广东省江门市2013年普通高中高三调研测试理科数学试题及答案
2013年高考理科数学(广东卷)
2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数 学（理科）一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．设集合{}2|20,M x x x x =+=∈R ,{}2|20,N x x x x =-=∈R ,则M N =A . {}0B ．{}0,2C ．{}2,0-D ．{}2,0,2-2．定义域为R 的四个函数3y x =,2x y =,21y x =+,2sin y x =中,奇函数的个数是A . 4B ．3C ．2D ．13．若复数z 满足24iz i =+,则在复平面内,z 对应的点的坐标是A . ()2,4B ．()2,4-C ．()4,2-D ．()4,24．已知离散型随机变量X 的分布列为则X 的数学期望EX =A .32 B ．2 C ．52D ．35．某四棱台的三视图如图所示,则该四棱台的体积是A . 4B ．143C ．163D ．6 6．设,m n 是两条不同的直线,,αβ是两个不同的平面,下列命题中正确的是A . 若αβ⊥,m α⊂,n β⊂,则m n ⊥B ．若//αβ,m α⊂,n β⊂,则//m nC ．若m n ⊥,m α⊂,n β⊂,则αβ⊥D ．若m α⊥,//m n ,//n β,则αβ⊥7．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为()3,0F ,离心率等于32,在双曲线C 的方程是 A . 214x -= B ．22145x y -= C ．22125x y -= D ．212x = 8．设整数4n ≥,集合{}1,2,3,,X n = .令集合(){},,|,,,,,S x y z x y z X x y z y z x z x y =∈<<<<<<且三条件恰有一个成立若(),,x y z 和(),,z w x 都在S 中,则下列选项正确的是A . (),,y z w S ∈,(),,x y w S ∉B ．(),,y z w S ∈,(),,x y w S ∈C ．(),,y z w S ∉,(),,x y w S ∈D ．(),,y z w S ∉,(),,x y w S ∈.AEDC BO 第15题图二、填空题：本题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，共30分 (一)必做题(9～13题)9．不等式220x x +-<的解集为___________．10．若曲线ln y kx x =+在点()1,k 处的切线平行于x 轴,则k =______. 11．执行如图所示的程序框图,若输入n 的值为4,则输出s 的值为______. 12. 在等差数列{}n a 中,已知3810a a +=,则573a a +=_____.13. 给定区域D :4440x y x y x +≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩,令点集()()000000{,|,,,T x y D x y Z x y =∈∈是z x y =+在D 上取得最大值或最小值的点},则T 中的点共确定______ 条不同的直线.（二）选做题（14、15题,考生只能从中选做一题,两题全答的,只计前一题的得分）14.(坐标系与参数方程选讲选做题)已知曲线C的参数方程为x ty t⎧=⎪⎨=⎪⎩(t 为参数),C在点()1,1处的切线为l ,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则l 的极坐标方程为_____________.15. (几何证明选讲选做题)如图,AB 是圆O 的直径,点C 在圆O 上, 延长BC 到D 使BC CD =,过C 作圆O 的切线交AD 于E .若6AB =,2ED =,则BC =_________.三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、 证明过程或演算步骤. 16．（本小题满分12分）已知函数()12f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,x ∈R .(Ⅰ) 求6f π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值； (Ⅱ) 若3cos 5θ=,3,22πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,求23f πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭．1 7 92 0 1 53 0第17题图某车间共有12名工人,随机抽取6名,他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示,其中茎为十位数,叶为个位数.(Ⅰ) 根据茎叶图计算样本均值；(Ⅱ) 日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人. 根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人；(Ⅲ) 从该车间12名工人中,任取2人,求恰有1名优秀 工人的概率.18．（本小题满分14分）如图1,在等腰直角三角形ABC 中,90A ∠=︒,6BC =,,D E 分别是,AC AB 上的点,CD BE =O 为BC 的中点.将ADE ∆沿DE 折起,得到如图2所示的四棱锥A BCDE '-,其中A O '=.(Ⅰ) 证明:A O '⊥平面BCDE ；(Ⅱ) 求二面角A CD B '--的平面角的余弦值.19．（本小题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知11a =,2121233n n S a n n n +=---,*n ∈N . (Ⅰ) 求2a 的值；(Ⅱ) 求数列{}n a 的通项公式； (Ⅲ) 证明:对一切正整数n ,有1211174n a a a +++< .已知抛物线C 的顶点为原点,其焦点()()0,0F c c >到直线l :20x y --=的距离为.设P 为直线l 上的点,过点P 作抛物线C 的两条切线,PA PB ,其中,A B 为切点. (Ⅰ) 求抛物线C 的方程；(Ⅱ) 当点()00,P x y 为直线l 上的定点时,求直线AB 的方程； (Ⅲ) 当点P 在直线l 上移动时,求AF BF ⋅的最小值.21．（本小题满分14分）设函数()()21xf x x e kx =--(其中k ∈R ).(Ⅰ) 当1k =时,求函数()f x 的单调区间； (Ⅱ) 当1,12k ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时,求函数()f x 在[]0,k 上的最大值M .参考答案及解析一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.1．【解析】D ；易得{}2,0M =-,{}0,2N =,所以M N = {}2,0,2-,故选D ． 2．【解析】C ；考查基本初等函数和奇函数的概念,是奇函数的为3y x =与2sin y x =,故选C ．3．【解析】C ；2442iz i i +==-对应的点的坐标是()4,2-,故选C ． 4．【解析】A ；33115312351010102EX =⨯+⨯+⨯==,故选A ． 5．【解析】B ；由三视图可知,该四棱台的上下底面边长分别为1和2的正方形,高为2,故()2211412233V =++⨯=,,故选B ． 6．【解析】D ；ABC 是典型错误命题,选D ．7．【解析】B ；依题意3c =,32e =,所以2a =,从而24a =,2225b c a =-=,故选B ．8．【解析】B ；特殊值法,不妨令2,3,4x y z ===,1w =,则()(),,3,4,1y z w S =∈,()(),,2,3,1x y w S =∈,故选B ．如果利用直接法:因为(),,x y z S ∈，(),,z w x S ∈，所以x y z <<…①，y z x <<…②，z x y <<…③三个式子中恰有一个成立；z w x <<…④，w x z <<…⑤，x z w <<…⑥三个式子中恰有一个成立.配对后只有四种情况：第一种：①⑤成立，此时w x y z <<<，于是(),,y z w S ∈，(),,x y w S ∈；第二种：①⑥成立，此时x y z w <<<，于是(),,y z w S ∈，(),,x y w S ∈；第三种：②④成立，此时y z w x <<<，于是(),,y z w S ∈，(),,x y w S ∈；第四种：③④成立，此时z w x y <<<，于是(),,y z w S ∈，(),,x y w S ∈.综合上述四种情况，可得(),,y z w S ∈，(),,x y w S ∈.二、填空题：本题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，共30分 (一)必做题(9～13题)9．【解析】()2,1-；易得不等式220x x +-<的解集为()2,1-.10．【解析】1-；求导得1y k x'=+,依题意10k +=,所以1k =-. 11．【解析】7；第一次循环后:1,2s i ==；第二次循环后:2,3s i ==；第三次循环后:4,4s i ==；第四次循环后:7,5s i ==；故输出7. 12.【解析】20；依题意12910a d +=,所以()57111334641820a a a d a d a d +=+++=+=.或:()57383220a a a a +=+=13. 【解析】6；画出可行域如图所示,其中z x y =+取得最小值时的整点为()0,1,取得最.AED CBO第15题图大值时的整点为()0,4,()1,3,()2,2,()3,1及()4,0共5个整点.故可确定516+=条不同的直线.（二）选做题（14、15题,考生只能从中选做一题,两题全答的,只计前一题的得分）14.【解析】sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭；曲线C 的普通方程为222x y +=,其在点()1,1处的切线l 的方程为2x y +=,对应的极坐标方程为cos sin 2ρθρθ+=,即sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. 15.【解析】ABC CDE ∆∆ ,所以AB BCCD DE =,又 BC CD =,所以212BC AB DE =⋅=,从而BC =. 三、解答题:本大题共6小题,满分80分. 16．（本小题满分12分）【解析】(Ⅰ)1661244f πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭； (Ⅱ) 222cos 2sin 233124f ππππθθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭因为3cos 5θ=,3,22πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以4sin 5θ=-, 所以24sin 22sin cos 25θθθ==-,227cos 2cos sin 25θθθ=-=- 所以23f πθ⎛⎫+⎪⎝⎭cos 2sin 2θθ=-72417252525⎛⎫=---= ⎪⎝⎭. 17．（本小题满分12分）【解析】(Ⅰ) 样本均值为1719202125301322266+++++==；(Ⅱ) 由(Ⅰ)知样本中优秀工人占的比例为2163=,故推断该车间12名工人中有11243⨯=名优秀工人.(Ⅲ) 设事件A :从该车间12名工人中,任取2人,恰有1名优秀工人,则()P A =1148212C C C 1633=.C D OBE'AH18．（本小题满分14分）【解析】(Ⅰ) 在图1中,易得3,OC AC AD ===连结,OD OE ,在OCD ∆中,由余弦定理可得OD==由翻折不变性可知A D '=,所以222A O OD A D ''+=,所以A O OD '⊥,理可证A O OE '⊥, 又OD OE O = ,所以A O '⊥平面BCDE . (Ⅱ) 传统法:过O 作OH CD ⊥交CD 的延长线于H ,连结A H ', 因为A O '⊥平面BCDE ,所以A H CD '⊥, 所以A HO '∠为二面角A CD B '--的平面角. 结合图1可知,H 为AC 中点,故OH =,从而AH '== 所以cos OH A HO A H '∠==',所以二面角A CD B '--向量法:以O 点为原点,建立空间直角坐标系O xyz -则(A ',()0,3,0C -,()1,2,0D -所以(CA '= ,(1,DA '=-设(),,n x y z = 为平面A CD '的法向量,则 00n CA n DA ⎧'⋅=⎪⎨'⋅=⎪⎩,即3020y x y ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩,解得y xz =-⎧⎪⎨=⎪⎩,令1x =,得(1,n =- 由(Ⅰ) 知,(OA '=为平面CDB 的一个法向量,所以cos ,n OA n OA n OA '⋅'===',即二面角A CD B '--的平面角的余弦19．（本小题满分14分）【解析】(Ⅰ) 依题意,12122133S a =---,又111S a ==,所以24a =； (Ⅱ) 当2n ≥时,32112233n n S na n n n +=---,()()()()321122111133n n S n a n n n -=-------两式相减得()()()2112213312133n n n a na n a n n n +=----+--- 整理得()()111n n n a na n n ++=-+,即111n n a a n n +-=+,又21121a a-=故数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为111a =,公差为1的等差数列,所以()111na n n n=+-⨯=,所以2n a n =. (Ⅲ) 当1n =时,11714a =<；当2n =时,12111571444a a +=+=<；当3n ≥时,()21111111n a n n n n n=<=---,此时 222121111111111111111434423341n a a a n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=+++++<++-+-++- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭11171714244n n =++-=-< 综上,对一切正整数n ,有1211174n a a a +++< .20．（本小题满分14分）【解析】(Ⅰ) 依题意,设抛物线C 的方程为24x cy =,0c >, 解得1c =.所以抛物线C 的方程为24x y =. (Ⅱ) 抛物线C 的方程为24x y =,即214y x =,求导得12y x '= 设()11,A x y ,()22,B x y (其中221212,44x x y y ==),则切线,PA PB 的斜率分别为112x ,212x , 所以切线PA 的方程为()1112x y y x x -=-,即211122x x y x y =-+,即11220x x y y --= 同理可得切线PB 的方程为22220x x y y --=因为切线,PA PB 均过点()00,P x y ,所以1001220x x y y --=,2002220x x y y --= 所以()()1122,,,x y x y 为方程00220x x y y --=的两组解. 所以直线AB 的方程为00220x x y y --=.(Ⅲ) 由抛物线定义可知11AF y =+,21BF y =+, 所以()()()121212111AF BF y y y y y y ⋅=++=+++联立方程0022204x x y y x y--=⎧⎨=⎩,消去x 整理得()22200020y y x y y +-+=由一元二次方程根与系数的关系可得212002y y x y +=-,2120y y y = 所以()221212000121AF BF y y y y y x y ⋅=+++=+-+又点()00,P x y 在直线l 上,所以002x y =+,所以22220000001921225222y x y y y y ⎛⎫+-+=++=++ ⎪⎝⎭所以当012y =-时, AF BF ⋅取得最小值,且最小值为92.21．（本小题满分14分）【解析】(Ⅰ) 当1k =时,()()21x f x x e x =--,()()()1222x x x x f x e x e x xe x x e '=+--=-=-令()0f x '=,得10x =,2ln 2x = 当x 变化时,()(),f x f x '的变化如下表:右表可知,函数f x 的递减区间为0,ln 2,递增区间为,0-∞,ln 2,+∞. (Ⅱ)()()()1222x x x x f x e x e kx xe kx x e k '=+--=-=-, 令()0f x '=,得10x =,()2ln 2x k =, 令()()ln 2g k k k =-,则()1110k g k k k -'=-=>,所以()g k 在1,12⎛⎤⎥⎝⎦上递增, 所以()ln 21ln 2ln 0g k e ≤-=-<,从而()ln 2k k <,所以()[]ln 20,k k ∈ 所以当()()0,ln 2x k ∈时,()0f x '<；当()()ln 2,x k ∈+∞时,()0f x '>； 所以()(){}(){}3max 0,max 1,1k M f f k k e k ==--- 令()()311kh k k e k =--+,则()()3k h k k e k '=-,令()3kk e k ϕ=-,则()330kk e e ϕ'=-<-<所以()k ϕ在1,12⎛⎤⎥⎝⎦上递减,而()()1313022e ϕϕ⎛⎫⎫⋅=--< ⎪⎪⎝⎭⎭所以存在01,12x ⎛⎤∈⎥⎝⎦使得()00x ϕ=,且当01,2k x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()0k ϕ>, 当()0,1k x ∈时,()0k ϕ<, 所以()k ϕ在01,2x ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增,在()0,1x 上单调递减.因为17028h ⎛⎫=+>⎪⎝⎭,()10h =, 所以()0h k ≥在1,12⎛⎤⎥⎝⎦上恒成立,当且仅当1k =时取得“=”. 综上,函数()f x 在[]0,k 上的最大值()31kM k e k =--.。
