与名师对话2019届高三数学(文)一轮复习课时跟踪训练：第九章 平面解析几何 课时跟踪训练50
与名师对话 高三文科数学第一轮复习 第九章 解析几何 第一节 直线与方程
B．4
课
后
C．1 或 3
D．1 或 4
跟 踪
训
核
[解析] 因为过点 M(－2，m)，N(m,4)的直线的斜率为 1， 练
心
考 点 突 破
所以4m－＋m2＝1，解得 m＝1.故选 A.
第25页
第9章 第1节
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高考总复习·课标版·数学(文)
考点二 直线的方程
基
础
【例 2】 根据所给条件求直线的方程：
课 后
跟
数 k＝tanα 的单调性，当 α 取值在0，π2，即由 0 增大到π2α≠π2
踪 训 练
核
心 考 点 突
时，k 由 0 增大到＋∞，当 α 取值在π2，π时，即由π2α≠π2增
破 大到 π(α≠π)时，k 由－∞增大到 0.
第22页
第9章 第1节
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基
础
知 识
[解析] (1)直线 xsinα－y＋1＝0 的斜率是 k＝sinα，
回
顾
又∵－1≤sinα≤1，∴－1≤k≤1.
课 后
跟
当 0≤k≤1 时，倾斜角的范围是0，π4，
踪 训 练
核
心 考 点 突
当－1≤k<0 时，倾斜角的范围是34π，π.故选 D.
破
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第9章 第1节
第27页
第9章 第1节
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基
础 知 识 回
(2)由题设知纵、横截距不为 0，设直线方程为ax＋12－y a＝
顾 1，
2019年高考数学(文科)一轮分层演练：第9章平面解析几何第3讲(含答案解析)
[学生用书P260(单独成册)]一、选择题1．方程y ＝1－x 2表示的曲线是( ) A ．上半圆 B ．下半圆 C ．圆D ．抛物线解析：选A ．由方程可得x 2＋y 2＝1(y ≥0)，即此曲线为圆x 2＋y 2＝1的上半圆． 2．以M (1，0)为圆心，且与直线x －y ＋3＝0相切的圆的方程是( ) A ．(x －1)2＋y 2＝8 B ．(x ＋1)2＋y 2＝8 C ．(x －1)2＋y 2＝16D ．(x ＋1)2＋y 2＝16解析：选A ．因为所求圆与直线x －y ＋3＝0相切，所以圆心M (1，0)到直线x －y ＋3＝0的距离即为该圆的半径r ，即r ＝|1－0＋3|2＝22．所以所求圆的方程为：(x －1)2＋y 2＝8．故选A ．3．已知圆C 1：(x ＋1)2＋(y －1)2＝1，圆C 2与圆C 1关于直线x －y －1＝0对称，则圆C 2的方程为( ) A ．(x ＋2)2＋(y －2)2＝1 B ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝1 C ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝1D ．(x －2)2＋(y －2)2＝1解析：选B ．圆C 1的圆心坐标为(－1，1)，半径为1，设圆C 2的圆心坐标为(a ，b )，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －12－b ＋12－1＝0，b －1a ＋1＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2，所以圆C 2的圆心坐标为(2，－2)，又两圆的半径相等，故圆C 2的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝1．4．已知圆C 与直线y ＝x 及x －y －4＝0都相切，圆心在直线y ＝－x 上，则圆C 的方程为( ) A ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝2 B ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2 C ．(x －1)2＋(y －1)2＝2 D ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝2解析：选D ．由题意知x －y ＝0和x －y －4＝0之间的距离为|4|2＝22，所以r ＝2． 又因为x ＋y ＝0与x －y ＝0，x －y －4＝0均垂直，所以由y ＝－x 和x －y ＝0联立得交点坐标为(0，0)，由x ＋y ＝0和x －y －4＝0联立得交点坐标为(2，－2)，所以圆心坐标为(1，－1)，圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2．5．在平面直角坐标系xOy 中，已知A (－1，0)，B (0，1)，则满足|P A |2－|PB |2＝4且在圆x 2＋y 2＝4上的点P 的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选C ．设P (x ，y )，则由|P A |2－|PB |2＝4，得(x ＋1)2＋y 2－x 2－(y －1)2＝4，所以x ＋y －2＝0．求满足条件的点P 的个数即为求直线与圆的交点个数，圆心到直线的距离为|0＋0－2|2＝2＜2＝r ，所以直线与圆相交，交点个数为2．故满足条件的点P 有2个，选C ．6．已知P (x ，y )是圆x 2＋(y －3)2＝a 2(a >0)上的动点，定点A (2，0)，B (－2，0)，△P AB 的面积的最大值为8，则a 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选A ．要使△P AB 的面积最大，只要点P 到直线AB 的距离最大． 由于AB 的方程为y ＝0，圆心(0，3)到直线AB 的距离为d ＝3， 故P 到直线AB 的距离的最大值为3＋a ．再根据AB ＝4，可得△P AB 面积的最大值为12·AB ·(3＋a )＝2(3＋a )＝8，所以a ＝1，故选A ．二、填空题7．已知动点M (x ，y )到点O (0，0)与点A (6，0)的距离之比为2，则动点M 的轨迹所围成的区域的面积是________．解析：依题意可知|MO ||MA |＝2，即x 2＋y 2（x －6）2＋y 2＝2，化简整理得(x －8)2＋y 2＝16，即动点M 的轨迹是以(8，0)为圆心，半径为4的圆． 所以其面积为S ＝πR 2＝16π． 答案：16π8．当方程x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0所表示的圆的面积取最大值时，直线y ＝(k －1)x ＋2的倾斜角α＝________．解析：由题意知，圆的半径r ＝12k 2＋4－4k 2＝124－3k 2≤1，当半径r 取最大值时，圆的面积最大，此时k ＝0，r ＝1，所以直线方程为y ＝－x ＋2，则有tan α＝－1，又α∈[0，π)，故α＝3π4．答案：3π49．已知平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋2y －4≤0恰好被面积最小的圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2及其内部所覆盖，则圆C 的方程为________．解析：由题意知，此平面区域表示的是以O (0，0)，P (4，0)，Q (0，2)所构成的三角形及其内部，所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆．因为△OPQ 为直角三角形，所以圆心为斜边PQ 的中点(2，1)， 半径r ＝|PQ |2＝5，因此圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5． 答案：(x －2)2＋(y －1)2＝510．设命题p ：⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3y －12≥0，k －x ≥0，x ＋3y ≤12(x ，y ，k ∈R 且k >0)；命题q ：(x －3)2＋y 2≤25(x ，y ∈R )．若p 是q 的充分不必要条件，则k 的取值范围是________．解析：如图所示：命题p 表示的范围是图中△ABC 的内部(含边界)，命题q 表示的范围是以点(3，0)为圆心，5为半径的圆及圆内部分，p 是q 的充分不必要条件．实际上只需A ，B ，C 三点都在圆内(或圆上)即可．由题知B ⎝⎛⎭⎫k ，4－43k ，则⎩⎪⎨⎪⎧k >0，（k －3）2＋169（3－k ）2≤25， 解得0<k ≤6． 答案：(0，6] 三、解答题11．已知以点P 为圆心的圆经过A (－1，0)和B (3，4)，线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C 和D ，且|CD |＝410．(1)求直线CD 的方程； (2)求圆P 的方程．解：(1)由题意知，直线AB 的斜率k ＝1，中点坐标为(1，2)．则直线CD 的方程为y －2＝－(x －1)，即x ＋y －3＝0．(2)设圆心P (a ，b )，则由点P 在CD 上得a ＋b －3＝0．① 又因为直径|CD |＝410， 所以|P A |＝210， 所以(a ＋1)2＋b 2＝40．②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－2.所以圆心P (－3，6)或P (5，－2)．所以圆P 的方程为(x ＋3)2＋(y －6)2＝40或(x －5)2＋(y ＋2)2＝40． 12．已知M (m ，n )为圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0上任意一点．(1)求m ＋2n 的最大值； (2)求n －3m ＋2的最大值和最小值． 解：将圆C 化为标准方程可得(x －2)2＋(y －7)2＝8， 所以圆心C (2，7)，半径r ＝22．(1)设m ＋2n ＝b ，则b 可看作是直线n ＝－12m ＋b2在y 轴上截距的2倍，故当直线m ＋2n ＝b 与圆C 相切时，b 有最大或最小值．所以|2＋2×7－b |12＋22＝22，所以b ＝16＋210(b ＝16－210舍去)， 所以m ＋2n 的最大值为16＋210． (2)设n －3m ＋2＝k ，则k 可看作点(m ，n )与点(－2，3)所在直线的斜率， 所以当直线n －3＝k (m ＋2)与圆C 相切时，k 有最大、最小值，所以|2k －7＋2k ＋3|1＋k 2＝22，解得k ＝2＋3或k ＝2－3．所以n －3m ＋2的最大值为2＋3，最小值为2－3．1．已知方程x 2＋y 2－2x －4y ＋m ＝0． (1)若此方程表示圆，求实数m 的取值范围；(2)若(1)中的圆与直线x ＋2y －4＝0相交于M ，N 两点，且OM ⊥ON (O 为坐标原点)，求m 的值； (3)在(2)的条件下，求以MN 为直径的圆的方程．解：(1)由D 2＋E 2－4F >0得(－2)2＋(－4)2－4m >0，解得m <5．(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，由x ＋2y －4＝0得x ＝4－2y ；将x ＝4－2y 代入x 2＋y 2－2x －4y ＋m ＝0得5y 2－16y ＋8＋m ＝0，所以y 1＋y 2＝165，y 1y 2＝8＋m 5．因为OM ⊥ON ，所以y 1x 1·y 2x 2＝－1，即x 1x 2＋y 1y 2＝0．因为x 1x 2＝(4－2y 1)(4－2y 2)＝16－8(y 1＋y 2)＋4y 1y 2，所以x 1x 2＋y 1y 2＝16－8(y 1＋y 2)＋5y 1y 2＝0，即(8＋m )－8×165＋16＝0，解得m ＝85．(3)设圆心C 的坐标为(a ，b )，则a ＝12(x 1＋x 2)＝45，b ＝12(y 1＋y 2)＝85，半径r ＝|OC |＝455，所以所求圆的方程为⎝⎛⎭⎫x －452＋⎝⎛⎭⎫y －852＝165． 2．在△OAB 中，已知O (0，0)，A (8，0)，B (0，6)，△OAB 的内切圆的方程为(x －2)2＋(y －2)2＝4，P 是圆上一点．(1)求点P 到直线l ：4x ＋3y ＋11＝0的距离的最大值和最小值；(2)若S ＝|PO |2＋|P A |2＋|PB |2，求S 的最大值和最小值．解：(1)由题意得圆心(2，2)到直线l ：4x ＋3y ＋11＝0的距离d ＝|4×2＋3×2＋11|42＋32＝255＝5>2，故点P 到直线l 的距离的最大值为5＋2＝7，最小值为5－2＝3．(2)设点P 的坐标为(x ，y )，则S ＝x 2＋y 2＋(x －8)2＋y 2＋x 2＋(y －6)2＝3(x 2＋y 2－4x －4y )－4x ＋100＝－4x ＋88，而(x －2)2≤4，所以－2≤x －2≤2， 即0≤x ≤4，所以－16≤－4x ≤0， 所以72≤S ≤88， 即当x ＝4时，S min ＝72， 当x ＝0时，S max ＝88．。
高三数学(文)一轮复习课时跟踪训练：第九章 平面解析几何 课时跟踪训练53 Word版含解析
课时跟踪训练(五十三)[基础巩固]一、选择题1．(2017·广东汕头质检)已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线y ＝2x －4与C 交于A ，B 两点，则cos ∠AFB ＝( )A.45B.35 C ．－35 D ．－45[解析] ∵抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，∴点F 的坐标为(1,0)．又∵直线y ＝2x －4与C 交于A ，B 两点，∴A ，B 两点坐标分别为(1，－2)，(4,4)，则F A →＝(0，－2)，FB →＝(3,4)，∴cos ∠AFB ＝F A →·FB →|F A →||FB →|＝－810＝－45.故选D.[答案] D2．(2017·北京东城期末)过抛物线y 2＝4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于A ，B 两点，它们的横坐标之和等于3，则这样的直线( )A ．有且仅有一条B ．有且仅有两条C ．有无穷多条D ．不存在[解析] 过抛物线y 2＝4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于A ，B 两点，若直线AB 的斜率不存在，则横坐标之和等于2，不符合题意．设直线AB 的斜率为k ，则直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，代入抛物线方程y 2＝4x ，得k 2x 2－2(k 2＋2)x ＋k 2＝0.∵A ，B 两点的横坐标之和等于3，∴2(k 2＋2)k 2＝3.解得k ＝±2，∴符合题意的直线有且仅有两条．故选B.[答案] B3．(2017·湖南长沙调研)设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝±4xB ．y 2＝4xC ．y 2＝±8xD ．y 2＝8x [解析] ∵抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，0，∴直线l 的方程为y ＝2⎝⎛⎭⎪⎫x －a 4.∵直线l 与y 轴的交点为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－a 2，∴△OAF 的面积为12⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 4·⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 2＝4，解得a ＝±8.∴抛物线的方程为y 2＝±8x ，故选C. [答案] C4．(2017·河南三门峡灵宝期末)已知抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，过该抛物线焦点F 且不与x 轴垂直的直线交抛物线于A ，B 两点，过点A ，点B 分别作AM ，BN 垂直于抛物线的准线，分别交准线于M ，N 两点，那么∠MFN 必是( )A ．锐角B ．直角C ．钝角D ．以上皆有可能[解析] 由题意画出图象，如图．由抛物线的定义，可知|NB |＝|BF |.所以△BNF 是等腰三角形．因为BN ∥OF ，所以NF 平分∠OFB .同理MF 平分∠OF A ，所以∠NFM ＝90°.故选B.[答案] B5．(2017·黑龙江七台河期末)已知抛物线C ：y 2＝－8x 的焦点为F ，直线l ：x ＝1，点A 是l 上的一动点，直线AF 与抛物线C 的一个交点为B .若F A →＝－3FB →，则|AB |＝( )A ．20B ．16C ．10D ．5[解析] 由抛物线C ：y 2＝－8x ，得F (－2,0)．设A (1，a )，B (m ，n )，且n 2＝－8m .∵F A →＝－3FB →，∴1＋2＝－3(m ＋2)，解得m ＝－3，∴n ＝±2 6.∵a ＝－3n ，∴a ＝±66，∴|AB |＝(1＋3)2＋(26＋66)2＝20.故选A.[答案] A6．(2017·湖北襄阳月考)已知抛物线y ＝12x 2的焦点为F ，准线为l ，M 在l 上，线段MF 与抛物线交于N 点，若|MN |＝2|NF |，则|MF |＝()A．2 B．3 C. 2 D. 3[解析]如图，过N作准线的垂线NH，垂足为H.根据抛物线的定义可知|NH|＝|NF|，在△NHM中，|NM|＝2|NH|，则∠NMH＝45°.在△MFK中，∠FMK＝45°，所以|MF|＝2|FK|.而|FK|＝1.所以|MF|＝ 2.故选C.[答案] C7．已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线与曲线x2＋y2－4x－5＝0相切，则p的值为__________．[解析]曲线的标准方程为(x－2)2＋y2＝9，其表示圆心为(2,0)，，∴由抛物线的准线与半径为3的圆，又抛物线的准线方程为x＝－p2圆相切得2＋p＝3，解得p＝2.2[答案] 2二、填空题8．(2018·武汉模拟)抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，倾斜角等于45°的直线过F 交该抛物线于A ，B 两点，则|AB |＝__________.[解析] 由抛物线焦点弦的性质，得|AB |＝2p sin 2α＝2×2sin 245°＝8.[答案] 89．(2017·黑龙江绥化期末)设抛物线y 2＝16x 的焦点为F ，经过点P ( 1,0)的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，且2BP →＝P A →，则|AF |＋2|BF |＝________.[解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．∵P (1,0)，∴BP →＝(1－x 2，－y 2)，P A →＝(x 1－1，y 1)．∵2BP →＝P A →，∴2(1－x 2，－y 2)＝(x 1－1，y 1)，∴x 1＋2x 2＝3，－2y 2＝y 1.将A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)代入抛物线方程y 2＝16x ，得y 21＝16x 1，y 22＝16x 2.又∵－2y 2＝y 1，∴4x 2＝x 1.又∵x 1＋2x 2＝3，解得x 2＝12，x 1＝2.∴|AF |＋2|BF |＝x 1＋4＋2(x 2＋4)＝2＋4＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋4＝15. [答案] 15三、解答题10．(2017·河北沧州百校联盟)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，抛物线上一点P 的横坐标为2，|PF |＝3.(1)求抛物线C 的方程；(2)过点F 且倾斜角为30°的直线交抛物线C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，求△OAB 的面积．[解] (1)由抛物线定义可知，|PF |＝2＋p 2＝3，∴p ＝2，∴抛物线C的方程为y 2＝4x .(2)由y 2＝4x ，得F (1,0)，∴过点F 且倾斜角为30°的直线方程为y ＝33(x －1)．联立y 2＝4x ，消去x 得y 2－43y －4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝43，y 1y 2＝－4.∴S △OAB ＝S △OAF ＋S △OFB ＝12|y 1－y 2|＝12×48＋16＝4.[能力提升]11．(2017·辽宁沈阳二中期中)抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，斜率为k 的直线l 与抛物线C 交于M ，N 两点．若线段MN 的垂直平分线与x 轴交点的横坐标为a (a >0)，n ＝|MF |＋|NF |，则2a －n ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．5[解析] 由题意得F (1,0)，准线方程为x ＝－1.线段MN 的中点坐标为(x 0，y 0)．由抛物线的定义，得n ＝|MF |＋|NF |＝x M ＋1＋x N ＋1＝x M ＋x N ＋2＝2x 0＋2.因为线段MN 的垂直平分线方程为y －y 0＝－1k (x－x 0)，令y ＝0，得x ＝ky 0＋x 0，即a ＝ky 0＋x 0.由点差法可得ky 0＝2，所以x 0＝a －2，所以2a －n ＝2x 0＋4－(2x 0＋2)＝2.故选A.[答案] A12．(2017·北京昌平期末)已知△ABC 的三个顶点均在抛物线y 2＝x 上，边AC 的中线BM ∥x 轴，|BM |＝2，则△ABC 的面积为________．[解析] 根据题意设A (a 2，a )，B (b 2，b )，C (c 2，c )，不妨设a >c .∵M 为边AC 的中点，∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a 2＋c 22，a ＋c 2. 又∵BM ∥x 轴，∴b ＝a ＋c 2.∴|BM |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 2＋c 22－b 2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 2＋c 22－(a ＋c )24＝2， ∴(a －c )2＝8，∴a －c ＝2 2.作AH ⊥BM 交BM 的延长线于H ，故S △ABC ＝2S △ABM ＝2×12|BM |·|AN |＝2|a －b |＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －a ＋c 2＝a －c ＝2 2. [答案] 2 213．(2017·福建厦门期中)设抛物线C ：y 2＝4x ，F 为C 的焦点，过点F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点．(1)若l 的斜率为1，求|AB |的大小；(2)求证：OA →·OB →是一个定值．[解] (1)∵直线l 的斜率为1且过点F (1,0)，∴直线l 的方程为y ＝x －1.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎨⎧ y ＝x －1，y 2＝4x ，消去y 得x 2－6x ＋1＝0.Δ>0，∴x 1＋x 2＝6，x 1x 2＝1，∴|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝8.(2)证明：设直线l 的方程为x ＝ky ＋1，联立⎩⎨⎧ x ＝ky ＋1，y 2＝4x ，消去x 得y 2－4ky －4＝0，Δ>0.设A ＝(x 1，y 1)，B ＝(x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4k ，y 1y 2＝－4，OA →＝(x 1，y 1)，OB →＝(x 2，y 2)． ∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(ky 1＋1)(ky 2＋1)＋y 1y 2＝k 2y 1y 2＋k (y 1＋y 2)＋1＋y 1y 2＝－4k 2＋4k 2＋1－4＝－3.∴OA →·OB →＝－3是一个定值．14．已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过点C (－2,0)的直线l 交抛物线于A 、B 两点，坐标原点为O ，OA →·OB →＝12.(1)求抛物线的方程；(2)当以AB 为直径的圆与y 轴相切时，求直线l 的方程．[解] (1)设l ：x ＝my －2，代入y 2＝2px ，得y 2－2pmy ＋4p ＝0.(*)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2pm ，y 1y 2＝4p ，则x 1x 2＝y 21y 224p 2＝4.因为OA →·OB →＝12，所以x 1x 2＋y 1y 2＝12，即4＋4p ＝12，得p ＝2，抛物线的方程为y 2＝4x .(2)(1)中(*)式可化为y 2－4my ＋8＝0，y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝8.设AB 的中点为M ，则|AB |＝2x M ＝x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)－4＝4m 2－4，①又|AB |＝1＋m 2|y 1－y 2|＝(1＋m 2)(16m 2－32)，②由①②得(1＋m 2)(16m 2－32)＝(4m 2－4)2，解得m 2＝3，m ＝±3.所以直线l 的方程为x ＋3y ＋2＝0或x －3y ＋2＝0.[延伸拓展]已知过点A (－4,0)的动直线l 与抛物线G ：x 2＝2py (p >0)相交于B 、C 两点．当直线l 的斜率是12时，AC →＝4AB →.(1)求抛物线G 的方程；(2)设线段BC 的中垂线在y 轴上的截距为b ，求b 的取值范围．[解] (1)设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，当直线l 的斜率是12时，l 的方程为y ＝12(x ＋4)，即x ＝2y －4.由⎩⎨⎧ x 2＝2py ，x ＝2y －4得2y 2－(8＋p )y ＋8＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ y 1y 2＝4， ①y 1＋y 2＝8＋p 2. ②又∵AC →＝4AB →，∴y 2＝4y 1，③由①②③及p >0得：y 1＝1，y 2＝4，p ＝2，则抛物线G 的方程为x 2＝4y .(2)设l ：y ＝k (x ＋4)，BC 的中点坐标为(x 0，y 0)，由⎩⎨⎧ x 2＝4y ，y ＝k (x ＋4)得x 2－4kx －16k ＝0，④∴x 0＝x C ＋x B 2＝2k ，y 0＝k (x 0＋4)＝2k 2＋4k .∴线段BC 的中垂线方程为y －2k 2－4k ＝－1k (x －2k )，∴线段BC 的中垂线在y 轴上的截距为：b ＝2k 2＋4k ＋2＝2(k ＋1)2， 对于方程④，由Δ＝16k 2＋64k >0得：k >0或k <－4. ∴b ∈(2，＋∞)．。
