高考数学压轴题归纳总结及解题方法专题讲解38---探究代数表达式函数方程来发力

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函数压轴题知识点总结

函数压轴题知识点总结一、函数的概念函数是数学中的一个重要概念，也是高中数学必学的内容。

在数学中，函数是指一个集合到另一个集合的映射关系，其中每一个输入值都会对应一个输出值。

在实际应用中，函数可以用来描述各种自然现象和数理关系，是数学模型的重要组成部分。

二、函数的表示方法函数可以通过多种方式来表示，常见的有解析式、表格、图像等表示方法。

其中，解析式是最常见的表示函数的方式，通常用字母表示自变量、常数和运算符组合成的式子来表示函数。

例如，f(x) = 2x + 3就是一个用解析式表示的函数。

另外，函数还可以通过表格来表示，即将自变量和对应的函数值列成一张表格。

这种表示方法可以直观地看出函数的取值规律。

另外，函数的图像也是一种常见的表示方法。

通过图像可以直观地看出函数的增减性、极值、零点等性质。

三、函数的性质1. 定义域和值域函数的定义域是指自变量的取值范围，而值域是指函数的输出值的范围。

在解析式中，通常可以通过分析解析式找出定义域和值域的范围。

2. 奇偶性奇函数和偶函数是函数的常见性质。

奇函数是指具有f(-x) = -f(x)的性质，而偶函数是指具有f(-x) = f(x)的性质。

通过奇偶性可以对函数的图像进行简化，从而更加直观地表示函数的性质。

3. 单调性函数的单调性是指函数在定义域上的增减关系。

可以通过导数的符号来判断函数的单调性，从而对函数的增减性质有更深入的了解。

4. 极值函数的极值是指函数在一定范围内取得最大值或最小值的点。

通过导数的性质可以判断函数的极值点和极值大小。

5. 零点函数的零点是指函数取值为0的点。

通过分析函数的解析式可以找出函数的零点，从而对函数的图像有更深入的了解。

6. 对称轴对称轴是指函数图像关于某一直线对称。

通过对称轴可以对函数的图像进行简化，从而更好地理解函数的性质。

四、函数的运算函数之间可以进行一系列的运算，包括加减乘除、复合函数、反函数等。

这些运算在解决实际问题中起着重要的作用。

高中数学的归纳函数与方程的常见问题解析与解题技巧

高中数学的归纳函数与方程的常见问题解析与解题技巧数学是一门既有理论基础又有实际应用的学科，对于学生们来说，掌握数学知识和解题技巧是非常重要的。

而在高中数学中，归纳函数与方程是常见的知识点，也是学生们经常遇到的难题。

本文将针对这一知识点，对常见问题进行解析，并分享一些解题技巧供读者参考。

一、归纳函数归纳函数是指根据一个或多个已知的函数值，推导出函数的一个或多个性质，并应用到未知的函数值上。

在高中数学中，归纳函数的常见问题主要包括等差数列、等比数列和二次函数。

1. 等差数列问题：等差数列是指数列中相邻两项之间的差值保持不变。

在解决等差数列问题时，我们需要确定首项、公差以及项数，并运用相应的公式。

例如，给定一个等差数列的前三项为2，5，8，求该等差数列的第n项。

解决步骤如下：首先，计算出公差d = 5 - 2 = 3；然后，利用等差数列通项公式an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，n 为项数，d为公差；带入已知信息，我们可以得到an = 2 + (n-1)3。

2. 等比数列问题：等比数列是指数列中相邻两项之间的比值保持不变。

在解决等比数列问题时，我们需要确定首项、公比以及项数，并运用相应的公式。

例如，给定一个等比数列的前三项为3，6，12，求该等比数列的第n项。

解决步骤如下：首先，计算出公比r = 6 / 3 = 2；然后，利用等比数列通项公式an = a1 * r^(n-1)，其中a1为首项，n为项数，r为公比；带入已知信息，我们可以得到an = 3 * 2^(n-1)。

3. 二次函数问题：二次函数是指函数表达式为ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c为常数，且a不等于0。

在解决二次函数问题时，我们需要确定函数的相关参数，并注意判别式的正负情况。

例如，给定一个二次函数y = x^2 + 2x + 1，求函数的极值点和图像的开口方向。

解决步骤如下：首先，通过求导数，得到一次函数y' = 2x + 2；然后，使一次函数的导数等于0，解方程2x + 2 = 0，可以求得极值点；接着，通过判别式b^2 - 4ac的正负情况，可以确定图像的开口方向。

高中数学代数方程式的解题技巧

高中数学代数方程式的解题技巧在高中数学学习中，代数方程式是一个重要的内容，也是学生们常常遇到的难题之一。

解决代数方程式需要一定的技巧和方法，下面我将以具体的题目为例，介绍一些解题技巧，帮助大家更好地理解和掌握代数方程式的解题方法。

一、一元一次方程一元一次方程是最基础的代数方程式，其一般形式为ax + b = 0。

下面以一个具体的题目为例：例题：求解方程3x + 2 = 0。

解题思路：对于一元一次方程，我们可以通过移项和化简的方法求解。

首先，将方程中的常数项移到等号的另一侧，得到3x = -2。

然后，再通过除以系数的方法，消去x前面的系数，得到x = -2/3。

所以，方程的解为x = -2/3。

解题技巧：对于一元一次方程，我们可以通过移项和化简的方法求解。

在移项时，我们需要将常数项移到等号的另一侧，使得方程变为ax = -b的形式。

然后，通过除以系数的方法，消去x前面的系数，得到方程的解。

二、一元二次方程一元二次方程是高中数学中较为复杂的代数方程式，其一般形式为ax^2 + bx + c = 0。

下面以一个具体的题目为例：例题：求解方程x^2 - 5x + 6 = 0。

解题思路：对于一元二次方程，我们可以通过因式分解、配方法或求根公式等方法求解。

对于这个例题，我们可以通过因式分解的方法求解。

首先，将方程进行因式分解，得到(x - 2)(x - 3) = 0。

然后，根据乘积为零的性质，得到x - 2 = 0或x - 3 = 0。

所以，方程的解为x = 2或x = 3。

解题技巧：对于一元二次方程，我们可以通过因式分解、配方法或求根公式等方法求解。

在因式分解时，我们需要将方程化为两个因式相乘的形式，然后根据乘积为零的性质，得到方程的解。

三、一元高次方程一元高次方程是高中数学中较为复杂的代数方程式，其一般形式为ax^n +bx^(n-1) + ... + c = 0。

下面以一个具体的题目为例：例题：求解方程x^3 - 3x^2 + 2x - 6 = 0。

解密高中数学常见题型解析与实例解答技巧与思路

解密高中数学常见题型解析与实例解答技巧与思路高中数学作为学生普遍认为比较困难的学科之一，经常让同学们感到头疼。

在高中数学学习的过程中，我们会遇到各种不同的题型，有些题目看似简单，实际上需要通过一定的方法和技巧来解答。

本文将针对高中数学常见题型进行解析，并给出实例解答的技巧和思路。

一、代数方程题代数方程题在高中数学中属于基础题型，但也是容易出错的题目之一。

对于一些常见的代数方程题，我们可以采用以下技巧和思路进行解答。

1. 一次方程与二次方程一次方程和二次方程是最基本的代数方程类型。

在解一次方程时，我们可以通过逆向思维来确定未知数的值，即从已知的结果逆推回去。

而对于二次方程，可以利用求根公式或配方法等方式来求解。

2. 分式方程分式方程在解题时需要注意分母不能为零，可以通过通分、消分母等方法来简化方程，进而求解未知数的值。

3. 绝对值方程绝对值方程可以通过分情况讨论的方式来解答。

要注意绝对值的取值范围和绝对值函数的性质。

二、几何题几何题在高中数学中占据重要地位，解几何题需要掌握一定的几何知识和技巧。

以下是一些常见的几何题的解答技巧和思路。

1. 直线与圆的相交问题当直线与圆相交时，我们可以利用相切线的性质和角的性质来解答。

对于特殊情况，如直径、垂径等，需要注意对应的特殊性质。

2. 三角形的面积问题解三角形的面积问题时，可以利用海伦公式、正弦定理、余弦定理等几何定理来求解。

同时要注意计算时的单位换算和精度控制。

3. 圆锥与球的体积问题解圆锥和球的体积问题时，可以利用体积公式进行计算。

要注意单位的统一，对于圆锥的特殊情况如棱锥、斜锥等，需要注意对应的计算方法。

三、概率题概率题是高中数学中的一类难点题型，需要运用概率知识和统计方法来解答。

以下是一些常见的概率题的解答技巧和思路。

1. 条件概率解条件概率题时，需要根据已知条件计算出对应的概率。

可以利用条件概率公式和全概率公式来求解。

2. 排列组合与概率在一些涉及排列组合的概率题中，我们可以通过计算不重复的事件数和总事件数来计算概率。

高考数学：函数与导数压轴题高频考点与破解妙招.doc

高考数学：函数与导数压轴题高频考点与破解妙招1以导数面目包装的函数性质的综合应用有关函数与导数的小题压轴题是新课标全国卷的高频考题，高频题型：①以导数面目包装的函数性质题(单调性、奇偶性、最值等)；②用导数法判断函数f(x)的图象或已知函数图象求参数的取值范围；③函数与集合、不等式、数列、平面向量、新定义等知识相交汇．【命题意图】本题主要考查函数与导数、函数的单调性、函数的最值、函数的零点等知识，意在考查考生的化归与转化能力、数形结合能力和运算求解能力．【攻略秘籍】破解以导数面目包装的函数性质综合题需过双关：第一关是“还原关”，即先还原出函数的解析式；第二关是“数形关”，即不等式恒成立问题与有解问题多需要数形结合，即可轻松解决．2利用导数研究函数的单调性、极值与最值利用导数研究函数的单调性、极值与最值是高考的一棵“常青树”，高频题型：①判断函数f(x)的单调性或求函数f(x)的单调区间；②求函数f(x)的最值或极值；③由函数的单调区间、最值或极值求参数的值．【命题意图】本题主要考查函数的极值、利用函数的单调性求参数的取值范围，意在考查分类讨论思想和方程思想，考查考生的化归与转化能力、运算求解能力．【攻略秘籍】破解此类题的关键：一是方程思想，即对于含有参数的可导函数有极值的关键是对参数进行分类讨论，并寻找其导数为零的根，以及在根的左、右两侧导数的符号；二是转化思想，即可导函数f(x)在某个区间D内单调递增(或递减)，则有f ′(x)≥0(或f ′(x)≤0)在区间D内恒成立，从而把已知函数的单调性问题转化为恒成立问题来解决，这里需注意“＝”的情形．3函数、导数与零点相交汇如稍加留神，便可以发现，函数、导数与函数的零点(方程的根)相交汇的考题在近年的高考中扮演着重要的角色，高频题型：①判断函数的零点(方程的根)的个数问题；②已知函数在给定区间的零点(方程在给定区间的解)的情况，求参数的取值范围或证明不等式成立．【命题意图】本题主要考查函数的零点、函数的最值、导数及其应用、基本不等式等知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识．【攻略秘籍】破解此类难题要过好三关：第一关，应用关，即利用导数法求函数的单调区间与最值，一般是求导数，在定义域范围内，令导函数大于(小于)零，得其单调递增(减)区间，从而求出函数的单调区间，再由函数的单调性，可求其最值；第二关，转化关，即把判断函数的零点个数问题转化为判断函数最值的符号问题；第三关，构造函数关，即通过构造函数，把比较大小问题转化为判断函数的单调性问题．4函数、导数与不等式相交汇函数、导数与不等式相交汇的试题是2015年高考题中比较“抢眼”的一种题型．对于只含有一个变量的不等式问题，常通过构造函数，利用函数的单调性和极值来证明，高频题型：①用导数法解决含参不等式恒成立问题；②用导数法解决含参不等式有解问题；③证明不等式．【命题意图】本题主要考查函数的单调性与极值点、不等式恒成立问题、证明不等式等知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想．【攻略秘籍】破解此类不等式证明的关键是通过构造函数、利用导数法判断函数的单调性来证明不等式．根据题设条件的结构特征构造一个函数，一是需要预设与所证不等式有相同的结构；二是需要熟练掌握简单复合函数的求导变换．不等式恒成立求参数的取值范围常利用“分离参数法”，也可以单刀直入地利用导数法，通过分类讨论使问题获解．注意恒成立问题与能成立问题的区别．从以上四例可以看出，只要我们对“函数与导数类”压轴题常见类型心中有数，把握其实质，掌握其规律，规范其步骤，做到“胸中有法”，那么不论高考“函数与导数类”压轴题的构思多么新颖，我们都能做到以不变应万变，此类压轴题就能迎刃而解．。

数学压轴题知识点总结

数学压轴题知识点总结数学压轴题在学生的学习中扮演着至关重要的角色，它是学生学习成果的反映，是学生取得优异成绩的必备条件之一。

因此，解题技巧和知识点掌握必须得到充分的关注和培养。

下面将从数学分析、代数、几何、概率与统计等几个方面总结数学压轴题的知识点和解题技巧。

一、数学分析数学分析是数学中非常重要的一个分支，它涉及到微积分、级数、微分方程等多个领域，具有非常广泛的应用。

在数学分析的学习中，学生需要掌握微分法、积分法、微分方程和级数等知识点。

1.微分法微分是微积分的基础，它是一种测量函数值随自变量变化而变化的速率的方法。

微分的定义是函数在某点处的导数，它的计算需要掌握一些基本的导数公式和求导的方法，如常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等的导数公式，以及求导的基本法则，如和差法、积率法、商率法、复合函数的导数法则等。

2.积分法积分是微积分的另一个重要内容，它是对函数在一定区间上的变化求和的过程。

积分的计算需要掌握一些基本的积分公式和积分计算的方法，如换元积分法、分部积分法、有理函数的积分、三角函数的积分、反常积分等。

3.微分方程微分方程是微积分与方程相统一的产物，它描述了自变量与函数及其导数之间的关系。

微分方程的解法主要有分离变量法、线性微分方程的求解、恰当微分方程、非齐次线性微分方程、常系数线性微分方程等。

4.级数级数是一种特殊的数列，它是无穷多项之和的一种形式。

级数的收敛性和求和技巧是10压轴题中常见的考点，学生需要了解级数的收敛与发散的概念，并掌握级数的求和方法，如伯努利、不等式、定积分法等。

5.解题技巧在数学分析的学习中，学生需要培养一些解题的技巧，如运用微积分运算符号解题、掌握微积分中各种运算法则、熟悉微分方程的基本解法、掌握级数的收敛性和求和方法等。