2013年广东省高考数学真题(理科)及答案
绝密★启用前 试卷类型：A2013年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学（理科）本试卷共4页,21小题,满分150分.考试用时120分钟注意事项：1. 答卷前，考生务必用黑色笔迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
用2B 铅笔讲试卷类型（A ）填涂在答题卡相应的位置上。
将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4.作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题组号对应的信息点，再作答。
漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
5.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试题与答题卡一并交回。
参考公式：台体的体积公式V=31(S 1+S 2+21s s )h,其中S 1，S 2分别表示台体的上、下底面积，h 表示台体的高。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合M={x ∣x 2+2x=0,x ∈R},N={x ∣x 2-2x=0,x ∈R},则M ∪N= A. {0} B. {0，2} C. {-2,0} D {-2,0,2}2.定义域为R 的四个函数y=x 3,y=2x ,y=x 2+1,y=2sinx 中，奇函数的个数是 A. 4 B.3 C. 2 D.13.若复数z 满足iz=2+4i ，则在复平面内，z 对应的点的坐标是 A. （2,4） B.（2,-4） C. (4,-2) D(4,2)4.已知离散型随机变量X 的分布列为则X 的数学期望E （X ）= A. B. 2 C. D 35．某四棱台的三视图如图1所示，则该四棱台的体积是A．4 B．C．D．66．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是A．若α⊥β，mα，nβ，则m⊥ n B．若α∥β，mα，nβ，则m∥nC．若m⊥ n，m α，n β，则α⊥βD．若m α，m∥n，n∥β，则α⊥β7．已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F（3，0），离心率等于，则C的方程是A．= 1B．= 1C．= 1D．= 1 8.设整数n≥4，集合X=｛1，2，3……，n｝。
【解析版】广东省江门市2013届高三第一次模拟数学理试题
2013年广东省江门市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，满分32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（4分）（2013•江门一模）已知函数定义域为M，g（x）=lnx定义域为N，则M∩N=（）A．{x|x≤1} B．{x|0＜x≤1} C．{x|0＜x＜1} D．{x|0≤x≤1}考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：先分别求出函数的定义域，再进行交集运算即可．解答：解：∵1﹣x≥0⇒x≤1，∴M=（﹣∞，1]，N=（0，+∞），∴M∩N=（0，1]，故选B点评：本题考查交集及其运算．2．（4分）（2013•江门一模）在复平面内，O是原点，向量对应的复数是2﹣i（其中，i是虚数单位），如果点A关于实轴的对称点为点B，则向量对应的复数是（）A．﹣2﹣i B．﹣2+i C．2+i D．1﹣2i考点：复数的代数表示法及其几何意义．专题：计算题．分析：先求出点A的坐标，再求出点A关于实轴的对称点为点B的坐标，可得向量对应的复数．解答：解：由题意可得点A的坐标为（2，﹣1），点A关于实轴的对称点为点B（2，1），则向量对应的复数是2+i，故选C．点评：本题主要考查复数的代数表示及其几何意义，属于基础题．3．（4分）（2013•江门一模）采用系统抽样方法从1000人中抽取50人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…，1000，适当分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为8．抽到的50人中，编号落入区间[1，400]的人做问卷A，编号落入区间[401，750]的人做问卷B，其余的人做问卷C．则抽到的人中，做问卷C的人数为（）A．12 B．13 C．14 D．15考点：系统抽样方法．专题：概率与统计．分析：由题意可得抽到的号码构成以8为首项、以20为公差的等差数列，求得此等差数列的通项公式为a n，由751≤a n≤1000 求得正整数n的个数，即为所求．解答：解：由1000÷50=20，故由题意可得抽到的号码构成以8为首项、以20为公差的等差数列，且此等差数列的通项公式为a n=8+（n﹣1）20=20n﹣12．由751≤20n﹣12≤1000 解得38.2≤n≤50.6．再由n为正整数可得39≤n≤50，且n∈Z，故做问卷C的人数为12，故选A．点评：本题主要考查等差数列的通项公式，系统抽样的定义和方法，属于基础题．4．（4分）（2013•江门一模）如图是某个四面体的三视图，该四面体的体积为（）A．72 B．36 C．24 D．12考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：通过三视图，判断几何体的形状，利用三视图的数据，求解几何体的体积即可．解答：解：由题意可知，几何体是三棱锥，底面三角形的一边长为6，底面三角形的高为：4，棱锥的一条侧棱垂直底面的三角形的一个顶点，棱锥的高为：3．所以几何体的体积：=12．故选D．点评：本题考查三视图视图能力与几何体的判断，几何体的体积的求法，考查计算能力．5．（4分）（2013•江门一模）在△ABC中，若，，，则AC=（）A．B．C．D．考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：由已知可先求出C，然后由正弦定理得，，代入即可求解解答：解：∵，，，∴C=则由正弦定理可得，∴AC==4故选D点评：本题主要考查了正弦定理在求解三角形中的简单应用，属于基础试题6．（4分）（2013•江门一模）若x＞0、y＞0，则x+y＞1是x2+y2＞1的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．非充分非必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：取特殊值得到反例，从而说明充分性不成立；利用不等式的性质加以证明，可得必要性成立．由此即可得到本题的答案．解答：解：先看充分性可取x=y=，使x+y＞1成立，而x2+y2＞1不能成立，故充分性不能成立；若x2+y2＞1，因为x＞0、y＞0，所以（x+y）2=x2+y2+2xy＞x2+y2＞1∴x+y＞1成立，故必要性成立综上所述，x+y＞1是x2+y2＞1的必要非充分条件故选：B点评：本题给出两个关于x、y的不等式，求它们之间的充分必要关系，着重考查了不等式的基本性质和充分必要条件的证明等知识，属于基础题．7．（4分）（2013•江门一模）已知x、y满足x2+y2=4，则z=3x﹣4y+5的取值范围是（）A．[﹣5，15]B．[﹣10，10]C．[﹣2，2]D．[0，3]考点：二次函数的性质；函数的值域；两角和与差的正弦函数；正弦函数的定义域和值域．专题：函数的性质及应用．分析：把z=3x﹣4y+5变为直线3x﹣4y+5﹣z=0，本题要求直线和圆x2+y2=4有交点，根据圆心到直线的距离小于或等于半径，求得z的范围．解答：解：z=3x﹣4y+5 即直线3x﹣4y+5﹣z=0，由题意可得直线和圆x2+y2=4有交点，故有≤2，化简可得﹣10≤z﹣5≤10，解得﹣5≤z≤15，故选A．点评：此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：点到直线的距离公式，待定系数法求直线的解析式，利用了数形结合及转化的思想，若直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，熟练掌握此性质是解本题的关键，属于基础题．8．（4分）（2013•江门一模）设f（x）是定义在R上的周期为2的偶函数，当x∈[0，1]时，f（x）=x﹣2x2，则f（x）在区间[0，2013]内零点的个数为（）A．2013 B．2014 C．3020 D．3024考点：根的存在性及根的个数判断；奇偶性与单调性的综合．专题：函数的性质及应用．分析：由题意可求得函数是一个周期函数，且周期为2，故可以研究出一个周期上的函数图象，再研究所给的区间包含了几个周期即可知道在这个区间中的零点的个数解答：解：f（x）是定义在R上的周期为2的偶函数，又x∈[0，1]时，f（x）=x﹣2x2，要研究函数y=f（x）在区间[0，2013]零点个数，可将问题转化为y=f（x）与x轴在区间[0，2013]有几个交点，如图由图知，f（x）在区间[0，2013]内零点分别是：，，，…，．共有2013个零点．故选A．点评：本题考查函数的零点，求解本题，关键是研究出函数f（x）性质，作出其图象，将函数y=f （x）在区间[0，2013]的零点个数的问题转化为交点个数问题是本题中的一个亮点，此一转化使得本题的求解变得较容易．二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分35分．9．（5分）（2013•江门一模）已知数列{a n}的首项a1=1，若∀n∈N*，a n•a n+1=﹣2，则a n=．考点：数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：由给出的递推式，取n=n+1得另一个式子，两式作比后可得：（n∈N*），由此可得数列的所有奇数项构成常数列，所有偶数项构成常数列，则数列的通项公式可求．解答：解：数列{a n}中，由a n•a n+1=﹣2①，得：a n+1•a n+2=﹣2②，②÷①得：（n∈N*），∴数列{a n}的奇数项和偶数项分别构成以1为公比的等比数列，由a1=1，且a n•a n+1=2，得：．∴数列{a n}的通项公式为．故答案为．点评：本题考查了数列的递推式，考查了由递推式求数列的通项公式，由数列的递推式求通项公式时，替换n的取值，由已知递推式得另一递推式，然后两式联立是求解该类问题常用的方法，此题是中档题．10．（5分）（2013•江门一模）执行程序框图，如果输入a=4，那么输出n=4．考点：程序框图．专题：图表型．分析：通过程序框图，按照框图中的要求将几次的循环结果写出，得到输出的结果．解答：解：如果输入的a是4，那么：经过第一次循环得到p=14，q=4，n=2，经过第二次循环得到p=18，q=16，n=3，经过第三次循环得到p=22，q=64，n=4，此时不满足p＞q，执行输出n=4，故答案为：4．点评：本题考查解决程序框图中的循环结构的输出结果问题时，常采用写出几次的结果找规律．11．（5分）（2013•江门一模）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1内（含正方体表面）任取一点M，则的概率p=．考点：几何概型．专题：概率与统计．分析：本题是几何概型问题，欲求点M满足的概率，先以A为原点建立空间直角坐标系，由数量积公式得出点M到平面ABCD的距离大于等于，点M的轨迹是正方体的，求出其体积，再根据几何概型概率公式结合正方体的体积的方法求解即可．解答：解：本题是几何概型问题，正方体的体积为V=8，以A为原点建立空间直角坐标系，AB为x轴，AD为y轴，AA1为z轴．那么A（0，0，0），C1（0，0，2）设M（x，y，z），那么x，y，z∈[0，2]∴=（x，y，z），=（0，0，2）则，即2z≥1，z．即点M与平面ABCD的距离大于等于，点M的轨迹是正方体的，其体积为：V1=，则的概率p为：，故答案为：．点评：本小题主要考查几何概型、几何概型的应用、几何体的体积等基础知识，考查空间想象能力、化归与转化思想．属于基础题12．（5分）（2013•江门一模）在平面直角坐标系Oxy中，若双曲线的焦距为8，则m=3．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：通过双曲线的方程，判断实轴所在轴，求出c，利用焦距求出m的值即可．解答：解：因为在平面直角坐标系Oxy中，双曲线的焦距为8，所以m＞0，焦点在x轴，所以a2=m，b2=m2+4，所以c2=m2+m+4，又双曲线的焦距为8，所以：m2+m+4=16，即m2+m﹣12=0，解得m=3或m=﹣4（舍）．故答案为：3．点评：本题考查双曲线的简单性质的应用，判断双曲线的焦点所在的轴是解题的关键，法则容易出错．13．（5分）（2013•江门一模）在平面直角坐标系Oxy中，直线y=a（a＞0）与抛物线y=x2所围成的封闭图形的面积为，则a=2．考点：定积分．专题：计算题．分析：联立方程，先求出其交点坐标，再利用微积分基本定理定理即可得出．解答：解：由可得可得A（，a）B（，a）S==（ax）===解得a=2故答案为：2点评：此题考查了定积分的运算，考查了数形结合的思想，利用定积分表示封闭图形的面积是解本题的关键．14．（5分）（2013•江门一模）（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系（ρ，θ）（0≤θ＜2π）中，曲线ρsinθ=2与ρcosθ=﹣2的交点的极坐标为．考点：点的极坐标和直角坐标的互化．专题：计算题．分析：将ρ=代入ρcosθ=﹣2消去ρ，可得tanθ=﹣1，通过讨论进一步缩小θ的范围，即可求出θ的值，再代入任意一个方程即可求出ρ的值．解答：解：ρsinθ=2即ρ=，将ρ=代入ρcosθ=﹣2，得tanθ=﹣1．∵0≤θ≤2π，∴θ=．将θ=代入ρ=，得ρ=2．故曲线ρsinθ=2与ρcosθ=﹣2的交点的极坐标为．故答案为：．点评：本题考查极坐标系中的曲线与曲线的交点的极坐标，可直接代入计算出，亦可先化为普通方程求出其交点坐标，然后再化为极坐标．15．（5分）（2013•江门一模）（几何证明选讲选做题）如图，圆O内的两条弦AB、CD相交于P，PA=PB=4，PD=4PC．若O到AB的距离为4，则O到CD的距离为．考点：圆內接多边形的性质与判定．专题：计算题；解三角形．分析：取AD中点M，连接OD、OM、OP、OA，可得OM⊥CD且OP⊥AB．Rt△OPA中运用勾股定理算出OA=4，根据相交弦定理和题中数据算出弦CD=10，从而在Rt△OMD中用勾股定理算出OM=，即得圆心O到CD的距离．解答：解：取AD中点M，连接OD、OM、OP、OA，根据圆的性质，OM⊥CD，OM即为O到CD的距离∵PA=PB=4，即P为AB中点，∴OP⊥AB，可得OP=4．Rt△OPA中，OA==4∵PA=PB=4，PD=4PC，∴由PA•PB=PC•PD，即42=4PC2，可得PC=2因此，PD=4PC=8，得CD=10∴Rt△OMD中，DM=CD=5，OD=OA=4可得OM==故答案为：点评：本题给出圆的相交弦，在已知交点分弦的比值情况下求弦到圆心的距离，着重考查了相交弦定理、垂径定理等圆的常用性质的知识，属于基础题．三、解答题：本大题共6小题，满分83分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（13分）（2013•江门一模）已知函数（A＞0，x∈R）的最小值为﹣2．（1）求f（0）；（2）若函数f（x）的图象向左平移ϕ（ϕ＞0）个单位长度，得到的曲线关于y轴对称，求ϕ的最小值．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；函数的值；y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）由函数的最值求出A，从而求得函数的解析式，进而求得f（0）的值．（2）函数f（x）的图象变换后得到的图象对应的函数解析式为，根据此曲线关于y轴对称，可得，由此求得ϕ的最小值．解答：解：（1）因为函数（A＞0，x∈R）的最小值为﹣2，所以A=2，…（2分），．…（4分）（2）函数f（x）的图象向左平移ϕ（ϕ＞0）个单位长度，可得．…（6分）因为的图象关于y轴对称，所以．…（8分）解得，…（10分）因为ϕ＞0，所以ϕ的最小值为．…（12分）点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+∅）的部分图象求解析式，函数y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律以及对称性，属于中档题．17．（14分）（2013•江门一模）春节期间，某商场决定从3种服装、2种家电、3种日用品中，选出3种商品进行促销活动．（1））试求选出的3种商品中至少有一种是家电的概率；（2）商场对选出的某商品采用抽奖方式进行促销，即在该商品现价的基础上将价格提高100元，规定购买该商品的顾客有3次抽奖的机会：若中一次奖，则获得数额为m元的奖金；若中两次奖，则共获得数额为3m元的奖金；若中3次奖，则共获得数额为6m元的奖金．假设顾客每次抽奖中获的概率都是，请问：商场将奖金数额m最高定为多少元，才能使促销方案对商场有利？考点：离散型随机变量的期望与方差；等可能事件的概率；相互独立事件．专题：概率与统计．分析：（1）求互斥事件的概率一般有两种方法，直接法和间接法，本小题用用间接法比较简便．事件“至少有一种是家电”的对立事件是“商品中没有家电”，用公式P（A）=1﹣P（），即运用逆向思维计算．（2）欲求m的值，需要先求奖金总额的期望值，要使促销方案对商场有利，应使顾客获奖奖金总额的期望值不大于商场的提价数额即可．解答：解：（1）设选出的3种商品中至少有一种是家电为事件A，从3种服装、2种家电、3种日用品中，选出3种商品，一共有种不同的选法…（1分），选出的3种商品中，没有家电的选法有种…（2分）所以，选出的3种商品中至少有一种是家电的概率为…（4分）（2）设顾客三次抽奖所获得的奖金总额为随机变量ξ，其所有可能的取值为0，m，3m，6m．