重庆市潼南县2015届高三文科数学数列单元能力测试(二)]
2015届高三下文科数学综合训练二参考答案
2015届高三（下）文科数学综合训练二参考答案一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13．8； 14． 15．1； 16．1(0,]3．三、解答题：（第22题14分，其他每题12分，共74分）17. 本题主要考等差数列、数列求和等基础知识；考查推理论证与运算求解能力，满分12分． 解：（I ）∵点(,)n n S 在函数2()f x x =的图象上，∴2.n S n = ················································································································ 1分∴当1n =时，111a S ==, ······················································································· 2分 当2n ≥时，1n n n a S S -=- ··················································································· 3分22(1)21n n n =--=- ································································· 4分 又11a =满足21,n a n =- ························································································ 5分 ∴2 1.n a n =- ·········································································································· 6分(II) ∵111(21)(21)n n n b a a n n +==⋅-⋅+ ·································································· 7分111()22121n n =--+，············································································ 9分 ∴12n n T b b b =++⋅⋅⋅+111111[(1)()()]23352121n n =-+-+⋅⋅⋅+--+ ·················································· 11分 11(1)221n =-+.21nn =+ ················································································ 12分 18．本题主要考查概率、统计等基础知识，考查数据处理能力、抽象概括能力、运算求解 能力以及应用意识，考查或然与必然思想、化归与转化思想．满分12分． 解：（I ）从统计的5年发电量中任取2年的基本事件为(7.4,7.0),(7.4,9.2),(7.4,7.9),(7.4,10.0),(7.0,9.2),(7.0,7.9),(7.0,10.0),(9.2,7.9),(9.2,10.0),(7.9,10.0) 共10个． ······························ 3分 （说明：若列出不足6个，不给分；若列出6个，不足10个且所列均正确者得1分） 其中2年发电量都低于8.0（亿千瓦时）的基本事件为 (7.4,7.0),(7.4,7.9),(7.0,7.9),共3个． ······························································· 5分所以这2年发电量都低于8.0（亿千瓦时）的概率3.10P = ·································· 6分（II ）∵1500140019001600210085001700,55x ++++=== ································ 7分 7.47.09.27.910.041.58.3.55y ++++=== ····························································· 8分 又直线 0.004y x a =+ 过点(,)x y ， ····································································· 9分 ∴8.30.0041700,a =⨯+ 解得 1.5a =，∴0.004 1.5y x =+． ······························································································· 10分 当1800x =时，0.0041800 1.58.79.0y =⨯+=<,··················································· 11分 所以不能完成发电任务，缺口量为0.3（亿千瓦时）． ········································· 12分 19．本题主要考查空间线与线、线与面、面面的位置关系等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力，满分12分． 证法一：（I ）连接1AC 交1A C 于点N ，则N 为1A C 的中点．……1分∵M 为AB 的中点，∴1//MN BC ．……………………………………………3分又∵1MN ACM ⊂平面， ………………………………4分 11BC ACM ⊄平面， ……………………………………5分 ∴11//BC ACM 平面．……………………………………6分 （II ）∵CA CB =，M 为AB 的中点，∴CM AB ⊥． …………………………………………7分 ∵1A 在平面ABC 的射影为M ，∴1A M ACB ⊥平面，……………………………………8分 ∴1A M AB ⊥，…………………………………………9分 又1CMA M M =，∴1AB ACM ⊥平面，…………………………………10分 又11AB ABB A ⊂平面，………………………………11分 ∴111.ACM ABB A ⊥平面平面 …………………………12分 证法二：（I ）取11A B 中点N ，连结1,BN C N ，………1分∵M 为AB 的中点，∴1A N MB =，1A N //MB∴四边形1A MBN 为平行四边形，∴1//BN A M ．…………………………………………2分 同理可得1//C N CM ，又11C N ACM ⊄平面，1CM ACM ⊂平面，…………3分 ∴11//C N ACM 平面．…………………………………4分 同理1//BN ACM 平面． ∵1C NBN N =，∴11//BC N ACM 平面平面，……………………………5分 ∵11BC BC N ⊂平面，A 1ABC 1CMB 1N证法二图B 1 A 1 ABC 1 C MN证法一图∴11//BC ACM 平面． …………………………………6分 （II ）同解法一．20．本题主要考查三角恒等变换、三角函数的图象与性质、解三角形等基础知识；考查运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想．满分12分． 解：（I ）依题意得：1()2cos 222f x x x x ωωω=+- ····························································· 2分12cos 22x x ωω=+ ················································································· 3分 sin(2)6x πω=+， ···························································································· 4分 ∵0ω>，∴222T ππω==，∴12ω=， ··············································································································· 5分∴()sin()6f x x π=+． ······························································································ 6分（II ）∵0A π<<， ∴7666A πππ<+<． ∵()sin()6f x x π=+在x A =时取得最值，∴,623A A πππ+==． ···························································································· 8分∵1sin 2ABC S bc A ∆===，∴6bc =． ··············································································································· 9分 ∵5b c +=，∴2222cos a b c bc A =+- ·························································································· 10分22b c bc =+- 2()3b c bc =+- 2518=-7=， ·································································································· 11分∴a = ················································································································· 12分 21．本题主要考查函数、导数、不等式等基本知识；考查运算求解能力、推理论证能力；考查化归转化思想、函数方程的思想、数形结合思想．满分12分．解法一：（I ）()1,x f x e '=- ···················································································· 1分由()0f x '>可得0,x >；由()0f x '<可得0,x < ············································ 2分 ∴()f x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增． ······································ 3分(II) (),x g x e x '=- ································································································· 4分 由（I ）知()g x '在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增， ∴()(0)10,g x g ''≥=> ······························································································ 5分∴()g x 在[0,)+∞上单调递增， ··············································································· 6分 ∴[0,)x ∈+∞时，min ()(0)0.g x g == ······································································· 7分 （III ）由(II) 知当0x >时，()0,g x >即0x >时，211,2x e x >+ ····················································································· 8分设函数221311()1(ln )ln ,2222h x x x x x =+-+=--则211()(0),x h x x x x x-'=-=> ············································································· 9分 由()0h x '>可得1x >；由()0h x '<可得01,x <<∴()h x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增． ··········································· 10分 ∴()(1)0,h x h ≥=∴0x >时，2131ln ,22x x +≥+ ·············································································· 11分∴3ln .2x e x >+ ······································································································ 12分解法二：（I ）(II)同解法一．（III ）设3()ln ,2x h x e x =--则1()(0),x h x e x x '=-> ························································································· 8分∵1()x h x e x '=-在 (0,)+∞上单调递增，且121()20,(1)10,2h e h e ''=-<=-> ()h x 在1(,1)2上连续， ·································· 9分∴存在唯一01(,1)2x ∈，使得0()0h x '=，即00001,ln ,x e x x x ==-························· 10分∴0(0,)x x ∈时，()0,h x '<()h x 在0(0,)x 上单调递减，0(,)x x ∈+∞时，()0,h x '>()h x 在0(,)x +∞上单调递增， …………………………11分∴0000031331()()ln 20,2222x h x h x e x x x ≥=--=+->-=>∴()0h x >， 即3ln .2x e x >+················································································ 12分 22．本题主要考查直线、抛物线、椭圆等基础知识及直线与抛物线的位置关系；考查运算求解、抽象概括能力，化归与转化思想．满分14分．解法一：（I ）∵抛物线22(0)x py p =>的焦点为(0,).2pF ···································· 1分椭圆22143y x +=的焦点为(0,1)± ············································································ 2分 ∴1,2,2pp == ∴抛物线的方程为24.x y = ····················································································· 3分（II ）（ⅰ）联立21,4y kx x y=+⎧⎨=⎩得2440,x kx --=······················································ 4分 216160,k ∆=+>设1122(,),(,)A x y B x y则12124,4x x k x x +=⋅=-， ···················································································· 5分由24x y =，得2,,42x x y y '==所以过A 的切线PA 的方程为：1111(),2y y x x x -=- 整理得： 2111124y x x x =- ⋅⋅⋅① …………………………………6分 同理切线PB 的方程为：2221124y x x x =- ⋅⋅⋅②联立①②解得122,1,2P P x xx k y +===-即(2,1).P k - ········································ 7分当0k =时，(0,1),(0,1),P F -有.PF AB ⊥……………………………………………8分当0k ≠时，1(1)1,02PF k k k--==--有.PF AB ⊥所以0PF AB ⋅=为定值． ······················································································ 9分（ⅱ）由（ⅰ）可设直线PF 的方程为：11(0)y x k k=-+≠．…………………10分由211,4y x k x y ⎧=-+⎪⎨⎪=⎩得2440,x x k +-= 设223434(,),(,)44x x C x D x则34344,4,x x x x k+=-⋅=-…………………11分∵(2,1)P k -，(0,1).F∴PC FD PD CF ⋅-⋅2222334444331111(2,1)(,1)(2,1)(,1)4444x k x x x x k x x x =-+⋅---+⋅--2222343443431111(2)(1)(1)(2)(1)(1)4444x k x x x x k x x x =-⋅++⋅-+-++⋅-………12分22343434122()28x x k x x x x =-++-24182()(4)28k k =---+⋅--=0∴PC FD PD CF ⋅=⋅， ·························································································· 13分 又,,,P C F D 共线，∴||||||||.PC FD PD CF ⋅=⋅ ···················································································· 14分。
