倍长中线法(1)ppt课件
倍长中线法(加倍法)
倍长中线法（加倍法）
• 知识网络详解：
• 中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线 解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加 辅助线．
• 所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一 倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角 形的有关知识来解决问题的方法．
求证：∠C=∠BAE
A
B
ED
C
1、如图，△ABC中，BD=DC=AC,E是DC的中点， 求证，AD平分∠BAE。
A
F
B
D
E
C
第 1 题图
•
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求证：BD=CE
A
D
B
F
C
E
例3：已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E 是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F，
求证：AF=EF
A
F E
B
D
C
例4：如图，AD为的中线，DE平分交AB于E，DF 平分交AC于F.
求证：BE CF EF
A
E F
B
C
D
第 14 题图
例5：已知CD=AB，∠BDA=∠BAD，AE是△ABD 的中线，
• 倍长中线法的过程：延长某某到某点，使某某 等于某某，使什么等于什么（延长的那一条）， 用SAS证全等（对顶角）
• 倍长中线最重要的一点，延长中线一倍，完成 SAS全等三角形模型的构造。
例1：△ABC中，AB=5，AC=3， 求中线A2：已知在△ABC中，AB=AC，D在AB上，E 在AC的延长线上，DE交BC于F，且DF=EF，
全等三角形辅助线之倍长中线法
可证EFD EGC
F
(平行线夹中点)
D
E
C
G
全等三角形辅助线之倍长中线法
如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线．若AB=5， AC=3，求AD的取值范围．
A
延长AD至E使DE=AD，连接BE
在ADC和EDB中
AD=DE，ADC=EDB，BD=CD
故ADC EDB(SAS)
B
D
C AB-BE AE AB+BE即２ AE ８
A F
E
A
1 2
F
3E
B
D
C
BDCM 全等三角形辅助线之倍长中线法
如图，在正方形ABCD中，CD=BC，∠DCB=90°，点E在CB的延长线上，过点E作 EF⊥BE，且EF=BE．连接BF，FD，取FD的中点G，连接EG，CG． 求证：EG=CG且EG⊥CG．
M
A
D
A
D
G G
F EB
F
1
4
2
3
C
EB
全等三角形辅助线之倍长中线法
倍长中线法：遇中线，要倍长，倍长之后有全等．
AD为ABC的中线
A
B
D
C
延长AD至E使DE=AD，连接BE 在ADC和EDB中 AD=DE，ADC=EDB，BD=CD 故ADC EDB(SAS) 与此相关的重要结论AC PBE
E
全等三角形辅助线之倍长中线法
AD为ABC的中线
１<AD<４
E
全等三角形辅助线之倍长中线法
如图，CB是△AEC的中线，CD是△ABC的中线，且AB=AC． 求证：①CE=2CD；②CB平分∠DCE．
C
倍长中线法
倍长中线法(总1页) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除倍长中线法知识网络详解：中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．倍长中线法的过程：延长某某到某点，使某某等于某某，使什么等于什么（延长的那一条），用SAS证全等（对顶角）倍长中线最重要的一点，延长中线一倍，完成SAS全等三角形模型的构造。