（单元：元）…（5分）ξ=0表示顾客在三次抽奖都没有获奖，所以…（6分）同理，…（7分）…（8分）…（9分）顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额的期望值是…（12分）（列式（2分），计算1分）由，解得m≤75…（13分）所以故m最高定为75元，才能使促销方案对商场有利…（14分）．点评：本题考查古典概型、离散型随机变量的期望，以及运用互斥事件求概率的方法，同时考查期望的求法．属于中档题．18．（14分）（2013•江门一模）如图，直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB=1，BC=2，，过A作AE⊥CD，垂足为E．F、G分别是CE、AD的中点．现将△ADE沿AE折起，使二面角D ﹣AE﹣C的平面角为135°．（1）求证：平面DCE⊥平面ABCE；（2）求直线FG与面DCE所成角的正弦值．考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）先证线线垂直，由线线垂直⇒线面垂直⇒面面垂直．（2）作平面的垂线，得直线在平面内的射影，再在三角形中求解即可；或利用向量的数量积公式，求直线向量与平面法向量夹角的余弦即为线面角的正弦．解答：解：（1）证明：∵DE⊥AE，CE⊥AE，DE∩CE=E，DE，CE⊂平面CDE，∴AE⊥平面CDE，∵AE⊂平面ABCE，∴平面DCE⊥平面ABCE．（2）（方法一）以E为原点，EA、EC分别为x，y轴，建立空间直角坐标系∵DE⊥AE，CE⊥AE，∴∠DEC是二面角D﹣AE﹣C的平面角，即∠DEC=135°，∵AB=1，BC=2，，∴A（2，0，0），B（2，1，0），C（0，1，0），E（0，0，0），D（0，﹣1，1）．∵F、G分别是CE、AD的中点，∴F，G，∴=，=（﹣2，0，0），（11分）由（1）知是平面DCE的法向量，设直线FG与面DCE所成角，则，故求直线FG与面DCE所成角的正弦值为．（方法二）作GH∥AE，与DE相交于H，连接FH，由（1）知AE⊥平面CDE，所以GH⊥平面CDE，∠GFH是直线FG与平面DCE所成角．∵G是AD的中点，∴GH是△ADE的中位线，GH=1，，∵DE⊥AE，CE⊥AE，∴∠DEC是二面角D﹣AE﹣C的平面角，即∠DEC=135°，在△EFH中，由余弦定理得，FH2=EF2+EH2﹣2×EF×EH×cos∠FEH，∴，∵GH⊥平面CDE，所以GH⊥FH，在Rt△GFH中，∴直线FG与面DCE所成角的正弦值为．点评：本题考查面面垂直的判定及直线与平面所成的角．求直线与平面所成的角有两种思路：一是，通过作角﹣﹣证角﹣﹣求角；二是，利用向量数量积公式求解，直线向量与平面法向量夹角的余弦即为直线与平面所成角的正弦．19．（14分）（2013•江门一模）已知椭圆C的中心在原点O，离心率，右焦点为．（1）求椭圆C的方程；（2）设椭圆的上顶点为A，在椭圆C上是否存在点P，使得向量与共线？若存在，求直线AP的方程；若不存在，简要说明理由．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．专题：探究型；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）设椭圆C的方程为，由离心率焦点坐标可得及，再根据a2=b2+c2，联立方程组解出即可；（2）假设椭圆C上是存在点P（x0，y0），使得向量与共线，由向量共线及点P在椭圆上得方程组，解出可得点P坐标，进而可求得直线AP方程；解答：解：（1）设椭圆C的方程为，∵椭圆C的离心率，右焦点为，∴，∵a2=b2+c2，∴，故椭圆C的方程为．（2）假设椭圆C上是存在点P（x0，y0），使得向量与共线，∵，，∴，即，（1）又∵点P（x0，y0）在椭圆上，∴（2），由（1）、（2）组成方程组解得，或，∴P（0，﹣1），或，当点P的坐标为（0，﹣1）时，直线AP的方程为y=0，当点P的坐标为时，直线AP的方程为，故椭圆上存在满足条件的点P，直线AP的方程为y=0或．点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、椭圆方程的求解及向量共线问题，考查学生分析问题解决问题的能力．20．（14分）（2013•江门一模）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=2，∀n≥2，3S n﹣4、2a n、2﹣S n﹣1总成等差数列．（1）求S n；（2）对任意k∈N*，将数列{a n}的项落入区间（3k，32k）内的个数记为b k，求b k．考点：数列的求和；数列的函数特性；等差关系的确定．专题：计算题；点列、递归数列与数学归纳法．分析：（1）由已知可得4a n=（3S n﹣4）+（2﹣S n﹣1），结合a n=S n﹣S n﹣1（n≥2），可S n与S n﹣1的递推关系，构造等比数列{S n﹣1}可求（2）由（1）及a n=S n﹣S n﹣1（n≥2），可求a n，然后由，代入通项可得，k+2﹣log32＜n＜2k+2﹣log32，从而可求n的取值，进而可求b k，解答：解：（1）∀n≥2，3S n﹣4、2a n、2﹣S n﹣1总成等差数列，所以，2×2a n=（3S n﹣4）+（2﹣S n﹣1）…（1分）因为a n=S n﹣S n﹣1（n≥2），所以4（S n﹣S n﹣1）=（3S n﹣4）+（2﹣S n﹣1），即S n=3S n﹣1﹣2…（3分）又因为a1=2，S n﹣1﹣1≠0，，S1﹣1=1，所以数列{S n﹣1}是首项等于1，公比q=3的等比数列…（6分），即…（7分）（2）由（1）得∀n≥2，…（8分）n=1时，2×3n﹣2=2×1=2=a1，所以，任意n∈N*，…（9分）任意k∈N*，由，即3k＜2×3n﹣2＜32k…（11分），（k＜log32+（n﹣2）＜2k，k+2﹣log32＜n＜2k+2﹣log32…（12分）因为0＜log32＜1，所以“若学生直接列举，省略括号内这一段解释亦可”）n可取k+2、k+3、…、2k+1…（13分），所以b k=k…（14分）点评：本题主要考查了利用数列的递推公式构造等比数列求解通项公式，解题时不要漏掉了对n=1时的项的检验21．（14分）（2013•江门一模）已知（x＞0，a是常数），若对曲线y=f（x）上任意一点P（x0，y0）处的切线y=g（x），f（x）≥g（x）恒成立，求a的取值范围．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：求出先求然后求出f'（x），再根据切点坐标，求出f'（x0）的值即为切线的斜率，利用点斜式可求出切线方程；再将f（x）≥g（x）恒成立，转化为，记，利用导数研究其单调性和最值，然后分类讨论建立关于a不等式，解之即可求出a的取值范围．解答：解：依题意，…（1分）y0=f（x0），曲线y=f（x）在点P（x0，y0）处的切线为…（2分），即，所以…（3分）直接计算得…（5分），直接计算得f（x）≥g（x）等价于…（7分）记，则…（8分）若a2+a≤0，则由h′（x）=0，得x=x0…（9分），且当0＜x＜x0时，h′（x）＜0，当x＞x0时，h′（x）＞0…（10分），所以h（x）在x=x0处取得极小值，从而也是最小值，即h（x）≥h（x0）=0，从而f（x）≥g （x）恒成立…（11分）．若a2+a＞0，取，则，且当x1≠x0时h′（x）＞0，h（x）单调递增…（12分），所以当0＜x＜x0时，h（x）＜h（x0）=0，与f（x）≥g（x）恒成立矛盾，所以a2+a≤0…（13分），从而a的取值范围为﹣1≤a≤0…（14分）点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及利用导数研究函数的单调性和最值，同时考查了转化的思想，属于中档题．。
广东省江门市、佛山市2013届普通高中高三教学质量检测(二)数学理试题及答案-推荐下载
A
E
B
图甲
D
F
C
第 18 题
图
E
BG
第3页
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电通，力1根保过据护管生高线产中0不工资仅艺料可高试以中卷解资配决料置吊试技顶卷术层要是配求指置，机不对组规电在范气进高设行中备继资进电料行保试空护卷载高问与中题带资2负料2，荷试而下卷且高总可中体保资配障料置各试时类卷，管调需路控要习试在题验最到；大位对限。设度在备内管进来路行确敷调保设整机过使组程其高1在中正资，常料要工试加况卷强下安看与全22过，22度并22工且22作尽22下可护都能1关可地于以缩管正小路常故高工障中作高资；中料对资试于料卷继试连电卷接保破管护坏口进范处行围理整，高核或中对者资定对料值某试，些卷审异弯核常扁与高度校中固对资定图料盒纸试位，卷置编工.写况保复进护杂行层设自防备动腐与处跨装理接置，地高尤线中其弯资要曲料避半试免径卷错标调误高试高等方中，案资要，料求编试技5写、卷术重电保交要气护底设设装。备备置管4高调、动线中试电作敷资高气，设料中课并技3试资件且、术卷料中拒管试试调绝路包验卷试动敷含方技作设线案术，技槽以来术、及避管系免架统不等启必多动要项方高方案中式；资，对料为整试解套卷决启突高动然中过停语程机文中。电高因气中此课资，件料电中试力管卷高壁电中薄气资、设料接备试口进卷不行保严调护等试装问工置题作调，并试合且技理进术利行，用过要管关求线运电敷行力设高保技中护术资装。料置线试做缆卷到敷技准设术确原指灵则导活：。。在对对分于于线调差盒试动处过保，程护当中装不高置同中高电资中压料资回试料路卷试交技卷叉术调时问试，题技应，术采作是用为指金调发属试电隔人机板员一进，变行需压隔要器开在组处事在理前发；掌生同握内一图部线纸故槽资障内料时，、，强设需电备要回制进路造行须厂外同家部时出电切具源断高高习中中题资资电料料源试试，卷卷线试切缆验除敷报从设告而完与采毕相用，关高要技中进术资行资料检料试查，卷和并主检且要测了保处解护理现装。场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
2013江门调研高三数学(理)
江门市2013年普通高中高三调研测试数 学（理科）试 题本试卷共4页，21题，满分150分，测试用时120分钟． 参考公式：锥体的体积公式Sh V 31=，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高． 如果事件A 、B 互斥，那么)()()(B P A P B A P +=+．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．⒈已知{}054| 2=--=x x x A ，{}1| 2==x x B ，则=B AA ．{} 1B ．{} 1 -C ．{} 5 , 1 , 1 -D ．{} 5 , 1 , 1 -- ⒉已知)4 , 3(-=a ，)2 , 5(=b ，则=+||b aA ．102B ．52C ．7-D ．40 ⒊已知命题p ：2=m ；命题q ：复平面内表示复数i m z )1(1+-+=（R m ∈，i 是虚数单位）的点位于直线x y =上。
则命题p 是命题q 的A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．非充分非必要条件D ．充要条件 ⒋函数)232sin()(π+-=x x f 在其定义域上是 A ．周期为π的奇函数 B ．周期为π2的奇函数C ．周期为π的偶函数D ．周期为π2的偶函数⒌某种饮料每箱装6听，如果其中有2听不合格。
质检人员从中随机抽出2听，检出不合格产品的概率=pA ．21B ．31C ．32D ．6.0 ⒍以抛物线082=+x y 的顶点为中心、焦点为一个顶点且离心率2=e 的双曲线的标准方程是保密★启用前 试卷类型：AA ．112422=-y x B ．1481622=-y x C ．112422=-x y D ．1481622=-y x⒎已知一个几何体的三视图及其大小如图1，这个几何体的体积=V A ．π12 B ．π16 C ．π18D ．π64⒏输入正整数n （2≥n ）和数据1a ，2a ，…，n a ，如果执行如图2的程序框图，输出的s 是数据1a ，2a ，…，n a 的平均数，则框图的处 理框★中应填写的是A ．i a s s +=B ．na s s i+= C ．i a s i s i +⨯-=)1( D ．na s i s i+⨯-=)1(二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．(一)必做题（9～13题）⒐已知等差数列{}n a 的首项11=a ，前三项之和93=S ，则{}n a 的通项____=n a ．⒑已知x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤≤≤≤824030y x y x ，则y x z +=的最大值是 ．⒒已知n 是正整数，若432n n n C C C <+，则n 的取值范围是 ．⒓与圆C ：04222=+-+y x y x 关于直线l ：0=+y x 对称的圆的方程是 ．图 3图4⒔曲线)2ln(x y =上任意一点P 到直线x y 2=的距离的最小值是 ．(二)选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）⒕（几何证明选讲选做题）如图3，圆O 的割线PAB 交圆O 于A 、B 两点，割线PCD 经过圆心。
2013年高考理科数学广东卷-答案
M N=-{2,0,2}z①，x②，y③三个式子中恰有一个成立；x④，z⑤，w⑥+=条不同的直线．故可确定51612AB DE=，【提示】观察图形，根据已知条件，利用圆的性质，通过相似三角形求距离．cos45OC CD︒=，所以OD OE O⊥交CDCD-的平面角．CD B中点，故OH5A H'5所以(0,3,CA '=，(1,2,DA '=-设(,,)n x y z =00n CA n DA ⎧'=⎪⎨'=⎪⎩，即⎩，得(1,1,n =-由（Ⅰ）知，(0,0,OA '=315,5||||35n OA n OA n OA ''==='22211111111111111434423341n a n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=+++++<++-+-++- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭14244n n =++-=-< 174n a ++<项的关系式和首项，求第二项；根据题设条件，利用递推公式求通项公1(AF BF y =联立方程24x y⎨=⎪⎩12|||AF BF y y =02y =+，|||AF BF 取得最小值，且最小值为根据两直线的交点，联立两直线求直线方程；由直线与抛物线的位置关系得到关系式，求最小值．ln 21ln ≤-=k <，所以(0,ln(2))k 时，),)k +∞时，max{(0),f f 3e 30-<(1)e ϕ⎫⎛=⎪ ⎭⎝所以存在01,12x ⎛∈ ⎝【考点】利用导数求函数的单调区间，利用函数单调性求最值。
2013年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)-数学(理)
2013年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学（理科）本试卷共4页,21小题,满分150分.考试用时120分钟参考公式：台体的体积公式V=错误!未找到引用源。
(S 1+21S S +S 2)h,其中S 1，S 2分别表示台体的上、下底面积，h 表示台体的高。
一 、选择题：1. 设集合{}220,M x x x x R =+=∈， {}220,N x x x x R =-=∈，则M N =U （ ） A. {0} B. {0，2} C. {－2，0} D. {－2，0，2}2. 定义域为R 的四个函数32,2,1,2sin xy x y y x y x ===+=中，奇函数的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 13. 若复数z 满足24iz i =+，则在复平面内，z 对应的点的坐标是（ ） A. （2，4） B. （2，－4） C. （4，－2） D. （4，2）4. 已知离散型随机变量X 的分布列为X1 2 3P35 310 110则X 的数学期望()E X =（ ） A.32 B. 2 C. 52D. 3 5. 某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是（ ） A. 4 B. 143 C. 163D. 66. 设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ） A. 若,,,m n m n αβαβ⊥⊂⊂⊥则 B. //,,,//若则αβαβ⊂⊂m n m n C. ,,,m n m n αβαβ⊥⊂⊂⊥若则 D. ,//,//,若则αβαβ⊥⊥m m n n7. 已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为F （3，0），离心率等于32，则C 的方程是（ ） A. 22145x y -= B. 22145x y -= C. 22125x y -= D. 22125x y -=122 俯视图正视图侧视图8. 设整数4n ≥，集合{}1,2,3,...,X n =，令集合{}(,,),,,,,S x y z x y z X x y z y z x z x y =∈<<<<<<且三条件恰有一个成立，若(,,)x y z 和(,,)z w x 都在Ｓ中，则下列选项正确的是（ ）A. (,,),(,,)y z w S x y w S ∈∉B. (,,),(,,)y z w S x y w S ∈∈C. (,,),(,,)y z w S x y w S ∉∈D. (,,),(,,)y z w S x y w S ∉∉ 二、填空题：本大题共7小题，考生答6小题，每小题5分，满分30分。
普通高中高三教学质量检测理科数学...
① f (x) 的值域为 [0,2] ；
y
② f (x) 是周期函数；
B
③ f ( 1.9) f ( ) f (2013) ；
6
④ f (x)dx
9
.
0
2
其中正确的说法个数为 :
OP
Ax
第 8 题图
A.0
B.1
C.2
D. 3
二、填空题： 本大共 7 小题，考生作答 6 小题，每小题 5 分，满分 30 分．
D． f (x) 为奇函数，且在 [ 1，0] 上单调递减 .