与名师对话2019届高三数学(文)一轮复习课时跟踪训练：第九章 平面解析几何 课时跟踪训练53
课时跟踪训练(五十三)[基础巩固]一、选择题1．(2017·广东汕头质检)已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线y ＝2x －4与C 交于A ，B 两点，则cos ∠AFB ＝( )A.45B.35 C ．－35 D ．－45[解析] ∵抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，∴点F 的坐标为(1,0)．又∵直线y ＝2x －4与C 交于A ，B 两点，∴A ，B 两点坐标分别为(1，－2)，(4,4)，则F A →＝(0，－2)，FB →＝(3,4)，∴cos ∠AFB ＝F A →·FB →|F A →||FB →|＝－810＝－45.故选D.[答案] D2．(2017·北京东城期末)过抛物线y 2＝4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于A ，B 两点，它们的横坐标之和等于3，则这样的直线( )A ．有且仅有一条B ．有且仅有两条C ．有无穷多条D ．不存在[解析] 过抛物线y 2＝4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于A ，B 两点，若直线AB 的斜率不存在，则横坐标之和等于2，不符合题意．设直线AB 的斜率为k ，则直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，代入抛物线方程y 2＝4x ，得k 2x 2－2(k 2＋2)x ＋k 2＝0.∵A ，B 两点的横坐标之和等于3，∴2(k 2＋2)k 2＝3.解得k ＝±2，∴符合题意的直线有且仅有两条．故选B.[答案] B3．(2017·湖南长沙调研)设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝±4xB ．y 2＝4xC ．y 2＝±8xD ．y 2＝8x[解析] ∵抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，0，∴直线l 的方程为y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 4.∵直线l 与y 轴的交点为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－a 2，∴△OAF的面积为12⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 4·⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 2＝4，解得a ＝±8.∴抛物线的方程为y 2＝±8x ，故选C.[答案] C4．(2017·河南三门峡灵宝期末)已知抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，过该抛物线焦点F 且不与x 轴垂直的直线交抛物线于A ，B 两点，过点A ，点B 分别作AM ，BN 垂直于抛物线的准线，分别交准线于M ，N 两点，那么∠MFN 必是( )A ．锐角B ．直角C ．钝角D ．以上皆有可能[解析] 由题意画出图象，如图．由抛物线的定义，可知|NB |＝|BF |.所以△BNF 是等腰三角形．因为BN ∥OF ，所以NF 平分∠OFB .同理MF 平分∠OF A ，所以∠NFM ＝90°.故选B.[答案] B5．(2017·黑龙江七台河期末)已知抛物线C ：y 2＝－8x 的焦点为F ，直线l ：x ＝1，点A 是l 上的一动点，直线AF 与抛物线C 的一个交点为B .若F A →＝－3FB →，则|AB |＝( )A ．20B ．16C ．10D ．5[解析] 由抛物线C ：y 2＝－8x ，得F (－2,0)．设A (1，a )，B (m ，n )，且n 2＝－8m .∵F A →＝－3FB →，∴1＋2＝－3(m ＋2)，解得m ＝－3，∴n ＝±2 6.∵a ＝－3n ，∴a ＝±66，∴|AB |＝(1＋3)2＋(26＋66)2＝20.故选A. [答案] A6．(2017·湖北襄阳月考)已知抛物线y ＝12x 2的焦点为F ，准线为l ，M 在l 上，线段MF 与抛物线交于N 点，若|MN |＝2|NF |，则|MF |＝( )A ．2B ．3 C. 2 D. 3 [解析]如图，过N 作准线的垂线NH ，垂足为H . 根据抛物线的定义可知|NH |＝|NF |，在△NHM 中，|NM |＝2|NH |，则 ∠NMH ＝45°.在△MFK 中，∠FMK ＝45°， 所以|MF |＝2|FK |.而|FK |＝1. 所以|MF |＝ 2.故选C. [答案] C7．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与曲线x 2＋y 2－4x －5＝0相切，则p 的值为__________．[解析] 曲线的标准方程为(x －2)2＋y 2＝9，其表示圆心为(2,0)，半径为3的圆，又抛物线的准线方程为x ＝－p2，∴由抛物线的准线与圆相切得2＋p2＝3，解得p ＝2.[答案] 2 二、填空题8．(2018·武汉模拟)抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，倾斜角等于45°的直线过F 交该抛物线于A ，B 两点，则|AB |＝__________.[解析] 由抛物线焦点弦的性质，得|AB |＝2psin 2α＝2×2sin 245°＝8. [答案] 89．(2017·黑龙江绥化期末)设抛物线y 2＝16x 的焦点为F ，经过点P ( 1,0)的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，且2BP →＝P A →，则|AF |＋2|BF |＝________.[解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．∵P (1,0)， ∴BP →＝(1－x 2，－y 2)，P A →＝(x 1－1，y 1)．∵2BP →＝P A →，∴2(1－x 2，－y 2)＝(x 1－1，y 1)， ∴x 1＋2x 2＝3，－2y 2＝y 1.将A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)代入抛物线方程y 2＝16x ，得y 21＝16x 1，y 22＝16x 2.又∵－2y 2＝y 1，∴4x 2＝x 1.又∵x 1＋2x 2＝3，解得x 2＝12，x 1＝2.∴|AF |＋2|BF |＝x 1＋4＋2(x 2＋4)＝2＋4＋2×⎝⎛⎭⎪⎫12＋4＝15.[答案] 15 三、解答题10．(2017·河北沧州百校联盟)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，抛物线上一点P 的横坐标为2，|PF |＝3.(1)求抛物线C 的方程；(2)过点F 且倾斜角为30°的直线交抛物线C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，求△OAB 的面积．[解] (1)由抛物线定义可知，|PF |＝2＋p2＝3，∴p ＝2，∴抛物线C 的方程为y 2＝4x .(2)由y 2＝4x ，得F (1,0)，∴过点F 且倾斜角为30°的直线方程为y ＝33(x －1)．联立y 2＝4x ，消去x 得y 2－43y －4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝43，y 1y 2＝－4. ∴S △OAB ＝S △OAF ＋S △OFB ＝12|y 1－y 2|＝12×48＋16＝4.[能力提升]11．(2017·辽宁沈阳二中期中)抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，斜率为k 的直线l 与抛物线C 交于M ，N 两点．若线段MN 的垂直平分线与x 轴交点的横坐标为a (a >0)，n ＝|MF |＋|NF |，则2a －n ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．5[解析] 由题意得F (1,0)，准线方程为x ＝－1.线段MN 的中点坐标为(x 0，y 0)．由抛物线的定义，得n ＝|MF |＋|NF |＝x M ＋1＋x N ＋1＝x M ＋x N ＋2＝2x 0＋2.因为线段MN 的垂直平分线方程为y －y 0＝－1k (x －x 0)，令y ＝0，得x ＝ky 0＋x 0，即a ＝ky 0＋x 0.由点差法可得ky 0＝2，所以x 0＝a －2，所以2a －n ＝2x 0＋4－(2x 0＋2)＝2.故选A.[答案] A12．(2017·北京昌平期末)已知△ABC 的三个顶点均在抛物线y 2＝x 上，边AC 的中线BM ∥x 轴，|BM |＝2，则△ABC 的面积为________．[解析] 根据题意设A (a 2，a )，B (b 2，b )，C (c 2，c )，不妨设a >c .∵M 为边AC 的中点，∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋c 22，a ＋c 2. 又∵BM ∥x 轴，∴b ＝a ＋c2.∴|BM |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 2＋c 22－b 2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 2＋c 22－(a ＋c )24＝2，∴(a －c )2＝8，∴a －c ＝2 2.作AH ⊥BM 交BM 的延长线于H ，故S △ABC ＝2S △ABM ＝2×12|BM |·|AN |＝2|a －b |＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －a ＋c 2＝a －c ＝2 2. [答案] 2 213．(2017·福建厦门期中)设抛物线C ：y 2＝4x ，F 为C 的焦点，过点F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点．(1)若l 的斜率为1，求|AB |的大小；(2)求证：OA →·OB →是一个定值．[解] (1)∵直线l 的斜率为1且过点F (1,0)， ∴直线l 的方程为y ＝x －1.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1，y 2＝4x ，消去y 得x 2－6x ＋1＝0.Δ>0，∴x 1＋x 2＝6，x 1x 2＝1，∴|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝8.(2)证明：设直线l 的方程为x ＝ky ＋1，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ky ＋1，y 2＝4x ，消去x得y 2－4ky －4＝0，Δ>0.设A ＝(x 1，y 1)，B ＝(x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4k ，y 1y 2＝－4， OA →＝(x 1，y 1)，OB →＝(x 2，y 2)．∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(ky 1＋1)(ky 2＋1)＋y 1y 2＝k 2y 1y 2＋k (y 1＋y 2)＋1＋y 1y 2＝－4k 2＋4k 2＋1－4＝－3.∴OA →·OB →＝－3是一个定值．14．已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过点C (－2,0)的直线l 交抛物线于A 、B 两点，坐标原点为O ，OA →·OB →＝12.(1)求抛物线的方程；(2)当以AB 为直径的圆与y 轴相切时，求直线l 的方程． [解] (1)设l ：x ＝my －2，代入y 2＝2px ， 得y 2－2pmy ＋4p ＝0.(*) 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2pm ，y 1y 2＝4p ，则x 1x 2＝y 21y 224p 2＝4.因为OA →·OB →＝12，所以x 1x 2＋y 1y 2＝12，即4＋4p ＝12， 得p ＝2，抛物线的方程为y 2＝4x . (2)(1)中(*)式可化为y 2－4my ＋8＝0， y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝8. 设AB 的中点为M ，则|AB |＝2x M ＝x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)－4＝4m 2－4，① 又|AB |＝1＋m 2|y 1－y 2|＝(1＋m 2)(16m 2－32)，② 由①②得(1＋m 2)(16m 2－32)＝(4m 2－4)2， 解得m 2＝3，m ＝±3.所以直线l 的方程为x ＋3y ＋2＝0或x －3y ＋2＝0.[延伸拓展]已知过点A (－4,0)的动直线l 与抛物线G ：x 2＝2py (p >0)相交于B 、C 两点．当直线l 的斜率是12时，AC →＝4AB →.(1)求抛物线G 的方程；(2)设线段BC 的中垂线在y 轴上的截距为b ，求b 的取值范围． [解] (1)设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，当直线l 的斜率是12时， l 的方程为y ＝12(x ＋4)，即x ＝2y －4.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2py ，x ＝2y －4得2y 2－(8＋p )y ＋8＝0， ∴⎩⎨⎧y 1y 2＝4， ①y 1＋y 2＝8＋p2. ②又∵AC →＝4AB →，∴y 2＝4y 1，③由①②③及p >0得：y 1＝1，y 2＝4，p ＝2，则抛物线G 的方程为x 2＝4y .(2)设l ：y ＝k (x ＋4)，BC 的中点坐标为(x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，y ＝k (x ＋4)得x 2－4kx －16k ＝0，④ ∴x 0＝x C ＋x B2＝2k ，y 0＝k (x 0＋4)＝2k 2＋4k .∴线段BC 的中垂线方程为y －2k 2－4k ＝－1k (x －2k )，∴线段BC 的中垂线在y 轴上的截距为：b ＝2k 2＋4k ＋2＝2(k ＋1)2，对于方程④，由Δ＝16k 2＋64k >0得：k >0或k <－4. ∴b ∈(2，＋∞)．。
2019届高三数学(文)一轮复习课时跟踪训练：第九章 平面解析几何 课时跟踪训练50 Word版含解析
课时跟踪训练(五十)[基础巩固]一、选择题1．(2017·辽宁师大附中期中)过点M (－2,0)的直线m 与椭圆x 22＋y 2＝1交于P 1，P 2两点，线段P 1P 2的中点为P ，设直线m 的斜率为k 1(k 1≠0)，直线OP 的斜率为k 2，则k 1k 2的值为( )A ．2B ．－2 C.12 D ．－12[解析] 由过点M (－2,0)的直线m 的方程为y －0＝k 1(x ＋2)，代入椭圆的方程，化简得(2k 21＋1)x 2＋8k 21x ＋8k 21－2＝0，设P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，∴x 1＋x 2＝－8k 212k 21＋1，∴P 的横坐标为－4k 212k 21＋1，P 的纵坐标为k 1⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k 212k 21＋1＋2＝2k 12k 21＋1，即点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k 212k 21＋1，2k 12k 21＋1，∴直线OP 的斜率k 2＝－12k 1，∴k 1k 2＝－12.故选D.[答案] D2．如图，F (c,0)为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点，A ，B 为椭圆的上、下顶点，P 为直线AF 与椭圆的交点，则直线PB 的斜率k PB ＝( )A.c a 2B.b a 2C.b ＋c a 2D.bca 2[解析] 直线AF 的方程为x c ＋y b ＝1，把y ＝－b c x ＋b 代入x 2a 2＋y 2b 2＝1，得a 2＋c 2a 2c 2x 2－2c x ＝0，∴x P ＝2a 2ca 2＋c 2，y P ＝c 2b －a 2b a 2＋c2，∴k PB ＝c 2b －a 2ba 2＋c 2＋b 2a 2ca 2＋c 2＝bca 2. [答案] D3．(2017·河北唐山统考)平行四边形ABCD 内接于椭圆x 24＋y 22＝1，直线AB 的斜率k 1＝1，则直线AD 的斜率k 2＝( )A.12 B ．－12 C ．－14 D ．－2[解析] 解法一：设AB 的中点为G ，由椭圆与平行四边形的对称性知O 为平行四边形ABCD 的对角线的交点，则GO ∥AD .设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有⎩⎪⎨⎪⎧x 214＋y 212＝1，x 224＋y 222＝1，两式相减是(x 1－x 2)(x 1＋x 2)4＝－(y 1－y 2)(y 1＋y 2)2，整理得x 1＋x 22(y 1＋y 2)＝－y 1－y 2x 1－x 2＝－k 1＝－1，即y 1＋y 2x 1＋x 2＝－12.又G ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，所以k OG ＝y 1＋y 22－0x 1＋x 22－0＝－12， 即k 2＝－12，故选B.解法二：设直线AB 的方程为y ＝x ＋t ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，利用椭圆与平行四边形的对称性可得D (－x 2，－y 2)．则直线AD 的斜率k 2＝y 1＋y 2x 1＋x 2＝x 1＋x 2＋2t x 1＋x 2＝1＋2tx 1＋x 2.联立⎩⎨⎧y ＝x ＋t ，x 2＋2y 2－4＝0，消去y 得3x 2＋4tx ＋2t 2－4＝0，则x 1＋x 2＝－4t3，∴k 2＝1＋2t －43t ＝－12.故选B.[答案] B 二、解答题4．(2017·河北涞水波峰中学、高碑店三中联考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，且椭圆C 与圆M ：x 2＋(y －3)2＝4的公共弦长为4.(1)求椭圆C 的方程；(2)已知O 为坐标原点，过椭圆C 的右顶点A 作直线l 与圆x 2＋y 2＝85相切并交椭圆C 于另一点B ，求OA →·OB →的值．[解] (1)∵椭圆C 与圆M 的公共弦长为4，∴椭圆C 经过点(±2,3)，∴4a 2＋9b 2＝1，又c a ＝12，a 2＝b 2＋c 2，解得a 2＝16，b 2＝12，∴椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1.(2)已知右顶点A (4,0)，∵直线l 与圆x 2＋y 2＝85相切，设直线l 的方程为y ＝k (x －4)，∴|4k |1＋k2＝85，∴9k 2＝1，∴k ＝±13.联立y ＝±13(x－4)与x 216＋y 212＝1，消去y ，得31x 2－32x －368＝0.设B (x 0，y 0)，则由根与系数的关系得4x 0＝－36831，∴OA →·OB →＝4x 0＝－36831.5．(2017·吉林长春外国语学校期中)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是椭圆上任意一点，且|PF 1|＋|PF 2|＝22，它的焦距为2.(1)求椭圆C 的方程．(2)是否存在正实数t ，使直线x －y ＋t ＝0与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，且线段AB 的中点在圆x 2＋y 2＝56上？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．[解] (1)∵F 1，F 2为椭圆的左、右焦点，P 是椭圆上任意一点，且|PF 1|＋|PF 2|＝22，∴a ＝ 2.∵2c ＝2，∴c ＝1，∴b ＝a 2－c 2＝1，∴椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋t ＝0，x 22＋y 2＝1，化简得3x 2＋4tx ＋2t 2－2＝0.①由①知x 1＋x 2＝－4t 3，∴y 1＋y 2＝x 1＋x 2＋2t ＝2t3. ∵线段AB 的中点在圆x 2＋y 2＝56上，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－2t 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫t 32＝56，解得t ＝62(负值舍去)， 故存在t ＝62满足题意．6．已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，焦距为2，离心率为12.(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l 经过点M (0,1)，且与椭圆C 交于A ，B 两点，若AM →＝2MB →，求直线l 的方程．[解] (1)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >0，b >0)，因为c ＝1，c a ＝12，所以a ＝2，b ＝3，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由题意可知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋1，则由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 24＋y 23＝1得(3＋4k 2)x 2＋8kx －8＝0，且Δ＝192k 2＋96>0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则由AM →＝2MB →得x 1＝－2x 2.又⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－8k 3＋4k 2，x 1·x 2＝－83＋4k 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＝－8k 3＋4k 2，－2x 22＝－83＋4k 2，消去x 2，得⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫8k 3＋4k 22＝43＋4k 2，解得k 2＝14，k ＝±12. 所以直线l 的方程为y ＝±12x ＋1，即x －2y ＋2＝0或x ＋2y －2＝0.[能力提升]7．(2017·河南考前预测)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦点是F 1，F 2，且|F 1F 2|＝2，离心率为12.(1)求椭圆C 的方程；(2)若过椭圆右焦点F 2的直线l 交椭圆于A ，B 两点，求|AF 2|·|F 2B |的取值范围．[解] (1)因为椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝b 2＋c 2，c a ＝12，2c ＝2，解得a ＝2，b ＝ 3.