2015年重庆高考数学文科试卷带详解
2015普通高等学校招生全国统一考试(重庆卷)数学(文史类)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{1,2,3},{1,3}A B ==，则A B ∩= （ ） A.{2} B.{1,2} C.{1,3} D. {1,2,3} 【参考答案】C.【测量目标】集合的运算.【试题分析】由交集的定义得{1,3}A ∩=B . 故选C.2. “1x =”是“2210x x -+=”的 （ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C.必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【参考答案】A. 【测量目标】充要条件.【试题分析】由“1x =”显然能推出“2210x x -+=”，故条件是充分的；又由“2210x x -+=”可得2(1)01x x -=⇒=，所以条件也是必要的；故选A.3. 函数22()log (23)f x x x =+-的定义域是 （ ）A.[—3,1]B.（—3,1）C.(,3]-∞-∞∩[1,+)D. (,3)-∞-∞∪(1,+) 【参考答案】D.【测量目标】函数的定义域与二次不等式.【试题分析】由2230(3)(1)0x x x x +->⇒+->解得3x <-或1x >； 故选D.4. 重庆市2013年各月的平均气温（°C ）数据的茎叶图如下第4题图则这组数据中的中位数是 ( ) A. 19 B. 20 C. 21.5 D.23 【参考答案】B.【测量目标】茎叶图与中位数.【试题分析】由茎叶图知，第六第七个数据均为20，所以中位数为20 故选B.5. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为第5题图A.123+πB.136π C.73π D.52π【参考答案】B. 【测量目标】三视图.【试题分析】由三视图可知该几何体是由一个底面半径为1，高为2的圆柱，再加上一个半圆锥：其底面半径为1，高也为1；构成的一个组合体，故其体积为221132166ππ⨯1⨯+⨯π⨯1⨯=；故选B. 6. 若11tan ,tan()32a ab =+=,则tan b =( ) A.17 B.16 C.57D. 56【参考答案】A.【测量目标】正切差角公式.【试题分析】11tan()tan 123tan tan[()]111tan()tan 7123a b a b a b a a b a -+-=+-===+++⨯；故选A.7. 已知非零向量,a b r r 满足||4||,(2)b a a a b =+r r r r r且⊥则a r 与b r 的夹角为 （ ）A.3π B.2πC.23πD.56π【参考答案】C.【测量目标】向量的数量积运算及向量的夹角.【试题分析】由已知可得2=0a a b a a b ⋅⇒+⋅=r r r r r r（2+）02；设a r 与b r 的夹角为θ，则有22||||||cos 0a a b θ+⋅=⇒r r r 222||1cos 24||a a θ=-=-r r ，又因为[0,]θ∈π，所以23θπ=； 故选C.8. 执行如下图所示的程序框图，则输出s 的值为 （ ）第8题图A.34 B.56 C.1112D. 2524【参考答案】D. 【测量目标】程序框图.【试题分析】初始条件：s =0,k =0;第1次判断0<8,是，k =2,s =11022+=； 第2次判断2<8,是，k =4,s =113244+=；第3次判断4<8,是，k =6, s =31114612+=；第4次判断6<8,是，k =6,s =1112512824+=； 第5次判断8<8,否，输出s =2524.9. 设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点是F ，左、右顶点分别是12,A A ,过F 做12A A 的垂线与双曲线交于B ，C 两点，若12A B A C ⊥,则双曲线的渐近线的斜率为 （ ）A.12±B.2±C.1±D.【参考答案】C.【测量目标】双曲线的几何性质.【试题分析】由已知得右焦点F （c ,0）（其中222,0c a b c =+>）,2212(,0),(,0),(,),(,)b b A a A a B c C c a a --;从而21(,)b A B c a a =+-uuu r ，22(,)b A C c a a =-uuu r ，又因为12A B A C ⊥,即22()()()()0b b c a c a a a -⋅++-⋅=；化简得2211b ba a=⇒=±，即双曲线的渐进线的斜率为1±；故选C.10. 若不等式组2022020x y x y x y m +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩,表示的平面区域为三角形，且其面积等于43，则m 的值为 （ ）A.3-B. 1C.43D.3 【参考答案】B. 【测量目标】线性规划. 【试题分析】第10题图如图，由于不等式组2022020x y x y x y m +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩,表示的平面区域为三角形ABC ，且其面积等于43，再注意到直线AB ：x +y -2=0与直线BC :x -y +2m =0互相垂直，所以三角形ABC 是直角三角形；易知，A （2，0），B （1-m ,m +1）,C(2422,33m m -+); 从而11224=|22||1||22|||2233ABC m S m m m ++⋅+-+⋅=△，化简得：2(1)4m +=，解得m =-3,或m =1；检验知当m =-3时，已知不等式组不能表示一个三角形区域，故舍去；所以m =1; 故选B.二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填写在答题卡相应位置上.11．复数(12i)i +的实部为________. 【参考答案】-2【测量目标】复数运算.【试题分析】由于(1+2i)i=i+22i =-2+i,故知其实部为-2.12. 若点P （1，2）在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P 处的切线方程为___________. 【参考答案】x +2y -5=0 【测量目标】圆的切线.【试题分析】由点P （1，2）在以坐标原点为圆心的圆上知此圆的方程为：225x y +=，所以该圆在点P 处的切线方程为125x y ⨯+⨯=，即x +2y -5=0.13. 设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ,且12,cos 4a C ==-，3sin 2sin A B =,则c =________. 【参考答案】4【测量目标】正弦定理与余弦定理.【试题分析】由3sin 2sin A B =及正弦定理知：3a =2b ,又因为a =2,所以b =3； 由余弦定理得：22212cos 49223()164c a b ab C =+-=+-⨯⨯⨯-=，所以c =4; 14. 设,0,5ab a b >+=,________. 【参考答案】【测量目标】基本不等式.【试题分析】由2ab ≤22a b +两边同时加上22a b +得2()a b +≤222()a b +两边同时开方得：a b +0a >,0b >）且当且仅当a =b 时取“=”）；==13a b +=+，即73,22a b ==时，“=”成立）15. 在区间[0,5]上随机地选择一个数p ，则方程22320x px p ++-=有两个负根的概率为________. 【参考答案】23. 【测量目标】复数运算.【试题分析】方程22320x px p ++-=有两个负根的充要条件是21212=4p 4(32)020320p x x p x x p ⎧--≥⎪+=-<⎨⎪=->⎩V 即213p <≤或2p ≥；又因为[0,5]p ∈，所以使方程22320x px p ++-=有两个负根的p 的取值范围为2(,1][2,5]3∪，故所求的概率2(1)(52)23503-+-=-.三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．(本小题满分13分，（1）小问7分，（2）小问6分) 已知等差数列{}n a 满足3a =2，前3项和3S =92. （1）求{}n a 的通项公式；（2）设等比数列{}n b 满足11b a =，415b a =，求{}n b 前n 项和n T . 【测量目标】(1)数列的通项公式；(2) 等比数列的前n 项和.【试题分析】（1）设{}n a 的公差为d ，则由已知条件得1132922,322a d a d ⨯+=+= 化简得11322,2a d a d +=+=解得111,2a d ==, 故通项公式112n n a -=+，即12n n a +=.(2)由（1）得14151511,82b b a +====. 设{}n b 的公比为q ,则3418b q b ==,从而q =2.故{}n b 的前n 项和 1(1)1(12)21112n n n n b q T q -⨯-===---. 17．(本小题满分13分，（1）小问10分，（2）小问3分)随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长.设某地区城乡居民人民币储蓄存款（年底余额）如下表：（1）求y 关于t 的回归方程ˆˆˆybt a =+ （2）用所求回归方程预测该地区2015年（t =6）的人民币储蓄存款.附：回归方程ˆˆˆybt a =+中 1122211()(),()ˆ.nni i i ii i n ni i i i x x y y x y nxyb x x x nx ay bx ====⎧---⎪⎪==⎨--⎪⎪=-⎩∑∑∑∑【测量目标】：线性回归方程. 【试题分析】(1)列表计算如下ii ti y2i ti i t y1 1 5 1 52 2 6 4 123 3 7 9 214 4 8 16 325 5 10 25 50 ∑153655120这里111151365,3,7.255n n i i i i n t t y y n n =========∑∑ 又22211555310,120537.212.nnny iny i i i i l tnt l t y nt y ===-=-⨯==-=-⨯⨯=∑∑从而12ˆˆˆ1.2,7.2 1.23 3.610ny ny l b a y bt l ====-=-⨯=.故所求回归方程为ˆ 1.2 3.6yt =+. (2)将t =6代入回归方程可预测该地区2015年的人民币储蓄存款为ˆ 1.26 3.610.8y=⨯+= 18．(本小题满分13分，（1）小问7分，（2）小问6分)已知函数21()sin 22f x x x =. (1)求f （x ）的最小周期和最小值；(2)将函数f （x ）的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数g (x )的图象.当x ∈[,]2ππ时，求g (x )的值域.【测量目标】(1)三角函数的性质和恒等变换；(2)正弦函数的图象及性质. 【试题分析】(1) 211()sin 2sin 2(1cos 2)222f x x x x x =-=-+1sin 22sin(2)22232x x x π=--=--. ,因此()f x 的最小正周期为π，最小值为22+-.(2)由条件可知：()sin()3g x x π=-.当[,]2x π∈π时，有[,]363x ππ2π-=，从而sin()3x π-的值域为1[,1]2，那么sin()3x π--的值域为.故g()x 在区间[,]2ππ上的值域是. 19．(本小题满分12分，（1）小问4分，（2）小问8分) 已知函数32()()f x ax x a =+∈R 在x =43-处取得极值. (1)确定a 的值；(2)若()()e x g x f x =，讨论的单调性.【测量目标】(1)导数与极值；(2)导数与单调性. 【试题分析】 (1)对()f x 求导得2()32f x ax x '=+因为f (x )在43x =-处取得极值，所以4()03f '-=， 即16416832()09333a a ⨯+⨯-=-=,解得12a =.(2)由(1)得，321()e 2x g x x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭, 故232323115()2e e 2e 2222x x x g x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫'=+++=++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=1(1)(4)e 2x x x x ++令()0g x '=，解得0,14x x x ==-=-或. 当4x <-时，()0g x '<,故g (x )为减函数； 当41x -<<-时，()0g x '>,故g (x )为增函数； 当10x -<<时，()0g x '<,故g (x )为减函数； 当0x >时，()0g x '>,故g (x )为增函数；综上知g (x )在(,4)-∞-和(-1,0)内为减函数，(4,1)(0,)--+∞和内为增函数. 20．(本小题满分12分，（1）小问5分，（2）小问7分) 如图，三棱锥P-ABC 中，平面PAC ⊥平面ABC ，∠ABC =2π，点D 、E 在线段AC 上，且AD =DE =EC =2，PD =PC =4，点F 在线段AB 上，且EF //BC .(1)证明：AB ⊥平面PFE.(2)若四棱锥P-DFBC 的体积为7，求线段BC 的长.第20题图【测量目标】(1)空间线面垂直关系；(2)锥体的体积；(3)方程思想.【试题分析】（1）证明：如图.由DE =EC ，PD =PC 知，E 为等腰△PDC 中DC 边的中点，故PE ⊥AC ，又平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC ∩平面ABC =AC ，PE ⊂平面PAC ，PE ⊥AC ，所以PE ⊥平面ABC ，从而PE ⊥AB .因,2ABC EF BC π∠=∥,故AB ⊥EF . 从而AB 与平面PEF 内两条相交直线PE ，EF 都垂直， 所以AB ⊥平面PFE .(2)解：设=BC x ,则在直角△ABC 中，AB =从而1122ABC S AB BC =⋅=△由EF ∥BC 知23AF AE AB AC ==，得△AEF ∽△ABC ,故224==39AEF ABC S S △△（）， 即49AEF ABC S S =△△. 由12AD AE =,11421==22999AFD AFE ABC ABC S S S S =⋅=△△△△从而四边形DFBC的面积为117=2918DFBC ABC ADF S S S =-=△△.由(1)知，PE ⊥平面ABC ，所以PE 为四棱锥P-DFBC 的高. 在直角△PEC 中,PE ==体积11773318P DFBC DFBC V S PE -=⋅⋅=⨯=, 故得42362430x x -+=，解得22927x x ==或，由于x >0，可得3x x ==或所以3BC =或BC =21、(本小题满分12分，（1）小问5分，（2）小问7分)如图，椭圆22221x y a b +=（a >b >0）的左右焦点分别为12,F F ,且过2F 的直线交椭圆于P ,Q 两点，且PQ ⊥1PF .(1)若1||2PF =，2||2PF =，求椭圆的标准方程. (2)若|PQ |=1||PF λ，且34≤λ≤43，试确定椭圆离心率的取值范围.第21题图【测量目标】(1)椭圆的标准方程；(2)椭圆的定义；(3)函数与方程思想. 【试题分析】标准文案大全 (1)由椭圆的定义，122||||(2(24a PF PF =+=+=,故a =2.设椭圆的半焦距为c ，由已知12PF PF ⊥，因此122||c F F ====c =从而1b == 故所求椭圆的标准方程为2214x y +=. (2)如图，由11,||||PF PQ PQ PF λ=⊥,得11|||QF PF ==由椭圆的定义,1212||||2,||||2PF PF a QF QF a +=+=,进而11||||||4PF PQ QF a ++=于是1(1||4PF a λ+=解得1||PF =21||2||PF a PF =-=由勾股定理得222221212||||(2)4|PF |PF F F c c +===,从而2224c ⎛⎫+=, 两边除以24a2e =,若记1t λ=+，则上式变成22224(2)111842t e t t +-⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭. 由34≤43λ≤，并注意到1λ+λ的单调性，得3≤t ≤4，即11143t ≤≤，进而212e ≤≤59，即2e ≤。