二、代数代数是数学中重要的一个分支，它研究在一定范围内的数字、函数和代数结构的性质。

在代数的学习中，学生需要掌握方程、不等式、函数、数列、矩阵等知识点。

2024高考数学代数知识点总结与题型解析

2024高考数学代数知识点总结与题型解析导言：随着2024年高考的临近，数学作为学科中的重要组成部分，扮演着至关重要的角色。

而其中的代数知识点更是考生需要重点关注的内容。

本文将对2024高考数学中的代数知识点进行总结与解析，帮助广大考生更好地备考。

一、一元一次方程与不等式1. 一元一次方程一元一次方程是高中数学的基础，涉及到的内容包括方程的解法、解集的表示形式、应用题等。

考生在备考过程中应特别注重方程解法的掌握，如消元法、代入法、加减法等。

2. 一元一次不等式与一元一次方程类似，一元一次不等式主要涉及到不等式的解集表示及其在实际问题中的应用。

考生需要熟练掌握不等式解的性质和图解法，以及利用不等式模型解决实际问题的方法。

二、二元一次方程组1. 二元一次方程的解法二元一次方程组的解法有多种，常见的有代入法、消元法及矩阵法等。

考生在备考过程中应掌握各种解法的使用条件和步骤，并能够熟练地运用于实际问题中。

2. 二元一次方程组的应用二元一次方程组在实际问题中的应用非常广泛，如线性规划、消费均衡等。

考生需要理解并熟练掌握如何根据具体问题建立相应的方程组，并正确地解答相关问题。

三、二次函数及其图像1. 二次函数的性质二次函数是高考数学中的重要内容之一，考生需要了解二次函数的定义、图像特征（平移、翻折等）、单调性等基本性质，并能够应用到相关题型中。

2. 二次函数图像的分析考生需要通过求解二次函数的判别式来分析二次函数图像的开口方向、零点、极值、对称轴等信息，并在此基础上解答与图像相关的题目。

四、立体几何1. 立体几何基本概念立体几何是高中数学中的一个难点，涉及到的内容包括平面与空间的相交、平面与直线的位置关系、立体图形的投影等。

考生需要熟悉各种基本概念及其性质，以便正确解答与其相关的题目。

2. 空间几何体的体积与表面积立体几何体的体积与表面积是考生需要掌握的重要内容。

在备考过程中，考生应了解各种几何体的体积与表面积计算公式，并能够通过具体参数计算相关数值。

高考数学压轴题解题技巧和方法

圆锥曲线的解题技巧一、常规七大题型：1中点弦问题具有斜率的弦中点问题,常用设而不求法点差法：设曲线上两点为(,)x y 11,(,)x y 22,代入方程,然后两方程相减,再应用中点关系及斜率公式当然在这里也要注意斜率不存在的请款讨论,消去四个参数;如：1)0(12222>>=+b a by a x 与直线相交于A 、B,设弦AB 中点为Mx 0,y 0,则有02020=+k by a x ; 2)0,0(12222>>=-b a by a x 与直线l 相交于A 、B,设弦AB 中点为Mx 0,y 0则有02020=-k by a x 3y 2=2pxp>0与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为Mx 0,y 0,则有2y 0k=2p,即y 0k=p.典型例题给定双曲线x y 2221-=;过A2,1的直线与双曲线交于两点P 1 及P 2,求线段P 1P 2的中点P 的轨迹方程;2焦点三角形问题椭圆或双曲线上一点P,与两个焦点F 1、F 2构成的三角形问题,常用正、余弦定理搭桥;典型例题设Px,y 为椭圆x a y b22221+=上任一点,F c 10(,)-,F c 20(,)为焦点,∠=PF F 12α,∠=PF F 21β; 1求证离心率βαβαsin sin )sin(++=e ；2求|||PF PF 1323+的最值;3直线与圆锥曲线位置关系问题直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组,进而转化为一元二次方程后利用判别式、根与系数的关系、求根公式等来处理,应特别注意数形结合的思想,通过图形的直观性帮助分析解决问题,如果直线过椭圆的焦点,结合三大曲线的定义去解;典型例题抛物线方程，直线与轴的交点在抛物线准线的右边。