所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)因为F 2(1,0)，所以①当直线l 的斜率不存在时，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32，则|AF 2|·|F 2B |＝94. ②当直线l 的斜率存在时，直线l 的方程可设为y ＝k (x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，x 24＋y 23＝1消去y ，得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0.(*)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1，x 2是方程(*)的两个根，所以x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k2. 所以|AF 2|＝(x 1－1)2＋y 21＝1＋k 2·|x 1－1|，所以|AF 2|·|F 2B |＝(1＋k 2)·|x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1|＝(1＋k 2)·⎪⎪⎪⎪⎪⎪4k 2－123＋4k 2－8k 23＋4k 2＋1 ＝(1＋k 2)·⎪⎪⎪⎪⎪⎪－93＋4k 2＝(1＋k 2)·93＋4k2＝94⎝⎛⎭⎪⎪⎫1＋13＋4k 2. 当k 2＝0时，|AF 2|·|F 2B |取最大值3，所以|AF 2|·|F 2B |的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤94，3.由①②知|AF 2|·|F 2B |的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤94，3.8．(2018·河北百校联盟期中)平面直角坐标系xOy 中，过椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)右焦点的直线x ＋y －3＝0交M 于A ，B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12.(1)求M 的方程；(2)C ，D 为M 上两点，若四边形ACBD 的对角线CD ⊥AB ，求四边形ACBD 面积的最大值．[解] (1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x 0，y 0)，则x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，y 2－y 1x 2－x 1＝－1.由此可得b 2(x 2＋x 1)a 2(y 2＋y 1)＝－y 2－y 1x 2－x 1＝1.因为x 1＋x 2＝2x 0，y 1＋y 2＝2y 0，y 0x 0＝12，所以a 2＝2b 2.又由题意知，M 的右焦点为(3，0)，故a 2－b 2＝3. 因此a 2＝6，b 2＝3. 所以M 的方程为x 26＋y 23＝1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3＝0，x 26＋y 23＝1解得⎩⎨⎧x ＝433，y ＝－33或⎩⎨⎧x ＝0，y ＝ 3.因此|AB |＝463.由题意可设直线CD 的方程为y ＝x ＋n ⎝ ⎛⎭⎪⎫－533<n <3， 设C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋n ，x 26＋y 23＝1，得3x 2＋4nx ＋2n 2－6＝0.于是x 3＋x 4＝－4n3，x 3·x 4＝2n 2－63.因为直线CD 的斜率为1， 所以|CD |＝2|x 4－x 3|＝439－n 2.由已知，四边形ACBD 的面积 S ＝12|CD |·|AB |＝8699－n 2.当n ＝0时，S 取得最大值，最大值为863. 所以四边形ACBD 面积的最大值为863.9．设焦点在x 轴上的椭圆M 的方程为x 24＋y 2b 2＝1(b >0)，其离心率为22.(1)求椭圆M 的方程；(2)若直线l 过点P (0,4)，则直线l 何时与椭圆M 相交？ [解] (1)因为椭圆M 的离心率为22， 所以4－b 24＝⎝ ⎛⎭⎪⎫222，得b 2＝2.所以椭圆M 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)①过点P (0,4)的直线l 垂直于x 轴时，直线l 与椭圆M 相交． ②过点P (0,4)的直线l 与x 轴不垂直时，可设直线l 的方程为y ＝kx ＋4.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋4，x 24＋y 22＝1，消去y ，得(1＋2k 2)x 2＋16kx ＋28＝0.因为直线l 与椭圆M 相交，所以Δ＝(16k )2－4(1＋2k 2)×28＝16(2k 2－7)>0， 解得k <－142或k >142.综上，当直线l 垂直于x 轴或直线l 的斜率的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－142∪⎝ ⎛⎭⎪⎫142，＋∞时，直线l 与椭圆M 相交． 10．(2017·广东惠州调研)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为63，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为523.(1)求椭圆C 的方程；(2)已知动直线y ＝k (x ＋1)与椭圆C 相交于A ，B 两点． ①若线段AB 中点的横坐标为－12，求斜率k 的值；②已知点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－73，0，求证：MA →·MB →为定值． [解] (1)x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)满足a 2＝b 2＋c 2，又c a ＝63，12×b ×2c ＝523，解得a 2＝5，b 2＝53，则椭圆方程为x 25＋3y 25＝1. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．①将y ＝k (x ＋1)代入x 25＋3y25＝1， 得(1＋3k 2)x 2＋6k 2x ＋3k 2－5＝0，∴Δ＝48k 2＋20>0，x 1＋x 2＝－6k 23k 2＋1，∵AB 中点的横坐标为－12， ∴－3k 23k 2＋1＝－1，解得k ＝±33.②证明：由①知x 1＋x 2＝－6k23k 2＋1，x 1x 2＝3k 2－53k 2＋1，∴MA →·MB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋73，y 1·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋73，y 2 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋73⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋73＋y 1y 2 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋73⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋73＋k 2(x 1＋1)(x 2＋1) ＝(1＋k 2)x 1x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫73＋k 2(x 1＋x 2)＋499＋k 2＝(1＋k 2)3k 2－53k 2＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫73＋k 2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－6k 23k 2＋1＋499＋k 2＝－3k 4－16k 2－53k 2＋1＋499＋k 2＝49(定值)．。
高三数学(文)一轮复习课时跟踪训练：第九章 平面解析几何 课时跟踪训练48
课时跟踪训练(四十八)[基础巩固]一、选择题1．(2017·东北三省四市二模)直线x －3y ＋3＝0与圆(x －1)2＋(y －3)2＝10相交所得弦长为( ) A.30 B.532 C ．4 2 D ．3 3[解析] 由题知，题中圆的圆心坐标为(1,3)，半径r ＝10，则圆心到直线的距离d ＝|1－9＋3|12＋(－3)2＝102，所以弦长为2r 2－d 2＝210－104＝30.[答案] A2．(2017·沈阳市高三质量监测)已知直线l ：y ＝k (x ＋3)和圆C ：x 2＋(y －1)2＝1，若直线l 与圆C 相切，则k ＝( )A ．0 B. 3 C.33或0 D.3或0[解析] 因为直线l 与圆C 相切，所以圆心C 到直线l 的距离d ＝|－1＋3k |1＋k 2＝1，|－1＋3k |＝1＋k 2，解得k ＝0或k ＝3，故选D.[答案] D3．(2017·河南省洛阳市高三第一次统考)直线l ：y ＝kx ＋1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则“k ＝1”是“|AB |＝2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析]依题意，注意到|AB|＝2＝|OA|2＋|OB|2等价于圆心O到直线l的距离等于22，即有1k2＋1＝22，k＝±1.因此，“k＝1”是“|AB|＝2”的充分不必要条件，选A.[答案] A4．(2017·陕西省高三质检)已知直线y＝ax与圆C：x2＋y2－2ax －2y＋2＝0相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则圆C的面积为()A．49π B．36π C．7π D．6π[解析]圆C的标准方程为(x－a)2＋(y－1)2＝a2－1，因此圆心C(a,1)到直线y＝ax的距离为|a2－1|a2＋1＝32a2－1，解得a2＝7，所以圆C的面积为π(a2－1)2＝6π，选D.[答案] D5．(2018·河北省定兴三中月考)圆O：x2＋y2＝50与圆x2＋y2－12x －6y＋40＝0的公共弦长为()A. 5B. 6 C．2 5 D．2 6[解析]由题意得，两圆公共弦所在直线的方程为2x＋y－15＝0.又圆心O(0,0)到公共弦所在直线2x＋y－15＝0的距离为|－15| 22＋12＝35，则两圆的公共弦长为250－(35)2＝2 5.故选C.[答案] C6．(2017·宁夏银川九中五模)直线l：kx＋y＋4＝0(k∈R)是圆C：x2＋y2＋4x－4y＋6＝0的一条对称轴，过点A(0，k)作斜率为1的直线m，则直线m被圆C所截得的弦长为()。
与名师对话2019届高三数学(文)一轮复习课时跟踪训练：第九章 平面解析几何 课时跟踪训练48
课时跟踪训练(四十八)[基础巩固]一、选择题1．(2017·东北三省四市二模)直线x －3y ＋3＝0与圆(x －1)2＋(y －3)2＝10相交所得弦长为( )A. B. C ．4 D ．33053223[解析] 由题知，题中圆的圆心坐标为(1,3)，半径r ＝，则10圆心到直线的距离d ＝＝，所以弦长为2＝2|1－9＋3|12＋(－3)2102r 2－d 2＝.10－10430[答案] A2．(2017·沈阳市高三质量监测)已知直线l ：y ＝k (x ＋)和圆3C ：x 2＋(y －1)2＝1，若直线l 与圆C 相切，则k ＝( )A ．0 B. C.或0 D.或03333[解析] 因为直线l 与圆C 相切，所以圆心C 到直线l 的距离d ＝＝1，|－1＋k |＝，解得k ＝0或k ＝，故选|－1＋3k |1＋k 231＋k 23D.[答案] D3．(2017·河南省洛阳市高三第一次统考)直线l ：y ＝kx ＋1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则“k ＝1”是“|AB |＝”的( )2A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] 依题意，注意到|AB |＝＝|OA |2＋|OB |2等价于圆心O2到直线l 的距离等于，即有＝，k ＝±1.因此，“k ＝1”是221k 2＋122“|AB |＝”的充分不必要条件，选A.2[答案] A4．(2017·陕西省高三质检)已知直线y ＝ax 与圆C ：x 2＋y 2－2ax －2y ＋2＝0相交于A ，B 两点，且△ABC 为等边三角形，则圆C 的面积为( )A ．49πB ．36πC ．7πD ．6π[解析] 圆C 的标准方程为(x －a )2＋(y －1)2＝a 2－1，因此圆心C (a,1)到直线y ＝ax 的距离为＝，解得a 2＝7，所以|a 2－1|a 2＋132a 2－1圆C 的面积为π()2＝6π，选D.a 2－1[答案] D5．(2018·河北省定兴三中月考)圆O ：x 2＋y 2＝50与圆x 2＋y 2－12x －6y ＋40＝0的公共弦长为( )A. B. C ．2 D ．25656[解析] 由题意得，两圆公共弦所在直线的方程为2x ＋y －15＝0.又圆心O (0,0)到公共弦所在直线2x ＋y －15＝0的距离为＝3，则两圆的公共弦长为2＝2.故选C.|－15|22＋12550－(35)25[答案] C6．(2017·宁夏银川九中五模)直线l ：kx ＋y ＋4＝0(k ∈R )是圆C ：x 2＋y 2＋4x －4y ＋6＝0的一条对称轴，过点A (0，k )作斜率为1的直线m ，则直线m 被圆C 所截得的弦长为( )A. B. C. D ．222266[解析] 圆C ：x 2＋y 2＋4x －4y ＋6＝0，即(x ＋2)2＋(y －2)2＝2，表示以C (－2,2)为圆心，为半径的圆．由题意可得，直线2l ：kx ＋y ＋4＝0经过圆心C (－2,2)，所以－2k ＋2＋4＝0，解得k ＝3，所以点A (0,3)，故直线m 的方程为y ＝x ＋3，即x －y ＋3＝0，则圆心C 到直线m 的距离d ＝＝，所以|－2－2＋3|212直线m 被圆C 所截得的弦长为2＝.故选C.2－126[答案] C二、填空题7．(2017·四川新津中学月考)若点P (1,1)为圆C ：(x －3)2＋y 2＝9的弦MN 的中点，则弦MN 所在直线的方程为__________．[解析] 圆心为C (3,0)，直线PC 的斜率k PC ＝－，则弦MN 所12在直线的斜率k ＝2，则弦MN 所在直线的方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0.[答案] 2x －y －1＝08．已知圆C 1：x 2＋y 2－2mx ＋4y ＋m 2－5＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋2x －2my ＋m 2－3＝0，若圆C 1与圆C 2相外切，则实数m ＝__________.[解析] 圆C 1和圆C 2的标准方程分别为(x －m )2＋(y ＋2)2＝9，(x ＋1)2＋(y －m )2＝4，圆心分别为C 1(m ，－2)，C 2(－1，m )，半径分别为3和2.＝5，解得(m ＋1)2＋(m ＋2)2m ＝2或m ＝－5.[答案] 2或－59．(2015·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，以点(1,0)为圆心且与直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R )相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为__________．[解析] 直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R )恒过定点(2，－1)，当点(2，－1)为圆和直线的切点时，圆的半径最大，此时r ＝＝，圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝2.(1－2)2＋(0＋1)22[答案] (x －1)2＋y 2＝2三、解答题10．直线l 的方程为mx －y ＋m ＋2＝0(m ∈R )，圆O 的方程为x 2＋y 2＝9.(1)证明：不论m 取何值，l 与圆都相交；(2)求l 被圆截得的线段长的最小值．[解] (1)证明：证法一：圆心O 到l 的距离为d ＝，圆|m ＋2|1＋m 2O 的半径长为3.若l 与圆相交，则有<3⇔(m ＋2)2<9(1＋m 2)|m ＋2|1＋m 2⇔8m 2－4m ＋5>0⇔82＋>0，(m －14)92显然82＋>0(对任意的m )总成立，(m －14)92<3总成立，|m ＋2|1＋m 2∴不论m 取何值，l 与圆都相交．证法二：把l 的方程变为y －2＝m (x ＋1)，∴不论m 取何值l 总过点A (－1,2)．∵A 在圆O 的内部，∴不论m 取何值，l与圆都相交．(2)结合图形易见，当l ⊥OA 时，l 被圆截得的线段长最小，∵OA ＝＝，∴l 被圆截得的线段长的最小值为212＋225＝4.9－(5)2[能力提升]11．(2017·福建宁德市一模)已知圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0关于直线3x －ay －11＝0对称，则圆C 中以为中点的弦的长为( )(a 4，－a4)A ．1 B ．2 C ．3 D ．4[解析] 因为圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0关于直线3x －ay －11＝0对称，所以直线3x －ay －11＝0过圆心C (1，－2)，所以3＋2a －11＝0，解得a ＝4，所以＝(1，－1)．又点(1，－1)(a 4，－a4)与圆心C (1，－2)之间的距离d ＝＝1，圆(1－1)2＋(－1＋2)2C ：x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0的半径r ＝，5所以圆C 中以为中点的弦的长为(a 4，－a 4)2＝2×＝4.故选D.r 2－d 25－112．(2017·安徽黄山二模)已知圆O ：x 2＋y 2＝1，点P 为直线＋x 4＝1上一动点，过点P 向圆O 引两条切线PA ，PB ，A ，B 为切点，y 2则直线AB 经过定点( )A. B.(12，14)(14，12)C.D.(34，0)(0，34)[解析] 因为点P 是直线＋＝1上的一动点，所以设x 4y 2P (4－2m ，m )．因为PA ，PB 是圆x 2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，所以OA ⊥PA ，OB ⊥PB ，所以点A ，B 在以OP 为直径的圆C 上，即弦AB 是圆O 和圆C 的公共弦．因为圆心C 的坐标是，且半径的平方r 2＝(2－m ，m 2)，所以圆C 的方程为(x －2＋m )2＋2＝(4－2m )2＋m 24(y －m 2)，①(4－2m )2＋m 24又x 2＋y 2＝1，②所以②－①得，(2m －4)x －my ＋1＝0，即公共弦AB 所在的直线方程为(2x －y )m ＋(－4x ＋1)＝0，所以由Error!得Error!所以直线AB 过定点.故选B.(14，12)13．(2017·苏州高三调研)在平面直角坐标系xOy 中，已知过点M (1,1)的直线l 与圆(x ＋1)2＋(y －2)2＝5相切，且与直线ax ＋y －1＝0垂直，则实数a ＝________.[解析] 由题意，直线l 的斜率存在，设过点M (1,1)的直线l 的方程为y －1＝k (x －1)，即kx －y ＋1－k ＝0.因为直线l 与圆(x ＋1)2＋(y －2)2＝5相切，所以圆心(－1,2)到直线l 的距离d ＝＝，整理得k 2－4k ＋4＝0，解得k ＝2.又直线l 与直|－k －2＋1－k |k 2＋15线ax ＋y －1＝0垂直，所以－2a ＝－1，解得a ＝.12[答案] 1214．(2017·江苏四市联考)在平面直角坐标系xOy 中，过点M (1,0)的直线l 与圆x 2＋y 2＝5交于A ，B 两点，其中点A 在第一象限，且＝2，则直线l 的方程为____________________．BM → MA → [解析] 解法一：由题意，设直线l 的方程为x ＝my ＋1(m ≠0)，与x 2＋y 2＝5联立，消去x 并整理可得(m 2＋1)y 2＋2my －4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则＝(1－x 2，－y 2)，＝(x 1－1，y 1)，BM → MA → y 1＋y 2＝－，①2mm 2＋1y 1y 2＝－.②4m 2＋1因为＝2，所以－y 2＝2y 1，③BM → MA →联立①②③，可得m 2＝1，又点A 在第一象限，所以y 1>0，则m ＝1，所以直线l 的方程为x －y －1＝0.解法二：由题意，设直线l 的方程为x ＝my ＋1(m ≠0)，即x －my －1＝0，所以圆心O 到直线l 的距离d ＝.11＋m 2又＝2，且|OM |＝1，圆x 2＋y 2＝5的半径r ＝，BM → MA → 5＋＝2(－)，即3r 2－d 2|OM |2－d 2r 2－d 2|OM |2－d 2＝，|OM |2－d 2r 2－d 2所以9＝5－，解得m 2＝1，(1－11＋m 2)11＋m 2又点A 在第一象限，所以m ＝1，故直线l 的方程为x －y －1＝0.[答案] x －y －1＝015．(2015·全国卷Ⅰ)已知过点A (0,1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1交于M ，N 两点．(1)求k 的取值范围；(2)若·＝12，其中O 为坐标原点，求|MN |.OM → ON → [解] (1)由题设，可知直线l 的方程为y ＝kx ＋1.因为直线l 与圆C 交于两点，所以<1.|2k －3＋1|1＋k 2解得<k <.4－734＋73所以k 的取值范围为.(4－73，4＋73)(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．将y ＝kx ＋1代入圆C 的方程(x －2)2＋(y －3)2＝1，整理得(1＋k 2)x 2－4(1＋k )x ＋7＝0.所以x 1＋x 2＝，x 1x 2＝.4(1＋k )1＋k 271＋k 2·＝x 1x 2＋y 1y 2OM → ON → ＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝＋8.4k (1＋k )1＋k 2由题设可得＋8＝12，解得k ＝1，所以l 的方程为4k (1＋k )1＋k 2y ＝x ＋1.故圆C 的圆心(2,3)在l 上，所以|MN |＝2.16．(2018·河北衡水中学五调)已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝4，直线l 过定点A (1,0)．(1)若l 与圆C 相切，求l 的方程；(2)若l 与圆C 相交于P ，Q 两点，求△CPQ 的面积的最大值，并求此时直线l 的方程．[解] (1)若直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为x ＝1，符合题意；若直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)，即kx －y －k ＝0.∵直线l 与圆C 相切，∴圆心(3,4)到直线l 的距离等于半径，即＝2，解得k ＝，|3k －4－k |k 2＋134故直线l 的方程为y ＝(x －1)，即3x －4y －3＝0.34综上，所求直线l 的方程为x ＝1或3x －4y －3＝0.(2)∵直线与圆相交于两点，∴直线的斜率一定存在且不为0.设直线方程为kx －y －k ＝0，则圆心到直线l 的距离为d ＝.∵S △CPQ ＝d ×2＝d ·＝＝|2k －4|1＋k 2124－d 24－d 24d 2－d 4，∴当d ＝时，S △CPQ 取得最大值2.－(d 2－2)2＋42∴d ＝＝，解得k ＝1或k ＝7.|2k －4|1＋k 22故所求直线l 的方程为x －y －1＝0或7x －y －7＝0.[延伸拓展](2017·江苏南京三模)在平面直角坐标系xOy 中，圆O ：x 2＋y 2＝1，圆M ：(x ＋a ＋3)2＋(y －2a )2＝1(a 为实数)．若圆O 和圆M 上分别存在点P ，Q ，使得∠OQP ＝30°，则a 的取值范围为________．[解析] 由题意知，圆心M (－a －3,2a )．因为圆O 和圆M 上分别存在点P ，Q ，使得∠OQP ＝30°，易知当Q 为线段OM 与圆M 的交点，PQ 与圆O 相切于点P 时，∠OQP 最大，且|OP |＝1，所以|OM |＝|OQ |＋|MQ |≤3，所以(a ＋3)2＋4a 2≤9，解得－≤a ≤0.65[答案] [－65，0]。
高三数学(文)一轮复习(课件+课时跟踪训练)第九章 平面解析几何 (5)
师
基
引
领
考 点 突
拓 视 野
破
提 能 力
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第九章 第五节
与名师对话·系列丛书
高考总复习·课标版·数学（文）
[解析] 由已知可得△F1AB 的周长为|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋
吃 |BF2|＝4a＝8.
