2013届高三数学直线的斜率与直线方程复习学案文苏教版

合集下载

苏教版高三数学复习课件8.1 直线的方程

时，k也是关于α的单调函数，当α在此区间内由
增大到π(α≠π)时，
k由－∞趋近于0(k≠0)，当然解决此类问题时，也可采用数形结合思想，
借助图形直观地作出判断．
1．直线的斜率与倾斜角 (1)直线的斜率

已知两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，如果x1≠x2，那么直线PQ的斜率
k＝
不存在
2．由于直线方程有多种形式，各种形式适用的条件、范围不同，在
具体求
直线方程时，由于所给的条件和采用的直线形式所限，可能会产
【知识拓展】
求直线的斜率及倾斜角的范围
(1)斜率k是一个实数，每条直线都存在唯一的倾斜角，但并不是每条
直线都
(2)在分析直线的倾斜角和斜率的关系时，要根据正切函数k＝tan α是单存在斜率．倾斜角为90°的直线无斜率．调函数，当α∈ 由0增大到时，k由0增大到＋∞；当α∈
＝
(x1≠x2 )。
(2)直线的倾斜角．斜率
在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，把x轴所在的直线绕着
逆时针
交点按的倾斜角．
方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角称为这条直线
0°
2．直线方程的五种形式
名称点斜式斜截式两点式方程 y－y0＝k(x－x0) y＝kx＋b 适用范围不含直线x＝x0 不含垂直于x轴的直线不含直线x＝x1(x1≠x2)和直线y＝y1(y1≠y2)
单调函数，因此当k的取值连续时，直线倾斜角的取值范围有时却是断
开的，如本题就是．
【答题模板】
解：由题意，得直线2xsin α＋2y－5＝0的斜率为k＝－sin α.
又－1≤sin α≤1，

直线的倾斜角和斜率--教案二：第一课时

直线的倾斜角和斜率--教案二：第一课时●教学目标(一)教学知识点1.“直线的方程”与“方程的直线”的概念.2.直线的倾斜角和斜率.3.斜率公式(二)能力训练要求1.了解“直线的方程”和“方程的直线”的概念.2.理解直线的倾斜角和斜率的定义.3.已知直线的倾斜角，会求直线的斜率.4.已知直线的斜率，会求直线的倾斜角.(三)德育渗透目标1.认识事物之间的相互联系.2.用联系的观点看问题.●教学重点直线的倾斜角和斜率概念.●教学难点斜率概念理解与斜率公式.●教学方法学导式本小节从一个具体的一次函数与它的图象入手，引入直线的方程与方程的直线概念，注重了由浅及深的学习规律，并体现了由特殊到一般的研究方法.引导学生认识到之所以引入直线在平面直角坐标系中的倾斜角和斜率概念，是由于进一步研究直线方程的需要.在直线倾斜角和斜率学习过程中，要引导学生注重导求倾斜角与斜率的相互联系，以及它们与三角函数知识的联系.在对倾斜角及斜率这两个概念进行辨析时，应以倾斜角与斜率的相互变化作为突破口.●教具准备投影片三张第一张：“直线的方程”与“方程的直线”概念（记作§7.1.1 A）第二张：斜率公式推导过程（记作§7.1.1 B）第三张：本节例题（记作§7.1.1 C）●教学过程Ⅰ.课题导入［师］在初中，我们已经学习过一次函数，并接触过一次函数的图象，现在，请同学们作一下回顾，一次函数的图象有何特点?［生］一次函数形如y＝kx＋b，它的图象是一条直线.［师］如果我们现在对于一给定函数y＝2x＋1，如何作出它的图象.［生］由于两点确定一条直线，所以在直线上任找两点即可.［师］这两点与函数式y＝2x＋1有何关系?［生］这两点就是满足函数式的两对x，y值.［师］好，这一同学回答的完全正确.从上述作图过程可以看出，满足函数式y＝2x＋1的每一对x，y的值都是函数y＝2x＋1的图象上的点，也就是一条直线上的点；同样，这条直线上的每一点的坐标都满足函数式y＝2x＋1.因此，我们可以得到这样一个结论：一般地，一次函数y＝kx＋b 的图象是一条直线，它是以满足y ＝kx ＋b 的每一对x 、y 的值为坐标的点构成的.由于函数式y ＝kx ＋b 也可以看作二元一次方程.所以我们可以说，这个方程的解和直线上的点也存在这样的对应关系.［师］有了上述基础，我们也就不难理解“直线的方程”和“方程的直线”的基本概念. Ⅱ.讲授新课1.直线方程的概念：(给出投影片§7.1.1 A)以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点，反过来，这条直线上的点的坐标都是这个方程的解，这时，这个方程就叫做这条直线的方程，这条直线叫做这个方程的直线.［师］在平面直角坐标系中研究直线时，就是利用直线与方程的这种关系，建立直线的方程的概念，并通过方程来研究直线的有关问题.为此，我们先研究直线的倾斜角和斜率.下面，请同学们通过自学了解直线的倾斜角与斜率的有关概念，并注意它们的变化范围.2.直线的倾斜角与斜率：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α，那么α就叫做直线的倾斜角.当直线和x 轴平行或重合时，我们规定直线的倾斜角为0°.［师］因此，根据定义，我们可以得到倾斜角的取值范围是0°≤α＜1８0°.倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用k 表示. 为使大家巩固倾斜角和斜率的概念，我们来看下面的概念辨析题.关于直线的倾斜角和斜率，下列哪些说法是正确的.A.任一条直线都有倾斜角，也都有斜率；B.直线的倾斜角越大，它的斜率就越大；C.平行于x 轴的直线的倾斜角是0或π；D.两直线的倾斜角相等，它们的斜率也相等.E.直线斜率的范围是(－∞，＋∞).［生］上述说法中，E 正确，其余均错误，原因如下：A.与x 轴垂直的直线倾斜角为2π，但斜率不存在；B.举反例说明，120°＞30°，但ta n120°＝－3＜tan30°＝33；C.平行于x 轴的直线的倾斜角为0；D.如果两直线的倾斜角都是2π，但斜率不存在，也就谈不上相等.［师］通过上面的练习，我们可以总结出如下几点(板书)说明：①当直线和x 轴平行或重合时，我们规定直线的倾斜角为0°；②直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜1８0°；③倾斜角是90°的直线没有斜率.［师］下面我们对于“两点确定一条直线”这一事实，研究怎样用两点的坐标来表示直线的斜率.3.斜率公式：经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2（x 2，y 2）的直线的斜率公式：k ＝1212x x y y --（x 1≠x 2） (给出投影片§7.1.1 B)推导：设直线P 1P 2的倾斜角是α，斜率是k ，向量21P P 的方向是向上的(如上图所示).向量21P P 的坐标是(x 2－x 1，y 2－y 1).过原点作向量21P P OP =，则点P 的坐标是(x 2－x 1，y 2－y 1)，而且直线OP 的倾斜角也是α，根据正切函数的定义，tan α＝1 212x x y y --（x 1≠x 2）即k ＝1212x x y y --（x 1≠x 2）同样，当向量12P P 的方向向上时也有同样的结论.［师］下面通过例题讲评逐步熟悉斜率公式.4.例题讲解：［例1］如图，直线l 1的倾斜角α1＝30°，直线l 1⊥l 2，求l 1、l 2的斜率.分析：对于直线l 1的斜率，可通过计算tan30°直接获得，而直线l 2的斜率则需要先求出倾斜角α2，而根据平面几何知识，α2＝α1＋90°，然后再求tan α2即可.解：l 1的斜率k 1＝tan α1＝tan30°＝33，∵l 2的倾斜角α2＝90°＋30°＝120°，∴l 2的斜率k 2＝tan120°＝tan （1８0°－60°）＝－tan60°＝－3.评述：此题要求学生掌握已知直线的倾斜角求斜率，其中涉及到三角函数的诱导公式及特殊角正切值的确定.［例2］直线经过点A (sin70°，cos70°)，B （cos ４0°，sin ４0°），则直线l 的倾斜角为( )A.20°B.４0°C.50°或70°D.120°参考公式：sin α－sin β＝2cos 2βα+sin 2βα-，cos α－cos β＝－2sin 2βα+ｓi ｎ2βα-. 分析：若想求出l 的倾斜角，则应先由斜率公式求出l 的斜率.思路较为明确，但关键在于运用斜率公式后三角函数的变形.考虑到这一点，题目给出两个参考公式，但仍对学生解题的灵活性有一定要求，其中，若想利用参考公式，需要对分子、分母进行函数名的统一、希望给予学生一定的启示.解：设l 的倾斜角为α，则tan α＝?-??-?40cos 70sin 40sin 70cos 3)10sin(30sin 2)10sin(30cos 240cos 20cos 40sin 20sin -=?-?-?-?=?-??-?=又α∈［0，π］∴α＝120°故选D.［师］接下来，我们通过练习来熟悉已知直线的倾斜角求斜率，并明确倾斜角变化时，斜率的变化情况.Ⅲ.课堂练习1.已知直线的倾斜角，求直线的斜率：(1)α＝0°；（2）α＝60°(3)α＝90°；（４）α＝43π 分析：通过此题训练，意在使学生熟悉特殊角的斜率.解：(1)∵tan0°＝0∴倾斜角为0°的直线斜率为0；(2)∵tan60°＝3∴倾斜角为60°的直线斜率为3；(3)∵tan90°不存在∴倾斜角为90°的直线斜率不存在；(4)∵tan43π＝tan （π－4π）＝－tan 4π＝－1，∴倾斜角为43π的直线斜率为－1. 2.已知直线的倾斜角的取值范围，利用正切函数的性质，讨论直线斜率及其绝对值的变化情况：(1)0°＜α＜90°解：作出y ＝tan α在(0°，90°）区间内的函数图象；由图象观察可知：当α∈（0°，90°），y ＝tan α＞0，并且随着α的增大，y 不断增大，｜y ｜也不断增大.所以，当α∈（0°，90°）时，随着倾斜角α的不断增大，直线斜率不断增大，直线斜率的绝对值也不断增大.(2)90°＜α＜1８0°解：作出y ＝tan α在(90°，1８0°）区间内的函数图象，由图象观察可知：当α∈(90°，180°），y ＝tan α＜0，并且随着α的增大，y＝tan α不断增大，｜y ｜不断减小.所以当α∈（90°，1８0°)时，随着倾斜角α的不断增大，直线的斜率不断增大，但直线斜率的绝对值不断减小.［师］针对此题结论，虽然有当α∈（0°，90°），随着α增大直线斜率不断增大；当α∈（90°，1８0°），随着α增大直线斜率不断增大，但是当α∈（0°，90°）∪（90°，1８0°）时，随着α的增大直线斜率不断增大却是一错误结论.原因在于正切函数y ＝tan α在区间(0，90°）内为单调增函数，在区间(90°，1８0°）内也是单调增函数，但在(0°，90°）∪（90°，1８0°)区间内，却不具有单调性.Ⅳ.课时小结通过本节学习，要求大家掌握已知直线的倾斜角求斜率，理解斜率公式的推导，为下一节斜率公式的应用打好基础.Ⅴ.课后作业(一)课本P 37习题7.11.在同一坐标平面内，画出下列方程的直线：l 1：2x ＋3y －6＝0 l 3：2x ＋3y ＋6＝0l 2：2x －3y ＋6＝02.已知直线的倾斜角，求直线的斜率：(1)α＝30°；（2）α＝４5°；（3）α＝65π；（４）α＝32π；（5）α＝８9°；（6）α＝2. 解：(1)∵tan30°＝3 3，∴直线斜率为33；(2)∵tan ４5°＝1，∴直线的斜率为1；(3)∴tan 65π＝－tan 6π＝－33，∴直线斜率为－33；(4)∵tan 32π＝－tan 3π＝－3，∴直线斜率为－3；(5)∵tan ８9°＝57.29，∴直线的斜率为57.29. (6)∵tan2＝－2.1８４，∴直线的斜率为－2.1８４.(二)1.预习内容：斜率公式2.预习提纲：尝试总结斜率公式的特点. ●板书设计。

