2015届汕头一模文科数学试题及答案

广东省汕头市2015届普通高中毕业班教学质量监测
文科数学试题
参考公式：锥体体积公式为1
V 3
Sh =，其中S 为锥体的底面积、h 为锥体的高；
球的表面积公式为24R S π=，其中R 为球的半径；
方差公式为()()()222
2121n s x x x x x x n ⎡⎤=-+-+⋅⋅⋅+-⎣
⎦．
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1、集合{}1,0,1A =-，A 的子集中，含有元素0的子集共有（ ）
A ．8个
B ．4个
C ．3个
D ．2个
2、复数2
1i
-的实部与虚部之和为（ ）
A ．1-
B ．2
C ．1
D ．0 3、如图是某几何体的三视图，其中正视图和侧视图是半径为1的半圆，俯视图是个圆，则该几何体的全面积为（ ） A ．π B ．2π C ．3π D ．4π
4、已知实数x ，y 满足不等式组242x y x y x -≤⎧⎪
+≤⎨⎪≤⎩，则2z x y =+的最小
值是（ ）
A ．2
B ．4
C ．6
D ．7 5、已知平面向量a ，b 满足3a =，2b =，且()
a b a -⊥，则a 与b 的夹角为（ ）
A ．6π
B ．3
π C ．23π D ．56π
6、设l ，m 是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题中正确的是（ ）
A ．若//l α，m αβ=，则//l m
B ．若//l α，m l ⊥，则m α⊥
C ．若//l α，//m α，则//l m
D ．若l α⊥，//l β，则αβ⊥ 7、如图，在程序框图中，若输入3n =，则输出k 的值是（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 8、下列说法中，正确的是（ ）
A ．命题“若22am bm <，则a b <”的逆命题是真命题
B ．命题“R x ∃∈，2
0x
x ->”的否定是“R x ∀∈，20x x -≤” C ．命题“p 或q ”为真命题，则命题“p ”和命题“q ”均为真命题
D ．已知R x ∈，则“1x >”是“2x >”的充分不必要条件
9、设函数()sin 26f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，则下列结论正确的是（ ）
A ．()f x 的图象关于直线3x π
=对称
B ．()f x 的图象关于点,06π⎛⎫
⎪⎝⎭
对称
C ．()f x 的最小正周期为π，且在0,12π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦上为增函数
D ．把()f x 的图象向右平移12
π
个单位，得到一个偶函数的图象
10、设()f x 与()g x 是定义在同一区间[],a b 上的两个函数，若函数()()
y f x g x =-在[],x a b ∈上有两个不同的零点，则称()f x 和()g x 在[],a b 上是“关联函数”，区间[],a b 称为“关联区间”．若()234f x x x =-+与()2g x x m =+在[]0,3上是“关联函数”，则m 的取值范围为（ ）
A ．9,24⎛⎤-- ⎥⎝⎦
B ．[]1,0-
C ．(],2-∞-
D ．9,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭
二、填空题（本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．） （一）必做题（11～13题）
11、为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名年龄为17.5岁18岁的男生体重（kg ），得到频率分布直方图如右图： 根据右图可得这100名学生中体重在 []60.5,64.5的学生人数是 ．
12、已知C ∆AB 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，
b ，
c ，60∠A =，2c =，且C ∆AB 则a 边的长为 ．
13、已知函数()22f x mx nx =+-（0m >，0n >）的一个零点是2，则12
m n
+的最小值为 ．
（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）
14、（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系中，直线l 的参
数方程为33x t y t =+⎧⎨=-⎩（参数R t ∈），圆的参数方程为2cos 2sin 1
x y θ
θ=⎧⎨=+⎩（参
数[)0,2θπ∈），则圆心到直线l 的距离为 ．
15、（几何证明选讲选做题）如图，在C ∆AB 中，D //C E B ，DF//C A ， 2AE =，C 1E =，C 4B =，则F B = ．
三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
16、（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 满足23a =，3412a a +=．
()1求{}n a 的通项公式；
()2设12n
a n
b +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．
17、（本小题满分12分）以下茎叶图记录了甲组3名同学寒假假期中去图书馆A 学习的次数和乙组4名同学寒假假期中去图书馆B 学习的次数，乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以x 表示．
