广东省东莞市高二上学期期末数学试卷及答案解析
东莞市光明中学高二上学期期末数学试卷及答案解析
第 1 页 共 17 页2020-2021学年东莞市光明中学高二上学期期末数学试卷一．单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分）1．（5分）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝3，b ＝3，A ＝30°，则角B 等于（ ） A ．30°B ．30°或150°C ．60°D ．60°或120°2．（5分）已知实数a ，b ，c 满足a ＜b ＜c ，且ab ＜0，那么下列各式中一定成立的是（ ） A ．ab＞acB ．a （c ﹣b ）＜0C ．ac 2＞bc 2D ．ab （b ﹣a ）＞03．（5分）已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的焦点分别为F 1（﹣5，0），F 2（5，0），P 为C 上一点，PF 1⊥PF 2，tan ∠PF 1F 2=34，则C 的方程为（ ）A ．x 2−y 224=1B ．x 224−y 2＝1 C ．x 29−y 216=1 D ．x 216−y 29=14．（5分）已知数列{a n }是等差数列，且a 3+a 13＝50，a 6＝19，则a 2＝（ ） A ．3B ．4C ．7D ．85．（5分）设a ，b 为实数，则“a ＞b ＞0”是“πa ＞πb ”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．（5分）居民消费价格指数是反映一定时期内城乡居民所购买的生活消费品和服务项目价格变动趋势和程度的相对数，是对城市居民消费价格指数和农村居民消费价格指数进行综合汇总计算的结果．通过该指数可以观察和分析消费品的零售价格和服务项目价格变动对城乡居民实际生活费支出的影响程度，如图，是疫情期间我国的居民消费价格指数与食品类居民消费价格指数折线图，据此图，下列分析中不合理的是（ ）第 2 页 共 17 页A ．居民消费价格指数变化幅度相对不大B ．食品类居民消费价格指数变化幅度相对较大C ．食品类居民消费价格指数高于居民消费价格指数D ．食品类居民消费价格指数与居民消费价格指数的变化趋势很不一致7．（5分）已知实数x ，y 满足不等式{x −y +2≥02x +y −5≤0y ≥1，则z =yx+3的最大值为（ ）A ．35B ．45C ．34D ．328．（5分）双曲线x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的右焦点为F ，过F 作与双曲线的两条渐近线平行的直线且与渐近线分别交于A ，B 两点，若四边形OAFB （O 为坐标原点）的面积为bc ，则双曲线的离心率为（ ） A ．√2B ．2C ．√3D ．3二．多项选择题（共4小题，每小题5分，共20分） 9．（5分）下列结论正确的是（ ） A ．在△ABC 中，若A ＞B ，则sin A ＞sin BB ．在锐角三角形ABC 中，不等式b 2+c 2﹣a 2＞0恒成立C ．在△ABC 中，若C =π4，a 2﹣c 2＝bc ，则△ABC 为等腰直角三角形D ．在△ABC 中，若b ＝3，A ＝60°，三角形面积S =3√3，则三角形外接圆半径为√3310．（5分）椭圆x 216+y 2m=1的焦距为2√7，则m 的值为（ ） A ．9B ．23C ．16−√7D ．16+√711．（5分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，下列说法正确的有（ ） A ．a ：b ：c ＝sin A ：sin B ：sin C B ．若sin2A ＝sin2B ，则a ＝b C ．若sin A ＞sin B ，则A ＞BD ．a sinA=b+c sinB+sinC12．（5分）已知数列{a n }的首项为4，且满足2（n +1）a n ﹣na n +1＝0（n ∈N *），则（ ） A ．{an n}为等差数列 B ．{a n }为递增数列C ．{a n }的前n 项和S n =(n −1)⋅2n+1+4D ．{a n 2n+1}的前n 项和T n =n 2+n2。
广东省东莞市高二上册期末数学试题与答案
广东省东莞市高二上册期末数学试题与答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 每小题各有四个选择支，仅有一个选择支正确. 请用2B铅笔把答题卡中所选答案的标号涂黑．）1.不等式的解集为（）A. B.C. D.【答案】A将一元二次不等式因式分解，再结合二次函数的图像即可求解.因为，所以，所以或，即原不等式的解集为本题主要考查一元二次不等式的解法，属于基础题型.2.在等差数列中，，，则公差为( )A. B. C. D.【答案】C由等差数列的性质即可求解.因为在等差数列中，，，所以，所以.本题主要考查等差数列的性质，属于基础题型.3.命题“”的否定是（）A. B.C. D.【答案】B由特称命题的否定，直接写出结果即可.命题“”的否定是“”.本题主要考查特称命题的否定，属于基础题型.4.实数满足，则目标函数的最小值为（）A. B. C. D.【答案】C先由不等式组作出其所表示的平面区域，再将目标函数化为，结合图像即可确定结果.由不等式组作出平面区域如下：由题意求目标函数的最小值即是求在y轴截距的最小值问题，由图像可得，直线过点时，截距最小为1.本题主要考查简单线性规划问题，属于基础题型.5.若双曲线的渐近线方程为，则双曲线的离心率为（）A. 2B.C.D.【答案】D由题意先求出m，进而可求出结果.因为双曲线的渐近线方程为，所以，所以离心率.本题主要考查双曲线的简单性质，属于基础题型.6.在中，内角满足，则的形状为（）A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等腰直角三角形D. 正三角形【答案】B先由得，化简整理即可判断出结果.因为，所以，所以，所以，故，所以三角形是等腰三角形.本题主要考查三角恒等变换，属于基础题型.7.若点在曲线上，则的最小值为（）A. 8B. 9C. 16D. 18【答案】D由在曲线得到关系式，结合基本不等式即可求解.因为点在曲线上，所以，因此,当且仅当，即时，取最小值18.本题主要考查基本不等式，属于基础题型.8.已知实数满足，，则下列选项一定成立的是（）A. B. C. D.【答案】C结合条件，逐项判断即可。
广东省东莞市高二数学上学期期末试卷(B卷) 理(含解析)-人教版高二全册数学试题
广东省东莞市2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（B卷）（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）命题“若x＞2015，则x＞0”的否命题是（）A．若x＞2015，则x≤0B．若x≤0，则x≤2015C．若x≤2015，则x≤0D．若x＞0，则x＞20152．（5分）若a∈R，则“a=2”是“（a﹣2）（a+4）=0”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）在△A BC中，角 A，B，C的对边长分别为a，b，c，a=4，A=45°，B=60°，则b=（）A．2B．2C．2D．4．（5分）抛物线y2=16x的准线方程为（）A．y=4 B．y=﹣4 C．x=﹣4 D．x=45．（5分）已知等比数列{a n}，a1=1，a3=，则a5=（）A．±B．﹣C．D．±6．（5分）已知双曲线的渐近线方程是y=±x，焦点在x轴上，焦距为20，则它的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣7．（5分）已知等差数列{a n}，a1=1，a3=3，则数列{}的前10项和为（）A．B．C．D．8．（5分）设a＞0，b＞0．若是3a与3b的等比中项，则的最小值为（）A．8 B．4 C．1 D．9．（5分）如图，空间四边形OABC中，，点M在上，且OM=2MA，点N为BC中点，则=（）A．B．C．D．10．（5分）当双曲线C不是等轴双曲线时，我们把以双曲线C的实轴、虚轴的端点作为顶点的椭圆称为双曲线C的“伴生椭圆”．则离心率为的双曲线的“伴生椭圆”的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）11．（5分）已知向量=（2，﹣1，1），=（t，1，﹣1），t∈R，若∥，则t=．12．（5分）不等式组表示的平面区域的面积是．13．（5分）已知等差数列{a n}，a1=1，公差d≠0，若a1，a2，a6成等比数列，则a11=．14．（5分）已知命题p：∃x∈R，x2+2x+a≤0，若命题p是假命题，则实数a的取值范围是．（用区间表示）三、解答题（本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．（12分）在△A BC中，a，b，c分别是角 A，B，C的对边，cosB=且ac=35．（1）求△ABC的面积；（2）若a=7，求角C．16．（12分）设命题p：实数x满足（x﹣4a）（x﹣a）＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足x2﹣4x+3≤0．（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若p是q成立的必要不充分条件，求实数a的取值范围．17．（14分）某农场计划种植甲、乙两个品种的蔬菜，总面积不超过300亩，总成本不超过9万元．甲、乙两种蔬菜的成本分别是每亩600元和每亩200元．假设种植这两个品种的蔬菜，能为该农场带来的收益分别为每亩0.3万元和每亩0.2万元．问该农场如何分配甲、乙两种蔬菜的种植面积，可使农场的总收益最大，最大收益是多少万元？18．（14分）如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是等腰梯形，∠DAB=60°，AB=2CD=2，M是线段AB的中点．（Ⅰ）求证：C1M∥平面A1ADD1；（Ⅱ）若CD1垂直于平面ABCD且CD1=，求平面C1D1M和平面ABCD所成的角（锐角）的余弦值．19．（14分）已知S n为数列{a n}的前n项和，且有a1=1，S n+1=a n+1（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足b n=，其前n项和为 T n，求证：≤T n＜1．20．（14分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）经过点（1，），且椭圆的左、右焦点分别为F1（﹣1，0）、F2（1，0），过椭圆的右焦点F2作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于点 A、B及C、D．（1）求椭圆的方程；（2）求+的值；（3）求|AB|+|CD|的最小值．广东省东莞市2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（B卷）（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）命题“若x＞2015，则x＞0”的否命题是（）A．若x＞2015，则x≤0B．若x≤0，则x≤2015C．若x≤2015，则x≤0D．若x＞0，则x＞2015考点：四种命题．专题：简易逻辑．分析：否命题是既否定题设又否定结论，从而得到答案．解答：解：命题“若x＞2015，则x＞0”的否命题是：若x≤2015，则x≤0，故选：C．点评：要将命题的否定和否命题区分开来，本题属于基础题．2．（5分）若a∈R，则“a=2”是“（a﹣2）（a+4）=0”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据充分必要条件的定义分别判断充分性和必要性，从而得到答案，解答：解：若a=2，则（a﹣2）（a+4）=0，是充分条件，若（a﹣2）（a+4）=0，则a不一定等于2，是不必要条件，故选：B．点评：本题考查了充分必要条件，是一道基础题．3．（5分）在△A BC中，角 A，B，C的对边长分别为a，b，c，a=4，A=45°，B=60°，则b=（）A．2B．2C．2D．考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：由正弦定理可得b=，代入已知即可求值．解答：解：由正弦定理可得：b===2．故选：A．点评：本题主要考查了正弦定理的应用，属于基础题．4．（5分）抛物线y2=16x的准线方程为（）A．y=4 B．y=﹣4 C．x=﹣4 D．x=4考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程为x=﹣，则抛物线y2=16x的准线方程即可得到．解答：解：由抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程为x=﹣，则抛物线y2=16x的准线方程为x=﹣4．故选C．点评：本题考查抛物线的方程和性质，主要考查抛物线的准线方程的求法，属于基础题．5．（5分）已知等比数列{a n}，a1=1，a3=，则a5=（）A．±B．﹣C．D．±考点：等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：由等比数列的性质可得a32=a1•a5，代值计算可得．解答：解：∵等比数列{a n}，a1=1，a3=，∴a32=a1•a5，∴=1×a5，解得a5=故选：C点评：本题考查等比数列的通项公式，属基础题．6．（5分）已知双曲线的渐近线方程是y=±x，焦点在x轴上，焦距为20，则它的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设出双曲线的方程，求出渐近线方程，可得a=2b，a2+b2=100，解方程即可得到双曲线的方程．解答：解：设双曲线的方程为﹣=1（a＞0，b＞0），则渐近线方程为y=x，则有=，c=10，a2+b2=100，解得a2=80，b2=20，即有双曲线的方程为﹣=1．故选D．点评：本题考查双曲线的方程和性质，考查渐近线方程的运用，考查运算能力，属于基础题．7．（5分）已知等差数列{a n}，a1=1，a3=3，则数列{}的前10项和为（）A．B．C．D．考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：利用等差数列的通项公式可得a n，再利用“裂项求和”即可得出．解答：解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a1=1，a3=3，∴1+2d=3，解得d=1，∴a n=1+（n﹣1）=n．∴=，∴数列{}的前10项和=+…+=1﹣=．故选：A．点评：本题考查了“裂项求和”、等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于解出题．8．（5分）设a＞0，b＞0．若是3a与3b的等比中项，则的最小值为（）A．8 B．4 C．1 D．考点：基本不等式；等比数列的性质．专题：不等式的解法及应用．分析：由题设条件中的等比关系得出a+b=1，代入中，将其变为2+，利用基本不等式就可得出其最小值解答：解：因为3a•3b=3，所以a+b=1，，当且仅当即时“=”成立，故选择B．点评：本小题考查指数式和对数式的互化，以及均值不等式求最值的运用，考查了变通能力．9．（5分）如图，空间四边形OABC中，，点M在上，且OM=2MA，点N为BC中点，则=（）A．B．C．D．考点：向量加减混合运算及其几何意义．专题：计算题．分析：由题意，把，，三个向量看作是基向量，由图形根据向量的线性运算，将用三个基向量表示出来，即可得到答案，选出正确选项．解答：解：由题意=++=+﹣+=﹣++﹣=﹣++又=，=，=∴=﹣++故选B．点评：本题考点是空间向量基本定理，考查了用向量表示几何的量，向量的线性运算，解题的关键是根据图形把所研究的向量用三个基向量表示出来，本题是向量的基础题．10．（5分）当双曲线C不是等轴双曲线时，我们把以双曲线C的实轴、虚轴的端点作为顶点的椭圆称为双曲线C的“伴生椭圆”．则离心率为的双曲线的“伴生椭圆”的离心率为（）A．B．C．D．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据双曲线、椭圆的离心率计算公式计算即得结论．解答：解：设双曲线C的方程为﹣=1，则e==，∴b2=2a2，∴双曲线C的“伴生椭圆”方程为：+=1，∴“伴生椭圆”的离心率为==，故选：D．点评：本题考查椭圆的简单性质，注意解题方法的积累，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）11．（5分）已知向量=（2，﹣1，1），=（t，1，﹣1），t∈R，若∥，则t=﹣2．考点：向量的数量积判断向量的共线与垂直．专题：空间向量及应用．分析：利用向量共线定理即可得出．解答：解：∵∥，∴，解得t=﹣2．故答案为：﹣2．点评：本题考查了向量共线定理，属于基础题．12．（5分）不等式组表示的平面区域的面积是4．考点：二元一次不等式（组）与平面区域．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，根据图象即可得到结论．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：由解得，即A（2，2），由，解得，即B（2，﹣2），则三角形的面积S=，故答案为：4点评：本题主要考查二元一次不等式组表示平面区域以及三角形面积的求解，比较基础．13．（5分）已知等差数列{a n}，a1=1，公差d≠0，若a1，a2，a6成等比数列，则a11=31．考点：等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：由题意可得（1+d）2=1×（1+5d），解得d由等差数列的通项公式可得．解答：解：∵等差数列{a n}，a1=1，公差d≠0，且a1，a2，a6成等比数列，∴a22=a1•a6，代入数据可得（1+d）2=1×（1+5d），解得d=3，或d=0（舍去）∴a11=a1+10d=1+10×3=31故答案为：31点评：本题考查等差数列的通项公式，涉及等比数列的通项公式，属基础题．14．（5分）已知命题p：∃x∈R，x2+2x+a≤0，若命题p是假命题，则实数a的取值范围是（1，+∞）．（用区间表示）考点：特称命题．专题：不等式的解法及应用；简易逻辑．分析：根据题意，写出命题p的否定命题，利用p与￢p真假相反得到￢p为真命题，再应用判别式求出a的取值范围．解答：解：∵命题p：∃x∈R，x2+2x+a≤0，当命题p是假命题时，命题￢p：∀x∈R，x2+2x+a＞0是真命题；即△=4﹣4a＜0，∴a＞1；∴实数a的取值范围是（1，+∞）．故答案为：（1，+∞）．点评：本题考查了命题与命题的否定的真假性相反问题，也考查了二次不等式恒成立的问题，是基础题目．三、解答题（本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．（12分）在△A BC中，a，b，c分别是角 A，B，C的对边，cosB=且ac=35．（1）求△ABC的面积；（2）若a=7，求角C．考点：正弦定理；余弦定理．专题：计算题；解三角形．分析：（1）由已知可先求sinB的值，由ac=35，即可根据面积公式求S△ABC的值．（2）由已知先求c的值，由余弦定理可求b的值，从而可求cosC的值，即可求出C的值．解答：解：（1）∵cosB=，且B∈（0，π），∴sinB==，又ac=35，…（3分）∴S△ABC=acsinB==14．…（6分）（2）由ac=35，a=7，得c=5，…（7分）∴b2=a2+c2﹣2accosB=49+25﹣2×=32，∴b=4，…（9分）∴cosC===…（10分）又C∈（0，π）…（11分）∴C=．…（12分）点评：本题主要考察了正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式在解三角形中的应用，属于基础题．16．（12分）设命题p：实数x满足（x﹣4a）（x﹣a）＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足x2﹣4x+3≤0．（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若p是q成立的必要不充分条件，求实数a的取值范围．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；复合命题的真假．专题：简易逻辑．分析：（1）将a=1代入，求出q为真时x的范围，从而求出p且q为真时x的范围；（2）q是p的充分不必要条件，则B⊊A，得到不等式组，解出即可．解答：解：（1）由（x﹣4a）（x﹣a）＜0得a＜x＜4a，当a=1时，1＜x＜4，即p为真命题时，实数x的取值范围是1＜x＜4，由x2﹣4x+3≤0得1≤x≤3．