高考数学一轮复习 两角和与差的正弦、余弦及正切教案 理
新高考数学一轮复习考点知识归类讲义 第24讲 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
第24讲 两角和与差的正弦、余弦和正切公式1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 C (α－β)：cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β． C (α＋β)：cos(α＋β)＝cos αcos β－sin_αsin β． S (α＋β)：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos_αsin β． S (α－β)：sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β．T (α＋β)：tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β⎝⎛⎭⎫α，β，α＋β≠π2＋k π，k ∈Z . T (α－β)：tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β⎝⎛⎭⎫α，β，α－β≠π2＋k π，k ∈Z . 2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 S 2α：sin 2α＝2sin αcos α．C 2α：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α． T 2α：tan 2α＝2tan α1－tan 2α⎝⎛⎭⎫α≠π4＋k π2，且α≠k π＋π2，k ∈Z .➢考点1 公式的直接应用[名师点睛]应用三角公式化简求值的策略(1)首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”．(2)注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用． (3)注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用． 1．（2022·福建厦门·模拟预测）已知(),0,αβπ∈，且cos21tan 2sin 2βαβ-==，则()cos αβ-=（ ） A ．45-B ．35C ．35D ．452．（2022·湖南·宁乡市教育研究中心模拟预测）若3sin ,(,)52πααπ=∈，则sin()3πα-=（ ）A 334-B 334+ C 343-343+3．（2022·江苏·高三专题练习）()2cos cos 24πθπθθ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，且sin 0θ≠，则tan 6πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（ ）A 33．23D ．23+4．（2022·江苏徐州·模拟预测）已知tan 2α=，则1sin 2cos 2αα+=（ ）A ．3-B ．13-C ．3D ．13[举一反三]1．（2022·北京四中高三阶段练习）角θ的终边过点()2,4P ，则tan 4πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．13-B ．3-C ．13D ．32．（2022·广东肇庆·模拟预测）已知4cos 5α=，02πα<<，则sin 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．210B ．7210C ．210-D ．7210-3．（2022·福建南平·三模）在单位圆中，已知角α的终边与单位圆交于点13,22P ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，现将角α的终边按逆时针方向旋转3π，记此时角α的终边与单位圆交于点Q ，则点Q 的坐标为（ ）A ．3,221⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭B ．13,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭C ．()1,0D ．()0,1 4．（2022·江苏扬州·模拟预测）已知sin sin 62ππαα⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则tan2α=（ ）A ．3-B ．33-C ．3±D ．33± 5．（2022·湖南师大附中二模）中国古代数学家赵爽绘制“勾股圆方图”证明了勾股定理（西方称之为“毕达哥拉斯定理”）.如图，四个完全相同的直角三角形和中间的小正方形拼接成一个大正方形，角α为直角三角形中的一个锐角，若该勾股圆方图中小正方形的面积1S 与大正方形面积2S 之比为1:25，则sin 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．210B ．2．7210D ．726．（2022·海南海口·模拟预测）若tan tan 2αβ⋅=，则()()cos cos αβαβ-+的值为（ ）A ．3-B ．13-C ．13D ．37．（多选）（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知()54cos cos 25αβα+==-，其中,αβ为锐角，则以下命题正确的是（ ） A ．3sin 25α=B ．()25cos αβ-=C ．3cos cos αβ=．1tan tan 3αβ=8．（2022·浙江绍兴·模拟预测）已知tan 2α=，则tan2α=________，2sin 2cos αα+=__________．9．（2022·山东淄博·模拟预测）已知()0,απ∈，tan 2α，则cos 4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭______．10．（2022·湖南·长沙一中高三阶段练习）已知1cos cos 5αβ=，2sin sin 5αβ=，则()cos βα-的值为________．➢考点2 三角函数公式的逆用与变形用1．（2022·浙江·高三专题练习）sin 45cos15cos225sin15︒︒-︒︒的值为（ ）A ．B ．12-C ．12D 2．（2022·福建泉州·模拟预测）已知090α︒≤<︒，且()2sin361sin 22cos 18cos2αα︒+=︒，则α=（ ）A ．18︒B ．27︒C ．54︒D ．63︒3．（2022·江苏苏州·模拟预测）已知sin20tan203m +=，则实数m 的值为（ ） A．2C ．4D ．84．（2022·全国·高三专题练习）在△ABC 中，tan A ＋tan B A ·tan B ，则C 的值为（ ） A ．23π-B ．3π-C ．3πD ．23π[举一反三]1．（2022·江苏·高三专题练习）cos15cos75sin15sin75︒︒+︒︒的值为（ ）A ．1B ．0C ．-0.5D ．0.52．（2022·重庆八中高三阶段练习）已知角α的顶点在原点，始边与x 轴的正半轴重合，终边经过点()cos15sin15,cos15sin15P ︒-︒︒+︒，则tan α=（ ）A ．2B ．23．（2022·全国·高三专题练习）已知黄金三角形是一个等腰三角形，其底与腰的长度的比值，该值恰好等于2sin18︒），则sin100cos26cos100sin 26︒︒+︒︒=（ ）A ．． 4．（2022·浙江·高三专题练习）tan1tan 441tan1tan 44︒︒︒︒+=-（ ） A ．1B ．1-C ．2D ．2-5．（多选）（2022·全国·高三专题练习）下列等式成立的是（ ） A ．1sin21cos81sin69cos92-=-B ．223cos 75cos 152-= C ．2cos10sin203cos20-=D ．()sin5013tan101+=6．（2022·重庆·三模）cos40cos80cos50sin100︒︒-︒︒=___________. 7．（2022·全国·高三专题练习）2cos16cos29cos13︒︒-︒的值等于_________. 8．（2022·江苏南通·高三期末）写出一个满足tan20°＋4cos θθ＝_________. 9．（2022·山东·青岛二中高三开学考试）tan10tan35tan10tan35︒+︒+︒︒=______．10．（2022·全国·高三专题练习）()()1tan 201tan 25︒︒+⋅+=________.➢考点3 角的变换与名的变换1．（2022·河北唐山·二模）已知02αβπ<<<，函数()5sin 6f x x π⎛⎫- ⎝=⎪⎭，若()()1f f αβ==，则()cos βα-=（ ） A ．2325B ．2325-C ．35D ．352．（2022·江苏·华罗庚中学高三阶段练习）已知cos α=，()sin βα-=，,αβ均为锐角，则β=（ ） A ．12πB ．6πC ．4πD ．3π3．（2022·海南·模拟预测）设α为第一象限角，若1cos 65πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin α=（ ）A B4．（2022·全国·高三专题练习）已知(),0,παβ∈，πcos 2αβ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭()tan π7β-=，则tan α=（ ） A ．3-B ．139-C ．3D ．139[举一反三]1．（2022·全国·高三专题练习）已知3,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，若tan 23πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则cos 12πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A B ．．2．（2022·湖南·模拟预测）我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长l 与太阳天顶距()0180θθ︒≤≤︒的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表.根据三角学知识可知，晷影长度l 等于表高h 与太阳天顶距θ正切值的乘积，即tan l h θ=.对同一“表高”两次测量，第一次和第二次太阳天顶距分别为α，β，若第一次的“晷影长”是“表高”的3倍，且()1tan 2αβ-=，则第二次的“晷影长”是“表高”的（ ）倍. A ．1B ．23C ．52D ．723．（2022·湖南株洲·一模）已知0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，sin 4πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭tan θ=（ ）A ．2B ．12C ．3D ．134．（2022·浙江·高三专题练习）已知,36ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，29cos 2610απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 6πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）ABC5．（多选）（2022·全国·高三专题练习）已知cos()αβ+=5cos213α=-，其中α，β为锐角，以下判断正确的是（ ） A ．sin 21312α=B．cos()αβ-C．cos cos αβ=．11tan tan 8αβ=6．（2022·广东湛江·二模）若()3tan 2αβ-=，tan 2β=，则tan α=___________. 7．（2022·全国·高三专题练习）已知02πα<<，4sin 5α，1tan()3αβ-=-，则tan β=_______；sin())4βππβ+=+_______.8．（2022·山东烟台·高三期末）已知π(0,)2α∈，cos()4πα+=cos α的值为______．9．（2022·江苏·模拟预测）已知1sin(),(0,)43x x ππ+=∈，则sin x =_________．10．（2022·广东·三模）已知tan 2α=，则sin 24πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭___________.11．（2022·广东韶关·一模）若()()1sin 0,,tan 22ππαααβ⎛⎫-=∈+= ⎪⎝⎭，则tan β=__________.12．（2022·全国·高三专题练习）已知α，β为锐角，25sin 5α=，()10sin 10αβ-=-. （1）求sin 2α的值； （2）求()tan αβ+的值第24讲 两角和与差的正弦、余弦和正切公式1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 C (α－β)：cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β． C (α＋β)：cos(α＋β)＝cos αcos β－sin_αsin β． S (α＋β)：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos_αsin β． S (α－β)：sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β．T (α＋β)：tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β⎝⎛⎭⎫α，β，α＋β≠π2＋k π，k ∈Z . T (α－β)：tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β⎝⎛⎭⎫α，β，α－β≠π2＋k π，k ∈Z . 2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 S 2α：sin 2α＝2sin αcos α．C 2α：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α． T 2α：tan 2α＝2tan α1－tan 2α⎝⎛⎭⎫α≠π4＋k π2，且α≠k π＋π2，k ∈Z .➢考点1 公式的直接应用[名师点睛]应用三角公式化简求值的策略(1)首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”．(2)注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用． (3)注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用． 1．（2022·福建厦门·模拟预测）已知(),0,αβπ∈，且cos21tan 2sin 2βαβ-==，则()cos αβ-=（ ） A ．45-B ．35C ．35D ．45【答案】C 【解析】2cos 212sin tan sin 22sin cos ββββββ--==-，tan 2α∴=，tan 2β=-，(),0,αβπ∈，0,2πα⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，,2πβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，25sin α∴=，5cos α=，25sin β=5cos β=， ()5525253cos cos cos sin sin 5αβαβαβ⎛∴-=++= ⎝⎭. 故选：C.2．（2022·湖南·宁乡市教育研究中心模拟预测）若3sin ,(,)52πααπ=∈，则sin()3πα-=（ ）ABC【答案】D 【解析】解：因为2απ<<π，3sin 5α=，所以4cos 5α=-，所以sin()sin cos cos sin 333αααπππ-=-＝314525⨯+=故选：D ．3．（2022·江苏·高三专题练习）()cos cos 24πθπθθ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，且sin 0θ≠，则tan 6πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（ ）A．2D．2+【答案】D【解析】()cos cos 24πθπθθ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，22cos cos sin )(cos )cos sin 44ππθθθθθ--=-，即(sin cos )(cos )(cos sin )(cos sin )θθθθθθθ--=-+，sin (cos sin )0θθθ-=， ∵sin 0θ≠，∴cos sin 0θθ-=，即tan 1θ=，∴tan tan16tan 261tan tan 6πθπθπθ++⎛⎫+=== ⎪⎝⎭-．故选：D ．4．（2022·江苏徐州·模拟预测）已知tan 2α=，则1sin 2cos 2αα+=（ ）A ．3-B ．13-C ．3D ．13【答案】A【解析】2221sin 2(sin cos )cos sin 1tan 123cos2cos sin cos sin 1tan 12αααααααααααα+++++=====-----. 故选：A ．[举一反三]1．（2022·北京四中高三阶段练习）角θ的终边过点()2,4P ，则tan 4πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．13-B ．3-C ．13D ．3【答案】B【解析】角θ的终边过点()2,4P ，tan 2θ∴=，tan tan214tan 34121tan tan 4πθπθπθ++⎛⎫∴+===- ⎪-⎝⎭-. 故选：B.2．（2022·广东肇庆·模拟预测）已知4cos 5α=，02πα<<，则sin 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）AC．．【答案】B 【解析】由4cos 5α=，02πα<<，得3sin 5α=，所以34sin 455πααα⎛⎫+== ⎪⎝⎭故选:B.3．（2022·福建南平·三模）在单位圆中，已知角α的终边与单位圆交于点12P ⎛ ⎝⎭，现将角α的终边按逆时针方向旋转3π，记此时角α的终边与单位圆交于点Q ，则点Q 的坐标为（ ）A．21⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B．12⎛-⎝⎭C ．()1,0D ．()0,1 【答案】B【解析】由三角函数定义知：1sin 2αα==，将角α的终边按逆时针方向旋转3π，此时角变为3πα+，故点Q 的横坐标为1cos()cos cos sin sin 3332πππααα+=-=-，点Q的纵坐标为sin()sin cos cos sin 333πππααα+=+=，故点Q 的坐标为13,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.故选： B.4．（2022·江苏扬州·模拟预测）已知sin sin 62ππαα⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则tan2α=（ ）A ．3-B ．33-C ．3±D ．33± 【答案】A【解析】由两角差的正弦公式展开可得：13cos sin cos 22ααα-=，则3tan 3α=-， 所以2232tan 3tan2321tan 3ααα-===--. 故选：A.5．（2022·湖南师大附中二模）中国古代数学家赵爽绘制“勾股圆方图”证明了勾股定理（西方称之为“毕达哥拉斯定理”）.如图，四个完全相同的直角三角形和中间的小正方形拼接成一个大正方形，角α为直角三角形中的一个锐角，若该勾股圆方图中小正方形的面积1S 与大正方形面积2S 之比为1:25，则sin 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．210B ．2．7210D ．72【答案】C【解析】如图所示，由图中小正方形的面积1S 与大正方形面积2S 之比为1:25，可得5DC EH =，因为sin CE DC α=，可得1cos sin 5DE DC EC EH DC DC αα==-=-，所以1sin cos 5αα-=，所以112sin cos 25αα-=，所以242sin cos 25αα=，所以()249sin cos 12sin cos 25αααα+=+=， 因为0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以7sin cos 5αα+=，所以()272sin sin cos cos sin sin cos 444210πππααααα⎛⎫+=+=+=⎪⎝⎭. 故选：C.6．（2022·海南海口·模拟预测）若tan tan 2αβ⋅=，则()()cos cos αβαβ-+的值为（ ）A ．3-B ．13-C ．13D ．3【答案】A【解析】由题意得，()()cos cos cos sin sin cos cos sin sin cos αβαβαβαβαβαβ-+=-+1tan tan 1231tan tan 12αβαβ++===---． 故选:A7．（多选）（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知()54cos cos 25αβα+==-，其中,αβ为锐角，则以下命题正确的是（ ） A ．3sin 25α=B ．()25cos αβ-=C ．3cos cos αβ=．1tan tan 3αβ=【答案】AB【解析】因为4cos 25α=-，π0,02π2αα<<∴<<，所以23sin 21cos 25αα=-=，故A 正确；因为()5cos αβ+=ππ0,0,0π22αβαβ<<<<∴<+<，所以()()225sin 1cos αβαβ+=-+=所以cos()cos[2()]cos2cos()sin 2sin()αβααβααβααβ-=-+=+++ ⎛⎛⎫=-⨯+= ⎪ ⎝⎭⎝⎭453252555，故B 正确；cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+=，cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-=②， 由+①②得，2cos co s αβ=，解得cos cos αβ=C 不正确； 由①-②得，2sin sin αβ=，解得sin sin αβ=sin sin tan tan 3cos c os αβαβαβ===，故D 不正确.故选：AB.8．（2022·浙江绍兴·模拟预测）已知tan 2α=，则tan2α=________，2sin 2cos αα+=__________．【答案】 43- 1【解析】22tan 4tan 2,1tan 3ααα==--222222sin cos cos 2tan 1sin 2cos 1sin cos tan 1ααααααααα+++===++故答案为：43-，1．