y p x p x y t x 210=+>+=()() 1求证：直线与抛物线总有两个不同交点2设直线与抛物线的交点为A 、B,且OA ⊥OB,求p 关于t 的函数ft 的表达式;4圆锥曲线的相关最值范围问题圆锥曲线中的有关最值范围问题,常用代数法和几何法解决;<1>若命题的条件和结论具有明显的几何意义,一般可用图形性质来解决;<2>若命题的条件和结论体现明确的函数关系式,则可建立目标函数通常利用二次函数,三角函数,均值不等式求最值;1,可以设法得到关于a 的不等式,通过解不等式求出a 的范围,即：“求范围,找不等式”;或者将a 表示为另一个变量的函数,利用求函数的值域求出a 的范围；对于2首先要把△NAB 的面积表示为一个变量的函数,然后再求它的最大值,即：“最值问题,函数思想”;最值问题的处理思路：1、建立目标函数;用坐标表示距离,用方程消参转化为一元二次函数的最值问题,关键是由方程求x 、y 的范围；2、数形结合,用化曲为直的转化思想；3、利用判别式,对于二次函数求最值,往往由条件建立二次方程,用判别式求最值；4、借助均值不等式求最值; 典型例题已知抛物线y 2=2pxp>0,过Ma,0且斜率为1的直线L 与抛物线交于不同的两点A 、B,|AB|≤2p1求a 的取值范围；2若线段AB 的垂直平分线交x 轴于点N,求△NAB 面积的最大值;5求曲线的方程问题1．曲线的形状已知--------这类问题一般可用待定系数法解决; 典型例题已知直线L 过原点,抛物线C 的顶点在原点,焦点在x 轴正半轴上;若点A-1,0和点B0,8关于L 的对称点都在C 上,求直线L 和抛物线C 的方程; 2．曲线的形状未知-----求轨迹方程典型例题已知直角坐标平面上点Q2,0和圆C ：x 2+y 2=1, 动点M 到圆C 的切线长与|MQ|的比等于常数λλ>0,求动点M 的轨迹方程,并说明它是什么曲线;6 存在两点关于直线对称问题在曲线上两点关于某直线对称问题,可以按如下方式分三步解决：求两点所在的直线,求这两直线的交点,使这交点在圆锥曲线形内;当然也可以利用韦达定理并结合判别式来解决典型例题已知椭圆C 的方程x y 22431+=,试确定m 的取值范围,使得对于直线y x m =+4,椭圆C 上有不同两点关于直线对称7两线段垂直问题圆锥曲线两焦半径互相垂直问题,常用k k y y x x 1212121···==-来处理或用向量的坐标运算来处理;典型例题已知直线l 的斜率为k ,且过点P (,)-20,抛物线C y x :()241=+,直线l 与抛物线C 有两个不同的交点如图; 1求k 的取值范围；2直线l 的倾斜角θ为何值时,A 、B 与抛物线C 的焦点连线互相垂直;四、解题的技巧方面：在教学中,学生普遍觉得解析几何问题的计算量较大;事实上,如果我们能够充分利用几何图形、韦达定理、曲线系方程,以及运用“设而不求”的策略,往往能够减少计算量;下面举例说明：1充分利用几何图形解析几何的研究对象就是几何图形及其性质,所以在处理解析几何问题时,除了运用代数方程外,充分挖掘几何条件,并结合平面几何知识,这往往能减少计算量;典型例题设直线340x y m ++=与圆x y x y 2220++-=相交于P 、Q 两点,O 为坐标原点,若OP OQ ⊥,求m 的值;2 充分利用韦达定理及“设而不求”的策略我们经常设出弦的端点坐标而不求它,而是结合韦达定理求解,这种方法在有关斜率、中点等问题中常常用到;典型例题已知中心在原点O,焦点在y 轴上的椭圆与直线y x =+1相交于P 、Q 两点,且OP OQ ⊥,||PQ =102,求此椭圆方程; 3 充分利用曲线系方程利用曲线系方程可以避免求曲线的交点,因此也可以减少计算;典型例题求经过两已知圆C x y x y 122420：+-+=和C x y y 22224：+--=0的交点,且圆心在直线l ：2410x y +-=上的圆的方程;4充分利用椭圆的参数方程椭圆的参数方程涉及到正、余弦,利用正、余弦的有界性,可以解决相关的求最值的问题．这也是我们常说的三角代换法;典型例题 P 为椭圆22221x y a b+=上一动点,A 为长轴的右端点,B 为短轴的上端点,求四边形OAPB 面积的最大值及此时点P 的坐标;5线段长的几种简便计算方法① 充分利用现成结果,减少运算过程一般地,求直线与圆锥曲线相交的弦AB 长的方法是：把直线方程y kx b =+代入圆锥曲线方程中,得到型如ax bx c 20++=的方程,方程的两根设为x A ,x B ,判别式为△,则||||AB k x x A B =+-=12·||12a k △·+,若直接用结论,能减少配方、开方等运算过程;例求直线x y -+=10被椭圆x y 22416+=所截得的线段AB 的长; ② 结合图形的特殊位置关系,减少运算在求过圆锥曲线焦点的弦长时,由于圆锥曲线的定义都涉及焦点,结合图形运用圆锥曲线的定义,可回避复杂运算;例 F 1、F 2是椭圆x y 222591+=的两个焦点,AB 是经过F 1的弦,若||AB =8,求值||||22B F A F +③ 利用圆锥曲线的定义,把到焦点的距离转化为到准线的距离例点A3,2为定点,点F 是抛物线y x 24=的焦点,点P 在抛物线y 2=4x 上移动,若||||PA PF +取得最小值,求点P 的坐标;圆锥曲线解题方法技巧归纳第一、知识储备： 1. 直线方程的形式1直线方程的形式有五件：点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式; 2与直线相关的重要内容 ①倾斜角与斜率tan ,[0,)k ααπ=∈②点到直线的距离d = ③夹角公式：2121tan 1k k k k α-=+3弦长公式直线y kx b =+上两点1122(,),(,)A x y B x y 间的距离：12AB x =-=或12AB y y =- 4两条直线的位置关系①1212l l k k ⊥⇔=-1 ② 212121//b b k k l l ≠=⇔且 2、圆锥曲线方程及性质1、椭圆的方程的形式有几种三种形式标准方程：221(0,0)x y m n m n m n+=>>≠且2a = 参数方程：cos ,sin x a y b θθ== 2、双曲线的方程的形式有两种标准方程：221(0)x y m n m n+=⋅<距离式方程：|2a = 3、三种圆锥曲线的通径你记得吗 4、圆锥曲线的定义你记清楚了吗如：已知21F F 、是椭圆13422=+y x 的两个焦点,平面内一个动点M 满足221=-MF MF 则动点M 的轨迹是A 、双曲线；B 、双曲线的一支；C 、两条射线；D 、一条射线 5、焦点三角形面积公式：122tan 2F PF P b θ∆=在椭圆上时，S其中2221212121212||||4,cos ,||||cos ||||PF PF c F PF PF PF PF PF PF PF θθθ+-∠==•=⋅6、记住焦半径公式：100;x a ex a ey ±±椭圆焦点在轴上时为焦点在y 轴上时为,可简记为“左加右减,上加下减”;20||x e x a ±双曲线焦点在轴上时为311||,||22p p x x y ++抛物线焦点在轴上时为焦点在y 轴上时为 6、椭圆和双曲线的基本量三角形你清楚吗第二、方法储备1、点差法中点弦问题设()11,y x A 、()22,y x B ,()b a M ,为椭圆13422=+y x 的弦AB 中点则有1342121=+y x ,1342222=+y x ；两式相减得()()03422212221=-+-y yx x⇒()()()()3421212121y y y y x x x x +--=+-⇒AB k =ba 43-2、联立消元法：你会解直线与圆锥曲线的位置关系一类的问题吗经典套路是什么如果有两个参数怎么办设直线的方程,并且与曲线的方程联立,消去一个未知数,得到一个二次方程,使用判别式0∆≥,以及根与系数的关系,代入弦长公式,设曲线上的两点1122(,),(,)A x y B x y ,将这两点代入曲线方程得到错误!错误!两个式子,然后错误!-错误!,整体消元······,若有两个字母未知数,则要找到它们的联系,消去一个,比如直线过焦点,则可以利用三点A 、B 、F 共线解决之;若有向量的关系,则寻找坐标之间的关系,根与系数的关系结合消元处理;一旦设直线为y kx b =+,就意味着k 存在;例1、已知三角形ABC 的三个顶点均在椭圆805422=+y x 上,且点A 是椭圆短轴的一个端点点A 在y 轴正半轴上.1若三角形ABC 的重心是椭圆的右焦点,试求直线BC 的方程; 2若角A 为090,AD 垂直BC 于D,试求点D 的轨迹方程.分析：第一问抓住“重心”,利用点差法及重心坐标公式可求出中点弦BC 的斜率,从而写出直线BC 的方程;第二问抓住角A 为090可得出AB ⊥AC,从而得016)(14212121=++-+y y y y x x ,然后利用联立消元法及交轨法求出点D 的轨迹方程；解：1设B 1x ,1y ,C 2x ,2y ,BC 中点为00,y x ,F2,0则有11620,1162022222121=+=+y x y x两式作差有16))((20))((21212121=+-+-+y y y y x x x x 04500=+ky x 1 F2,0为三角形重心,所以由2321=+x x ,得30=x ,由03421=++y y 得20-=y ,代入1得56=k直线BC 的方程为02856=--y x2由AB ⊥AC 得016)(14212121=++-+y y y y x x 2设直线BC 方程为8054,22=++=y x b kx y 代入,得080510)54(222=-+++b bkx x k2215410k kbx x +-=+,222154805k b x x +-= 2222122154804,548k k b y y k k y y +-=+=+ 代入2式得 0541632922=+--k b b ,解得)(4舍=b 或94-=b直线过定点0,)94-,设Dx,y,则1494-=-⨯+xy x y ,即016329922=--+y x y 所以所求点D 的轨迹方程是)4()920()916(222≠=-+y y x ;4、设而不求法例2、如图,已知梯形ABCD 中CDAB2=,点E 分有向线段AC 所成的比为λ,双曲线过C 、D 、E 三点,且以A 、B 为焦点当4332≤≤λ时,求双曲线离心率e 的取值范围;分析：本小题主要考查坐标法、定比分点坐标公式、双曲线的概念和性质,推理、运算能力和综合运用数学知识解决问题的能力;建立直角坐标系xOy ,如图,若设C ⎪⎭⎫⎝⎛h c , 2,代入12222=-b y a x ,求得h =,进而求得,,E E x y ==再代入12222=-b y a x ,建立目标函数(,,,)0f a b c λ=,整理(,)0f e λ=,此运算量可见是难上加难.我们对h 可采取设而不求的解题策略,建立目标函数(,,,)0f a b c λ=,整理(,)0f e λ=,化繁为简.解法一：如图,以AB 为垂直平分线为y 轴,直线AB 为x 轴,建立直角坐标系xOy ,则CD ⊥y 轴因为双曲线经过点C 、D,且以A 、B 为焦点,由双曲线的对称性知C 、D 关于y 轴对称依题意,记A ()0 ,c -,C ⎪⎭⎫ ⎝⎛h c , 2,E ()00 ,y x ,其中||21AB c =为双曲线的半焦距,h 是梯形的高,由定比分点坐标公式得()()122120+-=++-=λλλλc cc x , λλ+=10h y设双曲线的方程为12222=-by a x ,则离心率a ce =由点C 、E 在双曲线上,将点C 、E 的坐标和ac e =代入双曲线方程得 14222=-b h e , ①11124222=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-bh e λλλλ ②由①式得14222-=e b h , ③将③式代入②式,整理得 ()λλ214442+=-e , 故1312+-=e λ由题设4332≤≤λ得,43231322≤+-≤e 解得 107≤≤e所以双曲线的离心率的取值范围为[]10, 7分析：考虑,AE AC 为焦半径,可用焦半径公式, ,AE AC 用,E C 的横坐标表示,回避h 的计算, 达到设而不求的解题策略．解法二：建系同解法一,(),E C AE a ex AC a ex =-+=+,()()22121E cc c x λλλλ-+-==++,又1AE AC λλ=+,代入整理1312+-=e λ,由题设4332≤≤λ得,43231322≤+-≤e 解得107≤≤e所以双曲线的离心率的取值范围为[]10, 75、判别式法例3已知双曲线122:22=-x yC ,直线l 过点()0,2A ,斜率为k ,当10<<k 时,双曲线的上支上有且仅有一点B 到直线l 的距离为2,试求k 的值及此时点B 的坐标;分析1：解析几何是用代数方法来研究几何图形的一门学科,因此,数形结合必然是研究解析几何问题的重要手段. 从“有且仅有”这个微观入手,对照草图,不难想到：过点B 作与l 平行的直线,必与双曲线C 相切. 而相切的代数表现形式是所构造方程的判别式0=∆. 由此出发,可设计如下解题思路：()10)2(:<<-=k x k y l解题过程略.分析2：如果从代数推理的角度去思考,就应当把距离用代数式表达,即所把直线l ’的方程代入双曲线方程,消去y ,令判别式0=∆直线l ’在l 的上方且到直线l 的距离为2谓“有且仅有一点B 到直线l 的距离为2”,相当于化归的方程有唯一解. 据此设计出如下解题思路：,则点M 到直线l 的距离. 由于10<<k ,所以kx x x >>+22,从而有于是关于x 的方程()*由10<<k 可知：方程()()()022)1(22)1(22122222=--++-++-k k x k k k x k 的二根同正,故02)1(22>+-+kx k k 恒成立,于是()*等价于()()()022)1(22)1(22122222=--++-++-k kx k k k x k.由如上关于x 的方程有唯一解,得其判别式0=∆,就可解得 552=k . 点评：上述解法紧扣解题目标,不断进行问题转换,充分体现了全局观念与整体思维的优越性.例4已知椭圆C:x y 2228+=和点P4,1,过P 作直线交椭圆于A 、B 两点,在线段AB 上取点Q,使AP PB AQQB=-,求动点Q 的轨迹所在曲线的方程. 分析：这是一个轨迹问题,解题困难在于多动点的困扰,学生往往不知从何入手;其实,应该想到轨迹问题可以通过参数法求解. 因此,首先是选定参数,然后想方设法将点Q 的横、纵坐标用参数表达,最后通过消参可达到解题的目的.由于点),(y x Q 的变化是由直线AB 的变化引起的,自然可选择直线AB 的斜率k 作为参数,如何将y x ,与k 联系起来一方面利用点Q 在直线AB 上；另一方面就是运用题目条件：AP PB AQQB=-来转化.由A 、B 、P 、Q 四点共线,不难得到)(82)(4B A BA B A x x x x x x x +--+=,要建立x 与k 的关系,只需将直线AB 的方程代入椭圆C 的方程,利用韦达定理即可.通过这样的分析,可以看出,虽然我们还没有开始解题,但对于如何解决本题,在得到()k f x =到关于y x ,()k f 即可得到轨迹方程;简解：设(,1x A 解之得：)(84212121x x x +-= 1设直线AB 的方程为：1)4(+-=x k y ,代入椭圆C 的方程,消去y 得出关于 x 的一元二次方程：()08)41(2)41(412222=--+-++k x k k x k2∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+--=+-=+.128)41(2,12)14(42221221k k x x k k k x x 代入1,化简得：.234++=k k x 3与1)4(+-=x k y 联立,消去k 得：().0)4(42=--+x y x 在2中,由02464642>++-=∆k k ,解得41024102+<<-k ,结合3可求得.910216910216+<<-x故知点Q 的轨迹方程为：042=-+y x 910216910216+<<-x .点评：由方程组实施消元,产生一个标准的关于一个变量的一元二次方程,其判别式、韦达定理模块思维易于想到. 这当中,难点在引出参,活点在应用参,重点在消去参.,而“引参、用参、消参”三步曲,正是解析几何综合问题求解的一条有效通道. 6、求根公式法例5设直线l 过点P0,3,和椭圆x y 22941+=顺次交于A 、B 两点,试求APPB的取值范围.分析：本题中,绝大多数同学不难得到：AP PB=BA x x -,但从此后却一筹莫展, 问题的根源在于对题目的整体把握不够. 事实上,所谓求取值范围,不外乎两条路：其一是构造所求变量关于某个或某几个参数的函数关系式或方程,这只需利用对应的思想实施；其二则是构造关于所求量的一个不等关系.分析1: 从第一条想法入手,AP PB =BA x x-已经是一个关系式,但由于有两个变量B A x x ,,同时这两个变量的范围不好控制,所以自然想到利用第3个变量——直线AB 的斜率k . 问题就转化为如何将B A x x ,转化为关于k 的表达式,到此为止,将直线方程代入椭圆方程,消去y 得出关于x 的一元二次方程,其求根公式呼之欲出.51-=PB AP ; )2y ,直线l 的方程为：3+=kx y ,代入椭解之得.4959627222,1+-±-=k k k x 因为椭圆关于y 轴对称,点P 在y 轴上,所以只需考虑0>k 的情形. 当0>k 时,4959627221+-+-=k k k x ,4959627222+---=k k k x , 所以 21x x PB AP -==5929592922-+-+-k k k k =59291812-+-k k k =25929181k -+-.由 ()049180)54(22≥+--=∆k k , 解得 952≥k ,所以 51592918112-<-+-≤-k , 综上 511-≤≤-PB AP .分析2: 如果想构造关于所求量的不等式,则应该考虑到：判别式往往是产生不等的根源. 由判别式值的非负性可以很快确定k 的取值范围,于是问题转化为如何将所求量与k 联系起来. 一般来说,韦达定理总是充当这种问题的桥梁,但本题无法直接应用韦达定理,原因在于21x x PB AP-=不是关于21,x x 的对称关系式. 原因找到后,解决问题的方法自然也就有了,即我们可以构造关于21,x x 的对称关系式.简解2,消去y 得则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+2121x x x x 令λ=21x x ,在中,由判别式,0≥∆可得 952≥k , 从而有5362045324422≤+≤k k ,所以 536214≤++≤λλ,解得 551≤≤λ. 结合10≤<λ得151≤≤λ. 综上,511-≤≤-PB AP . 点评：范围问题不等关系的建立途径多多,诸如判别式法,均值不等式法,变量的有界性法,函数的性质法,数形结合法等等. 本题也可从数形结合的角度入手,给出又一优美解法.解题犹如打仗,不能只是忙于冲锋陷阵,一时局部的胜利并不能说明问题,有时甚至会被局部所纠缠而看不清问题的实质所在,只有见微知着,树立全局观念,讲究排兵布阵,运筹帷幄,方能决胜千里.第三、推理训练：数学推理是由已知的数学命题得出新命题的基本思维形式,它是数学求解的核心;以已知的真实数学命题,即定义、公理、定理、性质等为依据,选择恰当的解题方法,达到解题目标,得出结论的一系列推理过程;在推理过程中,必须注意所使用的命题之间的相互关系充分性、必要性、充要性等,做到思考缜密、推理严密;通过编写思维流程图来锤炼自己的大脑,快速提高解题能力;例6椭圆长轴端点为B A ,,O 为椭圆中心,F 为椭圆的右焦点,且1=⋅FB AF 1=．Ⅰ求椭圆的标准方程；Ⅱ记椭圆的上顶点为M ,直线l 交椭圆于Q P ,两点,问：是否存在直线l ,使点F 恰为PQM ∆的垂心若存在,求出直线l 的方程;若不存在,请说明理由;思维流程：ⅠⅡ消元,22a ba b>>又∵1=⋅FBAF即22()()1a c a c a c+⋅-==-,∴22a=故椭圆方程为2212xy+=Ⅱ假设存在直线l交椭圆于QP,两点,且F恰为PQM∆的垂心,则设1122(,),(,)P x y Q x y,∵(0,1),(1,0)M F,故1=PQk,于是设直线l为y x m=+,由2222y x mx y=+⎧⎨+=⎩得,2234220x mx m++-=∵12210(1)(1)MP FQ x x y y⋅==-+-又(1,2)i iy x m i=+=得1221(1)()(1)0x x x m x m-+++-=即212122()(1)0x x x x m m m++-+-=由韦达定理得解得43m=-或1m=舍经检验43m=-符合条件．点石成金：垂心的特点是垂心与顶点的连线垂直对边,然后转化为两向量乘积为零．例7、已知椭圆E的中心在坐标原点,焦点在坐标轴上,且经过(2,0)A-、(2,0)B、31,2C⎛⎫⎪⎝⎭三点．Ⅰ求椭圆E 的方程：Ⅱ若点D 为椭圆E 上不同于A 、B 的任意一点,(1,0),(1,0)F H -,当ΔDFH 内切圆的面积最大时,求ΔDFH 内心的坐标；ⅠⅡ41,914m m n =⎧⎪⎨+=⎪⎩解得11,43m n ==.∴椭圆E 的方程22143x y += ．Ⅱ||2FH =,设ΔDFH 边上的高为h h S DFH =⨯⨯=∆221当点D 在椭圆的上顶点时,h ,所以DFH S ∆．设ΔDFH 的内切圆的半径为R ,因为ΔDFH 的周长为定值6．所以,621⨯=∆R S DFH 所以R 的最大值为3．所以内切圆圆心的坐标为.点石成金：的内切圆的内切圆的周长∆∆⨯∆⨯=r S 21例8、已知定点)01(，-C 及椭圆5322=+y x ,过点C 的动直线与椭圆相交于A B ，两点.Ⅰ若线段AB 中点的横坐标是12-,求直线AB 的方程；Ⅱ在x 轴上是否存在点M ,使MB MA ⋅为常数若存在,求出点M 的坐标；若不存在,请说明理由.思维流程：Ⅰ解：依题意,直线AB 的斜率存在,设直线AB 的方程为(1)y k x =+, 将(1)y k x =+代入5322=+y x , 消去y 整理得 2222(31)6350.k x k x k +++-=设1122() () A x y B x y ，，，，则4222122364(31)(35)0 (1) 6. (2)31k k k k x x k ⎧∆=-+->⎪⎨+=-⎪+⎩，由线段AB 中点的横坐标是12-, 得2122312312x x k k +=-=-+,解得k =,符合题意;所以直线AB 的方程为10x -+=,或10x +=. Ⅱ解：假设在x 轴上存在点(,0)M m ,使MB MA ⋅为常数.① 当直线AB 与x 轴不垂直时,由Ⅰ知 22121222635. (3)3131k k x x x x k k -+=-=++，所以212121212()()()()(1)(1)MA MB x m x m y y x m x m k x x ⋅=--+=--+++22221212(1)()().k x x k m x x k m =++-+++将(3)代入,整理得222222114(2)(31)2(61)5333131m k m m k MA MB m m k k -+----⋅=+=+++2216142.33(31)m m m k +=+--+ 注意到MB MA ⋅是与k 无关的常数, 从而有761403m m +==-，, 此时4.9MA MB ⋅= ② 当直线AB 与x 轴垂直时,此时点A B ，的坐标分别为11⎛⎛-- ⎝⎝、,当73m =-时, 亦有4.9MA MB ⋅=综上,在x 轴上存在定点703M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，,使MB MA ⋅为常数.点石成金：222222114(2)(31)2(61)5333131m k m m k MA MB m m k k -+----⋅=+=+++例9、已知椭圆的中心在原点,焦点在x 轴上,长轴长是短轴长的2倍且经过点M2,1,平行于OM 的直线l 在y 轴上的截距为mm ≠0,l 交椭圆于A 、B 两个不同点;Ⅰ求椭圆的方程； Ⅱ求m 的取值范围；Ⅲ求证直线MA 、MB 与x 轴始终围成一个等腰三角形. 思维流程：解：1设椭圆方程为)0(12222>>=+b a by a x则⎪⎩⎪⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧=+=2811422222b a b a b a 解得 ∴椭圆方程为12822=+y xⅡ∵直线l 平行于OM,且在y 轴上的截距为m 又K OM =21m x y l +=∴21的方程为：由0422128212222=-++∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=m mx x y x m x y ∵直线l 与椭圆交于A 、B 两个不同点,,22,0)42(4)2(22≠<<->--=∆∴m m m m 且解得Ⅲ设直线MA 、MB 的斜率分别为k 1,k 2,只需证明k 1+k 2=0即可设42,2),,(),,(221212211-=-=+m x x m x x y x B y x A 且则21,21222111--=--=x y k x y k 由可得042222=-++m mx x 而)2)(2()2)(1()2()1(2121211221221121----+---=--+--=+x x x y x y x y x y k k故直线MA 、MB 与x 轴始终围成一个等腰三角形.点石成金：直线MA 、MB 与x 轴始终围成一个等腰三角形⇔021=+k k例10、已知双曲线12222=-by a x 的离心率332=e ,过),0(),0,(b B a A -的直线到原点的距离是.231求双曲线的方程；2已知直线)0(5≠+=k kx y 交双曲线于不同的点C,D 且C,D 都在以B 为圆心的圆上,求k 的值. 思维流程：解：∵1,332=a c 原点到直线AB ：1=-bya x 的距离.3,1.2322==∴==+=a b c ab b a ab d .故所求双曲线方程为 .1322=-y x2把33522=-+=y x kx y 代入中消去y ,整理得07830)31(22=---kx x k .设CD y x D y x C ),,(),,(2211的中点是),(00y x E ,则即7,0,03153115222=∴≠=+-+-k k k kk k k 又故所求k=±7.点石成金: C,D 都在以B 为圆心的圆上⇔BC=BD ⇔BE ⊥CD;例11、已知椭圆C 的中心在坐标原点,焦点在x 轴上,椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3,最小值为1． Ⅰ求椭圆C 的标准方程；II 若直线:l y =k x +m 与椭圆C 相交于A 、B 两点A 、B 不是左右顶点,且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点．求证：直线l 过定点,并求出该定点的坐标．思维流程：解：Ⅰ由题意设椭圆的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>,由已知得：31a c a c +=-=，,222213a cb ac ==∴=-=，，∴椭圆的标准方程为22143x y +=． II 设1122()()A x y B x y ，，，．联立221.43y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得 222(34)84(3)0k x mkx m +++-=,则又22221212121223(4)()()()34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k-=++=+++=+．因为以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点(20)D ，,1AD BD k k ∴=-,即1222211-=-⋅-x y x y . 1212122()40y y x x x x ∴+-++=．2222223(4)4(3)1540343434m k m mk k k k--∴+++=+++． 2271640m mk k ∴++=．解得：12227km k m =-=-，,且均满足22340k m +->．当12m k =-时,l 的方程(2)y k x =-,直线过点(20)，,与已知矛盾；当227k m =-时,l 的方程为27y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,直线过定点207⎛⎫⎪⎝⎭，．所以,直线l 过定点,定点坐标为207⎛⎫ ⎪⎝⎭，．点石成金：以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点⇔ CA ⊥CB; 例12、已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左右两个焦点分别为21F F 、,点P 在双曲线右支上.Ⅰ若当点P 的坐标为)516,5413(时,21PF PF ⊥,求双曲线的方程；Ⅱ若||3||21PF PF =,求双曲线离心率e 的最值,并写出此时双曲线的渐进线方程. 思维流程：解：Ⅰ法一由题意知,1PF )516,5413(---=c , 2PF )516,5413(--=c , 21PF PF ⊥,,021=⋅∴PF PF )5413(--∴c 0)516()5413(2=-+-c 1分解得5,252=∴=c c . 由双曲线定义得: ,2||||21a PF PF =-2222)516()54135()516()54135(2-+---+--=∴a 6)341()341(22=--+=,4,3==∴b a∴所求双曲线的方程为: 116922=-y x法二因21PF PF ⊥,由斜率之积为1-,可得解. Ⅱ设2211||,||r PF r PF ==, 法一设P的坐标为),( y x , 由焦半径公式得aex ex a r ex a ex a r -=-=+=+= ||,||21,ca x a ex ex a r r 2212),(3,3=∴-=+∴= ,,2,2a c a a x ≥∴≥ c a ≥∴2,e ∴的最大值为2,无最小值.此时31,2222=-=-==e aa c ab ac , ∴此时双曲线的渐进线方程为x y 3±=法二设θ=∠21PF F ,],0(πθ∈.1当πθ=时, 22121423,2r c r r c r r =∴==+，且 , 22122r r r a =-=此时2242222===r r a c e . 2当），（πθ0∈,由余弦定理得: θθcos 610cos 2222222122212r r r r r r c -=-+=）（∴2cos 6102cos 6102222θθ-=-⋅==r r a c e ,)1,1(cos -∈θ ,)2,1(∈∴e ,综上,e 的最大值为2,但e 无最小值. 以下法一附：1.圆锥曲线的两个定义：1第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中,与两个定点F 1,F 2的距离的和等于常数2a ,且此常数2a 一定要大于21F F ,当常数等于21F F 时,轨迹是线段F 1F 2,当常数小于21F F 时,无轨迹；双曲线中,与两定点F 1,F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ,且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|,定义中的“绝对值”与2a ＜|F 1F 2|不可忽视;若2a ＝|F 1F 2|,则轨迹是以F 1,F 2为端点的两条射线,若2a ﹥|F 1F 2|,则轨迹不存在;若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支;如 1已知定点)0,3(),0,3(21F F -,在满足下列条件的平面上动点P 的轨迹中是椭圆的是 A ．421=+PF PF B ．621=+PF PF C ．1021=+PF PF D ．122221=+PF PF 答：C ；2方程8=表示的曲线是_____答：双曲线的左支 2第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线,且“点点距为分子、点线距为分母”,其商即是离心率e ;圆锥曲线的第二定义,给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系,要善于运用第二定义对它们进行相互转化;如已知点)0,22(Q 及抛物线42x y =上一动点P x ,y,则y+|PQ|的最小值是_____答：22.圆锥曲线的标准方程标准方程是指中心顶点在原点,坐标轴为对称轴时的标准位置的方程：1椭圆：焦点在x 轴上时12222=+by a x 0a b >>⇔{cos sin xa yb ϕϕ==参数方程,其中ϕ为参数,焦点在y 轴上时2222bx a y +＝10a b >>;方程22Ax By C +=表示椭圆的充要条件是什么ABC ≠0,且A,B,C 同号,A ≠B;如1已知方程12322=-++ky k x 表示椭圆,则k 的取值范围为____答：11(3,)(,2)22---；2若R y x ∈,,且62322=+y x ,则y x +的最大值是____,22y x +的最小值是___22双曲线：焦点在x 轴上：2222b y a x - =1,焦点在y 轴上：2222bx a y -＝10,0a b >>;方程22Ax By C +=表示双曲线的充要条件是什么ABC ≠0,且A,B 异号;如1双曲线的离心率等于25,且与椭圆14922=+y x 有公共焦点,则该双曲线的方程_______答：2214x y -=；2设中心在坐标原点O ,焦点1F 、2F 在坐标轴上,离心率2=e 的双曲线C 过点)10,4(-P ,则C 的方程为_______答：226x y -=3抛物线：开口向右时22(0)y px p =>,开口向左时22(0)y px p =->,开口向上时22(0)x py p =>,开口向下时22(0)x py p =->;3.圆锥曲线焦点位置的判断首先化成标准方程,然后再判断： 1椭圆：由x 2,y 2分母的大小决定,焦点在分母大的坐标轴上;如已知方程12122=-+-m y m x 表示焦点在y 轴上的椭圆,则m 的取值范围是__答：)23,1()1,( --∞2双曲线：由x 2,y 2项系数的正负决定,焦点在系数为正的坐标轴上；3抛物线：焦点在一次项的坐标轴上,一次项的符号决定开口方向;特别提醒：1在求解椭圆、双曲线问题时,首先要判断焦点位置,焦点F 1,F 2的位置,是椭圆、双曲线的定位条件,它决定椭圆、双曲线标准方程的类型,而方程中的两个参数,a b ,确定椭圆、双曲线的形状和大小,是椭圆、双曲线的定形条件；在求解抛物线问题时,首先要判断开口方向； 2在椭圆中,a 最大,222a b c =+,在双曲线中,c 最大,222c a b =+;4.圆锥曲线的几何性质：1椭圆以12222=+by a x 0a b >>为例：①范围：,a x a b y b -≤≤-≤≤；②焦点：两个焦点(,0)c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==,一个对称中心0,0,四个顶点(,0),(0,)a b ±±,其中长轴长为2a ,短轴长为2b ；④准线：两条准线2a x c=±； ⑤离心率：ce a=,椭圆⇔01e <<,e 越小,椭圆越圆；e 越大,椭圆越扁;如1若椭圆1522=+my x 的离心率510=e ,则m 的值是__答：3或325； 2以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时,则椭圆长轴的最小值为__答：222双曲线以22221x y a b-=0,0a b >>为例：①范围：x a ≤-或,x a y R ≥∈；②焦点：两个焦点(,0)c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==,一个对称中心0,0,两个顶点(,0)a ±,其中实轴长为2a ,虚轴长为2b ,特别地,当实轴和虚轴的长相等时,称为等轴双曲线,其方程可设为22,0x y k k -=≠；④准线：两条准线2a x c=±； ⑤离心率：ce a=,双曲线⇔1e >,等轴双曲线⇔e =e 越小,开口越小,e 越大,开口越大；⑥两条渐近线：by x a=±;如 1双曲线的渐近线方程是023=±y x ,则该双曲线的离心率等于______答：；2双曲线221ax by -=则:a b = 答：4或14；3设双曲线12222=-by a x a>0,b>0中,离心率e ∈2,2,则两条渐近线夹角θ的取值范围是________答：[,]32ππ；3抛物线以22(0)y px p =>为例：①范围：0,x y R ≥∈；②焦点：一个焦点(,0)2p,其中p 的几何意义是：焦点到准线的距离；③对称性：一条对称轴0y =,没有对称中心,只有一个顶点0,0；④准线：一条准线2p x =-； ⑤离心率：ce a =,抛物线⇔1e =;如设R a a ∈≠,0,则抛物线24ax y =的焦点坐标为________答：)161,0(a；5、点00(,)P x y 和椭圆12222=+by a x 0a b >>的关系：1点00(,)P x y 在椭圆外⇔2200221x y a b +>；2点00(,)P x y 在椭圆上⇔220220b y a x +＝1；3点00(,)P x y 在椭圆内⇔2200221x y a b+< 6．直线与圆锥曲线的位置关系：1相交：0∆>⇔直线与椭圆相交； 0∆>⇒直线与双曲线相交,但直线与双曲线相交不一定有0∆>,当直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交且只有一个交点,故0∆>是直线与双曲线相交的充分条件,但不是必要条件；0∆>⇒直线与抛物线相交,但直线与抛物线相交不一定有0∆>,当直线与抛物线的对称轴平行时,直线与抛物线相交且只有一个交点,故0∆>也仅是直线与抛物线相交的充分条件,但不是必要条件;如1若直线y=kx+2与双曲线x 2-y 2=6的右支有两个不同的交点,则k 的取值范围是_______答：-315,-1； 2直线y ―kx ―1=0与椭圆2215x y m+=恒有公共点,则m 的取值范围是_______答：1,5∪5,+∞；。

