高中数学 1.3.1等比数列教学课件 北师大版必修5
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高中数学 1.3.1.2 等比数列的性质同步课件 北师大版必修5
仍为等比数列，例如am,a2m,a3m也为等比数列.
第九页，共39页。
(3)数列{λan}(λ≠0)，{｜an｜}皆为等比数列，公比分别为q和｜
q｜.
一个等比数列各项的k次幂，仍组成一个等比数列，新公比是原公比的
k次幂.
例如(lìrú)，以q为公比的等比数列的各项的倒数构成的数列仍为等比
数列，公比为
∴第4个数为12q-6.∴6+6q+12q-6=12,解得
q 故2 .所求的4个数为9,6,4,2.
方法3(fāngfǎ)二：设后3个数分别为4-d,4,4+d,则第1个数1（为4 d）2,
由题意
解得4-d=6.∴d=-2.故所求的4个数为49，6，4，
1（4 d）2（4 d）4 216,
4.在等比数列{an}中,若a1,a10是方程(fāngchéng)3x2-2x6=0的两根，则a4·a7=_________. 【解析】a4a7=a1a10=-2. 答案：-2
第三十八页，共39页。
5.已知实数(shìshù)a,b,c成等差数列，a+1,b+1,c+4成等比数列， 且a+b+c=15,求a,b,c. 【解析】∵a,b,c成等差数列，设公差为d，又a+b+c=15. ∴b=5,∴a+1=6-d,c+4=9+d, 又a+1,b+1,c+4成等比数列， ∴(a+1)(c+4)=(b+1)2,即（6-d)(9+d)=62, ∴d=3或d=-6,∴a,b,c分别为2,5,8或11,5,-1.
2.
4
第二十页，共39页。
【误区警示】在解决本题时注意审题，要求的是三个正数，所以解 出d=-10时需要舍去，不要忽视条件，导致(dǎozhì)错误.
【5A文】北师大版高中数学(必修5)1.3《等比数列》(第1课时) 课件
• (8)在现实生活及国民经济建设中，常出现 增长率(降低率)、复利率等问题，多与等 比数列有联系，应用广泛．
• 2．与等差中项的概念类似，如果在a与b 中插入一个数G，使得a，G，b成等比数列， 我们称G为a，b的⑩________且G＝± (ab>0)，即⑪________.在等比数列中，首
末两项除外，每一项都是它的前一项与后 一项的等比中项．
• 友情提示：关于等比数列中项的理解应注 意体会以下几点：
• (1)在a、b同号时，a、b的等比中项有两个； ⑫________时，没有等比中项；
• (2)在一个等比数列中，从第2项起，每一项 (有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后 一项的⑬________；
• (3)“a、G、b成等比数列”等价于⑭ ________，可以用它来判断或证明三数成 等比数列．
q，an共四个元素，知三可求一； • (3)若an，am是等比数列{an}的任意两项，
则an＝⑰________.
3．用函数的观点看等比数列的通项公式 等比数列{an}的通项公式 an＝a1qn－1，还可以改写为 an＝aq1qn，且 q>0，且 q≠1 时，y＝qx 是一个指数函数， 而 y＝aq1·qn 是一个不为 0 的常数与指数函数的积．因此等 比数列{an}的图像是函数 y＝aq1·qx 的图像上⑱________.
• (2)对于通项公式应从以下几个方面入手：
• ①在公式an＝a1qn－1(n∈N＋)中有四个基本 量an、a1、q、n，若知道其中任意的三个 量，就可以求出另一个量．
• ②此公式成立的条件是，n∈N＋，q≠0，且 对n取1,2,3，…的一切正整数都成立．
• ③由于an＝a1qn－1＝ ·qn，当q>0且q≠1时， qn对应于指数函数qx，所以有时可以把等 比数列的通项公式看作是函数y＝kqx(x∈N ＋)(或自然数从1起始的某个子集)这样的一 个函数．
• 2．与等差中项的概念类似，如果在a与b 中插入一个数G，使得a，G，b成等比数列， 我们称G为a，b的⑩________且G＝± (ab>0)，即⑪________.在等比数列中，首
末两项除外，每一项都是它的前一项与后 一项的等比中项．
• 友情提示：关于等比数列中项的理解应注 意体会以下几点：
• (1)在a、b同号时，a、b的等比中项有两个； ⑫________时，没有等比中项；
• (2)在一个等比数列中，从第2项起，每一项 (有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后 一项的⑬________；
• (3)“a、G、b成等比数列”等价于⑭ ________，可以用它来判断或证明三数成 等比数列．
q，an共四个元素，知三可求一； • (3)若an，am是等比数列{an}的任意两项，
则an＝⑰________.