高三数学总复习直线的倾斜角和斜率教案

芯衣州星海市涌泉学校师范大学附属中学高三数学总复习教案：直线的倾斜角和斜率一、教学目的(一)知识教学点知道一次函数的图象是直线，理解直线方程的概念，掌握直线的倾斜角和斜率的概念以及直线的斜率公式．(二)才能训练点通过对研究直线方程的必要性的分析，培养学生分析、提出问题的才能；通过建立直线上的点与直线的方程的解的一一对应关系、方程和直线的对应关系，培养学生的知识转化、迁移才能．(三)学科浸透点分析问题、提出问题的思维品质，事物之间互相联络、互相转化的辩证唯物主义思想．二、教材分析1．重点：通过对一次函数的研究，学生对直线的方程已有所理解，要对进一步研究直线方程的内容进展介绍，以激发学生学习这一部分知识的兴趣；直线的倾斜角和斜率是反映直线相对于x轴正方向的倾斜程度的，是研究两条直线位置关系的重要根据，要正确理解概念；斜率公式要在纯熟运用上多下功夫．2．难点：一次函数与其图象的对应关系、直线方程与直线的对应关系是难点．由于以后还要专门研究曲线与方程，对这一点只需一般介绍就可以了．3．疑点：是否有继续研究直线方程的必要？三、活动设计启发、考虑、问答、讨论、练习．四、教学过程(一)复习一次函数及其图象一次函数y=2x+1，试判断点A(1，2)和点B(2，1)是否在函数图象上．初中我们是这样解答的：∵A(1，2)的坐标满足函数式，∴点A在函数图象上．∵B(2，1)的坐标不满足函数式，∴点B不在函数图象上．如今我们问：这样解答的理论根据是什么？(这个问题是本课的难点，要给足够的时间是是让学生考虑、体会．)讨论答题：判断点A在函数图象上的理论根据是：满足函数关系式的点都在函数的图象上；判断点B 不在函数图象上的理论根据是：函数图象上的点的坐标应满足函数关系式．简言之，就是函数图象上的点与满足函数式的有序数对具有一一对应关系．(二)直线的方程引导学生考虑：直角坐标平面内，一次函数的图象都是直线吗？直线都是一次函数的图象吗？一次函数的图象是直线，直线不一定是一次函数的图象，如直线x=a连函数都不是．一次函数y=kx+b，x=a都可以看作二元一次方程，这个方程的解和它所表示的直线上的点一一对应．以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点；反之，这条直线上的点的坐标都是这个方程的解．这时，这个方程就叫做这条直线的方程；这条直线就叫做这个方程的直线．上面的定义可简言之：(方程)有一个解(直线上)就有一个点；(直线上)有一个点(方程)就有一个解，即方程的解与直线上的点是一一对应的．显然，直线的方程是比一次函数包含对象更广泛的一个概念．(三)进一步研究直线方程的必要性通过研究一次函数，我们对直线的方程已有了一些理解，但有些问题还没有完全解决，如y=kx+b中k的几何含意、直线上一点和直线的方向怎样求直线的方程、怎样通过直线的方程来研究两条直线的位置关系等都有待于我们继续研究．(四)直线的倾斜角一条直线l向上的方向与x轴的正方向所成的最小正角，叫做这条直线的倾斜角，如图1-21中的α．特别地，当直线l和x轴平行时，我们规定它的倾斜角为0°，因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°．直线倾斜角角的定义有下面三个要点：(1)以x轴正向作为参考方向(始边)；(2)直线向上的方向作为终边；(3)最小正角．按照这个定义不难看出：直线与倾角是多对一的映射关系．(五)直线的斜率倾斜角不是90°的直线．它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率．直线的斜率常用k表示，即直线与斜率之间的对应不是映射，因为垂直于x轴的直线没有斜率．(六)过两点的直线的斜率公式在坐标平面上，两点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)，由于两点可以确定一条直线，直线P1P2就是确定的．当x1≠x2时，直线的倾角不等于90°时，这条直线的斜率也是确定的．怎样用P2和P1的坐标来表示这条直线的斜率？P2分别向x轴作垂线P1M1、P2M2，再作P1Q⊥P2M，垂足分别是M1、M2、Q．那么：α=∠QP1P2(图1-22甲)或者者α=π-∠P2P1Q(图1-22乙)综上所述，我们得到经过点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)两点的直线的斜率公式：对于上面的斜率公式要注意下面四点：(1)当x1=x2时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°；(2)k与P1、P2的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到．(七)例题例1如图1-23，直线l1的倾斜角α1=30°，直线l2⊥l1，求l1、l2的斜率．∵l2的倾斜角α2=90°+30°=120°，本例题是用来复习稳固直线的倾斜角和斜率以及它们之间的关系的，可由学生课堂练习，学生演板．例2求经过A(-2，0)、B(-5，3)两点的直线的斜率和倾斜角．∴tgα=-1．∵0°≤α＜180°，∴α=135°．因此，这条直线的斜率是-1，倾斜角是135°．讲此例题时，要进一步强调k与P1P2的顺序无关，直线的斜率和倾斜角可通过直线上的两点的坐标求得．(八)课后小结(1)直线的方程的倾斜角的概念．(2)直线的倾斜角和斜率的概念．(3)直线的斜率公式．五、布置作业1．(练习第1题)在坐标平面上，画出以下方程的直线：(1)y=x(2)2x+3y=6(3)2x+3y+6=0(4)2x-3y+6=0作图要点：利用两点确定一条直线，找出方程的两个特解，以这两个特解为坐标描点连线即可．2．(练习第2题)求经过以下每两个点的直线的斜率和倾斜角：(1)C(10，8)，D(4，-4)；解：(1)k=2α=arctg2．(3)k=1，α=45°．3．(练习第3题)：a、b、c是两两不相等的实数，求经过以下每两个点的直线的倾斜角：(1)A(a，c)，(b，c)；(2)C(a，b)，D(a，c)；(3)P(b，b+c)，Q(a，c+a)．解：(1)α=0°；(2)α=90°；(3)α=45°．4．三点A(a，2)、B(3，7)、C(-2，-9a)在一条直线上，务实数a的值．∵A、B、C三点在一条直线上，∴kAB=kAC．六、板书设计。

高三复习--直线方程教案

数学课程教案科目数学章节直线方程授课题目（教学章、节或主题）：直线方程教学目的、要求（分掌握、熟悉、了解三个层次）：1、通过本次课的学习初步建立学习的信心。

2、掌握直线方程的基本表达式。

3、直线方程的简单应用。

教学重点及难点：直线方程的简单应用。

教学基本内容方法及手段1、高三复习八大诀窍2、直线方程的五种基本表达式。

3、直线方程简单应用。

1、讲授法2、讨论法3、练习法作业、讨论题、思考题：见发给学生试卷。

课后小结：通过本次课的学习，学生掌握了直线方程的5种基本表达式及简单应用。

附页：教学内容高三第一轮复习8大诀窍高考(论坛)是大家学习中的重要环节，甚至可以说是每一位学生一生中的一个重要“关口”，而要顺利通过这个关口，高三一年的学习是至关重要的。

高考虽然是通过一次考试来选拔人才，但它绝不仅仅是一次知识上的考察，而是对学生高中三年，以至于进入学校十几年来的综合能力的检验。

高三的学习不同于高一、高二学习，他不是高一、高二的知识重复，而是基础知识的重组和提高，如何顺利完成高三一年的学习，不仅是每一位高三学生，也是学生家长迫切想知道的，下面是给同学的一些建议，希望能对同学在高三的学习过程中较好的处理各种困难，顺利进入高等学校。

1．关于“听话”高三学生首先要做到“听话”，这里的“听话”是全方位的。

如果你认为高三学习是第一位的，而忽视了对自己的日常行为的要求，那你就错了，学校和老师在高三一年中不会因为学习任务的加重，而放松对纪律的要求，反而会强化纪律以保证学习的正常进行。

学习上更要听话，而不听老师的教诲，认为自有一套很好的复习方法的学生（每年都有）最后会碰的“头破血流”的。

2．关于“上课”高考是个人行为，也是集体行为，复习中最重要的环节就是“听讲”，这就要求学生上课时紧跟老师，仔细听讲，积极思考，倾听别人的想法，提出自己的见解，在讨论中完成对知识、方法、能力的提高。

如果高三任课教师发生变化，大家应该尽快适应。

高考数学考点突破——直线与圆：直线的倾斜角与斜率、直线的方程

直线的倾斜角与斜率、直线的方程【考点梳理】1．直线的倾斜角(1)定义：当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角．当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0.(2)范围：直线l 倾斜角的取值范围是[0，π)． 2．斜率公式(1)直线l 的倾斜角为α≠90°，则斜率k ＝tan_α.(2)P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)在直线l 上，且x 1≠x 2，则l 的斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1. 3．直线方程的五种形式考点一、直线的倾斜角和斜率【例1】(1)直线2x cos α－y －3＝0⎝ ⎛⎭⎪⎫α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3的倾斜角的取值范围是( ) A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，2π3(2)若直线l 过点P (－3，2)，且与以A (－2，－3)，B (3，0)为端点的线段相交，则直线l的斜率的取值范围是________．[答案] (1) B (2) ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5，－13 [解析] (1)直线2x cos α－y －3＝0的斜率k ＝2cos α，因为α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3，所以12≤cos α≤32，因此k ＝2cos α∈[1，3].设直线的倾斜角为θ，则有tan θ∈[1，3].又θ∈[0，π)，所以θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3，即倾斜角的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3. (2)因为P (－3，2)，A (－2，－3)，B (3，0)，则k PA ＝－3－2－2－－＝－5，k PB ＝0－23－－＝－13.如图所示，当直线l 与线段AB 相交时，直线l 的斜率的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5，－13.【类题通法】1．(1)任一直线都有倾斜角，但斜率不一定都存在；直线倾斜角的范围是[0，π)，斜率的取值范围是R .(2)正切函数在[0，π)上不单调，借助图象或单位圆数形结合，确定倾斜角α的取值范围． 2．第(2)问求解要注意两点： (1)斜率公式的正确计算；(2)数形结合写出斜率的范围，切莫误认为k ≤－5或k ≥－13.【对点训练】1．直线x sin α＋y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是( ) A ．[0，π)B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，πC ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫π2，π [答案] B[解析] 设直线的倾斜角为θ，则有tan θ＝－sin α.因为sin α∈[－1，1]，所以－1≤tan θ≤1，又θ∈[0，π)，所以0≤θ≤π4或3π4≤θ<π，故选B.2．直线l 过点P (1，0)，且与以A (2，1)，B (0，3)为端点的线段有公共点，则直线l 斜率的取值范围为________.[答案] (－∞，－3]∪[1，＋∞)[解析] 法一设PA 与PB 的倾斜角分别为α，β，直线PA 的斜率是k AP ＝1，直线PB 的斜率是k BP ＝－3，当直线l 由PA 变化到与y 轴平行的位置PC 时，它的倾斜角由α增至90°，斜率的取值范围为[1，＋∞).当直线l 由PC 变化到PB 的位置时，它的倾斜角由90°增至β，斜率的变化范围是(－∞，－3].故斜率的取值范围是(－∞，－3]∪[1，＋∞).法二设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为y ＝k (x －1)，即kx －y －k ＝0. ∵A ，B 两点在直线l 的两侧或其中一点在直线l 上， ∴(2k －1－k )(－3－k )≤0，即(k －1)(k ＋3)≥0，解得k ≥1或k ≤－ 3.即直线l 的斜率k 的取值范围是(－∞，－3]∪[1，＋∞).考点二、求直线的方程【例2】(1)已知直线l 过点(1，0)，且倾斜角为直线l 0：x －2y －2＝0的倾斜角的2倍，则直线l 的方程为( )A ．4x －3y －3＝0B ．3x －4y －3＝0C ．3x －4y －4＝0D ．4x －3y －4＝0(2)若A (1，－2)，B (5，6)，直线l 经过AB 的中点M 且在两坐标轴上的截距相等，则直线l 的方程是．[答案] (1) D (2) 2x －3y ＝0或x ＋y －5＝0[解析] (1)由题意可设直线l 0，l 的倾斜角分别为α，2α，因为直线l 0：x －2y －2＝0的斜率为12，则tan α＝12，所以直线l 的斜率k ＝tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×121－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝43，所以由点斜式可得直线l 的方程为y －0＝43(x －1)，即4x －3y －4＝0.(2)法一：设直线l 在x 轴，y 轴上的截距均为a . 由题意得M (3，2).若a ＝0，即l 过点(0，0)和(3，2)，所以直线l 的方程为y ＝23x ，即2x －3y ＝0.若a ≠0，设直线l 的方程为x a ＋y a＝1，因为直线l 过点M (3，2)，所以3a ＋2a＝1，所以a ＝5，此时直线l 的方程为x 5＋y5＝1，即x ＋y －5＝0.综上，直线l 的方程为2x －3y ＝0或x ＋y －5＝0.法二：易知M (3，2)，由题意知所求直线l 的斜率k 存在且k ≠0，则直线l 的方程为y －2＝k (x －3).令y ＝0，得x ＝3－2k；令x ＝0，得y ＝2－3k .所以3－2k ＝2－3k ，解得k ＝－1或k ＝23.所以直线l 的方程为y －2＝－(x －3)或y －2＝23(x －3)，即x ＋y －5＝0或2x －3y ＝0. 【类题通法】1．截距可正、可负、可为0，因此在解与截距有关的问题时，一定要注意“截距为0”的情况，以防漏解．2．求直线方程的方法主要有两种：直接法与待定系数法．运用待定系数法要先设出直线方程，再根据条件求出待定系数．利用此方法，注意各种形式的适用条件，选择适当的直线方程的形式至关重要．【对点训练】1．过点A (－1，－3)且倾斜角等于直线y ＝3x 的倾斜角的2倍的直线方程是． [答案] 3x ＋4y ＋15＝0[解析] 由已知设直线y ＝3x 的倾斜角为α，则所求直线的倾斜角为2α. ∵tan α＝3，∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－34. 又直线经过点A (－1，－3)，因此所求直线方程为y ＋3＝－34(x ＋1)，即3x ＋4y ＋15＝0.2．过点M (3，－4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为____________. [答案] 4x ＋3y ＝0或x ＋y ＋1＝0 [解析] 若直线过原点，则k ＝－43，所以y ＝－43x ，即4x ＋3y ＝0.若直线不过原点，设直线方程为x a ＋y a＝1，即x ＋y ＝a .则a ＝3＋(－4)＝－1，所以直线的方程为x ＋y ＋1＝0.考点三、直线方程的综合应用【例3】已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R ). (1)证明：直线l 过定点；(2)若直线不经过第四象限，求k 的取值范围；(3)若直线l 交x 轴负半轴于A ，交y 轴正半轴于B ，△AOB 的面积为S (O 为坐标原点)，求S 的最小值并求此时直线l 的方程.[解析] (1)直线l 的方程可化为k (x ＋2)＋(1－y )＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＝0，1－y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝1. ∴无论k 取何值，直线总经过定点(－2，1). (2)由方程知，当k ≠0时，直线在x 轴上的截距为－1＋2kk，在y 轴上的截距为1＋2k ，要使直线不经过第四象限，则必须有⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2k k ≤－2，1＋2k ≥1，解得k >0；当k ＝0时，直线为y ＝1，符合题意，故k 的取值范围是[0，＋∞).(3)由题意可知k ≠0，再由l 的方程，得A ⎝⎛⎭⎪⎫－1＋2k k，0，B (0，1＋2k ).依题意得⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2k k <0，1＋2k >0，解得k >0. ∵S ＝12·|OA |·|OB |＝12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋2k k ·|1＋2k |＝12·（1＋2k ）2k ＝12⎝⎛⎭⎪⎫4k ＋1k ＋4≥12×(2×2＋4)＝4， “＝”成立的条件是k >0且4k ＝1k ，即k ＝12，∴S min ＝4，此时直线l 的方程为x －2y ＋4＝0. 【类题通法】1．含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过定点的直线系，即能够看出“动中有定”.2．求解与直线方程有关的最值问题，先求出斜率或设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值. 【对点训练】1．直线l ：(a －2)x ＋(a ＋1)y ＋6＝0，则直线l 恒过定点________. [答案] (2，－2)[解析] 直线l 的方程变形为a (x ＋y )－2x ＋y ＋6＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，－2x ＋y ＋6＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－2，所以直线l 恒过定点(2，－2).2．如果A ·C <0，且B ·C <0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不通过( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限[答案] C[解析] 由已知得直线Ax ＋By ＋C ＝0在x 轴上的截距－C A >0，在y 轴上的截距－C B>0，故直线经过第一、二、四象限，不经过第三象限.3．已知直线l 过点P (3，2)，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，如图所示，求△ABO 的面积的最小值及此时直线l 的方程.[解析] 法一设直线方程为x a ＋y b＝1(a ＞0，b ＞0)，点P (3，2)代入得3a ＋2b ＝1≥26ab，得ab ≥24，从而S △ABO ＝12ab ≥12，当且仅当3a ＝2b 时等号成立，这时k ＝－b a ＝－23，从而所求直线方程为2x ＋3y －12＝0. 法二依题意知，直线l 的斜率k 存在且k ＜0. 则直线l 的方程为y －2＝k (x －3)(k ＜0)，且有A ⎝⎛⎭⎪⎫3－2k，0，B (0，2－3k )，∴S △ABO ＝12(2－3k )⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2k ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋（－9k ）＋4（－k ）≥12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋2（－9k ）·4（－k ）＝12×(12＋12)＝12. 当且仅当－9k ＝4－k ，即k ＝－23时，等号成立，即△ABO 的面积的最小值为12. 故所求直线的方程为2x ＋3y －12＝0.。

