立体几何第一章专题
高中数学 第一章 立体几何初步 章末复习
立体几何初步知识网络构建高频考点例析考点一空间几何体的直观图和三视图例1一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．[解析]由三视图可知该组合体的上方是一个高为1，底面直径为2的圆柱，下方是一个长宽高分别为4,3,1的长方体，它的体积V＝1×π×12＋4×3×1＝12＋π.[答案]12＋π类题通法由三视图求几何体的表面积与体积的综合题，是新课标高考题的一个热点，解这类题往往由三视图想象原貌，考察其结构特征及其组合状况，再根据三视图中所标基本量，利用面积、体积公式计算结果.[变式训练1] 一个棱锥的三视图如图，求该棱锥的表面积(单位：cm 2)．解 如图所示三棱锥的直观图．AO ⊥底面BCD ，O 点为BD 的中点， BC ＝CD ＝6，BC ⊥CD ，AO ＝4，AB ＝AD . S △BCD ＝6×6×12＝18， S △ABD ＝12×62×4＝12 2. 取BC 中点为E .连接AE 、OE . 可得AO ⊥OE ， AE ＝AO 2＋OE 2＝42＋32＝5，∴S △ABC ＝S △ACD ＝12×6×5＝15，∴S 表＝18＋122＋15＋15＝48＋12 2 (cm 2)． 考点二 平行问题例2如下图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，AB＝2EF，EF∥AB，H为BC的中点，求证：FH∥平面EDB.[证明] 连接AC交BD于点G，则G为AC的中点．连接EG，GH，∵H为BC的中点，∴GH綊12AB.又EF綊12AB，∴EF綊GH，∴四边形EFHG为平行四边形，∴EG∥FH，∵EG平面EDB，FH⊆/平面EDB，∴FH∥平面EDB.类题通法在解决线面、面面平行问题时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”，而利用性质定理时，其顺序相反，且“高维”的性质定理就是“低维”的判定定理.特别注意，转化的方法总是由具体题目的条件决定，不能过于呆板僵化，遵循规律而不受制于规律.[变式训练2]如图所示，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面是正方形，E，F，G分别是棱B1B、D1D、DA的中点．求证：平面AD1E∥平面BGF.证明∵E，F分别是B1B和D1D的中点，∴D1F綊BE，∴BED1F是平行四边形，∴D1E∥BF，又∵D1E⊆/平面BGF，BF平面BGF，∴D1E∥平面BGF.∵FG是△DAD1的中位线，∴FG∥AD1.又AD1⊆/平面BGF，FG平面BGF，∴AD1∥平面BGF.又∵AD1∩D1E＝D1，∴平面AD1E∥平面BGF.考点三垂直问题例3如图，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD是正方形，SA⊥平面ABCD，且SA＝AB，点E是AB的中点，点F是SC的中点．求证：(1)EF⊥CD；(2)平面SCD⊥平面SCE.[证明] (1)如图，连接AF，BF，AC，由已知SA⊥平面ABCD，且AC平面ABCD，得到SA⊥AC.在Rt△SAC中，点F是SC的中点，则AF＝12SC.由于底面ABCD是正方形，则AB⊥BC.又SA⊥平面ABCD，所以SA⊥BC.所以BC⊥平面SAB.所以SB⊥BC.在Rt△SBC中，点F是SC的中点，则BF＝12SC，故AF＝BF.由点E是AB的中点，得到EF⊥AB，而AB∥CD，所以EF⊥CD.(2)由已知SA⊥平面ABCD，且AB平面ABCD，得到SA⊥AB.由于底面ABCD是正方形，则AB⊥BC.又SA＝AB，所以Rt△SAE≌Rt△CBE.所以SE＝CE.而点F是SC的中点，则EF⊥SC.结合(1)EF⊥CD，且SC∩CD＝C，所以EF⊥平面SCD.因为EF平面SCE，故平面SCD⊥平面SCE.类题通法要证两平面垂直，最常用的办法是用判定定理.证一个平面内的一条直线垂直于另一平面，而线垂直面的证明关键在于找到面内有两条相交直线垂直已知直线.要善于运用题目给出的信息，通过计算挖掘题目的垂直与平行关系，这是一种非常重要的思想方法，它可以使复杂问题简单化.[变式训练3]如图，在四棱锥P－ABCD中，侧面P AD是正三角形，且与底面ABCD垂直，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，N是PB中点，过A，D，N三点的平面交PC于M，E为AD的中点．求证：(1)EN∥平面PDC；(2)BC⊥平面PEB；(3)平面PBC⊥平面ADMN.证明(1)∵AD∥BC，BC平面PBC，AD⊆/平面PBC，∴AD∥平面PBC.又平面ADMN∩平面PBC＝MN，∴AD∥MN.∴MN∥BC.又N为PB中点，∴点M为PC的中点．∴MN綊12BC.又E为AD的中点，AD綊BC，∴四边形DENM为平行四边形．∴EN∥DM.又DM平面PDC，EN⊆/平面PDC，∴EN∥平面PDC.(2)连接PE、BE.∵四边形ABCD为边长为2的菱形，且∠BAD＝60°，∴BE⊥AD.又PE⊥AD，BE∩PE＝E，∴AD⊥平面PEB.∵AD∥BC，∴BC⊥平面PEB.(3)由(2)结论可知AD⊥PB，又P A＝AB且N为PB的中点，∴AN⊥PB.又AD∩AN＝A，∴PB⊥平面ADMN.∵PB平面PBC，∴平面PBC⊥平面ADMN.考点四表面积、体积的计算例4正三棱锥的高为1，底面边长为26，内有一个球与它的四个面都相切(如右图)．求：(1)棱锥的表面积；(2)内切球的表面积与体积．[解](1)底面正三角形内中心到一边的距离为13×32×26＝2，则正棱锥侧面的斜高为12＋(2)2＝ 3.∴S侧＝3×12×26×3＝9 2.∴S表＝S侧＋S底＝92＋12·32(26)2＝92＋6 3.(2)设正三棱锥P－ABC的内切球球心为O，连接OP，OA，OB，OC，而O 点到三棱锥的四个面的距离都为球的半径r.∴V P－ABC＝V O－P AB＋V O－PBC＋V O－P AC＋V O－ABC＝1 3·S侧·r＋13S△ABC·r＝13S表·r＝(32＋23)r.又V P－ABC＝13×12×32(26)2×1＝23，∴(32＋23)r＝23，得r ＝2332＋23＝23(32－23)18－12＝6－2.S 内切球＝4π(6－2)2＝(40－166)π. V 内切球＝43π(6－2)3＝83(96－22)π.类题通法(1)对于规则几何体的表面积和体积问题，可以直接利用公式进行求解.在求解时首先判断几何体的形状及其结构特征，确定几何体的基本量，然后合理选择公式求解.常考查的几何体有长方体、直四棱柱、正棱锥、圆柱、圆锥、球等，多与几何体的三视图相结合，需要利用三视图确定几何体的形状和基本量.(2)组合体的表面积与体积，分割转化成柱、锥、台、球的表面积与体积.[变式训练4] 已知△ABC 的三边长分别是AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5.以AB 所在直线为轴，将此三角形旋转一周，求所得旋转体的表面积和体积．解 如图在△ABC 中，过C 作CD ⊥AB ，垂足为D .∵AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5， ∴AC 2＋BC 2＝AB 2.∴AC ⊥BC .∴△ACD ∽△ABC ， ∴AC AB ＝CD BC ，∴CD ＝125，记r ＝125.△ABC 以AB 为轴旋转所得旋转体是两个同底的圆锥，且底半径r ＝125，母线长AC ＝3，BC ＝4.∴S 表面积＝πr (AC ＋BC )＝π×125×(3＋4)＝845π， V ＝13πr 2(AD ＋BD )＝13πr 2AB ＝13π×⎝ ⎛⎭⎪⎫1252×5＝485π，∴所求旋转体表面积是845π，体积是485π.思想方法一、转化与化归思想的应用运用转化与化归的思想寻求解题思路时，常用如下几种策略：(1)已知与未知的转化．由已知想可知，由未知想需知，通过联想，寻找解题途径．(2)正面与反面的转化．在处理某一问题，按照习惯思维方式从正面思考而遇到困难，甚至不可能时，用逆向思维的方法去解决，往往能达到突破性的效果．(3)数与形的转化．数形结合其实质是将抽象的数学语言与直观的图形相结合，可以使许多概念和关系直观而形象，有利于解题途径的探求．(4)一般与特殊的转化，特殊问题的解决往往是比较容易的，可以利用特殊中内含的本质联系，通过归纳演绎，得出一般结论，从而使问题得以解决．(5)复杂与简单的转化．把一个复杂的、陌生的问题转化为简单的、熟悉的问题来解决，这是数学解题的一条重要原则．例1 设三棱柱ABC －A 1B 1C 1的体积为V ，P ，Q 分别是侧棱AA 1，CC 1上的点，且P A ＝QC 1，则四棱锥B －APQC 的体积为( )A.16VB.14VC.13VD.12V[解析] 特殊化法，取直棱柱且P ，Q 为侧棱的中点，连接AQ ，则V B －APQC ＝2V B －AQC ＝2V Q －ABC＝2·13S △ABC ·QC ＝2·13S △ABC ·12C 1C＝13S △ABC ·C 1C ＝13V .[答案] C二、分类讨论思想的应用分类讨论的思想是指在研究和解决数学问题时，根据数学对象的本质属性的相同点和不同点，将对象分为不同种类，然后分类进行研究和解决，从而达到研究和解决全问题的思想方法．它是一种重要的思想方法，其特点是一种逻辑划分，在研究和解决数学问题时要搞清为什么要进行分类讨论，如何科学地划分分类标准．实施分类时，应遵循科学的逻辑原则，才能做到既不重复也不遗漏．例2 给出下列说法，其中正确的两个说法是( )①直线上有两点到平面的距离相等，则此直线与平面平行；②夹在两个平行平面间的两条异面线段的中点的连线平行于这两个平面； ③直线m ⊥平面α，直线n ⊥m ，则n ∥α；④a 、b 是异面直线，则存在唯一的平面α，使它与a 、b 都平行且与a 、b 距离相等．A ．①②B ．②③C ．③④D ．②④[解析] ①错误，如果这两点在该平面的异侧，则直线与平面相交．②正确，如图(1)，平面α∥β，A ∈α，C ∈α，D ∈β，B ∈β且E 、F 分别为AB 、CD 的中点，过C 作CG ∥AB 交平面β于G ，连接BG 、GD .设H 是CG 的中点，则EH ∥BG ，HF ∥GD .∴EH ∥平面β，HF ∥平面β.∴平面EHF ∥平面β∥平面α.∴EF ∥α，EF ∥β.③错误，直线n 可能在平面α内．④正确，如图(2)，设AB 是异面直线a 、b 的公垂线段，E 为AB 的中点，过E 作a ′∥a ，b ′∥b ，则a ′、b ′确定的平面即为与a 、b 都平行且与a 、b 距离相等的平面，并且它是唯一的．[答案] D三、整体思想的应用所谓整体性思维就是在探究数学问题时，应研究问题的整体形式，整体结构或对问题的数的特征、形的特征、结构特征作出整体性处理．整体思维的含义很广，根据问题的具体要求，需对代数式作整体变换，或整体代入，也可以对图形作整体处理．例3 全面积为11，十二条棱长度之和为24，求这个长方体的一条对角线长．[解] 设此长方体的长、宽、高分别为x ，y ，z ，体对角线长为l ，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2(xy ＋yz ＋zx )＝11，4(x ＋y ＋z )＝24，由4(x ＋y ＋z )＝24得x ＋y ＋z ＝6，从而长方体的体对角线长l ＝x 2＋y 2＋z 2＝(x ＋y ＋z )2－2(xy ＋yz ＋zx )＝ 62－11＝5. 所以该长方体的体对角线长为5.四、函数与方程思想的应用1．函数方程的思想是思考与解决数学问题的重要思想，它融汇了待定系数法、配方法、换元法、反证法等基本数学方法及数形结合、分类与整合、转化与化归等重要思想．2.函数、方程历来都是高考考查的重点内容，已成为高考永恒的热点，且常考常新．3.最值问题转化成二次函数问题是立体几何与代数相结合的典范，应体会方法的应用技巧．例4如图，一块矩形形状的太阳能吸光板安装在三棱锥形状的支撑架上，矩形EFGH的四个顶点分别在边AB、BC、CD、AD上，已知AC＝a，BD＝b，则E、F、G、H在什么位置时吸光板的吸光量最大？[解]吸光板的吸光量的多少，取决于矩形EFGH的面积，设EH＝x，EF ＝y，在矩形EFGH中，EH∥FG，又EH⊆/平面BCD，FG平面BCD.∴EH∥平面BCD，而EH平面ABD，平面ABD∩平面BCD＝BD，∴EH∥BD，同理可证EF∥AC.∴xb＝AEAB，ya＝BEAB，∴xb＋ya＝AE＋BEAB＝1，又矩形EFGH的面积为S＝xy，即S＝a⎝⎛⎭⎪⎫1－xb·x＝－ab x2＋ax(0<x<b)，∴当x＝－a2⎝⎛⎭⎪⎫－ab＝b2时，S有最大值，此时y＝a2.∴当E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点时，吸光板的吸光量最大．五、数形结合思想在直观图的画法中，数形结合思想主要体现在原图形和直观图的有关量的计算问题上，解答此类问题的关键是要把平行于O′y′轴的线段长度变为原来的两倍才是原图形中相应线段的长度．例5下图中△A′B′C′是△ABC的直观图，△A′B′C′是边长为a的正三角形，那么原△ABC的面积为()A.32a2 B.34a2 C.62a2 D.6a2[解析]作出△ABC的平面图的大致形状，如图(2)所示．在图(1)中，连接A′O′，∵△A′B′C′是等边三角形，A′B′＝a，∴A′O′＝32a.作A′A0′∥O′y′交x′轴于点A0′，则∠A′A0′O′＝45°，∴在Rt△A′O′A0′中，A′A0′＝2A′O′＝62a.∴在图(2)中，AA0＝2A′A0′＝6a.又BC＝B′C′＝a.∴S△ABC＝12·BC·AA0＝12·a·6a＝62a2.[答案]C。
北师大版数学八年级上册第一章立体几何知识点归纳及例题
北师大版数学八年级上册第一章立体几何知识点归纳及例题一、知识点归纳1. 立体几何的基本概念- 点、线、面、体的概念及特点2. 空间几何图形- 线段、射线、直线的定义和性质- 角的概念及表示方法- 平面与立体图形的关系3. 立体图形的种类- 正方体、长方体、棱柱、棱锥、棱台、球体、圆柱、圆锥的特点、性质和示意图- 平行四边形、正方形、矩形、菱形、圆的特点和性质4. 空间方位关系- 平行、垂直、重合、相交等概念的理解和判断5. 空间几何图形的展开与折叠- 立体图形沿折痕折叠和展平的方法二、例题1. 已知正方体 ABCDEFGH 的边长为 4cm，求以下几何图形的面积和体积：- 立方体 ABCDEFGH 的表面积和体积- 正八面体 ABCKLMNO 的表面积和体积2. 在长方体 ABCDEFGH-A1B1C1D1E1F1G1H1 中，已知 AB = 4cm，AE = 3cm，求以下几何图形的面积和体积：- 长方体 ABCDEFGH-A1B1C1D1E1F1G1H1 的表面积和体积- 直方体 ABB1A1B1 的表面积和体积3. 已知平行四边形 ABCD 周长为 20cm，对角线 AC = 8cm，求以下几何图形的面积和周长：- 平行四边形 ABCD 的面积和周长- 矩形 ABCD 的面积和周长4. 已知直方体 ABCDEFGH 的表面积为 96cm²，底面 ABCD 的面积为 20cm²，求以下几何图形的高和体积：- 直方体 ABCDEFGH 的高和体积- 平行四边形 ABCD 的高和面积以上是北师大版数学八年级上册第一章立体几何的知识点归纳和例题，希望能对你有所帮助。
第一章《立体几何初步》-----§3 三视图(3)
三、习题处理
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8． ． 用若干块相同的小正方体搭成一个几何体， 该几 用若干块相同的小正方体搭成一个几何体， 何体的三视图如图所示， 何体的三视图如图所示，则搭成该几何体需要的
6 小正方体的块数是________． ． 小正方体的块数是
解析
由正视图和侧视图，知该几何体由两层小
正方体拼接成，由俯视图可知，最下层有 5 个小 正方体，由侧视图知上层仅有一个正方体，则共 有 6 个小正方体．
10
（三）解答题 9．画出如图所示的几何体的三视图． ．画出如图所示的几何体的三视图．
解
三视图如图所示．
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10．下图是一几何体的三视图，想象该几何体的几 ．下图是一几何体的三视图， 何结构特征，画出该几何体的形状． 何结构特征，画出该几何体的形状．
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
解
由于俯视图有一个圆和一个四边
形，则该几何体是由旋转体和多面体 拼接成的组合体，结合左视图和主视 图，可知该几何体是由上面一个圆柱， 下面一个四棱柱拼接成的组合体．该 几何体的形状如图所示．