高考数学代数题型及解题方法(详细)

高考数学代数题型及解题方法(详细)高中数学代数是高考数学考试的重点和难点，理解数学代数的主要概念和方法，掌握不同题型的解题技巧，对于高考数学考试至关重要。

一次函数一次函数是高中数学代数的基础，也是高考数学中必考的题型之一。

一次函数的一般式为y=kx+b，其中k是斜率，b是截距。

解题方法对于一次函数题，我们需要掌握以下几种解题方法：1. 求函数的解析式- 已知函数图象的两个点- 已知函数图象及其与x轴、y轴的关系- 已知函数在一点处的函数值和斜率2. 判断函数增减性和单调性- 利用斜率判断函数的增减性- 利用函数的导数判断函数的单调性3. 求函数零点- 利用函数图象求函数零点- 利用函数解析式求函数零点二次函数二次函数是高考数学的重点和难点，其中包括函数的图象、零点、极值和单调性等方面，需要我们掌握一些基本的方法。

解题方法对于二次函数题，我们需要掌握以下几种解题方法：1. 求函数的解析式- 已知函数图象的顶点和一个点- 已知函数图象的两个点2. 判断函数的图象和性质- 判断函数曲线的开口方向和对称轴- 确定函数的零点和极值- 利用导数判断函数的单调性和极值3. 求函数与直线的交点- 已知函数解析式和直线解析式- 利用解析式推导交点坐标- 根据函数图象求交点坐标三角函数三角函数是高中数学中的重点和难点，也是高考中必考的数学题型之一。

需要掌握三角函数的基本概念、计算方法以及解三角形等一系列内容。

解题方法对于三角函数题，我们需要掌握以下几种解题方法：1. 三角函数基本概念- 正弦、余弦、正切、余切等定义- 周期性、对称性等性质2. 角度的计算- 角度制和弧度制的换算- 常用角的计算- 角的合成与差3. 三角函数的计算- 三角函数表的使用- 三角函数的运算- 三角恒等式和特殊角的计算4. 解三角形- 已知三个角或两个角和一边，求解其余边和角- 已知两边和一个角，求解其余边和角以上就是高考数学代数题型及解题方法的详细介绍，希望对广大高中数学学习者有所帮助。

