 1＜y 2；当x 1＜0＜x 2时，y 2＜y 1．【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质、其中涉及反比例函数解析式的求法、反比例函数图象的增减性、分类讨论思想等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 25．（1）当12,x x 同号（120x x ⋅>）时，12y y <；当12,x x 异号（120x x ⋅<）时，12y y >；（2）2【分析】（1）分当12,x x 同号和当12,x x 异号分别判断即可；（2）把点1(x ，1)y 和2(x ，2)y 代入解析式，化简求值即可；【详解】解：（1）分类讨论①当12,x x 同号（120x x ⋅>）时， 即210x x <<或210x x <<， 由反比例函数1y x=的图象性质知，12y y <； ②当12,x x 异号（120x x ⋅<）时， 即120x x >>， 由反比例函数1y x =的图象性质知，12y y >； （2）点1(x ，1)y 和2(x ，2)y 是反比例函数1y x =图象上的两点， 111y x ∴=，221y x =， ∴2112121211y y x x y y y y -=-=-， 122x x -=， ∴21122y y y y -=； 【点睛】本题主要考查了反比例函数的图像和性质，准确计算是解题的关键．26．（1）124y x =--，26y x=-；（2）8 【分析】（1）将点A 坐标代入反比例函数求出m 的值，从而得到点A 的坐标以及反比例函数解析式，再将点B 坐标代入反比例函数求出n 的值，从而得到点B 的坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式求解；（2）设AB 与y 轴相交于点C ，根据一次函数解析式求出点C 的坐标，从而得到点OC 的长度，再根据S △AOB =S △AOC +S △BOC 列式计算即可得解．【详解】解：()1把()32A -，代入2m y x =得326m =-⨯=-， ∴反比例函数解析式为26y x=-， 把()6B n -，代入26y x=-得66n -=-， ∴解得1n =， B ∴点坐标为()16-，， 把()()3216A B --，，，代入1y kx b =+得326k b k b -+=⎧⎨+=-⎩， 解方程组得24k b =-⎧⎨=-⎩， ∴一次函数解析式为24y x =--；()2当0x =时，244y x =--=-，则AB 与y 轴的交点坐标为C ()04-，， ABO AOC BOC 11S =S +S =43+4122∆∆∴⨯⨯⨯⨯()143182=⨯⨯+=．【点睛】本题考查反比例函数与一次函数解析式问题．掌握反比例函数与一次函数解析式的求法，会利用分割法求两函数的交点与原点构成三角形的面积是解题关键．。
2021年北师大版数学六下第四单元《正比例和反比例》章节知识点、达标训练附解析
北师大版数学六年级下册章节复习知识点、达标训练附解析第四单元《正比例和反比例》知识点一：变化的量1.相互关联的变量在一定条件下的变化是有规律的。
2.列表与画图都可以表示变量之间的变化关系。
分析表格时，要弄清两个变量及相对应的数据；分析图时，要弄清图中横轴、纵轴表示的量的名称，以及图中每一个点所对应的两个量的多少。
3. 一般用含有字母的式子表示有规律的变量的变化规律，应先根据题中的条件写出等量关系式，再将等量关系式用字母表示出来。
知识点二：正比例1.成正比例的量的特征：一个量随着另一个量的变化而变化，在变化过程中这两个量的比值一定。
2.如果用x和y表示两个相关联的量，用k（一定）表示它们的比值，正比例关系可以表示为=k（一定）。
3.判断两个量是否成正比例的方法（1）首先，要确定这两个量是不是相关联的量（其中一个量是否随着另一个量的变化而变化）；（2）其次，要根据两个变量之间的数值对应关系，计算出两个变量每一对数值的比值；（3）最后，根据比值是否一定来判断这两个变量是否成正比例。
知识点三：正比例图像1.成正比例的两个量表示的各点在同一条直线上，即正比例图象的特征是一条直线。
2.从正比例图象中可以得出任意一点所表示的意义。
3. 观察正比例图象时，要先明确横轴、纵轴表示的意义，从图象中可以直观地看出两个量的变化情况，不需要计算，由一个量的值可以直接找到与它对应的另一个量的值。
知识点四：反比例1.成反比例的量的特征：一个量随着另一个量的变化而变化，在变化过程中这两个量的积一定。
2.如果用字母x和y表示两个相关联的量，用k（一定）表示它们的乘积，反比例关系可以表示为xy=k（一定）。
3.判断两个量是否成反比例的方法（1）首先，要确定这两个量是不是相关联的量（其中一个量是否随着另一个量的变化而变化）；（2）其次，要根据两个变量之间的数值对应关系，计算出两个变量每一对数值的积；（3）最后，根据积是否一定来判断这两个变量是否成反比例。
微专题4 反比例函数的综合应用++课件+2025年九年级中考数学总复习人教版(山东)
①当AC,BO为对角线时,AC,BO的中点重合,∴
,
+4=0+0
=
解得
,
= −
经检验,t=4,k=-16符合题意,
此时点C的坐标为(4,-4);
25
②当CB,AO为对角线时,CB,AO的中点重合,
+=+
∴
,
+0=4+0
= −
解得
,
= −
经检验,t=-4,k=-16符合题意,
所以S△AOB=S△AOM+S△BOM= ×2×3+ ×2×1=4.
因为正比例函数图象与反比例函数图象都是中心对称图形,且坐标原点是对称中
心,
所以点B和点C关于点O成中心对称,所以BO=CO,所以S△ABC=2S△AOB=8.
17
类型2
求特殊三角形或特殊四边形
【思维切入】
1.动点三角形的形状问题:
∵点A(m,4)在y=2x+2上,
∴2m+2=4,∴m=1,
∴点A的坐标为(1,4),
∵点A(1,4)在y= 上,∴4= ,∴k2=4,∴y= .
8
(2)如图,连接DE,过点B作BF垂直于y轴,垂足为F,
联立
= +
=
= 1 = −2
,解得
,
,
= 4 = −2
3.动点四边形的问题转化为动点三角形问题:
动点菱形问题转化为动点等腰三角形问题;
动点矩形问题转化为动点直角三角形问题.