8
7．根据如图所示的俯视图，找出对应的物体． ．根据如图所示的俯视图，找出对应的物体．
(1)对应 D 对应________；(2)对应 A 对应________；(3)对应 对应 ； 对应 ； 对应
E ________；(4)对应 C ； 对应 对应________；(5)对应 B 对应________． ； 对应 ．
A．三棱锥 ． C．四棱台 ．
B．四棱锥 ． D．三棱台 ．
4
3．四个正方体按如图所示的方式放置， ．四个正方体按如图所示的方式放置， 其中阴影部分为我们观察的正面， 其中阴影部分为我们观察的正面，则 该物体的三视图正确的为 ( B )
(基础)：立体几何第一章 空间直线、平面平行垂直【高中数学+二轮复习】
目录目录 (1)第一章空间直线、平面平行垂直 (2)一、考纲解读 (2)二、命题趋势探究 (2)三、知识点精讲 (2)(一).直线和平面平行 (2)(二).两个平面平行 (3)(三).线面垂直 (5)(四).斜线在平面内的射影 (7)(五).平面与平面垂直 (8)四、思路小结 (10)(一).线线平行、线面平行、面面平行的转换如图0所示 (10)(二).证明空间中直线、平面的垂直关系 (10)五、解答题题型总结 (12)核心考点一：平行证明 (12)核心考点二：垂直证明 (14)第一章空间直线、平面平行垂直一、考纲解读1．要理解空间直线和平面各种位置关系的定义.2．以立体几何的定义，公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定，理解其判定定理与性质定理.二、命题趋势探究有关平行的问题是高考的必考内容，主要分为两大类：一类是空间线面关系的判定和推理；一类是几何量的计算，主要考查学生的空间想象能力，思维能力和解决问题的能力.平行关系是立体几何中的一种重要位置关系，在高考中，选择题、填空题几乎每年都考，难度一般为中档题，且常常以棱柱、棱锥为背景.（1）高考始终把直线与平面、平面与平面平行的判定与性质作为考查的重点，通常以棱柱、棱锥为背景设计命题.考查的方向是直线与平面、平面与平面的位置关系，结合平面几何有关知识考查.（2）以棱柱、棱锥为依托考查两平行平面的距离，可转化为点面距离，线面距离和两异面直线间的距离问题，通常是算、证结合，考查学生的渗透转化思想.三、知识点精讲(一).直线和平面平行1．定义直线与平面没有公共点，则称此直线l与平面α平行，记作l∥α2.判定方法(文字语言、图形语言、符号语言)（见表8-9）表8-9文字语言图形语言符号语言线∥线⇒线∥面如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行（简记为“线线平行⇒线面平行11l ll llααα⎫⎪⊂⇒⎬⎪⊄⎭∥∥面∥面⇒线∥面如果两个平面平行,那么在一个平面内的所有直线都平行于另一个平面aaαββα⎫⇒⎬⊂⎭∥∥3.性质定理(文字语言、图形语言、符号语言)（见表8-10）表8-10文字语言图形语言符号语言线∥面⇒线∥线如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线就和交线平行ll l llαβαβ⎫⎪'⊂⇒⎬⎪'=⎭I∥∥(二).两个平面平行1．定义没有公共点的两个平面叫作平行平面,用符号表示为:对于平面α和β,若αβφ=I,则α∥β2.判定方法(文字语言、图形语言、符号语言)（见表8-11）表8-11文字语言图形语言符号语言判定定理线∥面⇒面∥面如果一个平面内有两条相交的直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行（简记为“线面平行⇒面面平行,,a b a b Pαα⊂⊂=Ia bββαβ⇒∥，∥∥线⊥面⇒面∥面如果两个平面同垂直于一条直线,那么这两个平面平行llααβ⊥⎫⇒⎬⊥⎭∥β3.性质定理（文字语言、图形语言、符号语言）（见表8-12）表8-12文字语言图形语言符号语言面//面⇒线//面如果两个平面平行，那么在一个平面中的所有直线都平行于另外一个平面////aaαββα⎫⇒⎬⊂⎭性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么他们的交线平行（简记为“面面平行⇒////.a a bbαβαγβγ⎫⎪=⇒⎬⎪=⎭II线面平行”）面//面⇒线⊥面如果两个平面中有一个垂直于一条直线，那么另一个平面也垂直于这条直线//llαββα⎫⇒⊥⎬⊥⎭(三).线面垂直1.定义：如果一条直线和这个平面内的任意一条直线都垂直，那称这条直线和这个平面相互垂直.2.判定定理（文字语言、图形语言、符号语言）（见表1）表1文字语言图形语言符号语言判断定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直面⊥面⇒线⊥面两个平面垂直，则在一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直αββαβα⊥⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⊥⊂=⋂⊥babba,a ba llb la b Pαα⊂⎫⎪⊥⎪⇒⊥⎬⊥⎪⎪=⎭I__a平行与垂直的关系1一条直线与两平行平面中的一个平面垂直，则该直线与另一个平面也垂直βαβα⊥⇒⎭⎬⎫⊥aa//平行与垂直的关系2两平行直线中有一条与平面垂直，则另一条直线与该平面也垂直αα⊥⇒⎭⎬⎫⊥baba//3．性质定理（文字语言、图形语言、符号语言）（见表2）表2文字语言图形语言符号语言性质定理垂直于同一平面的两条直线平行babaa////⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⋂⊂βαβα文字语言图形语言符号语言垂直与平行的关系垂直于同一直线的两个平面平行βαβα//⇒⎭⎬⎫⊥⊥aa线垂直于面的性质如果一条直线垂直于一个平面，则该直线与,l a l aαα⊥⊂⇒⊥_α_b_aα_b_a_平面内所有直线都垂直(四).斜线在平面内的射影1.斜线的定义一条直线与一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和这个平面的交点叫做斜足.2.射影的定义过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影.3.直线与平面所成的角平面内的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.特别地，一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是直角；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是的角，故直线与平面所成的角的范围是.如图8-122所示，是平面的斜线，为斜足；是平面的垂线，为垂足；是在平面的射影，的大小即为直线与平面所成的角的大小.0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦PAαA POαO AO PAαPAO∠PAα(五).平面与平面垂直 1.二面角的定义从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面；如图8-123所示，在二面角的棱上任取一点，以点为垂足，在半平面和内分别作垂直于棱的射线和，则射线和构成的叫做二面角的平面角，二面角的范围是.平面角是直角的二面角叫做直二面角.2.平面与平面垂直的定义如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直.（如图8-124所示，若，，且，，，则）l αβ--l O O αβl OA OB OA OB AOB ∠[]0,πCD αβ=I CD γ⊥AB αγ=I BE βγ=I AB BE ⊥αβ⊥一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.3.判定定理（文字语言、图形语言、符号语言）文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直βαβα⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥bb4.性质定理（文字语言、图形语言、符号语言）文字语言图形语言符号语言性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直αββαβα⊥⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⊥⊂=⋂⊥babba___a四、思路小结(一).线线平行、线面平行、面面平行的转换如图0所示.（1） 证明直线与平面平行的常用方法：①利用定义，证明直线a 与平面α没有公共点，一般结合反证法证明；②利用线面平行的判定定理，即线线平行⇒线面平行.辅助线的作法为：平面外直线的端点进平面，同向进面，得平行四边形的对边，不同向进面，延长交于一点得平行于第三边的线段；③利用面面平行的性质定理，把面面平行转化成线面平行； （2） 证明面面平行的常用方法：①利用面面平行的定义，此法一般与反证法结合； ②利用面面平行的判定定理； ③利用两个平面垂直于同一条直线； ④证明两个平面同时平行于第三个平面.（3） 证明线线平行的常用方法：○1利用直线和平面平行的判定定理；○2利用平行公理； (二).证明空间中直线、平面的垂直关系线线线面面面 ⊥−−−−→←−−−−判定定理性质定理⊥−−−−→←−−−−判定定理性质定理⊥性质 性质性质 判定判定判定 线∥面 线∥线面∥面图 0（1）证明线线垂直的方法 ①等腰三角形底边上的中线是高； ②勾股定理逆定理； ③菱形对角线互相垂直； ④直径所对的圆周角是直角； ⑤向量的数量积为零；⑥线面垂直的性质（）； ⑦平行线垂直直线的传递性（∥）. （2）证明线面垂直的方法 ①线面垂直的定义；②线面垂直的判定（）； ③面面垂直的性质（）； 平行线垂直平面的传递性（∥）； ⑤面面垂直的性质（）. （3）证明面面垂直的方法 ①面面垂直的定义；②面面垂直的判定定理（）.,a b a b αα⊥⊂⇒⊥,a c a ⊥b b c ⇒⊥,,,,a b a c c b b c P a ααα⊥⊥⊂⊂=⇒⊥I ,,,b a b a a αβαβαβ⊥=⊥⊂⇒⊥I ,a b α⊥a b α⇒⊥,,l l αγβγαβγ⊥⊥=⇒⊥I ,a a βααβ⊥⊂⇒⊥性质性质性质性质性质 判定判定 判定 判定 判定线∥面 线∥线面∥面线⊥面 线⊥线面⊥面图 3空间中的线面平行、垂直的位置关系结构图如图3所示，由图可知，线面垂直在所有关系中处于核心位置. 五、解答题题型总结核心考点一：平行证明【例1】 ⑴如图1，三棱锥D ABC -中，E 、F 、O 分别是AD 、BD 、AC 的中点，G 是OC 的中点；求证：FG ∥平面BOE ．⑵如图2，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为等腰梯形，AB CD ∥，4AB =，2BC CD ==，12AA =，E 、1E 、F 分别是棱AD 、1AA 、AB 的中点．证明：直线1EE ∥平面1FCC ．图1 图2 【解析】 ⑴ 设BE 和AF 交于点H ，连接OH ， 在三角形ABD △中，E 、F 分别是AD 、BD 的中点，GOEABCD FE 1F ED 1C 1B 1A 1D CBA HF DCBAEO G所以H 为重心，23AH AF =， 又O 为AC 中点，G 是OC 的中点，所以23AO AG =， 在AFG △中，23AH AOAF AG==， 所以HO FG ∥，又FG 不在平面BOE 内，HO ⊂平面BOE ，所以FG ∥平面BOE ． ⑵ 法一：取11A B 的中点1F ，连结1FF ，11C F ， 由于111FF BB CC ∥∥，所以1F ∈平面1FCC ， 因此，平面1FCC 即为平面11C CFF ， 连结1A D ，1F C ，由于1111A F D C CD ∥∥， 所以四边形11A DCF 为平行四边形，因此11A D FC ∥．又11EE A D ∥，得11EE FC ∥， 而1EE ⊄平面1FCC ，1F C ⊂平面1FCC ， 故1EE ∥平面1FCC ． 法二：因为F 为AB 的中点，2CD =，4AB =，AB CD ∥， 所以CD AF ∥，因此四边形AFCD 为平行四边形， 所以AD FC ∥．又11CC DD ∥，1FC CC C =I ，FC ⊂平面1FCC ，1CC ⊂平面1FCC ，F 1AF BE 1E A 1D CD 1C 1B 1所以平面11ADD A ∥平面1FCC ，又1EE ⊂平面11ADD A ，所以1EE ∥平面1FCC ．【例2】在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，E 是PC 的中点．求证：PA ∥平面BDE ．原图：【解析】 连结AC ，设AC 交BD 于O ，连结EO ， ∵底面ABCD 是平行四边形， ∴点O 是AC 的中点． 在PAC △中，EO 是中位线， ∴PA EO ∥．∵EO ⊂平面BDE ，且PA ⊄平面BDE ， ∴PA ∥平面BDE ．核心考点二：垂直证明【例1】若l 、m 、n 是互不相同的空间直线，α、β是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是（ ）A ．若αβ∥，l α⊂，n β⊂，则l n ∥B ．若αβ⊥，l α⊂，则l β⊥C ．若l n ⊥，m n ⊥，则l m ∥D ．若l α⊥，l β∥，则αβ⊥E BC ADP OE DC BAP【解析】 D【例2】已知m ，n 是不同的直线，α、β、γ是不同的平面，给出下列命题： ①αγ⊥，βγ⊥，则αβ∥； ②若n α⊥，n β⊥，则αβ∥；③若n α⊂，m α⊂且n m ββ∥，∥，则α∥β； ④若m n ，为异面直线，n α⊂，n β∥，m β⊂，m α∥，则αβ∥． 则其中正确的命题是_______．（把你认为正确的命题序号都填上） 【解析】 ②④【例3】在正四面体P ABC -中，D 、E 、F 分别是AB 、BC 、CA 的中点，下面结论中不成立的是（ ） A ．BC ∥平面PDFB ．DF ⊥平面PAEC ．平面PDF ⊥平面ABCD ．平面PAE ⊥平面ABC【解析】 C【例4】PA 垂直于正方形ABCD 所在平面，连结PB 、PC 、PD 、AC 、BD ，则下列垂直关系正确的是（ ）①面PAB ⊥面PBC ②面PAB ⊥面PAD ③面PAB ⊥面PCD ④面PAB ⊥面PAC A ．①② B ．①③ C ．②③ D ．②④【解析】 A【例5】如图，在四面体ABCD 中，CB CD =，AD BD ⊥，点E 、F 分别是AB 、BD 的中点，求证：⑴直线EF ∥平面ACD ；⑵平面EFC ⊥平面BCD ．【解析】 ⑴ 易知中位线EF AD ∥，而AD ⊂面ACD ，EF ⊄面ACD∴EF ∥平面ACD ．⑵ ∵EF AD ∥，AD BD ⊥，∴EF BD ⊥ 又CB CD =，F 是BD 的中点，∴CF BD ⊥ ∵EF CF F =I ，∴BD ⊥面EFC 又BD ⊂面BCD ，平面EFC ⊥平面BCD ．【例6】如图所示，ABC △是正三角形，AE 和CD 都垂直于平面ABC ，且2AE AB a ==，CD a =，F 是BE 的中点．⑴求证：DF ∥平面ABC ；⑵求证：AF BD ⊥．原图：【解析】 ⑴ 取AE 中点M ，连结DM FM ，，易知FM AB ∥，∴FM ∥平面ABC ． 又AE 和CD 都垂直于平面ABC ，∴AE CD ∥，AM CD ∥FEDCB AFEDCBAM FEDCBA∵12AM AE CD ==，∴AMDC 是平行四边形，DM AC ∥，∴DM ∥平面ABC ． 因此平面DFM ∥平面ABC ．∵DF ⊂平面DFM ，∴DF ∥平面ABC ．⑵ 连结AD ，由2AE AB a ==，AE AB ⊥，F 是BE 的中点，可得AF BE ⊥，且2AF a =，22BE a =．由CD AC ⊥，可得222245AD CD AC a a a =+=+=．类似的5DE DB a ==，于是()2222523DF BD BF a a a =-=-=，从而222AF DF AD +=，AF DF ⊥．结合AF BE ⊥，有AF ⊥平面BDE ，∴AF BD ⊥．。
单元复习01 第一章 空间向量与立体几何【过知识】
) D．4 个
2 重点题型
(2)已知正四棱锥 P-ABCD，O 是正方形 ABCD 的中心，Q 是 CD 的中点，求下列各式中 x，y，z 的值．
①O→Q＝P→Q＋yP→C＋zP→A； ②P→A＝xP→O＋yP→Q＋P→D.