2024高考数学知识点清单与总结代数函数题型总结

2024高考数学知识点清单与总结代数函数题型总结一、简介在2024年高考数学考试中，代数函数是一个重要的考点。

本文将对代数函数题型进行总结，包括常见的函数类型和相关的解题方法。

通过系统的学习和练习，可以提升解决代数函数题的能力，为高考数学取得好成绩奠定基础。

二、函数类型1. 一次函数一次函数是形如f(x) = ax + b的函数，其中a和b是实数，且a≠0。

解析式中，a决定了直线的斜率，b决定了直线与y轴的交点。

常见的一次函数题型有求解方程组、确定函数图像的性质等。

解题方法包括代入法、参数法等。

2. 二次函数二次函数是形如f(x) = ax² + bx + c的函数，其中a、b和c是实数，且a≠0。

二次函数的图像为抛物线，开口方向由a的正负确定。

常见的二次函数题型有求解方程、求顶点坐标、判断图像开口方向等。

解题方法包括配方法、求解二次方程等。

3. 三次函数三次函数是形如f(x) = ax³ + bx² + cx + d的函数，其中a、b、c和d 是实数，且a≠0。

三次函数的图像通常呈现"倒"的S形状。

常见的三次函数题型有求极值点、求零点、确定图像的性质等。

解题方法包括导函数法、分解因式法等。

4. 分式函数分式函数是形如f(x) = p(x)/q(x)的函数，其中p(x)和q(x)是多项式函数。

分式函数常常呈现出分子分母有关系的特点，在求解过程中需要注意分母不能为零。

常见的分式函数题型有求解方程、确定函数的定义域等。

解题方法包括化简法、消去法等。

5. 指数函数指数函数是形如f(x) = a^x的函数，其中a是常数，a>0且a≠1。

指数函数的特点是以a为底的指数递增或递减。

常见的指数函数题型有求解指数方程、确定函数的性质等。

解题方法包括对数法、指数方程的性质等。

6. 对数函数对数函数是形如f(x) = logₐx的函数，其中a是常数，a>0且a≠1。

近年高考数学压轴题知识点

近年高考数学压轴题知识点近年来，高考数学压轴题成为考生备考的焦点之一。

这些题目通常涉及到多个知识点的综合运用，考察学生的思维能力和解题能力。

在解答这些题目时，考生需要熟练掌握一些重要的数学知识点。

一、函数与方程在高考数学压轴题中，函数与方程是经常出现的知识点之一。

考生需要熟悉一元二次函数、指数函数、对数函数等常见函数的性质和变化规律。

同时，掌握二次方程、一元高次方程、一次不等式等方程的解法也是必须的。

二、数列与数学归纳法数列与数学归纳法是高考数学压轴题中另一个重要的知识点。

考生需要掌握等差数列、等比数列的性质和常见的解题方法。

对于给定的数列，考生需要能够找出通项公式，进一步求出数列的和。

三、三角函数与三角恒等式三角函数与三角恒等式是高考数学压轴题中较为复杂的知识点之一。

考生需要熟悉正弦函数、余弦函数、正切函数等的性质和图像变化规律。

此外，还需要了解与之相关的三角恒等式，能够根据恒等式进行简化和变形。

四、立体几何与空间向量立体几何与空间向量是高考数学压轴题中常见的知识点。

考生需要掌握立体几何中的平面与直线的相交条件、距离公式等基本知识，以及立体图形的表面积和体积的计算方法。

在空间向量中，需要了解向量的数量积、向量的叉乘等基本概念和运算法则。

五、概率与统计概率与统计也是高考数学压轴题中重要的知识点之一。

考生需要掌握事件的概率计算方法，能够根据题目给出的条件，计算出所求事件发生的概率。

同时，还需要了解统计学中的基本概念和计算方法，包括频率分布、均值、标准差等。

六、解析几何解析几何是高考数学压轴题中常见的一种题型。

考生需要掌握平面直角坐标系和空间直角坐标系的基本概念及相关性质。

此外，需要了解直线、曲线方程的性质和相关定理，以及圆、椭圆、抛物线和双曲线的方程和性质。

七、数论与组合数学数论与组合数学在高考数学压轴题中虽然出现较少，但仍然是需要注意的知识点。

在数论中，考生需要了解整数的性质和基本运算规则，能够应用除法定理、同余关系等解决问题。

数学代数方程式解题技巧总结

数学代数方程式解题技巧总结数学代数方程式解题是数学学习中的重要环节，也是数学思考和逻辑推理能力的体现。

通过解题，我们可以巩固知识，培养数学思维能力，提高解决实际问题的能力。

本文将总结数学代数方程式解题的一些技巧，帮助读者更好地理解和掌握该领域的知识与技能。

一、一元一次方程的解题技巧一元一次方程是形如ax+b=0的方程，其中a和b为已知数，x为未知数。

解一元一次方程的核心是将方程转化为等价的形式来求解。

以下是解一元一次方程的一些技巧：1. 消去常数项：如果方程中有常数项b，可以通过减去b来消去常数项，得到ax=-b的形式。

2. 提取未知数系数：将一元一次方程变形为ax=c的形式，其中c是常数。

3. 分离未知数：将一元一次方程变形为x=d的形式，其中d是常数。

4. 计算未知数：已知一元一次方程的系数和等号右边的值，通过计算得出未知数的值。

二、一元二次方程的解题技巧一元二次方程是形如ax^2+bx+c=0的方程，其中a、b和c为已知数，x为未知数。

解一元二次方程的核心是使用因式分解、配方法或求根公式等方法。

以下是解一元二次方程的一些技巧：1. 因式分解法：将一元二次方程进行因式分解，然后令每个因式等于零，求解得到未知数的值。

2. 完全平方法：将一元二次方程进行配方法，使其变为完全平方的形式，然后求解得到未知数的值。

3. 求根公式法：使用一元二次方程的求根公式，求解得到未知数的值。

三、方程组的解题技巧方程组是由多个方程组成的数学系统，解方程组的核心是找到满足所有方程的解集。

以下是解方程组的一些技巧：1. 消元法：通过加减乘除等运算，将方程组中的未知数消去，只保留一个未知数，从而求解得到该未知数的值。

2. 代入法：将方程中的一个未知数表示成其他未知数的形式，代入到另一个方程中，从而得到只含有一个未知数的方程，然后求解得到该未知数的值。

3. 矩阵法：将方程组用矩阵的形式表示，通过矩阵运算求解得到未知数的值。

高中数学备考代数题解题方法

高中数学备考代数题解题方法在高中数学备考中，代数是一个非常重要的部分。

对于许多学生来说，代数题可能是最具挑战性的问题之一。

在解题时，掌握一些有效的方法和技巧是必不可少的。

本文将介绍一些解代数题的方法，希望对大家备考有所帮助。

一、去括号法在代数题中，括号是经常出现的符号。

有时候，括号的存在会让题目显得复杂，难以解答。

这时，我们可以运用“去括号法”简化问题。

例如，对于一个表达式(a+b)(c+d)，我们可以先使用分配律将其展开为ac+ad+bc+bd，再对每一项进行合并和简化。

这样，我们就可以更容易地处理代数题。

二、配方法对于一些特殊的代数题，我们可以使用配方法来求解。

配方法常用于解决二次多项式的因式分解问题。

例如，对于一个二次多项式x^2+bx+c，我们可以根据常数项c的因数分解，在首项和常数项之间找到合适的组合，使得这个组合的和等于首项系数b。

通过这种配方法，我们可以将二次多项式因式分解得到(x+p)(x+q)的形式。

三、代数式的化简在解代数题的过程中，有时候我们会遇到一些复杂的代数式。

这时，我们可以尝试将代数式进行化简，以求得更简单的形式。

例如，对于一个代数式(a+b)^2，我们可以将其展开为a^2+2ab+b^2。

然后，我们可以尝试合并同类项或应用其他的代数运算，如乘法分配律、合并同底的幂等等，以进一步简化代数式。

四、代数方程的解法除了上述的方法外，解代数方程也是高中数学备考中常见的问题。

对于线性方程和一元二次方程，我们可以使用不同的解法来求解。

对于线性方程，我们可以利用逆运算的原理，通过消元、代入、变形等方法，将方程的未知数解出。

对于一元二次方程，我们可以通过配方法、求根公式等方法来求解。

记得在使用求根公式时，注意判别式的正负和系数的位置，以避免出现错误。

五、代数思维与归纳法在解代数题时，我们也要培养一种代数思维。

代数思维是一种抽象、推理和归纳的思考方式，能帮助我们更好地理解和解决代数问题。

数学中代数题解题技巧与关键知识点

数学中代数题解题技巧与关键知识点代数是数学中的一个重要分支，它研究的是未知数和数的关系。

在学习数学的过程中，我们经常会遇到各种代数题。

本文将介绍一些解决代数题的技巧和关键知识点，以帮助大家更好地应对数学考试和解题挑战。

一、方程的解法方程是代数中常见的问题形式，解方程是解决代数题的基本方法之一。

以下是一些常见的方程解题技巧：1. 消元法：对于含有多个未知数的方程组，可以通过消元法将方程简化为含有一个未知数的方程。

这样我们就可以更容易地求解方程。

2. 因式分解法：对于二次方程或高次方程，我们可以尝试将其进行因式分解。

通过将方程分解为多个简单的因式相乘形式，可以更方便地求解方程。

3. 代入法：当我们遇到复杂的方程时，可以试着将其中一个未知数表示成另一个未知数的函数形式，然后将它代入到方程中，从而降低方程的难度。

二、多项式展开与因式分解多项式是代数中另一个重要的概念，它由若干项的代数式通过加法或减法运算组成。

多项式的展开和因式分解是解决代数题的常用方法。

1. 多项式展开：多项式展开是将一个多项式根据公式或规律进行展开化简的过程。

例如，我们可以利用二项式定理来展开(x + y)^n，这样可以更方便地计算多项式的值。

2. 因式分解：因式分解是将一个多项式分解为多个因式相乘的形式。

例如，对于二次方程ax^2 + bx + c，我们可以通过因式分解的方法将其分解为(x + m)(x + n)的形式。

三、方程与函数的关系方程和函数是代数中两个密切相关的概念。

理解方程与函数的关系可以帮助我们更好地理解和解决代数题。

1. 函数与方程：函数可以看作是一种特殊的方程，它是一种对应关系，将自变量映射到因变量。

方程可以视为函数的特殊情况，即等式成立时的函数。

2. 函数图像与方程解：函数的图像可以反映函数的性质和特点。

方程的解可以通过函数的图像找到，例如方程的解就是函数与x轴交点的横坐标。

四、常见的代数技巧与知识点除了以上提到的解题技巧和关键知识点外，以下是一些常见的代数技巧和知识点：1. 分式运算：分式是代数中常见的形式，掌握好分式的四则运算以及化简技巧，可以有效解决与分式相关的问题。

高中数学的归纳代数方程的求解方法总结

高中数学的归纳代数方程的求解方法总结在高中数学学习中，归纳代数是一个重要的内容，涉及到方程的求解方法。

通过归纳代数，我们可以解决一系列复杂的方程，提高解题的效率和准确性。

本文将总结高中数学中常见的归纳代数方程的求解方法。

一、一元二次方程的求解一元二次方程是高中数学中的基础内容。

通常，一元二次方程的标准形式为ax^2+bx+c=0，其中a、b、c为已知常数，x为未知数。

求解一元二次方程的方法有以下几种：1. 通过因式分解求解：对于一元二次方程ax^2+bx+c=0，如果方程的两个根x1和x2可以表示为(x-x1)(x-x2)=0的形式，那么我们可以通过因式分解的方法得到方程的解。

2. 使用求根公式求解：求根公式是一元二次方程求解的常用方法。

对于一元二次方程ax^2+bx+c=0，其根可以通过公式x=(-b±√(b^2-4ac))/(2a)来求解。

根据根的不同情况，方程可能有两个不相等的实数根、两个相等的实数根，或者没有实数根。

3. 完全平方式求解：在某些情况下，一元二次方程的解可以通过完全平方式求解。

例如，如果方程形式为(x+p)^2=q，那么方程的解可以表示为x=-p±√q，其中p和q为已知常数。

二、高次方程的求解除了一元二次方程外，高中数学中还会遇到一些高次方程，如三次方程、四次方程等。

对于高次方程的求解，通常需要借助一些特定的方法。

1. 基本原则：对于高次方程，我们可以利用零点定理和因式分解原理来求解。

根据零点定理，如果一个多项式函数P(x)在x=a处为零，那么(x-a)是其因式。

因此，我们可以通过试除法和因式分解法来找到方程的根。

2. 代换法求解：对于高次方程，有时候我们可以通过代换的方法将其转化为一元二次方程或者其他已知类型的方程。

例如，对于三次方程ax^3+bx^2+cx+d=0，我们可以通过代换x=y-p/3a来将其转化为y^3+qy+r=0的形式，其中q和r为已知常数。

高中数学的归纳代数方程的解法总结

高中数学的归纳代数方程的解法总结归纳代数方程是高中数学中的重要内容之一，常常涉及到解方程的方法及技巧。

本文将对归纳代数方程的解法进行总结，包括二次方程、一元三次方程和一元四次方程的解法。

一、二次方程的解法二次方程是高中数学中最常见的代数方程之一，其一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为已知数且a ≠ 0。

1. 一般步骤：a. 将方程化为标准形式，即去掉系数a：x^2 + px + q = 0；b. 判断Δ = p^2 - 4q的值：- 若Δ > 0，方程有两个不相等的实数解；- 若Δ = 0，方程有两个相等的实数解；- 若Δ < 0，方程无实数解；c. 根据Δ的值，利用求根公式计算出实数解：x = (-p ± √Δ) / 2。

2. 特殊情况：a. 当p = 0，即二次方程为x^2 + q = 0时，可以直接求解出x的值；b. 当q = 0，即二次方程为x(x + p) = 0时，可以分别令x = 0和x+ p = 0计算出解；二、一元三次方程的解法一元三次方程是指次数为3的一元方程，形如ax^3 + bx^2 + cx + d = 0，其中a、b、c、d为已知数且a ≠ 0。

1. 一般步骤：a. 将方程化为标准形式，即去掉系数a：x^3 + px^2 + qx + r = 0；b. 判断Δ = (3pq - p^3) / 3 - q^2 / 9的值：- 若Δ > 0，方程有一个实数解和两个共轭复数解；- 若Δ = 0，方程有三个实数解中有两个相等；- 若Δ < 0，方程有三个不相等的实数解；c. 根据Δ的值，利用卡尔达诺公式计算出实数解。

2. 特殊情况：a. 当p = 0，即一元三次方程为x^3 + qx + r = 0时，可以直接求解出x的值；b. 当r = 0，即一元三次方程为x(x^2 + px + q) = 0时，可以分别令x = 0和x^2 + px + q = 0计算出解；c. 当q = 0，即一元三次方程为x^3 + px^2 + r = 0时，可以使用特殊的整式综合除法来求解。

高考数学题型解析代数方程与不等式

高考数学题型解析代数方程与不等式高考数学题型解析：代数方程与不等式代数方程和不等式是高考数学考试中常见的题型，涉及到代数方程的解、不等式的解集以及相关的计算和推导。

本文将对代数方程与不等式的解法进行详细解析，帮助考生更好地理解和掌握这些题型的解题技巧。

一、代数方程的解析代数方程是以未知数为变量的等式，求解方程即求解未知数的取值范围。

常见的代数方程包括一元线性方程、一元二次方程和高次方程等。

1. 一元线性方程的解析一元线性方程的一般形式为：ax + b = 0，其中 a 和 b 为已知常数，x 为未知数。

求解一元线性方程的步骤如下：（1）将方程化为标准形式：ax = -b；（2）若a ≠ 0，则解为 x = -b/a；（3）若 a = 0，且b ≠ 0，则方程无解；（4）若 a = 0，且 b = 0，则方程有无穷多解。

2. 一元二次方程的解析一元二次方程是形如 ax^2 + bx + c = 0 的方程，其中 a、b、c 为已知常数，x 为未知数。

求解一元二次方程的步骤如下：（1）求判别式Δ = b^2 - 4ac；（2）若Δ > 0，则方程有两个不相等的实数解，解为 x = (-b ± √Δ) / (2a)；（3）若Δ = 0，则方程有两个相等的实数解，解为 x = -b / (2a)；（4）若Δ < 0，则方程无实数解。

3. 高次代数方程的解析高次代数方程的求解相对复杂，可根据方程的形式和特点进行不同的解法，如因式分解、配方法、代换法、降次法等。

具体解法需要根据具体题目而定，在解题过程中要善于运用数学方法和技巧。

二、不等式的解析不等式是数学中常见的大小关系表示方式，包括一元一次不等式、一元二次不等式和绝对值不等式等。

求解不等式的解集即求解变量的取值范围。

1. 一元一次不等式的解析一元一次不等式的形式为 ax + b > 0（或 <、≥、≤），其中 a 和 b 为已知常数，x 为未知数。

高考数学压轴难题归纳总结提高培优专题3.13 探究代数表达式函数方程来发力

【题型综述】探究代数表达式包括以下若干类型：（1）参数值的探索，根据题中的条件将参数转化为关于直线与圆锥曲线的交点的坐标的方程或函数问题，若利用设而不求思想与韦达定理即可求出参数的值即存在，否则不存在.(2)等式恒成立问题，根据题中条件和有关向量、距离公式、平面几何知识等方法，转化为关于直线与圆锥曲线的交点的坐标的方程或函数问题，若利用设而不求思想与韦达定理即可求出参数的值即存在。