高三一轮复习学案1 直线与直线的方程

考点1
直线的斜率与倾斜角
已知直线l过P（-1，2），且与以A（-2，-3）,B（3， 0）为端点的线段相交，求直线l的斜率的取值范围.
【分析】借助于图形，由斜率公式确定k的范围.
【评析】解法一，当直线的倾斜角由锐角变到直角再由直角变到钝角时，需根据正切函数y=tanα的单调性求k的范围，数形结合是解析几何中的重要方法.解题时，借助图形及图形性质直观判断，明确解题思路，达到快捷解题的目的，解法二则巧妙利用了不等式所表示的平面区域的性质使问题得以解决.
求适合下列条件的直线方程:
(1)经过点P(3,2),且在两坐标轴上的截距相等; 1 (2)过点A(-1,-3),斜率是直线y=3x的斜率的-4 ;
【解析】 (1)解法一:设直线l在x,y轴上的截距均为a.
①若a=0,即l过点(0,0)和(3,2), 2 ∴l的方程为y= 3x,即2x-3y=0.
预测2013年高考仍将以求直线的方程、点到直线的距离、两点间的距离、两条直线的平行与垂直为主要考点，题型以选择题、填空题为主，重点考查运算能力与对概念的理解能力.
1.直线的倾斜角和斜率（1）倾斜角α：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，如果把x轴按逆时针方向绕着交点旋转到和直线重合时所成的角,叫作直线的倾斜角 .规定：直线与x轴平行或重合时α=0°.故倾斜角的范围是 . 0°≤α＜180°
故所求直线的方程为x+7y-15=0或7x-y-5=0.
【评析】求与已知两直线的交点有关问题，可有以下两种解法：
（1）先求出两直线交点，将问题转化为过定点的直线，然后再依其他条件求解. （2）运用过两直线交点的直线系方程：若两直线 l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0有交点，则过l1与l2 交点的直线系方程为 A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(λ为待定常数，不包括直线l2)，设出方程后再利用其他条件求解.

高三数学(文理)复习《直线的倾斜角与的斜率、直线方程》专题练(学生版)(无答案)

《直线的倾斜角与斜率、直线的方程》专题练专题1 直线的倾斜角与斜率1.1 求直线的倾斜角与斜率1．直线x ＋3y ＋1＝0的倾斜角是2.直线3x －y ＋a ＝0(a 为常数)的倾斜角为3．直线x cos140°＋y sin40°＋1＝0的倾斜角是4．已知两点A (－3，3)，B (3，－1)，则直线AB 的斜率是5．若过点M (－2，m )，N (m,4)的直线的斜率等于1，则m 的值为6．若经过两点A (4,2y ＋1)，B (2，－3)的直线的倾斜角为3π4，则y 等于7．若点A (4,3)，B (5，a )，C (6,5)三点共线，则a 的值为8．已知三点A (2，－3)，B (4,3)，C ⎝⎛⎭⎫5，k 2在同一条直线上，则k 的值为9. 若A (－2,3)，B (3，－2)，C ⎝⎛⎭⎫12，m 三点在同一条直线上，则m 的值为10.若平面内三点A (1，－a )，B (2，a 2)，C (3，a 3)共线，则a 等于11．若直线l 与直线y ＝1，x ＝7分别交于点P ，Q ，且线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，则直线l 的斜率为12．直线l 与两直线y ＝1，x －y －7＝0分别交于P ，Q 两点，线段PQ 中点是(1，－1)，则l 的斜率是________．13．已知直线PQ 的斜率为－3，将直线绕点P 顺时针旋转60°所得的直线的斜率为14．直线l 沿x 轴负方向平移3个单位，再沿y 轴正方向平移1个单位后，又回到原来位置，那么l的斜率为15．若θ是直线l 的倾斜角，且sin θ＋cos θ＝55，则l 的斜率为16．已知函数f (x )＝a sin x －b cos x (a ≠0，b ≠0)，若f ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝f ⎝⎛⎭⎫π4＋x ，则直线ax －by ＋c ＝0的倾斜角为1．2 求直线的倾斜角与斜率的取值范围1．若过点P (1－a,1＋a )和Q (3,2a )的直线的倾斜角为钝角，则实数a 的取值范围是2．已知点(－1,2)和⎝⎛⎭⎫33，0在直线l ：ax －y ＋1＝0(a ≠0)的同侧，则直线l 倾斜角的取值范围是3．直线x sin α＋y ＋2＝0的倾斜角的范围是 4．直线2x cos α－y －3＝0⎝⎛⎭⎫α∈⎣⎡⎦⎤π6，π3的倾斜角的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤π6，π3 B ．⎣⎡⎦⎤π4，π3 C.⎣⎡⎦⎤π4，π2 D ．⎣⎡⎦⎤π4，2π35．直线x ＋(a 2＋1)y ＋1＝0的倾斜角的取值范围是6．如果直线l 经过A (2,1)，B (1，m 2)(m ∈R)两点，那么直线l 的倾斜角α的取值范围是7．设点P 是曲线y ＝x 3－3x ＋23上的任意一点，P 点处切线的倾斜角α的取值范围是8.如图中的直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则( )A ．k 1＜k 2＜k 3B ．k 3＜k 1＜k 2C ．k 3＜k 2＜k 1D ．k 1＜k 3＜k 29．设直线l 的倾斜角为α，且π4≤α≤5π6，则直线l 的斜率k 的取值范围是________．10．若直线l 过点P (－3,2)，且与以A (－2，－3)，B (3,0)为端点的线段相交，则直线l 的斜率的取值范围是________．11.已知两点M (2，－3)，N (－3，－2)，直线l 过点P (1,1)且与线段MN 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是12.直线l 过点P (1,0)，且与以A (2,1)，B (0，3)为端点的线段有公共点，则直线l 斜率的取值范围为________．13．已知直线l 过坐标原点，若直线l 与线段2x ＋y ＝8(2≤x ≤3)有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是________．14．设P 为曲线C ：y ＝x 2＋2x ＋3上的点，且曲线C 在点P 处的切线倾斜角的范围为⎣⎡⎦⎤0，π4，则点P 的横坐标的取值范围为专题2 直线方程1．倾斜角为135°，在y 轴上的截距为－1的直线方程是2．过点A (1,3)，斜率是直线y ＝－4x 的斜率的13的直线方程是3．过点A (－1，－3)，斜率是直线y ＝3x 的斜率的－14的直线方程是4．直线过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为1010的直线方程是5．已知直线l 的斜率为3，在y 轴上的截距为另一条直线x －2y －4＝0的斜率的倒数，则直线l 的方程为6．若直线经过点A (－3，3)，且倾斜角为直线3x ＋y ＋1＝0的倾斜角的一半，则该直线的方程为7.一条直线经过点A (2，－3)，并且它的倾斜角等于直线y ＝13x 的倾斜角的2倍，则这条直线的一般式方程是.8．已知直线l 过点(1,0)，且倾斜角为直线l 0：x －2y －2＝0的倾斜角的2倍，则直线l 的方程为9．过点(2,1)且倾斜角比直线y ＝－x －1的倾斜角小π4的直线方程是10．直线过点(5,10)，到原点的距离为5的直线方程是11．直线过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12的直线方程是12．过点A (4,1)且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是13．经过点M(1,1)且在两坐标轴上截距相等的直线方程是14．经过点P(3,2)，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是15．过点M(3，－4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为________．16．过点(2，－3)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为______________．17．过点M(－3,5)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为_________．18．直线l过点(－2,2)且与x轴、y轴分别交于点(a,0)，(0，b)，若|a|＝|b|，则直线l的方程为__________ 19．若直线经过点A(－5,2)，且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的2倍，则该直线的方程为________．20．已知直线l过点P(1,3)，且与x轴，y轴的正半轴所围成的三角形的面积等于6，则直线l的方程是21．一条直线经过点A(－2,2)，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则此直线的方程为________．22．过A(2,1)，B(m,3)两点的直线l的方程为23．过直线l：y＝x上的点P(2,2)作直线m，若直线l，m与x轴围成的三角形的面积为2，则直线m 的方程为24．已知直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l 的方程：(1)过定点A (－3,4)；(2)斜率为16．25．已知菱形ABCD 的顶点A ，C 的坐标分别为A (－4,7)，C (6，－5)，BC 边所在直线过点P (8，－1)．求：(1)AD 边所在直线的方程；(2)对角线BD 所在直线的方程．26．如图，射线OA 、OB 分别与x 轴正半轴成45°和30°角，过点P (1,0)作直线AB 分别交OA 、OB于A 、B 两点，当AB 的中点C 恰好落在直线y ＝12x 上时，求直线AB 的方程．27．求过点A (1，－1)与已知直线l 1：2x ＋y －6＝0相交于B 点且|AB |＝5的直线方程专题3 直线方程定点图像问题1．如果A ·C ＜0且B ·C ＜0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不通过( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．直线l 的方程为Ax －By －C ＝0，若A ，B ，C 满足AB >0且BC <0，则直线l 不经过的象限是() A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．直线ax ＋by ＋c ＝0同时要经过第一、第二、第四象限，则a ，b ，c 应满足( )A ．ab >0，bc <0B ．ab >0，bc >0C ．ab <0，bc >0D ．ab <0，bc <04．若3π2<α<2π，则直线x cos α＋ysin α＝1必不经过( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．两直线x m －y n ＝a 与x n －y m ＝a (其中a 为不为零的常数)的图象可能是( )6.在同一平面直角坐标系中，直线l1：ax＋y＋b＝0和直线l2：bx＋y＋a＝0有可能是()7．直线l：(a－2)x＋(a＋1)y＋6＝0，则直线l恒过定点________．8．不论实数m为何值，直线mx－y＋2m＋1＝0恒过定点.9.设点A(－2,3)，B(3,2)，若直线ax＋y＋2＝0与线段AB没有交点，则a的取值范围是.10．已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．(1)证明：直线l过定点；(2)若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；(3)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S 的最小值及此时直线l的方程．专题4 直线方程的综合应用4.1 与基本不等式相结合求最值问题1．已知直线l 过点M (2,1)，且与x 轴、y 轴的正半轴分别相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，求当|MA→|·|MB →|取得最小值时直线l 的方程．2．若直线ax ＋by ＝ab (a >0，b >0)过点(1,1)，则该直线在x 轴，y 轴上的截距之和的最小值为4.2 由直线方程解决参数问题1．已知直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是2．若方程(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y －4m ＋1＝0表示一条直线，则参数m 满足的条件是( )A ．m ≠－32B ．m ≠0C ．m ≠0且m ≠1D ．m ≠13．若过点P (1－a,1＋a )与Q (4,2a )的直线的倾斜角为钝角，且m ＝3a 2－4a ，则实数m 的取值范围是________．4．已知直线l：x－my＋3m＝0上存在点M满足与两点A(－1，0)，B(1，0)连线的斜率k MA与k MB 之积为3，则实数m的取值范围是____________．5．已知直线l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4，当0<a<2时，直线l1，l2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，求实数a的值．6．直线x－2y＋b＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b的取值范围是() A．[－2,2]B．(－∞，－2]∪[2，＋∞) C．[－2,0)∪(0,2]D．(－∞，＋∞)4.3 与直线方程有关的最值问题1．设点A(－1,0)，B(1,0)，直线2x＋y－b＝0与线段AB相交，则b的取值范围是2．已知直线x＋a2y－a＝0(a是正常数)，当此直线在x轴，y轴上的截距和最小时，正数a的值是3．若直线ax＋by＝ab(a＞0，b＞0)过点(1,1)，则该直线在x轴、y轴上的截距之和的最小值为________．4.已知动直线l0：ax＋by＋c－3＝0(a>0，c>0)恒过点P(1，m)，且Q(4,0)到动直线l0的最大距离为3，则12a＋2c的最小值为.5．过点P(4,1)作直线l分别交x轴，y轴正半轴于A，B两点，O为坐标原点.(1)当△AOB面积最小时，求直线l的方程；(2)当|OA|＋|OB|取最小值时，求直线l的方程.6.已知过定点P(2,0)的直线l与曲线y＝2－x2相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取到最大值时，直线l的倾斜角为。