2 重点题型
[思路探究] (1)合理根据向量的三角形和平行四边形法则，以及 在平行六面体中，体对角线向量等于从同一起点出发的三条棱向量的 和．如A→C1＝A→B＋A→D＋A→A1.
2 重点题型
在几何体中求空间向量的数量积的步骤 1首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式. 2利用向量的运算律将数量积展开，转化成已知模和夹角的向 量的数量积. 3根据向量的方向，正确求出向量的夹角及向量的模. 4代入公式a·b＝|a||b|cos〈a，b〉求解.
2 重点题型
跟踪训练 如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，以顶 点A为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为60°. ①求—AC→1 的长； 解 记A→B＝a，A→D＝b，—AA→1 ＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝1，
2 重点题型
1．空间向量加法、减法运算的两个技巧 (1)巧用相反向量：向量减法的三角形法则是解决空间向量加法、 减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接． (2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、 减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向 量的自由平移获得运算结果．
A．－2 B．2 C．－2 3 D．2 3
(2)在四面体OABC中，棱OA，OB，OC两两垂直，且OA＝1， OB＝2，OC＝3，G为△ABC的重心，求O→G·(O→A＋O→B＋O→C)的值．
2 重点题型
(1)A [∵C→D＝A→D－A→C，∴A→B·C→D＝A→B·(A→D－A→C)＝A→B·A→D－ A→B·A→C＝0－2×2×cos 60°＝－2.]
立体几何初步——第一章：简单几何体
A．是梯形，不一定是等腰梯形
B．一定是等腰梯形
C） A．圆台是直角梯形绕它的一腰旋转后而成的几何体 B．用平行于圆锥底面的平面去截此圆锥得到一个圆锥和一个圆台 C．用过圆锥的轴的平面截圆锥得到的一定是等边三角形 D．一平面截圆锥，截口形状是圆
球的截面
用平面去截一个球，
C
截面都是圆面；
球面被经过球心的 平面截得的圆叫做 球的大圆；
其它截面圆叫做球的小圆；
请大家想一想怎样用集合的观点去定义球？
把到定点O的距离等于或小于定长的点 的集合叫作球体，简称球。（包括球面）
其中： 1.把定点O叫作球心，定长叫作球的半径 2.到定点O的距离等于定长的点的集合叫作球 面。
二、填空题： （1）用一张６×８的矩形纸卷成一个圆柱，其轴
截面的面积为___4_8____．
（2）圆台的上、下底面的直径分别为２ cm,10cm,高为3cm，则圆台母线长为 5cm _______.
O
A
2、圆锥的表示：
用表示它的轴的字母表示， 如圆锥SO。
旋转轴叫做圆锥的轴。
S
垂直于轴的边旋转而成的曲 面叫做圆锥的底面。
不垂直于轴的边旋转
而成的曲面叫做圆锥
的侧面。
BO
无论旋转到什么位置不 垂直于轴的边都叫做圆 锥的母线。
轴 母线
A 底面
六、圆台的结构特征
1、定义：用一个平行于圆锥底面的平 面去截圆锥，底面与截面之间的部分，这 样的几何体叫做圆台。
球面距离 在球面上，两点之间
最短连线的长度，是经过这两点的
大圆在两点间的劣弧的长度，称这
段劣弧的长度为这
两点的球面距离； 举例：
P O
①飞机的飞行航线；
立体几何第一章—必修二
BST金牌数学高一（必修二）专题系列之立体几何（一）1.棱柱的面积和体积公式chS=直棱柱侧（c是底周长，h是高）S直棱柱表面= c·h+ 2S底V棱柱= S底·h2.正棱锥的各侧棱相等，各侧面是全等的等腰三角形；正棱锥侧面积：1'2S ch=正棱椎（c为底周长，'h为斜高）体积：13V Sh=棱椎（S为底面积，h为高）★3.圆柱的面积和体积公式S圆柱侧面= 2π·r·h (r为底面半径，h为圆柱的高)S圆柱全= 2π r h + 2π r2V圆柱= S底h = πr2h★4.圆台的面积和体积公式S圆台侧= π·(R + r)·l (r、R为上下底面半径)S圆台全= π·r2 + π·R2 + π·(R + r)·lV圆台= 1/3 (π r2+ π R2+ π r R) h (h为圆台的高)5.球的表面积和体积公式S球面= 4 π R2(R为球半径)V球= 4/3 π R3【BST记忆法】空间几何体的表面积棱柱、棱锥的表面积：各个面面积之和A BCDPO H圆柱的表面积 ：222S rl r ππ=+ 圆锥的表面积：2Srl r ππ=+圆台的表面积：22S rl r Rl R ππππ=+++球的表面积：24SR π=扇形的面积公式2211=36022n R S lr r πα==扇形（其中l 表示弧长，r 表示半径，α表示弧度） 空间几何体的体积 柱体的体积 ：VS h =⨯底锥体的体积 ：13V S h =⨯底 台体的体积 ： 1)3V S S S S h =++⨯下下上上（球体的体积：343V R π=空间几何体的三视图和直观图正视图：光线从几何体的前面向后面正投影，得到的投影图。
侧视图：光线从几何体的左边向右边正投影，得到的投影图。
俯视图：光线从几何体的上面向右边正投影，得到的投影图。
第一章立体几何初步知识点
高考立体几何知识点总结一 、空间几何体 （一） 空间几何体的类型1 多面体：由若干个平面多边形围成的几何体。
围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。
2 旋转体：把一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转形成了封闭几何体。
其中，这条直线称为旋转体的轴。
（二） 几种空间几何体的结构特征 1 、棱柱的结构特征1.1 棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。
1.2 棱柱的分类棱柱四棱柱平行六面体直平行六面体长方体正四棱柱正方体 性质：Ⅰ、侧面都是平行四边形，且各侧棱互相平行且相等； Ⅱ、两底面是全等多边形且互相平行；Ⅲ、平行于底面的截面和底面全等；1.3 棱柱的面积和体积公式ch S 直棱柱侧（c 是底周长，h 是高）S 直棱柱表面 = c ·h+ 2S 底 V 棱柱 = S 底 ·h2 、棱锥的结构特征2.1 棱锥的定义（1） 棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。
（2）正棱锥：如果有一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的投影是底棱长都相等底面是正方形底面是矩形侧棱垂直于底面底面是平行四边形底面是四边形图1-1 棱面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。
2.2 正棱锥的结构特征Ⅰ、 平行于底面的截面是与底面相似的正多边形，相似比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比；它们面积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的平方比；截得的棱锥的体积与原棱锥的体积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的立方比；Ⅱ、 正棱锥的各侧棱相等，各侧面是全等的等腰三角形；正棱锥侧面积：1'2S ch =正棱椎（c 为底周长，'h 为斜高） 体积：13V Sh =棱椎（S 为底面积，h 为高）正四面体：对于棱长为a 正四面体的问题可将它补成一个边长为a 22的正方体问题。
第一章点线面位置关系专题五共面问题微点1立体几何共面问题的解法【培优版】
第一章点线面位置关系专题五共面问题微点1 立体几何共面问题的解法【培优版】立体几何微专题第一章点线面位置关系专题五共面问题微点1立体几何共面问题的解法【培优版】共面与异面是立体几何中的一对基本矛盾．共面，又称共平面，几何学术语，是指几何形状在三维空间中共占同一平面的关系．判定（证明）空间点共面、直线共面的基本方法有：公理法和纳入平面法，除此外，还可以利用同一法、反证法、向量法等，本节介绍空间点共面、直线共面问题的这些解法．一、平面重合法（同一法）根据已知条件，其中部分点线确定若干个平面，再证这些平面都重合，则所有的点线共面．应用重合法证点线共面的关键在于根据平面性质公理证明若干个平面重合．主要方法有：1．利用平面确定性公理及推论判定两平面重合2．利用直线的垂面唯一性证两平面重合3．利用平行平面的唯一性，证平面重合二、反证法三、向量法根据共面向量定理及其推论判定、证明点共面、直线共面．向量共面定理：向量,a b 不共线，向量p 与,a b 共面的充要条件是存在实数,(,)x y x y ∈R ，使p xa yb =+ ．【推论】空间中一点O 和不共线的三点,,A B C ，则,,,P A B C OA A OP xOA yO P A B zO B AC OP AB AC C λμλμ⇔=+⇔=+⇔+++= ，且1x y z ++=．类型一 利用平面重合法（同一法）证明点或线共面问题1．利用平面确定性公理及推论判定两平面重合【典例1】求证：已知直线l 与三条平行线a 、b 、c 都相交（如图1），求证：l 与a 、b 、c 共面．图1【分析】设a ∩l ＝A ，b ∩l ＝B ，c ∩l ＝C ，由a ∥b ，得过a 、b 可以确定一个平面α．由b ∥c ，得过b 、c 可以确定一个平面β，由已知推导出α与β重合，从而能证明a 、b 、c 、l 共面．证明：如图2，设a ∩l ＝A ，b ∩l ＝B ，c ∩l ＝C ，∵a ∥b ，∴过a 、b 可以确定一个平面α．∵A ∈a ，B ∈b ，a 、b ⊂α，∴A ∈α，B ∈α，∴AB ⊂α，即l ⊂α．又∵b ∥c ，∴过b 、c 可以确定一个平面β，同理可证l ⊂β．∵α、β都过相交直线b 、l ，∴α与β重合，∴a 、b 、c 、l 共面．图2【点睛】共面问题的证明常有下列方法：（1）先作一个平面，再证明有关的点或线在这个平面内；（2）先过某些点或线作多个平面，再证明这些平面重合；（3）用反证法．本题采用方法2证明较好．【举一反三】（2023上·北京通州·高二统考期中）1．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，,,,E F G H 分别是棱AB ，11B C ，11C D ，1D D 的中点.(1)求证：,,,E F G H 四点共面；(2)求1B D 与平面EFGH 所成角的正弦值；(3)求点1B 到平面EFGH 的距离.【典例2】正方体1111ABCD A B C D -中，,,,,,E F G H I J 分别是它们所在棱的中点，求证：这六个中点共面．证明：如图6，联结FI ，易证EJ FI ∥，∴EJ 和FI 可确定一个平面，记作α．又联结GJ ，则GJ EF ∥，∴GJ 和EF 可确定一个平面β．但,αβ两平面内都含有不共线的三个点,,E F J ，过这三点的平面是存在且唯一的，∴,αβ两平面重合，同理可证，平面EFGH与,αβ都重合，由此可知,,,,,E F G H I J 六个中点共面．图6【举一反三】2．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，11AA =，2AB AD ==，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，证明：11,,,A C F E 四点共面．【反思】可以看出同一法同样可以用于证明立体几何，除了证明题之外还有一类解答题，同样是可以用同一法的思想来解答的．假设原命题为“若p 且q ，则r "，当用同一法证明时，证明其逆命题成立则原命题成立，也就是证明“若r ，则p 且q ”．当q 未知时，这就不是证明题，而是解答题．【典例3】直线m 、n 分别和平行直线a 、b 、c 都相交，交点为A 、B 、C 、D 、E 、F ，如图8，求证：直线a 、b 、c 、m 、n 共面．图8【分析】证明若干条直线共面的方法有两类：一是先确定一个平面，证明其余的直线在这个平面里；二是分别确定几个平面，然后证明这些平面重合．证明：∵a ∥b ，∴过a 、b 可以确定一个平面α．∵A ∈a ，a ⊂α，∴A ∈α，同理B ∈a ．又∵A ∈m ，B ∈m ，∴m ⊂α．同理可证n ⊂α．∵b ∥c ，∴过b ，c 可以确定平面β，同理可证m ⊂β．∵平面α、β都经过相交直线b 、m ，∴平面α和平面β重合，即直线a 、b 、c 、m 、n 共面．【举一反三】3．证明两两相交而不共点的四条直线在同一平面内．已知：如图，直线1234,,,l l l l 两两相交，且不共点．求证：直线1234,,,l l l l 在同一平面内.2.利用直线的垂面唯一性证两平面重合【典例4】过球外一点作球的切线，求证：所有切点共面．证明：如图10，设球O 外一点P ，切线为,,,PA PB A B 为切点，联结,,PO AO BO ，过A 作1AO PO ⊥于1O ，过1,,A B O 三点作截面得到小圆1O ．联结,AO BO ，易知Rt Rt AOP BOP ≌△△，∴PA PB =．在Rt PAO △中，190,OAP AO PO ∠=︒⊥，∴221PO PO PA PB ⋅==，图10则在Rt POB △中可断定1BO PO ⊥，∴PO ⊥平面1AO B ，且11O A O B =（全等三角形对应边上的高相等），由此可知，过点P 作球的切线的切点与点1O 的距离相等，∴点1O 是小圆的圆心．同理，球的任意切线12,,PC PC ⋅⋅⋅；12,,C C ⋅⋅⋅为切点，则平面1112,,AO C AO C ⋅⋅⋅都与直线PO 垂直，所有这些垂面都过点1O ，∴它们都应重合，由此可知，过球外一点作球的切线，所有切点共面．【反思】上例应用了如下结论：过定点作定直线的垂直平面存在且唯一．【举一反三】（2022·安徽马鞍山·马鞍山二中月考）4．四棱锥P －ABCD 中，平面PCD ⊥平面ABCD ，PD PC =，90DPC ∠= ，//AD BC ，90ABC ∠= ，1AD AB ==，2BC =，M 为PC 的中点，2PN ND = ．(1)证明：A ，B ，M ，N 四点共面；(2)求二面角M －AB －C 的余弦值．3．利用平行平面的唯一性，证平面重合【典例5】正方体1111ABCD A B C D -中，,,,,,E F G H I J 是它们所在棱的中点，求证：这六个中点共面．证明：见图6，连FI ，易证EJ FI ∥，∴这两条平行线可以确定一个平面α．同理FI GH ∥，则这两条平行线又可确定一个平面β，连11,,AC AD D C ，则1,,EF AC IJ D A EF ∥∥与IJ 是平面α内的相交直线．∴平面EFIJ ∥平面1ACD ，同理，平面FGHI ∥平面1ACD ．即平面,αβ都过点F ，且都平行于平面1ACD ，∴平面α与β必重合．【反思】上例利用了下列结论：过平面外一点可以作且只可以作一个与已知平面平行的平面．【举一反三】5．如图，多面体ABCGDEF 中，AB ，AC ，AD 两两垂直，平面ABC //平面,DEFG 平面BEF //平面ADGC ，AB ＝AD ＝DG ＝2， 1.AC EF == 判断点B ，C ，F ，G 是否共面，并说明理由．类型二 利用反证法证明点或线共面问题【典例6】若空间一个四边形邻边的夹角均为90︒，求证：这个四边形必是矩阵．证明：如图15，设四边形ABCD 中，90A B C D ∠=∠=∠=∠=︒，要证它是矩形，应先证明它是个平面图形．图15若四边形ABCD 不是平面图形，则四个线段,,,AB BC CD DA 中必有异面直线．设AB 与CD 为异面直线，而,AD BC 与这两条直线都相交且垂直，∴,AD BC 都是,AB CD 的公垂线，但异面直线的公垂线是存在且唯一的，矛盾．∴,AB CD 不可能是异面直线．同理，,AD BC 也不可能是异面直线．∴四边形ABCD 是一个平面图形．再证ABCD 为矩阵是显而易见的．【典例7】若空间四点,,,A B C D ，满足条件AC BD AB CD AD BC ⋅=⋅+⋅，求证：,,,A B C D 四点共面．证明：如图16，若,,,A B C D 四点不共面，则四点构成一个空间四边形A BCD -，将ABD △绕BD 旋转到BCD △所在平面α内，点A 移到点1A ．图16在平面四边形1A BCD 中，应有111A C BD A B CD A D BC⋅≤⋅+⋅但在ACE △中1AC AE EC A C<+=(1)求平面PBC 与平面PAD 所成二面角的正弦值；(2)若E 是棱PB 的中点，对于棱出点E 的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由．