重庆市铜梁中学校2015届高三下学期模拟测试(一)数学(文)试题
命题人：李超一、选择题1. 集合，，则（）A．{1} B．{0} C．{0，1} D．{–1，0，1}2．设是等差数列，若，则等于（）A．6 B．8 C．9 D．163．“cos x＝0”是“sin x＝1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．已知向量，其中，且，则向量与的夹角是（）A．B．C．D．5．执行如图所示的程序框图,输出的S值为时，则输入的的值为（）A．B．C．D．6．将函数的图象向左平移个单位后得到的函数图象关于点成中心对称，那么的最小值为（）A．B．C．D．7．一个几何体的三视图如右图所示(单位长度: cm), 则此几何体的表面积是（）A．B．C．D．8．为坐标原点,点的坐标为,若点的坐标满足,则的最大值为 （ ） A ．B ．C ．D ．9．以双曲线a2x2－b2y2＝1(a >0，b >0)中心O (坐标原点)为圆心，焦距为直径的圆与双曲线交于M 点 （第一象限），F 1、F 2分别为双曲线的左、右焦点，过点M 作x 轴垂线,垂足恰为OF 2的中点，则双曲线的离心率为（ ） A ．B ．C ．D ．210．定义在R 上的奇函数，当≥0时，则关于的函数（0＜＜1）的所有零点之和为（ ）A ．1-B ．C ．D ．二、填空题11．已知是虚数单位，则复数的共轭复数是 .12．已知，则的值为_________.13．定义在上的函数满足，则的值为 . 14．已知圆,直线上动点,过点作圆的一条切线,切点为,则的最小值为________．15．已知正实数，满足，且恒成立，则的最大值是. 三、解答题16． （13分）在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1=2，且2a 1，a 3，3a 2成等差数列． （1） 求等比数列{a n }的通项公式；（2） 若数列{b n }满足b n =11﹣2log 2a n ，求数列{b n }的前n 项和T n 的最大值． 17．（本小题满分13分）某校高三年级文科学生600名，从参加期末考试的学生中随机抽出某班学生（该班共50名同学），并统计了他们的数学成绩（成绩均为整数且满分为150分），数学成绩分组及各组频数如下表：（1）写出a、b的值；（2）估计该校文科生数学成绩在120分以上学生人数；（3）该班为提高整体数学成绩，决定成立“二帮一”小组，即从成绩在[135，150]中选两位同学，来帮助成绩在[45，60）中的某一位同学．已知甲同学的成绩为56分，乙同学的成绩为145分，求甲乙在同一小组的概率．18．（本小题满分13分）已知向量，设函数（1）求函数的单调递增区间；（2）在中，角的对边分别为，且满足，，求的值.19．（本小题满分12分）已知函数（1）若，求在点处的切线方程;（2）是否存在实数，使得的极大值为3，若存在，求出的值；若不存在，说明理由。
2015届高三质检试卷数学(文) Word版含答案
2015年永安市普通高中毕业班质量检查文 科 数 学本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）．本试卷共6页．满分150分．考试时间120分钟． 注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．考生作答时，将答案答在答题卡上．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内 作答，超出答题区域书写的答案无效．在草稿纸、试题卷上答题无效．3．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标记； 非选择题答案使用0．5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔 迹清楚．4．保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 参考公式：样本数据12,x x ，…，n x 的标准差 锥体体积公式s = 13V Sh =其中x -为样本平均数 其中S 为底面面积，h 为高 柱体体积公式 球的表面积、体积公式V Sh = 2344,3S R V R ==ππ其中S 为底面面积，h 为高 其中R 为球的半径第I 卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若i 为虚数单位，则复数()2i i -=等于( )(A)2i - (B)12i -+ (C)2i + (D)12i + 2．已知命题p ：x ∀∈R ，sin 1x ≤，则p ⌝为( )(A)x ∀∈R ，sin 1x ≥ (B)x ∀∈R , sin 1x > (C)0x ∃∈R , 0sin 1x ≥ (D)0x ∃∈R ，0sin 1x >3．设集合{}2log P x y x ==， {}3Q y y x ==，则P Q ⋂等于( )(A)R (B)[)∞+0 (C)()+∞,0 (D)[)+∞,1 4．已知直线1l :11y k x =+和直线2l ：2y k x b =+，则“12k k =”是“12//l l ”的( )(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 5．将sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象向右平移12π个单位，所得函数图象的一条对称轴的方程是( ) (A)12x π=(B)6x π=(C)3x π=(D)12x π=-6．如右图，在ABC ∆中，已知3BC DC =，则AD 等于( )(A)1233AB AC + (B) 1233AB AC -(C) 2133AB AC + (D)2133AB AC - 7．执行右边的程序框图，则输出的结果是( )(A)73 (B)94 (C)115 (D)1368．设l ，m ，n 为不同的直线，α，β为不同的平面，则正确的是( ) (A)若αβ⊥，l α⊥，则//l β (B)若αβ⊥，l α⊂，则l β⊥ (C)若l m ⊥，m n ⊥，则//l n(D)若m α⊥，//n β且//αβ，则m n ⊥9．已知椭圆C ：22221x y a b +=(0)a b >>的左、右焦点分别为1F 、2F ，离心率为3，过2F 的直线l 交C 于A 、B 两点，若1AF B ∆的周长为12，则C 的方程为( )(A)22132x y += (B)2213x y += (C)221128x y += (D)22196x y += 10．函数1sin y x x=-的图象大致是( )11．已知函数()()32212015,3f x x ax b x a b R =+++∈，若从区间[]1,3中任取的一个数a ，从区间[]0,2中任取的一个数b ，则该函数有两个极值点的概率为( )(A)18 (B)34 (C)78 (D)8912．对于函数()y f x =（x D ∈），若存在常数c ，对于任意的1x D ∈，存在唯一的2x D ∈，使得()()122f x f x c +=，则称函数()f x 在D 上的算术平均数为c ．已知函数()f x = ln x ，[]2,8x ∈，则()f x 在[]2,8上的算术平均数为( )(A)ln 2 (B)ln 4 (C)ln5 (D)ln8第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡相应位置． 13．为了了解某市高三学生的身体发育情况，抽测了该市50名高三男生的体重（kg ），数据得到的频率分布直方图如右图．根据右图可知这50名男生中体重在[]56.5,60.5的人数是 ．14．若函数()()220()0x ax x f x x x x ⎧+<⎪=⎨-+≥⎪⎩是奇函数，则实数=a ． 15．在钝角ABC ∆中，||BC =||cos =||cos AC B BC A ，则AC = ．16．已知甲、乙、丙、丁四位同学，在某个时段内每人互不重复地从语文、数学、英语、文综这四个科目中选择一科进行复习．现有下面五种均为正确的说法：A ．甲不在复习语文 ，也不在复习数学；B ．乙不在复习英语 ，也不在复习语文；C ．丙不在复习文综 ，也不在复习英语；D ．丁不在复习数学 ，也不在复习语文；E ．如果甲不在复习英语，那么丙不在复习语文． 根据以上信息，某同学判断如下：①甲在复习英语 ②乙在复习文综 ③丙在复习数学 ④丁在复习英语 则上述所有判断正确的序号是 ．三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 为等差数列，49a =，且8222a a +=．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项；（Ⅱ）若点(),n n n A a b 在函数3x y =的图像上，求数列{}n b 的前n 项和n S .18．（本小题满分12分）下列两图（图中点与年份对应）分别表示的是某市从2003年到2015年的人均生活用水量和常住人口的情况：y（Ⅰ）若从2003年到2015年中随机选择连续的三年进行观察，求所选的这三年的人均用水量恰好依次递减的概率；（Ⅱ）由图判断，从哪年开始连续四年的常住人口的方差最大？并结合两幅图表推断该市在2012年到2015年这四年间的总生活用水量．．．．．．的增减情况．（结论不要求证明）19．（本小题满分12分）如图，在三棱锥P ABC-中，PA⊥平面ABC，AC BC⊥，D为侧棱PC上一点，它的正（主）视图和侧（左）视图如图所示．（Ⅰ）证明：AD⊥平面PBC；（Ⅱ）求三棱锥D ABC-的体积．20．（本小题满分12分）如图，A是单位圆与x轴正半轴的交点，点P、B在单位圆上，设AOPθ∠=，AOBα∠=，且OQ OA OP=+．（Ⅰ）记四边形OAQP的面积为S，当0θπ<<时，求OA OQ S+的最大值及此时θ的值；（Ⅱ）若2παk≠，()k k Zθπ≠∈，且OB∥OQ，求证：tan tan2θα=．侧（左）视图正（主）视图PDCBA22x21．（本小题满分12分）设抛物线Γ：22(0)x py p =>的准线被圆O ：224x y +=（Ⅰ）求抛物线Γ的方程；（Ⅱ）设点F 是抛物线Γ的焦点，N 为抛物线Γ上的一动点，过N 作抛物线Γ的切线交圆O 于P 、Q 两点，求FPQ ∆面积的最大值.22．（本小题满分14分） 已知函数1()ln ()f x a x a R x=+∈. （Ⅰ）当2a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）是否存在实数a ，使得函数()()2g x f x x =-在(0,)+∞上单调递减？ 若存在， 求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由； （Ⅲ）当0a >时，讨论函数()y f x =零点的个数．2015年永安市普通高中毕业班质量检查 文科数学试题参考答案及评分标准一、选择题1. D2. D 3．C 4．B 5．D 6．A 7.B 8. D 9.D 10．A 11.C 12.B 二、填空题① 三、解答题17.解：（Ⅰ）法一：设{}n a 的公差为d ，则4139a a d =+=，11722a d a d +++= 解得13a =，d 2= ………………4分所以12+=n a n ………………6分法二：由2822a a +=得511a = ………………2分又49a =所以{}n a 的公差为d ＝54a a -＝２ ………………4分 所以4(4)21n a a n d n =+-=+ ………………6分（Ⅱ）由点(),n n n A a b 在函数3x y =的图像上得2133n a n n b +==所以23121393n n n n b b +++== ，211327b +==所以{}n a 是以27为首项，以9为公比的等比数列………………10分 所以12n n S b b b =+++27(19)27(91)198n n --==- ………………12分 18.解：（Ⅰ）在13年中共有11个连续的三年………………3分 其中只有2007至2009和2010至2012两个连续三年的 人均用水量符合依次递减………………6分 所以随机选择连续的三年进行观察，所选的这三年的人均用水量恰是依次递减的概率为211………………8分 （Ⅱ）2009至2012连续四年的常住人口的方差最大………………10分 2012至2015四年间的总生活用水量是递增的．………………12分 19.解：：（Ⅰ）因为PA ⊥平面ABC ，所以PA BC ⊥，又AC BC ⊥，所以BC ⊥平面PAC ，所以BC AD ⊥．………3分 由三视图可得，在PAC ∆中，4PA AC ==，D 为PC 中点， 所以AD PC ⊥，所以AD ⊥平面PBC ………………6分（Ⅱ）由三视图可得4BC =，由⑴知90ADC ∠=︒，BC ⊥平面PAC ………………9分 又三棱锥D ABC -的体积即为三棱锥B ADC -的体积，所以，所求三棱锥的体积111164443223V =⨯⨯⨯⨯⨯=………………12分20. 解:（Ⅰ）由已知)sin ,(cos ),0,1(θθP AOQ OA OP =+，∴(1cos ,sin )OQ θθ=+ ………………3分又,sin θ=SOQABC DP∴sin cos 1)14OA OQ S πθθθ⋅+=++=++)0(πθ<<故S +⋅的最大值是12+，此时4πθ=………………6分（Ⅱ）∵(1cos ,sin )OA OP θθ+=+，OB ∥()OA OP +， ∴cos sin (1cos )sin 0αθθα-+=………………9分 又2k πα≠，k θπ≠()k Z ∈， ∴sin tan 1cos θαθ=+22sin cos22tan 22cos 2θθθθ==………………12分 21.解:（Ⅰ）因为抛物线Γ的准线方程为2p y =-， 且直线2p y =-被圆O ：224x y +=，所以22()42p =-，解得1p =， 因此抛物线Γ的方程为22x y =………………4分（Ⅱ）设N （2,2t t ），由于'y x =知直线PQ 的方程为：2()2t y t x t -=-.即22t y tx =-………………6分因为圆心O 到直线PQ2所以|PQ|=7分设点F 到直线PQ 的距离为d，则2d ==8分 所以，FPQ ∆的面积S 12PQ d =⋅===≤=11分当t =±=”，经检验此时直线PQ 与圆O 相交，满足题意.综上可知，FPQ ∆12分22．解:（Ⅰ）当2a =时，1()2ln f x x x=+，(1)1f =， 所以221()f x x x'=-，(1)1f '=． 所以切线方程为y x =． ……………………3分（Ⅱ）存在.因为()()2g x f x x =-在(0,)+∞上单调递减，等价于21()20a g x x x '=--≤在(0,)+∞恒成立……………………5分 变形得12a x x≤+ (0)x >恒成立……………………6分而12x x +≥=（当且仅当12x x=，即x =时，等号成立）．所以a ≤． ……………………8分 （Ⅲ）21()ax f x x -'=． 令()0f x '=，得1x a =……………………9分 所以min ()=()f x f a=ln(1ln )a a a a a+=-……………………10分 （ⅰ）当0a e <<时，min ()0f x >，所以()f x 在定义域内无零点； （ⅱ）当a e =时，min ()0f x =，所以()f x 在定义域内有唯一的零点； （ⅲ）当a e >时，min ()0f x <，① 因为(1)10f =>，所以()f x 在增区间1(,)a+∞内有唯一零点； ② 21()(2ln )f a a a a=-， 设()2ln h a a a =-，则2()1h a a'=-， 因为a e >，所以()0h a '>，即()h a 在(,)e +∞上单调递增， 所以()()0h a h e >>，即21()0f a>， 所以()f x 在减区间1(0,)a内有唯一的零点． 所以a e >时()f x 在定义域内有两个零点．综上所述：当0a e <<时，()f x 在定义域内无零点； 当a e =时，()f x 在定义域内有唯一的零点；当a e >时，()f x 在定义域内有两个零点．……………………14分 （若用其他方法解题，请酌情给分）。