2013届高考数学一轮复习课时检测第八章第一节直线的倾斜角与斜率直线的方程理

第八章第一节直线的倾斜角与斜率、直线的方程一、选择题1．已知过点A (－2，m )和B (m,4)的直线与直线2x ＋y －1＝0平行，则m 的值为 ( ) A ．0 B ．－8 C ．2D ．10解析：由k ＝4－m m ＋2＝－2，得m ＝－8.答案：B2．(2012·宜宾模拟)直线x sin α＋y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是 ( )A ．[0，π)B ．[0，π4]∪[3π4，π)C ．[0，π4]D ．[0，π4]∪(π2，π)解析：设题中直线的倾斜角为θ，则有tan θ＝－sin α，其中sin α∈[－1,1]．又θ∈[0，π)，所以0≤θ≤π4或3π4≤θ<π 答案：B3．直线2x －y －2＝0绕它与y 轴的交点逆时针旋转π2所得的直线方程是 ( )A ．x －2y ＋4＝0B ．x ＋2y －4＝0C ．x －2y －4＝0D ．x ＋2y ＋4＝0解析：直线2x －y －2＝0与y 轴的交点为A (0，－2)，所求直线过A 且斜率为－12，∴所求直线方程：y ＋2＝－12(x －0)，即x ＋2y ＋4＝0.答案：D4．设点A (－2,3)，B (3,2)，若直线ax ＋y ＋2＝0与线段AB 没有交点，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，－52]∪[43，＋∞)B ．(－43，52)C ．[－52，43]D ．(－∞，－43]∪[52，＋∞)解析：直线ax ＋y ＋2＝0恒过点M (0，－2)，且斜率为－a ， ∵k MA ＝3－－2－2－0＝－52，k MB ＝2－－23－0＝43，由图可知：－a >－52且－a <43，∴a ∈(－43，52)．答案：B5．(2012·皖南八校联考)已知直线a 2x ＋y ＋2＝0与直线bx －(a 2＋1)y －1＝0互相垂直，则|ab |的最小值为 ( )A ．5B ．4C ．2D ．1解析：由题意知，a 2b －(a 2＋1)＝0且a ≠0，∴a 2b ＝a 2＋1，∴ab ＝a 2＋1a ＝a ＋1a，∴|ab |＝|a ＋1a |＝|a |＋1|a |≥2.(当且仅当a ＝±1时取“＝”)．答案：C6．直线Ax ＋By －1＝0在y 轴上的截距是－1，而且它的倾斜角是直线3x －y ＝33的倾斜角的2倍，则 ( )A ．A ＝3，B ＝1B ．A ＝－3，B ＝－1C ．A ＝3，B ＝－1D ．A ＝－3，B ＝1解析：将直线Ax ＋By －1＝0化成斜截式y ＝－A Bx ＋1B.∵1B＝－1，∴B ＝－1，故排除A 、D.又直线3x －y ＝33的倾斜角α＝π3，∴直线Ax ＋By －1＝0的倾斜角为2α＝2π3，∴斜率－A B ＝tan 2π3＝－3，∴A ＝－ 3. 答案：B 二、填空题7．将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m ，n )重合，则m ＋n ＝________.解析：由题可知纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线，即直线y ＝2x －3，它也是点(7,3)与点(m ，n )连线的中垂线，于是⎩⎪⎨⎪⎧3＋n 2＝2×7＋m2－3n －3m －7＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝35n ＝315.故m ＋n ＝345.答案：3458．(2012·长沙模拟)已知A (3,0)，B (0,4)，直线AB 上一动点P (x ，y )，则xy 的最大值是________．解析：直线AB 的方程为x 3＋y 4＝1，P (x ，y )，则x ＝3－34y ，∴xy ＝3y －34y 2＝34(－y 2＋4y )＝34[－(y －2)2＋4]≤3. 答案：39．与直线3x ＋4y ＋12＝0平行，且与坐标轴构成的三角形的面积是24的直线l 的方程是____________________．解析：先由“平行”这个条件设出直线方程为3x ＋4y ＋m ＝0，再用“面积”条件求m .因为直线l 交x 轴于A (－m 3，0)，交y 轴于B (0，－m 4)，由12·|－m 3|·|－m4|＝24，可得m ＝±24.所以，所求直线的方程为：3x ＋4y ±24＝0.答案：3x ＋4y ＋24＝0或3x ＋4y －24＝0 三、解答题10．在△ABC 中，已知A (5，－2)、B (7,3)，且AC 边的中点M 在y 轴上，BC 边的中点N 在x 轴上，求：(1)顶点C 的坐标； (2)直线MN 的方程．解：(1)设点C 的坐标为(x ，y )，则有x ＋52＝0，3＋y2＝0， ∴x ＝－5，y ＝－3.即点C 的坐标为(－5，－3)．(2)由题意知，M (0，－52)，N (1,0)，∴直线MN 的方程为x －y52＝1，即5x －2y －5＝0.11．已知两点A (－1,2)，B (m,3)． (1)求直线AB 的方程； (2)已知实数m ∈[－33－1，3－1]，求直线AB 的倾斜角α的取值范围．解：(1)当m ＝－1时，直线AB 的方程为x ＝－1，当m ≠－1时，直线AB 的方程为y －2＝1m ＋1(x ＋1)． (2)①当m ＝－1时，α＝π2；②当m ≠－1时，m ＋1∈[－33，0)∪(0，3]， ∴k ＝1m ＋1∈(－∞，－3]∪[33，＋∞)， ∴α∈[π6，π2)∪(π2，2π3]．综合①②知，直线AB 的倾斜角α的取值范围为[π6，23π]．12.为了绿化城市，拟在矩形区域ABCD 内建一个矩形草坪(如图所示)，另外，△AEF 内部有一文物保护区不能占用，经测量AB ＝100 m ，BC ＝80 m ，AE ＝30 m ，AF ＝20 m ，应如何设计才能使草坪面积最大？解：建立如图所示直角坐标系，则E (30,0)，F (0,20)，于是，线段EF 的方程是x 30＋y20＝1(0≤x ≤30)，在线段EF 上取点P (m ，n )，作PQ ⊥BC 于点Q ，PR ⊥CD 于点R ，设矩形PQCR 的面积为S ，则：S ＝|PQ |·|PR |＝(100－m )(80－n )，因为m 30＋n 20＝1，所以n ＝20(1－m30)，所以S ＝(100－m )(80－20＋23m )＝－23(m －5)2＋18 0503(0≤m ≤30)，于是，当m ＝5时，S 有最大值，这时|EP ||PF |＝51.答：当草坪矩形的两边在BC ，CD 上，一个顶点在线段EF 上，且这个顶点分EF 成5∶1时，草坪面积最大。