6．下列命题中假．命．题．是 A．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行； B．垂直于同一条直线的两条直线相互垂直； C．若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； D．若一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的相交直线分别平行，那么这两个平
2013 年江门佛山两市普通高中高三教学质量检测
数 学（理科）
2013.4 本试卷共 4 页， 21 小题，满分 150 分．考试用时 120 分钟． 注意事项： 2013.4.18
1．答卷前，考生要务必填写答题卷上密封线内的有关项目． 2．选择题每小题选出答案后，用铅笔把答案代号填在答题卷对应的空格内．
为
.
13．将集合 { 2s 2t | 0 s t 且 s, t Z }中的元素按上小下大，
左小右大的顺序排成如图的三角形数表，将数表中位于第
i 行第 j 列
的数记为 bi j （ i j 0 ） , 则 b65 = .
( 二 ) 选做题 (14 ～ 15 题，考生只能从中选做一题 )
14．（ 坐标系与参数方程 ）在极坐标系中，设曲线 C1 : 2sin 与 C2 :
2013年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷) 数学(理科) 及答案
2013年普通高等学校招生全国统一考试【广东卷】数学【理科】逐题详解参考公式:台体的体积公式()1213V S S h =+,其中12,S S 分别是台体的上、下底面积,h 表示台体的高.一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1、设集合{}2|20,M x x x x =+=∈R ,{}2|20,N x x x x =-=∈R ,则M N = ( )A . {}0B 、{}0,2C 、{}2,0-D 、{}2,0,2-2、定义域为R 的四个函数3y x =,2x y =,21y x =+,2sin y x =中,奇函数的个数是( )A . 4B 、3C 、2D 、13、若复数z 满足24iz i =+,则在复平面内,z 对应的点的坐标是( )A . ()2,4B 、()2,4-C 、()4,2-D 、()4,24、已知离散型随机变量X 的分布列为X 12 3 P35310 110则X 的数学期望EX = ( )A .32 B 、2 C 、52D 、3 5、某四棱台的三视图如图所示,则该四棱台的体积是 ( )A . 4B 、143C 、163D 、66、设,m n 是两条不同的直线,,αβ是两个不同的平面,下列命题中正确的是( )A . 若αβ⊥,m α⊂,n β⊂,则m n ⊥B 、若//αβ,m α⊂,n β⊂,则//m nC 、若m n ⊥,m α⊂,n β⊂,则αβ⊥D 、若m α⊥,//m n ,//n β,则αβ⊥7、已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为()3,0F ,离心率等于32,在双曲线C 的方程是 A .2214x = B 、22145x y -= C 、22125x y -= D、2212x = 8、设整数4n ≥,集合{}1,2,3,,X n = .令集合(){},,|,,,,,S x y z x y z X x y z y z x z x y =∈<<<<<<且三条件恰有一个成立若(),,x y z 和(),,z w x 都在S 中,则下列选项正确的是( )A . (),,y z w S ∈,(),,x y w S ∉B 、(),,y z w S ∈,(),,x y w S ∈俯视侧视第5题图.AED CBO第15题图1 7 92 0 1 53 0第17题图C 、(),,y z w S ∉,(),,x y w S ∈D 、(),,y z w S ∉,(),,x y w S ∈二、填空题：本题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，共30(一)必做题(9～13题)9、不等式220x x +-<的解集为___________、10、若曲线ln y kx x =+在点()1,k 处的切线平行于x 轴,则k =______. 11、执行如图所示的程序框图,若输入n 的值为4,则输出s 的值为______. 12. 在等差数列{}n a 中,已知3810a a +=,则573a a +=_____.13. 给定区域D :4440x y x y x +≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩,令点集()()000000{,|,,,T x y D x y Z x y =∈∈是z x y =+在D 上取得最大值或最小值的点},则T 中的点共确定______ 条不同的直线.【二】选做题【14、15题,考生只能从中选做一题,两题全答的,只计前一题的得分】14.(坐标系与参数方程选讲选做题)已知曲线C 的参数方程为x ty t⎧=⎪⎨=⎪⎩(t 为参数),C在点()1,1处的切线为l ,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则l 的极坐标方程为_____________.15. (几何证明选讲选做题)如图,AB 是圆O的直径,点C 在圆O 上, 延长BC 到D 使BC CD =,过C 作圆O 的切线交AD 于E .若6AB =,2ED =,则BC =_________.三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、 证明过程或演算步骤. 16、【本小题满分12分】已知函数()12f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,x ∈R .(Ⅰ) 求6f π⎛⎫-⎪⎝⎭的值； (Ⅱ) 若3cos 5θ=,3,22πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,求23f πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭、17、【本小题满分12分】某车间共有12名工人,随机抽取6名,他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示,其中茎为十位数,叶为个位数.(Ⅰ) 根据茎叶图计算样本均值；(Ⅱ) 日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人.根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人；(Ⅲ) 从该车间12名工人中,任取2人,求恰有1名优秀 工人的概率.18、【本小题满分14分】如图1,在等腰直角三角形ABC 中,90A ∠=︒,6BC =,,D E 分别是,AC AB 上的点,CD BE =O 为BC 的中点.将ADE ∆沿DE 折起,得到如图2所示的四棱锥A BCDE '-,其中A O '=(Ⅰ) 证明:A O '⊥平面BCDE ；(Ⅱ) 求二面角A CD B '--的平面角的余弦值.19、【本小题满分14分】设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知11a =,2121233n n S a n n n +=---,*n ∈N . (Ⅰ) 求2a 的值；(Ⅱ) 求数列{}n a 的通项公式； (Ⅲ) 证明:对一切正整数n ,有1211174n a a a +++< . 20、【本小题满分14分】已知抛物线C 的顶点为原点,其焦点()()0,0F c c >到直线l :20x y --=的距离为2.设P 为直线l 上的点,过点P 作抛物线C 的两条切线,PA PB ,其中,A B 为切点. (Ⅰ) 求抛物线C 的方程；(Ⅱ) 当点()00,P x y 为直线l 上的定点时,求直线AB 的方程； (Ⅲ) 当点P 在直线l 上移动时,求AF BF ⋅的最小值. .CO BD EA CDOB'A图1图221、【本小题满分14分】设函数()()21xf x x e kx =--(其中k ∈R ).(Ⅰ) 当1k =时,求函数()f x 的单调区间； (Ⅱ) 当1,12k ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时,求函数()f x 在[]0,k 上的最大值M .CD OBE'AH2013年普通高等学校招生全国统一考试【广东卷】数学【理科】参考答案一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.DC CA B D BB二、填空题：本题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，共30分9. ()2,1- 10. 1k =- 11. 7 12.20 13. 614.sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 15. 三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16、【本小题满分12分】【解析】(Ⅰ)1661244f πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=---== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；(Ⅱ) 222cos 2sin 233124f ππππθθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭因为3cos 5θ=,3,22πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以4sin 5θ=-, 所以24sin 22sin cos 25θθθ==-,227cos 2cos sin 25θθθ=-=-所以23f πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭cos 2sin 2θθ=-72417252525⎛⎫=---= ⎪⎝⎭. 17、【本小题满分12分】【解析】(Ⅰ) 样本均值为1719202125301322266+++++==；(Ⅱ) 由(Ⅰ)知样本中优秀工人占的比例为2163=,故推断该车间12名工人中有11243⨯=名优秀工人.(Ⅲ) 设事件A :从该车间12名工人中,任取2人,恰有1名优秀工人,则()P A =1148212C C C 1633=.18、【本小题满分14分】【解析】(Ⅰ) 在图1中,易得3,OC AC AD ===连结,OD OE ,在OCD ∆中,由余弦定理可得OD 由翻折不变性可知A D '=,所以222A O OD A D ''+=,所以A O OD '⊥,理可证A O OE '⊥, 又OD OE O = ,所以A O '⊥平面BCDE . (Ⅱ) 传统法:过O 作OH CD ⊥交CD 的延长线于H ,连结A H ', 因为A O '⊥平面BCDE ,所以A H CD '⊥, 所以A HO '∠为二面角A CD B '--的平面角. 结合图1可知,H 为AC 中点,故2OH =,从而2A H '==所以cos OH A HO A H '∠==',所以二面角A CD B '--向量法:以O 点为原点,建立空间直角坐标系O xyz -则(A ',()0,3,0C -,()1,2,0D -所以(CA '= ,(1,DA '=-设(),,n x y z = 为平面A CD '的法向量,则 00n CA n DA ⎧'⋅=⎪⎨'⋅=⎪⎩,即3020y x y ⎧+=⎪⎨-++=⎪⎩,解得y xz =-⎧⎪⎨=⎪⎩,令1x =,得(1,n =- 由(Ⅰ) 知,(OA '=为平面CDB 的一个法向量,所以cos ,n OA n OA n OA '⋅'='即二面角A CD B '--19、【本小题满分14分】【解析】(Ⅰ) 依题意,12122133S a =---,又111S a ==,所以24a =； (Ⅱ) 当2n ≥时,32112233n n S na n n n +=---,()()()()321122111133n n S n a n n n -=-------两式相减得()()()2112213312133n n n a na n a n n n +=----+---整理得()()111n n n a na n n ++=-+,即111n n a a n n +-=+,又21121a a-=故数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为111a =,公差为1的等差数列,所以()111na n n n=+-⨯=,所以2n a n =.(Ⅲ) 当1n =时,11714a =<；当2n =时,12111571444a a +=+=<； 当3n ≥时,()21111111n a n n n n n=<=---,此时 222121111111111111111434423341n a a a n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=+++++<++-+-++- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭11171714244n n =++-=-< 综上,对一切正整数n ,有1211174n a a a +++< . 20、【本小题满分14分】【解析】(Ⅰ) 依题意,设抛物线C 的方程为24x cy =,2=结合0c >, 解得1c =. 所以抛物线C 的方程为24x y =.(Ⅱ) 抛物线C 的方程为24x y =,即214y x =,求导得12y x '= 设()11,A x y ,()22,B x y (其中221212,44x x y y ==),则切线,P A P B 的斜率分别为112x ,212x , 所以切线PA 的方程为()1112x y y x x -=-,即211122x x y x y =-+,即11220x x y y --= 同理可得切线PB 的方程为22220x x y y --=因为切线,PA PB 均过点()00,P x y ,所以1001220x x y y --=,2002220x x y y --= 所以()()1122,,,x y x y 为方程00220x x y y --=的两组解. 所以直线AB 的方程为00220x x y y --=.(Ⅲ) 由抛物线定义可知11AF y =+,21BF y =+, 所以()()()121212111AF BF y y y y y y ⋅=++=+++联立方程0022204x x y y x y--=⎧⎨=⎩,消去x 整理得()22200020y y x y y +-+=由一元二次方程根与系数的关系可得212002y y x y +=-,2120y y y =所以()221212000121AF BF y y y y y x y ⋅=+++=+-+又点()00,P x y 在直线l 上,所以002x y =+,所以22220000001921225222y x y y y y ⎛⎫+-+=++=++ ⎪⎝⎭所以当012y =-时, AF BF ⋅取得最小值,且最小值为92. 21、【本小题满分14分】【解析】(Ⅰ) 当1k =时,()()21x f x x e x =--,()()()1222x x x x f x e x e x xe x x e '=+--=-=-令()0f x '=,得10x =,2ln 2x = 当x 变化时,()(),f x f x '的变化如下表:右表可知,函数f x 的递减区间为0,ln 2,递增区间为,0-∞,ln 2,+∞.(Ⅱ)()()()1222x x x xf x e x e kx xe kx x e k '=+--=-=-,令()0f x '=,得10x =,()2ln 2x k =,令()()ln 2g k k k =-,则()1110k g k k k -'=-=>,所以()g k 在1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦上递增,所以()ln 21ln 2ln 0g k e ≤-=-<,从而()ln 2k k <,所以()[]ln 20,k k ∈ 所以当()()0,ln 2x k ∈时,()0f x '<；当()()ln 2,x k ∈+∞时,()0f x '>；所以()(){}(){}3max 0,max 1,1k M f f k k e k ==---令()()311k h k k e k =--+,则()()3kh k k ek '=-,令()3kk e k ϕ=-,则()330kk e e ϕ'=-<-<所以()k ϕ在1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦上递减,而()()1313022e ϕϕ⎛⎫⎫⋅=-< ⎪⎪⎝⎭⎭ 所以存在01,12x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦使得()00x ϕ=,且当01,2k x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()0k ϕ>,当()0,1k x ∈时,()0k ϕ<, 所以()k ϕ在01,2x ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增,在()0,1x 上单调递减. 因为17028h ⎛⎫=> ⎪⎝⎭,()10h =, 所以()0h k ≥在1,12⎛⎤⎥⎝⎦上恒成立,当且仅当1k =时取得“=”.综上,函数()f x 在[]0,k 上的最大值()31kM k e k =--.。
2013年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(广东卷,含答案)
设数列 an 的前 n 项和为 Sn . 已知 a1
（1）求 a2 的值 （2）求数列｛ an｝的通项公式 a1
2 Sn 1, n
an 1
1 n2 3
n
2 3, n
N* .
11
17
证明 : 对一切正整数 n , 有 a1 a2
an 4 .
20.( 本小题满分 14 分 ) 已知抛物线 c 的顶点为原点，其焦点 F（0，c）（ c＞0）到直线 L:x-y-2=0 的距离为 . 设
1
a2
,又 2
a1 1
1
故数列
an n
a1 是首项为 1
1 , 公差为 1的等差数列 ,
an 1 所以 n
n1
1
n
,
所以
an
n2 .