类型三 利用向量法证明点或线共面问题图20证明：如图20，设,AB a AD =【典例9】四面体ABCD 中，,,,E F G 四点共面．图23证明：如图23，联结EG ，则(12EG EB BG EB BC =+=+(1)求FH （用向量,,a b c 表示）(2)求证：点E ，F ，G ，H 四点共面．【典例10】设O 为平面ABC 共面，且PA ⊂平面ABC ．31 证明：A ，B ，M ，N 四点共面；一、单选题：10．已知a 、b 、c 是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（E F G H四点共面A．,,,FG平面ADCB．//FG HE交于点P C．若直线,△的面积为6，则D．若ABD①点E，F，G，H在同一个平面上；②直线DE，BF，CI交于同一点；③直线BF与直线1B C所成角的余弦值为④该正方体过EH的截面的面积最大值为(1)求证：E，F，G，(2)求证：EH，FG，（2022下·辽宁抚顺16．如图，在三棱柱(1)证明：E，F，G，(2)证明：EG，FH，AA（2022下·安徽芜湖·高一校考期中）(1)求证：E ，F ，C 1，1A 四点共面；(2)求证：A 1E ，1C F ，1B B 交于一点18．如图，在正方体ABCD (1)证明：E 、C 、D 1、F (2)设1D F CE O ⋂=，证明：19．如图，ABCD 为空间四边形，点CD ，AD 上，且DH =(1)求证：E ，F ，G ，H 四点共面；(2)求证：EH ，FG 必相交且交点在直线BD 上．（2022·河南·校联考三模）20．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，E ，F(1)证明：E ，F ，D ，B 四点共面．(2)证明：BE ，DF ，1CC 三线共点．（2023·四川成都·校联考模拟预测）21．如图，在三棱柱ABC A -3(1)求证：B ，D ，E ，1B 四点共面；(2)求四棱锥11A BDEB -的体积．（2023·四川成都·校联考模拟预测）22．如图，在三棱柱ABC(1)求证：B ，D ，E ，1B 四点共面；(2)求二面角11A BB D --的余弦值．参考答案：因为,,,E F G H 分别是棱AB 易得11//HM B D ,11//GF B D ,所以,,,H M F G 四点共面，又111//,//,EM AB HG DC AB设正方形的的边长为a则()()1,,,0,0,0,2a B a a a D E a ⎛ ⎝，则1(,,),(,,0),22a a DB a a a GF == 设(),,n x y z = 是平面EFGH 的法向量，a a ⎧1111//,//,//A C AC A C FE FE AC ∴''∴，F 为BC 中点，E '∴为AB 中点，E '∴与E 重合，即11,,,A CF E 四点共面．3．证明见解析【分析】证明几条直线共面的依据是公理3及推论和公理1．先证某两线确定平面α，然后证其它直线也在α内．【详解】图①中，没有三条直线交于一点，因为12l l P = ，所以12,l l 确定平面α，又因1323,l l A l l C ⋂=⋂=，所以,A C α∈，所以3l α⊂，同理可得4l α⊂，所以直线1234,,,l l l l 在同一平面内；图②中，123,,l l l 三条直线交于一点，因为又因1424,l l A l l B ⋂=⋂=，所以,A B α∈，所以4l α⊂，同理3l α⊂，所以直线1234,,,l l l l 在同一平面内，综上所述，所以直线1234,,,l l l l 在同一平面内.4．(1)证明见解析120∠=︒，1PADBC=，AB AD PA==A B C D∴(0,0,0),(0,0,2),(0,1,2)(0,2,0)设面PBC的法向量为(,,)m x y z==---=(3,1,2),(0,1,0)BP BC假设在棱CD上存在点F，使得∴四点共线，记该平面为E F D P,,,PE DF⊂面α∴∈面α,,P∈∈B PEC DF,8．(1)111 242 a b c--(2)证明见解析【分析】（1）根据向量的线性运算结合空间向量基本定理运算求解线的性质，结合平行线的传递性证明【详解】（1）∵【点睛】9．证明见解析【分析】延长CD，BA交于点从而可得QM与PD的交点为点N重合，从而可得结论10．B【分析】根据已知条件判断a 、c 的位置关系，可判断AB 选项的正误；利用锥体可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，若a b ⊥ ，b c ⊥，则a 与c 平行、相交或异面，对于B 选项，若a b ⊥ ，//b c ，则a c ⊥，B 选项正确；对于C 选项，若////a b c ，将a 、b 、c 视为三棱柱的三条侧棱所在直线，C 选项错误；对于D 选项，若a 、b 、c 共点，将a 、b 、c 视为三棱锥共顶点的三条棱所在直线，则【分析】根据平面的基本性质，异面直线的判定定理，逐一验证各个选项.【详解】如下图所示：根据题意，连接11,A C AC ，则11//A C AC ，所以11,,,A C C A 四点共面，所以1AC ⊂面11ACC A ，又1M A C ∈，所以M ∈面11ACC A ，又M ∈面1AB D ，所以点M 在面11ACC A 与面11AB D 的交线上面，同理可得点O 在面11ACC A 与面11AB D 的交线上面，所以A ，M ，O 三点共线，故A 选项错误，B 选项正确；由异面直线判定定理可知C 选项中1,OM DD 为异面直线，故C 选项错误；由异面直线判定定理可知D 选项中1,AM BB 为异面直线，故D 选项错误.故选：B.12．AD【分析】A 选项举出反例即可说明；C 选项根据共面不具有传递性即可判断；B 选项根据点共面的性质判定即可；D 选项根据过直线与直线外一点可确定个平面,即可判断.【详解】A 正确，可以用反证法证明，假设任意三点共线，则四个点必共面，与不共面的四点矛盾；B 从条件看出两平面有三个公共点A ，B ，C ，但是若A ，B ，C 共线，则结论不正确；C 不正确，共面不具有传递性，若直线a ，b 共面，直线a ，c 共面，则直线b ，c 可能不在一个平面内；D 正确，两两相交的直线有三个公共点，确定一个平面.所以111222 BCDS CO BD==⨯故选：ACD.【分析】对于①，由FG EH ∥即可证得点E ，F ，G ，H 共面；对于②，延长,DE CI 交于M ，由平面EDBF ⋂平面ICBF BF =，证得M BF ∈，即可证得直线DE ，BF ，CI 交于同一点；对于③，取AB 中点N ，1NA D ∠或其补角即为直线BF 与直线1B C 所成角，再由余弦定理求解即可；对于④，求出截面11A BCD 的面积即可判断.【详解】对于①，如图，连接1,FG A B ，因为点F ，G 分别为线段11A B ，1B B 的中点，则1FG A B ，又点E ，H 分别为线段11A D ，BC 的中点，则1EH A B ，则FG EH ∥，则,FG EH 共面，即点E ，F ，G ，H 在同一个平面上，①正确；对于②，连接,,EF FI EI ，易得EI CD ，则,EI CD 共面，延长,DE CI 交于M ；易得EF BD ∥，则,EF BD 共面；FI BC ，,FI BC 共面；平面EDBF ⋂平面ICBF BF =，又M ∈平面EDBF ，M ∈平面ICBF ，则M BF ∈，即直线DE ，BF ，CI 交于同一点，②正确；对于③，取AB 中点N ，连接角即为直线BF 与直线1B C 又22,A D A N DN ===对于④，连接1A B ，易得A 面；又1BC A B ⊥，12,BC A B =17．(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）连接EF ，根据E ，F 分别为AB ，BC 的中点，得到EF AC ∥，再根据三棱柱的性质证明即可；（2）由（1）得EF AC ≠且E ，F ，1A ，1C 四点共面，得到1A E 与1C F 必相交，设11A E C F P ⋂=，再证明1P BB ∈即可.【详解】（1）证明：如图，连接EF ，∵E ，F 分别为AB ，BC 的中点，∴EF AC ∥..又在三棱柱111ABC A B C 中，11AC A C ∥，∴11EF A C ∥.则E ，F ，1A ，1C 四点共面.（2）由（1）得EF AC ≠且E ，F ，1A ，1C 四点共面，则1A E 与1C F 必相交.设11A E C F P ⋂=.∵1A E ⊂平面11AA B B ，∴P ∈平面11AA B B .∵1C F ⊂平面11BB C C ，∴P ∈平面11BB C C ..又平面11AA B B ∩平面111BB C C BB =∴1P BB ∈.则1A E ，1C F ，1B B 交于一点.18．(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）利用三角形的中位线及平行四边形的性质证明1//EF CD ，从而得到四点共面；（2）根据平面的性质，证明点O ∈平面ABCD ，O ∈平面ADD 1A 1，从而A ，O ，D 三点共线.【详解】（1）证明：如图，连接EF ，1A B ，1D C .在正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是AB 、AA 1的中点，所以 1//EF A B .又11//BC A D ，且11BC A D =，所以四边形11BCD A 是平行四边形，所以1A B 1//D C .1//EF D C ∴，所以E 、C 、D 1、F 四点共面；（2）由1D F CE O ⋂=，1O D F ∴∈，又1D F ⊂平面11ADD A ，O ∴∈平面11ADD A ，同理O ∈平面ABCD ，又平面11ADD A 平面ABCD AD =，O AD ∴∈，即A ，O ，D 三点共线.19．(1)证明见解析（2）证明：易知13HG AC=，又EF=结合（1）的结论可知，四边形EFGH是梯形，因此直线EH，FG不平行．设它们交点为P，P∈平面ABD，同理P又平面ABD⋂平面BCD BD=，20．(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）连接EF，BD，11B D，易得明；．（2）由直线BE 和DF 相交，延长BE ，DF ，设它们相交于点P ，然后再论证P ∈平面11BB C C ，P ∈平面11CDD C 即可.【详解】（1）如图，连接EF ，BD ，11B D ．∵EF 是111B C D △的中位线，∴11EF B D ∥．∵1BB 与1DD 平行且相等，∴四边形11BDD B 是平行四边形，∴11BD B D ∥，∴EF BD ∥，∴E ，F ，D ，B 四点共面．（2）∵EF BD ∥，且EF BD ≠，∴直线BE 和DF 相交．延长BE ，DF ，设它们相交于点P ，∵P ∈直线BE ，直线BE ⊂平面11BB C C ，∴P ∈平面11BB C C ，∵P ∈直线DF ，直线DF ⊂平面11CDD C ，在三棱柱111ABC A B C -中，四边形则160A AC ∠=︒，又AC =又O 为AC 的中点，所以又平面11AA C C ⊥平面ABC则()0,0,0O ，()0,2,0A -，所以()3,1,0BD =- ，1BB AA = 设平面1B BD 的一个法向量为令13z =-，则11x =，1y =。
立体几何第一章专题解析
第一章 1.3 1.3.1 第2课时一、选择题1．长方体三个面的面积分别为2、6和9，则长方体的体积是( )A ．63B ．36C ．11D ．122．圆台的体积为7π，上、下底面的半径分别为1和2，则圆台的高为( )A ．3B ． 4C ． 5D ．63．(2013～2014学年枣庄模拟)一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，直角边长为1，则这个几何体的体积为( )A ．1B ．12C ．13D ．164．在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝3，∠ABC ＝120°，若使△ABC 绕直线BC 旋转一周，则所形成的几何体的体积是( )A ．6πB ．5πC ．4πD ．3π5．(2013·广东)某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是( )A ．4B ．143C ．163D ．66．如图(1)所示，一只装了水的密封瓶子，其内部可以看成是由半径为1 cm 和半径为3 cm 的两个圆柱组成的简单几何体．当这个几何体如图(2)水平放置时，液面高度为20 cm ，当这个几何体如图(3)水平放置时，液面高度为28 cm ，则这个简单几何体的总高度为( )A ．29 cmB ．30 cmC ．32 cmD ．48 cm 二、填空题7．已知圆锥SO 的高为4，体积为4π，则底面半径r ＝________8．(2013·江苏)如图，在三棱柱A 1B 1C 1－ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，AC ，AA 1的中点．设三棱锥F －ADE 的体积为V 1，三棱柱A 1B 1C 1－ABC 的体积为V 2，则V 1∶V 2＝________.9．(2014·全国高考江苏卷)设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S 1、S 2，体积分别为V 1、V 2，若它们的的侧面积相等且S 1：S 2＝9：4，则V 1V 2＝________三、解答题10．已知圆台的高为3，在轴截面中，母线AA 1与底面圆直径AB 的夹角为60°，轴截面中的一条对角线垂直于腰，求圆台的体积．11．已知△ABC 的三边长分别是AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，以AB 所在直线为轴，将此三角形旋转一周，求所得旋转体的表面积和体积．12．(2011·浙江高考)若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，求此几何体的体积．第一章1.3 1.3.2一、选择题1．半径为R 的球内接一个正方体，则该正方体的体积是( )A ．22R 3B ．43πR 3C ．893R 3D ．39R 3 2．一个正方体与一个球表面积相等，那么它们的体积比是( )A ．6π6B ．π2C ．2π2D ．3π2π3．已知轴截面是正方形的圆柱的高与球的直径相等，则圆柱的全面积与球的表面积的比是( )A ．6 5B ．54C ．4 3D ．3 24．(2013～2014·山东临清中学高一第三次月考试题)已知长方体一个顶点上三条棱的长分别是3、4、5，且它的顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是( )A ．20 2B ．252C ．50πD ．200π5．下图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是( )A ．9πB ．10πC ．11πD ．12π6．64个直径都为a 4的球，记它们的体积之和为V 甲，表面积之和为S 甲；一个直径为a 的球，记其体积为V 乙，表面积为S 乙，则( )A ．V 甲>V 乙且S 甲>S 乙B ．V 甲<V 乙且S 甲<S 乙C ．V 甲＝V 乙且S 甲>S 乙D ．V 甲＝V 乙且S 甲＝S 乙二、填空题7．(2013·陕西)某几何体的三视图如图所示，则其表面积为________．8．已知棱长为2的正方体的体积与球O 的体积相等，则球O 的半径为________．9．若圆柱、圆锥的底面直径和高都等于球的直径，则圆柱、圆锥、球的体积的比为________．三、解答题10．体积相等的正方体、球、等边圆柱(轴截面为正方形)的全面积分别是S1、S2、S3，试比较它们的大小．11．如图，某种水箱用的“浮球”，是由两个半球和一个圆柱筒组成．已知半球的直径是6 cm，圆柱筒高为2 cm.(1)这种“浮球”的体积是多少cm3(结果精确到0.1)?(2)要在2500个这样的“浮球”表面涂一层胶，如果每平方米需要涂胶100克，那么共需胶多少克？12．如图，已知某几何体的三视图如下(单位：m)．(1)画出这个几何体的直观图(不要求写画法)．(2)求这个几何体的表面积及体积．第一章 1.3 1.3.1第1课时一、选择题1．轴截面是正三角形的圆锥称作等边圆锥，则等边圆锥的侧面积是底面积的()A．4倍B．3倍C．2倍D．2倍2．长方体的高为1，底面积为2，垂直于底的对角面的面积是5，则长方体的侧面积等于() A．27 B．4 3C．6 D．33．已知一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是()A ．1＋2π2πB ．1＋4π4πC ．