等时圆的妙用

位同学用下列方法估算该圆弧的半径，所用器材有：光滑 小球、秒表和长木板。下面是具体的操作步骤，请将所缺 的内容填写在横线上。 a.用小球找出底部的最低点； b.将长木板_____________________ C.将光滑小球从长木板上端由静止滑下; d.________________________ e.求出圆弧半径 R=_______________
一、等时圆的性质
问题2：若杆时粗糙的，上述规律还成立吗？
O
R t2 g
θ 2R
B
A
mg cos mgsin ma Ff
a g cos sin
1 2 xAB at 2
xAB 2R cos
FN θ B Gx mg
问题3：若杆时粗糙的，上述规律还成立吗？ O 解 θ 2R Gy
BD正确
一、等时圆的性质 结论： 问题4: B
等时圆 中的端 点应是 几何空 间中的 最高点 或最低 点。
C
A O D
tCD>tBD>tAD
二、“等时圆”的应 (一)比较运动快慢 用 例 1:如图所示，在同一竖直平面内固定三根光
滑的细杆，细杆的一个端点均在d点，另一端 点a、b、c处于同一水平线上，三环分别从a 、b、c处由静止释放，t1、t2、t3分别表示各 环到达d点的时间，下列判断正确的是（ ） b c a A.t1=t2=t3
直杆AO,A端与坡底B间连有一纲绳,一个穿于绳上的小球从A点 由静止开始无摩擦地滑下,求其在绳上滑行的时间t(g取10m/s2).
A
O B
AC t2 g 15 2 s 2.45s 10
小节
O A B
2R
性质 等 时 圆 应用
B
θ
R t2 g
θ O
C
A
(一)比较运动快慢
(二)确定运动路径
(三)测定圆周半径
FN θ B Gx mg
O θ 2R Gy
a g cos
1 2 xOB at 2 xOB 2R cos
A
2 xOB 2 2R cos R t 2 a g cos g
一、等时圆的性质
结论： O θ 2R
B
R t2 g
A
质点沿杆下滑所需的时间 跟杆与竖直方向的夹角θ 无关,仅由半径R决定,且等 于质点从圆的最高点O到最 低点A做自由落体运动的时 间,这个圆就是重力场中的 “等时圆”，这个性质叫 做圆的自由弦的等时性。
A. a球最先到达M点 B. b球最先到达M点 C. c球最先到达M点 D. d球最先到达M点 B A
C
D
M
解析：设圆轨道半径为R，据“等时圆”理论
ta 4R 2 g R g
tb ta
2R c做自由落体运动 tc g
d球滚下是一个单摆模型，摆长为R,
T td 4 2 R g
gtAO 4 R=_____
2
B
R A O
二、“等时圆”的应 (三)测定圆周半径 用
例4:如图所示,在离坡底15m的山坡上,竖直地固 定长为15m的直杆AO,A端与坡底B间连有一纲 绳,一个穿于绳上的小球从A点由静止开始无摩 擦地滑下,求其在绳上滑行的时间t(g取10m/s2). A
O
B
二、“等时圆”的应 (三)测定圆周半径 用 例4:如图所示,在离坡底15m的山坡上,竖直地固定长为15m的
c
b
O
θ
a
解析：三块滑块虽然都从同一圆柱面上下滑， 但a、b、c三点不可能在同一竖直圆周上，所以 下滑时间不一定相等。设圆柱底面半径为R，则
R 1 g sin t 2 cos 2
c
b
O
θ
t
2
4R g sin 2
a
当θ =450时，t最小，当θ =300和600 时，sin2θ 的值相等。
(四)计算运动时间
课堂练习
通过空间任一点A可作无限多个斜面，将若干 个小物体从点A分别沿这些倾角各不相同的光滑 斜面同时滑下，那么在同一时刻这些小物体所在 位置所构成的面是（ ）
A
A.球面 C.水平面