【典例指引】类型一参数值的探究例1 【2016年高考四川理数】（本小题满分13分）已知椭圆El y x=-+与椭圆E有且只有一个公共点T.:3（Ⅰ）求椭圆E的方程及点T的坐标；（Ⅱ）设O是坐标原点，直线l’平行于OT，与椭圆E交于不同的两点A、B，且与直线l交于点P．证明：存在常数λ，使得，并求λ的值.方程②的判别式为2=16(92)m ∆-，由>0∆，解得类型二恒等式成立探究例2. 【2015高考四川，理20】如图，椭圆EP （0,1）的动直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，当直线l 平行与x 轴时，直线l 被椭圆E(1)求椭圆E 的方程；（2）在平面直角坐标系xOy 中，是否存在与点P不同的定点Q ，使得恒成立？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.（2）当直线l 与x 轴平行时，设直线l 与椭圆相交于C 、D 两点. 如果存在定点Q ，即||||QC QD =. 所以Q 点在y 轴上，可设Q 点的坐标为0(0,)y .当直线l 与x 轴垂直时，设直线l 与椭圆相交于M 、N 两点. ，解得01y =或02y =. 所以，若存在不同于点P 的定点Q 满足条件，则Q 点的坐标只可能为(0,2)Q .下面证明：对任意的直线l ，均有当直线l 的斜率不存在时，由上可知，结论成立.当直线l 的斜率存在时，可设直线l 的方程为1y kx =+，A 、B 的坐标分别为1122(,),(,)x y x y .得22(21)420k x kx ++-=. 其判别式22168(21)0k k ∆=++>，类型三面积最小值存在性例3【2015高考湖北，文22】一种画椭圆的工具如图1所示．O 是滑槽AB 的中点，短杆ON 可绕O 转动，长杆MN 通过N 处铰链与ON 连接，MN 上的栓子D 可沿滑槽AB 滑动，且1DN ON ==，3MN =．当栓子D 在滑槽AB 内作往复运动时，带动．．N 绕O 转动，M 处的笔尖画出的椭圆记为C ．以O 为原点，AB 所在的直线为x 轴建立如图2所示的平面直角坐标系．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设动直线l 与两定直线1:20l x y -=和2:20l x y +=分别交于,P Q 两点．若直线l 总与椭圆C 有且只有一个公共点，试探究：OPQ ∆的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．22111222||||||||222121214OPQP Q mm m S PQ d m x x m k k k ∆=⋅=-=⋅+=-+-. ② 2时，.因，则20141k <-≤，，所以，当且仅当0k =时取等号.所以当0k =时，OPQ S ∆的最小值为8. 综合（1）（2）可知，当直线l 与椭圆C 在四个顶点处相切时，OPQ ∆的面积取得最小值8.第22题图1第22题图2类型四面积关系探究12,C C(Ⅱ)设C与y轴的交点为C C232S【扩展链接】1. F 为椭圆的其中一个焦点，若P 是椭圆上一点，则c a PF c a +≤≤-||.2. F 为双曲线的右焦点，若P 是双曲线右支上一点，则c a PF -≥||，若P 是双曲线左支上一点，则c a PF +≥||，.3. F 为椭圆的左焦点，AB 是过左焦点倾斜角为θ的弦，点A 在x 轴上方，则4. F 为抛物线)0(22>=p px y 的焦点，AB 是过左焦点倾斜角为θ的弦，点A 在x 轴上方，则【同步训练】1．已知A为椭圆=1（a＞b＞0）上的一个动点，弦AB，AC分别过左右焦点F1，F2，且当线段AF1的中点在y轴上时，cos∠F1AF2=．（1）求该椭圆的离心率；（2）设，试判断λ1+λ2是否为定值？若是定值，求出该定值，并给出证明；若不是定值，请说明理由．【思路点拨】（1）当线段AF1的中点在y轴上时，AC垂直于x轴，△AF1F2为直角三角形．运用余弦函数的定义可得|AF1|=3|AF2|，易知|AF2|=，再由椭圆的定义，结合离心率公式即可得到所求值；（2）由（1）得椭圆方程为x2+2y2=2b2，焦点坐标为F1（﹣b，0），F2（b，0），（1）当AB，AC的斜率都存在时，设A（x0，y0），B（x1，y1），C（x2，y2），求得直线AC的方程，代入椭圆方程，运用韦达定理，再由向量共线定理，可得λ1+λ2为定值6；若AC⊥x轴，若AB⊥x 轴，计算即可得到所求定值．同理λ1=，可得λ1+λ2=6；②若AC⊥x轴，则λ2=1，λ1==5，这时λ1+λ2=6；若AB⊥x轴，则λ1=1，λ2=5，这时也有λ1+λ2=6；综上所述，λ1+λ2是定值6．2.（2017•邯郸二模）已知F1（﹣c，0）、F2（c、0）分别是椭圆G：+=1（0＜b＜a＜3）的左、右焦点，点P（2，）是椭圆G上一点，且|PF1|﹣|PF2|=a．（1）求椭圆G的方程；（2）设直线l与椭圆G相交于A、B两点，若⊥，其中O为坐标原点，判断O到直线l 的距离是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．【思路点拨】（1）根据椭圆的定义，求得丨PF1丨=a=3|PF2|，根据点到直线的距离公式，即可求得c的值，则求得a的值，b2=a2﹣c2=4，即可求得椭圆方程；（2）当直线l⊥x轴，将直线x=m代入椭圆方程，求得A和B点坐标，由向量数量积的坐标运算，即可求得m的值，求得O到直线l的距离；当直线AB的斜率存在时，设直线方程，代入椭圆方程，由韦达定理及向量数量积的坐标运算，点到直线的距离公式，即可求得O到直线l的距离为定值．②当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+n，则，消去y整理得：（1+2k2）x2+4knx+2n2﹣8=0，x1+x2=﹣，x1x2=，则y1y2=（kx1+n）（kx2+n）=k2x1x2+kn（x1+x2）+n2=，由⊥，∴x1x2+y1y2=0，故+=0，整理得：3n2﹣8k2﹣8=0，即3n2=8k2+8，①则原点O到直线l的距离d=，∴d2=（）2==，②将①代入②，则d2==，∴d=，综上可知：点O到直线l的距离为定值．3.在平面直角坐标系xOy中，椭圆的离心率为，直线y=x被椭圆C 截得的线段长为．（1）求椭圆C的方程；（2）过原点的直线与椭圆C交于两点（A，B不是椭圆C的顶点），点D在椭圆C上，且AD ⊥AB，直线BD与x轴、y轴分别交于M，N两点．设直线BD，AM斜率分别为k1，k2，证明存在常数λ使得k1=λk2，并求出λ的值．【思路点拨】（1）由椭圆离心率得到a，b的关系，化简椭圆方程，和直线方程联立后求出交点的横坐标，把弦长用交点横坐标表示，则a的值可求，进一步得到b的值，则椭圆方程可求；（2）设出A，D的坐标分别为（x1，y1）（x1y1≠0），（x2，y2），用A的坐标表示B的坐标，把AB和AD的斜率都用A的坐标表示，写出直线AD的方程，和椭圆方程联立后利用根与系数关系得到AD横纵坐标的和，求出AD中点坐标，则BD斜率可求，再写出BD所在直线方程，取y=0得到M点坐标，由两点求斜率得到AM的斜率，由两直线斜率的关系得到λ的值．4.已知中心在原点O，焦点在x轴上的椭圆，离心率，且椭圆过点．（1）求椭圆的方程；（2）椭圆左，右焦点分别为F1，F2，过F2的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，则△F1AB 的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由．【思路点拨】（1）设椭圆方程，由题意列关于a，b，c的方程组求解a，b，c的值，则椭圆方程可求；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），不妨设y1＞0，y2＜0，设△F1AB的内切圆的径R，则△F1AB 的周长=4a=8，=（|AB|+|F 1A|+|F1B|）R=4R，因此最大，R就最大．设直线l的方程为x=my+1，与椭圆方程联立，从而可表示△F1AB的面积，利用换元法，借助于导数，即可求得结论．由题知，直线l的斜率不为零，可设直线l的方程为x=my+1，由，得（3m2+4）y2+6my﹣9=0，．则=，令，则m2=t2﹣1，∴=，令f（t）=3t+，则f′（t）=3﹣，当t≥1时，f′（t）≥0，f（t）在[1，+∞）上单调递增，有f（t）≥f（1）=4，≤3，即当t=1，m=0时，≤3，由=4R，得R max=，这时所求内切圆面积的最大值为．故直线l：x=1，△F1AB内切圆面积的最大值为．5.已知椭圆C：+=1（a＞0，b＞0）的离心率为，右焦点为F，上顶点为A，且△AOF 的面积为（O为坐标原点）．（1）求椭圆C的方程；（2）若点M在以椭圆C的短轴为直径的圆上，且M在第一象限，过M作此圆的切线交椭圆于P，Q两点．试问△PFQ的周长是否为定值？若是，求此定值；若不是，说明理由．【思路点拨】（1）由椭圆的离心率为，右焦点为F，上顶点为A，且△AOF的面积为（O 为坐标原点），列出方程组，求出a=，b=1，由此能求出椭圆C的方程．（2）设P（x 1，y1），Q（x2，y2），，连结OM，OP，求出|PF|+|PM|=|QF|+|QM|=，从而求出△PFQ的周长为定值2．6.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，联接椭圆四个顶点的四边形面积为2．（1）求椭圆C的方程；（2）A、B是椭圆的左右顶点，P（x P，y P）是椭圆上任意一点，椭圆在P点处的切线与过A、B且与x轴垂直的直线分别交于C、D两点，直线AD、BC交于Q（x Q，y Q），是否存在实数λ，使x P=λx Q恒成立，并说明理由．【思路点拨】（1）由椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，联接椭圆四个顶点的四边形面积为2，列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆C的方程．（2）设切线方程为y=kx+m，与椭圆联立消元得（2+3k2）x2+6kmx+3m2﹣6=0，由此利用根的判别式、韦达定理、直线方程，组合已知条件能求出存在λ=1，使x P=λx Q恒成立．7.已知椭圆C：=1，直线l过点M（﹣1，0），与椭圆C交于A，B两点，交y轴于点N．（1）设MN的中点恰在椭圆C上，求直线l的方程；（2）设=λ，=μ，试探究λ+μ是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．【思路点拨】（1）设点N（0，n），表示出MN中点坐标，代入椭圆方程即可求得n值，从而可得直线方程；（2）直线AB的斜率存在且不为0，设直线方程为x=ty﹣1，A（x1，y1），B（x2，y2），M（﹣1，0），N（0，﹣），联立，消x可得（4+3t2）y2﹣6ty﹣9=0，利用韦达定理，以及向量共线的坐标可得λ=﹣1﹣，同理可得μ=﹣1﹣，然后化简即可．8.已知离心率为的椭圆C：+=1（a＞b＞0）过点M（2，0），过点Q（1，0）的直线与椭圆C相交于A，B两点，设点P（4，3），记PA，PB的斜率分别为k1，k2（1）求椭圆C的方程；（2）探讨k1+k2是否为定值？如果是，求出该定值，如果不是，求出k1+k2的取值范围．【思路点拨】（1）由题意可知a=2c，a=2，则c=1，b2=a2﹣c2=3，（2）分类讨论，当直线线AB的斜率存在时，代入椭圆方程，由韦达定理及直线斜率公式，即可求得的k1+k2值．（2）当直线AB的斜率不存在时，不妨设A（1，），B（1，﹣），则k1==，k2==，故k1+k2=2，当直线AB的斜率存在时，设其为k，则直线AB：y=k（x﹣1），设A（x1，y1），B（x2，y2）．由，消去y，整理得：（4k2+3）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，∴x1+x2=，x1x2=，k1+k2=+=+=，===2，综上可知：k1+k2为定值，定值为2．9.已知椭圆C：+=1（a＞b＞1）的左焦点F与抛物线y2=﹣4x的焦点重合，直线x﹣y+=0与以原点O为圆心，以椭圆的离心率e为半径的圆相切．（1）求该椭圆C的方程；（2）过点F的直线交椭圆于A、B两点，线段AB的中点为G，AB的垂直平分线与x轴和y 轴分别交于D、E两点，记△GFD的面积为S1，△OED的面积为S2，问：是否存在直线AB，使得S1=S2，若存在，求直线AB的方程，若不存在，说明理由．【思路点拨】（1）通过抛物线方程可知c=1，利用点到直线的距离公式可知e==，结合a、b、c三者之间的关系可求出a=2、b=1，进而可得椭圆C的方程；（2）通过假设存在直线AB使得S1=S2，则可设其方程为：y=k（x+1）（k≠0），并与椭圆C 方程联立，结合韦达定理可得G（，），利用DG⊥AB可得D（，0），结合△GFD～△OED可得=，联立S1=S2整理得8k2+9=0，由于此方程无解推出假设不成立．10.在直角坐标系xOy中，椭圆C1：的离心率为，左、右焦点分别是F1，F2，P为椭圆C1上任意一点，|PF1|2+|PF2|2的最小值为8．（1）求椭圆C1的方程；（2）设椭圆C2：为椭圆C2上一点，过点Q的直线交椭圆C1于A，B两点，且Q为线段AB的中点，过O，Q两点的直线交椭圆C1于E，F两点．（i）求证：直线AB的方程为x0x+2y0y=2；（ii）当Q在椭圆C2上移动时，四边形AEBF的面积是否为定值？若是，求出该定值；不是，请说明理由．【思路点拨】（1）由椭圆的离心率为、右焦点分别是F1，F2，P为椭圆C1上任意一点，|PF1|2+|PF2|2的最小值为8，列出方程，求出a，b，由此能求出椭圆C1的方程为+．（2）（i）由（1）知椭圆C2：=1，Q（x0，y0）为椭圆E上一点，=1，利用点差法求出直线AB的方程为x0x+2y0y=2，由此能求出直线AB的方程．（ii）联立直线EF与椭圆C 1的方程，得E（，），F（﹣，﹣），联立直线AB与椭圆C1的方程，得：，利用韦达定理求出|AB|=，点E（）、F（﹣）到直线AB的距离为d 1，d2，﹣﹣由此能求出当Q在椭圆C2上移动时，四边形AEBF的面积为定值4．（ii）直线EF的方程为y0x﹣x0y=0，联立直线EF与椭圆C1的方程，解得E（，），F（﹣，﹣），联立直线AB与椭圆C1的方程，消去y，得：，x1+x2=2x0，x1x2=2﹣4y02，|AB|=•=•=，设点E（）、F（﹣）到直线AB的距离分别为d 1，d2，S AEBF=S△ABE+S△ABF=，==，==，∴S AEBF=•==4．故当Q在椭圆C2上移动时，四边形AEBF的面积为定值4．11.已知椭圆C：+=1 （a＞b＞0）的短轴长为2，过上顶点E和右焦点F的直线与圆M：x2+y2﹣4x﹣2y+4=0相切．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线l过点（1，0），且与椭圆C交于点A，B，则在x轴上是否存在一点T（t，0）（t ≠0），使得不论直线l的斜率如何变化，总有∠OTA=∠OTB （其中O为坐标原点），若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．【思路点拨】（1）由已知可得：b=1，结合直线与圆M：x2+y2﹣4x﹣2y+4=0相切．进而可得c2=3，a2=4，即得椭圆C的标准方程；（2）在x轴上是否存在一点T（4，0），使得不论直线l的斜率如何变化，总有∠OTA=∠OTB，联立直线与椭圆方程，结合∠OTA=∠OTB 时，直线TA，TB的斜率k1，k2和为0，可证得结论．即，解得：c2=3，则a2=4，故椭圆C的标准方程为：；12.已知A（x1，y1），B（x2，y2）是抛物线C：x2=2py（p＞0）上不同两点．（1）设直线l：y=与y轴交于点M，若A，B两点所在的直线方程为y=x﹣1，且直线l：y=恰好平分∠AFB，求抛物线C的标准方程．（2）若直线AB与x轴交于点P，与y轴的正半轴交于点Q，且y1y2=，是否存在直线AB，使得+=？若存在，求出直线AB的方程；若不存在，请说明理由．【思路点拨】（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），M（0，），由，消去y整理得x2﹣2px+2p=0，直线y=平分∠AFB，可得k AM+k BM=0，利用韦达定理求得p，即可（2）由题意知，直线AB的斜率存在，且不为零，设直线AB的方程为：y=kx+b （k≠0，b＞0），由，得x2﹣2pkx﹣2pb=0，∴，由已知可得b=．直线AB的方程为：y=kx+．作AA′⊥x轴，BB′⊥x轴，垂足为A′，B′，+=+=，得k，。

