江苏张家港市后塍高中高三数学附加题(2)2011.5

江苏张家港市后塍高中高三数学附加题（2）2011.5
班级 姓名 得分
21.[选做题]在B 、C 、D 四小题中只能选做2题,每小题10分,计20分.
B ．选修4—2：矩阵与变换
若点A （2，2）在矩阵cos sin sin cos αααα-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
M 对应变换的作用下得到的点为B （－2，2），求矩阵M 的逆矩阵．
C.选修4 - 4：坐标系与参数方程
在极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()3π
θρ=∈R ，以极点为原点，极轴为x 轴的正
半轴建立平面直角坐标系，曲线C 的参数方程为2cos ,1cos 2αα
=⎧⎨=+⎩x y （α为参数），求直线l 与
曲线C 的交点P 的直角坐标.
D.选修4－5：不等式选讲 已知函数2
222
()()()()()3
a b c f x x a x b x c ++=-+-+-+（,,a b c 为实数）的最小值为m ，若23a b c -+=，求m 的最小值．
[必做题] 第22、23题,每小题10分,计20分.
22、如图，正四棱锥P ABCD -中，2,3AB PA ==，AC 、BD
相交于点O ，
求：（1）直线BD 与直线PC 所成的角；
（2）平面PAC 与平面PBC 所成的角
23、设数列{}n a 满足2111,n n a a a a a +==+，{}* | |2R N n M a n a =∈∈，≤．
（1）当(,2)a ∈-∞-时，求证：a ∉M ；
（2）当1(0,]4a ∈时，求证：a M ∈；
（3）当1
(,)4
a ∈+∞时，判断元素a 与集合M 的关系，并证明你的结论．
参考答案
21.B 、解：2222-⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦M ，即2cos 2sin 22sin 2cos 2αααα--⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦
，……………………………4分 所以cos sin 1,sin cos 1.αααα-=-⎧⎨+=⎩ 解得cos 0,sin 1.
αα=⎧⎨=⎩ …………………………………6分 所以0110M -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦．由1M M -=1001⎡⎤⎢⎥⎣⎦
，得10110M -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦．……………10分 C 、解:因为直线l 的极坐标方程为()3π
θρ=∈R
所以直线l 的普通方程为3y x =，……………………………………………３分 又因为曲线C 的参数方程为2cos ,1cos 2αα
=⎧⎨=+⎩x y （α为参数）
所以曲线C 的直角坐标方程为[]()212,22y x x =
∈-， ………………………６分 联立解方程组得0,0,x y =⎧⎨=⎩或23,6
x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，…………………………………………８分
根据x 的范围应舍去23,6
x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩,故P 点的直角坐标为(0,0)．……………10分 D 、解：因为2
222()()()()()3
a b c f x x a x b x c ++=-+-+-+ 2
2222()32()3
a b c x a b c x a b c ++=-++++++ 22223()3
a b c x a b c ++=-+++，………………………………2分 所以3
a b c x ++=时，()f x 取最小值222a b c ++， 即222m a b c =++，………………………………………………………………5分
因为23a b c -+=，由柯西不等式得
22222221(1)2()(2)9a b c a b c ⎡⎤+-+⋅++≥-+=⎣⎦，……………………8分21世纪教育网 所以222
9362
m a b c =++≥=， 当且仅当112a b c ==-，即333442
a b c ==-=，，时等号成立， 所以m 的最小值为32． …………………………………………………………10分
22、
23、证明：（1）如果2
a<-，则
1||2
a a
=>，a M
∉．………………………………………2分
（2）当
1
4
a
<≤时，
1
2
n
a≤（1
n
∀≥）．
事实上，〔1〕当1
n=时，
11 2
a a
=≤．设1
n k
=-时成立（2
k≥为某整数），
则〔2〕对n k
=，
2
2
1
111
242
k k
a a a
-
⎛⎫
++=
⎪
⎝⎭
≤≤．
由归纳假设，对任意n∈N*，|a n|≤1
2
＜2，所以a∈M． (6)
分
（3）当
1
4
a>时，a M
∉．证明如下：
对于任意1n ≥，14
n a a >>，且21n n a a a +=+．对于任意1n ≥，221111()244n n n n n a a a a a a a a +-=-+=-+--≥， 则114
n n a a a +--≥． 所以，1111()4
n n a a a a n a ++-=--≥． 当214
a n a ->-时，11()224n a n a a a a +-+>-+=≥，即12n a +>，因此a M ∉． …………………10分。