1＋2ππD ．1＋4π2π规律总结：圆柱的侧面展开图是一个矩形，矩形两边长分别为圆柱底面周长和高；圆锥侧面展开图是一个扇形，半径为圆锥的母线，弧长为圆锥底面周长；圆台侧面展开图是一个扇环，其两段弧长为圆台两底周长，扇形两半径的差为圆台的母线长，对于柱、锥、台的有关问题，有时要通过侧面展开图来求解．4．将一个棱长为a 的正方体，切成27个全等的小正方体，则表面积增加了( )A ．6a 2B ．12a 2C ．18a 2D ．24a 2 5．(2011·北京)某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是( )A ．32B ．16＋16 2C ．48D ．16＋32 26．(2013·重庆)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．180B ．200C ．220D ．240二、填空题7．已知圆柱OO ′的母线l ＝4 cm ，全面积为42π cm 2，则圆柱OO ′的底面半径r ＝ ________cm.8．一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图为正三角形，则该几何体的表面积为________．9．如图所示，一圆柱内挖去一个圆锥，圆锥的顶点是圆柱底面的圆心，圆锥的底面是圆柱的另一个底面．圆柱的母线长为6，底面半径为2，则该组合体的表面积等于________．三、解答题 （8题）10．已知圆台的上、下底面半径分别是2,5，且侧面积等于两底面面积之和，求该圆台的母线长．11．(2013～2014·嘉兴高一检测)如图在底面半径为2，母线长为4的圆锥中内接一个高为3的圆柱，求圆柱的表面积．12．已知某几何体的三视图如图，求该几何体的表面积．(单位：cm)1．3.3 球的体积和表面积1．一个球的表面积扩大为原来的4倍，那么该球的体积扩大为原来的________倍．2．半径为1的球和边长为2的正方体，它们的表面积的大小关系是( )A ．S 球>S 正方体B ．S 球＝S 正方体C ．S 球<S 正方体D ．不能确定3．将棱长为1的正方体木块加工成一个体积最大的球，那么球的体积为( )A.3π2B.π6C.2π3D.3π24．若半径为1的球面上两点A ，B 间的球面距离为2π3，则弦长AB 等于( ) A.32B ．1C. 2 D. 3 5．球的一个截面面积为49π cm 2，球心到截面距离为24 cm ，则球的表面积是________．6．已知OA 为球O 的半径，过OA 的中点M 且垂直于OA 的平面截球面得到圆M ，若圆M 的面积为3π，则球O 的表面积等于________．7．已知正方体外接球的体积是32π3，那么正方体的棱长等于( ) A ．2 2 B.2 33 C.4 23 D.4 338．圆柱形容器的内壁底半径为5 cm ，两个直径为5 cm 的玻璃小球都浸没于容器的水中，若取出这两个小球，则容器的水面将下降( )A.53 cmB.35 cmC.45 cmD.43cm 9．圆柱形容器内盛有高度为8 cm 的水，若放入三个相同的珠(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图K1-3-6)，求球的半径．图K1-3-6 10．如图K1-3-7(单位：cm)，求图中阴影部分绕AB 旋转一周所形成的几何体的表面积和体积．图K1-3-71．3.2 柱体、锥体、台体的体积1．已知圆柱与圆锥的底面积相等，高也相等，它们的体积分别为V 1和V 2，则V 1∶V 2＝( )A ．1∶3B ．1∶1C ．2∶1D ．3∶12．圆锥母线长为2，底面半径为1，则圆锥的体积为( )A.23π B ．2π C.3π D.33π 3．矩形两邻边的长为a ，b ，当它分别绕边a ，b 旋转一周时，所形成的几何体的体积之比为( )A.b aB.a bC.⎝⎛⎭⎫b a 3D.⎝⎛⎭⎫a b 3 4．若干毫升水倒入底面半径为2 cm 的圆柱形器皿中，量得水面高度为6 cm ，若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面高度为( )A ．6 3 cmB ．6 cmC ．328 cmD ．3312cm5．如图K1-3-4是某几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的等边三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积是( )A.4 33πB.12πC.33πD.36π6．已知一个铜质的五棱柱的底面积为16 cm 2，高为4 cm ，现将它熔化后铸造成一个正方体的铜块，则铸成铜块的棱长为________．7．将长和宽分别为6和4的矩形卷成一个圆柱，则该圆柱的体积为________．8．将半径为6的圆形铁皮，剪去面积为原来16的扇形，余下的部分卷成一个圆锥的侧面，则其体积为________．9．(2012年山东)如图K1-3-5，正方体ABCD - A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E ，F 分别为线段AA 1，B 1C 上的点，求三棱锥D 1-EDF 的体积．图K1-3-510．养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐(供融化高速公路上的积雪之用)，已建的仓库的底面直径为12 m ，高为4 m ．养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐．现有两种方案：一是新建的仓库的底面直径比原来大4 m(高不变)；二是高度增加4 m(底面直径不变)．(1)分别计算按这两种方案所建的仓库的体积；(2)分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积；(3)哪个方案更经济些，说明理由． 1.3 空间几何体的表面积与体积 1．3.1 柱体、锥体、台体的表面积1．如果圆锥的底面半径为2，高为2，那么它的侧面积是( )A ．4 3πB ．2 2πC ．2 3πD ．4 2π2．将一个边长为a 的正方体，切成27个全等的小正方体，则表面积增加了( )A ．6a 2B ．12a 2C ．18a 2D ．24a 23．侧面都是等腰直角三角形的正三棱锥，底面边长为a ，该三棱锥的全面积是( )A.3＋34a 2B.34a 2C.3＋32a 2D.⎝⎛⎭⎫32＋34a 24．一个直角梯形的两底长分别为2和5，高为4，绕其较长的底旋转一周，所得的几何体的表面积为( )A ．52πB ．36πC ．45πD ．37π5．若一圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的全面积和侧面积之比是( )A.1＋2π2πB.1＋4π4πC.1＋2ππD.1＋4π2π6．(2012年广东)某几何体的三视图如图K1-3-1，它的体积为( )A ．12πB ．45πC ．57πD ．81π图K1-3-1 图K1-3-27．若一个圆锥的正视图(如图K1-3-2)是边长为3,3,2的三角形，则该圆锥的侧面积是________．8．如图K1-3-3，在底面半径为2，母线长为4的圆锥中内接一个高为3的圆柱，则圆柱的表面积为__________．图K1-3-39．已知圆锥的底面半径为2 cm ，高为6 cm ，在其中有一个高为x cm 的内接圆柱．(1)试用x 表示圆柱的侧面积；(2)当x 为何值时，圆柱的侧面积最大？最大值为多少？10．圆锥的半径为r ，母线长为4r ，M 为底面圆周上任意一点，从M 拉一根绳子，环绕圆锥的侧面一周再回到M ，求最短绳长．柱体、锥体、台体的表面积一、选择题1．正四棱柱的对角线长是9cm ，全面积是144cm 2，则满足这些条件的正四棱柱的个数是（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个2．三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB ＝AC ，且侧面A 1ABB 1与侧面A 1ACC l 的面积相等，则∠BB 1C 1等于（ ）A ．45°B ．60°C ．90°D ．120°3．边长为5cm 的正方形EFGH 是圆柱的轴截面，则从正点沿圆柱的侧面到相对顶点G 的最短距离是（ ）A ．10cmB ．52cmC ．512+πcmD ．4252+πcm4．中心角为43π，面积为B 的扇形围成一个圆锥，若圆锥的全面积为A ，则A ∶B 等于（ ）A ．11∶8B ．3∶8C ．8∶3D ．13∶85．正六棱台的上、下底面的边长分别为a 、b （a <b ），侧面和底面所成的二面角为60°，则它的侧面积是（ ）A ．33（b 2－a 2）B ．23（b 2－a 2C ．3（b 2－a 2）D ．23（b 2－a 2）6．过圆锥的高的三等分点作平行于底面的截面，它们把圆锥的侧面分成的三部分的面积之比为（ ）A ．1∶2∶3B ．1∶3∶5C ．1∶2∶4D ．1∶3∶97．若圆台的上、下底面半径的比为3∶5，则它的中截面分圆台上、下两部分面积之比为（ ）A ．3∶5B ．9∶25C ．5∶41D ．7∶98．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是（ ）A ．ππ221+B ．ππ421+C ．ππ21+D ．ππ241+9．已知正四面体ABCD 的表面积为S ，其四个面的中心分别为E 、F 、G 、H ，设四面体EFGH的表面积为T ，则S T等于（ ）A ．91B ．94C ．41D ．3110．一个斜三棱柱，底面是边长为5的正三角形，侧棱长为4，侧棱与底面三角形两边所成的角都是60°，则这个斜三棱柱的侧面积是（ ）A ．40B ．)31(20+C ．)31(30+D ．303二、填空题11．长方体的高为h ，底面面积是M ，过不相邻两侧棱的截面面积是N ，则长方体的侧面积是______．12．正四棱台上、下底面的边长为b 、a （a ＞b ）且侧面积等于两底面面积之和，则棱台的高是______．13．圆锥的高是10 cm ，侧面展开图是半圆，此圆锥的侧面积是_____；轴截面等腰三角形的顶角为______．14．圆台的母线长是3 cm ，侧面展开后所得扇环的圆心角为180°，侧面积为10πcm 2，则圆台的高为_____；上下底面半径为_______．三、解答题15．已知正三棱台的侧面和下底面所成的二面角为60°，棱台下底面的边长为a ，侧面积为S ，求棱台上底面的边长．16．圆锥的底面半径为5 cm ，高为12 cm ，当它的内接圆柱的底面半径为何值时，圆锥的内接圆柱全面积有最大值？最大值是多少?17．圆锥底面半径为r ，母线长是底面半径的3倍，在底面圆周上有一点A ，求一个动点P 自A 出发在侧面上绕一周到A 点的最短路程．柱体、锥体与台体的体积一、选择题1．若正方体的全面积增为原来的2倍，那么它的体积增为原来的（ ）A ．2倍B ．4倍C ．2倍D ．22倍2．一个长、宽、高分别为a 、b 、c 长方体的体积是8cm 2，它的全面积是32 cm 2，且满足b 2＝ac ，那么这个长方体棱长的和是（ ）A 、28cmB ．32 cmC ．36 cmD ．40 cm3．正六棱台的两底面的边长分别为a 和2a ，高为a ，则它的体积为（ ）A ．32321aB ．3233aC ．337aD ．3237a4．若球的体积与其表面积的数值相等，则球的半径为（ ）A ．1B ．3C ．2D ．215．一个球的外切正方体的全面积的数值等于6cm 2，则此球的体积为（ ）A ．334cm πB ．386cm πC ．361cm π D ．366cm π6．正六棱锥的底面边长为a ，体积为323a ，那么侧棱与底面所成的角为（ ）A ．6πB ．4πC ．3πD ．125π7．正四棱锥的底面面积为Q ，侧面积为S ，则它的体积为（ ）A 、S Q 31B ．)(2122Q S Q -C 、)(2122Q S S -D 、)(6122Q S Q -8．棱台上、下底面面积之比为1∶9，则棱台的中截面分棱台成两部分的体积之比是（ ）A ．1∶7B ．2∶7C ．7∶19D ．3∶169．正方体、等边圆柱与球它们的体积相等，它们的表面积分别为S 1、S 2、S 3，下面关系中成立的是（ ）A ．S 3＞S 2＞S 1B ．S 1＞S 3＞S 2C ．S 1＞S 2＞S 3D ．S 2＞S l ＞S 310．沿棱长为1的正方体的交于一点的三条棱的中点作一个截面，截得一个三棱锥，那么截得的三棱锥的体积与剩下部分的体积之比是（ ）A ．1∶5B ．1∶23C ．1∶11D ．1∶47二、填空题11．底面边长和侧棱长都是a 的正三棱锥的体积是_______．12．将4×6的矩形铁皮作为圆柱的侧面卷成一个圆柱，则圆柱的最大体积是_______．13．半径为1的球的内接正方体的体积是________；外切正方体的体积是_______．14．已知正三棱台上、下底面边长分别为2、4，且侧棱与底面所成角是45°，那么这个正三棱台的体积等于_______．三、解答题15．三棱锥的五条棱长都是5，另一条棱长是6，求它的体积．16．两底面边长分别是15cm 和10cm 的正三棱台，它的侧面积等于两底面积的和，求它的体积．17．一个圆锥形容器和一个圆柱形容器，它们的轴截面尺寸如图所示，两容器内所盛液体的体积正好相等，且液面高度h 正好相同，求h ．18．如图所示，已知正方体ABCD —A 1B 1C l D l 的棱长为a ，E 为棱AD 的中点，求点A 1到平面BED 1的距离．球的体积和表面积 一、选择题1．若球的大圆面积扩大为原来的4倍，则球的表面积比原来增加（ ）A ．2倍B ．3倍C ．4倍D ，8倍2．若球的大圆周长是C ，则这个球的表面积是（ ）A ．π42cB ．π42cC ．π2c D ．2πc 23．已知过球面上A 、B 、C 三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB ＝BC ＝CA ＝2，则球面面积是（ ）A ．916πB ．38πC ．4πD ．964π4、球的大圆面积增大为原来的4倍，那么球的体积增大为原来的（ ）A ．4倍B ．8倍C ．16倍D ．32倍5．三个球的半径之比为1∶2∶3，那么最大球的体积是其余两个球的体积和的（ ）A 、1倍B ．2倍C ．3倍D ．4倍6．棱长为1的正方体内有一个球与正方体的12条棱都相切，则球的体积为（ ）A ．4πB ．4πC ．π32D ．42π7．圆柱形烧杯内壁半径为5cm ，两个直径都是5 cm 的铜球都浸没于烧杯的水中，若取出这两个铜球，则烧杯内的水面将下降（ ）A 、35cmB ．310cmC ．340cm D ．65cm8．已知过球面上A 、B 、C 三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB ＝BC ＝CA ＝2，则球面面积为（ ）A 、916π B ．38π C ．4π D ．964π9．长方体一个顶点上的三条棱的长度分别为3、4、5，且它的8个顶点都在同一球面上，这个球的表面积为（ ）A ．202πB ．252πC ．50πD ．200π10．等体积的球与正方体，其表面积的大小关系为（ ）A ．S 球＞S 正方体B ．S 球＝S 正方体C ．S 球＜S 正方体D ．大小关系不确定二、填空题11．已知三个球的表面积之比为1∶4∶9，若它们的体积依次为V 1、V 2、V 3，则V 1＋V 2＝_____V 3．12．已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同一侧，且相距为l ，则球的体积为_________．13．将一个玻璃球放人底面面积为64πcm 2的圆柱状容器中，容器水面升高34cm ，则玻璃球的半径为__________．14．将一个半径为R 的木球削成一个尽可能大的正方体，则此正方体的体积为______．15．表面积为Q 的多面体的每个面都外切于半径为R 的一个球，则多面体与球的体积之比为______．16．国际乒乓球比赛已将“小球”改为“大球”，“小球”的外径为38 mm ，“大球”的外径为40 mm ，则“小球”与“大球”的表面积之比为__________．三、解答题17．已知正三棱柱的底面边长为1，侧棱长为2，则这样的三棱柱内能否放进一个体积为16的小球？18．用刀切一个近似球体的西瓜，切下的较小部分的圆面直径为30 cm ，高度为5 cm ，该西瓜体积大约有多大?19．三棱锥A －BCD 的两条棱AB ＝CD ＝6，其余各棱长均为5，求三棱锥的内切球的体积．20．表面积为324π的球，其内接正四棱柱的高是14，求这个正四棱柱的表面积．。
第一章 空间向量与立体几何(单元复习课件)
三、本章考点分析
类型 18：求平面的法向量解题技巧
利用待定系数法求平面法向量的步骤
(1)设向量：设平面的法向量为 n＝(x，y，z)．
(2)选向量：在平面内选取两个不共线向量A→B，A→C.