【方法精讲】△ABC中延长AD到E，AD是BC边中线使DE=AD，连接BE方式2：间接倍长作CF⊥AD于F，延长MD 到N，作BE⊥AD的延长线于E 使DN=MD，连接BE 连接CN经典例题讲解：例1：△ABC中，AB=5，AC=3，求中线AD的取值范围例2：已知在△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延长线上，DE交BC于F，且DF=EF，求证：BD=CE例3：已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F，求证：AF=EF例4：已知：如图，在ABC∆中，ACAB≠，D、E在BC上，且DE=EC，过D作BADF//交AE于点F，DF=AC.求证：AE平分BAC∠例5：已知CD=AB，∠BDA=∠BAD，AE是△ABD的中线，求证：∠C=∠BAE自检自测：1、如图，△ABC中，BD=DC=AC,E是DC的中点，求证，AD平分∠BAE.2、在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE=∠EAF，AF与DC的延长线相交于点F。
试探究线段AB与AF、CF之间的数量关系，并证明你的结论.3、如图，AD为ABC∆的中线，DE平分BDA∠交AB于E，DF平分ADC∠交AC于F. 求证：EFCFBE>+4、已知：如图，ABC中，C=90，CMAB于M，AT平分BAC交CM于D，交BC于T，过D作DE//AB交BC于E，求证：CT=BE. ABFD E C。
倍长中线法
几何模型02——倍长中线法当线段出现一个中点时，特别是三角形中，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法． 倍长中线法：△ABC 中AD 是BC 边中线方式1： 延长AD 到E ， 使DE=AD ，连接BE例1.已知：如图，AD 是△ABC 的中线，求证：AB +AC ＞2AD ．证明：延长AD 到M ，使DM ＝AD ，连接BM ，CM ，∵AD 是△ABC 的中线，∴BD ＝DC ，∵AD ＝DM ，∴四边形ABMC 是平行四边形，∴BM ＝AC ，在△ABM 中，AB +BM ＞AM ，即AB +AC ＞2AD ．例2.已知，如图△ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，则中线AD 的取值范围是 ． 解：延长AD 到点E ，使AD ＝ED ，连接CE ，∵AD 是△ABC 的中线，∴BD ＝CD ，在△ABD 和△ECD 中∴△ABD ≌△ECD （SAS ），∴AB ＝EC ，在△AEC 中，AC +EC ＞AE ， 且EC ﹣AC ＜AE ，即AB +AC ＞2AD ，AB ﹣AC ＜2AD ，∴2＜2AD ＜8，∴1＜AD ＜4，故答案为：1＜AD ＜4．E D A B C练习1.如图，在△ABC中，AC＝5，中线AD＝7，则AB边的取值范围是．例3.如图，△ABC中，∠A＝90°，D为斜边BC的中点，E、F分别为AB、AC上的点，且DE⊥DF．若BE＝3，CF＝4，试求EF的长．解：延长FD至点G，使得DG＝DF，连接BG，EG，∵在△CDF和△BDG中，，∴△CDF≌△BDG（SAS），∴BG＝CF＝4，∠C＝∠DBG，∵∠C+∠ABC＝90°，∴∠DBG+∠ABC＝90°，即∠ABG＝90°，∵DE⊥FG，DF＝DG，∴EF＝EG＝＝5．练习2.如图，已知AD为△ABC的中线，DE平分∠ADB交AB于点E，DF平分∠ADC交AC于点F．求证：BE+CF＞EF．练习3.如图，在正方形ABCD中，E为AB边的中点，G，F分别为AD，BC边上的点，若AG＝1，BF＝2，∠GEF＝90°，求GF的长．练习4.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E在BC上，AE＝BE，点F是CD 的中点，且AF⊥AB，若AD＝2.7，AF＝4，AB＝6．求CE的长．例4.如图，在△ABC中，AB＝AC，E是AB中点，延长AB到D，使BD＝BA，延长CE至F，使得EF＝CE．求证：CD＝2CE．证明：方法一：如右图1，取AC的中点H，连接BH，∵BD＝BA，∴BH是△ACD的中位线，∴CD＝2BH，又∵E是AB的中点，AB＝AC，∴AE＝AH＝AB，在△ABH和△ACE中，，∴△ABH≌△ACE（SAS），∴CE＝BH，∴CD＝2CE．方法二：∵点E为AB的中点，∴BE＝AE，在△BEF和△AEC中，，∴△BEF≌△AEC（SAS），∴BF＝AC，∠EBF＝∠A，∵AB＝AC＝BD，∴∠ACB＝∠ABC，BF＝BD，∵∠CBD＝∠A+∠ACB，∠CBF＝∠ABC+∠EBF，∴∠CBD＝∠CBF，在△CBD和△CBF中，，∴△CBD≌△CBF（SAS），∴CD＝CF，∵CF＝CE+EF，CE＝EF，∴CF＝2CE，∴CD＝2CE．练习5.已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，延长AB到D，使BD＝AB，E为AB的中点．