9．（2022·山东淄博·模拟预测）已知()0,απ∈，tan 2α，则cos 4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭______．【解析】由tan 2α得sin 2cos αα=-，又22sin cos 1αα+=，所以21cos 5α=，因为()0,απ∈，tan 2α，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cos αα==因为πππcos()cos cos sin sin 444ααα-=+，所以cos()4πα-=22=．10．（2022·湖南·长沙一中高三阶段练习）已知1cos cos 5αβ=，2sin sin 5αβ=，则()cos βα-的值为________．【答案】35【解析】解：∵12cos cos ,sin sin 55αβαβ==，∴3cos()cos cos sin sin 5βααβαβ-=+=．故答案为：35.➢考点2 三角函数公式的逆用与变形用1．（2022·浙江·高三专题练习）sin 45cos15cos225sin15︒︒-︒︒的值为（ ）A ．B ．12-C ．12D 【答案】D【解析】原式=sin 45cos15cos 45sin15sin(4515)sin 60︒︒+︒︒=︒+︒=︒=故选：D.2．（2022·福建泉州·模拟预测）已知090α︒≤<︒，且()2sin361sin 22cos 18cos2αα︒+=︒，则α=（ ）A ．18︒B ．27︒C ．54︒D ．63︒【答案】B【解析】因为()()sin361sin 22sin18cos181sin 2αα︒+=︒︒+所以()22cos 18cos22sin18cos181sin 2αα︒=︒︒+，整理得：cos18cos2sin18sin 2sin18αα︒=︒+︒，cos18cos2sin18sin 2sin18αα︒-︒=︒()cos 218sin18α+︒=︒因为090α︒≤<︒， 所以18218198α︒≤+︒<︒， 所以2189018α+︒=︒-︒， 解得：27α=︒ 故选：B3．（2022·江苏苏州·模拟预测）已知sin20tan203m +=，则实数m 的值为（ ） A．2C ．4D ．8 【答案】C【解析】解：∵tan20°+msin20°=∴msin20cos20sin20︒︒==︒=12sin2021sin402⎫︒-︒⎪⎝⎭=︒ ()2sin 60201sin402︒-︒==︒ 4 故选：C4．（2022·全国·高三专题练习）在△ABC 中，tan A ＋tan BA ·tanB ，则C 的值为（ ） A ．23π-B ．3π-C ．3πD ．23π【答案】C【解析】由已知可得tan A ＋tan BA ·tanB －1)， ∴ tan(A ＋B )＝tan tan1tan tan A BA B+-又0＜A ＋B ＜π，∴ A ＋B ＝23π，∴ C ＝3π.故选：C [举一反三]1．（2022·江苏·高三专题练习）cos15cos75sin15sin75︒︒+︒︒的值为（ ） A ．1B ．0C ．-0.5D ．0.5 【答案】D【解析】()1cos15cos75sin15sin 75cos 1575cos(60)2︒︒+︒︒=︒-︒=-︒=. 故选：D.2．（2022·重庆八中高三阶段练习）已知角α的顶点在原点，始边与x 轴的正半轴重合，终边经过点()cos15sin15,cos15sin15P ︒-︒︒+︒，则tan α=（ ）A ．2B ．2【答案】D【解析】cos15sin1515)︒-︒=︒+︒=cos15sin1515)︒+︒=︒-︒=,即(2P ，则tan α= 故选：D.3．（2022·全国·高三专题练习）已知黄金三角形是一个等腰三角形，其底与腰的长度的比值，该值恰好等于2sin18︒），则sin100cos26cos100sin 26︒︒+︒︒=（ ）A ．． 【答案】D【解析】由已知可得2sin18︒=，故sin18︒=则()sin100cos26cos100sin 26sin126sin 3690cos36︒︒+︒︒=︒=︒+︒=︒ 2212sin 1812=-︒=-⨯=⎝⎭. 故选:D.4．（2022·浙江·高三专题练习）tan1tan 441tan1tan 44︒︒︒︒+=-（ ）A ．1B ．1-C ．2D ．2- 【答案】A【解析】tan1tan 44tan 4511tan1tan 44︒︒︒︒+==-.故选：A.5．（多选）（2022·全国·高三专题练习）下列等式成立的是（ ） A ．1sin21cos81sin69cos92-=-B ．223cos 75cos 152-= C ．2cos10sin203cos20-=D ．()sin5013tan101+= 【答案】CD【解析】因为sin21cos81sin69cos9sin21cos81cos 21sin81-=-︒︒()sin 2181=︒-︒= 故选项A 错误；因为221cos1501cos30cos 75cos 1522+︒+︒-=-=， 故选项B 错误；因为()1cos10cos 3020sin 202︒=︒-︒︒+︒，所以()3cos 20sin 20sin202cos10sin203cos20cos20︒+︒--==故选项C 正确；因为()2sin 301011cos10︒+︒︒==︒， 所以()2sin 402sin 40cos 401cos10s sin5013tan10s in80in50︒+=︒︒⨯==︒︒，故选项D 正确；故选：CD.6．（2022·重庆·三模）cos40cos80cos50sin100︒︒-︒︒=___________. 【答案】12-【解析】解：原式=1cos 40cos80sin 40sin80cos(4080)cos1202︒︒-︒︒=+==-.故答案为：12-7．（2022·全国·高三专题练习）2cos16cos29cos13︒︒-︒的值等于_________. 【解析】()2cos16cos29cos132cos16cos16cos13sin16sin13cos13︒︒-︒=︒︒︒-︒︒-︒cos32cos13sin32sin13cos 45=︒︒-︒︒=︒=8．（2022·江苏南通·高三期末）写出一个满足tan20°＋4cosθθ＝_________. 【答案】70︒（答案不唯一）． 【解析】由题意sin 60sin 20sin 60cos 20cos60sin 204cos tan 20tan 60tan 20cos60cos 20cos60cos 20θ︒︒︒︒-︒︒=︒=︒-︒=-=︒︒︒︒sin 402sin 20cos 204sin 204cos701cos60cos 20cos 202︒︒︒===︒=︒︒︒︒， 因此70θ=︒（实际上36070,k k Z θ=⋅︒±︒∈）． 故答案为：70︒（答案不唯一）．9．（2022·山东·青岛二中高三开学考试）tan10tan35tan10tan35︒+︒+︒︒=______． 【答案】1【解析】因为()tan10tan 351tan 45tan 10351tan10tan 35︒+︒=︒=︒+︒=-︒︒，所以tan35tan10tan10tan351︒+︒+︒︒=． 故答案为：110．（2022·全国·高三专题练习）()()1tan 201tan 25︒︒+⋅+=________.【答案】2【解析】因为()()1tan 201tan 251tan 25tan 20tan 20tan 25︒︒︒︒︒︒+⋅+=+++，又tan 25tan 20tan 4511tan 20tan 25︒︒︒︒︒+==-，所以tan 25tan 201tan 20tan 25︒︒︒︒+=-， 所以()()1tan 201tan 251tan 25tan 20tan 20tan 252︒︒︒︒︒︒+⋅+=+++=.故答案为：2.➢考点3 角的变换与名的变换1．（2022·河北唐山·二模）已知02αβπ<<<，函数()5sin 6f x x π⎛⎫- ⎝=⎪⎭，若()()1f f αβ==，则()cos βα-=（ ） A ．2325B ．2325-C ．35D ．35【答案】B【解析】解：令()5sin 06f x x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭=，02x π<<，则6x π=或76x π=，令()5sin 56f x x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭=，02x π<<，则23x π=，又02αβπ<<<，()()1f f αβ==， 所以263ππα<<，2736ππβ<<，1sin 65πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，1sin 65πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为062ππα<-<，26ππβπ<-<，所以cos 6πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭cos 6πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭所以()cos cos cos cos sin sin 666666ππππππβαβαβαβα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=---=--+-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦11235525⨯=-=+， 故选：B.2．（2022·江苏·华罗庚中学高三阶段练习）已知cos α=，()sin βα-=，,αβ均为锐角，则β=（ ） A ．12πB ．6πC ．4πD ．3π【答案】C【解析】,αβ均为锐角，即,0,2παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，,22ππβα⎛⎫∴-∈- ⎪⎝⎭，()cos βα∴-=sin α= ()()()cos cos cos cos sin sin ββααβααβαα∴=-+=---⎡⎤⎣⎦⎛=-= ⎝⎭， 又0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，4πβ∴=.故选：C.3．（2022·海南·模拟预测）设α为第一象限角，若1cos 65πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin α=（ ）A B 【答案】A【解析】1cos 65πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，且2π2π,Z 2k k k πα<<+∈，得π22π2π,663k k k Z ππα+<+<+∈， 则sin 0α>，sin()06πα+>，sin()6πα+=，sin sin ()sin()cos cos()sin 666666ππππππαααα⎡⎤=+-=+-+⎢⎥⎣⎦1152=⨯=故选：A4．（2022·全国·高三专题练习）已知(),0,παβ∈，πcos 2αβ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭()tan π7β-=，则tan α=（ ）A ．3-B ．139-C ．3D ．139【答案】B【解析】∵(),0,παβ∈，πcos 2αβ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭∴()()ππcos cos =sin 22αβαβαβ⎛⎫⎛⎫-+=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∵()tan π7β-=，∴tan 7β=-，又()0,πβ∈，∴,π2πβ⎛∈⎫⎪⎝⎭∵()0,πα∈，∴π,2αβπ⎛⎫ ⎪⎝-∈⎭-∵()sin 0αβ-=>，∴π0,2αβ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，∴()cos αβ-=()()()sin 1tan cos 2αβαβαβ--==- ∴()()()()17tan tan 132tan tan 11tan tan 9172αββααββαββ--+=-+===---⨯-⨯-. 故选：B. [举一反三]1．（2022·全国·高三专题练习）已知3,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，若tan 23πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则cos 12πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）AB．．【答案】C【解析】因为3,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则411,336παππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，又tan 203πα⎛⎫+=-< ⎪⎝⎭，故311,326παππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，则cos 33ππαα⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故cos cos cos cos sin sin 12343434πππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎛=+= ⎝⎭故选：C.2．（2022·湖南·模拟预测）我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长l 与太阳天顶距()0180θθ︒≤≤︒的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表.根据三角学知识可知，晷影长度l 等于表高h 与太阳天顶距θ正切值的乘积，即tan l h θ=.对同一“表高”两次测量，第一次和第二次太阳天顶距分别为α，β，若第一次的“晷影长”是“表高”的3倍，且()1tan 2αβ-=，则第二次的“晷影长”是“表高”的（ ）倍. A ．1B ．23C ．52D ．72【答案】A【解析】解：由题意可得tan 3α=，1tan()2αβ-=， 所以[]13tan tan()2tan tan ()111tan tan()132ααββααβααβ---=--===+-+⨯， 即第二次的“晷影长”是“表高”的1倍. 故选：A.3．（2022·湖南株洲·一模）已知0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，sin 4πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭tan θ=（ ）A ．2B ．12C ．3D ．13【答案】C【解析】因为0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则444πππθ-<-<，故cos 4πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以，sin sin sin cos 4444ππππθθθθ⎡⎤⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦故cos θ=sin tan 3cos θθθ==. 故选：C.4．（2022·浙江·高三专题练习）已知,36ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，29cos 2610απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 6πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A B C 【答案】A【解析】解：由已知可得29cos 2cos 12132610παπα⎛⎫⎛⎫+=+-=⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭45，,36ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，0,32ππα⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭，3sin 35πα⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭，sin sin sin cos cos sin 6363636πππππππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+=+-=+⋅-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故选：A.5．（多选）（2022·全国·高三专题练习）已知cos()αβ+=5cos213α=-，其中α，β为锐角，以下判断正确的是（ ）A ．sin 21312α=B ．cos()αβ-C ．cos cos αβ=．11tan tan 8αβ=【答案】AC【解析】解：因为cos()αβ+=5cos213α=-，其中α，β为锐角，所以：12sin 213α，故A 正确；因为sin()αβ+， 所以cos()cos[2()]cos2cos()sin 2sin()αβααβααβααβ-=-+=+++512()(1313=-⨯+B 错误；可得11cos cos [cos()cos()](22αβαβαβ=++-==C 正确；可得11sin sin [cos()cos()](22αβαβαβ=--+=-所以21tan tan 8αβ=，故D 错误．故选：AC ．6．（2022·广东湛江·二模）若()3tan 2αβ-=，tan 2β=，则tan α=___________. 【答案】74-【解析】因为()3tan 2αβ-=，tan 2β=， 所以()()()32tan tan 72tan tan 31tan tan 4122αββααββαββ+-+=-+===-⎡⎤⎣⎦--⋅-⨯， 故答案为：74-7．（2022·全国·高三专题练习）已知02πα<<，4sin 5α，1tan()3αβ-=-，则tan β=_______；sin())4βππβ+=+_______. 【答案】 332【解析】因为02πα<<，4sin 5α，所以3cos 5α==， 所以sin 4tan cos 3ααα==，因为1tan()3αβ-=-，所以tan tan()tan tan[()]1tan tan()ααββααβααβ--=--=+- 41533335411933⎛⎫-- ⎪⎝⎭===⎛⎫+⨯- ⎪⎝⎭所以sin()sin tan 33cos sin 1tan 1324βπββπββββ+---====---⎛⎫+ ⎪⎝⎭，故答案为：3；32.8．（2022·山东烟台·高三期末）已知π(0,)2α∈，cos()4πα+=cos α的值为______．【解析】因π(0,)2α∈，即3444πππα<+<，又cos()4πα+=sin()4πα+==所以cos cos[()]cos()cos sin()sin 444444ππππππαααα=+-=+++==.9．（2022·江苏·模拟预测）已知1sin(),(0,)43x x ππ+=∈，则sin x =_________．【解析】由(0,)x π∈，可得5(,)444x πππ+∈，因为1sin()sin 434x ππ+=<=，所以3(,)422x πππ+∈，所以cos()4x π+=又由sin sin[()]))4444x x x x ππππ=+-=++13==10．（2022·广东·三模）已知tan 2α=，则sin 24πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭___________.【解析】原式αα=()222sin cos cos sin αααα⎤--⎦2222222sin cos cos sin cos sin cos sin αααααααα⎤⎛⎫-=-⎢⎥ ⎪++⎝⎭⎣⎦2222tan 1tan 1tan 1tan αααα⎤⎛⎫-=-⎢⎥ ⎪++⎝⎭⎣⎦=.11．（2022·广东韶关·一模）若()()1sin 0,,tan 22ππαααβ⎛⎫-=∈+= ⎪⎝⎭，则tan β=__________.【答案】17【解析】因为()sin 0,2ππαα⎛⎫-=∈ ⎪⎝⎭，所以sin α=所以cos α==，所以sin 1tan cos 3ααα==. ()()()11tan tan 123tan tan .111tan tan 7123αβαβαβααβα-+-=+-===⎡⎤⎣⎦+++⨯又 故答案为：1712．（2022·全国·高三专题练习）已知α，β为锐角，sin α=，()sin αβ-=. （1）求sin 2α的值； （2）求()tan αβ+的值.【解】（1）因为α为锐角，sin α=所以cos α=，所以4sin 22sin cos 25ααα===； （2）因为α，β为锐角，所以π02α<<，π02β<<，所以π02β-<-<，所以ππ22αβ-<-<， 因为()sin 0αβ-=<，所以π02αβ-<-<，所以()cos αβ-=， 所以()()()sin sin sin cos cos sin βααβααβααβ⎡⎤=--=---⎣⎦10⎛= ⎝⎭=，所以cos 10β==所以tan 2cos sin ααα===，tan 7cos sin βββ===， 所以()tan tan 279tan 1tan tan 12713αβαβαβ+++===---⨯。
两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式(高三一轮复习)
数学 N 必备知识 自主学习 关键能力 互动探究
2．若sinπ6－α＝12，则cosπ3－2α＝( A )
1 A.2
B．－12
3 C. 2
D．－
3 2
解析 因为sinπ6－α＝12， 所以cos3π－2α＝cos2π6－α ＝1－2sin2π6－α＝1－2×122＝12.
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数学 N 必备知识 自主学习 关键能力 互动探究
3．sin 72°cos 42°－cos 72°sin 42°＝( A )
1 A.2
B．
3 2
C．－12
D．－
3 2
解析 sin 72°cos 42°－cos 72°sin 42°＝sin(72°－42°)＝sin 30°＝12.
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数学 N 必备知识 自主学习 关键能力 互动探究
— 11 —
3＋ 3×
333＝－223 3
3 ＝－
3 3.
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命题点2 三角函数公式的逆用和变形应用
例2 (1)计算：4cos 10°－csoins 1100°°＝ － 3 .
