2019-2020学年度北师大版高中数学必修五学案：第一章 2.2 等差数列的前n项和(一)

——教学资料参考参考范本——2019-2020学年度北师大版高中数学必修五学案：第一章 2．2等差数列的前n项和（一）______年______月______日____________________部门学习目标 1.掌握等差数列前n项和公式及其获取思路.2.经历公式的推导过程，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思.3.熟练掌握等差数列的五个量a1，d，n，an，Sn的关系，能够由其中三个求另外两个．知识点一等差数列前n项和公式的推导思考高斯用1＋2＋3＋…＋100＝(1＋100)＋(2＋99)＋…＋(50＋51)＝101×50迅速求出了等差数列前100项的和．但如果是求1＋2＋3＋…＋n，不知道共有奇数项还是偶数项怎么办？梳理“倒序相加法”可以推广到一般等差数列求前n项和，其方法如下：Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an－1＋an＝a1＋(a1＋d)＋(a1＋2d)＋…＋[a1＋(n－2)d]＋[a1＋(n－1)d]；Sn＝an＋an－1＋an－2＋…＋a2＋a1＝an＋(an－d)＋(an－2d)＋…＋[an－(n－2)d]＋[an－(n－1)d]．两式相加，得2Sn＝n(a1＋an)，由此可得等差数列{an}的前n项和公式Sn＝a1＋an,2).根据等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d，代入上式可得Sn＝na1＋____________.知识点二等差数列前n项和公式的特征思考1 等差数列{an}中，若已知a2＝7，能求出前3项和S3吗？思考2 我们对等差数列的通项公式变形：an＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，分析出通项公式与一次函数的关系．你能类比这个思路分析一下Sn＝na1＋n－1,2)d吗？梳理等差数列{an}的前n项和Sn，有下面几种常见变形：(1)Sn＝n·；(2)Sn＝n2＋(a1－)n；(3)＝n＋(a1－)({}是公差为的等差数列)．知识点三等差数列前n项和公式的性质思考若{an}是公差为d的等差数列．那么a1＋a2＋a3，a4＋a5＋a6，a7＋a8＋a9是等差数列吗？如果是，公差是多少？梳理等差数列的前n项和常用性质．(1)Sm，S2m，S3m分别为等差数列{an}的前m项，前2m项，前3m项的和，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m 也成等差数列，公差为m2d.(2)项的个数的“奇偶”性质．{an}为等差数列，公差为d.设S奇为前n项中序号为奇数的项之和．S 偶为前n项中序号为偶数的项之和．①若共有2n项，则S2n＝n(an＋an＋1)；S偶－S奇＝nd；＝.②若共有2n＋1项，则S2n＋1＝(2n＋1)an＋1；S偶－S奇＝－an＋1；＝.类型一求和命题角度1 根据条件选择公式求和例1 等差数列{an}中，公差为d，Sn为前n项和．(1)a1＝3，d＝2，求S10；(2)a1＝105，an＝994，d＝7，求Sn.反思与感悟等差数列前n项和公式有2个：Sn＝na1＋n－1,2)d，Sn ＝a1＋an,2)，使用时根据条件选择，当条件不具备时，缺什么求什么．跟踪训练 1 (1)已知数列{an}中，a1＝1，an＝an－1＋(n≥2)，则数列{an}的前9项和等于________．(2)等差数列{an}中，a4＋a7＝0，则前10项的和为________．命题角度2 实际问题求和例2 某人用分期付款的方式购买一件家电，价格为1 150元，购买当天先付150元，以后每月的这一天都交付50元，并加付欠款利息，月利率为1%.若交付150元后的一个月开始算分期付款的第一个月，则分期付款的第10个月该交付多少钱？全部贷款付清后，买这件家电实际花费多少钱？反思与感悟建立等差数列的模型时，要根据题意找准首项、公差和项数或者首项、末项和项数．本题是根据首项和公差选择前n项和公式进行求解．跟踪训练2 植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植树一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一棵树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，此最小值为________米．类型二等差数列前n项和公式的应用例3 已知一个等差数列{an}前10项的和是310，前20项的和是1 220，由这些条件能确定这个等差数列的前n项和的公式吗？反思与感悟(1)在解决与等差数列前n项和有关的问题时，要注意方程思想和整体思想的运用；(2)构成等差数列前n项和公式的元素有a1，d，n，an，Sn，知其三能求其二．跟踪训练3 在等差数列{an}中，已知d＝2，an＝11，Sn＝35，求a1和n.类型三等差数列前n项和性质的应用例4 (1)等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，求数列{an}的前3m项的和S3m；(2)两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，已知＝，求的值．