求证：CD＝2CE练习6.已知CD＝AB，∠BDA＝∠BAD，AE是△ABD的中线，求证：∠C＝∠BAE．练习7.如图，已知D是△ABC的边BC上的一点，CD＝AB，∠BDA＝∠BAD，AE是△ABD的中线．求证：AD是∠EAC的平分线．例5.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，E为BC的中点，过点E作EF∥AD 交AB于点G，交CA的延长线于点F．求证：BG＝CF．证明：作CM∥AB交FE的延长线于M．∵BG∥CM，∴∠B＝∠MCE，∵E是BC中点，∴BE＝EC，在△BEG和△CEM中，，∴△BEG≌△CEM，∴BG＝CM，∵AD∥EF，∴∠1＝∠FGA，∠2＝∠F，∵∠1＝∠2，∴∠F＝∠FGA，∵AB∥CM，∴∠FGA＝∠M，∴∠F＝∠M，∴CF＝CM，∴BG＝CF．练习8.已知：如图，△ABC（AB≠AC）中，D、E在BC上，且DE＝EC，过D 作DF∥BA交AE于点F，DF＝AC．求证：AE平分∠BAC．例6.已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，分别以AB边、AC边为直角边各向外作等腰直角三角形，如图，求证：EF＝2AD．证明：延长AD至点G，使得AD＝DG，连接BG，CG，∵AD＝DG，BD＝CD，∴四边形ABGC是平行四边形，∴AC＝AF＝BG，AB＝AE＝CG，∠BAC+∠ABG＝180°，∵∠EAF+∠BAC＝180°，∴∠EAF＝∠ABG，在△EAF和△BAG中，，∴△EAF≌△BAG（SAS），∴EF＝AG，∵AG＝2AD，∴EF＝2AD．练习9.如图，两个正方形ABDE和ACGF，点P为BC中点，连接P A交EF于点Q，试探究AP与EF的数量和位置关系，并证明你的结论．方式2：间接倍长作CF ⊥AD 于F ， 延长MD 到N ，作BE ⊥AD 的延长线于E 使DN=MD ， 连接BE 连接CN例7.如图，△ABC 中，AB ＝AC ，点D 在AB 上，点E 在AC 的延长线上，DE 交BC 于F ，且DF ＝EF ，求证：BD ＝CE ．证明：如图，过点D 作DG ∥AE ，交BC 于点G ；则△DGF ≌△ECF ，∴DG ＝CE ；∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠ACB ；∵DG ∥AE ，∴∠DGB ＝∠ACB ，∴∠DBG ＝∠DGB ，∴DG ＝BD ，∴BD ＝CE ．练习9.如图，△ABC 中，点D 在AB 上，E 是AC 延长线上一点，BD ＝CE ，DE 交BC 于点F ，DF ＝EF ，DP ∥AE 交BC 于点P ，求证：AB ＝AC ．F E D C B A N D C B A M课后练习1、如图1已知：AD为△ABC的中线，易证AB+AC＞2AD．（1）如图2，在△ABC中，AC＝5，AB＝13，D为BC的中点，DA⊥AC．求△ABC的面积．（2）问题2：如图3，在△ABC中，AD是三角形的中线．点F在中线AD上，且BF＝AC，连接并延长BF交AC于点E．求证AE＝EF．2.已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE＝∠EAF，AF与DC的延长线相交于点F，试探究线段AB与AF，CF之间的数量关系，并说明理由．3.如图，∠B＝∠C＝90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC，求证：（1）AE平分∠DAB；（2）AB+CD＝AD．4.在正方形ABCD的边AB上任取一点E，作EF⊥AB交BD于点F，取FD的中点G，连接EG、CG，如图（1），易证EG＝CG且EG⊥CG．（1）将△BEF绕点B逆时针旋转90°，如图（2），证明：EG＝CG且EG⊥CG．（2）如图（3）将△BEF绕点B逆时针旋转180°，证明：EG＝CG且EG⊥CG．5.如图，△ABC中，AB＝4，AC＝7，M是BC的中点，AD平分∠BAC，过M作FM∥AD交AC于F，求FC的长．6.如图所示，∠BAC＝∠DAE＝90°，M是BE的中点，AB＝AC，AD＝AE，求证：AM⊥CD．7.已知：如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线交MN于E、F．求证：∠DEN＝∠F．。
人教版八年级数学上册课件：倍长中线法
AC=4,求AD的取值范围.