透
教
材 夯
[答案] 8
名
双
师
基
引
领
考 点 突
拓 视 野
破
提 能 力
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第九章 第五节
)
吃
透
13
525
教 材
A. 3 B. 3 C.3 D.9
夯
名
双
师
基
引
领
考 点 突
拓 视 野
破
提 能 力
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第九章 第五节
与名师对话·系列丛书
高考总复习·课标版·数学（文）
[解析] 根据题意知，a＝3，b＝2，则 c＝ a2－b2＝ 5，
吃 透 教
∴椭圆的离心率 e＝ac＝ 35，故选 B.
材
夯 双
高考概览
吃
1.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质；2.了解
透
教 材
圆锥曲线的简单应用；3.理解数形结合的思想.
夯
名
双
师
基
引
领
考 点 突
拓 视 野
破
提 能 力
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第九章 第五节
与名师对话·系列丛书
吃 透 教 材 夯 双 基 考 点 突 破 提 能 力
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高考总复习·课标版·数学（文）
吃透教材 夯双基
与名师对话2019届高三数学(文)一轮复习：第九章 平面解析几何 9-4
(2)由圆的方程，得(x－1)2＋(y－1)2＝1，即此圆的圆心为(1,1)，
半径为 1，
－6ysinα＋1＝0 与圆(x－cosβ)2＋(y＋sinβ)2＝1 的位置关系是
()
A．相交且不过圆心 B．相交且过圆心
C．相切
D．相离
(2)若直线 x＋my＝2＋m 与圆 x2＋y2－2x－2y＋1＝0 相交，则
实数 m 的取值范围为( )
A．(－∞，＋∞) B．(－∞，0)
C．(0，＋∞)
[答案] A
2．(2018·宁夏银川一中检测)直线 x＋y－2＝0 与圆(x－1)2＋ (y－2)2＝1 相交于 A，B 两点，则弦|AB|＝( )
23 A. 2 B. 2 C. 3 D. 2 [解析] ∵圆心(1,2)到直线 x＋y－2＝0 的距离 d＝ 22，∴|AB| ＝2 12－ 222＝ 2.
所 以 圆 心 到 直 线 x ＋ my － 2 － m ＝ 0 的 距 离 为 d ＝
|1＋m1－＋2m＋2 m|＝
1 1＋m2.
因为直线与圆相交，所以 1＋1 m2<1，
解得 m2>0，即实数 m 的取值范围为(－∞，0)∪(0，＋∞)．
[答案] (1)A (2)D
判断直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的 距离易表达，则用几何法；若方程为含有参数，或圆心到直线的 距离的表达式较烦琐，则用代数法．能用几何法，尽量不用代数 法．
⇒
利用平面几何知识， 在梯形ABCD中求|CD|
与名师对话2019届高三数学(文)一轮复习课时跟踪训练：第九章 平面解析几何 课时跟踪训练49
课时跟踪训练(四十九)[基础巩固]一、选择题1．中心在坐标原点的椭圆，焦点在x 轴上，焦距为4，离心率为22，则该椭圆的方程为( )A.x 216＋y 212＝1 B.x 212＋y 28＝1 C.x 212＋y 24＝1D.x 28＋y 24＝1[解析] 因为焦距为4，所以c ＝2，离心率e ＝c a ＝2a ＝22，∴a ＝22，b 2＝a 2－c 2＝4，故选D.[答案] D2．曲线x 225＋y 29＝1与曲线x 225－k ＋y 29－k ＝1(k <9)的( )A ．长轴长相等B ．短轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等[解析] c 2＝25－k －(9－k )＝16，所以c ＝4，所以两条曲线的焦距相等．[答案] D3．(2018·河南开封开学考试)若方程x 2＋ky 2＝2表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是( )A ．(0，＋∞)B ．(0,2)C ．(1，＋∞)D ．(0,1)[解析] ∵方程x 2＋ky 2＝2，即x 22＋y 22k＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，∴2k >2，故0<k <1，故选D.[答案] D4．(2017·吉林长春外国语学校期末)椭圆x 22＋y 2＝1的两个焦点分别是F 1，F 2，点P 是椭圆上任意一点，则PF 1→·PF 2→的取值范围是( )A ．[－1,1]B ．[－1,0]C ．[0,1]D ．[－1,2][解析] 由椭圆方程得F 1(－1,0)，F 2(1,0)，设P (x ，y )，∴PF 1→＝(－1－x ，－y )，PF 2→＝(1－x ，－y )，则PF 1→·PF 2→＝x 2＋y 2－1＝x 22∈[0,1]，故选C.[答案] C5．(2017·湖北孝感七校联盟期末)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF .若|AB |＝10，|BF |＝8，cos ∠ABF ＝45，则C 的离心率为( )A.35B.57C.45D.67[解析] 如图，设|AF |＝x ，则cos ∠ABF ＝82＋102－x 22×8×10＝45.解得x＝6，∴∠AFB ＝90°，由椭圆及直线关于原点对称可知|AF 1|＝8，∠F AF 1＝∠F AB ＋∠FBA ＝90°，△F AF 1是直角三角形，所以|F 1F |＝10，故2a ＝8＋6＝14,2c ＝10，∴c a ＝57. [答案] B6．(2017·上海崇明一模)如图，已知椭圆C 的中心为原点O ，F (－25，0)为C 的左焦点，P 为C 上一点，满足|OP |＝|OF |且|PF |＝4，则椭圆C 的方程为( )A.x 225＋y 25＝1 B.x 230＋y 210＝1 C.x 236＋y 216＝1D.x 245＋y 225＝1[解析] 依题意，设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，右焦点为F ′，连接PF ′.由已知，半焦距c ＝2 5.又由|OP |＝|OF |＝|OF ′|，知∠FPF ′＝90°.在Rt △PFF ′中，|PF ′|＝|FF ′|2－|PF |2＝(45)2－42＝8.由椭圆的定义可知2a ＝|PF |＋|PF ′|＝4＋8＝12，所以a ＝6，于是b 2＝a 2－c 2＝62－(25)2＝16，故所求椭圆方程为x 236＋y 216＝1，故选C.[答案] C 二、填空题7．(2018·北京朝阳模拟)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个焦点是F (1,0)，若椭圆短轴的两个三等分点M ，N 与F 构成正三角形，则此椭圆的方程为__________．[解析] 由△FMN 为正三角形，得c ＝|OF |＝32|MN |＝32×23b ＝1.解得b ＝3，∴a 2＝b 2＋c 2＝4.故椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.[答案] x 24＋y 23＝18．(2018·湖北武汉十六中月考)一个圆经过椭圆x 216＋y 24＝1的三个顶点，且圆心在x 轴上，则该圆的标准方程为__________．[解析] 由x 216＋y 24＝1可知椭圆的右顶点坐标为(4,0)，上、下顶点坐标为(0，±2)．∵圆经过椭圆x 216＋y 24＝1的三个顶点，且圆心在x 轴上， ∴①当圆经过椭圆右顶点及短轴两端点时，设圆的圆心为(x,0)，则x 2＋4＝4－x ，解得x ＝32，∴圆的半径为52，所求圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254. ②当圆经过椭圆左顶点及短轴两端点时，同理可得圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋322＋y 2＝254. [答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ±322＋y 2＝254 9．从椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上一点P 向x 轴作垂线，垂足恰为左焦点F 1，A 是椭圆与x 轴正半轴的交点，B 是椭圆与y 轴正半轴的交点，且AB ∥OP (O 是坐标原点)，则该椭圆的离心率是________．[解析] 由已知，点P (－c ，y ) 在椭圆上，代入椭圆方程，得P ⎝⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a .∵AB ∥OP ，∴k AB ＝k OP ，即－b a ＝－b 2ac ，则b ＝c ，∴a 2＝b 2＋c 2＝2c 2，则c a ＝22，即该椭圆的离心率是22.[答案] 22 三、解答题10．(2017·湖南长沙望城一中第三次调研)P 为圆A ：(x ＋1)2＋y 2＝8上的动点，点B (1,0)．线段PB 的垂直平分线与半径P A 相交于点M ，记点M 的轨迹为Γ.(1)求曲线Γ的方程；(2)当点P 在第一象限，且cos ∠BAP ＝223时，求点M 的坐标． [解] (1)圆A 的圆心为A (－1,0)，半径等于2 2.由已知得|MB |＝|MP |，所以|MA |＋|MB |＝|MA |＋|MP |＝22， 故曲线Γ是以A ，B 为焦点，以22为长轴长的椭圆，设Γ的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，a ＝2，c ＝1，b ＝1，所以曲线Γ的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由点P 在第一象限，cos ∠BAP ＝223，|AP |＝22，得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，223. 于是直线AP 的方程为y ＝24(x ＋1)． 代入椭圆方程，消去y ，可得 5x 2＋2x －7＝0，即(5x ＋7)(x －1)＝0.所以x 1＝1，x 2＝－75.因为点M 在线段AP 上，所以点M 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1，22.[能力提升]11．已知F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，若椭圆C 上存在点P ，使得线段PF 1的中垂线恰好经过焦点F 2，则椭圆C 离心率的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，1 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，22C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，1 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，13[解析] 如图所示，∵线段PF 1的中垂线经过F 2，∴PF 2＝F 1F 2＝2c ，即椭圆上存在一点P ，使得PF 2＝2c . ∴a －c ≤2c ≤a ＋c .∴e ＝c a ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，1.故选C.[答案] C12．如图，椭圆的中心在坐标原点O ，顶点分别是A 1，A 2，B 1，B 2，焦点分别为F 1，F 2，延长B 1F 2与A 2B 2交于P 点，若∠B 1P A 2为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围为()A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，5＋14 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋14，1 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，5－12 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫5－12，1 [解析] 设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，∠B 1P A 2为钝角可转化为B 2A 2→，F 2B 1→所夹的角为钝角，则(a ，－b )·(－c ，－b )<0，得b 2<ac ，即a 2－c 2<ac ，故⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＋c a －1>0，即e 2＋e －1>0，e >5－12或e <－5－12，又0<e <1，∴5－12<e <1.[答案] D13．(2017·江苏镇江期末)已知椭圆x 2m ＋y 2n ＝1(m ，n 为常数，m >n >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是以椭圆短轴为直径的圆上任意一点，则PF 1→·PF 2→＝________.[解析] 由题知F 1(－c,0)，F 2(c,0)，设P (x 0，y 0)，则x 20＋y 20＝b 2，∴PF 1→·PF 2→＝(－c －x 0，－y 0)·(c －x 0，－y 0)＝x 20＋y 20－c 2＝b 2－c 2＝n －(m －n )＝2n －m .[答案] 2n －m14．(2018·云南保山期末)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个焦点为F 1，若椭圆上存在一个点P ，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段PF 1相切于该线段的中点，则椭圆的离心率为________．[解析] 设⊙O 与PF 1切于点M ，连接PF 2，OM .因为M 为PF 1的中点，所以OM 綊12PF 2，得|PF 2|＝2b ，又|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，所以|PF 1|＝2a －2b ，|MF 1|＝a －b .在Rt △OMF 1中，由|OM |2＋|MF 1|2＝|OF 1|2，得b 2＋(a －b )2＝c 2.所以b 2＋(a －b )2＝a 2－b 2，得a ＝32b ，c ＝52b ，所以e ＝c a ＝53.[答案] 5315．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，A 为椭圆的上顶点，直线AF 2交椭圆于另一点B .(1)若∠F 1AB ＝90°，求椭圆的离心率．(2)若AF 2→＝2F 2B →，AF 1→·AB →＝32，求椭圆的方程．[解] (1)若∠F 1AB ＝90°，则△AOF 2为等腰直角三角形，所以有OA ＝OF 2，即b ＝c .所以a ＝2c ，e ＝c a ＝22.(2)由题知A (0，b )，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，其中c ＝a 2－b 2，设B (x ，y )．由AF 2→＝2F 2B →，得(c ，－b )＝2(x －c ，y )， 解得x ＝3c 2，y ＝－b2， 即B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3c2，－b 2.将B 点坐标代入x 2a 2＋y 2b 2＝1，得94c 2a 2＋b 24b 2＝1，即9c 24a 2＋14＝1，解得a 2＝3c 2①.又由AF 1→·AB →＝(－c ，－b )·⎝⎛⎭⎪⎫3c2，－3b 2＝32，得b 2－c 2＝1，即有a 2－2c 2＝1② 由①②解得c 2＝1，a 2＝3，从而有b 2＝2. 所以椭圆的方程为x 23＋y 22＝1.16．(2017·贵州遵义模拟)设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直，直线MF 1与C 的另一个交点为N .(1)若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；(2)若直线MN 在y 轴上的截距为2，且|MN |＝5|F 1N |，求a ，b . [解] (1)∵M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直，∴M 的横坐标为c .当x ＝c 时，y ＝±b 2a ，由直线MN 的斜率为34，得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，即tan∠MF 1F 2＝b 2a 2c ＝b 22ac ＝34，即b 2＝32ac ＝a 2－c 2，即c 2＋32ac －a 2＝0，则e 2＋32e －1＝0，即2e 2＋3e －2＝0，解得e ＝12或e ＝－2(舍去)，即e＝12.(2)由题意，原点O 是F 1F 2的中点，则直线MF 1与y 轴的交点D (0,2)是线段MF 1的中点，设M (c ，y 0)(y 0>0)，则c 2a 2＋y 20b 2＝1，即y 20＝b4a2，解得y 0＝b 2a .∵OD 是△MF 1F 2的中位线，∴b 2a ＝4，即b 2＝4a ， 由|MN |＝5|F 1N |，得|MF 1|＝4|F 1N |，解得|DF 1|＝2|F 1N |，即DF 1→＝2F 1N →. 设N (x 1，y 1)，由题意知y 1<0，则(－c ，－2)＝2(x 1＋c ，y 1)．即⎩⎪⎨⎪⎧2(x 1＋c )＝－c ，2y 1＝－2，解得⎩⎨⎧x 1＝－32c ，y 1＝－1，代入椭圆方程得9c 24a 2＋1b 2＝1，将b 2＝4a 代入得9(a 2－4a )4a 2＋14a ＝1，解得a ＝7，b ＝27.[延伸拓展]1．(2017·石家庄质检)已知两定点A (－2,0)和B (2,0)，动点P (x ，y )在直线l ：y ＝x ＋3上移动，椭圆C 以A ，B 为焦点且经过点P ，则椭圆C 的离心率的最大值为( ) A.2613 B.22613 C.21313 D.41313[解析] 设点A 关于直线l 的对称点为A 1(x 1，y 1)，则有⎩⎨⎧ y 1x 1＋2＝－1，y 12＝x 1－22＋3，解得x 1＝－3，y 1＝1，易知|P A |＋|PB |的最小值等于|A 1B |＝26，因此椭圆C 的离心率e ＝|AB ||P A |＋|PB |＝4|P A |＋|PB |的最大值为22613. [答案] B2．(2017·上海虹口一模)一个底面半径为2的圆柱被与其底面所成角是60°的平面所截，截面得一个椭圆，则该椭圆的焦距等于________．[解析] ∵底面半径为2的圆柱被与底面成60°的平面所截，其截面是一个椭圆，∴这个椭圆的短半轴长为2，长半轴长为2cos60°＝4.∵a 2＝b 2＋c 2，∴c ＝42－22＝23，∴椭圆的焦距为4 3. [答案] 43。
2019届高考数学一轮复习第九章平面解析几何课时跟踪训练49椭圆(一)文20180724388
课时跟踪训练(四十九) 椭圆(一)[基础巩固]一、选择题1．中心在坐标原点的椭圆，焦点在x 轴上，焦距为4，离心率为22，则该椭圆的方程为( )A.x 216＋y 212＝1 B.x 212＋y 28＝1 C.x 212＋y 24＝1 D.x 28＋y 24＝1 [解析] 因为焦距为4，所以c ＝2，离心率e ＝c a ＝2a ＝22，∴a ＝22，b 2＝a 2－c 2＝4，故选D.[答案] D2．曲线x 225＋y 29＝1与曲线x 225－k ＋y 29－k ＝1(k <9)的( )A ．长轴长相等B ．短轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等[解析] c 2＝25－k －(9－k )＝16，所以c ＝4，所以两条曲线的焦距相等． [答案] D3．(2018·河南开封开学考试)若方程x 2＋ky 2＝2表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是( )A ．(0，＋∞) B．(0,2) C ．(1，＋∞) D．(0,1)[解析] ∵方程x 2＋ky 2＝2，即x 22＋y 22k＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，∴2k>2，故0<k <1，故选D.[答案] D4．(2017·吉林长春外国语学校期末)椭圆x 22＋y 2＝1的两个焦点分别是F 1，F 2，点P 是椭圆上任意一点，则PF 1→·PF 2→的取值范围是( )A ．[－1,1]B ．[－1,0]C ．[0,1]D ．[－1,2][解析] 由椭圆方程得F 1(－1,0)，F 2(1,0)，设P (x ，y )，∴PF 1→＝(－1－x ，－y )，PF 2→＝(1－x ，－y )，则PF 1→·PF 2→＝x 2＋y 2－1＝x 22∈[0,1]，故选C.[答案] C5．(2017·湖北孝感七校联盟期末)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF .若|AB |＝10，|BF |＝8，cos ∠ABF ＝45，则C的离心率为( )A.35B.57C.45D.67[解析] 如图，设|AF |＝x ，则cos ∠ABF ＝82＋102－x 22×8×10＝45.解得x ＝6，∴∠AFB ＝90°，由椭圆及直线关于原点对称可知|AF 1|＝8，∠FAF 1＝∠FAB ＋∠FBA ＝90°，△FAF 1是直角三角形，所以|F 1F |＝10，故2a ＝8＋6＝14,2c ＝10，∴c a ＝57. [答案] B6．(2017·上海崇明一模)如图，已知椭圆C 的中心为原点O ，F (－25，0)为C 的左焦点，P 为C 上一点，满足|OP |＝|OF |且|PF |＝4，则椭圆C 的方程为( )A.x 225＋y 25＝1 B.x 230＋y 210＝1 C.x 236＋y 216＝1 D.x 245＋y 225＝1[解析] 依题意，设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，右焦点为F ′，连接PF ′.由已知，半焦距c ＝2 5.又由|OP |＝|OF |＝|OF ′|，知∠FPF ′＝90°. 在Rt △PFF ′中，|PF ′|＝|FF ′|2－|PF |2＝452－42＝8.由椭圆的定义可知2a ＝|PF |＋|PF ′|＝4＋8＝12，所以a ＝6，于是b 2＝a 2－c 2＝62－(25)2＝16，故所求椭圆方程为x 236＋y 216＝1，故选C.[答案] C 二、填空题7．(2018·北京朝阳模拟)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的一个焦点是F (1,0)，若椭圆短轴的两个三等分点M ，N 与F 构成正三角形，则此椭圆的方程为__________．[解析] 由△FMN 为正三角形，得c ＝|OF |＝32|MN |＝32×23b ＝1.解得b ＝3，∴a 2＝b 2＋c 2＝4.故椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.[答案]x 24＋y 23＝18．(2018·湖北武汉十六中月考)一个圆经过椭圆x 216＋y 24＝1的三个顶点，且圆心在x 轴上，则该圆的标准方程为__________．[解析] 由x 216＋y 24＝1可知椭圆的右顶点坐标为(4,0)，上、下顶点坐标为(0，±2)．∵圆经过椭圆x 216＋y 24＝1的三个顶点，且圆心在x 轴上，∴①当圆经过椭圆右顶点及短轴两端点时，设圆的圆心为(x,0)，则x 2＋4＝4－x ，解得x ＝32，∴圆的半径为52，所求圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254.②当圆经过椭圆左顶点及短轴两端点时，同理可得圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋322＋y 2＝254.[答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ±322＋y 2＝2549．从椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上一点P 向x 轴作垂线，垂足恰为左焦点F 1，A 是椭圆与x轴正半轴的交点，B 是椭圆与y 轴正半轴的交点，且AB ∥OP (O 是坐标原点)，则该椭圆的离心率是________．[解析] 由已知，点P (－c ，y ) 在椭圆上，代入椭圆方程，得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a .∵AB ∥OP ，∴k AB ＝k OP ，即－b a ＝－b 2ac ，则b ＝c ，∴a 2＝b 2＋c 2＝2c 2，则c a ＝22，即该椭圆的离心率是22.[答案]22三、解答题10．(2017·湖南长沙望城一中第三次调研)P 为圆A ：(x ＋1)2＋y 2＝8上的动点，点B (1,0)．线段PB 的垂直平分线与半径PA 相交于点M ，记点M 的轨迹为Γ.(1)求曲线Γ的方程；(2)当点P 在第一象限，且cos ∠BAP ＝223时，求点M 的坐标．[解] (1)圆A 的圆心为A (－1,0)，半径等于2 2.