(2)(2022·江苏盐城模拟)tan
9π＋tan
29π＋
3tan
π 9tan
命题点3 三角函数公式的灵活应用
考向1 角的变换
例3 已知cos52π－α＝2cos(2π＋α)，且tan(α＋β)＝13，则tan β的值为( D )
A．－7
B．7
C．1
D．－1
解析
因为cos 52π－α ＝2cos(2π＋α)，所以sin
α＝2cos
α，所以tan
α＝
两角和与差的正弦、余弦、正切公式说课稿 教案
两角和与差的正弦、余弦、正切公式一、教学目标理解以两角差的余弦公式为基础，推导两角和、差正弦和正切公式的方法，体会三角恒等变换特点的过程，理解推导过程，掌握其应用.二、教学重、难点1. 教学重点：两角和、差正弦和正切公式的推导过程及运用；2. 教学难点：两角和与差正弦、余弦和正切公式的灵活运用.三、学法与教学用具学法：研讨式教学四、教学设想：（一）复习式导入：大家首先回顾一下两角和与差的余弦公式：()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-；()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+．这是两角和与差的余弦公式，下面大家思考一下两角和与差的正弦公式是怎样的呢？ 提示：在第一章我们用诱导公式五（或六）可以实现正弦、余弦的互化，这对我们解决今天的问题有帮助吗？让学生动手完成两角和与差正弦和正切公式.()()sin cos cos cos cos sin sin 2222ππππαβαβαβαβαβ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦sin cos cos sin αβαβ=+．()()()()sin sin sin cos cos sin sin cos cos sin αβαβαβαβαβαβ-=+-=-+-=-⎡⎤⎣⎦让学生观察认识两角和与差正弦公式的特征，并思考两角和与差正切公式.（学生动手） ()()()sin sin cos cos sin tan cos cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβαβ+++==+-． 通过什么途径可以把上面的式子化成只含有tan α、tan β的形式呢？（分式分子、分母同时除以cos cos αβ，得到()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-． 注意：,,()222k k k k z πππαβπαπβπ+≠+≠+≠+∈以上我们得到两角和的正切公式，我们能否推倒出两角差的正切公式呢？()()()()tan tan tan tan tan tan 1tan tan 1tan tan αβαβαβαβαβαβ+---=+-==⎡⎤⎣⎦--+ 注意：,,()222k k k k z πππαβπαπβπ+≠+≠+≠+∈．（二）例题讲解例1、已知3sin ,5αα=-是第四象限角，求sin ,cos ,tan 444πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值. 解：因为3sin ,5αα=-是第四象限角，得4cos 5α===， 3sin 35tan 4cos 45ααα-===- ， 于是有43sin sin cos cos sin 444252510πππααα⎛⎫⎛⎫-=-=⨯--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭43cos cos cos sin sin 444252510πππααα⎛⎫⎛⎫+=-=⨯-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 两结果一样，我们能否用第一章知识证明？3tan tan144tan 7341tan tan 144παπαπα---⎛⎫-===- ⎪⎛⎫⎝⎭++- ⎪⎝⎭ 例2、利用和（差）角公式计算下列各式的值：（1）、sin 72cos 42cos72sin 42-；（2）、cos 20cos70sin 20sin 70-；（3）、1tan151tan15+-． 解：分析：解此类题首先要学会观察，看题目当中所给的式子与我们所学的两角和与差正弦、余弦和正切公式中哪个相象. （1）、()1sin 72cos 42cos72sin 42sin 7242sin 302-=-==； （2）、()cos 20cos70sin 20sin 70cos 2070cos900-=+==；（3）、()1tan15tan 45tan15tan 4515tan 6031tan151tan 45tan15++==+==--．例3x x -解：此题与我们所学的两角和与差正弦、余弦和正切公式不相象，但我们能否发现规律呢？)()1cos sin 30cos cos30sin 22sin 3022x x x x x x x ⎫-=-=-=-⎪⎪⎭思考：是怎么得到的？=分别等于12和2的.小结：本节我们学习了两角和与差正弦、余弦和正切公式，我们要熟记公式，在解题过程中要善于发现规律，学会灵活运用.。
高考数学一轮复习 4.3 两角和与差的正弦、余弦和正切公精品教学案(教师版)新人教版
【考纲解读】1．会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．2．能利用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式．3．能利用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式，推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．4．能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆）．【考点预测】高考对此部分内容考查的热点与命题趋势为:1.三角函数是历年来高考重点内容之一,两角和与差的正弦、余弦、正切公式的考查，经常以选择题与填空题的形式出现,还常在解答题中与三角变换结合起来考查，在考查三角函数知识的同时，又考查函数思想和分类讨论思想解决问题的能力.2.2013年的高考将会继续保持稳定,坚持考查两角和与差的正弦、余弦、正切公式,命题形式会更加灵活. 【要点梳理】1.两角差的余弦公式为----------------------.这个公式对任意角α、β都成立.2.两角和的余弦公式为----------------------.这个公式对任意角α、β都成立.3.两角差的正弦公式为----------------------.这个公式对任意角α、β都成立.4.两角和的正弦公式为----------------------.这个公式对任意角α、β都成立.5.公式()T αβ-是------------------------------.它成立的条件是-----------------------------.6.公式()T αβ+是------------------------------.它成立的条件是-----------------------------.7.注意凑角的技巧: α=(α+β)-β;2α=(α+β)+()αβ-; 2α+β=(α+β)+α等等.8.要注意公式的变形应用,如:(1)tan α±tan β=tan(α±β)·(1tan tan )αβ (2)tan α·tan β=1-tan tan tan()αβαβ++=tan tan tan()αβαβ---1.【例题精析】考点一 给值求值例 1.(2011年高考浙江卷理科6)若02πα＜＜，02πβ-＜＜，1cos()43πα+=，3cos()423πβ-=，则cos()2βα+=（ ） （A ）33 （B ）33- （C ）539 （D ）69-1.(2012年高考重庆卷理科5)设tan ,tan αβ是方程2320x x -+=的两个根，则tan()αβ+的值为（ ）（A ）-3 （B ）-1 （C ）1 （D ）3例2. 已知,αβ都是锐角,且5sin 5α=,10sin 10β=,求αβ+. 【答案】4π2.已知cos α=17,cos(α-β)=1314,且0<β<α<2π.求角β.【易错专区】问题：求角时,没有适当缩小角的范围而导致错误 例.已知,(,)22ππαβ∈-,且tan ,tan αβ是方程23340x x ++=的两个根,求αβ+的值.又因为tan 0,tan 0αβ<<,所以(,0)αβπ+∈-,所以αβ+=23π-.【名师点睛】本小题主要考查了给值求角,解答好本类问题的关键是角范围的判断，本题容易得角的范围是(,)αβππ+∈-，而产生αβ+=23π-或3π的错误解法. 【课时作业】1.（2010年高考福建卷理科1）cos13计算sin43cos 43-sin13的值等于（ ）A.12B.33C.22D. 32【答案】A【解析】原式=1sin (43-13)=sin 30=2，故选A. 2．(2010年高考宁夏卷文科10)若sin a = -45，α是第三象限的角，则sin()4a π+=（ ） （A ）-7210 （B ）7210 （C ）2 -10 （D ）2103. (2011年高考辽宁卷理科7)设sin 1+=43πθ（），则sin 2θ=（ ） (A) 79- (B) 19- (C) 19 (D)79【答案】A【解析】217sin 2cos 22sin 121.2499ππθθθ⎛⎫⎛⎫=-+=+-=⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 4. (2012年高考湖南卷理科6)函数f （x ）=sinx-cos(x+6π)的值域为（ ） A ．3332 , 32] 【答案】B【解析】f （x ）=sinx-cos(x+6π)31sin cos sin 3sin()226x x x x π=-+=-，[]sin()1,16x π-∈-，()f x ∴值域为[-3,3].5.(2011年高考江苏卷7)已知,2)4tan(=+πx 则xx2tan tan 的值为__________6．(2011年高考广东卷文科16)已知函数()12sin 36f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，x R ∈．（1）求()0f 的值； （2）设10,0,,3,2213f ππαβα⎡⎤⎛⎫∈+= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭()632,5f βπ+=求()sin αβ+的值．【考题回放】1.（2010年高考福建卷文科2）计算12sin 22.5-的结果等于( )A.12233【答案】B【解析】原式=2cos 45=2,故选B.2.（2012年高考辽宁卷文科6）已知sin cos 2αα-=，α∈(0，π)，则sin 2α=( )(A) -1 (B) 22- (C) 22(D) 1 【答案】A 【解析】2sin cos 2,(sin cos )2,sin 21,ααααα-=∴-=∴=-故选A.3.(2012年高考重庆卷文科5)sin 47sin17cos30cos17-= ( )（A ）32-（B ）12-（C ）12（D ）324.(2012年高考全国卷文科4)已知α为第二象限角，3sin 5α=，则sin 2α= ( ) （A ）2524- （B ）2512- （C ）2512 （D ）25245. (2012年高考江西卷文科4)若sin cos 1sin cos 2αααα+=-，则tan2α= ( )A. -34B. 34C. -43D. 436．(2011年高考上海卷理科8)函数sin()cos()26y x x ππ=+-的最大值为 .【答案】234+7. （2012年高考江苏卷11）设α为锐角，若4cos 65απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则)122sin(πα+的值为 ．8. （2011年高考四川卷文科18)已知函数73()sin cos ,44f x x x x R ππ⎛⎫⎛⎫=++-∈ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭（Ⅰ）求()f x 的最小正周期和最小值； （Ⅱ）已知()()44cos ,cos 55βαβα-=+=-，02παβ<<≤，求证：[]2()20f β-=.。
高考数学一轮复习 6.1 两角和、差的正弦、余弦、正切教案 新课标
高考数学一轮复习 6.1 两角和、差的正弦、余弦、正切教案 新课标一、知识回顾（一）两角和与差公式()βαβαβαsin cos cos sin sin ±=± ()βαβαβαsin sin cos cos cos =± ()βαβαβαtan tan 1tan tan tan ±=± （二）倍角公式 αααcos sin 22sin = ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-= ααα2tan 1tan 22tan -= 注：倍角公式揭示了具有倍数关系的两个角的三角函数的运算规律，可实现函数式的降幂的变化。
注：（1）两角和与差的三角函数公式能够解答的三类基本题型：求值题，化简题，证明题。
（2）对公式会“正用”，“逆用”，“变形使用”。
（3）掌握“角的演变”规律，如()()()αβαββαβαα-+=-++=,2（4）将公式和其它知识衔接起来使用。
二、例题选讲例1．（1）计算 555sin 的值；（=462-） （2）设)2,0(πα∈若,53sin =α则)4cos(2πα+=（ B ） A ．57 B ．51 C ．27 D ．4 例2．已知()(),43tan tan tan tan tan =+⋅--+βααβαβα且(),0cos >+βπ求()πβ3sin - 分析：涉及βα+与α及β的正切和差与积，通常用正切公式的变形公式。
解：由已知 ()()βααβαβα+⋅--+tan tan tan tan tan =()()()()43tan tan tan tan tan 1tan tan ==+⋅⋅-+-+ββααβαβαβα 又,0cos <β所以β为第三象限角，所以()53sin 3sin =-=-βπβ例3．求值：)45tan 1)(44tan 1()2tan 1)(1tan 1(0000++⋅⋅⋅++ 解：由144tan 1tan 44tan 1tan 44tan 1tan 144tan 1tan )441tan(45tan 100000000000=++⇒-+=+==得；21144tan 1tan 44tan 1tan 1)44tan 1)(1tan 1(000000=+=+++=++同理可得；2)43tan 1)(2tan 1(00=++，2)23tan 1)(22tan 1(00=++⋅⋅⋅， 故原式2322222=⋅=例4．已知),2,4(,41)24sin()24sin(ππααπαπ∈=-⋅+ 1cot tan sin 22--+ααα求的值. 解：法一：直接展开可得；414cos 2141)24sin()24sin(===-⋅+ααπαπ， 又.125),2,4(παππα=∈所以 于是 ααααααααααα2sin 2cos 22cos cos sin cos sin 2cos 1cot tan sin 2222-+-=-+-=--+ .325)3223()65cot 265(cos )2cot 22(cos =---=+-=+-=ππαα 法二：由)24cos()24sin()24sin()24sin(απαπαπαπ+⋅+=-⋅+ ,414cos 21)42sin(21==+=ααπ得 .214cos =α 以下同解法一； 例5．设,322sin ,912cos =⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-βαβα,20,2πβπαπ<<<<().cos βα+求的值； 分析：观察已知角和所求角，可作出⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+βαβαβα222，然后利用余弦的倍角公式求解。
两角和与差的正弦余弦正切公式教学案
两角和与差的正弦余弦正切公式教学案一、教学目标：1.知识与技能目标：掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式。
2.过程与方法目标：鼓励学生积极思考、合作学习，培养学生的逻辑推理能力。
3.情感与态度目标：培养学生的数学兴趣，增强对数学的自信心。
二、教学重、难点：1.教学重点：学习正弦、余弦、正切两角和与差的公式，能够正确地应用到解题中。
2.教学难点：正弦、余弦、正切两角和与差的公式的推导与应用。
三、教学准备：1.教师准备：教案、笔记、教辅资料、教学媒体等。
2.学生准备：学习笔记、作业本。
四、教学步骤：Step 1 引入新课1.教师展示一幅图形，引导学生观察图形中的三角形，并提问：对于一个任意的三角形ABC，如何求角A和角C的两角和与差的正弦、余弦和正切？2.引导学生思考，并提醒学生复习正弦、余弦、正切的定义和性质。
Step 2 探究与讨论1.教师以角A和角C的两角和为例，引导学生分析角A和角C的三角函数之间可能存在的关系，并引导学生探究和讨论。
2.学生合作讨论，提出各自的思考结果并互相交流。
Step 3 运用公式解题1.教师给出两具体的角A和角C的数值，并提问学生如何求其两角和与差的正弦、余弦和正切的值。
2.学生运用公式计算，并与他人交流讨论结果，互相纠正错误。
Step 4 归纳总结1.教师总结学生的讨论结果，整理归纳出正弦、余弦、正切两角和与差的公式。
2.指导学生将这些公式整理成归纳表格或表格。
Step 5 拓展应用1.教师给出一些拓展应用题目，要求学生利用所学知识解答。
2.学生独立完成练习题，并互相交流讨论。
Step 6 小结与反思1.教师对本节课的内容进行小结，并引导学生参与总结。
2.向学生征求反馈意见，以便以后教学改进。
五、教学评价：1.学生通过合作探究和讨论，积极参与课堂活动。
2.学生能够利用正弦、余弦、正切两角和与差的公式解决实际问题。
3.学生对角度与三角函数之间的关系有了更深入的了解。
4.学生对本节课的教学内容和方式进行评价。
高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形3.5两角和与差的正弦余弦与正切公式学案理
高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形3.5两角和与差的正弦余弦与正切公式学案理052121743．5 两角和与差的正弦、余弦与正切公式[知识梳理]1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)C (α∓β)：cos(α∓β)＝cos αcos β±sin αsin β. (2)S (α±β)：sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β.(3)T (α±β)：tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β⎝ ⎛⎭⎪⎫α，β，α±β≠π2＋k π，k ∈Z .2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)S 2α：sin2α＝2sin αcos α.(2)C 2α：cos2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α. (3)T 2α：tan2α＝2tan α1－tan 2α⎝ ⎛⎭⎪⎫α≠±π4＋k π，且α≠k π＋π2，k ∈Z . 3．公式的常用变形(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)． (2)cos 2α＝1＋cos2α2，sin 2α＝1－cos2α2.(3)1±sin2α＝(sin α±cos α)2， sin α±cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α±π4.(4)a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)，其中cos φ＝a a 2＋b2，sin φ＝b a 2＋b 2，tan φ＝ba(a ≠0)．特别提醒：(1)角：转化三角函数式中往往出现较多的差异角，注意观察角与角之间的和、差、倍、互补、互余等关系，运用角的变换，化多角为单角或减少未知角的数目，连接条件角与待求角，使问题顺利获解．对角变换时：①可以通过诱导公式、两角和与差的三角公式等；②注意倍角的相对性；③注意拆角、拼角技巧，例如，2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，β＝α＋β2－α－β2＝(α＋2β)－(α＋β)，α－β＝(α－γ)＋(γ－β)，15°＝45°－30°，π4＋α＝π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α等．(2)将三角变换与代数变换密切结合：三角变换主要是灵活应用相应的三角公式，对于代数变换主要有因式分解、通分、提取公因式、利用相应的代数公式等，例如，sin 4x ＋cos 4x ＝(sin 2x ＋cos 2x )2－2sin 2x cos 2x ＝1－12sin 22x .[诊断自测] 1．概念思辨(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．( ) (2)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．( ) (3)在锐角△ABC 中，sin A sin B 和cos A cos B 大小关系不确定．( ) (4)公式tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立．( )答案 (1)√ (2)√ (3)× (4)× 2．教材衍化(1)(必修A4P 131T 5)sin20°cos10°－cos160°sin10°＝( ) A ．－32 B.32 C ．－12 D.12答案 D解析 原式＝sin20°cos10°＋cos20°sin10°＝sin(20°＋10°)＝sin30°＝12，故选D.(2)(必修A4P 146A 组T 3)已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝12，tan ⎝⎛⎭⎪⎫β－π6＝13，则tan(α＋β)＝________.答案 1解析 ∵α＋β＝⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＋⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π6， ∴tan(α＋β)＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＋tan ⎝⎛⎭⎪⎫β－π61－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π6＝12＋131－16＝1.3．小题热身(1)sin7°＋cos15°sin8°cos7－sin15°sin8°的值为( )A ．2＋ 3B ．2－ 3C ．2 D.12答案 B解析 原式＝sin (15°－8°)＋cos15°sin8°cos (15°－8°)－sin15°sin8°＝sin15°cos8°cos15°cos8°＝tan15°＝tan(45°－30°)＝tan45°－tan30°1＋tan45°tan30°＝1－331＋33＝3－13＋1＝2－ 3.故选B.(2)若sin(α－β)sin β－cos(α－β)cos β＝45，且α是第二象限角，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α等于( )A ．7B ．－7 C.17 D ．－17答案 C解析 ∵sin(α－β)sin β－cos(α－β)cos β＝45，∴cos α＝－45.又α是第二象限角，∴sin α＝35，则tan α＝－34.∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝tan π4＋tan α1－tan π4tan α＝1－341＋34＝17.故选C.题型1 求值问题典例 已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝35，若17π12<x <7π4，求sin2x ＋2sin 2x 1－tan x 的值． 本题采用“函数转化法”．解 由17π12<x <7π4，得5π3<x ＋π4<2π.又cos ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝35，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝－45，所以cos x ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x cos π4＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x sin π4＝35×22－45×22＝－210，从而sin x ＝－7210，tan x ＝7.则sin2x ＋2sin 2x 1－tan x ＝2sin x cos x ＋2sin 2x 1－tan x＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫－7210·⎝ ⎛⎭⎪⎫－210＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫－721021－7＝－2875.方法技巧三角恒等变换的变“角”与变“名”问题的解题思路1．角的变换：明确各个角之间的关系(包括非特殊角与特殊角、已知角与未知角)，熟悉角的拆分与组合的技巧，半角与倍角的相互转化．2．名的变换：明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦．冲关针对训练已知锐角α，β满足sin α＝55，cos β＝31010，则α＋β等于( ) A.3π4 B.π4或3π4C.π4D ．2k π＋π4(k ∈Z )答案 C 解析 由sin α＝55，cos β＝31010，且α，β为锐角，可知cos α＝255，sin β＝1010， 故cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝255×31010－55×1010＝22，又0<α＋β<π，故α＋β＝π4.故选C.题型2 三角恒等变换的综合应用角度1 研究三角函数的性质典例 (2017·临沂一模)已知函数f (x )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3cos x ＋ 3.(1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)若函数g (x )＝f (x )－m 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有两个不同的零点x 1，x 2，求实数m 的取值范围，并计算tan(x 1＋x 2)的值．本题采用转化法、数形结合思想．解 函数f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3cos x ＋3，化简可得f (x )＝2sin x cos x －23cos 2x ＋ 3＝sin2x －23⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋12cos2x ＋ 3＝sin2x －3cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3. (1)函数的最小正周期T ＝2π2＝π，由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2时单调递增，解得k π－π12≤x ≤k π＋5π12(k ∈Z )，∴函数的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z .(2)函数g (x )＝f (x )－m 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有两个不同的零点x 1，x 2，转化为函数f (x )与函数y ＝m 有两个交点．令u ＝2x －π3，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴u ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3可得f (x )＝2sin u 的图象(如图)．由图可知：m 在[3，2)，函数f (x )与函数y ＝m 有两个交点，其横坐标分别为x 1，x 2. 故得实数m 的取值范围是m ∈[3，2)， 由题意可知x 1，x 2是关于对称轴是对称的： 那么函数在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的对称轴为x ＝5π12， ∴x 1＋x 2＝5π12×2＝5π6.那么tan(x 1＋x 2)＝tan 5π6＝－33.方法技巧三角函数综合性试题涉及三角函数的性质研究．首先将三角函数化为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的形式，在转化过程中需要三角恒等变换．如典例．这是高考的重点题型．冲关针对训练(2017·河北区二模)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＋cos x .(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若α是第一象限角，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝45，求tan ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4的值．解 (1)f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＋cos x＝32sin x －12cos x ＋cos x ＝32sin x ＋12cos x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6，所以函数f (x )的最小正周期为T ＝2π1＝2π.(2)由于f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝cos α＝45，由于α是第一象限角， 所以sin α＝35，则tan α＝34，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝tan α－11＋tan α＝－17. 角度2 三角恒等变换与向量的综合典例(2017·南京三模)已知向量a ＝(2cos α，sin 2α)，b ＝(2sin α，t )，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，t 为实数．