B D C 解：直接倍长AD到E。 可得△ADC ≌ △EDB(SAS) ∴BE=AC=4 ∴ 6-4＜ AE ＜6+4 ∴ 1＜ AD ＜5 直接倍长法
E
A E B F D
如图，△ABC中，E，F分别在AB，AC上，DE⊥DF，
D是中点，试比较BE+CF与EF的大小.
A
B
E
D
C
F
如图，已知△ABC中，AD是中线，AE是△ABD的中线，BA=BD，∠BAD=∠BDA 求证：AC=2AE
解： ∴∠ADC=∠BDA+∠BDF， ∴∠ADF=∠ADC， 在△ADF与△ADC中， AD＝AD,∠ADF＝∠ADC ,FD＝DC ∴△ADF≌△ADC（SAS） ∴AF=AC ∴AC=2AE
倍长中线法
A
B 请你思考
D
C
三角形的中线有什么性质呢
A
倍长中线（或类中线）就是将
中线加倍延长构造全等三角形
B D C
构造过程：
延长中线AD到E，使DE=AD AD=ED,
Eቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
∠ADC= ∠EDB ,
BD=CD, ∴ △ADC ≌ △EDB(SAS)
倍长中线可以直接倍长或间接倍长
A △ABC中，AD是BC边中线，AB=6,
A
B
E
D
C
F
专题讨论： 有人说直角三角形斜边中线等于斜 边一半，你认为对吗，为什么？ C D A B
C
B
D
A △ADC ≌ △EDB(SAS) △ABC ≌ △ECB(SAS) E
解：倍长FD到P。
C
可得△FDC ≌ △PDB(SAS)
倍长中线与截长补短法ppt课件
故可在AB上截取AN等于AC
，得AB-AC=BN
再连接PN，则PC=PN，又
N
在△PNB中，PB-PN<BN
即：AB-AC>PB-PC。
B
A 1 2
P C
D
图6 1
M
精选2021版课件
12
证明：（截长法）在AB上截取AN=AC连接PN 在△APN和△APC中
AN=AC（辅助线作法） ∠1=∠2 （已知） AP=AP （公共边） ∴△APN≌△APC （SAS） ∴PC=PN （全等三角形对应边相等） ∵在△BPN中，有 PB-PN<BN （三角形两边之差小于第 三边）
又∵在△PCM中有：CM>PM-PC(三角形两边之差小于第三边) ∴AB-AC>PB-PC。
A 1 2
P
N
D
C
B 精选2021版课件
图6 1
M
14
精选2021版课件
15
左边比要证结论多BD+CD， 故不能直接证出此题， 而由2AD想到要构造2AD，
E 图5 1
即加倍中线，
把所要证的线段转移到同一个三角形中去
精选2021版课件
7
证明：延长AD至E，使DE=AD，连接BE，CE
∵AD为△ABC的中线 （已知）
A
∴BD=CD （中线定义）
在△ACD和△EBD中
BD=CD （已证） ∠1=∠2 （对顶角相等）
E
F
∴∠3+∠2=90° 即：∠EDF=90°
∴∠FDM=∠EDF =90° 在△EDF和△MDF中
12 34
C
B
D
ED= MD （辅助线作 法）
中线倍长法
几何证明-常用辅助线 (一)中线倍长法:1: 中线一倍辅助线作法△ABC 中方式1：延长AD 到E ，AD 是BC 边中线使DE=AD ，连接BE 方式2：间接倍长作CF ⊥AD 于F ，延长MD 到N ， 作BE ⊥AD 使DN=MD ， 连接BE 连接CD1 、求证：三角形一边上的中线小于其他两边和的一半。