3．用函数的观点看等比数列的通项公式 等比数列{an}的通项公式 an＝a1qn－1，还可以改写为 an＝aq1qn，且 q>0，且 q≠1 时，y＝qx 是一个指数函数， 而 y＝aq1·qn 是一个不为 0 的常数与指数函数的积．因此等 比数列{an}的图像是函数 y＝aq1·qx 的图像上⑱________.
• (2)对于通项公式应从以下几个方面入手：
• ①在公式an＝a1qn－1(n∈N＋)中有四个基本 量an、a1、q、n，若知道其中任意的三个 量，就可以求出另一个量．
• ②此公式成立的条件是，n∈N＋，q≠0，且 对n取1,2,3，…的一切正整数都成立．
• ③由于an＝a1qn－1＝ ·qn，当q>0且q≠1时， qn对应于指数函数qx，所以有时可以把等 比数列的通项公式看作是函数y＝kqx(x∈N ＋)(或自然数从1起始的某个子集)这样的一 个函数．
北师大版高中数学必修5课件1.3等比数列的前n项和课件(北师大版)
第一方面 :探求公式其它推导方法 由前面证明过程的分析Sn—qSn这一思路正是用等比 数列的重要性质，出现众多公共项，我们把这种方法叫错位相消法. 那么 与 是否可以起到同样的化简效果？体现思维
的批判性，择优选取，揭示化简本质.为学生熟练掌握错位相差起到了重要 作用。
(1)–(2)
效果如何？
(1) –(3)
通过公式的探索发现过程，学生亲历结论的“再创造”过程，体验成
功与快乐，感悟数学美 通过分类讨论的教学和猜想之后还需证明培养学生思维的严谨性
通过发散思维的教学，培养学生思维的批判性、灵活性
重点和难点
重点：等比数列前n项和公式、推导及应用
难点：等比数列前n项和公式推导思路的获得
二. 教学方法
启发引导探究发现法： 教师 展 示 数 学 游 戏 启发引导 提 出 问 题 发现公式 类比猜想 激 励 深 化 示范 实 现 目 标 演练
证明猜想 分析寻找 学生
发现错位相消法 反 思
(独立思考、合作交流)
回 顾: 1. 什么是等比数列？ 2. 公比对等比数列有何影响？ 3. 项与项之间的关系如何？
数学游戏问题： 甲、乙二人约定在一个月（按30天）内甲每天给乙100元钱，而 乙则第一天给甲返还一分，第二天给甲返还二分，即后一天返还 的钱是前一天的二倍。问谁赢谁亏？
(1) –(4)
第二方面:公式的灵活应用: 1、注意q=1与q≠1两种情形
a1 (1 q n ) a1 a n q 2、q≠1时，S n 1 q 1 q
3、五个量n、a1、q、an、Sn中，解决“知三求二”问题。
例一：“棋盘上的麦粒”（以2为底的幂）历史典故 大家都见过国际象棋吧！它的棋盘是正四方形，黑白相间共64格，传说在很 久以前，古印度舍罕王在宫廷单调的生活苦恼中，发现了也就是现今的国际象棋如 此的有趣和奥妙之后，决定要重赏发明人——他的宰相西萨班•达依尔，让他随意
1.3.1第2课时等比数列的性质 课件(高中数学必修五北师大版)
0＜q＜1 递减 ______
q＝1 不具有 单调性
q＞1 递增 _______ 数列 _______ 递减 _______
数列 ______
递增 ______
a1＜0
不具有 单调性
数列 ______
不具有 单调性
数列 _______
等比中项的概念
如果在 a 与 b 中插入一个数 G，使得 a，G，b 成等比 数列，我们称 G 为 a，b 的等比中项，且 G＝ ± ab ．
等比中项的应用
等比数列{an}的前三项的和为 168，a2－a5＝42， 求 a5，a7 的等比中项．
【思路探究】 (1)a5，a7 的等比中项是什么？ (2)要求 a5，a7 需要什么量？ (3)如何求 a1，q?