1
7
11
15
1
1
(3) 当 n 1 时 , a1
4 ；当 n 2时 , a1 a2
44
11 当 n 3时, an n2
1
11
n 1 n n 1 n , 此时
11 a1 a2
三、解答题：本大题共 6 小题，满分 80 分，解答需写出文字说明。证明过程和演算步骤。 16. （本小题满分 12 分）
f ( x) 2 cos( x )
已知函数
12 ， x R
（1）求 f （ - ）的值；
（2）若 cosθ = ， θE（ ， 2π），求 f （ 2θ + ）。 17．（本小题满分 12 分）
∵ A’ O⊥平面 BCDE,CD 平面 BCDE, ∴CD⊥ A’O
∵ OM A’O=O, ∴ CD⊥平面 A’ OM
∵ A’ M 平面 A’ OM∴ CD⊥ A’ M
2013广东高考数学(理科)试题答案(word)完整官方版
2013广东高考数学（理科）试题参考公式:台体的体积公式()1213V S S h =+,其中12,S S 分别是台体的上、下底面积,h 表示台体的高.一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．设集合{}2|20,M x x x x =+=∈R ,{}2|20,N x x x x =-=∈R ,则M N = ( )A . {}0B ．{}0,2C ．{}2,0-D ．{}2,0,2-2．定义域为R 的四个函数3y x =,2x y =,21y x =+,2sin y x =中,奇函数的个数是( )A . 4B ．3C ．2D ．13．若复数z 满足24iz i =+,则在复平面内,z 对应的点的坐标是( )A . ()2,4B ．()2,4-C ．()4,2-D ．()4,24．已知离散型随机变量X 的分布列为X 12 3 P35 310 110则X 的数学期望EX = ( )A . 32B ．2C ．52 D ．35．某四棱台的三视图如图所示,则该四棱台的体积是 ( )A . 4B ．143C ．163D ．66．设,m n 是两条不同的直线,,αβ是两个不同的平面,下列命题中正确的是( )A . 若αβ⊥,m α⊂,n β⊂,则m n ⊥B ．若//αβ,m α⊂,n β⊂,则//m nC ．若m n ⊥,m α⊂,n β⊂,则αβ⊥D ．若m α⊥,//m n ,//n β,则αβ⊥7．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为()3,0F ,离心率等于32,在双曲线C 的方程是 ( )A .2214x = B ．22145x y -= C ．22125x y -=D．2212x =正视图 俯视图侧视图第5题图.AED CBO第15题图8．设整数4n ≥,集合{}1,2,3,,X n = .令集合(){},,|,,,,,S x y z x y z X x y z y z x z x y =∈<<<<<<且三条件恰有一个成立若(),,x y z 和(),,z w x 都在S 中,则下列选项正确的是( )A . (),,y z w S ∈,(),,x y w S ∉B ．(),,y z w S ∈,(),,x y w S ∈C ．(),,y z w S ∉,(),,x y w S ∈D ．(),,y z w S ∉,(),,x y w S ∈二、填空题：本题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，共30分 (一)必做题(9～13题)9．不等式220x x +-<的解集为___________．10．若曲线ln y kx x =+在点()1,k 处的切线平行于x 轴,则k =______. 11．执行如图所示的程序框图,若输入n 的值为4,则输出s 的值为12. 在等差数列{}n a 中,已知3810a a +=,则573a a +=_____.13. 给定区域D :4440x y x y x +≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩,令点集()(000000{,|,,,T x y D x y Z x y =∈∈是z x y =+在D 上取得最大值或最小值的点},则T 中的点共确定条不同的直线.（二）选做题（14、15题,考生只能从中选做一题,两题全答的,只计前一题的得分）14.(坐标系与参数方程选讲选做题)已知曲线C 的参数方程为x ty t⎧=⎪⎨=⎪⎩(t 为参数),C在点()1,1处的切线为l ,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则l 的极坐标方程为_____________. .15. (几何证明选讲选做题)如图,AB 是圆O 的直径,点C 在圆O 上, 延长BC 到D 使BC CD =,过C 作圆O 的切线交AD 于E .若6AB =,2ED =,则BC =_________.三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演1 7 92 0 1 53 0第17题图C DOBE'AH算步骤.16．（本小题满分12分）已知函数()12f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,x ∈R .(Ⅰ) 求6f π⎛⎫-⎪⎝⎭的值； (Ⅱ) 若3cos 5θ=,3,22πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,求23f πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭．17．（本小题满分12分）某车间共有12名工人,随机抽取6名,他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示,其中茎为十位数,叶为个位数.(Ⅰ) 根据茎叶图计算样本均值；(Ⅱ) 日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人. 根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人；(Ⅲ) 从该车间12名工人中,任取2人,求恰有1名优秀 工人的概率.18．（本小题满分14分）如图1,在等腰直角三角形ABC 中,90A ∠=︒,6BC =,,D E 分别是,AC AB 上的点,CD BE =O 为BC 的中点.将ADE ∆沿DE 折起,得到如图2所示的四棱锥A BCDE '-,其中A O '=(Ⅰ) 证明:A O '⊥平面BCDE ；(Ⅱ) 求二面角A CD B '--的平面角的余弦值.BCDE .19．（本小题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知11a =,2121233n n S a n n n +=---,*n ∈N . .CO BD EA CDOBE'A图1图2(Ⅰ) 求2a 的值；(Ⅱ) 求数列{}n a 的通项公式； (Ⅲ) 证明:对一切正整数n ,有1211174n a a a +++< . 20．（本小题满分14分）已知抛物线C 的顶点为原点,其焦点()()0,0F c c >到直线l :20x y --=的距离为2.设P 为直线l 上的点,过点P 作抛物线C 的两条切线,PA PB ,其中,A B 为切点. (Ⅰ) 求抛物线C 的方程；(Ⅱ) 当点()00,P x y 为直线l 上的定点时,求直线AB 的方程； (Ⅲ) 当点P 在直线l 上移动时,求AF BF ⋅的最小值.21．（本小题满分14分）设函数()()21xf x x e kx =--(其中k ∈R ).(Ⅰ) 当1k =时,求函数()f x 的单调区间； (Ⅱ) 当1,12k ⎛⎤∈⎥⎝⎦时,求函数()f x 在[]0,k 上的最大值M .。
2013年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷) 数学(理科) (有答案)
2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）逐题详解参考公式:台体的体积公式()1213V S S h =+,其中12,S S 分别是台体的上、下底面积,h 表示台体的高.一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．设集合{}2|20,M x x x x =+=∈R ,{}2|20,N x x x x =-=∈R ,则MN =( )A . {}0B ．{}0,2C ．{}2,0-D ．{}2,0,2-2．定义域为R 的四个函数3y x =,2x y =,21y x =+,2sin y x =中,奇函数的个数是( )A . 4B ．3C ．2D ．13．若复数z 满足24iz i =+,则在复平面内,z 对应的点的坐标是( )A . ()2,4B ．()2,4-C ．()4,2-D ．()4,24．已知离散型随机变量X 的分布列为X 12 3 P35310 110则X 的数学期望EX = ( )A .32 B ．2 C ．52D ．3 5．某四棱台的三视图如图所示,则该四棱台的体积是 ( )A . 4B ．143C ．163D ．66．设,m n 是两条不同的直线,,αβ是两个不同的平面,下列命题中正确的是( )A . 若αβ⊥,m α⊂,n β⊂,则m n ⊥B ．若//αβ,m α⊂,n β⊂,则//m nC ．若m n ⊥,m α⊂,n β⊂,则αβ⊥D ．若m α⊥,//m n ,//n β,则αβ⊥7．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为()3,0F ,离心率等于32,在双曲线C 的方程是 A .2214x = B ．22145x y -= C ．22125x y -= D．2212x = 8．设整数4n ≥,集合{}1,2,3,,X n =.令集合(){},,|,,,,,S x y z x y z X x y z y z x z x y =∈<<<<<<且三条件恰有一个成立若(),,x y z 和(),,z w x 都在S 中,则下列选项正确的是( )A . (),,y z w S ∈,(),,x y w S ∉B ．(),,y z w S ∈,(),,x y w S ∈俯视侧视第5题图.AED CBO第15题图1 7 92 0 1 53 0第17题图C ．(),,y z w S ∉,(),,x y w S ∈D ．(),,y z w S ∉,(),,x y w S ∈二、填空题：本题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，共30(一)必做题(9～13题)9．不等式220x x +-<的解集为___________．10．若曲线ln y kx x =+在点()1,k 处的切线平行于x 轴,则k =______. 11．执行如图所示的程序框图,若输入n 的值为4,则输出s 的值为______. 12. 在等差数列{}n a 中,已知3810a a +=,则573a a +=_____.13. 给定区域D :4440x y x y x +≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩,令点集()()000000{,|,,,T x y D x y Z x y =∈∈是z x y =+在D 上取得最大值或最小值的点},则T 中的点共确定______ 条不同的直线.（二）选做题（14、15题,考生只能从中选做一题,两题全答的,只计前一题的得分）14.(坐标系与参数方程选讲选做题)已知曲线C 的参数方程为x ty t⎧=⎪⎨=⎪⎩(t 为参数),C在点()1,1处的切线为l ,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则l 的极坐标方程为_____________.15. (几何证明选讲选做题)如图,AB 是圆O 的直径,点C 在圆O 上, 延长BC 到D 使BC CD =,过C 作圆O 的切线交AD 于E .若6AB =,2ED =,则BC =_________.三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、 证明过程或演算步骤. 16．（本小题满分12分）已知函数()12f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,x ∈R .(Ⅰ) 求6f π⎛⎫-⎪⎝⎭的值； (Ⅱ) 若3cos 5θ=,3,22πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,求23f πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭．17．（本小题满分12分）某车间共有12名工人,随机抽取6名,他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示,其中茎为十位数,叶为个位数.(Ⅰ) 根据茎叶图计算样本均值；(Ⅱ) 日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人.根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人；(Ⅲ) 从该车间12名工人中,任取2人,求恰有1名优秀 工人的概率.18．（本小题满分14分）如图1,在等腰直角三角形ABC 中,90A ∠=︒,6BC =,,D E 分别是,AC AB 上的点,CD BE =O 为BC 的中点.将ADE ∆沿DE 折起,得到如图2所示的四棱锥A BCDE '-,其中A O '=(Ⅰ) 证明:A O '⊥平面BCDE ；(Ⅱ) 求二面角A CD B '--的平面角的余弦值.19．（本小题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知11a =,2121233n n S a n n n +=---,*n ∈N . (Ⅰ) 求2a 的值；(Ⅱ) 求数列{}n a 的通项公式； (Ⅲ) 证明:对一切正整数n ,有1211174n a a a +++<. 20．（本小题满分14分）已知抛物线C 的顶点为原点,其焦点()()0,0F c c >到直线l :20x y --=的距离为2.设P 为直线l 上的点,过点P 作抛物线C 的两条切线,PA PB ,其中,A B 为切点. (Ⅰ) 求抛物线C 的方程；(Ⅱ) 当点()00,P x y 为直线l 上的定点时,求直线AB 的方程； (Ⅲ) 当点P 在直线l 上移动时,求AF BF ⋅的最小值..CO BD EA CDOB'A图1图221．（本小题满分14分）设函数()()21xf x x e kx =--(其中k ∈R ).(Ⅰ) 当1k =时,求函数()f x 的单调区间； (Ⅱ) 当1,12k ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时,求函数()f x 在[]0,k 上的最大值M .CD OBE'AH2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）参考答案一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.DC CA B D BB二、填空题：本题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，共30分9. ()2,1- 10. 1k =- 11. 7 12.20 13. 614.sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 15. 三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（本小题满分12分）【解析】(Ⅰ)1661244f πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=---== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；(Ⅱ) 222cos 2sin 233124f ππππθθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭因为3cos 5θ=,3,22πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以4sin 5θ=-, 所以24sin 22sin cos 25θθθ==-,227cos 2cos sin 25θθθ=-=-所以23f πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭cos 2sin 2θθ=-72417252525⎛⎫=---= ⎪⎝⎭. 17．（本小题满分12分）【解析】(Ⅰ) 样本均值为1719202125301322266+++++==；(Ⅱ) 由(Ⅰ)知样本中优秀工人占的比例为2163=,故推断该车间12名工人中有11243⨯=名优秀工人.(Ⅲ) 设事件A :从该车间12名工人中,任取2人,恰有1名优秀工人,则()P A =1148212C C C 1633=.18．（本小题满分14分）【解析】(Ⅰ) 在图1中,易得3,OC AC AD ===连结,OD OE ,在OCD ∆中,由余弦定理可得OD 由翻折不变性可知A D '=,所以222A O OD A D ''+=,所以A O OD '⊥, 理可证A O OE '⊥, 又ODOE O =,所以A O '⊥平面BCDE .(Ⅱ) 传统法:过O 作OH CD ⊥交CD 的延长线于H ,连结A H ', 因为A O '⊥平面BCDE ,所以A H CD '⊥, 所以A HO '∠为二面角A CD B '--的平面角.结合图1可知,H 为AC 中点,故2OH =,从而2A H '==所以cos OH A HO A H '∠==',所以二面角A CD B '--向量法:以O 点为原点,建立空间直角坐标系O xyz -则(A ',()0,3,0C -,()1,2,0D -所以(CA '=,(1,DA '=- 设(),,n x y z =为平面A CD '的法向量,则00n CA n DA ⎧'⋅=⎪⎨'⋅=⎪⎩,即3020y x y⎧+=⎪⎨-++=⎪⎩,解得y x z =-⎧⎪⎨=⎪⎩,令1x =,得(1,n =- 由(Ⅰ) 知,(OA '=为平面CDB 的一个法向量,所以cos ,3n OA n OA n OA '⋅'==⋅'即二面角A CD B '--19．（本小题满分14分）【解析】(Ⅰ) 依题意,12122133S a =---,又111S a ==,所以24a =； (Ⅱ) 当2n ≥时,32112233n n S na n n n +=---,()()()()321122111133n n S n a n n n -=-------两式相减得()()()2112213312133n n n a na n a n n n +=----+---整理得()()111n n n a na n n ++=-+,即111n n a a n n +-=+,又21121a a-=故数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为111a =,公差为1的等差数列,所以()111na n n n=+-⨯=,所以2n a n =.(Ⅲ) 当1n =时,11714a =<；当2n =时,12111571444a a +=+=<； 当3n ≥时,()21111111n a n n n n n =<=---,此时 222121111111111111111434423341n a a a n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=+++++<++-+-++- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭11171714244n n =++-=-< 综上,对一切正整数n ,有1211174n a a a +++<. 20．（本小题满分14分）【解析】(Ⅰ) 依题意,设抛物线C 的方程为24x cy =,=0c >, 解得1c =. 所以抛物线C 的方程为24x y =. (Ⅱ) 抛物线C 的方程为24x y =,即214y x =,求导得12y x '= 设()11,A x y ,()22,B x y (其中221212,44x x y y ==),则切线,P A P B 的斜率分别为112x ,212x , 所以切线PA 的方程为()1112x y y x x -=-,即211122x x y x y =-+,即11220x x y y --= 同理可得切线PB 的方程为22220x x y y --=因为切线,PA PB 均过点()00,P x y ,所以1001220x x y y --=,2002220x x y y --= 所以()()1122,,,x y x y 为方程00220x x y y --=的两组解. 