2:ABC ∆中，AD 是BAC ∠的平分线，且BD=CD ，求证AB=AC3：已知在△ABC 中，AB=AC ，D 在AB 上，E 在AC 的延长线上，DE 交BC 于F ，且DF=EF ，求证：BD=CECADCE4：已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF=EF5：已知：如图，在ABC ∆中，AC AB ≠，D 、E 在BC 上，且DE=EC ，过D 作BA DF //6、在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，E 为BC 边的中点，∠BAE=∠EAF ，AF 与DC 的延长线相交于点F 。
试探究线段AB 与AF 、CF 之间的数量关系，并证明你的结论（二）截长补短法1.已知，如图1-1，在四边形ABCD 中，BC ＞AB ，AD =DC ，BD 平分∠ ABC . 求证：∠BAD +∠BCD =180°.2.如图2-1，AD ∥BC ，点E 在线段AB 上，∠ADE=∠CDE ，∠DCE=∠ECB.求证：CD=AD+BC.第 1 题图 A B F D E CABCD图1-13.已知，如图3-1，∠1=∠2，P 为BN 上一点，且PD ⊥BC 于点D ，AB +BC =2BD . 求证：∠BAP +∠BCP =180°.4已知：如图4-1，在△ABC 中，∠C ＝2∠B ，∠1＝∠2.求证：AB =AC +CD .（三）综合练习1. 已知∠1=∠2，∠3=∠4，求证：AB=CD2.BE ⊥AC ，CF ⊥AB ，BM=AC ，CN=AB 。
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1
本讲的主要内容
• 何为倍长中线法 • 倍长中线法的初步应用 • 倍长中线法的进阶应用 • 小结
2
何为倍长中线法？
• 倍长中线法：将某个三角形的某条中线延长一倍，之后将新构 造所得的端点与该三角形顶点连结，进而构造出一对全等三角形 利用全等三角形的相关知识来证明所给的几何命题。
9
倍长中线法的进阶应用
例题5：如图，AB＝AE，AB⊥AE，AD＝AC，AD⊥AC，点M为BC的 中点．求证：DE＝2AM.
解：延长AM至N，使MN＝AM，连接BN，∵点M为 BC的中点，∴BM＝CM.又∵∠BMN＝∠CMA，∴△AM C≌△NMB(SAS)．∴AC＝BN，∠C＝∠NBM，∠ABN＝ ∠ABC＋∠C＝180°－∠BAC＝∠EAD.又∵BN＝AC＝A D，AB＝EA，∴△ABN≌△EAD(SAS)．∴DE＝NA.又A M＝MN，∴DE＝2AM
8
倍长中线法的初步应用
例题4：如图，AD，AE分别是△ABC和△ABD的中线，且BA＝BD， ∠BAD＝∠BDA.求证：AE＝1/2AC.
解：延长AE至F，使EF＝AE，连接DF.∵AE是△ABD的 中线，∴BE＝DE.∵∠AEB＝∠FED，∴△ABE≌△FDE(SA S)．∴∠B＝∠BDF，AB＝DF.∵BA＝BD，∠BAD＝∠BDA， ∴BD＝DF.∵∠ADF＝∠BDA＋∠BDF，∠ADC＝∠BAD＋ ∠B，∴∠ADF＝∠ADC.∵AD是△ABC的中线，∴BD＝C D.∴DF＝CD.∴△ADF≌△ADC(SAS)．∴AC＝AF＝2AE， 即AE＝ 1/2 AC
C
13
练习2：已知：如图，在 △ABC中，AB ≠AC ，D、E在B C上，且DE=EC，过D作 DF ∥BA交AE于点F，DF=AC. 求证：AE平分∠BAC.