中学2015届高三下学期第二次模拟考试数学(文)试题
（第6题图）重庆市巴蜀中学2015届高三下学期第二次模拟考试数学（文）试题 一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分.) 1.i 为虚数单位，若()i i z 431-=+，则=z （ ） A 、217+-i B 、217-i C 、217+i D 、271i- 2.在等差数列{}n a 中，11=a ，1473-=+a a ，则=10a （ ）A 、16-B 、17-C 、18-D 、19- 3.命题：“存在0x ，使得00sin x x <”的否定为（ ）A 、存在0x ，使得00sin x x >B 、存在0x ，使得00sin x x ≥C 、对任意R x ∈，都有x x >sinD 、对任意R x ∈，都有x x ≥sin4.重庆巴蜀中学高三的某位学生的10次数学考试成绩的茎叶图如图所示，则该生数学成绩在()140,135内的概率为（ ） A 、3.0 B 、4.0 C 、5.0 D 、6.0 5.函数x y ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=211的值域为（ ） A 、[)+∞,0 B 、()1,0 C 、[)1,0 D 、[]1,0 6.执行右图所示的程序框图，则输出s 的值为（ ） A 、43 B 、54 C 、65D 、57.某几何体的三视图如图所示, 则其表面积为（ ）12 3 713 5 6 6 814 0 3 4 9(第4题图) 第4题图 主视图第7题图侧视图俯视图A 、225+π B 、3215++π C 、325+π D 、2215++π 8.已知双曲线12222=-by a x ()0,0>>b a ，右焦点为F ，过F 作一条渐近线的垂线，垂足为M ，O 为坐标原点，若OMF ∆面积为283c （其中c 为半焦距），则该双曲线离心率可能为（ ） A 、3 B 、332 C 、3 D 、32 9.已知0,0>>b a 且1≠a ，若函数x y a log =过点()0,2b a +，则ba 111++的最小值为（ ） A 、2223+ B 、314 C 、415D 、22 10.设函数2()f x ax bx c =++（0a ≠），()f x 的导函数为()f x '，集合{}|()0A x f x =>，{}|()0B x f x '=>.若A B B =，则（ ）A 、20,40a b ac >-≥ B 、20,40a b ac >-≤ C 、20,40a b ac <-≥ D 、20,40a b ac <-≤ 二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．)11.已知集合{}5,4,3,2,1=A ，{}6,4,2=B ，则)(B A C A =_____________. 12.已知(1,2)a =，()4,2b =，设a ，b 的夹角为θ，则=θcos ___________. 13.连续抛掷一枚硬币三次，则出现两次正面一次反面的概率为_____________. 14.函数()2sin(),(0,)22f x x ππωϕωϕ=+>-<<的部分图象如图所示,则=)3(πf .15.已知圆C 的方程为1)4()3(22=-+-y x ，过直线l ：053=-+ay x （0a >）上的任意一点作圆C 的切线，若切线长的最小值为15，则直线l 的斜率为__________.14题图三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16.（本小题满分13分） 已知数列{}n a 为等差数列，{}n a 的前n 项和为n S ，11=a ，93=S . （1）求n a 与n S ；（2）若数列{}n b 为等比数列，且11a b =，22a b =，求n b 及数列{}n b 的前n 项和n T .17.（本小题满分13分） 某工厂对同时生产某件产品的件数x （单位：件）与所用时间y （单位：小时）进行了测验.测验结果如下表所示：（1）求出y 与x 的线性回归方程a bx y+=ˆ； （2）试预测同时生产20件该产品需要多少小时？（附：线性回归方程a bx y+=ˆ中，1122211()()()n niii ii i nniii i x x y y x y nx yb x x xnx====---==--∑∑∑∑,a y bx =-）18.（本小题满分13分） 已知函数2()ln f x x a x x=-+在点()1,(1)f 处的切线平行于x 轴. （1）求a 的值；（2）求()f x 的单调区间与极值.19.（本小题满分12分） 已知)3sin(sin )(π++=x x x f .（1）求)(x f 的单调递增区间；（2）在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，若33)6(=-πA f ，AB 2=，2=a ，求边b ，c 的长.20.（本小题满分12分） 如图，四棱锥ABCD P -中，⊥PA 平面ABCD ，四边形ABCD 为直角梯形，DC AD ⊥，AB DC //，2==AB PA ，1==DC AD .（1）求证：BC PC ⊥；（2）E 为PB 中点，F 为BC 中点，求四棱锥EFCP D -的体积.21.（本小题满分12分） 已知椭圆22221x y a b+=（0a b >>）过M N 、两点，O 为坐标原20题图点.（1）求椭圆的标准方程；（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点A B 、且OA OB ？若存在，求出该圆的方程；若不存在，说明理由.18.解：（1）22222()1a x ax f x x x x++'=++=（()0,x ∈+∞） (1)30,3f a a '∴=+=∴=-（2）由（1）知，22232(1)(2)()x x x x f x x x-+--'==（()0,x ∈+∞） 则()0f x '=的两根为121,2x x ==在()()0,12,+∞和上()0f x '>；在()1,2上()0f x '<.所以，()f x 的单调增区间为()()0,12,+∞和；单调减区间为()1,2. ()f x 在11x =处取得极大值()(1)1f x f ==-极大； ()f x 在22x =处取得极小值()(2)13ln 2f x f ==-极小.19.解：（1）()sin sin()3f x x x π=++3)6x π=+22222,26233k x k k x k k Z πππππππππ∴-≤+≤+-≤≤+∈即 ()f x ∴的单调增区间为22,2,33k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦. （2）02,02B A A ππ<=<∴<<又11()sin sin 6326f A A A ππ-==∴=<=0,0,cos sin 22sin cos 63A B A B A A A ππ∴<<<<====，723cos ,sin sin()927B C A B ∴===+=，则由正弦定理知：sin sin 46sin sin 9B C b a c a A A ====. 20.解：（1）,,PA ABCD BC ABCD PA BC ⊥⊂∴⊥面面连接,,,AC AD CD AD CD AC =⊥∴=又2222BC AB AB AC BC BC AC ===+∴⊥，即，,,BC PAC PC PAC PC BC ∴⊥⊂∴⊥面又面. （2）由题可知3144EFCP PBC D EFCP PC BC S S V -====∴= 21.解：（1）将M N 、两点代入椭圆方程，解之得：228,4a b ==，则椭圆的标准方程为：22184x y +=（2）存在这样的圆.（理由如下：）设圆的半径为r ，圆的方程为222x y r +=，圆的切线与椭圆的交点为：()()1122,,,A x y B x y① 当圆的切线斜率k 存在时，设切线方程为：y kx b =+，则圆心到直线的距离为222,(1)d r b r k ===+即又切线与椭圆相交于两点A B 、，则有22184y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 即可得：222(21)4280k x kbx b +++-=，由韦达定理有：12221224212821kb x x k b x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪⋅=⎪+⎩， 又OA OB ⊥，则2212121212(1)()x x y y k x x kb x x b +=++++2222222222222222(28)(1)4(21)2121213883(1)8(1)02121b k b k b k k k k b k r k k k k -++=-++++--+-+===++283r ∴=②当斜率k 不存在时，切线方程为x r =±，由OA OB ⊥可知283r = 综上所述，存在这样的圆，且圆的方程为2283x y +=. ∘,PA ABCD BC ABCD ⊥⊂面面PA BC ∴⊥ 连接AC ，,AD CD AD CD =⊥2222AC BC AB AB AC BC ∴====+，即,BC ACBC PAC PC PACPC BC∴⊥∴⊥⊂∴⊥面又面(2)3336,2,44EFCP PBC PC BC S S ====,14D EFCP V -=21.解：（1）将M N 、两点，解之228,4a b ==，则椭圆的方程为：22184x y +=（2）当圆的切线斜率k 存在时，设切线方程为y kx b =+，圆的半径为r ，切线与椭圆的交点为()()1122,,,A x y B x y ，则圆心到直线的距离为21b d r k==+，即222(1)b r k =+又切线与椭圆相交于两点，则有：22184y kx bx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 即为222(21)4280k x kbx b +++-=，由韦达定理有：12221224212821kb x x k b x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪⋅=⎪+⎩又OA OB ⊥，则2212121212(1)()x x y y k x x kb x x b +=++++222222222(28)(1)4(21)212121b k b k b k k k k -++=-++++HH 22222223883(1)8(1)02121b k r k k k k --+-+===++ 283r ∴= 当斜率k 不存在时，切线方程为x r =，由0OA OB ⋅=可知283r =综上所述，存在这样的圆，且圆的方程为228=3x y +（3）欢迎下载，资料仅供参考!!!。
2015年高考文科数学重庆卷及答案解析
数学试卷 第1页（共14页） 数学试卷 第2页（共14页）绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学试题卷（文史类）数学试题卷（文史类）共4页.满分150分.考试时间120分钟. 注意事项:1.答题前,务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上.2.答选择题时,必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦擦干净后,再选涂其他答案标号.3.答非选择题时,必须使用0.5毫米黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定的位置上.4.所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效.5.考试结束后,将试题卷和答题卡一并交回.一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{1,2,3}A =,{1,3}B =,则A B = ( )A .{2}B .{1,2}C .{1,3}D .{1,2,3} 2.“1x =”是“2210x x -+=”的( )A .充要条件B .充分而不必要条件C .必要而不充分条件D .即不充分也不必要条件 3.函数22()log (23)f x x x =+-的定义域是( )A .[]3,1-B .(3,1)-C .(,3][1,)-∞-+∞D .(,3)(1,)-∞-+∞ 4.重庆市2013年各月的平均气温（℃）数据的茎叶图如下:则这组数据的中位数是( )A .19B .20C .21.5D .23 5.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )A .12π3+B .13π6 C .7π3D .5π26.若1tan 3α=,1tan()2αβ+=,则tan β=( )A .17B .16C .57D .567.已知非零向量a ,b 满足|b |=4|a |,且a ⊥(2a +b ),则a 与b 的夹角为( )A .π3B .π2C .2π3D .5π68.执行如图所示的程序框图,则输出s 的值为( )A .34B .56 C .1112 D .25249.设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点F ,左、右顶点分别是1A ,2A ,过F 作12A A 的垂线与双曲线交于B , C 两点.若12A B A C ⊥,则该双曲线的渐近线的斜率为( )A .12±B. C .1± D.10.若不等式组20,220,20,x y x y x y m +-⎧⎪+-⎨⎪-+⎩≤≥≥表示的平面区域为三角形,且其面积等于43,则m 的值为()姓名________________ 准考证号_____________--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第3页（共14页） 数学试卷 第4页（共14页）A .3-B .1C .43D .3二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上. 11.复数(12i)i +的实部为 .12.若点(1,2)P 在以坐标原点为圆心的圆上,则该圆在点P 处的切线方程为 .13.设ABC △的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且2a =,1cos 4C =-,3sin 2sin A B =,则c = .14.设,0a b >,5a b +=,的最大值为 .15.在区间[]0,5上随机地选择一个数p ,则方程22320x px p ++-=有两个负根的概率为 .三、解答题:本大题共6小题,共75分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 16.（本小题满分13分,（Ⅰ）小问7分,（Ⅱ）小问6分）已知等差数列{}n a 满足32a =,前3项和392S =. （Ⅰ）求{}n a 的通项公式;（Ⅱ）设等比数列{}n b 满足11b a =,415b a =,求{}n b 前n 项和n T .17.（本小题满分13分,（Ⅰ）小问10分,（Ⅱ）小问3分）随着我国经济的发展,居民的储蓄存款逐年增长.设某地区城乡居民人民币储蓄存款（Ⅰ）求y 关于t 的回归方程ˆˆybt a =+; （Ⅱ）用所求回归方程预测该地区2015年(6)t =的人民币储蓄存款.附:回归方程ˆˆˆybt a =+中, 1221ˆni ii nii t yntybtnt ==-=-∑∑,ˆˆay bt =-. 18.（本小题满分13分,（Ⅰ）小问7分,（Ⅱ）小问6分）已知函数21()sin 22f x x x =. （Ⅰ）求()f x 的最小正周期和最小值;（Ⅱ）将函数()f x 的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍,纵坐标不变,得到函数()g x 的图象.当π,π2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,求()g x 的值域.19.（本小题满分12分,（Ⅰ）小问4分,（Ⅱ）小问8分）已知函数32()()f x ax x a =+∈R 在43x =-处取得极值. （Ⅰ）确定a 的值;（Ⅱ）若()()x g x f x e =,讨论()g x 的单调性.20.（本小题满分12分,（Ⅰ）小问5分,（Ⅱ）小问7分）如图,三棱锥P ABC -中,平面PAC ⊥平面ABC ,π2ABC ∠=,点D ,E 在线段AC 上,且2AD DE EC ===,4PD PC ==,点F在线段AB 上,且EF BC ∥.（Ⅰ）证明:AB ⊥平面PFE ;（Ⅱ）若四棱锥P DFBC -的体积为7,求线段BC 的长.21.（本小题满分12分,（Ⅰ）小问5分,（Ⅱ）小问7分）如图,椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ,程;数学试卷 第5页（共14页） 数学试卷 第6页（共14页）的取值范围.2015年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学试题卷（文史类）答案解析一、选择题 1.【答案】C【解析】由交集的定义得{1,3}AB ∩=. 【提示】直接利用集合的交集的求法求解即可. 【考点】集合的运算. 2.【答案】A【解析】由“1x =”显然能推出“2210x x -+=”，故条件是充分的，又由“2210x x -+=”可得2(1)01x x -=⇒=，所以条件也是必要的，故选A ．【提示】先求出方程2210x x -+=的解，再和1x =比较，从而得到答案.【考点】充要条件. 3.【答案】D【解析】由2230(3)(1)0x x x x +->⇒+->解得3x <-或1x >；故选D ． 【提示】利用对数函数的真数大于0求得函数定义域. 【考点】函数的定义域，一元二次不等式. 4.【答案】B【解析】由茎叶图知，第六第七个数据均为20，所以中位数为20. 故选B ．【提示】根据中位数的定义进行求解即可. 【考点】茎叶图与中位数. 5.【答案】B ．a 与b 的夹角为，又因为[0,]θ∈π，所以数学试卷第7页（共14页）数学试卷第8页（共14页）数学试卷第9页（共14页）数学试卷第10页（共14页）数学试卷 第11页（共14页） 数学试卷 第12页（共14页）从而AB 与平面PEF 内两条相交直线PE EF ，都垂直，所以AB ⊥平面PFE .数学试卷 第13页（共14页） 数学试卷 第14页（共14页）12AB BC x =AF AE AB AC ==1429ABC S =△形D236x1173318DFBC S PE =⨯2430=，解得2x ，可得333x x ==或.4c。