所以q为真时实数x的取值范围是1≤x≤3，若p∧q为真，则1＜x≤3，所以实数x的取值范围是（1，3]，（2）设A={x|a＜x＜4a}，B={x|1≤x≤3}，q是p的充分不必要条件，则B⊊A，所以⇒＜a＜1，所以实数a的取值范围是（，1）．点评：本题考查了复合命题的判断，考查了充分必要条件问题，是一道基础题．17．（14分）某农场计划种植甲、乙两个品种的蔬菜，总面积不超过300亩，总成本不超过9万元．甲、乙两种蔬菜的成本分别是每亩600元和每亩200元．假设种植这两个品种的蔬菜，能为该农场带来的收益分别为每亩0.3万元和每亩0.2万元．问该农场如何分配甲、乙两种蔬菜的种植面积，可使农场的总收益最大，最大收益是多少万元？考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：设甲、乙两种蔬菜的种植面积分别为x，y亩，农场的总收益为z万元，建立目标函数和约束条件，利用线性规划进行求解即可．解答：解：设甲、乙两种蔬菜的种植面积分别为x，y亩，农场的总收益为z万元，则…（1分）…①…（5分）目标函数为z=0.3x+0.2y，…（6分）不等式组①等价于可行域如图所示，…（9分）当目标函数对应的直线经过点M时，目标函数z取最小值．…（10分）解方程组得M的坐标（75，225）…（12分）所以z max=0.3×75+0.2×225=67.5．…（13分）答：分别种植甲乙两种蔬菜75亩和225亩，可使农场的总收益最大，最大收益为67.5万元．…（14分）点评：本题主要考查线性规划的应用问题，根据条件建立约束条件，利用数形结合是解决本题的关键．18．（14分）如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是等腰梯形，∠DAB=60°，AB=2CD=2，M是线段AB的中点．（Ⅰ）求证：C1M∥平面A1ADD1；（Ⅱ）若CD1垂直于平面ABCD且CD1=，求平面C1D1M和平面ABCD所成的角（锐角）的余弦值．考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角；空间向量及应用；立体几何．分析：（Ⅰ）连接AD1，易证AMC1D1为平行四边形，利用线面平行的判定定理即可证得C1M∥平面A1ADD1；（Ⅱ）作CP⊥AB于P，以C为原点，CD为x轴，CP为y轴，CD1为z轴建立空间坐标系，易求C1（﹣1，0，），D1，（0，0，），M（，，0），=（1，1，0），=（，，﹣），设平面C1D1M的法向量=（x1，y1，z1），可求得=（0，2，1），而平面ABCD的法向量=（1，0，0），从而可求得平面C1D1M和平面ABCD所成的角（锐角）的余弦值．解答：解：（Ⅰ）连接AD1，∵ABCD﹣A1B1C1D1为四棱柱，∴CD C1D1，又M为AB的中点，∴AM=1．∴CD∥AM，CD=AM，∴AM C1D1，∴AMC1D1为平行四边形，∴AD1∥MC1，又MC1⊄平面A1ADD1，AD1⊂平面A1ADD1，∴C1M∥平面A1ADD1；（Ⅱ）解法一：∵AB∥A1B1，A1B1∥C1D1，∴面D1C1M与ABC1D1共面，作CN⊥AB，连接D1N，则∠D1NC即为所求二面角，在ABCD中，DC=1，AB=2，∠DAB=60°，∴CN=，在Rt△D1CN中，CD1=，CN=，∴D1N=∴cos∠D1CN===解法二：作CP⊥AB于P，以C为原点，CD为x轴，CP为y轴，CD1为z轴建立空间坐标系则C1（﹣1，0，），D1，（0，0，），M（，，0），∴=（1，0，0），=（﹣，，﹣），设平面C1D1M的法向量=（x1，y1，z1），则，∴=（0，2，1）．显然平面ABCD的法向量=（0，0，1），cos＜，＞|===，显然二面角为锐角，∴平面C1D1M和平面ABCD所成的角（锐角）的余弦值为．点评：本题考查用空间向量求平面间的夹角，主要考查空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，同时考查空间想象能力，空间向量的坐标运算，推理论证能力和运算求解能力．19．（14分）已知S n为数列{a n}的前n项和，且有a1=1，S n+1=a n+1（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足b n=，其前n项和为 T n，求证：≤T n＜1．考点：数列的求和；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）利用当n=1时，a2=S1+1=a1+1；当n≥2时，S n+1=a n+1（n∈N*），S n﹣1+1=a n，两式相减得a n+1=2a n，再利用等比数列的通项公式即可得出．（2）由（1）知，可得b n==，利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式，即可得出．解答：（1）解：当n=1时，a2=S1+1=a1+1=2；当n≥2时，S n+1=a n+1（n∈N*），S n﹣1+1=a n，两式相减得，a n=a n+1﹣a n，即a n+1=2a n，又a2=2a1，∴{a n}是首项为1，公比为2的等比数列，∴．（2）证明：由（1）知，∴b n==，∴T n=+…+，∴=+…++，∴=++…+﹣，∴T n=…+﹣=﹣=，∵T n+1﹣T n==＞0，∴T n+1＞T n，∴T n是递增的，又T1=，∴≤T n＜1．点评：本题考查了“错位相减法”、等比数列的定义通项公式及其前n项和公式、递推式的意义、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．（14分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）经过点（1，），且椭圆的左、右焦点分别为F1（﹣1，0）、F2（1，0），过椭圆的右焦点F2作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于点 A、B及C、D．（1）求椭圆的方程；（2）求+的值；（3）求|AB|+|CD|的最小值．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）通过椭圆的定义直接计算可得结论；（2）椭圆的右焦点为F2（1，0），分直线AB的斜率不存在与存在两种情况讨论即可；（3）通过+=，利用基本不等式计算即得结论．解答：解：（1）由椭圆的定义可知：2a=|MF1|+|MF2|=+=4，∴a=2，由c=1得：b=，故椭圆的方程为：+=1；（2）椭圆的右焦点为F2（1，0），分两种情况讨论如下：1°．当直线AB的斜率不存在时，AB：x=1，则CD：y=0．此时|AB|=3，|CD|=4，∴+=；2°．当直线AB的斜率存在时，设AB：y=k（x﹣1）（k≠0），则CD：y=﹣（x﹣1）．又设点A（x1，y1），B（x2，y2），联立方程组，消去y并化简得：（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，由韦达定理可知：x1+x2=，x1•x2=，∴|AB|==•=•=，∴+==，综上所述，+为定值；（3）解：由（II）知+=，∴|AB|+|CD|=（|AB|+|CD|）（+）=（++）≥（+2）=，当且仅当=，即|AB|=4、|CD|=3时取等号，∴|AB|+|CD|的最小值为．点评：本题考查椭圆与直线方程，利用用韦达定理是解题的关键，需要较强的计算能力，属于中档题．。
广东高二上学期期末数学试题(解析版)
高二数学试题全卷满分150分，时间120分钟.注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名､准考证号､座位号､学校､班级等考生信息填写在答题卡上.2.作答单项及多项选择题时，选出每个小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效.3.非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效.一､单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分.1.过点且平行于直线的直线方程为（） ()1,3P -230x y -+=A. B. 210x y +-=250x y +-=C. D.250x y +-=270x y -+=2.已知是等差数列，且是和的等差中项，则的公差为（） {}n a 21a +1a 4a {}n a A.1B. C.2D.2-1-3.棱长为1的正四面体中，则等于（）ABCD AD BC ⋅A.0B. C. D.121414-4.已知椭圆的一个焦点为，且过点，则椭圆的标准方程为（）C ()1,0(C A. B. 22123x y +=22143x y +=C. D. 22132x y +=22134x y +=5.已知空间向量，则向量在坐标平面上的投影向量是（）()2,1,3a =- axOy A. B. C. D.()0,2,1()0,1,3-()2,1,0()2,0,3-6.直线与圆交于两点，则当弦最短时:210l mx y m +--=22:(2)4C x y +-=,A B AB 直线的方程为（）l A. B. 430x y -+=2430x y --=C. D.2410x y ++=2430x y -+=7.已知直线的方程是的方程是，则下列图形中，1l 2,y ax b l =+()0,y bx a ab a b =-≠≠正确的是（）A. B.C. D.8.在数列中，若（为常数），则称为“等方差数{}n a 221,n n a a p --=*2,,n n N p ≥∈{}n a 列”，下列是对“等方差数列”的判断：①若是等方差数列，则是等差数列；{}n a {}2n a ②不是等方差数列；{}(1)n-③若是等方差数列，则（为常数）也是等方差数列； {}n a {}kn a *,k k ∈N ④若既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列. {}n a 其中正确命题序号为（）A.①③B.②④C.①③D.①④二､多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.9.已知数列的前项和为，则下列说法不正确的是（）{}n a n 2,5n n S S n n =-A.为等差数列B.{}n a 0n a >C.最小值为 D.为单调递增数列 n S 254-{}n a 10.已知空间中，则下列结论正确的有（） ()()2,1,0,1,2,1AB AC ==-A. B.与共线的单位向量是 AB AC ⊥ AB()1,1,0C. D.平面的一个法向量是BC =ABC ()1,2,5-11.已知曲线，则下列判断正确的是（）22:1x y C a b-=A.若，则是圆，其半径为0a b =->C aB.若，则是双曲线，其渐近线方程为 0ab >C y =C.若，则是椭圆，其焦点在轴上 0a b -<<C xD.若，则是两条直线1a b ==C 12.2022年4月16日9时56分，神舟十三号返回舱成功着陆，返回舱是宇航员返回地球的座舱，返回舱的轴截面可近似看作是由半圆和半椭圆组成的“曲圆”.如图在平面直角坐标系中半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的焦点，椭圆的短轴与半圆的直()0,2F 径重合，下半圆与轴交于点.若过原点的直线与上半椭圆交于点，与下半圆交于y G O A 点，则（）BA.椭圆的长轴长为B.的周长为AFG A 4+C.线段长度的取值范围是AB 4,2⎡+⎣D.面积的最大值是ABF A 三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.抛物线的焦点坐标为__________.28y x =14.已知双曲线经过点，则离心率为__________.22:1y C x m-=)215.已知圆上有且仅有3个点到直线的距离等于1，请写出满足上述条件的一224x y +=l 条直线方程__________.（写出一个正确答案即可）l 16.空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方xOy ()000,,P x y z (),,n a b c =α程为，过点且方向向量为()()()0000a x x b y y c z z -+-+-=()000,,P x y z 的直线的方程为，阅读上面材料，并解()(),,0n u v w uvw =≠ l 000x x y y z z u v w---==决下面问题：已知平面的方程为，直线是两个平面与α10x y z -++=l 20x y -+=的交线，则直线与平面所成角的正弦值为__________.210x z -+=l α四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）已知数列满足.{}n a *111,2,n n a a a n n +==+∈N （1）求数列的通项公式；{}n a （2）设，求数列的前项和.2n n b a n =-{}n b n n S 18.（本小题满分12分）如图，在棱长为2的正方体中，分别是的中点.1111ABCD A B C D -,,E F G 11,,DD BD BB（1）求证：；EF CF ⊥（2）求与所成角的余弦值. EF CG 19.（本小题满分12分）已知为平面内的一个动点，且满足()()1,0,1,0,A B C -AC =（1）求点的轨迹方程；C （2）若直线，求直线被曲线截得的线段长度. :10l x y +-=l C 20.（本小题满分12分）已知抛物线经过点是抛物线上异于点的不同的两点，其中2:2C y px =()2,2,P A B ､C O 为原点.O （1）求抛物线的方程；C （2）若，求面积的最小值. OA OB ⊥AOB A 21.（本小题满分12分）如图，在多面体中，四边形是菱形，，，ABCDEF ABCD //EF AC 1EF =60ABC ∠=︒，平面，，是的中点.CE ⊥ABCD CE ==2CD G DE（1）求证：平面平面；ACG //BEF （2）求直线与平面所成的角的正弦值. AD ABF 22.（本小题满分12分）已知双曲线的右焦点为为坐标原点，双曲线的两条2222:1(0)x y C a b a b -=>>()2,0,F O C 渐近线的夹角为.3π（1）求双曲线的方程；C （2）过点作直线交于两点，在轴上是否存在定点，使为定F l C ,P Q x M MP MQ ⋅值？若存在，求出定点的坐标及这个定值；若不存在，说明理由.M惠州市2022-2023学年第一学期期末质量检测高二数学参考答案与评分细则一､单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分.题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案DCABCDAA1.【解析】设直线的方程为，把点坐标代入直线方程得()203x y c c -+=≠()1,3P -，所以所求的直线方程为.160c --+=7c ∴=270x y -+=2.【解析】设等差数列的公差为.由已知条件，得，即{}n a d ()14221a a a +=+，解得.()()111321a a d a d ++=++2d =3.【解析】由题意以作为基底，， ,,AB AC AD BC AC AB =-则()0AD BC AD AC AB AD AC AD AB ⋅=⋅-=⋅-⋅=4.【解析】椭圆的焦点在轴上，故设其方程为：，显然x 22221(0)x ya b a b+=>>，故椭圆方程为.1,c b ==2224a b c =+=22143x y +=5.【解析】由题意可知，向量在坐标平面上的投影向量是.axOy ()2,1,06.【解析】由，则令，解得()210,2110mx y m x m y +--=-+-=21010x y -=⎧⎨-=⎩121x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩故直线过定点，由，则圆心，半径，当l 1,12P ⎛⎫⎪⎝⎭22(2)4x y +-=()0,2C 2r =时，弦最短，直线的斜率，则直线的斜率，AB CP ⊥AB CP 12212CP k -==-l 12AB k =故直线为，则.l 11122y x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭2430x y -+=7.【解析】逐一判定即可.对于A ，由的图象知，由的图象知，故A 正确； 1l 0,0a b <>2l 0,0a b <>对于B ，由的图象知，由的图象知，矛盾，故B 错误； 1l 0,0a b <>2l 0,0a b <<对于，由的图象知，由的图象知，矛盾，故错误； C 1l 0,0a b ><2l 0,0a b <>C 对于D ，由的图象知，由的图象知，矛盾，故错误.1l 0,0a b >>2l 0,0a b <<D 8.【解析】①是等方差数列，（为常数）得到为首项是，公{}n a 221n n a a p --=p {}2n a 21a 差为的等差数列；故①正确 p ②数列中，，所以是等方差数列；{}(1)n-222211(1)(1)0n n nn aa --⎡⎤⎡⎤-=---=⎣⎦⎣⎦{}(1)n -故②不正确③数列中的项列举出来是数列中的项列举：{}n a 122,,..,,..,k k a a a a ⋯⋯⋯{}2kn a23,,k k k a a a ⋯⋯ ()()222222121221k k k k k k a a a a a a p +++--=-=⋯=-=()()()222222121221k k k k k k a a a a a a kp +++-∴-+-+⋯+-=，即数列是等方差数列，故③正确；()221kn k n a a kp +∴-={}kn a ④数列是等差数列，数列是等方差数列，{}n a ()112.n n a a d n -∴-=≥ {}n a ，当时，为常数()22122n n a a d n -∴-=≥()121,n n a a d d -∴+=∴10d ≠12122n d d a d =+列；当，数列为常数列.则该数列必为常数列，故④正确.10d ={}n a {}n a 正确命题的是①③④，故A 正确.∴二､多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.题号 9 10 11 12 全部正确选项BCACDBCBC9.【解析】对于A ，当时，，2n ≥()2215(1)5126n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=-----=-⎣⎦时满足上式，所以，所以1n =114a S ==-*26,n a n n N =-∈，()()1216262n n a a n n +-=+---=所以为等差数列，故正确；{}n a A 对于B ，由上述过程可知，故B 错误； *12326,N ,40,20,0n a n n a a a =-∈=-<=-<=对于C ，因为，对称轴为，又因为，所以当或325n S n n =-52.52n ==*N n ∈2n =时，最小值为，故错误；n S 6-C 对于D ，由上述过程可知的公差等于2，所以为单调递增数列，故D 正确.{}n a {}n a 10.【解析】对于，故正确；()()A,2,1,01,2,1220AB AC ⋅=⋅-=-+= ,A AB AC ⊥对于不是单位向量，且与不共线，错误； (),1,1,0B ()1,1,0()2,1,0AB =B对于正确；(),3,1,1,C BC AC AB BC C =-=-∴=对于，设，则，D ()1,2,5m =- ()()1,2,52,1,0220m AB ⋅=-⋅=-=，所以，又()()1,2,53,1,13250m BC ⋅=-⋅-=--+= ,m AB m BC ⊥⊥AB BC B⋂=，所以平面的一个法向量是正确.ABC ()1,2,5,D -11.【解析】对于，若时，转化为A 0a b =->22:1x y C a b-=22x y a +=，故错误；A 对于，若，当是焦点在轴上的双曲线，当是焦点B 0ab >0,0,ab C >>x 0,0,a b C <<在轴上的双曲线，无论焦点在哪个轴上，令，整理可得均是y 220x y a b-=y =C的渐近线，B 正确；对于，若转化为，由于可知，C 220,:1x y a b C a b -<<-=22:1x y C a b+=-0a b >->C是焦点在轴上的椭圆，故C 正确；x 对于，若转化为，是双曲线不是两条直线，故DD 221,:1x y ab C a b==-=221x y -=错误.12.