反比例函数教学设计【优秀10篇】
反比例函数教学设计【优秀10篇】《反比例函数》教学设计篇一教学重点：理解和领会反比例函数的概念．教学难点：领悟反比例的概念．教学过程：一、创设情境，导入新课活动1问题：下列问题中，变量间的对应关系可用怎样的函数关系式表示？这些函数有什么共同特点？（1）京沪线铁路全程为1463km，乘坐某次列车所用时间t （单位：h）随该列车平均速度v（单位：km/h）的变化而变化；（2）某住宅小区要种植一个面积为1000m2的矩形草坪，草坪的长为y随宽x的变化；（3）已知北京市的总面积为1.68×104平方千米，人均占有土地面积S（单位：平方千米/人）随全市人口n（单位：人）的变化而变化．师生行为：先让学生进行小组合作交流，再进行全班性的问答或交流。
学生用自己的语言说明两个变量间的关系为什么可以看着函数，了解所讨论的函数的表达形式．教师组织学生讨论，提问学生，师生互动．在此活动中老师应重点关注学生：①能否积极主动地合作交流．②能否用语言说明两个变量间的关系．③能否了解所讨论的函数表达形式，形成反比例函数概念的具体形象．分析及解答：（1）；（2）；（3）其中v是自变量，t是v的函数；x是自变量，y是x的函数；n是自变量，s是n的函数；上面的函数关系式，都具有的形式，其中k是常数．二、联系生活，丰富联想活动2下列问题中，变量间的对应关系可用这样的函数式表示？（1）一个游泳池的容积为2000m3，注满游泳池所用的时间随注水速度u的变化而变化；（2）某立方体的体积为1000cm3，立方体的高h随底面积S的变化而变化；（3）一个物体重100牛顿，物体对地面的压力p随物体与地面的接触面积S的变化而变化．师生行为学生先独立思考，在进行全班交流．教师操作课件，提出问题，关注学生思考的过程，在此活动中，教师应重点关注学生：（1）能否从现实情境中抽象出两个变量的函数关系；（2）能否积极主动地参与小组活动；（3）能否比较深刻地领会函数、反比例函数的概念．分析及解答：（1）；（2）；（3）概念：如果两个变量x，y之间的关系可以表示成的`形式，那么y是x的反比例函数，反比例函数的自变量x不能为零．活动3做一做：一个矩形的面积为20cm2，相邻的两条边长为xcm和ycm．那么变量y是变量x的函数吗？是反比例函数吗？为什么？师生行为：学生先进行独立思考，再进行全班交流．教师提出问题，关注学生思考．此活动中教师应重点关注：①生能否理解反比例函数的意义，理解反比例函数的概念；②学生能否顺利抽象反比例函数的模型；③学生能否积极主动地合作、交流；活动4问题1：下列哪个等式中的y是x的反比例函数？问题2：已知y是x的反比例函数，当x=2时，y=6（1）写出y与x的函数关系式：（2）求当x=4时，y的值．师生行为：学生独立思考，然后小组合作交流．教师巡视，查看学生完成的情况，并给予及时引导．在此活动中教师应重点关注：①学生能否领会反比例函数的意义，理解反比例函数的概念；②学生能否积极主动地参与小组活动．分析及解答：1．只有xy=123是反比例函数．2．分析：因为y是x的反比例函数，所以，再把x=2和y=6代入上式就可求出常数k的值．解：（1）设，因为x=2时，y=6，所以有解得k=12三、巩固提高活动51．已知y是x的反比例函数，并且当x=3时，y=？8．（1）写出y与x之间的函数关系式．（2）求y=2时x的值．2．y是x的反比例函数，下表给出了x与y的一些值：（1）写出这个反比例函数的表达式；（2）根据函数表达式完成上表．学生独立练习，而后再与同桌交流，上讲台演示，教师要重点关注“学困生”．四、课时小结反比例函数概念形成的过程中，大家充分利用已有的生活经验和背景知识，注意挖掘问题中变量的相依关系及变化规律，逐步加深理解．在概念的形成过程中，从感性认识到理发认识一旦建立概念，即已摆脱其原型成为数学对象．反比例函数具有丰富的数学含义，通过举例、说理、讨论等活动，感知数学眼光，审视某些实际现象．《反比例函数》教师教案篇二教学目标（一）教学知识点1、从现实情境和已有的知识经验出发，讨论两个变量之间的相似关系，加深对函数概念的理解。
中考数学复习----反比例函数之定义、图像与性质知识点总结与练习题(含答案解析)
中考数学复习----反比例函数之定义、图像与性质知识点总结与练习题（含答案解析）知识点总结1. 反比例函数的定义：形如()0≠=k xky 的函数叫做反比例函数。
有时也用k xy =或1−=kx y 表示。
2. 反比例函数的图像：反比例函数的图像是双曲线。
3. 反比例函数的性质与图像：反比例函数()0≠=k xky k 的符号0＞k0＜k所在象限一、三象限二、四象限大致图像增减性在一个支上（每一个象限内），y 随x 的增大而减小。
在一个支上（每一个象限内），y 随x 的增大而增大。
对称性图像关于原点对称练习题1．（2022•黔西南州）在平面直角坐标系中，反比例函数y ＝xk（k ≠0）的图像如图所示，则一次函数y ＝kx +2的图像经过的象限是（ ） A ．一、二、三 B ．一、二、四C ．一、三、四D ．二、三、四【分析】先根据反比例函数的图像位于二，四象限，可得k ＜0，由一次函数y ＝kx +2中，k ＜0，2＞0，可知它的图像经过的象限． 【解答】解：由图可知：k ＜0，∴一次函数y ＝kx +2的图像经过的象限是一、二、四． 故选：B ．2．（2022•上海）已知反比例函数y ＝xk（k ≠0），且在各自象限内，y 随x 的增大而增大，则下列点可能在这个函数图像上的为（ ） A ．（2，3）B ．（﹣2，3）C ．（3，0）D ．（﹣3，0）【分析】根据反比例函数的性质判断即可．【解答】解：因为反比例函数y ＝（k ≠0），且在各自象限内，y 随x 的增大而增大， 所以k ＜0，A ．2×3＝6＞0，故本选项不符合题意；B ．﹣2×3＝﹣6＜0，故本选项符合题意；C ．3×0＝0，故本选项不符合题意；D ．﹣3×0＝0，故本选项不符合题意； 故选：B ．3．（2022•广东）点（1，y 1），（2，y 2），（3，y 3），（4，y 4）在反比例函数y ＝x4图像上，则y 1，y 2，y 3，y 4中最小的是（ ） A ．y 1B ．y 2C ．y 3D ．y 4【分析】根据k ＞0可知增减性：在每一象限内，y 随x 的增大而减小，根据横坐标的大小关系可作判断． 【解答】解：∵k ＝4＞0，∴在第一象限内，y 随x 的增大而减小，∵（1，y 1），（2，y 2），（3，y 3），（4，y 4）在反比例函数y ＝图像上，且1＜2＜3＜4， ∴y 4最小． 故选：D ．4．（2022•云南）反比例函数y ＝x6的图像分别位于（ ） A ．第一、第三象限 B ．第一、第四象限 C ．第二、第三象限D ．