2015年高考文科数学重庆卷(含详细答案)
数学试卷 第1页（共26页） 数学试卷 第2页（共26页）绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学试题卷（文史类）数学试题卷（文史类）共4页.满分150分.考试时间120分钟. 注意事项:1.答题前,务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上.2.答选择题时,必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦擦干净后,再选涂其他答案标号.3.答非选择题时,必须使用0.5毫米黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定的位置上.4.所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效.5.考试结束后,将试题卷和答题卡一并交回.一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{1,2,3}A =,{1,3}B =,则A B = ( )A .{2}B .{1,2}C .{1,3}D .{1,2,3} 2.“1x =”是“2210x x -+=”的( )A .充要条件B .充分而不必要条件C .必要而不充分条件D .即不充分也不必要条件 3.函数22()log (23)f x x x =+-的定义域是( )A .[]3,1-B .(3,1)-C .(,3][1,)-∞-+∞D .(,3)(1,)-∞-+∞ 4.重庆市2013年各月的平均气温（℃）数据的茎叶图如下:则这组数据的中位数是( )A .19B .20C .21.5D .23 5.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )A .12π3+B .13π6 C .7π3D .5π26.若1tan 3α=,1tan()2αβ+=,则tan β=( )A .17B .16C .57D .567.已知非零向量a ,b 满足|b |=4|a |,且a ⊥(2a +b ),则a 与b 的夹角为( )A .π3B .π2C .2π3D .5π68.执行如图所示的程序框图,则输出s 的值为( )A .34B .56 C .1112 D .25249.设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点F ,左、右顶点分别是1A ,2A ,过F 作12A A 的垂线与双曲线交于B ,C 两点.若12A B A C ⊥,则该双曲线的渐近线的斜率为( ) A .12±B.C .1±D.10.若不等式组20,220,20,x y x y x y m +-⎧⎪+-⎨⎪-+⎩≤≥≥表示的平面区域为三角形,且其面积等于43,则m 的值为()姓名________________ 准考证号_____________--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第3页（共26页） 数学试卷 第4页（共26页）A .3-B .1C .43D .3二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上. 11.复数(12i)i +的实部为 .12.若点(1,2)P 在以坐标原点为圆心的圆上,则该圆在点P 处的切线方程为 .13.设ABC △的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且2a =,1cos 4C =-,3sin 2sin A B =,则c = .14.设,0a b >,5a b +=,的最大值为 .15.在区间[]0,5上随机地选择一个数p ,则方程22320x px p ++-=有两个负根的概率为 .三、解答题:本大题共6小题,共75分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 16.（本小题满分13分,（Ⅰ）小问7分,（Ⅱ）小问6分）已知等差数列{}n a 满足32a =,前3项和392S =. （Ⅰ）求{}n a 的通项公式;（Ⅱ）设等比数列{}n b 满足11b a =,415b a =,求{}n b 前n 项和n T .17.（本小题满分13分,（Ⅰ）小问10分,（Ⅱ）小问3分）随着我国经济的发展,居民的储蓄存款逐年增长.设某地区城乡居民人民币储蓄存款（Ⅰ）求y 关于t 的回归方程ˆˆybt a =+; （Ⅱ）用所求回归方程预测该地区2015年(6)t =的人民币储蓄存款.附:回归方程ˆˆˆybt a =+中, 1221ˆni ii nii t yntybtnt ==-=-∑∑,ˆˆay bt =-. 18.（本小题满分13分,（Ⅰ）小问7分,（Ⅱ）小问6分）已知函数21()sin 22f x x x =. （Ⅰ）求()f x 的最小正周期和最小值;（Ⅱ）将函数()f x 的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍,纵坐标不变,得到函数()g x 的图象.当π,π2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,求()g x 的值域.19.（本小题满分12分,（Ⅰ）小问4分,（Ⅱ）小问8分）已知函数32()()f x ax x a =+∈R 在43x =-处取得极值. （Ⅰ）确定a 的值;（Ⅱ）若()()x g x f x e =,讨论()g x 的单调性.20.（本小题满分12分,（Ⅰ）小问5分,（Ⅱ）小问7分）如图,三棱锥P ABC -中,平面PAC ⊥平面ABC ,π2ABC ∠=,点D ,E 在线段AC 上,且2AD DE EC ===,4PD PC ==,点F在线段AB 上,且EF BC ∥.（Ⅰ）证明:AB ⊥平面PFE ;（Ⅱ）若四棱锥P DFBC -的体积为7,求线段BC 的长.21.（本小题满分12分,（Ⅰ）小问5分,（Ⅱ）小问7分）如图,椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ,程;的取值范围.数学试卷第5页（共26页）数学试卷第6页（共26页）2015年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学试题卷（文史类）答案解析数学试卷第7页（共26页）数学试卷第8页（共26页）；设a与b的夹角为2π；5 / 13数学试卷 第11页（共26页）数学试卷 第12页（共26页）检验知当3m =-时，已知不等式组不能表示一个三角形区域，故舍去；所以1m =；故选B ．7 / 13数学试卷第15页（共26页）数学试卷第16页（共26页）9 / 13数学试卷第19页（共26页）数学试卷第20页（共26页）11 / 1312AB BC x =23AE AC ==1429ABC S =△ABC S S -△△1173318DFBC S PE =⨯2430+=，解得2x数学试卷第23页（共26页）数学试卷第24页（共26页）13 / 13。
重庆市2015届高三调研抽测(第二次) 数学(文)试卷
重庆市2015届高三调研抽测(第二次)数学（文）试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上规定的位置上。
2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
3．答非选择题时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
5．考试结束后，将试题卷和答题卡一并收回。
一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 请将正确答案的代号填涂在答题卡上.1．已知2{|23,},{|10,}A x x x x R B x x x R =<∈=->∈，则A B ⋂=A ．(0,1)B ．3(0,)2C ．2(,2)3D ．3(1,)22．已知,a b R ∈且a b >，则下列不等式成立的是A ．1a b >B ．22a b > C ．lg()0a b -> D ．1122a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3．设等差数列{}n a 的公差d 不为0．若118a =，且148,,a a a 成等比数列，则公差d =A ．2B ．3C ．4D ．5 4．已知||210a =，(1,3)b =-，且10a b ⋅=，则向量a 与向量b的夹角为A ．30B ．60C ．120D ．150 5．已知,a b R ∈,则“4ab =”是“直线210x ay +-=与210bx y ++=平行”的A ．充分必要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件6．已知实数,x y 满足条件24122x y x y x y +≥⎧⎪-≥⎨⎪-≤⎩，，，则2z x y =+的最小值为A ．43B ．4C ．2D ．3 7．若函数()sin(2)(||)2f x x πϕϕ=+<的图象向左平移6π个单位后关于原点对称，则函数 ()f x 在[0,]2π上的最小值为A B ．12 C ．12- D ．8．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的 体积为A ．2B ．23 C ．43D ．4 9．在如图所示的程序框图中，若输出的S 值等于16，则在该程序框图中的 判断框内填写的条件为A ．5i >B ．6i >C ．7i >D ．8i >10．设(,0)F c 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，点B 的坐标为(0,)b ．若圆222()(0)x c y r r -+=>与双曲线的渐近线相切，且FB ≥||，则该双曲线的离心率e 的取值范围是A ．(1B ．)+∞C ．D ．)+∞二．填空题：本大题5个小题，每小题5分，共25分，把答案填写在答题卡相应的位置上． 11．函数()ln(1)f x x =-的定义域为 ．12．某商场在今年春节期间的促销活动中，对正月初三9时至14时的销售额进行统计，得到如图所示的频率分布直方图．已知9时至10时的销售额为2.5万元，则11时至12时的销售额为 万元．13．已知函数()y f x =的导函数()f x '的图象如图所示，则函数()f x 在区间]53[，－上取得极大值时，x 的取值 为 ．14．若复数z 满足234z i =--，且z 在复平面内对应的点位于第二象限，则z = ．15．已知函数2(0),()1(0)x e x f x x x x ⎧≥⎪=⎨-++<⎪⎩，若方程()1f x ax -=有三个实根，则8题图9题图12题图-1实数a 的取值范围是 ．三．解答题：本大题6个小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程，并答在答题卡相应的位置上．16. （本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分．）已知数列{}n a 的前n 项和*11()2n n n S a a n N +=∈，其中11,0n a a =≠． （Ⅰ）求234,,a a a ；（Ⅱ）求数列{}n a 的前n 个偶数项的和n T ．17. （本小题满分13分，（Ⅰ）小问7分，（Ⅱ）小问6分．）某区今年春季运动会共有5场篮球比赛，其中甲、 乙两运动员得分的茎叶图如图所示．（Ⅰ）求甲、乙两名队员得分的平均值和方差，并判断哪一个队员的成绩更稳定；（Ⅱ）在甲队员的得分中任选两个得分，求恰有一个得分不低于平均分的概率．18. （本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分．）设,,a b c 分别是锐角ABC ∆的角,,A B C 2sin 0c A -=． （Ⅰ）求角C 的值； （Ⅱ）若c =5a b +=，求ABC ∆的面积S ．19. （本小题满分12分，（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问4分，（Ⅲ）小问4分．）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，PD ⊥底面ABCD ，,M N 分别为,PA BC 的中点，且PD AD ==20. （本小题满分12分，（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问8分．）已知函数()ln (1)f x m x m x =+- ()m ∈R ．（Ⅰ）当2m =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）若()f x 存在最大值M ，且0M >，求m 的取值范围．21. （本小题满分12分，（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问8分．）已知椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的左右焦点分别为1F ，2F ，离心率e 为12，过 1F 的直线1l 与椭圆C 交于M ，N 两点，且△2MNF 的周长为8．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设直线2l 与椭圆C 交于A ，B 两点，O 为坐标原点，且0OA OB ⋅=．过点O 作直线2l 的垂线，垂足为Q ，求点Q 的轨迹方程．高2015届学生学业调研抽测(第二次)数学试题（文科）参考答案一、选择题：1～5:D D A B C; 6～10：C D B A A ．二、填空题：11．(1,2]， 12. 10， 13．2， 14．12i -+， 15．(1,)+∞． 三、解答题： 16. 解：（Ⅰ）∵*11()2n n n S a a n N +=∈，11,0n a a =≠， ∴11212a a a =，即22a =；……………………………………………………2分同理343,4a a ==．……………………………………………………………6分 （Ⅱ）∵112n n n S a a +=，∴111211122n n n n n n n a S S a a a a +++++=-=-，……8分 ∵0n a ≠，∴10n a +≠，∴*22()n n a a n N +=+∈，即22=-+n n a a ， ∴数列{}n a 的偶数项是以2为公差的等差数列．……………………………10分 又由（Ⅰ）知，22a =，∴n n a n 2)1(222=-+=， ∴222()(22)(1)22n n n a a n n T n n n ++===++＝n ． ……………………13分17．解：（Ⅰ）由茎叶图可知，甲、乙的得分分别为：甲：9，11，12，15，28； 乙：7，10，15，19，24．∴1(911121528)155x =++++=甲，1(710151924)155x =++++=乙． ∴甲、乙的平均值相同． ………………………………………………………2分2222221[9151115121515152815]465s ++++甲＝（－）（－）（－）（－）（－）＝2222221[7151015151519152415]37.25s ++++乙＝（－）（－）（－）（－）（－）＝……………………………………………………………………………………6分 ∵22s s >甲乙，故乙队员的成绩比甲队员的成绩稳定．