【解析】对于，由题知，椭圆中，得，则A 2b c ==a ==2a =，故错误；A 对于，由定义知，的周长正B 2AF AG a AFG +==A 4L FGB =+=+确；对于，由性质知C,2AB OB OA OA =+=+2OA ≤≤42AB C ≤≤+正确；对于，设所在直线方程为，联立可得， D AB y kx =22148y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩A x =联立可得，则224y kx x y =⎧⎨+=⎩B x =显然，当1122ABF AOF OBF A B S S S OF x OF x=+=+=+A A A 20k ≥2k 增大时，是减小，所以当时，有最大值4，故D 错误. y=0k=ABF S A 三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. ()2,014.（写出一个即可） 1103450,x y x y x y =±=±++=++= ､､､【注】若答案形式为：，则系数必须满足： 0Ax By C ++=222A B C +=若答案形式为：，则系数必须满足： y kx b =+221k b +=13.【解析】对比标准方程可得焦点坐标为()2,014.【解析】双曲线经过点，所以，解得，所以双22:1y C x m-=)2421m-=4m =曲线方程为，所以双曲线焦点在轴上，2214y x -=x1,2,a b c ===率为.e =15.【解析】数形结合可知，只要是半径的垂直平分线，均满足题意要求， 设直线为，则由题可知圆心到直线的距离为，0AxBy C ++=()0,01,1d ==所以222A B C +=16.【解析】因为平面的方程为，故其法向量可取为， α10x y z -++=()1,1,1p =-平面的法向量可取为，平面的法向量可取为20x y -+=()1,1,0m =-210x z -+=，()2,0,1n =-直线是两个平面与的交线，设其方向向量为，则l 20x y -+=210x z -+=(),,s t q μ=，令，则，故设直线与平面所成的角为020m s t n s q μμ⋅=-=⎧⎨⋅=-=⎩1s =()1,1,2μ=l α，,0,2πθθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦则sin |cos ,|||p p p μθμμ⋅=〈〉=== ‖四､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分，第一小问5分，第二小问5分.） 【解析】（1）当时，*2,n n N ≥∈()()()112211n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+2(1)2(2)211n a n n ∴=-+-++⋅+()()21211n n ⎡⎤=-+-+++⎣⎦ ()()111212n n ⎡⎤-+-⎣⎦=⋅+因为也满足上式，1n =()2*1n a n n n N ∴=-+∈（2），则2221n n b a n n n n =-=-+-1n b n =-+所以是以0为首项，为公差的等差数列 {}n b 1-故()()101S 22n n b b n n n +⋅-+⋅==21122n S n n ∴=-+18.（本小题满分12分，第一小问7分，第二小问5分.）【解法一】（1）以为坐标原点，为轴正方向建立如图所示空间直角坐标系D DAX()()()0,0,1,1,1,0,0,2,0E F C 则所以 ()1,1,1EF =-()1,1,0CF =-因为1100EF CF ⋅=-+=所以 EF CF ⊥ 即EF CF ⊥（2）由（1）知，()2,2,1G 则()2,0,1CG =所以 cos ,EF CG EF CG EF CG⋅=⋅==所以与EF CG 【解法二】由题意得：在中有：，Rt EDFA 11,2ED DF BD====EF ∴==在中有：R EDC AA 1,2,ED DC EC ==∴==在正方形中， ABCD 12CF AC ==在中有： ∴EFC A 222EF FC CE +=所以有：EF CF ⊥（2）连接，取的中点，连接，11,A E A F 1A A H ,HG HD 四边形为平行四边形∴1,A HDE HDCG1,HD A E HD CG ∴∥∥1A E CG ∴∥在Rt 中有：，11A D EA 1A E ==在Rt 中有：，1AAF A 1A F ==在中有：∴1A EFA 2221111cos 2A E EF A F A EF A E EF ∠+-===⋅所以与EF CG 19.（本小题满分12分，第一小问5分，第二小问7分.） 【解析】（1）由题意可设点的坐标为，由C (),xy AC==整理得点的轨迹方程为. C 22610x y x +-+=（2）由（1）可知，曲线 22:(3)8C xy -+=则圆心坐标为， ()3,0半径为则圆心到直线的距离:10l x y +-=d=所以弦的长度==直线被曲线截得的线段长度为l C 20.（本小题满分12分，第一小问3分，第二小问9分.） 【解析】（1）由抛物线经过点知，2:2C y px =()2,2P 44p =解得，1p =则抛物线的方程为；C 22y x =（2）【解法一】由题知，直线不与轴垂直，设直线，AB y :AB x ty a =+由消去，得， 22x ty a y x=+⎧⎨=⎩x 2220y ty a --=，设，2Δ480t a =+>()()1122,,,A x y B x y 则，12122,2y y t y y a +==-因为，所以即，所以 OA OB ⊥0OA OB ⋅= 12120x x y y +=22121204y y y y +=解得（舍去）或，120y y =124y y =-所以即，24a -=-2a =所以直线，所以直线过定点，:2AB x ty =+AB ()2,012122АОВS y y =⨯⨯-==A4≥=当且仅当或时，等号成立，122,2y y ==-122,2y y =-=所以面积的最小值为4.AOB A 【注：面积也可以用的方式来计算 AOB A 12AOB S OA OB =⨯⨯A 【解法二】由题意知直线，直线的斜率均存在，且不为0 OA OB 不妨设直线方程为，代入由可得 OA y kx =2y OA OB ⊥()22,2B k k -22OA k =OB =12AOB S OA OB ==A4≥=当且仅当时等号成立1k =±所以面积的最小值为4 AOB A 【解法三】当直线斜率不存在时，则为等腰直角三角形，此时， AB AOB A 4AOB S =A 当直线斜率存在时，设直线，AB :AB y kx b =+由消去，得， 22y kx b y x=+⎧⎨=⎩y ()222210k x kb x b +-+=()()1122Δ840,,,,,kb A x y B x y =-+>设则， ()212122221,kb b x x x x k k -+=-=因为，所以即，OA OB ⊥0OA OB ⋅= 12120x x y y +=所以 ()()22121210kb x x k x x b ++++=解得（舍去）或，0b =2b k =-所以直线，所以直线过定点，():2AB y k x =-AB ()2,0()()121212222AOB S y y k x k x =⨯⨯-=---=A 4=>综上：面积的最小值为4.AOB A 21.（本小题满分12分，第一小问5分，第二小问7分.）（1）证明：连接交于，则是的中点，BD AC O O BD 连接，是的中点，，OG G DE //OG BE ∴平面，平面，BE ⊂ BEF OG ⊄BEF 平面；//OG ∴BEF 又，平面，平面，//EF AC AC ⊄BEF EF ⊂BEF 平面，//AC BEF 又与相交于点，平面，AC OG O ,AC OG ⊂ACG 所以平面平面.//ACG BEF （2）【解法一】解：连接，因为四边形是菱形，所以， OF ABCD AC BD ⊥又，，所以为等边三角形，所以，又， 60ABC ∠=︒=2CD ABC A =2AC 1EF =所以且，所以四边形为平行四边形，所以， EF OC =//EF OC OCEF //OF CE 因为平面，所以平面，CE ⊥ABCD OF ⊥ABCD 如图，以为坐标原点，分别以､､为､､轴建立空间直角坐标系， O OC OD OF x y z 则，，，，()1,0,0A-()0,B()D(F ，，，AD =(1,AB = AF = 设面的法向量为，ABF =(,,)m a b c 依题意有，则， m AB m AF ⊥⊥⎧⎪⎨⎪⎩==0==0m AB a m AF a ⋅-⋅⎧⎪⎨⎪⎩令，，则，a =1b =1c =-1)m =-所以cos ,AD mAD m AD m ⋅<>==⋅ 所以直线与面AD ABF【解法二】连接，因为四边形是菱形，所以，OF ABCD AC BD ⊥所以为等边三角形，所以，又，ABC A 2AC =1EF =所以且，所以四边形为平行四边形，所以， EF OC =EF OC ∥OCEF OF CE ∥因为平面，所以平面，CE ⊥ABCD OF ⊥ABCD在Rt 中，， FOB A BF==在Rt 中，FOA A 2AF ==又在中，由等腰三角形易计算得 ABF A 2,AB =∴ABF S =A 设为点到平面的距离d D ABF 11,33D ABF F ABD ABF ABD V V S d S FO --=⋅=⋅A A 即有计算得： d =设直线与平面所成的夹角为，则 AD ABF θsin d DA θ===所以直线与面AD ABF 22.（本小题满分12分，第一小问5分，第二小问7分.）【解析】（1）双曲线的渐近线为， 22221x y a b -=b y x a =±又，结合已知条件可知渐近线的的倾斜角为 0,01b a b a >><<b y x a =,6π则. b a =a =，得 2=1a b ==所以双曲线的方程是. C 2213x y -=（2）当直线不与轴重合时，设直线的方程为，l x l 2x ty =+代入，得，即. 2213x y -=22(2)33ty y +-=()223410t y ty -++=设点，则. ()()1122,,,P x y Q x y 12122241,33t y y y y t t +=-=--设点，则 (),0M m ()()()()1212121222MP MQ x m x m y y ty m ty m y y ⋅=--+=+-+-+()()()22121212(2)t y y t m y y m =++-++- ()()22223312113m t m m t ---+=-令，得， ()223121133m m m -+=-53m =此时. 2239MP MQ m ⋅=-=- 当直线与轴重合时，则点为双曲线的两顶点，不妨设点. l x ,P Q ()),P Q 对于点. 5552,0,,0·,03339M MP MQ ⎛⎫⎛⎫⎫⋅=-=- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎭ 所以存在定点，使为定值.5,03M ⎛⎫ ⎪⎝⎭2239MP MQ m ⋅=-=-。
广东省高二上学期期末数学试题(解析版)
数学本试题共4页，考试时间120分钟，满分150分注意事项：1.答题前，考生先将自已的信息填写清楚､准确，将条形码准确粘贴在条形码粘贴处.2.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效.3.答题时请按要求用笔，保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破､弄波，不得使用涂改液､修正带､刮纸刀.考试结束后，请将本试题及答题卡交回.一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知空间向量，则（）()()2,1,2,1,2,1a b =-=-2a b -=AB.C.D.()4,2,4-()2,1,2-()3,0,3()1,2,1-【答案】C 【解析】【分析】利用空间向量坐标的线性运算法则得到答案.【详解】.()()()24,2,41,2,13,0,3a b -=---=故选：C2. 直线的倾斜角为（） :10l x y -+=A. B.C.D.30 45 60 135 【答案】B 【解析】【分析】根据直线斜率计算即可. tan k α=【详解】由题知，直线，斜率为1， :1l y x =+设倾斜角为， α[)0,πα∈所以，解得，tan 1α=45α=︒所以直线的倾斜角为，:10l x y -+=45故选：B3. 数列、、、、的通项公式可以为（） 2020L A. B. ()11nn a =-+()1221n n a +=-⨯-C. D.()2cos 1πn a n =-()1π2cos2nn a -=【答案】D 【解析】【分析】利用逐项检验法可得出原数列的一个通项公式.【详解】对于A 选项，若，则数列为：、、、、，A 不满()11nn a =-+{}n a 0202L 足；对于B 选项，若，则数列为：、、、、，B 不满足；()1221n n a +=-⨯-{}n a 0404L 对于C 选项，若，则数列为：、、、、，C 不满()2cos 1πn a n =-{}n a 22-22-L 足；对于D 选项，若，则数列为：、、、、，D 满足.()1π2cos 2n n a -={}n a 2020L 故选：D.4. 已知直线经过点，且与直线垂直，则直线的方程为（） l ()2,4M 240x y -+=l A. B. 210x y -+=210x y --=C. D.220x y -+=280x y +-=【答案】D 【解析】【分析】根据垂直关系设出直线的方程，代入，求出答案. l ()2,4M 【详解】设直线的方程为，l 20x y C ++=将代入中，，故， ()2,4M 20x y C ++=440C ++=8C =-故直线的方程为. l 280x y +-=故选：D5. 已知矩形为平面外一点，且平面，分别为,ABCD P ABCD PA ⊥ABCD ,M N 上的点，，则,PC PD 2,,PM MC PN ND NM xAB y AD z AP ===++x y z ++=（）A. B.C. 1D.23-2356【答案】B 【解析】【分析】根据空间向量基本定理求出，求出答案. 211,,366x y z ===-【详解】因为，2,PM MC PN ND ==所以121122232233PM DP PC AP N AD AC A M NP P +=+=-+-=，12112212112362336366AD AC AP AD AB AD AP AB AD AP =-+-=-++-=+-故，故. 211,,366x y z ===-23x y z ++=故选：B6. 已知空间直角坐标系中的点，，，则点P 到直线AB 的距()1,1,1P ()1,0,1A ()0,1,0B 离为（） A.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】由向量在向量上的投影及勾股定理即可求. 【详解】，0，，，1，，，(1A 1)(0B 0)()1,1,1P ，，， ∴(1,1,1)AB =-- (0,1,0)AP =||1AP = 在上的投影为AP AB ||AP AB AB ⋅==则点到直线. PAB ==故选：D ．7. 如图，在梭长为1的正方体中，分别为的中1111ABCD A B C D -,,E F G 11,,DD BD BB 点，则与所成的角的余弦值为（）EFCGA.B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量求解异面直线的夹角余弦值.【详解】以D 作坐标原点，分别以DA ，DC ，所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空1DD 间直角坐标系， 则， ()11110,0,,,,0,0,1,0,1,1,2222E F C G ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以，1111,,,1,0,2222EF CG ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 设与所成的角的大小为，EF CG θ则.cos cos ,EF θ=故选：C8. 已知椭圆C 1：+y 2=1（m ＞1）与双曲线C 2：–y 2=1（n ＞0）的焦点重合，e 1，e 222x m 22x n分别为C 1，C 2的离心率，则 A. m ＞n 且e 1e 2＞1 B. m ＞n 且e 1e 2＜1C. m ＜n 且e 1e 2＞1D. m ＜n且e 1e 2＜1 【答案】A 【解析】【详解】试题分析：由题意知，即，由于m ＞1，n ＞0，可得2211m n -=+222m n =+m ＞n ，又= ，故22212222222111111()(1(1)(1)2m n e e m n m n n n -+=⋅=-+=-++42422112n n n n ++>+．故选A ．121e e >【考点】椭圆的简单几何性质，双曲线的简单几何性质．【易错点睛】计算椭圆的焦点时，要注意；计算双曲线的焦点时，要注1C 222c a b =-2C 意．否则很容易出现错误． 222c a b =+二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 已知公差为的等差数列中，其前项和为，且，则（） d {}n a n n S 2740,12a S a ==+A.B.1d =2n a n =-C. D.41012a a a +=23n S n n =-【答案】ABC 【解析】【分析】利用等差数列的通项公式和前项和的性质，列方程求出公差，即可得数列通项,n 验证各选项是否正确.【详解】公差为的等差数列中，其前项和为，且， d {}n a n n S 20a =则，解得，所以，A 选项正确；744127S a a =+=4222a a d ==+1d =，B 选项正确； ()222n a a n d n =+-=-，C 选项正确；410122810a a a +=+==，，D 选项错误. 11a =-()21322n n n a a n nS +-==故选：ABC10. 圆和圆的交点为，则下列结论正221:20x y x O +-=222:280O x y x y ++-=,A B 确的是（） A. 圆的半径为4 B. 直线的方程为 2O AB 20x y -=C. D. 线段的垂直平分线方程为AB =AB220x y ++=【答案】BC 【解析】【分析】根据圆的方程分别求解两圆圆心与半径，即可判断A ；根据圆与圆相交的相交弦所在直线方程及相交弦长公式，即可判断B ，C ；利用圆与圆相交的对称关系即可求线段的垂直平分线方程，从而判断D .AB 【详解】解：圆，即，则圆心，半径为221:20x y x O +-=()2211x y -+=()11,0O ，圆，即，则圆心，半11r =222:280O x y x y ++-=()()221417x y ++-=()21,4O -径为A 不正确；2r =由于圆和圆的交点为，则直线的221:20x y x O +-=222:280O x y x y ++-=,A B AB 方程满足，整理得：， ()()22222280x y x x y x y +--++-=20x y -=所以圆心到直线的距离()11,0O AB 1d，故B 正确，C 正确； AB ===由圆与圆相交于可知直线即线段的垂直平分线，所以，,A B 12O O AB 1204211O O k -==-+则直线的方程为：，即，故D 不正确. 12O O ()021y x -=--220x y +-=故选：BC.11. 如图，三棱柱是各条棱长均等于1的正三棱柱，分别为111ABC A B C -,,,D E F G 的中点，下列结论正确的是（）1111,,,CC CB AC A BA. //GF DEB.1GF B C ⊥C. 异面直线与所成角为GF 1AA π3D. 直线与平面 DE 1A BC 【答案】ABD 【解析】【分析】连接,可得，又，从而可判断A ；由，1BC 1//FG BC 1//DE BC 11BC B C ⊥可判断B ；由，，可得直线与所成角即为与1//FG BC //GF DE 11//AA CC GF 1AA DE 所成角，根据棱柱的结构特征可判断C ；以为原点，为轴，为轴，过1CC A AC y 1AA z 作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量为A 11ACC A x 1A BC，设直线与平面所成角为，根据即可判断)n =DE 1A BC θsin cos ,n DE θ=D.