内蒙古赤峰市元宝山区_学年高一数学上学期期末试卷(含解析)
2023-2024学年内蒙古自治区赤峰市高一上册期末数学试题(含解析)
2023-2024学年内蒙古自治区赤峰市高一上册期末数学试题一、单选题1．设集合2{|0}M x x x =+=，{|10}N x x =+>，则M N ⋂=（）A ．{0}B ．{1}-C ．{}0,1-D ．{}1,0,1-【正确答案】A分别解方程和不等式得到集合,M N ，再求交集即可.【详解】因为{}2{|0}0,1M x x x =+==-，{}{}101N x x x x =+=>-，所以{}0M N = ，故选：A.2．已知函数()22,0,,0,x x f x x x ⎧≤=⎨->⎩则下列结论中正确的是（）A ．()636f -=-B ．若()9f a =，则3a =±C ．()f x 是偶函数D ．()f x 在R 上单调递减【正确答案】D【分析】根据分段函数的特点，结合二次函数的单调性，奇偶性对选项逐一判断，即可得到结果.【详解】因为函数()22,0,0x x f x x x ⎧≤=⎨->⎩，对选项A ，()636f -=，故A 错误；对选项B ，当0a ≤时，若()9f a =，则29a =，即3a =-；当0a >时，若()9f a =，则29a -=，不合题意，故B 错误；对选项C ，由()22,0,0x x f x x x ⎧≤=⎨->⎩可得()22,0,0x x f x x x ⎧-≤-=⎨>⎩，所以()()22,0,0x x f x f x x x ⎧-≤-==-⎨>⎩，故()f x 是奇函数，所以C 错误；对选项D ，因为当0x ≤时，函数2y x =单调递减；当0x >时，函数2y x =-单调递减，所以函数()f x 在R 上单调递减，所以D 正确.故选：D.3．函数y =定义域是（）A ．[)2,1--B ．[][]2,12,3--⋃C ．[)[)2,12,3--⋃D ．[]2,1--【正确答案】A【分析】根据解析式直接列出满足函数有意义的不等式，解出即可.【详解】要使函数y =有意义，则2240230x x x ⎧-≥⎨-->⎩，解得21x -≤<-，所以函数y =定义域是[)2,1--.故选：A.本题考查具体函数定义域的求法，其中涉及一元二次不等式的求解，属于基础题.4．若命题p :∃x ∈R ，x 2+2x +1≤0，则命题p 的否定为（）A ．∃x ∈R ，x 2+2x +1>0B ．∃x ∈R ，x 2+2x +1<0C ．∀x ∈R ，x 2+2x +1≤0D ．∀x ∈R ，x 2+2x +1>0【正确答案】D【分析】根据特称命题的否定，改变量词，否定结论，可得出命题p 的否定.【详解】由题,则p 的否定为x ∀∈R ,x 2+2x +1>0.故选：D本题考查特称命题的否定的改写，要注意量词和结论的变化，属于基础题.5．若,,R a b c ∈，则下列命题正确的是（）A ．若a b >，则33a b >B ．若a b >，则22ac bc >C ．若a b >，则11a b <D ．若a b >，c d >，则ac bd>【正确答案】A【分析】对于A,可利用作差法判断；对于B,C,D ，举反例即可判断正误.【详解】对于A ，若a b >，则233222()()()[()]024b b a b a b a ab b a b a -=-++=-++>，故A 正确；对于B ，当0c =时，22ac bc =，故B 不正确；对于C ，不妨取1,1a b ==-，则11a b>，故C 错误；对于D ，若a b >，c d >，不妨取2,1,1,2a b c d ===-=-，则ac bd =，D 错误，故选：A6．下列命题中，是真命题的是（）A ．200,0x R x ∃∈<B ．0,1s t >>是0s t ⋅>的充分不必要条件C ．2,2k k N k ∀∈>D ．0a b +=的充要条件是22a b =【正确答案】B根据含量词命题的真假判断AC ，根据充要条件、充分不必要条件判断BD.【详解】对于A ，不存在0x R ∈，使得200x <，错误；对于B ，0,1s t >>能推出0s t ⋅>，但是0s t ⋅>推不出0,1s t >>，故正确；对于C ，当2k =时，22k k =，故错误；对于D ，0a b +=可得a b =-，可推出22a b =，但22a b =推出a b =±不能得到0a b +=，故错误.故选：B本题主要考查了命题真假的判定，涉及充分条件，必要条件，量词，属于中档题.J.Napier 纪之交，天文、航海、工程、贸易以及军事快速发展，对大数的运算提出了更高的要求，改进数字计算方法成了当务之急，英格兰数学家纳皮尔（J.Napier ，1550－1617）在研究天文学的过程中，经过对运算体系的多年研究，最终找到了简化大数运算的有效工具，于1614年出版了《奇妙的对数定律说明书》标志着对数的诞生．对数的思想方法，即把乘法运算转化为加法，在今天仍然具有生命力．以下几组自变量x 与函数值y 的部分对应关系中，最接近对数函数上述作用的函数是（）A ．x2468y 1.53 4.56B ．x 23612y2.541025C ．x 5101520y34.212.938.7D ．x 51050100y34.37.38.6【正确答案】D【分析】根据表中数据，结合对数函数的图象变化可以得出结论.【详解】根据对数函数log a y x =（0a >且1a ≠）的性质，随着x 的增大，y 值的变化幅度越来越小，由表中数据可知，A 表格中随着x 的变化，y 的变化幅度不变，BC 表格中随着x 的变化，y 的变化幅度越来越大，D 选项随着x 的变化，y 的变化幅度越来越小，只有D 选项比较接近对数函数．故选：D8．我国著名数学家华罗庚先生曾说，数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.在数学的学习和研究中，经常用函数的图象研究函数的性质.已知函数sin ()2cos x xf x x=-的图象可能为A ．B ．C ．D ．【正确答案】A根据奇偶性排除B 、C ，取特殊值或极限值根据正负排除D 【详解】解：由题意可得()sin()sin ()()2cos()2cos x x x xf x f x x x---===---，所以函数()f x 为偶函数，排除B 、C当x 略大于0时，sin 0x x >，2cos 0x ->，所以()0f x >，排除D 故选：A.二、多选题9．下列说法中，正确的有（）A ．若0a b <<，则2ab b >B ．若0a b >>，则b a a b>C ．若对(0,)∀∈+∞x ，1x m x+≥恒成立，则实数m 的最大值为2D ．若0a >，0b >，1a b +=，则11a b+的最小值为4【正确答案】ACD【分析】根据不等式的性质可以说明A 正确；利用中间值1验证B 错误；利用基本不等式加上恒成立可以说明C 正确；巧用“1”可以说明D 正确.【详解】a b < ，0b <，左右两边同时乘以b 得2ab b >，故A 正确；01,1,a b a ba b b a b a>>∴><∴> ，，故B 错误；(0,)x ∈+∞ ，12x x +≥=，要使1x m x +≥恒成立，则1()min m x x ≤+，故实数m 的最大值为2，故C 正确；0a > ，0b >，1111a b a b a b ∴++=()(+)22224b a a b =++≥+=+=，故11a b +的最小值为4，故D 正确.故选：ACD.10．下列说法正确的是（）A ．“对任意一个无理数x ，2x 也是无理数”是真命题B ．“0xy >”是“0x y +>”的充要条件C ．命题“2R,10x x ∃∈+=”的否定是“2R ,10x x ∀∈+≠”D ．若“13x <<”的必要不充分条件是“22m x m -<<+”，则实数m 的取值范围是[1,3]【正确答案】CD根据命题的真假，充分必要条件，命题的否定的定义判断各选项．【详解】x =22x =是有理数，A 错；1,2x y =-=-时，0xy >，但30x y +=-<，不是充要条件，B 错；命题2,10x x ∃∈+=R 的否定是：2,10x R x ∀∈+≠，C 正确；“13x <<”的必要不充分条件是“22m x m -<<+”，则2123m m -≤⎧⎨+≥⎩，两个等号不同时取得．解得13m ≤≤．D 正确．故选：CD ．关键点点睛：本题考查命题的真假判断，解题要求掌握的知识点较多，需要对四个选项一一判断．但求解时根据充分必要条件的定义，命题的否定的定义判断，对有些错误的命题可以举例说明其不正确．11．下列函数中，既是偶函数又在区间(0,)+∞上单调递增的是（）A ．1y x=-B ．lg ||y x =C ．2y x=D ．12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭【正确答案】BC【分析】根据函数的奇偶性和初等函数的图象与性质，逐项判定，即可求解.【详解】对于A 中，函数1y x=-在定义上为奇函数，不符合题意；对于B 中，函数()lg ||f x x =的定义为(,0)(0,)-∞+∞ 关于原点对称，且满足()()lg ||lg ||f x x x f x -=-==，所以函数()lg ||f x x =为偶函数，当(0,)x ∈+∞时，可得()lg f x x =为单调递增函数，符合题意；对于C 中，函数2y x =，根据二次函数的图象与性质，可得函数2y x =为偶函数，在区间(0,)+∞上单调递增，符合题意；对于D 中，函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭，根据指数函数的性质，可得函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭为非奇非偶函数，不符合题意.故选：BC.12．如图，摩天轮的半径为40米，点O 距地面的高度为50米，摩天轮按逆时针方向做匀速转动，每30分钟转一圈，摩天轮上点P 的起始位置在最低点处，下面的有关结论正确的有（）A ．经过15分钟，点P 首次到达最高点B ．从第10分钟到第20分钟摩天轮上的点P 距离地面的高度一直在升高C ．若摩天轮转速减半，则其旋转一圈所需要的时间变为原来的12倍D ．在摩天轮转动的一圈内，有10分钟的时间点P 距离地面超过70m 【正确答案】AD建立平面直角坐标系：根据题意得到,10,40,302P A T π⎛⎫-== ⎪⎝⎭，求得点P 离地面的高度为：40sin 50152h t ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，然后再逐项判断.【详解】建立如图所示平面直角坐标系：则,10,40,302P A T π⎛⎫-== ⎪⎝⎭，得15πω=，所以点P 离地面的高度为：40sin 50152h t ππ⎛⎫=-+⎪⎝⎭，A.当15t =时，40sin 50902h ππ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，所以经过15分钟，点P 首次到达最高点，故正确；B ．令22,21522k t k k Z ππππππ-+≤-≤+∈，解得301530,k t k k Z ≤≤+∈，所以从第10分钟到第15分钟，点P 距离地面的高度一直在升高，从第15分钟到第20分钟，高度在降低，故错误；C.若摩天轮转速减半，则其旋转一圈所需要的时间变为原来的2倍，故错误；D.令40sin 5070152h t ππ⎛⎫=-+>⎪⎝⎭，即1sin 1522t ππ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，解得561526t ππππ<-<，所以1020t <<，有10分钟的时间点P 距离地面超过70m 故正确.故选：AD关键点点睛：本题关键是建立坐标系，求出P 离地面的高度函数40sin 50152h ππ⎛⎫=-+⎝⎭.三、填空题13．若幂函数()y f x =的图象过点1(2,4，则1()4f =__________.【正确答案】16【分析】设出幂函数的解析式，结合待定系数法、代入法进行求解即可.【详解】设()y f x x α==，因为幂函数()y f x =的图象过点1(2,)4，所以有2122()4f x x αα-=⇒=-⇒=，因此22(2)11()()21644f --⨯-===.故16本题考查了求幂函数的值问题，考查了待定系数法和代入法的应用，属于基础题.14．不等式21>0ax x ++的解集为(,1)m ，则m a +=__________.【正确答案】52-根据一元二次不等式与一元二次方程的关系，将1x =代入方程可求得a ；再将a 代入不等式，解不等式求得m ，进而求得m a +的值.【详解】由条件可知1x =是方程21=0ax x ++的实根，故110a ++=，即2a =-，不等式为221>0x x -++，解不等式可得解集为1,12⎛⎫-⎪⎝⎭，即12m =-，所以52m a +=-.故答案为:52-本题考查了一元二次不等式与一元二次方程的关系，由方程的解确定参数，一元二次不等式的解法，属于基础题.15．已知集合A ＝{1，2}，B ＝{（x ，y ）|x ∈A ，y ∈A ，x+y ∈A}，则B 中所含元素的个数为____．【正确答案】1【分析】首先根据题中的条件，B ＝{（x ，y ）|x ∈A ，y ∈A ，x+y ∈A}，结合A ＝{1，2}，写出集合B ，并且找到集合B 的元素个数.【详解】因为A ＝{1，2}，B ＝{（x ，y ）|x ∈A ，y ∈A ，x+y ∈A}，所以{}(1,1)B =，所以集合B 中只有一个元素，故答案是1.该题考查的是有关集合中元素的个数问题，解题的关键是根据题中所给的集合中元素的特征，将集合中的元素列出来，从而得到结果.16．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是__________．【正确答案】30【详解】总费用为600900464()4240x x x x +⨯=+≥⨯=，当且仅当900x x=，即30x =时等号成立．故答案为30.点睛:在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误．四、解答题17．已知集合{}|22A x a x a =-≤≤+，{|1B x x =≤或4}x ≥，全集合R ．(1)当3a =时，求A B ⋂；(2)若0a >，()R A B A = ð，求实数a 的取值范围．【正确答案】(1){|11x x -≤≤或45}x ≤≤(2)01a <<【分析】（1）代入3a =，然后直接求A B ⋂即可；（2）求出R B ð，然后根据条件得到R A B ⊆ð，再根据包含关系列不等式求解.【详解】（1）当3a =时，{}|15A x x =-≤≤，又{|1B x x =≤或4}x ≥，{|11A B x x ∴⋂=-≤≤或45}x ≤≤；（2）若0a >，则{}22|A x a x a =-≤≤+≠∅，又{}|14B x x =<<R ð，∴由()R A B A = ð得R A B ⊆ð，2124a a ->⎧∴⎨+<⎩，解得01a <<.18．解下列不等式：(1)22530x x +-<；(2)2362x x -+≤；(3)5132x x +≤-；(4)()()()12253x x x x --<-+【正确答案】(1)13,2⎛⎫- ⎪⎝⎭(2),11,⎛⎡⎫-∞+∞ ⎪⎢ ⎪⎝⎦⎣⎭(3)[)13,3-(4)()(),11,-∞+∞ 【分析】（1）先因式分解，然后直接求解即可；（2）利用求根公式即可求解不等式；（3）分类讨论，将分式不等式变为整式不等式求解；（4）先整理，然后直接求解即可.【详解】（1）22530x x +-< ，()()2130x x ∴-+<，132x ∴-<<，即不等式的解集为13,2⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）2362x x -+≤ ，23620x x -∴+≥，解得1x ≤1x ≥+即不等式的解集为,11⎛⎡⎫-∞-++∞ ⎪⎢ ⎪⎝⎦⎣⎭；（3）5132x x +≤- ，()153230x x x ⎧+≤-⎪∴⎨⎪->⎩或()153230x x x ⎧+≥-⎪⎨⎪-<⎩解得133x -≤<，即不等式的解集为[)13,3-；（4）()()()12253x x x x --<-+ ，整理得2210x x -+>，解得1x ≠，即不等式的解集为()(),11,-∞+∞ .19．已知函数()()2log 421x x f x a a =+⋅++．(1)若1a =，求方程()3f x =的解集；(2)若方程()f x x =有两个不同的实数根，求实数a 的取值范围．【正确答案】(1){}1(2)(1,3--【分析】（1）直接解方程可求得x 的值；（2）由题意可得4212x x x a a +⋅++=，有两个不同的实数根，设2x t =，则()()2110t a t a +-++=在()0+∞，有两个不同的解，再利用二次函数的性质求得a 的范围．【详解】（1）当1a =时，有()()2log 4223x x f x =++=,所以34222x x ++=，即4260x x +-=，即()()23220x x +-=，解得1x =，所以解集为{}1．（2）因为方程()2log 421x x a a x +⋅++=有两个不同的实数根，即4212x x x a a +⋅++=有两个不同的实数根，设2x t =，则()()2110t a t a +-++=在()0+∞，有两个不同的解．令()()()211g t t a t a =+-++，只需：()()()200102Δ1410g a a a ⎧>⎪-⎪->⎪⎨⎪=--+>⎪⎪⎩解得：13a -<<-，即a的范围为(1,3--.20．党的二十报告明确要求：我们要构建高水平社会主义市场经济体制，坚持和完善社会主义基本经济制度，毫不动摇巩固和发展公有制经济，毫不动摇鼓励、支持、引导非公有制经济发展，充分发挥市场在资源配置中的决定性作用，更好发挥政府作用.这为我们深入推进非公有制企业改革发展指明了方向，提供了根本遵循.某非公有制企业抓住机遇推进生产改革，从单一产品转为生产A 、B 两种产品，根据市场调查与市场预测，A 产品的利润与投资成正比，其关系如图（1）；B 产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图（2）（注：所示图中的横坐标表示投资金额，单位为万元）(1)分别求出A 、B 两种产品的利润表示为投资的函数关系式；(2)该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A 、B 两种产品的生产，问：怎样分配这10万元资金，才能使企业获得最大利润，最大利润是多少？【正确答案】(1)1()(0)2f x x x =≥，()0).g x x =≥(2)当A 产品投入6万元，B 产品投入4万元时，企业获得最大利润为7万元【分析】（1）根据函数模型设出函数解析式，从两个图中分别找出特殊点坐标，代入函数解析式求出结果.（2）建立获利和对A 投资x 的函数，换元转化成二次函数，求出最大值.【详解】（1）设投资为x 万元，A 产品的利润为()f x 万元，B 产品的利润为()g x 万元，由题意知1()f x k x =，()g x k =。
内蒙古高一上学期期末考试数学试题(解析版)
一、单选题1．已知集合，则（ ）{1,2,3,4,5},{2,3,5},{2,5}U A B ===A ．B ．C ．D ．A B ⊆{1,3,4}U B =ð{2,5}A B = {3}A B ⋂=【答案】B【解析】利用集合间的关系，集合的交并补运算对每个选项分析判断.【详解】由题，故A 错； B A ⊆∵，，∴，B 正确； {1,2,3,4,5}U ={2,5}B ={1,3,4}U B =ð，C 错；{2,3,5}A B = ，D 错；{2,5}A B ⋂=故选:B2．已知函数，则()23132f x x x +=++A ．B ．C ．D ． 306920【答案】D 【详解】函数，令，解得，()23132f x x x +=++3110x +=3x =，故选D.()()210331333220f f ∴=⨯+=+⨯+=3．三个数 之间的大小关系是（ ）20.320.3,log 0.3,2a b c ===A ．.B ． a c b <<b a c <<C ．D ．a b c <<b<c<a 【答案】B 【分析】根据指数函数和对数函数的单调性进行求解，即可比较大小.【详解】解：，则，2000.30.31<<= 01a <<，则，22log 0.3log 10<= 0b <，则，所以.0.30221>= 1c >b a c <<故选：B.4．已知函数，则（ ） ()133xx f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()f x A ．是奇函数，且在R 上是增函数B ．是偶函数，且在上是增函数(0,)+∞C ．是奇函数，且在R 上是减函数D ．是偶函数，且在上是减函数(0,)+∞【答案】A【分析】根据函数的奇偶性定义，即可判断奇偶性，根据函数单调性的定义，即可判断函数的增减性.【详解】函数的定义域为，()f x R ，所以函数是奇函数， ()()113333x x xx f x f x --⎛⎫⎛⎫-=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()f x 且是增函数，是减函数，所以函数在上是增函数. 3x y =13x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭()133x x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭R 故选：A5．已知不等式的解集为，则不等式的解集为（ ）220ax bx ++>{|12}x x -<<220x bx a ++<A ． B ．{或} C ． D ．1{|1} 2x x -<<|1x x <-12x >{}|21x x -<<或{|2x x <-}1x >【答案】A【分析】根据不等式的解集求出，代入不等式中，化简求出不220ax bx ++>a b ，220x bx a ++<等式的解集．【详解】解：因为不等式的解集为，220ax bx ++>{}|12x x -<<的两根为，2，且，即，，解得，， 220ax bx ++=1-a<012b a -+=-2(1)2a -⨯=1a =-1b =则不等式可化为，解得，则不等式的解集为2210x x +-<112x -<<220x bx a ++<1|12x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭．故选：A. 6．若函数f(x)= (>0,且≠1)是定义域为R 的增函数,则函数f(x)= 的图象大致是x a -a a (1)a log x +( ).A ．B ．C ．D ．【答案】D【详解】，定义域为的增函数，函()()()10,1,xx f x a a a f x a -⎛⎫=>≠∴= ⎪⎝⎭ R 11,01,a a ∴>∴<<∴数是定义域为的减函数，故选D.()()log 1a f x x =+()1,-+∞7．某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86，94，88，92，90，五名女生的成绩分别为88，93，93，88，93下列说法一定正确的是（ ）A ．这种抽样方法是一种分层随机抽样B ．这五名男生成绩的中位数大于这五名女生成绩的中位数C ．这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差D ．该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数【答案】C【分析】根据题目条件，结合分层抽样的定义，以及中位数，平均数，方差的公式即可求解.【详解】对于A ，若抽样方法为分层随机抽样，则男生，女生分别抽取6人，4人，故选项A 错误；对于B ，这5名男生成绩的中位数是90，这5名女生成绩的中位数为93，因为90<93，故选项B 错误；对于C ，这5名男生成绩的平均数是，这5名女生成绩的平均数是18694889290905x ++++==，这5名男生成绩的方差是28893938893915x ++++==，这5名女生成绩的方差是()()()()()2222218690949088909290909085⎡⎤-+-+-+-+-=⎣⎦，所以这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差，故选()()221889129391365⎡⎤-⨯+-⨯=⎣⎦项C 正确；对于D ，这5名男生成绩的平均数小于这5名女生成绩的平均数，不能得出该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数，故选项D 错误；故选：C.8．函数的值域为（ ） 2212x x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭A ．B ．C ．D ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦(]0,2【答案】D【分析】令，则，转求二次函数与指数函数的值域即可. 22t x x =-12ty ⎛⎫= ⎪⎝⎭【详解】令，则， 22t x x =-12ty ⎛⎫= ⎪⎝⎭∵， ()222111t x x x =-=--≥-∴， (],2120ty ⎛⎫⎪⎭∈= ⎝∴函数的值域为，2212x x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭(]0,2故选：D二、多选题9．若，则下列不等式一定成立的是（ ）0a b <<A ． B ． C ． D ．1122a b ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22a b <11a b >ln ln a b >【答案】ACD 【分析】由指数函数性质可判断A ；例举法可判断B ；同时除以可判断C ；去绝对值并结合对数ab 函数可判断D.【详解】因为，对A ，为减函数，所以，A 项正确； 0a b <<12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭1122a b⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对B ，，则，故B 项错误；210-<-<()()2221->-对C ，，因为，所以同时除以有，故C 项正确； 0ab >a b <ab 11a b >对D ，因为，所以，又，所以，对数函数为增函0a b <<0a b ->->,a a b b =-=-a b >ln y x =数，所以，D 项正确.ln ln a b >故选：ACD10．从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球，那么不互斥的两个事件是A ．“至少有一个黑球”与“都是黑球”B ．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”C ．“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”D ．“至少有一个黑球”与“都是红球”【答案】AB【分析】根据互斥事件的定义逐一对四个选项进行分析即可.【详解】“至少有一个黑球”中包含“都是黑球，A 正确；“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”可能同时发生，B 正确；“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”不可能同时发生，C 不正确；“至少有一个黑球”与“都是红球”不可能同时发生，D 不正确.故选：AB .【点睛】本题考查互斥事件，解题关键是要理解互斥事件的定义，侧重考查对基础知识的理解和掌握，属于基础题.11．如图是三个对数函数的图象，则（ ）A ．B ． 1a >01b <<C ．D ．222b c a <<c b <【答案】ABC 【解析】根据对数函数的图象可判断出，再判断各选项即可得．10a c b >>>>【详解】由对数函数图象得，令，，由已知图象得，1,0,1a b c ><<1y =log log 1b c b c ==b c <；而是增函数，.b c a ∴<<2x y =222b c a ∴<<故选：ABC ．12．年新型冠状病毒肺炎疫情对消费饮食行业造成了很大影响，为了解、两家大型餐饮2020A B 店受影响的程度，现统计了年月到月、两店每月营业额，得到如图所示的折线图，根202027A B据营业额折线图，下列说法正确的是（ ）A ．店营业额的极差比店营业额的极差小A B B ．店月到月营业额的分位数是A 2775%45C ．店月到月每月增加的营业额越来越多B 27D ．店月到月的营业额的平均值为B 2729【答案】ABD【解析】计算出、两店营业额的极差，可判断A 选项的正误；根据百分位数的定义可判断B A B 选项的正误；根据营业额折线图可判断C 选项的正误；利用平均数的定义可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，由折线图可知，店营业额的极差为（万元） ，店营业额的A 641450-=B 极差为（万元），A 选项正确；63261-=对于B 选项，店月到月营业额由低到高依次为、、、、、，A 27142026364564所以，店月到月营业额的分位数是，B 选项正确；A 2775%45对于C 选项，店从月到月营业额的增加量为，从月到月营业额的增加量为，C 选项B 45195615错误；对于D 选项，店月到月的营业额的平均值为，D 选项正确. B 272816355063296+++++=故选：ABD.三、填空题13．利用随机数表法对一个容量为90，编号为00，01，02，…，89的产品进行抽样检验，抽取一个容量为10的样本，若选定从第2行第3列的数开始向右读数（下面摘取了随机数表中的第1行至第5行），根据下图，读出的第3个数是___________.1818079245441716580979838619620676500310552364050626623897758416074499831146322420148588451093728871234240647482977777810745321408329894077293857910755236281995509226119700567631388022025353866042045337859435128339500830423407968854420687983585294839【答案】75 【分析】根据随机数表法进行抽样即可.【详解】从随机数表的第2行第3列的数开始向右读数，第一个编号为62，符合；第二个编号为38，符合；第三个编号为97，大于89，应舍去；下一个编号为75，符合.所以读出的第3个数是：75.故答案为：75.14．若，则的最小值是___________. 1x >141x x +-【答案】8.【解析】先判断和，再根据基本不等式求的最小值即可. 4(1)0x ->101x >-141x x +-【详解】解：因为，所以，， 1x >4(1)0x ->101x >-所以 1144(1)44811x x x x +=-++≥=--当且仅当即时，取等号， 14(1)1x x -=-32x =所以的最小值是8. 