由已知得|MB |＝|MP |，所以|MA |＋|MB |＝|MA |＋|MP |＝22，故曲线Γ是以A ，B 为焦点，以22为长轴长的椭圆，设Γ的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，a ＝2，c ＝1，b ＝1，所以曲线Γ的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由点P 在第一象限，cos ∠BAP ＝223，|AP |＝22，得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，223.于是直线AP 的方程为y ＝24(x ＋1)． 代入椭圆方程，消去y ，可得 5x 2＋2x －7＝0，即(5x ＋7)(x －1)＝0. 所以x 1＝1，x 2＝－75.因为点M 在线段AP 上，所以点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，22.[能力提升]11．已知F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，若椭圆C 上存在点P ，使得线段PF 1的中垂线恰好经过焦点F 2，则椭圆C 离心率的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，1B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，22 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，1 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，13[解析] 如图所示， ∵线段PF 1的中垂线经过F 2，∴PF 2＝F 1F 2＝2c ，即椭圆上存在一点P ，使得PF 2＝2c .∴a －c ≤2c ≤a ＋c .∴e ＝c a ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，1.故选C.[答案] C12．如图，椭圆的中心在坐标原点O ，顶点分别是A 1，A 2，B 1，B 2，焦点分别为F 1，F 2，延长B 1F 2与A 2B 2交于P 点，若∠B 1PA 2为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，5＋14 B.⎝⎛⎭⎪⎫5＋14，1C.⎝⎛⎭⎪⎫0，5－12D.⎝⎛⎭⎪⎫5－12，1[解析] 设椭圆的方程为x2a2＋y2b2＝1(a >b >0)，∠B 1PA 2为钝角可转化为B 2A 2→，F 2B 1→所夹的角为钝角，则(a ，－b )·(－c ，－b )<0，得b 2<ac ，即a 2－c 2<ac ，故⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＋c a－1>0，即e 2＋e－1>0，e >5－12或e <－5－12，又0<e <1，∴5－12<e <1. [答案] D13．(2017·江苏镇江期末)已知椭圆x 2m ＋y 2n＝1(m ，n 为常数，m >n >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是以椭圆短轴为直径的圆上任意一点，则PF 1→·PF 2→＝________.[解析] 由题知F 1(－c,0)，F 2(c,0)，设P (x 0，y 0)，则x 20＋y 20＝b 2，∴PF 1→·PF 2→＝(－c －x 0，－y 0)·(c －x 0，－y 0)＝x 20＋y 20－c 2＝b 2－c 2＝n －(m －n )＝2n －m .[答案] 2n －m14．(2018·云南保山期末)椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的一个焦点为F 1，若椭圆上存在一个点P ，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段PF 1相切于该线段的中点，则椭圆的离心率为________．[解析] 设⊙O 与PF 1切于点M ，连接PF 2，OM .因为M 为PF 1的中点，所以OM 綊12PF 2，得|PF 2|＝2b ，又|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，所以|PF 1|＝2a －2b ，|MF 1|＝a －b .在Rt △OMF 1中，由|OM |2＋|MF 1|2＝|OF 1|2，得b 2＋(a －b )2＝c 2.所以b 2＋(a －b )2＝a 2－b 2，得a ＝32b ，c ＝52b ，所以e ＝c a ＝53. [答案]5315．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，A 为椭圆的上顶点，直线AF 2交椭圆于另一点B .(1)若∠F 1AB ＝90°，求椭圆的离心率． (2)若AF 2→＝2F 2B →，AF 1→·AB →＝32，求椭圆的方程．[解] (1)若∠F 1AB ＝90°，则△AOF 2为等腰直角三角形，所以有OA ＝OF 2，即b ＝c . 所以a ＝2c ，e ＝c a ＝22. (2)由题知A (0，b )，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，其中c ＝a 2－b 2，设B (x ，y )． 由AF 2→＝2F 2B →，得(c ，－b )＝2(x －c ，y )， 解得x ＝3c 2，y ＝－b2，即B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3c2，－b 2.将B 点坐标代入x 2a 2＋y 2b 2＝1，得94c 2a 2＋b24b 2＝1，即9c 24a 2＋14＝1，解得a 2＝3c 2①.又由AF 1→·AB →＝(－c ，－b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫3c2，－3b 2＝32，得b 2－c 2＝1，即有a 2－2c 2＝1② 由①②解得c 2＝1，a 2＝3，从而有b 2＝2. 所以椭圆的方程为x 23＋y 22＝1.16．(2017·贵州遵义模拟)设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，M是C 上一点且MF 2与x 轴垂直，直线MF 1与C 的另一个交点为N .(1)若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；(2)若直线MN 在y 轴上的截距为2，且|MN |＝5|F 1N |，求a ，b . [解] (1)∵M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直，∴M 的横坐标为c .当x ＝c 时，y ＝±b 2a ，由直线MN 的斜率为34，得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，即tan ∠MF 1F 2＝b 2a 2c ＝b 22ac ＝34，即b 2＝32ac ＝a 2－c 2，即c 2＋32ac －a 2＝0，则e 2＋32e －1＝0，即2e 2＋3e －2＝0，解得e ＝12或e ＝－2(舍去)，即e ＝12.(2)由题意，原点O 是F 1F 2的中点，则直线MF 1与y 轴的交点D (0,2)是线段MF 1的中点，设M (c ，y 0)(y 0>0)，则c 2a 2＋y 20b 2＝1，即y 20＝b 4a 2，解得y 0＝b 2a.∵OD 是△MF 1F 2的中位线，∴b 2a＝4，即b 2＝4a ，由|MN |＝5|F 1N |，得|MF 1|＝4|F 1N |，解得|DF 1|＝2|F 1N |，即DF 1→＝2F 1N →.设N (x 1，y 1)，由题意知y 1<0，则(－c ，－2)＝2(x 1＋c ，y 1)．即⎩⎪⎨⎪⎧2x 1＋c ＝－c ，2y 1＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－32c ，y 1＝－1，代入椭圆方程得9c 24a 2＋1b2＝1，将b 2＝4a 代入得9a 2－4a 4a 2＋14a＝1，解得a ＝7，b ＝27. [延伸拓展]1．(2017·石家庄质检)已知两定点A (－2,0)和B (2,0)，动点P (x ，y )在直线l ：y ＝x ＋3上移动，椭圆C 以A ，B 为焦点且经过点P ，则椭圆C 的离心率的最大值为( )A.2613 B.22613 C.21313 D.41313[解析] 设点A 关于直线l 的对称点为A 1(x 1，y 1)，则有⎩⎪⎨⎪⎧y1x 1＋2＝－1，y 12＝x 1－22＋3，解得x 1＝－3，y 1＝1，易知|PA |＋|PB |的最小值等于|A 1B |＝26，因此椭圆C 的离心率e ＝|AB ||PA |＋|PB |＝4|PA |＋|PB |的最大值为22613.[答案] B2．(2017·上海虹口一模)一个底面半径为2的圆柱被与其底面所成角是60°的平面所截，截面得一个椭圆，则该椭圆的焦距等于________．[解析]∵底面半径为2的圆柱被与底面成60°的平面所截，其截面是一个椭圆，∴这个椭圆的短半轴长为2，长半轴长为2cos60°＝4.∵a2＝b2＋c2，∴c＝42－22＝23，∴椭圆的焦距为4 3.[答案]4 3附：什么样的考试心态最好大部分学生都不敢掉以轻心，因此会出现很多过度焦虑。
与名师对话2019届高三数学(文)一轮课时跟踪训练：第九章 平面解析几何 课时跟踪训练52含解析
课时跟踪训练(五十二)[基础巩固]一、选择题1．若抛物线y 2＝2px 的焦点与双曲线x 23－y 2＝1的右焦点重合，则p 的值为( )A ．－4B ．4C ．－2D ．2[解析] 抛物线的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0， 由双曲线的方程可知a 2＝3，b 2＝1，所以c 2＝a 2＋b 2＝4，即c ＝2，所以右焦点为(2,0)，所以p 2＝2，p ＝4.[答案] B2．(2018·广东湛江一中等四校第二次联考)抛物线y 2＝2px 上横坐标为4的点到此抛物线焦点的距离为9，则该抛物线的焦点到准线的距离为( )A ．4B ．9C ．10D ．18[解析] 抛物线y 2＝2px 的焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，准线为x ＝－p 2.由题意可得4＋p 2＝9，解得p ＝10，所以该抛物线的焦点到准线的距离为p ＝10.[答案] C3．(2016·全国卷Ⅱ)设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，曲线y ＝k x (k >0)与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，则k ＝( )A.12 B ．1 C.32 D ．2[解析] 抛物线C 的焦点坐标为F (1,0)，PF ⊥x 轴，∴x P ＝x F ＝1.又∵y 2P ＝4x P ，∴y 2P ＝4.∵y P ＝kx P (k >0)，∴y P ＝2，∴k ＝x P y P ＝2.故选D.[答案] D4．(2017·全国卷Ⅱ)过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F ，且斜率为3的直线交C 于点M (M 在x 轴的上方)，l 为C 的准线，点N 在l 上且MN ⊥l ，则M 到直线NF 的距离为( ) A. 5 B ．2 2 C ．2 3 D ．3 3[解析] 解法一：依题意，得F (1,0)，则直线FM 的方程是y ＝3(x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3(x －1)，y 2＝4x ，得x ＝13或x ＝3.由M 在x 轴的上方，得M (3,23)，由MN ⊥l ，得|MN |＝|MF |＝3＋1＝4，又∠NMF 等于直线FM 的倾斜角，即∠NMF ＝60°，因此△MNF 是边长为4的等边三角形，点M 到直线NF 的距离为4×32＝23，选C.解法二：依题意，得直线FM 的倾斜角为60°，则|MN |＝|MF |＝21－cos60°＝4，又∠NMF 等于直线FM 的倾斜角，即∠NMF ＝60°，因此△MNF 是边长为4的等边三角形，点M 到直线NF 的距离为4×32＝23，选C.[答案] C5．已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，点P 为抛物线上一点，且在第一象限，P A ⊥l ，垂足为A ，|PF |＝4，则直线AF 的倾斜角等于( )A.7π12B.2π3C.3π4D.5π6[解析] 由抛物线定义知|PF |＝|P A |，∴P 点坐标为(3，23)，所以A 点坐标为(－1,23)，AF 与x 轴夹角为π3，所以直线AF 的倾斜角为23π，选B.[答案] B6．设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF |＝5.若以MF 为直径的圆过点(0,2)，则C 的方程为( )A ．y 2＝4x 或y 2＝8xB ．y 2＝2x 或y 2＝8xC ．y 2＝4x 或y 2＝16xD ．y 2＝2x 或y 2＝16x[解析] 由已知得抛物线的焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，设点A (0,2)，抛物线上点M (x 0，y 0)，则AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，－2，AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 202p ，y 0－2.由已知得，AF →·AM →＝0，即y 20－8y 0＋16＝0，因而y 0＝4，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫8p ，4.由|MF |＝5得，⎝ ⎛⎭⎪⎫8p －p 22＋16＝5，又p >0，解得p ＝2或p ＝8，故选C.[答案] C二、填空题7．已知抛物线y2＝4x，过焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，过A，B分别作y轴垂线，垂足分别为C，D，则|AC|＋|BD|的最小值为__________．[解析]由题意知F(1,0)，|AC|＋|BD|＝|AF|＋|FB|－2＝|AB|－2，即|AC|＋|BD|取得最小值时，当且仅当|AB|取得最小值．由抛物线定义知，当|AB|为通径，即|AB|＝2p＝4时，取得最小值，所以|AC|＋|BD|的最小值为2.[答案] 28．(2017·武汉市武昌区高三三调)已知抛物线Γ：y2＝8x的焦点为F，准线与x轴的交点为K，点P在Γ上且|PK|＝2|PF|，则△PKF 的面积为________．[解析]由已知得，F(2,0)，K(－2,0)，过P作PM垂直于准线，则|PM|＝|PF|，又|PK|＝2|PF|，∴|PM|＝|MK|＝|PF|，∴PF⊥x轴，△PFK的高等于|PF|，不妨设P(m2，22m)(m>0)，则m2＋2＝4，解得m＝2，故△PFK的面积S＝4×22×2×12＝8.[答案]89．(2016·沈阳质量监测)已知抛物线x2＝4y的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，过P作P A⊥l于点A，当∠AFO＝30°(O为坐标原点)时，|PF|＝________.[解析]设l与y轴的交点为B，在Rt△ABF中，∠AFB＝30°，|BF|＝2，所以|AB|＝233，设P(x0，y0)，则x0＝±233，代入x2＝4y中，得y0＝13，从而|PF|＝|P A|＝y0＋1＝43.[答案]4 3三、解答题10．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4，且位于x 轴上方的点，A 到抛物线准线的距离等于5，过A 作AB 垂直于y 轴，垂足为B ，OB 的中点为M .(1)求抛物线的方程；(2)若过M 作MN ⊥F A ，垂足为N ，求点N 的坐标．[解] (1)抛物线y 2＝2px 的准线为x ＝－p 2，于是4＋p 2＝5，∴p ＝2，∴抛物线方程为y 2＝4x .(2)∵点A 的坐标是(4,4)，由题意得B (0,4)，M (0,2)．又∵F (1,0)，∴k F A ＝43.∵MN ⊥F A ，∴k MN ＝－34.又F A 的方程为y ＝43(x －1)，故MN 的方程为y －2＝－34x ，解方程组得x ＝85，y ＝45，∴N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫85，45. [能力提升]11．已知抛物线x 2＝4y 上有一条长为6的动弦AB ，则AB 的中点到x 轴的最短距离为( )A.34B.32 C ．1 D ．2[解析] 由题意知，抛物线的准线l ：y ＝－1，过点A 作AA 1⊥l 交l 于点A 1，过点B 作BB 1⊥l 交l 于点B 1，设弦AB 的中点为M ，过点M 作MM 1⊥l 交l 于点M 1，则|MM 1|＝|AA 1|＋|BB 1|2.因为|AB |≤|AF |＋|BF |(F 为抛物线的焦点)，即|AF |＋|BF |≥6，当直线AB 过点F 时，等号成立，所以|AA 1|＋|BB 1|≥6,2|MM 1|≥6，|MM 1|≥3，故点M 到x 轴的距离d ≥2，选D.[答案] D12．(2016·全国卷Ⅰ)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点．已知|AB |＝42，|DE |＝25，则C 的焦点到准线的距离为( )A ．2B ．4C ．6D ．8[解析] 如图，设圆的方程为x 2＋y 2＝R 2(R >0)，抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，A (m ，n )，∵抛物线y 2＝2px 关于x 轴对称，圆关于x 轴对称，且|AB |＝42，∴|y A |＝22，∴x A ＝y 2A 2p ＝4p .∵A 在圆上，∴16p 2＋8＝R 2.①由抛物线y 2＝2px 知，它的准线方程为x ＝－p 2， ∵|DE |＝25，∴R 2＝p 24＋5.②联立①②可解得p ＝4，∴C 的焦点到准线的距离为4.故选B.[答案] B13．(2017·全国卷Ⅱ)已知F 是抛物线C ：y 2＝8x 的焦点，M 是C上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点，则|FN |＝________.[解析] 解法一：依题意，抛物线C ：y 2＝8x 的焦点F (2,0)，准线x ＝－2，因为M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N ，M 为FN 的中点，设M (a ，b )(b >0)，所以a ＝1，b ＝22，所以N (0,42)，|FN |＝4＋32＝6.解法二：依题意，抛物线C ：y 2＝8x 的焦点F (2,0)，准线x ＝－2，因为M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N ，M 为FN 的中点，则点M 的横坐标为1，所以|MF |＝1－(－2)＝3，|FN |＝2|MF |＝6.[答案] 614．(2017·山东潍坊期末)已知点A 为抛物线M ：x 2＝2py (p >0)与圆N ：(x ＋2)2＋y 2＝r 2在第二象限的一个公共点，满足点A 到抛物线M 准线的距离为r .若抛物线M 上动点到其准线的距离与到点N 的距离之和的最小上值为2r ，则p ＝________.[解析] 圆N ：(x ＋2)2＋y 2＝r 2的圆心N (－2,0)，半径为r .设抛物线x 2＝2py 的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，则|AN |＋|AF |＝2r . 由抛物线M 上一动点到其准线与到点N 的距离之和的最小值为2r ，即动点到焦点F 与到点N 的距离之和的最小值为2r ，可得A ，N ，F 三点共线，且A 为NF 的中点．由N (－2,0)，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，可得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，p 4，代入抛物线M 的方程可得，1＝2p ·p 4，解得p ＝ 2.[答案] 215．(2017·河北廊坊期末质量监测)我国唐代诗人王维诗云：“明月松间照，清泉石上流”，这里的明月和清泉都是自然景物，没有变，形容词“明”对“清”，名词“月”对“泉”，词性不变，其余各词均如此．变化中的不变性质，在文学和数学中都广泛存在．比如我们利用几何画板软件作出抛物线C ：x 2＝y 的图象(如图)，过焦点F 作直线l 交C 于A ，B 两点，过A ，B 分别作C 的切线，两切线交于点P ，过点P 作x 轴的垂线交C 于点N ，拖动点B 在C 上运动，会发现|NP ||NF |是一个定值，试求出该定值．[解] 由题意，得线段AB 是过抛物线x 2＝y 焦点F 的弦．过A ，B 两点分别作抛物线的切线，两切线相交于P 点，则P 点在抛物线的准线上．下面给出证明：由抛物线C ：x 2＝y ，得其焦点坐标为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14. 设A (x 1，x 21)，B (x 2，x 22)，直线l ：y ＝kx ＋14.将直线l 的方程代入抛物线C 的方程x 2＝y ，得x 2－kx －14＝0.∴x 1x 2＝－14.①又∵抛物线C 的方程为y ＝x 2，求导得y ′＝2x ，∴抛物线C 在点A 处的切线的斜率为2x 1，切线方程为y －x 21＝2x 1(x －x 1)；②抛物线C 在点B 处的切线的斜率为2x 2，切线方程为y －x 22＝2x 2(x －x 2)．③由①②③得y ＝－14.∴点P 的轨迹方程得y ＝－14，即点P 在抛物线的准线上．根据抛物线的定义知|NF |＝|NP |，∴|NP ||NF |是一个定值1.16．设A ，B 为抛物线y 2＝x 上相异两点，其纵坐标分别为1，－2，分别以A ，B 为切点作抛物线的切线l 1，l 2，设l 1，l 2相交于点P .(1)求点P 的坐标；(2)M 为A ，B 间抛物线段上任意一点，设PM →＝λP A →＋μPB →，试判断λ＋μ是否为定值？如果为定值，求出该定值，如果不是定值，请说明理由．[解] (1)由题知A (1,1)，B (4，－2)，设点P 的坐标为(x P ，y P )，切线l 1：y －1＝k (x －1)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝k (x －1)，y 2＝x ，由抛物线与直线l 1相切，解得k ＝12，即l 1：y ＝12x ＋12，同理，l 2：y ＝－14x －1.联立l 1，l 2的方程，可解得⎩⎨⎧x P ＝－2，y P ＝－12，即点P 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫－2，－12. (2)设M (y 20，y 0)，且－2≤y 0≤1. 由PM →＝λP A →＋μPB →得⎝ ⎛⎭⎪⎫y 20＋2，y 0＋12＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，32＋μ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，－32，即⎩⎨⎧ y 20＋2＝3λ＋6μ，y 0＋12＝32(λ－μ)，解得⎩⎨⎧ λ＝(y 0＋2)29，μ＝(y 0－1)29， 则λ＋μ＝y 0＋23＋1－y 03＝1，即λ＋μ为定值1.[延伸拓展](2017·广西玉林陆川中学期末)从抛物线y 2＝4x 的准线l 上一点P 引抛物线的两条切线P A ，PB ，A ，B 为切点．若直线AB 的倾斜角为π3，则P 点的纵坐标为( ) A.33 B.233 C.433 D ．2 3[解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (－1，y )，则k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2. ∵直线AB 的倾斜角为π3，∴4y 1＋y 2＝3，∴y 1＋y 2＝433. 切线P A 的方程为y －y 1＝2y 1(x －x 1)，切线PB 的方程为y －y 2＝2y 2(x －x 2)，即切线P A 的方程为y ＝2y 1x ＋12y 1，切线PB 的方程为y ＝2y 2x ＋12y 2.∴y 1，y 2是方程t 2－2yt ＋4x ＝0两个根，∴y 1＋y 2＝2y ＝433.∴y ＝233.故选B.[答案] B。
与名师对话2019届高三数学(文)一轮复习：第九章 平面解析几何 9-6
[小题速练]
1．直线 y＝2x－1 与椭圆x92＋y42＝1 的位置关系是(
)
A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定
y＝2x－1 [解析] x92＋y42＝1 得 4x2＋9(2x－1)2＝36，即 40x2－36x－ 27＝0，Δ＝362＋4×40×27>0，故直线与椭圆相交，选 A.