所以直线AB 的方程为00220x x y y --=.(Ⅲ) 由抛物线定义可知11AF y =+,21BF y =+, 所以()()()121212111AF BF y y y y y y ⋅=++=+++联立方程0022204x x y y x y--=⎧⎨=⎩,消去x 整理得()22200020y y x y y +-+=由一元二次方程根与系数的关系可得212002y y x y +=-,2120y y y =所以()221212000121AF BF y y y y y x y ⋅=+++=+-+又点()00,P x y 在直线l 上,所以002x y =+,所以22220000001921225222y x y y y y ⎛⎫+-+=++=++ ⎪⎝⎭所以当012y =-时, AF BF ⋅取得最小值,且最小值为92. 21．（本小题满分14分）【解析】(Ⅰ) 当1k =时,()()21x f x x e x =--,()()()1222x x x x f x e x e x xe x x e '=+--=-=-令()0f x '=,得10x =,2ln 2x = 当x 变化时,()(),f x f x '的变化如下表:右表可知,函数f x 的递减区间为0,ln 2,递增区间为,0-∞,ln 2,+∞.(Ⅱ)()()()1222x x x xf x e x e kx xe kx x e k '=+--=-=-,令()0f x '=,得10x =,()2ln 2x k =,令()()ln 2g k k k =-,则()1110k g k k k -'=-=>,所以()g k 在1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦上递增,所以()ln 21ln 2ln 0g k e ≤-=-<,从而()ln 2k k <,所以()[]ln 20,k k ∈ 所以当()()0,ln 2x k ∈时,()0f x '<；当()()ln 2,x k ∈+∞时,()0f x '>；所以()(){}(){}3max 0,max 1,1k M f f k k e k ==---令()()311k h k k e k =--+,则()()3kh k k e k '=-,令()3k k e k ϕ=-,则()330kk e e ϕ'=-<-<所以()k ϕ在1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦上递减,而()()1313022e ϕϕ⎛⎫⎫⋅=-< ⎪⎪⎝⎭⎭ 所以存在01,12x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦使得()00x ϕ=,且当01,2k x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()0k ϕ>,当()0,1k x ∈时,()0k ϕ<, 所以()k ϕ在01,2x ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增,在()0,1x 上单调递减.因为17028h ⎛⎫=> ⎪⎝⎭,()10h =, 所以()0h k ≥在1,12⎛⎤⎥⎝⎦上恒成立,当且仅当1k =时取得“=”.综上,函数()f x 在[]0,k 上的最大值()31kM k e k =--.。
2013年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(广东卷)
实用文档2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）逐题详解参考公式:台体的体积公式()1213V S S h =,其中12,S S 分别是台体的上、下底面积,h 表示台体的高.一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．设集合{}2|20,M x x x x =+=∈R ,{}2|20,N x x x x =-=∈R ,则MN =( )A . {}0B ．{}0,2C ．{}2,0-D ．{}2,0,2-【解析】D ；易得{}2,0M =-,{}0,2N =,所以MN ={}2,0,2-,故选D ．2．定义域为R 的四个函数3y x =,2x y =,21y x =+,2sin y x =中,奇函数的个数是( )A . 4B ．3C ．2D ．1【解析】C ；考查基本初等函数和奇函数的概念,是奇函数的为3y x =与2sin y x =,故选C ．3．若复数z 满足24iz i =+,则在复平面内,z 对应的点的坐标是( )实用文档A . ()2,4B ．()2,4-C ．()4,2-D ．()4,2【解析】C ；2442iz i i+==-对应的点的坐标是()4,2-,故选C ． 4．已知离散型随机变量X 的分布列为X1 2 3 P35 310110则X 的数学期望EX = ( )A . 32B ．2C ．52D ．3【解析】A ；33115312351010102EX =⨯+⨯+⨯==,故选A ． 5．某四棱台的三视图如图所示,则该四棱台的体积是 ( )A . 4B ．143C ．163D ．6【解析】B ；由三视图可知,该四棱台的上下底面边长分别为1和2的正方形,高为2,故()2211412233V =+⨯=,,故选B ．俯视侧视第5题图实用文档6．设,m n 是两条不同的直线,,αβ是两个不同的平面,下列命题中正确的是( )A . 若αβ⊥,m α⊂,n β⊂,则m n ⊥B ．若//αβ,m α⊂,n β⊂,则//m nC ．若m n ⊥,m α⊂,n β⊂,则αβ⊥D ．若m α⊥,//m n ,//n β,则αβ⊥【解析】D ；ABC 是典型错误命题,选D ．7．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为()3,0F ,离心率等于32,在双曲线C 的方程是 ( )A . 2214x -= B ．22145x y -= C ．22125x y -=D．2212x = 【解析】B ；依题意3c =,32e =,所以2a =,从而24a =,2225b c a =-=,故选B ． 8．设整数4n ≥,集合{}1,2,3,,X n =.令集合(){},,|,,,,,S x y z x y z X x y z y z x z x y =∈<<<<<<且三条件恰有一个成立若(),,x y z 和(),,z w x 都在S 中,则下列选项正确的是( )A . (),,y z w S ∈,(),,x y w S ∉B ．(),,y z w S ∈,(),,x y w S ∈C ．(),,y z w S ∉,(),,x y w S ∈D ．(),,y z w S ∉,(),,x y w S ∈实用文档【解析】B ；特殊值法,不妨令2,3,4x y z ===,1w =,则()(),,3,4,1y z w S =∈,()(),,2,3,1x y w S =∈,故选B ．如果利用直接法:因为(),,x y z S ∈，(),,z w x S ∈，所以x y z <<…①，y z x <<…②，z x y <<…③三个式子中恰有一个成立；z w x <<…④，w x z <<…⑤，x z w <<…⑥三个式子中恰有一个成立.配对后只有四种情况：第一种：①⑤成立，此时w x y z <<<，于是(),,y z w S ∈，(),,x y w S ∈；第二种：①⑥成立，此时x y z w <<<，于是(),,y z w S ∈，(),,x y w S ∈；第三种：②④成立，此时y z w x <<<，于是(),,y z w S ∈，(),,x y w S ∈；第四种：③④成立，此时z w x y <<<，于是(),,y z w S ∈，(),,x y w S ∈.综合上述四种情况，可得(),,y z w S ∈，(),,x y w S ∈.二、填空题：本题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，共30分(一)必做题(9～13题)9．不等式220x x +-<的解集为___________．【解析】()2,1-；易得不等式220x x +-<的解集为()2,1-. 10．若曲线ln y kx x =+在点()1,k 处的切线平行于x 轴,则k =______.【解析】1-；求导得1y k x'=+,依题意10k +=,所以1k =-.实用文档11．执行如图所示的程序框图,若输入n 的值为4,则输出s 的值为______. 【解析】7；第一次循环后:1,2s i ==；第二次循环后:2,3s i ==；第三次循环后:4,4s i ==；第四次循环后:7,5s i ==；故输出7. 12. 在等差数列{}n a 中,已知3810a a +=,则573a a +=_____.【解析】20；依题意12910a d +=,所以()57111334641820a a a d a d a d +=+++=+=.或:()57383220a a a a +=+=13. 给定区域D :4440x y x y x +≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩,令点集()()000000{,|,,,T x y D x y Z x y =∈∈是z x y =+在D 上取得最大值或最小值的点},则T 中的点共确定条不同的直线.【解析】6；画出可行域如图所示,其中z x y =+取得最小值时的整点为()0,1,取得最大值时的整点为()0,4,()1,3,()2,2,()3,1及()4,0共5个整点.故可确定516+=条不同的直线.（二）选做题（14、15题,考生只能从中选做一题,两题全答的,只计前一题的得分）14.(坐标系与参数方程选讲选做题)已知曲线C 的参数方程为x ty t⎧=⎪⎨=⎪⎩(t 为参实用文档.AED CBO第15题数),C 在点()1,1处的切线为l ,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则l 的极坐标方程为_____________.【解析】sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭；曲线C 的普通方程为222x y +=,其在点()1,1处的切线l 的方程为2x y +=,对应的极坐标方程为cos sin 2ρθρθ+=,即sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.15. (几何证明选讲选做题)如图,AB 是圆O 的直径,点C 在圆O 上,延长BC 到D 使BC CD =,过C 作圆O 的切线交AD 于E .若6AB =,2ED =,则BC =_________.【解析】ABC CDE ∆∆,所以AB BCCD DE=,又 BC CD =,所以212BC AB DE =⋅=,从而BC =.三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．（本小题满分12分）已知函数()12f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭,x ∈R . (Ⅰ) 求6f π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值； (Ⅱ) 若3cos 5θ=,3,22πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,求23f πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭．实用文档1 7 92 0 1 53 0第17题图【解析】(Ⅰ)1661244f πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭； (Ⅱ) 222cos 2sin 233124f ππππθθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭因为3cos 5θ=,3,22πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以4sin 5θ=-, 所以24sin 22sin cos 25θθθ==-,227cos 2cos sin 25θθθ=-=- 所以23f πθ⎛⎫+⎪⎝⎭cos2sin 2θθ=-72417252525⎛⎫=---=⎪⎝⎭. 17．（本小题满分12分）某车间共有12名工人,随机抽取6名,他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示,其中茎为十位数,叶为个位数.(Ⅰ) 根据茎叶图计算样本均值；(Ⅱ) 日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人.根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人；(Ⅲ) 从该车间12名工人中,任取2人,求恰有1名优秀工人的概率.实用文档C D OBE'AH【解析】(Ⅰ) 样本均值为1719202125301322266+++++==；(Ⅱ) 由(Ⅰ)知样本中优秀工人占的比例为2163=,故推断该车间12名工人中有11243⨯=名优秀工人.(Ⅲ) 设事件A :从该车间12名工人中,任取2人,恰有1名优秀工人,则()P A =1148212C C C 1633=.18．（本小题满分14分）如图1,在等腰直角三角形ABC 中,90A ∠=︒,6BC =,,D E 分别是,AC AB 上的点,CD BE ==O 为BC 的中点.将ADE ∆沿DE 折起,得到如图2所示的四棱锥A BCDE '-,其中A O '=.(Ⅰ) 证明:A O '⊥平面BCDE ； .COB DEACDOBE'A图1图2实用文档(Ⅱ)求二面角A CD B '--的平面角的余弦值.【解析】(Ⅰ) 在图1中,易得3,OCAC AD ===连结,OD OE ,在OCD ∆中,由余弦定理可得OD ==由翻折不变性可知A D '=,所以222A O OD A D ''+=,所以A O OD '⊥, 理可证A O OE '⊥, 又ODOE O =,所以A O '⊥平面BCDE .(Ⅱ) 传统法:过O 作OH CD ⊥交CD 的延长线于H ,连结A H ', 因为A O '⊥平面BCDE ,所以A H CD '⊥, 所以A HO '∠为二面角A CDB '--的平面角.结合图1可知,H 为AC 中点,故2OH =,从而A H '==所以cos OHA HO A H '∠==',所以二面角A CD B '--向量法:以O 点为原点,建立空间直角坐标系O xyz -则(A',()0,3,0C -,()1,2,0D -所以(CA '=,(1,DA '=-实用文档设(),,n x y z =为平面A CD '的法向量,则00n CA n DA ⎧'⋅=⎪⎨'⋅=⎪⎩,即3020y x y ⎧=⎪⎨-++=⎪⎩,解得y x z =-⎧⎪⎨=⎪⎩,令1x =,得(1,1,n =- 由(Ⅰ) 知,(OA '=为平面CDB 的一个法向量,所以cos ,53n OA n OA n OA '⋅'===',即二面角A CD B '--的平面角的余弦. 19．（本小题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知11a =,2121233n n S a n n n +=---,*n ∈N . (Ⅰ) 求2a 的值；(Ⅱ) 求数列{}n a 的通项公式；(Ⅲ) 证明:对一切正整数n ,有1211174n a a a +++<. 【解析】(Ⅰ) 依题意,12122133S a =---,又111S a ==,所以24a =； (Ⅱ) 当2n ≥时,32112233n n S na n n n +=---,实用文档()()()()321122111133n n S n a n n n -=------- 两式相减得()()()2112213312133n n n a na n a n n n +=----+---整理得()()111n n n a na n n ++=-+,即111n n a a n n +-=+,又21121a a-= 故数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为111a =,公差为1的等差数列,所以()111na n n n=+-⨯=,所以2n a n =. (Ⅲ) 当1n =时,11714a =<；当2n =时,12111571444a a +=+=<； 当3n ≥时,()21111111n a n n n n n=<=---,此时 222121111111111111111434423341n a a a n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=+++++<++-+-++- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭11171714244n n =++-=-< 综上,对一切正整数n ,有1211174n a a a +++<. 20．（本小题满分14分）已知抛物线C 的顶点为原点,其焦点()()0,0F c c >到直线l :20x y --=的距离为2.设P 为直线l 上的点,过点P 作抛物线C 的两条切线,PA PB ,其中,A B 为切点.实用文档(Ⅰ) 求抛物线C 的方程；(Ⅱ) 当点()00,P x y 为直线l 上的定点时,求直线AB 的方程；(Ⅲ) 当点P 在直线l 上移动时,求AF BF ⋅的最小值.【解析】(Ⅰ) 依题意,设抛物线C 的方程为24x cy =,2=结合0c >, 解得1c =.所以抛物线C 的方程为24x y =.(Ⅱ) 抛物线C 的方程为24x y =,即214y x =,求导得12y x '= 设()11,A x y ,()22,B x y (其中221212,44x x y y ==),则切线,PA PB 的斜率分别为112x ,212x , 所以切线PA 的方程为()1112x y y x x -=-,即211122x x y x y =-+,即11220x x y y --= 同理可得切线PB 的方程为22220x x y y --=因为切线,PA PB 均过点()00,P x y ,所以1001220x x y y --=,2002220x x y y --= 所以()()1122,,,x y x y 为方程00220x x y y --=的两组解.所以直线AB 的方程为00220x x y y --=.实用文档(Ⅲ) 由抛物线定义可知11AF y =+,21BF y =+, 所以()()()121212111AF BF y y y y y y ⋅=++=+++联立方程0022204x x y y x y--=⎧⎨=⎩,消去x 整理得()22200020y y x y y +-+=由一元二次方程根与系数的关系可得212002y y x y +=-,2120y y y = 所以()221212000121AF BF y y y y y x y ⋅=+++=+-+ 又点()00,P x y 在直线l 上,所以002x y =+,所以22220000001921225222y x y y y y ⎛⎫+-+=++=++ ⎪⎝⎭所以当012y =-时, AF BF ⋅取得最小值,且最小值为92. 21．（本小题满分14分）设函数()()21x f x x e kx =--(其中k ∈R ). (Ⅰ) 当1k =时,求函数()f x 的单调区间；(Ⅱ) 当1,12k ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时,求函数()f x 在[]0,k 上的最大值M .【解析】(Ⅰ) 当1k =时,实用文档()()21x f x x e x =--,()()()1222x x x x f x e x e x xe x x e '=+--=-=-令()0f x '=,得10x =,2ln 2x = 当x 变化时,()(),f x f x '的变化如下表:右表可知, (Ⅱ)()()()1222x x x x f x e x e kx xe kx x e k '=+--=-=-,令()0f x '=,得10x =,()2ln 2x k =,令()()ln 2g k k k =-,则()1110k g k k k -'=-=>,所以()g k 在1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦上递增, 所以()ln 21ln 2ln 0g k e ≤-=-<,从而()ln 2k k <,所以()[]ln 20,k k ∈ 所以当()()0,ln 2x k ∈时,()0f x '<；当()()ln 2,x k ∈+∞时,()0f x '>；所以()(){}(){}3max 0,max 1,1k M f f k k e k ==--- 令()()311k h k k e k =--+,则()()3k h k k e k '=-,令()3k k e k ϕ=-,则()330k k e e ϕ'=-<-<实用文档所以()k ϕ在1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦上递减,而()()1313022e ϕϕ⎛⎫⎫⋅=-< ⎪⎪⎝⎭⎭ 所以存在01,12x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦使得()00x ϕ=,且当01,2k x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()0k ϕ>,当()0,1k x ∈时,()0k ϕ<,所以()k ϕ在01,2x ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增,在()0,1x 上单调递减.因为17028h ⎛⎫=> ⎪⎝⎭,()10h =, 所以()0h k ≥在1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦上恒成立,当且仅当1k =时取得“=”.综上,函数()f x 在[]0,k 上的最大值()31k M k e k =--.。