【自主解答】 设该等比数列的公比为 q，首项为 a1， 因为 a2－a5＝42， 所以 q≠1，由已知，得
等比数列性质的应用
已知{an}为等比数列． (1)若 an＞0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，求 a3＋a5. (2)若 an＞0， a5a6＝9， 求 log3a1＋log3a2＋„＋log3a10 的值．
【思路探究】 运用等比数列的性质，从整体上对式子 变形，找出相关量之间的关系．
【自主解答】 (1)由等比中项，化简已知条件可得，a32 ＋2a3a5＋a52＝25， 即(a3＋a5)2＝25， ∵an＞0，∴a3＋a5＝5. (2)由等比数列的性质可知：a5a6＝a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7 ＝9. ∴log3a1＋log3a2＋„＋log3a10＝log3(a1a2a3„a10) ＝log3[(a1a10)(a2a9)(a3a8)(a4a7)(a5a6)]＝log395＝10.
2021-2022年北师大版必修五 1.3.1等比数列(一)课件ppt
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§3 等比数列
3.1 等比数列(一)
【课标要求】 1．掌握等比数列的概念． 2．掌握等比数列的通项公式及推导过程． 3．能应用等比数列的定义及通项公式解决问题．
【核心扫描】 1．等比数列的判定．(重点) 2．等比数列的通项公式及应用．(重点、难点)
课前探究学习
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课堂讲练互动
题型二 等比数列通项的运用
【例2】求下列各等比数列的通项公式：(1)a1＝－2，a3＝－8； (2)a1＝5，且2an＋1＝－3an. [思路探索] 要求an，关键是求出首项a1和公比q. 解 (1)∵a3＝a1q2，∴q2＝4，∴q＝±2. 当q＝2时，an＝(－2)×2n－1＝－2n； 当q＝－2时，an＝(－2)×(－2)n－1＝(－2)n. (2)∵q＝aan＋n 1＝－32，又 a1＝5，∴an＝5×－32n－1. 规律方法 a1和q是等比数列的基本量，只要求出这两个 基本量，其他量便可迎刃而解．此类问题求解的通法是根 据条件，建立关于a1和q的方程组，求出a1和q.
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想一想：等比数列的通项公式有哪些常见的推导方法？ 提示 等比数列的通项公式常见的推导方法有： (1)迭代法 设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，由等比数列的定义 得， an＝an－1·q＝an－2·q2＝…＝a2·qn－2＝a1·qn－1. (2)归纳法 a2＝a1·q，a3＝a2·q＝a1q2，a4＝a3·q＝a1q3，…，an＝an－1·q＝ a1qn－1. (3)累积法
题型三 等纵数列的实际应用
【例3】(本题满分12分)始于2007年初的美国次贷危机，至 2008年中期，已经演变为全球金融危机．受此拖累，国际 原油价格从2008年7月每桶最高的147美元开始大幅下跌， 9月跌至每桶97美元．你能求出7月到9月平均每月下降的 百分比吗？若按此计算，到什么时间跌至谷底(即每桶34 美元)? 审题指导 这是一道数学应用题，先考虑建立数学模 型，把应用问题数学化是解决应用题的关键． 【解题流程】
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§3 等比数列
3.1 等比数列(一)
【课标要求】 1．掌握等比数列的概念． 2．掌握等比数列的通项公式及推导过程． 3．能应用等比数列的定义及通项公式解决问题．
【核心扫描】 1．等比数列的判定．(重点) 2．等比数列的通项公式及应用．(重点、难点)
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题型二 等比数列通项的运用
【例2】求下列各等比数列的通项公式：(1)a1＝－2，a3＝－8； (2)a1＝5，且2an＋1＝－3an. [思路探索] 要求an，关键是求出首项a1和公比q. 解 (1)∵a3＝a1q2，∴q2＝4，∴q＝±2. 当q＝2时，an＝(－2)×2n－1＝－2n； 当q＝－2时，an＝(－2)×(－2)n－1＝(－2)n. (2)∵q＝aan＋n 1＝－32，又 a1＝5，∴an＝5×－32n－1. 规律方法 a1和q是等比数列的基本量，只要求出这两个 基本量，其他量便可迎刃而解．此类问题求解的通法是根 据条件，建立关于a1和q的方程组，求出a1和q.