(1)若a －b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25，0，求t 的值；(2)若t ＝1，且a ·b ＝1，求tan ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4的值． 本题采用向量法、平方法．解 (1)向量a ＝(2cos α，sin 2α)，b ＝(2sin α，t )，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，t 为实数．若a －b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25，0，则(2cos α－2sin α，sin 2α－t )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25，0，可得cos α－sin α＝15，平方可得sin 2α＋cos 2α－2cos αsin α＝125，即为2cos αsin α＝1－125＝2425(cos α>0，sin α>0)，由sin 2α＋cos 2α＝1，解得cos α＋sin α＝(cos α－sin α)2＋4sin αcos α ＝125＋4825＝75， 即有sin α＝35，cos α＝45，则t ＝sin 2α＝925.(2)若t ＝1，且a ·b ＝1，即有4cos αsin α＋sin 2α＝1， 即有4cos αsin α＝1－sin 2α＝cos 2α，由α为锐角，可得cos α∈(0,1)，即有tan α＝sin αcos α＝14，则tan2α＝2tan α1－tan 2α＝121－116＝815， tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝tan2α＋11－tan2α＝1＋8151－815＝237.方法技巧三角恒等变换与向量的综合问题是高考中经常出现的问题，一般以向量的坐标形式给出与三角函数有关的条件，并结合简单的向量运算进行化简．冲关针对训练(2017·南通模拟)已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x 2，1，n ＝⎝⎛⎭⎪⎫1，3cos x2，函数f (x )＝m ·n .(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－2π3＝23，求f ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3的值．解 (1)f (x )＝sin x 2＋3cos x 2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π3，∴f (x )的最小正周期T ＝2π12＝4π.(2)∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－2π3＝2sin α2＝23，∴sin α2＝13， ∴cos α＝1－2sin2α2＝79，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π2＝2cos α＝149.1．(2016·全国卷Ⅱ)若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，则sin2α＝( )A.725 B.15 C ．－15 D ．－725答案 D解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝22(cos α＋sin α)＝35⇒cos α＋sin α＝325⇒1＋sin2α＝1825，∴sin2α＝－725.故选D.2．(2014·全国卷Ⅰ)设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且tan α＝1＋sin βcos β，则( )A ．3α－β＝π2B ．3α＋β＝π2C ．2α－β＝π2D ．2α＋β＝π2答案 C解析 由tan α＝1＋sin βcos β得sin αcos α＝1＋sin βcos β，即sin αcos β＝cos α＋sin βcos α，所以sin(α－β)＝cos α，又cos α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α，所以sin(α－β)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α，又因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以－π2<α－β<π2，0<π2－α<π2，因此α－β＝π2－α，所以2α－β＝π2，故选C.3．(2014·全国卷Ⅱ)函数f (x )＝sin(x ＋2φ)－2sin φcos(x ＋φ)的最大值为________．答案 1解析 f (x )＝sin[(x ＋φ)＋φ]－2sin φcos(x ＋φ) ＝sin(x ＋φ)cos φ＋cos(x ＋φ)sin φ－2sin φcos(x ＋φ) ＝sin(x ＋φ)cos φ－sin φcos(x ＋φ) ＝sin(x ＋φ－φ) ＝sin x ，∴f (x )的最大值为1.4．(2017·全国卷Ⅱ)函数f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的最大值是________．答案 1解析 f (x )＝1－cos 2x ＋3cos x －34＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x －322＋1.∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴cos x ∈[0,1]，∴当cos x ＝32时，f (x )取得最大值，最大值为1.[重点保分 两级优选练]A 级一、选择题1．计算sin43°cos13°＋sin47°cos103°的结果等于( ) A.12 B.33 C.22 D.32 答案 A解析 原式＝sin43°cos13°－cos43°sin13°＝sin(43°－13°)＝sin30°＝12.故选A.2.sin47°－sin17°cos30°cos17°＝( )A ．－32 B ．－12 C.12 D.32答案 C解析 sin47°＝sin(30°＋17°)＝sin30°cos17°＋cos30°·sin17°， ∴原式＝sin30°cos17°cos17°＝sin30°＝12.故选C.3．已知过点(0,1)的直线l ：x tan α－y －3tan β＝0的斜率为2，则tan(α＋β)＝( ) A ．－73 B.73 C.57 D ．1答案 D解析 由题意知tan α＝2，tan β＝－13.∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝2－131－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝1.故选D.4．(2017·云南一检)cos π9·cos 2π9·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π9＝( )A ．－18B ．－116 C.116 D.18答案 A解析 cos π9·cos 2π9·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π9 ＝cos20°·cos40°·cos100°＝－cos20°·cos40°·cos80° ＝－sin20°·cos20°·cos40°·cos80°sin20°＝－12sin40°·cos40°·cos80°sin20°＝－14sin80°·cos80°sin20°＝－18sin160°sin20°＝－18sin20°sin20°＝－18.故选A.5．(2017·衡水中学二调)3cos10°－1sin170°＝( )A ．4B ．2C ．－2D ．－4 答案 D 解析 3cos10°－1sin170°＝3cos10°－1sin10°＝3sin10°－cos10°sin10°cos10°＝2sin (10°－30°)12sin20°＝－2sin20°12sin20°＝－4.故选D.6．若0<α<π2，－π2<β<0，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝13，cos ⎝ ⎛ π4－⎭⎪⎫β2＝33，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋β2＝( )A.33 B ．－33 C.539 D ．－69答案 C解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2，由0<α<π2，得π4<α＋π4<3π4，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝223. 由－π2<β<0，得π4<π4－β2<π2，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝63，代入上式，得cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋β2＝539，故选C.7．(2018·长春模拟)已知tan(α＋β)＝－1，tan(α－β)＝12，则sin2αsin2β的值为( )A.13 B ．－13 C ．3 D ．－3 答案 A 解析 sin2αsin2β＝sin[(α＋β)＋(α－β)]sin[(α＋β)－(α－β)]＝sin (α＋β)cos (α－β)＋cos (α＋β)sin (α－β)sin (α＋β)cos (α－β)－cos (α＋β)sin (α－β)＝tan (α＋β)＋tan (α－β)tan (α＋β)－tan (α－β)＝13.故选A.8．(2017·山西八校联考)若将函数f (x )＝sin(2x ＋φ)＋3cos(2x ＋φ)(0<φ<π)的图象向左平移π4个单位长度，平移后的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0对称，则函数g (x )＝cos(x ＋φ)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π6上的最小值是( )A ．－12B ．－32 C.22 D.12答案 D解析 ∵f (x )＝sin(2x ＋φ)＋3cos(2x ＋φ)＝2sin ( 2x ＋φ＋π3 )，∴将函数f (x )的图象向左平移π4个单位长度后，得到函数解析式为y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋φ＋π3＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋φ＋π3的图象．∵该图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0对称，对称中心在函数图象上，∴2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π2＋φ＋π3＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫π＋φ＋π3＝0，解得π＋φ＋π3＝k π＋π2，k ∈Z ，即φ＝k π－5π6，k ∈Z . ∵0<φ<π，∴φ＝π6，∴g (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π6，∴x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π3， ∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，则函数g (x )＝cos(x ＋φ)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π6上的最小值是12.故选D.9．(2018·兰州检测)在斜三角形ABC 中，sin A ＝－2cos B ·cos C ，且tan B tan C ＝1－2，则角A 的值为( )A.π4 B.π3 C.π2 D.3π4答案 A解析 由题意知，－2cos B cos C ＝sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ，等式－2cos B cos C ＝sin B cos C ＋cos B sin C 两边同除以cos B cos C ，得tan B ＋tan C ＝－2，又tan(B ＋C )＝tan B ＋tan C 1－tan B tan C ＝－1＝－tan A ，即tan A ＝1，所以A ＝π4.故选A.10．(2018·河北模拟)已知θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，且sin θ－cos θ＝－144，则2cos 2θ－1cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ等于( )A.23B.43C.34D.32 答案 D解析 由sin θ－cos θ＝－144，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝74，∵θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，∴π4－θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝34，∴2cos 2θ－1cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝cos2θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝32.故选D.二、填空题11．已知cos(α＋β)cos(α－β)＝13，则cos 2α－sin 2β＝________.答案 13解析 ∵(cos αcos β－sin αsin β)(cos αcos β＋sin αsin β)＝13，∴cos 2αcos 2β－sin 2αsin 2β＝13.∴cos 2α(1－sin 2β)－(1－cos 2α)sin 2β＝13.∴cos 2α－sin 2β＝13.12．已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－17，则2α－β的值为________．答案 －3π4解析 ∵tan α＝tan[(α－β)＋β]＝tan (α－β)＋tan β1－tan (α－β)tan β＝12－171＋12×17＝13>0，又α∈(0，π)，∴0<α<π2.又∵tan2α＝2tan α1－tan 2α＝2×131－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝34>0， ∴0<2α<π2，∴tan(2α－β)＝tan2α－tan β1＋tan2αtan β＝34＋171－34×17＝1.∵tan β＝－17<0，∴π2<β<π，－π<2α－β<0，∴2α－β＝－3π4.13．(2017·江苏模拟)已知α、β为三角形的两个内角，cos α＝17，sin(α＋β)＝5314，则β＝________.答案π3解析 因为0<α<π，cos α＝17，所以sin α＝1－cos 2α＝437，故π3<α<π2，又因为0<α＋β<π，sin(α＋β)＝5314<32，所以0<α＋β<π3或2π3<α＋β<π.由π3<α<π2，知2π3<α＋β<π， 所以cos(α＋β)＝－1－sin 2(α＋β)＝－1114，所以cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝12，又0<β<π，所以β＝π3.14．已知sin α＝12＋cos α，且α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos2αsin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4的值为________． 答案 －142解析 ∵sin α＝12＋cos α，∴sin α－cos α＝12，∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝14，∴2sin αcos α＝34，∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin α＋cos α＝sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos α ＝ 1＋34＝72，∴cos2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝(cos α＋sin α)(cos α－sin α)22(sin α－cos α) ＝－2(sin α＋cos α)＝－142. B 级三、解答题15．(2017·合肥质检)已知a ＝(sin x ，3cos x )，b ＝(cos x ，－cos x )，函数f (x )＝a ·b ＋32. (1)求函数y ＝f (x )图象的对称轴方程；(2)若方程f (x )＝13在(0，π)上的解为x 1，x 2，求cos(x 1－x 2)的值．解 (1)f (x )＝a ·b ＋32＝(sin x ，3cos x )·(cos x ，－cos x )＋32＝sin x ·cos x －3cos 2x ＋32＝12sin2x －32cos2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3. 令2x －π3＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝5π12＋k π2(k ∈Z )，即函数y ＝f (x )图象的对称轴方程为x ＝5π12＋k π2(k ∈Z )．(2)由条件知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 1－π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－π3＝13>0，设x 1<x 2，则0<x 1<5π12<x 2<2π3，易知(x 1，f (x 1))与(x 2，f (x 2))关于直线x ＝5π12对称，则x 1＋x 2＝5π6，∴cos(x 1－x 2)＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－x 1＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 1－5π6＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 1－π3－π2＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x 1－π3＝13.16．(2017·黄冈质检)已知函数f (x )＝2cos 2x －sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －7π6.(1)求函数f (x )的最大值，并写出f (x )取最大值时x 的取值集合；(2)已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若f (A )＝32，b ＋c ＝2.求实数a的取值范围．解 (1)f (x )＝2cos 2x －sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －7π6＝(1＋cos2x )－⎝ ⎛⎭⎪⎫sin2x cos 7π6－cos2x sin 7π6 ＝1＋32sin2x ＋12cos2x ＝1＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.∴函数f (x )的最大值为2.当且仅当sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝1，即2x ＋π6＝2k π＋π2(k ∈Z )，即x ＝k π＋π6，k ∈Z 时取到．∴函数f (x )的最大值为2时x 的取值集合为x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝k π＋π6，k ∈Z .(2)由题意，f (A )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π6＋1＝32，化简得sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π6＝12.∵A ∈(0，π)，∴2A ＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，13π6，∴2A ＋π6＝5π6，∴A ＝π3.在△ABC 中，根据余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos π3＝(b ＋c )2－3bc .由b ＋c ＝2，知bc ≤⎝⎛⎭⎪⎫b ＋c 22＝1，即a 2≥1.∴当且仅当b ＝c ＝1时，取等号．又由b ＋c >a 得a <2.所以a 的取值范围是[1,2)．17．(2017·青岛诊断)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a sin B ＋3a cos B ＝3c .(1)求角A 的大小；(2)已知函数f (x )＝λcos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋A 2－3(λ>0，ω>0)的最大值为2，将y ＝f (x )的图象的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的32倍后便得到函数y ＝g (x )的图象，若函数y ＝g (x )的最小正周期为π.当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，求函数f (x )的值域．解 (1)∵a sin B ＋3a cos B ＝3c ， ∴sin A sin B ＋3sin A cos B ＝3sin C . ∵C ＝π－(A ＋B )，∴sin A sin B ＋3sin A cos B ＝3sin(A ＋B ) ＝3(sin A cos B ＋cos A sin B )． 即sin A sin B ＝3cos A sin B .∵sin B ≠0，∴tan A ＝3，∵0<A <π，∴A ＝π3.(2)由A ＝π3，得f (x )＝λcos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6－3＝λ·1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π32－3＝λ2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π3＋λ2－3，∴λ－3＝2，λ＝5.∴f (x )＝5cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6－3＝52cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π3－12，从而g (x )＝52cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫43ωx ＋π3－12，∴2π43ω＝π，得ω＝32， ∴f (x )＝52cos ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π3－12.当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，π3≤3x ＋π3≤11π6，∴－1≤cos ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π3≤32，从而－3≤f (x )≤53－24，∴f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3，53－24.18．(2017·江西南昌三校模拟)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π6－2x －2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋3π4.(1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间； (2)若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π3，且F (x )＝－4λf (x )－cos ⎝⎛⎭⎪⎫4x －π3的最小值是－32，求实数λ的值．解 (1)∵f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－2x －2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋3π4＝12cos2x ＋32sin2x ＋(sin x－cos x )(sin x ＋cos x )＝12cos2x ＋32sin2x ＋sin 2x －cos 2x ＝12cos2x ＋32sin2x －cos2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6.∴函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2得k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )，∴函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z )．(2)F (x )＝－4λf (x )－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3 ＝－4λsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－4λsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－1 ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－λ2－1－2λ2.∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π3，∴0≤2x －π6≤π2，∴0≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6≤1. ①当λ<0时，当且仅当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＝0时，F (x )取得最小值，最小值为－1，这与已知不相符；②当0≤λ≤1时，当且仅当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＝λ时，F (x )取得最小值，最小值为－1－2λ2，由已知得－1－2λ2＝－32，解得λ＝－12(舍)或λ＝12；③当λ>1时，当且仅当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＝1时，F (x )取得最小值，最小值为1－4λ，由已知得1－4λ＝－32，解得λ＝58，这与λ>1矛盾．综上所述，λ＝12.。
2020版高考数学一轮复习 简单的三角恒等变换教案(理)(含解析)新人教A版