n·A→B＝0， (3)列方程组：由 n·A→C＝0
面．首先应考虑三个向量是否是零向量，其次判断三个非零向量是否共面．如果从 正面难以入手判断三个向量是否共面，可假设三个向量共面，利用向量共面的充要 条件建立方程组．若方程组有解，则三个向量共面；若方程组无解，则三个向量不 共面．
● 类型7：用基底表示空间向量答题模板
● 用基底表示空间向量的步骤
● (1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底．
(3)利用|a | a2 ，通过计算求出 a ，即得所求距离．
类型 11：求两直线的夹角问题解题技巧 (1)求几何体中两个向量的夹角，可以把其中一个向量平移到与另一个向量的起点重合，转化为求 平面中的角的大小．
(2)由两个向量的数量积定义得 cosa,b a b ,求 a,b 的大小,转化为求两个向量的数量积及两个 | a || b |
三、本章考点分析
类型 16：坐标形式下向量的平行与垂直问题答题模板 判断空间向量垂直或平行的步骤 (1)向量化：将空间中的垂直与平行转化为向量的垂直与平行； (2)向量关系代数化：写出向量的坐标； (3)对于 a (x1, y1, z1),b (x2 , y2 , z2 ) ,根据 x1x 2 y1 y2 z1z2 是否等于 0,判断两向量是否垂直;根据
三、本章考点分析
类型 2：向量的共面问题规律总结 (1)证明向量共面，可以利用共面向量的充要条件，也可以直接利用定义，通过线面平行或直线在 平面内进行证明． (2)向量共面时向量所在的直线不一定共面，只有这些向量都过同一点时向量所在的直线才共面(向 量的起点、终点共面)． 类型 3：数量积的计算规律总结 (1)已知 a，b 的模及 a 与 b 的夹角，直接代入数量积公式计算． (2)如果要求的是关于 a 与 b 的多项式形式的数量积，可以先利用数量积的运算律将多项式展开， 再利用 a a a2 及数量积公式进行计算．
高中数学第1章立体几何初步1
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观察圆锥SO
它给我们轴垂直于底面形象，轴与底面内哪 些线垂直呢？
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直线与平面垂直定义
假如一条直线a与一个平面内任任意意一一条条直线都垂直,
我们就说直线a与平面 相互垂直, 记作 a⊥.
思索:
1.能将定义中“任意一条直线”改为“无数条直线”吗？ 为
何?
a a
a
2.假如a⊥ ，则a与 内任意一条直线都垂直吗？
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课堂小结
定义
线线垂直
判定定理
直线与平面垂直
立体几何证实书写一定要规范；
尤其提醒 定理条件一个都不能少.
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简单利用
例1 求证:假如两条平行直线中一条垂直于一个平面,
那么另一条也垂直于这个平面.
已知: a∥b，a⊥． 求证: b⊥．
线面垂直 线线垂直
a
b
证实: 设m是内任意一条直线.
a⊥
m a⊥m
m
a∥b
b⊥m
b⊥ m是内任意一条直线 线线垂直 线面垂直
线线垂直 线面垂直
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工人师傅要 竖立旗杆， 按照定义来 操作行吗？
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a a a
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试验探究
探究假如一条直线和一个平面内两条相交直线垂直, 那么这条直线垂直于这个平面吗?说明理由.
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直线与平面垂直判定定理
假如一条直线和一个平面内两条相交直线垂直， 那么这条直线垂直于这个平面.
a
n
A
m
a⊥m a⊥n m⊂
第一章 空间向量与立体几何 单元复习讲义 易错题型(解析版)
第一章 空间向量与立体几何 单元复习讲义 易错题易错点一：空间向量的加减运算1．已知正方体ABCD -A1B1C1D1中,AC1的中点为O,则下列命题中正确的是( ) A ．OA OD +与11OB OC +是一对相等向量 B ．OB OC -与11OA OD -是一对相反向量 C ．1OA OA -与1OC OC -是一对相等向量D ．OA OB OC OD +++与1111OA OB OC OD +++是一对相反向量【详解】A. 取AD,11B C的中点M,N ，则：2OA OD OM +=,112OB OC ON =+，两者不是一对相等向量； B. OB OC CB -=，1111OA O A D D =-，两者是一对相等向量； C. 11OA OA AA =-，11OC O C C C -=，两者是一对相反向量；D.设底面1111,ABCD A B C D 的中心分别为P,Q ，则：OA OB OC OD OP ++=+，1111OA OB OC OD OQ ++=+， 两者是一对相反向量；故选：D.2．已知在正方体1111ABCD A B C D -中，P ，M 为空间任意两点，如果1111764PM PB BA AA AD=++-，那么点M 必（ ）A ．在平面1BAD 内 B ．在平面1BA D 内C ．在平面11BA D内 D ．在平面11AB C 内【详解】因为1111111176464PM PB BA AA A D PB BA BA A D =++-=++-11116PB B A BA =++-11111146()4()A D PA PA PB PD PA =+---111164PA PB PD =--，所以M ，B ，1A ，1D 四点共面 故选：C.3．已知平行六面体ABCD -A'B'C'D',则下列四式中:①AB CB AC -=;①''''AC AB B C CC =++;①''AA CC =;①'''AB BB BC C C AC +++=. 其中正确的是_____.【详解】由题意得AB CB AB BC AC -=+=,①正确;'''''AB B C CC AB BC CC AC ++=++=,①正确;①显然正确;因为''AB BB BC AC ++=,所以①不正确. 故答案为①①①易错点二：空间向量的数量积1．平行六面体（底面为平行四边形的四棱柱）1111ABCD A B C D -所有棱长都为1，且1160,45,A AD A AB DAB ︒∠=∠=∠=︒则1BD =（ ）A ．31-B ．21-C ．32-D ．32-【详解】 如图：由11,BD AD AB AA =-+2211()BD AD AB AA ∴=-+222111222AB AD AA AB AD AB AA AD AA =++-⋅-⋅+⋅21111211cos 45cos60c 12161os 0︒︒︒-⨯⨯=⨯+++-⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 32=-,13||2BD ∴=-, 故选：C2．在空间直角坐标系O xyz -中，(0,0,0),(22,0,0),(0,22,0)O E F ，B 为EF 的中点，C 为空间一点且满足||||3CO CB ==，若1cos ,6EF BC <>=，，则OC OF ⋅=（ ） A ．9 B ．7 C ．5 D ．3【详解】设(,,)C x y z ，(2,2,0)B ， (,,)OC x y z =，(2,2,)BC x y z =--，(22,22,0)EF =-，由(22,22,0)(2,2,)1cos ,436EF BC x y z EF BC EF BC⋅-⋅--===⋅⋅，整理可得：22x y -=-， 由||||3CO CB ==，得2222(2)(2)x y x y +=-+-， 化简得2x y +=，以上方程组联立得232,44x y ==，则()(,,)0,22,0223OC OF x y z y =⋅==.故选：D.3．设a b c ，，是单位向量，且0⋅＝a b ，则()()a cbc -⋅-的最小值为__________．【详解】 ·0＝a b ，且a b c ，，均为单位向量， ①()22222211202+=+=++⋅=++⨯=a b a b a b a b ，|c |=1，21=c ,①()()()()21-⋅-=⋅-++⋅-⋅=+a c b c a b a b c c a b c.设a b +与c 的夹角为θ， 则()()1cos 12cos θθ-⋅-=-+=-a c b c a b c .故()()a cbc -⋅-的最小值为1 2.-故答案为：1 2.-易错点三：用空间基底表示向量1．在三棱柱111A B C ABC-中，D 是四边形11BB C C的中心，且1,,AA a AB b AC c ===，则1A D =（ ）A ．111222a b c ++ B ．111222a b c -+ C ．111222a b c +- D ．111222a b c-++【详解】由于D 是四边形11BB C C的中心()11111111111111()22222A D A B AC A A A B AC a b c =+=++=-++. 故选:D2．如图，在三棱锥O ABC -中，点D 是棱AC 的中点，若OA a =，OB b =，OC c =，则BD 等于（ ）A ．1122a b c-+ B ．a b c +- C ．a b c -+ D ．1122a b c -+- 【答案】A 【详解】()11112222OD OA AD OA AC OA OC OA OA OC=+=+=+-=+， 因此，11112222BD OD OB OA OB OC a b c=-=-+=-+. 故选：A.3．如图，在空间四边形OABC 中，M ，N 分别为OA 、BC 的中点，点G 在线段MN 上，且3MG GN =，用向量OA 、OB 、OC 表示向量OG ，设OG x OA y OB z OC =⋅+⋅+⋅，则x 、y 、z 的和为______.【详解】MN MA AB BN =++ 11111()22222OA OB OA OC OB OA OB OC =+-+-=-++13131112424222OG OM MG OA MN OA OA OB OC ⎛⎫∴=+=+=+-++ ⎪⎝⎭813388OA OB OC=++133,,888x y z ∴===即78x y z ++=故答案为：78易错点四：空间向量的坐标运算1．已知点A(3,3,-5),B(2,-3,1),C 为线段AB 上一点,且23AC AB =,则点C 的坐标为( ) A ． 715(,,)222- B ． 3(,3,2)8- C ． 7(,1,1)3-- D ． 573(,,)222-【详解】设C 的坐标是（x ，y ，z ） ①A(3,3,-5),B(2,-3,1)，①166,335AB AC x y z =--=--+（，，）（，，） ①23AC AB =，①2335166,3x y z --+=--（，，）（，，）由此解得7,1,1,3x y z ==-=- ，故选C.2．已知()1,1,2P -，()23,1,0P 、()30,1,3P ，则向量12PP与13PP 的夹角是（ ） A ．30 B ．45 C ．60 D ．90【详解】设向量12PP与13PP 的夹角为θ， ()()()123,1,01,1,22,2,2PP =--=-，()()()130,1,31,1,21,2,1PP =--=-，则12131213cos 0PP PP PP PP θ⋅==⋅，所以，90θ=，故选D.3．如图，在长方体ABCD -A1B1C1D1中，E ，F 分别为D1C1，B1C1的中点，若以{}1,,AB AD AA 为基底，则向量AE 的坐标为___，向量AF 的坐标为___，向量1AC 的坐标为___.【详解】因为11112AE AD DD D E AB AD AA =++=++，所以向量AE 的坐标为1,1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭. 因为11112AF AB BB B F AB AD AA =++=++， 所以向量AF 的坐标为1112⎛⎫ ⎪⎝⎭,,. 因为11AC AB AD AA =++，所以向量1AC 的坐标为(1,1,1).故答案为：1,1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭；1112⎛⎫ ⎪⎝⎭,,；(1,1,1)易错点五：空间向量运算的坐标表示1．在空间直角坐标系中，已知()1,2,3A ，()1,0,4B ，()3,0,5C ，()4,1,3D -，则直线AD 与BC 的位置关系是（ ）A ．平行B ．垂直C ．相交但不垂直D ．无法判定【详解】由题意，点()1,2,3A ，()1,0,4B ，()3,0,5C ，()4,1,3D -， 可得()3,1,6AD =--，()2,0,1BC =， 又由()()2310610AD BC ⋅=⨯+-⨯+-⨯=， 所以AD BC ⊥，所以直线AD 与BC 垂直.故选：B.2．已知A(1,2,3)，B(2,1,2)，C(1,1,2)，O 为坐标原点，点D 在直线OC 上运动，则当DA ·DB 取最小值时，点D 的坐标为( )A ．444,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．848,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．448,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．884,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭【详解】设OD =t OC =（t ，t ，2t ），t≥0，①A （1，2，3）、B （2，1，2）、C （1，1，2），O 为坐标原点，点D 在直线OC 上运动， ①DA =（1﹣t ，2﹣t ，3﹣2t ），DB =（2﹣t ，1﹣t ，2﹣2t ）， ①DA •DB =（1﹣t ）×（2﹣t ）+（2﹣t ）×（1﹣t ）+（3﹣2t ）（2﹣2t ） =6t2﹣16t+10=6（t ﹣43）2+269，当t=43时，DA •DB 取最小值，此时D （448333，，）．故答案为：C ．3．已知AB ＝(1，5，－2)，BC ＝(3，1，z)，若AB ⊥BC ，BP ＝(1x -，y ，－3)，且BP ⊥平面ABC ，则实数x y +=________．【详解】由题意，可得,,AB BC BP AB BP BC ⊥⊥⊥，利用向量的数量积的运算公式，可得()352015603130z x y x y z ⎧+-=⎪-++=⎨⎪-+-=⎩解得407x =，157y =-，4z =，①401525777x y +=-=.易错点六：空间位置关系的向量证明1．已知正方体1111ABCD A B C D -，E 是棱BC 的中点，则在棱1CC 上存在点F ，使得（ ）A ．1//AF D EB ．1AF D E ⊥C ．//AF 平面11CDE D ．AF ⊥平面11C D E【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则(1,0,0)A ，1(0,0,1)D ，1(,1,0)2E ，设(0,1,)F z （(01)z ≤≤，则11(,1,1)2D E =-，(1,1,)AF z =-，因为11211≠-，所以1,AF D E 不可能平行，即1,AF D E不可能平行，又11102AF D E z ⋅=-+-=，12z =，因此1,AF D E 可以垂直，即AF 与1D E 可能垂直． 1(0,1,1)C ，11(0,1,0)DC=， 设平面11C D E的一个法向量为(,,)n x y z =， 则1110102n D C y n D E x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=+-=⎪⎩，取2x =，则(2,0,1)n =， AF 与n 不可能平行，因此AF 与平面11C D E 不可能垂直，2[2,1]AF n z ⋅=-+∈--，因此AF 与n 不可能垂直，因此AF 与平面11C D E 不可能平行，故选：B ．2．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为a，M，N分别为A1B和AC上的点，A1M=AN=23a，则MN与平面BB1C1C的位置关系是（）A．相交B．平行C．垂直D．不能确定【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，由图可知平面BB1C1C的法向量(0,1,0)n=.①A1M=AN=23a，①M233a aa⎛⎫⎪⎝⎭，，，N2233a aa⎛⎫⎪⎝⎭，，，①233a aMN⎛⎫=- ⎪⎝⎭，，.①0MN n⋅=，①MN①平面BB1C1C，故选：B.3．若直线l1的方向向量为1u=(1,3,2),直线l2上有两点A(1,0,1),B(2,-1,2),则两直线的位置关系是_____.【详解】因为AB=(1,-1,1), 直线l1的方向向量为1u=(1,3,2),1u·AB=(1,3,2)·(1,-1,1)=0,所以两直线位置关系为垂直.易错点七：异面直线夹角的向量求法1．如图所示，在三棱锥P–ABC中，PA①平面ABC，D是棱PB的中点，已知PA=BC=2，AB=4，CB①AB，则异面直线PC，AD所成角的余弦值为A．3010-B．305-C．305D．