141x x +-故答案为：8【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，是基础题.15．从一个装有6个彩色球（3红､2黄､1蓝）的盒子中随机取2个球，则这2个球颜色相同的概率是__________.【答案】 415【分析】利用组合和古典概型的知识即可求得结果.【详解】从6个球中随机取2个球，共有种，两球颜色相同的有种，故两球颜色2615C =2232C +C 4=相同的概率为. 223226C +C 4C 15P ==故答案为：. 41516．已知是上的减函数，那么的取值范围是______. ()()314,1log ,1aa x a x f x x x ⎧-+<=⎨≥⎩(),-∞+∞a【答案】 11,73⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】根据已知条件每一段函数都单调递减，且把代入两段函数，左侧函数值大于等于右侧1x =函数值，结合一次函数与对数函数的单调性即可求解.【详解】因为函数是上的减函数，所以每一段函数都单调递减，把代入两段函()f x (,)-∞+∞1x =数，左侧函数值大于等于右侧函数值.所以，解得. ()310013114log 1a a a a a -<⎧⎪<<⎨⎪-⋅+≥⎩1173x ≤<所以的取值范围为. a 11,73⎡⎫⎪⎢⎣⎭故答案为：. 11,73⎡⎫⎪⎢⎣⎭四、解答题 17．求解下列不等式的解集：(1)；2450x x -++<(2)；20252x x ≤-+(3)；4170x --≤(4)； ()()()21502x x x +-<-(5). 4123x x -≥+【答案】(1)或{1x x <-}5x >(2) 122x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭(3) 322x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭(4){}12x x -<<(5) 3123x x ⎧⎫-<≤⎨⎬⎩⎭【分析】（1）（2）利用二次不等式的解集解原不等式即可得其解集；（3）利用绝对值不等式的解法解原不等式即可得其解集；（4）（5）利用分式不等式的解法解原不等式可得其解集.【详解】（1）解：由可得，解得或，2450x x -++<2450x x -->1x <-5x >故原不等式的解集为或.{1x x <-}5x >（2）解：由可得，解得， 20252x x ≤-+()()2120x x --≤122x ≤≤故原不等式的解集为. 122x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭（3）解：由可得，即，解得， 4170x --≤417x -≤7417x -≤-≤322x -≤≤故原不等式的解集为. 322x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭（4）解：由可得，解得，()()()21502x x x +-<-10250x x x +⎧<⎪-⎨⎪-≠⎩12x -<<故原不等式的解集为.{}12x x -<<（5）解：由可得，解得， 4123x x -≥+()23443110232323x x x x x x x +-----==≤+++3123x -<≤故原不等式的解集为. 3123x x ⎧⎫-<≤⎨⎬⎩⎭18．计算与化简：(1)453log 27log 8log 25⨯⨯(2). 12271112333662228a b a b a b ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅-÷ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭(3) 10220.51392(0.01)54-⎛⎫⎛⎫+⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(4). 222lg5lg8lg5lg20(lg2)3++⋅+【答案】(1)9(2)b -(3) 5140(4)3【分析】（1）根据对数的运算性质，代入计算即可；（2）根据指数幂的运算性质，代入计算即可；（3）根据指数幂的运算性质，代入计算即可；（4）根据对数的运算性质，代入计算即可；【详解】（1）原式； 3lg 33lg 22lg 592lg 2lg 5lg 3=⨯⨯=（2）原式 12711122363262328a b b -+-++-⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪==- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（3）原式 131511421040=+⨯-=（4）原式 ()()22lg 52lg 2lg 5lg 52lg 2lg 2=++++()()22lg 5lg 2lg 2lg 5=+++2213=+=19．天气预报元旦假期甲地的降雨概率是0.2，乙地的降雨概率是0.3，假定在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，计算在这段时间内：（1）甲、乙两地都降雨的概率；（2）甲、乙两地都不降雨的概率；（3）至少一个地方降雨的概率.【答案】（1）0.06 （2）0.56 （3）0.44【解析】（1）根据独立事件概率性质,代入即可求解.()()()P AB P A P B =⋅（2）根据互斥事件概率的求法,,代入即可求解.()()()()()11P AB P A P B P A P B =⋅=-⨯-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦（3）根据对立事件概率性质, “至少一个地方降雨”与“甲乙两地都不降雨”互为对立事件,即可代入求解.【详解】设事件“甲地降雨”,事件“乙地降雨”,则事件与相互独立.A =B =A B 由题意知.()()0.2,0.3P A P B ==（1）；()()()0.20.30.06P AB P A P B ==⨯=（2）；()()()()()10.210.30.56P AB P A P B ==-⨯-=（3）.()()110.560.44P A B P AB =-=-= 【点睛】本题考查了独立事件概率的求法,互斥事件与对立事件概率性质的应用,属于基础题. 20．如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园．设菜园的长为xm ，宽为ym ．(1)若菜园面积为72m 2，则x ，y 为何值时，可使所用篱笆总长最小？(2)若使用的篱笆总长度为30m ，求的最小值． 12x y+【答案】(1)菜园的长x 为12m ，宽y 为6m 时，可使所用篱笆总长最小 (2)． 310【分析】（1）由已知可得xy ＝72，而篱笆总长为x +2y ．利用基本不等式x +2y（2）由已知得x +2y ＝30，利用基本不等式（）•（x +2y ）＝512x y +22y x x y ++≥得出．【详解】（1）由已知可得xy ＝72，而篱笆总长为x +2y ．又∵x +2y 24，=当且仅当x ＝2y ，即x ＝12，y ＝6时等号成立．∴菜园的长x 为12m ，宽y 为6m 时，可使所用篱笆总长最小． （2）由已知得x +2y ＝30，又∵（）•（x +2y ）＝59， 12x y +22y x x y ++≥=∴，当且仅当x ＝y ，即x ＝10，y ＝10时等号成立． 12310x y +≥∴的最小值是． 12x y +31021．某校对高二年级选学生物的学生的某次测试成绩进行了统计，随机抽取了m 名学生的成绩作为样本，根据此数据作出了频率分布统计表和频率分布直方图如下：分组 频数 频率[)60,7016 0.2[)70,8050 n [)80,9010p[]90,100 4 0.05 合计m I(1)求表中n ，p 的值和频率分布直方图中a 的值；(2)如果用分层抽样的方法，从样本成绩在和的学生中共抽取5人，再从5人中选2[]60,70[]90,100人，求这2人成绩在的概率.[]60,70【答案】(1)，；0.625,0.125n p ==0.0625a =(2) 35【分析】（1）根据频率分布统计表，求出，进而得到n ，p 与的值； m a （2）利用分层抽样求出抽取5人中成绩在和的人数，利用列举法求出古典概型的[]60,70[]90,100概率.【详解】（1）由题意得，故，，； 16800.2m ==500.62580n ==100.12580p ==0.625100.0625a =÷=（2）样本成绩在和的学生的人数之比为，[]60,70[]90,10016:44:1=故抽取5人中成绩在的有4人，设为，成绩在的有1人，设为， []60,70a b c d ,,,[]90,100A 再从5人中选2人，这2人可能情况为，共10种情况，()()()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,,,,,a b a c a d a A b c b d b A c d c A d A其中这2人成绩均在的有，共6种情况，[]60,70()()()()()(),,,,,,,,,,,a b a c a d b c b d c d 故这2人成绩在的概率为. []60,7063105=22．一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元,此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元,年产量为（）件.当时，年销售总收入为（）万元；当时，年销x x N *∈20x ≤233x x -20x >售总收入为万元.记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为万元.(年利润=年销售总收入一260y 年总投资)(1)求(万元)与(件)的函数关系式；y x (2)当该工厂的年产量为多少件时,所得年利润最大?最大年利润是多少?【答案】（1）（）；（2）当年产量为件时，所得年利润最232100,020160,20x x x y x x ⎧-+-<≤=⎨->⎩x N *∈16大，最大年利润为万元.156【分析】（1）根据已知条件，分当时和当时两种情况，分别求出年利润的表达式，综20x ≤20x >合可得答案；（2）根据（1）中函数的解析式，求出最大值点和最大值即可．【详解】（1）由题意得：当时，， 20x ≤()223310032100y x x x x x =---=-+-当时，，20x >260100160y x x =--=-故（）； 232100,020160,20x x x y x x ⎧-+-<≤=⎨->⎩x N *∈（2）当时，，020x <≤()223210016156y x x x =-+-=--+当时，，16x =156max y =而当时，，20x >160140x -<故当年产量为件时，所得年利润最大，最大年利润为万元.16156【点睛】本题主要考查函数模型及最值的求法，正确建立函数关系是解题的关键，属于常考题.。
内蒙古高一上学期期末检测数学试题(解析版)
一、单选题1．已知集合，，则（ ） {}24A x x =<≤{}3782B x x x =-≥-A B = A ． B ．C ．D ．[]3,4()3,4[)3,4(]3,4【答案】A【分析】求出集合B ，再根据交集的定义即可得解.【详解】解：因为，所以． {}{}37823B x x x x x =-≥-=≥[]3,4A B ⋂=故选：A.2．函数.()f x =A ．B ． []2,2-()(],11,2-∞-⋃-C ．D ．[)(]2,11,2--⋃-()2,2-【答案】C【分析】根据题意，列出不等式，求解即可.【详解】要使得函数有意义，则，且，解得. 240x -≥10x +≠[)(]2,11,2x ∈--⋃-故选：C.3．如图所示的时钟显示的时刻为，此时时针与分针的夹角为．若一个半径为的4:30()0ααπ<≤1扇形的圆心角为，则该扇形的面积为（ ）αA ．B ．C ．D ．2π4π8π16π【答案】C【分析】求出的值，利用扇形的面积公式可求得扇形的面积.α【详解】由图可知，，所以该扇形的面积．1284παπ=⨯=212481S ππ=⨯⨯=故选：C.4．指数函数在R 上单调递减，则实数a 的取值范围是（ ）()()1xf x a =-A ．B ．C ．D ．()2,1--()2,+∞(),2-∞-()1,2【答案】D【分析】由已知条件结合指数函数的性质列不等式求解即可 【详解】因为指数函数在R 上单调递减， ()()1xf x a =-所以，得， 011a <-<12a <<所以实数a 的取值范围是， ()1,2故选：D5．如图是下列某个函数在区间的大致图象，则该函数是（ ）[]π,π-A ．B ．()22sin x xy x -=-()22sin x xy x -=+C ．D ．sin 22xxxy -=+2sin x y x =【答案】B【分析】检验奇偶性可排除AD ；判断时函数的取值范围可排除C ，即可求解 0πx <<【详解】由图象关于原点对称，可知该函数为奇函数， 且当时，函数的最大值大于3，0πx <<对于A ：，()()()()()22sin 22sin x x x xf x x x f x ---=--=-=该函数是偶函数，故排除A ；对于C ：当时，， 0πx <<221,0sin 1x x x -+><≤所以，故排除C ；sin 0122x xx-<<+对于D ：，故该函数不是奇函数，故排除D ；()()()2sin 2sin x xf x x x f x ---=-=-≠-对于B ：，()()()()()22sin 22sin x x x xf x x x f x ---=+-=-+=-该函数是奇函数，且，满足题意；ππππ3222222ππ22sin 222222134f ---⎛⎫⎛⎫=+=++ ⎪ ⎪=⎝⎭⎭>>⎝故选：B6．下列不等式中正确的是（ ）A ．B ．的最小值为22111x x +≥+y =2C ．D 12x x+≥2≥【答案】A【分析】利用基本不等式及取特殊值逐项分析即可.【详解】由， ()222211111111x x x x +=+-≥++=+当且仅当时取等号，故A 正确， 221011x x x +=⇒=+，2y ===≥=无解，故取不到最小值2，241x =⇒+=故选项B 错误；当时，，当且仅当时取等号， 0x >12x x +≥=1x =当时，， 0x <()112x x x x ⎡⎤⎛⎫+=--+-≤=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦当且仅当时取等号，故C 不正确； =1x -取不成立，故D 不正确. 1,2a b =-=-2≥故选：A.7．下列命题正确的是（ ）A ．命题“，使得”的否定是“，使得” x ∃∈R 22x x <x ∃∈R 22x x ≥B ．若，则()0,1x ∈122lg x x x >>C ．若函数在上具有单调性，则()()28f x x kx k =--∈R []1,42k ≤D ．“”是“”的充分不必要条件 3x >2560x x -+>【答案】D【分析】A. 利用含有一个量词的命题的否定的定义判断； B.根据指数函数、对数函数和幂函数的值域判断； C.利用二次函数的单调性判断； D.利用充分条件和必要条件的定义判断.【详解】A. 命题“，使得”是存在量词命题，则其否定是全称量词命题即：“，x ∃∈R 22x x <x ∀∈R 都有”，故错误；22x x ≥B.若，则，所以，故错误；()0,1x ∈()()()1221,2,lg ,0,0,1x x x ∈∈-∞∈122lg x x x >>C.若函数在上具有单调性，则或，解得或，故错()()28f x x kx k =--∈R []1,412k ≤42k≥2k ≤8k ≥误；D. 不等式解得或，所以 “”是“”的充分不必要条件，故2560x x -+>3x >2x <3x >2560x x -+>正确 故选：D8．已知函数是定义在上的奇函数，且在上单调递增，若，()f x R ()f x [)0,∞+()2log 9a f =，，则，，的大小关系是（ ）31log 10b f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()0.92c f =a b c A ． B ． C ． D ．a b c >>a c b >>c b a >>b c a >>【答案】A【分析】确定函数在上单调递增，，计算，得到大小关系.R ()30lo 1g b f =0.923log l 910o 2g >>【详解】是定义在上的奇函数，且在上单调递增，故函数在上单调递增，()f x R ()f x [)0,∞+R ，()331log l g 1o 100b f f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，，， 223log 9log 8>=3332log 9log 10log 273=<<=0.922<故，故. 0.923log l 910o 2g >>a b c >>故选：A二、多选题9．已知，则下列各式中，与数值相同的是（ ） k ∈Z πcos 6A ．B ．πcos π6k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭πcos 2π6k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭C ．D ．πsin 2π3k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭()πsin 21π3k ⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦【答案】BCD【分析】利用诱导公式化简即可.【详解】当为奇数时，，故A 错；k ππcos πcos 66k ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，故B 正确；ππcos 2πcos 66k ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故C 正确；πππsin 2πsin cos 336k ⎛⎫+== ⎪⎝⎭，故D 正确.()ππππsin 21πsin sin cos 3336k ⎡⎤⎛⎫+-=--== ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭故选：BCD.10．函数的零点所在的区间是（ ） 2()23x f x x =-A ． B ． ()2,1--()1,0-C ． D ．()0,1()1,2【答案】BC【分析】把函数的零点问题转化为函数和的图象的交点问题，数形结合2()23x f x x =-2x y =23y x =即可得解.【详解】如图，作出函数的图象， 22,3x y y x ==观察交点可得交点在和区间上. ()1,0-()0,1故选：BC.11．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德､牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整x ∈R []x x 数，则称为高斯函数．例如：，．已知函数，则关于函数[]y x =[ 3.2]4-=-[2.3]2=21()122x xf x =-+的叙述中正确的是（ ）()[()]g x f x =A ．是奇函数 B ．在上是增函数()f x ()f x RC ．是偶函数D ．的值域是()g x ()g x {}1,0-【答案】ABD【分析】利用奇偶性的定义判断可选项A ，C ，由函数单调性的结论可判断选项B ，由函数单调性求出的取值范围，结合定义可得的值域可判断选项D ．()f x ()g x 【详解】对于A ，因为函数，，11()112221122x x x f x =-=--=++11212x -+x ∈R 所以，则函数为奇函数，故选项A 正确； ()121()1221221x x xf x f x ---=-=-=-++()f x 对于B ，因为、在R 上是增函数，所以在R 上是增函数，故12x y =+112=-+x y ()11212x f x =-+选项B 正确； 对于C ，因为，则， ()11212x f x =-+()()11g f ==⎡⎤⎣⎦110212⎡⎤-=⎢⎥+⎣⎦，因为所以函数不是偶函数，故选项C 错误； ()()11g f -=-=⎡⎤⎣⎦1111212⎡⎤⎢⎥-=-⎢⎥⎢⎥+⎣⎦()()11g g -≠()g x 对于D ，又，所以，故的值域为，故选项D 正确． 121x +>11()22f x -<<()[()]g x f x ={}1,0-故选：ABD ．【点睛】关键点点睛：本题考查了函数性质的综合应用，关键点是对函数性质的熟练掌握，以及对新定义的理解，考查了学生的推理能力与运算能力.12．已知函数，若x 1<x 2<x 3<x 4，且f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)＝f (x 4)，则下列结论正确222,0()log ,0x x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨>⎪⎩的是（ ） A ．x 1＋x 2＝－1 B ．x 3x 4＝1 C ．1<x 4<2 D ．0<x 1x 2x 3x 4<1【答案】BCD【解析】由解析式得到函数图象，结合函数各分段的性质有，，122x x +=-341x x =341122x x <<<<，即可知正确选项.【详解】由函数解析式可得图象如下：()f x∴由图知：，，而当时，有，即或2， 122x x +=-121x -<<-1y =2|log |1x =12x =∴，而知：， 341122x x <<<<34()()f x f x =2324|log ||log |x x =2324log log 0x x +=∴，.341x x =21234121(1)1(0,1)x x x x x x x ==-++∈故选：BCD【点睛】关键点点睛：利用分段函数的性质确定函数图象，由二次函数、对数运算性质确定的范围及关系.1234,,,x x x x三、填空题13．若，则______. sin cos αα+=()0,πα∈sin cos αα-=【分析】根据，确定，计算sin cos αα+2sin cos 5αα=-sin cos 0αα->()29sin cos 5αα-=，得到答案.【详解】，故，sin cos αα+=()21sin cos 12sin cos 5αααα+=+=2sin cos 5αα=-，故，，，()0,πα∈sin 0α>cos 0α<sin cos 0αα->，故()29sin cos 12sin cos 5αααα-=-=sin cos αα-=14．若，则______． 4log 31x =33x x --=【答案】##3.75 154【分析】由题设得，代入目标式化简求值即可.3log 4x =【详解】由题设，则. 341log 4log 3x ==33log 4log 41153333444x x ---=-=-=故答案为：15415．若关于x 的不等式的解集为R ，则实数a 的取值范围是__________． 2210ax ax +-<【答案】(]1,0-【分析】分两种情况和，可求出实数的取值范围. 0a =0a ≠a 【详解】关于的不等式的解集为. x 2210ax ax +-<R 当时，原不等式为，该不等式在上恒成立；0a =1<0-R 当时，则有，解得. 0a ≠2Δ440a a a <⎧⎨=+<⎩10a -<<综上所述，实数的取值范围是. a (]1,0-故答案为：(]1,0-16．已知函数的最大值为m ，的最小值为n ，则()22,02,,10,x x x f x x x x ⎧-+≤≤=⎨---≤<⎩()f x ()f x m n +=______．【答案】74-【分析】根据二次函数的性质分别求出两段函数的最值，从而可得函数的最大值和最小值，()f x 即可得解.【详解】当时，，02x ≤≤()221124f x x x x ⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝⎭所以此时，()()()max min 11,2224f x f f x f ⎛⎫====- ⎪⎝⎭当时，，10x -≤<()221124f x x x x ⎛⎫=--=-++ ⎪⎝⎭所以此时，()()()max min 11,1024f x f f x f ⎛⎫=-==-= ⎪⎝⎭综上所述，，即，()()max min 1,24f x f x ==-1,24m n ==-所以.74m n +=-故答案为：.74-四、解答题17．已知全集，集合，．求，，{}4U x x =≤{}23A x x =-<<{}33B x x =-<<A B ⋂()U A B ð．()UA B ⋂ð【答案】，或， {}23A B x x ⋂=-<<(){3U A B x x ⋃=≤-ð}34x ≤≤(){}32U A B x x ⋂-<≤-ð【分析】根据交集，并集和补集的定义计算即可.【详解】因为，，，{}4U x x =≤{}23A x x =-<<{}33B x x =-<<所以，，或， {}23A B x x ⋂=-<<{}33A B x x ⋃=-<<{2U A x x =≤-ð}3x ≥所以或，(){3U A B x x ⋃=≤-ð}34x ≤≤.(){}32UA B x x ⋂-<≤-ð18．已知．πsin(π)cos(π)cos 2()3πcos(2π)sin sin(π)2f ααααααα⎛⎫-++ ⎪⎝⎭=⎛⎫+--- ⎪⎝⎭(1)若角的终边过点，求； α(12,5)P -()f α(2)若，分别求和的值．()2f α=sin cos sin cos αααα-+24sin 3sin cos ααα-【答案】(1) 512(2)，sin cos 3sin cos αααα-=+2224sin 3sin cos 5ααα-=【分析】（1）利用诱导公式化简，根据三角函数的定义求得. ()f x ()f α（2）根据齐次式的知识求得正确答案.【详解】（1） πsin(π)cos(π)cos 2()3πcos(2π)sin sin(π)2f ααααααα⎛⎫-++ ⎪⎝⎭=⎛⎫+--- ⎪⎝⎭，()()()sin cos sin tan cos cos sin ααααααα⨯-⨯-==-⨯-⨯若角的终边过点，则， α(12,5)P -5tan 12α=-所以. ()5tan 12f αα=-=（2）若，()tan 2,tan 2f ααα=-==-所以；sin cos tan 133sin cos tan 11αααααα---===++- 22224sin 3sin cos 4sin 3sin cos sin cos αααααααα--=+. 224tan 3tan 16622tan 1415ααα-+===++19．已知函数，函数．()()22log log 88x f x x =⋅()1424x x g x +=--(1)求函数的值域；()f x (2)若不等式对任意实数恒成立，求实数的取值范围． ()()0f x g a -≤[]0,2a ∈x 【答案】(1)[9,)-+∞(2)1[,4]4【分析】（1）化简后由对数函数的性质求解 （2）不等式恒成立，转化为最值问题求解【详解】（1）． ()()()2222()log 3log 3log 9f x x x x =-+=-故的值域为．()f x [9,)-+∞（2）∵不等式对任意实数恒成立，∴．()()f x g a ≤[0,2]a ∈min ()()f x g a ≤． ()()221()4242224215a a a a a g a +=--=-⨯-=--令，∵，∴．2a t =[0,2]a ∈[1,4]t ∈设，，当时，取得最小值，即． 2()(1)5h t t =--[1,4]t ∈1t =()h t 5-min ()5g a =-∴，即 ()5f x ≤-()2221log 952log 244x x x -≤-⇒-≤≤⇒≤≤故的取值范围为x 1[,4]420．党的二十大报告指出：我们要推进美丽中国建设，坚持山水林田湖草沙一体化保护和系统治理，统筹产业结构调整、污染治理、生态保护、应对气候变化，协同推进降碳、减污、扩绿、增长，推进生态优先、节约集约、绿色低碳发展．某乡政府也越来越重视生态系统的重建和维护．若乡财政下拨一项专款400百万元，分别用于植绿护绿和处理污染两个生态维护项目，植绿护绿项目五年内带来的生态收益可表示为投放资金（单位：百万元）的函数（单位：百万元）：x ()M x ；处理污染项目五年内带来的生态收益可表示为投放资金（单位：百万元）的函()8020xM x x=+x数（单位：百万元）：． ()N x ()14N x x =(1)设分配给植绿护绿项目的资金为（百万元），则两个生态项目五年内带来的收益总和为（百x y 万元），写出关于的函数解析式；y x (2)生态维护项目的投资开始利润薄弱，只有持之以恒，才能功在当代，利在千秋．试求出的最大y 值，并求出此时对两个生态项目的投资分别为多少？【答案】(1)， 801100204x y x x =-++[]0,400x ∈(2)的最大值为145（百万元），分别投资给植绿护绿项目、污染处理项目的资金为60（百万元），y 340（百万元）．【分析】（1）由题意可得处理污染项目投放资金为百万元，即可求出，从而求出400x -()400N x -关于的函数解析式；y x （2）利用基本不等式求出函数的最大值，即可得解.【详解】（1）解：由题意可得处理污染项目投放资金为百万元，400x -则， ()8020x M x x =+()()1140040010044N x x x -=-=-，． 801100204x y x x ∴=-++[]0,400x ∈（2）解：由（1）可得， 80111600100180204420x y x x x x =-+=--++， ()1640018520185145420x x ⎡⎤=-++≤=⎢⎥+⎣⎦当且仅当，即时等号成立，此时． 64002020x x+=+60x =400340x -=所以的最大值为（百万元），分别投资给植绿护绿项目、污染处理项目的资金为（百万y 14560元），（百万元）．34021．已知函数为奇函数. 0.52()log 2ax f x x -=-（1）求常数的值； a （2）若对任意都有成立，求的取值范围. 10,63x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()3f x t >-t 【答案】（1）；（2）1a =-(),1∞-【分析】（1）根据函数为奇函数，利用奇函数的定义由求解. ()0.52log 2ax f x x -=-()()0f x f x +-=（2）设函数,利用反比例函数的性质求得其值域，再利用对数函数的性质求()24122x h x x x +==+--得的最大值，根据对任意都有成立，由求解 ()f x 10,63x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()3f x t >-()min 3f x t >-【详解】（1）因为函数为奇函数， ()0.52log 2ax f x x -=-所以， ()()220.50.50.52224log log log 0224ax ax a x f x f x x x x-+-+-=+==----所以，即，或， 222414a x x-=-21a =1a =1-当时，函数，无意义，舍去， 1a =()()0.50.52log log 12x f x x -==--当时，函数，定义域（-∞，-2）∪（2，+∞），满足题意， 1a =-()0.52log 2x f x x +=-综上所述，.1a =-（2）设函数， ()22x h x x +=-因为函数， ()24122x h x x x +==+--所以函数在区间上单调递减， ()h x 10,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦所以，即，2()4h x ≤≤2(1f x -≤≤-因为对任意都有成立， 10,63x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()3f x t >-所以，解得，32t -<-1t <综上所述，的取值范围是. t (),1∞-【点睛】本题主要考查奇偶性的定义的应用，对数型函数值域的求法以及不等式恒成立问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.22．（1）已知，的最大值． π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()f x =()()2y f x f x =-⎡⎤⎣⎦（2）求函数的值域．（提示：） ()sin cos sin cos R y x x x x x =+-∈πsin cos 4x x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭【答案】（1）；（2） 141[2-【分析】（1）利用同角三角形函数的关系化简函数式，代入目标函数式，结合二次函数性质求最值即可；（2）令并确定范围，结合与的关系得，代入sin cos t x x =-sin cos x x -sin cos x x 21sin cos 2t x x -=函数结合二次函数性质求值域即可.【详解】（1）由，又， ()f x ==π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以，则， 1sin 1sin ()2tan cos cos x x f x x x x +-=-+=-22112tan 4tan 4(tan 44y x x x =--=-++由，则，故当时. π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭tan (,0)x ∞∈-1tan 4x =-max 14y =（2）令， πsin cos [4t x x x =-=-∈而，则， 22(sin cos )12sin cos t x x x x =-=-21sin cos 2t x x -=所以等价于， sin cos sin cos y x x x x =+-2211(1)122t y t t -=+=--+则在上递增，在上递减，，，y [t ∈t ∈1|2t y -1|2t y max 1|1t y y ===，综上，函数值域为. 1[2-。