高考数学复习考点题型专题讲解38 构造函数比较大小

高考数学复习考点题型专题讲解专题38 构造函数比较大小最近几年构造函数比较大小已成为高考的热点，而且多以选择压轴题的形式出现，小巧而灵活，难度较大.类型一构造具体函数比较实数的大小一要注意实数的形式，二要分析实数间的关系才能恰当构造函数，利用其单调性比较大小.例1 (1)(2022·湖北七市调研)已知a＝e－0.02，b＝0.01，c＝ln 1.01，则( )A.c>a>bB.b>a>cC.a>b>cD.b>c>a(2)(2022·苏州模拟)已知x＝2，y＝e 1e，z＝π1π，则x，y，z的大小关系为( )A.x>y>zB.x>z>yC.y>x>zD.y>z>x 答案(1)C (2)D解析(1)由指数函数的性质得：e－0.02>e－12＝1e>13>0.01，设f(x)＝e x－1－x，则f′(x)＝e x－1>0在x>0时恒成立，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数，f(x)是连续函数，因此f(x)在[0，＋∞)上是增函数，所以f(0.01)>f(0)，即e0.01－1－0.01>0，即e0.01>1.01，所以0.01>ln 1.01，所以a>b>c.故选C.(2)由x＝2，y＝e 1e，z＝π1π，得ln x＝12ln 2，ln y＝1eln e，ln z＝1πln π，令f(x)＝1xln x(x>0)，则f′(x)＝1－ln xx2(x>0)，当0<x<e时，f′(x)>0，当x>e时，f′(x)<0，所以函数f(x)在(0，e)上递增，在[e，＋∞)上递减，又因ln x＝12ln 2＝14ln 4，e<π<4，且e，π，4∈[e，＋∞)，所以f(e)>f(π)>f(4)，即ln y>ln z>ln x，所以y>z>x.故选D.训练1 (1)已知a＝e－1，b＝3e4－34，c＝4－12ln 2，则( )A.b>c>aB.a>c>bC.c>b>aD.c>a>b(2)已知a＝e0.1－1，b＝sin 0.1，c＝ln 1.1，则( )A.a<b<cB.b<c<aC.c<a<bD.c<b<a答案(1)C (2)D解析(1)令f(x)＝e x－1x，x>0，则a＝e－1＝f(1)，b＝e 43－34＝f⎝⎛⎭⎪⎫43，c＝4－1ln 4＝e ln 4－1ln 4＝f(ln 4)，又f′(x)＝e x＋1x2>0，所以f(x)在(0，＋∞)递增，又43≈1.33，ln 4＝2ln 2≈1.38，∴1<43<ln 4，∴a<b<c.故选C.(2)令f(x)＝e x－1－sin x，∴f′(x)＝e x－cos x，当x>0时，e x>1，∴e x－cos x>0，∴f′(x)>0，f(x)单调递增，∴f(0.1)>f(0)，即e0.1－1－sin 0.1>0，∴e 0.1－1>sin 0.1，即a >b ，令g (x )＝ln(x ＋1)－sin x ，∴g ′(x )＝1x ＋1－cos x ＝1－（x ＋1）cos x x ＋1＝1－x cos x －cos x x ＋1，令h (x )＝1－x cos x －cos x ，∴h ′(x )＝(x ＋1)sin x －cos x令φ(x )＝(x ＋1)sin x －cos x ，∴φ′(x )＝2sin x ＋(x ＋1)cos x ，当0<x <π6时，φ′(x )>0， ∴h ′(x )单调递增，∴h ′(x )<h ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋1sin π6－cos π6＝π＋6（1－3）12<0， ∴h (x )在x ∈(0，0.1)上单调递减，故h (x )<h (0)＝0，∴g ′(x )<0，∴g (x )在x ∈(0，0.1)上单调递减，∴g (0.1)<g (0)＝0，即ln 1.1－sin 0.1<0，∴c <b .综上：c <b <a .故选D.类型二构造具体函数比较代数式的大小1.要注意分析代数式的结构形式及相互联系，并注意分析有关量的范围，恰当构造函数.2.有些题目需要综合运用多种方法(如比差法等)解决.例2 (1)若a ，b ，c ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，满足a ＝cos a ，b ＝sin(cos b )，c ＝cos(sin c )，则( ) A.a b ，且ln a ·ln b >0，则下列不等式一定成立的是( )A.log a b <0B.a －1b >b －1aC.2ab ＋1<2a ＋bD.a b －1cos c ，构造g (x )＝x －cos x ，g ′(x )＝1＋sin x >0，所以g (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增， g (b )<g (a )＝0<g (c )，所以c >a >b .故选D.(2)因为a >b >0，y ＝ln x 为单调递增函数，故ln a >ln b ，由于ln a ·ln b >0，故ln a >ln b >0，或ln b <ln a <0，当ln a >ln b >0时，a >b >1，此时log a b >0；a －1b －⎝ ⎛⎭⎪⎫b －1a ＝(a －b )⎝⎛⎭⎪⎫1－1ab >0，故a －1b >b －1a；ab＋1－(a＋b)＝(a－1)(b－1)>0，2ab＋1>2a＋b；当ln b<ln a<0时，0<b<a<1，此时log a b>0；a－1b－⎝⎛⎭⎪⎫b－1a＝(a－b)⎝⎛⎭⎪⎫1－1ab<0，故a－1b<b－1 a ；ab＋1－(a＋b)＝(a－1)(b－1)>0，2ab＋1>2a＋b；故ABC均错误；D选项，a b－1b>1，还是0<b<a<1，均有(a－1)(b－1)>0，所以ln aa－1<ln bb－1，故只需证ln aa－1<ln bb－1即可，设f(x)＝ln xx－1(x>0且x≠1)，则f′(x)＝1－1x－ln x （x－1）2，令g(x)＝1－1x－ln x(x>0且x≠1)，则g′(x)＝1x2－1x＝1－xx2，当x∈(0，1)时，g′(x)>0，当x∈(1，＋∞)时，g′(x)<0，即g(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以g(x)<g(1)＝0，所以f′(x)<0在x>0且x≠1上恒成立，故f(x)＝ln xx－1在(0，1)和(1，＋∞)分别单调递减，因为a>b，所以ln aa－1<ln bb－1，结论得证，D正确.训练2 (1)(2022·梅州质检)已知a，b，c∈(0，1)，且a－ln a＋1＝e，b－ln b＋2＝e2，c－ln c＋3＝e3，其中e是自然对数的底数，则( )A.c>b>aB.c>a>bC.a>c>bD.a>b>c(2)(多选)(2022·八省联考)已知a，b∈R，满足e a＋e b＝1，则下列结论正确的是( )A.a＋b≤－2ln 2B.e a＋b<0C.ab≥1D.2(e2a＋e2b)≥1答案(1)D (2)ABD解析(1)由条件a－ln a＝e－1＝e1－1，b－ln b＝e2－2，c－ln c＝e3－3，可知a－ln ab>c，故选D.(2)e a＋e b＝1≥2e a e b，即e a＋b2≤12，所以a＋b2≤－ln 2，故a＋b≤－2ln 2，A选项正确；而0<e a，e b<1，∴a，b<0，e a＋b＝1－e b＋b，令f(x)＝1＋x－e x，f′(x)＝1－e x，当x∈(－∞，0)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，f(b)<f(0)＝0，即1－e b＋b<0，B选项正确；当a＝b＝－ln 2时，ab＝ln22<1，C选项错误；2(e 2a ＋e 2b )≥(e a ＋e b )2＝1，D 选项正确，故选ABD.类型三构造抽象函数比较大小此类问题大多给出了关于某个抽象函数的不等式，要结合此不等式的特点及导数的运算法则，才能准确构造出含有抽象函数的函数，然后利用此函数的性质比较大小.例3(多选)定义在(0，＋∞)上的函数f (x )的导函数为f ′(x )，且(x 2＋x )f ′(x )<(3x ＋2)f (x )恒成立，则必有( )A.f (3)>18f (1)B.f (2)<6f (1)C.3f (1)≥16f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12D.f (3)<3f (2) 答案 BD解析题中条件不等式可化为(x 3＋x 2)f ′(x )－(3x 2＋2x )f (x )<0，令h (x )＝f （x ）x 3＋x 2，则h ′(x )＝（x 3＋x 2）f ′（x ）－f （x ）（3x 2＋2x ）（x 3＋x 2）2<0，所以h (x )在(0，＋∞)上单调递减.对A ，h (3)<h (1)，f （3）27＋9<f （1）2，所以2f (3)<36f (1)，即f (3)<18f (1)，不正确；对B ，h (2)<h (1)，f （2）8＋4<f （1）2，即f (2)<6f (1)，正确；对C ，h (1)<h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，f （1）2<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1218＋14，所以38f (1)<2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，即3f (1)<16f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，不正确；对D ，h (3)<h (2)，f （3）27＋9<f （2）8＋4，即f (3)<3f (2)，正确.训练3 已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且2－2f （x ）x <f ′(x )，则f （1）－f （2）3与f (2)－1的大小关系为( )A.无法确定B.f （1）－f （2）3＝f (2)－1C.f （1）－f （2）3>f (2)－1D.f （1）－f （2）3<f (2)－1答案 D解析由题意得x ·f ′(x )＋2f (x )－2>0，令F (x )＝x 2·f (x )－x 2，则F ′(x )＝2xf (x )＋x 2f ′(x )－2x＝x (2f (x )＋x ·f ′(x )－2)>0，所以F (x )在(0，＋∞)上单调递增，所以F (2)>F (1)，所以4f (2)－4>f (1)－1，所以3f (2)－3>f (1)－f (2)，∴f (2)－1>f （1）－f （2）3，故选D.一、基本技能练1.已知函数f (x )的导函数f ′(x )满足x (1＋ln x )f ′(x )<f (x )对x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞恒成立，则下列不等式中一定成立的是( )A.2f (1)>f (e)B.e 2f (1)>f (e)C.2f (1)<f (e)D.e f (1)<f (e)答案 A解析 ∵x (1＋ln x )f ′(x )－f (x )<0，∴(1＋ln x )f ′(x )－f （x ）x <0，令F (x )＝f （x ）1＋ln x ，则F ′(x )＝（1＋ln x ）f ′（x ）－1x f （x ）（1＋ln x ）2<0⎝ ⎛⎭⎪⎫x >1e ，∴F (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞上单调递减，F (1)>F (e)，∴f （1）1＋ln 1>f （e ）1＋ln e ，即f (1)>f （e ）2，2f (1)>f (e).故选A.2.(2022·中原名校联考)已知a ＝2ln 7，b ＝3ln 6，c ＝4ln 5，则() A.b <c <a B.a 2ln 7＝a ，对b ，c 取对数可得ln b ＝ln 3·ln 6，ln c ＝ln 4·ln 5，b 与c 的大小，即ln 6·ln 3与ln 5·ln 4的大小，即ln 6ln 5与ln 4ln 3的大小.令f (x )＝ln （x ＋1）ln x(x >1)，则f ′(x )＝1x ＋1ln x －1x ln （x ＋1）（ln x ）2＝1x （x ＋1）[x ln x －（x ＋1）ln （x ＋1）]ln 2x，再令g (x )＝x ln x (x >1)，显然g (x )单调递增，且g (1)＝0，∴g (x )>0(x >1)，∴g (x )<g (x ＋1)，f ′(x )<0，f (x )在(1，＋∞)上单调递减，∴ln 6ln 5<ln 4ln 3，b <c ，同理可得a 0)，f (x )在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，且f (1)＝0，故方程ln a ＝a －1的解为a ＝1；令h (x )＝x ln x －1，h ′(x )＝ln x ＋1(x >0)，h (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞上单调递增，又h(1)＝－1<0，而h(b)＝b ln b－1＝0，故b>1；令g(x)＝x e x－1，g′(x)＝e x＋x e x>0(x>0)，g(x)在(0，＋∞)上单调递增，g(1)＝e－1>0，g(0)＝－1<0，而c e c－1＝0，∴0<c<1.故选C.4.(2022·淮安模拟)已知偶函数f(x)的定义域为R，导函数为f′(x)，若对任意x∈[0，＋∞)，都有2f(x)＋xf′(x)>0恒成立，则下列结论正确的是( )A.f(0)<0B.9f(－3)<f(1)C.4f(2)>f(－1)D.f(1)<f(2)答案 C解析令x＝0，则2f(0)＋0>0，∴f(0)>0，则A错误；令g(x)＝x2f(x)，则g′(x)＝2xf(x)＋x2f′(x)，当x>0时，由2f(x)＋xf′(x)>0，∴g′(x)>0，则g(x)在(0，＋∞)上单调递增，又因为偶函数f(x)的定义域为R，∴g(x)＝x2f(x)为偶函数，∴g(－3)＝g(3)>g(1)，即9f(－3)>f(1)，故B错误；∴g(2)>g(－1)，4f(2)>f(－1)，故C正确；由题意，不妨假设f(x)＝c>0(c为常数)符合题意，此时f(1)＝f(2)＝c，故D错误.5.已知a＝312，b＝(1＋e)1e，c＝413，则( )A.b>a>cB.b>c>aC.c>a>bD.a>b>c 答案 D解析a＝(1＋2)12，b＝(1＋e)1e，c＝(1＋3)13，设f(x)＝ln（x＋1）x，f′(x)＝xx＋1－ln（x＋1）x2.令g(x)＝x1＋x－ln(1＋x)，g′(x)＝－x（1＋x）2<0，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以g(x)<g(0)＝0，所以f′(x)<0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减，又2<e<3，所以f(2)>f(e)>f(3)，即ln（1＋2）2>ln（1＋e）e>ln（1＋3）3，亦是ln(1＋2)12>ln(1＋e)1e>ln(1＋3)13，即a>b>c.6.已知a＝4＋25ln 2，b＝2＋21.2，c＝22.1，则( )A.a<b<cB.b<a<cC.c<b<aD.a<c<b答案 D解析先比较b和c，因为b－c＝2＋21.2－22.1＝2＋2·20.2－22·20.1＝2[1－2·20.1＋(20.1)2]＝2(1－20.1)2>0，所以b >c ；再比较a 和c ，c －a ＝22.1－⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋25 ln 2＝4×20.1－4－ln 20.4＝4×20.1－4－4ln 20.1＝4(20.1－1－ln 20.1)，令f (x )＝x －1－ln x (x >1)，f ′(x )＝1－1x >0，所以f (x )在(1，＋∞)上单调递增，因为20.1>1，所以f (20.1)>f (1)，即20.1－1－ln 20.1>0，所以4(20.1－1－ln 20.1)>0.所以c >a .综上，a <c <b .7.已知a ，b ，c ∈(0，1)，且a －4＝ln a 4，b －5＝ln b 5，c －6＝ln c 6，则() A.a <b <c B.a <c <bC.b <c <aD.c b>c.故选D.8.已知a＝2ln 3－2，b＝ln 5－5＋1，c＝3ln 2－22＋1，则a，b，c的关系是( )A.a<c<bB.c<b<aC.a<b<cD.b<c<a答案 A解析a＝ln 9－9＋1，b＝ln 5－5＋1，c＝ln 8－8＋1，令g(x)＝ln x－x＋1，g′(x)＝1x－12x＝2－x2x<0在(4，＋∞)恒成立，所以g(x)在(4，＋∞)上单调递减，所以g(5)＝b>g(8)＝c>g(9)＝a.故选A.9.若y＝f(x)在R上可导且满足不等式xf′(x)＋f(x)>0恒成立，对于任意正数a，b，若a<b，则( )A.af(b)<bf(a)B.bf(a)<af(b)C.af(a)<bf(b)D.bf(b)<af(b)答案 C解析令g(x)＝xf(x)，∵xf′(x)＋f(x)>0，∴g′(x)＝[xf(x)]′＝f(x)＋xf′(x)>0，即g(x)在R上递增，∵a，b∈(0，＋∞)且a<b，∴g(a)<g(b)，即af(a)<bf(b)，选C.10.(2022·连云港一模)已知a>b>0，且a 1a＝b1b，则( )A.0<b<1eB.0<b<1C.1<b<eD.b>e 答案 C解析因为a 1a＝b1b>0，a>b>0，所以ln a 1a＝ln b1b，即ln aa＝ln bb.记f(x)＝ln xx，则f′(x)＝1－ln xx2，令f′(x)>0，解得0<x<e，令f′(x)<0，得x>e，所以函数f(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减. 因为a>b>0，则f(a)＝f(b)时，有b<e，又因为当x>e时，f(x)＝ln xx>0，所以f(b)＝f(a)>0，因为f(1)＝0，所以f(b)>f(1)，所以b>1. 综上，1<b<e.11.已知a＝ln π，b＝πe，c＝π8ln 8，则( )A.b <a <cB.a 0，f (x )单调递增，当x ∈(e，＋∞)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减. 因为e<π<2<e ，所以f (e)<f (π)<f (2)，所以2ln e e <2ln ππ<2ln 22＝2ln 83<2ln 88，所以ln e e <ln ππ<ln 88，所以ln e e ·π<ln ππ·π<ln 88·π，所以πe <ln π<π8ln 8，即b <a <c . 12.已知a ，b ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e 2，＋∞，且－2a ＝e 2ln a ，－3b ＝e 3ln b ，则( ) A.1e <a <b <1 B.1e<b <a <1 C.1e 2<a <b <1e D.b <1e<a <1 答案 A解析构造函数f (x )＝x ln x ，则f ′(x )＝1＋ln x ，故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞上单调递增.∵－2a ＝e 2ln a ，－3b＝e 3ln b ， ∴－2e －2＝e －2ln e －2＝a ln a ，－3e －3＝e －3ln e －3＝b ln b ，即f (e －2)＝f (a )，f (e －3)＝f (b )，∵e －2，e －3∈⎝⎛⎭⎪⎫0，1e ， ∴f (e －2)<f (e －3)，即f (a )<f (b )，又∵a ，b ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e 2，＋∞， ∴a ，b ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞， ∴1e<a <b ，又∵当x ∈(0，1)时，f (x )<0，∴1e<a <b <1. 二、创新拓展练13.(2022·厦门质检)已知a ＝log b c ，b ＝log c a ，则( )A.a <b <cB.b <c <aC.c <a <bD.c <b <a答案 B解析 a ＝log b c ＝ln c ln b ，b ＝log c a ＝ln a ln c，则ln a ，ln b ，ln c 同号， ab ＝ln a ln b ，则ln b ＝ln a ab，b ln b ＝b ·ln a ab ＝ln a a，作出f (x )＝x ln x 与g (x )＝ln x x 的图象如下，∴0b 1⇒c >b 由b ＝log c a ⇒c b ＝a >c 1⇒a >c ⇒ a >c >b ，故选B.14.已知a ＝ln 22，b ＝1e ，c ＝2ln 39，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A.a >b >c B.a >c >bC.b >a >cD.b >c >a答案 C解析因为a ＝ln 22，b ＝1e ＝ln e e ，c ＝2ln 39＝ln 99，构造函数f (x )＝ln x x ，则f ′(x )＝1－ln x x 2，所以当x ∈(0，e)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当x ∈(e，＋∞)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，所以当x ＝e 时，f (x )取最大值.a ＝ln 22＝2ln 24＝ln 44＝f (4)，b ＝f (e)，c ＝f (9)，f (e)>f (4)>f (9)，即b >a >c .故选C.15.设a＝12×106＋1102，b＝e0.01－1，c＝ln 1.02，则( )A.a<b<cB.b<c<aC.b<a<cD.c<a1时，ln x>2（x－1）x＋1，c＝ln 1.02>2（1.02－1）1.02＋1＝2101，所以a<1100＋12×104<b<2199<2101<c.故选A.16.(多选)(2022·鄂东南三校适应性训练)下列大小比较中，正确的是( )A.3e<e3<πeB.e3<πe<eπC.πe<eπ<3πD.π3<eπ<3π答案ABC解析对于选项D，构造函数f(x)＝ln xx，所以f′(x)＝1－ln xx2，所以当0<x<e时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增；当x>e时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减.所以f(x)≤f(e)＝1e(当且仅当x＝e时取等号)，故ln π3>π，故π3>eπ，所以选项D错误；对于选项A，3e<πe，f(3)<f(e)，∴ln 33<ln ee，∴3e<e3，在f (x )≤1e 中，令x ＝e 2π，则ln e 2πe 2π<1e ，化简得ln π>2－e π，故eln π>e ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－e π>2.7×⎝⎛⎭⎪⎫2－2.723.1>2.7×(2－0.88)＝3.024>3，所以eln π>3，∴ln πe >ln e 3，∴πe >e 3.所以3e <e 3<πe ，所以选项A 正确；对于选项B ，在f (x )≤1e 中，令x ＝π，则ln ππ<ln e e，∴πe <e π，所以e 3<πe <e π，所以选项B 正确；对于选项C ，e π<3π，所以πe <e π<3π，所以选项C 正确.故选ABC.17.(多选)若实数t ≥2，则下列不等式一定成立的是( )A.(t ＋3)ln(t ＋2)>(t ＋2)ln(t ＋3)B.(t ＋1)t ＋2>(t ＋2)t ＋1C.1＋1t>log t (t ＋1)D.log t ＋1(t ＋2)>log t ＋2(t ＋3) 答案 ABD解析构造g (x )＝ln x x，则g ′(x )＝1－ln x x 2， g (x )在(e ，＋∞)单调递减，在(0，e)单调递增，因为t ≥2，t ＋3>t ＋2>e ，所以ln （t ＋3）t ＋3<ln （t ＋2）t ＋2，所以(t ＋2)ln(t ＋3)<(t ＋3)ln(t ＋2)，A 正确；同理ln（t＋1）t＋1>ln（t＋2）t＋2，所以(t＋2)ln(t＋1)>(t＋1)ln(t＋2)，B正确；令g(x)＝ln（x＋1）ln x(x≥3)，则g′(x)＝x ln x－（x＋1）ln（x＋1）x（x＋1）ln2x<0.故g(x)在[3，＋∞)上单调递减，且t＋1<t＋2. 所以g(t＋1)>g(t＋2)，所以ln（t＋2）ln（t＋1）>ln（t＋3）ln（t＋2），故log t＋1(t＋2)>log t＋2(t＋3)，D正确；对于C，当t＝2时，1＋12－log23＝32－log23＝log28－log29<0.故C错误.故选ABD.18.下列不等关系中正确的是( )A.ln 2＋ln 3>2ln 52B.13<ln 3－ln 2<12C.ln 2·ln 3>1D.ln 3ln 2<32答案 B解析对于A，ln 2＋ln 3－2ln 52＝ln 6－ln254＝ln2425，∵函数y＝ln x在(0，＋∞)上单调递增，∴ln 2425<ln 1＝0，则ln 2＋ln 3<2ln52，A不正确.对于B，ln 3－ln 2＝ln 32，因为e<278＝⎝⎛⎭⎪⎫323，e>94＝⎝⎛⎭⎪⎫322，即e13<32<e12，所以13<ln 3－ln 2<12，B 正确. 对于C ，易知，0<ln 2<ln 3，ln 2·ln 3<⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 2＋ln 322＝(ln 6)2<(ln e)2＝1，C 不正确.对于D ，ln 3ln 2＝log 23>log 28＝32，D 不正确.。