3010【详解】因为PA①平面ABC，所以PA①AB，PA①BC．过点A作AE①CB，又CB①AB，则AP，AB，AE两两垂直．如图，以A为坐标原点，分别以AB，AE，AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)，P(0，0，2)，B(4，0，0)，C(4，−2，0)．因为D为PB的中点，所以D(2，0，1)．故CP=(−4，2，2)，AD=(2，0，1)．所以cos〈AD，CP〉=AD CPAD CP⋅⋅==−.设异面直线PC，AD所成的角为θ，则cos θ=|cos〈AD，CP〉|=.2．如图所示，在正方体1111ABCD A B C D-中，若E为11D C的中点，则11A C→与DE→所成角的余弦值为（）A．1010B．13C．24D．55【详解】设正方体的棱长为1，记AB a→=，AD b→=，1AA c→=，则||||||1a b c===，0a b b c c a⋅=⋅=⋅=．因为11AC AB AD a bAC→→→→==+=+，1111112DE DD D E DD D C c→→→→→=+=+=+12a，所以221111111()22222AC DE a b c a a c b c a a b a→→⎛⎫⋅=+⋅+=⋅+⋅++⋅==⎪⎝⎭．又因为11||2AC →=，215||122DE →⎛⎫=+=⎪⎝⎭， 所以1111111102cos ,105||||22AC AC DE AC DE →→→→→〈〉===⨯， 所以11AC→与DE →所成角的余弦值为1010．故选：A3．在三棱锥O ABC -中，已知OA 、OB 、OC 两两垂直且相等，点P 、Q 分别是线段BC 和OA 上的动点，且满足12BP BC ≤，12AQ AO≥，则PQ 和OB 所成角的余弦的取值范围是___________.【详解】根据题意，以O 为原点，分别为OA 、OB 、OC 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，不妨设1OA OB OC ===，则()1,0,0A 、()0,1,0B 、()0,0,1C 、()10,,112P b b b ⎛⎫-≤≤ ⎪⎝⎭、()1,0,002Q a a ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭， (),,1QP a b b =--，()0,1,0OB =，所以()222221cos ,1111QP OB b QP OB QP OBa b b a b b ⋅<>===⋅++-⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.因为[]0,1a b ∈，[]11,2b ∈，所以当0a =，1b =时， cos ,QP OB <>取得最大值，且最大值为1；当12a b ==时，cos ,QP OB <>取得最小值，且最小值为33，所以PQ 和OB 所成角的余弦的取值范围是3,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故答案为：3,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦.易错点八：线面角的向量求法1．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1CC 的中点，则直线1A B 与平面BDE 的夹角为（ ）A ．6πB ．3πC ．2πD ．56π 【详解】以点D 为原点，DA ，DC ，1DD 分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则(0,0,0)D ，(1,0,0)A ，(1,1,0)B ，10,1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭E ，1(1,0,1)A ， ①(1,1,0)DB =，10,1,2DE ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1(0,1,1)A B =-， 设平面BDE 的一个法向量(,,)n x y z =，则00n DB n DE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即0102x y y z +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，令1x =，则1,2y z =-=，所以平面BDE 的一个法向量(1,1,2)n =-，①1(0,1,1)BA =-，①11123cos ,,,[0,]223BA n BA n π+<>==<>∈， ①1,6BA n π<>=，①直线1A B 与平面BDE 的夹角为3π.故选：B.2．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 为棱1CC 的中点，则直线1B M 与平面11A D M 所成角的正弦值是（ ）A ．215B．25C．35D．45【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，则1111(1,0,1),(0,0,1),(0,1,),(1,1,1)2A D M B11(1,0,0)=-A D，11(0,1,)2=-D M，11(1,0,)2=MB设平面11A D M的法向量为(,,)m x y z=则111=012xA D my zD M m-=⎧⎧⋅⎪⎪⇒⎨⎨-=⋅=⎪⎩⎪⎩令1y=可得2z=，所以(0,1,2)=m设直线1B M与平面11A D M所成角为θ，1112sin5552θ⋅===⋅⨯m MBm MB故选：B3．在正四棱锥SABCD中，O为顶点在底面内的投影，P为侧棱SD的中点，且SO＝OD，则直线BC与平面PAC的夹角是________．【详解】解：如图所示，以O为坐标原点建立空间直角坐标系Oxyz.设OD＝SO＝OA＝OB＝OC＝a，则A(a，0，0)，B(0，a，0)，C(－a，0，0)，(0,,)22a aP-，则CA ＝(2a ，0，0)，AP ＝(,,)22a a a --，CB ＝(a ，a ，0)． 设平面PAC 的法向量为n ＝(x ，y ，z)，因为n ①CA ，n AP ⊥，所以20,0,22ax a a ax y z =⎧⎪⎨--+=⎪⎩所以x ＝0，y ＝z ，令y ＝1，则n ＝(0，1，1)是平面PAC 的一个法向量， 所以cos 〈,CB n〉＝21222CB n a CB n a ⋅==⨯，所以〈,CB n 〉＝60°，所以直线BC 与平面PAC 的夹角为90°－60°＝30°．故答案为：30°．易错点九：面面角的向量求法1．如图，在空间直角坐标系D xyz -中，四棱柱1111ABCD A B C D -为长方体，12AA AB AD ==，点E ，F 分别为11C D ，1A B 的中点，则二面角11B A B E --的余弦值为（ ）A ．33- B ．32- C ．33 D ．32【详解】 设1AD =，则1(1,0,2)A ，(1,2,0)B①E ，F 分别为11C D ，1A B 的中点①(0,1,2)E ，(1,1,1)F ，即1(1,1,0)AE =-，1(0,2,2)A B =- 设(,,)m x y z =是平面1A BE 的法向量，则1100A E m A B m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即0220x y y z -+=⎧⎨-=⎩取1x =，则1y z ==，即有平面1A BE 的一个法向量为(1,1,1)m =又DA ⊥平面11A B B ，即(1,0,0)DA =是平面11A B B 的一个法向量①13cos ,3||||3m DA m DA m DA ⋅〈〉===，又二面角11B A B E --为锐二面角 ①二面角11B A B E --的余弦值为33故选：C2．如图，在空间直角坐标系Dxyz 中，四棱柱1111ABCD A B C D -为长方体， 12AA AB AD ==，点E 为11C D 的中点，则二面角11B A B E --的余弦值为（ ）A ．33- B ．32- C ．33 D ．32【详解】 设1AD =，则1(1,0,2),(1,2,0)A B ，因为E 为11C D 的中点，所以(0,1,2)E ，所以 11(1,1,0),(0,2,2)A E A B =-=-，设(,,)m x y z =是平面 1A BE 的一个法向量，则1100A E m A B m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即 0220x y y z -+=⎧⎨-=⎩，取1x =，则1y z ==，所以平面1A BE 的一个法向量为(1,1,1)m =，又因为DA ⊥平面11A B B ，所以(1,0,0)DA =是平面 11A B B 的一个法向量，所以13cos ,3||||3m DA m DA m DA ⋅〈〉===， 又因为二面角11B A B E --为锐二面角， 所以二面角11B A B E --的余弦值为33.故选：C.3．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，11AD AA ==，2AB =，点E 在棱AB 上.若二面角1D EC D --的大小为4π，则AE =__________．【解析】 分析：以D 为原点，建立空间直角坐标系，设(02)AE λλ=≤≤，再求出平面AECD 和平面1D EC 的法向量，利用法向量所成的角表示出二面角的平面角，解方程即可得出答案.详解：以D 为原点，以DA ，DC ，1DD 为,,x y z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，设(02)AE λλ=≤≤，平面1D EC的法向量为(,,)m x y z =由题可知，1(0,0,1)D ，(0,2,0)C ，(1,,0)E λ，1(0,2,1)DC =-，(1,2,0)CE λ=-平面AECD 的一个法向量为z 轴，∴可取平面AECD 的法向量为(0,0,1)n = (,,)m x y z =为平面1D EC 的法向量， ∴120(2)0m D C y z m CE x y λ⎧⋅=-=⎨⋅=+-=⎩ 令1y =，则(2,1,2)m λ=-二面角1D EC D --的大小为4π∴cos4m nm n π⋅=⋅，即22222(2)12λ=-++解得 23λ=-，23λ=+（舍去）∴23AE =-故答案为23-。
立体几何第一章复习资料
立体几何第一章复习资料本章知识结构及内容一）知识结构二）公理、定理、性质及推论公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内公理2 如果两个平面有一个公共点，那么它们只有一条通过这个点的公共直线公理3 经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面推论1 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面性质过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线公理4 平行于同一直线的两条直线互相平行定理如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等10．推论如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等。
11．直线和平面平行的判定定理如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。
12．直线和平面平行的性质定理如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
13．直线和平面垂直的判定定理如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。
14．判定定理2 如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一个平面。
15．直线和平面垂直的性质定理如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。
16．定理从平面外的一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中，（1）射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长；（2）相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长；（3）垂线段比任何一条斜线段都短。
17．定理斜线和平面所成的角，是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角。
18．三垂线定理在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
19．三垂线定理的逆定理在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直。
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第一章 1.3 1.3.1 第2课时一、选择题1．长方体三个面的面积分别为2、6和9，则长方体的体积是( )A ．63B ．36C ．11D ．122．圆台的体积为7π，上、下底面的半径分别为1和2，则圆台的高为( )A ．3B ． 4C ． 5D ．63．(2013～2014学年枣庄模拟)一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，直角边长为1，则这个几何体的体积为( )A ．1B ．12C ．13D ．164．在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝3，∠ABC ＝120°，若使△ABC 绕直线BC 旋转一周，则所形成的几何体的体积是( )A ．6πB ．5πC ．4πD ．3π5．(2013·广东)某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是( )A ．4B ．143C ．163D ．66．如图(1)所示，一只装了水的密封瓶子，其内部可以看成是由半径为1 cm 和半径为3 cm 的两个圆柱组成的简单几何体．当这个几何体如图(2)水平放置时，液面高度为20 cm ，当这个几何体如图(3)水平放置时，液面高度为28 cm ，则这个简单几何体的总高度为( )A ．29 cmB ．30 cmC ．32 cmD ．48 cm 二、填空题7．已知圆锥SO 的高为4，体积为4π，则底面半径r ＝________8．(2013·江苏)如图，在三棱柱A 1B 1C 1－ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，AC ，AA 1的中点．设三棱锥F －ADE 的体积为V 1，三棱柱A 1B 1C 1－ABC 的体积为V 2，则V 1∶V 2＝________.9．(2014·全国高考江苏卷)设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S 1、S 2，体积分别为V 1、V 2，若它们的的侧面积相等且S 1：S 2＝9 ：4，则V 1 V 2＝________三、解答题10．已知圆台的高为3，在轴截面中，母线AA 1与底面圆直径AB 的夹角为60°，轴截面中的一条对角线垂直于腰，求圆台的体积．11．已知△ABC 的三边长分别是AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，以AB 所在直线为轴，将此三角形旋转一周，求所得旋转体的表面积和体积．12．(2011·浙江高考)若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，求此几何体的体积．第一章1.3 1.3.2一、选择题1．半径为R 的球内接一个正方体，则该正方体的体积是( )A ．22R 3B ．43πR 3C ．893R 3D ．39R 3 2．一个正方体与一个球表面积相等，那么它们的体积比是( )A ．6π6B ．π2C ．2π2D ．3π2π3．已知轴截面是正方形的圆柱的高与球的直径相等，则圆柱的全面积与球的表面积的比是( )A ．6 5B ．5 4C ．4 3D ．3 24．(2013～2014·山东临清中学高一第三次月考试题)已知长方体一个顶点上三条棱的长分别是3、4、5，且它的顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是( )A ．20 2B ．252C ．50πD ．200π5．下图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是( )A ．9πB ．10πC ．11πD ．12π 6．64个直径都为a 4的球，记它们的体积之和为V 甲，表面积之和为S 甲；一个直径为a 的球，记其体积为V 乙，表面积为S 乙，则( )A ．V 甲>V 乙且S 甲>S 乙B ．V 甲<V 乙且S 甲<S 乙C ．V 甲＝V 乙且S 甲>S 乙D ．V 甲＝V 乙且S 甲＝S 乙二、填空题7．(2013·陕西)某几何体的三视图如图所示，则其表面积为________．8．已知棱长为2的正方体的体积与球O 的体积相等，则球O 的半径为________．9．