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想一想：等比数列的通项公式有哪些常见的推导方法？ 提示 等比数列的通项公式常见的推导方法有： (1)迭代法 设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，由等比数列的定义 得， an＝an－1·q＝an－2·q2＝…＝a2·qn－2＝a1·qn－1. (2)归纳法 a2＝a1·q，a3＝a2·q＝a1q2，a4＝a3·q＝a1q3，…，an＝an－1·q＝ a1qn－1. (3)累积法
题型三 等纵数列的实际应用
【例3】(本题满分12分)始于2007年初的美国次贷危机，至 2008年中期，已经演变为全球金融危机．受此拖累，国际 原油价格从2008年7月每桶最高的147美元开始大幅下跌， 9月跌至每桶97美元．你能求出7月到9月平均每月下降的 百分比吗？若按此计算，到什么时间跌至谷底(即每桶34 美元)? 审题指导 这是一道数学应用题，先考虑建立数学模 型，把应用问题数学化是解决应用题的关键． 【解题流程】
新版高中数学北师大版必修5课件：第一章数列 1.3.1.1
解得
������1 = 27,
������
=
2 3
或
������1 = -27,
������
=
-
2 3
.
(3)由题意得
������1 ������1
������4-������1 ������3-������1
= 15①, ������ = 6②,
由
① ②
得
������2+1 ������ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
=
52,
解得
S 随堂演练 UITANGYANLIAN
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Z 知识梳理 HISHISHULI
D 典例透析 IANLITOUXI
S 随堂演练 UITANGYANLIAN
2.通项公式
等比数列{an}的首项为a1,公比为q,则其通项公式为an=a1qn-1
(a1≠0,q≠0). 【做一做2-1】在等比数列{an}中,a1=2,q=3,则an等于( ).
A.6 B.3×2n-1 C.2×3n-1 D.6n 解析:an=a1qn-1=2×3n-1.
答案:C
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S 随堂演练 UITANGYANLIAN
【做一做2-2】 有下列3个说法:
①等比数列中的某一项可以为0; ②等比数列中公比的取值范围是(-∞,+∞); ③若一个常数列是等比数列,则这个常数列的公比为1.
×
1 2
������ - 1
, ∴ ������ = 9.
解法二:∵a4+a7=a3q+a6q=(a3+a6)q,
∴q=
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a＋d(或aq，a，aq)依题意设等比比设等差方便．
(2)此题用到“分类讨论”的数学方法，使用“分类讨论”方 法解题时，必须做到以下两点： ①明确分类标准(如概念、性质、运算等)； ②分类做到不重不漏．
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【训练2】 有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数
成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个
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解 ∵a6·a10＝a82，a3·a5＝a42，∴a82＋a42＝41.又∵a4·a8＝5，
an>0，∴a4＋a8＝ a42＋2a4·a8＋a82＝ 51.