2013广东高考卷(理科数学)试题及详解
专业课原理概述部分一、选择题（每题1分，共5分）1. 设集合A={x|x²3x+2=0}，则A中元素的个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 32. 若函数f(x)=2x3在区间（a，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是（）A. a≥1B. a≤1C. a≥1D. a≤13. 执行右边的程序框图，若输入的x值为2，则输出y的值为（）A. 6B. 8C. 10D. 124. 若向量a=(3，4)，b=(1，2)，则2a+3b的模长是（）A. 7B. 9C. 11D. 135. 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若sin2A+sin2B+sin2C=3，则△ABC是（）A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等边三角形D. 不等边三角形二、判断题（每题1分，共5分）1. 若a>b，则ac²>bc²。
（）2. 两个平行线之间的距离处处相等。
（）3. 若函数f(x)在区间（a，b）上单调递增，则f'(x)>0。
（）4. 三角形的面积等于底乘以高的一半。
（）5. 任何两个实数的和都是实数。
（）三、填空题（每题1分，共5分）1. 已知函数f(x)=x²2x+1，则f(1)=______。
2. 若向量a=(2，3)，则向量a的模长|a|=______。
3. 在平面直角坐标系中，点P(2，3)关于x轴的对称点坐标为______。
4. 若等差数列{an}的公差为2，首项为1，则第10项a10=______。
5. 若sinθ=1/2，且θ为锐角，则cosθ=______。
四、简答题（每题2分，共10分）1. 简述函数的单调性定义。
2. 解释什么是平面向量的坐标表示。
3. 请写出三角形面积公式。
4. 请列举三种不同的数列。
5. 简述反函数的定义及其性质。
五、应用题（每题2分，共10分）1. 已知函数f(x)=3x²4x+1，求f(x)在区间（1，2）上的最大值。
2013年高考理科数学广东卷-答案
M N=-{2,0,2}z①，x②，y③三个式子中恰有一个成立；x④，z⑤，w⑥+=条不同的直线．故可确定51612AB DE=，【提示】观察图形，根据已知条件，利用圆的性质，通过相似三角形求距离．cos45OC CD︒=，所以OD OE O⊥交CDCD-的平面角．CD B中点，故OH5A H'5所以(0,3,CA '=，(1,2,DA '=-设(,,)n x y z =00n CA n DA ⎧'=⎪⎨'=⎪⎩，即⎩，得(1,1,n =-由（Ⅰ）知，(0,0,OA '=315,5||||35n OA n OA n OA ''==='22211111111111111434423341n a n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=+++++<++-+-++- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭14244n n =++-=-< 174n a ++<项的关系式和首项，求第二项；根据题设条件，利用递推公式求通项公1(AF BF y =联立方程24x y⎨=⎪⎩12|||AF BF y y =02y =+，|||AF BF 取得最小值，且最小值为根据两直线的交点，联立两直线求直线方程；由直线与抛物线的位置关系得到关系式，求最小值．ln 21ln ≤-=k <，所以(0,ln(2))k 时，),)k +∞时，max{(0),f f 3e 30-<(1)e ϕ⎫⎛=⎪ ⎭⎝所以存在01,12x ⎛∈ ⎝【考点】利用导数求函数的单调区间，利用函数单调性求最值。
2013年高考理科数学广东卷word解析版
2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(广东卷)本试卷共4页，21小题，满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上。
将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。
漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
5．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
参考公式：台体的体积公式V ＝13(S 1＋S 2)h ，其中S 1，S 2分别表示台体的上、下底面积，h 表示台体的高．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2013广东，理1)设集合M ＝{x |x 2＋2x ＝0，x ∈R }，N ＝{x |x 2－2x ＝0，x ∈R }，则M ∪N ＝( )．A ．{0}B ．{0,2}C ．{－2,0}D ．{－2,0,2} 答案：D解析：∵M ＝{－2,0}，N ＝{0,2}，∴M ∪N ＝{－2,0,2}．2．(2013广东，理2)定义域为R 的四个函数y ＝x 3，y ＝2x ，y ＝x 2＋1，y ＝2sin x 中，奇函数的个数是( )．A ．4B ．3C ．2D ．1 答案：C解析：y ＝x 3，y ＝2sin x 为奇函数；y ＝x 2＋1为偶函数；y ＝2x 为非奇非偶函数．所以共有2个奇函数，故选C ．3．(2013广东，理3)若复数z 满足i z ＝2＋4i ，则在复平面内，z 对应的点的坐标是( )．A ．(2,4)B ．(2，－4)C ．(4，－2)D ．(4,2) 答案：C解析：由i z ＝2＋4i ，得z ＝24i (24i)(i)i i (i)++⋅-=⋅-＝4－2i ， 故z 对应点的坐标为(4，－2)．4．(2013广东，理4)则X 的数学期望E (X )＝( )． A ．32 B ．2 C ．52D ．3 答案：A 解析：E (X )＝1×35＋2×310＋3×110＝1510＝32. 5．(2013广东，理5)某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是( )．A ．4B ．143C ．163D ．6 答案：B解析：方法一：由三视图可知，原四棱台的直观图如图所示，其中上、下底面分别是边长为1,2的正方形，且DD 1⊥面ABCD ，上底面面积S 1＝12＝1，下底面面积S 2＝22＝4.又∵DD 1＝2，∴V 台＝13(S 1＋S 2)h＝13(14)×2＝143. 方法二：由四棱台的三视图，可知原四棱台的直观图如图所示．在四棱台ABCD －A 1B 1C 1D 1中，四边形ABCD 与四边形A 1B 1C 1D 1都为正方形， AB ＝2，A 1B 1＝1，且D 1D ⊥平面ABCD ，D 1D ＝2. 分别延长四棱台各个侧棱交于点O ， 设OD 1＝x ，因为△OD 1C 1∽△ODC ， 所以111OD D C OD DC =，即122x x =+，解得x ＝2.1111ABCD A B C D V -＝V 棱锥O －ABCD －1111O A B C D V -棱锥＝13×2×2×4－13×1×1×2＝143. 6．(2013广东，理6)设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中正确的是( )． A ．若α⊥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ⊥n B ．若α∥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ∥n C ．若m ⊥n ，m ⊂α，n ⊂β，则α⊥β D ．若m ⊥α，m ∥n ，n ∥β，则α⊥β 答案：D解析：选项A 中，m 与n 还可能平行或异面，故不正确； 选项B 中，m 与n 还可能异面，故不正确； 选项C 中，α与β还可能平行或相交，故不正确； 选项D 中，∵m ⊥α，m ∥n ，∴n ⊥α. 又n ∥β，∴α⊥β.故选D ．7．(2013广东，理7)已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为F (3,0)，离心率等于32，则C 的方程是( )． A ．2214x -= B ．22145x y -= C ．22125x y -= D ．2212x -= 答案：B解析：由曲线C 的右焦点为F (3,0)，知c ＝3.由离心率32e =，知32c a =，则a ＝2，故b 2＝c 2－a 2＝9－4＝5， 所以双曲线C 的方程为22145x y -=. 8．(2013广东，理8)设整数n ≥4，集合X ＝{1,2,3，…，n }，令集合S ＝{(x ，y ，z )|x ，y ，z ∈X ，且三条件x ＜y ＜z ，y ＜z ＜x ，z ＜x ＜y 恰有一个成立}．若(x ，y ，z )和(z ，w ，x )都在S 中，则下列选项正确的是( )．A ．(y ，z ，w )∈S ，(x ，y ，w )∉SB ．(y ，z ，w )∈S ，(x ，y ，w )∈SC ．(y ，z ，w )∉S ，(x ，y ，w )∈SD ．(y ，z ，w )∉S ，(x ，y ，w )∉S 答案：B解析：由(x ，y ，z )∈S ，不妨取x ＜y ＜z ， 要使(z ，w ，x )∈S ，则w ＜x ＜z 或x ＜z ＜w . 当w ＜x ＜z 时，w ＜x ＜y ＜z ， 故(y ，z ，w )∈S ，(x ，y ，w )∈S .当x ＜z ＜w 时，x ＜y ＜z ＜w ，故(y ，z ，w )∈S ，(x ，y ，w )∈S . 综上可知，(y ，z ，w )∈S ，(x ，y ，w )∈S .二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．(一)必做题(9～13题)9．(2013广东，理9)不等式x2＋x－2＜0的解集为__________．答案：{x|－2＜x＜1}解析：x2＋x－2＜0即(x＋2)(x－1)＜0，解得－2＜x＜1，故原不等式的解集为{x|－2＜x＜1}．10．(2013广东，理10)若曲线y＝kx＋ln x在点(1，k)处的切线平行于x轴，则k＝__________.答案：－1解析：y′＝k＋1 x .因为曲线在点(1，k)处的切线平行于x轴，所以切线斜率为零，由导数的几何意义得y′|x＝1＝0，故k＋1＝0，即k＝－1.11．(2013广东，理11)执行如图所示的程序框图，若输入n的值为4，则输出s的值为__________．答案：7解析：i＝1，s＝1，i≤4，s＝1＋0＝1；i＝2，s＝1，i≤4，s＝1＋1＝2；i＝3，s＝2，i≤4，s＝2＋2＝4；i＝4，s＝4，i≤4，s＝4＋3＝7；i＝5，此时i＞4，故s＝7.12．(2013广东，理12)在等差数列{a n}中，已知a3＋a8＝10，则3a5＋a7＝__________.答案：20解析：因为数列{a n}的等差数列，所以由等差数列的性质得a3＋a8＝a5＋a6＝a4＋a7＝10.所以3a5＋a7＝a5＋2a5＋a7＝a5＋a4＋a6＋a7＝2×10＝20.13．(2013广东，理13)给定区域D：44,4,0.x yx yx+≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩令点集T＝{(x0，y0)∈D|x0，y0∈Z，(x0，y0)是z＝x＋y在D上取得最大值或最小值的点}，则T中的点共确定__________条不同的直线．答案：6解析：由区域D：44,4,0,x yx yx+≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩画出可行域如图所示．满足条件的(x 0，y 0)有(0,1)，(0,4)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(4,0)， 故T 中的点共确定6条不同的直线．(二)选择题(14～15题，考生只能从中选做一题)14．(2013广东，理14)(坐标系与参数方程选做题)已知曲线C的参数方程为,,x t y t ⎧=⎪⎨=⎪⎩(t 为参数)，C在点(1,1)处的切线为l ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则l 的极坐标方程为__________．答案：πsin 4ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭解析：∵曲线C的参数方程为,x t y t⎧=⎪⎨=⎪⎩(t 为参数)，∴其普通方程为x 2＋y 2＝2.又点(1,1)在曲线C 上，∴切线l 的斜率k ＝－1.故l 的方程为x ＋y －2＝0，化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝2，即πsin 4ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭15．(2013广东，理15)(几何证明选讲选做题)如图，AB 是圆O 的直径，点C 在圆O 上．延长BC 到D 使BC ＝CD ，过C 作圆O 的切线交AD 于E .若AB ＝6，ED ＝2，则BC ＝__________.答案：解析：连接OC ．∵AB 为圆O 的直径，∴AC ⊥BC ．又BC ＝CD ，∴AB ＝AD ＝6，∠BAC ＝∠CAD ． 又CE 为圆O 的切线，则OC ⊥CE .∵∠ACE 为弦切角，∴∠ACE ＝∠B ． ∴∠ACE ＋∠CAD ＝90°.∴CE ⊥AD ． 又AC ⊥CD ，∴CD 2＝ED ·AD ＝2×6＝12，即CD＝∴BC＝三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．(2013广东，理16)(本小题满分12分)已知函数π()12f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，x ∈R .(1)求π6f ⎛⎫-⎪⎝⎭的值； (2)若cos θ＝35，θ∈3π,2π2⎛⎫⎪⎝⎭，求π23f θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 解：(1)πππ6612f ⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππ144⎛⎫-== ⎪⎝⎭.(2)πππ223312f θθ⎛⎫⎛⎫+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭π24θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝cos 2θ－sin 2θ.因为cos θ＝35，θ∈3π,2π2⎛⎫⎪⎝⎭，所以sin θ＝45-. 所以sin 2θ＝2sin θcos θ＝2425-，cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝725-.所以π23f θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝cos 2θ－sin 2θ＝72417252525⎛⎫---= ⎪⎝⎭. 17．(2013广东，理17)(本小题满分12分)某车间共有12名工人，随机抽取6名，他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数．(1)根据茎叶图计算样本均值；(2)日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人．根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人？(3)从该车间12名工人中，任取2人，求恰有1名优秀工人的概率．解：(1)样本均值为171920212530132=2266+++++=.(2)由(1)知样本中优秀工人占的比例为2163=，故推断该车间12名工人中有12×13＝4名优秀工人．(3)设事件A ：从该车间12名工人中，任取2人，恰有1名优秀工人，则P (A )＝1148212C C 16C 33=.18．(2013广东，理18)(本小题满分14分)如图(1)，在等腰直角三角形ABC 中，∠A ＝90°，BC ＝6，D ，E分别是AC ，AB 上的点，CD ＝BE ，O 为BC 的中点．将△ADE 沿DE 折起，得到如图(2)所示的四棱锥A ′BCDE ，其中A ′O .图(1)图(2)(1)证明：A ′O ⊥平面BCDE ；(2)求二面角A ′CDB 的平面角的余弦值．解：(1)由题意，得OC ＝3，AC ＝AD ＝如图，连结OD ，OE ，在△OCD 中， 由余弦定理可得OD =.由翻折不变性可知A ′D ＝， 所以A ′O 2＋OD 2＝A ′D 2，所以A ′O ⊥OD ． 同理可证A ′O ⊥OE ，又OD ∩OE ＝O ， 所以A ′O ⊥平面BCDE .(2)传统法：过O 作OH ⊥CD 交CD 的延长线于H ，连结A ′H ， 因为A ′O ⊥平面BCDE ，所以A ′H ⊥CD ． 所以∠A ′HO 为二面角A ′CDB 的平面角．结合题图(1)可知，H 为AC 中点，故OH ＝2，从而A ′H 2=，所以cos ∠A ′HO ＝5OH A H ='所以二面角A ′－CD －B 的平面角的余弦值为5. 向量法：以O 点为原点，建立空间直角坐标系O －xyz 如图所示．则A ′(0,0，3)，C (0，－3,0)，D (1，－2,0)， 所以CA '＝(0,3)，DA '＝(－1,2)． 设n ＝(x ，y ，z )为平面A ′CD 的法向量，则0,0,CA DA ⎧⋅'=⎪⎨⋅'=⎪⎩n n 即30,20,y xy ⎧+=⎪⎨-++=⎪⎩解得,.y x z =-⎧⎪⎨=⎪⎩令x ＝1，得n ＝(1，－1)．由(1)知，OA '＝(0,0为平面CDB 的一个法向量， 所以cos 〈n ，OA '〉＝55OA OA ⋅'=='n n ，即二面角A ′－CD －B 的平面角的余弦值为5. 19．(2013广东，理19)(本小题满分14分)设数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1＝1，2121233n n S a n n n +=---，n ∈N *.(1)求a 2的值；(2)求数列{a n }的通项公式；(3)证明：对一切正整数n ，有1211174n a a a +++<. 解：(1)依题意，2S 1＝a 2－13－1－23，又S 1＝a 1＝1，所以a 2＝4.(2)当n ≥2时，2S n ＝na n ＋1－13n 3－n 2－23n ， 2S n －1＝(n －1)a n －13(n －1)3－(n －1)2－23(n －1)，两式相减得2a n ＝na n ＋1－(n －1)a n －13(3n 2－3n ＋1)－(2n －1)－23，整理得(n ＋1)a n ＝na n ＋1－n (n ＋1)，即111n n a a n n +-=+.又21121a a-=， 故数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为111a =，公差为1的等差数列，所以na n＝1＋(n －1)×1＝n .所以a n ＝n 2. (3)当n ＝1时，1171<4a =；当n ＝2时，12111571444a a +=+=<； 当n ≥3时，21111111n a n n n n n =<=-(-)-， 此时12111na a a +++ ＝222111111111111+<1434423341n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++-+-++- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭＝1117171+4244n n +-=-<.