内蒙古赤峰市高一数学上学期期末试题(含解析)
2015-2016学年内蒙古赤峰市高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．下面四个命题正确的是（）A．.第一象限角必是锐角B．.小于90°的角是锐角C．.若cosα＜0，则α是第二或第三象限角D．.锐角必是第一象限角2．已知集合A={x|﹣1＜x＜2}，集合B={x|0＜x＜1}，则有（）A．A⊆B B．A⊊B C．B⊊A D．A=B3．函数f（x）=+的定义域为（）A．（﹣3，0] B．（﹣3，1] C．（﹣∞，﹣3）∪（﹣3，0] D．（﹣∞，﹣3）∪（﹣3，1]4．将直径为2的半圆绕直径所在的直线旋转半周而形成的曲面所围成的几何体的表面积为（）A．2πB．3πC．4πD．6π5．若偶函数f（x）在（﹣∞，﹣1]上是增函数，则下列关系式中成立的是（）A．f（﹣）＜f（﹣1）＜f（2）B．f（﹣1）＜f（﹣）＜f（2）C．f（2）＜f（﹣1）＜f（﹣）D．f（2）＜f（﹣）＜f（﹣1）6．m，n，l为不重合的直线，α，β，γ为不重合的平面，则下列说法正确的是（）A．α∥γ，β∥γ，则α∥βB．α⊥γ，β⊥γ，则α⊥βC．m∥α，n∥α，则m∥n D．m⊥l，n⊥l，则m∥n7．若lgx=m，lgy=n，则lg﹣lg（）2的值为（）A．m﹣2n﹣2 B．m﹣2n﹣1 C．m﹣2n+1 D．m﹣2n+28．一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其主视图如图所示，该四棱锥侧面积等于（）A．20 B．5 C．4（+1）D．49．已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，给出下列命题：①若m⊥α，m⊂β，则α⊥β；②若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；③m⊂α，n⊂α，m、n是异面直线，那么n与α相交；④若α∩β=m，n∥m，且n⊄α，n⊄β，则n∥α且n∥β．其中正确的命题是（）A．①② B．②③ C．③④ D．①④10．函数f（x）=e x+x﹣2的零点所在的一个区间是（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1）D．（1，2）11．若函数f（x）=x2+2（a﹣1）x+2在（﹣∞，4]上是递减的，则a的取值范围是（）A．a≥﹣3 B．a≤﹣3 C．a≤5 D．a≥312．已知函数是R上的减函数则a的取值范围是（）A．（0，3）B．（0，3] C．（0，2）D．（0，2]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知幂函数y=f（x）的图象过点（2，），则f（9）= ．14．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若AB=AA1=2，AC=1，∠BAC=60°，则此球的体积等于．15．设函数f（x）=（x+1）（x+a）为偶函数，则a= ．16．已知函数 f（x）的定义域为 A，若当f（x1）=f（x2）（x1，x2∈A）时，总有x1=x2，则称 f（x）为单值函数．例如，函数f（x）=2x+1（x∈R）是单值函数．给出下列命题：①函数f（x）=x2（x∈R）是单值函数；②函数f（x）=2x（x∈R）是单值函数；③若f（x）为单值函数，x1，x2∈A，且x1≠x2，则f（x1）≠f（x2）；④函数f（x）=是单值函数．其中的真命题是．（写出所有真命题的编号）三、解答题.本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知f（x）=2x，g（x）是一次函数，并且点（2，2）在函数f[g（x）]的图象上，点（2，5）在函数g[f（x）]的图象上，求g（x）的解析式．18．（1）计算：（2）+（lg5）0+（）；（2）解方程：log3（6x﹣9）=3．19．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2，E为AA1的中点，O是BD1的中点．（Ⅰ）求证：平面A1BD1⊥平面ABB1A1；（Ⅱ）求证：EO∥平面ABCD．20．已知函数f（x）=x2+2ax+2，x∈[﹣5，5]．（Ⅰ）当a=﹣1时，求函数f（x）的最大值和最小值；（Ⅱ）求实数a的取值范围，使y=f（x）在区间[﹣5，5]上是单调函数．21．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA=PB=AB=2，BC=3，∠ABC=90°，平面PAB⊥平面ABC，D，E分别为AB，AC中点．（Ⅰ）求证：DE∥面PBC；（Ⅱ）求证：AB⊥PE；（Ⅲ）求三棱锥B﹣PEC的体积．22．已知定义域为R的函数是奇函数．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）若对任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，求k的取值范围．2015-2016学年内蒙古赤峰市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．下面四个命题正确的是（）A．.第一象限角必是锐角B．.小于90°的角是锐角C．.若cosα＜0，则α是第二或第三象限角D．.锐角必是第一象限角【考点】象限角、轴线角．【专题】综合题．【分析】通过给变量取特殊值，举反例来可以说明某个命题不正确，可排除部分选项．根据选项的叙述，利用象限角、终边相同的角的定义，结合三角形的知识判断A错误；锐角的定义判断B正确；象限角判断C错误；锐角的范围判断D正误．【解答】解：第一象限角必是锐角，显然不正确，A错误；小于90°的角是锐角，可以是负角，所以B不正确；若cosα＜0，则α是第二或第三象限角，可以是x负半轴上的角，所以不正确．锐角必是第一象限角，正确．故选D．【点评】本题是基础题，考查三角函数的有关概念，角的范围的应用，考查基本知识的应用．2．已知集合A={x|﹣1＜x＜2}，集合B={x|0＜x＜1}，则有（）A．A⊆B B．A⊊B C．B⊊A D．A=B【考点】集合的包含关系判断及应用．【专题】计算题；集合思想；综合法；集合．【分析】根据真子集的定义，即可得出结论．【解答】解：由于B中元素都是A中元素，且A中有元素不属于B，所以B⊊A．故选：C．【点评】本题考查真子集的定义，考查学生对概念的理解，比较基础．3．函数f（x）=+的定义域为（）A．（﹣3，0] B．（﹣3，1] C．（﹣∞，﹣3）∪（﹣3，0] D．（﹣∞，﹣3）∪（﹣3，1] 【考点】函数的定义域及其求法．【专题】转化思想；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】由，解得x范围即可得出．【解答】解：由，解得x≤0，且x≠﹣3．∴函数f（x）的定义域为（﹣∞，﹣3）∪（﹣3，0]．故选：C．【点评】本题考查了函数的定义域求法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4．将直径为2的半圆绕直径所在的直线旋转半周而形成的曲面所围成的几何体的表面积为（）A．2πB．3πC．4πD．6π【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【专题】计算题；函数思想；空间位置关系与距离．【分析】判断几何体的特征，然后求解即可．【解答】解：由题意知，该几何体为半球，表面积为大圆面积加上半个求面积，，故选：B．【点评】本题考查旋转体的几何特征，球的表面积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．5．若偶函数f（x）在（﹣∞，﹣1]上是增函数，则下列关系式中成立的是（）A．f（﹣）＜f（﹣1）＜f（2）B．f（﹣1）＜f（﹣）＜f（2）C．f（2）＜f（﹣1）＜f（﹣）D．f（2）＜f（﹣）＜f（﹣1）【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】常规题型．【分析】题目中条件：“f（x）为偶函数，”说明：“f（﹣x）=f（x）”，将不在（﹣∞，﹣1]上的数值转化成区间（﹣∞，﹣1]上，再结合f（x）在（﹣∞，﹣1]上是增函数，即可进行判断．【解答】解：∵f（x）是偶函数，∴f（﹣）=f（），f（﹣1）=f（1），f（﹣2）=f（2），又f（x）在（﹣∞，﹣1]上是增函数，∴f（﹣2）＜f（﹣）＜f（﹣1）即f（2）＜f（﹣）＜f（﹣1）故选D．【点评】本小题主要考查函数单调性的应用、函数奇偶性的应用、奇偶性与单调性的综合等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．属于基础题．6．m，n，l为不重合的直线，α，β，γ为不重合的平面，则下列说法正确的是（）A．α∥γ，β∥γ，则α∥βB．α⊥γ，β⊥γ，则α⊥βC．m∥α，n∥α，则m∥n D．m⊥l，n⊥l，则m∥n【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】在A中，由平面与平面平行的判定定理得α∥β；在B中，α与β相交或平行；在C中，m与n相交、平行或异面；在D中，m与n相交、平行或异面．【解答】解：由m，n，l为不重合的直线，α，β，γ为不重合的平面，知：在A中：α∥γ，β∥γ，则由平面与平面平行的判定定理得α∥β，故A正确；在B中：α⊥γ，β⊥γ，则α与β相交或平行，故B错误；在C中：m∥α，n∥α，则m与n相交、平行或异面，故C错误；在D中：m⊥l，n⊥l，则m与n相交、平行或异面，故D错误．故选：A．【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间位置关系的合理运用．7．若lgx=m，lgy=n，则lg﹣lg（）2的值为（）A．m﹣2n﹣2 B．m﹣2n﹣1 C．m﹣2n+1 D．m﹣2n+2【考点】对数的运算性质．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】运用对数的运算性质把要求的代数式化为lgx，lgy及常数的形式，则答案可求．【解答】解：因为lgx=m，lgy=n，所以lg﹣lg（）2==．故选D．【点评】本题考查了对数的运算性质，关键是熟记有关性质，是基础题．8．一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其主视图如图所示，该四棱锥侧面积等于（）A．20 B．5 C．4（+1）D．4【考点】简单空间图形的三视图．【专题】空间位置关系与距离．【分析】由已知中的三视图，可知该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，求出侧面的高后，计算各个侧面的面积，相加可得答案．【解答】解：由已知中的三视图，可知该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，其底面棱长为2，高h=2，故侧面的侧高为=，故该四棱锥侧面积S=4××2×=4，故选：D【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．9．已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，给出下列命题：①若m⊥α，m⊂β，则α⊥β；②若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；③m⊂α，n⊂α，m、n是异面直线，那么n与α相交；④若α∩β=m，n∥m，且n⊄α，n⊄β，则n∥α且n∥β．其中正确的命题是（）A．①② B．②③ C．③④ D．①④【考点】平面与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．【专题】综合题．【分析】利用平面与平面垂直和平行的判定和性质，直线与平面平行的判断，对选项逐一判断即可．【解答】解：①若m⊥α，m⊂β，则α⊥β；这符合平面垂直平面的判定定理，正确的命题．②若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；可能n∥m，α∩β=l．错误的命题．③m⊂α，n⊂α，m、n是异面直线，那么n与α相交；题目本身错误，是错误命题．④若α∩β=m，n∥m，且n⊄α，n⊄β，则n∥α且n∥β．是正确的命题．故选D．【点评】本题考查平面与平面的平行和垂直的判定，考查逻辑思维能力，是基础题．10．函数f（x）=e x+x﹣2的零点所在的一个区间是（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1）D．（1，2）【考点】函数零点的判定定理．【专题】函数的性质及应用．【分析】将选项中各区间两端点值代入f（x），满足f（a）•f（b）＜0（a，b为区间两端点）的为答案．【解答】解：因为f（0）=﹣1＜0，f（1）=e﹣1＞0，所以零点在区间（0，1）上，故选C．【点评】本题考查了函数零点的概念与零点定理的应用，属于容易题．函数零点附近函数值的符号相反，这类选择题通常采用代入排除的方法求解．11．若函数f（x）=x2+2（a﹣1）x+2在（﹣∞，4]上是递减的，则a的取值范围是（）A．a≥﹣3 B．a≤﹣3 C．a≤5 D．a≥3【考点】二次函数的性质；函数单调性的性质．【专题】计算题；数形结合．【分析】本题中的函数是一个二次函数，由于其在（﹣∞，4]上是递减的，可以得出此区间应该在对称轴的左侧，由此关系得到参数a的不等式，解之即得参数的取值范围．【解答】解：函数f（x）=x2+2（a﹣1）x+2的对称轴是x=1﹣a又函数f（x）=x2+2（a﹣1）x+2在（﹣∞，4]上是递减的，∴4≤1﹣a∴a≤﹣3故选B【点评】本题的考点是二次函数的性质，考查由二次函数的性质得到相关参数的不等式，求解析式中的参数的取值范围，属于二次函数的基础考查题．12．已知函数是R上的减函数则a的取值范围是（）A．（0，3）B．（0，3] C．（0，2）D．（0，2]【考点】函数单调性的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】由f（x）为R上的减函数可知，x≤1及x＞1时，f（x）均递减，且（a﹣3）×1+5≥，由此可求a的取值范围．【解答】解：因为f（x）为R上的减函数，所以x≤1时，f（x）递减，即a﹣3＜0①，x＞1时，f（x）递减，即a＞0②，且（a﹣3）×1+5≥③，联立①②③解得，0＜a≤2．故选D．【点评】本题考查函数单调性的性质，本题结合图象分析更为容易．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知幂函数y=f（x）的图象过点（2，），则f（9）= 3 ．【考点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用．【专题】计算题．【分析】先由幂函数的定义用待定系数法设出其解析式，代入点的坐标，求出幂函数的解析式，再求f（16）的值【解答】解：由题意令y=f（x）=x a，由于图象过点（2，），得=2a，a=∴y=f（x）=∴f（9）=3．故答案为：3．【点评】本题考查幂函数的单调性、奇偶性及其应用，解题的关键是熟练掌握幂函数的性质，能根据幂函数的性质求其解析式，求函数值．14．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若AB=AA1=2，AC=1，∠BAC=60°，则此球的体积等于π．【考点】球的体积和表面积．【专题】计算题；方程思想；综合法；立体几何．【分析】通过已知条件求出底面外接圆的半径，确定球心为O的位置，求出球的半径，然后求出球的体积．【解答】解：在△ABC中AB=AA1=2，AC=1，∠BAC=60°，可得BC=，可得△ABC外接圆半径r=1，三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，三棱柱为直三棱柱，侧面BAA1B1是正方形它的中心是球心O，球的直径为：BA1=2，球半径R=，故此球的表面积为πR3=π．故答案为：π．【点评】本题是中档题，解题思路是：先求底面外接圆的半径，转化为直角三角形，求出球的半径，这是三棱柱外接球的常用方法；本题考查空间想象能力，计算能力．15．设函数f（x）=（x+1）（x+a）为偶函数，则a= ﹣1 ．【考点】函数奇偶性的性质．【专题】计算题．【分析】因为函数为偶函数，则根据偶函数定义f（﹣x）=f（x）得到等式解出a即可．【解答】解：∵函数为偶函数得f（1）=f（﹣1）得：2（1+a）=0∴a=﹣1．故答案为：﹣1．【点评】此题考查学生应用函数奇偶性的能力．16．已知函数 f（x）的定义域为 A，若当f（x1）=f（x2）（x1，x2∈A）时，总有x1=x2，则称 f（x）为单值函数．例如，函数f（x）=2x+1（x∈R）是单值函数．给出下列命题：①函数f（x）=x2（x∈R）是单值函数；②函数f（x）=2x（x∈R）是单值函数；③若f（x）为单值函数，x1，x2∈A，且x1≠x2，则f（x1）≠f（x2）；④函数f（x）=是单值函数．其中的真命题是②③．（写出所有真命题的编号）【考点】命题的真假判断与应用．【专题】综合题；新定义；函数思想；数学模型法；简易逻辑．【分析】由新定义可知，满足题意的函数实际上是单调函数．由二次函数f（x）=x2（x∈R）的单调性判断①；由指数函数的单调性判断②；结合单调函数的性质判断③，由分段函数f（x）=的单调性判断④．【解答】解：由f（x1）=f（x2）（x1，x2∈A）时，总有x1=x2，则f（x）实际上是单调函数．①函数f（x）=x2（x∈R）在（﹣∞，0）上单调递减，（0，+∞）上单调递增，故不是单值函数；②函数f（x）=2x（x∈R）是单调函数，故f（x）=2x（x∈R）是单值函数；③f（x）为单值函数，则f（x）是单调函数，若x1≠x2，则f（x1）≠f（x2）；④函数f（x）=是分段函数，在（﹣∞，0）上单调递减，（0，+∞）上单调递增，故不是单值函数．故答案为：②③．【点评】本题是新定义题，考查命题的真假判断与应用，考查了基本初等函数的单调性，是中档题．三、解答题.本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．已知f（x）=2x，g（x）是一次函数，并且点（2，2）在函数f[g（x）]的图象上，点（2，5）在函数g[f（x）]的图象上，求g（x）的解析式．【考点】函数解析式的求解及常用方法．【专题】函数的性质及应用．【分析】待定系数法：设g（x）=kx+b，根据点（2，2）在函数f[g（x）]的图象上，点（2，5）在函数g[f（x）]的图象上，列出方程组解得即可．【解答】解：设g（x）=kx+b，则f[（g（x）]=f（kx+b）=2kx+b，因为点（2，2）在函数f[g（x）]的图象上，所以f[g（2）]=f（2k+b）=22k+b=2，所以2k+b=1（1）；g[f（x）]=k•2x+b，因为点（2，5）在函数g[f（x）]的图象上，所以g[f（2）]=4k+b=5（2），由（1）（2）得：．所以g（x）=2x﹣3．【点评】本题考查函数解析式的求解，一般知道函数类型，可考虑用待定系数法求解析式，设出解析式，据条件列出方程（组），解出即可．18．（1）计算：（2）+（lg5）0+（）；（2）解方程：log3（6x﹣9）=3．【考点】对数的运算性质；有理数指数幂的化简求值．【专题】计算题．【分析】（1）化带分数为假分数后直接进行有理指数幂的化简运算；（2）化对数式为指数式，然后求解指数方程，得到x的值后进行验根．【解答】解：（1）=（）+（lg5）0+[（）3]=+1+=4．（2）由方程log3（6x﹣9）=3得6x﹣9=33=27，∴6x=36=62，∴x=2．经检验，x=2是原方程的解．∴原方程的解为x=2．【点评】本题考查了有理指数幂的化简与求值，考查了对数方程的解法，解答对数方程时不要忘记验根，此题是基础题．19．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2，E为AA1的中点，O是BD1的中点．（Ⅰ）求证：平面A1BD1⊥平面ABB1A1；（Ⅱ）求证：EO∥平面ABCD．【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【专题】综合题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】（Ⅰ）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，因为 A1D1⊥平面ABB1A1，A1D1⊂平面A1BD1，利用面面垂直的性质推断出平面A1BD1⊥平面ABB1A1．（Ⅱ）连接BD，AC，设BD∩AC=G，连接0G．证明四边形AGOE是平行四边形，所以OE∥AG，又因为EO⊄平面ABCD，AG⊂平面ABCD．所以EO∥平面ABCD．【解答】证明：（Ⅰ）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，∵A1D1⊥平面ABB1A1，A1D1⊂平面A1BD1，∴平面A1BD1⊥平面ABB1A1．（Ⅱ）连接BD，AC，设BD∩AC=G，连接0G．∵ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，∴AE∥DD1，且AE=DD1，且G是BD的中点，又因为O是BD1的中点，∴OG∥DD1，且OG=DD1，∴OG∥AE，且OG=AE，即四边形AGOE是平行四边形，所以OE∥AG，又∵EO⊄平面ABCD，AG⊂平面ABCD，所以EO∥平面ABCD．【点评】本题主要考查了线面平行，线面垂直的判定定理．考查了学生分析推理的能力．20．已知函数f（x）=x2+2ax+2，x∈[﹣5，5]．（Ⅰ）当a=﹣1时，求函数f（x）的最大值和最小值；（Ⅱ）求实数a的取值范围，使y=f（x）在区间[﹣5，5]上是单调函数．【考点】函数单调性的判断与证明；二次函数的性质．【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】（Ⅰ）a=﹣1时，配方得到f（x）=（x﹣1）2+1，从而可以看出x=1时f（x）取最小值，而x=﹣5时取最大值，这样便可得出f（x）的最大值和最小值；（Ⅱ）可以求出f（x）的对称轴为x=﹣a，而f（x）在[﹣5，5]上是单调函数，从而可以得出﹣a≤﹣5，或﹣a≥5，这样便可得出实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）a=﹣1，f（x）=x2﹣2x+2=（x﹣1）2+1；∵x∈[﹣5，5]；∴x=1时，f（x）取最小值1；x=﹣5时，f（x）取最大值37；（Ⅱ）f（x）的对称轴为x=﹣a；∵f（x）在[﹣5，5]上是单调函数；∴﹣a≤﹣5，或﹣a≥5；∴实数a的取值范围为（﹣∞，﹣5]∪[5，+∞）．【点评】考查配方求二次函数最大、最小值的方法，二次函数的对称轴，以及二次函数的单调性．21．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA=PB=AB=2，BC=3，∠ABC=90°，平面PAB⊥平面ABC，D，E分别为AB，AC中点．（Ⅰ）求证：DE∥面PBC；（Ⅱ）求证：AB⊥PE；（Ⅲ）求三棱锥B﹣PEC的体积．【考点】直线与平面垂直的性质；直线与平面平行的判定．【专题】计算题；证明题；空间位置关系与距离．【分析】（I）根据三角形中位线定理，证出DE∥BC，再由线面平行判定定理即可证出DE∥面PBC；（II）连结PD，由等腰三角形“三线合一”，证出PD⊥AB，结合DE⊥AB证出AB⊥平面PDE，由此可得AB⊥PE；（III）由面面垂直性质定理，证出PD⊥平面ABC，得PD是三棱锥P﹣BEC的高．结合题中数据算出PD=且S△BEC=，利用锥体体积公式求出三棱锥P﹣BEC的体积，即得三棱锥B﹣PEC的体积．【解答】解：（I）∵△ABC中，D、E分别为AB、AC中点，∴DE∥BC∵DE⊄面PBC且BC⊂面PBC，∴DE∥面PBC；（II）连结PD∵PA=PB，D为AB中点，∴PD⊥AB∵DE∥BC，BC⊥AB，∴DE⊥AB，又∵PD、DE是平面PDE内的相交直线，∴AB⊥平面PDE∵PE⊂平面PDE，∴AB⊥PE；（III）∵PD⊥AB，平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC=AB∴PD⊥平面ABC，可得PD是三棱锥P﹣BEC的高又∵PD=，S△BEC=S△ABC=∴三棱锥B﹣PEC的体积V=V P﹣BEC=S△BEC×PD=【点评】本题在三棱锥中求证线面平行、线线垂直，并求锥体的体积．着重考查了线面平行、线面垂直的判定与性质和锥体体积公式等知识，属于中档题．22．已知定义域为R的函数是奇函数．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）若对任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，求k的取值范围．【考点】指数函数单调性的应用；奇函数．【专题】压轴题．【分析】（Ⅰ）利用奇函数定义，在f（﹣x）=﹣f（x）中的运用特殊值求a，b的值；（Ⅱ）首先确定函数f（x）的单调性，然后结合奇函数的性质把不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0转化为关于t的一元二次不等式，最后由一元二次不等式知识求出k的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）因为f（x）是奇函数，所以f（0）=0，即又由f（1）=﹣f（﹣1）知．所以a=2，b=1．经检验a=2，b=1时，是奇函数．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，易知f（x）在（﹣∞，+∞）上为减函数．又因为f（x）是奇函数，所以f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0等价于f（t2﹣2t）＜﹣f（2t2﹣k）=f（k﹣2t2），因为f（x）为减函数，由上式可得：t2﹣2t＞k﹣2t2．即对一切t∈R有：3t2﹣2t﹣k＞0，从而判别式．所以k的取值范围是k＜﹣．【点评】本题主要考查函数奇偶性与单调性的综合应用；同时考查一元二次不等式恒成立问题的解决策略．。
2019-2020学年内蒙古赤峰市高一上学期期末联考数学试题(解析版)