高中数学高考复习：第八章第1讲直线的倾斜角与斜率、直线的方程

第1讲直线的倾斜角与斜率、直线的方程1．直线的倾斜角(1)定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做这条直线的倾斜角．当直线与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°．(2)倾斜角的范围为[0，π)． 2．直线的斜率(1)定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k 表示，即k ＝tan α，倾斜角是90°的直线没有斜率．(2)过两点的直线的斜率公式经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝y 2－y 1x 2－x 1＝y 1－y 2x 1－x 2.3．直线方程的五种形式续表1．辨明四个易误点(1)求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在；每条直线都有倾斜角，但不一定每条直线都存在斜率．(2)根据斜率求倾斜角，要注意倾斜角的范围．(3)直线的截距式中易忽视截距均不为0这一条件，当截距为0时可用点斜式． (4)由一般式Ax ＋By ＋C ＝0确定斜率k 时易忽视判断B 是否为0，当B ＝0时，k 不存在；当B ≠0时，k ＝－A B.2．求直线方程的一般方法(1)直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程，选择时，应注意各种形式的方程的适用范围，必要时要分类讨论．(2)待定系数法，具体步骤为： ①设所求直线方程的某种形式； ②由条件建立所求参数的方程(组)； ③解这个方程(组)求出参数； ④把参数的值代入所设直线方程．1．已知直线l 经过点P (－2，5)，且斜率为－34，则直线l 的方程为( )A ．3x ＋4y －14＝0B ．3x －4y ＋14＝0C ．4x ＋3y －14＝0D ．4x －3y ＋14＝0A [解析] y －5＝－34(x ＋2)，即3x ＋4y －14＝0.2．经过两点A (4，2y ＋1)，B (2，－3)的直线的倾斜角为3π4，则y ＝( )A ．－1B ．－3C ．0D ．2B [解析] tan3π4＝2y ＋1－（－3）4－2＝2y ＋42＝y ＋2，因此y ＋2＝－1，y ＝－3.3．(2017·烟台模拟)如果AC ＜0，BC ＜0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不通过( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限C [解析] 由题意知直线的斜率k ＝－A B ＜0，直线在y 轴上的截距b ＝－CB ＞0，故选C.4.教材习题改编经过点(－4，3)且在两坐标轴上的截距相等且不过原点的直线方程为________．[解析] 由题意可设方程为x ＋y ＝a ，所以a ＝－4＋3＝－1. 所以直线方程为x ＋y ＋1＝0. [答案] x ＋y ＋1＝05．若经过点P (1－a ，1＋a )和Q (3，2a )的直线的倾斜角为锐角，则实数a 的取值范围是________．[解析] 由条件知直线的斜率存在，由斜率公式得k ＝a －1a ＋2.因为倾斜角为锐角，所以k >0，解得a >1或a <－2.[答案] (－∞，－2)∪(1，＋∞)直线的倾斜角与斜率[学生用书P156][典例引领](1)直线2x cos α－y －3＝0⎝⎛⎭⎫α∈⎣⎡⎦⎤π6，π3的倾斜角的变化范围是( )A.⎣⎡⎦⎤π6，π3 B ．⎣⎡⎦⎤π4，π3C.⎣⎡⎦⎤π4，π2 D ．⎣⎡⎦⎤π4，2π3(2)已知直线l ：x －my ＋3m ＝0上存在点M 满足与两点A (－1，0)，B (1，0)连线的斜率k MA 与k MB 之积为3，则实数m 的取值范围是( )A ．[－6，6]B ．⎝⎛⎭⎫－∞，－66∪⎝⎛⎭⎫66，＋∞ C.⎝⎛⎦⎤－∞，－66∪⎣⎡⎭⎫66，＋∞ D ．以上都不对【解析】 (1)直线2x cos α－y －3＝0的斜率k ＝2cos α.由于α∈⎣⎡⎦⎤π6，π3，所以12≤cos α≤32，因此k ＝2cos α∈[1，3]．设直线的倾斜角为θ，则有tan θ∈[1，3]．由于θ∈[0，π)，所以θ∈⎣⎡⎦⎤π4，π3，即倾斜角的变化范围是⎣⎡⎦⎤π4，π3. (2)设M (x ，y )，由k MA ·k MB ＝3，得y x ＋1·yx －1＝3，即y 2＝3x 2－3.联立⎩⎨⎧x －my ＋3m ＝02＝3x 2－3，得⎝⎛⎭⎫1m 2－3x 2＋23m x ＋6＝0. 要使直线l ：x －my ＋3m ＝0上存在点M 满足与两点A (－1，0)，B (1，0)连线的斜率k MA 与k MB 之积为3，则Δ＝⎝⎛⎭⎫23m 2－24⎝⎛⎭⎫1m 2－3≥0，即m 2≥16.所以实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－66∪⎣⎡⎭⎫66，＋∞.故选C. 【答案】 (1)B (2)C(1)求倾斜角的取值范围的一般步骤 ①求出斜率k ＝tan α的取值范围．②利用三角函数的单调性，借助图象，确定倾斜角α的取值范围．求倾斜角时要注意斜率是否存在． (2)斜率的求法①定义法：若已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数值，一般根据k ＝tan α求斜率． ②公式法：若已知直线上两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，一般根据斜率公式k ＝y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2)求斜率．[通关练习]1．若直线l 经过点A (1，2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3，3)，则其斜率的取值范围是________．[解析] 设直线l 的斜率为k ，则直线方程为y －2＝k (x －1)，在x 轴上的截距为1－2k .令－3<1－2k <3，解得k <－1或k >12.[答案] (－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞2．若直线l 的斜率为k ，倾斜角为α，且α∈⎣⎡⎭⎫π6，π4∪⎣⎡⎭⎫2π3，π，则k 的取值范围是________．[解析] 当α∈⎣⎡⎭⎫π6，π4时，k ＝tan α∈⎣⎡⎭⎫33，1；当α∈⎣⎡⎭⎫2π3，π时，k ＝tan α∈[－3，0)．综上k ∈[－3，0)∪⎣⎡⎭⎫33，1.[答案] [－3，0)∪⎣⎡⎭⎫33，1求直线的方程(高频考点)[学生用书P157]直线方程是解析几何的一个基础内容，在高考中常与其他知识结合考查，多以选择题、填空题的形式呈现，难度为中、低档题目．高考中对直线方程的考查主要有以下两个命题角度： (1)已知两个独立条件，求直线方程；(2)已知直线方程及其他条件，求参数值或范围．[典例引领](1)已知直线l 过圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心，且与直线x ＋y ＋1＝0垂直，则l 的方程是( )A ．x ＋y －2＝0B ．x －y ＋2＝0C ．x ＋y －3＝0D ．x －y ＋3＝0(2)过点M (－1，－2)作一条直线l ，使得l 夹在两坐标轴之间的线段被点M 平分，则直线l 的方程为________．【解析】 (1)圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心为点(0，3)，又因为直线l 与直线x ＋y ＋1＝0垂直，所以直线l 的斜率k ＝1.由点斜式得直线l ：y －3＝x －0，化简得x －y ＋3＝0.(2)由题意，可设所求直线l 的方程为y ＋2＝k (x ＋1)(k ≠0)，直线l 与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，则A ⎝⎛⎭⎫2k －1，0，B (0，k －2)．因为AB 的中点为M ，所以错误!解得k ＝－2.所以所求直线l 的方程为2x ＋y ＋4＝0.【答案】 (1)D (2)2x ＋y ＋4＝0与直线方程有关问题的解题策略(1)在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件，用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线．(2)求参数值或范围．注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解．[题点通关]角度一已知两个独立条件，求直线方程 1．根据下列条件，分别写出直线的方程： (1)经过点A (－3，2)，B (－3，5)； (2)直线过点(－4，0)，倾斜角的正弦值为1010. [解] (1)显然A 、B 的横坐标相同，故直线AB 与y 轴平行，其方程为x ＝－3. (2)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式．设倾斜角为α，则sin α＝1010(0≤α<π)，从而cos α＝±31010，则k ＝tan α＝±13.故所求直线方程为y ＝±13(x ＋4)．即x ＋3y ＋4＝0或x －3y ＋4＝0.角度二已知直线方程及其他条件，求参数值或范围2．直线x －2y ＋b ＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b 的取值范围是( )A ．[－2，2]B ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)C ．[－2，0)∪(0，2]D ．(－∞，＋∞)C [解析] 令x ＝0，得y ＝b2，令y ＝0，得x ＝－b ，所以所求三角形的面积为12⎪⎪⎪⎪b 2|－b |＝14b 2，且b ≠0，14b 2≤1，所以b 2≤4，所以b 的取值范围是[－2，0)∪(0，2]．直线方程的综合问题[学生用书P157][典例引领]直线l 过点P (1，4)，分别交x 轴的正半轴和y 轴的正半轴于A 、B 两点，O 为坐标原点，当|OA |＋|OB |最小时，求l 的方程．【解】依题意，l 的斜率存在，且斜率为负，设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为y －4＝k (x －1)(k <0)．令y ＝0，可得A ⎝⎛⎭⎫1－4k ，0；令x ＝0，可得B (0，4－k )．|OA |＋|OB |＝⎝⎛⎭⎫1－4k ＋(4－k )＝5－⎝⎛⎭⎫k ＋4k ＝5＋⎝⎛⎭⎫－k ＋4－k ≥5＋4＝9.所以当且仅当－k ＝4－k 且k <0，即k ＝－2时，|OA |＋|OB |取最小值．这时l 的方程为2x ＋y －6＝0.在本例条件下，若|P A |·|PB |最小，求l 的方程． [解] |P A |·|PB |＝⎝⎛⎭⎫4k 2＋16·1＋k 2＝－4k (1＋k 2)＝4⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1－k ＋（－k ）≥8(k <0)．所以当且仅当1－k ＝－k 且k <0，即k ＝－1时，|P A |·|PB |取最小值．这时l 的方程为x ＋y －5＝0.已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R )．若直线l 交x 轴负半轴于A ，交y轴正半轴于B ，△AOB 的面积为S (O 为坐标原点)，求S 的最小值并求此时直线l 的方程．[解] 由l 的方程，得A ⎝⎛⎭⎫－1＋2k k ，0，B (0，1＋2k )．依题意得⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2k k ＜02k ＞0，解得k ＞0.因为S ＝12·|OA |·|OB |＝12·⎪⎪⎪⎪1＋2k k ·|1＋2k | ＝12·（1＋2k ）2k ＝12⎝⎛⎭⎫4k ＋1k ＋4 ≥12×(2×2＋4)＝4， “＝”成立的条件是k ＞0且4k ＝1k ，即k ＝12，所以S min ＝4，此时直线l 的方程为x －2y ＋4＝0.[学生用书P158])——分类讨论思想在求直线方程中的应用过点(5，2)，且在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的2倍的直线方程是( ) A ．2x ＋y －12＝0B ．2x ＋y －12＝0或2x －5y ＝0C ．x －2y －1＝0D ．x －2y －1＝0或2x －5y ＝0【解析】当直线过原点时，由直线过点(5，2)，可得直线的斜率为25，故直线的方程为y ＝25x ，即2x －5y ＝0.当直线不过原点时，设直线在x 轴上的截距为k (k ≠0)，则在y 轴上的截距是2k ，直线的方程为x k ＋y 2k ＝1，把点(5，2)代入可得5k ＋22k ＝1，解得k ＝6.故直线的方程为x 6＋y12＝1，即2x ＋y －12＝0.【答案】 B(1)在求与截距有关的直线方程时，注意对直线的截距是否为零进行分类讨论，防止忽视截距为零的情形，导致产生漏解．(2)常见的与截距问题有关的易误点有：“截距互为相反数”；“一截距是另一截距的几倍”等，解决此类问题时，要先考虑零截距情形，注意分类讨论思想的运用．(3)求直线方程时，还要断定直线是否具有斜率，应注意分类讨论，即应对斜率是否存在加以讨论．1.直线过点(5，10)，且到原点的距离为5.则该直线的方程为________．[解析] 当斜率不存在时，所求直线方程为x －5＝0；当斜率存在时，设其为k ，则所求直线方程为y －10＝k (x －5)，即kx －y ＋(10－5k )＝0. 由点线距离公式，得|10－5k |k 2＋1＝5，解得k ＝34.故所求直线方程为3x －4y ＋25＝0. [答案] x －5＝0或3x －4y ＋25＝02．过点M (－3，5)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为________． [解析] (1)当直线过原点时，直线方程为y ＝－53x ；(2)当直线不过原点时，设直线方程为x a ＋y－a ＝1，即x －y ＝a .代入点(－3，5)，得a ＝－8. 即直线方程为x －y ＋8＝0. [答案] y ＝－53x 或x －y ＋8＝0[学生用书P362(独立成册)]1．(2017·大连模拟)倾斜角为120°，在x 轴上的截距为－1的直线方程是( ) A.3x －y ＋1＝0 B ．3x －y －3＝0 C.3x ＋y －3＝0D ．3x ＋y ＋3＝0D [解析] 由于倾斜角为120°，故斜率k ＝－ 3.又直线过点(－1，0)，所以方程为y ＝－3(x ＋1)，即3x ＋y ＋3＝0.2．直线x sin 2－y cos 2＝0的倾斜角的大小是( ) A ．－12B ．－2 C.12D ．2D [解析] 因为直线x sin 2－y cos 2＝0的斜率k ＝sin 2cos 2＝tan 2，所以直线的倾斜角为2.3．与直线Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B ≠0)关于y 轴对称的直线的方程为( ) A ．Ax －By －C ＝0 B ．Ax ＋By －C ＝0 C ．Ax －By ＋C ＝0D ．Bx ＋Ay ＋C ＝0A [解析] 因为点(x ，y )关于y 轴的对称点为(－x ，y )，将直线Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B ≠0)中的x 用－x 代换得－Ax ＋By ＋C ＝0，即Ax －By －C ＝0，故选A.4．△ABC 的三个顶点为A (－3，0)，B (2，1)，C (－2，3)，则BC 边上中线AD 所在直线的方程为( )A ．2x －3y ＋6＝0B ．2x ＋3y －6＝0C ．2x －3y －6＝0D ．2x ＋3y ＋6＝0A [解析] 设BC 中点D 的坐标为(x ，y )，则x ＝2－22＝0，y ＝1＋32＝2.BC 边上的中线AD 过A (－3，0)，D (0，2)两点，由截距式得AD 所在直线方程为x －3＋y2＝1，即2x －3y ＋6＝0.故选A.5．已知函数f (x )＝a x (a ＞0且a ≠1)，当x ＜0时，f (x )＞1，方程y ＝ax ＋1a 表示的直线是( )C [解析] 因为x ＜0时，a x ＞1，所以0＜a ＜1.则直线y ＝ax ＋1a 的斜率0＜a ＜1，在y 轴上的截距1a＞1.故选C.6．(2017·太原质检)若直线l 与直线y ＝1，x ＝7分别交于点P ，Q ，且线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，则直线l 的斜率为( )A.13 B ．－13C ．－32D ．23B [解析] 依题意，设点P (a ，1)，Q (7，b )，则有错误!解得a ＝－5，b ＝－3，从而可知直线l 的斜率为－3－17＋5＝－13.7．过点A (－1，－3)，斜率是直线y ＝3x 的斜率的－14的直线方程为________．[解析] 设所求直线的斜率为k ，依题意 k ＝－14×3＝－34.又直线经过点A (－1，－3)，因此所求直线方程为y ＋3＝－34(x ＋1)，即3x ＋4y ＋15＝0. [答案] 3x ＋4y ＋15＝08．若点A (4，3)，B (5，a )，C (6，5)三点共线，则a 的值为________． [解析] 因为k AC ＝5－36－4＝1，k AB ＝a －35－4＝a －3.由于A ，B ，C 三点共线，所以a －3＝1，即a ＝4. [答案] 49．设点A (－1，0)，B (1，0)，直线2x ＋y －b ＝0与线段AB 相交，则b 的取值范围是________．[解析] b 为直线y ＝－2x ＋b 在y 轴上的截距，如图，当直线y ＝－2x ＋b 过点A (－1，0)和点B (1，0)时b 分别取得最小值和最大值．所以b 的取值范围是[－2，2]． [答案] [－2，2]10．已知直线l 1：ax －2y ＝2a －4，l 2：2x ＋a 2y ＝2a 2＋4，当0＜a ＜2时，直线l 1，l 2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，a ＝________．[解析] 由题意知直线l 1，l 2恒过定点P (2，2)，直线l 1的纵截距为2－a ，直线l 2的横截距为a 2＋2，所以四边形的面积S ＝12×2×(2－a )＋12×2×(a 2＋2)＝a 2－a ＋4＝⎝⎛⎭⎫a －122＋154，当a ＝12时，面积最小．[答案] 1211．直线l 经过点P (3，2)且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，△OAB 的面积为12，求直线l 的方程．[解] 法一：设直线l 的方程为x a ＋y b ＝1(a >0，b >0)，则有3a ＋2b ＝1，且12ab ＝12.解得a ＝6，b ＝4.所以所求直线l 的方程为x 6＋y4＝1，即2x ＋3y －12＝0.法二：设直线l 的方程为y －2＝k (x －3)(k <0)，令x ＝0，得y ＝2－3k ；令y ＝0，得x ＝3－2k .所以S △OAB ＝12(2－3k )⎝⎛⎭⎫3－2k ＝12，解得k ＝－23. 故所求直线方程为y －2＝－23(x －3)，即2x ＋3y －12＝0.12．设直线l 的方程为x ＋my －2m ＋6＝0，根据下列条件分别确定m 的值： (1)直线l 的斜率为1； (2)直线l 在x 轴上的截距为－3.[解] (1)因为直线l 的斜率存在，所以m ≠0，于是直线l 的方程可化为y ＝－1m x ＋2m －6m .由题意得－1m ＝1，解得m ＝－1.(2)法一：令y ＝0，得x ＝2m －6. 由题意得2m －6＝－3，解得m ＝32.法二：直线l 的方程可化为x ＝－my ＋2m －6.由题意得2m －6＝－3，解得m ＝32.13．已知M (1，2)，N (4，3)，直线l 过点P (2，－1)且与线段MN 相交，那么直线l 的斜率k 的取值范围是( )A ．(－∞，－3]∪[2，＋∞)B ．⎣⎡⎦⎤－13，12C ．[－3，2]D ．⎝⎛⎦⎤－∞，－13∪⎣⎡⎭⎫12，＋∞ A [解析] 由题意，得k PN ＝3－（－1）4－2＝2，k PM ＝2－（－1）1－2＝－3，作出示意图如图所示，则k ≤－3或k ≥2.故选A.14．直线l 的倾斜角是直线4x ＋3y －1＝0的倾斜角的一半，若l 不过坐标原点，则l 在x 轴上与y 轴上的截距之比为________．[解析] 设直线l 的倾斜角为θ.所以tan 2θ＝－43.2tan θ1－tan 2θ＝－43，所以tan θ＝2或tan θ＝－12，由2θ∈[0°，180°)知，θ∈[0°，90°)．所以tan θ＝2.又设l 在x 轴上的截距为a ，在y 轴上的截距为b . 所以tan θ＝－b a .即a b ＝－1tan θ＝－12.[答案] －1215.如图，射线OA ，OB 分别与x 轴正半轴成45°和30°角，过点P (1，0)作直线AB 分别交OA ，OB 于A ，B 两点，当AB 的中点C 恰好落在直线y ＝12x 上时，求直线AB 的方程．[解] 由题意可得k OA ＝tan 45°＝1，k OB ＝tan(180°－30°)＝－33，所以直线l OA ：y ＝x ，l OB ：y ＝－33x . 设A (m ，m )，B (－3n ，n )，所以AB 的中点C ⎝⎛⎭⎪⎫m －3n 2，m ＋n 2，由点C 在直线y ＝12x 上，且A ，P ，B 三点共线得错误!解得m ＝3，所以A (3，3)．又P (1，0)，所以k AB ＝k AP ＝33－1＝3＋32，所以l AB ：y ＝3＋32(x －1)，即直线AB 的方程为(3＋3)x －2y －3－3＝0. 16．已知直线l ：x m ＋y4－m＝1.(1)若直线l 的斜率等于2，求实数m 的值；(2)若直线l 分别与x 轴、y 轴的正半轴交于A ，B 两点，O 是坐标原点，求△AOB 面积的最大值及此时直线的方程．[解] (1)根据直线l 的方程：x m ＋y4－m ＝1可得直线l 过点(m ，0)，(0，4－m )，所以k ＝4－m －m ＝2，解得m ＝－4.(2)直线l 过点(m ，0)，(0，4－m )，则由m >0，4－m >0得0<m <4，则S △AOB ＝m （4－m ）2＝－（m －2）2＋42，则m ＝2时，S △AOB 有最大值2，此时直线l 的方程为x ＋y －2＝0.。

高中数学第三章直线与方程 3.1 直线的倾斜角与斜率

直线的倾斜角与斜率一、考纲要求1、学习目标:知识与技能：正确理解直线的倾斜角和斜率的概念．理解直线的倾斜角的唯一性.掌握直线的倾斜角与斜率的关系.过程与方法：理解直线的斜率的存在性.斜率公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式．情感态度与价值观：通过直线的倾斜角概念的引入学习和直线倾斜角与斜率关系的揭示，培养学生观察、探索能力，运用数学语言表达能力，数学交流与评价能力．通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形结合思想，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神．2、学习重、难点学习重点: 直线的倾斜角、斜率的概念和斜率公式的应用.学习难点: 直线的倾斜角、斜率的对应关系，求直线的倾斜角和斜率的范围.学习重点: 直线的倾斜角、斜率的概念和斜率公式的应用.学习难点: 直线的倾斜角、斜率的对应关系，求直线的倾斜角和斜率的范围.二、自主学习阅读教材P82-86完成下面问题并填空知识点一：直线的倾斜角【提出问题】在平面直角坐标系中，直线l经过点P.问题1: 直线l的位置能够确定吗？问题2: 过点P可以作与l相交的直线多少条？问题3:上述问题中的所有直线有什么区别？【导入新知】1.定义：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准,叫做直线l的倾斜角．．．.特别地,当直线l与x轴平行或重合时, 规定α=.2.范围：倾斜角α的取值范围是 .特别：当时，称直线l与x 轴垂直.知识点二：直线的斜率【提出问题】日常生活中，常用坡度（=升高量坡度前进量）表示倾斜程度，例如，“进2升3”与“进2升2”比较，前者更陡一些，因为坡度3222>问题1:对于直线可利用倾斜角描述倾斜程度，可否借助于坡度来描述直线的倾斜程度？问题2: 如材料里描述的坡度为升高量与水平前进量的比值，那么对于平面直角坐标系中直线的倾斜程度能否如此度量？问题3:通过坐标比，你会发现它与倾斜角有何关系？【导入新知】1.定义：一条直线的倾斜角α (α≠90°)的值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k 表示,即k = . ①当直线l 与x 轴平行或重合时, α= , k = ; ②当直线l 与x 轴垂直时, α= , k . 2. 直线的斜率公式:①已知直线的倾斜角α,则k=②经过两个定点 P 1(x 1,y 1) , P 2(x 2,y 2) 的直线：若x 1≠x 2，则直线P 1P 2 的斜率存在，k= 若x 1＝x 2，则直线P 1P 2的斜率3. 斜率作用：用实数反映了平面直角坐标系内的直线的 . 三、考点突破例1⑴若直线l 的向上方向与y 轴的正方向成030角，则直线的倾斜角为（） A. 030 B. 060 C. 0030或150 D. 0060或120⑵下列说法中，正确的是（）A.直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为αtanB. 直线的斜率为αtan ，则此直线的倾斜角为αC.若直线的倾斜角为α，则sin 0α>D.任意直线都有倾斜角α，且090α≠时，斜率为αtan 变式训练1. 直线l 经过第二、四象限，则此直线l 的倾斜角范围是（）A. 00[0,90)B. 0[90,180) C. 0(90,180) D. 00(0,180)2.设直线l 过原点，其倾斜角为α，将直线l 绕坐标原点沿逆时针方向旋转045，得到直线1l ，则直线1l 的倾斜角为（）A. 045α+B. 0135α-C. 0135α-D.当000135α≤<时为045α+，当00135180α≤<时为0135α-例2 ⑴已知过两点(4,),(2,3)A y B -的直线的倾斜角为0135，则y = ⑵已知过(3,1),(,2)A B m -的直线的斜率为1，则m 的值为 ⑶过点(2,),(,4)P m Q m -的直线的斜率为1，则m 的值为变式训练3.若直线过点(1,2),(4,2+，则此直线的倾斜角是（） A. 030 B. 045 C. 060 D. 090例3 已知实数,x y 满足28y x =-+，且23x ≤≤，求yx的最大值与最小值.变式训练4.点(,)M x y 在函数28y x =-+的图像上，当[2,5]x ∈时，求11y x ++的取值范围.四、考点巩固1.关于直线的倾斜角和斜率，下列说法正确的是（） A.任一直线都有倾斜角，都存在斜率。