【详解】连接,1BC因为分别为的中点，所以. ,F G 111,A C A B 1//FG BC 因为分别为的中点，所以. ,D E 1,CC CB 1//DE BC 所以，故A 正确；//GF DE 因为，，所以，故B 正确；11BC B C ⊥1//FG BC 1GF B C ⊥因为，，所以直线与所成角即为与所成角. //GF DE 11//AA CC GF 1AA DE 1CC 因为平面，平面，所以，即. 1CC ⊥ABC CE ⊂ABC 1CC ⊥CE CD ⊥CE 因为三棱柱是各条棱长均等于1的正三棱柱， 111ABC A B C -所以，所以，即异面直线与所成角为，故C 错误； CE CD =π4CDE ∠=GF 1AA π4以为原点，为轴，为轴，过作平面的垂线为轴，建立如图所A AC y 1AA z A 11ACC A x 示的空间直角坐标系，则,()()11130,0,1,,0,0,1,0,0,1,,,0224A B C D E ⎫⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎭⎭所以.()11111,1,0,1,1,,242A B A C DE ⎫⎫=-=-=--⎪⎪⎪⎪⎭⎭设平面的一个法向量为,1A BC (),,n x y z =则, 111020n A B x y z nA C y z ⎧⋅=+-=⎪⎨⎪⋅=-=⎩ 令，可得，故.3y=3x z ==)n =设直线与平面所成角为，DE 1A BC θ则D 正确. sin cos ,n θ==故选:ABD.12. 已知双曲线的左､右顶点分别为，左､右焦点分别为，直线22:13x C y -=12,A A 12,F F与双曲线相交于两点，则下列说法正确的是（） y x C ,P Q A. 双曲线 B. 双曲线的渐近线为 C C y =C. 直线的斜率之积为 D. 12,PA PA 13123cos 5F PF ∠=【答案】ACD 【解析】【分析】求出、、的值，可判断AB 选项；根据斜率公式及点在双曲线上即可判断a b c C 选项；根据双曲线的定义及余弦定理判断D 选项【详解】在双曲线中，，.22:13x C y -=a =1b =2c ==对于A 选项，双曲线的离心率为，A正确； C c e a ===对于B 选项，双曲线的渐近线方程为，B 错误；C b y x x a =±=对于C 选项，设，，，(),P x y ()1A )2A 则， 122222113333PA PA x y k k x x -⋅====--即直线的斜率之积为，C 正确； 12,PA PA 13对于D 选项：不妨点P 在第一象限，联立，消y 得，解得，2213x y y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩26x=x =所以，则，P 1PF ==，2PF ==所以，在中， 125PF PF ⋅=12F PF △由余弦定理得222221212121212121212()2cos 22PF PF F F PF PF PF PF F F F PF PF PF PF PF +--+⋅-∠==⋅⋅，故D 正确；1212121221622311255PF PF PF PF PF PF +⋅-=-=-=⋅⋅故选：ACD三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知向量，且，则__________.()()2,1,5,1,3,a b m =-=- a b ⊥b = 【解析】【分析】根据空间向量垂直得到方程，求出，进而求出模长. 1m =【详解】因为，所以，解得：，a b ⊥213150m -⨯-⨯+=1m =故.b ==14. 已知的三个顶点分别为，则外接圆的标准方AOB A ()()()4,0,0,0,0,4A O B AOB A 程为__________.【答案】 22(2)(2)8x y -+-=【解析】【分析】设出圆的标准方程，待定系数法求解即可.【详解】设的外接圆标准方程为，AOB A 222()()x a y b r -+-=将代入得：，()()()4,0,0,0,0,4A O B ()()()()()()222222222400004a b r a b r a b r ⎧-+-=⎪⎪-+-=⎨⎪-+-=⎪⎩解得：，故圆的标准方程为.22a b r ⎧=⎪=⎨⎪=⎩22(2)(2)8x y -+-=故答案为： 22(2)(2)8x y -+-=15. 已知倾斜角为的直线过抛物线的焦点，且与交于、π3l ()2:20C y px p =>F C P Q 两点（点在第一象限），若，则__________. P 4PF =QF =【答案】##43113【解析】【分析】设点、，则，将直线的方程与抛物线的方程联立，()11,P x y ()22,Q x y 12x x >l 求出、，利用抛物线的定义可求得的值，再利用抛物线的定义可求得的值. 1x 2x p QF 【详解】易知点，设点、， ,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭()11,P x y ()22,Q x y 因为直线的倾斜角为，且点在第一象限，则， l π3P 12x x >联立可得，解得，， 222p y x y px⎧⎫=-⎪⎪⎭⎨⎪=⎩22122030x px p -+=132p x =26p x =由抛物线的定义可得，可得， 32422p pPF p =+==2p =因此，. 246233p p p QF =+==故答案为：. 4316. 螺旋线是一类美妙的曲线，用下面的方法可画出如图所示的螺旋线：先作边长为1的正，分别记射线，为；以为圆心､为半径作的劣弧交ABC A AC ,BA CB 123,,l l l C CB 1BC 于点；以为圆心､为半径作的劣弧交于点；以为圆心､为半径作1l 1C A 1AC 11C A 2l 1A B 1BA 的劣弧交于点；依此规律，得到一系列劣弧所形成的螺旋线.劣弧长，劣11A B 3l 1B 1BC 1a弧长，劣弧长构成数列.记为数列的前项和，则11C A 2a 11A B 3,a {}n a n S {}n a n n S =__________.【答案】 ()2π3n n +【解析】【分析】根据题意得到为公差的等差数列，从而利用等差数列求和公式求出{}n a 2π3d =答案.【详解】由题意得：，且，12π3a =2π2π33n n a n =⋅=故， ()121π2π2π333n n n n a a ++-=-=故为公差的等差数列， {}n a 2π3d =所以. ()()()2112π2π2π323332πn S n n n n n n n n --⎡⎤+⨯=+=⎢⎥⎦=+⎣故答案为：()2π3n n +四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17. 已知等差数列的前项和为，且，. {}n a n n S 728S =15120S =（1）求等差数列的首项和公差； {}n a 1a d （2）求证数列是等差数列，并求出其前项和. n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭n n T 【答案】（1），11a =1d =（2）证明见解析， 234n n nT +=【解析】【分析】（1）根据等差数列的求和公式可得出关于、的方程组，即可解得这两个量的1a d 值；（2）求出的表达式，可求得数列的表达式，利用等差数列的定义可证得数列n S n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，再利用等差数列的求和公式可求得. n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭n T 【小问1详解】解：由题意可得，解得.711517672821514151202S a d S a d ⨯⎧=+=⎪⎪⎨⨯⎪=+=⎪⎩11a d ==【小问2详解】证明：由（1）可知，所以，故. 11a d ==()()11122n n n dn n S na ++==-12n S n n +=当时，；当时，， 1n =111S =2n ≥1111222n n S S n n n n -+-=-=-因此数列是等差数列，首项为，公差为. n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭112所以等差数列的前项和. n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭n ()211131224n n n S n n T n -+=⋅+⋅=18. 在中，角的对边分别是，满足. ABC A ,,A B C ,,a b c ()2cos cos cos a B b C c B =+（1）求；B （2）若，求的面积. 2,4b a c =+=ABC A 【答案】（1） π3B =（2【解析】【分析】（1）根据正弦定理将化为，结合()2cos cos cos a B b C c B =+sin =2cos sin A B A 角度关系即可得角的大小；B （2）结合余弦定理与平方公式可求得的值，再根据面积公式求解的面积即可. ac ABC A 【小问1详解】解：在中，因为，由正弦定理得: ABC A ()2cos cos cos a B b C c B =+sin sin sin a b cA B C==.()()sin 2cos sin cos sin cos 2cos sin =2cos sin A B B C C B B B C B A =+=+， 1sin 0,cos 2A B ≠∴=又. ()π0,π,3B B ∈∴= 【小问2详解】解：由（1）可知，在中，根据余弦定理可得：π3B =ABC A 222cos 2a c b B ac+-=，即， 221422a c ac+-=224,a c ac +=+2()34a c ac ∴+=+又，联立可得， 4a c +=1634,4ac ac =+∴=因此的面积ABC A 11sin 422ABC S ac B ==⨯=A 19. 如图，在正方体中，分别是的中点.1111ABCD A B C D -,E F 111,A B B D（1）求证：平面； //EF 1ACD （2）求证：平面平面. 1ACD ⊥11D B BD 【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析. 【解析】【分析】（1）连接，证明E 是中点，再利用三角形中位线定理及线面平行的判定1AB 1AB 推理作答.（2）利用线面垂直的性质及判定证明平面，再利用面面垂直的判定作答. AC ⊥11D B BD 【小问1详解】在正方体中, 连接，如图，1111ABCD A B C D -1AB因为为的中点，则是的中点，而是的中点， E 1A B E 1AB F 11B D 则有，又平面平面， 1//EF AD EF ⊄11,ACD AD Ì1ACD 所以平面 //EF 1ACD 【小问2详解】在正方体中，平面，四边形是正方形， 1111ABCD A B C D -1DD ⊥ABCD ABCD 因此，又，于是平面，而 平1,AC BD AC DD ⊥⊥1BD DD D = AC ⊥11D B BD AC ⊂面，1ACD 所以平面平面.1ACD ⊥11D B BD 20. 已知直线与圆相交于，两点． :(0)l y kx k =≠22:230C x y x +--=A B（1）若；||AB =k （2）在轴上是否存在点，使得当变化时，总有直线、的斜率之和为0，若x M k MA MB 存在，求出点的坐标：若不存在，说明理由． M 【答案】（1）；（2）存在. 1±()3,0M -【解析】【分析】（1）由题得到，即得2）C AB =设，，存在点满足题意，即，把韦达定理代入11(,)A x y 22(,)B x y (,0)M m 0AM BM k k +=方程化简即得解.【详解】（1）因为圆，所以圆心坐标为，半径为2， 22:(1)4C x y -+=(1,0)C因为到， ||AB =C AB=解得．1k =±（2）设，，11(,)A x y 22(,)B x y 则得，因为， 22,230,y kx x y x =⎧⎨+--=⎩22(1)230k x x +--=24121()0k ∆=++>所以，， 12221x x k +=+12231x x k=-+设存在点满足题意，即， (,0)M m 0AM BM k k +=所以，121212120AM BM y y kx kx k k x m x m x m x m+=+=+=----因为，所以， 0k ≠12211212()(2())0x x m x x m x x m x x -+-=-+=所以，解得． 2262011mk k--=++3m =-所以存在点符合题意．(3,0)M -【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，考查直线和圆的探究性问题的解答，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，属于中档题.21. 如图，在四棱锥中，，，平面C ABED -22AB AC DE ===60BAC ∠= AD ⊥，，三棱锥ABC DE AB ∥E BCD -（1）求的长度；AD （2）已知是线段上的动点，问是否存在点，使得平面与平面夹角的F BC F BED EDF？若存在，请确定点的位置；若不存在，请说明理由. F 【答案】（1）2（2）存在，点为的中点 F BC 【解析】【分析】（1）取的中点，连接，根据已知得出，，得AB O ,OE OC OC AB ⊥AD OC ⊥出平面，则，即可根据等体积法列式得出答案；OC ⊥ABED AD ED ⊥（2）根据已知得出平面，即可以为轴正方向，建立空间OE ⊥ABC ,,OB OC OE,,x y z直角坐标系，得出各点坐标，设，得出O xyz -()01BF BC λλ=≤≤，设平面的一个法向量为，根()()1,0,0,1,2ED EF λ=-=-- EDF ()1,,n x y z =据平面的法向量的求法列式求得，根据垂直得出是平()10,n =()20,1,0OC n OC== 面的一个法向量，即可根据二面角的向量求法列式解出答案. BED 【小问1详解】取的中点，连接，AB O ,OE OC， 2,60AB AC BAC ∠=== .OC AB ∴⊥又平面，AD ⊥ ABC .AD OC ∴⊥又， AD AB A AD AB ABD ⋂=⊂ ，，平面平面.OC ∴⊥ABED 又平面，AD ⊥ ,//ABC DE AB ，AD ED ∴⊥于是11111133232E BCD C BED BED V V S OC ED AD OC AD --==⋅=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=A ，.2AD ∴=【小问2详解】，,DE OA DE OA =∥ 四边形为平行四边形∴DEOA .//DA EO ∴又平面，DA ⊥ ABC 平面，OE ∴⊥ABC以为轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系.∴,,OB OC OE,,x y z O xyz-，.()()()0,0,2,1,0,2,1,0,0E D B ∴-()C 由题意设，故，()01BF BC λλ=≤≤()1,0F λ-因此. ()()1,0,0,1,2ED EF λ=-=-- 设平面的一个法向量为，EDF ()1,,n x y z =则由得，1100ED n EF n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ()0120x x y z λ-=⎧⎪⎨-+-=⎪⎩令，则是平面的一个法向量.2y=()10,n =EDF 平面，OC ⊥ ABED 是平面的一个法向量.()20,1,0OCn OC∴== BED 设平面与平面的夹角为，BED EDF θ则12cos cos ,n n θ===，又，于是， 214λ∴=01λ≤≤12λ=因此点为的中点时，平面与平面. F BC BED EDF 22. 已知椭圆的左､右焦点分别为，且.过右焦点2222:1(0)x y C a b a b+=>>12,FF 124F F =的直线与交于两点，的周长为2F l C ,A B 1ABF A （1）求椭圆的标准方程；C（2）过原点作一条垂直于的直线交于两点，求的取值范围.O l 11,l l C ,P Q AB PQ【答案】（1）22184x y +=（2）12⎡⎢⎣【解析】【分析】（1）根据题意求得即可解决；（2）分直线斜率不存2,2a b c ===AB 在，斜率存在两种情况，斜率存在时设，直()()()()11223344,,,,,,,Ax y B x y P x y Q x y 线，直线，联立椭圆方程求得，:2ABx ty =+:PQ y tx =-AB =，得令，则不PQ =ABPQ=()222u t u =+≥22,t u =-妨设，即可解决.()ABf u PQ==【小问1详解】由，得，1224F F c ==2c =又的周长为，1ABF A 4a =，2222,844a c b a c ∴===-=-=椭圆的标准方程为.∴C 22184x y +=【小问2详解】 设，()()()()11223344,,,,,,,Ax y B x y P x y Q x y当直线的斜率为0时，得；AB 4,AB AB PQ PQ===当直线的斜率不为0时，设直线，直线， AB :2AB x ty =+:PQ y tx =-联立直线和椭圆的方程，并消去整理得AB C x ，()222440ty ty ++-=.()222Δ1644232320t t t =+⋅+=+>由根与系数的关系得， 12122244,22t y y y y t t +=-=-++所以.AB ==联立直线和椭圆的方程，并消去整理得PQ C y ，由根与系数的关系得，()221280t x+-=3434280,12x x x x t +==-+PQ==所以.ABPQ=令，则()222u t u =+≥22,t u =-不妨设()AB f u PQ====， 2u ≥ ， 110,2u ⎛⎤∴∈ ⎥⎝⎦， ()12f u ∴≤<12AB PQ∴≤<综上可得，的取值范围为. ABPQ 12⎡⎢⎣。
广东省东莞市2023年高二上学期期末考试数学试题+答案解析(附后)
广东省东莞市2021-2022学年高二上学期期末考试数学试题一、单选题（本大题共8小题，共40分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.数列，，1，3，5，的一个通项公式为( )A. B. C. D.2.已知双曲线，则双曲线的渐近线方程为( )A. B. C. D.3.如图，在平行六面体中，( )A. B. C. D.4.已知直线l过点，且其方向向量，则直线l的方程为( )A. B. C. D.5.如图，已知二面角平面角的大小为，其棱l上有A，B两点，AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都与AB垂直.已知，，则( )A. 5B. 13C.D.6.过抛物线的焦点F的直线l与抛物线交于P，Q两点，若以线段PQ为直径的圆与直线相切，则( )A. 8B. 7C. 6D. 57.设P，Q分别为直线与上任意一点，则PQ的最小值为( )A. 3B. 4C. 5D. 68.定义焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线为一对相关曲线.已知，是一对相关曲线的焦点，P 是这对相关曲线在第一象限的交点，则点P与以为直径的圆的位置关系是( )A. 在圆外B. 在圆上C. 在圆内D. 不确定二、多选题（本大题共4小题，共20分。
在每小题有多项符合题目要求）9.设等差数列的前n项和为，且，，则下列结论正确的是( )A. B. C. D.10.若，则方程可能表示下列哪些曲线( )A. 椭圆B. 双曲线C. 圆D. 两条直线11.已知圆，直线，P为直线l上的动点，过点P作圆M的切线PA，PB，切点为A，B，则下列结论正确的是( )A. 四边形MAPB面积的最小值为4B. 四边形MAPB面积的最大值为8C. 当最大时，D. 当最大时，直线AB的方程为12.某县位于沙漠边缘，当地居民与风沙进行着艰苦的斗争，到2020年底全县的绿地占全县总面积的从2021年起，市政府决定加大植树造林、开辟绿地的力度，预计每年能将前一年沙漠的变成绿地，同时，前一年绿地的又被侵蚀变成沙漠.则下列说法正确的是( )A. 2021年底，该县的绿地面积占全县总面积的B. 2023年底，该县的绿地面积将超过全县总面积的C. 在这种政策之下，将来的任意一年，全县绿地面积都不能超过D. 在这种政策之下，将来的某一年，绿地面积将达到全覆盖三、填空题（本大题共4小题，共20分）13.在空间直角坐标系中，点关于原点的对称点为点B，则__________.14.在数列中，，，则数列的前6项和为__________.15.曲线围成的图形的面积为__________.16.已知双曲线的左，右焦点分别为，，过右焦点且倾斜角为直线l与该双曲线交于M ，N两点点M位于第一象限，的内切圆半径为，的内切圆半径为，则为__________.四、解答题（本大题共6小题，共70分。
广东省高二上学期期末数学试题(解析版)
3
6
故选：D.
2.
数列 1 ， 1 57
，1 9
，
1 11
，……的通项公式可能是
an
（）
(1)n
A.
3n 2
(1)n1
B.
2n 3
(1)n
C.
2n 3
(1)n1
D.