规律方法 在等比数列的有关运算中，常常涉及到次数较 高的指数运算．若按常规解法，往往是建立a1，q的方程 组，这样解起来很麻烦，通过本例可以看出：结合等比数 列的性质，进行整体变换，会起到化繁为简的效果．
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2．等比数列的项与序号的关系以及性质
两项关系
通项公式的推广： an＝am·qn－m(m，n∈N＋)
多项关系
项的运算性质： 若m＋n＝p＋q(m，n，p， q∈N＋)，则am·an＝_a_p_·a_q_
3. 等比数列的项的对称性 有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于
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3.1 等比数列(二)
【课标要求】
1．理解等比中项的概念． 2．掌握“判断数列是否为等比数列”常用的方法． 3．进一步熟练掌握等比数列的通项公式、性质及应用．
【核心扫描】 1．在等比数列中，若m＋n＝p＋q(n，m，p，q∈N＋)，则
aman＝apaq的运用．(重点) 2．等比数列与等差数列的综合．(难点)
(2)此题用到“分类讨论”的数学方法，使用“分类讨论”方 法解题时，必须做到以下两点： ①明确分类标准(如概念、性质、运算等)； ②分类做到不重不漏．
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【训练2】 有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数
成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个
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解 ∵a6·a10＝a82，a3·a5＝a42，∴a82＋a42＝41.又∵a4·a8＝5，
an>0，∴a4＋a8＝ a42＋2a4·a8＋a82＝ 51.
规律方法 在等比数列的有关运算中，常常涉及到次数较 高的指数运算．若按常规解法，往往是建立a1，q的方程 组，这样解起来很麻烦，通过本例可以看出：结合等比数 列的性质，进行整体变换，会起到化繁为简的效果．
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2．等比数列的项与序号的关系以及性质
两项关系
通项公式的推广： an＝am·qn－m(m，n∈N＋)
多项关系
项的运算性质： 若m＋n＝p＋q(m，n，p， q∈N＋)，则am·an＝_a_p_·a_q_
3. 等比数列的项的对称性 有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于
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3.1 等比数列(二)
【课标要求】
1．理解等比中项的概念． 2．掌握“判断数列是否为等比数列”常用的方法． 3．进一步熟练掌握等比数列的通项公式、性质及应用．
【核心扫描】 1．在等比数列中，若m＋n＝p＋q(n，m，p，q∈N＋)，则
aman＝apaq的运用．(重点) 2．等比数列与等差数列的综合．(难点)
北师大版高中数学必修5《一章 数列 3 等比数列 3.1等比数列》公开课课件_4
北师大版必修五
第一章 数 列
§3.1等比数列
温故知新：
1、等差数列定义：an－an－１=d(d为常数) （n≥2)
2、等差数列的通项公式：
an=a1+(n-1)d
3、等差数列的通项公式如何推导出来的？
①归纳法
②累加法
讲授新课
1、《算法统宗》中有这样一题: “一文(钱)日增一倍，倍至三十日，问日计钱几何？
{an}是递增等比数列
证明：
an 3n
an1 an
an
3n1 3n
0,
3 {an}是等比数列
an1 1 an
an1 an {an}是递增数列
∴ {an}是递增等比数列
三、等比中项
等差中项
等比中项
如果三个数x,A,y组成等 差数列，那么A叫做x和y 的等差中项。
a1q2
a…4 a3q a1q3
, an a1 (n 1)d
an a1qn1
北师大版必修五《等比数列》（第一课时）
设等差数列{ a n },公差为d 设等比数列{ a n},公比为 q
a2 a1 d
a3 a2 d a4 a3 d
(n 1)个相加
(n N 且n 2)
如果一个数列从第_二___项
起，每一项与它的前一 项的_比__都等于_同__一个常
数，那么这个数列就叫 做__________ 常数叫做 等 比 数列的_公__比__
公比通常用字母q表示
an q an1
(q 0)
(n N 且n 2)
想一想 判断下列数列是否为等比数列。若是，则公比是 多少，若不是，请说明理由。
第一章 数 列
§3.1等比数列
温故知新：
1、等差数列定义：an－an－１=d(d为常数) （n≥2)
2、等差数列的通项公式：
an=a1+(n-1)d
3、等差数列的通项公式如何推导出来的？
①归纳法
②累加法
讲授新课
1、《算法统宗》中有这样一题: “一文(钱)日增一倍，倍至三十日，问日计钱几何？
{an}是递增等比数列
证明：
an 3n
an1 an
an
3n1 3n
0,
3 {an}是等比数列
an1 1 an
an1 an {an}是递增数列
∴ {an}是递增等比数列
三、等比中项
等差中项
等比中项
如果三个数x,A,y组成等 差数列，那么A叫做x和y 的等差中项。
a1q2
a…4 a3q a1q3
, an a1 (n 1)d
an a1qn1
北师大版必修五《等比数列》（第一课时）
设等差数列{ a n },公差为d 设等比数列{ a n},公比为 q
a2 a1 d
a3 a2 d a4 a3 d
(n 1)个相加
(n N 且n 2)
如果一个数列从第_二___项
起，每一项与它的前一 项的_比__都等于_同__一个常
数，那么这个数列就叫 做__________ 常数叫做 等 比 数列的_公__比__
公比通常用字母q表示
an q an1
(q 0)
(n N 且n 2)
想一想 判断下列数列是否为等比数列。若是，则公比是 多少，若不是，请说明理由。
高中数学 1.3.1.1 等比数列同步课件 北师大版必修5
设仅有沙漠、绿洲两种状态）.设2011年底绿洲面积为
a1
3 ，经过1年（指2012年底）绿洲的面积为a2，经过n年
10
绿洲面积为an+1.