2019-2020学年内蒙古赤峰市高一上学期期末联考数学试题一、单选题1．已知集合{}|24M x x =<<,{}|210N x x =-<-≤,则M N =I ( ) A ．{}|12x x ≤< B ．{}|34x x << C ．{}|23x x << D ．{}|13≤<x x【答案】C【解析】计算得到{}|13N x x =≤<，再计算M N ⋂得到答案. 【详解】因为{}|24M x x =<<,{}|13N x x =≤<,所以{}|23M N x x =<<I . 故选：C 【点睛】本题考查了交集的运算，属于简单题.2．已知向量()5,5a =-r ，()0,3b =-r ，则2a b +=r r ( )A ．()5,1-B ．()5,1--C ．()5,11-D ．()10,7-【答案】B【解析】利用向量的坐标运算即可求解. 【详解】由向量()5,5a =-r，()0,3b =-r ， 则()()()25,520,35,1a b +=-+-=--r r.故选：B 【点睛】本题考查了向量的线性坐标运算，属于基础题. 3．512π=（ ） A ．70︒ B ．75︒C ．80︒D ．85︒【答案】B【解析】根据弧度与角度的转化,代入即可求解. 【详解】根据弧度与角度的关系180π︒=可得55180751212π︒︒=⨯=. 故选:B 【点睛】本题考查了弧度与角度的转化,属于基础题.4．设终边在y 轴的负半轴上的角的集合为M ，则( ) A ．3ππ,2M k k αα⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭Z B ．3ππ,22k M k αα⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭Z C ．π2π,2M k k αα⎧⎫==-+∈⎨⎬⎩⎭Z D ．ππ,2M k k αα⎧⎫==-+∈⎨⎬⎩⎭Z【答案】C【解析】利用终边落在坐标轴上角的表示方法即可求解. 【详解】终边在y 轴的负半轴上的角的集合为：3π2π,2M k k αα⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭Z 或π2π,2M k k αα⎧⎫==-+∈⎨⎬⎩⎭Z .故选：C 【点睛】本题考查了终边相同角的表示，属于基础题.5．函数()542xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点所在的区间是( ) A ．()1,2 B ．()2,3C ．()3,4D ．()0,1【答案】A【解析】根据函数单调递增和()10f <,()20f >得到答案. 【详解】()f x 是单调递增函数,且()3102f =-<,()9204f =>,所以()f x 的零点所在的区间为()1,2 故选：A 【点睛】本题考查了零点所在的区间，意在考查学生对于零点存在定理的应用.6．在ABC V 中，D 为边BC 上的一点，且3BD DC =u u u r u u u r ，则AD =u u u r( )A ．3144AB AC +u u ur u u u rB ．1344AB AC +u u ur u u u rC ．1344AB AC -u u ur u u u rD ．3144AB AC -u u ur u u u r【答案】B【解析】D 为边BC 上的一点，且3BD DC =u u u r u u u r ，D 是四等分点，结合AD AB BD =+u u u r u u u r u u u r，最后得到答案． 【详解】∵D 为边BC 上的一点，且3BD DC =u u u r u u u r，∴D 是四等分点，()33134444AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r ，故选：B ． 【点睛】本题考查了向量的线性运算及平面向量基本定理的应用，属于基础题.7．已知向量(),6a m =-r ，()4,3b =-r ，若//a b r r ，则m =( )A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】D【解析】根据向量共线的坐标表示即可求解. 【详解】由向量(),6a m =-r，()4,3b =-r ，若//a b rr，则()()3460m --⨯-=，解得8m =. 故选：D 【点睛】本题考查了向量共线的坐标表示，需掌握向量共线，坐标满足：12210x y x y -=，属于基础题.8．将曲线2sin 45y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭上的每个点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),得到的曲线的对称中心为( ) A ．(),0210k k Z ππ⎛⎫-∈⎪⎝⎭ B ．(),0210k k Z ππ⎛⎫+∈⎪⎝⎭ C ．(),010k k Z ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭D ．(),010k k Z ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】由图像变换原则可得新曲线为2sin 25y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,令()25k x k Z ππ=∈+求解即可 【详解】将曲线2sin 45y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭上的每个点的横坐标伸长为原来的2倍后得到曲线2sin 25y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,令()25k x k Z ππ=∈+,得()102k x k Z ππ=-+∈ 故选：A 【点睛】本题考查三角函数的图像变换,考查正弦型函数的对称中心9．已知0,41.3311,,log 882a b c --⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则( )A ．b a c <<B ．c a b <<C ．a b c <<D ．c b a <<【答案】B【解析】把,a b 化为同底数的幂比较大小，再借助于数2与c 比较． 【详解】0.4 1.211()()82a --==，又 1.2 1.3->-，∴1 1.2 1.31112()()()222---=<<．而33log 8log 92<=，∴c a b <<． 故选：B ． 【点睛】本题考查比较大小，比较幂的大小尽量化为同底数的幂或化为同指数的幂，同样比较对数大小也尽量化为同底数的对数，如果不能化为同底数（或同指数）或不同类型的数则要借助于中间值比较，如0,1,2等等．10．已知A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，若AB AC AB AC AB AC λ⎛⎫ ⎪+=+ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r ，()0,λ∈+∞，则△ABC 一定是( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等边三角形D ．锐角三角形【答案】B【解析】设AP AB AC =+u u u r u u u r u u u r，利用向量加法的平行四边形法则以及向量共线定理可得点P 在BC 边上的中线，也在A ∠的平分线上，结合三角形的性质即可得出选项. 【详解】设AP AB AC =+u u u r u u u r u u u r，则根据平行四边形法则知点P 在BC 边上的中线所在的直线上.设AB AE AB =u u u r u u u r u u u r ，AC AF AC=u u u r u u u r u u u r ，它们都是单位向量， 由平行四边形法则，知点P 也在A ∠的平分线上，所以△ABC —定是等腰三角形. 故选：B 【点睛】本题考查了向量的平行四边形法则、向量的共线定理，属于基础题. 11．已知函数()241sin cos 33f x x a x =++，若()0f x ≥，在(),-∞+∞上恒成立，则a 的取值范围是( )A ．11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．[]1,1-D ．11,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【答案】A【解析】设cos x t =，问题等价于()245033g t t at =-++≥在[]1,1-上恒成立，由二次函数的开口向下，只需满足()()10,10,g g ⎧≥⎪⎨-≥⎪⎩，解不等式组即可.【详解】问题等价于()245cos cos 033f x x a x =-++≥在(),-∞+∞上恒成立. 设cos x t =，则()245033g t t at =-++≥在[]1,1-上恒成立，由二次函数的开口向下，所以()()4510,334510,33g a g a ⎧=-++≥⎪⎪⎨⎪-=--+≥⎪⎩解得1133a -≤≤.故选：A 【点睛】本题考查了不等式恒成立求参数的取值范围以及三角函数的性质，考查了转化与化归的思想，属于中档题.12．已知函数()3sin (0)6f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭,若()f x 在区间(,2]ππ内没有零点,则ω的取值范围是( ) A ．1120,,1233⎛⎫⎡⎫⋃ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭B ．1170,,12612⎛⎫⎡⎫⋃ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭C ．10,12⎛⎫⎪⎝⎭D ．70,12⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】由函数()f x 在区间(,2]ππ内没有零点,可得6,2(1)6k k k πωπππωππ⎧-≥⎪⎪∈⎨⎪-<+⎪⎩Z ，再结合k ∈Z 求解即可. 【详解】解：因为2x ππ<≤,0>ω, 所以2666x πππωπωωπ-<-≤-.因为()f x 在区间(,2]ππ内没有零点,所以6,2(1)6k k k πωπππωππ⎧-≥⎪⎪∈⎨⎪-<+⎪⎩Z . 解得17,6212k k k ω+≤<+∈Z . 因为17621270212k k k ⎧+<+⎪⎪⎨⎪+>⎪⎩,所以7566k -<<, 因为k ∈Z .所以1k =-或0k =. 当1k =-时1012ω<<;当0k =时,17612ω≤<， 故选：B. 【点睛】本题考查了函数的零点问题，重点考查了三角函数图像的性质，属中档题.二、填空题13．若函数()3,0,πsin 0,4x x f x x x ->⎧⎪=⎨≤⎪⎩，，则()()1f f =________. 【答案】1-【解析】利用分段函数的表达式，求出()12f =-，再求出()2f -即可求解.【详解】由函数()3,0,πsin 0,4x x f x x x ->⎧⎪=⎨≤⎪⎩，，则()()()12sin 12f f f π⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭. 故答案为：1- 【点睛】本题考查了求分段函数的函数值以及三角函数值，属于基础题. 14．已知5sin 13α=，2παπ<<，则cos 6tan αα-=______. 【答案】4126【解析】根据同角三角函数关系式及角的范围,可求得cos ,tan αα,代入即可求解. 【详解】由同角三角函数关系式,可知 因为5sin 13α=,2παπ<<,所以12cos 13α==-,5sin 513tan 12cos 1213ααα===--, 所以12541cos 6tan 6131226αα⎛⎫-=--⨯-= ⎪⎝⎭. 故答案为: 4126【点睛】本题考查了同角三角函数关系式的应用,属于基础题.15．已知()sin10sin3sin80cos 1070m ︒︒+︒-=︒，角α的终边经过点()P m ，则cos α=_________.【答案】 【解析】利用诱导公式以及同角三角函数的基本关系可得1m =，再利用三角函数的定义即可求解. 【详解】因为()22sin10sin370sin80cos10sin 10cos 101m ︒=+-=︒︒+︒︒=︒，2r ==，所以cos 2α=-.故答案为： 【点睛】本题考查了诱导公式、同角三角函数的基本关系以及三角函数的定义，属于基础题.16．设函数2()log )f x x =-，若对任意的(1,)x ∈-+∞，不等式(ln )(24)0f x a f x -++<恒成立，则a 的取值范围是_______.【答案】(0,]e【解析】先证明函数()f x 为奇函数，根据)1x x =，结合对数运算法则可得2()log )f x x =-，根据复合函数的单调性，可判断2()log )f x x =-+在[0,)+∞上为减函数，再结合奇偶性和()f x 在0x =处连续，可得()f x 在R 上为减函数，于是(ln )(24)0f x a f x -++<等价转化为(ln )(24)f x a f x -<--，得ln 24x a x ->--，即对任意的(1,)x ∈-+∞，ln 34a x <+， 从而有ln 1a …，即可求解. 【详解】因为122()log )log )()f x x x f x -=+==-， 所以()f x 为奇函数，且定义域为R .又因为函数()g x x =在[0,)+∞上为增函数所以2()log )f x x =-在[0,)+∞上为减函数， 从而()f x 在R 上为减函数.于是(ln )(24)0f x a f x -++<等价于(ln )(24)(24)f x a f x f x -<-+=--，所以ln 24x a x ->--，即ln 34a x <+.因为(1,)x ∈-+∞，所以341x +>，所以ln 1a „， 解得0a e <„. 故答案为:(0,]e . 【点睛】本题考查不等式恒成立问题，利用函数的奇偶性和单调性，将不等式等价转化，化归为函数的单调性和奇偶性是解题的难点，属于较难题.三、解答题17．已知集合{|2A x x a =≤-或}3x a >+,(){}33|log log 5B x y x x ==+-. (1)当1a =时,求A B U ;(2)若A B B =I ,求实数a 的取值范围.【答案】(1){|1x x ≤-或}0x >;(2)(][),37,-∞-+∞U .【解析】（1）计算{}|05B x x =<<，{|1A x x =≤-或}4x >，再计算A B U 得到答案.（2）根据A B B =I 得到B A ⊆，故30a +≤或25a -≥，计算得到答案. 【详解】 (1)因为050x x >⎧⎨->⎩,所以05x <<,即{}|05B x x =<<,当1a =时,{|1A x x =≤-或}4x >,所以{|1A B x x ⋃=≤-或}0x >. (2)因为A B B =I ,所以B A ⊆, {}|05B x x =<<, 则30a +≤或25a -≥,即3a ≤-或7a ≥, 所以实数a 的取值范围为(][),37,-∞-+∞U . 【点睛】本题考查了并集的计算，根据包含关系求参数，意在考查学生对于集合知识的综合应用.18．计算或化简：(1)1123021273πlog 161664⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；(2)6log 3332log log 2log 36⋅- 【答案】(1)12-；(2)2-. 【解析】（1）利用指数与对数的运算性质即可求解. （2）利用对数的运算性质即可求解. 【详解】（1)原式）1313249314164⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥+⎣⎦731444=++- 12=-.(2)原式323log 313=--+31422=-+ 2=-.【点睛】本题考查了指数与对数的运算，需熟记指数与对数的运算性质，属于基础题.19．已知函数()()()()()3ππsin πcos 2cos sin 222sin 2πcos πx x x x f x x x ⎛⎫⎛⎫-++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-+.(1)化简()f x ； (2)若tan 4α=，求()fα的值.【答案】(1)22sin 2cos 2sin cos x xx x+⋅；(2)94.【解析】（1）利用三角函数的诱导公式即可化简.（2）由（1）利用同角三角函数的基本关系“齐次式”即可求解. 【详解】(1)()()()()()3ππsin πcos 2cos sin 222sin 2πcos πx x x x f x x x ⎛⎫⎛⎫-++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-+()sin sin 2cos cos =2sin cos x x x xx x ⋅+⋅-⋅-22sin 2cos =2sin cos x x x x +⋅.（写成212cos 2sin cos x x x +⋅或22sin 2sin cos xx x-⋅均可） (2)因为tan 4α=.所以()222sin 2cos tan 21629=2sin cos 2tan 244f ααααααα+++===⋅⨯.【点睛】本题考查了诱导公式、同角三角函数的基本关系，需熟记公式，属于基础题.20．设a r ，b r 是两个不共线的向量，2AB ka b =+u u u r r r，BC a b =+u u u r r r ，2CD a b =-u u u r r r .(1)若平面内不共线的四点O ，A ，B ，C 满足3OB OA OC =u u u r u u u r u u u r+2，求实数k 的值；(2)若A ，C ，D 三点共线，求实数k 的值. 【答案】(1)2；(2)52-. 【解析】（1）由3OB OA OC =u u u r u u u r u u u r+2，根据向量减法的几何意义可得()2OB OC OA OB -=-u u u r u u u r u u u r u u u r ，从而可得2AB BC =u u u r u u u r，利用平面向量的基本定理即可求解.（2）利用向量共线定理AC CD λ=u u u r u u u r，将已知代入即可求解. 【详解】(1)32OB OA OC =+u u u r u u u r u u u r Q()2OB OC OA OB ∴-=-u u u r u u u r u u u r u u u r ，即2AB BC =u u u r u u u r ，()22,ka b a b ∴+=+r r r r2k ∴=.(2),,A C D Q 三点共线， AC CD λ∴=u u u r u u u r .()()()213,2,AC ka b a b k a b CD a b =+++=++=-u u u r r r r r r r u u u r r r Q()132k a b a b λλ∴++=-r r r r ，即1k λ+=，23λ-=，解得52k =-.【点睛】本题考查了向量减法的几何意义、平面向量的基本定理以及平面向量的共线定理，属于基础题.21．已知函数()sin 24a a x x b f π⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭,当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,函数()f x的值域是⎡⎤⎣⎦.(1)求常数a ,b 的值;(2)当0a <时,设()2g x f x π⎛⎫=+⎪⎝⎭,判断函数()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性. 【答案】(1)2a =,2b =-或2a =-,4b =函数()g x 在0,8π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增.函数()g x 在,82ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减.【解析】（1）先求得sin 242x π⎡⎤⎛⎫+∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦,再讨论0a >和0a <的情况,进而求解即可；（2）由（1）()2sin 224f x x π⎛⎫=-++- ⎪⎝⎭则()2sin 224g x x π⎛⎫=++- ⎪⎝⎭进而判断单调性即可 【详解】 解:(1)当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,52,444x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦,所以sin 2,142x π⎡⎤⎛⎫+∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦, ①当0a >时,由题意可得12a a b a a b ⎧⎛⨯++=⎪ ⎨⎝⎭⎪⨯++=⎩即222a a b a b ⎧-++=⎪⎨⎪+=⎩解得2a =,2b =-； ②当0a <时,由题意可得221a a b a a b ⎧⎛⨯-++=⎪ ⎨⎝⎭⎪⨯++=⎩,即22a a b a b ⎧++=⎪⎨⎪+=⎩,解得2a =-,4b =(2)由（1）当0a <时,2a =-,4b =所以()2sin 224f x x π⎛⎫=-++- ⎪⎝⎭所以()2sin 22224f x x g x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=-+++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦2sin 224x π⎛⎫=++- ⎪⎝⎭令222242k x k πππππ-+≤+≤+,k Z ∈,解得388k x k ππππ-+≤≤+,k Z ∈, 当0k =时,388x ππ-≤≤,则3,0,0,8828ππππ⎡⎤⎡⎤⎡⎤-⋂=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦, 所以函数()g x 在0,8π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增, 同理,函数()g x 在,82ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减 【点睛】本题考查由三角函数性质求解析式,考查正弦型函数的单调区间,考查运算能力22．已知函数()223x xe f x e -+=，其中e 为自然对数的底数.(1)证明：()f x 在()0,∞+上单调递增； (2)函数()253g x x =-，如果总存在[]()1,0x a a a ∈->，对任意2x ∈R ，()()12f x g x ≥都成立，求实数a 的取值范围. 【答案】(1)证明见解析；(2)[]ln 2,+∞.【解析】（1）利用函数的单调性定义即可证出.（2）根据解析式可知()f x 与()g x 均为R 上的偶函数，由题意可知只需函数()y f x =在[],a a -上的最大值不小于()y g x =x ∈R 的最大值，由（1）函数()f x 为单调递增，即()()2533a a f a e e -=+≥，解不等式即可. 【详解】（1）证明：任取1x ，()20,x ∈+∞，且12x x <，则()()112212222233x x x x e e e e f x f x --+-+-= ()()()()2112121212121222112=333x x x x x x x x x x x x x x e e e e e e e e e e e e e --+⎡⎤⎡⎤-⎛⎫⎡⎤=-+-=-+--+ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦⎣⎦()()()12121212122121133x x x x x x x xx x e e e e ee e +++⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭ 因为1x ，()20,x ∈+∞，12x x <，所以121x x e e <<，120x x e e -<，121x x e +>， 所以()()12f x f x <，即当120x x <<时，总有()()12f x f x <， 所以()f x 在()0,∞+上单调递增.（2）解：由()()223x xe ef x f x -+-==，得()f x 是R 上的偶函数，同理，()g x 也是R 上的偶函数.总存在[]()1,0x a a a ∈->，对任意2x ∈R 都有()()12f x g x ≥， 即函数()y f x =在[],a a -上的最大值不小于()y g x =x ∈R 的最大值53. 由(1)知()f x 在()0,∞+上单调递增， 所以当[],x a a ∈-时，()()f x f a ≤，所以()()2533a a f a e e -=+≥. 令()10at e a =>>，则152t t +≥，令()()11h t t t t =+>，易知()h t 在()1,+∞上递增，又()522h =，所以2t ≥，即2a e ≥，所以ln 2a ≥，即实数a 的取值范围是[]ln 2,+∞.【点睛】本题考查了利用定义证明函数的单调性，以及不等式恒成立问题，考查了转化与化归的思想，属于中档题.。
2014-2015学年内蒙古赤峰市元宝山区高一(上)期末数学试卷(解析版)
2014-2015学年内蒙古赤峰市元宝山区高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5.00分）设全集U={1，2，3，4，5，6}，设集合P={1，2，3，4}，Q={3，4，5}，则P∩（∁U Q）=（）A．{1，2，3，4，6}B．{1，2，3，4，5}C．{1，2，5}D．{1，2} 2．（5.00分）设a∈{﹣1，0，，1，2，3}，则使函数y=x a的定义域为R且为奇函数的所有a的值有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．（5.00分）函数f（x）=﹣lnx的零点个数为（）A．0 B．1 C．2 D．34．（5.00分）若函数y=|x|（1﹣x）在区间A上是增函数，那么区间A最大为（）A．（﹣∞，0）B． C．[0，+∞）D．5．（5.00分）已知点A（1，1），B（3，3），则线段AB的垂直平分线的方程是（）A．y=﹣x+4 B．y=x C．y=x+4 D．y=﹣x6．（5.00分）棱长都是1的三棱锥的表面积为（）A．B．C．D．7．（5.00分）△ABC中，点A（4，﹣1），AB的中点为M（3，2），重心为P（4，2），则边BC的长为（）A．5 B．4 C．10 D．88．（5.00分）如果两条直线l1：ax+2y+6=0与l2：x+（a﹣1）y+3=0平行，那么a 等于（）A．1 B．﹣1 C．2 D．9．（5.00分）正方体的棱长和外接球的半径之比为（）A．：1 B．：2 C．2：D．：310．（5.00分）若l、m、n是互不相同的空间直线，α、β是不重合的平面，则下列结论正确的是（）A．α∥β，l⊂α，n⊂β⇒l∥n B．α∥β，l⊂α⇒l⊥βC．l⊥n，m⊥n⇒l∥m D．l⊥α，l∥β⇒α⊥β11．（5.00分）若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积是（）cm3A．πB．2πC．3πD．4π12．（5.00分）对于0＜a＜1，给出下列四个不等式（）①log a（1+a）＜log a（1+）；②log a（1+a）＞log a（1+）；③a1+a＜a；④a1+a＞a；其中成立的是（）A．①③B．①④C．②③D．②④二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.13．（5.00分）已知a=2﹣3；b=（）﹣2；c=log20.5．则a，b，c的大小关系是（从大到小排列）．14．（5.00分）方程2x=10﹣x的根x∈（k，k+1），k∈Z，则k=．15．（5.00分）已知f（x）为奇函数，且x＞0时，f（x）=x（1+），则f（﹣8）=．16．（5.00分）对于函数f（x）=x|x|+px+q，现给出四个命题：①q=0时，f（x）为奇函数②y=f（x）的图象关于（0，q）对称③p=0，q＞0时，方程f（x）=0有且只有一个实数根④方程f（x）=0至多有两个实数根其中正确命题的序号为．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（10.00分）不用计算器求下列各式的值．（1）（2）﹣0.30﹣16；（2）设x+x=3，求x+x﹣1．18．（12.00分）已知二次函数y=f（x），当x=2时函数取最小值﹣1，且f（1）+f （4）=3．（1）求f（x）的解析式；（2）若g（x）=f（x）﹣kx在区间[1，4]上不单调，求实数k的取值范围．19．（12.00分）空间四边形ABCD的对棱AD，BC成60°的角，且AD=BC=a，平行于AD与BC的截面分别交AB，AC，CD，BD于E、F、G、H．（1）求证：四边形EFGH为平行四边形；（2）E在AB的何处时截面EFGH的面积最大？最大面积是多少？20．（12.00分）已知函数f（x）=log a（1﹣x）+log a（x+3）（0＜a＜1）（1）求函数f（x）的定义域；（2）求函数f（x）的零点；（3）若函数f（x）的最小值为﹣4，求a的值．21．（12.00分）如图，棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，（1）求证：AC⊥平面B1D1DB；（2）求证：BD1⊥平面ACB1（3）求三棱锥B﹣ACB1体积．22．（12.00分）已知函数f（x）=1﹣（1）证明f（x）是奇函数；（2）判断f（x）的单调性，并用定义证明；（3）求f（x）在[﹣1，2]上的最值．2014-2015学年内蒙古赤峰市元宝山区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5.00分）设全集U={1，2，3，4，5，6}，设集合P={1，2，3，4}，Q={3，4，5}，则P∩（∁U Q）=（）A．{1，2，3，4，6}B．{1，2，3，4，5}C．{1，2，5}D．{1，2}【解答】解：∵U={1，2，3，4，5，6}，Q={3，4，5}，∴∁U Q={1，2，6}，又P={1，2，3，4}，∴P∩（C U Q）={1，2}故选：D．2．（5.00分）设a∈{﹣1，0，，1，2，3}，则使函数y=x a的定义域为R且为奇函数的所有a的值有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：当a=﹣1时，y=x﹣1的定义域是{x|x≠0}，且为奇函数，不符合题意；当a=0时，函数y=x0的定义域是{x|x≠0}且为偶函数，不符合题意；当a=时，函数y=x的定义域是{x|x≥0}且为非奇非偶函数，不符合题意；当a=1时，函数y=x的定义域是R且为奇函数，满足题意；当a=2时，函数y=x2的定义域是R且为偶函数，不符合题意；当a=3时，函数y=x3的定义域是R且为奇函数，满足题意；∴满足题意的α的值为1，3．故选：B．3．（5.00分）函数f（x）=﹣lnx的零点个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：函数f（x）=﹣lnx的零点个数等价于函数y=与函数y=lnx图象交点的个数，在同一坐标系中，作出它们的图象：由图象可知，函数图象有1个交点，即函数的零点个数为1故选：B．4．（5.00分）若函数y=|x|（1﹣x）在区间A上是增函数，那么区间A最大为（）A．（﹣∞，0）B． C．[0，+∞）D．【解答】解：y=|x|（1﹣x）=，再结合二次函数图象可知函数y=|x|（1﹣x）的单调递增区间是：．故选：B．5．（5.00分）已知点A（1，1），B（3，3），则线段AB的垂直平分线的方程是（）A．y=﹣x+4 B．y=x C．y=x+4 D．y=﹣x【解答】解：∵点A（1，1），B（3，3），∴AB的中点C（2，2），k AB==1，∴线段AB的垂直平分线的斜率k=﹣1，∴线段AB的垂直平分线的方程为：y﹣2=﹣（x﹣2），整理，得：y=﹣x+4．故选：A．6．（5.00分）棱长都是1的三棱锥的表面积为（）A．B．C．D．【解答】解：因为四个面是全等的正三角形，则．故选：A．7．