第5讲简单的三角恒等变换基础知识整合1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式2．二倍角的正弦、余弦、正切公式1．降幂公式：cos 2α＝1＋cos2α2，sin 2α＝1－cos2α2.2．升幂公式：1＋cos2α＝2cos 2α，1－cos2α＝2sin 2α. 3．公式变形：tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan α·tan β)． 4．辅助角公式：a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)， 其中sin φ＝b a 2＋b2，cos φ＝a a 2＋b2.1．(2018·全国卷Ⅲ)若sin α＝13，则cos2α＝( )A.89B.79 C ．－79 D ．－89 答案 B解析 cos2α＝1－2sin 2α＝1－29＝79.故选B.2．(2019·吉林模拟)若sin(π－α)＝13，且π2≤α≤π，则sin2α的值为( )A ．－429B ．－229C.229D.429答案 A解析 ∵sin(π－α)＝13，即sin α＝13，又π2≤α≤π，∴cos α＝－1－sin 2α＝－223，∴sin2α＝2sin αcos α＝－429. 3．(2016·全国卷Ⅲ)若tan θ＝－13，则cos2θ＝( )A ．－45B ．－15C.15D.45答案 D解析 解法一：cos2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＝45.故选D. 解法二：由tan θ＝－13，可得sin θ＝±110，因而cos2θ＝1－2sin 2θ＝45.4．(2019·南宁联考)若角α满足sin α＋2cos α＝0，则tan2α＝( ) A ．－43 B.34 C ．－34 D.43答案 D解析 由题意知，tan α＝－2，tan2α＝2tan α1－tan 2α＝43.故选D. 5．若函数f (x )＝(1＋3tan x )cos x,0≤x <π2，则f (x )的最大值为( )A ．1B ．2 C.3＋1 D.3＋2答案 B解析 f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋3·sin x cos x cos x ＝cos x ＋3sin x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6，∴当x ＝π3时，f (x )取得最大值2.6．(2017·全国卷Ⅰ)已知α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，tan α＝2，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝________.答案31010解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝cos αcos π4＋sin αsin π4 ＝22(cos α＋sin α)． 又由α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，tan α＝2，知sin α＝255，cos α＝55，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫55＋255＝31010. 核心考向突破考向一 三角函数的化简例1 (1)(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2，则( ) A ．f (x )的最小正周期为π，最大值为3 B ．f (x )的最小正周期为π，最大值为4 C ．f (x )的最小正周期为2π，最大值为3 D ．f (x )的最小正周期为2π，最大值为4 答案 B解析 根据题意，有f (x )＝32cos2x ＋52，所以函数f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π，且最大值为f (x )max ＝32＋52＝4.故选B.(2)(2018·全国卷Ⅲ)函数f (x )＝tan x1＋tan 2x 的最小正周期为( )A.π4 B.π2C ．πD ．2π 答案 C解析 由已知得f (x )＝tan x 1＋tan 2x ＝sin xcos x 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos x 2＝sin x cos x ＝12sin2x ，f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.故选C. 触类旁通三角函数式化简的常用方法(1)异角化同角：善于发现角之间的差别与联系，合理对角拆分，恰当选择三角公式，能求值的求出值，减少角的个数．2异名化同名：统一三角函数名称，利用诱导公式切弦互化、二倍角公式等实现名称的统一.3异次化同次：统一三角函数的次数，一般利用降幂公式化高次为低次.即时训练 1.(2017·全国卷Ⅲ)函数f (x )＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6的最大值为( )A.65 B ．1 C.35 D.15答案 A解析 ∵f (x )＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3 ＝65sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，∴当x ＝π6＋2k π(k ∈Z )时，f (x )取得最大值65.故选A.2．函数y ＝sin x cos x ＋3cos 2x －32的最小正周期是( ) A ．2π B ．π C.π2D.π4答案 B解析 ∵y ＝12sin2x ＋3·1＋cos2x 2－32＝12sin2x ＋32cos2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，∴此函数的最小正周期是T ＝2π2＝π.考向二 三角函数的求值角度1 给值求值例2 (1)(2019·汕头模拟)已知tan α2＝3，则cos α＝( )A.45 B ．－45C.415D ．－35答案 B解析 cos α＝cos2α2－sin2α2＝cos2α2－sin2α2cos 2α2＋sin2α2＝1－tan 2α21＋tan 2α2＝1－91＋9＝－45.故选B. (2)(2018·全国卷Ⅱ)已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝________.答案 －12解析 解法一：因为sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，所以(1－sin α)2＋(－cos α)2＝1，所以sin α＝12，cos β＝12，因此sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝12×12－cos 2α＝14－1＋sin 2α＝14－1＋14＝－12.解法二：由(sin α＋cos β)2＋(cos α＋sin β)2＝1，得2＋2sin(α＋β)＝1，所以sin(α＋β)＝－12.(3)(2019·重庆检测)已知α是第四象限角，且sin α＋cos α＝15，则tan α2＝________.答案 －13解析 因为sin α＋cos α＝15，α是第四象限角，所以sin α＝－35，cos α＝45，则tanα2＝sin α2cos α2＝2sin2α22sin α2cosα2＝1－cos αsin α＝－13.触类旁通给值求值是指已知某个角的三角函数值，求与该角相关的其他三角函数值的问题，解题的基本方法是通过角的三角函数的变换把求解目标用已知条件表达出来.即时训练 3.(2018·江苏高考)已知α，β为锐角，tan α＝43，cos(α＋β)＝－55.(1)求cos2α的值； (2)求tan(α－β)的值．解 (1)因为tan α＝43，tan α＝sin αcos α，所以sin α＝43cos α.因为sin 2α＋cos 2α＝1，所以cos 2α＝925，所以cos2α＝2cos 2α－1＝－725.(2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)． 又因为cos(α＋β)＝－55， 所以sin(α＋β)＝1－cos 2α＋β＝255， 因此tan(α＋β)＝－2.因为tan α＝43，所以tan2α＝2tan α1－tan 2α＝－247. 因此tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]＝tan2α－tan α＋β1＋tan2αtan α＋β＝－211.角度2 给角求值例3 (1)(2019·浙江模拟)tan70°＋tan50°－3tan70°·tan50°的值等于( ) A. 3 B.33 C ．－33D ．－ 3答案 D解析 因为tan120°＝tan70°＋tan50°1－tan70°·tan50°＝－3，所以tan70°＋tan50°－3tan70°·tan50°＝－ 3.故选D. (2)(2018·衡水中学二调)3cos10°－1sin170°＝( )A ．4B ．2C ．－2D ．－4答案 D 解析3cos10°－1sin170°＝3cos10°－1sin10°＝3sin10°－cos10°sin10°cos10°＝2sin 10°－30°12sin20°＝－2sin20°12sin20°＝－4.触类旁通该类问题中给出的角一般都不是特殊角，需要通过三角恒等变换将其变为特殊角，或者能够正负相消，或者能够约分相消，最后得到具体的值.即时训练 4.(2019·九江模拟)化简sin 235°－12cos10°cos80°等于( )A ．－2B ．－12C ．－1D ．1答案 C解析 sin 235°－12cos10°cos80°＝1－cos70°2－12cos10°sin10°＝－12cos70°12sin20°＝－1.5．(2019·上海模拟)计算tan12°－34cos 212°－2sin12°＝________. 答案 －4解析 原式＝sin12°cos12°－322cos 212°－1sin12°＝sin12°－3cos12°2sin12°cos12°cos24°＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin12°－32cos12°sin24°cos24° ＝2sin 12°－60°12sin48°＝－4.角度3 给值求角例4 (1)(2019·四川模拟)若sin2α＝55，sin(β－α)＝1010，且α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2，则α＋β的值是( ) A.7π4B.9π4C.5π4或7π4D.5π4或9π4答案 A解析 因为α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π，所以2α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，2π，又sin2α＝55，所以2α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π，α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，所以cos2α＝－255.又β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2，所以β－α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，5π4，故cos(β－α)＝－31010，所以cos(α＋β)＝cos[2α＋(β－α)]＝cos2αcos(β－α)－sin2αsin(β－α)＝－255×⎝ ⎛⎭⎪⎫－31010－55×1010＝22，又α＋β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π4，2π，故α＋β＝7π4.选A.(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－17，则2α－β的值为________．答案 －3π4解析 ∵tan α＝tan[(α－β)＋β]＝tan α－β＋tan β1－tan α－βtan β＝12－171＋12×17＝13>0，∴0<α<π2.又∵tan2α＝2tan α1－tan 2α＝2×131－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝34>0， ∴0<2α<π2，∴tan(2α－β)＝tan2α－tan β1＋tan2αtan β＝34＋171－34×17＝1.∵tan β＝－17<0，∴π2<β<π，－π<2α－β<0，∴2α－β＝－3π4.触类旁通通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时应遵循的原则(1)已知正切函数值，则选正切函数．即时训练 6.(2019·福建漳州八校联考)已知锐角α的终边上一点P (sin40°，1＋cos40°)，则α等于( )A ．10°B ．20°C ．70°D ．80°答案 C解析 由题意得tan α＝1＋cos40°sin40°＝2cos 220°2cos20°sin20°＝co s20°sin20°＝sin70°cos70°＝tan70°.又α为锐角，∴α＝70°，故选C.7．(2019·江苏徐州质检)已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0<β<α<π2，则β的值为________．答案π3解析 ∵0<β<α<π2，∴0<α－β<π2.又∵cos(α－β)＝1314，∴sin(α－β)＝1－cos2α－β＝3314. ∵cos α＝17，0<α<π2，∴sin α＝437，∴cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝17×1314＋437×3314＝12. ∵0<β<π2，∴β＝π3.考向三 三角恒等变换的综合应用例5 (2019·广东模拟)已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x2＋cos x 22－2sin 2x2.(1)若f (x )＝233，求sin2x 的值；(2)求函数F (x )＝f (x )·f (－x )＋f 2(x )的最大值与单调递增区间． 解 (1)由题意知f (x )＝1＋sin x －(1－cos x )＝sin x ＋cos x ， 又∵f (x )＝233，∴sin x ＋cos x ＝233，∴sin2x ＋1＝43，∴sin2x ＝13.(2)F (x )＝(sin x ＋cos x )·[sin(－x )＋cos(－x )]＋(sin x ＋cos x )2＝cos 2x －sin 2x ＋1＋sin2x ＝cos2x ＋sin2x ＋1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1， 当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＝1时，F (x )取得最大值， 即F (x )max ＝2＋1.令－π2＋2k π≤2x ＋π4≤π2＋2k π(k ∈Z )，∴k π－3π8≤x ≤k π＋π8(k ∈Z )，从而函数F (x )的最大值为2＋1，单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8(k ∈Z )．触类旁通三角恒等变换的应用策略(1)进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用．2把形如y ＝a sin x ＋b cos x 化为y ＝sin x ＋φ，可进一步研究函数的周期性、单调性、最值与对称性.即时训练 8.(2019·贵阳模拟)已知函数f (x )＝cos x ·sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3－3cos 2x ＋34，x∈R .(1)求f (x )的最小正周期，对称轴方程，对称中心坐标；(2)求f (x )的闭区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的最大值和最小值． 解 (1)由已知，有f (x )＝cos x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ＋32cos x －3cos 2x ＋34＝12sin x ·cos x －32cos 2x ＋34 ＝14sin2x －34(1＋cos2x )＋34 ＝14sin2x －34cos2x ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. 由2x －π3＝π2＋k π(k ∈Z )得对称轴方程为x ＝5π12＋k π2(k ∈Z )；由2x －π3＝k π(k ∈Z )得x ＝π6＋k π2(k ∈Z )，∴对称中心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋k π2，0(k ∈Z )．(2)由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4得2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，π6，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12，即函数f (x )＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，14.所以函数f (x )在闭区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的最大值为14，最小值为－12.1．(2019·海口模拟)4cos50°－tan40°＝( ) A. 2 B.2＋32C.3 D ．22－1答案 C解析 4cos50°－tan40°＝4sin40°cos40°－sin40°cos40°＝2sin80°－sin40°cos40°＝2sin100°－sin40°cos40°＝2sin 60°＋40°－si n40°cos40°＝2×32cos40°＋2×12sin40°－sin40°cos40°＝ 3.2．设α为锐角，若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π12的值为________． 答案17250解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，α为锐角，则α＋π6为锐角， sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35， 由二倍角公式得sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝2425，cos2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝725，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π12＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－π4 ＝sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6cos π4－cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6sin π4＝2425×22－725×22＝17250. 答题启示角的变换是三角函数变化的一种常用技巧，解题时要看清楚题中角与角之间的和差，倍半、互余、互补的关系，把“目标角”变成“已知角”，通过角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获得解决．对点训练1．已知tan(α＋β)＝－1，tan(α－β)＝12，则sin2αsin2β的值为( )A.13B ．－13C ．3D ．－3答案 A 解析 sin2αsin2β＝sin[α＋β＋α－β]sin[α＋β－α－β]＝sin α＋βcos α－β＋cos α＋βsin α－βsin α＋βcos α－β－cos α＋βsin α－β＝tan α＋β＋tan α－βtan α＋β－tan α－β＝13.故选A.2．(2019·合肥模拟)计算：tan20°＋4sin20°＝________. 答案3解析 原式＝sin20°cos20°＋4sin20°＝sin20°＋4sin20°cos20°cos20°＝sin20°＋2sin40°cos20°＝sin 30°－10°＋2sin 30°＋10°cos20°＝32cos10°＋32sin10°cos20°＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos10°＋12sin10°cos20°＝3cos30°－10°cos20°＝ 3.。
2020高考数学理科大一轮复习导学案《两角和与差的正弦、余弦和正切公式》
第三节两角和与差的正弦、余弦和正切公式知识点一 两角和与差的正弦、余弦、正切公式1．基本公式sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β， cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β， tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.2．公式变形(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)．(2)函数f (α)＝a sin α＋b cos α(a ，b 为常数)，可以化为f (α)＝a 2＋b 2sin(α＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫其中tan φ＝b a 或f (α)＝a 2＋b 2·cos(α－φ)⎝⎛⎭⎪⎫其中tan φ＝a b .1．(必修4P137A13(5))sin347°cos148°＋sin77°·cos58°＝22. 解析：sin347°cos148°＋sin77°cos58° ＝sin(270°＋77°)cos(90°＋58°)＋sin77°cos58° ＝(－cos77°)·(－sin58°)＋sin77°cos58° ＝sin58°cos77°＋cos58°sin77° ＝sin(58°＋77°)＝sin135°＝22.2．(2018·全国卷Ⅱ)已知tan(α－5π4)＝15，则tan α＝32. 解析：解法1：因为tan(α－5π4)＝15，所以tan α－tan 5π41＋tan αtan 5π4＝15，即tan α－11＋tan α＝15，解得tan α＝32. 解法2：因为tan(α－5π4)＝15， 所以tan α＝tan[(α－5π4)＋5π4] ＝tan (α－5π4)＋tan 5π41－tan (α－5π4)tan 5π4＝15＋11－15×1＝32.3．tan20°＋tan40°＋3tan20°tan40°＝ 3. 解析：∵tan60°＝tan(20°＋40°) ＝tan20°＋tan40°1－tan20°tan40°，∴tan20°＋tan40° ＝tan60°(1－tan20°tan40°)＝3－3tan20°tan40°， ∴原式＝3－3tan20°tan40°＋3tan20°tan40°＝ 3. 知识点二 二倍角的正弦、余弦、正切公式1．基本公式 sin2α＝2sin αcos α.cos2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α. tan2α＝2tan α1－tan 2α.2．有关公式的逆用、变形等 (1)cos 2α＝1＋cos2α2，sin 2α＝1－cos2α2. (2)1＋sin2α＝(sin α＋cos α)2， 1－sin2α＝(sin α－cos α)2，sin α±cos α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α±π4.4．(2018·全国卷Ⅲ)若sin α＝13，则cos2α＝( B ) A.89 B.79 C ．－79D ．－89解析：cos2α＝1－2sin 2α＝1－2×(13)2＝79. 5．计算：tan7.5°1－tan 27.5°＝2－32.解析：tan7.5°1－tan 27.5°＝12×2tan7.5°1－tan 27.5°＝12tan15°＝12tan(45°－30°)＝12×tan45°－tan30°1＋tan45°tan30°＝12×1－331＋33＝2－32.注意四组公式：(1)降幂公式：cos 2α＝1＋cos2α2，sin 2α＝1－cos2α2.(2)升幂公式：1＋cos2α＝2cos 2α，1－cos2α＝2sin 2α. (3)公式变形：tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)． (4)辅助角公式：a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ) ⎝⎛⎭⎪⎫其中sin φ＝b a 2＋b 2，cos φ＝a a 2＋b 2.考向一 基本公式的运用【例1】 (1)sin15°＋cos15°的值为( )A.62 B ．－62 C.22 D ．－22 (2)sin 415°－cos 415°＝( ) A.12 B ．－12 C.32 D ．－32(3)已知sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，则log 5(tan αtan β)2等于( )A ．2B ．3C ．4D ．5【解析】 (1)解法1：sin15°＋cos15°＝2sin60°＝62，故选A. 解法2：sin15°＋cos15°＝(sin15°＋cos15°)2 ＝1＋2sin15°cos15°＝1＋sin30°＝62.(2)sin 415°－cos 415°＝(sin 215°－cos 215°)(sin 215°＋cos 215°)＝sin 215°－cos 215°＝－cos30°＝－32.故选D.(3)因为sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，所以sin αcos β＋cos αsin β＝12，sin αcos β－cos αsin β＝13，所以sin αcos β＝512，cos αsin β＝112，所以tan αtan β＝5，所以log5(tan αtan β)2＝log552＝4.故选C.【答案】 (1)A (2)D (3)C(1)使用两角和、差及倍角公式，首先要记住公式的结构特征和符号变化规律.例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”.(2)使用公式求值，应注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用.(1)若2sin x ＋cos(π2－x )＝1，则cos2x ＝( C ) A ．－89 B ．－79 C.79 D ．－725(2)(2018·全国卷Ⅱ)已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝－12.解析：(1)因为2sin x ＋cos(π2－x )＝1，所以3sin x ＝1，所以sin x ＝13，所以cos2x ＝1－2sin 2x ＝79.故选C.(2)∵sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，∴sin 2α＋cos 2β＋2sin αcos β＝1 ①，cos 2α＋sin 2β＋2cos αsin β＝0 ②，①②两式相加可得sin 2α＋cos 2α＋sin 2β＋cos 2β＋2(sin αcos β＋cos αsin β)＝1，∴sin(α＋β)＝－12.考向二 三角函数式求值方向1 给值求值【例2】 (1)(2019·福州高三考试)3cos15°－4sin 215° cos15°＝( )A.12B.22 C ．1 D. 2(2)(2018·江苏卷)已知α，β为锐角，tan α＝43，cos(α＋β)＝－55. ①求cos2α的值； ②求tan(α－β)的值．【解析】 (1)解法1：3cos15°－4sin 215°cos15°＝3cos15°－2sin15°·2sin15°cos15°＝3cos15°－2sin15°·sin30°＝3cos15°－sin15°＝2cos(15°＋30°)＝2cos45°＝ 2.故选D.解法2：因为cos15°＝6＋24，sin15°＝6－24，所以3cos15°－4sin215°·cos15°＝3×6＋24－4×(6－24)2×6＋24＝6＋24×(3－8－434)＝6＋24×(23－2)＝ 2.故选D.(2)①因为tanα＝43，tanα＝sinαcosα，所以sinα＝43cosα.因为sin2α＋cos2α＝1，所以cos2α＝925，因此，cos2α＝2cos2α－1＝－725.②因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)．又因为cos(α＋β)＝－5 5，所以sin(α＋β)＝1－cos2(α＋β)＝25 5，因此tan(α＋β)＝－2.因为tanα＝4 3，所以tan2α＝2tanα1－tan2α＝－247，因此，tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]＝tan2α－tan (α＋β)1＋tan2αtan (α＋β)＝－211. 【答案】 (1)D (2)见解析 方向2 给值求角【例3】 已知A ，B 均为钝角，sin 2A 2＋cos(A ＋π3)＝5－1510，且sin B ＝1010，则A ＋B ＝( )A.3π4B.5π4C.7π4D.7π6【解析】 因为sin 2A2＋cos(A ＋π3)＝5－1510，所以1－cos A 2＋12cos A －32sin A ＝5－1510，即12－32sin A ＝5－1510，解得sin A ＝55.因为A 为钝角，所以cos A ＝－1－sin 2A ＝－1－(55)2＝－255.由sin B ＝1010，且B 为钝角，可得cos B ＝－1－sin 2B ＝－1－(1010)2＝－31010.所以cos(A ＋B )＝cos A cos B －sin A sin B ＝(－255)×(－31010)－55×1010＝22.又A ，B 都为钝角，即A ，B ∈(π2，π)，所以A ＋B ∈(π，2π)，故A ＋B ＝7π4.选C.【答案】 C1．(方向1)4cos50°－tan40°＝ 3.解析：原式＝4sin40°－sin40°cos40°＝4sin40°cos40°－sin40°cos40° ＝2sin80°－sin40°cos40°＝2cos (40°－30°)－sin40°cos40° ＝2(cos40°cos30°＋sin40°sin30°)－sin40°cos40° ＝3cos40°cos40°＝ 3.2．(方向1)若α，β都是锐角，且cos α＝55，sin(α－β)＝1010，则cos β＝( A )A.22B.210C.22或－210D.22或210解析：∵α，β都是锐角，且cos α＝55，sin(α－β)＝1010，∴sin α＝255，cos(α－β)＝31010，从而cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝22.故选A.3．(方向2)若sin2α＝55，sin(β－α)＝1010，且α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2，则α＋β的值是( A )A.7π4 B.9π4 C.5π4或7π4D.5π4或9π4解析：因为α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π，所以2α∈π2，2π，又sin2α＝55，所以2α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π，α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，故cos2α＝－255.又β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2，所以β－α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，5π4，故cos(β－α)＝－31010.所以cos(α＋β)＝cos[2α＋(β－α)]＝cos2α·cos(β－α)－sin2αsin(β－α)＝－255×⎝⎛⎭⎪⎫－31010－55×1010＝22，又α＋β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π4，2π，故α＋β＝7π4.考向三 三角恒等变换的应用【例4】 已知函数f (x )＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3－2sin x cos x . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求证：当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4时，f (x )≥－12.【解】 (1)f (x )＝3cos2x －π3－2sin x cos x ＝32cos2x ＋32sin2x －sin2x ＝12sin2x ＋32cos2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)证明：由(1)知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4，∴2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，∴当2x ＋π3＝－π6，即x ＝－π4时，f (x )取得最小值－12. ∴f (x )≥－12成立．三角恒等变形的综合应用主要是将三角恒等变形与三角函数的性质相结合，通过变形，将复杂的函数式子化为y ＝A sin (ωx ＋φ)＋b 的形式再研究性质.在研究性质时注意利用整体思想解决相关问题.(1)(2018·全国卷Ⅲ)函数f (x )＝tan x1＋tan 2x 的最小正周期为( C )A.π4B.π2 C ．πD ．2π(2)(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2，则( B ) A ．f (x )的最小正周期为π，最大值为3 B ．f (x )的最小正周期为π，最大值为4 C ．f (x )的最小正周期为2π，最大值为3 D ．f (x )的最小正周期为2π，最大值为4解析：(1)f (x )＝tan x 1＋tan 2x＝sin xcos x 1＋sin 2x cos 2x ＝sin x cos x cos 2x ＋sin 2x ＝sin x cos x ＝12sin2x ，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.故选C.(2)易知f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2＝3cos 2x ＋1＝32(2cos 2x －1)＋32＋1＝32cos2x ＋52，则f (x )的最小正周期为π，当x ＝k π(k ∈Z )时，f (x )取得最大值，最大值为4.以黄金分割比为背景的数学文化众所周知，5－12≈0.618叫做黄金分割比，黄金分割最早起源于几何学，是古希腊数学家毕达哥拉斯最早发现的．黄金分割的定义：把任一线段分割成两段，使大段全段＝小段大段，如图，这样的分割叫黄金分割，这样的比值叫黄金比．设此黄金比为x ，不妨设全段长为1，则大段长为x ，小段长为1－x ，故有x 1＝1－xx ，即x 2＋x －1＝0，解得x ＝－1±52，其正根为x ＝5－12≈0.618 034 0≈0.618为黄金分割比．黄金分割之所以称为“黄金”分割，是比喻这种“分割”在视觉上给人极大的愉悦感，非常难得，如黄金一样珍贵．黄金分割比是工艺美术、建筑、摄影等许多艺术门类中审美的要素之一，它表现了恰到好处的和谐．典例 公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图方法，发现了黄金分割，其比值约为0.618，这一数值也可以表示为m ＝2sin18°，若m 2＋n ＝4，则m n 2cos 227°－1＝( )A ．8B ．4C ．2D ．1 【解析】 由题设n ＝4－m 2＝4－4sin 218° ＝4(1－sin 218°)＝4cos 218°， m n 2cos 227°－1＝2sin18°4cos 218°2cos 227°－1＝2·(2sin18°cos18°)cos54°＝2sin36°sin36°＝2，故选C. 【答案】 C计算：3cos10°－1sin170°＝－4.解析：原式＝3sin170°－cos10°cos10°sin170°＝3sin10°－cos10°cos10°sin10°＝2sin(10°－30°)12sin20°＝－。