若圆柱、圆锥的底面直径和高都等于球的直径，则圆柱、圆锥、球的体积的比为________．三、解答题10．体积相等的正方体、球、等边圆柱(轴截面为正方形)的全面积分别是S 1、S 2、S 3，试比较它们的大小．11．如图，某种水箱用的“浮球”，是由两个半球和一个圆柱筒组成．已知半球的直径是6 cm ，圆柱筒高为2 cm.(1)这种“浮球”的体积是多少cm 3(结果精确到0.1)?(2)要在2500个这样的“浮球”表面涂一层胶，如果每平方米需要涂胶100克，那么共需胶多少克？12．如图，已知某几何体的三视图如下(单位：m)．(1)画出这个几何体的直观图(不要求写画法)．(2)求这个几何体的表面积及体积．第一章 1.3 1.3.1 第1课时一、选择题1．轴截面是正三角形的圆锥称作等边圆锥，则等边圆锥的侧面积是底面积的( )A ．4倍B ．3倍C ．2倍D ．2倍2．长方体的高为1，底面积为2，垂直于底的对角面的面积是5，则长方体的侧面积等于( )A ．27B ．4 3C ．6D ．33．已知一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是( )A ．1＋2π2πB ．1＋4π4πC ．1＋2ππD ．1＋4π2π规律总结：圆柱的侧面展开图是一个矩形，矩形两边长分别为圆柱底面周长和高；圆锥侧面展开图是一个扇形，半径为圆锥的母线，弧长为圆锥底面周长；圆台侧面展开图是一个扇环，其两段弧长为圆台两底周长，扇形两半径的差为圆台的母线长，对于柱、锥、台的有关问题，有时要通过侧面展开图来求解．4．将一个棱长为a的正方体，切成27个全等的小正方体，则表面积增加了()A．6a2B．12a2C．18a2D．24a25．(2011·北京)某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是()A．32 B．16＋16 2C．48 D．16＋32 26．(2013·重庆)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A．180 B．200C．220 D．240二、填空题7．已知圆柱OO′的母线l＝4 cm，全面积为42π cm2，则圆柱OO′的底面半径r＝________cm.8．一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图为正三角形，则该几何体的表面积为________．9．如图所示，一圆柱内挖去一个圆锥，圆锥的顶点是圆柱底面的圆心，圆锥的底面是圆柱的另一个底面．圆柱的母线长为6，底面半径为2，则该组合体的表面积等于________．三、解答题（8题）10．已知圆台的上、下底面半径分别是2,5，且侧面积等于两底面面积之和，求该圆台的母线长．11．(2013～2014·嘉兴高一检测)如图在底面半径为2，母线长为4的圆锥中内接一个高为3的圆柱，求圆柱的表面积．12．已知某几何体的三视图如图，求该几何体的表面积．(单位：cm)1．3.3 球的体积和表面积1．一个球的表面积扩大为原来的4倍，那么该球的体积扩大为原来的________倍．2．半径为1的球和边长为2的正方体，它们的表面积的大小关系是( )A ．S 球>S 正方体B ．S 球＝S 正方体C ．S 球<S 正方体D ．不能确定3．将棱长为1的正方体木块加工成一个体积最大的球，那么球的体积为( )A.3π2B.π6C.2π3D.3π24．若半径为1的球面上两点A ，B 间的球面距离为2π3，则弦长AB 等于( ) A.32B ．1C. 2 D. 3 5．球的一个截面面积为49π cm 2，球心到截面距离为24 cm ，则球的表面积是________．6．已知OA 为球O 的半径，过OA 的中点M 且垂直于OA 的平面截球面得到圆M ，若圆M 的面积为3π，则球O 的表面积等于________．7．已知正方体外接球的体积是32π3，那么正方体的棱长等于( ) A ．2 2 B.2 33 C.4 23 D.4 338．圆柱形容器的内壁底半径为5 cm ，两个直径为5 cm 的玻璃小球都浸没于容器的水中，若取出这两个小球，则容器的水面将下降( )A.53 cmB.35 cmC.45 cmD.43cm 9．圆柱形容器内盛有高度为8 cm 的水，若放入三个相同的珠(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图K1-3-6)，求球的半径．图K1-3-610．如图K1-3-7(单位：cm)，求图中阴影部分绕AB 旋转一周所形成的几何体的表面积和体积．图K1-3-71．3.2 柱体、锥体、台体的体积1．已知圆柱与圆锥的底面积相等，高也相等，它们的体积分别为V 1和V 2，则V 1∶V 2＝( )A ．1∶3B ．1∶1C ．2∶1D ．3∶12．圆锥母线长为2，底面半径为1，则圆锥的体积为( )A.23π B ．2π C.3π D.33π 3．矩形两邻边的长为a ，b ，当它分别绕边a ，b 旋转一周时，所形成的几何体的体积之比为( )A.b aB.a bC.⎝⎛⎭⎫b a 3D.⎝⎛⎭⎫a b 3 4．若干毫升水倒入底面半径为2 cm 的圆柱形器皿中，量得水面高度为6 cm ，若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面高度为( )A ．6 3 cmB ．6 cmC ．cmD ．5．如图K1-3-4是某几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的等边三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积是( )A.4 33πB.12πC.33πD.36π 6．已知一个铜质的五棱柱的底面积为16 cm 2，高为4 cm ，现将它熔化后铸造成一个正方体的铜块，则铸成铜块的棱长为________．7．将长和宽分别为6和4的矩形卷成一个圆柱，则该圆柱的体积为________．8．将半径为6的圆形铁皮，剪去面积为原来16的扇形，余下的部分卷成一个圆锥的侧面，则其体积为________．9．(2012年山东)如图K1-3-5，正方体ABCD - A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E ，F 分别为线段AA 1，B 1C 上的点，求三棱锥D 1-EDF 的体积．图K1-3-510．养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐(供融化高速公路上的积雪之用)，已建的仓库的底面直径为12 m ，高为4 m ．养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐．现有两种方案：一是新建的仓库的底面直径比原来大4 m(高不变)；二是高度增加4 m(底面直径不变)．(1)分别计算按这两种方案所建的仓库的体积；(2)分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积；(3)哪个方案更经济些，说明理由．1.3 空间几何体的表面积与体积1．3.1 柱体、锥体、台体的表面积1．如果圆锥的底面半径为2，高为2，那么它的侧面积是( ) A ．4 3π B ．2 2πC ．2 3πD ．4 2π2．将一个边长为a 的正方体，切成27个全等的小正方体，则表面积增加了( )A ．6a 2B ．12a 2C ．18a 2D ．24a 23．侧面都是等腰直角三角形的正三棱锥，底面边长为a ，该三棱锥的全面积是( )A.3＋34a 2B.34a 2C.3＋32a 2D.⎝⎛⎭⎫32＋34a 24．一个直角梯形的两底长分别为2和5，高为4，绕其较长的底旋转一周，所得的几何体的表面积为( )A ．52πB ．36πC ．45πD ．37π5．若一圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的全面积和侧面积之比是( )A.1＋2π2πB.1＋4π4πC.1＋2ππD.1＋4π2π6．(2012年广东)某几何体的三视图如图K1-3-1，它的体积为( )A ．12πB ．45πC ．57πD ．81π图K1-3-1 图K1-3-27．若一个圆锥的正视图(如图K1-3-2)是边长为3,3,2的三角形，则该圆锥的侧面积是________．8．如图K1-3-3，在底面半径为2，母线长为4的圆锥中内接一个高为3的圆柱，则圆柱的表面积为__________．图K1-3-39．已知圆锥的底面半径为2 cm ，高为6 cm ，在其中有一个高为x cm 的内接圆柱．(1)试用x 表示圆柱的侧面积；(2)当x 为何值时，圆柱的侧面积最大？最大值为多少？10．圆锥的半径为r ，母线长为4r ，M 为底面圆周上任意一点，从M 拉一根绳子，环绕圆锥的侧面一周再回到M ，求最短绳长．柱体、锥体、台体的表面积一、选择题1．正四棱柱的对角线长是9cm ，全面积是144cm 2，则满足这些条件的正四棱柱的个数是（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个2．三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB ＝AC ，且侧面A 1ABB 1与侧面A 1ACC l 的面积相等，则∠BB 1C 1等于（ ）A ．45°B ．60°C ．90°D ．120°3．边长为5cm 的正方形EFGH 是圆柱的轴截面，则从正点沿圆柱的侧面到相对顶点G 的最短距离是（ ） A ．10cm B ．52cm C ．512+πcm D ．4252+πcm4．中心角为43π，面积为B 的扇形围成一个圆锥，若圆锥的全面积为A ，则A ∶B 等于（ ）A ．11∶8B ．3∶8C ．8∶3D ．13∶85．正六棱台的上、下底面的边长分别为a 、b （a <b ），侧面和底面所成的二面角为60°，则它的侧面积是（ ）A ．33（b 2－a 2）B ．23（b 2－a 2C ．3（b 2－a 2）D ．23（b 2－a 2）6．过圆锥的高的三等分点作平行于底面的截面，它们把圆锥的侧面分成的三部分的面积之比为（ ）A ．1∶2∶3B ．1∶3∶5C ．1∶2∶4D ．1∶3∶97．若圆台的上、下底面半径的比为3∶5，则它的中截面分圆台上、下两部分面积之比为（ ）A ．3∶5B ．9∶25C ．5∶41D ．7∶98．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是（ ）A ．ππ221+B ．ππ421+C ．ππ21+D ．ππ241+9．已知正四面体ABCD 的表面积为S ，其四个面的中心分别为E 、F 、G 、H ，设四面体EFGH的表面积为T ，则S T等于（ ）A ．91B ．94C ．41D ．3110．一个斜三棱柱，底面是边长为5的正三角形，侧棱长为4，侧棱与底面三角形两边所成的角都是60°，则这个斜三棱柱的侧面积是（ ）A ．40B ．)31(20+C ．)31(30+D ．303二、填空题11．长方体的高为h ，底面面积是M ，过不相邻两侧棱的截面面积是N ，则长方体的侧面积是______．12．正四棱台上、下底面的边长为b 、a （a ＞b ）且侧面积等于两底面面积之和，则棱台的高是______．13．圆锥的高是10 cm ，侧面展开图是半圆，此圆锥的侧面积是_____；轴截面等腰三角形的顶角为______．14．圆台的母线长是3 cm ，侧面展开后所得扇环的圆心角为180°，侧面积为10πcm 2，则圆台的高为_____；上下底面半径为_______．三、解答题15．已知正三棱台的侧面和下底面所成的二面角为60°，棱台下底面的边长为a ，侧面积为S ，求棱台上底面的边长．16．圆锥的底面半径为5 cm ，高为12 cm ，当它的内接圆柱的底面半径为何值时，圆锥的内接圆柱全面积有最大值？最大值是多少?17．圆锥底面半径为r ，母线长是底面半径的3倍，在底面圆周上有一点A ，求一个动点P 自A 出发在侧面上绕一周到A 点的最短路程．柱体、锥体与台体的体积一、选择题1．若正方体的全面积增为原来的2倍，那么它的体积增为原来的（ ）A ．2倍B ．4倍C ．2倍D ．22倍2．一个长、宽、高分别为a 、b 、c 长方体的体积是8cm 2，它的全面积是32 cm 2，且满足b 2＝ac ，那么这个长方体棱长的和是（ ）A 、28cmB ．32 cmC ．36 cmD ．40 cm3．正六棱台的两底面的边长分别为a 和2a ，高为a ，则它的体积为（ ）A ．32321aB ．3233aC ．337aD ．3237a4．若球的体积与其表面积的数值相等，则球的半径为（ ）A ．1B ．3C ．2D ．215．一个球的外切正方体的全面积的数值等于6cm 2，则此球的体积为（ ）A ．334cm πB ．386cm πC ．361cm πD ．366cm π6．正六棱锥的底面边长为a ，体积为323a ，那么侧棱与底面所成的角为（ ）A ．6πB ．4πC ．3πD ．125π7．正四棱锥的底面面积为Q ，侧面积为S ，则它的体积为（ ）A 、S Q 31B ．)(2122Q S Q -C 、)(2122Q S S -D 、)(6122Q S Q -8．棱台上、下底面面积之比为1∶9，则棱台的中截面分棱台成两部分的体积之比是（ ）A ．1∶7B ．2∶7C ．7∶19D ．3∶169．正方体、等边圆柱与球它们的体积相等，它们的表面积分别为S 1、S 2、S 3，下面关系中成立的是（ ）A ．S 3＞S 2＞S 1B ．S 1＞S 3＞S 2C ．S 1＞S 2＞S 3D ．S 2＞S l ＞S 310．沿棱长为1的正方体的交于一点的三条棱的中点作一个截面，截得一个三棱锥，那么截得的三棱锥的体积与剩下部分的体积之比是（ ）A ．1∶5B ．1∶23C ．1∶11D ．1∶47二、填空题11．底面边长和侧棱长都是a 的正三棱锥的体积是_______．12．将4×6的矩形铁皮作为圆柱的侧面卷成一个圆柱，则圆柱的最大体积是_______．13．半径为1的球的内接正方体的体积是________；外切正方体的体积是_______．14．已知正三棱台上、下底面边长分别为2、4，且侧棱与底面所成角是45°，那么这个正三棱台的体积等于_______．三、解答题15．三棱锥的五条棱长都是5，另一条棱长是6，求它的体积．16．两底面边长分别是15cm 和10cm 的正三棱台，它的侧面积等于两底面积的和，求它的体积．17．一个圆锥形容器和一个圆柱形容器，它们的轴截面尺寸如图所示，两容器内所盛液体的体积正好相等，且液面高度h 正好相同，求h ．18．如图所示，已知正方体ABCD —A 1B 1C l D l 的棱长为a ，E 为棱AD 的中点，求点A 1到平面BED 1的距离．球的体积和表面积 一、选择题1．若球的大圆面积扩大为原来的4倍，则球的表面积比原来增加（ ）A ．2倍B ．3倍C ．4倍D ，8倍2．若球的大圆周长是C ，则这个球的表面积是（ ）A ．π42cB ．π42cC ．π2c D ．2πc 23．已知过球面上A 、B 、C 三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB ＝BC ＝CA ＝2，则球面面积是（ ）A ．916πB ．38πC ．4πD ．964π4、球的大圆面积增大为原来的4倍，那么球的体积增大为原来的（ ）A ．4倍B ．8倍C ．16倍D ．32倍5．三个球的半径之比为1∶2∶3，那么最大球的体积是其余两个球的体积和的（ ）A 、1倍B ．2倍C ．3倍D ．4倍6．棱长为1的正方体内有一个球与正方体的12条棱都相切，则球的体积为（ ）A ．4πB ．4πC ．π32D ．42π7．圆柱形烧杯内壁半径为5cm ，两个直径都是5 cm 的铜球都浸没于烧杯的水中，若取出这两个铜球，则烧杯内的水面将下降（ ）A 、35cmB ．310cmC ．340cm D ．65cm8．已知过球面上A 、B 、C 三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB ＝BC ＝CA ＝2，则球面面积为（ ）A 、916π B ．38π C ．4π D ．964π9．长方体一个顶点上的三条棱的长度分别为3、4、5，且它的8个顶点都在同一球面上，这个球的表面积为（ ）A ．202πB ．252πC ．50πD ．200π10．等体积的球与正方体，其表面积的大小关系为（ ）A ．S 球＞S 正方体B ．S 球＝S 正方体C ．S 球＜S 正方体D ．大小关系不确定二、填空题11．已知三个球的表面积之比为1∶4∶9，若它们的体积依次为V 1、V 2、V 3，则V 1＋V 2＝_____V 3．12．已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同一侧，且相距为l ，则球的体积为_________．13．将一个玻璃球放人底面面积为64πcm 2的圆柱状容器中，容器水面升高34cm ，则玻璃球的半径为__________．14．将一个半径为R 的木球削成一个尽可能大的正方体，则此正方体的体积为______．15．表面积为Q 的多面体的每个面都外切于半径为R 的一个球，则多面体与球的体积之比为______．16．国际乒乓球比赛已将“小球”改为“大球”，“小球”的外径为38 mm ，“大球”的外径为40 mm ，则“小球”与“大球”的表面积之比为__________．三、解答题17．已知正三棱柱的底面边长为1，侧棱长为2，则这样的三棱柱内能否放进一个体积为16的小球？18．用刀切一个近似球体的西瓜，切下的较小部分的圆面直径为30 cm ，高度为5 cm ，该西瓜体积大约有多大?19．三棱锥A －BCD 的两条棱AB ＝CD ＝6，其余各棱长均为5，求三棱锥的内切球的体积．20．表面积为324π的球，其内接正四棱柱的高是14，求这个正四棱柱的表面积．。