高中数学2.2直线的方程2.2.1直线方程的概念与直线的斜率教案

2.2.1 直线方程的概念与直线的斜率示范教案整体设计教学分析本小节从一个具体的一次函数与它的图象入手，引入直线的方程、斜率、倾斜角的概念，注重了由浅及深的学习规律，并体现了由特殊到一般的研究方法．引导学生认识到之所以引入直线在平面直角坐标系中的倾斜角和斜率概念，是进一步研究直线方程的需要．直线是最基本、最简单的几何图形，它既能为进一步学习作好知识上的必要准备，又能为今后灵活地运用解析几何的基本思想和方法打好坚实的基础．事实上，只有透彻理解并熟练掌握直线的倾斜角和斜率这两个基本概念，学生才能对直线及其位置进行定量的研究．对直线的倾斜角和斜率，必须要求学生理解它们的准确含义和作用，掌握它们的导出，并在运用上形成相应的技能和熟练的技巧．三维目标1．了解直线方程的概念，认识事物之间的相互联系．2．理解直线的倾斜角和斜率的定义，充分利用斜率和倾斜角是从数与形两方面刻画直线相对于x 轴倾斜程度的这一事实，在教学中培养学生数形结合的数学思想．3．掌握经过两点P 1(x 1，y 1)和P 2(x 2，y 2)的直线的斜率公式：k ＝y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2)，培养学生树立辩证统一的观点，并形成严谨的科学态度和求简的数学精神．重点难点教学重点：直线的倾斜角和斜率的概念以及过两点的直线的斜率公式．教学难点：斜率公式的推导．课时安排1课时教学过程导入新课设计1.如下图所示，在直角坐标系中，过点P 的一条直线绕P 点旋转，不管旋转多少周，它对x 轴的相对位置有几种情形？教师引入课题：直线的倾斜角和斜率．设计2.我们知道，经过两点有且只有(确定)一条直线．那么，经过一点P 的直线l 的位置能确定吗？这些直线有什么联系和区别呢？教师引入课题：直线的倾斜角和斜率．推进新课新知探究提出问题(1)一次函数的图象是什么形状？以y ＝2x ＋1为例说明．(2)方程y ＝kx ＋b 的解与其图象上的点有什么对应关系？(3)直线y ＝kx ＋b 被其上的任意两个不同的点所唯一确定(如下图)，如果点A(x 1，y 1)，点B(x 2，y 2)是这条直线上任意两点，其中x 1≠x 2，怎样由这两点的坐标计算出k 的值呢？(4)怎样用角来表示直线的倾斜程度？(5)写出求一条直线斜率的计算步骤．讨论结果：(1)所有一次函数y ＝kx ＋b(k≠0)的图象是一条直线．例如函数y ＝2x ＋1的图象是通过点(0,1)和点(1,3)的一条直线l(如下图)，直线l 是函数y ＝2x ＋1的图象，所表达的意义是：如果点P 在l 上，则它的坐标(x ，y)满足关系y ＝2x ＋1，①反之，如果点P 的坐标(x ，y)满足①式，则点P 一定在l 上．于是，函数式y ＝2x ＋1，可作为描述直线l 的特征性质，因此l ＝{(x ，y)|y ＝2x ＋1}．我们再来看k ＝0的特殊情况．例如方程y ＝2，无论x 取何值，y 始终等于2，虽然它已不是一次函数，但方程y ＝2(常值函数)的图象是一条通过点(0,2)且平行于x 轴的直线．(2)由于函数y ＝kx ＋b(k≠0)或y ＝b 都是二元一次方程，因此，我们也可以说，方程y ＝kx ＋b 的解与其图象上的点存在一一对应关系．如果以一个方程的解为坐标的点都在某条直线上，且这条直线上点的坐标都是这个方程的解，那么这个方程叫做这条直线的方程，这条直线叫做这个方程的直线．由于方程y ＝kx ＋b 的图象是一条直线，因此我们今后常说直线y ＝kx ＋b.(3)由于x 1，y 1和x 2，y 2是直线方程的两组解，方程y 1＝kx 1＋b ，y 2＝kx 2＋b ，两式相减，得y 2－y 1＝kx 2－kx 1＝k(x 2－x 1)．因此k ＝y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2)．所以由直线上两点的坐标，可以求出k 的值，且它与这两点在直线上的顺序无关，即k ＝y 1－y 2x 1－x 2(x 1≠x 2)．如果令Δx ＝x 2－x 1，Δy ＝y 2－y 1，则Δx 表示变量x 的改变量，Δy 表示相应的y 的改变量．于是k ＝Δy Δx(Δx≠0)．通常，我们把直线y ＝kx ＋b 中的系数k 叫做这条直线的斜率．垂直于x 轴的直线，人们常说它的斜率不存在．方程y ＝kx ＋b(k≠0)的图象是通过点(0，b)且斜率为k 的直线．对一次函数所确定的直线，它的斜率等于相应函数值的改变量与自变量改变量的比值．直观上可使我们感知到斜率k 的值决定了这条直线相对于x 轴的倾斜程度．(4)x 轴正向与直线向上的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角．我们规定，与x 轴平行或重合的直线的倾斜角为零度角．由斜率k 的定义可知：k ＝0时，直线平行于x 轴或与x 轴重合；k>0时，直线的倾斜角为锐角，此时，k 值增大，直线的倾斜角也随着增大；k<0时，直线的倾斜角为钝角，此时，k 值增大，直线的倾斜角也随着增大；垂直于x 轴的直线的倾斜角等于90°.(5)步骤：(1)给直线上两点的坐标赋值：x 1＝？，x 2＝？，y 1＝？，y 2＝？；(2)计算Δx ＝x 2－x 1，Δy ＝y 2－y 1；(3)如果Δx ＝0，则判定“斜率k 不存在”；(4)如果Δx≠0，计算k ＝Δy Δx； (5)输出斜率k.应用示例思路1例1求经过A(－2,0)，B(－5,3)两点的直线的斜率k.解：x 1＝－2，x 2＝－5，y 1＝0，y 2＝3；Δx ＝－5－(－2)＝－3，Δy ＝3－0＝3；k ＝Δy Δx＝－33＝－1. 变式训练1．已知过点A(a,3)，B(6,5)的直线的斜率k ＝12，则a ＝______. 答案：22.经过A(4，－7)，B(4,9)的直线斜率k 等于( )A ．0B ．16C ．－16D ．不存在答案：D例2画出方程3x ＋6y －8＝0的图象．解：由已知方程解出y ，得y ＝－12x ＋43. 这是一次函数的表达式，它的图象是一条直线，当x ＝0时，y ＝43；当x ＝2时，x ＝13. 在坐标平面内作点A(0，43)，B(2，13)，作直线AB ，即为所求方程的图象．(如下图)点评：方程Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)的图象是直线，以此方程的任意两解为坐标的点的连线(直线)就是该方程的图象．变式训练已知方程4x ＋By ＋4＝0的图象过点(1,1)，则B ＝______.解析：把点的坐标值代入方程，得4＋B ＋4＝0，解得B ＝－8.答案：－8思路2例3 求经过点A(－2,10)，B(5,3)的直线的斜率和倾斜角．解：k ＝3－105－－＝－1，即tan α＝－1，又∵0°≤α<180°，∴α＝135°.∴该直线的斜率是－1，倾斜角是135°.点评：此题要求学生会通过斜率公式求斜率，并根据斜率求直线的倾斜角．变式训练1．将直线y ＝3x 绕原点逆时针旋转90°，再向右平移1个单位，所得到的直线为… ( )A ．y ＝－13x ＋13B ．y ＝－13x ＋1 C ．y ＝3x －3 D ．y ＝13x ＋1 解析：将直线y ＝3x 绕原点逆时针旋转90°，得到直线y ＝－13x ，再右移1个单位，得到直线y ＝－13x ＋13. 答案：A2．求过下列两点的直线的斜率k 及倾斜角α.(1)P 1(－2,3)，P 2(－2,8)；(2)P 1(5，－2)，P 2(－2，－2)．解：(1)∵过P 1，P 2的直线与x 轴垂直，∴直线斜率不存在，倾斜角α＝90°.(2)k ＝tan α＝－2－－－2－5＝0，∴直线斜率为0，倾斜角α＝0°.例4 已知三点A 、B 、C ，且直线AB 、AC 的斜率相同，求证：这三点在同一条直线上．证明：由直线的斜率相同，可知直线AB 的倾斜角与AC 的倾斜角相等，而这两直线过公共点A ，所以直线AB 与AC 重合，因此A 、B 、C 三点共线．点评：此题反映了斜率公式的应用，即若有公共点的两直线斜率相同，则可以判断三点共线．变式训练1．若三点A(2,3)，B(3,2)，C(12，m)共线，求实数m 的值．解：由题意知k AB ＝2－33－2＝－1，k AC ＝m －312－2， ∵A、B 、C 三点共线，∴k AB ＝k AC .∴m －312－2＝－1.∴m＝92. 2．若三点A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)(ab≠0)共线，则1a ＋1b的值＝__________. 答案：12例5 已知三角形的顶点A(0,5)，B(1，－2)，C(－6，m)，BC 的中点为D ，当AD 斜率为1时，求m 的值及|AD|的长．分析：应用斜率公式、中点坐标公式、两点间的距离公式．解：D 点的坐标为(－52，m －22)， ∴k AD ＝m －22－5－52－0＝1.∴m＝7.∴D 点坐标为(－52，52)． ∴|AD|＝522＋－522＝522. 变式训练1．过点P(－1，－1)的直线l 与x 轴和y 轴分别交于A 、B 两点，若P 恰为线段AB 的中点，求直线l 的斜率和倾斜角．答案：l的斜率为－1，倾斜角为135°.2．如下图中菱形ABCD 的∠BAD＝60°，求菱形各边和两条对角线所在直线的倾斜角与斜率．解：由题意知直线AD 和BC 的倾斜角为60°，直线AB 和DC 的倾斜角为0°，直线AC 的倾斜角为30°，直线BD 的倾斜角为120°；直线AD 和BC 的斜率为k ＝tan60°＝3，直线AB 和DC 的斜率为k ＝tan0°＝0，直线AC 的斜率为k ＝tan30°＝33，直线BD 的斜率为k ＝tan120°＝－ 3.知能训练1．关于直线的倾斜角和斜率，下列哪些说法正确的是( )A ．任一条直线都有倾斜角，也都有斜率B ．直线的倾斜角越大，它的斜率就越大C ．平行于x 轴的直线的倾斜角是0°或180°D ．直线斜率的范围是(－∞，＋∞)答案：D2．已知直线的斜斜角，求直线的斜率．(1)α＝0°；(2)α＝60°；(3)α＝90°；(4)α＝135°.分析：指导学生根据定义直接求解．解：(1)∵tan0°＝0，∴倾斜角为0°的直线斜率为0.(2)∵tan60°＝3，∴倾斜角为60°的直线斜率为 3.(3)∵tan90°不存在，∴倾斜角为90°的直线斜率不存在．(4)∵tan135°＝－1，∴倾斜角为135°的直线斜率为－1.3．若三点A(2,2)，B(a,0)，C(0,4)共线，则a ＝______.解析：由题意得k AB ＝k AC ，则22－a ＝2－42，解得a ＝4. 答案：44．已知a>0，若平面内三点A(1，－a)，B(2，a 2)，C(3，a 3)共线，则a ＝______.解析：A 、B 、C 三点共线，∴k AB ＝k BC ，即a 2－－2－1＝a 3－a 23－2，a 2＋a ＝a 3－a 2，a 2－2a －1＝0. ∵a>0，∴a＝1＋ 2.答案：1＋ 2拓展提升如下图，直线l 1的倾斜角α1＝30°，直线l 1⊥l 2，求l 1、l 2的斜率．解：l 1的斜率k 1＝tan α1＝tan30°＝33， ∵l 2的倾斜角α2＝90°＋30°＝120°， ∴l 2的斜率k 2＝tan120°＝－ 3.点评：此题要求学生掌握已知直线的倾斜角求斜率．课堂小结本节课学习了：1．直线方程的概念；2．直线的斜率、倾斜角和斜率公式；3．利用斜率判定三点共线．作业本节练习A 1,2题．设计感想在对倾斜角及斜率这两个概念进行辨析时，以倾斜角与斜率的相互变化作为突破口．同时本节教学设计注重引导学生通过观察来获得新知，在实际教学中教师要及时引导，加强师生交流，学生通过自主观察、分析还是能得到正确结论的，要留给学生充分的思考时间，透彻理解直线的倾斜角和斜率的概念，能根据条件正确地求出直线的倾斜角和斜率是知识教学的目的；在形成概念的过程中，培养分析、抽象、归纳的思维能力，强化“形”“数”结合相互转化的思想方法，完善学生的数学知识结构．新课程解析几何教材在学生没有三角函数、向量基础的情况下展开，使得教学设计有了无米之炊的感觉．从知识接受上讲似乎并无大碍，但是从知识的联系性、思维的丰富性上来说，讲多了给人一种感觉——记住结论会用就行！这或许就是新课程的理念吧．但本课还是力求在学生思维发展层面上保持较高要求．备课资料已知直线的倾斜角的取值范围，利用正切函数的性质，讨论直线斜率及其绝对值的变化情况．解：①0°≤α<90°.作出y＝tanα在[0°，90°)区间内的函数图象，由图象观察可知：当α∈[0°，90°)时，y＝tanα＞0，并且随着α的增大，y不断增大，|y|也不断增大．所以，当α∈[0°，90°)时，随着倾斜角α的不断增大，直线斜率不断增大，直线斜率的绝对值也不断增大．②90°<α<180°.作出y＝tanα在(90°，180°)区间内的函数图象，由图象观察可知：当α∈(90°，180°)时，y＝tanα＜0，并且随着α的增大，y＝tanα不断增大，|y|不断减小．所以当α∈(90°，180°)时，随着倾斜角α的不断增大，直线的斜率不断增大，但直线斜率的绝对值不断减小．点评：针对以上结论，虽然有当α∈[0°，90°)时，随着α增大直线斜率不断增大；当α∈(90°，180°)时，随着α增大直线斜率不断增大．但是当α∈[0°，90°)∪(90°，180°)时，随着α的增大直线斜率不断增大却是一错误结论．。

2013届新课标高中数学(理)第一轮总复习第8章第47讲直线的斜率与直线的方程

1 2k ； k 1 2k 0 x＝－当x＝0时，y＝1＋2k .由题意，，所以k 0. k y＝1＋2k 0
3 显然k 存在且不为0.当y＝0时，x＝－
1 2k 所以 OA ＝，＝1＋2k . OB k 1 4k 2 4k 1 1 1 所以S＝ OA OB ＝＝2k＋＋2 2 2k ＋2＝4 2 2k 2k 2k 1 1 当且仅当2k＝，即k＝时，上式等号成立． 2k 2 所以此时直线l的方程为x－2y＋4＝0
轴围成的三角形面积最小时的直线的方
程．
x y 解析：解法一：设所求直线方程为 1 a b (a 0，b 0)， 2 2 2b 因为 1，所以a ， a b 2b 又a 0，所以b 2. 1 b 2b b 面积S ab 2 2 2b b2 4 4 b 2 [ b 2 ] 4 b2 b2 4 2 b 2 4 8. b2
2 截距相等不为0时，设直线方程为x y C 0，将点A 5, 2 代入得：x y 3 0.
综上知，所求直线方程为2x 5y 0或x y 3 0.
4.设直线l的方程为 a 1 x y 2 a 0(a R )，若直线l不经过第二象限，则实数a的取值范围是
1 1 2 2 ＝ 41 2 1 k ＝2 2 k 2 k k 1 2 2 2 k 2 ＝4， k 1 2 当且仅当k 2 ，即k＝－1时， k MA · 取得最小值4. MB
2
所以直线l的方程为y－1＝(－1)( x－2)，即x＋y－3＝0.
直线方程的形式不只一种，因此设法很关

3.已知直线l被坐标轴截得线段中点是(1，－ 3x－y－6＝0 3)，则直线l的方程是__________________.