东范大学附属高考数学一轮复习 两角和与差的正弦余弦及正切教案 理
芯衣州星海市涌泉学校东范大学附属中学2021届高考数学一轮复习两角和与差的正弦、余弦及正切教案理一、知识梳理：(阅读教材必修4第124页—第135页)〔1〕、两角和与差公式：sin()=sin cos cos sincso()=cos cos sin sintan()=〔2〕、二倍角公式：Sin2=2sin cos cos2=co-si=2co-1=1-2sitan2=〔3〕、辅助角公式：asin+bcos=sin(+)二、题型探究探究一：和差公式的应用.例1:cos=,cos()=,且0<.(1)、求Sin2；(2)、求cos；例2：=4，,cos()=，、都是锐角，求cos；探究二：二倍角公式的应用例3：求证：=sin4例4：求证：=tan2探究三:辅助角公式的应用例5：求函数y=的值域。
例6：求函数y=(>0),函数的图象与直线y=2的两个相邻交点的间隔等于求函数的单调增区间。
探究四：公式的综合应用例7：tan cos+sin-2cos=.例8：求函数f(x)=sinxcosx在上的最大值。
三、方法提升：1、仔细分析角与角之间的关系是利用两角和与两角差的三角函数公式进展三角函数求值、化简及证明的关键；2、熟记、的构造特征和符号，掌握公式的正用和逆用和变形用的方法，注意整体思维，不要乱套公式；3、二倍角公式是和角公式的特例，表达了将一般化为特殊的根本数学思想方法，二倍角的三角函数公式，可以起到转化作用，也可以起到升幂，降幂的作用；4、在综合化简、求值、证明中，要注意三个角度考虑问题，〔1〕、角的角度；〔2〕、函数名称的角度；〔3〕、式子特点及运算角度。
四、反思感悟五、课时作业一、选择题：1、tan=-,那么的值等于〔B〕A、-B、-C、D、2、cos(-)+sin=,那么sin(+)=(D)B、C、D、3、函数y=cosx(sinx+cosx)的最小值为〔C〕A、B、C、D、24、“sin=〞是“cos2〞的〔A〕A、充分而不必要条件B、必要不充分条件C、充要条件D、既不充分也不必要条件5、假设(-),cos(-)=,=-,cos(+)=(C)A、B、-C、D、6、假设=,那么cos+=(C)A、B、-D、7、=(C)A、B、2D、。
高考数学一轮复习 第4章 三角函数、解三角形 3 第3讲 两角和与差的正弦、余弦和正切公式教案 理-
第3讲 两角和与差的正弦、余弦和正切公式1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin(α±β)＝sin_αcos_β±cos _αsin_β； cos(α∓β)＝cos_αcos_β±sin __αsin_β；tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β⎝ ⎛⎭⎪⎫α±β，α，β均不为k π＋π2，k ∈Z .2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α＝2sin__αcos____α；cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； tan 2α＝2tan α1－tan 2α⎝ ⎛⎭⎪⎫α，2α均不为k π＋π2，k ∈Z . [提醒] 三角函数公式的变形(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)； (2)cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2；(3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，sin α±cos α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α±π4. 3．三角函数公式关系判断正误(正确的打“√〞，错误的打“×〞)(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意角．( ) (2)两角和与差的正切公式中的角α，β是任意角．( )(3)cos 80°cos 20°－sin 80°sin 20°＝cos(80°－20°)＝cos 60°＝12.( )(4)公式tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立．( ) (5)存在实数α，使tan 2α＝2tan α.( ) 答案：(1)√ (2)× (3)× (4)× (5)√(教材习题改编)cos α＝－35，α是第三象限角，那么cos(π4＋α)为( )A.210B ．－210C.7210D ．－7210解析：选A.因为cos α＝－35，α是第三象限的角，所以sin α＝－1－cos 2α＝－1－〔－35〕2＝－45，所以cos(π4＋α)＝cos π4cos α－sin π4sin α＝22·(－35)－22·(－45)＝210.(2017·高考江苏卷)假设tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝16，那么tan α＝________．解析：tan α＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＋π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＋tan π41－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4tanπ4＝16＋11－16＝75.答案：75sin 15°＋sin 75°的值是________．解析：sin 15°＋si n 75°＝sin 15°＋cos 15°＝2sin(15°＋45°)＝2sin 60°＝62. 答案：62三角函数公式的直接应用[典例引领](1)(2017·高考全国卷Ⅰ)α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，tan α＝2，那么cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝________．(2)(2018·广州市综合测试(一))f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，假设sin α＝35⎝ ⎛⎭⎪⎫π2<α<π，那么f ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π12＝________．【解析】 (1)因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且tan α＝sin αcos α＝2，所以sin α＝2cos α，又sin 2α＋cos 2α＝1，所以sin α＝255，cos α＝55，那么cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝cos αcos π4＋sin αsin π4＝55×22＋255×22＝31010. (2)因为sin α＝35⎝ ⎛⎭⎪⎫π2<α<π，所以cos α＝－45，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝22sin α＋22cos α＝－210.【答案】 (1)31010 (2)－210利用三角函数公式应注意的问题(1)使用公式求值，首先要注意公式的结构特点和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反〞．(2)使用公式求值，应注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用． (3)使用公式求值，应注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用．[通关练习]1．sin α＝35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，tan(π－β)＝12，那么tan(α－β)的值为( ) A ．－211B.211C.112D ．－112解析：选A.因为sin α＝35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π， 所以cos α＝－1－sin 2α＝－45，所以tan α＝sin αcos α＝－34.因为tan(π－β)＝12＝－tan β，所以tan β＝－12，那么tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝－211.2．(2018·湖南省东部六校联考)角α为锐角，假设cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，那么sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3的值为( ) A.1225 B.2425C ．－2425D ．－1225解析：选 B.因为α为锐角，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45>0，所以α＋π6为锐角，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝2425，应选B.三角函数公式的活用(高频考点)三角函数公式的活用是高考的热点，高考多以选择题或填空题的形式出现，研究三角函数的性质和解三角形常应用三角函数公式．高考对三角函数公式的考查主要有以下两个命题角度：(1)两角和与差公式的逆用及变形应用； (2)二倍角公式的活用．[典例引领]角度一 两角和与差公式的逆用及变形应用(1)sin α＋cos α＝13，那么sin 2(π4－α)＝( )A.118 B.1718 C.89D.29(2)在△ABC 中，假设tan A tan B ＝tan A ＋tan B ＋1，那么cos C 的值为( )A ．－22B.22C.12D ．－12【解析】 (1)由sin α＋cos α＝13两边平方得1＋sin 2α＝19，解得sin 2α＝－89，所以sin 2(π4－α)＝1－cos 〔π2－2α〕2＝1－sin 2α2＝1＋892＝1718.(2)由tan A tan B ＝tan A ＋tan B ＋1，可得tan A ＋tan B1－tan A tan B＝－1，即tan(A ＋B )＝－1，又A ＋B ∈(0，π)，所以A ＋B ＝3π4，那么C ＝π4，cos C ＝22.【答案】 (1)B (2)B 角度二 二倍角公式的活用cos 15°－sin 15°cos 15°＋sin 15°＝________．【解析】 法一：原式＝1－tan 15°1＋tan 15°＝tan 45°－tan 15°1＋tan 45°tan 15°＝tan 30°＝33. 法二：原式＝2〔sin 45°cos 15°－cos 45°sin 15°〕2〔sin 45°cos 15°＋cos 45°sin 15°〕＝sin 30°sin 60°＝1232＝33. 法三：因为⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 15°－sin 15°cos 15°＋sin 15°2＝1－sin 30°1＋sin 30°＝13.又cos 15°－sin 15°cos 15°＋sin 15°＞0，所以cos 15°－sin 15°cos 15°＋sin 15°＝33.【答案】33三角函数公式的应用技巧运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形，如tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tan αtan β)和二倍角的余弦公式的多种变形等．公式的逆用和变形应用更能开拓思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力，只有熟悉了公式的逆用和变形应用后，才能真正掌握公式的应用．[通关练习]1．(1－tan 215°)cos 215°的值等于( ) A.1－32B ．1 C.32D.12解析：选C.(1－tan 215°)cos 215°＝cos 215°－sin 215°＝cos 30°＝32. 2．(2018·河北衡水中学三调考试)假设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且3cos 2α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α，那么sin 2α的值为( ) A ．－118B.118 C ．－1718D.1718解析：选C.由3cos 2α＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4－α可得3(cos 2α－sin 2α)＝22(cos α－sin α)，又由α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π可知cos α－sin α≠0，于是3(cos α＋sin α)＝22，所以1＋2sinα·cos α＝118，故sin 2α＝－1718.应选C.角的变换[典例引领](1)(2018·四川成都摸底)sin 2α＝35⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＜2α＜π，tan(α－β)＝12，那么tan(α＋β)等于( ) A ．－2 B ．－1 C ．－211D.211(2)(2018·六盘水质检)cos α＝13，cos(α＋β)＝－13，且α、β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，那么cos(α－β)的值等于( ) A ．－12B.12C ．－13 D.2327【解析】 (1)因为sin 2α＝35，2α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以cos 2α＝－45，tan 2α＝－34，tan(α＋β)＝tan[2α－(α－β)]＝ tan 2α－tan 〔α－β〕1＋tan 2αtan 〔α－β〕＝－2.(2)因为α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以2α∈(0，π)．因为cos α＝13，所以cos 2α＝2cos 2α－1＝－79，所以sin 2α＝1－cos 22α＝429，而α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以α＋β∈(0，π)，所以sin(α＋β)＝1－cos 2〔α＋β〕＝223，所以cos(α－β)＝cos[2α－(α＋β)] ＝cos 2αcos(α＋β)＋sin 2αsin(α＋β)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－79×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＋429×223＝2327. 【答案】 (1)A (2)D假设本例(2)条件不变，求cos 2β的值．解：因为cos α＝13，cos(α＋β)＝－13，且α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以α＋β∈(0，π)，所以sin α＝223，sin(α＋β)＝223，cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝－13×13＋223×223＝79.所以cos 2β＝2cos 2β－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫792－1＝1781.角的变换技巧(1)当“角〞有两个时，一般把“所求角〞表示为两个“角〞的和或差的形式；(2)当“角〞有一个时，此时应着眼于“所求角〞与“角〞的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角〞变成“角〞．(3)常用拆分方法：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝α＋β2－α－β2，α＝α＋β2＋α－β2，α－β2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2－⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋β等．[通关练习]1．tan(α＋β)＝1，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝13，那么tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π3 的值为( )A.23 B.12 C.34D.45解析：选B.tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π3＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤〔α＋β〕－⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝tan 〔α＋β〕－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π31＋tan 〔α＋β〕tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝1－131＋1×13＝12. 2．(2018·湖南郴州模拟)α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝45，那么tan α＝________．解析：因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝45，所以α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝35，所以tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝43，所以tan α＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4－π4＝43－11＋43×1＝17.答案：17运用三角函数公式时，不但要熟悉公式的直接应用，还要熟悉公式的逆用及变形，如tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tan αtan β)和二倍角的余弦公式的多种变形等．公式的逆用和变形应用更能开拓思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力． 易错防范(1)在使用两角和与差的余弦或正切公式时运算符号易错． (2)在(0，π)范围内，sin(α＋β)＝22所对应的角α＋β不是唯一的．1．计算－sin 133°cos 197°－cos 47°cos 73°的结果为( ) A.12 B.33 C.22D.32解析：选A.－sin 133°cos 197°－cos 47°cos 73° ＝－sin 47°(－cos 17°)－cos 47°sin 17° ＝sin(47°－17°)＝sin 30°＝12.2．sin ⎝⎛⎭⎪⎫π6－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α，那么tan α＝( )A ．－1B ．0 C.12D ．1解析：选A.因为sin ⎝⎛⎭⎪⎫π6－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α，所以12cos α－32sin α＝32cos α－12sin α，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12－32sin α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32－12cos α，所以sin α＝－cos α，所以tan α＝－1.3．假设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝17，那么sin α等于( )A.35 B.45 C ．－35D ．－45解析：选A.因为tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝17， 所以tan α＝－34＝sin αcos α，所以cos α＝－43sin α.又因为sin 2α＋cos 2α＝1，所以sin 2α＝925.又因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以sin α＝35. 4．cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝33，那么sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－2α的值为( )A.13 B ．－13C.23 D ．－23解析：选B.sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－2α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2α ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2α＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫332－1＝－13.5．(2018·兰州市实战考试)sin 2α＝2425，0<α<π2，那么2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α的值为( )A ．－15B.15C ．－75 D.75解析：选D.2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫22cos α＋22sin α＝sin α＋cos α，又因为(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝1＋sin 2α＝4925，0<α<π2，所以sin α＋cos α＝75，应选D.6．(2018·贵州省适应性考试)α是第三象限角，且cos ()α＋π＝45，那么tan 2α＝________．解析：由cos(π＋α)＝－cos α＝45，得cos α＝－45，又α是第三象限角，所以sin α＝－35，tan α＝34，故tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝247. 答案：2477．sin(α－β)cos α－cos(β－α)sin α＝35，β是第三象限角，那么sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋5π4＝________．解析：依题意可将条件变形为sin[(α－β)－α]＝－sin β＝35，sin β＝－35.又β是第三象限角，因此有cos β＝－45.sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋5π4＝－sin(β＋π4)＝－sin βcos π4－cos βsin π4＝7210. 答案：72108．(2018·兰州市高考实战模拟)假设sin α－sin β＝1－32，cos α－cos β＝12，那么cos(α－β)＝________．解析：由sin α－sin β＝1－32，得(sin α－sin β)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－322，即sin 2α＋sin 2β－2sin αsin β＝74－3，①由cos α－cos β＝12，得cos 2α＋cos 2β－2cos αcos β＝14，②①＋②得，2sin αsin β＋2cos αcos β＝3，即cos(α－β)＝32. 答案：329．tan α＝2.(1)求tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4的值； (2)求sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1的值．解：(1)tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋tanπ41－tan αtanπ4＝2＋11－2×1＝－3.(2)sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1＝ 2sin αcos αsin 2α＋sin αcos α－2cos 2α＝2tan αtan 2α＋tan α－2＝2×24＋2－2＝1. 10．函数f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，x ∈R ，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＝322.(1)求A 的值；(2)假设f (θ)－f (－θ)＝3，θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，求cos θ的值．解：(1)f ⎝⎛⎭⎪⎫5π12＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋π3＝A sin 3π4＝22A ＝322，所以A ＝3.(2)f (θ)－f (－θ)＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3－3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－θ＋π3＝3⎣⎢⎡⎝⎛⎭⎪⎫sin θcos π3＋cos θsin π3－⎝ ⎛－sin θcos π3 ⎦⎥⎤⎭⎪⎫＋cos θsin π3＝6sin θcos π3＝3sin θ＝3，所以sin θ＝33.又因为θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以cos θ＝1－sin 2θ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫332＝63.1．(2018·山西太原五中模拟)角α为锐角，假设sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝13，那么cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝( )A.26＋16B.3－28 C.3＋28D.23－16解析：选A.由于角α为锐角，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝13，那么 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝223，那么cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π3＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6－π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6cos π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6sin π6＝223×32＋13×12＝26＋16. 