3n 2
【答案】C
【解析】
【分析】由分母构成等差数列即可求出.
【详解】数列的分母 5, 7,9,形成首项为 5，公差为 2 的等差数列，则通项公式为
因此 F 的轨迹方程是 y2 x2 1 （ y 1）. 48
故选：A. 【点晴】方法点睛： 求轨迹方程的常见方法有:
①直接法，设出动点的坐标 x, y ，根据题意列出关于 x, y 的等式即可；
②定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程；
③参数法，把 x, y 分别用第三个变量表示，消去参数即可；
1 2n 1
2n 2n 1
，即有
Sn
nan1 ．
故选：ABD．
12. 如图，已知正方体 ABCD A1B1C1D1 的棱长为 2，E、F、G 分别为棱 BC、CC1、BB1 的中点，则下列
选项中正确的是（）
A. 点 A 到直线 EF 的距离为 3 2 2
C.
三棱锥
A1
-AEF
的体积为
2 3
【答案】ACD
D. 过点 A 且平分△ABC 面积的直线与边 BC 相交于点 D(3，5)
【答案】BD
【解析】
【分析】由直线斜率判断 A，求出相应的直线方程判断 BC，求出边 BC 中点坐标判断 D．
【详解】直线 BC 的斜率为 k 7 3 2 ，而直线 3x 2 y 1 0 的斜率为 3 ，两直线不平行，A 错；
广东省高二上学期期末检测数学试题(解析版)
一、单选题1．数列，，，，…的第10项是( ) 23456789A ．B ．C ．D ．1617181920212223【答案】C【分析】根据数列的前几项，归纳处数列的通项公式，即可求解数列的第10项，得到答案．【详解】由题意，根据数列，可求得数列的通项公式，2468,,,,3579 221n n a n =+所以数列的第10项为，故选C ．1021020210121a ⨯==⨯+【点睛】本题主要考查了归纳数列的通项公式，其中根据数列的前几项，找出数列的数字排布规律，得出数列的通项公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力． 2．已知圆C 过点，圆心在x 轴上，则圆C 的方程为（ ） (2,0),(0,4)A B -A ．B ．C ．D ．22(1)(2)5x y ++-=22(1)9x y -+=22(3)25x y -+= 2216x y +=【答案】C【分析】设出圆的标准方程，将已知点的坐标代入，解方程组即可. 【详解】设圆的标准方程为 ，222()x a y r -+=将坐标代入得: , (2,0),(0,4)A B -()2222216a r a r ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩解得，故圆的方程为，2325a r =⎧⎨=⎩22(3)25x y -+=故选：C.3．已知是等差数列的前项和，，，则 n S {}n a n 378a a +=735S =2a =A ．5 B ．6C ．7D ．8【答案】C【分析】根据等差数列的前n 项和公式及等差数列的性质可求出，即可求出公差，再根据通54,a a 项公式求出.2a 【详解】因为， 37582a a a +==74357S a ==所以， 544,5a a ==故，1d =-， 242527a a d =-=+=故选C.【点睛】本题主要考查了等差数列的前n 项和，等差数列的通项公式，等差数列的性质，属于中档题.4．若椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，则椭圆的离心率为（ ）22212x y a +=28y x =A B C D 【答案】B【分析】求出抛物线的焦点坐标，可得出的值，进而可求得椭圆的离心率. a【详解】抛物线的焦点坐标为，由已知可得，可得28y x =()2,02222a -=a =因此，该椭圆的离心率为. c e a ===故选：B.5．已知过点的直线与圆相切，且与直线垂直，则（ ） (2,2)P 22(1)5x y +-=10ax y -+==a A ．B ．C ．D ．12-122-2【答案】B【分析】首先由点的坐标满足圆的方程来确定点在圆上，然后求出过点的圆的切线方程，最P P P 后由两直线的垂直关系转化为斜率关系求解.【详解】由题知，圆的圆心，半径22(1)5x y +-=(0,1)C r =因为，所以点在圆上， 222(21)5+-=(2,2)P C 所以过点的圆的切线与直线垂直， P C l PC 设切线的斜率，则有， l k 1PC k k ⋅=-即，解得. 21120k -⋅=--2k =-因为直线与切线垂直， 10ax y -+=l 所以，解得. 1k a ⋅=-12a =故选：B.6．已知分别为双曲线实轴的左右两个端点，过双曲线的左焦点作直线交,A B 22:13y x Γ-=ΓF PQ 双曲线于两点（点异于），则直线的斜率之比（ ）,P Q ,P Q ,A B ,AP BQ :AP BQ k k =A ．B ．C ．D ．13-3-23-32-【答案】B【解析】先根据双曲线方程求出，，的值，再直接设直线方程为，代入双曲线方a b c 2x my =-程，消去，化简得到关于的一元二次方程，得韦达定理，然后将借助于，的坐标表x y :AP BQ k k P Q 示出来，再将韦达定理看成方程，将用，表示出来代入前面的比值，化简即可． m 1y 2y 【详解】解：由已知得双曲线，． :1a Γ=b =2c =故，，．(2,0)F -(1,0)A -(1,0)B 设直线，且，，，． :2PQ x my =-1(P x 1)y 2(Q x 2)y 由消去整理得，22213x my y x =-⎧⎪⎨-=⎪⎩x 22(31)1290m y my --+=， ∴121222129,3131m y y y y m m +==--两式相比得①，121234y y m y y +=⨯②， 121212112211221(3)3:1(1)AP BQ y x y my my y y k k x y y my my y y ---∴=⨯==+--将①代入②得：上式． 12121121223()33(3)4333()4y y y y y y y y y y +--===--+-故． :3AP BQ k k =-故选：B ．【点睛】本题考查双曲线的性质，以及学生的化简运算能力，属于中档题．7．已知，，则向量与的夹角是（ ） ()cos ,1,sin a αα= ()sin ,1,cos b αα= a b +a b - A ．90° B ．60° C ．30° D ．0°【答案】A【分析】根据向量的坐标求，即可判断选项.()()a b a b +⋅- 【详解】，，()cos sin ,2,sin cos a b αααα+=++ ()cos sin ,0,sin cos a b αααα-=--()()()()()()cos sin cos sin sin cos sin cos a b a b αααααααα+⋅-=+-++-，2222cos sin sin cos 0αααα=-+-=所以向量与的夹角是.a b +a b - 90故选：A8．已知，求的值（ ） ()442xx f x =+122012201320132013S f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭A ．2012B ．2013C ．1006D ．1007【答案】C【分析】根据已知得到，进而求解结论.()()11f x f x -+=【详解】因为，()442xx f x =+所以， ()()1144444442411442424242424422424xxxx x x x x x x x x x x f x f x ---+=+=+=+=+=+++++⋅+++所以， 1220121201210062013201320132S f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 故选：C.二、多选题9．已知数列满足，，记数列的前项和为，则（ ） {}n a 13a =111n na a +=-{}n a n n S A ． B ． 232a =31312n n S S +-=-C ． D ．121n n n a a a ++=-1922S =【答案】CD【分析】根据递推公式求出、、，即可找到规律得到数列是以为周期的周期数列，即2a 3a 4a {}n a 3可判断A 、B 、D ，再根据递推公式表示出，即可得到，从而判断C. 2n a +12n n n a a a ++【详解】解：因为，， 13a =111n na a +=-所以，故A 错误； 221121133a a =-=-=，，所以数列是以为周期的周期数列， 3211111223a a =-=-=-4131111312a a a =-=-==-{}n a 3所以，故B 错误；3133113n n n a S S a ++=-==因为，， 1111n n n na a a a +=-=-2111111111n n n n n n n n a a a a a a a a ++-==-=----=--所以，故C 正确； 121111n n n n n n n a a a a a a a ++-⋅--=⋅=-，故D 正确；()()191231819123192166332232S a a a a a a a a a ⎛⎫=+++++=+++=⨯+-+= ⎪⎝⎭ 故选：CD10．已知数列满足且，数列满足（），下列说法正确的{}n a 11a =11(1n n a a n+=+{}n b nn n b a t =*n ∈N 有（ ）A ．数列为等比数列B ．当时，数列的前项和为{}n b 2t ={}n b n ()1122n n +-+C ．当且为整数时，数列的最大项有两项 D ．当时，数列为递减数(0,1)t ∈1tt -{}n b 1(0,)2t ∈{}n b 列【答案】BCD【分析】A 选项，变形为，得到为常数列，故，，根111n n a a n +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭11n n a a n n +=+n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭n a n =nn b nt =据定义求出不是等比数列，A 错误； {}n b B 选项，错位相减法求和，B 正确；C 选项，作差法得到随着的变大，先增后减，根据为整数，得到且最大，即数列n {}n b 1tt-1n n b b +=的最大项有两项，C 正确；{}n b D 选项，作差法结合得到，故D 正确.1(0,)2t ∈()1101n n n n b b n t t n +⎛⎫-=+-< ⎪+⎝⎭【详解】变形为，又，故数列为常数为1的数列，故，111n n a a n +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭11n n a a n n +=+111a =n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭n a n =所以，因为， nn b nt =()1111n n nn n t bn t b nt n++++==若，则为常数为0的常数列，不是等比数列， 0=t {}n b 若，则不是定值，不是等比数列，综上A 错误； 0t ≠11n n b n t b n++=当时，，2t =2nn b n =⋅设数列的前项和为， {}n b n n T ，①23222322n n T n =+⨯+⨯++⋅ 则，②23412222322n n T n +=+⨯+⨯++⋅②-①得：，B 正确；()()23411222222122n n n n T n n ++=-++++++⋅=-+ 当时，，(0,1)t ∈()()11111n n n n n n b b n t nt n t t n ++⎛⎫-=+-=+- ⎪+⎝⎭因为，所以当，即时，，即(0,1)t ∈1n t n <+1tn t>-10n n b b +-<1n n b b +<当，即时，，即， 1n t n ≥+1tn t≤-10n n b b +-≥1n n b b +≥故随着的变大，先增后减， n {}n b 因为为整数，故且最大，即数列的最大项有两项，C 正确； 1tt-1n n b b +={}n b 当时，，1(0,2t ∈()()11111n n n n n n b b n t nt n t t n ++⎛⎫-=+-=+- ⎪+⎝⎭因为，所以单调递增，故， N n *∈1111n n n =-++112n n ≥+因为，所以，1(0,2t ∈()1101n n n n b b n t t n +⎛⎫-=+-< ⎪+⎝⎭数列为递减数列，D 正确；{}n b 故选：BCD11．已知双曲线过点且渐近线为，点在双曲线的一条渐近线上，为坐标原C (y =P C O 点，为双曲线的右焦点，则下列结论正确的是（ ） F A ．双曲线的离心率为2 B ．双曲线的方程是 C C 2231x y -=C ．的最小值为2 D 与有两个公共点||PF 10y --=C 【答案】AB【分析】设双曲线的方程为，由双曲线过点求出，判断B；再由离()223,0x y λλ-=≠C (λ心率公式判断A ；联立直线和双曲线方程判断D.【详解】设双曲线的方程为，由双曲线过点可得，()223,0x y λλ-=≠C (22311λ=⨯-=即双曲线的方程是，故B 正确；C 2231x y -=可化为，则，故A 正2231x y -=22113x y -=1,a b c ====2c e a ==确；由题意可得，当直线与渐近线垂直时，取最小值，且最小值F ⎫⎪⎪⎭PF y =||PF，故C 错误；1由，解得与只有一个交点，故D 错误； 221031x y y -=--=⎪⎩0x y ==10y --=C 故选：AB12．如图，平行六面体，其中，以顶点为端点的三条棱长均为，且它们彼此1111ABCD A B C D -A 6的夹角都是，下列说法中正确的是（ ）60A ．1AC =B ．1AC BD ⊥ C ．向量与的夹角是.1B C 1AA60 D ．异面直线与. 1BD AC 【答案】AB【分析】根据题意，引入基向量，分别用基向量表示，利用向量求长度1111,,,,,AC BD B C AA BD AC的计算公式，计算可得A 正确；利用向量证垂直的结论，计算可得B 正确；利用向量求夹角公式，计算可得CD 错误.【详解】设，因为各条棱长均为，且它们彼此的夹角都是，1,,AB a AD b AA c ===660 所以，66cos 6018a b bc c a ⋅=⋅=⋅=⨯⨯=因为，所以，1AC c a b =++A 正确；1AC === 由，所以， BD b a =- ()()221=+=3636+18180AC BD a b c b a b a c b c a ⋅=++⋅--⋅-⋅--= 所以，故B 正确；1AC BD ⊥因为，且，所以1B C b c =-16B C = ，所以其夹角为，故C 错误；()21118361cos ,662b c c b c c B C AA b c c b c c-⋅⋅--====-⨯-⋅-⋅120 因为，1,BD c a b AC a b =-+=+1BD ===AC == ，()()2213636181836BD AC c a b a b b a c a c b ⋅=-+⋅+=-+⋅+⋅=-++=所以D 错误. ()()1cos ,c a b a b BD AC c a b a b-+⋅+===-+⋅+故选：AB.三、填空题13．抛物线的焦点到准线的距离等于__________. 22y x =【答案】14【分析】先将抛物线方程，转化为标准方程，求得焦点坐标，准线方程即可. 22y x =【详解】因为抛物线方程是，22y x =转化为标准方程得：， 212x y =所以抛物线开口方向向右，焦点坐标为 准线方程为：，1,08F ⎛⎫⎪⎝⎭18x =-所以焦点到准线的距离等于.14故答案为：14【点睛】本题主要考查抛物线的标准方程，还考查了理解辨析的能力，属于基础题. 14．已知数列的前n 项和是，若，则的值为________. {}n a n S 111,n n a a a n +=+=1916S S -【答案】27【解析】由得相减后得数列的奇数项与偶数项分别成等差数列，由此可1n n a a n ++=121n n a a n +++=+得通项，从而求得结论．【详解】∵，∴，相减得，1n n a a n ++=121n n a a n +++=+21n n a a +-=又，，，所以数列的奇数项与偶数项分别成等差数列，公差为1121,1a a a =+=20a =211a a -=-{}n a 1，，，21n a n -=21n a n =-． 1916171819981027S S a a a -=++=++=故答案为：27．【点睛】易错点睛：本题考查等差数列的通项公式，解题时由已知等式中改写为，两相减后n 1n +得，这里再计算，如果，则可说明是等差数列，象本21n n a a +-=21a a -2211(22n n a a a a +--=={}n a 题只能说明奇数项与偶数项分别成等差数列．不能混淆，误以为是等差数列．这是易错的地{}n a 方．15．已知O 为坐标原点，抛物线C ：的焦点为F ，P 为C 上一点，PF 与x 轴垂()220y px p =>直，Q 为x 轴上一点，且，若，则______. PQ OP ⊥6FQ =PF =【答案】3【分析】先求点坐标，再由已知得Q 点坐标，由列方程得解.P PQ OP ⊥【详解】抛物线： ()的焦点，C 22y px =0p >,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭∵P 为上一点，与轴垂直， C PF x 所以P 的横坐标为，代入抛物线方程求得P 的纵坐标为，不妨设，2p p ±(,)2pP p 因为Q 为轴上一点，且，所以Q 在F 的右侧，x PQ OP ⊥又，，， ||6FQ =(6,0)2pQ +(6,)PQ p =-u u u r 因为，所以，PQ OP ⊥2602p PQ OP p ⋅=⨯-=u u u r u u u r ，所以 30,3p p >∴=Q PF =故答案为：3.16．如图：二面角等于，是棱上两点，分别在半平面内，l αβ--135 ,A B l ,AC BD αβ､的长等于__________.,,1,AC l BD l AB AC BD ⊥⊥===CD【分析】由题意，二面角等于，根据，结合向量的运算，即可求l αβ--135 CD CA AB BD =++解.【详解】由题意，二面角等于，l αβ--135 可得向量，，,135AC BD = ,90AC AB =,90AB BD =因为,,,1,AC l BD l AB AC BD ⊥⊥===CD CA AB BD =++所以CD CA AB =++===四、解答题17．已知双曲线的左､右焦点分别为，过.求：22271x y -=12F F ，2F AB (1)弦的长； AB (2)△的周长. 1F AB【答案】(1)；(2).【分析】（1）联立直线方程与双曲线方程，求得交点的坐标，再用两点之间的距离公式即可求,A B 得；AB （2）根据（1）中所求，利用两点之间的距离公式，即可求得三角形周长.【详解】（1）设点的坐标分别为， ,A B ()()1122,,x y x y 、由题意知双曲线的左､右焦点坐标分别为､，1(3,0)F -2(3,0)F 直线的方程，AB 3)y x =-与联立得，解得， 22271x y -=212200x x -+=122,10x x ==代入的方程为分别解得AB 3)y x =-12y y ==所以.AB ===（2）由（1）知，AB= 1AF ==， 1BF==所以△的周长为1F AB 11AF BF AB ++=18．已知数列是等差数列，是等比数列，，，，.{}n a {}n b 23b =39b =11a b =144a b =(1)求、的通项公式；{}n a {}n b (2)设，求数列的前项和.n n n c a b =+{}n c n n S 【答案】(1)，21n a n =-13n n b -=(2) 2312n n S n -=+【分析】（1）由可求得数列的公比，由等比数列通项公式可得，进而得到；由32b q b ={}n b n b 114,a a 可求得数列的公差，由等差数列通项公式可得； 14113a a d -={}n a n a （2）由（1）可得，采用分组求和法，结合等差、等比数列求和公式可得.n c n S 【详解】（1）设等比数列的公比为，则，； {}n b q 323b q b ==2123n n n b b q --∴==又，，设等差数列的公差为，则， 111a b ==14427a b =={}n a d 141213a a d -==.()12121n a n n ∴=+-=-（2）由（1）得：；()1213n n c n -=-+()()()()112121321133n n n n S a a a b b b n -∴=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅+. 