B.抛物面 D.无法确定
解析：由“等时圆”可知，同一时刻这些小物体 应在同一“等时圆”上，所以A正确。
B. t1<t2<t3 C. t1>t2>t3 D.无法比较运动时间的长短 d
二、“等时圆”的应 (一)比较运动快慢 用
例1
a
b
c
t1<t2<t3
d
二、“等时圆”的应 (二)确定运动路径 用 例2:如图所示,一倾角为α的传送带上方P点为
原料输入口，在P点与传送带之间建立一光滑管 道,使原料沿管道能在最短时间内到达传送带上,图:，位于竖直平面内的固定光滑圆 轨道与水平面相切于M点，与竖直墙相切于点A， 竖直墙上另一点B与M的连线和水平面的夹角为 600，C是圆环轨道的圆心，D是圆环上与M靠得 很近的一点（DM远小于CM）。已知在同一时刻： a、b两球分别由A、B两点从静止开始沿光滑倾 斜直轨道运动到M点；c球由C点自由下落到M点； d球从D点静止出发沿圆环运动到M点。 则：（ ）
二、“等时圆”的应 (三)测定圆周半径 用 例 3
a.用小球找出底部的最低点； 放在圆弧上,使木板下端放在O点 b.将长木板_____________________ C.将光滑小球从长木板上端由静止滑下; 用秒表测出小球从上端滑到O点的时间tAO d.________________________ e.求出圆弧半径
h R O1 P H 2
A
所以
h 2 OP R ( ) H ( H h) 2
2
h
B H
O1
P
O
作业3:如图，圆柱体的仓库内有三块长度不同 的滑板ao、bo、co，其下端都固定于底部圆心o， 而上端则搁在仓库侧壁，三块滑块与水平面的 夹角依次为300、450、600。若有三个小孩同时 从a、b、c处开始下滑（忽略阻力），则 （ ） A. a处小孩最先到O点 B. b处小孩最先到O点 C. c处小孩最先到O点 D. a、c处小孩同时到O点
牛顿运动定律的应用
———— 等时圆的妙用
一、等时圆的性质 问题1：如图所示，处在半径为R的竖直圆内的 任一光滑细杆OB,一端B在圆周上,另一端O在圆 的最高点,OB与竖直方向的夹角为θ ,质点m沿杆 从O点由静止开始下滑,求它在杆上运动的时间? O θ 2R B A
一、等时圆的性质 解
mgcos ma
P
β
A
B
α
例2
二、“等时圆”的应 (二)确定运动路径 用
P β
O
α
B
解：以p点为等时圆的 最高点，作出等时圆 与皮带相切，如图所 示,
设切点为B,圆心为O, 连接OB,由几何知识可 得 AOB , 2
A
α
二、“等时圆”的应 (三)测定圆周半径 用 例 3:如图所示，有一条水渠的底部是半径很大的圆弧，一
A
2 x AB t a
2 2R cos R 2 g cos g sin g
一、等时圆的性质 结论： A
θ
同理,如图所示情形, 从圆周上不同点沿光 B 滑斜面滑到圆周上的 最低点O,所需的时间 C 也相等。
O
一、等时圆的性质
B A O D
C
问题4:如果像图 所 示，光滑直杆AD、 BD、CD、处在竖直 平面内，杆的三个端 点均在同一圆周上， CD杆过圆心，若从 A、B、C三点同时 静止释放套在杆上的 小球，则它们滑到D 点的时间相等吗？
B A
C
D
所以c球最先到达M点
M
作业2：如图所示，在同一竖直线上有A、B两点， 相距为h，B点离地高度为H，现在要在地面上寻 找一点P，使得从A、B两点分别向点P安放的光滑 木板，满足物体从静止开始分别由A和B沿木板下 滑到 P点的时间相等，求O、P两点之间的距离 OP
A
h
B H O
P
解析：由“等时圆”特征可知，当A、B处于等 时圆周上且P点处于等时圆的最低点时，即能满 足题设要求 如图所示，此时等时圆的半径为：