反思与感悟等差数列前n项和Sn的有关性质在解题过程中，如果运用得当可以达到化繁为简、化难为易、事半功倍的效果．跟踪训练4 设{an}为等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，已知S7＝7，S15＝75，Tn为数列的前n项和，求Tn.1．在等差数列{an}中，若S10＝120，则a1＋a10的值是( )A．12 B．24 C．36 D．482．记等差数列的前n项和为Sn，若S2＝4，S4＝20，则该数列的公差d等于( )A．2 B．3 C．6 D．73．在一个等差数列中，已知a10＝10，则S19＝________.4．已知等差数列{an}，(1)a1＝，d＝－，Sn＝－15，求n及an；(2)a1＝1，an＝－512，Sn＝－1 022，求d.1．求等差数列前n项和公式的方法称为倒序相加法，在某些数列求和中也可能用到．2．等差数列的两个求和公式中，一共涉及a1，an，Sn，n，d五个量，若已知其中三个量，通过方程思想可求另外两个量，在利用求和公式时，要注意整体思想的应用，注意下面结论的运用：若m＋n＝p＋q，则an＋am＝ap＋aq(n，m，p，q∈N＋)；若m＋n＝2p，则an＋am＝2ap.3．本节基本思想：方程思想，函数思想，整体思想，分类讨论思想．答案精析问题导学知识点一思考不知道共有奇数项还是偶数项导致不能配对．但我们可以采用倒序相加来回避这个问题：设Sn＝1＋2＋3＋…＋(n－1)＋n，又Sn＝n＋(n－1)＋(n－2)＋…＋2＋1，∴2Sn＝(1＋n)＋[2＋(n－1)]＋…＋[(n－1)＋2]＋(n＋1)，∴2Sn＝n(n＋1)，∴Sn＝n＋1,2).梳理n－1,2)d知识点二思考1 S3＝a1＋a3,2)＝3a2＝21.思考2 按n的降幂展开Sn＝na1＋n－1,2)d ＝n2＋(a1－)n是关于n 的二次函数形式，且常数项为0.知识点三思考(a4＋a5＋a6)－(a1＋a2＋a3)＝(a4－a1)＋(a5－a2)＋(a6－a3)＝3d＋3d＋3d＝9d，同样，(a7＋a8＋a9)－(a4＋a5＋a6)＝9d.∴a1＋a2＋a3，a4＋a5＋a6，a7＋a8＋a9是公差为9d的等差数列．题型探究例1 解(1)S10＝10a1＋d＝10×3＋×2＝120.(2)d ＝＝＝＝7， 解得n ＝128.∴Sn＝a1＋an,2)＝105＋994,2)＝7 0336. 跟踪训练1 (1)27 (2)0例2 解 设每次交款数额依次为a1，a2，…，a20，则a1＝50＋1 000×1%＝60(元)，a2＝50＋(1 000－50)×1%＝59.5(元)，…a10＝50＋(1 000－9×50)×1%＝55.5(元)，即第10个月应付款55.5元．由于{an}是以60为首项，以－0.5为公差的等差数列， 所以有S20＝60－19×0.5,2)×20＝1 105(元)， 即全部付清后实际付款1 105＋150＝1 255(元)． 跟踪训练2 2 000解析 假设20位同学是1号到20号依次排列，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，则树苗需放在第10或第11号树坑旁，此时两侧的同学所走的路程都组成以20为首项，20为公差的等差数列，故所有同学往返的总路程为S ＝9×20＋×20＋10×20＋×20＝2 000 米．例3 解 方法一 由题意知S10＝310，S20＝1 220， 将它们代入公式Sn ＝na1＋n －1,2)d ，得解方程组得⎩⎨⎧a1＝4，d ＝6.∴Sn＝n×4＋n －1,2)×6＝3n2＋n.方法二 S10＝a1＋a10,2)＝310⇒a1＋a10＝62，①S20＝a1＋a20,2)＝1 220⇒a1＋a20＝122，②②－①得：a20－a10＝60，∴10d＝60， ∴d＝6，a1＝4.Sn ＝na1＋n －1,2)d ＝3n2＋n.跟踪训练3 解 由n －1d ，,Sn ＝na1＋\f(nn －1,2)d ，)) 得n －1＝11，,na1＋\f(nn －1,2)×2＝35，))解方程组得或⎩⎨⎧n ＝7，a1＝－1.例 4 解 (1)方法一 在等差数列中，Sm ，S2m －Sm ，S3m －S2m 成等差数列．∴30,70，S3m －100成等差数列． ∴2×70＝30＋(S3m －100)，∴S3m＝210. 方法二 在等差数列中，，，成等差数列， ∴＝＋.即S3m ＝3(S2m －Sm)＝3×(100－30)＝210. (2)＝a1＋a2×5－1,\f(1,2)b1＋b2×5－1) ＝a1＋a2×5－1,\f(2×5－1,2)b1＋b2×5－1) ＝＝＝.跟踪训练4 解 设等差数列{an}的公差为d ， 则Sn ＝na1＋n(n －1)d ， ∵S7＝7，S15＝75，∴即⎩⎨⎧a1＋3d ＝1，a1＋7d ＝5，解得⎩⎨⎧a1＝－2，d ＝1.∴＝a1＋(n －1)d ＝n －， ∴－＝，∴数列是等差数列，其首项为－2，公差为， ∴Tn＝n×(－2)＋n －1,2)×12＝n2－n. 当堂训练1．B 2.B 3.1904．(1)n ＝12，an ＝a12＝－4 (2)－171。