212113312132n n n n n +---=⋅+=+-19．已知圆C ：，圆C 与x 轴交于A ，B 两点．222270x y x y +-+-=(1)求直线y ＝x 被圆C 所截得的弦长；(2)圆M 过点A ，B ，且圆心在直线y ＝x +1上，求圆M 的方程．【答案】(1)(2).()()221212x y -+-=【分析】（1）根据已知条件，结合垂径定理，以及点到直线的距离公式，即可求解．（2）根据已知圆的方程，令y ＝0，结合韦达定理，求出圆心的横坐标，即可求出圆心，再结合勾股定理，即可求出半径．【详解】（1）∵圆C ：，222270x y x y +-+-=∴，即圆心为(－1,1)，半径r ＝3，()()22119-++=x y ∵直线y ＝x ，即x －y ＝0，∴圆心(－1,1)到直线x －y ＝0的距离d ，∴直线y ＝x 被圆C 所截得的弦长为=（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），∵圆C ：，圆C 与x 轴交于A ，B 两点，222270x y x y +-+-=∴x 2－2x －7＝0，则，|x 1－x 2|＝12122,7x x x x +==-∴圆心的横坐标为x ＝， 1212x x +=∵圆心在直线y ＝x +1上，∴圆心为(1,2)，∴半径r =故圆M 的方程为．()()221212x y -+-=20．如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为菱形，∠BAD ＝60°，Q 为AD 的中点.(1)若PA ＝PD ，求证：平面PQB ⊥平面PAD ；(2)点M 在线段PC 上，，若平面PAD ⊥平面ABCD ，且PA ＝PD ＝AD ＝2，求二面角M 13PM PC =－BQ －C 的大小.【答案】(1)证明见解析(2)60°【分析】（1）由题设条件推导出PQ ⊥AD ，BQ ⊥AD ，从而得到AD ⊥平面PQB ，由此能够证明平面PQB ⊥平面PAD .（2）以Q 为坐标原点，分别以QA ，QB ，QP 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角M －BQ －C 的大小.【详解】（1）因为底面ABCD 为菱形，∠BAD ＝60°，Q 为AD 的中点，所以BQ ⊥AD ，又PA ＝PD ，所以PQ ⊥AD ，因为PQ ⊥AD ，BQ ⊥AD ，，平面，平面，PQ BQ Q = PQ ⊂PQB BQ ⊂PQB 所以AD ⊥平面PQB ，又因为平面PAD ，AD ⊂所以平面PQB ⊥平面PAD .（2）∵PA ＝PD ＝AD ，Q 为AD 的中点，∴PQ ⊥AD ，∵平面PAD ⊥平面ABCD ，平面平面ABCD ＝AD ，PAD ⋂∴PQ ⊥平面ABCD ，以Q 为坐标原点，分别以QA ，QB ，QP 为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 由题意知：，，，， ()0,0,0Q ()1,0,0A (P ()B ()C -∴，212333QM QP QC ⎛=+=- ⎝设是平面MBQ 的一个法向量，则，，1n 10n QM ⋅= 10n QB ⋅= ∴，令，2030x y z ⎧-=⎪=1z =∴，)1n = 又∵是平面BQC 的一个法向量，∴， ()20,0,1n = 121cos ,2n n = ∴二面角M －BQ －C 的大小是60°.21．已知椭圆C 1:=1(a >b >0)的右顶点与抛物线C 2:y 2=2px (p >0)的焦点重合，椭圆C 1的离心2222x ya b+率为，过椭圆C 1的右焦点F 且垂直于x 轴的直线截抛物线所得弦的长度为.12(1)求椭圆C 1和抛物线C 2的方程.(2)过点A (-4，0)的直线l 与椭圆C 1交于M ，N 两点，点M 关于x 轴的对称点为E .当直线l 绕点A 旋转时，直线EN 是否经过一定点?请判断并证明你的结论.【答案】(1)椭圆C 1的方程为=1，抛物线C 2的方程为y 2=8x ； 2243x y +(2)直线EN 恒过一定点Q (-1，0)，证明见解析.【分析】（1）根据椭圆的离心率公式，结合抛物线的焦点坐标进行求解即可；（2）设出直线l 的方程与椭圆方程联立，根据一元二次方程根与系数关系，结合椭圆的对称性、直线斜率公式进行求解即可.【详解】（1）设椭圆C 1的半焦距为c .依题意，可得a =，则C 2:y 2=4ax ， 2p代入x =c ，得y 2=4ac ，即y则有，所以a =2，b222212ac c a a b c=⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩所以椭圆C 1的方程为=1，抛物线C 2的方程为y 2=8x . 2243x y +（2）依题意，当直线l 的斜率不为0时，设其方程为x =ty -4，由，得(3t 2+4)y 2-24ty +36=0. 22-43412x ty x y =⎧⎨+=⎩设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则E (x 1，-y 1).由Δ>0，得t <-2或t >2，且y 1+y 2=，y 1y 2=. 22434t t +23634t +根据椭圆的对称性可知，若直线EN 过定点，此定点必在x 轴上，设此定点为Q (m ，0). 因为kNQ =kEQ ，所以，(x 1-m )y 2+(x 2-m )y 1=0， 2121---y y x m x m=即(ty 1-4-m )y 2+(ty 2-4-m )y 1=0，2ty 1y 2-(m +4)(y 1+y 2)=0，即2t ·-(m +4)·=0，得(3-m -4)t =(-m -1)t =0， 23634t +22434t t +由t 是大于2或小于-2的任意实数知m =-1，所以直线EN 过定点Q (-1，0). 当直线l 的斜率为0时，直线EN 的方程为y =0，也经过点Q (-1，0)，所以当直线l 绕点A 旋转时，直线EN 恒过一定点Q (-1，0).【点睛】关键点睛：利用一元二次方程根与系数关系和椭圆的性质是解题的关键. 22．已知数列中，，，其前项和满足（，）.{}n a 12a =23a =n n S 1121n n n S S S +-+=+2n ≥*n ∈N (1)求数列的通项公式；{}n a (2)设（为非零整数，），试确定的值，使得对任意，都有14(1)2n a n n n b λ-=+-⋅λ*n ∈N λ*n ∈N 成立.1n n b b +>【答案】(1)1n a n =+(2)1λ=-【分析】根据已知结合与前项和的关系，利用相减法确定的递推关系式，判断为等差n a n n S n a n a 数列，即可求解数列的通项公式；{}n a 根据数列的单调性列不等式求解即可.【详解】（1）解：由已知，得 1121n n n S S S +-+=+()()11n n n n S S S S +----()12,N n n *=≥∈即，且.()*112,N n n a a n n +-=≥∈211a a -=数列是以为首项，公差为1的等差数列. ∴{}n a 12a =.1n a n ∴=+（2）解：， 1n a n =+ ，要使得对任意，恒成立， 114(1)2n n n n b λ-+∴=+-⋅*n ∈N 1n n b b +>恒成立， 12144(1)2n n n n n n b b λ+++∴-=-+-⋅11(1)20n n λ-+--⋅>恒成立， 11343(1)20n n n λ-+∴⋅-⋅->恒成立.11(1)2n n λ--∴-<（i ）当为奇数时，即恒成立，又是递增数列 n 12n λ-<{}12n -则当时，有最小值为1， 1n =12n -.1λ∴<（ii ）当为偶数时，即恒成立，又是递减数列 n 12n λ->-{}12n --则当时，有最大值， 2n =12n --2-.2λ∴>-即，又为非零整数，则. 21λ-<<λ1λ=-综上所述，存在，使得对任意，都有. 1λ=-*n ∈N 1n n b b +>。
广东省高二上学期期末数学试题(解析版)
一、单选题1．已知集合，则（ ） {}{}lg 1,2A x x B x x =<=<A B = A ． B ． C ． D ．(,2)-∞(0,1)(0,2)(1,10)【答案】C【分析】求出集合A ，再根据交集的运算即可得出答案. 【详解】解：， {}{}lg 1010A x x x x =<=<<所以. A B = (0,2)故选：C.2．已知数列为等比数列，若，，则的值为（ ） {}n a 22a =632a =4a A ．8 B ． C ．16 D ．±168±【答案】A【分析】利用等比数列的通项公式即可求解. 【详解】因为为等比数列，设的公比为，{}n a {}n a q 则，，212a a q =⋅=56132a a q =⋅=两式相除可得，所以， 416q =24q =所以， 46213248=⋅=÷=a a q 故选：A.3．正方体中，是棱的中点，若，则点到平面的距离是 1111ABCD A B C D -E CD 2AB =B 1A AEA B C D 【答案】B【解析】由题意结合几何体的结构特征利用等体积法求解点面距离即可. 【详解】设点到平面的距离为，由等体积法可知：， B 1A AE h 11B A AE A ABE V V --=即，,111133A AE ABE S S AA h ⨯⋅⨯⋅=△△111122223232h ⎛⎛⎫⨯⨯⋅=⨯⨯⨯⨯ ⎪⎝⎝⎭解得：. h =【点睛】本题主要考查点面距离的求解，等价转化的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4．设为虚数单位，，“”是“复数是纯虚数”的（ ）条件 i a ∈R 1a =2121a z i=--A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】先化简，再根据纯虚数的定义求出的值，利用充分条件和必要条件得定义即可判断.z a 【详解】复数是纯虚数， ()()22221111212112222a a i a i a i z i i i ++-=-=-=-=---+则，解得，210a -=1a =±故“”是“复数是纯虚数”的充分不必要条件， 1a =2121a z i =--故选：A.【点睛】对于复数的乘法，类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i 的看作一类同类项，不含i 的看作另一类同类项，分别合并即可；对于复数的除法，关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i 的幂写成最简形式.5．已知，则的最小值与最小正周期分别是（ ） ()sin cos f x x x =()f x A ．，B ．，C ．，D ．，12-π1-π12-2π2-2π【答案】A【分析】根据正弦的二倍角公式化简，即可根据周期公式求解出周期，由正弦函数的性质求出最小值.【详解】，故最小正周期为，最小值为. ()1sin cos sin 22f x x x x ==2ππ2=12-故选：A.6．目前，国际上常用身体质量指数BMI 来衡量人体胖瘦程度以及是否健()()22kg m =体重单位：身高单位：康．某公司对员工的BMI 值调查结果显示，男员工中，肥胖者的占比为；女员工中，肥胖者3100的占比为，已知公司男、女员工的人数比例为2：1，若从该公司中任选一名肥胖的员工，则该2100员工为男性的概率为（ ） A ．B ．C ．D ．310092003534【答案】D【分析】先求出任选一名员工为肥胖者的概率和肥胖者员工为男性的概率，再根据条件概率计算即可.【详解】设公司男、女员工的人数分别为和，2n n则男员工中，肥胖者有人， 33210050n n ⨯=女员工中，肥胖者有人， 210050nn ⨯=设任选一名员工为肥胖者为事件，肥胖者为男性为事件，A B 则，， 3150()350n P AB n ==325050()375n nP A n +==则. 1()350()2()475P AB P B A P A ===故选：D.7．是椭圆上的一点，为左顶点，为右焦点，轴，若P 22221(0)x y a b a b +=>>A F PF x ⊥，则椭圆的离心率为（ ）1tan2PAF ∠=e A BCD ．12【答案】D【分析】轴得，在直角中由正切的定义可得的齐次式，从而得出的PF x ⊥2b PF a =PAF △,,a bc e 方程，求得结论．【详解】解：轴，，PF x ⊥ 2b PF a∴=而由得 AF a c =+∴，1tan 2PAF ∠=12PF AF =，即，212b ac a ∴=+（）2222a c a ac -=+（）解得舍或. 2210e e ∴+-=，1e =-（）12e =故选：D.8．庄严美丽的国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征．五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系．在如图所示的五角星中，以A ，B ，C ，D ，E 为顶点的多边形为正五边形，且．若（λ∈R ），则λ＝（ ）||||PT AT =u u u ru u u r ES AP BQ λ-=A B C ．D 【答案】D【分析】根据图象的对称性和向量的运算法则，化简得到，即可求解.RQ = 【详解】根据图形的对称性，可得，， ES RC = AP QC =由和向量的运算法则，可得，ES AP RC QC RC CQ RQ -=-=+=又由，，故，所以． RQ PT = ||||BQ AT = RQ λ=故选：D.二、多选题9．已知抛物线的焦点为，P 为C 上的一动点，，则下列结论正确()2:20C y px p =>()4,0F ()5,1A 的是（ ） A ．B ．当PF ⊥x 轴时，点P 的纵坐标为8 4p =C ．的最小值为4D ．的最小值为9PF PA PF +【答案】CD【分析】根据焦点坐标可得，即可判断A,根据坐标运算即可判断B,根据焦半径以及自变量的8p =范围即可判断C,根据三点共线即可判断D.【详解】对于A,由抛物线的焦点为可知，故A 错误， ()2:20C y px p =>()4,0F 482pp =⇒=对于B,当PF ⊥x 轴时，则点的横坐标为4，将其代入中得，故B 错误， P 216y x =8y =±对于C,设，则，由于,所以，故的最小值()00,P x y 0042pPF x x =+=+00x ≥044PF x =+≥PF 为4，故C 正确，对于D ，过作垂直于准线于,过作垂直于准线于，P PM M A AE E则，当，，三点共线时等号成立， 6PA PF PA PM AM AE +=+≥≥=P E A 故D 正确； 故选：CD10．将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象如图，则()()sin f x A x ωϕ=+6π()y g x =（ ）A ．为奇函数()f x B ．在区间上单调递增()f x ,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭C ．方程在内有个实数根()1f x =()0,2π4D ．的解析式可以是()f x ()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭【答案】BC【分析】利用图象可求得函数的解析式，利用函数图象平移可求得函数的解析式，可判()g x ()f x 断D 选项；计算可判断A 选项；利用正弦型函数的单调性可判断B 选项；当时，()0f ()0,2x π∈求出方程对应的可能取值，可判断C 选项. ()1f x =223x π-【详解】由图可知，函数的最小正周期为，，()g x 453123T πππ⎛⎫=+=⎪⎝⎭22T πω∴==()max 2A g x ==，所以，，则，可得， ()()2sin 2g x x ϕ=+552sin 2126g ππϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5sin 16⎛⎫+= ⎪⎝⎭πϕ所以，，得， ()52Z 62k k ππϕπ+=+∈()2Z 3k k πϕπ=-∈因为，则，所以，，2πϕ<3πϕ=-()2sin 23g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭将函数的图象向右平移个单位可得到函数的图象，()g x 6π()f x 故.()22sin 22sin 2633f x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦对于A 选项，因为，故函数不是奇函数，A 错； ()202sin 03f π⎛⎫=-≠ ⎪⎝⎭()f x 对于B 选项，当时，，故函数在区间上单调递增，B 对； 63x ππ<<22033x ππ-<-<()f x ,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭对于C 选项，由，可得，()22sin 213f x x π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭21sin 232x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭当时，，所以，，C 对； ()0,2x π∈22102333x πππ-<-<2513172,,,36666x πππππ⎧⎫-∈⎨⎬⎩⎭对于D 选项，，D 错. ()22sin 22sin 233f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-≠- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：BC.11．已知数列满足，，，则（ ） {}n a 11a =131n n a a +=+*n ∈N A ．121是数列中的项B ．13nn n a a +-=C ．是等比数列D ．存在，12n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭*k ∈N 1211132k a a a +++= 【答案】ABC【分析】由递推关系式可知，通过构造等比数列可求得数列的通项公式为131n n a a +=+{}n a ，即可计算并判断出ABC 正确；再利用不等式进行放缩可得出对于任意的，312n n a -=*n ∈N ，可得D 错误. 1211132n a a a +++<L 【详解】由可得，，又， 131n n a a +=+111322n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭11322a +=所以是首项为，公比为3的等比数列，即C 正确；12n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭32所以，由等比数列通项公式可得，即；113322n n a -+=⨯312n n a -=当时，，所以121是数列中的第五项，即A 正确；5n =55131122a -==由可得，；即B 正确；312n n a -=1113333312232n n n n n n n a a ++---⨯-=-==易知，当时，， 1231n n a =-2n ≥11313323n n n n --->-=⨯所以，当时，； 11122131233n n n n a --=<=-⨯1n =1312a =<当时，，2n ≥211211111133311133323213111n n n n a a a --⎛⎫++++++⋅⋅⋅+==- ⎪⎝⎭-<<即对于任意的，，所以不存在，， *n ∈N 1211132n a a a +++<L *k ∈N 1211132k a a a +++= 即D 错误. 故选：ABC12．如图，在平行四边形ABCD 中，，，，沿对角线BD 将△ABD 折起到1AB =2AD =60A ∠=︒△PBD 的位置，使得平面PBD ⊥平面BCD ，连接PC ，下列说法正确的是（ ）A ．平面PCD ⊥平面PBDB ．三棱锥外接球的表面积为 P BCD-10πC ．PD 与平面PBC D ．若点M 在线段PD 上（包含端点），则△BCM 【答案】ACD【分析】结合线线垂直，线面垂直与面面垂直的相互转化关系检验A,根据外接球的球心位置即可结合三角形的边角关系求解半径，可判断B,结合空间直角坐标系及空间角及空间点到直线的距离公式检验．