………………………7分（Ⅱ）在甲队员的得分中任意抽取两个得分的情形为：)28,15(),28,12(),15,12(),28,11(),15,11(),12,11(),28,9(),15,9(),12,9(),11,9(共有10种情形．…………………………………………………………………9分 而恰有1个分数不低于平均分15分的有：)28,12(),15,12(),28,11(),15,11(),28,9(),15,9(共有6种情形 ……………………………………………………………………11分∴所求概率6.0106＝＝P ． ………………………………………………………13分18．解：（Ⅰ）∵ABC ∆2sin 0c A -=，2sin sin 0A C A -=，…………………………2分∴sin C =．………………………………………………………………4分 故3C π=．……………………………………………………………………6分（Ⅱ）∵5a b +=，∴22225a ab b ++= (1)………………………………7分又∵c =3C π=，∴由余弦定理，得222cos73a b ab π+-=，即227a b ab +-= (2)…9分由（1）、（2）两式得：6ab =， ……………………………………………11分故由三角形的面积公式，得1sin 232S ab π==……………………13分 19．解：（Ⅰ）证明：取AD 的中点E ，连接,ME NE ，∵,M N 分别为,PA BC 的中点，∴//,//ME PD NE CD ，………………2分 又∵,ME NE ⊂平面MNE ，ME NE E ⋂=， ∴平面MNE //平面PCD ，……………3分 ∴//MN 平面PCD ．……………………4分 （Ⅱ）证明：∵底面ABCD 是正方形， ∴AC BD ⊥．……………………………5分又∵PD ⊥底面ABCD ，∴PD AC ⊥， ………………………………………6分 ∴⊥AC 平面PBD ，故平面PAC ⊥平面PBD ． ……………………………8分 （Ⅲ）解：∵PD ⊥底面ABCD ，∴PD 为三棱锥P ABC -的高， ………9分又∵PD AD ==4ABC S ∆=，…………………………………………10分 ∴三棱锥P ABC -的体积133ABC V S PD ∆=⋅=．…………………………12分 20．解：（Ⅰ）当2m =时，()2ln f x x x =+．22()1x f x x x+'=+=． ∴(1)3f '=． ………………………………………………………………2分 又∵(1)1f =，∴曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程是13(1)y x -=-，即320x y --=． …………………………………………………………4分 （Ⅱ）∵函数()f x 的定义域为(0,)+∞，且(1)()1m m x mf x m x x-+'=+-=． 当0m ≤时，由0x >知()10mf x m x'=+-<恒成立，得()f x 在区间(0,)+∞上单 PD MA BNCE调递减． ……………………………………………………………………6分 当m ≥1时，由0x >知()10mf x m x'=+->恒成立，得()f x 在区间(0,)+∞上单 调递增． ……………………………………………………………………8分 当01m <<时，由()0f x '>，得1m x m <-，由()0f x '<，得1mx m>-， ∴()f x 在区间(0,)1m m -内单调递增，在区间(,)1mm+∞-内单调递减． ∴当01m <<时，函数()f x 有最大值，且最大值为：()ln 11m mM f m m m m==---． …………………………………………10分∵0M >，∴ln 01m m m m ->-，解之得e1em >+． …………………11分 ∴m 的取值范围是e(,1)1e+． …………………………………………………12分 21．解：（I ）由题意知，48a =，所以2a =． ………………………………………2分∵12e =，∴1c =，23b =． …………………………………………………3分 ∴椭圆C 的方程为22143x y +=． ……………………………………………4分 （II ）∵0OA OB ⋅=，∴OA OB ⊥．（1）若直线2l 的斜率不存在，则点Q 在x 轴上．设点Q 的坐标为），（00x ，则 00(,)A x x ，00(,)B x x -.又∵A ，B 两点在椭圆C 上，∴2200143x x +=，20127x =． ∴点Q的坐标为±（）,即||OQ = …………………………………6分 （2）若直线2l 的斜率存在，设直线2l 的方程为y kx m =+．由22,143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得222(34)84120k x kmx m +++-=．由0∆>得，2234m k <+．设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则122834km x x k +=-+，212241234m x x k -=+．……8分∵OA OB ⊥，∴12120x x y y +=．∴1212()()0x x kx m kx m +++=，即221212(1)()0k x x km x x m ++++=．∴22222224128(1)03434m k m k m k k-+-+=++． 整理得)1(12722+=k m ，满足2234m k <+．……………………………………9分又由已知可得，过原点O 与直线2l 垂直的直线方程为x ky 1-=， 解方程组1y x ky kx m ⎧=-⎪⎨⎪=+⎩，，得点Q 的横坐标与纵坐标分别为m k y m k k x 11,122+=+-=， ∴7121)1(1)1(22222222222=+=+++=+k m m k m k k y x．即||OQ =11分 综合（1）、（2）可知，点Q圆的方程为：22127x y +=．………………………………………………………12分。
[精品]2015年普通高等学校招生全国统一考试高中数学文试题重庆卷和答案
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2015年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题（重庆卷，含解析）1. 由于2,2,3,3,1,1A B A B A B ∈∈∈∈∈∉，故A 、B 、C 均错，D 是正确的，选D.2. 由等差数列的性质得64222240a a a =-=⨯-=，选B.3. 从茎叶图知所有数据为8，9，12，15，18，20，20，23，23，28，31，32，中间两个数为20，20，故中位数为20，选B.4. 12log (2)0211x x x +<⇔+>⇔>-，因此选B.5. 这是一个三棱锥与半个圆柱的组合体，2111112(12)12323V ππ=⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯=+，选A. 6. 由题意22()(32)320a b a b a a b b -⋅+=-⋅-=，即223cos 20a a b bθ--=，所以2320θ⨯-=，cos θ=，4πθ=，选A. 7. 由程序框图，k 的值依次为0，2，4，6，8，因此1111124612S =++=（此时6k =）还必须计算一次，因此可填1112s ≤，选C. 8. 圆C 标准方程为22(2)(1)4x y -+-=，圆心为(2,1)C ，半径为2r =，因此2110a +⨯-=，1a =-，即(4A --，6AB ===.选C.9. 3cos()10sin()5παπα-=-33cos cos sin sin 1010sin cos cos sin 55ππααππαα+-33costan sin 1010tan cos sin 55ππαππα+=-33cos2tan sin 105102tan cos sin 555ππππππ+=- 33cos cos 2sin sin 510510sin cos 55ππππππ+=＝155(cos cos )(cos cos )21010101012sin 25πππππ++-3cos 103cos 10ππ==，选C. 10. 由题意22(,0),(,),(,)b b A a B c C c a a-，由双曲线的对称性知D 在x 轴上，设(,0)D x ，由B D A C ⊥得2201b b a a c x a c-⋅=---，解得42()b c x a c a -=-，所以42()b c x a a c a c a -=<=+-，所以42222b c a b a <-=221b a ⇒<01b a ⇒<<，因此渐近线的斜率取值范围是(1,0)(0,1)-，选A.11.由a bi +=得=，即223a b +=，所以22()()3a bi a bi a b +-=+=.12.二项展开式通项为7153521551()()2k kk kk k k T C x C x --+==，令71582k -=，解得2k =，因此8x 的系数为22515()22C =.13. 由正弦定理得sin sin AB AD ADB B =∠，即sin sin120ADB =∠︒，解得s i n 2A D B ∠=，45ADB ∠=︒，从而15BAD DAC ∠=︒=∠，所以1801203C =︒-︒-︒=︒，2cos30AC AB =︒=14. 首先由切割线定理得2PA PC PD =⋅，因此26123PD ==，9CD PD PC =-=，又:2:1CE ED =，因此6,3CE ED ==，再相交弦定理有AE EB CE ED ⋅=⋅，所以6329CE ED BE AE ⋅⨯===. 15. 直线l 的普通方程为2y x =+，由2cos24ρθ=得222(cos sin )4ρθθ-=，直角坐标方程为224x y -=，把2y x =+代入双曲线方程解得2x =-，因此交点.为(2,0)-，其极坐标为(2,)π.16. 由绝对值的性质知()f x 的最小值在1x =-或x a =时取得，若(1)215f a -=--=，32a =或72a =-，经检验均不合；若()5f a =，则15x +=，4a =或6a =-，经检验合题意，因此4a =或6a =-.（大题解析在后面）2015重庆数学文原题 及 答案。
重庆高2015级高考模拟考试试题卷
重庆高2015级高考模拟考试试题卷数 学（文）满分150分。
考试时间120分钟。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、复数1i i+（i 为虚数单位）的模等于（ ） A 、2 B 、2C 、22D 、12 2、已知全集{}{},21,ln 0x U R A y y B x x ===+=<，则()U C A B =（ ） A 、φ B 、112x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭ C 、{}1x x < D 、{}01x x << 3、在等差数列{}n a 中，912162a a =+，则6a =（ ） A 、10 B 、11 C 、12 D 、134、若函数()f x 为偶函数，0x >时，()f x 单调递增，()()(),,2P f Q f e R f π=-==，则,,P Q R 的大小为（ ）A 、R Q P >>B 、P Q R >>C 、P R Q >>D 、Q R P >> 5、已知三棱锥的三视图如题（5）图所示，则它的体积为（ ）A 、36B 、33C 、32 D 、36、执行如题（6）图所示程序框图，则输出的S 的值为（ ）A 、21B 、25C 、45D 、937、已知函数()2xf x e x a =-+有零点，则实数a 的取值范围是（ ）A 、[)2ln22,-+∞B 、(],2ln22-∞-C 、[)2ln 2,+∞D 、[]2ln22,2ln2-8、已知(),P x y 是直线()400kx y k ++=>上一动点，PA 是圆22:20C x y y +-=的一条切线，A 是切点，若PA 长度最小值为2，则k 的值为（ ）A 、3B 、212C 、22D 、29、已知ABC ∆三个内角,,A B C 对应的边分别为,,a b c ，且满足2,2cos 2a b C c a =+=，3sin 2cos 262A A π⎛⎫++= ⎪⎝⎭，则ABC S ∆=（ ） A 、23 B 、3 C 、2 D 、210、已知点A 、B 、C 为椭圆2214x y +=上三点，其中31,2A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，且ABC ∆的内切圆圆心在直线1x =上，则ABC ∆三边斜率和为（ ）A 、36-B 、36C 、2-D 、2二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
重庆市潼南2014—2015学年高三文科数学直线和圆能力测试
平面解析几何单元能力测试（一） ——直线和圆一、选择题（5×10=50分）1．直线经过点(2,0)A -，(5,3)B -,则直线的倾斜角( )A ．45 B ．135 C ．45- D ．135-2．过点),4(a A 和),5(b B 的直线与直线m x y +=平行，则AB 的值为（ ）A ．6B ．2C ．2D ．不能确定3．已知点)1,2(-P 在直线0:=-+b y ax l 上的射影是点)3,2(-Q ，则实数b a 、的值依次是（ ）A ．1-，5B ．5,1--C ．1，5D ．5,1-4．若直线2:1++=k kx y l 与42:2+-=x y l 的交点在第一象限内，则实数k 的取值范围是（ ）A ．32->k B ．2<k C ．232<<-k D ．232>-<k k 或 5．直线012=+-y x 关于直线1=x 对称的直线方程是（ ）A ．012=-+y xB ．012=-+y xC ．032=-+y xD ．032=-+y x 6．点(1,2-a a )在圆22240x y y +--=的内部，则a 的取值范围是 （ ）A ．－1<a <1B ．0<a <1C ．–1<a <51D ．－51<a <17．直线1l 的倾斜角130α=，直线12l l ⊥，则直线2l 的斜率为 ( )A． BC．3- D．38．已知直线l 过点)0,2(-，当直线l 与圆x y x 222=+有两个交点时，其斜率k 的取值范围是（ ）A ．)22,22(-B ．)2,2(-C ．)42,42(-D ．)81,81(-9．在平面直角坐标系xOy 中,直线3450x y +-=与圆224x y +=相交于A 、B 两点,则弦AB 的长等于（ ）A．B． CD ．110．直线b x y +=与曲线21y x -=有且只有一个交点，则b 的取值范围是（ ）A ．2=bB ．11≤<-b 且2-=bC ．11≤≤-bD ．非A 、B 、C 的结论(选做)圆12222=+y x 与直线),2,(01sin Z k k R y x ∈+≠∈=-+ππθθθ的位置关系（ ）A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定的二、填空题（5×5=25分）11．已知直线032=--ay x 为圆032222=-+-+y x y x 的一条对称轴，则实数a ＝______ 12．不论m 为何实数，直线012)1(=++--m y x m 恒过定点13．已知点M 是点)5,4(P 关于直线33-=x y 的对称点，则过点M 且平行于直线33+=x y 的直线方程是14．已知定点)0,4(A 和圆422=+y x 上的动点B ，动点P 满足2=+，则点P 的轨迹方程是15．直线032=--y x 与圆9)3()2(22=++-y x 交于E 、F 两点，则EOF ∆（O 为原点） 的面积为（选做）设集合{}{}∅=+-≤=≥-≥=B A b x y y x B x x y y x A ,),(,0,2),( （1）b 的取值范围是（2）若y x B A y x 2,),(+∈且 的最大值是9，则b 的值是三、解答题（75分）16．（1）已知直线l 在y x 、轴上的截距的绝对值相等，且到点（1,2）的距离为2， 求直线l 的方程（2）求经过直线03:,05:21=--=-+y x l y x l 的交点且平行于直线032=-+y x 的直线方程17．已知直线l 与圆C 相交于点()1,0P 和点()0,1Q 。
2015年高考数学(文)试题(重庆卷)(有答案)