综上，对一切正整数n，有1211174n a a a +++<. 20．(2013广东，理20)(本小题满分14分)已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点F (0，c )(c ＞0)到直线l ：x －y －2＝0.设P 为直线l 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线P A ，PB ，其中A ，B 为切点．(1)求抛物线C 的方程；(2)当点P (x 0，y 0)为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程； (3)当点P 在直线l 上移动时，求|AF |·|BF |的最小值．解：(1)依题意，设抛物线C 的方程为x 2＝4cy ， 2=，结合c ＞0，解得c ＝1. 所以抛物线C 的方程为x 2＝4y .(2)抛物线C 的方程为x 2＝4y ，即y ＝14x 2，求导得y ′＝12x ， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)221212,44x x y y ⎛⎫== ⎪⎝⎭其中，则切线P A ，PB 的斜率分别为12x 1，12x 2，所以切线P A 的方程为y －y 1＝12x(x －x 1)，即y ＝12x x －212x ＋y 1，即x 1x －2y －2y 1＝0，同理可得切线PB 的方程为x 2x －2y －2y 2＝0， 因为切线P A ，PB 均过点P (x 0，y 0)， 所以x 1x 0－2y 0－2y 1＝0，x 2x 0－2y 0－2y 2＝0.所以(x 1，y 1)，(x 2，y 2)为方程x 0x －2y 0－2y ＝0的两组解． 所以直线AB 的方程为x 0x －2y －2y 0＝0. (3)由抛物线定义可知|AF |＝y 1＋1，|BF |＝y 2＋1，所以|AF |·|BF |＝(y 1＋1)(y 2＋1)＝y 1y 2＋(y 1＋y 2)＋1.联立方程002220,4,x x y y x y --=⎧⎨=⎩消去x 整理得y 2＋(2y 0－x 02)y ＋y 02＝0.由一元二次方程根与系数的关系可得y 1＋y 2＝x 02－2y 0，y 1y 2＝y 02， 所以|AF |·|BF |＝y 1y 2＋(y 1＋y 2)＋1＝y 02＋x 02－2y 0＋1. 又点P (x 0，y 0)在直线l 上，所以x 0＝y 0＋2. 所以y 02＋x 02－2y 0＋1＝2y 02＋2y 0＋5＝2019222y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭.所以当y 0＝12-时，|AF |·|BF |取得最小值，且最小值为92.21．(2013广东，理21)(本小题满分14分)设函数f (x )＝(x －1)e x －kx 2(k ∈R )．(1)当k ＝1时，求函数f (x )的单调区间；(2)当k ∈1,12⎛⎤⎥⎝⎦时，求函数f (x )在[0，k ]上的最大值M . 解：(1)当k ＝1时，f (x )＝(x －1)e x －x 2，f ′(x )＝e x ＋(x －1)e x －2x ＝x e x －2x ＝x (e x －2)， 令f ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝ln 2，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化如下表：由表可知，函数f (x )的递减区间为(0，ln 2)，递增区间为(－∞，0)，(ln 2，＋∞)． (2)f ′(x )＝e x ＋(x －1)e x －2kx ＝x e x －2kx ＝x (e x －2k )， 令f ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝ln(2k )，令g (k )＝ln(2k )－k ，k ∈1,12⎛⎤⎥⎝⎦， 则g ′(k )＝1k －1＝1kk -≥0，所以g (k )在1,12⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增．所以g (k )≤ln 2－1＝ln 2－ln e ＜0. 从而ln(2k )＜k ，所以ln(2k )∈(0，k )． 所以当x ∈(0，ln(2k ))时，f ′(x )＜0； 当x ∈(ln(2k )，＋∞)时，f ′(x )＞0； 所以M ＝max{f (0)，f (k )} ＝max{－1，(k －1)e k －k 3}． 令h (k )＝(k －1)e k －k 3＋1， 则h ′(k )＝k (e k －3k )，令φ(k )＝e k －3k ，则φ′(k )＝e k －3≤e －3＜0.2013年高考理科数学广东卷word 解析版11 / 11 所以φ(k )在1,12⎛⎤⎥⎝⎦上单调递减， 而12ϕ⎛⎫ ⎪⎝⎭·φ(1)＝32⎫-⎪⎭(e －3)＜0， 所以存在x 0∈1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦使得φ(x 0)＝0，且当k ∈01,2x ⎛⎫ ⎪⎝⎭时，φ(k )＞0， 当k ∈(x 0,1)时，φ(k )＜0，所以φ(k )在01,2x ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，在(x 0,1)上单调递减．因为17>028h ⎛⎫= ⎪⎝⎭，h (1)＝0， 所以h (k )≥0在1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦上恒成立，当且仅当k ＝1时取得“＝”． 综上，函数f (x )在[0，k ]上的最大值M ＝(k －1)e k －k 3.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
江门市2013年普通高中高三调研测试数 学（理科）试 题本试卷共4页，21题，满分150分，测试用时120分钟．2013-1-17 参考公式：锥体的体积公式Sh V 31=，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高． 如果事件A 、B 互斥，那么)()()(B P A P B A P +=+．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．⒈已知{}054| 2=--=x x x A ，{}1| 2==x x B ，则=B AA ．{} 1B ．{} 1 -C ．{} 5 , 1 , 1 -D ．{} 5 , 1 , 1 -- ⒉已知)4 , 3(-=a ，)2 , 5(=b ，则=+||b aA ．102B ．52C ．7-D ．40 ⒊已知命题p ：2=m ；命题q ：复平面内表示复数i m z )1(1+-+=（R m ∈，i 是虚数单位）的点位于直线x y =上。
则命题p 是命题q 的A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．非充分非必要条件D ．充要条件 ⒋函数)232sin()(π+-=x x f 在其定义域上是 A ．周期为π的奇函数 B ．周期为π2的奇函数C ．周期为π的偶函数D ．周期为π2的偶函数⒌某种饮料每箱装6听，如果其中有2听不合格。
质检人员从中随机抽出2听，检出不合格产品的概率=pA ．21B ．31C ．32D ．6.0 ⒍以抛物线082=+x y 的顶点为中心、焦点为一个顶点且离心率2=e 的双曲线的标准方程是A ．112422=-y x B ．1481622=-y x C ．112422=-x y D ．1481622=-y x保密★启用前 试卷类型：A⒎已知一个几何体的三视图及其大小如图1，这个几何体的体积=V A ．π12 B ．π16 C ．π18D ．π64⒏输入正整数n （2≥n ）和数据1a ，2a ，…，n a ，如果执行如图2的程序框图，输出的s 是数据1a ，2a ，…，n a 的平均数，则框图的处 理框★中应填写的是A ．i a s s +=B ．na s s i+= C ．i a s i s i +⨯-=)1( D ．na s i s i+⨯-=)1(二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．(一)必做题（9～13题）⒐已知等差数列{}n a 的首项11=a ，前三项之和93=S ，则{}n a 的通项____=n a ．⒑已知x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤≤≤≤824030y x y x ，则y x z +=的最大值是 ．⒒已知n 是正整数，若432nn n C C C <+，则n 的取值范围是 ． ⒓与圆C ：04222=+-+y x y x 关于直线l ：0=+y x 对称的圆的方程是 ．⒔曲线)2ln(x y =上任意一点P 到直线x y 2=的距离的最小值是 ．图 3图4(二)选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）⒕（几何证明选讲选做题）如图3，圆O 的割线PAB 交圆O 于A 、B 两点，割线PCD 经过圆心。
已知6=PA ，317=AB ，12=PO 。
则圆O 的半径____=R ．⒖（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系) , (θρ（πθ20<≤）中，直线4πθ=被圆θρsin 2=截得的弦的长是 ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．⒗（本小题满分12分）在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，已知02cos cos =+A A ． ⑴求角A 的大小；⑵若3=a ，2=b ，求)4sin(π+B 的值．⒘（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，)0 , 4(1-F ，)0 , 4(2F ，P 是平面上一点，使三角形21F PF 的周长为18．⑴求点P 的轨迹方程；⑵在P 点的轨迹上是否存在点1P 、2P ，使得顺次连接点1F 、1P 、2F 、2P 所得到的四边形2211P F P F 是矩形？若存在，请求出点1P 、2P 的坐标；若不存在，请简要说明理由．⒙（本小题满分14分）如图4，四棱锥ABCD P -中，⊥PA 底面ABCD ，ABCD 是直角梯形，E 为BC 的中点，090=∠=∠ADC BAD ，3=AB ，1=CD ，2==AD PA ．⑴求证：⊥DE 平面PAC ；⑵求PA 与平面PDE 所成角的正弦值．（A ） （B ）图5⒚（本小题满分14分）如图5所示，有两个独立的转盘（A ）、（B ），其中三个扇形区域的圆心角分别为060、0120、0180。
用这两个转盘玩游戏，规则是：依次随机转动两个转盘再随机停下（指针固定不动，当指针恰好落在分界线时，则这次转动无效，重新开始）为一次游戏，记转盘（A ）指针所对的数为x ，转盘（B ）指针对的数为y 。
设y x +的值为ξ，每次游戏得到的奖励分为ξ分．⑴求2<x 且1>y 的概率；⑵某人玩12次游戏，求他平均可以得到多少奖励分？⒛（本小题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，11=a ，且对任意正整数n ，点) , (1n n S a +在直线022=-+y x 上．⑴求数列{}n a 的通项公式；⑵若2n n na b =，求数列{}n b 的前n 项和．21（本小题满分14分）已知函数c bx ax x x f +++-=23)(在)0 , (-∞上是减函数，在)1 , 0(上是增函数． ⑴求b 的值，并求a 的取值范围；⑵判断)(x f 在其定义域R 上的零点的个数．理科数学评分参考一、选择题： BADC DABC 二、填空题：⒐12-n ； ⒑7； ⒒9≥n 且+∈N n （“9≥n ”或“2739+>n ”4分）； ⒓5)1()2(22=++-y x ； ⒔55； ⒕8； ⒖2． 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．⒗解：⑴由02cos cos =+A A 得01cos cos 22=-+A A ……2分，解得1cos -=A 或21cos =A ……4分， 因为A 是三角形的内角，π<<A 0，所以3π=A ……6分⑵由正弦定理BbA a sin sin =得B sin 23sin3=π……8分，解得33sin =B ……9分， 因为a b <，所以30π<<<A B ，36cos =B ……10分，所以63264sin cos 4cos sin )4sin(+=+=+πππB B B ……12分．⒘解：⑴依题意，18||||||2121=++F F PF PF ……1分，8||21=F F ，所以10||||21=+PF PF ，点P 的轨迹是椭圆……2分，102=a ，82=c ……3分，所以5=a ，4=c ，3=b ，椭圆的方程为192522=+y x ……4分，因为21F PF 是三角形，点P 不在直线21F F 上（即不在x 轴上），所以点P 的轨迹方程为192522=+y x （0≠y ）……5分． ⑵根据椭圆的对称性，2211P F P F 是矩形当且仅当直线21P P 经过原点O ，且211F P F ∠是直角……6分，此时4||21||211==F F OP （或12111-=⋅F P F P k k ）……7分， 设) , (1y x P ，则⎪⎩⎪⎨⎧=+=+1619252222y x y x ……9分，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==16811617522y x ，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧±=±=49475y x ……10分，所以有2个这样的矩形2211P F P F ，对应的点1P 、2P 分别为)49 , 475(、)49, 475(--或)49, 475(-、)49 , 475(-……12分． ⒙证明与求解：⑴因为⊥PA ABCD ，⊂DE ABCD ，所以⊥PA DE ……1分，取AD 的中点F ，连接EF ，则EF 是梯形ABCD 的中位线，所以AB EF //且22=+=CD AB EF ……3分，在ADC Rt ∆和DEF Rt ∆中，090=∠=∠ADC EFD ，2==DCADDF EF ，所以EFD ∆∽ADC ∆……5分，DAC FED ∠=∠，所以DE AC ⊥ ……6分，因为A AC PA = ，所以⊥DE 平面PAC ……7分．⑵（方法一）由⑴知平面⊥PDE 平面PAC ……8分，设G AC DE = ，连接PG ，在PAG Rt ∆中作PG AH ⊥，垂足为H ，则⊥AH 平面PDE ……10分，所以APH ∠是PA 与平面PDE 所成的角……11分，由⑴知，在ADG Rt ∆中，2=AD ，21tan ==∠AD CD CAD ，所以54c o s =∠⨯=C A D AD AG ……12分，因为⊥PA ABCD ，所以56=PG ……13分，32sin sin ==∠=∠PG AG APG APH ，即为PA 与平面PDE 所成角的正弦值……14分．（方法二）依题意，以A 为原点，AD 、AB 、AP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系……8分，则直线PA 的方向向量为)1 , 0 , 0(=AP ……9分，依题意，)2 , 0 , 0(P 、)0 , 0 , 2(D 、)0 , 3 , 0(B 、)0 , 1 , 2(C 、)0 , 2 , 1(E ……10分，从而)2 , 0 , 2(-=DP ，)0 , 2 , 1(-=DE ……11分，设平面PDE 的一个法向量为) , , (c b a n =，则⎪⎩⎪⎨⎧=+-=⋅=+-=⋅02 022b a DE n c a n ……12分，所以b c a 2==，可选取平面PDE 的一个法向量为)2 , 1 , 2(=n ……13分，所以PA 与平面PDE 所成角的正弦值为32cos ==……14分． ⒚解： ⑴由几何概型知61)1(==x P ，31)2(==x P ，21)3(==x P ，31)1(==y P ，21)2(==y P ，61)3(==y P ……3分，（对1-2个给1分，3-4个给2分，……） 所以61)1()2(===<x P x P ，32)3()2()1(==+==>y P y P y P ……5分，91)1()2()12(=>⋅<=><y P x P y x P 且……7分． ⑵ξ的取值为2、3、4、5、6……8分，其分布列为……11分他平均每次可得到的奖励分为1216361153613436731812⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=ξE ……12分，625=……13分， 所以，他玩12次平均可以得到的奖励分为5012=⨯ξE ……14分． （第二问，若学生直接求出转盘Ａ的期望和转盘Ｂ的期望再相加，则求转盘Ａ的期望给3分，求转盘B 的期望给3分，相加1分）⒛解：⑴因为点) , (1n n S a +在直线022=-+y x 上，所以0221=-++n n S a ……1分，当1>n 时，0221=-+-n n S a ……2分，两式相减得02211=-+--+n n n n S S a a ，即0221=+-+n n n a a a ，n n a a 211=+……3分 又当1=n 时，022221212=-+=-+a a S a ，122121a a ==……4分 所以{}n a 是首项11=a ，公比21=q 的等比数列……5分， {}n a 的通项公式为1)21(-=n na ……6分． ⑵由⑴知，124-==n n n n na b ……7分，记数列{}n b 的前n 项和为n T ，则12244143421--+-++++=n n n nn T ……8分，2344143244--+-++++=n n n nn T ……9分，两式相减得123441414153----++++=n n n n n T ……11分，14343316-⨯+-n n ……13分，所以，数列{}n b 的前n 项和为14943916-⨯+-=n n n T ……14分． 21.解：⑴由已知得b ax x x f ++-=23)(2/……1分，因为)(x f 在)0 , (-∞上是减函数，在)1 , 0(上是增函数，所以)(x f 在0=x 处取得极小值，0)0(/=f ……2分，解得0=b ……3分，又因为)(x f 在)1 , 0(上是增函数，所以023)(2/>+-=ax x x f ，x a 23>……4分，当)1 , 0(∈x 时，23230<<x ，所以a 的取值范围是23≥a ……5分， ⑵由⑴得)2(3)(/a x x x f --=，解0)(/=x f 得0=x 或)0(2>=a x ……6分，①当0)0(>=c f 时，由上表知32ax ≤∀，0)(>x f ，x 取某个充分大的实数（例如||||31c a x +=）时，0)(1<x f ，)(x f 在定义域上连续，所以)(x f 在区间), 32(1x a上有一个零点，从而)(x f 在其定义域R 上有1个零点……10分；②当0)0(==c f 时，)(x f 在区间) , 32(1x a上有一个零点，从而)(x f 在其定义域R 上有2个零点……11分；③当0)0(<=c f 时，（ⅰ）若3274a c -=，则0274)32(3=+=c a a f ，x 取某个充分小的实数（例如||2a x -=）时，0)(2>x f ，所以)(x f 在区间)0 , (2x 上有一个零点，从而)(x f 在其定义域R 上有2个零点……12分；（ⅱ）若3274a c -<，则0274)32(3<+=c a a f 时，由上表知0≥∀x ，0)(<x f ， )(x f 在区间)0 , (2x 上有一个零点，从而)(x f 在其定义域R 上有1个零点……13分；（ⅲ）若02743<<-c a ，则0274)32(3>+=c a a f 时，)(x f 在区间)0 , (2x 、)32, 0(a 、) , 32(1x a上各有一个零点，从而)(x f 在其定义域R 上有3个零点……14分； 综上所述，当0>c 或3274a c -<时，)(x f 在其定义域R 上有1个零点；当0=c 或3274a c -=时，)(x f 在其定义域R 上有2个零点；当02743<<-c a 时，)(x f 在其定义域R 上有3个零点． （说明：讨论不分顺序，合理有效即相应给分）。