高考数学压轴题如何解题

高考数学压轴题如何解题
1. 复杂的效果复杂化，就是把一个复杂的效果，分解为一系列复杂的效果，把复杂的图形，分红几个基本图形，找相似，找直角，找特殊图形，渐渐求解，高考是分步得分的，这种思索方式尤为重要，能算的先算，能证的先证，踏上要点就能得分，就算结论出不来，中间还是有不少分能拿。

2. 运动的效果运动化，关于静态的图形，先把不变的线段，不变的角找到，有没有一直相等的线段，一直全等的图形，一直相似的图形，一切的运算都基于它们，在找到变化线段之间的联络，用代数式渐渐求解。

3. 普通的效果特殊化，有些普通的结论，找不到普通解法，先看特殊状况，比如动点效果，看看运动到中点怎样，运动到垂直又怎样，变成等腰三角形又会怎样，先找出结论，再渐渐求解。

另外，还有一些细节要留意，三角比要擅长运用，只需有直角就能够用上它，从简化运算的角度来看，三角比优于比例式优于勾股定理，中考命题不会设置太多的计算阻碍，假设遇上简易运算要及时回头，防止钻牛角尖。

假设遇到找相似的三角形，要切记先看角，再算边。

遇上找等腰三角形异样也是先看角，再看底边上的高(用三线合一)，最后才是边。

这都是能大大简化运算的。

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其判别式 ∆ = 16k 2 + 8(2k 2 +1) > 0 ，
类型三面积最小值存在性例 3【2015 高考湖北，文 22】一种画椭圆的工具如图 1 所示．O 是滑槽 AB 的中点，短杆 ON 可绕 O 转动，长杆 MN 通过 N 处铰链与 ON 连接，MN 上的栓子 D 可沿滑槽 AB 滑动，且 DN = ON = 1 ， MN = 3 ．当栓子 D 在滑槽 AB 内作往复运动时，带动 N 绕 O 转
=
5 4
(2 −
2m )2 3
− (2 −
2m 3
)(
x1
+
x2 ) +
x1 x2
= 5 (2 − 2m)2 − (2 − 2m )(− 4m) + 4m2 −12
43
33
3
= 10 m2 . 9
故存在常数 λ
=
4 ，使得
PT
2
=λ
PA
⋅
PB
.
5
类型二恒等式成立探究
例
2.
【2015
高考四川，理
20】如图，椭圆
6 / 30
所以 S∆OPQ
=
8(−1 +
2 1 − 4k 2
)
≥ 8 ，当且仅当 k
=
0
时取等号.所以当 k
=
0 时， S∆OPQ
的最小值为
8.
综合（1）（2）可知，当直线 l 与椭圆 C 在四个顶点处相切时， ∆OPQ 的面积取得最小值 8.
类型四面积关系探究
例
4.（2011
湖南理
21）如图
高考数学压轴题归纳总结及解题方法专题 38---探究代数表达式函数方程来发力
【题型综述】探究代数表达式包括以下若干类型：（1）参数值的探索，根据题中的条件将参数转化为关于直线与圆锥曲线的交点的坐标的方程或函数问题，若利用设而不求思想与韦达定理即可求出参数的值即存在，否则不存在 .(2)等式恒成立问题，根据题中条件和有关向量、距离公式、平面几何知识等方法，转化为关于直线与圆锥曲线的交点的坐标的方程或函数问题，若利用设而不求思想与韦达定理即可求出参数的值即存在。
=8
.
4k2 −1
当
k2
>
1 4
时，S∆OPQ
=
4k 2 8(
4k 2
+ 1) −1
=
8(1 +
2 )
4k 2 −1
>
8；
当0
≤
k2
<
1 4
时，S∆OPQ
= 8( 4k 2 + 1) 1− 4k2
=
8(−1
+
1
−
2 4k
2
)
.因
0
≤
k2
<
1 4
，则 0 < 1 − 4k 2
≤
1
，
1
−
2 4k
2
≥
2，
【典例指引】
类型一参数值的探究
例 1 【2016 年高考四川理数】（本小题满分 12 b2
= 1(a > b > 0) 的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个
顶点，直线 l : y = −x + 3与椭圆 E 有且只有一个公共点 T.
（Ⅰ）求椭圆 E 的方程及点 T 的坐标；
则 M (0, 2), N (0, − 2) ，
| QM | = | PM |
| y0 −
由
，有
| QN | | PN |
| y0 +
2|= 2|
2 2
−1 +1
，解得
y0
=1或
y0
=
2
.
所以，若存在不同于点 P 的定点 Q 满足条件，则 Q 点的坐标只可能为 Q(0, 2) .
下面证明：对任意的直线 l ，均有 | QA | = | PA | . | QB | | PB |
x2 E： a2
+
y2 b2
= 1(a > b > 0) 的离心率是
2
， 2
过点 P（0,1）的动直线 l 与椭圆相交于 A，B 两点，当直线 l 平行与 x 轴时，直线 l 被椭
圆 E 截得的线段长为 2 2 .
(1)求椭圆 E 的方程；
（2）在平面直角坐标系 xOy 中，是否存在与点 P 不同的定点 Q，使得
当直线 l 的斜率不存在时，由上可知，结论成立. 当直线 l 的斜率存在时，可设直线 l 的方程为 y = kx +1，A、B 的坐标分别为
(x1, y1), (x2 , y2 ) .
x2
联立 4
+
y2 2
= 1, 得 (2k 2
+ 1) x2
+ 4kx − 2 = 0 .
y = kx +1
4 / 30
．．动，M 处的笔尖画出的椭圆记为 C．以 O 为原点， AB 所在的直线为 x 轴建立如图 2 所示的平面直角坐标系．
（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；（Ⅱ）设动直线 l 与两定直线 l1 : x − 2 y = 0 和 l2 : x + 2 y = 0 分别交于 P, Q 两点．若直线 l 总
与椭圆 C 有且只有一个公共点，试探究：∆OPQ 的面积是否存在最小值？若存
恒成
立？若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由.
3 / 30
（2）当直线 l 与 x 轴平行时，设直线 l 与椭圆相交于 C、D 两点. 如果存在定点 Q 满足条件，则 | QC | = | PC | = 1，即| QC |=| QD | .
| QD | | PD |
所以 Q 点在 y 轴上，可设 Q 点的坐标为 (0, y0 ) . 当直线 l 与 x 轴垂直时，设直线 l 与椭圆相交于 M、N 两点.
（Ⅱ）设 O 是坐标原点，直线 l’平行于 OT，与椭圆 E 交于不同的两点 A、B，且与直线 l 交于点 P．证明：存在常数 λ ，使得 PT 2 = λ PA ⋅ PB ，并求 λ 的值.
1 / 30
方程②的判别式为 ∆=16(9 − 2m2 ) ，由 ∆>0 ，解得 − 3 2 < m < 3 2 .
2
2
由②得
x1
+
x2
=
−
4m 3
,
x1x2
=
4m2 −12 3
.
所以 PA =
(2 − 2m 3
− x1)2
+ (1+
2m 3
−
y1 )2
=
5 2
2 − 2m 3
− x1
，
2 / 30
同理 PB =
5 2
2−
2m 3
−
x2
，
所以
PA
⋅
PB
=
5 4
(2 −
2m 3
− x1)(2 −
2m 3
− x2 )
5 / 30
在，求出该最小值；若不存在，说明理由． y
N
DO
x
第 22 题图 1
M
第 22 题图 2
S∆OPQ
=
1 2
|
PQ
| ⋅d
=
1 2
|
m ||
xP
−
xQ
|=
1⋅| 2
m|
2m 1− 2k
+ 2m 1+ 2k
= 2m2 1 − 4k 2
.
②
将①代入②得，S∆OPQ
=
2m2 1− 4k2
4k 2 + 1
7,椭圆 C1
:
x2 a2
+
y2 b2
= 1(a
>b
> 0) 的离心率为
3 ,
x
轴被曲
2
线 C2 : y = x2 − b 截得的线段长等于 C1 的长半轴长.