2015年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数 学（文史类）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{1,2,3},B {1,3}A ，则A B = (A) {2} (B) {1,2} (C) {1,3} (D) {1,2,3}2.“x 1”是“2x 210x ”的(A) 充要条件 (B) 充分不必要条件 (C)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件3.函数22(x)log (x 2x 3)f 的定义域是 (A) [3,1] (B) (3,1)(C) (,3][1,)-∞-+∞ (D) (,3)(1,)-∞-+∞4.重庆市2013年各月的平均气温（°C ）数据的茎叶图如下则这组数据中的中位数是(A) 19 (B) 20 (C ) 21.5 (D )23 5.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(A)123π+ (B)136π(C) 73π (D) 52π 6.若11tan ,tan()32,则tan = (A)17 (B) 16 (C) 57 (D) 567.已知非零向量,a b 满足||=4||(+)b a a a b ⊥，且2则a b 与的夹角为(A) 3 (B) 2(C) 23 (D) 568.执行如图（8）所示的程序框图，则输出s 的值为(A)34 (B) 56 (C) 1112 (D) 25249.设双曲线22221(a 0,b 0)x y a b的右焦点是F ，左、右顶点分别是12A ,A ,过F 做12A A 的垂线与双曲线交于B ，C 两点，若12A B A C ⊥,则双曲线的渐近线的斜率为(A)12(B) 22 (C) 1 (D)2 10.若不等式组2022020x y x y x y m +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩,表示的平面区域为三角形，且其面积等于43，则m 的值为(A)-3 (B) 1 (C)43(D)3 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填写在答题卡相应位置上. 11．复数(12i)i 的实部为________.12.若点P （1，2）在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P 处的切线方程为___________. 13. 设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ,且12,cos ,4a C3sin 2sin A B ,则c=________. 14.设,0,5a ba b ,1++3a b 的最大值为 ________.15. 在区间[0,5]上随机地选择一个数p ，则方程22320x px p 有两个负根的概率为________.三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
重庆市潼南县2015届高三文科数学平面向量与复数单元能力测试
平面向量与复数单元能力测试一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．)1 ．（2012重庆文）设x R ∈ ,向量(,1),(1,2),a x b ==-且ab ⊥ ,则||a b += （ ）A B C ．D ．102．（2012厦门市高三上学期期末质检）已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2,0)，若向量λa ＋b 与向量c ＝(1,－2)共线，则实数λ等于（ ）A ．2-B ．31-C ．1-D ．32- 3．（2012广东文）若向量)4,3(),2,1(== ,则=（ ）A ．()4,6B ．()4,6--C ．()2,2--D ．()2,24．（江西省泰和中学2012届高三12月）已知平面向量a ，b 满足||1,||2,a b ==a 与b 的夹角为60︒，则“1=m ”是“()a mb a -⊥”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．（2012黄冈市高三上学期期末）若02=+⋅AB BC AB ，则ABC ∆必定是（ ）A ．锐角三角形B ．等腰直角三角形C ．钝角三角形D ．直角三角形6．（2012金华十校高三上学期期末联考）设向量a ，b 满足||1,||3,a a b =-=()0a a b ⋅-=，则|2|a b +=（ ）A ．2B ．C ．4D ．7 ．[2011·天津卷]i 是虚数单位，复数1－3i1－i＝( )A ．i -2B ．2＋iC ．－1－2iD ．－1＋2i8．若O 为平面内任一点且(OB →＋OC →－2OA →)·(AB →－AC →)＝0，则△ABC 是( )A ．直角三角形或等腰三角形B ．等腰直角三角形C ．等腰三角形但不一定是直角三角形D ．直角三角形但不一定是等腰三角形9．（2012唐山市高三上学期期末）在边长为1的正ABC ∆中，BA BD 31=，E 是CA 的中点，则BE CD ⋅= （ ） A ．32-B ．61-C ．31-D ． 21-10.在ABC∆中,90A ∠=︒,1AB =,,2=AC 设点,P Q 满足R ∈-==λλλ,)1(,.若2-=⋅,则λ=（ ）（ ）A ．13 B ．23 C ．43D ．2二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上)11．已知),3,1(),1,3(-=-=则在方向的投影等于 12．已知向量a ＝(3,1)，b ＝(1,3)，c ＝(k,7)，若(a －c )∥b ，则k ＝________.13.（2012粤西北九校联考）已知向量a =),2,1(-x b =),4(y ,若a ⊥b ，则yx 39+的最小值为14．（2012湖南文）如图4,在平行四边形ABCD 中 ,BD AP ⊥,垂足为3,=AP P 且⋅=_____. 15．已知复数z 满足(z －2)i ＝1＋i(i 是虚数单位)，则复数z 的模为_______三、解答题(本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16.(本小题满分13分)设平面上的向量,,,满足,2,y x b x y a -=-=又a 与b 的模为1且互相垂直（1）用b a ,表示y x , （2（3）求x 与y 的夹角的余弦值17.(本小题满分12分)（山东省济宁市鱼台一中2012届高三第三次月考）已知1e ，2e 是夹角为60°的单位向量，且122a e e =+，1232b e e =-+。
2015届高三第二次模拟考试数学试题(文科)附答案
2015届高三第二次模拟考试数学试题(文科)本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，时间120分钟第Ⅰ卷一、选择题：本大题10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合{}23,log P a =，{}Q ,a b =，若{}Q=0P I ，则Q=P U （ ） A ．{}3,0 B ．{}3,0,1 C ．{}3,0,2 D ．{}3,0,1,22．复数iiz +-=121所对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．若,326sin =⎪⎭⎫⎝⎛-απ则=⎪⎭⎫⎝⎛+απ232cos （ ） A. 95- B. 95 C. 97- D. 974．设.R a ∈则”“0112<+--a a a 是“1<a ”成立的（ ） A ．充分必要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既非充分也非必要条件5．若向量b a ρ,满足2,1==b a ρρ且322=+b a ρρ，则向量b a ρ,的夹角为（ ）A.6πB.3π C. 2π D. 32π6．下列关于函数()3cos 2tan()4f x x x π=+-的图象的叙述正确的是（ ）A.关于原点对称B.关于y 轴对称C.关于直线4x π=对称 D.关于点(,0)4π对称7．某几何体的三视图如图1所示，该几何体的体积为（ ）A.263 B.83π+ C.143π D.73π 8．已知点(1,0),(1,0)A B -及抛物线22y x =，若抛物线上点P 满足 PA m PB =，则m 的最大值为（ ）A ． 3 B. 2 C.3 D. 21 1 1122主视图 侧视图俯视图图19．已知各项不为0的等差数列{}n a 满足0327263=+-a a a ,数列{}n b 是等比数列，且66a b =,则1071b b b 等于( )A. 1B. 2C. 4D. 810．鹰潭市某学校计划招聘男教师x 名,女教师y 名, x 和y 须满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧<≤-≥-6252x y x y x ，则该校招聘的教师最多（ ）名 A ．7 B ．8 C ．10 D ．1311．如图2，已知双曲线C ：22221x y a b-=()0,0>>b a 的右顶点为,A O 为坐标原点，以A 为圆心的圆与双曲线C 的某渐近线交于两点Q P ,．若60PAQ ∠=︒ 且3OQ OP =u u u r u u u r，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．233B ．72C ．396D ．312．已知函数21()ln,(),22x x f x g x e -=+=对于(),0,a R b ∀∈∃∈+∞使得()()g a f b =成立，则b a -的最小值为（ ）A. 2lnB. 2ln -C. 32-eD. 32-e第Ⅱ卷二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡的相应位置。
2015届高三模拟测试(二)数学文试题 Word版含答案
2015年高三模拟试题（二）数学（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）已知集合{|1}A x x=>-，A B A=，则集合B可以是（A）{0,2}（B）{1,0,1}-（C）{|0}x x≤（D）R（2）若复数2m ii+-为纯虚数，则实数m=（A）2（B）2-（C）12（D）12-（3）命题“0x∀≥，||0x x+≥”的否定是（A）0x∀≥，00||0x x+<（B）0x∀<，||0x x+≥（C）x∃≥，00||0x x+<（D）x∃<，||0x x+≥（4）已知向量a，b满足0⋅=a b，||1=a，||2=b，则||+=a b（A（B）2（C（D）1（5）双曲线C：12222=-byax的渐近线方程为xy23±=，则C的离心率为（A（B（C（D）3（6）设m,n是两条不同的直线，α,β是两个不同的平面，则（A）若//mα，//mβ，则//αβ（B）若//mα，//m n，则//nα（C）若mα⊥，//mβ，则αβ⊥（D）若//mα，nα⊂，则//m n的程序框图，那么在空白矩形框和判断框内应分别填入的语句是（A）c a=，9i≤；（B）b c=，9i≤；（C）c a=，10i≤；（D）b c=，10i≤．（9）一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz-中的坐标分别是（0,0,2），（2,2,0），（1,2,1），（2,2,2），以平面zOy为正视图的投影面，画该四面体的三视图，给出下列4个投影图形：则该四面体的正视图和俯视图分别为（A）①和③（B）②和①（C）②和④（D）④和③（10）已知0a>，1a≠，0.60.4a a<，设0.6log0.6am=，0.4log0.6an=，0.6log0.4ap=，则（A）p n m>>（B）p m n>>（C）n m p>>（D）m p n>>（11）函数cos()(02)xyϕϕπ=+≤<在区间(,)ππ-上单调递增，则ϕ的最大值是①②③④0,1,3b i===开始ABCD1A 1B 1C （13）函数()f x 是奇函数，且当0x <时，1()()2xf x =，则(1)f = ． （14）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若834S a =，96a =-，则7a = ．（15）设00(,)M x y 为抛物线C ：28y x =上一点，F 为C 的焦点，若以F 为圆心，||FM 为半径的圆和C 的准线相交，则0x 的取值范围是 ． （16）已知函数3221()3f x x ax b x =++，若a 是从1,2,3三个数中任取的一个数，b 是从0,1,2三个数中任取的一个数，则使函数()f x 有极值点的概率为 ．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分12分）直角△ABC 中，4AB =，3BC =，点D 在斜边AC 上，且4AD DC =． （Ⅰ）求BD 的长； （Ⅱ）求sin CDB ∠的值．（18）（本小题满分12分）高考复习经过二轮“见多识广”之后，为了研究考前“限时抢分”强化训练次数x 与答题正确率y %的关系，对某校高三某班学生进行了关注统计，得到如下数据：（Ⅰ）求y 关于x 的线性回归方程，并预测答题正确率是100%的强化训练次数； （Ⅱ）若用(1,2,3,4)3ii y i x =+表示统计数据的“强化均值”（精确到整数），若“强化均值”的标准差在区间[0,2)内，则强化训练有效，请问这个班的强化训练是否有效？附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：121()()ˆ()niii nii x x y y bx x ==--=-∑∑，ˆˆa y bx=-． 样本数据n x x x ,,,21⋅⋅⋅的标准差为：s =（19）（本小题满分12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，112B B B A BA BC ====，190B BC ∠=︒，D 为AC 的中点，1AB B D ⊥．（Ⅰ）求证：平面ABC ⊥平面11ABB A ； （Ⅱ）求B 到平面1AB D 的距离．（20）（本小题满分12分）如图，已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率是2，,A B 分别是C 的上下顶点，点B 在直线l ：1y =-上．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设P 是椭圆上异于,A B 的任意一点，PQ y ⊥轴于Q 点，M 为线段PQ 中点，直线 AM 交直线l 于点D ，N 为线段BD 的中点，求证：MN OM ⊥．（21）（本小题满分12分）设函数()xx b e f x a =++点(0,(0))f 处的切线方程为10x y ++=． （Ⅰ）求,a b 值，并求()f x 的单调区间； （Ⅱ）证明：当0x ≥时，24()f x x >-．请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．做答时请写清题号． （22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，AB 是⊙O 的直径，CB 与⊙O 相切于点B ，E 为线段BC 上一点，连接AC ，连接AE ，分别交⊙O 于,D G 两点，连接DG 交CB 于点F ．（Ⅰ）求证：,,,C D G E 四点共圆.； （Ⅱ）若F 为EB 的三等分点且靠近E ，3GA GE =，求证：CE EB =．（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程长为3的线段两端点,A B 分别在x 轴正半轴和y 轴的正半轴上滑动，2BP PA =，点P 的轨迹为曲线C ． （Ⅰ）以直线AB 的倾斜角α为参数，写出曲线C 的参数方程； （Ⅱ）求点P 到点(0,1)D -距离d 的取值范围．（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知0a >，0b >．（I ）若2a b +=，求1411a b+++的最小值； （Ⅱ）求证：2222(1)a b a b ab a b ++≥++．高三总复习质量测试（二）数学（文科）试题参考答案与评分参考一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．（1）A （2）C （3）C （4）A （5）B （6）C （7）D （8）B （9）D （10）B （11）C （12）B二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．（13）2-（14）2-（15）(2,)+∞（16）23三、解答题：本大题共6小题，共70分． （17）解：（Ⅰ）因为90=∠ABC ，4=AB ，3=BC ，所以5=AC ，3cos 5C =，4sin 5C =， 又因为DC AD 4=，所以4=AD ，1=DC ，在△BCD中，由余弦定理，得2222cosBD BC CD BC CD C=+-⋅223323123155=+-⨯⨯⨯=，所以5104=BD；…………（6分）（Ⅱ）在BCD∆中，由正弦定理，得sin sinCD BDCBD C=∠，所以154sin5CBD=∠，所以sin CDB∠=．…………（12分）（18）解：（Ⅰ）由所给数据计算得 2.5x=，40y=，41()()70i iix x y y=--=∑，421()5iix x=-=∑，41421()()ˆ14()i iiiix x y ybx x==--==-∑∑，ˆˆ5a y bx=-=，所求回归方程是ˆ145y x=+，由100145x=+得 6.79x=，…………（6分）预测答题正确率是100%的测强化训练次数为7次；（Ⅱ）经计算知，这四组数据的“强化均值”分别是5,6,8,9，平均数是7，“强化均值”的标准差是2s==，这个班的强化训练有效．…………（12分）（19）解：（Ⅰ）取AB中点为O，连接OD，1OB．