CD 【详解】中，，，， BCD △1CD =2BC =60A ∠=︒所以，所以，BD =222BD CD BC +=BD CD ⊥因为平面平面,且平面平面，又，平面 PBD ⊥BCD PBD BCD BD =BD CD ⊥CD ⊂BCD 所以平面，平面,所以平面平面，故A 正确；CD ⊥PBD CD ⊂PCD PCD ⊥BPD 取的中点为,中点为,过作,由平面平面,且平面BC N PB Q N 12ON //PB,ON PB =PBD ⊥BCD 平面，又,平面,故平面,因此平面,由于PBD BCD BD =BD PB ⊥PB ⊂PBD PB ⊥BCD ON ⊥BCD 为直角三角形，且为斜边中点，所以,又,所以BCD △N OB OC OD ==12ON //PB,ON PB =,因此,因此为三棱锥外接球的球心，且半径为QB ON ,BQ //ON =OP OB =O P BCD -故球的表面积为，故B错误，OB54π=5π4´以为原点，联立如图所示的空间直角坐标系，则0，，，1，，0，，D B0)(0C0)P1)因为，0，，1，，,(0BP=1)(BC=0))01DP,=设平面的法向量为，PBC(),,m x y z=所以，取zm BPym BC⎧=⎧⋅=⎪⎪⇒⎨⎨+=⎪⋅=⎪⎩⎩x)30m,=所以PD与平面PBCC正确，cos,||||m DPm DPm DP⋅<>=因为在线段上，设，0，，则，0，，MPD M)a MB=)a-所以点到的距离，M BCd=当时，面积取得最小值D正确．37a=d MBC∆12BC=故选：ACD．三、填空题13．写出过点且与圆相切的一条直线的方程______．()2,2P-()2211x y++=【答案】（答案不唯一）3420x y+-=【分析】根据题意：先讨论斜率不存在的情况是否成立；斜率存在时，设出切线方程，利用圆心到直线的距离等于半径即可求解.【详解】当过点的直线斜率不存在时：方程为：，此时直线到圆心的距离()2,2P-2x=-1d r==，满足题意；当过点的直线斜率存在时：设方程为：， ()2,2P -(2)2y k x =++即，因为直线与圆相切， 220kx y k -++=()2211x y ++=所以，解得：，所以直线方程为：，d 34k =-3420x y +-=所以过点且与圆相切的一条直线的方程或， ()2,2P -()2211x y ++=2x =-3420x y +-=故答案为：（答案不唯一）.3420x y +-=14．等差数列的前项之和为，若，则________． {}n a n n S 66a =11S =【答案】66【分析】直接利用等差数列前项和公式和等差数列的性质求解即可. n 【详解】由已知条件得, ()11161111226622a a a S +===故答案为：.6615．若、、为空间三个单位向量，，且与、所成的角均为60°，则OA OB OC OA OB ⊥ OC OA OB______．OA OB OC ++=【分析】根据向量的模长公式即可代入求解.【详解】由题意可得，0OA OB ⋅= 111cos 602OA OC OC OB⋅=⋅=⨯⨯=OA OB ++16．已知椭圆的右焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴上方．若线段的中点M 在以原点2212516x y +=PF O 为圆心，为半径的圆上，则直线的斜率是_______________． ||OF PF【答案】.-【分析】设椭圆得左焦点为，连接，根据线段的中点M 在以原点O 为圆心，F ',OM PF 'PF ||OF 为半径的圆上，可得，从而可求得，在，利用余弦定理求得OM OF c ==,PF PF 'PFF 'A PFF '∠的余弦值，从而可得出答案.【详解】解：设椭圆得左焦点为，连接，F ',OM PF '由椭圆得，，2212516x y +=5,4,3a b c ===则，，， ()()3,0,3,0F F '-26FF c '==210PF PF a '+==因为点M 在以原点O 为圆心，为半径的圆上， ||OF 所以，3OM OF c ===因为分别为得中点，,O M ,FF PF '所以，所以， 26PF OF '==104PF PF '=-=所以，则1636361cos 2463PFF +-'∠==⨯⨯sin PFF '∠=所以，tan PFF ='∠因为点P 在椭圆上且在x 轴上方，则直线的倾斜角与互补， PF PFF '∠所以直线的斜率. PF -故答案为：.-四、解答题17．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知． a =b =cos A =(1)求；sin B (2)若B 是钝角，求AC 边上的中线长．【答案】 (2)1【分析】（1）根据同角基本关系可得正弦值，进而根据正弦定理即可求解，（2）根据余弦定理可求解，利用向量得，平方后即可求解．c 1()2BD BA BC =+【详解】（1）由,则由正弦定理得()cos 0,πA A =∈sin Asinsin sin sin b a b AB B A a=Þ=（2）由于B是钝角，故, cos B =由余弦定理可得（负值舍去），222cos 2a c b B ac +-==-1c=设边上的中线为，则，AC BD 1()2BD BA BC =+所以，222222(2)()2cos 1211BD BA BC c a ac B ⎛=+=++=++⨯= ⎝所以，即边上的中线长为． 1||2BD = AC 1218．设第一象限的点是双曲线上的一点，已知C 的一条渐近线的方()00,M x y ()222:104xy C b b -=>程是． y =(1)求b ； 0003yx -<(2)若直线和曲线C 相交于E ，F 两点，求． :3l y x =-EF【答案】(1)，证明见解析 b =(2)【分析】（1）根据渐近线方程可得，进而根据分析法即可求解， b =（2）联立方程，由韦达定理以及弦长公式即可求解.【详解】（1）的渐近线方程为，故，()222:104x y C b b-=>2b y x =±b =双曲线方程为，在双曲线上，所以， 22142x y -=()00,M x y 2200142x y -=，由于，显然成立，若0003x y x -<0003y x -<000,0x y >>0030x -≤时，只需要证明，即证，因此只需要0030x ->202003x y x ⎫⎪⎪-<⎭022*********x x x ⎛⎫+-<- ⎪⎝⎭证明，由，得，而，故0292x <02x >02994x<2899918221644<⇒+<< 0292x <0003y x -<（2）联立直线与双曲线方程， 222112220423x y x x y x ⎧-=⎪⇒-+=⎨⎪=-⎩设,则，所以由弦长公式得：()()2211F x ,y ,E x ,y 12121222x x ,xx +=×=，=19．如图，在棱长为2的正方体中，E 为AD 中点．1111ABCD A B C D -(1)求平面与平面夹角的余弦值；1DBD1EBD (2)探究线段上是否存在点F ，使得平面？若存在，确定点F 的位置；若不存在，说1B C //DF 1BD E 明理由． 【答案】 (2)存在，点为线段上靠近点的三等分点 F 1B C C 见解析【分析】（1）以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标D DA DC 1DD x y z 系，求出平面的法向量，平面的一个法向量．利用空间向量的数量积即可求解 1BD E 1BD D （2）假设在线段上存在点，使得平面．通过向量共线以及向量的数量积为0，求1B C F //DF 1BD E 解即可．【详解】（1）如图，以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角D DA DC 1DD x y z 坐标系，则，0，，，2，，，2，，，0，，，0，，，2，，，(2A 0)(2B 0)(0C 0)(0D 0)(1E 0)1(2B 2)1(0D 0，．2)，， 1(1,0,2)D E =-(1,2,0)EB = 设平面的法向量，1BD E (,,)n x y z =，即，∴100n D E n EB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩2020x z x y -=⎧⎨+=⎩令，则，，，2x =1y =-1z =∴(2,1,1)n =-连接，，由于平面，平面,所以，AC AC BD ⊥1D D ⊥AC AC ⊂AC 1D D AC ⊥平面，11,,D D BD D D D BD ⋂=⊂1BD D 平面，为平面的一个法向量．AC ∴⊥1BD D ∴(2,2,0)=-AC 1BD D ，∴cos ,||||AC n AC n AC n⋅〈〉==平面与平面夹角不超过，故平面与平面1DBD 1EBD 90 1DBD 1EBD （2）假设在线段上存在点，使得平面．1B C F //DF 1BD E 设，，，1([0,1])CF CB λλ=∈ 1(2,0,2)CB = 1(0,2,0)(2,0,2)(2,2,2)DF DC CF DC CB λλλλ=+=+=+=平面，，即，//DF 1BD E ∴DF n ⊥ 0DF n ⋅=，2，，，，即，解得， (2λ∴2)(2λ⋅1-1)0=620λ-=1[0,1]3λ=∈在线段上存在点，使得平面，此时点为线段上靠近点的三等分点．∴1B C F //DF 1BD E F 1B C C 20．甲、乙两人组成“新队”参加猜成语活动，每轮活动由甲乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为（）．在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也p q p q >互不影响．已知“新队”在一轮活动中都猜错的概率为，只猜对一个成语的概率为．1612(1)求的值；,p q(2)求“新队”在两轮活动中猜对2个成语的概率． 【答案】(1) 2312p q ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(2) 1336【分析】(1)根据相互独立事件发生的概率公式求解； (2)分情况讨论，根据相互独立事件发生的概率公式计算. 【详解】（1）都猜错的概率为，即，1(1)(1)6p q --=56p q pq +-=只猜对一个成语的概率为，即，1(1)(1)2p q p q -+-=122p q pq +-=所以解得. 7613p q pq ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩2312p q ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（2）“新队”在一轮比赛中猜对2个的概率为，1111623--=所以“新队”在两轮活动中猜对2个成语的概率为. 1111111336632236⨯+⨯+⨯=21．设等比数列的前n 项和为，且，.{}n a n S 121n n a S +=+()*n ∈N (1)求数列的通项公式；{}n a (2)在与之间插入个实数，使这个数依次组成公差为的等差数列，设数列的前n a 1n a +n 2n +n d 1n d ⎧⎫⎨⎬⎩⎭项和为，求证：. n n T 158n T <【答案】(1)13n n a -=(2)证明见解析【分析】（1）利用数列的递推关系和等比数列的性质，即可求出数列的通项公式；{}n a （2）根据等差数列的性质，可得，可得，再利用错位相减法即可得出． 1331n n n d n --=+11123n n n d -+=⋅【详解】（1）解：∵①121n n a S +=+时，②2n ≥121n n a S -=+①−②()11232n n n n n a a a a a n ++⇒-=⇒=≥而，由为等比数列，∴，2121a a =+{}n a 1112131a a a +=⇒=∴；11133n n n a --=⋅=（2）解： ，∴ 11332311n n n n d n n ---⋅==++11123n n n d -+=⋅∴① 0122123412323232323n n n n n T --+=+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅⋅② 12211231132323232323n n n nn n n T ---+=++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅⋅⋅①−② 121211111323232323n n nn T -+⇒=+++⋅⋅⋅+-⋅⋅⋅⋅， 111116311111111234432313n n n n n n --⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭++⎢⎥⎛⎫⎣⎦=+-=+-- ⎪⋅⋅⎝⎭-525443n n +=-⋅∴ 11525158838n n n T -+=-<⋅22．已知椭圆C 的中心在原点，一个焦点是，一个顶点的坐标是． ()12,0F -((1)求C 的方程．(2)设动直线与椭圆C 相切于点P ，且与直线交于点Q ，证明：以PQ 为直径的圆:n y kx m =+3x =恒过定点M ，并求出M 的坐标．【答案】(1)22162x y +=(2)，证明见解析()2,0M【分析】（1）根据椭圆几何性质可得2,c b ==a =（2）联立方程，根据判别式为0得，进而可得，，根据向量垂2226m k =+62,k P m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭()3,3Q k m +直的坐标运算可得对任意的恒成立，即可求解定()226232230k x y x x k m y m m æöç÷+-++--++=ç÷èø,k m 点.【详解】（1）由焦点是，可知焦点在轴上，故设椭圆方程为，有题()12,0F -x ()222210x ya b a b +=>>意可知2,c b ==a =故C 的方程为22162x y +=（2）联立， ()22222113636062x y k x kmx m y kx m ⎧+=⎪⇒+++-=⎨⎪=+⎩故，化简得，()()()2226413360mk km D=-+-=2226mk =+设，则，， ()00,P x y 023613mk k x k m=-=-+002213m y kx m k m =+=-=+故，，设，则62,k P m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭()3,3Q k m +(),M x y ，化简得()()6233=0k PM QM x x y y k m m m æöæöéùç÷ç÷×=+-+--+ç÷ç÷ëûèøèø对任意的恒成立，故满足()226232230k x y x x k m y m m æöç÷+-++--++=ç÷èø,k m ，故以PQ 为直径的圆恒过定点M,且, 2232=022=000x y x x x y y ⎧+-+=⎧⎪-⇒⎨⎨=⎩⎪=⎩()2,0M 【点睛】本题考查了直线与椭圆的位置关系，圆锥曲线中常涉及范围或最值问题，以及定点定值问题.根据题意构造关于参数的目标函数，然后根据题目中给出的范围或由判别式得到的范围求解，解题中注意函数单调性和基本不等式的作用．另外在解析几何中还要注意向量的应用，如本题中根据向量的垂直关系得到点的坐标之间的关系，进而为消去变量起到了重要的作用.。
2022-2023学年广东省东莞市东莞中学高二上学期期末数学试题(解析版)
2022-2023学年度第一学期教学质量检查高二数学一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑．1. 已知空间直角坐标系Oxyz 中，点()1,3,2P 关于坐标原点的对称点为1P ，则1PP =（）A.B.C. 14D. 56【答案】B 【解析】【分析】根据空间直角坐标系中关于原点对称的点的坐标特征可求得1P ，结合空间中两点间距离公式可求得结果.【详解】点()1,3,2P 关于坐标原点的对称点为()11,3,2P ---，1PP ∴==故选：B.2. 已知过()()1,,,4A a B a --两点的直线与直线2y x =平行，则=a （） A. 7- B. 3-C. 2-D. 2【答案】D 【解析】【分析】由题知421AB a k a+==+，再解方程即可得答案. 【详解】解：因为过()()1,,,4A a B a --两点的直线与直线2y x =平行， 所以直线AB 的斜率为421AB a k a+==+，解得2a =， 故选：D3. 已知等差数列{}n a ，其前n 项和是n S ，若525S =，则24a a +=（） A. 8 B. 9C. 10D. 11【答案】C 【解析】【分析】由已知可得1510a a +=，根据等差数列的性质即可得出结果.【详解】由已知可得，()1555252a a S +==，所以1510a a +=. 又1524a a a a +=+，所以2410a a +=. 故选：C.4. 已知抛物线24x y =的焦点为F ，点P 在抛物线上，若2PF =，则点P 的坐标为（） A. ()2,1 B. ()2,1或()2,1- C. ()2,1- D. 2,1或()2,1--【答案】B 【解析】【分析】由题知()0,1F ，2p =，设()00,P x y ，进而根据焦半径公式得01y =，再代入24x y =求解即可得答案【详解】解：由题知()0,1F ，2p =，设()00,P x y ， 因为点P 在抛物线上，所以由焦半径公式得00122pPF y y =+=+=，解得01y = 所以20044x y ==，解得02x =±，所以，点P 的坐标为()2,1或()2,1- 故选：B5. 古希腊数学家阿波罗尼斯在著作《圆锥曲线论》中记载了用平面切割圆锥得到圆锥曲线的方法．如图，将两个完全相同的圆锥对顶放置（两圆锥的轴重合），已知两个圆锥的底面直径均为6，母线长均为5，过圆锥轴的平面α与两个圆锥侧面的交线为,AC BD ，用平行于α的平面截圆锥，该平面与两个圆锥侧面的交线为双曲线Γ的一部分，且双曲线Γ的两条渐近线分别平行于,AC BD ，则双曲线Γ的离心率为（）A.54B.32C.53D.65【答案】A 【解析】【分析】以矩形ABCD 中心为原点，圆锥的轴为x 轴建立平面直角坐标系，由题得34b a =，从而可得到本题答案.【详解】以矩形ABCD 的中心为原点，圆锥的轴为x 轴建立平面直角坐标系，设双曲线的标准方程为22221x y a b-=，由题，得5,3OA AM ==，则34,tan 4OM AOM ==∠=，即34b a ，..由34b a，得离心率54c e a =====. 故选：A .6. 已知圆22:(2)(2)8C x y -+-=，点P 为直线:40l x y ++=上一个动点，过点P 作圆C 的切线，切点为A ，则切线长PA 的最小值为（）A. B. C. D. 【答案】B 【解析】【分析】由已知写出圆心坐标、半径，由228PA PC =-知，PC 最小时，PA 最小，即CP l ⊥时，有最小值.求出圆心到直线的距离即为PC 的最小值，进而求出结果.【详解】由已知可得，()2,2C ，半径r =AC r ==又AC AP ⊥，则在PAC △中有222PA AC PC +=，即22228PA PC AC PC =-=-.所以，当PC 最小时，PA 最小.因为，当CP l ⊥时，PC 最小，此时PC ==224PA =，所以PA 最小为故选：B.7. 如图，在棱长为6的正四面体ABCD 中，点M 在线段AB 上，且满足2AM MB =，点N 在线段CD 上，且满足2CN ND =，则MN =（）A. B.C. D. 【答案】A 【解析】【分析】根据空间向量线性运算的性质，结合空间向量数量积的运算性质进行求解即可. 【详解】因为2AM MB =，2CN ND =， 所以1222()3333MN MB BC CN AB AC AB CD AC AB AD AC =++=+-+=-+-， 即122333MN AC AB AD =-+， 2222122144448MN AC AB AD AC AB AD AC AB AC AD AB AD⎛⎫=-+=++-⋅+⋅-⋅ ⎪因为ABCD 是棱长为6的正四面体，所以19MN = 故选：A8. 已知n a 是不大于n最大正整数，其中*n ∈N ．若22n n b a +=，则12320b b b b ++++=（）A. 200B. 210C. 400D. 420【答案】B 【解析】【分析】根据222221n n n n <+<++得22n n n b a +==，进而得数列{}n b 为等差数列，再根据等差数列的求和公式求解即可.【详解】解：因为n a 的最大正整数，其中*n ∈N ．若22n n b a +=， 因为222221n n n n <+<++对任意的*n ∈N 恒成立，所以1n n <<+对任意的*n ∈N 恒成立， 所以22n n n b a +==，所以111n n b b n n +-=+-=，即数列{}n b 为等差数列，公差、首项均为1， 所以，()()12012320201202021022b b b b b b ++⨯++++===.