（5.00分）△ABC中，点A（4，﹣1），AB的中点为M（3，2），重心为P（4，2），则边BC的长为（）A．5 B．4 C．10 D．8【解答】解：设点B（x，y）根据中点坐标公式可知3=，2=解得：x=2，y=5∴B（2，5）设点C（m，n），根据重心坐标公式可知4=，2=解得：m=6，n=2∴C（6，2），∴根据两点的距离公式可知|BC|=5故选：A．8．（5.00分）如果两条直线l1：ax+2y+6=0与l2：x+（a﹣1）y+3=0平行，那么a 等于（）A．1 B．﹣1 C．2 D．【解答】解：∵直线l1：ax+2y+6=0与l2：x+（a﹣1）y+3=0平行，∴，解之得a=﹣1（舍去2）故选：B．9．（5.00分）正方体的棱长和外接球的半径之比为（）A．：1 B．：2 C．2：D．：3【解答】解：设正方体的棱长为1，外接球的直径为正方体的对角线长，故外接球的直径为，半径为：，所以，正方体的棱长和外接球的半径之比为1：=2：．故选：C．10．（5.00分）若l、m、n是互不相同的空间直线，α、β是不重合的平面，则下列结论正确的是（）A．α∥β，l⊂α，n⊂β⇒l∥n B．α∥β，l⊂α⇒l⊥βC．l⊥n，m⊥n⇒l∥m D．l⊥α，l∥β⇒α⊥β【解答】解：对于A，α∥β，l⊂α，n⊂β，l，n平行或异面，所以错误；对于B，α∥β，l⊂α，l 与β 可能相交可能平行，所以错误；对于C，l⊥n，m⊥n，在空间，l与m还可能异面或相交，所以错误．故选：D．11．（5.00分）若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积是（）cm3A．πB．2πC．3πD．4π【解答】解：由三视图可知：此几何体为圆锥的一半，∴此几何体的体积==2π．故选：B．12．（5.00分）对于0＜a＜1，给出下列四个不等式（）①log a（1+a）＜log a（1+）；②log a（1+a）＞log a（1+）；③a1+a＜a；④a1+a＞a；其中成立的是（）A．①③B．①④C．②③D．②④【解答】解：∵0＜a＜1，∴a＜，从而1+a＜1+．∴log a（1+a）＞log a（1+）．又∵0＜a＜1，∴a1+a＞a．故选：D．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.13．（5.00分）已知a=2﹣3；b=（）﹣2；c=log20.5．则a，b，c的大小关系是（从大到小排列）b＞a＞c．【解答】解：∵1＞a=2﹣3＞0，b=（）﹣2＞1，c=log20.5＜0．∴b＞a＞c．故答案为：b＞a＞c．14．（5.00分）方程2x=10﹣x的根x∈（k，k+1），k∈Z，则k=2．【解答】解：设f（x）=2x，g（x）=10﹣x，画图，观察交点在区间（2，3）上．故填2．15．（5.00分）已知f（x）为奇函数，且x＞0时，f（x）=x（1+），则f（﹣8）=﹣24．【解答】解：由于f（x）为奇函数，则f（﹣x）=﹣f（x），则f（﹣8）=﹣f（8），当x＞0时，f（x）=x（1+），则f（8）=8（1+2）=24，故有f（﹣8）=﹣24．故答案为：﹣24．16．（5.00分）对于函数f（x）=x|x|+px+q，现给出四个命题：①q=0时，f（x）为奇函数②y=f（x）的图象关于（0，q）对称③p=0，q＞0时，方程f（x）=0有且只有一个实数根④方程f（x）=0至多有两个实数根其中正确命题的序号为①②③．【解答】解：①若f（x）为奇函数，则f（0）=q=0，反之若q=0，f（x）=x|x|+px 为奇函数，所以①正确．②y=x|x|+px为奇函数，图象关于（0，0）对称，把y=x|x|+px图象上下平移可得f（x）=x|x|+px+q图象，即得f（x）的图象关于点（0，q）对称，所以②正确．③当p=0，q＞0时，x＞0时，方程f（x）=0的无解，x＜0时，f（x）=0的解为x=﹣（舍去正根），故③正确．④q=0，p=﹣1时，方程f（x）=0的解为x=0或x=1或x=﹣1，即方程f（x）=0有3个实数根，故④不正确．故答案为：①②③三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（10.00分）不用计算器求下列各式的值．（1）（2）﹣0.30﹣16；（2）设x+x=3，求x+x﹣1．【解答】解：（1）原式==﹣1﹣=．（2）∵x+x=3，∴x+x﹣1=﹣2=32﹣2=7．18．（12.00分）已知二次函数y=f（x），当x=2时函数取最小值﹣1，且f（1）+f （4）=3．（1）求f（x）的解析式；（2）若g（x）=f（x）﹣kx在区间[1，4]上不单调，求实数k的取值范围．【解答】解：（1）∵二次函数y=f（x），当x=2时函数取最小值﹣1，∴二次函数的图象的顶点坐标为（2，﹣1），设解析式为y=a（x﹣2）2﹣1，（a＞0），∵f（1）+f（4）=a﹣1+4a﹣1=5a﹣2=3，解得：a=1，故y=（x﹣2）2﹣1=y=x2﹣4x+3；（2）∵g（x）=f（x）﹣kx=x2﹣（k+4）x+3在区间[1，4]上不单调，故1＜＜4，解得：﹣2＜k＜4，即实数k的取值范围为（﹣2，4）19．（12.00分）空间四边形ABCD的对棱AD，BC成60°的角，且AD=BC=a，平行于AD与BC的截面分别交AB，AC，CD，BD于E、F、G、H．（1）求证：四边形EFGH为平行四边形；（2）E在AB的何处时截面EFGH的面积最大？最大面积是多少？【解答】证明：（1）∵BC∥平面EFGH，BC⊂平面ABC，平面ABC∩平面EFGH=EF，∴BC∥EF，同理BC∥HC，∴EF∥HG．同理可证EH∥FG，∴四边形EFGH为平行四边形．解：（2）∵AD与BC成角为60°，∴∠HEF=60°（或120°），设=x，∵==x，BC=a，∴EF=ax，由==，得EH=（1﹣x）a．∴S=EF•EH•sin60°四边形EFGH=ax•a（1﹣x）•=•x（1﹣x）≤•=．当且仅当x=1﹣x，即x=时等号成立，即E为AB的中点时，截面EFGH的面积最大为．20．（12.00分）已知函数f（x）=log a（1﹣x）+log a（x+3）（0＜a＜1）（1）求函数f（x）的定义域；（2）求函数f（x）的零点；（3）若函数f（x）的最小值为﹣4，求a的值．【解答】解：（1）要使函数有意义：则有，解之得：﹣3＜x＜1，则函数的定义域为：（﹣3，1）（2）函数可化为f（x）=log a（1﹣x）（x+3）=log a（﹣x2﹣2x+3）由f（x）=0，得﹣x2﹣2x+3=1，即x2+2x﹣2=0，∵，∴函数f（x）的零点是（3）函数可化为：f（x）=log a（1﹣x）（x+3）=log a（﹣x2﹣2x+3）=log a[﹣（x+1）2+4]∵﹣3＜x＜1，∴0＜﹣（x+1）2+4≤4，∵0＜a＜1，∴log a[﹣（x+1）2+4]≥log a4，即f（x）min=log a4，由log a4=﹣4，得a﹣4=4，∴21．（12.00分）如图，棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，（1）求证：AC⊥平面B1D1DB；（2）求证：BD1⊥平面ACB1（3）求三棱锥B﹣ACB1体积．【解答】（1）证明：∵AC⊥BD，AC⊥BB1，∴AC⊥平面B1D1DB．（2）证明：连接A1B，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，面A1B1BA是正方形，对角线A1B⊥AB1，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，D1A1⊥面A1B1BA，AB1在面A1B1BA上，∴D1A1⊥AB1，∵AB1⊥A1B，AB1⊥D1A1，A1B和D1A1是面A1BD1内的相交直线，∴AB1⊥面A1BD1，又BD1在面A1BD1上，∴AB1⊥BD1，同理，D1D⊥面ABCD，AC在面ABCD上，D1D⊥AC，在正方形ABCD中对角线AC⊥BD，∵AC⊥D1D，AC⊥BD，D1D和BD是面BDD1内的相交直线，∴AC⊥面BDD1，又BD1在面BDD1上，∴AC⊥BD1，∵BD1⊥AB1，BD1⊥AC，AB1和AC是面ACB1内的相交直线∴BD1⊥面ACB1．（3）解：三棱锥B﹣ACB1，也就是ABC为底，BB1为高的三棱锥，三棱锥B﹣ACB1体积V=×AB×AD×BB1=．22．（12.00分）已知函数f（x）=1﹣（1）证明f（x）是奇函数；（2）判断f（x）的单调性，并用定义证明；（3）求f（x）在[﹣1，2]上的最值．【解答】解：（1）由题意得，f（x）的定义为R，且，则，所以f（x）是奇函数…（4分）（2）f（x）在（﹣∞，+∞）上是增函数，证明如下：设任意的x1，x2∈（﹣∞，+∞）且x1＜x2则，∵x1＜x2，∴＜0，则，即f（x1）﹣f（x2）＜0，∴f（x1）＜f（x2），∴f（x）在（﹣∞，+∞）上是增函数…（8分）（3）由（2）知，f（x）在[﹣1，2]上单调递增∴…（12分）。
内蒙古自治区赤峰市市元宝山区平煤高中高一数学理上学期期末试卷含解析
内蒙古自治区赤峰市市元宝山区平煤高中高一数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为A B C D参考答案：B略2. 如图，在△ABC中，设，，AP的中点为Q，BQ的中点为R，CR的中点为，若，则（）参考答案：A3. tan2012°∈（）A. (0, )B. (,1)C. (－1, －)D. (－, 0)参考答案：B略4. 设f(x)=x3+log2(x+),若a,b R,且f(a)+f(b)≥0,则一定有( )(A)a+b≤0(B)a+b<0 (C)a+b≥0(D)a+b>0参考答案：C5. 已知函数的图象与x轴的两个相邻交点的距离等于，若将函数y=f（x）的图象向左平移个单位长度得到函数y=g（x）的图象，则y=g（x）的解析式是（）A．B．y=2sin2x C．D．y=2sin4x参考答案：B【考点】HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】函数f（x）=2sin（ωx﹣），根据它的图象与x轴的两个相邻交点的距离等于，求得ω=2．图象向左平移个单位长度得到函数y=2sin[2（x+）﹣）]=2sin（2x）的图象，由此求得y=g（x）的解析式．【解答】解：∵函数=2sin（ωx﹣），根据它的图象与x轴的两个相邻交点的距离等于，可得=，∴ω=2．将函数y=f（x）的图象向左平移个单位长度得到函数y=2sin[2（x+）﹣）]=2sin（2x）的图象，故y=g（x）的解析式是 y=2sin2x，故选B．6. 设x，y满足的约束条件是，则z=x+2y的最大值是（）2468C7. 函数y=sin(2x+)图象的一条对称轴方程是：A ．B ．C ．D ．参考答案：A8. 已知集合，，则的有（ ）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个参考答案：B 9. 函数y=是A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．非奇非偶数参考答案：B10. 函数在上的最小值为，最大值为2，则的最大值为A. B.C.D.参考答案：B二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知幂函数y=f （x ）的图象过点（2，），则f （9）= ．参考答案：3【考点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用．【分析】先由幂函数的定义用待定系数法设出其解析式，代入点的坐标，求出幂函数的解析式，再求f （16）的值【解答】解：由题意令y=f（x ）=x a ，由于图象过点（2，），得=2a ，a=∴y=f（x ）=∴f（9）=3． 故答案为：3．12. （4分）已知||=2，||=1，，的夹角为60°，=+5，=m ﹣2，则m=时，⊥．参考答案：考点： 平面向量数量积的运算；数量积表示两个向量的夹角． 专题： 平面向量及应用．分析： 由已知，||=2，||=1，，的夹角为60°可求，的数量积，利用⊥得到数量积为0，得到关于m 的等式解之．解答： 因为||=2，||=1，，的夹角为60°，所以=||||cos60°=1，又⊥，所以?=0，即（+5）（m ﹣2）=0，所以=0，即4m ﹣10+5m ﹣2=0，解得m=；故答案为：．点评： 本题考查了向量的数量积定义以及向量垂直的性质；如果两个向量垂直，那么它们的数量积为0．13. 已知下表中的对数值有且只有一个是错误的．其中错误的对数值是________．参考答案：lg1.5由于，故的结果均正确；，而，故的结果均正确；，而，故的结果均正确；利用排除法可知错误的对数值是.14. 与终边相同的角的集合是__________________参考答案：试题分析：与终边相同的角的集合,所以与终边相同的角的集合是考点：终边相同的角的集合15. 化简：的值为________．参考答案：1【分析】利用诱导公式可求三角函数式的值.【详解】原式，故答案为：1.【点睛】诱导公式有五组，其主要功能是将任意角的三角函数转化为锐角或直角的三角函数．记忆诱导公式的口诀是“奇变偶不变，符号看象限” ．16. 已知P为直线上一点，过P作圆的切线，则切线长最短时的切线方程为__________．参考答案：或【分析】利用切线长最短时，取最小值找点P：即过圆心作直线的垂线，求出垂足点。
内蒙古自治区赤峰市元宝山区平煤高级中学高一数学文上学期期末试题含解析
内蒙古自治区赤峰市元宝山区平煤高级中学高一数学文上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 如图所示，表示满足不等式的点所在的区域为参考答案：B试题分析：线性规划中直线定界、特殊点定域。
由或交点为取特殊点,结合图形可确定答案为B.考点：线性规划、不等式2. （5分）己知球的直径SC=4，A，B是该球球面上的两点．AB=2，∠ASC=∠BSC=45°，则棱锥S﹣ABC的体积为（）A．B．C．D．参考答案：C考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；球内接多面体．专题：计算题．分析：由题意求出SA=AC=SB=BC=2，∠SAC=∠SBC=90°，说明球心O与AB的平面与SC垂直，求出OAB的面积，即可求出棱锥S﹣ABC的体积．解答：解：如图：由题意球的直径SC=4，A，B是该球球面上的两点．AB=2，∠ASC=∠BSC=45°，求出SA=AC=SB=BC=2，∠SAC=∠SBC=90°，所以平面ABO与SC垂直，则进而可得：V S﹣ABC=V C﹣AOB+V S﹣AOB，所以棱锥S﹣ABC的体积为：=．故选C．点评：本题是基础题，考查球的内接三棱锥的体积，考查空间想象能力，计算能力，球心O与AB的平面与SC垂直是本题的解题关键，常考题型．3. 若定义域为R的函数f(x)在(8,+∞)上为减函数,且函数y=f(x+8)为偶函数,下列式子正确的是( )A. f(6)＞f(7)B. f(6)＞f(9)C. f(7)＞f(9)D. f(7)＞f(10)参考答案：D4. 已知其中为常数，若，则（）A． B． C．D．参考答案：D略5. 在空间直角坐标系中，A（0，2，4），B（1，4，6），则|AB|等于（）A．2 B．2C．D．3参考答案：D【考点】JI：空间两点间的距离公式．【分析】直接利用空间距离公式求解即可．【解答】解：在空间直角坐标系中，A（0，2，4），B（1，4，6），则|AB|==3．故选：D．6. △ABC的三内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，若，则角B的大小为（）A．B．C．D．参考答案：B【考点】HP：正弦定理．【分析】利用正弦定理化为三边关系，再由余弦定理求出cosB的值，从而求出角B的大小．【解答】解：△ABC中，，由正弦定理得，=；∴b2﹣a2=ac+c2，即c2+a2﹣b2=﹣ac；由余弦定理得，cosB===﹣；又B∈（0，π），∴角B的大小为．故选：B．【点评】本题考查了正弦、余弦定理的灵活应用问题，是基础题．7. 函数的零点个数为（）A．0 B．1 C.2 D．3参考答案：C为偶函数零点个数为8. 已知正△ABC的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为（）A．B．C．D．参考答案：D【考点】平面图形的直观图．【专题】计算题．【分析】由正△ABC的边长为a，知正△ABC的高为，画到平面直观图△A′B′C′后，“高”变成原来的一半，且与底面夹角45度，故△A′B′C′的高为=，由此能求出△A′B′C′的面积．【解答】解：∵正△ABC的边长为a，∴正△ABC的高为，画到平面直观图△A′B′C′后，“高”变成原来的一半，且与底面夹角45度，∴△A′B′C′的高为=， ∴△A′B′C′的面积S==．故选D ．【点评】本题考查平面图形的直观图的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．9.的值等于 （ ）A.B.C.D.参考答案：C10. 若两个函数的对应关系相同,值域也相同,但定义域不同,则称这两个函数为同族函数.那么与函数为同族函数的个数有 ( )A. 5个B. 6个C. 7个D. 8个 参考答案： C二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 函数，则在区间上的值域为参考答案：略12. 已知向量为单位向量，向量，且，则向量的夹角为__________．参考答案：因为，所以，所以，所以，则.13. 已知奇函数在[0，1]上是增函数，在上是减函数，且，则满足的x 的取值范围是________．参考答案：14. 已知空间向量，，若，则x = ．参考答案：3，得。
内蒙古自治区赤峰市市元宝山区职业高中2020-2021学年高一数学文上学期期末试题含解析
内蒙古自治区赤峰市市元宝山区职业高中2020-2021学年高一数学文上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. （3分）设命题甲为：0＜x＜5，命题乙为：|x﹣2|＜3，则甲是乙的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件参考答案：A考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．分析：如果能从命题甲推出命题乙，且能从命题乙推出命题甲，那么条件乙与条件甲互为充分必要条件，简称充要条件，如果只是其中之一，则是充分不必要条件或是必要不充分条件．解答：∵：|x﹣2|＜3，∴﹣1＜x＜5，显然，甲?乙，但乙不能?甲，故甲是乙的充分不必要条件．故选A．点评：本题主要考查了充要条件，以及绝对值不等式的解法，属于基础题．如果能从命题p推出命题q，且能从命题q推出命题p，那么条件q与条件p互为充分必要条件，简称充要条件．2. 已知四面体ABCD中，E、F分别是AC、BD的中点，若，，EF与CD 所成角的度数为30°，则EF与AB所成角的度数为（）A. 90°B. 45°C. 60°D. 30°参考答案：A【分析】取的中点,利用三角形中位线定理,可以得到,与所成角为，运用三角形中位线定理和正弦定理，可以求出的大小，也就能求出与所成角的度数.【详解】取的中点连接，如下图所示：因为，分别是，的中点，所以有，因为与所成角的度数为30°，所以，与所成角的大小等于的度数.在中，，故本题选A.【点睛】本题考查了异面直线所成角的求法，考查了正弦定理，取中点利用三角形中位线定理是解题的关键.3. 已知函数满足，则（）A． B． C．D．参考答案：B考点:函数的解析式.4. 已知正实数x,y满足，则的最小值（）A. 2B. 3C. 4D.参考答案：B.当且仅当，即，时的最小值为3.故选B.点睛：本题主要考查基本不等式.在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.5. 图2是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则该运动员在这五场比赛中得分的极差为_________.（图2）参考答案：7该运动员在这五场比赛中得分的极差为15-8=7.6. 已知函数，则不等式的解集是（）A. [－3,+∞)B. [1,+∞)C. [－3,1]D. (－∞,－3]∪[1,+∞)参考答案：A【分析】分别考虑即时；即时，原不等式的解集，最后求出并集。
内蒙古自治区赤峰市市元宝山区职业高中高一数学理期末试卷含解析
内蒙古自治区赤峰市市元宝山区职业高中高一数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 在空间中，a,b是不重合的直线，α,β是不重合的平面，则下列条件中可推出a∥b的是：A、aα，bβα∥βB、a⊥α b⊥αC、a∥α bαD、a⊥α bα参考答案：B2. 若，则（）A、 B、 C、 D、参考答案：B略3. （多选题）已知实数a、b，判断下列不等式中哪些一定是正确的（）A. B.C. D.参考答案：CD【分析】当，时，不成立；当，时，不成立；由利用基本不等式即可判断；由，可判断．【详解】当，时，不成立；当时，不成立；；，故，故选：CD.4. 若0＜x＜y＜1，则（）A．3y＜3x B．log0.5x＜log0.5yC．cosx＜cosy D．sinx＜siny参考答案：D【考点】对数值大小的比较．【分析】利用指数函数对数函数三角函数的单调性即可得出．【解答】解：∵0＜x＜y＜1，∴3y＞3x，log0.5x＞log0.5y，cosx＞cosy，sinx＜siny．故选：D．5. 集合A = {x⎢x2－2x≤0}，B = {x⎢}，则A∩B等于A．{x⎢0 < x≤1}B．{x⎢1≤x < 2} C．{x⎢ 1 < x≤2}D．{x⎢0≤x < 1}参考答案：D略6. 在中，角所对的边分别为，则“”是“”的( ）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：A7. （3分）已知幂函数f（x）=x m的图象经过点（4，2），则f（16）=（）A．2B． 4 C．4D．8参考答案：B考点：幂函数的概念、解析式、定义域、值域；函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：由题意可得 4m=2，解得 m=，可得f（16）=，运算求得结果．解答：解：由于知幂函数f（x）=x m的图象经过点（4，2），则有4m=2，解得 m=，故f（16）==4，故选B．点评：本题主要考查用待定系数法求函数的解析式，求函数的值，属于基础题．8. 已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边在直线y=2x上，则sinθ=（）A． B． C．或﹣ D．或﹣参考答案：D考点：任意角的三角函数的定义．专题：三角函数的求值．分析：由条件利用任意角的三角函数的定义，分类讨论求得sinθ的值．解答：解：由于角θ的终边在直线y=2x上，若角θ的终边在第一象限，则在它的终边上任意取一点P（1，2），则由任意角的三角函数的定义可得sinθ===．若角θ的终边在第三象限，则在它的终边上任意取一点P（﹣1，﹣2），则由任意角的三角函数的定义可得sinθ===﹣，故选：D．点评：本题主要考查任意角的三角函数的定义，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．9. 设m、n是两条不同的直线,是三个不同的平面,给出下列四个命题：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则；其中所有正确命题的序号是（）A．①②③ B．①②④ C．①② D．②③参考答案：A略10. 已知球夹在一个锐二面角之间，与两个半平面相切于点，若，球心到二面角的棱的距离为，则球的体积为A．B．C．D．参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若函数y=f(x)的定义域是[0，2]，则函数y=f（x+2）的定义域是参考答案：12. 袋中装有大小相同的总数为5个的黑球、白球若从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是，则从中任意摸出2个球，得到的都是白球的概率为______．参考答案：因为袋中装有大小相同的总数为5个的黑球、白球，若从袋中任意摸出2个球，共有10种，没有得到白球的概率为，设白球个数为x,黑球个数为5-x,那么可知白球共有3个，黑球有2个，因此可知填写为13. 函数的值域是______.参考答案：【分析】根据反正弦函数定义得结果【详解】由反正弦函数定义得函数的值域是【点睛】本题考查反正弦函数定义，考查基本分析求解能力，属基础题14. 计算：．参考答案：－2015. （5分）若cos θ＞0，sin2θ＜0，则角θ的终边位于第 象限．参考答案：四考点： 象限角、轴线角；三角函数值的符号． 专题： 三角函数的图像与性质．分析： 由题意可得cos θ＞0，sin θ＜0，根据三角函数在各个象限中的符号，得出结论．解答： 由于 cos θ＞0，可得θ为第一、第四象限角，或θ的终边在x 轴的非负半轴上．再由sin2θ=2sin θcos θ＜0，可得 sin θ＜0，故θ是第三、第四象限角，或θ的终边在y 轴的非正半轴上．综上可得，角θ的终边位于四象限， 故答案为 四．点评： 本题主要考查象限角、象限界角的定义，三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．16. 集合,集合且,则实数_________.参考答案：由，得，所以.17. 在中,若，则角C=_________.参考答案：三、 解答题：本大题共5小题，共72分。
内蒙古自治区赤峰市元宝山区第二中学高一数学理期末试卷含解析
内蒙古自治区赤峰市元宝山区第二中学高一数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知直线a，b都与平面α相交，则a，b的位置关系是（）A．平行B．相交C．异面D．以上都有可能参考答案：D【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】以正方体为载体，列举所有情况，由此能求出a，b的位置关系．【解答】解：如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1∩平面ABCD=A，BB1∩平面ABCD=B，AA1∥BB1；AA1∩平面ABCD=A，AB1∩平面ABCD=A，AA1与AB1相交；AA1∩平面ABCD=A，CD1∩平面ABCD=C，AA1与CD1异面．∴直线a，b都与平面α相交，则a，b的位置关系是相交、平行或异面．故选：D．2. 函数 (x)＝a|x－b|在区间[0,＋)上是增函数，则实数a,b的取值范围是( )A.a＞0,b≥0B.a＞0,b≤0C.a＜0,b≥0D.a＜0,b≤0参考答案：D略3. 已知，，那么下列不等式成立的是A．B．C．D．参考答案：D略4. 用斜二测画法得到一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的直角梯形，其中梯形的上底是下底的，若原平面图形的面积为3，则OA的长为（）A．2 B．C．D．参考答案：B【考点】LB：平面图形的直观图．【分析】由题意，原平面图形与斜二测画法得到的直观图的面积比为，利用原平面图形的面积为3，求出OA的长．【解答】解：由题意，原平面图形与斜二测画法得到的直观图的面积比为，设OA=x，则直观图的面积为，∴2=3，∴．故选B．5. 已知函数，若，则实数 (）A． B． C．或D．或参考答案：C6. 下列函数中是偶函数，且在(0，+∞)上单调递增的是（）．（A）（B）（C）（D）参考答案：D7. （）A.B. C.D.参考答案：C 8. 长方体的一个顶点上三条棱的边长分别为3、4、5，且它的八个顶点都在同一个球面上，这个球的表面积是（）A. B. C. D.参考答案：C9. 若直线x=1的倾斜角为α，则α等于（）A．0°B．45°C．90°D．不存在参考答案：C【考点】I2：直线的倾斜角．【分析】由直线方程判断直线和x轴的位置关系，从而得出直线倾斜角的大小．【解答】解：直线x=1与x轴垂直，故直线的倾斜角是90°，故选 C．10. 下列角中终边与330°相同的角是（）A．30°B．-30°C．630°D．-630°参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 设x，y∈R，向量=（x，1），=（1，y），=（2，﹣4）且⊥，∥，则|+|= ．参考答案：【考点】平面向量数量积的运算；向量的模．【分析】由向量平行、垂直的充要条件，列出关于x 、y的方程并解之，可得=（2，1）且=（1，﹣2），由此不难算出+向量的坐标，从而得到|+|的值．【解答】解：∵向量=（x，1），=（2，﹣4），且⊥，∴x×2+1×（﹣4）=0，解得x=2，得=（2，1），又∵=（1，y），=（2，﹣4），且∥，∴1×（﹣4）=y×2，解得y=﹣2，得=（1，﹣2），由此可得： +=（2+1，1+（﹣2））=（3，﹣1）∴|+|==故答案为：【点评】本题给出三个向量，在已知向量平行、垂直的情况下求和向量的模，着重考查了向量平行、垂直的充要条件，以及向量数量积的坐标运算等知识，属于基础题．12. 化简的结果是．参考答案：－113. 一个三角形用斜二测画法画出来是一个边长为1的正三角形，则此三角形的面积是.参考答案：14. 定义点P（x0，y0）到直线l：Ax+By+C=0（A2+B2≠0）的有向距离为d=．已知点P1，P2到直线l的有向距离分别是d1，d2，给出以下命题：①若d1=d2，则直线P1P2与直线l平行；②若d1=﹣d2，则直线P1P2与直线l垂直；③若d1?d2＞0，则直线P1P2与直线l平行或相交；④若d1?d2＜0，则直线P1P2与直线l相交，其中所有正确命题的序号是．参考答案：③④【考点】命题的真假判断与应用．【分析】根据有向距离的定义，及点P（x0，y0）与Ax1+By1+C的符号，分别对直线P1P2与直线l的位置关系进行判断．【解答】解：对于①，若d1﹣d2=0，则若d1=d2，∴Ax1+By1+C=Ax2+By2+C，∴若d1=d2=0时，即Ax1+By1+C=Ax2+By2+C=0，则点P1，P2都在直线l，∴此时直线P1P2与直线l重合，∴①错误．对于②，由①知，若d1=d2=0时，满足d1+d2=0，但此时Ax1+By1+C=Ax2+By2+C=0，则点P1，P2都在直线l，∴此时直线P1P2与直线l重合，∴②错误．对于③，若d1?d2＞0，即（Ax1+By1+C）（Ax2+By2+C）＞0，∴点P1，P2分别位于直线l的同侧，∴直线P1P2与直线l相交或平行，∴③正确；对于④，若d1?d2＜0，即（Ax1+By1+C）（Ax2+By2+C）＜0，∴点P1，P2分别位于直线l的两侧，∴直线P1P2与直线l相交，∴④正确．故答案为：③④．15. 设全集，，则 .参考答案：略16. 计算：的值是．参考答案：117. 计算的结果为_____．参考答案：.【分析】利用两角差的正弦公式对表达式进行化简，由此求得表达式的结果.【详解】依题意，原式.【点睛】本小题主要考查两角差的正弦公式，考查特殊角的三角函数值，属于基础题.三、解答题：本大题共5小题，共72分。
内蒙古赤峰市2023-2024学年高一上学期期末考试数学试题
，则
m
的最小值为
.