因为⊂OD平面ODB1，所以ODAB⊥，由已知，1BBBC⊥，又BCOD//，所以1BBOD⊥，因为BBBAB=1，所以⊥OD平面11AABB．又⊂OD平面ABC，所以平面⊥ABC平面11AABB；…………（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，1BO=，122ABCS AB BC∆=⋅=，12B A=，1AC BC==，1AB CS∆=因为1B O⊥平面ABC，所以1113B ABC ABCV S B O-∆==，设B到平面1AB D的距离是d，则11B ABC B AB CV V--==，由33d=，得B到平面1AB D的距离7d=．…………（12分）（20）解：（Ⅰ）依题意，得ca=，1b=，因为222a c b-=，所以24a=，故C的方程为2214xy+=；…………（4分）（Ⅱ）设000(,)(0)P x y x≠，则(0,)Q y，2214xy+=，因为M为线段PQ中点，所以0(,)2xM y，又(0,1)A，所以直线AM的方程为02(1)1yy xx-=+，所以0000(,1)2(1)2x xMN y y =----，所以000000()(1)22(1)2x x x MN OM y y y ⋅=-+--- 222000001()414x x y y y =--+- 20001(1)11y y y =---- 0=因此MN OM ⊥．…………（12分）（21）解：（Ⅰ）()x a f x e '=+，由已知，(0)1f '=-，(0)1f =-，故2a =-，2b =-，2()x f x e '=-，当(,ln 2)x ∈-∞时，0()f x '<，当(ln 2,)x ∈+∞时，0()f x '>，故()f x 在(,ln 2)-∞单调递减，在(ln 2,)+∞单调递增； …………（6分）（Ⅱ）设22()()(4)22xg x f x x e x x =--=--+，()22()xg x e x f x '=--=在(,ln 2)-∞单调递减，在(ln 2,)+∞单调递增，因为(0)10g '=-<，2(2)40g e '=->，0ln 22<<， 所以()g x '在[0,)+∞只有一个零点0x ，且0(0,2)x ∈，0022x ex =+，当0[0,)x x ∈时，0()g x '<，当0(,)x x ∈+∞时，0()g x '>，()g x 在0[0,)x 调递减，在0(,)x +∞单调递增，当0x ≥时，0220000()()2240x g x g x e x x x ≥=--+=->， 因此当0x ≥时， 24()f x x >-． …………（12分）（22）解：（Ⅰ）连接BD ，则ABD AGD ∠=∠，90︒∠+∠=ABD DAB ，因为90︒∠+∠=C CAB ，所以∠=∠C AGD ，180︒∠+∠=C DGE ，因此,,,C E G D 四点共圆； …………（5分）（Ⅱ）设EG x =，3GA x =，由切割线定理2⋅=EG EA EB ，则2EB x =， 又F 为EB 三等分，所以23x EF =，43x FB =， 又FE FC FG FD ⋅=⋅，2FG FD FB ⋅=，所以83xFC =，2CE x =，即CE EB =． …………（10分）（23）解：（Ⅰ）设(,)P x y ，则根据题设画图知2||cos()2cos 3x AB παα=-=-，1||sin()sin 3y AB παα=-=， 曲线C 的参数方程是2cos sin x y αα=-⎧⎨=⎩（α为参数，且2παπ<<）； …………（5分）（Ⅱ）(0,1)D -，设(2cos ,sin )P αα-，则||PD ===因为2παπ<<，所以sin (0,1)α∈，2||PD <≤， 故d的取值范围是(2,3．…………（10分）（24）解：（Ⅰ）14114()(11)11411a b a b a b+=++++++++ 1144(5)411b a a b ++=++++19(544≥+=， 等号成立条件为14411b a a b ++=++，而2a b +=，所以15,33a b ==， 因此当15,33a b ==时，1411a b +++取最小值94； …………（5分）（Ⅱ）由均值不等式得22222a b a a b +≥，22222a b b b a +≥，222a b ab +≥，三式相加得2222222222222(1)a b a b a b ab ab ab a b ++≥++++=，而222222(1)a b ab ab ab a b ++++=，所以2222(1)a b a b ab a b ++≥++． …………（10分）。
2015年重庆卷(文科数学)
2015年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（重庆卷）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合{}1,2,3A =，{}2,3B =，则A.A B =B.A B =∅IC.A B ⊂D.B A ⊂ 2.“1x =”是“2210x x -+=”的A.充要条件B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件 3.函数22(x)log (23)f x x =+-的定义域是A.[3,1]-B.(3,1)-C.(,3][1,)-∞-+∞UD.(,3)(1,)-∞-+∞U4.重庆市2013年各月的平均气温（C o ）数据的茎叶图如下：则这组数据的中位数是A ．19B ．20C ．21.5D ．235.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为正视图2 俯视图0 8 9 1 2 5 8 2 0 0 3 3 8 3 1 2A.123π+B.136π C.73π D.52π 6.若1tan 3α=，1tan()2αβ+=，则tan β=A.17B.16C.57D.566.若非零向量a r ，b r 满足4a b =r r ，且(2)a a b ⊥+r r r，则a r 与b r 的夹角为 A.3π B.2πC.23πD.56π8.执行如图所示的程序框图，则输出s 的值为 A.34 B.56 C.1112 D.25249.设双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的右焦点为F ，左、右顶点分别是1A ,2A ,过F 做12A A 的垂线与双曲线交于B ，C 两点，若12A B A C ⊥，则双曲线的渐近线的斜率为 A.12±B.2±1±D.10.若不等式组2022020x y x y x y m +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩,表示的平面区域为三角形，且其面积等于43，则m的值为A.3-B.1C.43D.3 二、填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分.11.复数(12)i i +的实部为 .12.若点(1,2)P 在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P 处的切线方程 .13.设ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ,且2a =，1cos 4C =-3sin 2sin A B =,则c = .14.设a ，0b >，5a b +=的最大值为 .15.在区间[0,5]上随机地选择一个数p ，则方程22320x px p ++-=有两个负根的概率为 .三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.（本小题满分13分）已知等差数列{}n a 满足32a =，前3项和392S =. （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设等比数列{}n b 满足11b a =，415b a =，求{}n b 前n 项和n T . 17.（本小题满分13分）随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长.设某地区城乡居民人民币储蓄（Ⅰ）求y 关于t 的回归方程ˆˆˆybt a =+； （Ⅱ）用所求回归方程预测该地区2015年（6t =）的人民币储蓄存款.附：回归方程ˆˆˆybt a =+中，$1221ˆˆ,bt ni ii nii t y nt yb ay tnt ==-==--∑∑ 18.（本小题满分13分）已知函数21()sin 22f x x x =（Ⅰ）求()f x 的最小正周期和最小值；（Ⅱ）将函数()f x 的图像上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数()g x 的图像.当[,]2x ππ∈时，求()g x 的值域.19.（本小题满分12分）已知函数32()f x ax x =+（a R ∈）在43x =-处取得极值.（Ⅰ）确定a 的值；（Ⅱ）若()()x g x f x e =，讨论()g x 的单调性. 20.（本小题满分12分）如图，三棱锥P ABC -中，平面PAC ⊥平面ABC ，2ABC π∠=，点D ，E 在线段AC 上，且2AD DE EC ===，4PD PC ==，点F 在线段AB 上，且EF //BC . （Ⅰ）证明：AB ⊥平面PFE .（Ⅱ）若四棱锥P DFBC -的体积为7，求线段BC 的长.21.（本小题满分12分）如图，椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点分别为1F ，2F ，过2F 的直线交椭圆于P ，Q 两点，且1PQ PF ⊥.（Ⅰ）若12PF =22PF =求椭圆的标准方程. （Ⅱ）若1PQ PF λ=的取值范围.AB CD EFP。
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数列单元能力测试(二)
命题人 蒋红伟
一、选择题（5×10=50分）
1．已知数列)13(2,,4,10,2-n ，则8是此数列的第（ ）项：
A ．10
B ．11
C ．12
D ．13
2．等比数列{}n a 满足6,152415=-=-a a a a ，则公比q 的值为（ ）
A ．2
B ．21
C ．1
D ．2或2
1 3．等差数列{a n } 中，已知a 3＋a 4＋a 9＋a 14＋a 15=10，则S 17＝（ ）
A ．34
B ．68
C ．170
D ．51
4．一张报纸，其厚度为a ，面积为b ，将此报纸对折7次，这时报纸的厚度和面积分别是（ ）
A ．b a 81
,8 B ．b a 641,64 C ．b a 1281,128 D ．b a 256
1,256 5．已知数列{}n a 各项都为正数，并且有294a a ⋅=，则2122210log log log a a a +++的值为（ ）
A ．10
B ．20
C ．30
D ．40
6．已知数列33,2,+x x x 是一个等比数列中的连续三项，则x 的值为（ ）
A ．0或3
B ．0
C ．3
D ．2
7．已知122,62,32===c b a ，则c b a 、、是（ ）
A ．是等差数列但不是等比数列
B ．是等比数列但不是等差数列
C ．既是等差数列又是等比数列
D ．既不是等差数列也不是等比数列
8．数列{}n a 的通项公式为12121,,n n n
a n
b a a a =+=++⋅⋅⋅+则数列{}n b 的前n 项和为（ ） A ．12(2)
n n -+ B ．12n n -+ C ．3232(1)(2)n n n +-++ D ．32342(1)(2)n n n +-++ 9．(2010·海淀区)已知f (x )为偶函数，且f (2＋x )＝f (2－x )，当02≤≤-x 时，f (x )＝2x ，若n ∈N *，a n ＝f (n )，则a 2010＝( )
A ．2010
B ．4
C ．14
D ．－4 10．若方程250x x m -+=与2100x x n -+=的四个实根适当排列后,恰好组成一个首项为1的等比数列,则n m :的值为( )
A ．4
B ．2
C ．12
D ．14
二、填空题（5×5=25分）
11．一个皮球从100米高处自由落下，每次着地后又跳回到原来高度的一半再落下，当它第10次着地时，其经过的路程为_____________________
12．等比数列{}n a 中，,70,1333241=+=+a a a a 则这数列的公比为________
13．等差数列{}n a 中, ,33,952==a a 则{}n a 的公差为___________
14．在等比数列{}n a 中, 若101,a a 是方程06232
=--x x 的两根，则47a a ⋅=__________ 15．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且,55,1554==S a 则过点),4(),,3(43a Q a P 的直线的斜率是______
三、解答题（75分）
16．（13分）已知数列{}n a 的通项公式为n a n 225-=，求:
（1）求证数列{}n a 为等差数列； （2）求数列{}n a 前n 项和的最大值.
17．（13分）有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数。
18．（13分）已知一次函数)(x f y =，且)4(),5(),2(f f f 成等比数列，且15)8(=f ．
求))(()3()2()1(*N n n f f f f S n ∈++++= 。
19．（12分）设数列{}n a 满足211233333
n n n a a a a -++++=…，*∈N n ． （1）求数列{}n a 的通项；
（2）设n n n b a =
，求数列{}n b 的前n 项和n S ．
20．（12分） （2012黄冈市高三上学期期末考试文）已知数列{}n a 中，11a =，前n 项和为 *131,()2
n n n S S S n N +=+∈且
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设数列1{}n
a 的前n 项和为n T ，求满足不等式122n n T S <+的n 值
21．（12分）已知)(x f 在()1,1-上有定义1
()12
f =，且满足,(1,1)x y ∈-有 ()()1x y f x f y f xy ⎛⎫--= ⎪-⎝⎭，对数列11221,21n n n
x x x x +==+ （1）证明：f (x)在)1,1(-上为奇函数
（2）求()n f x 的表达式
数列单元能力测试(二)参考答案
一、选择题BDAC ACAD CD
11．)2
11(2001009-+ 12．2552或 13．8 14．2- 15.4
三、解答题
16．①略； ②144
17．15、9、3、1或0、4、8、16
18．先求出()174-=x x f ，然后运用等差数列的求和公式求得2215n S n n =-
19．(1)2112333...3,3
n n n a a a a -+++= 221231133...3(2),3n n n a a a a n ---+++=
≥ 1113(2)333n n n n a n --=
-=≥， 1(2)3n n a n =≥．验证1n =时也满足上式，*1()3
n n a n N =∈ (2) 3n n b n =⋅， 23132333...3n n S n =⋅+⋅+⋅+⋅，
23413132333...3n n S n +=⋅+⋅+⋅++⋅，
则231233333n n n S n +-=+++-⋅，
11332313
n n n S n ++--=-⋅-，所以111333244n n n n S ++=⋅-⋅+． 20.（1）解法1：由1312n n S S +=
+，得 当2n ≥时1312n n S S -=+ ∴113()2n n n n S S S S +--=- ， 即132n n a a += ，∴132
n n a a += 又11a =，得2112312S a a a =
+=+， ∴232a =， ∴2132a a = ∴数列{}n a 是首项为1，公比为
32的等比数列∴13()2
n n a -= （2）∵数列{}n a 是首项为1，公比为32
的等比数列， ∴数列1{}n a 是首项为1，公比为23的等比数列，∴21()233[1()]2313n n n T -==--…9分 又∵32()22n n S =⋅-，∴不等式n T ＜
212+n s 即得：n )32(＞31， ∴n=1或n=2
21.(1)∵.( 1.1)x y ∈-有()()()1x y f x f y f xy
--=-
当x y =时,可得()0f o =
当0x =时()()()()1o y f o f y f f y oxy
--==-- ∴()()f y f y -=-∴()f x 在(1,1)-上为奇函数
(1) ∵122()()11()n n n n n n n x x x f x f f x x x +⎛⎫⎛⎫--== ⎪ ⎪+-⋅-⎝⎭⎝⎭ =()()2()n n n f x f x f x --= ∴(1)2()
n n f x f x += 又11()()12f x f == ∴{}()n f x 为等比数列,其通项公式为
111()()22n n n f x f x --=⋅=。