第二、第四象限【分析】根据反比例函数的性质，可以得到该函数图像位于哪几个象限，本题得以解决．【解答】解：反比例函数y ＝，k ＝6＞0， ∴该反比例函数图像位于第一、三象限， 故选：A ．5．（2022•镇江）反比例函数y ＝xk（k ≠0）的图像经过A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）两点，当x 1＜0＜x 2时，y 1＞y 2，写出符合条件的k 的值 （答案不唯一，写出一个即可）． 【分析】先根据已知条件判断出函数图像所在的象限，再根据系数k 与函数图像的关系解答即可．【解答】解：∵反比例函数y ＝（k ≠0）的图像经过A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）两点，当x 1＜0＜x 2时，y 1＞y 2，∴此反比例函数的图像在二、四象限， ∴k ＜0，∴k 可为小于0的任意实数，例如，k ＝﹣1等． 故答案为：﹣1．6．（2022•福建）已知反比例函数y ＝xk的图像分别位于第二、第四象限，则实数k 的值可以是 ．（只需写出一个符合条件的实数）【分析】根据图像位于第二、四象限，易知k ＜0，写一个负数即可． 【解答】解：∵该反比例图像位于第二、四象限， ∴k ＜0，∴k 取值不唯一，可取﹣3， 故答案为：﹣3（答案不唯一）．7．（2022•成都）在平面直角坐标系xOy 中，若反比例函数y ＝xk 2−的图像位于第二、四象限，则k 的取值范围是 ．【分析】根据反比例函数的性质列不等式即可解得答案． 【解答】解：∵反比例函数y ＝的图像位于第二、四象限，∴k ﹣2＜0， 解得k ＜2， 故答案为：k ＜2．8．（2022•襄阳）二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图像如图所示，则一次函数y ＝bx +c 和反比例函数y ＝xa在同一平面直角坐标系中的图像可能是（ ） A ． B ．C ．D ．【分析】根据二次函数图像开口向下得到a ＜0，再根据对称轴确定出b ，根据与y 轴的交点确定出c ＜0，然后确定出一次函数图像与反比例函数图像的情况，即可得解． 【解答】解：∵二次函数图像开口方向向下， ∴a ＜0，∵对称轴为直线x ＝﹣＞0，∴b ＞0，∵与y 轴的负半轴相交， ∴c ＜0，∴y ＝bx +c 的图像经过第一、三、四象限， 反比例函数y ＝图像在第二四象限， 只有D 选项图像符合． 故选：D ．9．（2022•菏泽）根据如图所示的二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图像，判断反比例函数y ＝xa与一次函数y ＝bx +c 的图像大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】先根据二次函数的图像，确定a 、b 、c 的符号，再根据a 、b 、c 的符号判断反比例函数y ＝与一次函数y ＝bx +c 的图像经过的象限即可． 【解答】解：由二次函数图像可知a ＞0，c ＜0， 由对称轴x ＝﹣＞0，可知b ＜0，所以反比例函数y ＝的图像在一、三象限，一次函数y ＝bx +c 图像经过二、三、四象限． 故选：A ．10．（2022•安顺）二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图像如图所示，则一次函数y ＝ax +b 和反比例函数y ＝xc（c ≠0）在同一直角坐标系中的图像可能是（ ） A ． B ．C ．D ．【分析】直接利用二次函数图像经过的象限得出a ，b ，c 的取值范围，进而利用一次函数与反比例函数的性质得出答案．【解答】解：∵二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图像开口向上， ∴a ＞0，∵该抛物线对称轴位于y 轴的右侧， ∴a 、b 异号，即b ＜0． ∵抛物线交y 轴的负半轴，∴c ＜0，∴一次函数y ＝ax +b 的图像经过第一、三、四象限，反比例函数y ＝（c ≠0）在二、四象限． 故选：A ．11．（2022•西藏）在同一平面直角坐标系中，函数y ＝ax +b 与y ＝axb（其中a ，b 是常数，ab ≠0）的大致图像是（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】根据a 、b 的取值，分别判断出两个函数图像所过的象限，要注意分类讨论． 【解答】解：若a ＞0，b ＞0，则y ＝ax +b 经过一、二、三象限，反比例函数y ＝（ab ≠0）位于一、三象限，若a ＞0，b ＜0，则y ＝ax +b 经过一、三、四象限，反比例函数数y ＝（ab ≠0）位于二、四象限， 若a ＜0，b ＞0，则y ＝ax +b 经过一、二、四象限，反比例函数y ＝（ab ≠0）位于二、四象限， 若a ＜0，b ＜0，则y ＝ax +b 经过二、三、四象限，反比例函数y ＝（ab ≠0）位于一、三象限， 故选：A ．12．（2022•张家界）在同一平面直角坐标系中，函数y ＝kx +1（k ≠0）和y ＝xk（k ≠0）的图像大致是（ ）A．B．C．D．【分析】分k＞0或k＜0，根据一次函数与反比例函数的性质即可得出答案．【解答】解：当k＞0时，一次函数y＝kx+1经过第一、二、三象限，反比例函数y＝位于第一、三象限；当k＜0时，一次函数y＝kx+1经过第一、二、四象限，反比例函数y＝位于第二、四象限；故选：D．13．（2022•绥化）已知二次函数y＝ax2+bx+c的部分函数图像如图所示，则一次函数y＝ax+b2﹣4ac与反比例函数y＝xc ba++24在同一平面直角坐标系中的图像大致是（）A．B．C．D．【分析】由二次函数y＝ax2+bx+c的部分函数图像判断a，b2﹣4ac及4a+2b+c的符号，即可得到答案．【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的部分函数图像开口向上，∴a＞0，∵二次函数y ＝ax 2+bx +c 的部分函数图像顶点在x 轴下方，开口向上， ∴二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图像与x 轴有两个交点，b 2﹣4ac ＞0， ∴一次函数y ＝ax +b 2﹣4ac 的图像位于第一，二，三象限，由二次函数y ＝ax 2+bx +c 的部分函数图像可知，点（2，4a +2b +c ）在x 轴上方， ∴4a +2b +c ＞0， ∴y ＝的图像位于第一，三象限，据此可知，符合题意的是B ， 故选：B ．14．