四、解答题
17．已知集合 A x∣x2 2x 3 0 ， B {x∣a x a 2} ．
(1)若 a 2 ，求 ðR B A；
(2)若 B A，求实数 a 的取值范围．
18．已知角 a 的终边经过点 P(m, 2m)(m 0) ．
(1)求 tan 的值；
,
tan
x
1
C．
x
π 2
,
π 2
,
tan
x
1
D．
x
π 2
,
π 2
,
tan
x
1
2．已知集合 A {x N∣x 2}, B {2,3} ，则 A B （ ）
A． (,3]
B．{1, 2,3}
C． {2, 3}
D．{0,1, 2,3}
3．已知圆心角为 2 的扇形面积为 2，则该扇形的半径为（ ）
6．“
sin
x
1 3
”是“
|
cos
x
|
2
2 3
”的（
）
A．充分不必要条件
B．充要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
7．已知函数
f
x
A
sin
2x π
x,0 x A, x π
2
π 2
在[0, ) 上单调递增，则
A
的取值范围是（
）
A． (0, )
B．
0,
1 2
C．
1 2
,1
D．
5．已知函数 f x lnx x 在0.5,1 内的一个零点附近的函数值如下表：
0.5
1 0.75 0.625 0.5625
2019年内蒙古自治区赤峰市市元宝山区实验中学高一数学理上学期期末试题含解析
2019年内蒙古自治区赤峰市市元宝山区实验中学高一数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知函数，则（）A. B. C. 1 D. 7参考答案：C【分析】根据分段函数的解析式得到，将x=1代入解析式第一段即可得到答案.【详解】函数，则故答案为：C.【点睛】解决分段函数求值问题的策略:(1)在求分段函数的值f(x0)时，一定要首先判断x0属于定义域的哪个子集，然后再代入相应的关系式;(2)分段函数是指自变量在不同的取值范围内，其对应法则也不同的函数，分段函数是一个函数，而不是多个函数；分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集，故解分段函数时要分段解决;(3)求f(f(f(a)))的值时，一般要遵循由里向外逐层计算的原则。
2. 张老师给学生出了一道题，“试写一个程序框图，计算S=1++++”．发现同学们有如下几种做法，其中有一个是错误的，这个错误的做法是( )A．B．C．D．参考答案：C3. （5分）一个几何体的三视图尺寸如图，则该几何体的表面积为（）A．4+8B．20 C．4+4D．12参考答案：D考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：三视图复原的几何体是正四棱锥，根据三视图的数据，求出几何体的表面积．解答：三视图复原的几何体是正四棱锥，底面是边长为2的正方形，斜高为2，所以正四棱锥的表面积为：S底+S侧=2×2+4×=12，故选：D．点评：本题考查由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，本题解题的关键是用三视图中的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公式求表面积与体积，三视图的投影规则是：“主视、俯视长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视宽相等”，本题是一个基础题．4. 已知等差数列{a n}中，，，则使成立的最大n 的值为（）A.97B.98C.99D.100参考答案：B设等差数列的公差为，则，∴，∴，∴，∴．由，解得，又，∴，∴最大的值为98.故选B．5. 已知直线l，m，平面α，β，且l⊥α，m?β，给出下列四个命题：①若α∥β，则l⊥m；②若l⊥m，则α∥β；③若α⊥β，则l∥m；④若l∥m，则α⊥β其中正确命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3参考答案：C【考点】LO：空间中直线与直线之间的位置关系；LP：空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】利用直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系逐一判断，成立的证明，不成立的可举出反例．【解答】解；①∵l⊥α，α∥β，∴l⊥β，又∵m?β，∴l⊥m，①正确．②由l⊥m推不出l⊥β，②错误．③当l⊥α，α⊥β时，l可能平行β，也可能在β内，∴l与m的位置关系不能判断，③错误．④∵l⊥α，l∥m，∴m∥α，又∵m?β，∴α⊥β故选C6. 为了得到函数的图像，只需将函数的图像（）A 向左平移个单位长度B 向右平移个单位长度C 向左平移个单位长度D 向右平移个单位长度参考答案：A7. 一艘船上午在A处，测得灯塔S在它的北偏东300处，且与它相距海里，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东750，此船的航速是( )参考答案：D8. 函数的定义域是A. B.C. D.参考答案：C9. 已知直线l经过点，且倾斜角为45°，则直线l的方程为（）A. B.C. D.参考答案：C【分析】根据倾斜角求得斜率，再根据点斜式写出直线方程，然后化为一般式.【详解】倾斜角为，斜率为，由点斜式得，即.故选C. 【点睛】本小题主要考查倾斜角与斜率对应关系，考查直线的点斜式方程和一般式方程，属于基础题.10. 有60件产品，编号为01至60，现从中抽取5件检验，用系统抽样的方法所确定的抽样编号是（）(A) 5,10,15,20,25 (B) 5,12,31,39,57 (C) 5,15,25,35,45 (D)5,17,29,41,53参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 函数的最小正周期是.参考答案：π∵函数的周期为，∴函数的最小正周期.12. 计算：=_______________.参考答案：略13. 已知函数y=f（x）在R上为奇函数，且当x≥0时，f（x）=x2﹣2x，则f（﹣3）= ．参考答案：﹣3【考点】函数奇偶性的性质．【分析】利用函数的奇偶性，转化求解即可．【解答】解：函数y=f（x）在R上为奇函数，且当x≥0时，f（x）=x2﹣2x，则f（﹣3）=﹣f（3）=﹣（32﹣2×3）=﹣3．故答案为：﹣3．14. 圆x2+y2-2axcos-2bysin-a2sin2=0在x轴上截得的弦长为 .参考答案：2|a|15. 若关于x的方程的一个根在区间(0,1)上，另一个根在区间(1,2)上，则实数m的取值范围是．参考答案：设，时，方程只有一个根，不合题意，时，方程的根，就是函数的零点，∵方程的一个根在区间(0,1)上，另一个根在区间(1,2)上，且只需，即，解得，故答案为.16. 若幂函数y=x a（a∈R）的图象经过点（4，2），则a的值为．参考答案：【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【分析】根据幂函数y=x a的图象过点（4，2），代入数据求出a的值．【解答】解：幂函数y=x a（a∈R）的图象经过点（4，2），所以4a=2，解得a=．故答案为：．17. 体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为__________ .参考答案：12π正方体体积为8，可知其边长为2，正方体的体对角线为=2，即为球的直径，所以半径为，所以球的表面积为=12π．故答案为：12π．点睛：设几何体底面外接圆半径为,常见的图形有正三角形,直角三角形,矩形,它们的外心可用其几何性质求;而其它不规则图形的外心,可利用正弦定理来求.若长方体长宽高分别为则其体对角线长为;长方体的外接球球心是其体对角线中点.找几何体外接球球心的一般方法:过几何体各个面的外心分别做这个面的垂线,交点即为球心. 三棱锥三条侧棱两两垂直,且棱长分别为，则其外接球半径公式为: .三、解答题：本大题共5小题，共72分。
2022年内蒙古自治区赤峰市市元宝山区古山镇中学高一数学文上学期期末试题含解析
2022年内蒙古自治区赤峰市市元宝山区古山镇中学高一数学文上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设全集U=R，集合，，则（）A．(2,+∞)B．(3,+∞) C．[0,3] D．(－∞,－3]∪{3}参考答案：C，，，.2. 已知，且，则（）A．B． C. D．参考答案：A3. 求值：．参考答案：2略4. 化简得（）A ．B ．C．D．参考答案：D 解析：5. 设奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为A． B．C． D．参考答案：D6. 已知偶函数f(x)在区间(-∞,0]单调减少，则满足f(2x-1)<f()的x的取值范围是(A）A.（，）B.[，）C.（，） D.[，）参考答案：A7. 若，，则等于（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．参考答案：C略8. 已知数列{a n}満足: ,，则=( )A. 0B. 1C. 2D. 6参考答案：B【分析】由，可得，以此类推，即可得出结果.【详解】因为，，所以，以此类推可得，，，.故选B【点睛】本题主要考查数列的递推公式，由题意逐步计算即可，属于基础题型.9. 已知，则= （）. . . .参考答案：D略10. 定义在R上的奇函数f（x），满足f（1）=0，且在（0，+∞）上单调递增，则xf（x）＞0的解集为( )A．{x|x＜﹣1或x＞1} B．{x|0＜x＜1或﹣1＜x＜0}C．{x|0＜x＜1或x＜﹣1} D．{x|﹣1＜x＜0或x＞1}参考答案：A考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：先确定函数f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，且f（﹣1）=0，再将不等式等价变形，即可得到结论．解答：解：∵定义在R上的奇函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，且f（1）=0，∴函数f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，且f（﹣1）=0，∴不等式xf（x）＞0等价于或∴x＞1或﹣1≤x＜﹣1∴不等式xf（x）＞0的解集为{x|x＞1或x＜﹣1}．故选A．点评：本题考查函数单调性与奇偶性的结合，关键利用函数上奇函数得到对称区间得单调性，经常考查，属于基础题二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知．参考答案：略12. 若则 .参考答案：113. 设实数满足，则的取值范围是；的取值范围是 .参考答案：试题分析：作出不等式组表示的平面区域，由图知，当目标函数经过点时取得最小值，经过点时取得最大值，所以的取值范围是；，由图知，当时，，在点处取得最小值，在原点处取得最大值0，所以当时，，当，在点处取得最小值，在点处取得最大值，所以，，所以的取值范围是．考点：简单的线性规划问题．14. 给出下列命题：①存在实数x ，使sinx+cosx ＝;；②若是第一象限角，且，则；③函数是奇函数；④函数的最小正周期是；⑤函数y ＝sin2x 的图象向右平移个单位，得到y ＝sin(2x+)的图象.⑥函数在上是减函数.其中正确的命题的序号是参考答案：①③15. 已知平面向量，满足||=2，||=2，|+2|=5，则向量，夹角的余弦值为 ．参考答案：【考点】9R ：平面向量数量积的运算． 【分析】利用数量积的定义及其性质即可得出．【解答】解：∵平面向量，满足||=2，||=2，|+2|=5，∴5===，化为=．故答案为：． 16. 已知函数f （x ）=（）x 的图象与函数y=g （x ）的图象关于直线y=x 对称，令h （x ）=g （1﹣x 2），则关于函数y=h （x ）的下列4个结论： ①函数y=h （x ）的图象关于原点对称； ②函数y=h （x ）为偶函数；③函数y=h （x ）的最小值为0； ④函数y=h （x ）在（0，1）上为增函数其中，正确结论的序号为 ．（将你认为正确结论的序号都填上）参考答案：②③④【考点】命题的真假判断与应用．【分析】由已知求出h （x ）=，分析函数的奇偶性，单调性，最值，可得答案．【解答】解：∵函数f （x ）=（）x 的图象与函数y=g （x ）的图象关于直线y=x 对称，∴g（x ）=，∴h（x ）=g （1﹣x 2）=，故h （﹣x ）=h （x ），即函数为偶函数，函数图象关于y 轴对称， 故①错误；②正确；当x=0时，函数取最小值0，故③正确；当x∈（0，1）时，内外函数均为减函数，故函数y=h （x ）在（0，1）上为增函数，故④正确；故答案为：②③④【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了函数的奇偶性，单调性，最值，难度中档．17. 当时，函数的最小值为参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。
内蒙古自治区赤峰市市元宝山区马林镇中学2022年高一数学文上学期期末试卷含解析
内蒙古自治区赤峰市市元宝山区马林镇中学2022年高一数学文上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 投掷一颗骰子，掷出的点数构成的基本事件空间是={1，2，3，4，5，6}。
设事件A={1，3}，B={3，5，6}，C={2，4，6}，则下列结论中正确的是（）A. A，C为对立事件B. A，B为对立事件C. A，C为互斥事件，但不是对立事件D. A，B为互斥事件，但不是对立事件参考答案：C试题分析：根据对立事件与互斥事件定义进行判断，由于，因此A错；，因此B错；，因此C对；，因此D错；考点：对立事件；互斥事件；2. 设在上有定义，要使函数有定义，则a的取值范围为（）A．； B. ； C. ； D.参考答案：解析：函数的定义域为。
当时，应有，即；当时，应有，即。
因此，选 B。
3. 已知定义在R上的奇函数f(x)，当x＞0时，f(x)＝x2＋|x|－1，那么x＜0时，f(x)的解析式为f(x)＝()A．x2－|x|＋1 B．－x2＋|x|＋1C．－x2－|x|－1 D．－x2－|x|＋1参考答案：D4. 在如图的正方体中，M，N分别为棱BC和棱CC1的中点，则异面直线AC和MN所成的角为（）A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°参考答案：C试题分析：连接BC1，AD1，因为MN//BC1//AD1,所以就是异面直线AC和MN所成的角，因为为等边三角形，所以.考点：异面直线所成的角.点评：找异面直线所成的角：一是选点，二是平移，三是转化为相交直线所成的角.本小题汲及到中点，联想到中位线，所以连接AD1，就可找出就是异面直线AC和MN所成的角.5. 在等差数列{a n}中，，则（）A. 72B. 60C. 48D. 36参考答案：B【分析】由等差数列的性质可知：由，可得，所以可求出，再次利用此性质可以化简为，最后可求出的值.【详解】根据等差数列的性质可知：，，故本题选B.【点睛】本题考查了等差数列下标的性质，考查了数学运算能力.6. 设等差数列{ }的前n 项和为，若，则的值是Ａ．2 Ｂ． 3 Ｃ．4 Ｄ．5参考答案：A7. 已知函数在(－∞，＋∞)上单调递减，那么实数a的取值范围是( )A．(0,1) B．(0，) C．[，) D．[，1)参考答案：C略8. 函数的图像大致为（）参考答案：B9. 已知下列命题(其中为直线，为平面)：①若一条直线垂直于一个平面内无数条直线，则这条直线与这个平面垂直；② 若一条直线平行于一个平面，则垂直于这条直线的直线必垂直于这个平面；③ 若，，则；④ 若，则过有且只有一个平面与垂直.上述四个命题中，真命题是( )A．①，② B．②，③ C．②，④ D．③，④参考答案：D①将“无数条”改为“所有”才正确；②有可能是平行、相交、线在面内；③正确；④正确.选D.10. 下列函数中，图象的一部分如图所示的是（）A．B．C．D．参考答案：D【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】先根据图象求出函数的最小正周期，从而可得w的值，再根据正弦函数的平移变化确定函数的解析式为，最后根据诱导公式可确定答案．【解答】解：从图象看出， T=，所以函数的最小正周期为π，函数应为y=sin2x向左平移了个单位，即=，故选D．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 定义在区间上的函数的图象与的图像的交点为，过点作轴于点，直线与的图象交于点，则线段的长为___参考答案：12. 设23﹣2x＜23x ﹣4，则x 的取值范围是 ．参考答案：x ＞【考点】指、对数不等式的解法．【分析】利用指数函数的增减性确定出x 的范围即可． 【解答】解：由y=2x 为增函数，且23﹣2x ＜23x ﹣4， 得到3﹣2x ＜3x ﹣4， 解得：x ＞， 故答案为：x ＞．13. 已知数列满足，，则的值为________.参考答案：-314. 已知_______________参考答案：15. 已知tan α=2，则=．参考答案：【考点】三角函数的化简求值．【分析】由万能公式先求sin2α，cos2α的值，化简所求后代入即可求值． 【解答】解：∵tanα=2，∴sin2α==，cos2α==﹣，∴则=======．故答案为：．16. 化简的结果是 .参考答案： 017. 函数为奇函数，则的增区间为_______________．参考答案：略三、 解答题：本大题共5小题，共72分。
2022-2023学年内蒙古赤峰市重点高中高一数学第一学期期末综合测试试题含解析
【解析】由点到直线的距离公式求解即可.
【详解】解：由点到直线的距离公式得，
点 到直线 的距离等于 .
故选：C
【点睛】本题考查了点到直线的距离公式，属基础题.
9、A
【解析】由题意得，圆心坐标为 ，设圆心 关于直线 的对称点为 ，则 ，解得 ，所以对称圆方程为
考点：点关于直线的对称点；圆的标准方程
【详解】由题意可知，关于 的二次方程 的两根分别为 、 ，
则 ，解得 ，则 ，
故当 时，函数 取得最小值，即 .
故选：A.
5、B
【解析】利用诱导公式， 的图象变换规律，得出结论
【详解】解：为了得到函数 的图象，
只需将函数 图象上所有的点向右平移 个单位长度，
故选：B
6、C
【解析】根据 的最值得出 ，根据周期得出 ，利用特殊点计算 ，从而得出 的解析式，再计算 .
【详解】解：（1）由题知 ，
因为 是周期为 的偶函数，
所以 ， ，解得： ， ，
所以 ， .
（2）因为 ，所以 ，
因为函数 在 上是增函数，
所以函数 在 上是增函数，
所以 ，解得 ，
又因为 ，故 .
所以 的最大值为 .
（3）当 时， ，
所以 ，
当 时， ，
又因为函数 在 上至少含有10个零点，
所以方程 在 上至少含有10个零点，
考点：三视图与表面积.
【易错点睛】本题考查三视图与表面积，首先应根据三视图还原几何体，需要一定的空间想象能力，另外解本题时，也可以将几何体置于正方体中，这样便于理解、观察和计算.根据三视图求表面积一定要弄清点、线、面的平行和垂直关系，能根据三视图中的数据找出直观图中的数据，从而进行求解，考查学生空间想象能力和计算能力.