2．(2018·河南百校联盟联考)α为第二象限角，且tan α＋tan π12＝2tan αtan π12－2，那么sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋5π6等于( )A ．－1010B.1010 C ．－31010D.31010解析：选C.tan α＋tan π12＝2tan αtan π12－2⇒tan α＋tanπ121－tan αtanπ12＝－2⇒tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π12＝－2，因为α为第二象限角，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＝255，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＝－55，那么sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋5π6＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝－sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12－π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12sin π4－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12cos π4＝－31010.3．(2018·安徽重点中学联考)假设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝22cos 2α，那么sin2α＝________． 解析：由得22(cos α＋sin α)＝22(cos α－sin α)·(cos α＋sin α)， 所以cos α＋sin α＝0或cos α－sin α＝14.由cos α＋sin α＝0得tan α＝－1，因为α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以tan α＞0，所以cos α＋sin α＝0不满足条件；由cos α－sin α＝14两边平方得1－sin 2α＝116，所以sin 2α＝1516.答案：15164．(2018·郑州第一次质量预测)△ABC 的三个内角为A 、B 、C ，假设3cos A ＋sin A 3sin A －cos A＝tan⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π12，那么tan A ＝_______________________________________________________________.解析：3cos A ＋sin A 3sin A －cos A ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π32sin ⎝⎛⎭⎪⎫A －π6＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3cos ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π3＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－A －π3＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π12，所以－A －π3＝k π－7π12(k ∈Z )，所以A ＝－k π＋7π12－π3＝－k π＋3π12＝－k π＋π4，又在△ABC 中，A ∈(0，π)，所以tan A ＝tan π4＝1.答案：1 5．cos ⎝⎛⎭⎪⎫π6＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝－14，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2.(1)求sin 2α的值； (2)求tan α－1tan α的值． 解：(1)cos ⎝⎛⎭⎪⎫π6＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－14，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－12.因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2，所以2α＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，4π3， 所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－32，所以sin 2α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3－π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3cos π3－cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3sin π3＝12.(2)因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2，所以2α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，π，又由(1)知sin 2α＝12，所以cos 2α＝－32.所以tan α－1tan α＝sin αcos α－cos αsin α＝sin 2α－cos 2αsin αcos α＝－2cos 2αsin 2α＝－2×－3212＝2 3.6．sin α＋cos α＝355，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝35，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2.(1)求sin 2α和tan 2α的值； (2)求cos(α＋2β)的值．解：(1)由题意得(sin α＋cos α)2＝95，即1＋sin 2α＝95，所以sin 2α＝45.又2α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以cos 2α＝1－sin 22α＝35，所以tan 2α＝sin 2αcos 2α＝43.(2)因为β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，β－π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝35，所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫β－π4＝45，于是sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝2425. 又sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝－cos 2β，所以cos 2β＝－2425， 又2β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以sin 2β＝725，又cos 2α＝1＋cos 2α2＝45，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，所以cos α＝255，sin α＝55.所以cos(α＋2β)＝cos αcos 2β－sin αsin 2β ＝255×⎝ ⎛⎭⎪⎫－2425－55×725＝－11525.。
高考数学一轮复习 专题20 两角和与差的正弦、余弦和正切公式教学案 理-人教版高三全册数学教学案
专题20 两角和与差的正弦、余弦和正切公式1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式；2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式；3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；4.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆)．1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式sin(α±β)＝sin__αcos__β±cos__αsin__β． cos(α∓β)＝cos__αcos__β±sin__αsin__β． tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β．2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α＝2sin__αcos__α．cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α． tan 2α＝2tan α1－tan 2α． 3．有关公式的逆用、变形等(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan__αtan__β)． (2)cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2．(3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2， 1－sin 2α＝(sin α－cos α)2， sin α±cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α±π4.4．函数f (α)＝a sin α＋b cos α(a ，b 为常数)，可以化为f (α)＝a 2＋b 2sin(α＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫其中tan φ＝b a 或f (α)＝a 2＋b 2·cos(α－φ)⎝⎛⎭⎪⎫其中tan φ＝a b .高频考点一、三角函数式的化简【例1】 (1)cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β＝( ) A.sin(α＋2β) B.sin α C.cos(α＋2β)D.cos α(2)化简：（1＋sin α＋cos α）·⎝⎛⎭⎪⎫cos α2－sin α22＋2cos α(0<α<π)＝________.【方法规律】三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，正确使用公式；二看函数名称之间的差异，确定使用的公式，常见的有“切化弦”；三看结构特征，找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”、“遇到根式一般要升幂”等.【变式探究】 (1)2＋2cos 8＋21－sin 8的化简结果是________. (2)化简：2cos 4α－2cos 2α＋122tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αsin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝________.解析 (1)原式＝4cos 24＋2（sin 4－cos 4）2＝2|cos 4|＋2|sin 4－cos 4|，因为54π<4<32π，所以cos 4<0，且sin 4<cos 4，所以原式＝－2cos 4－2(sin 4－cos 4)＝－2sin 4. (2)原式＝12（4cos 4α－4cos 2α＋1）2×sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α·cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝（2cos 2α－1）24sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝cos 22α2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α＝cos 22α2cos 2α＝12cos 2α. 答案 (1)－2sin 4 (2)12cos 2α高频考点二 三角函数式的求值【例2】 (1)[2sin 50°＋sin 10°(1＋3tan 10°)]·2sin 280＝________.(2)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝35，17π12<α<7π4，则sin 2α＋2sin 2α1－tan α的值为________.(3)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－17，则2α－β的值为________.(2)sin 2α＋2sin 2α1－tan α＝2sin αcos α＋2sin 2α1－sin αcos α＝2sin αcos α（cos α＋sin α）cos α－sin α＝sin 2α1＋tan α1－tan α＝sin 2α·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α.由17π12<α<7π4得5π3<α＋π4<2π，又cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝35， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝－45，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝－43.cos α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α－π4＝－210，sin α＝－7210，sin 2α＝725.所以sin 2α＋2sin 2α1－tan α＝－2875.(3)∵tan α＝tan[(α－β)＋β]＝tan （α－β）＋tan β1－tan （α－β）tan β＝12－171＋12×17＝13>0，又α∈(0，π)，∴0<α<π2，又∵tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×131－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝34>0， ∴0<2α<π2，∴tan(2α－β)＝tan 2α－tan β1＋tan 2αtan β＝34＋171－34×17＝1.∵tan β＝－17<0，∴π2<β<π，－π<2α－β<0，∴2α－β＝－3π4.答案 (1) 6 (2)－2875 (3)－3π4【方法规律】(1)已知条件下的求值问题常先化简需求值的式子，再观察已知条件与所求值的式子之间的联系(从三角函数名及角入手)，最后将已知条件及其变形代入所求式子，化简求值.(2)通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，遵照以下原则：①已知正切函数值，选正切函数；②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的X 围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，选正、余弦皆可；若角的X 围是(0，π)，选余弦较好；若角的X 围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，选正弦较好.【变式探究】 (1)4cos 50°－tan 40°＝( ) A. 2 B.2＋32C. 3D.22－1(2)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＋sin α＝－435，－π2<α<0，则cos α的值为________. (3)已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314(0<β<α<π2)，则tan 2α＝________，β＝________.解析 (1)原式＝4sin 40°－sin 40°cos 40°＝4cos 40°sin 40°－sin 40°cos 40°＝2sin 80°－sin 40°cos 40°＝2sin （120°－40°）－sin 40°cos 40°＝3cos 40°＋sin 40°－sin 40°cos 40°＝3cos 40°cos 40°＝3，故选C.(2)由sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3＋sin α＝－435， 得32sin α＋32cos α＝－435，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝－45.又－π2<α<0，所以－π3<α＋π6<π6，于是cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35.所以cos α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－π6＝33－410.(3)∵cos α＝17，0<α<π2，∴sin α＝437，tan α＝43，∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×431－48＝－8347.∵0<β<α<π2，∴0<α－β<π2，∴sin(α－β)＝3314，∴cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝17×1314＋437×3314＝12， ∴β＝π3.答案 (1)C (2)33－410 (3)－8347π3高频考点三 三角变换的简单应用【例3】 已知△ABC 为锐角三角形，若向量p ＝(2－2sin A ，cos A ＋sin A )与向量q ＝(sinA －cos A ，1＋sin A )是共线向量.(1)求角A ；(2)求函数y ＝2sin 2B ＋cosC －3B2的最大值.解 (1)因为p ，q 共线，所以(2－2sin A )(1＋sin A ) ＝(cos A ＋sin A )(sin A －cos A )，则sin 2A ＝34.又A 为锐角，所以sin A ＝32，则A ＝π3. (2)y ＝2sin 2B ＋cosC －3B2＝2sin 2B ＋cos⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π3－B －3B2＝2sin 2B ＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫π3－2B ＝1－cos 2B ＋12cos 2B ＋32sin 2B ＝32sin 2B －12cos 2B ＋1＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2B －π6＋1.因为B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以2B －π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，5π6，所以当2B －π6＝π2时，函数y 取得最大值，此时B ＝π3，y max ＝2.【方法规律】解三角函数问题的基本思想是“变换”，通过适当的变换达到由此及彼的目的，变换的基本方向有两种，一种是变换函数的名称，一种是变换角的形式.变换函数名称可以使用诱导公式、同角三角函数关系、二倍角的余弦公式等；变换角的形式，可以使用两角和与差的三角函数公式、倍角公式等.【变式探究】 已知函数f (x )＝(2cos 2x －1)·sin 2x ＋12cos 4x .(1)求f (x )的最小正周期及单调减区间；(2)若α∈(0，π)，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α4－π8＝22，求tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3的值. 解 (1)f (x )＝(2cos 2x －1)sin 2x ＋12cos 4x＝cos 2x sin 2x ＋12cos 4x＝12(sin 4x ＋cos 4x )＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π4， ∴f (x )的最小正周期T ＝π2.令2k π＋π2≤4x ＋π4≤2k π＋32π，k ∈Z ，得k π2＋π16≤x ≤k π2＋5π16，k ∈Z. ∴f (x )的单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π2＋π16，k π2＋5π16，k ∈Z.1.【2016高考新课标3理数】在ABC △中，π4B ，BC 边上的高等于13BC ,则cos A （ ）（A（B（C ）1010（D ）31010【答案】C【解析】设BC 边上的高为AD ，则3BC AD =，所以AC ==，AB =．由余弦定理，知222222cos 210AB AC BC A AB AC +-===-⋅，故选C ． 2.【2016高考新课标2理数】若3cos()45πα-=，则sin 2α=（ ） （A ）725 （B ）15 （C ）15- （D ）725- 【答案】D【解析】2237cos 22cos 12144525ππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=⋅-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，且cos 2cos 2sin 242ππααα⎡⎤⎛⎫⎡⎤-=-=⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦，故选D.3.【2016高考新课标3理数】若3tan 4α=，则2cos 2sin 2αα+=（ ） (A)6425 (B) 4825 (C) 1 (D)1625【答案】A 【解析】由3tan 4α=，得34sin ,cos 55αα==或34sin ,cos 55αα=-=-，所以2161264cos 2sin 24252525αα+=+⨯=，故选A ．【2015高考某某，理9】若tan 2tan 5πα=，则3cos()10sin()5παπα-=-（ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 【答案】C 【解析】由已知，3cos()10sin()5παπα-=-33cos cossin sin 1010sin cos cos sin55ππααππαα+-33cos tan sin 1010tan cossin55ππαππα+=-33cos 2tan sin105102tan cos sin555ππππππ+=- 33cos cos 2sin sin510510sincos55ππππππ+=＝155(cos cos )(cos cos )21010101012sin 25πππππ++-3cos 103cos 10ππ==，选C .（2014·新课标全国卷Ⅱ] 函数f (x )＝sin(x ＋2φ)－2sin φcos(x ＋φ)的最大值为________．【答案】1【解析】 函数f (x )＝sin(x ＋2φ)－2sin φcos(x ＋φ)＝sin[(x ＋φ)＋φ]－2sinφcos(x ＋φ)＝sin(x ＋φ)cos φ－cos(x ＋φ)sin φ＝sin x ，故其最大值为1.（2014·某某卷）设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，且b ＝3，c ＝1，A ＝2B .(1)求a 的值；(2)求sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π4的值． 【解析】 (1)因为A ＝2B ，所以sin A ＝sin 2B ＝2sin B cos B ，由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝sin A 2sin B ，所以由正弦定理可得a ＝2b ·a 2＋c 2－b 22ac. 因为b ＝3，c ＝1，所以a 2＝12，即a ＝2 3.(2)由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝9＋1－126＝－13.因为0<A <π，所以sin A ＝1－cos 2A ＝1－19＝2 23. 故sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4＝sin A cos π4＋cos A sin π4＝2 23×22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13×22＝4－26.（2014·某某卷）已知△ABC 的内角A ，B ，C 满足sin 2A ＋sin(A －B ＋C )＝sin(C －A －B )＋12，面积S 满足1≤S ≤2，记a ，b ，c 分别为A ，B ，C 所对的边，则下列不等式一定成立的是( )A ．bc (b ＋c )>8B ．ab (a ＋b )>16 2C ．6≤abc ≤12 D．12≤abc ≤24 【答案】A【解析】 因为A ＋B ＋C ＝π，所以A ＋C ＝π－B ，C ＝π－(A ＋B )，所以由已知等式可得sin 2A ＋sin(π－2B )＝sin[π－2(A ＋B )]＋12，即sin 2A ＋sin 2B ＝sin 2(A ＋B )＋12，所以sin[(A ＋B )＋(A －B )]＋sin[(A ＋B )－(A －B )]＝sin 2(A ＋B )＋12，所以2 sin(A ＋B )cos(A －B )＝2sin(A ＋B )cos(A ＋B )＋12，所以2sin(A ＋B )[cos(A －B )－cos(A ＋B )]＝12，所以sin A sin B sin C ＝18.由1≤S ≤2，得1≤12bc sin A ≤2.由正弦定理得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，所以1≤2R 2·sin A sin B sin C ≤2，所以1≤R 24≤2，即2≤R ≤22，所以bc (b ＋c )>abc ＝8R 3sin A sin B sin C ＝R 3≥8.（2014·某某卷）某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系：f (t )＝10－3cos π12t －sin π12t ，t ∈[0，24)．(1)某某验室这一天的最大温差．(2)若要某某验室温度不高于11℃，则在哪段时间实验室需要降温？【解析】(1)因为f (t )＝10－2⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos π12t ＋12sin π12t ＝10－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3，又0≤t <24，所以π3≤π12t ＋π3<7π3，－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3≤1.当t ＝2时，sin ⎝⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＝1；当t ＝14时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＝－1. 于是f (t )在[0，24)上取得的最大值是12，最小值是8.故实验室这一天的最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃.（2014·某某卷）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a >c .已知BA →·BC →＝2，cos B ＝13，b ＝3.求：(1)a 和c 的值； (2)cos(B －C )的值．【解析】(1)由BA →·BC →＝2得c ·a ·cos B ＝2， 又cos B ＝13，所以ac ＝6.由余弦定理，得a 2＋c 2＝b 2＋2ac cos B ， 又b ＝3，所以a 2＋c 2＝9＋2×2＝13. 解⎩⎪⎨⎪⎧ac ＝6，a 2＋c 2＝13，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，c ＝2. 因为a ＞c ，所以a ＝3，c ＝2.(2)在△ABC 中，sin B ＝1－cos 2B ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝223.由正弦定理，得sin C ＝c b sin B ＝23·2 23＝ 4 29.因为a ＝b ＞c ，所以C 为锐角，因此cos C ＝1－sin 2C ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫4 292＝79.所以cos(B －C )＝cos B cos C ＋sin B sin C ＝13×79＋2 23×4 29＝2327.（2014·全国卷）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知3a cos C ＝2c cos A ，tan A ＝13，求B .【解析】由题设和正弦定理得 3sin A cos C ＝2sin C cos A ， 故3tan A cos C ＝2sin C .因为tan A ＝13，所以cos C ＝2sin C ，所以tan C ＝12.所以tan B ＝tan[180°－(A ＋C )] ＝－tan(A ＋C ) ＝tan A ＋tan Ctan A tan C －1＝－1， 所以B ＝135°.（2014·新课标全国卷Ⅰ] 设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且tan α＝1＋sin βcos β，则( )A ．3α－β＝π2B ．3α＋β＝π2C ．2α－β＝π2D ．2α＋β＝π2【答案】C（2014·某某卷）如图13所示，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为67°，30°，此时气球的高度是46 m ，则河流的宽度BC 约等于________m ．