故选：B二､多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑．9. 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别是1,AA BC 的中点，,G H 分别在线段111,CC A D 上，且满足12CG GC =，112A H HD =，设1AA a =，AB b =，AD c =，则下列结论正确的是（）A. 1122EF a b c =-++ B. 1136GH a b c =-- C. 13FH a b c =-+ D. 16EG a b c =++ 【答案】AD 【解析】【分析】根据正方体的性质以及已知，用基向量表示出各个选项中的向量，即可得出正确选项.【详解】由已知可得，112233CG CC AA ==，1111133GC CC AA ==，1112233A H A D AD ==，1111133HD A D AD ==. 对于A ，111112222EF EA AB BF AA AB AD a b c =++=-++=-++，故A 项正确； 对于B ，1111111113333GH GC C D D H AA AB AD a b c =++=--=--，故B 错误； 对于C ，111121236FH FB BA AA A H AD AB AA AD a b c =+++=--++=-+，故C 项错误；对于D ，11121236EG EA AB BC CG AA AB AD AA a b c =+++=-+++=++，故D 项正确. 故选：AD. 10. 已知{}n a 是公差为d 的等差数列，其前n 项和是n S ，若20212022202220232024,S S S S S <>=，则下列结论正确的是（）A. 0d >B. 20240a <C. 40450S =D. 20162030S S <【答案】BC 【解析】【分析】由题知02022022232400,0,a a a >=<，再根据等差数列的性质，前n 项和公式依次讨论各选项即可得答案.【详解】解：因为20212022202220232024,S S S S S <>=所以20222021202320222023202420222302202400,0,S S S S a S a S a -=>-==-=<， 所以202420230d a a =-<，故A 错误；B 正确；()14045404520234045404502a a S a +===，故C 正确；因为203020162017201820292030S S a a a a =++++-()()()201720302018202920232024a a a a a a =++++++()202320242024770a a a =+=<，所以20302016S S <，故D 错误. 故选：BC11. 如图，由半圆和半椭圆组成的“曲圆”，半圆的圆心是坐标原点，直径与椭圆的短轴重合，半圆所在的圆过椭圆的焦点()0,1F ，且与y 轴非正半轴交于点G ．若过原点O 的直线与上半椭圆交于点A ，与下半圆交于点B ，则下列结论正确的是（）A. AB的长度的最大值是1+B.AFG的周长为2+C. ABF △的面积的最小值是1D.90AGB ∠≥【答案】ABD 【解析】【分析】根据给定的条件，求出椭圆的短半轴长，半焦距；求出OA 长度范围；利用椭圆的定义求出焦点三角形周长等即可分别判断求解.【详解】由题意可知：半圆所在椭圆的半焦距1c =，短半轴长1b =，得出长半轴长a =2a =对于A，由椭圆性质可知1OA ≤1OB =，因此[2,1AB OA OB =+∈，AB的长度的最大值是1+故A 正确；对于B ，由椭圆定义知，因点,F G 是椭圆的两个焦点， 则AFG的周长为：222FG AF AG a ++=+=+， 所以AFG的周长2+，故B 正确；对于C ,设AB 所在直线方程为y kx =，联立2212y kxy x =⎧⎪⎨+=⎪⎩可得A x =， 联立221y kx x y =⎧⎨+=⎩可得B x =，则111||||||||222ABFAOFOBFA B SSSOF x OF x =+=+=，显然当20k ≥时，函数y =所以当0k =时，ABF S △有最大值1，故C 错误.对于D ,当AB 所在直线方程0k =时, AB 为圆的直径,则90AGB ∠=; 当AB 所直线方程0k ≠时,如图,连接,,AG BG OG ,在AGB 中，因为OB OG =,所以OBG OGB ∠=∠, 因为OA OG >,所以OGA OAG ∠>∠, 所以OGB OGA OAG OBG ∠+∠>∠+∠ 所以BGA OAG OBG ∠>∠+∠即得180BGA OAG OBG BGA ∠>∠+∠=-∠,所以90BGA ∠> 综上, 90BGA ∠≥,故D 正确;故选：ABD12. 已知O 为坐标原点，过抛物线2:4C y x =焦点F 的直线与C 交于,A B 两点，其中点A 在第一象限，点()3,0M ．若AF AM =，则（）A. 直线AB 的斜率为B. 52AB = C.AFM BFO ~D. 四边形OAMB 的面积为 【答案】AC 【解析】【分析】求得直线AB 的斜率判断选项A ；求得线段AB 的长度判断选项B ；利用相似三角形判定定理判断选项C ；求得四边形OAMB 的面积判断选项D.【详解】抛物线2:4C y x =焦点(1,0)F ，()3,0M ，AF AM =，则点A 在线段FM 的垂直平分线上，则点A 横坐标为2，又A 在第一象限，代入抛物线方程可得点A纵坐标为(2,A ， 则直线AB的斜率021AB AF k k ===-则选项A 判断正确；直线AB的方程为1)y x =-，与抛物线方程联立21)4y x y x ⎧=-⎪⎨=⎪⎩，解之得2x y =⎧⎪⎨=⎪⎩12x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩即(2,A，1,2B ⎛⎝， 则92AB ==.则选项B判断错误；23OB AM k k =-==--，则//AM OB ，则AFM BFO ~.则选项C 判断正确； 四边形OAMB的面积等于113322OAM OBM S S +=⨯⨯⨯=△△.则选项D 判断错误.故选：AC【点睛】数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷。
广东省东莞市高二数学上学期期末考试试题 理 (扫描版)新人教A版
2011—2012学年度第一学期期末教学质量检查 高二理科数学（B 卷）参考答案及评分标准一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案DBADBCCBBC二、填空题11. 02,2<-∈∀x R x 12.15 13. 13)1()1(22=+++y x 14. 35 三、解答题15.（本小题满分12分） 解：由正弦定理BbA a sin sin =，得A b B a sin sin =． ……………3分 代入B a b sin 2=得A b b sin 2=，即21sin =A ． ……………6分又因为A 为锐角，所以ο30＝A ． ……………8分 由余弦定理得A bc c b a cos 2222-+=72353222512=⨯⨯⨯-+=． ……………11分 所以7=a ． ……………12分16.（本小题满分12分）解：（1）由d n a a n )1(1-+=及,50,302010==a a …………………1分得方程组： ⎩⎨⎧=+=+.5019,30911d a d a …………………4分解得.2,121==d a …………………6分 所以.102+=n a n …………………8分 （2）由242,2)1(1=-+=n n S d n n na S ， …………………9分xzy得方程：.24222)1(12=⨯-+n n n .....................10分 解得11=n 或22-=n （舍）． (12)分17.（本小题满分14分）解：设A 、B 两种金属板各取,x 张，用料面积为2z m ， ………………1分则364556500,0x y x y x y +≥⎧⎪+≥⎨⎪≥≥⎩，…4分 目标函数23z x y =+，……分 可行域如右图．……………7分由136450256500164x x y x y y ⎧=⎪+-=⎧⎪⇒⎨⎨+-=⎩⎪=⎪⎩．…………………………8分 所以直线36450x y +-=与直线56500x y +-=的交点为11(2,6)24M ．………10分 而当动直线2133y x z =-+经过点M 时，23z x y =+取最小值，由于11(2,6)24M 坐标不是整数，在可行域找到点(3,6)N 符合要求， ………………12分 此时min 233624z =⨯+⨯=． ………………13分 故A 、B 两种金属板各取3张、6张时，能完成计划并能使总用料面积最省. ……14分18.（本小题满分14分）解：设b PA =，建立如图所示空间直角坐标系，），，（000A ,），，（001B ，(0,0,)P b ,），，（020D ），，（022C ，），，（211b E . ………………2分 （1）)2,1,0(b =，平面PAD 的法向量为)0,0,1(=，所以0=⋅， ………………5分 又BE ⊄平面PAD ，//BE ∴平面PAD . ………………7分（2）BE ⊥Q 平面PCD ，y56500x y +-=36450x y +-=11(2,6)24M O xBE PC ∴⊥，即0BE PC ⋅=u u u r u u u r. (8)分又),2,2(b -=，0222=-=⋅∴b PC BE ， ………………9分即2=b ，所以PA 的长为 2. ………………10分），，（220-=,），，（021=， (11)分5105224,cos =⋅>=<， ………………13分所以异面直线PD 与BC . ………………14分19. （本小题满分14分）解：(1)由题意得，2=c ，8)30())2(2()30())2(2(22222=-+--+-+---=a ，4=a ，……………………2分 所以12222=-=c a b ， ……………………3分所以椭圆C 的方程为1121622=+y x . ……………………4分 （2）根据椭圆的对称性，椭圆C 内接矩形的对称轴必为坐标轴. ……………………5分设椭圆C 内接矩形位于第一象限的顶点坐标为)0,0)(,(0000>>y x y x ，……6分则112162020=+yx . ……………………7分 椭圆C 的内接矩形的面积为316])32()4[(3163242316420200000=+⋅≤⋅⋅⋅==yx y x y x S ,………10分 所以椭圆C 的内接矩形面积的最大值为316max =S ， ……………………11分 此时2132400==y x ，解得6,2200==y x ， ……………………13分矩形的周长为6428)(400+=+y x . ……………………14分20.（本小题满分14分） 解：（1）由已知，当2≥n 时，122=-nn n nS S b b ， 又1--=n n n S S b ，所以1)()(2211=-----nn n n n n S S S S S S . ………………2分 即1)(211=----nn n n S S S S ，所以21111=--n n S S ， ………………4分 又1111===a b S ，所以数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S 1是首项为1，公差为21的等差数列. ……5分(2)由(1)知,21)1(21111+=-+=n n S S n ，即12+=n S n . ………………7分 所以，当2≥n 时，)1(2112121+-=+--+=-=-n n n n S S b n n n ， …………8分 因此⎪⎩⎪⎨⎧≥+-==).2()1(2),1(1n n n n b n ………………10分 （3）设上表中从第三行起，每行的公比都为q ，且0>q .因为782131212321=⨯=++++Λ，所以表中第1行至第12行共含有数列}{n a 的前78项，故81a 在表中第13行第三列. ………………11分 所以，91421381-==q b a ， ………………12分 又1413213⨯-=b ，所以2=q . ………………13分记表中第)3(≥k k 行所有项的和为S ，则)3)(21()1(221)21()1(21)1(≥-+=--⋅+-=--=k k k k k q q b S k k k k .…………14分。
2020-2021学年广东省东莞市高二上数学期末考试卷
(1)求证： 平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的余弦值。
20．（本小题满分12分）
已知直线 与抛物线 ： ( )交于 、 两点，且点 、 在 轴两侧，其准线与 轴的交点为点 ，当直线 的斜率为 且过抛物线 的焦点时， 。
(1)求抛物线 的标准方程；
A、
B、
C、
D、
5． 的顶点分别为 、 、 ，则 边上的高 的长为( )。
A、
B、
C、
D、
6．在 ， ， ，点 是 的重心，则 的最小值是( )。
A、
B、
C、
D、
7．已知 、 是双曲线 ： 的左、右两个焦点，若双曲线在第一象限上存在一点 ，使得 ， 为坐标原点，且 ，则 的值为( )。
A、
B、
C、
D、
A、
B、
C、
D、
10．等比数列 中， ，公比 ，前 项和为 ，下列结论错误的是( )。
A、 ，
B、 ，
C、 ，
D、 ，
11．设 ，则当 取最小值时，下列说法正确的是( )。
A、
B、
C、
D、
12．已知 、 是双曲线 ( ， )的左、右焦点，过 作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点 ，交另一条渐近线于点 ，且 ，则该双曲线的离心率为( )。
16．已知 为坐标原点， 是椭圆 ： ( )的左焦点， 、 分别为椭圆 的左、右顶点， 为椭圆 上一点，且 轴。过点 的直线 与线段 交于点 ，与 轴交于点 。若直线 经过 的中点，则椭圆 的离心率为。
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分10分）
广东省东莞市第七高级中学高二数学理上学期期末试卷含解析
广东省东莞市第七高级中学高二数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 圆锥的轴截面SAB是边长为2的等边三角形，O为底面中心，M为SO的中点，动点P在圆锥底面内（包括圆周）。
若AM⊥MP，则P点形成的轨迹的长度为（）A. B. C. 3 D.参考答案：解析：建立空间直角坐标系。
设A(0,-1,0), B(0,1,0),, ，P(x,y,0).于是有由于AM⊥MP，所以，即，此为P点形成的轨迹方程，其在底面圆盘内的长度为。
因此选 B。
2. 阅读下列程序：输入x；if x＜0， then y ＝；else if x ＞0， then y ＝；else y＝0；输出y．如果输入x＝－2，则输出结果y 为( )A．－5 B．－－5 C． 3＋ D． 3－参考答案：D无3. 如果右边程序执行后输出的结果是1320，那么在程序UNTIL后面的“条件”应为（）A. i > 11B. i >=11C. i <11D.i<10参考答案：D4. 《九章算术》是我国古代的数学专著，其中的“更相减损术”也可以用来求两个数的最大公约数．如图程序框图的算法思路源于“更相减损术”，若输入的a，b，i分别为18,14,0，则输出的a, i算得（）A．16 B．32 C．64 D．8参考答案：C由题意得，依次运行程序框图所示的程序可得，第一次：；第二次：；第三次：；第四次：；第五次：第六次：。
故满足，输出。
所以。
选C。
5. 把“二进制”数化为“五进制”数是（）A． B． C． D．参考答案：C 6. 把红、黑、白、蓝张纸牌随机地分给甲、乙、丙、丁个人, 每个人分得张, 事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是（）A．对立事件B．不可能事件C．互斥但不对立事件D．以上均不对参考答案：C考点：对立事件与减法公式互斥事件与加法公式试题解析：事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”不能同时发生，所以是互斥事件；但事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌” 可以都没发生，所以事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是互斥但不对立事件。
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一．单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分）
1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b ＝2，B ＝45°，C ＝120°，则
边c ＝（ ）
A ．√2
B ．√3
C ．2
D ．√6
2．糖水溶液（不饱和）的浓度计算公式为c =糖的质量b 克糖水的质量a 克
(a ＞b)，向糖水（不饱和）中再加入m 克糖，那么糖水（不饱和）将变得更甜，则反应这一事实的不等关系为（ ）
A ．b a ＞b+m a+m
B ．b a ＜b+m a+m
C ．b a ＞b+m a
D ．b a ＜b+m a 3．已知双曲线
x 2a 2−y 2
b 2=1（a ＞0，b ＞0）的实轴长是虚轴长的两倍，则它的渐近线方程为
（ ） A ．y =±12x B ．y =±√2x C ．y ＝±2x D ．y =±√3x
4．已知数列{a n }是等差数列，且a 3+a 13＝50，a 6＝19，则a 2＝（ ）
A ．3
B ．4
C ．7
D ．8 5．已知a ，b 为实数，则“0＜ab ＜2”是“a ＜2b ”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
6．中国古代数学著作《算法统综》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，
次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”．其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”，则该人第4天走的路程为（ ）
A ．96里
B ．48里
C ．24里
D ．12里 7．已知实数a ＞0，b ＞0，且1a +2b ＝2，则b a 的最大值为（ ）
A ．49
B ．12
C ．23
D ．√22
8．已知双曲线C ：x 216−y 29=1的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 为双曲线C 上一点，直线l
分别与以F 1为圆心、F 1P 为半径的圆和以F 2为圆心、F 2P 为半径的圆相切于点A ，B ，则|AB |＝（ ）
A ．2√7
B ．6
C ．8
D ．10
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二．多项选择题（共4小题，每小题5分，共20分）
9．四边形ABCD 内接于圆O ，AB ＝CD ＝5，AD ＝3，∠BCD ＝60°，下列结论正确的有（ ）
A ．四边形ABCD 为梯形
B ．圆O 的直径为7
C ．四边形ABC
D 的面积为55√34
D ．△ABD 的三边长度可以构成一个等差数列
10．我们通常称离心率为√5−12的椭圆为“黄金椭圆”．如图，已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)，A 1，A 2，B 1，B 2为顶点，F 1，F 2为焦点，P 为椭圆上一点，满足下列条件能使椭圆C 为“黄金椭圆”的有（ ）
A ．|A 1F 1|，|F 1F 2|，|F 2A 2|为等比数列
B ．∠F 1B 1A 2＝90°
C ．PF 1⊥x 轴，且PO ∥A 2B 1
D ．四边形A 1B 2A 2B 1的内切圆过焦点F 1，F 2
11．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，以下说法中正确的是（ ）
A ．若A ＞
B ，则sin A ＞sin B
B ．若a ＝4，b ＝5，c ＝6，则△AB
C 为钝角三角形
C ．若a ＝5，b ＝10，A =π4，则符合条件的三角形不存在
D ．若b cos C +c cos B ＝a sin A ，则△ABC 为直角三角形
12．已知数列{a n }的首项为4，且满足2（n +1）a n ﹣na n +1＝0（n ∈N *），则（ ）
A ．{a
n n }为等差数列 B ．{a n }为递增数列
C ．{a n }的前n 项和S n =(n −1)⋅2n+1+4。