内蒙古赤峰市2019-2020学年高一上学期期末数学试卷 (有解析)
内蒙古赤峰市2019-2020学年高一上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1. 设集合M ={x|x 2<36}，N ={2,4，6，8}，则M ∩N =( )A. {2,4}B. {4,6}C. {2,6}D. {2,4，6}2. 已知平面向量a ⃗ =(−1,2)，b ⃗ =(1,0)，则向量3a ⃗ +b ⃗ 等于( )A. (−2,6)B. (−2,−6)C. (2,6)D. (2,−6)3. sin1,cos1,tan1,1的大小关系是( )A. tan1>1>cos1>sin1B. tan1>1>sin1>cos1C. 1>tan1>sin1>cos1D. 1>sin1>cos1>tan14. 终边在一、三象限角平分线的角的集合是( )A. {α|α=2kπ+π4,k ∈Z} B. {α|α=kπ+π2,k ∈Z} C. {α|α=2kπ+π2,k ∈Z}D. {α|α=kπ+π4,k ∈Z}5. 函数f(x)=log 2x −1x 的零点所在的区间为( )A. (0,1)B. (1,2)C. (2,3)D. (3,4)6. 已知O 是△ABC 所在平面内一点，D 为BC 边的中点，且2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，那么( )A. AO⃗⃗⃗⃗⃗ =OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B. AO⃗⃗⃗⃗⃗ =2OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C. AO⃗⃗⃗⃗⃗ =3OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ D. 2AO⃗⃗⃗⃗⃗ =OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 7. 已知a ⃗ =(2,1),b ⃗ =(m,−1)，a ⃗ //b ⃗ ，则m =( )A. 12B. −12C. 2D. −28. 将曲线y =2sin (4x +π5)上的每个点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到的曲线的一条对称轴方程为( )A. x =3π80B. x =−3π80C. x =3π20D. x =−3π209. 设a =ln 13，b =20.3，c =(13)2，则( )A. a <c <bB. c <a <bC. a <b <cD. b <a <c10. 已知△ABC 中，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+AC⃗⃗⃗⃗⃗ |AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |)，则三角形的形状一定是( ) A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形D. 等腰直角三角形11. 已知不等式对于任意的−5π6⩽x ⩽π6恒成立，则实数m 的取值范围是( )．A. m ⩾√3B. m ⩽√3C. m ⩽−√3D. −√3⩽m ⩽√312. 定义在R 上的函数f(x)满足：f(x)=12f(x −2π)，且当x ∈[0,2π)时，f(x)=8sinx ，则函数g(x)=f(x)−lgx 的零点个数是( )A. 5B. 6C. 7D. 8二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）13. 已知函数f(x)={2−x,x <1x 2−x,x ≥1，则f(f(0))的值为 ______ ．14. 已知cosα=√55，−π2<α<0，则tanα=______．15. 在平面直角坐标系xOy 中，已知角α的终边经过点P(4,−3)，则2sinα+cosα=______． 16. 若函数f(x)=ln(1+x)−ln(1−x)，则f(x)的奇偶性是________． 三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17. 已知集合A ={x|x ≤−1或x ≥3}，B ={x|1≤x ≤6}，C ={x|m +1≤x ≤2m}(1)求A ∩B ．(2)若B ∪C =B ，求实数m 的取值范围．18. 计算：①√259−(827)13−(π+e)0+(14)−12； ②2lg5+lg4+ln √e ．19.已知f(α)=cos(3π2+α)cos(5π−α)tan(2π+α)．sin(π+α)tan(π−α)(1)化简f(α)；(2)若α是第三象限角，且tanα=3，求f(α)的值；20.设e1⃗⃗⃗ ，e2⃗⃗⃗ 是不共线的非零向量，且a⃗=e1⃗⃗⃗ −2e2⃗⃗⃗ ，b⃗ =e1⃗⃗⃗ +3e2⃗⃗⃗ ．(1)证明：a⃗，b⃗ 可以作为一组基底；(2)以a⃗，b⃗ 为基底，求向量c⃗=3e1⃗⃗⃗ −e2⃗⃗⃗ 的分解式；(3)若4e1⃗⃗⃗ −3e2⃗⃗⃗ =λa⃗+μb⃗ ，求λ，μ的值．21.已知函数f(x)=2sin(x+π4)(1)求出函数的最大值及取得最大值时的x的值；(2)求出函数在[0,2π]上的单调区间；(3)当x∈[−π2,π2]时，求函数f(x)的值域。
内蒙古自治区赤峰市市元宝山区第一中学2021年高一数学文上学期期末试卷含解析
内蒙古自治区赤峰市市元宝山区第一中学2021年高一数学文上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 函数的大致图象是（）参考答案：D2. 已知直线l1:y=x,l2:ax-y=0,其中a为实数,当这两条直线的夹角在(0,)内变动时,a的取值范围是A.(0,1)B.C.(,1)∪(1,)D.(1,)参考答案：C 结合图象,如右图,其中α=45°-15°=30°,β=45°+15°=60°.需a∈(tan30°,1)∪(1,tan60°),即a∈(,1)∪(1,).3. 函数的周期为（）A. B. C. 2π D. π参考答案：D【分析】利用二倍角公式以及辅助角公式将函数化为，再利用三角函数的周期公式即可求解.【详解】，函数的最小正周期为.故选：D【点睛】本题考查了二倍角的余弦公式、辅助角公式以及三角函数的最小正周期的求法，属于基础题.4. 某单位有若干部门，现召开一个70人的座谈会，决定用分层抽样的方法从各部门选取代表，其中一个部门20人中被抽取4人，则这个单位应有（）A．200人 B．250人 C．300人 D．350人参考答案：D5. 若与在区间上都是减函数，则a的取值范围是（）A．B．C．D．参考答案：D图象的对称轴为．∵与在区间上都是减函数，∴．故选“D”．6. 函数的最小正周期是（）A. 6πB. 2πC.D.参考答案：C【分析】逆用两角和的正弦公式，把函数的解析式化为正弦型函数解式，利用最小正周期公式求出最小正周期. 【详解】,，故本题选C.【点睛】本题考查了逆用两角和的正弦公式、以及最小正周期公式，熟练掌握公式的变形是解题的关键.7. 在用二次法求方程3x+3x﹣8=0在（1，2）内近似根的过程中，已经得到f（1）＜0，f（1.5）＞0，f（1.25）＜0，则方程的根落在区间（）A．（1，1.25）B．（1.25，1.5）C．（1.5，2）D．不能确定参考答案：B【考点】二分法的定义．【分析】根据函数的零点存在性定理，由f（1）与f（1.5）的值异号得到函数f（x）在区间（1，1.5）内有零点，同理可得函数在区间（1.25，1.5）内有零点，从而得到方程3x+3x﹣8=0的根所在的区间．【解答】解：∵f（1）＜0，f（1.5）＞0，∴在区间（1，1.5）内函数f（x）=3x+3x﹣8存在一个零点又∵f（1.5）＞0，f（1.25）＜0，∴在区间（1.25，1.5）内函数f（x）=3x+3x﹣8存在一个零点，由此可得方程3x+3x﹣8=0的根落在区间（1.25，1.5）内，故选：B．8. 过点且与直线平行的直线方程是（）A. B.C. D.参考答案：D【分析】先由题意设所求直线为：，再由直线过点，即可求出结果.【详解】因为所求直线与直线平行，因此，可设所求直线为：，又所求直线过点，所以，解得，所求直线方程为：.故选：D【点睛】本题主要考查求直线的方程，熟记直线方程的常见形式即可，属于基础题型.9. 有意义，则的取值范围是（）A. B. 且 C. D.参考答案：B10. 设函数f（x）=2lg（2x﹣1），则f﹣1（0）的值为( )A．0 B．1 C．10 D．不存在参考答案：B【考点】反函数；对数函数的单调性与特殊点．【专题】计算题．【分析】欲求f﹣1（0）的值，根据反函数的概念，只要求出使f（x）=0成立的x的值即可．【解答】解：令f（x）=0得：2lg（2x﹣1）=0，?x=1，∴f﹣1（0）=1．故选B．【点评】本小题主要考查反函数、反函数的应用、对数方程的解法等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．属于基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若b=(1，1)，=2，，则|a|=．参考答案：312. 设a=0.60.2，b=log0.23，c= log0.70.6，则a、b、c用“＜”从小到大排列为▲．参考答案：13. 一个工厂有若干车间，今采用分层抽样方法从全厂某天生产的1024件产品中抽取一个容量为64的样本进行质量检查．若某车间这一天生产128件产品，则从该车间抽取的产品件数为．参考答案：814. 函数在区间上具有单调性，则的取值范围为_________参考答案：15. 的夹角为，，则参考答案：7略16. 已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x（1+x），则x＜0时，f（x）的表达式是．参考答案：f（x）=x（1﹣x）【考点】函数奇偶性的性质．【分析】设x＜0，则﹣x＞0，由已知条件可得f（﹣x）=﹣x（1﹣x），即﹣f（x）=﹣x（1﹣x），由此求得x＜0时，f（x）的表达式．【解答】解：设x＜0，则﹣x＞0，由当x≥0时f（x）=x（1+x）可得：f（﹣x）=﹣x（1﹣x）．再由函数为奇函数可得﹣f（x）=﹣x（1﹣x），∴f（x）=x（1﹣x）．故x＜0时f（x）的表达式为：f（x）=x（1﹣x）．故答案为：f（x）=x（1﹣x）【点评】本题主要考查利用函数的奇偶性求函数的解析式，属于基础题．17. 若点P（m,3）到直线4x—3y+1=0的距离为4，且点P在不等式2x+y<3表示的平面区域内，则m=___________参考答案：-3三、解答题：本大题共5小题，共72分。
内蒙古自治高一上学期期末数学试题(解析版)
数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知命题p ：，，则p 的否定是（ ）{}1,1,0x ∀∈-210x +>A. ， B. ， {}1,1,0x ∃∈-210x +≤{}1,1,0x ∃∈-210x +>C. ， D. ，{}1,1,0x ∀∈-210x +≤{}1,1,0x ∃∈-210x +<【答案】A 【解析】【分析】利用全称命题的否定方法，改变量词，否定结论可得答案. 【详解】，的否定为：，. {}1,1,0x ∀∈-210x +>{}1,1,0x ∃∈-210x +≤故选：A.2. 设集合，，则下列判断正确的是（ ） {}61,A n n k k ==+∈Z {}31,B n n m m ==+∈Z A. B. A B =A B A ⋃=C. D.A B A = BA ⊆【答案】C 【解析】【分析】利用举反例可排除选项A,B,D ，然后根据集合中的元素可满足集合中元素的表示形式，故A B ，可判断CA B ⊆【详解】因为集合，， {}61,A n n k k ==+∈Z {}31,B n n m m ==+∈Z 所以，，所以选项A,B,D 均不正确，4B ∈4A ∉因为中的所有元素可表示为， {}61,A n n k k ==+∈Z ()61321,Z n k k k =+=+∈满足集合中元素的表示形式，故，所以，故C 正确， B A B ⊆A B A = 故选：C3. 若不等式对一切实数x 都成立，则k 的取值范围是（ ） 23208kx kx +-<A. B. 30k -<≤30k -<<C. 或 D. 或3k ≤-0k ≥3k <-0k ≥【答案】A 【解析】【分析】由对一切实数都成立，结合函数的性质分成，讨论进行求解. 23208kx kx +-<x 0k =0k ≠【详解】对一切实数都成立， 23208kx kx +-<x ①时，恒成立， 0k =308-<②时，，解得， 0k ≠2Δ30k k k <⎧⎨=+<⎩30k -<<综上可得，. 30k -<≤故选：A.4. 已知幂函数的图象过点，则等于（ ） ()f x (12f ⎛⎫⎪⎝⎭A.B.C.D.14【答案】C 【解析】【分析】根据幂函数的定义，设出解析式，代入点可得答案.【详解】设，因为幂函数的图象过点，所以， ()a f x x =()f x (12a =即. ()f x =12f ⎛⎫=⎪⎝⎭故选：C.5. 若，则函数的图象可能是（）01a <<()log 1a y x =-A. B.C. D.【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的定义域和函数的奇偶性、结合图象变换和对数函数的单调性，即可求解. 【详解】因为，函数满足，解答或， 01a <<()()log 1a g x x =-10x ->1x <-1x >即函数的定义域为，排除A 、B ， ()()log 1a g x x =-()(),11,-∞-+∞U 又由，所以函数为偶函数， ()()()()log 1log 1a a g x x x g x -=--=-=()g x 所以函数的图象关于对称的偶函数， ()g x y 当时，函数是函数的图像向右平移一个单位得到的，1x >()()log 1a g x x =-log a y x =可排除C. 故选：D.6. 设，，，则，a ，b ，c 的大小关系为（ ） ln 2a =lg 0.2b =0.2e c =A. B. a c b >>a b c >>C. D.c b a >>c a b >>【答案】D 【解析】【分析】根据指数幂和对数函数的性质求出的范围即可比较大小. ,,a b c 【详解】依题意，因为，所以， ln10ln 2ln e=1=<<01a <<因为，所以， lg 0.2lg10<=0b <因为，所以， 0.20e e 1>=1c >由此可知.c a b >>故选：D.7. 设是第三象限角，则下列函数值一定为负数的是（ ） αA. B.C.D.cos 2αtan2αsin2αcos2α【答案】B 【解析】【分析】根据的范围，求出以及的范围，根据三角函数在各个象限的符号，即可得出答案.α2α2α【详解】对于A 项，由已知，的取值集合为. α{}|360180360270,k k k αα⋅︒+︒<<⋅︒+︒∈Z 所以，， 236036022360360180,k k k α⋅︒+︒<<⋅︒+︒+︒∈Z 所以，，()()21360221360180,k k k α+⋅︒<<+⋅︒+︒∈Z 所以，可能是第一象限角，也可能为第二象限角，终边也有可能落在轴正半轴上，故A 错误； 2αy 对于B 项，由已知，的取值集合为. α{}|360180360270,k k k αα⋅︒+︒<<⋅︒+︒∈Z 所以，.180********,2k k k α⋅︒+︒<<⋅︒+︒∈Z 当为偶数时，设，则，k 2,k n n =∈Z 36090360135,2n n n α⋅︒+︒<<⋅︒+︒∈Z 此时位于第二象限，；2αtan02α<当为奇数时，设，k 21,k n n =+∈Z 360270360315,2n n n α⋅︒+︒<<⋅︒+︒∈Z 此时位于第四象限，.2αtan02α<综上所述，恒成立，故B 项正确；tan 02α<对于C 项，当位于第二象限时，，故C 项错误；2αsin02α>对于D 项，当位于第四象限时，，故D 项错误.2αcos02α>故选：B.8. 定义在R 上的奇函数，满足，且在上单调递减，则不等式()f x 102f ⎛⎫=⎪⎝⎭()0,∞+的解集为（ ）()()()0f x f x x x --<--A. 或B. 或 1|02x x ⎧<<⎨⎩102x ⎫-<<⎬⎭1|2x x ⎧<-⎨⎩12x ⎫>⎬⎭C. 或D. 或 1|02x x ⎧<<⎨⎩12x ⎫<-⎬⎭12x x⎧⎨⎩102x ⎫-<<⎬⎭【答案】B 【解析】【分析】由已知化简不等式可得.然后根据单调性、奇偶性，分别讨论求解以及时，()0f x x<0x >0x <不等式的解集，即可得出答案.【详解】由已知可得. ()()()()()202f x f x f x f x x x x x--==<--当时，有. 0x >()0f x <由，且在上单调递减，可知； 102f ⎛⎫=⎪⎝⎭()0,∞+12x >当时，有. 0x <()0f x >根据奇函数的性质，可推得，且在上单调递减， 102f ⎛⎫-= ⎪⎝(),0∞-所以. 12x <-综上所述，不等式的解集为或. ()()()0f x f x x x --<--1|2x x ⎧<-⎨⎩12x ⎫>⎬⎭故选：B.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．9. 下列函数既是奇函数，又是增函数的是（ ） A. B.1y x=-y x x =C. D.e e x x y -=-()()22log 1log 1y x x =++-【答案】BC 【解析】【分析】利用奇函数的定义和增函数的特征来判断.【详解】对于A ，当时，；当时，，不是增函数； =1x -1y =1x =1y =-对于B ，设，因为，所以是奇函数；()f x x x =()()f x x x f x -=-=-又，所以为增函数，B 正确；220,()0,x x f x x x x x ≥⎧==⎨<-⎩()f x 对于C ，因为，所以是奇函数；()()ee xx y x y x --=-=-因为是增函数，是减函数，所以为增函数，C 正确；e x y =e x y -=e e x x y -=-对于D ，定义域为，因为，所以不是奇函数，D 不正确. ()1,1-()()()()22log 1log 1y x x x y x -=-++=故选：BC.10. 已知都是正数，若，则下列不等式一定成立的是（ ） ,x y 1x y +=A. B. 14≤xy 2212x y +≥C.D. 114x y+≤11x y+>【答案】ABD 【解析】【分析】利用基本不等式判断ABC ；消元，再根据函数的单调性即可判断D. 【详解】因为都是正数，，,x y 1x y +=所以，()2144x y xy +≤=当且仅当时取等号，故A 正确； 12x y ==因为， 222x y xy +≥所以，()()22222221x yx y xy x y +≥++=+=所以，当且仅当时取等号，故B 正确； 2212x y +≥12x y ==， ()1111224y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭当且仅当时取等号，故C 错误； 12x y ==由，得，1x y +=1x y =-由，可得，010y x y >⎧⎨=->⎩01y <<则， 111x y y y+=-+因为函数在上都是减函数， 11,y x y x=-=()0,1所以函数在上是减函数， 11y x x=-+()0,1所以， 111111x x-+>-+=所以，故D 正确. 1111x y y y+=-+>故选：ABD.11. 已知定义在R 上的函数满足为偶函数，且在上单调递减．则下列判断正确的()f x ()2f x -[)2,-+∞是（ ） A.B.()()40f f ->()()30f f ->C. 图象的对称轴为 D. 若，则()f x 2x =-()()1f a f >51a -<<【答案】BCD 【解析】【分析】运用偶函数性质得函数对称性可分析A 项、C 项，再运用函数的对称性及单调性可分析B 项、D 项.【详解】∵为偶函数， (2)f x -∴，(2)(2)f x f x -=--∴图象关于直线对称，故C 项正确；()f x 2x =-∴将代入得：，故A 项错误； 2x =-(2)(2)f x f x -=--(4)(0)f f -=将代入得：， =1x -(2)(2)f x f x -=--(3)(1)f f -=-又∵在上单调递减，()f x [2,)-+∞∴，即：，故B 项正确；(1)(0)f f ->(3)(0)f f ->∵，图象关于直线对称，在上单调递减， ()(1)f a f >()f x 2x =-()f x [2,)-+∞∴，即：，解得：.故D 项正确. |(2)||1(2)|a --<--|2|3a +<51a -<<故选：BCD.12. 当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”，设生物死亡年数为x ，死亡生物体内碳14的含量为y （把刚死亡的生物体内碳14含量看成1个单位），则下列叙述正确的是（ ） A. 函数解析式为，1573012y ⎛⎫= ⎪⎝⎭[)0,x ∈+∞B. 碳14的年衰减率为1573012⎛⎫⎪⎝⎭C. 经过九个“半衰期”后，碳14的含量不足死亡前的千分之一D. 在2010年，某遗址检测出碳14的残留量为，则该遗址大概是公元前12491255.2%log 0.5525730⎛⎫≈ ⎪⎝⎭2903年建成的 【答案】AD 【解析】【分析】根据半衰期的定义可直接得出函数解析式及衰减率，将相应的数据代入解析式即可求解. 【详解】依题意，对于A ：因为机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减， 大约每经过5730年衰减为原来的一半， 所以年后体内的碳14应为原来的，x 573012x⎛⎫⎪⎝⎭所以函数解析式为，，5730573011122x x y ⎛⎫⎛⎫=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭[)0,x ∈+∞所以A 选项正确；对于B ：设每年的衰减率为，原来的碳14含量为， k A 则有， ()573012A A A k --=，解得，()5730112k -=15730112k ⎛⎫=- ⎪⎝⎭所以B 选项错误；对于C ：经过九个“半衰期”后，， 95730573091111225121000y ⨯⎛⎫===>⎪⎝⎭所以C 选项错误；对于D ：因为碳14的残留量为， 12491255.2%log 0.5525730⎛⎫≈⎪⎝⎭所以，即， 5730155.2%2x ⎛⎫= ⎪⎝⎭124912log 0.55257305730x =≈解得，由，4912x ≈491220102902-=可知则该遗址大概是公元前2903年建成的，所以D 选项正确； 故选：AD .三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 函数的定义域是A ，函数的定义域为B ，则是的______条件（填y =2log y x =x A ∈x B ∈写充分不必要，必要不充分，充要，既不充分也不必要中的一个）． 【答案】必要不充分 【解析】【分析】先根据函数定义域化简集合，再结合条件的定义来判断. ,A B 【详解】由可得或，即或； 20x x +>0x >1x <-{1A x x =<-}0x >由可得； 0x >{}0B x x =>因为，，所以是的必要不充分条件.BA ⊆AB ⊄x A ∈x B ∈故答案为：必要不充分 14. 已知，且，则______．π1sin 64x ⎛⎫-=⎪⎝⎭π02x <<πcos 3x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭【答案】 14【解析】【分析】根据诱导公式和正弦函数的性质求解即可.【详解】由题意可得，πππππ1cos cos sin sin 362664x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=--=-=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦故答案为：1415. 函数，若函数，有三个不同的零点，则实数m 的取值范围是()1,02,0x x x f x xx -⎧+>⎪=⎨⎪≤⎩()y f x m =-______． 【答案】 m>2【解析】【分析】对分段函数的每一段进行单调性分析，画出对应的图象，然后结合题意可得到与有()f x y m =三个不同的交点，结合图象即可求解【详解】当时，根据对勾函数可得在上单调递增，在上单调递减，故此0x >()1f x x x=+()1,+∞()0,1时最小值；()12f =当时，根据在上单调递减，故此时最小值；0x ≤()2xf x -=(],0-∞()01f =作出对应的图象，如图所示函数有三个不同的零点，可看作与有三个不同的交点， ()y f x m =-()f x y m =从图象可得到实数m 的取值范围是 m>2故答案为：m>216. 若（，且）在区间上单调递增，则实数a 的取值范围为()()2log a f x x ax =-0a >1a ≠[]2,3______．【答案】12a <<【解析】【分析】利用复合函数的单调性求解.【详解】解：令，2t x ax =-当时，是增函数，1a >log a y t =因为（，且）在区间上单调递增， ()()2log a f x x ax =-0a >1a ≠[]2,3则在区间上单调递增，且在区间上恒成立，2t x ax =-[]2,30t >[]2,3则，且，解得； 22a ≤420a ->12a <<当时，是减函数，01a <<log a y t =因为（，且）在区间上单调递增， ()()2log a f x x ax =-0a >1a ≠[]2,3则在区间上单调递减，且在区间上恒成立，2t x ax =-[]2,30t >[]2,3则，且，无解， 32a ≥420a ->综上：，12a <<故答案为：12a <<四、解答题；本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. （1）已知，求的值； sin 2cos αα=-sin cos sin cos αααα-+（2）已知角的终边经过点，求的值． α()4,3P -()()sin πsin 2πππcos sin 22αααα+-⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】（1）3；（2）. 34-【解析】【分析】（1）将代入，化简即可得出答案； sin 2cos αα=-（2）化简可得.然后根据三角函数的定义，即可求出答案. ()()sin πsin 2πtan ππcos sin 22ααααα+-=⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【详解】（1）由题知. sin cos sin cos αααα-+2cos cos 2cos cos αααα--=-+3cos 3cos αα-==-（2）由诱导公式可得. ()()sin πsin 2πππcos sin 22αααα+-⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()sin sin tan sin cos ααααα--==⋅由三角函数的定义知，所以． 3tan 4α=-()()sin πsin 2π3ππ4cos sin 22αααα+-=-⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭18. 计算：（1；223327-⋅+（2）． ()()()221004lg 2log 2lg 5lg 23++-【答案】（1）27-（2）1【解析】【分析】（1）直接运用幂函数运算法则即可求解；（2）直接利用对数函数运算法则即可求解.【小问1详解】依题意，223327⋅+()2233433=--⋅+()2224332=--⋅+(224272=--+231227=-+=-【小问2详解】 ()()()221004lg 2log 2lg 5lg 23++- ()()4lg 2lg 2lg 5lg 2lg 5lg 23lg100⎛⎫=+++- ⎪⎝⎭4lg 2lg 2lg 5lg 232⎛⎫=++- ⎪⎝⎭43lg 25lg 322=⋅+ 52lg 2lg 2=+25lg 2lg 2=+5lg 412⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭19. 已知函数是偶函数． ()()()3log 31R x f x kx k =++∈（1）求的值；k（2）设函数，判断在定义域内的单调性，并给出证明． ()()12g x f x x =-()g x 【答案】（1） 12k =-（2）减函数，证明见解析【解析】【分析】（1）利用奇偶性的定义求解即可；（2）利用单调性的定义求解即可.【小问1详解】因为为偶函数，且定义域为，()f x R 所以对于，，R x ∀∈()()=f x f x -即对恒成立， ()()33log 31log 31x x kx kx -++=+-R x ∀∈所以恒成立， ()()3333312log 31log 31log log 331x x x x x kx x ---+=+-+===-+因为不恒为零，所以. x 12k =-【小问2详解】 由题知为减函数， ()()()33333311log 31log 31log 3log log 133x x x x x x g x x +⎛⎫=+-=+-==+ ⎪⎝⎭下证明：任取，且，12,R x x ∈12x x <则， ()()11221233311113log 1log 1log 13313x x x x g x g x +⎛⎫⎛⎫-=+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+因为，所以，故，即， 12033x x <<1211033x x >>121111033x x +>+>121131113x x +>+则，即， ()()12123113log 0113x x g x g x +-=>+()()12g x g x >所以在上为减函数.()g x R20. （1）已知二次函数的图象与y 轴交于点，与x 轴的两个交点的横坐标，2y x bx c =++()0,3A -1x 的平方和为15，求该二次函数的解析式．2x （2）在（1）条件下，当时，求一元二次不等式的解集． 0b <()()20R ax a b x c a ---<∈【答案】（1）或；（2）答案见解析233y x x =+-233y x x =--【解析】【分析】（1）由题意可得，，然后利用韦达定理可求得，即可求解；3c =-221215x x +=3b =±（2）将，代入不等式可得，先求出对应方程的根，然后分和3b =-3c =-()2330ax a x -++<0a <两种情况进行讨论即可0a >【详解】（1）由题知，．3c =-221215x x +=因为，是方程的两根，1x 2x 20x bx c ++=则由韦达定理得，．12x x b +=-123x x c ⋅==-又， ()2221212122x x x x x x +=+-⋅故，解得．()2615b -+=3b =±所以，函数的解析式为或．