[答案] D
本类型题目常见问题有：(1)过定点被定点平分的弦所在直线 的方程；(2)平行弦中点轨迹；(3)过定点的弦的中点的轨迹．解决 有关弦及弦中点问题常用方法是“韦达定理”和“点差法”．这 两种方法的前提都必须保证直线和椭圆有两个不同的公共点．
[跟踪演练] 1．(2018·合肥质检)已知椭圆 E：x42＋y22＝1，直线 l 交椭圆于
B.3x62 ＋2y72 ＝1
C.2x72 ＋1y82 ＝1
D.1x82 ＋y92＝1
[思路引导] 由题意可知 AB 的中点(1，－1)及直线 AB 的斜
率，可考虑“点差法”求解．
[ 解 析 ] 设 A(x1 ， y1) ， B(x2 ， y2) ， 代 入 椭 圆 方 程 得
ax212＋by212＝1， ax222＋by222＝1，
＝33＋k44＋k2k2＝3 7 2，
∴17k4＋k2－18＝0，
∴k2＝1，∴k＝±1.
考点三 中点弦问题——常考点 已知椭圆 E：ax22＋by22＝1(a>b>0)的右焦点为 F(3,0)，
过点 F 的直线交椭圆于 A，B 两点．若 AB 的中点坐标为(1，－1)，
则 E 的方程为( )
A.4x52 ＋3y62 ＝1
(3)当 Δ<0，即 m<－3 2或 m>3 2时，方程③没有实数根， 可知原方程组没有实数解．这时直线 l 与椭圆 C 没有公共点．
与名师对话2019届高三数学(文)一轮复习课时跟踪训练：第九章 平面解析几何 课时跟踪训练51
课时跟踪训练(五十一)[基础巩固]一、选择题1．(2017·江西九江一模)若双曲线mx 2＋2y 2＝2的虚轴长为4，则该双曲线的焦距为( )A ．2 5 B. 5 C ．2 3 D. 3[解析] 双曲线方程为y 2－x 2－2m＝1，∴－2m ＝4，∴m ＝－12，双曲线的焦距为25，故选A.[答案] A2．(2017·全国卷Ⅱ)若a >1，则双曲线x 2a 2－y 2＝1的离心率的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．(2，2)C ．(1，2)D ．(1,2)[解析] 依题意得，双曲线的离心率e ＝1＋1a 2，因为a >1，所以e ∈(1，2)，选C.[答案] C3．(2017·全国卷Ⅰ)已知F 是双曲线C ：x 2－y23＝1的右焦点，P是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是(1,3)，则△APF 的面积为( )A.13B.12C.23D.32[解析] 解法一：由题可知，双曲线的右焦点为F (2,0)，当x ＝2时，代入双曲线C 的方程，得4－y 23＝1，解得y ＝±3，不妨取点P (2,3)，因为点A (1,3)，所以AP ∥x 轴；又PF ⊥x 轴，所以AP ⊥PF ，所以S △APF ＝12|PF |·|AP |＝12×3×1＝32.故选D. 解法二：由题可知，双曲线的右焦点为F (2,0)，当x ＝2时，代入双曲线C 的方程，得4－y 23＝1，解得y ＝±3，不妨取点P (2,3)，因为点A (1,3)，所以AP →＝(1,0)，PF →＝(0，－3)，所以AP →·PF →＝0，所以AP ⊥PF ，所以S △APF ＝12|PF ||AP |＝12×3×1＝32.故选D.[答案] D4．(2017·天津卷)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，点A 在双曲线的渐近线上，△OAF 是边长为2的等边三角形(O 为原点)，则双曲线的方程为( )A.x 24－y 212＝1 B.x 212－y 24＝1 C.x 23－y 2＝1D ．x 2－y 23＝1[解析] 由△OAF 是边长为2的等边三角形可知，c ＝2，ba ＝tan60°＝3，又c 2＝a 2＋b 2，联立可得a ＝1，b ＝3，∴双曲线的方程为x 2－y 23＝1.[答案] D5．(2018·广东六校联盟联考)设F 1，F 2是双曲线x 2－y224＝1的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且3|PF 1|＝4|PF 2|，则△PF 1F 2的面积等于( )A ．4 2B ．8 3C ．24D ．48[解析] 依题意，得F 1(－5,0)，F 2(5,0)，|F 1F 2|＝10. ∵3|PF 1|＝4|PF 2|，设|PF 2|＝x ，则|PF 1|＝43x . 由双曲线的性质知43x －x ＝2，解得x ＝6. ∴|PF 1|＝8，|PF 2|＝6，∴∠F 1PF 2＝90°， ∴△PF 1F 2的面积＝12×8×6＝24.故选C. [答案] C6．(2016·天津卷)已知双曲线x 24－y 2b 2＝1(b >0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A ，B ，C ，D 四点，四边形ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为( )A.x 24－3y 24＝1 B.x 24－4y 23＝1 C.x 24－y 24＝1D.x 24－y 212＝1[解析] 根据对称性，不妨设点A 在第一象限，其坐标为(x ，y )，于是有⎩⎨⎧x 2＋y 2＝4，y ＝b2x⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4b 2＋4，y ＝4b 2＋4·b2，则xy ＝16b 2＋4·b 2＝b 2⇒b 2＝12.故所求双曲线的方程为x 24－y 212＝1，故选D.[答案] D 二、填空题7．若双曲线的渐近线方程为x ±2y ＝0，焦距为10，则该双曲线的方程为__________．[解析] 设双曲线的方程为x 2－4y 2＝λ(λ≠0)，焦距2c ＝10，c 2＝25，当λ>0时，x 2λ－y 2λ4＝1，λ＋λ4＝25，∴λ＝20；当λ<0时，y 2－λ4－x 2－λ＝1，－λ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－λ4＝25，∴λ＝－20.故该双曲线的方程为x 220－y 25＝1或y 25－x 220＝1. [答案] x 220－y 25＝1或y 25－x 220＝18．(2018·银川第二中学月考)若以双曲线x 22－y 2b 2＝1(b >0)的左、右焦点和点P (1，2)为顶点的三角形为直角三角形，则b 等于__________．[解析] 设双曲线x 22－y 2b 2＝1(b >0)的左、右焦点为F 1(－c,0)，F 2(c,0)，依题意，k PF 1·k PF 2＝21＋c ·21－c＝－1，∴c 2＝3，b 2＝1，∴b ＝1.[答案] 19．(2017·全国卷Ⅰ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点．若∠MAN ＝60°，则C 的离心率为________．[解析] 双曲线的右顶点为A (a,0)，一条渐近线的方程为y ＝b a x ，即bx －ay ＝0，圆心A 到此渐近线的距离d ＝|ba －a ×0|b 2＋a 2＝abc ，因为∠MAN ＝60°，圆的半径为b ，所以b ·sin60°＝ab c ，即3b 2＝abc ，所以e ＝23＝233. [答案]233三、解答题10．如图，已知F 1、F 2为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦点，过F 2作垂直于x 轴的直线交双曲线于点P ，且∠PF 1F 2＝30°.求：(1)双曲线的离心率； (2)双曲线的渐近线方程．[解] (1)∵∠PF 2F 1＝90°，∠PF 1F 2＝30°.在Rt △PF 2F 1中，|PF 1|＝|F 1F 2|cos ∠PF 1F 2＝2c cos30°＝43c 3，|PF 2|＝12|PF 1|＝23c 3，又|PF 1|－|PF 2|＝2a ，即233c ＝2a ，ca ＝3， ∴e ＝ca ＝ 3.(2)对于双曲线，有c 2＝a 2＋b 2，∴b ＝c 2－a 2.∴ba ＝c 2－a 2a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2－1＝3－1＝ 2. ∴双曲线的渐近线方程为y ＝±2x .[能力提升]11．(2017·广东佛山一中段考)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 1作圆x 2＋y 2＝a 2的一条切线分别交双曲线的左、右两支于点B ，C ，与双曲线的渐近线在第二象限内交于点D ，且|CD |＝|CF 2|，则双曲线的离心率为( )A. 6B. 5C. 3D. 2[解析] ∵过F 1作圆x 2＋y 2＝a 2的切线分别交双曲线的左、右两支于点B ，C ，且|CD |＝|CF 2|，∴|DF 1|＝2a ，由题意，切线的斜率为a b ，切线方程为y ＝ab (x ＋c )，与y ＝－b a x 垂直，∴2a ＝b ，∴c ＝a 2＋b 2＝5a ，∴e ＝ca ＝5，故选B.[答案] B12．(2017·吉林长春市二模)已知双曲线C 1：x 24－y 2＝1，双曲线C 2：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，M 是双曲线C 2的一条渐近线上的点，且OM ⊥MF 2，O 为坐标原点，若S △OMF 2＝16，且双曲线C 1，C 2的离心率相同，则双曲线C 2的实轴长是( )A ．32B ．16C ．8D ．4[解析] 双曲线C 1：x 24－y 2＝1的离心率为52，设F 2(c,0)，双曲线C 2一条渐近线方程为y ＝ba x ，可得|F 2M |＝bca 2＋b 2＝b ，即有|OM |＝c 2－b 2＝a ， 由S △OMF 2＝16，可得12ab ＝16， 即ab ＝32，又a 2＋b 2＝c 2， 且c a ＝52，解得a ＝8，b ＝4，c ＝45， 即有双曲线的实轴长为16，故选B. [答案] B13．(2017·江西上饶一模)已知双曲线方程为x 2m 2＋4－y 2b 2＝1，若其过焦点的最短弦长为2，则该双曲线的离心率的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤1，62B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫62，＋∞ C.⎝⎛⎭⎪⎫1，62D.⎝ ⎛⎭⎪⎫62，＋∞ [解析] 由题意，2b 2a ＝2，a ≥2， ∴b ＝a ， ∴e ＝ 1＋b 2a 2＝1＋1a ≤62，∵e >1， ∴1<e ≤62. [答案] A14．(2018·山东日照模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，其右顶点是A ，若双曲线C 右支上存在两点B ，D ，使△ABD 为正三角形，则双曲线C 的离心率e 的取值范围是________．[解析] 双曲线C 的渐近线方程为y ＝±ba x ，要使△ABD 为正三角形，则只需过右顶点A ，且斜率为33的直线与双曲线有两个不同的交点，即只需该直线的斜率大于渐近线y ＝b a x 的斜率．∴33>b a ，∴b <33a .即b 2<13a 2，则c 2<a 2＋13a 2，即c <233a ，则e <233，又e >1，所以1<e <233. [答案] 1<e <23315．(2017·云南省高三统一检测)已知双曲线M ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，过点F 且垂直于x 轴的直线与双曲线M 交于A ，B 两点，与双曲线M 的两条渐近线交于C ，D 两点．若|AB |＝35|CD |，则双曲线M 的离心率是________．[解析] 设双曲线的右焦点为F (c,0)，易知，|AB |＝2b 2a .该双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，当x ＝c 时，y ＝±bc a ，所以|CD |＝2bca .由|AB |＝35|CD |，得2b 2a ＝35×2bc a ，即b ＝35c ，所以a ＝c 2－b 2＝45c ，所以e ＝c a ＝54.[答案] 5416．设A ，B 分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为43，焦点到渐近线的距离为 3.(1)求双曲线的方程；(2)已知直线y ＝33x －2与双曲线的右支交于M ，N 两点，O 为坐标原点，且在双曲线的右支上存在点D ，使OM →＋ON →＝tOD →，求t 的值及点D 的坐标．[解] (1)由题意知a ＝2 3.∵一条渐近线为y ＝ba x ，即bx －ay ＝0，右焦点的坐标为(c,0)， ∴由焦点到渐近线的距离为3，得|bc |b 2＋a2＝ 3. ∴b 2＝3，∴双曲线的方程为x 212－y 23＝1. (2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)， 则x 1＋x 2＝tx 0，y 1＋y 2＝ty 0.将直线的方程y ＝33x －2代入双曲线的方程x 212－y 23＝1，得x 2－163x ＋84＝0，则x 1＋x 2＝163，y 1＋y 2＝33(x 1＋x 2)－4＝12，∴⎩⎨⎧x 0y 0＝433，x 2012－y203＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝43，y 0＝3，∴t ＝4，点D 的坐标为(43，3)．[延伸拓展]1．(2017·福州市高三质量检测)已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，|F 1F 2|＝6，P 是双曲线E 右支上一点，PF 1与y 轴交于点A ，△P AF 2的内切圆与AF 2相切于点Q .若|AQ |＝3，则双曲线E 的离心率是( )A ．2 3 B. 5 C. 3 D. 2 [解析]如图所示，设△P AF 2的内切圆与PF 2相切于点M .依题意知，|AF 1|＝|AF 2|，根据双曲线的定义，以及P 是双曲线E 右支上一点，得2a ＝|PF 1|－|PF 2|，根据三角形内切圆的性质，得|PF 1|＝|AF 1|＋|P A |＝|AF 1|＋(|PM |＋|AQ |)，|PF 2|＝|PM |＋|MF 2|＝|PM |＋|QF 2|＝|PM |＋(|AF 2|－|AQ |)．所以2a ＝2|AQ |＝23，即a ＝ 3.因为|F 1F 2|＝6，所以c ＝3，所以双曲线E 的离心率是e ＝c a ＝33＝3，故选C.[答案] C2．(2017·武汉武昌区高三三调)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别为l 1，l 2，经过右焦点F 垂直于l 1的直线分别交l 1，l 2于A ，B 两点．若|OA |，|AB |，|OB |成等差数列，且AF →与FB →反向，则该双曲线的离心率为( )A.52B. 3C. 5D.52[解析]设实轴长为2a，虚轴长为2b，令∠AOF＝α，则由题意知tanα＝ba，在△AOB中，∠AOB＝180°－2α，tan∠AOB＝－tan2α＝ABOA，∵|OA|，|AB|，|OB|成等差数列，∴设|OA|＝m－d，|AB|＝m，|OB|＝m＋d，∵OA⊥BF，∴(m－d)2＋m2＝(m＋d)2，整理，得d＝14m，∴－tan2α＝－2tanα1－tan2α＝ABOA＝m34m＝43，解得ba＝2或ba＝－12(舍去)，∴b＝2a，c＝4a2＋a2＝5a，∴e＝ca＝ 5.故选C.[答案] C。
高三数学(文)一轮复习课时跟踪训练：第九章 平面解析几何 课时跟踪训练49
课时跟踪训练(四十九)[基础巩固]一、选择题1．中心在坐标原点的椭圆，焦点在x轴上，焦距为4，离心率为22，则该椭圆的方程为()A.x216＋y212＝1 B.x212＋y28＝1C.x212＋y24＝1 D.x28＋y24＝1[解析]因为焦距为4，所以c＝2，离心率e＝ca＝2a＝22，∴a＝22，b2＝a2－c2＝4，故选D.[答案] D2．曲线x225＋y29＝1与曲线x225－k＋y29－k＝1(k<9)的()A．长轴长相等B．短轴长相等C．离心率相等D．焦距相等[解析]c2＝25－k－(9－k)＝16，所以c＝4，所以两条曲线的焦距相等．[答案] D3．(2018·河南开封开学考试)若方程x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是()A．(0，＋∞) B．(0,2)C．(1，＋∞) D．(0,1)[解析] ∵方程x 2＋ky 2＝2，即x 22＋y22k＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，∴2k >2，故0<k <1，故选D.[答案] D4．(2017·吉林长春外国语学校期末)椭圆x 22＋y 2＝1的两个焦点分别是F 1，F 2，点P 是椭圆上任意一点，则PF 1→·PF 2→的取值范围是( )A ．[－1,1]B ．[－1,0]C ．[0,1]D ．[－1,2][解析] 由椭圆方程得F 1(－1,0)，F 2(1,0)，设P (x ，y )，∴PF 1→＝(－1－x ，－y )，PF 2→＝(1－x ，－y )，则PF 1→·PF 2→＝x 2＋y 2－1＝x22∈[0,1]，故选C.[答案] C5．(2017·湖北孝感七校联盟期末)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF .若|AB |＝10，|BF |＝8，cos ∠ABF ＝45，则C 的离心率为( )A.35B.57C.45D.67[解析] 如图，设|AF |＝x ，则cos ∠ABF ＝82＋102－x 22×8×10＝45.解得x＝6，∴∠AFB ＝90°，由椭圆及直线关于原点对称可知|AF 1|＝8，∠F AF 1＝∠F AB ＋∠FBA ＝90°，△F AF 1是直角三角形，所以|F 1F |＝10，故2a ＝8＋6＝14,2c ＝10，∴c a ＝57. [答案] B6．(2017·上海崇明一模)如图，已知椭圆C 的中心为原点O ，F (－25，0)为C 的左焦点，P 为C 上一点，满足|OP |＝|OF |且|PF |＝4，则椭圆C 的方程为( )A.x 225＋y 25＝1 B.x 230＋y 210＝1 C.x 236＋y 216＝1D.x 245＋y 225＝1[解析] 依题意，设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，右焦点为F ′，连接PF ′.由已知，半焦距c ＝2 5.又由|OP |＝|OF |＝|OF ′|，知∠FPF ′＝90°.在Rt △PFF ′中，|PF ′|＝|FF ′|2－|PF |2＝(45)2－42＝8.由椭圆的定义可知2a ＝|PF |＋|PF ′|＝4＋8＝12，所以a ＝6，于是b 2＝a 2－c 2＝62－(25)2＝16，故所求椭圆方程为x 236＋y 216＝1，故选C.[答案] C 二、填空题7．(2018·北京朝阳模拟)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个焦点是F (1,0)，若椭圆短轴的两个三等分点M ，N 与F 构成正三角形，则此椭圆的方程为__________．[解析] 由△FMN 为正三角形，得c ＝|OF |＝32|MN |＝32×23b ＝1.解得b ＝3，∴a 2＝b 2＋c 2＝4.故椭圆的方程为x 24＋y23＝1.[答案] x 24＋y 23＝18．(2018·湖北武汉十六中月考)一个圆经过椭圆x 216＋y 24＝1的三个顶点，且圆心在x 轴上，则该圆的标准方程为__________．[解析] 由x 216＋y 24＝1可知椭圆的右顶点坐标为(4,0)，上、下顶点坐标为(0，±2)．∵圆经过椭圆x 216＋y 24＝1的三个顶点，且圆心在x 轴上， ∴①当圆经过椭圆右顶点及短轴两端点时，设圆的圆心为(x,0)，则x 2＋4＝4－x ，解得x ＝32，∴圆的半径为52，所求圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254. ②当圆经过椭圆左顶点及短轴两端点时， 同理可得圆的方程为⎝⎛⎭⎪⎫x ＋322＋y 2＝254. [答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ±322＋y 2＝2549．从椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上一点P 向x 轴作垂线，垂足恰为左焦点F 1，A 是椭圆与x 轴正半轴的交点，B 是椭圆与y 轴正半轴的交点，且AB ∥OP (O 是坐标原点)，则该椭圆的离心率是________．[解析] 由已知，点P (－c ，y ) 在椭圆上，代入椭圆方程，得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a .∵AB ∥OP ，∴k AB ＝k OP ，即－b a ＝－b 2ac ，则b ＝c ，∴a 2＝b 2＋c 2＝2c 2，则c a ＝22，即该椭圆的离心率是22.[答案] 22 三、解答题10．(2017·湖南长沙望城一中第三次调研)P 为圆A ：(x ＋1)2＋y 2＝8上的动点，点B (1,0)．线段PB 的垂直平分线与半径P A 相交于点M ，记点M 的轨迹为Γ.(1)求曲线Γ的方程；(2)当点P 在第一象限，且cos ∠BAP ＝223时，求点M 的坐标． [解] (1)圆A 的圆心为A (－1,0)，半径等于2 2.由已知得|MB |＝|MP |，所以|MA |＋|MB |＝|MA |＋|MP |＝22， 故曲线Γ是以A ，B 为焦点，以22为长轴长的椭圆，设Γ的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，a ＝2，c ＝1，b ＝1，所以曲线Γ的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由点P 在第一象限，cos ∠BAP ＝223，|AP |＝22，得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，223. 于是直线AP 的方程为y ＝24(x ＋1)． 代入椭圆方程，消去y ，可得 5x 2＋2x －7＝0，即(5x ＋7)(x －1)＝0.所以x 1＝1，x 2＝－75.因为点M 在线段AP 上，所以点M 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1，22.[能力提升]11．已知F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，若椭圆C 上存在点P ，使得线段PF 1的中垂线恰好经过焦点F 2，则椭圆C 离心率的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，1 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，22C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，1D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，13[解析] 如图所示，∵线段PF 1的中垂线经过F 2，∴PF 2＝F 1F 2＝2c ，即椭圆上存在一点P ，使得PF 2＝2c . ∴a －c ≤2c ≤a ＋c .∴e ＝c a ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，1.故选C.[答案] C12．如图，椭圆的中心在坐标原点O ，顶点分别是A 1，A 2，B 1，B 2，焦点分别为F 1，F 2，延长B 1F 2与A 2B 2交于P 点，若∠B 1P A 2为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，5＋14 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋14，1 C.⎝⎛⎭⎪⎫0，5－12D.⎝ ⎛⎭⎪⎫5－12，1[解析] 设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，∠B 1P A 2为钝角可转化为B 2A 2→，F 2B 1→所夹的角为钝角，则(a ，－b )·(－c ，－b )<0，得b 2<ac ，即a 2－c 2<ac ，故⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＋c a －1>0，即e 2＋e －1>0，e >5－12或e <－5－12，又0<e <1，∴5－12<e <1.[答案] D13．(2017·江苏镇江期末)已知椭圆x 2m ＋y 2n ＝1(m ，n 为常数，m >n >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是以椭圆短轴为直径的圆上任意一点，则PF 1→·PF 2→＝________.