()1如果6x =，
求乙组同学去图书馆学习次数的平均数和方差； ()2如果7x =，从学习次数大于7的学生中选两名同学，求选
出的两名同学恰好分别在不同组且这两名同学学习的次数之
和不小于20的概率．
18、（本小题满分14分）已知向量()1,cos2a x =，(sin 2,b x =，函数()f x a b =⋅．
()1若3
x π
=
，求a ；
()2若26235f απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求512f πα⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭的值；
()3若0,2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，求函数()f x 的值域．
19、（本小题满分14分）如图，已知F A ⊥平面CD AB ，四边形F ABE 为矩形，四边形CD AB 为直角梯形，D 90∠AB =，//CD AB ，D F CD 2A =A ==，4AB =． ()1求证：F//A 平面C B E ；
()2求证：C A ⊥平面C B E ； ()3求三棱锥CF E -B 的体积．
20、（本小题满分14分）设函数()321
3
g x x ax =+的图象在1x =处的切线平行于直
线20x y -=．记()g x 的导函数为()f x ．
()1求函数()f x 的解析式；
()2记正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n *∀∈N ，()1
2
n n S f a =
，求n a ； ()3对于数列{}n b 满足：11
2b =，()1n n b f b +=，当2n ≥，n *∈N 时，求证：
1211112111n
b b b <
++⋅⋅⋅+<+++．
21、（本小题满分14分）已知函数()()1
2ln 2f x a x ax x
=-+
+（0a ≤）． ()1当0a =时，求()f x 的极值；
()2当0a <时，讨论()f x 的单调性；
()3若()3,2a ∀∈--，1x ，[]21,3x ∈，有()()()12ln 32ln 3m a f x f x +->-，求实数
m 的取值范围．
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文科数学参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题的4个选项中,只有一项是符合题目要求的.
二、填空题：本大题共5小题, 考生作答４小题，每小题5分,共20分. 11. 24 12.3 13. 8 14.
225 15. 3
4 三、解答题：本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16.解：【答案】解:(1)设等差数列{}n a 的公差为d .由题意知
⎩⎨
⎧=+++=+12
323
111d a d a d a ……2分（每式1分） 解得,2,11==d a …… 4分（每式1分） ∴12-=n a n (n N *∈) ……6分 (2)由题意知, n a n n b 21
22
==+ (n N *∈), …… 7分
n n T 26422222++++=
4
1)41(4--=n …… 10分
)14(3
4-=
n
…… 12分 17.解(1)当x =6时,由茎叶图可知,乙组同学去图书馆学习次数是:6,7,8,11, …… 1分 所以平均数为84
11
876_
=+++=x …… 2分
方差为2
7
])811()88()87()86[(4122222
=-+-+-+-=
s …… 5分 （列式2分，答案1分）
(2)甲组中学习次数大于7的同学有3名，记为A 1,A 2,A 3,他们去图书馆学习次数 依次为9,11,12;
乙组中学习次数大于7的同学有2名，记为B 1,B 2,他们去图书馆学习次数依次 为8,11; …… 6分
从学习次数大于7的学生中选两名学生,所有可能的结果有10个,它们是:
A 1A 2,A 1A 3,A 1
B 1,A 1B 2,A 2A 3,A 2B 1,A 2B 2,A 3B 1,A 3B 2,B 1B 2 ……8分 用事件
C 表示:“选出的两名同学恰好分别在不同组且这两名同学学习的次数之和不小于
20”这一事件,则C 中的结果有4个,它们是:A 1B 2,A 2B 2,A 3B 1,A 3B 2, …… 10分
故根据古典概型，选出的两名同学恰好分别在不同组且这两名同学学习的次数之和不小于20
的概率为52
104)(==
C P …… 12分 18. 解：（1）)2
1
,1()32cos ,1(-==→πa ，…… 1分 2
5
)21(1||22=
-+=→
a …… 2分 （2）)3
2sin(22cos 32sin )(π
-=-=x x x x f …… 3分
)sin(2]3
)322(2sin[2)322
(
παππαπα
+=-+=+
f ……4分 56sin 2=-=α 5
3
sin -=∴α，…… 5分
因此，
)2
2sin(2]3)125(2sin[2)125(π
αππαπα+=-+=+
f ……6分 α2cos 2=……７分 )sin 21(22α-=…… 8分
25
14
])53(21[22=-⨯-=…… 9分
（3） ]2,0[π∈x ∴]3
2,
3[32π
ππ-∈-x …… 10分 ∴ ]1,2
3
[)32sin(-
∈-πx …… 12分 ∴]2,3[)(-∈x f ，…… 13分