233y x x =+-233y x x =--（2）由（1）可知，，3b =-3c =-一元二次不等式可化为． ()()2330R ax a x a -++<∈由题知，则二次方程，可化为，解得，或． 0a ≠()2330ax a x -++=()()310ax x --=1x =3x a=当时，有，原不等式的解集为． 0a <301a <<31x x x a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭或当时，0a >若，即时，原不等式的解集为． 31a=3a =∅若，即时，原不等式的解集为． 31a <3a >31x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭若，即时，原不等式的解集为． 31a >3a <31x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭综上所述，当时，原不等式的解集为； 0a <31x x x a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭或当时，原不等式的解集为；3a =∅当时，原不等式的解集为； 3a >31x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭当时，原不等式的解集为． 0<<3a 31x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭21. 为迎接2022年“双十一”网购狂欢节，某厂家拟投入适当的广告费，对网上所售产品进行促销．经调查测算，该促销产品在“双十一”的销售量p 万件与促销费用x 万元满足：（其中，a 341p x =-+0x a ≤≤为正常数）．已知生产该产品还需投入成本万元（不含促销费用），产品的销售价格定为()102p +元/件．假定厂家的生产能力完全能满足市场的销售需求． 205p ⎛⎫+ ⎪⎝⎭（1）将该产品的利润y 万元表示为促销费用x 万元的函数；（2）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？并求出最大利润的值．【答案】（1）； 9221y x x =--+()0x a ≤≤（2）答案见解析.【解析】【分析】（1）根据已知可推得，代入，化简即可得出结果； 310y p x =-+341p x =-+（2）当时，根据基本不等式即可求出最大值；当，先根据单调性的定义得出2a ≥02a <<在上的单调性，即可得出最大值. 92311y x x ⎛⎫=-++ ⎪+⎝⎭(]0,a 【小问1详解】由题意知，， ()205102310y p x p p x p ⎛⎫=+--+=-+ ⎪⎝⎭将代入化简得， 341p x =-+． 9221y x x =--+()0x a ≤≤【小问2详解】因为 9161x x ++≥=+当且仅当，即时，等号成立． 911x x +=+2x =所以（ⅰ）当时，， 2a ≥9221y x x =--+92311x x ⎛⎫=-++ ⎪+⎝⎭2317≤-=当且仅当，即时，等号成立； 911x x +=+2x =（ⅱ）当时， 02a <<9221y x x =--+92311x x ⎛⎫=-++ ⎪+⎝⎭设，，. 1t x =+113t a ≤≤+<()923f t t t =--，且，则. 121,3t t ∀≤<12t t <()()121212992323f t f t t t t t ⎛⎫-=----- ⎪⎝⎭()1221129t t t t t t -=-因为，且，所以，所以，121,3t t ≤<12t t <()()120f t f t -<()()12<f t f t 所以，函数在上单调递增， ()923f t t t=--()1,3所以，在上单调递增， 92311y x x ⎛⎫=-++ ⎪+⎝⎭()0,2所以，在上单调递增. 92311y x x ⎛⎫=-++ ⎪+⎝⎭(]0,a 所以，当时，y 取最大值为． x a =9221a a ⎛⎫-+⎪+⎝⎭综上，当时，促销费用投入2万元时，厂家的利润最大为17万元；2a ≥当时，促销费用投入a 万元时，厂家的利润最大为万元． 02a <<9221a a ⎛⎫-+⎪+⎝⎭22. 设函数．()()22x x f x x -=-+∈R （1）若存在，使得成立，求实数m 的最大值；[]0,1x ∈()2420x x f x m ⋅-⋅+≤（2）设函数，，若在上有两个零点，求实数()22x x h x -=+()()()22g x f x h x λ=++()g x [)1,+∞λ的取值范围．【答案】（1）11；（2）. 254,6⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】【分析】（1）分离参数可得，.换元求出的最大值，即可得出答()22421xx m ≤+⋅-()22421x x y =+⋅-案； （2）代入整理可得，.换元，原题可转化为()()()222224x x x xg x λ--=-++-+22x x t -=-4t t λ=+在时有两个解.根据函数的单调性，作出函数在上的图象，根据图象，32t ≥4y t t =+4y t t =+3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭即可得出答案.【小问1详解】由题意得，()22421x x m ≤+⋅-设，则．2x k =12k ≤≤令，()224125y k k k =+-=+-显然函数在区间上为增函数，241y k k =+-[]1,2所以当时，函数取得最大值，2k =max 11y =所以，m 的最大值为11．【小问2详解】由题知. ()()2222222x x x x g x λ--=-++++()()222224x x x x λ--=-++-+设，当时，函数为增函数，则. 22x x t -=-1x ≥22x x t -=-13222t ≥-=若在有两个零点，()y g x =[)1,+∞即在上有两个解， ()()()222222440x x x xg x t t λλ--=--+-+=-++=3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭由，得，. 24t t λ=+4t t λ=+32t ≥，且， 123,22t t ∀≤<12t t <则. ()()12121244f t f t t t t t ⎛⎫-=+-+ ⎪⎝⎭()1212124t t t t t t -=-因为，且，所以，所以，121,2t t ≤<12t t <()()120f t f t ->()()12>f t f t 所以，函数在上单调递减. 4y t t =+3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭同理可证函数在上单调递增. 4y t t=+()2,+∞则时，，又时，． 2t =min 4y =32t =256y =作出函数在上的图象 4y t t =+3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭根据函数的图象可知，当时，与的图象有两个交点，满足题意． 2546λ<≤y λ=4y t t=+因此，实数的取值范围是． λ254,6⎛⎤ ⎥⎝⎦函数交点个数的问题.常根据函数的性质作出函数的图象，通过图象，得到参数的取值范围.。
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2014-2015学年内蒙古赤峰市元宝山区高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U={1，2，3，4，5，6}，设集合P={1，2，3，4}，Q={3，4，5}，则P∩（∁U Q）=（）A． {1，2，3，4，6} B． {1，2，3，4，5} C． {1，2，5} D． {1，2}2．设a∈{﹣1，0，，1，2，3}，则使函数y=x a的定义域为R且为奇函数的所有a的值有（）A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个3．函数f（x）=﹣lnx的零点个数为（）A． 0 B． 1 C． 2 D． 34．若函数y=|x|（1﹣x）在区间A上是增函数，那么区间A最大为（）A．（﹣∞，0） B． C． [0，+∞） D．5．已知点A（1，1），B（3，3），则线段AB的垂直平分线的方程是（）A． y=﹣x+4 B． y=x C． y=x+4 D． y=﹣x6．棱长都是1的三棱锥的表面积为（）A． B． C． D．7．△ABC中，点A（4，﹣1），AB的中点为M（3，2），重心为P（4，2），则边BC的长为（） A． 5 B． 4 C． 10 D． 88．如果两条直线l1：ax+2y+6=0与l2：x+（a﹣1）y+3=0平行，那么a等于（）A． 1 B．﹣1 C． 2 D．9．正方体的棱长和外接球的半径之比为（）A．：1 B．：2 C． 2： D．：310．若l、m、n是互不相同的空间直线，α、β是不重合的平面，则下列结论正确的是（） A．α∥β，l⊂α，n⊂β⇒l∥n B．α∥β，l⊂α⇒l⊥βC．l⊥n，m⊥n⇒l∥m D．l⊥α，l∥β⇒α⊥β11．若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积是（）cm3A．π B． 2π C． 3π D． 4π12．对于0＜a＜1，给出下列四个不等式：①②③④．其中成立的是（）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.13．已知a=2﹣3；b=（）﹣2；c=log20.5．则a，b，c的大小关系是（从大到小排列）．14．方程2x=10﹣x的根x∈（k，k+1），k∈Z，则k= ．15．已知f（x）为奇函数，且x＞0时，f（x）=x（1+），则f（﹣8）= ．16．对于函数f（x）=x|x|+px+q，现给出四个命题：①q=0时，f（x）为奇函数②y=f（x）的图象关于（0，q）对称③p=0，q＞0时，方程f（x）=0有且只有一个实数根④方程f（x）=0至多有两个实数根其中正确命题的序号为．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（10分）（2014秋•元宝山区期末）不用计算器求下列各式的值．（1）（2）﹣0.30﹣16；（2）设x+x=3，求x+x﹣1．18．（12分）（2014秋•元宝山区期末）已知二次函数y=f（x），当x=2时函数取最小值﹣1，且f（1）+f（4）=3．（1）求f（x）的解析式；（2）若g（x）=f（x）﹣kx在区间[1，4]上不单调，求实数k的取值范围．（2014秋•元宝山区期末）空间四边形ABCD的对棱AD，BC成60°的角，且AD=BC=a，（12分）19．平行于AD与BC的截面分别交AB，AC，CD，BD于E、F、G、H．（1）求证：四边形EFGH为平行四边形；（2）E在AB的何处时截面EFGH的面积最大？最大面积是多少？20．（12分）（2015•湘西州校级一模）已知函数f（x）=log a（1﹣x）+log a（x+3）（0＜a＜1）（1）求函数f（x）的定义域；（2）求函数f（x）的零点；（3）若函数f（x）的最小值为﹣4，求a的值．21．（12分）（2014秋•元宝山区期末）如图，棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，（1）求证：AC⊥平面B1D1DB；（2）求证：BD1⊥平面ACB1（3）求三棱锥B﹣ACB1体积．22．（12分）（2014秋•元宝山区期末）已知函数f（x）=1﹣（1）证明f（x）是奇函数；（2）判断f（x）的单调性，并用定义证明；（3）求f（x）在[﹣1，2]上的最值．2014-2015学年内蒙古赤峰市元宝山区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U={1，2，3，4，5，6}，设集合P={1，2，3，4}，Q={3，4，5}，则P∩（∁U Q）=（）A． {1，2，3，4，6} B． {1，2，3，4，5} C． {1，2，5} D． {1，2}考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：由题意，可先由已知条件求出C U Q，然后由交集的定义求出P∩（C U Q）即可得到正确选项．解答：解：∵U={1，2，3，4，5，6}，Q={3，4，5}，∴∁U Q={1，2，6}，又P={1，2，3，4}，∴P∩（C U Q）={1，2}故选D．点评：本题考查交、并、补的运算，解题的关键是熟练掌握交、并、补的运算规则，准确计算．2．设a∈{﹣1，0，，1，2，3}，则使函数y=x a的定义域为R且为奇函数的所有a的值有（）A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个考点：幂函数的单调性、奇偶性及其应用．专题：函数的性质及应用．分析：分别验证a=﹣1，0，，1，2，3知当a=1或a=3时，函数y=x a的定义域是R且为奇函数．解答：解：当a=﹣1时，y=x﹣1的定义域是{x|x≠0}，且为奇函数，不符合题意；当a=0时，函数y=x0的定义域是{x|x≠0}且为偶函数，不符合题意；当a=时，函数y=x的定义域是{x|x≥0}且为非奇非偶函数，不符合题意；当a=1时，函数y=x的定义域是R且为奇函数，满足题意；当a=2时，函数y=x2的定义域是R且为偶函数，不符合题意；当a=3时，函数y=x3的定义域是R且为奇函数，满足题意；∴满足题意的α的值为1，3．故选B．点评：本题考查幂函数的性质和应用，解题时要熟练掌握幂函数的概念和性质，属于基础题．3．函数f（x）=﹣lnx的零点个数为（）A． 0 B． 1 C． 2 D． 3考点：根的存在性及根的个数判断．专题：作图题．分析：问题等价于：函数y=与函数y=lnx图象交点的个数，在同一坐标系中，作出它们的图象可得结论．解答：解：函数f（x）=﹣lnx的零点个数等价于函数y=与函数y=lnx图象交点的个数，在同一坐标系中，作出它们的图象：由图象可知，函数图象有1个交点，即函数的零点个数为1故选B点评：本题考查根的存在性及个数的判断，数形结合是解决问题的关键，属中档题．4．若函数y=|x|（1﹣x）在区间A上是增函数，那么区间A最大为（）A．（﹣∞，0） B． C． [0，+∞） D．考点：函数的单调性及单调区间．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：先分类讨论去掉绝对值，再结合二次函数的图象求出函数y=|x|（1﹣x）的单调递增区间即可．解答：解：y=|x|（1﹣x）=，再结合二次函数图象可知函数y=|x|（1﹣x）的单调递增区间是：．故选：B．点评：本题主要考查了函数的单调性及单调区间，单调性是函数的重要性质，属于中档题．5．已知点A（1，1），B（3，3），则线段AB的垂直平分线的方程是（）A． y=﹣x+4 B． y=x C． y=x+4 D． y=﹣x考点：直线的一般式方程与直线的平行关系；中点坐标公式．专题：直线与圆．分析：由已知得AB的中点C（2，2），k AB==1，线段AB的垂直平分线的斜率k=﹣1，由此能求出线段AB的垂直平分线的方程．解答：解：∵点A（1，1），B（3，3），∴AB的中点C（2，2），k AB==1，∴线段AB的垂直平分线的斜率k=﹣1，∴线段AB的垂直平分线的方程为：y﹣2=﹣（x﹣2），整理，得：y=﹣x+4．故选：A．点评：本题考查直线方程的求法，是基础题，解题时要认真审题．6．棱长都是1的三棱锥的表面积为（）A． B． C． D．考点：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．专题：计算题．分析：棱长都是1的三棱锥，四个面是全等的正三角形，求出一个面积即可求得结果．解答：解：因为四个面是全等的正三角形，则．故选A点评：本题考查棱锥的面积，是基础题．7．△ABC中，点A（4，﹣1），AB的中点为M（3，2），重心为P（4，2），则边BC的长为（） A． 5 B． 4 C． 10 D． 8考点：三角形五心；两点间的距离公式．专题：计算题．分析：先根据中点坐标公式求出点B的坐标，然后根据重心坐标公式求出点C的坐标，最后利用两点的距离公式求出BC的长．解答：解：设点B（x，y）根据中点坐标公式可知3=，2=解得：x=2，y=5∴B（2，5）设点C（m，n），根据重心坐标公式可知4=，2=解得：m=6，n=2∴C（6，2），∴根据两点的距离公式可知|BC|=5故选A点评：本题主要考查了中点坐标公式、重心坐标公式以及两点间的距离公式，同时考查了计算能力，属于基础题．8．如果两条直线l1：ax+2y+6=0与l2：x+（a﹣1）y+3=0平行，那么a等于（）A． 1 B．﹣1 C． 2 D．考点：直线的一般式方程与直线的平行关系．专题：计算题；直线与圆．分析：两直线平行，可得它们x的系数之比等于y的系数之比，且不等于常数项的比，由此建立方程并解之，即得实数a的值．解答：解：∵直线l1：ax+2y+6=0与l2：x+（a﹣1）y+3=0平行，∴，解之得a=﹣1（舍去2）故选：B点评：本题给出两条直线平行，求参数a的值，着重考查了坐标系内两条直线位置关系的判断的知识，属于基础题．9．正方体的棱长和外接球的半径之比为（）A．：1 B．：2 C． 2： D．：3考点：球内接多面体．专题：空间位置关系与距离．分析：根据外接球的直径为正方体的对角线长，设出正方体的棱长，即可求出外接球半径，求出棱长和外接球的半径之比．解答：解：设正方体的棱长为1，外接球的直径为正方体的对角线长，故外接球的直径为，半径为：，所以，正方体的棱长和外接球的半径之比为1：=2：．故选C．点评：本题是基础题，考查球内接多面体．外接球的直径为正方体的对角线长，是解决本题的关键．10．若l、m、n是互不相同的空间直线，α、β是不重合的平面，则下列结论正确的是（） A．α∥β，l⊂α，n⊂β⇒l∥n B．α∥β，l⊂α⇒l⊥βC．l⊥n，m⊥n⇒l∥m D．l⊥α，l∥β⇒α⊥β考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析： A根据面面平行的性质进行判断．B根据面面平行的性质以及线面垂直的判定定理进行判断．C根据直线垂直的性质进行判断．D根据线面垂直和平行的性质进行判断．解答：解：对于A，α∥β，l⊂α，n⊂β，l，n平行或异面，所以错误；对于B，α∥β，l⊂α，l 与β可能相交可能平行，所以错误；对于C，l⊥n，m⊥n，在空间，l与m还可能异面或相交，所以错误．故选D．点评：本题考查了空间直线和平面，平面和平面位置关系的判断，要求熟练掌握相应的定义和判断条件，比较基础．11．若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积是（）cm3A．π B． 2π C． 3π D． 4π考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由三视图可知：此几何体为圆锥的一半，即可得出．解答：解：由三视图可知：此几何体为圆锥的一半，∴此几何体的体积==2π．故选：B．点评：本题考查了由三视图恢复原几何体的体积计算，属于基础题．12．对于0＜a＜1，给出下列四个不等式：①②③④．其中成立的是（）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④考点：对数函数的单调性与特殊点；指数函数的单调性与特殊点．专题：常规题型．分析：根据题意，∵0＜a＜1∴＞1∴又∵y=log a x此时在定义域上是减函数，∴①log a （1+a）＜log a（1+）错误；②log a（1+a）＞log a（1+）正确；又∵y=a x此时在定义域上是减函数，∴③a1+a＜a1错误；④a1+a＞a正确．解答：解：∵0＜a＜1，∴a＜，从而1+a＜1+．∴log a（1+a）＞log a（1+）．又∵0＜a＜1，∴a1+a＞a．故②与④成立．点评：此题充分考查了不等式的性质，同时结合函数单调性对不等关系进行了综合判断．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.13．已知a=2﹣3；b=（）﹣2；c=log20.5．则a，b，c的大小关系是（从大到小排列）b＞a＞c ．考点：对数值大小的比较．专题：函数的性质及应用．分析：利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．解答：解：∵1＞a=2﹣3＞0，b=（）﹣2＞1，c=log20.5＜0．∴b＞a＞c．故答案为：b＞a＞c．点评：本题考查了指数函数与对数函数的单调性，属于基础题．14．方程2x=10﹣x的根x∈（k，k+1），k∈Z，则k= 2 ．考点：函数的图象；函数与方程的综合运用．专题：数形结合．分析：设f（x）=2x，g（x）=10﹣x，根据题意，画图观察交点情况可得答案．解答：解：设f（x）=2x，g（x）=10﹣x，画图，观察交点在区间（2，3）上．故填2．点评：从函数与方程方面着想解决根的分布问题，体现了函数图象与方程的根的内在联系．15．已知f（x）为奇函数，且x＞0时，f（x）=x（1+），则f（﹣8）= ﹣24 ．考点：函数奇偶性的性质．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由于f（x）为奇函数，则f（﹣x）=﹣f（x），则f（﹣8）=﹣f（8），再由x＞0的表达式，即可求得所求值．解答：解：由于f（x）为奇函数，则f（﹣x）=﹣f（x），则f（﹣8）=﹣f（8），当x＞0时，f（x）=x（1+），则f（8）=8（1+2）=24，故有f（﹣8）=﹣24．故答案为：﹣24．点评：本题考查函数的奇偶性和运用，考查运算能力，属于基础题．16．对于函数f（x）=x|x|+px+q，现给出四个命题：①q=0时，f（x）为奇函数②y=f（x）的图象关于（0，q）对称③p=0，q＞0时，方程f（x）=0有且只有一个实数根④方程f（x）=0至多有两个实数根其中正确命题的序号为①②③．考点：命题的真假判断与应用．专题：计算题；压轴题；函数的性质及应用．分析：①若f（x）为奇函数，则f（0）=q=0，反之若q=0，f（x）=x|x|+px为奇函数；②y=x|x|+px为奇函数，图象关于（0，0）对称，再利用图象变换可得结论；③当p=0，q＞0时，x＞0时，方程f（x）=0的无解，x＜0时，f（x）=0的解为x=；④q=0，p=1时，方程f（x）=0的解为x=0或x=1或x=﹣1，即方程f（x）=0有3个实数根．解答：解：①若f（x）为奇函数，则f（0）=q=0，反之若q=0，f（x）=x|x|+px为奇函数，所以①正确．②y=x|x|+px为奇函数，图象关于（0，0）对称，把y=x|x|+px图象上下平移可得f（x）=x|x|+px+q图象，即得f（x）的图象关于点（0，q）对称，所以②正确．③当p=0，q＞0时，x＞0时，方程f（x）=0的无解，x＜0时，f（x）=0的解为x=﹣（舍去正根），故③正确．④q=0，p=﹣1时，方程f（x）=0的解为x=0或x=1或x=﹣1，即方程f（x）=0有3个实数根，故④不正确．故答案为：①②③点评：本题考查命题的真假判断和应用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（10分）（2014秋•元宝山区期末）不用计算器求下列各式的值．（1）（2）﹣0.30﹣16；（2）设x+x=3，求x+x﹣1．考点：有理数指数幂的化简求值．专题：函数的性质及应用．分析：（1）利用指数幂的运算性质即可得出．（2）利用x+x﹣1=﹣2即可得出．解答：解：（1）原式==﹣1﹣=．（2）∵x+x=3，∴x+x﹣1=﹣2=32﹣2=7．点评：本题考查了指数幂的运算性质、乘法公式，考查了计算能力，属于基础题．18．（12分）（2014秋•元宝山区期末）已知二次函数y=f（x），当x=2时函数取最小值﹣1，且f（1）+f（4）=3．（1）求f（x）的解析式；（2）若g（x）=f（x）﹣kx在区间[1，4]上不单调，求实数k的取值范围．考点：二次函数的性质；函数解析式的求解及常用方法．专题：函数的性质及应用．分析：（1）由题意可以得到该二次函数的图象的顶点坐标为（2，﹣1），设解析式为y=a （x﹣2）2﹣1，结合f（1）+f（4）=3可得f（x）的解析式；（2）若g（x）=f（x）﹣kx在区间[1，4]上不单调，则函数图象的对称轴x=，满足1＜＜4，解得实数k的取值范围．解答：解：（1）∵二次函数y=f（x），当x=2时函数取最小值﹣1，∴二次函数的图象的顶点坐标为（2，﹣1），设解析式为y=a（x﹣2）2﹣1，（a＞0），∵f（1）+f（4）=a﹣1+4a﹣1=5a﹣2=3，解得：a=1，故y=（x﹣2）2﹣1=y=x2﹣4x+3；（2）∵g（x）=f（x）﹣kx=x2﹣（k+4）x+3在区间[1，4]上不单调，故1＜＜4，解得：﹣2＜k＜4，即实数k的取值范围为（﹣2，4）点评：本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，函数解析式的求法，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．（2014秋•元宝山区期末）空间四边形ABCD的对棱AD，BC成60°的角，且AD=BC=a，（12分）19．平行于AD与BC的截面分别交AB，AC，CD，BD于E、F、G、H．（1）求证：四边形EFGH为平行四边形；（2）E在AB的何处时截面EFGH的面积最大？最大面积是多少？考点：直线与平面平行的性质；基本不等式；空间中直线与直线之间的位置关系．专题：计算题．分析：（1）证明BC∥EF，EF∥HG．然后证明四边形EFGH为平行四边形．（2）设=x，求出EH=（1﹣x）a．推出S四边形EFGH=EF•EH•sin60°=．推出E为AB的中点时，截面EFGH的面积最大为．解答：证明：（1）∵BC∥平面EFGH，BC⊂平面ABC，平面ABC∩平面EFGH=EF，∴BC∥EF，同理BC∥HC，∴EF∥HG．同理可证EH∥FG，∴四边形EFGH为平行四边形．解：（2）∵AD与BC成角为60°，∴∠HEF=60°（或120°），设=x，∵==x，BC=a，∴EF=ax，由==，得EH=（1﹣x）a．∴S四边形EFGH=EF•EH•sin60°=ax•a（1﹣x）•=•x（1﹣x）≤•=．当且仅当x=1﹣x，即x=时等号成立，即E为AB的中点时，截面EFGH的面积最大为．点评：本题考查几何图形的证明与判定，几何体体积的求法，考查计算能力．20．（12分）（2015•湘西州校级一模）已知函数f（x）=log a（1﹣x）+log a（x+3）（0＜a＜1）（1）求函数f（x）的定义域；（2）求函数f（x）的零点；（3）若函数f（x）的最小值为﹣4，求a的值．考点：对数函数的值域与最值；对数函数的定义域；函数的零点．专题：综合题；配方法．分析：（1）根据对数的真数大于零，列出不等式组并求出解集，函数的定义域用集合或区间表示出来；（2）利用对数的运算性质对解析式进行化简，再由f（x）=0，即﹣x2﹣2x+3=1，求此方程的根并验证是否在函数的定义域内；（3）把函数解析式化简后，利用配方求真数在定义域内的范围，再根据对数函数在定义域内递减，求出函数的最小值log a4，得log a4=﹣4利用对数的定义求出a的值．解答：解：（1）要使函数有意义：则有，解之得：﹣3＜x＜1，则函数的定义域为：（﹣3，1）（2）函数可化为f（x）=log a（1﹣x）（x+3）=log a（﹣x2﹣2x+3）由f（x）=0，得﹣x2﹣2x+3=1，即x2+2x﹣2=0，∵，∴函数f（x）的零点是（3）函数可化为：f（x）=log a（1﹣x）（x+3）=log a（﹣x2﹣2x+3）=log a[﹣（x+1）2+4]∵﹣3＜x＜1，∴0＜﹣（x+1）2+4≤4，∵0＜a＜1，∴log a[﹣（x+1）2+4]≥log a4，即f（x）min=log a4，由log a4=﹣4，得a﹣4=4，∴点评：本题是关于对数函数的综合题，考查了对数的真数大于零、函数零点的定义和对数型的复合函数求最值，注意应在函数的定义域内求解．21．（12分）（2014秋•元宝山区期末）如图，棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，（1）求证：AC⊥平面B1D1DB；（2）求证：BD1⊥平面ACB1（3）求三棱锥B﹣ACB1体积．考点：直线与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题．分析：（1）由AC⊥BD，知AC⊥BB1，由此能够证明AC⊥平面B1D1DB．（2）连接A1B，A1B⊥AB1，D1A1⊥AB1．由AB1⊥A1B，AB1⊥D1A1，A1B和D1A1是面A1BD1内的相交直线，所以AB1⊥面A1BD1，又BD1在面A1BD上，AB1⊥BD1，同理，AC⊥BD1．由此能够证明BD1⊥面ACB1．（3）三棱锥B﹣ACB1，也就是ABC为底，BB1为高的三棱锥．由此能求出三棱锥B﹣ACB1体积．解答：（1）证明：∵AC⊥BD，AC⊥BB1，∴AC⊥平面B1D1DB．（2）证明：连接A1B，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，面A1B1BA是正方形，对角线A1B⊥AB1，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，D1A1⊥面A1B1BA，AB1在面A1B1BA上，∴D1A1⊥AB1，∵AB1⊥A1B，AB1⊥D1A1，A1B和D1A1是面A1BD1内的相交直线，∴AB1⊥面A1BD1，又BD1在面A1BD1上，∴AB1⊥BD1，同理，D1D⊥面ABCD，AC在面ABCD上，D1D⊥AC，在正方形ABCD中对角线AC⊥BD，∵AC⊥D1D，AC⊥BD，D1D和BD是面BDD1内的相交直线，∴AC⊥面BDD1，又BD1在面BDD1上，∴AC⊥BD1，∵BD1⊥AB1，BD1⊥AC，AB1和AC是面ACB1内的相交直线∴BD1⊥面ACB1．（3）解：三棱锥B﹣ACB1，也就是ABC为底，BB1为高的三棱锥，三棱锥B﹣ACB1体积V=×AB×AD×BB1=．点评：本题考查空间几何体的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．22．（12分）（2014秋•元宝山区期末）已知函数f（x）=1﹣（1）证明f（x）是奇函数；（2）判断f（x）的单调性，并用定义证明；（3）求f（x）在[﹣1，2]上的最值．考点：奇偶性与单调性的综合．分析：（1）由解析式求出函数的定义域，再化简f（﹣x）并判断出与f（x）的关系，由函数的奇偶性的定义下结论；（2）先判断出函数的单调性，再利用函数的单调性的定义进行证明；（3）根据（2）证明的单调性和区间，求出函数的最大值和最小值．解答：解：（1）由题意得，f（x）的定义为R，且，则，所以f（x）是奇函数…（4分）（2）f（x）在（﹣∞，+∞）上是增函数，证明如下：设任意的x1，x2∈（﹣∞，+∞）且x1＜x2则，∵x1＜x2，∴＜0，则，即f（x1）﹣f（x2）＜0，∴f（x1）＜f（x2），∴f（x）在（﹣∞，+∞）上是增函数…（8分）（3）由（2）知，f（x）在[﹣1，2]上单调递增∴…（12分）点评：本题主要考查函数的单调性和奇偶性的证明方法：定义法，以及利用函数单调性求函数的最值问题，属于中档题．。