A
F
B
D
E
C
第 1 题图
14
4
主要思路：倍长中线（线段）造全等
方法一：在△ABC中 AD是BC边中线
B
方法二：作CF⊥AD于F， 作BE⊥AD的延长线于E 连接BE
A
延长AD到E，
使DE=AD，
连接BE
B
C D
延长MD到N， 使DN=MD， 连接CD
A C
D E
A
A
F
B
D
C
E
M B
D
C
N
5
倍长中线法的初步应用
例题1：如图，在△ABC中，AB=7，AC=5，AD是BC边的中线。则2 AD的取值范围是_________.
解：不妨延长AD至E，使得DE=AD，连结B,E。则 显然AE=2AD，又易证△ADC ≌ △EDB（SAS）。故 AC=EB，在△ABE中，利用三边的不等关系，AB-B E<AE<AB+BE,可知2<2AD<12.
6
倍长中线法的初步应用
例题2：已知△ABC中，AB＝4 cm，BC＝6 cm，BD是AC边上的中线， 求BD的取值范围。
• 中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时， 常常采用“倍长中线法”添加辅助线。
3
何为倍长中线法？
• 倍长中线法的过程： 延长某某到某点，使某某等于某某，使什么等于什么（延长
的那一条），用SAS证全等（对顶角）。 • 倍长中线最重要的一点，延长中线一倍，完成SAS全等三角形
模型的构造。
11
小结
实际上，由倍长中线时的操作便可知，我们总是能通过S件聚集于同一个三角形中，从而将问题明晰。
12
练习1 ： 如图，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F， 且AE＝EF， 求证：AC＝BF.
A
E F
B
D
10
倍长中线法的进阶应用
例题6：如图，CB，CD分别是钝角△AEC和锐角△ABC的中线，且A C=AB。求证：CE=2CD。
证明： 延长CD至点F，使DF=CD，连接B,F。 则由△ADC≌△BDF，可得AC=BF，∠1=∠A， 由AC=AB得∠ACB=∠2 因为∠3=∠A+∠ACB，故∠3=∠CBF。 再由AC=AB=BF=BE及BC=BC，可得△CBE≌△CBF，所以CE=CF， 即CE=2CD。
解：延长BD至E，使DE＝BD.连接CE.∵BD是AC边上 的中线，∴AD＝CD，∵∠BDA＝∠EDC，∴△BDA≌△E DC(SAS)．∴CE＝AB. 在△CBE中，BC－CE＜BE＜BC＋CE，∴2 cm＜2BD＜ 10 cm.∴1 cm＜BD＜5 cm
7
倍长中线法的初步应用
例题3：在△ABC,△A,B,C,中,AD、A,D,分别是BC、B,C,边的中线，AB= A,B,，AC=A,C,，AD=A,D,，请证明△ABC ≌ △A,B,C,。
证明： 分别延长AD至E、A,D,至E,使得DE=AD、D,E,=A,D,， 连结B,E、B,,E,。可以证明： △ADC ≌ △EDB，△A,D,C, ≌ △E,D,B,（SAS）。 故有BE=CA，B, E, =C, A,，∠1=∠E，∠2=∠E,。 由于CA=C, A, ，故BE= B, E, 。进而可证明△ABE ≌ △A,B,E, （SSS），因此∠E= ∠E,且∠BAD= ∠B, A, D, 故∠1= ∠2，∠BAC= ∠BAD+ ∠1= ∠B, A, D, + ∠2= ∠ B, A, C, 。 进而可证△ABC ≌ △A,B,C,（SAS）。