中国数学奥林匹克(CMO)试题和详细解答word版

2009中国数学奥林匹克解答

一、给定锐角三角形PBC ，PC PB ≠．设A ，D 分别是边PB ，PC 上的点，连接AC ，BD ，相交于点O. 过点O 分别作OE ⊥AB ，OF ⊥CD ，垂足分别为E ，F ，线段BC ，AD 的中点分别为M ，N ．

（1）若A ，B ，C ，D 四点共圆，求证：EM FN EN FM ⋅=⋅；

（2）若 EM FN EN FM ⋅=⋅，是否一定有A ，B ，C ，D 四点共圆？证明你的结论． 解（1）设Q ，R 分别是OB ，OC 的中点，连接

EQ ，MQ ，FR ，MR ，则

11

,22

EQ OB RM MQ OC RF ====，

又OQMR 是平行四边形，所以

OQM ORM ∠=∠，

由题设A ，B ，C ，D 四点共圆，所以

ABD ACD ∠=∠，

于是 图1 22EQO ABD ACD FRO ∠=∠=∠=∠，

所以 E Q M E Q O O Q M F R O O R M ∠=∠+∠=∠+∠=∠， 故 E Q M M R F ∆≅∆，

所以 EM ＝FM ， 同理可得 EN ＝FN ，

所以 E M F N E N F M ⋅=⋅．

（2）答案是否定的．

当AD ∥BC 时，由于B C ∠≠∠，所以A ，B ，C ，D 四点不共圆，但此时仍然有

EM FN EN FM ⋅=⋅，证明如下：

如图2所示，设S ，Q 分别是OA ，OB 的中点，连接ES ，EQ ，MQ ，NS ，则

11

,22

NS OD EQ OB ==，

所以

N S O D E Q O B

=． ①

C

B

又

11

,

22

ES OA MQ OC

==，所以

ES OA

MQ OC

=．②

而AD∥BC，所以

OA OD

OC OB

=，③

由①，②，③得NS ES EQ MQ

=．

因为2

NSE NSA ASE AOD AOE

∠=∠+∠=∠+∠，

()(1802) EQM MQO OQE AOE EOB EOB

∠=∠+∠=∠+∠+︒-∠

(180)2

AOE EOB AOD AOE

=∠+︒-∠=∠+∠，

即NSE EQM

∠=∠，

所以NSE

∆～EQM

∆，

故

EN SE OA

EM QM OC

==（由②）．同理可得，

FN OA

FM OC

=，

所以EN FN EM FM

=，

从而EM FN EN FM

⋅=⋅．

C

B

二、求所有的素数对（p ，q ），使得q p pq 55+．

解：若pq |2，不妨设2=p ，则q q 55|22+，故255|+q q ．

由Fermat 小定理， 55|-q q ，得30|q ，即5,3,2=q ．易验证素数对)2,2(不合要求，)3,2(，)5,2(合乎要求．

若pq 为奇数且pq |5，不妨设5=p ，则q q 55|55+，故6255|1+-q q ．

当5=q 时素数对)5,5(合乎要求，当5≠q 时，由Fermat 小定理有15|1--q q ，故

626|q ．由于q 为奇素数，而626的奇素因子只有313，所以313=q ．经检验素数对)313,5(合乎要求．

若q p ,都不等于2和5，则有1155|--+q p pq ，故

)(mod 05511p q p ≡+--． ①

由Fermat 小定理，得 )(mod 151p p ≡- ， ② 故由①，②得

)(mod 151p q -≡-． ③

设)12(21-=-r p k ，)12(21-=-s q l ， 其中s r l k ,,,为正整数． 若l k ≤，则由②，③易知

)(mod 1)1()5(5)5(1112121)12)(12(2)

12(2

1)

12(2

p r r q s r s p s l

k

l k

l -≡-≡==≡=----------，

这与2≠p 矛盾！所以l k >．

同理有l k <，矛盾！即此时不存在合乎要求的),(q p ． 综上所述，所有满足题目要求的素数对),(q p 为

)3,2(，)2,3(，)5,2(，)2,5(，)5,5(，)313,5(及)5,313(．

三、设m ，n 是给定的整数，n m <<4，1221+n A A A 是一个正2n +1边形，

{}1221,,,+=n A A A P ．求顶点属于P 且恰有两个内角是锐角的凸m 边形的个数． 解 先证一个引理：顶点在P 中的凸m 边形至多有两个锐角，且有两个锐角时，这两个锐角必相邻．

事实上，设这个凸m 边形为m P P P 21，只考虑至少有一个锐角的情况，此时不妨设2

21π

<

∠P P P m ，则

)13(2

122-≤≤>

∠-=∠m j P P P P P P m m j π

π，

更有)13(2

11-≤≤>

∠+-m j P P P j j j π

．

而321P P P ∠+11P P P m m -∠>π，故其中至多一个为锐角，这就证明了引理． 由引理知，若凸m 边形中恰有两个内角是锐角，则它们对应的顶点相邻． 在凸m 边形中，设顶点i A 与j A 为两个相邻顶点，且在这两个顶点处的内角均为锐角．设i A 与j A 的劣弧上包含了P 的r 条边（n r ≤≤1），这样的),(j i 在r 固定时恰有

12+n 对．

（1） 若凸m 边形的其余2-m 个顶点全在劣弧j i A A 上，而j i A A 劣弧上有1-r 个P

中的点，此时这2-m 个顶点的取法数为2

1--m r C ．

（2） 若凸m 边形的其余2-m 个顶点全在优弧j i A A 上，取i A ，j A 的对径点i B ，j B ，由于凸m 边形在顶点i A ，j A 处的内角为锐角，所以，其余的2-m 个顶点全在劣弧j i B B 上，而劣弧j i B B 上恰有r 个P 中的点，此时这2-m 个顶点的取法数为2-m r C ．

所以，满足题设的凸m 边形的个数为

))()()(12()12()()12(1

1

1

1111

1121211

22

1

∑∑∑∑∑==--+---=-=--=----+-+=⎪

⎭

⎫

⎝⎛++=++n

r n

r m r m r m r m r n r m r n r m r n

r m r

m r C C C C n C C n C

C

n

))(12(1

11--+++=m n

m n C C n ．