即)(x f 的值域是]2,3[-．…… 14分 19． 解：（1）因为四边形ABEF 为矩形，
所以⊂BE BE AF ,//平面BCE ，⊄AF 平面BCE ， 所以//AF 平面BCE ．…… 3分
（２）过C 作AB CM ⊥，垂足为M ， 因为,DC AD ⊥所以四边形ADCM 为矩形．
所以2==MB AM ，又因为4,2==AB AD 所以22=AC ，2=CM ，22=BC
所以2
22AB BC AC =+，所以BC AC ⊥；…… 5分
因为AF ⊥平面ABCD ，,//BE AF 所以BE ⊥平面ABCD ，所以AC BE ⊥，……7分
E
C
又因为⊂BE 平面BCE ，⊂BC 平面BCE ，B BC BE =⋂ 所以⊥AC 平面BCE ． ……9分
（３）因为AF ⊥平面ABCD ，所以CM AF ⊥，…… 10分
又因为AB CM ⊥，⊂AF 平面ABEF ，⊂AB 平面ABEF ，A AB AF =⋂ 所以⊥CM 平面ABEF ．…… 12分
82426
1213131=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=⨯==∆--CM EF BE CM S V V BEF BEF C BCF E …13分 3
8
24261213131=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=⨯=∆CM EF BE CM S BEF F
…14分 20.解:（1）∵函数321
()3
g x x ax =+的导函数为2()2f x x ax =+，……1分
由于在1x =处的切线平行于20x y -=， ∴122a += 解出：1
2
a =
…… 2分 即x x x f +=2)(…… 3分
（2）)(2
12
n n n a a S +=
)(21,112
111a a S a n +===，得11=a 或01=a （舍去）…… 4分
,2≥n )(2
112
11---+=n n n a a S
)]()[(2112
121----+-=-n n n n n n a a a a S S ，…… 5分
即有)()(212
12---+-=n n n n n a a a a a
0)1)((11=--+--n n n n a a a a …… 6分 因为0>n a ，故11=--n n a a …… 7分
所以数列}{n a 是首项为1，公差为1的等差数列， n n a n =-+=)1(1 ……8分 (3) ∵)1(1+=+n n n b b b
∴n n n n n b b b b b +-=+=+111)1(111，…… 9分 即有11111+-=+n n n b b b …10分 ∴,1111211b b b -=+,1111322b b b -=+,1111433b b b -=+．．．，,11111
+-=+n n n b b b ∴1
13221211
211...111111...1111++-=-++-+-=++++++=n n n n n b b b b b b b b b b T …11分 2<…… 12分
而当2n ≥时, 2
12111
1111...1111b b b b b T n n
+++≥++++++=
…13分
121
267432>=+=
∴211
...1111121<++++++<
n
b b b …14分
21.解：（1）当0a =时，()()22
12121
2ln ,(0).x f x x f x x x x x x -'=+=-=
>……2分 （求导1分、标出定义域1分） 由()2
210x f x x -'=
>,解得1
2x >.
∴()f x 在10,2⎛
⎫ ⎪⎝⎭上是减函数，在1,2⎛⎫
+∞
⎪⎝⎭
上是增函数. ……………………… 3分 ∴()f x 的极小值为122ln 22f ⎛⎫
=-
⎪⎝⎭
，无极大值.………… 4分 （2）()()()()2222
22112121
2(0)ax a x ax x a f x a x x x x x +--+--'=-+==>. …6分
①当20a -<<时，()f x 在10,2⎛
⎫ ⎪⎝⎭和1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上是减函数，在11,2a ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
上是增函数；………7分
②当2a =-时，()f x 在()0,+∞上是减函数；………………………8分 ③当2a <-时，()f x 在1,2⎛⎫+∞
⎪⎝⎭和10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上是减函数，在11,2a ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
上是增函数.9分
（3）当32a -<<-时，由（2）可知()f x 在[]1,3上是减函数，…10分 ∴()()()()()122
1342ln 33
f x f x f f a a -≤-=
-+-. ……………… 11分 由()()()12ln 32ln 3m a f x f x +->-对任意的()[]123,2,,1,3a x x ∈--∈恒成立， ∴()()()12max ln 32ln 3m a f x f x +->- …………………12分 即()()2
ln 32ln 342ln 33
m a a a +->-+-对任意32a -<<-恒成立， 即2
43m a
<-+
对任意32a -<<-恒成立， …………… 13分 由于当32a -<<-时，132384339a -<-+<-，∴133
m ≤-. …………… 14分。