(1)求证：数列
{a n
4} 5
是等比数列(děnɡ
bǐ
shù
liè);
(2)经过3年努力，绿洲面积为多少？
第二十五页，共43页。
【审题指导】解决本题的关键应抓住绿洲面积的变化由两部分
第三十八页，共43页。
2.数列1,37,314,321,…中，398是这个数列的( )
(A)第13项
(B)第14项
(C)第15项
(D)不在此数列中
【解析(jiě xī)】选C.398=1×(37)15-1，∴398是这个等
比数列的第15项.
第三十九页，共43页。
3.若a,b,c,d成等比数列，则下列(xiàliè)三组数：①
第十四页，共43页。
【例2】已知数列{an}是各项均为正数的等差数列，且
lga1,lga2,lga4成等差数列，又 求证：数列{bn}为等比数列.
bn
1(n=1,2,3,…). a 2n
【审题指导】解决(jiějué)本题的思路是先由条件求出通项公式
an，进而求出通项公式bn，利用等比数列的定义进行判定.
an
即可，由此可先由Sn=2an+1,推导出{an}的通项公式 (gōngshì)an，再证明.
第二十页，共43页。
【规范(guīfàn)解答】∵Sn=2an+1,∴Sn+1=2an+1+1. ∴an+1=Sn+1-Sn=(2an+1+1)-(2an+1) =2an+1-2an. ∴an+1=2an 又∵S1=2a1+1=a1,∴a1=-1≠0. 又由an+1=2an知an≠0, ∴ an1 ∴ {2a. n}是等比数列.
高中数学第1章数列1311等比数列第一课时课件北师大版必修5
B．2
C．－2
D．4
答案 B
第41页
4. 2－1 与 2＋1 的等比中项是________． 答案 ±1
第42页
5．在等比数列{an}中，已知 a1a3a11＝8，那么 a2a8＝________． 答案 4
第43页
6．已知{an}为等比数列，a3＝2，a2＋a4＝230，求{an}的通项 公式．
第34页
探究 3 (1)在 a，b 同号时，a，b 的等比中项有两个；异号 时，没有等比中项．
(2)在一个等比数列中，从第 2 项起，每一项都是它的前一项 与后一项的等比中项．
第35页
●思考题 4 (1)① 3＋1 和 3－1 的等比中项为________． ②1＋ 3和 1－ 3的等比中项为________． (2)已知{an}中 an＝2n，则 a2 和 a4 的等比中项为________． (3)由 x＝ ab是否能得到 a，x，b 成等比数列？由 a，x，b 成等比数列能否得到 x＝ ab？
(2)数列{an}中，a1＝2，aan＋n 1＝21(n∈N*)，则 a20＝________． (3)等比数列{an}中，a6＝6，a9＝9，则 a3＝________．
第20页
【答案】 (1)4 (2)220 (3)4
第21页
例 3 已知等比数列{an}，若 a1＋a2＋a3＝7，a1a2a3＝8，求 an.