[解析] 由题知F 1(－c,0)，F 2(c,0)，设P (x 0，y 0)，则x 20＋y 20＝b 2，∴PF 1→·PF 2→＝(－c －x 0，－y 0)·(c －x 0，－y 0)＝x 20＋y 20－c 2＝b 2－c 2＝n －(m －n )＝2n －m .[答案] 2n －m14．(2018·云南保山期末)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个焦点为F 1，若椭圆上存在一个点P ，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段PF 1相切于该线段的中点，则椭圆的离心率为________．[解析] 设⊙O 与PF 1切于点M ，连接PF 2，OM .因为M 为PF 1的中点，所以OM 綊12PF 2，得|PF 2|＝2b ，又|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，所以|PF 1|＝2a －2b ，|MF 1|＝a －b .在Rt △OMF 1中，由|OM |2＋|MF 1|2＝|OF 1|2，得b 2＋(a －b )2＝c 2.所以b 2＋(a －b )2＝a 2－b 2，得a ＝32b ，c ＝52b ，所以e ＝c a ＝53.[答案] 5315．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，A 为椭圆的上顶点，直线AF 2交椭圆于另一点B .(1)若∠F 1AB ＝90°，求椭圆的离心率． (2)若AF 2→＝2F 2B →，AF 1→·AB →＝32，求椭圆的方程．[解] (1)若∠F 1AB ＝90°，则△AOF 2为等腰直角三角形，所以有OA ＝OF 2，即b ＝c .所以a ＝2c ，e ＝c a ＝22.(2)由题知A (0，b )，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，其中c ＝a 2－b 2，设B (x ，y )．由AF 2→＝2F 2B →，得(c ，－b )＝2(x －c ，y )， 解得x ＝3c 2，y ＝－b2， 即B ⎝⎛⎭⎪⎫3c2，－b 2.将B 点坐标代入x 2a 2＋y 2b 2＝1，得94c 2a 2＋b 24b 2＝1，即9c 24a 2＋14＝1，解得a 2＝3c 2①.又由AF 1→·AB →＝(－c ，－b )·⎝⎛⎭⎪⎫3c2，－3b 2＝32，得b 2－c 2＝1，即有a 2－2c 2＝1② 由①②解得c 2＝1，a 2＝3，从而有b 2＝2. 所以椭圆的方程为x 23＋y 22＝1.16．(2017·贵州遵义模拟)设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直，直线MF 1与C 的另一个交点为N .(1)若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；(2)若直线MN 在y 轴上的截距为2，且|MN |＝5|F 1N |，求a ，b . [解] (1)∵M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直，∴M 的横坐标为c . 当x ＝c 时，y ＝±b 2a ，由直线MN 的斜率为34，得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，即tan∠MF 1F 2＝b 2a 2c ＝b 22ac ＝34，即b 2＝32ac ＝a 2－c 2，即c 2＋32ac －a 2＝0，则e 2＋32e －1＝0，即2e 2＋3e －2＝0，解得e ＝12或e ＝－2(舍去)，即e ＝12.(2)由题意，原点O 是F 1F 2的中点，则直线MF 1与y 轴的交点D (0,2)是线段MF 1的中点，设M (c ，y 0)(y 0>0)，则c 2a 2＋y 20b 2＝1，即y 20＝b 4a 2，解得y 0＝b 2a .∵OD 是△MF 1F 2的中位线，∴b 2a ＝4，即b 2＝4a ，由|MN |＝5|F 1N |，得|MF 1|＝4|F 1N |，解得|DF 1|＝2|F 1N |，即DF 1→＝2F 1N →.设N (x 1，y 1)，由题意知y 1<0，则(－c ，－2)＝2(x 1＋c ，y 1)．即⎩⎨⎧ 2(x 1＋c )＝－c ，2y 1＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝－32c ，y 1＝－1，代入椭圆方程得9c 24a 2＋1b 2＝1， 将b 2＝4a 代入得9(a 2－4a )4a 2＋14a ＝1，解得a ＝7，b ＝27.[延伸拓展]1．(2017·石家庄质检)已知两定点A (－2,0)和B (2,0)，动点P (x ，y )在直线l ：y ＝x ＋3上移动，椭圆C 以A ，B 为焦点且经过点P ，则椭圆C的离心率的最大值为()A.2613 B.22613 C.21313 D.41313[解析]设点A关于直线l的对称点为A1(x1，y1)，则有⎩⎪⎨⎪⎧y1x1＋2＝－1，y12＝x1－22＋3，解得x1＝－3，y1＝1，易知|P A|＋|PB|的最小值等于|A1B|＝26，因此椭圆C的离心率e＝|AB||P A|＋|PB|＝4|P A|＋|PB|的最大值为22613.[答案] B2．(2017·上海虹口一模)一个底面半径为2的圆柱被与其底面所成角是60°的平面所截，截面得一个椭圆，则该椭圆的焦距等于________．[解析]∵底面半径为2的圆柱被与底面成60°的平面所截，其截面是一个椭圆，∴这个椭圆的短半轴长为2，长半轴长为2cos60°＝4.∵a2＝b2＋c2，∴c＝42－22＝23，∴椭圆的焦距为4 3.[答案]43。
高三数学(文)一轮复习课时跟踪训练：第九章 平面解析几何 课时跟踪训练50 Word版含解析
课时跟踪训练(五十)【基础巩固]一、选择题1、(2017·辽宁师大附中期中)过点M (－2,0)的直线m 与椭圆x 22＋y 2＝1交于P 1,P 2两点,线段P 1P 2的中点为P ,设直线m 的斜率为k 1(k 1≠0),直线OP 的斜率为k 2,则k 1k 2的值为( )A 、2B 、－2 C.12 D 、－12【解析] 由过点M (－2,0)的直线m 的方程为y －0＝k 1(x ＋2),代入椭圆的方程,化简得(2k 21＋1)x 2＋8k 21x ＋8k 21－2＝0,设P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2),∴x 1＋x 2＝－8k 212k 21＋1,∴P 的横坐标为－4k 212k 21＋1,P 的纵坐标为k 1⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k 212k 21＋1＋2＝2k 12k 21＋1,即点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k 212k 21＋1，2k 12k 21＋1,∴直线OP 的斜率k 2＝－12k 1,∴k 1k 2＝－12.故选D.【答案] D2、如图,F (c,0)为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点,A ,B 为椭圆的上、下顶点,P 为直线AF 与椭圆的交点,则直线PB 的斜率k PB ＝( )A.c a 2B.b a 2C.b ＋c a 2D.bca 2【解析] 直线AF 的方程为x c ＋y b ＝1,把y ＝－b c x ＋b 代入x 2a 2＋y 2b 2＝1,得a 2＋c 2a 2c 2x 2－2c x ＝0,∴x P ＝2a 2ca 2＋c 2,y P ＝c 2b －a 2b a 2＋c2,∴k PB ＝c 2b －a 2ba 2＋c 2＋b 2a 2ca 2＋c 2＝bca 2. 【答案] D3、(2017·河北唐山统考)平行四边形ABCD 内接于椭圆x 24＋y 22＝1,直线AB 的斜率k 1＝1,则直线AD 的斜率k 2＝( )A.12 B 、－12 C 、－14 D 、－2【解析] 解法一：设AB 的中点为G ,由椭圆与平行四边形的对称性知O 为平行四边形ABCD 的对角线的交点,则GO ∥AD .设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则有⎩⎪⎨⎪⎧x 214＋y 212＝1，x 224＋y 222＝1，两式相减是(x 1－x 2)(x 1＋x 2)4＝－(y 1－y 2)(y 1＋y 2)2,整理得x 1＋x 22(y 1＋y 2)＝－y 1－y 2x 1－x 2＝－k 1＝－1,即y 1＋y 2x 1＋x 2＝－12.又G ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22,所以k OG ＝y 1＋y 22－0x 1＋x 22－0＝－12, 即k 2＝－12,故选B.解法二：设直线AB 的方程为y ＝x ＋t ,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),利用椭圆与平行四边形的对称性可得D (－x 2,－y 2)、则直线AD 的斜率k 2＝y 1＋y 2x 1＋x 2＝x 1＋x 2＋2t x 1＋x 2＝1＋2t x 1＋x 2.联立⎩⎨⎧y ＝x ＋t ，x 2＋2y 2－4＝0，消去y 得3x 2＋4tx ＋2t 2－4＝0,则x 1＋x 2＝－4t3,∴k 2＝1＋2t －43t ＝－12.故选B.【答案] B 二、解答题4、(2017·河北涞水波峰中学、高碑店三中联考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12,且椭圆C 与圆M ：x 2＋(y －3)2＝4的公共弦长为4.(1)求椭圆C 的方程；(2)已知O 为坐标原点,过椭圆C 的右顶点A 作直线l 与圆x 2＋y 2＝85相切并交椭圆C 于另一点B ,求OA →·OB →的值、【解] (1)∵椭圆C 与圆M 的公共弦长为4,∴椭圆C 经过点(±2,3),∴4a 2＋9b 2＝1,又c a ＝12,a 2＝b 2＋c 2,解得a 2＝16,b 2＝12,∴椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1.(2)已知右顶点A (4,0),∵直线l 与圆x 2＋y 2＝85相切,设直线l 的方程为y ＝k (x －4),∴|4k |1＋k2＝85,∴9k 2＝1,∴k ＝±13.联立y ＝±13(x －4)与x 216＋y 212＝1,消去y ,得31x 2－32x －368＝0.设B (x 0,y 0),则由根与系数的关系得4x 0＝－36831,∴OA →·OB →＝4x 0＝－36831.5、(2017·吉林长春外国语学校期中)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,P 是椭圆上任意一点,且|PF 1|＋|PF 2|＝22,它的焦距为2.(1)求椭圆C 的方程、(2)是否存在正实数t ,使直线x －y ＋t ＝0与椭圆C 交于不同的两点A ,B ,且线段AB 的中点在圆x 2＋y 2＝56上？若存在,求出t 的值；若不存在,请说明理由、【解] (1)∵F 1,F 2为椭圆的左、右焦点,P 是椭圆上任意一点,且|PF 1|＋|PF 2|＝22,∴a ＝ 2.∵2c ＝2,∴c ＝1,∴b ＝a 2－c 2＝1,∴椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),联立⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋t ＝0，x 22＋y 2＝1，化简得3x 2＋4tx ＋2t 2－2＝0.①由①知x 1＋x 2＝－4t 3,∴y 1＋y 2＝x 1＋x 2＋2t ＝2t3. ∵线段AB 的中点在圆x 2＋y 2＝56上,∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－2t 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫t 32＝56,解得t ＝62(负值舍去), 故存在t ＝62满足题意、6、已知椭圆C 的中心在原点,焦点在x 轴上,焦距为2,离心率为12. (1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l 经过点M (0,1),且与椭圆C 交于A ,B 两点,若AM →＝2MB →,求直线l 的方程、【解] (1)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >0,b >0),因为c ＝1,c a ＝12,所以a ＝2,b ＝3,所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由题意可知直线l 的斜率存在,设直线l 的方程为y ＝kx ＋1,则由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 24＋y 23＝1得(3＋4k 2)x 2＋8kx －8＝0,且Δ＝192k 2＋96>0.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则由AM →＝2MB →得x 1＝－2x 2.又⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－8k 3＋4k 2，x 1·x 2＝－83＋4k 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＝－8k 3＋4k 2，－2x 22＝－83＋4k 2，消去x 2,得⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫8k 3＋4k 22＝43＋4k 2,解得k 2＝14,k ＝±12. 所以直线l 的方程为y ＝±12x ＋1,即x －2y ＋2＝0或x ＋2y －2＝0.【能力提升]7、(2017·河南考前预测)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦点是F 1,F 2,且|F 1F 2|＝2,离心率为12.(1)求椭圆C 的方程；(2)若过椭圆右焦点F 2的直线l 交椭圆于A ,B 两点,求|AF 2|·|F 2B |的取值范围、【解] (1)因为椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0),由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝b 2＋c 2，c a ＝12，2c ＝2，解得a ＝2,b ＝ 3.所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)因为F 2(1,0),所以①当直线l 的斜率不存在时,A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32,B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32,则|AF 2|·|F 2B |＝94. ②当直线l 的斜率存在时,直线l 的方程可设为y ＝k (x －1)、由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，x 24＋y 23＝1消去y ,得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0.(*)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1,x 2是方程(*)的两个根,所以x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2,x 1x 2＝4k 2－123＋4k2. 所以|AF 2|＝(x 1－1)2＋y 21＝1＋k 2·|x 1－1|, |F 2B |＝(x 2－1)2＋y 22＝1＋k 2·|x 2－1|,所以|AF 2|·|F 2B |＝(1＋k 2)·|x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1|＝(1＋k 2)·⎪⎪⎪⎪⎪⎪4k 2－123＋4k 2－8k 23＋4k 2＋1 ＝(1＋k 2)·⎪⎪⎪⎪⎪⎪－93＋4k 2＝(1＋k 2)·93＋4k2＝94⎝⎛⎭⎪⎪⎫1＋13＋4k 2. 当k 2＝0时,|AF 2|·|F 2B |取最大值3,所以|AF 2|·|F 2B |的取值范围为⎝⎛⎦⎥⎤94，3.由①②知|AF 2|·|F 2B |的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤94，3.8、(2018·河北百校联盟期中)平面直角坐标系xOy 中,过椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)右焦点的直线x ＋y －3＝0交M 于A ,B 两点,P 为AB 的中点,且OP 的斜率为12.(1)求M 的方程；(2)C ,D 为M 上两点,若四边形ACBD 的对角线CD ⊥AB ,求四边形ACBD 面积的最大值、【解] (1)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),P (x 0,y 0),则x 21a 2＋y 21b 2＝1,x 22a 2＋y 22b 2＝1,y 2－y 1x 2－x 1＝－1.由此可得b 2(x 2＋x 1)a 2(y 2＋y 1)＝－y 2－y 1x 2－x 1＝1.因为x 1＋x 2＝2x 0,y 1＋y 2＝2y 0,y 0x 0＝12,所以a 2＝2b 2.又由题意知,M 的右焦点为(3,0),故a 2－b 2＝3. 因此a 2＝6,b 2＝3.所以M 的方程为x 26＋y 23＝1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3＝0，x 26＋y 23＝1解得⎩⎨⎧x ＝433，y ＝－33或⎩⎨⎧x ＝0，y ＝ 3.因此|AB |＝463.由题意可设直线CD 的方程为y ＝x ＋n ⎝ ⎛⎭⎪⎫－533<n <3, 设C (x 3,y 3),D (x 4,y 4)、由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋n ，x 26＋y 23＝1，得3x 2＋4nx ＋2n 2－6＝0. 于是x 3＋x 4＝－4n3,x 3·x 4＝2n 2－63. 因为直线CD 的斜率为1, 所以|CD |＝2|x 4－x 3|＝439－n 2.由已知,四边形ACBD 的面积 S ＝12|CD |·|AB |＝8699－n 2.当n ＝0时,S 取得最大值,最大值为863. 所以四边形ACBD 面积的最大值为863.9、设焦点在x 轴上的椭圆M 的方程为x 24＋y 2b 2＝1(b >0),其离心率为22.(1)求椭圆M 的方程；(2)若直线l 过点P (0,4),则直线l 何时与椭圆M 相交？ 【解] (1)因为椭圆M 的离心率为22, 所以4－b 24＝⎝ ⎛⎭⎪⎫222,得b 2＝2.所以椭圆M 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)①过点P (0,4)的直线l 垂直于x 轴时,直线l 与椭圆M 相交、 ②过点P (0,4)的直线l 与x 轴不垂直时,可设直线l 的方程为y ＝kx ＋4.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋4，x 24＋y 22＝1，消去y ,得(1＋2k 2)x 2＋16kx ＋28＝0.因为直线l 与椭圆M 相交,所以Δ＝(16k )2－4(1＋2k 2)×28＝16(2k 2－7)>0, 解得k <－142或k >142.综上,当直线l 垂直于x 轴或直线l 的斜率的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－142∪⎝ ⎛⎭⎪⎫142，＋∞时,直线l 与椭圆M 相交、10、(2017·广东惠州调研)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为63,椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为523.(1)求椭圆C 的方程；(2)已知动直线y ＝k (x ＋1)与椭圆C 相交于A ,B 两点、①若线段AB 中点的横坐标为－12,求斜率k 的值；②已知点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－73，0,求证：MA →·MB →为定值、 【解] (1)x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)满足a 2＝b 2＋c 2,又c a ＝63,12×b ×2c ＝523,解得a 2＝5,b 2＝53,则椭圆方程为x 25＋3y 25＝1.(2)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)、①将y ＝k (x ＋1)代入x 25＋3y 25＝1,得(1＋3k 2)x 2＋6k 2x ＋3k 2－5＝0,∴Δ＝48k 2＋20>0,x 1＋x 2＝－6k 23k 2＋1, ∵AB 中点的横坐标为－12,∴－3k 23k 2＋1＝－1,解得k ＝±33. ②证明：由①知x 1＋x 2＝－6k 23k 2＋1,x 1x 2＝3k 2－53k 2＋1,∴MA →·MB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋73，y 1·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋73，y 2 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋73⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋73＋y 1y 2 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋73⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋73＋k 2(x 1＋1)(x 2＋1) ＝(1＋k 2)x 1x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫73＋k 2(x 1＋x 2)＋499＋k 2 ＝(1＋k 2)3k 2－53k 2＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫73＋k 2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－6k 23k 2＋1＋499＋k 2 ＝－3k 4－16k 2－53k 2＋1＋499＋k 2 ＝49(定值)、。
与名师对话2019届高三数学(文)一轮复习：第九章 平面解析几何 课时跟踪训练46 Word版含解析