（2022•贺州）已知一次函数y ＝kx +b 的图像如图所示，则y ＝﹣kx +b 与y ＝xb的图像为（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】本题形数结合，根据一次函数y ＝kx +b 的图像位置，可判断k 、b 的符号；再由一次函数y ＝﹣kx +b ，反比例函数y ＝中的系数符号，判断图像的位置．经历：图像位置﹣系数符号﹣图像位置．【解答】解：根据一次函数y ＝kx +b 的图像位置，可判断k ＞0、b ＞0． 所以﹣k ＜0．再根据一次函数和反比例函数的图像和性质， 故选：A ．15．（2022•广西）已知反比例函数y ＝xb（b ≠0）的图像如图所示，则一次函数y ＝cx ﹣a （c ≠0）和二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）在同一平面直角坐标系中的图像可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】本题形数结合，根据反比例函数y ＝（b ≠0）的图像位置，可判断b ＞0；再由二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图像性质，排除A ，B ，再根据一次函数y ＝cx ﹣a （c ≠0）的图像和性质，排除C ．【解答】解：∵反比例函数y ＝（b ≠0）的图像位于一、三象限， ∴b ＞0；∵A 、B 的抛物线都是开口向下，∴a ＜0，根据同左异右，对称轴应该在y 轴的右侧， 故A 、B 都是错误的．∵C 、D 的抛物线都是开口向上，∴a ＞0，根据同左异右，对称轴应该在y 轴的左侧， ∵抛物线与y 轴交于负半轴， ∴c ＜0由a ＞0，c ＜0，排除C ． 故选：D ．16．（2022•滨州）在同一平面直角坐标系中，函数y ＝kx +1与y ＝﹣xk（k 为常数且k ≠0）的图像大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】根据一次函数和反比例函数的性质即可判断．【解答】解：当k ＞0时，则﹣k ＜0，一次函数y ＝kx +1图像经过第一、二、三象限，反比例函数图像在第二、四象限，所以A 选项正确，C 选项错误；当k ＜0时，一次函数y ＝kx +1图像经过第一、二，四象限，所以B 、D 选项错误． 故选：A ．17．（2022•德阳）一次函数y ＝ax +1与反比例函数y ＝﹣xa在同一坐标系中的大致图像是（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】根据一次函数与反比例函数图像的特点，可以从a ＞0，和a ＜0，两方面分类讨论得出答案．【解答】解：分两种情况：（1）当a ＞0，时，一次函数y ＝ax +1的图像过第一、二、三象限，反比例函数y ＝﹣图像在第二、四象限，无选项符合；（2）当a ＜0，时，一次函数y ＝ax +1的图像过第一、二、四象限，反比例函数y ＝﹣图像在第一、三象限，故B 选项正确． 故选：B ．18．（2022•阜新）已知反比例函数y ＝x k （k ≠0）的图像经过点（﹣2，4），那么该反比例函数图像也一定经过点（ ）A ．（4，2）B ．（1，8）C ．（﹣1，8）D ．（﹣1，﹣8）【分析】先把点（﹣2，4）代入反比例函数的解析式求出k 的值，再对各选项进行逐一判断即可．【解答】解：∵反比例函数y ＝（k ≠0）的图像经过点（﹣2，4），∴k ＝﹣2×4＝﹣8，A 、∵4×2＝8≠﹣8，∴此点不在反比例函数的图像上，故本选项错误；B 、∵1×8＝8≠﹣8，∴此点不在反比例函数的图像上，故本选项错误；C 、﹣1×8＝﹣8，∴此点在反比例函数的图像上，故本选项正确；D 、（﹣1）×（﹣8）＝8≠﹣8，∴此点不在反比例函数的图像上，故本选项错误． 故选：C ．19．（2022•襄阳）若点A （﹣2，y 1），B （﹣1，y 2）都在反比例函数y ＝x2的图像上，则y 1，y 2的大小关系是（ ）A ．y 1＜y 2B ．y 1＝y 2C ．y 1＞y 2D ．不能确定 【分析】根据反比例函数图像上点的坐标特征即可求解．【解答】解：∵点A （﹣2，y 1），B （﹣1，y 2）都在反比例函数y ＝的图像上，k ＝2＞0，∴在每个象限内y 随x 的增大而减小，∵﹣2＜﹣1，∴y 1＞y 2，故选：C ．20．（2022•海南）若反比例函数y ＝xk （k ≠0）的图像经过点（2，﹣3），则它的图像也一定经过的点是（ ）A ．（﹣2，﹣3）B ．（﹣3，﹣2）C ．（1，﹣6）D ．（6，1） 【分析】将（2，﹣3）代入y ＝（k ≠0）即可求出k 的值，再根据k ＝xy 解答即可．【解答】解：∵反比例函数y ＝（k ≠0）的图像经过点（2，﹣3），∴k ＝2×（﹣3）＝﹣6，A 、﹣2×（﹣3）＝6≠﹣6，故A 不正确，不符合题意；B 、（﹣3）×（﹣2）＝6≠﹣6，故B 不正确，不符合题意；C 、1×（﹣6）＝﹣6，故C 正确，符合题意，D 、6×1＝6≠﹣6，故D 不正确，不符合题意．故选：C ．21．（2022•武汉）已知点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）在反比例函数y ＝x6的图像上，且x 1＜0＜x 2，则下列结论一定正确的是（ ）A ．y 1+y 2＜0B ．y 1+y 2＞0C ．y 1＜y 2D ．y 1＞y 2 【分析】先根据反比例函数y ＝判断此函数图像所在的象限，再根据x 1＜0＜x 2判断出A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）所在的象限即可得到答案．【解答】解：∵反比例函数y ＝中的6＞0，∴该双曲线位于第一、三象限，且在每一象限内y 随x 的增大而减小，∵点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）在反比例函数y ＝的图像上，且x 1＜0＜x 2，∴点A 位于第三象限，点B 位于第一象限，∴y 1＜y 2．故选：C ．22．（2022•天津）若点A （x 1，2），B （x 2，﹣1），C （x 3，4）都在反比例函数y ＝x8的图像上，则x 1，x 2，x 3的大小关系是（ ）A ．x 1＜x 2＜x 3B ．x 2＜x 3＜x 1C ．x 1＜x 3＜x 2D ．x 2＜x 1＜x 3 【分析】根据函数解析式算出三个点的横坐标，再比较大小．【解答】解：点A （x 1，2），B （x 2，﹣1），C （x 3，4）都在反比例函数y ＝的图像上， ∴x 1＝＝4，x 2＝＝﹣8，x 3＝＝2． ∴x 2＜x 3＜x 1，故选：B ．