高考数学科学复习创新方案：直线的倾斜角与斜率、直线的方程

直线的倾斜角与斜率、直线的方程[课程标准]1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式.2.掌握直线方程的几种形式(点斜式、斜截式、两点式、截距式及一般式)．1．直线的方向向量设A ，B 是直线上的两点，则AB →就是这条直线的方向向量．2．直线的倾斜角与斜率(1)直线的倾斜角①定义：当直线l 与x 轴相交时，以x 轴为基准，x 轴01正向与直线l 02向上的方向之间所成的角α叫做这条直线的倾斜角．当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为030°．②倾斜角的范围为040°≤α<180°．(2)直线的斜率条件公式直线的倾斜角为α，且α≠90°k ＝05tan α直线过点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且x 1≠x 2k ＝06y 2－y 1x 2－x 13.直线的方向向量同斜率的关系若直线l 的斜率为k ，它的一个方向向量的坐标为(x ，y )，则k ＝07yx．4．直线方程的五种形式名称条件方程适用范围点斜式斜率k 与点(x 0，y 0)08y －y 0＝k (x －x 0)不含直线x ＝x 0斜截式斜率k 与直线在y 轴上的截距b09y ＝kx ＋b不含垂直于x 轴的直线两点式两点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)10y －y1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1不含直线x ＝x 1(x 1＝x 2)和直线y ＝y 1(y 1＝y 2)截距式直线在x 轴、y 轴上的截距分别为a ，b11x a ＋y b ＝1不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式—12Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)平面直角坐标系内的直线都适用1．直线的斜率k 与倾斜角α之间的关系．α0°0°<α<90°90°90°<α<180°k 0k >0不存在k <0牢记口诀：“斜率变化分两段，90°是分界线；遇到斜率要谨记，存在与否要讨论．”2．“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数．应注意过原点的特殊情况是否满足题意．3．直线Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)的一个法向量v ＝(A ，B )，一个方向向量a ＝(－B ，A )．1．(人教A 选择性必修第一册2.1.1练习T 5改编)过A (2，4)，B (1，m )两点的直线的一个方向向量为(－1，1)，则m ＝()A ．－1B ．1C．5D．3答案C解析解法一：由题意可知m－41－2＝－1，∴m＝5.故选C.解法二：∵AB→＝(－1，m－4)，∴m－4＝1，即m＝5.故选C. 2．直线x＋3y＋1＝0的倾斜角是()A.π6B.π3C.2π3D.5π6答案D解析由直线的方程得直线的斜率k＝－33，设该直线的倾斜角为α，则tanα＝－33，又α∈[0，π)，所以α＝5π63．(人教A选择性必修第一册练习T3改编)倾斜角为135°，在y轴上的截距为－1的直线方程是()A．x－y＋1＝0B．x－y－1＝0C．x＋y－1＝0D．x＋y＋1＝0答案D解析直线的斜率为k＝tan135°＝－1，所以直线方程为y＝－x－1，即x＋y ＋1＝0.4．(人教A选择性必修第一册习题2.2T10改编)如果AC＜0且BC＜0，那么直线Ax＋By＋C＝0不经过()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案C解析∵AC＜0，BC＜0，∴A，B同号．又直线Ax＋By＋C＝0可化为y＝－A B x－CB，－AB＜0，－CB＞0，∴直线Ax＋By＋C＝0不经过第三象限．5．(人教A 选择性必修第一册习题2.2T 7改编)过点(5，2)且在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的2倍的直线方程是________．答案2x ＋y －12＝0或2x －5y ＝0解析设所求直线在x 轴上的截距为a ，则在y 轴上的截距为2a .①当a ＝0时，所求直线经过点(5，2)和(0，0)，所以直线方程为y ＝25x ，即2x －5y ＝0；②当a ≠0时，设所求直线方程为x a ＋y 2a ＝1，又直线过点(5，2)，所以5a ＋22a ＝1，解得a ＝6，所以所求直线方程为x 6＋y12＝1，即2x ＋y －12＝0.综上，所求直线方程为2x －5y ＝0或2x ＋y －12＝0.例1(1)直线x sin α＋y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是()A ．[0，π) B.0，π4∪3π4，C.0，π4D.0，π4∪答案B解析设直线的倾斜角为θ，则有tan θ＝－sin α.因为sin α∈[－1，1]，所以－1≤tan θ≤1，又θ∈[0，π)，所以0≤θ≤π4或3π4≤θ＜π.故选B.(2)(2023·湖北名校联考模拟)已知点A (2，3)，B (－3，－2)与直线l ：kx －y －k ＋1＝0，且直线l 与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围为________．答案∞，34∪[2，＋∞)解析已知点A (2，3)，B (－3，－2)与直线l ：kx －y －k ＋1＝0，且直线l 与线段AB 相交，直线l ：kx －y －k ＋1＝0，即直线l ：k (x －1)－y ＋1＝0，它经过定点M (1，1)，MA 的斜率为3－12－1＝2，MB 的斜率为－2－1－3－1＝34，则直线l 的斜率k∞，34∪[2，＋∞)．直线倾斜角的范围是[0，π)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分1.(2023·重庆南开中学模拟)已知直线l 的一个方向向量为p ＝sin π3，l 的倾斜角为()A.π6B.π3C.2π3D.4π3答案A解析由题意得，直线l 的斜率k ＝cosπ3sin π3＝33＝tan π6，即直线l 的倾斜角为π6.故选A.2．若正方形一条对角线所在直线的斜率为2，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为________，________．答案13－3解析如图，在正方形OABC 中，对角线OB 所在直线的斜率为2，建立如图所示的平面直角坐标系．设对角线OB 所在直线的倾斜角为θ，则tan θ＝2，由正方形的性质可知，直线OA 的倾斜角为θ－45°，直线OC 的倾斜角为θ＋45°，故k OA ＝tan(θ－45°)＝tan θ－tan45°1＋tan θtan45°＝2－11＋2＝13，k OC ＝tan(θ＋45°)＝tan θ＋tan45°1－tan θtan45°＝2＋11－2＝－3.例2求适合下列条件的直线方程：(1)经过点P(1，2)，倾斜角α的正弦值为45；(2)经过点P(2，3)，并且在两坐标轴上的截距相等；(3)经过两条直线l1：x＋y＝2，l2：2x－y＝1的交点，且直线的一个方向向量为v＝(－3，2)．解(1)由题可知sinα＝45，则tanα＝±43，∵直线经过点P(1，2)，∴直线的方程为y－2＝±43(x－1)，即y＝±43(x－1)＋2，整理得4x－3y＋2＝0或4x＋3y－10＝0.(2)解法一：①当截距为0时，直线过点(0，0)，(2，3)，则直线的斜率为k＝3－02－0＝3 2，因此直线的方程为y＝32x，即3x－2y＝0.②当截距不为0时，可设直线的方程为xa＋ya＝1.∵直线过点P(2，3)，∴2a＋3a＝1，∴a＝5.∴直线的方程为x＋y－5＝0.综上可知，直线的方程为3x－2y＝0或x＋y－5＝0.解法二：由题意可知所求直线的斜率存在，则可设直线方程为y－3＝k(x－2)，且k≠0.令x＝0，得y＝－2k＋3.令y＝0，得x＝－3k＋2.于是－2k＋3＝－3k ＋2，解得k＝32或k＝－1.则直线的方程为y－3＝32(x－2)或y－3＝－(x－2)，即3x－2y＝0或x＋y－5＝0.(3)＋y ＝2，x －y ＝1，＝1，＝1，∴直线过点(1，1)，∵直线的一个方向向量为v ＝(－3，2)，∴直线的斜率k ＝－23.则直线的方程为y －1＝－23(x －1)，即2x ＋3y －5＝0.求直线方程的两种方法注意：使用点斜式、截距式求直线方程时，应注意分类讨论．1.(2024·福建龙岩质检)过点A (－1，1)的直线l 的倾斜角是直线l 1：3x －y ＋1＝0的倾斜角的2倍，则直线l 的方程是()A.3x －y ＋3＋1＝0B.3x ＋y ＋3－1＝0C.3x －3y ＋3＋3＝0D.3x ＋3y ＋3－3＝0答案B解析由k 1＝tan α＝3，得α＝60°，所以k ＝tan120°＝－3，所以直线l 的方程是y －1＝－3(x ＋1)，即3x ＋y ＋3－1＝0.2．经过A (0，2)，B (－1，0)两点的直线方程为________，若直线的一个方向向量为(1，k )，则k ＝________．答案2x －y ＋2＝02解析经过A (0，2)，B (－1，0)两点的直线方程为x －1＋y2＝1，即2x －y ＋2＝0，所以直线的一个方向向量为(1，2)，故k ＝2.3．过点P (6，－2)，且在x 轴上的截距比在y 轴上的截距大1的直线方程为________．答案2x＋3y－6＝0或x＋2y－2＝0解析设直线方程的截距式为xa＋1＋ya＝1，则6a＋1＋－2a＝1，解得a＝2或a＝1，则直线的方程是x3＋y2＝1或x2＋y1＝1，即2x＋3y－6＝0或x＋2y－2＝0.多角度探究突破考向三直线方程的应用角度直线方程与不等式的结合例3过点P(4，1)作直线l，分别交x轴、y轴的正半轴于点A，B.(1)当△AOB的面积最小时，求直线l的方程；(2)当|OA|＋|OB|取最小值时，求直线l的方程．解设直线l：xa ＋yb＝1(a>0，b>0)，因为直线l经过点P(4，1)，所以4a＋1b＝1.(1)因为4a ＋1b＝1≥24a·1b＝4ab，所以ab≥16，S△AOB＝12ab≥8，当且仅当a＝8，b＝2时等号成立．所以当a＝8，b＝2时，△AOB的面积最小，此时直线l的方程为x8＋y2＝1，即x＋4y－8＝0.(2)因为4a ＋1b＝1，a>0，b>0，所以|OA|＋|OB|＝a＋b＝(a＋b)4a＋1b＝5＋ab＋4ba≥9，当且仅当a＝6，b＝3时等号成立．所以当|OA|＋|OB|取最小值时，直线l的方程为x6＋y3＝1，即x＋2y－6＝0.角度直线方程与函数的结合例4为了绿化城市，拟在矩形区域ABCD 内建一个矩形草坪(如图)，另外△EFA 内部有一文物保护区不能占用，经测量|AB |＝100m ，|BC |＝80m ，|AE |＝30m ，|AF |＝20m ，应如何设计才能使草坪面积最大？解如图所示，以A 为坐标原点建立平面直角坐标系，则E (30，0)，F (0，20)，∴直线EF 的方程为x 30＋y20＝1(0≤x ≤30)．易知当矩形草坪的一个顶点在线段EF 上时，草坪面积可取最大值，在线段EF 上取点P (m ，n )，作PQ ⊥BC 于点Q ，PR ⊥CD 于点R ，设矩形PQCR 的面积为S ，则S ＝|PQ |·|PR |＝(100－m )(80－n )．又m 30＋n 20＝1(0≤m ≤30)，∴n ＝20－23m .∴S ＝(100－m －20＋23m ＝－23(m －5)2＋180503(0≤m ≤30)．∴当m ＝5时，S 有最大值，这时|EP |∶|PF |＝5∶1.∴当矩形草坪的两边在BC ，CD 上，一个顶点在线段EF 上，且这个顶点分有向线段EF 成5∶1时，草坪面积最大．直线方程综合问题的两大类型及解法(1)与函数相结合的问题：解决这类问题，一般是利用直线方程中x ，y 的关系，将问题转化为关于x (或y )的函数，借助函数的性质解决．(2)与方程、不等式相结合的问题：一般是利用方程、不等式的有关知识(如方程解的个数、根的存在问题、不等式的性质、基本不等式等)来解决．1.已知直线l 1：ax －2y ＝2a －4，l 2：2x ＋a 2y ＝2a 2＋4，当0＜a＜2时，直线l 1，l 2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，实数a ＝________．答案12解析由题意知直线l 1，l 2恒过定点P (2，2)，直线l 1在y 轴上的截距为2－a ，直线l 2在x 轴上的截距为a 2＋2，所以四边形的面积S ＝12×2×(2－a )＋12×2×(a 2＋2)＝a 2－a ＋4＋154，所以当a ＝12时，四边形的面积最小．2．如图，在两条互相垂直的道路l 1，l 2的一角有一个电线杆，电线杆底部到道路l 1的垂直距离为4米，到道路l 2的垂直距离为3米，现在要过电线杆的底部靠近道路的一侧修建一条人行直道，使得人行直道与两条垂直的道路围成的直角三角形的面积最小，则人行直道的长度为多少米？解如图，建立平面直角坐标系，则P (3，4)．设人行道所在直线方程为y －4＝k (x －3)(k <0)，所以－4k，B (0，4－3k )，所以△ABO 的面积S ＝12(4－3k －9k因为k <0，所以－9k －16k ≥24，当且仅当－9k ＝－16k ，即k ＝－43时取等号．此时，A (6，0)，B (0，8)，所以人行直道的长度为62＋82＝10米．课时作业一、单项选择题1．(2023·上海松江区二模)经过点(1，1)，且方向向量为(1，2)的直线方程是()A ．2x －y －1＝0B ．2x ＋y －3＝0C ．x －2y ＋1＝0D ．x ＋2y －3＝0答案A解析由于直线的方向向量为(1，2)，故直线的斜率为21＝2，故直线的方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0.故选A.2．(2024·山东滨州模拟)已知A (m ，0)，B (0，1)，C (3，－1)，且A ，B ，C 三点共线，则m ＝()A.32B.23C ．－32D ．－23答案A解析因为A ，B ，C 三点共线，且A (m ，0)，B (0，1)，C (3，－1)，所以直线的斜率存在，且k AB ＝k BC ，即1－m ＝－23，解得m ＝32.故选A.3．(2023·杭州学军中学期中)已知直线l 1：3x ＋y ＝0与直线l 2：kx －y ＋1＝0，若直线l 1与直线l 2的夹角为60°，则实数k 的值为()A.3B ．－3C.3或0D ．－2或－3答案C解析因为直线l1：3x ＋y ＝0的斜率为k ＝－3，所以其倾斜角为120°.直线l 2：kx －y ＋1＝0恒过点(0，1)，如图，若直线l 1与直线l 2的夹角为60°，则l 2的倾斜角为60°或0°，所以k ＝3或k ＝0.故选C.4．函数f (x )＝13x 3－x 2的图象上有一动点，则在此动点处切线的倾斜角的取值范围为()A.0，3π4B.0∪3π4，C.3π4，D.π2，3π4答案B解析设切线的倾斜角为α，则α∈[0，π)，∵f ′(x )＝x 2－2x ＝(x －1)2－1≥－1，∴切线的斜率k ＝tan α≥－1，则α的取值范围为03π4，5．已知△ABC 的顶点C 的坐标为(1，1)，AC 所在直线的方向向量为(1，2)，AC 边上的中线所在的直线方程为x ＋y －1＝0，则点A 的坐标为()答案A解析设A (x 0，y 0)，AC 所在直线的方向向量为(1，2)，则AC 所在直线的斜率k ＝1－y 01－x 0＝21，∴1×(1－y 0)－2(1－x 0)＝0，得y 0＝2x 0－1，∴A (x 0，2x 0－1)，又C (1，1)，则AC x ∵AC 边上的中线所在的直线方程为x＋y －1＝0，则AC x x ＋y －1＝0上，∴1＋x 02＋x 0－1＝0，解得x 0＝13，∴点A 故选A.6．现有下列四个命题：甲：直线l 经过点(0，－1)；乙：直线l 经过点(1，0)；丙：直线l 经过点(－1，1)；丁：直线l 的倾斜角为锐角．如果只有一个假命题，则假命题是()A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁答案C解析设A (0，－1)，B (1，0)，C (－1，1)，则k AB ＝－1－00－1＝1，k BC ＝1－0－1－1＝－12，因为k AB ≠k BC ，所以A ，B ，C 三点不共线，所以假命题必是甲、乙、丙中的一个，丁是真命题，即直线l 的斜率大于0，而k AB >0，k BC <0，k AC <0，故丙是假命题．故选C.7．(2024·四川宜宾模拟)若直线ax ＋by ＝ab (a >0，b >0)过点(1，1)，则该直线在x 轴与y 轴上的截距之和的最小值为()A ．1B ．2C ．3D ．4答案D解析因为直线ax ＋by ＝ab 过点(1，1)，所以a ＋b ＝ab ，又因为a >0，b >0，所以1b ＋1a ＝1，所以直线x b ＋ya ＝1在x 轴与y 轴上的截距之和为b ＋a ＝(b ＋a ＝2＋a b ＋ba≥2＋2a b ·b a ＝4，当且仅当a b ＝ba，即a ＝b ＝2时取等号，所以直线在x 轴与y 轴上的截距之和的最小值为4.故选D.8.(2023·安徽江南十校模拟)1949年公布的《国旗制法说明》中就五星的位置规定：大五角星有一个角尖正向上方，四颗小五角星均各有一个角尖正对大五角星的中心点．有人发现，第三颗小星的姿态与大星相近．为便于研究，如图，以大星的中心点为原点，建立平面直角坐标系，OO 1，OO 2，OO 3，OO 4分别是大星中心点与四颗小星中心点的连接线，α≈16°，则第三颗小星的一条边AB 所在直线的倾斜角约为()A ．0°B ．1°C ．2°D ．3°答案C解析∵O ，O 3都为五角星的中心点，∴OO 3平分第三颗小星的一个角，由五角星的内角为36°，知∠BAO 3＝18°，过O 3作x 轴的平行线O 3E ，如图，则∠OO 3E ＝α≈16°，∴直线AB 的倾斜角约为18°－16°＝2°.故选C.二、多项选择题9．已知直线l过点P(3，2)，且与直线l1：x＋3y－9＝0及x轴围成一个底边在x轴上的等腰三角形，则()A．直线l的方程为x－3y＋3＝0B．直线l与直线l1的倾斜角互补C．直线l在y轴上的截距为1D．这样的直线l有两条答案ABC解析因为直线l与l1及x轴围成一个底边在x轴上的等腰三角形，所以直线l与直线l1的倾斜角互补，故B正确；由直线l1的斜率为－13，知直线l的斜率为1 3，可得直线l的方程为y－2＝13(x－3)，即直线l的方程为x－3y＋3＝0，故A正确；令x＝0，得y＝1，所以直线l在y轴上的截距为1，故C正确；过点P(3，2)且斜率为13的直线只有一条，故D错误．故选ABC.10．已知直线x sinα＋y cosα＋1＝0(α∈R)，则下列命题正确的是()A．直线的倾斜角是π－αB．无论α如何变化，直线不过原点C．直线的斜率一定存在D．当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面积不小于1答案BD解析直线倾斜角的范围为[0，π)，而π－α∈R，A不正确；当x＝y＝0时，x sinα＋y cosα＋1＝1≠0，所以直线必不过原点，B正确；当α＝π2时，直线的斜率不存在，C不正确；当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面积为S＝12|1－sinα|·|1－cosα|＝1|sin2α|≥1，D正确．故选BD.11．(2023·广东珠海二模)在平面直角坐标系中，已知正方形ABCD四边所在直线与x轴的交点分别为(0，0)，(1，0)，(2，0)，(4，0)，则正方形ABCD四边所在直线中过点(0，0)的直线的斜率可以是()A ．2 B.32C.34D.14答案ABD解析因为选项斜率均为正值，不妨假设AB 所在的直线过点(0，0)，设直线AB 的倾斜角为αk ，①若CD 所在的直线过点(1，0)，如图1，可得|BC |＝sin α，|CD |＝2cos α，因为|BC |＝|CD |，即sin α＝2cos α，所以k ＝tan α＝2；②若CD 所在的直线过点(2，0)，如图2，可得|BC |＝2sin α，|CD |＝3cos α，因为|BC |＝|CD |，即2sin α＝3cos α，所以k ＝tan α＝32；③若CD 所在的直线过点(4，0)，如图3，可得|BC |＝4sin α，|CD |＝cos α，因为|BC |＝|CD |，即4sin α＝cos α，所以k ＝tan α＝14.综上所述，k 的值可能为2，32，14.故选ABD.三、填空题12．若直线l 的一个方向向量为a sin π7，l 的倾斜角θ＝________．答案5π14解析∵直线l 的一个方向向量为a sin π7，∴直线l 的斜率k ＝cos π7sin π7＝sin5π14cos5π14＝tan 5π14，∴直线l 的倾斜角θ＝5π14.13．在△ABC 中，已知A (1，1)，AC 边上的高线所在的直线方程为x －2y ＝0，AB 边上的高线所在的直线方程为3x ＋2y －3＝0.则BC 边所在的直线方程为________．答案2x ＋5y ＋9＝0解析由题意，得k AC ＝－2，k AB ＝23，∴l AC ：y －1＝－2(x －1)，即2x ＋y －3＝0，l AB ：y －1＝23(x －1)，即2x －3y ＋1＝0.x ＋y －3＝0，x ＋2y －3＝0，得C (3，－3)．由x －3y ＋1＝0，－2y ＝0，得B (－2，－1)，∴l BC ：2x ＋5y ＋9＝0.14．(2023·重庆育才中学期末)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点．设△ABC 的顶点分别为A (0，a )，B (b ，0)，C (c ，0)，点P (0，p )在线段AO 上(异于端点)，设a ，b ，c ，p 均为非零实数，直线BP ，CP 分别交AC ，AB 于点E ，F ，一同学已正确算得OE ＝0，则OF 的方程为________________．答案＝0解析由题意，C (c ，0)，P (0，p )，则CP 的方程为x c ＋yp＝1，同理，AB 的方程为x b ＋ya＝1，两直线方程相减，得OF 的方程为＝0.四、解答题15．已知△ABC 的三个顶点分别为A (－3，0)，B (2，1)，C (－2，3)，求：(1)BC 边所在直线的方程；(2)BC 边的垂直平分线DE 的方程．解(1)因为直线BC 经过B (2，1)和C (－2，3)两点，所以直线BC 的方程为y －13－1＝x －2－2－2，即x ＋2y －4＝0.(2)由(1)知，直线BC 的斜率k 1＝－12，则直线BC 的垂直平分线DE 的斜率k 2＝2.因为BC边的垂直平分线DE经过BC的中点(0，2)，所以所求直线方程为y－2＝2(x－0)，即2x－y＋2＝0.16．过点Pl与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点．(1)求△OAB面积的最小值以及此时直线l的方程；(2)是否存在直线l，使△OAB的周长为12？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．解(1)设A(a，0)，B(0，b)(a>0，b>0)，则直线l的方程为xa ＋yb＝1.因为直线l过点，所以43a＋2b＝1，故1＝43a ＋2b≥283ab⇒ab≥323，故S△OAB＝12ab≥163，＝2b，＋2b＝1，＝83，＝4时取等号，此时直线l的方程为3x8＋y4＝1，故(S△OAB)min＝163，此时直线l的方程为3x＋2y－8＝0.(2)假设存在满足条件的直线l：xa ＋yb＝1(a>0，b>0)，＋2b＝1，b＋a2＋b2＝12，＝4，＝3＝12 5，＝92，故存在满足条件的直线l：3x＋4y－12＝0或15x＋8y－36＝0.。