(用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin 67°≈0.92，cos 67°≈0.39，sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，3≈1.73)图13【答案】60【解析】 过A 点向地面作垂线，记垂足为D ，则在Rt△ADB 中，∠ABD ＝67°，AD ＝46 m ，∴AB ＝ADsin 67°＝460.92＝50(m)，在△ABC 中，∠ACB ＝30°，∠BAC ＝67°－30°＝37°，AB ＝50 m ， 由正弦定理得，BC ＝AB sin 37°sin 30°＝60 (m)，故河流的宽度BC 约为60 m.（2014·某某卷）已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4. (1)求f (x )的单调递增区间；(2)若α是第二象限角，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α3＝45cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos 2α，求cos α－sin α的值． 【解析】(1)因为函数y ＝sin x 的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z，由－π2＋2k π≤3x ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z，得－π4＋2k π3≤x ≤π12＋2k π3，k ∈Z.所以，函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4＋2k π3，π12＋2k π3，k ∈Z. (2)由已知，得sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝45cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4(cos 2α－sin 2α)，所以sin αcos π4＋cos αsin π4＝45⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α cos π4－sin αsin π4(cos 2α－sin 2α)，即sin α＋cos α＝45(cos α－sin α)2(sin α＋cos α)．当sin α＋cos α＝0时，由α是第二象限角， 得α＝3π4＋2k π，k ∈Z，此时，cos α－sin α＝－ 2.当sin α＋cos α≠0时，(cos α－sin α)2＝54.由α是第二象限角，得cos α－sin α<0，此时cos α－sin α＝－52. 综上所述，cos α－sin α＝－2或－52. （2014·某某卷）已知函数f (x )＝cos x ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3－3cos 2x ＋34，x ∈R.(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在闭区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的最大值和最小值．(2)因为f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，－π12上是减函数，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4上是增函数，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝－14，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＝－12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝14， 所以函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的最大值为14，最小值为－12.1.(1＋tan 17°)(1＋tan 28°)的值是( ) A.－1B.0C.1D.2解析 原式＝1＋tan 17°＋tan 28°＋tan 17°·tan 28° ＝1＋tan 45°(1－tan 17°·tan 28°)＋tan 17°·tan 28° ＝1＋1＝2. 答案 D2.已知α是第二象限角，且tan α＝－13，则sin 2α＝( )A.－31010B.31010C.－35D.35解析 因为α是第二象限角，且tan α＝－13，所以sin α＝1010，cos α＝－31010， 所以sin 2α＝2sin αcos α＝2×1010×⎝ ⎛⎭⎪⎫－31010＝－35，故选C. 答案 C3.设a ＝12cos 2°－32sin 2°，b ＝2tan 14°1－tan 214°，c ＝1－cos 50°2，则有( ) A.a ＜c ＜b B.a ＜b ＜c C.b ＜c ＜aD.c ＜a ＜b解析 由题意可知，a ＝sin 28°，b ＝tan 28°，c ＝sin 25°， ∴c ＜a ＜b . 答案 D4.已知sin α＝35且α为第二象限角，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝( ) A.－195B.－519C.－3117D.－1731解析 由题意得cos α＝－45，则sin 2α＝－2425，cos 2α＝2cos 2α－1＝725.∴tan 2α＝－247，∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝tan 2α＋tan π41－tan 2αtan π4＝－247＋11－⎝ ⎛⎭⎪⎫－247×1＝－1731. 答案 D5.cos π9·cos 2π9·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π9＝( )A.－18B.－116C.116 D.18解析 cos π9·cos 2π9·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－239π＝cos 20°·cos 40°·cos 100°＝－cos 20°· cos 40°·cos 80°＝－sin 20°cos 20°cos 40°cos 80°sin 20°＝－12sin 40°·cos 40°·cos 80°sin 20°＝－14sin 80°·cos 80°sin 20°＝－18sin 160°sin 20°＝－18sin 20°sin 20°＝－18.答案 A6.设α，β∈[0，π]，且满足sin αcos β－cos αsin β＝1，则sin(2α－β)＋sin(α－2β)的取值X 围为( )A.[－2，1]B.[－1，2]C.[－1，1]D.[1，2]解析 ∵sin αcos β－cos αsin β＝1，∴sin(α－β)＝1，∵α，β∈[0，π]，∴α－β＝π2，由⎩⎪⎨⎪⎧0≤α≤π，0≤β＝α－π2≤π⇒π2≤α≤π， ∴sin(2α－β)＋sin(α－2β)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α－α＋π2＋sin(α－2α＋π)＝cos α＋sinα＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4，∵π2≤α≤π，∴3π4≤α＋π4≤54π，∴－1≤2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4≤1，即所求的取值X 围是[－1，1]，故选C.答案 C7.已知cos 4α－sin 4α＝23，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝________.8.若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝13，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π6的值是________.解析 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π6＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫α－π3＋π2＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3－1＝2×19－1＝－79. 答案 －799.已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫54π＋β＝－1213，则cos(α＋β)＝________.解析 ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝－45， ∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫54π＋β＝－1213，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋β＝1213，又∵β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋β＝513，∴cos(α＋β)＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋β－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35×513－45×1213＝－3365.答案 －336510.已知θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝210，则tan 2θ＝________.解析 sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝210，得sin θ－cos θ＝15，① θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，①平方得2sin θcos θ＝2425，可求得sin θ＋cos θ＝75，∴sin θ＝45，cos θ＝35，∴tan θ＝43，tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝－247. 答案 －24711.已知向量a ＝(cos θ，sin θ)，b ＝(2，－1). (1)若a ⊥b ，求sin θ－cos θsin θ＋cos θ的值；(2)若|a －b |＝2，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4的值.解 (1)由a ⊥b 可知，a ·b ＝2cos θ－sin θ＝0， 所以sin θ＝2cos θ，所以sin θ－cos θsin θ＋cos θ＝2cos θ－cos θ2cos θ＋cos θ＝13.(2)由a －b ＝(cos θ－2，sin θ＋1)可得， |a －b |＝（cos θ－2）2＋（sin θ＋1）2＝ 6－4cos θ＋2sin θ＝2，即1－2cos θ＋sin θ＝0.又cos 2θ＋sin 2θ＝1，且θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以sin θ＝35，cos θ＝45.所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22(sin θ＋cos θ)＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫35＋45＝7210. 12.设cos α＝－55，tan β＝13，π<α<3π2，0<β<π2，求α－β的值. 解 法一 由cos α＝－55，π<α<3π2，得sin α＝－255，tan α＝2，又tan β＝13， 于是tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝2－131＋2×13＝1. 又由π<α<3π2，0<β<π2可得－π2<－β<0，π2<α－β<3π2，因此，α－β＝5π4.法二 由cos α＝－55，π<α<3π2得sin α＝－255. 由tan β＝13，0<β<π2得sin β＝110，cos β＝310.所以sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫－255⎝ ⎛⎭⎪⎫310－⎝ ⎛⎭⎪⎫－55⎝ ⎛⎭⎪⎫110＝－22. 又由π<α<3π2，0<β<π2可得－π2<－β<0，π2<α－β<3π2，因此，α－β＝5π4.13. 如图，现要在一块半径为1 m ，圆心角为π3的扇形白铁片AOB 上剪出一个平行四边形MNPQ ，使点P 在弧AB 上，点Q 在OA 上，点M ，N 在OB 上，设∠BOP ＝θ，平行四边形MNPQ 的面积为S .(1)求S关于θ的函数关系式.(2)求S的最大值及相应的θ角.解(1)分别过P，Q作PD⊥OB于D，QE⊥OB于E，则四边形QEDP为矩形.由扇形半径为1 m，得PD＝sin θ，OD＝cos θ.在Rt△OEQ中，OE＝33QE＝33PD，MN＝QP＝DE＝OD－OE＝cos θ－33sin θ，S＝MN·PD＝⎝⎛⎭⎪⎫cos θ－33sin θ·sin θ＝sin θcos θ－33·sin2θ，θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π3.。
2024年高考理科数学第一轮复习教案21两角和与差的正弦余弦和正切公式
教学目标：1.理解两角和与差的概念，并掌握两角和与差的正弦公式、余弦公式和正切公式。
2.能够应用公式解决相关的数学问题。
教学重点：1.正弦、余弦和正切的定义。
2.两角和与差的正弦、余弦和正切公式的推导和应用。
教学难点：两角和与差的公式的推导和应用。
教学准备：1.整理好相关的知识点和公式。
2.准备好相关的练习题。
教学过程：Step 1 导入新知教师引导学生回顾正弦、余弦和正切的定义，并提醒学生在求解三角函数值时要注意角度的单位。
Step 2 两角和公式的推导1.教师给出两个角A和B，并告诉学生要求两角和A+B的正弦值。
2. 引导学生利用三角函数在单位圆上的定义，推导出两角和的正弦公式：sin(A+B) = sinA·cosB + cosA·sinB。
3.引导学生通过代入具体的角度值来验证公式的准确性，并解释公式的意义。
Step 3 两角差公式的推导1.教师给出两个角A和B，并告诉学生要求两角差A-B的余弦值。
2. 引导学生利用三角函数在单位圆上的定义，推导出两角差的余弦公式：cos(A-B) = cosA·cosB + sinA·sinB。
3.引导学生通过代入具体的角度值来验证公式的准确性，并解释公式的意义。
Step 4 两角和余弦和正切的推导1.教师给出两个角A和B，并告诉学生要求两角和A+B的余弦值和正切值。
2. 引导学生利用两角和的正弦公式和两角和的余弦公式，推导出两角和的余弦公式：cos(A+B) = cosA·cosB - sinA·sinB；以及两角和的正切公式：tan(A+B) = (tanA + tanB)/(1 - tanA·tanB)。
3.引导学生通过代入具体的角度值来验证公式的准确性，并解释公式的意义。
Step 5 相关题目练习教师提供一些与两角和与差相关的练习题，让学生进行练习并解答。
Step 6 总结与拓展教师带领学生对本节课所学内容进行总结，强调两角和与差公式的重要性，并鼓励学生在课下进行更多的练习，巩固所学知识。
高三数学一轮复习精品教案4：4.3 两角和与差的正弦、余弦、正切教学设计
4.3 两角和与差的正弦、余弦、正切知识梳理1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)C (α－β)：cos(α－β)＝ ； (2)C (α＋β)：cos(α＋β)＝ ； (3)S (α＋β)：sin(α＋β)＝ ； (4)S (α－β)：sin(α－β)＝ ； (5)T (α＋β)：tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β；(6)T (α－β)：tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)S 2α：sin 2α＝ ；(2)C 2α：cos 2α＝ ＝ ＝ ； (3)T 2α：tan 2α＝ . 3．常用的公式变形(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)； (2)cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2；(3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2， 1－sin 2α＝(sin α－cos α)2， sin α±cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α±π4. 1.两角和与差的三角函数公式的理解：(1)正弦公式概括为“正余，余正符号同”．“符号同”指的是前面是两角和，则后面中间为“＋”号；前面是两角差，则后面中间为“－”号．(2)余弦公式概括为“余余，正正符号异”．(3)二倍角公式实际就是由两角和公式中令β＝α所得．特别地，对于余弦：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α，这三个公式各有用处，同等重要，特别是逆用即为“降幂公式”，在考题中常有体现．2．重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”；变角为：对角的分拆要尽可能化成已知角、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等．在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形． 考点突破考点一三角函数公式的应用典题导入『例1』 已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫13x －π6，x ∈R . (1)求f ⎝⎛⎭⎫5π4的值；(2)设α，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，f ⎝⎛⎭⎫3α＋π2＝1013，f (3β＋2π)＝65，求cos(α＋β)的值． 由题悟法两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广，可用α、β的三角函数表示α±β的三角函数，在使用两角和与差的三角函数公式时，特别要注意角与角之间的关系，完成统一角和角与角转换的目的．以题试法1．(1)已知sin α＝35，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则cos 2α2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝________.(2)已知α为锐角，cos α＝55，则tan ⎝⎛⎭⎫π4＋2α＝( ) A ．－3 B ．－17C ．－43D ．－7考点二三角函数公式的逆用与变形应用典题导入『例2』 已知函数f (x )＝2cos 2x2－3sin x .(1)求函数f (x )的最小正周期和值域；(2)若α为第二象限角，且f ⎝⎛⎭⎫α－π3＝13，求cos 2α1＋cos 2α－sin 2α的值．由题悟法运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形，如tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tan αtan β)和二倍角的余弦公式的多种变形等．以题试法2．(1)已知sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＋cos α＝435，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3的值为( ) A.45 B.35 C.32D.35(2)若α＋β＝3π4，则(1－tan α)(1－tan β)的值是________．考点三角 的 变 换典题导入『例3』 (1)若sin α＋cos αsin α－cos α＝3，tan(α－β)＝2，则tan(β－2α)＝________.(2)设α为锐角，若cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45，则sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π12的值为________． 由题悟法1．当“已知角”有两个时，一般把“所求角”表示为两个“已知角”的和或差的形式； 2．当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．3．常见的配角技巧： α＝2·α2；α＝(α＋β)－β；α＝β－(β－α)；α＝12『(α＋β)＋(α－β)』；β＝12『(α＋β)－(α－β)』； π4＋α＝π2－⎝⎛⎭⎫π4－α；α＝π4－⎝⎛⎭⎫π4－α. 以题试法3．设tan ()α＋β＝25，tan ⎝⎛⎭⎫β－π4＝14，则tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝( ) A.1318 B.1322 C.322D.16教师备选题1．已知函数f (x )＝3sin 2x ＋sin x cos x ，x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π. (1)求f (x )的零点；(2)求f (x )的最大值和最小值．2．已知0<β<π2<α<π，且cos ⎝⎛⎭⎫α－β2＝－19，sin ⎝⎛⎭⎫α2－β＝23，求cos(α＋β)的值；答案知识梳理1．(1) cos αcos β＋sin αsin β； (2) cos αcos β－sin αsin β； (3) sin αcos β＋cos αsin β； (4) sin αcos β－cos αsin β；2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1) 2sin αcos α；(2) cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； (3)2tan α1－tan 2α.『例1』『自主解答』 (1)∵f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫13x －π6， ∴f ⎝⎛⎭⎫5π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫5π12－π6＝2sin π4＝ 2. (2)∵α，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，f ⎝⎛⎭⎫3α＋π2＝1013，f (3β＋2π)＝65， ∴2sin α＝1013，2sin ⎝⎛⎭⎫β＋π2＝65. 即sin α＝513，cos β＝35.∴cos α＝1213，sin β＝45.∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ＝1213×35－513×45＝1665. 1．『解析』(1)cos 2α2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝cos 2α－sin 2α2⎝⎛⎭⎫22sin α＋22cos α＝cos α－sin α，∵sin α＝35，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴cos α＝－45. ∴原式＝－75.(2)依题意得，sin α＝255，故tan α＝2，tan 2α＝2×21－4＝－43，所以tan ⎝⎛⎭⎫π4＋2α＝1－431＋43＝－17. 『答案』(1)－75 (2)B『例2』『自主解答』 (1)∵f (x )＝2cos 2x2－3sin x ＝1＋cos x －3sin x ＝1＋2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3， ∴周期T ＝2π，f (x )的值域为『－1,3』．(2)∵f ⎝⎛⎭⎫α－π3＝13，∴1＋2cos α＝13，即cos α＝－13. ∵α为第二象限角，∴sin α＝223.∴cos 2α1＋cos 2α－sin 2α＝cos 2α－sin 2α2cos 2α－2sin αcos α ＝cos α＋sin α2cos α＝－13＋223－23＝1－222.2．『解析』(1)由条件得32sin α＋32cos α＝435， 即12sin α＋32cos α＝45. ∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝45. (2)－1＝tan 3π4＝tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β，∴tan αtan β－1＝tan α＋tan β. ∴1－tan α－tan β＋tan αtan β＝2， 即(1－tan α)(1－tan β)＝2. 『答案』(1)A (2)2 『例3』『自主解答』 (1)由条件知sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝3，则tan α＝2.故tan(β－2α)＝tan 『(β－α)－α』＝tan β－α－tan α1＋tan β－αtan α＝－2－21＋－2×2＝43.(2)因为α为锐角，cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45， 所以sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝35，sin 2⎝⎛⎭⎫α＋π6＝2425， cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π6＝725， 所以sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π12＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫α＋π6－π4 ＝2425×22－725×22＝17250. 『答案』 (1)43 (2)172503．『解析』选C tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan ⎣⎡⎦⎤α＋β－⎝⎛⎭⎫β－π4 ＝tan α＋β－tan ⎝⎛⎭⎫β－π41＋tan α＋βtan ⎝⎛⎭⎫β－π4＝322. 教师备选题1．解：(1)令f (x )＝0，得sin x ·(3sin x ＋cos x )＝0， 所以sin x ＝0或tan x ＝－33. 由sin x ＝0，x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π，得x ＝π； 由tan x ＝－33，x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π，得x ＝5π6. 综上，函数f (x )的零点为5π6，π.(2)f (x )＝32(1－cos 2x )＋12sin 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋32. 因为x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π，所以2x －π3∈⎣⎡⎦⎤2π3，5π3. 所以当2x －π3＝2π3，即x ＝π2时，f (x )的最大值为3；当2x －π3＝3π2，即x ＝11π12时，f (x )的最小值为－1＋32.2．解：∵0<β<π2<α<π，∴－π4<α2－β<π2，π4<α－β2<π.∴cos ⎝⎛⎭⎫α2－β＝ 1－sin 2⎝⎛⎭⎫α2－β＝1－⎝⎛⎭⎫232＝53，sin ⎝⎛⎭⎫α－β2＝ 1－cos 2⎝⎛⎭⎫α－β2 ＝1－⎝⎛⎭⎫－192＝459. ∴cos α＋β2＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－β2－⎝⎛⎭⎫α2－β ＝cos ⎝⎛⎭⎫α－β2cos ⎝⎛⎭⎫α2－β＋sin ⎝⎛⎭⎫α－β2sin ⎝⎛⎭⎫α2－β ＝－19×53＋459×23＝7527.∴cos(α＋β)＝2cos 2α＋β2－1＝2×49×5729－1＝－239729.。
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吉林省东北师范大学附属中学2015届高考数学一轮复习两角和与差的正弦、余弦及正切教案理
一、知识梳理： (阅读教材必修4第124页—第135页)
（1）、两角和与差公式：
sin()=sin cos cos sin
cso()=cos cos sin sin
tan()=
（2）、二倍角公式：
Sin2=2sin cos cos2=co- si=2 co-1=1-2 si
tan2=
（3）、辅助角公式：asin+bcos=sin(+)
二、题型探究
探究一：和差公式的应用.
例1:已知cos= ,cos()= ,且0< .
(1)、求Sin2；(2)、求cos；
例2：已知=4，,cos()=，、都是锐角，求cos；
探究二：二倍角公式的应用
例3：求证：=sin4
例4：求证：=tan2
探究三:辅助角公式的应用
例5：求函数y=的值域。
例6：求函数y= (>0),函数的图象与直线y=2的两个相邻交点的距离等于求函数的单调增区间。
探究四：公式的综合应用
例7：tan cos+sin-2 cos= .
例 8：求函数f(x)=sinxcosx在上的最大值。
三、方法提升：
1、仔细分析角与角之间的关系是利用两角和与两角差的三角函数公式进行三角函
数求值、化简及证明的关键；
2、熟记、的结构特征和符号，掌握公式的正用和逆用和变形用的方法，
注意整体思维，不要乱套公式；
3、二倍角公式是和角公式的特例，体现了将一般化为特殊的基本数学思想方法，二
倍角的三角函数公式，可以起到转化作用，也可以起到升幂，降幂的作用；
4、在综合化简、求值、证明中，要注意三个角度思考问题，（1）、角的角度；（2）、
函数名称的角度；（3）、式子特点及运算角度。
四、反思感悟
五、课时作业
一、选择题：
1、已知tan=- ,那么的值等于（B ）
A、-
B、-
C、
D、
2、已知cos(-) +sin= ,则sin(+)=( D )
B、C、 D、
3、函数y=cosx(sinx+cosx)的最小值为（ C ）
A、 B、 C、 D、2
4、“sin=”是“cos2”的（A ）
A、充分而不必要条件
B、必要不充分条件
C、充要条件
D、既不充分也不必要条件
5、若(-),cos
(-)= ,=-,cos(+)=( C )
A、 B、- C、 D、
6、若= ,则cos+=( C )
A、 B、- D、
7、 =(C )
A、 B、 2 D、。