23．（2022•淮安）在平面直角坐标系中，将点A （2，3）向下平移5个单位长度得到点B ，若点B 恰好在反比例函数y ＝xk 的图像上，则k 的值是 ．【分析】点A （2，3）向下平移5个单位长度得到点B （2，﹣2），代入y ＝利用待定系数法即可求得k 的值．【解答】解：将点A （2，3）向下平移5个单位长度得到点B ，则B （2，﹣2）， ∵点B 恰好在反比例函数y ＝的图像上，∴k ＝2×（﹣2）＝﹣4，故答案为：﹣4．24．（2022•北京）在平面直角坐标系xOy 中，若点A （2，y 1），B （5，y 2）在反比例函数y ＝xk （k ＞0）的图像上，则y 1 y 2（填“＞”“＝”或“＜”）． 【分析】先根据函数解析式中的比例系数k 确定函数图像所在的象限，再根据各象限内点的坐标特征及函数的增减性解答．【解答】解：∵k ＞0，∴反比例函数y ＝（k ＞0）的图像在一、三象限，∵5＞2＞0，∴点A （2，y 1），B （5，y 2）在第一象限，y 随x 的增大而减小，∴y 1＞y 2，故答案为：＞．。
反比例函数小结
第十七章反比例函数小结昆明市实验中学初二（５）班陈璇Ⅰ、本章知识结构框图：Ⅱ、本章知识点：１、反比例函数的概念：一般地，形如ｙ＝（ｋ是常数，ｋ≠０）的函数叫做反比例函数。
注意：（１）反比例函数ｙ＝（ｋ≠0）的左边是函数y，右边是分母为自变量x的分式。
也就是说，分母不能是多项式，只能是x的一次单项式。
（２）反比例函数可以理解为两个变量的乘积是一个不为０的常数，因此可以写成ｙ＝ｋｘ或ｘｙ＝ｋ的形式。
（３）反比例函数中，两个变量成反比例关系。
（４）反比例函数ｙ＝（ｋ≠0）的自变量ｘ是不等于０的任意实数。
２、反比例函数的图象：反比例函数ｙ＝（ｋ≠0）的图象是双曲线。
注意：（１）反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，它的两个分支时断开的。
（２）当ｋ＞０时，两个分支位于第一、三象限；当ｋ＜０时，两个分支位于第二、四象限。
（３）反比例函数ｙ＝（ｋ≠0）的图象的两个分支关于原点对称。
（４）反比例函数的图象与ｘ轴、ｙ轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交，这是因为ｘ≠０，ｙ≠０。
３、反比例函数解析式的确定：因为反比例函数的解析式ｙ＝（ｋ≠０）中，只有一个系数ｋ，确定了ｋ的值，也就确定了反比例函数，因此只需给出一组ｘ、ｙ的对应值或图象上一点的坐标，利用待定系数法，即可确定反比例函数的解析式。
４、反比例函数的性质：反比例函数的性质与ｋ的符号有关，反比例函数的性质如下表所示：注意：（１）反比例函数图象的位置和函数的增减性，都是由比例系数ｋ的符号决定的。
反过来，有双曲线所在的位置或函数的增减性，也可以判断出ｋ的符号。
（２）反比例函数的增减性，只能在每个象限内讨论；当ｋ＞０时，在每一象限（第一、三象限）ｙ随ｘ的增大而减小，但不能笼统地说：当ｋ＞０时，ｙ随ｘ的增大而减小，同样，当ｋ＜０时，在每一象限（第二、四象限）ｙ随ｘ的增大而增大，也不能笼统地说：当ｋ＜０时，ｙ随ｘ的增大而增大。
５、反比例函数ｙ＝（ｋ≠０）中比例系数ｋ的几何意义：反比例函数中比例系数ｋ的几何意义：如图所示，过双曲线上任意一点Ｐ作ｘ轴、ｙ轴的垂涎ＰＮ、ＰＭ，所得矩形ＰＭＯＮ的面积Ｓ＝ＰＭ·ＰＮ＝︱ｘ︱·︱ｙ︱＝︱ｘｙ︱＝︱ｋ︱。
「初中数学」求反比例函数解析式的六种常用方法
「初中数学」求反⽐例函数解析式的六种常⽤⽅法解有关函数的习题，⾸要的⼯作应该是知道函数的解析式，每⼀类函数都有各⾃解析式的求法，那么反⽐例函数的解析式如何求解呢？下边⼀⼀介绍.⽅法⼀.利⽤反⽐利函数的定义求解析式【分析】反⽐例函数有三种表达形式:(1)y=K/x;(2)y=Kx-';(3)xy=K，其中K是常数，且K≠0.(第⼆种形式是y等于K与x的负1次⽅的积)，特别要注意K≠0，1.解:由m²⼀10=⼀1，解得m=±3，⽽m=⼀3时K=(m+3)=0，∴m=3，则K=m+3=6，∴反⽐例函数解析式为y=6/x2.解:由3m²+m⼀5=⼀1，解得m=1或m=⼀4/3，⽽m=1时，K=m²⼀1=0，∴m=⼀4/3，则m²⼀1=7/9，所以反⽐例函数解析式为y=7/(9x).⽅法⼆.利⽤反⽐例函数的性质求解析式【分析】由反⽐例函数的概念知，第3题n²+2n⼀9=⼀1，由于反⽐例函数在每个象限内，y随x的增⼤⽽减⼩，所以n+3为正数;第4题m²⼀5=⼀1，⼜由于反⽐例函数的图象在每个象限内y随x值的增⼤⽽增⼤，所以m为负值.3.解:由题意得，n²+2n⼀9=⼀1，解得n=⼀4或n=2，由于其图象在每个象限内y随x值的增⼤⽽减⼩，所以n+3>0，∴n=2，则n+3=5，所以反⽐例函数图象为y=5/x.4.解:由题意得，m²⼀5=⼀1，解得m=±2，⼜由于其图象在每个象限内y随x值的增⼤⽽增⼤，所以m=⼀2，所以反⽐例函数的解析式为y=⼀2/x.⽅法三.利⽤反⽐例函数的图象求解析式5.如图，在△ABC中，AC=BC，AB⊥x轴，垂⾜为A，反⽐例函数y=K/x(x>0)的图象经过点C，交AB于点D.已知AB=4，BC=5/2.(1)若OA=4，求反⽐例函数的解析式;(2)连接OC，若BD=BC，求OC的长.【分析】这类题的特征⼀般是通过条件求图象上某⼀点的坐标，然后根据xy=K，从⽽确定解析式.第⼀问，根据AC=BC=5/2，过C点作CE⊥AB于E，则E为AB的中点，则AE=BE=2，由于AB⊥x轴，所以C点纵坐标为2，在Rt△BEC中，求出CE的长为3/2，因为OA=4，所以C点横坐标为4⼀3/2=5/2，则C点坐标确定，所以反⽐例函数解析式可得.第⼆问，由于BD=BC=5/2，所以AD=AB⼀BD=4⼀5/2=3/2，所以D点纵坐标为3/2，⽽C点纵坐标还是2，C到AB的距离长CE=3/2，若设出A点坐标为(m，0)，则C点坐标为(m⼀3/2，2)，D点坐标为(m，3/2)，由于C，D两点都在反⽐例函数图像上，利⽤xy=K建⽴⽅程可求得m，进⽽求得C点坐标，利⽤勾股定理可得OC的长.解:(1)过C点作CE⊥AB于E，如图，∵AC=BC，AB=4，∴AE=BE=2，在Rt△BCE中，BC=5/2，BE=2，∴CE=3/2，∵OA=4，∴C点坐标为(5/2，2)，⼜C点在y=K/x的图象上，∴xy=K，即K=2×5/2=5，所以反⽐例函数的图象为y=5/x.(x>0).(2).