湘教版八年级数学下册精品教学课件2.5.2矩形的判定
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(三个角是直角的四边形是矩形.)
2. 如图，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O， ∠AOB = 60°，AB= 2，AC= 4，求□ABCD的面积.
1 解： ∵ OA= AC =2，AB= 2， 2 ∴ △OAB是等腰三角形.
又∠AOB = 60°， ∴ △OAB是等边三角形. ∴ OA=OB=2， ∴ AC=BD=4.
是矩形. 由此得到四个角是直角的四边形是矩形.
图2-46
结论
三个角是直角的四边形，容易知道另一个角也 是直角，由此得到： 三个角是直角的四边形是矩形.
四边形中只有两个角 是直角，我想到了下边的图形：
动脑筋
从“矩形的对角线相等且互相平分”这一性质受 到启发，你能画出对角线长度为4cm的一个矩形吗？
对角线相等的四边形是矩形吗？
例2 如图2-48，在□ABCD中，它的两条对角线相交于点O. （1）如果□ABCD是矩形，试问：△OBC是什么样 的三角形？ （2）如果△OBC是等腰三角形，其中OB=OC，那么 □ABCD是矩形吗？
图2-48
解 （1） ∵□ABCD是矩形， ∴ AC与DB相等且互相平分.
1 1 ∴ OB DB AC OC . 2 2
∴ △OBC是等腰三角形. （2） ∵ △OBC是等腰三角形，其中OB = OC， ∴ AC = 2OC = 2OB = BD. ∴ □ABCD是矩形.
图2-48
练习
1. 如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=∠D， 求证：四边形ABCD是矩形. 证明：因为四边形中，∠A=∠B=∠C=∠D ， 四边形的内角和为360°， 所以∠A=∠B=∠C=∠D= 90° ， 所以四边形ABCD是矩形.
本节内容 2.5
矩
形
——2.5.2 矩形的判定
动脑筋
矩形的四个角是直角，那么，四个角是直角的四 边形是矩形吗？三个角是直角呢？两个角是直角呢？
如图2-46，四边形ABCD 的四个角都是直角. 由于“同旁内角互补， 两直线平行”，因此AB∥DC，
AD∥BC，从而四边形ABCD 是平行四边形. 所以□ABCD
这样的矩形有多少个？
过点O 画两条线段AC，BD，使得 OA=OC=2cm，OB =OD=2cm. 连接AB， BC，CD，DA. 则四边形ABCD 是矩形， 且它的对角线长度为4 cm，如图2-47. 这样 的矩形有无穷多个.
2cm
2cm
图2-47
你能说出这样画出的四边形一定是矩形的道理吗？
如图2-47，由画法可知，四边形ABCD的两条对 角线互相平分，因此它是平行四边形，又已知其对角 线相等，上述问题抽象出来就是：对角线相等的平行 四边形是矩形吗？
解析
依据矩形的判定，对角线相等的平 行四边形是矩形或有一个角是直角的平 行四边形是矩形.
结
束
∴ □ABCD是矩形. (对角线相等的平行四边形是矩形.)
作OEБайду номын сангаасAD于点E.
1 在Rt △OAE中，AO=2，OE= AB=1， 2
E
∴ AE 3，
∴ AD 2 3 .
∴ S矩形 ABCD =AD AB 2 3 2 4 3 .
中考 试题
例
在四边形ABCD中，对角线AC与BD互相平分， 交点为O，在不添加任何辅助线的前提下，要使四边 形ABCD成为矩形，还需添加一个条件，这个条件可 以是 AC=BD 或 ∠ABC，∠CDA，∠BAD，∠BCD 之中有任一个角为直角 .
我们来进行证明. 在□ABCD中，由于AB=DC，AC=DB，BC=CB， 因此 从而 △ABC≌△DCB. (SSS) ∠ABC=∠DCB.
又∠ABC+∠DCB =180°，
于是 ∠ABC=90°.
图2-47
所以 □ABCD是矩形.