【答案】 A
第32页
(2)已知 b 是 a，c 的等比中项，求证：ab＋bc 是 a2＋b2 与 b2 ＋c2 的等比中项．
第33页
【解析】 b 是 a，c 的等比中项，则 b2＝ac，且 a，b，c 均 不为零，
又(a2＋b2)(b2＋c2)＝a2b2＋a2c2＋b4＋b2c2＝a2b2＋2a2c2＋b2c2， (ab＋bc)2＝a2b2＋2ab2c＋b2c2＝a2b2＋2a2c2＋b2c2，所以(ab＋ bc)2＝(a2＋b2)·(b2＋c2)，即 ab＋bc 是 a2＋b2 与 b2＋c2 的等比中项．
高中数学课件-1-3-1-2等比数列的性质及应用 课件(北师大版必修5)
由条件得a1q·a1q3＋2a1q2·a1q4＋a1q3·a1q5＝25， 即a21q4(q2＋1)2＝25. ∴a1q2(q2＋1)＝5.a3＋a5＝a1q2＋a1q4＝a1q2(q2＋1)＝5. 解法二：∵a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25， 由等比数列的性质得a23＋2a3a5＋a25＝25， 即(a3＋a5)2＝25.又an>0，∴a3＋a5＝5. 【答案】 A
第一章 数列
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(5)数列{an}是各项均为正数的等比数列时，数列{lgan} 是公差为 lgq 的等差数列．
(6)当m，n，p(m，n，p∈N＋)成等差数列时，am，an， ap成 等比 数列．
(7)等比数列中的任意一项均不为0，即an≠0.
第一章 数列
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等比数列与指数函数的关系．
提示：(1)等比数列的通项公式an＝a1qn－1，可以整理为
100
lg ∴x＝
8 －lg lg1208＝lg
2－3lg 2 7＋lg 2－1
＝0.8425－13＋×00.3.3001100－1＝01.1.049671≈7.51(年)．
故8年后，即公元2012年后，我国艾滋病毒感染者人数
将超过1 000万人．
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提高篇 03
第一章 数列
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(已知lg 2＝0.301 0，lg3＝0.477 1，lg7＝0.845 1) 【答案】 2012
第一章 数列
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【解析】 设x年后我国艾滋病毒感染者人数将达到1
000万人，则80·(1＋40%)x＝1 000，
即75x＝1 80000，∴lg75x＝lg1 80000，
请 做：巩固篇04
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(5)数列{an}是各项均为正数的等比数列时，数列{lgan} 是公差为 lgq 的等差数列．
(6)当m，n，p(m，n，p∈N＋)成等差数列时，am，an， ap成 等比 数列．
(7)等比数列中的任意一项均不为0，即an≠0.
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等比数列与指数函数的关系．
提示：(1)等比数列的通项公式an＝a1qn－1，可以整理为
100
lg ∴x＝
8 －lg lg1208＝lg
2－3lg 2 7＋lg 2－1
＝0.8425－13＋×00.3.3001100－1＝01.1.049671≈7.51(年)．
故8年后，即公元2012年后，我国艾滋病毒感染者人数
将超过1 000万人．
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(已知lg 2＝0.301 0，lg3＝0.477 1，lg7＝0.845 1) 【答案】 2012
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【解析】 设x年后我国艾滋病毒感染者人数将达到1
000万人，则80·(1＋40%)x＝1 000，
即75x＝1 80000，∴lg75x＝lg1 80000，
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an ×） an1 q
……
a4 q a3
共n – 1 个 等式
an a1 (n 1)d
an a1q
n 1
等比数列通项公式的变形
推论：已知等比数列的公比为q,第m项为 am , 求 an .
解：由等比数列的通项公式可知 an a1q n 1 am a1q m 1
通项公式的推导：
等差数列 a
n
a2 a1 d
方法一： 归纳法
等比数列 an
a2 q a2 a1q a1
a3 a1 2d
a4 a1 3d
类比
……
由此归纳等差数列的 通项公式可得：
a3 q a3 a2 q a1q 2 a2 a4 q a4 a3q a1q 3 a3
A.6 B.12 C.18 D.24 405
练4.写出等比数列5，-15，45,„„的第5项 ?