如图，作CF⊥x轴，垂⾜为F，设A点的坐标为(m，0)，∵BD=BC=5/2，AB=4，∴AD=3/2，∴D点坐标为(m，3/2)，由(1)知CE=3/2，AE=BE=2，∴C点坐标为(m⼀3/2，2)，∵C，D两点都在y=K/x的图象上，∴3m/2=2(m ⼀3/2)，解得m=6，∴C点坐标为(9/2，2)，∴OF=9/2，CF=2，在Rt△OFC中，由勾股定理可得，OC=√97/2.6.如图，矩形AOCB的两边OC，OA分别在x轴，y轴上，点B的坐标为(⼀20/3，5)，D是AB上的⼀点，将△ADO沿直线OD翻折，使A点恰好落在对⾓线OB上的点E处，若点E在⼀反⽐例函数的图象上，求该反⽐例函数的解析式.【分析】求反⽐例函数解析式，实质上是求系数K，那么就只需要⼀个条件，⼤多数是求图象上点的坐标，本题只要求出E点坐标即可，由于折叠A点落在E处，则OA=BC=OE=5，过E作EF⊥x轴于F，则△OEF∽△OBC，则OE/OB=EF/BC=OF/OC，由题意知BC=5，OC=20/3，则OB=25/3，可求出OF，EF，则E点坐标求出，反⽐例函数解析式可求出.当然也可⽤三⾓函数求E点坐标.解:如图，过E点作EF⊥x轴于F，设过E点的反⽐例函数解析式为y=K/x，(K≠0).由矩形AOCB知BC⊥x轴，∴△OEF∽△OBC，∴OE/OB=EF/BC=OF/OC，∵B点坐标为(⼀20/3，5)，∴BC=5，OC=20/3，由于△ADO沿OD翻折，A点落在OB上E处，∴OE=OA=BC=5，在Rt△BCO中，由勾股定理求得OB=25/3，∴可求得，EF=3，OF=4，∴E点坐标为(⼀4，3)，代⼊y=K/x，得K=⼀12，所以反⽐例函数解析式为y=⼀12/x.⽅法四，利⽤待定系数法求解析式7.已知y1与x成正⽐例，y2与x成反⽐例，若y=y1+y2的图象经过点(1，2)，(2，1/2)，求y与x的函数解析式.【分析】这种题型，根据题意，设出对应的函数解析式，利⽤条件列⽅程组，解出相应的待定系数即可，注意待定系数在不同的函数中应⽤不同的字母.解:∵y1与x成正⽐例，∴设y1=Kx(K≠0)，∵y2与x成反⽐例，∴设y2=m/x(m≠0)，由y=y1+y2得，y=Kx⼗m/x，⼜∵y=Kx+m/x的图象经过(1，2)和(2，1/2)两点，∴可得8.已知y=y1+y2，y1与x成正⽐例，y2与x²成反⽐例，且x=2与x=3时，y的值都等于19，求y与x 间的函数关系式解∵y1与x成正⽐例，∴设y1=Kx(K≠0)，∵y2与x²成反⽐例，∴设y2=m/x²(m≠0)，∴y=y1+y2=Kx⼗m/x，∵当x=2时y=19，当x=3时y=19，∴可得⽅法五.利⽤图形的⾯积求解析式9.如图，点A在双曲线y=1/x上，点B在双曲线y=K/x上，且AB∥x轴，C，D两点在x轴上，若矩形ABCD的⾯积为6，求点B所在双曲线对应的函数解析式.【分析】反⽐例函数y=K/x的系数K具有⼀定的⼏何意义，|K|等于图象上任意⼀点向两坐标轴所作垂线与坐标轴所围成的矩形的⾯积.如图|K|=S矩形AEOC=S矩形BFOD，|K|/2=2S△AOC=2S△BOD=2S△AOE=S△BOF.灵活运⽤K的⼏何意义，通过⾯积求出K，也就求得解析式.所以延长BA交y轴于点E，则四边形AEOD，BEOC 均为矩形，则由题意得，S矩形AEOD=1，S矩形BEOC=|K|，∴|K|=1+6=7，由于反⽐例函数图象在第⼀，三象限，K>0，∴K=7，∴反⽐例函数解析式为y=7/x.如图.解:延长BA交y轴于点E，由题意可知S矩形AEOD=1，S矩形BEOC=K，∵S矩形ABCD=6，∴K ⼀1=6，K=7，∴B点所在双曲线对应的函数解析式是y=7/x.10.如图，A，B是双曲线y=K/x(K≠0)上的两点，过A点作AC⊥x轴，交OB于D点，垂⾜为C，若△ADO的⾯积为1，D为OB的中点，求反⽐例函数的解析式.【分析】反⽐例函数有些与⾯积有关的习题，灵活运⽤|K|的⼏何意义，结合题中的条件建⽴关于K的⽅程，是这类题的常见的解法，本题过B作BE⊥x轴于E，由于D为OB的中点，则BE=2CD，AD=AC⼀CD=AC⼀BE/2，OE=2OC，如图，设A点坐标为(x，K/x)，(K>0)，∵C，A两点横坐标都为x，则B点横坐标2x，∴B点坐标为(2x，K/2x)，∴CD=k/4x，AD=K/x⼀K/4x，∵S△AOD=1，即1/2(K/x⼀K/4x)x=1，解得K=8/3.所以反⽐例函数解析式为y=8/3x.(反⽐例函数有这样的优势，通过设坐标，引进系数K，也就引进了⾯积，这⼀点同学们多体会⼀下).⽅法六.利⽤实际问题的关系求解析式11.某运输队要运300t物资到江边防洪.(1)运输时间t(单位:h)与运输速度v(单位:t/h)之间有怎样的函数关系？(2)运了⼀半时，接到防洪指挥部命令，剩下的物资要在2h之内运到江边，则运输速度⾄少为多少？【分析】实际问题往往通过具体的量的关系，抽象为数学模型，⽤对应模型的数学知识解决实际问题.(1)本题数量关系为:物资总量=运输时间×运输速度，由于物资总量300t⼀定，所以运输时间与运输速度成反⽐例关系即t=300/v.(2)运输物资剩下⼀半即150t时，剩下的要在2h运到江边，所以运输速度⾄少为150÷2=75(t/h).(实际问题中的数量关系求反⽐例函数解析式，必须是a×b=c，c⼀定的数学模型).12.某汽车的功率P(单位:W)为⼀定值，它的速度v(单位:m/s)与它所受的牵引⼒F(单位:N)有关系:v=P/F，且当F=3000时，v=20.(1)这辆汽车的功率是多少⽡？请写出这⼀函数的解析式.(2)当它所受的牵引⼒为2500N时，汽车的速度为多少？(3)若限定汽车的速度不超过30m/s，则牵引⼒在什么范围？解:(1)由v=P/F，得P=Fv=3000×20=60000所以这辆汽车的功率为60000W，此函数解析式为v=60000/F.(2)当F=2500N时，代⼊v=60000/F，得v=60000÷2500=24，所以汽车的速度为24m/s.(3)由v≤30m/s，∴60000÷F≤30，∵F>0，∴F≥2000，所以牵引⼒⼤于或等于2000N.【总结】求反⽐例函数解析式，⼀般不太难，同学们把常见的⽅法掌握好，求出解析式为进⼀步攻克难题打下基础关.。
4正比例与反比例练习
铺地面积÷砖的块数= 每块瓷砖的面积（一定）
正比例
易错易混题（一）
2、铺地面积一定,每块砖的面积和 所需块数。 每块砖的面积×所需块数=铺地的 面积。（一定）
反比例
易错易混题（一）
3、铺地面积一定,每块砖 的边长和所需块数. 不成比例
易错易混题（一）
1、瓷砖面积一定, 砖的块数和 (正比例） 铺地面积. 2、铺地面积一定,每块砖的面积 和所需块数. （反比例）
A1
B2
C3
D4
下表中χ和y两个量成反比例,请 把表格填写完整
χ
2
1 5
100
40
y
5
50 0.1 0.25
易错易混题（一）
3、铺地面积一定,方砖 边长和所需块数.