结论
由此得到矩形的判定定理：
对角线相等的平行四边形是矩形.
议一议
2. 如图，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O， ∠AOB = 60°，AB= 2，AC= 4，求□ABCD的面积.
1 解： ∵ OA= AC =2，AB= 2， 2 ∴ △OAB是等腰三角形.
又∠AOB = 60°， ∴ △OAB是等边三角形. ∴ OA=OB=2， ∴ AC=BD=4.
是矩形. 由此得到四个角是直角的四边形是矩形.
图2-46
结论
三个角是直角的四边形，容易知道另一个角也 是直角，由此得到： 三个角是直角的四边形是矩形.
四边形中只有两个角 是直角，我想到了下边的图形：
动脑筋
从“矩形的对角线相等且互相平分”这一性质受 到启发，你能画出对角线长度为4cm的一个矩形吗？
对角线相等的四边形是矩形吗？
例2 如图2-48，在□ABCD中，它的两条对角线相交于点O. （1）如果□ABCD是矩形，试问：△OBC是什么样 的三角形？ （2）如果△OBC是等腰三角形，其中OB=OC，那么 □ABCD是矩形吗？
图2-48
解 （1） ∵□ABCD是矩形， ∴ AC与DB相等且互相平分.
1 1 ∴ OB DB AC OC . 2 2
∴ △OBC是等腰三角形. （2） ∵ △OBC是等腰三角形，其中OB = OC， ∴ AC = 2OC = 2OB = BD. ∴ □ABCD是矩形.
图2-48
练习
1. 如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=∠D， 求证：四边形ABCD是矩形. 证明：因为四边形中，∠A=∠B=∠C=∠D ， 四边形的内角和为360°， 所以∠A=∠B=∠C=∠D= 90° ， 所以四边形ABCD是矩形.
本节内容 2.5
矩
形
——2.5.2 矩形的判定
动脑筋
矩形的四个角是直角，那么，四个角是直角的四 边形是矩形吗？三个角是直角呢？两个角是直角呢？
如图2-46，四边形ABCD 的四个角都是直角. 由于“同旁内角互补， 两直线平行”，因此AB∥DC，
AD∥BC，从而四边形ABCD 是平行四边形. 所以□ABCD
这样的矩形有多少个？
过点O 画两条线段AC，BD，使得 OA=OC=2cm，OB =OD=2cm. 连接AB， BC，CD，DA. 则四边形ABCD 是矩形， 且它的对角线长度为4 cm，如图2-47. 这样 的矩形有无穷多个.
2cm
2cm
图2-47
你能说出这样画出的四边形一定是矩形的道理吗？
如图2-47，由画法可知，四边形ABCD的两条对 角线互相平分，因此它是平行四边形，又已知其对角 线相等，上述问题抽象出来就是：对角线相等的平行 四边形是矩形吗？
解析
依据矩形的判定，对角线相等的平 行四边形是矩形或有一个角是直角的平 行四边形是矩形.
结
束
∴ □ABCD是矩形. (对角线相等的平行四边形是矩形.)
作OEБайду номын сангаасAD于点E.
1 在Rt △OAE中，AO=2，OE= AB=1， 2
E
∴ AE 3，
∴ AD 2 3 .
∴ S矩形 ABCD =AD AB 2 3 2 4 3 .
中考 试题
例
在四边形ABCD中，对角线AC与BD互相平分， 交点为O，在不添加任何辅助线的前提下，要使四边 形ABCD成为矩形，还需添加一个条件，这个条件可 以是 AC=BD 或 ∠ABC，∠CDA，∠BAD，∠BCD 之中有任一个角为直角 .
我们来进行证明. 在□ABCD中，由于AB=DC，AC=DB，BC=CB， 因此 从而 △ABC≌△DCB. (SSS) ∠ABC=∠DCB.
又∠ABC+∠DCB =180°，
于是 ∠ABC=90°.
图2-47
所以 □ABCD是矩形.
结论
由此得到矩形的判定定理：
对角线相等的平行四边形是矩形.
议一议