- 1 ，a =________ -729 。 练5.已知a3 =-9,q=-3,则a1 =_______ 7
课堂小结
• 知识小结：等比数列的定义，其通项公式及推广 公式的推导和其应用。 • 思想方法小结：类比思想，函数思想，整体思想。 • 能力小结：培养观察、归纳，猜想能力和计算的技 巧能力。
a3 a5 an a2 a4 q a1 a2 a3 a4 a n 1
课堂概念辨析：
判定下列数列是否是等比数列？如果是请指出公比。
(1) 3，6，12，24，48； (2) 6，6，6，6； (3) 3，-3，3，-3，3； (4) 1，2，4，6，3，4； (5) 5, 0, 5, 0, 5, 0； 是,q=2 是, q=1 是, q=-1 不是 不是
作业布置 1.复习本节课所学的内容； 2.书上30页A组1、3、9题，B组1题。
3.思考:等比数列的通项公式推导还有什么方法？
4.预习下节课内容。
③5，25，125,625… q 5
an 5
n
④2/3，1/2，3/8…
3 2 3 n 1 q , an分别是12和18，求第1项和第2项.
解：用｛an｝ 表示题中公比为q的等比数列，由已知条件
a3 12, a4 18,
a1q 2 12 即 3 a1q 18
16 解得 a 1 3
16 3 8 因此， a2 a1q 3 2 16 答：这个数列的第1项与第2项分别是 与8. 3
3 q 2
课后练习
9 练1.在等比数列中,已知首项为 8
,末项为 1 ,公比为 2 ,则
3 3
项数n为( A )
折1次 2(21)
折2次 4(22)
折3次 8(23)
折4次 16(24)
„„ „„
折30次 230
不可思议吧，当对折30次后，它的厚度将比珠穆郎玛峰还要高12倍！
等比数列的定义：
请仔细观察一下，看看以上二个数列有什么共同特征？ 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的 比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列，这个常数 就叫做等比数列的公比（常用字母“q”表示）。
A.4
B.5
C.6
D.7
2a1 a2 练2.设a1,a2,a3,a4 成等比数列,其公比为2 ,则 的 2a3 a4 值为( C )
1 A. 8 1 B. 2 1 C. 4
D.1
课后练习
练3.已知{an}是等比数列，且an＞0,a2a4+2a3a5+a4a6=36,那
么a3+a5的值等于（ A ）
引例1：一尺之棰，日取其半 ，万世不竭。
意思：“一尺长的木棒，每日取其一半，永远也取不 完” 。
第1次 第2次 第3次 第4次 第n次
1 16
1 8
1 4
1 2
引例2： 一位数学家说过：你如果能将一张纸对折
30次，我就能顺着爬上珠穆朗玛峰。
一张纸，对折1次，为2层，第2次对折，为4层，对折3次变成8层...对折N次呢?
(6)1, x, x 2 , x3 , x 4 .
①当x≠0时，是,公比 q= x ②当x=0时，不是
课堂范例讲解
例1.已知数列 a 的通项公式为
n
an
n ，试问 3 2
这个数列是等比数列吗？
n a 3 2 解：因为当n≥2时， n 2 n 1 an 1 3 2
所以数列{an } 是等比数列，且公比为2。
an 两式相除，得 q n m am
an amq
nm
nm
试比较 a n =a1q 与an amq
n-1
想 一 想
课堂巩固 例2、求下列等比数列的公比和通项公式： ①1.2，2.4，4.8… ②-27，9，-3，1…
q2
an 1.2 2
n1
1 1 n1 q , an 27 ( ) 3 3
……
归纳等比数列的通项公式可得：
an a1 (n 1)d
an a1q
n 1
通项公式的推导：
方法二：等差数列 an 叠加法
a2 a1 d
类比
方法二: 等比数列 an a2 累乘法 q a1
a3 q a2
a3 a2 d
……
a4 a3 d
+） an an1 d