不成比例
下表中x和y是两种相关联的量观察 规律，请把表格填写完整。
X y
0.5 0.6 0.9 1 1.5 1.8 2.7 3
若χ和y是两种相关联的量，判断它 们是否成比例，成什么比例？
（2）用同样的钱购买不同笔记本的单 价和数量如下表。 2 3 4 5 单价/元 数量/本 30 20 15 12 30×2=60 20×30=60 15×4=60 在表2中相关联的量是( 单价 )和 ( 数量 )，( 数量 )随着( 单价 )变化，
(
量成(
)是一定的。因此，单价和数 积即总价
)比例关系。 反
做一做 判断工效、时间和总量中一种量一定， 另外两个量成什么比例关系。为什么？
工效一定，时间和工作总量 成正比例 。 总量 =工效（一定） 时间 工作总量一定，工效和时间 成反比例 。 工效×时间=工作总量（一定） 时间一定，工作总量和工效 成正比例 。 总量 =时间（一定） 工效
反比例函数及解析式
x1
x2
0
x3
，
则 y1 ， y2 ， y3 的大小关系是( )
A． y1 y2 y3 B． y2 y1 y3
C． y3 y1 y2
D． y3 y2 y1
4.一张正方形的纸片，剪去两个一样的小矩形得到一个“E”图案，如图 4 所示，设小矩形的长和宽分别为 x、y，剪
去部分的面积为 20，若 2≤x≤10，则 y 与 x 的函数图像是( )
4
4.在同一坐标系中，函数 y k 和 y kx 3 的图象大致是（ ） x
1.反比例函数的图象有 k 的符号确定其分布的象限，同时也决定了图象离原点距离的远近情况； 2.运用反比例函数的性质来比较反比例函数值大小比较时一定注意得函数自变量是否为同一象限里.
（k 为常数，k≠0）的形式，那么称 y 是 x 的反比例函数
注意三点： ① xy 0
②y 是 x 的反比例函数中分母中不含有关于 x 的多项式，也就是说分母、商均为单项式
③ y k xy k y kx1 x
2. 反比例系数 k: 求法→ k xy
3. 待定系数法求反比例函数解析式： 一设→二代→三解→四结论
4.若 y b 与 1 成反比例，则 y 与 x 的函数关系式是（ ） xa
A. 正比例 B. 反比例
C.一次函数 D.二次函数
1.已知函数 y m ，当 x 1 时， y 6 ，则函数的解析式是
；
x
2
2.已知变量 y 与 x -5 成反比例，且当 x =2 时 y =9,则 y 与 x 之间的函数解析式是
3. 已知□ABCD 中，AB = 4，AD = 2，E 是 AB 边上的一动点，设 AE= x ，DE 延长线交 CB 的延长线于 F，设 CF = y ，
2023春人教版六年级数学下册《 反比例》PPT课件
（2）全班的人数一定，按各组人数相等的要求 分组，组数与每组的人数。
成反比例关系。因为每组的人数×组数＝全班的人 数(一定)，所以组数与每组的人数成反比例关系。
（3）圆柱的体积一定，圆柱的底面积与高。
成反比例关系。因为圆柱的底面积×高＝圆柱 体积(一定)，所以圆柱的底面积与高成反比例 关系。
（4）在一块菜地上只种黄瓜与西红柿两种作物， 这两种作物的种植面积。
探究新知
容器的底面积/cm2 10
水的高度/cm 30 水的体积/cm³ 300
15 20 30 60 … 20 15 10 5 …
300 300 300 300
像这样,两种相关联的量,一种量变化, 另一种量也随着变化,如果这两种量中相对 应的两个数的乘积一定,这两种量就叫作成 反比例的量,它们的关系叫作反比例关系。
容器的底面积/cm² 10 15 20 30 60 ...
水的高度/cm
30 20 15 10 5 ...
根据上表，回答下面的问题。
（1）表中有哪两种量？
容器的底面积和水的高度。
容器的底面积/cm² 10 15 20 30 60 ...
水的高度/cm
30 20 15 10 5 ...
（2）水的高度是怎样随着容器底面积的大小变化 而变化的？
2.判断下面各题中的两种量是否成正比例关系。
（1）长方形的长一定，它的宽和面积。 成正比例关系
（2）圆的周长和半径。 成正比例关系
（3）一个人的年龄和他的身高。 不成比例
探究新知
把相同体积的水倒入底面积不同的圆柱形容器， 容器的底面积与水的高度的变化情况如下表。
容器的底面积/cm² 10 15 20 30 60 … 水的高度/cm 30 20 15 10 5 …
26.2.4反比例函数图像和性质
不可能，请说明理由.
(08义乌市)已知：等腰三角形OAB在直角坐标系中的位置
如图，点A的坐标为（3 3,3 ），点B的坐标为（－6，0）
如图点A在双曲线y=5/x上，点B在双曲线y=8/x 上，且AB//x轴，则△OAB的面积= 3/2 。
如图，A，B两点在反比例函数y=K1/x的图象上， C，D两点在反比例函数y=k2/x的图象上，AC⊥y 轴于点E，BD⊥y轴于点F，AC=2，BD=1，EF=3，
则k1-k2的值是（ ）
2
-k2 k1
如图1，已知双曲线
y
k x
(k
0)与直线
y
kx
交于A,B两点，点A在第一象限.试解答下列问题:
（1）若点A的坐标为（4,2）,则点B的坐标
y A
为
；若点A的横坐标为m, 则点B的坐
O
x
标可表示为
；
B
图1
（2）如图2,过原点O作另一条直线l,交双曲 线 y k (k 0) 于P,Q两点,点P在第一象限.
OB//AD
E
如图直线y=k1x+b与x、y轴相交于P,Q两点，与
y连③的=接 S解k△2/O集AxAOP的是,=OS图XB△<，B像-O2下Q相;或列④交0结<不于x论<等A1（：,式其-①2中，kk1正km1x2）确<0B的;b（有②1，kx2nm）②两③12 n点④。0，
如图正比例函数y=2x和反比例函数的图像交于点 A（m,-2）. （1）求反比例函数解析式； （2）观察图像，直接写出正比例函数值大于反 比例函数值时自变量x的取值范围； （3）若反比例函数的图像 上点C（2，n）沿OA方向平 移 5 个单位长度得到 点B，判断四边形OABC的 形状并证明你的结论。
4 反比例
(2)一本漫画书,每天看的页数和需要的天数如下表。
每天看的页数/ 页 30 15 10 6 5
需要的天数/ 天
12356
成反比例
3.a,b,c三种量的关系是b×c=a。(a,b,c非零) (1)如果a一定,那么b,c成( 反 )比例关系。 (2)如果b一定,那么a,c成( 正 )比例关系。 (3)如果c一定,那么a,b成( 正 )比例关系。
成反比例。 因为这批货物的总吨数一定(300吨),即每天运的吨 数与需要的天数的乘积一定,所以每天运的吨数和 需要的天数成反比例。
知识点2:判断两种量是否成反比例
2.判断下面各表中的两种量是否成反比例。
(1)把某班同学进行分组,每组人数及所分组数如下表。
每组人数/人 4
6
组数/组12Fra bibliotek88
12
6
4
成反比例
4.甲、乙两地相距8000米,刚刚和强强同时从甲地 出发去乙地,刚刚和强强的速度比是4∶3,刚刚到达 乙地时,强强离乙地还有多少米?