课时跟踪训练(四十六)[基础巩固]一、选择题1、(2017·安徽安师大附中、马鞍山二中高三测试)设a ∈R ,则“a ＝4”是“直线l 1：ax ＋8y －8＝0与直线l 2：2x ＋ay －a ＝0平行”的( )A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件[解析] ∵当a ≠0时,a 2＝8a ＝－8－a ⇒直线l 1与直线l 2重合,∴无论a取何值,直线l 1与直线l 2均不可能平行,当a ＝4时,l 1与l 2重合、故选D 、[答案] D2、(2017·江西南昌检测)直线3x －4y ＋5＝0关于x 轴对称的直线的方程是( )A 、3x ＋4y ＋5＝0B 、3x ＋4y －5＝0C 、－3x ＋4y －5＝0D 、－3x ＋4y ＋5＝0[解析] 在所求直线上任取一点P (x ,y ),则点P 关于x 轴的对称点P ′(x ,－y )在已知的直线3x －4y ＋5＝0上,所以3x －4(－y )＋5＝0,即3x ＋4y ＋5＝0,故选A 、[答案] A3、(2017·山西忻州检测)在平面直角坐标系中,点(0,2)与点(4,0)关于直线l 对称,则直线l 的方程为( )A 、x ＋2y －4＝0B 、x －2y ＝0C 、2x －y －3＝0D 、2x －y ＋3＝0[解析] 因为点(0,2)与点(4,0)关于直线l 对称,所以直线l 的斜率为2,且直线l 过点(2,1),故选C 、[答案] C4、(2018·河北师大附中)三条直线l 1：x －y ＝0,l 2：x ＋y －2＝0,l 3：5x －ky －15＝0围成一个三角形,则k 的取值范围为( )A 、{k |k ≠±5且k ≠1}B 、{k |k ≠±5且k ≠－10}C 、{k |k ≠±1且k ≠0}D 、{k |k ≠±5}[解析] 三条直线围成一个三角形,则三条直线互不平行,且不过同一点,∴－k ±5≠0,且5×1－k －15≠0,∴k ≠±5且k ≠－10、故选B 、[答案] B5、若直线5x ＋4y ＝2m ＋1与直线2x ＋3y ＝m 的交点在第四象限,则m 的取值范围是( )A 、{m |m <2}B 、⎩⎨⎧m ⎪⎪⎪⎭⎬⎫m >32 C 、⎩⎨⎧ m ⎪⎪⎪⎭⎬⎫m <－32 D 、⎩⎨⎧m ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－32<m <2 [解析]解方程组⎩⎨⎧5x ＋4y ＝2m ＋1，2x ＋3y ＝m ，得x ＝2m ＋37,y ＝3m －621＝m －27、∵其交点在第四象限,∴2m ＋37>0,且m －27<0、 解得－32<m <2、[答案] D6、两直线3x ＋y －3＝0与6x ＋my ＋1＝0平行,则它们之间的距离为( )A 、4B 、21313 C 、52613D 、72010[解析] 由题意知,m ＝2,把3x ＋y －3＝0化为6x ＋2y －6＝0,则两平行线间的距离为d ＝|1－(－6)|62＋22＝72010、[答案] D 二、填空题7、直线l 1过点(－2,0)且倾斜角为30°,直线l 2过点(2,0)且与直线l 1垂直,则直线l 1与直线l 2的交点坐标为________、[解析] 直线l 1：3x －3y ＋23＝0,直线l 2：3x ＋y －23＝0,联立方程组可求得x ＝1,y ＝3、[答案] (1,3)8、直线2x －y －4＝0绕它与y 轴的交点逆时针旋转π4所得直线的方程是________、[解析] 由已知得所求直线过点(0,－4),且斜率k ＝2＋tan45°1－2tan45°＝－3,故所求直线的方程为y ＋4＝－3x ,即3x ＋y ＋4＝0、[答案] 3x ＋y ＋4＝09、过点P (－4,2),且到点(1,1)的距离为5的直线方程为__________________、[解析] 当直线的斜率存在时,设直线的斜率为k ,则其方程为y －2＝k (x ＋4),即kx －y ＋4k ＋2＝0,由点到直线的距离公式得|k －1＋4k ＋2|k 2＋1＝5,解得k ＝125,此时直线方程为12x －5y ＋58＝0、当直线的斜率不存在时,x ＝－4也满足条件、综上可知所求直线方程为12x －5y ＋58＝0或x ＝－4、[答案] 12x －5y ＋58＝0或x ＝－4 三、解答题10、已知两直线l 1：ax －by ＋4＝0和l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0,求满足下列条件的a ,b 的值、(1)l 1⊥l 2,且直线l 1过点(－3,－1)；(2)l 1∥l 2,且坐标原点到这两条直线的距离相等、 [解] (1)∵l 1⊥l 2,∴a (a －1)－b ＝0、又∵直线l 1过点(－3,－1),∴－3a ＋b ＋4＝0、 故a ＝2,b ＝2、(2)∵直线l 2的斜率存在,l 1∥l 2,∴直线l 1的斜率存在、 ∴k 1＝k 2,即ab ＝1－a 、又∵坐标原点到这两条直线的距离相等, ∴l 1,l 2在y 轴上的截距互为相反数,即4b ＝b 、故a ＝2,b ＝－2或a ＝23,b ＝2、[能力提升]11、(2017·武汉调研)在直角坐标系中,过点P (－1,2)且与原点O 距离最大的直线方程为( )A 、x －2y ＋5＝0B 、2x ＋y ＋4＝0C 、x －3y ＋7＝0D 、3x －y －5＝0[解析] 所求直线过点P 且与OP 垂直时满足条件,因为直线OP 的斜率为k OP ＝－2,故所求直线的斜率为12,所以所求直线方程为y －2＝12(x ＋1),即x －2y ＋5＝0,选A 、[答案] A12、(2017·湖北孝感五校4月联考)已知直线y ＝2x 是△ABC 中∠C 的平分线所在的直线,若点A ,B 的坐标分别是(－4,2),(3,1),则点C 的坐标为( )A 、(－2,4)B 、(－2,－4)C 、(2,4)D 、(2,－4)[解析] 设A (－4,2)关于直线y ＝2x 的对称点为(x ,y ),则⎩⎪⎨⎪⎧y －2x ＋4×2＝－1，y ＋22＝2×－4＋x 2，解得⎩⎨⎧x ＝4，y ＝－2，∴BC 所在直线方程为y －1＝－2－14－3(x －3),即3x ＋y －10＝0、同理可得点B (3,1)关于直线y ＝2x 的对称点为(－1,3),∴AC 所在直线方程为y －2＝3－2－1－(－4)·(x ＋4),即x －3y ＋10＝0、联立得⎩⎨⎧3x ＋y －10＝0，x －3y ＋10＝0，解得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝4，则C (2,4)、故选C 、[答案] C13、(2017·湖南岳阳二模)已知动直线l ：ax ＋by ＋c －2＝0(a >0,c >0)恒过点P (1,m )且 Q (4,0)到动直线l 的最大距离为3,则12a ＋2c 的最小值为( )A 、92B 、94 C 、1 D 、9[解析] 因为动直线l ：ax ＋by ＋c －2＝0(a >0,c >0)恒过点P (1,m ),所以a ＋bm ＋c －2＝0,又Q (4,0)到动直线l 的最大距离为3,∴(4－1)2＋(－m )2＝3,解得m ＝0、∴a ＋c ＝2,则12a ＋2c ＝12(a ＋c )·⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋2c ＝12·⎝ ⎛⎭⎪⎫52＋c 2a ＋2a c ≥ 12⎝⎛⎭⎪⎫52＋2c 2a ·2a c ＝94,当且仅当c ＝2a ＝43时取等号,故选B 、 [答案] B14、过点P (1,2)的直线l 被两平行线l 1：4x ＋3y ＋1＝0与l 2：4x ＋3y ＋6＝0截得的线段长|AB |＝2,求直线l 的方程、[解] 设直线l 的方程为y －2＝k (x －1),由⎩⎨⎧ y ＝kx ＋2－k ，4x ＋3y ＋1＝0，解得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3k －73k ＋4，－5k ＋83k ＋4； 由⎩⎨⎧y ＝kx ＋2－k ，4x ＋3y ＋6＝0，解得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3k －123k ＋4，8－10k 3k ＋4、∵|AB |＝2, ∴⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫53k ＋42＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫5k 3k ＋42＝2,整理,得7k 2－48k －7＝0,解得k 1＝7或k 2＝－17、因此,所求直线l 的方程为x ＋7y －15＝0或7x －y －5＝0、。
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课时跟踪训练(五十)[基础巩固]一、选择题1．(2017·辽宁师大附中期中)过点M (－2,0)的直线m 与椭圆x 22＋y 2＝1交于P 1，P 2两点，线段P 1P 2的中点为P ，设直线m 的斜率为k 1(k 1≠0)，直线OP 的斜率为k 2，则k 1k 2的值为( )A ．2B ．－2 C.12 D ．－12[解析] 由过点M (－2,0)的直线m 的方程为y －0＝k 1(x ＋2)，代入椭圆的方程，化简得(2k 21＋1)x 2＋8k 21x ＋8k 21－2＝0，设P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，∴x 1＋x 2＝－8k 212k 21＋1，∴P 的横坐标为－4k 212k 21＋1，P 的纵坐标为k 1⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－4k 212k 21＋1＋2＝2k 12k 21＋1，即点P ⎝⎛⎭⎪⎪⎫－4k 212k 21＋1，2k 12k 21＋1，∴直线OP 的斜率k 2＝－12k 1，∴k 1k 2＝－12.故选D.[答案] D2．如图，F (c,0)为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点，A ，B 为椭圆的上、下顶点，P 为直线AF 与椭圆的交点，则直线PB 的斜率k PB ＝( )A.c a 2B.b a 2C.b ＋c a 2D.bc a2 [解析] 直线AF 的方程为x c ＋y b ＝1，把y ＝－b c x ＋b 代入x 2a 2＋y 2b 2＝1，得a 2＋c 2a 2c 2x 2－2cx ＝0， ∴x P ＝2a 2c a 2＋c 2，y P ＝c 2b －a 2b a 2＋c2，∴k PB ＝c 2b －a 2ba 2＋c 2＋b 2a 2c a 2＋c 2＝bca 2.[答案] D3．(2017·河北唐山统考)平行四边形ABCD 内接于椭圆x 24＋y 22＝1，直线AB 的斜率k 1＝1，则直线AD 的斜率k 2＝( )A.12 B ．－12 C ．－14D ．－2 [解析] 解法一：设AB 的中点为G ，由椭圆与平行四边形的对称性知O 为平行四边形ABCD 的对角线的交点，则GO ∥AD .设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有⎩⎪⎨⎪⎧x 214＋y 212＝1，x 224＋y222＝1，两式相减是x 1－x 2x 1＋x 24＝－y 1－y 2y 1＋y 22，整理得x 1＋x 2y 1＋y 2＝－y 1－y 2x 1－x 2＝－k 1＝－1，即y 1＋y 2x 1＋x 2＝－12. 又G ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，所以k OG ＝y 1＋y 22－0x 1＋x 22－0＝－12，即k 2＝－12，故选B.解法二：设直线AB 的方程为y ＝x ＋t ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，利用椭圆与平行四边形的对称性可得D (－x 2，－y 2)．则直线AD 的斜率k 2＝y 1＋y 2x 1＋x 2＝x 1＋x 2＋2t x 1＋x 2＝1＋2t x 1＋x 2.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋t ，x 2＋2y 2－4＝0，消去y 得3x 2＋4tx ＋2t 2－4＝0，则x 1＋x 2＝－4t 3，∴k 2＝1＋2t －43t ＝－12.故选B.[答案] B 二、解答题4．(2017·河北涞水波峰中学、高碑店三中联考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，且椭圆C 与圆M ：x 2＋(y －3)2＝4的公共弦长为4.(1)求椭圆C 的方程；(2)已知O 为坐标原点，过椭圆C 的右顶点A 作直线l 与圆x 2＋y 2＝85相切并交椭圆C 于另一点B ，求OA →·OB →的值．[解] (1)∵椭圆C 与圆M 的公共弦长为4，∴椭圆C 经过点(±2,3)，∴4a 2＋9b 2＝1，又c a ＝12，a 2＝b 2＋c 2，解得a 2＝16，b 2＝12，∴椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1.(2)已知右顶点A (4,0)，∵直线l 与圆x 2＋y 2＝85相切，设直线l 的方程为y ＝k (x －4)，∴|4k |1＋k2＝85，∴9k 2＝1，∴k ＝±13.联立y ＝±13(x －4)与x 216＋y 212＝1，消去y ，得31x 2－32x －368＝0.设B (x 0，y 0)，则由根与系数的关系得4x 0＝－36831，∴OA →·OB →＝4x 0＝－36831.5．(2017·吉林长春外国语学校期中)已知椭圆C ：x 22＋y 22＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是椭圆上任意一点，且|PF 1|＋|PF 2|＝22，它的焦距为2.(1)求椭圆C 的方程．(2)是否存在正实数t ，使直线x －y ＋t ＝0与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，且线段AB 的中点在圆x 2＋y 2＝56上？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．[解] (1)∵F 1，F 2为椭圆的左、右焦点，P 是椭圆上任意一点，且|PF 1|＋|PF 2|＝22，∴a ＝ 2.∵2c ＝2，∴c ＝1，∴b ＝a 2－c 2＝1， ∴椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋t ＝0，x 22＋y 2＝1，化简得3x 2＋4tx ＋2t 2－2＝0.①由①知x 1＋x 2＝－4t 3，∴y 1＋y 2＝x 1＋x 2＋2t ＝2t3.∵线段AB 的中点在圆x 2＋y 2＝56上，∴⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－2t 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫t 32＝56，解得t ＝62(负值舍去)， 故存在t ＝62满足题意．6．已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，焦距为2，离心率为12.(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l 经过点M (0,1)，且与椭圆C 交于A ，B 两点，若AM →＝2MB →，求直线l 的方程． [解] (1)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >0，b >0)，因为c ＝1，c a ＝12，所以a ＝2，b ＝3，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1. (2)由题意可知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋1，则由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 24＋y23＝1得(3＋4k 2)x 2＋8kx －8＝0，且Δ＝192k 2＋96>0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则由AM →＝2MB →得x 1＝－2x 2.又⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－8k 3＋4k2，x 1·x 2＝－83＋4k 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＝－8k 3＋4k2，－2x 22＝－83＋4k 2，消去x 2，得⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫8k 3＋422＝43＋4k 2，解得k 2＝14，k ＝±12.所以直线l 的方程为y ＝±12x ＋1，即x －2y ＋2＝0或x ＋2y －2＝0.[能力提升]7．(2017·河南考前预测)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的焦点是F 1，F 2，且|F 1F 2|＝2，离心率为12.(1)求椭圆C 的方程；(2)若过椭圆右焦点F 2的直线l 交椭圆于A ，B 两点，求|AF 2|·|F 2B |的取值范围．[解] (1)因为椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝b 2＋c 2，c a ＝12，2c ＝2，解得a ＝2，b ＝ 3.所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)因为F 2(1,0)，所以①当直线l的斜率不存在时，A ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1，32，B ⎝⎛⎭⎪⎪⎫1，－32，则|AF 2|·|F 2B |＝94. ②当直线l 的斜率存在时，直线l 的方程可设为y ＝k (x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －，x 24＋y23＝1消去y ，得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0.(*)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1，x 2是方程(*)的两个根，所以x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k 2.所以|AF 2|＝x 1－2＋y 21＝1＋k 2·|x 1－1|，|F 2B |＝x 2－2＋y 22＝1＋k 2·|x 2－1|，所以|AF 2|·|F 2B |＝(1＋k 2)·|x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1|＝(1＋k 2)·⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪4k 2－123＋4k 2－8k 23＋4k 2＋1 ＝(1＋k 2)·⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪－93＋4k 2＝(1＋k 2)·93＋4k 2＝94⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋13＋4k 2. 当k 2＝0时，|AF 2|·|F 2B |取最大值3，所以|AF 2|·|F 2B |的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤94，3. 由①②知|AF 2|·|F 2B |的取值范围为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤94，3. 8．(2018·河北百校联盟期中)平面直角坐标系xOy 中，过椭圆M ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)右焦点的直线x ＋y －3＝0交M 于A ，B 两点，P为AB 的中点，且OP 的斜率为12.(1)求M 的方程；(2)C ，D 为M 上两点，若四边形ACBD 的对角线CD ⊥AB ，求四边形ACBD 面积的最大值．[解] (1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x 0，y 0)，则x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，y 2－y 1x 2－x 1＝－1. 由此可得b 2x 2＋x 1a 2y 2＋y 1＝－y 2－y 1x 2－x 1＝1.因为x 1＋x 2＝2x 0，y 1＋y 2＝2y 0，y 0x 0＝12，所以a 2＝2b 2.又由题意知，M 的右焦点为(3，0)，故a 2－b 2＝3. 因此a 2＝6，b 2＝3. 所以M 的方程为x 26＋y 23＝1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3＝0，x 26＋y23＝1解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝433，y ＝－33或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝ 3.因此|AB |＝463.由题意可设直线CD 的方程为y ＝x ＋n ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－533<n <3， 设C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋n ，x 26＋y23＝1，得3x 2＋4nx ＋2n 2－6＝0.于是x 3＋x 4＝－4n 3，x 3·x 4＝2n 2－63.因为直线CD 的斜率为1， 所以|CD |＝2|x 4－x 3|＝439－n 2.由已知，四边形ACBD 的面积 S ＝12|CD |·|AB |＝8699－n 2. 当n ＝0时，S 取得最大值，最大值为863.所以四边形ACBD 面积的最大值为863.9．设焦点在x 轴上的椭圆M 的方程为x 24＋y 2b2＝1(b >0)，其离心率为22. (1)求椭圆M 的方程；(2)若直线l 过点P (0,4)，则直线l 何时与椭圆M 相交？[解] (1)因为椭圆M 的离心率为22， 所以4－b 24＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫222，得b 2＝2. 所以椭圆M 的方程为x 24＋y 22＝1. (2)①过点P (0,4)的直线l 垂直于x 轴时，直线l 与椭圆M 相交． ②过点P (0,4)的直线l 与x 轴不垂直时，可设直线l 的方程为y ＝kx ＋4.由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋4，x 24＋y 22＝1，消去y ，得(1＋2k 2)x 2＋16kx ＋28＝0.因为直线l 与椭圆M 相交，所以Δ＝(16k )2－4(1＋2k 2)×28＝16(2k 2－7)>0，解得k <－142或k >142. 综上，当直线l 垂直于x 轴或直线l 的斜率的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－∞，－142∪⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫142，＋∞时，直线l 与椭圆M 相交． 10．(2017·广东惠州调研)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的离心率为63，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为523.(1)求椭圆C 的方程；(2)已知动直线y ＝k (x ＋1)与椭圆C 相交于A ，B 两点．①若线段AB 中点的横坐标为－12，求斜率k 的值； ②已知点M ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－73，0，求证：MA →·MB →为定值． [解] (1)x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)满足a 2＝b 2＋c 2，又c a ＝63，12×b ×2c ＝523，解得a 2＝5，b 2＝53， 则椭圆方程为x 25＋3y 25＝1. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．①将y ＝k (x ＋1)代入x 25＋3y 25＝1， 得(1＋3k 2)x 2＋6k 2x ＋3k 2－5＝0，∴Δ＝48k 2＋20>0，x 1＋x 2＝－6k 23k 2＋1， ∵AB 中点的横坐标为－12， ∴－3k 23k 2＋1＝－1，解得k ＝±33. ②证明：由①知x 1＋x 2＝－6k 23k 2＋1，x 1x 2＝3k 2－53k 2＋1， ∴MA →·MB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 1＋73，y 1·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 2＋73，y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 1＋73⎝⎛⎭⎪⎪⎫x 2＋73＋y 1y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 1＋73⎝⎛⎭⎪⎪⎫x 2＋73＋k 2(x 1＋1)(x 2＋1)＝(1＋k 2)x 1x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫73＋k 2(x 1＋x 2)＋499＋k 2＝(1＋k 2)3k 2－53k 2＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫73＋k 2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－6k 23k 2＋1＋499＋k 2＝－3k 4－16k 2－53k 2＋1＋499＋k 2＝49(定值)．。