8000-8000÷4×3=2000(米) 答:强强离乙地还有2000米。
5.看图回答问题。
(1)速度和时间是否成比例?如果成比例,成什么比
例? 是
成反比例
(2)当速度变化到100千米/时时,所用时间是多少? 1.6时
北师版-六年级-下
第4单元
4 反比例
1 14 7 ÷ 4 =7
56×
5 7
=40
1-
4 13
=
9 13
9 10
×
25 27
5 =6
5
48× 12
=20
5 7
-
4 21
=
四 正比例与反比例
四正比例与反比例变化的量1.淘气和笑笑分别用表格和图表示了秒享六流水前的体重变化情况。
2.观察上面的表格和图，想一想哪些靓仔发生变化，妙想六岁前的体重是如何谁零增长而变化的？3.骆驼被称为沙漠之舟，它的体温随时间的变化而发生较大大的变化化(1)一天中骆驼提问最高是多少？最低是多少？(2)一天中什么时间范围内骆驼的体温在上升，什么时间范围内骆驼的体温在下降？(3)第二天8时骆驼的体温与前一天8时的体温有什么关系？4.在大自然和日常生活中有很多变化的量。
你还能找出一个量随着另一个量变化而变化的例子吗？与同伴交流。
练一练(1) 转动过程中，到达的最高点是多少米？最低点是多少米？(2) 转动第一圈的过程中，什么时间范围内高度在增加？什么时间范围内高度在降低？(3) 到达最高点后，下一次再到达最高点，需要经过几分？3. 某地的一位学生发现蟋蟀叫的次数与气温之间有如下的近似关系。
蟋蟀一分钟叫的次数除以7再加3，所得的结果与当时的气温差不多。
如果用n表示蟋蟀每分叫的次数，用t表示当时的气温。
你能用式子表示这个近似关系吗？练功房（2）这两种量是如何发生变化的？（1）.上表中哪些量在发生变化？（2）.你知道这两种量是怎样变化的？（3）.你发现了什么规律？聪明屋4.科学研究表明，男孩可能的最高身高与其父母的身高有如下关系：父母身高的和乘以1.08，再除以2，就是男孩可能的最高身高。
如果用a ，b 分别表示父母的身高，用表示男孩可能的最高身高，你能用式子表示出他们身高之间的吗？正比例1. 下面是正方形周长与边长，面积与边长之间的变化情况，把表格填写完整，并说说你分别发现了什么？（单位：厘米）2. 周长与边长、面积与边长之间的变化规律相同吗？小结：正方形的周长与边长成正比例；它的面积与边长不成比例。
3. 一辆汽车以90千米/的时速行驶，行驶的路程与时间如下。
把下表填写完整小结：判断两个量成正比例的关键：比值一定。
1.正方形的周长与边长的比值一定，所以成正比例；它的面积与边长的比值不一定，所以不成比例。
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6 8 12 24 8 6 4 3 2 1
5 6 7 8 9 8 7 6 5 4
表1和表2中，长方形相邻两边边长之间的变化规律相同吗？
王叔叔要去游长城，不同的交通工具的速度和行驶所需时间 如下。你从表中发现了什么？
速度（千米/时） 自行车 10 大巴车 60 小轿车 80
时间/时
12
2
1.5
像这样，速度和时间两个量，速度变化，所用的时 间也随着变化，而且速度与时间的积（也就是路程）一 定，我们就说速度和时间成反比例。
小敏 小峰 小英 小强
打字所用的时间/分 速度/（字/分）
30 80
40
60
80
请把上表补充完整，再回答下列问题。 ⑴不同的人在打同一份稿件的过程中，哪个量没有变？ ⑵打字的速度和所用的时间有什么关系？ ⑶李老师打这份稿件用了24分，你知道她平均每分打 多少字吗？
3.判断下面各题中的两个量是否成反比例，并说明 理由。
北师大版 六年级下册 第四单元 正比例与反比例
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用 表示长方形相邻两边的边长，表1是面积为24cm2的 长方形相邻两边边长的变化关系，表2是周长为24cm的长方 形相邻两边边长的变化关系。请把表格填写完整，并说说你 分别发现了什么。（单位：cm）
⑴行驶的路程一定，车轮的周长与车轮需要转动的圈数。 ⑵一个人跑步的速度和他的体重。 ⑶平行四边形的面积一定，它的底和高。 ⑷笑笑从家步行到学校，已走的路程和剩下的路程。
4.截止2002年年底，我国探明可直接利用的煤炭储 量为2298.86亿吨。我国煤炭年均开采量与可开采年 数之间的关系如下表。
判断我国煤炭年均开采量与可开采年数之间是否成反比
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例，并说明理由。
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5.如图是两个互相啮合的齿轮，它们在同一时间内转 动时，大齿轮和小齿轮转动的总齿数ห้องสมุดไป่ตู้相同的。尝 试回答下面的问题。 ⑴大齿轮和小齿轮在同一时间内转动 时，哪个齿轮转得更快？哪个齿轮 转的圈数多？ ⑵转过的总齿数一定时，每个齿轮的 齿数和转过的圈数是什么关系？ ⑶大齿轮有40个齿，小齿轮有24个齿。如果大齿轮每 分转90圈，小齿轮每分转多少圈？
用 表示长方形相邻两边的边长，表1是面积为24cm2的 长方形相邻两边边长的变化关系，表2是周长为24cm的长方 形相邻两边边长的变化关系。请把表格填写完整，并说说你 分别发现了什么。（单位：cm）
表1 表2
6 8 12 24 8 6 4 3 2 1
5 6 7 8 9 8 7 6 5 4
表1和表2中，长方形相邻两边边长之间的变化规律相同吗？
说明理由。
买苹果的总钱数一定，苹果的单价与数量成反比例吗？你是 怎么想的？与同伴交流。
奇思读一本书，已读的页数与剩下的页数的情况如下。
已读的页数 剩下的页数
1 79
2 78
3 77
4
76
5 75
… …
已读的页数与剩下的页数成反比例吗？为什么？
请举一个成反比例的例子，并与同伴交流。
2.电脑兴趣小组练习打同一份稿件，下表记录的是 每人打字所用的时间。
表1 表2
6 8 12 24 8 6 4 3 2 1
5 6 7 8 9 8 7 6 5 4
用 表示长方形相邻两边的边长，表1是面积为24cm2的 长方形相邻两边边长的变化关系，表2是周长为24cm的长方 形相邻两边边长的变化关系。请把表格填写完整，并说说你 分别发现了什么。（单位：cm）
表1 表2
长方形相邻两边边长的积一 定，相邻两边边长成反比例。
长方形相邻两边边长的积不 是一个确定的值，相邻两边 边长不成反比例。
1.
平均每天看的页数 看完全书所需天数
⑴把上表补充完整。
10 12
15
20
30
40
⑵说一说看完全书所需天数与平均每天看的页数的变化关系。 ⑶平均每天看的页数与看完全书所需天数是不是成反比例？