湘教版高考总复习一轮数学精品课件第九章平面解析几何第一节直线的倾斜角、斜率与直线的方程

解 (方法 1)设直线 l 的方程为 y-1=k(x-2),则可得
2-1
A( ,0),B(0,1-2k).
∵直线 l 与 x 轴的正半轴、y 轴的正半轴分别交于 A,B 两点,
∴
2-1

> 0,
解得 k<0.
1-2 > 0,
∴|MA|·|MB|=
1
2
+ 1 ·√4 + 4 2 =
k<0,即 k=-1 时,等号成立.
(4)已知△ABC的顶点A(2,3),边AC,AB的中线方程分别为x-3y=0,5x+6y14=0,求直线BC的方程.
解 (1)当直线过原点时,方程为
当直线 l
3
y= x,即
2

不过原点时,设直线方程为
−
3x-2y=0.

=1.

将 P(2,3)代入方程,得 a=-1,所以直线 l 的方程为 x-y+1=0.
+2
上,则 2
−
32-5
=0,解得
4
c=4,所以点 C 的坐标为
(4,-1).
直线 BC 的斜率为
-1-0 1
k= 4-0 =-4,因此直线
BC 的方程为
1
y=-4x,即
x+4y=0.
规律方法求直线方程的两种方法
考点三
直线方程的综合应用
例题已知直线l过点M(2,1),且分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于A,B
3
故直线
1
l 的斜率的取值范围是[ , √3].
3
引申探究2(变条件变结论)若将本题组(2)中的B(0, √3 )改为B(2,-1),其他条

高考数学总复习第八章第一节直线的倾斜角与斜率、直

指
导 ·
(2)范围：直线l倾斜角的范围是___[_0_，__π_)_____．
备
高考
2．斜率公式
(1)直线l的倾斜角为α≠90°，则斜率k＝____ta_n_α______.
(2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上，且x1≠x2，则l的斜率k y2－y1
＝____x_2－__x_1______.
备高
2．对直线与圆锥曲线的位置关系的考查，常以压轴题的形
考
式出现，其命题形式常与向量结合，重在考查圆锥曲线的几何
性质，另外定值问题，最值问题及探索性问题依然是考查的热
点问题．
3．本章内容集中体现了两大数学思想：函数与方程及数形
结合的思想，且常与向量、三角函数、不等式、导数等知识交
汇命题，体现了综合与创新.
3．已知A(3,5)，B(4,7)，C(－1，x)三点共线，则x＝________.
【解析】由已知得－x－ 1－53＝47－－35，来自策略∴x＝－3.
指
导
· 备
【答案】－3
高
考
4．一条直线 l 经过点 A(2，－3)，并且它的倾斜角等于直线 y＝ 1 x 的倾斜角的 2 倍，则直线 l 的一般式方程是
【答案】 D
2．(2011·安徽高考)若直线3x＋y＋a＝0过圆x2＋y2＋2x－4y＝0 的圆心，则a的值为( )
A．－1 B．1
策
C．3 D．－3
略
指
【解析】圆方程化为(x＋1)2＋(y－2)2＝5，圆心(－1,2)．
导
·
∵直线过圆心，∴3×(－1)＋2＋a＝0，∴a＝1.
备
高考
【答案】 B

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

2013届高三数学（文）复习学案：直线的斜率与直线方程一、课前准备：【自主梳理】1．直线的倾斜角：对于一条与x 轴相交的直线，把x 轴所在直线绕着它与直线的交点按照逆时针方向旋转到和直线重合时，所转过的最小正角叫倾斜角；倾斜角的取值范围是 .2．直线的斜率：倾斜角不是 90的直线，它的倾斜角α的值叫做这条直线的斜率.常用k 表示，即k = ，其取值范围是 .倾斜角是 90的直线没有 .3．求直线斜率的方法①定义法：已知直线的倾斜角为α，当α090≠时， k 与α的关系是；α090=时，直线斜率 .②公式法：已知直线过两点),(),,(222111y x P y x P ，且21x x ≠，则斜率k = . 平面直角坐标系内，每一条直线都有，但不是每一条直线都有 .4．直线方程的五种形式：5．几种特殊直线的方程:①过点),(b a P 垂直于x 轴的直线方程为 ;过),(b a P 垂直于y 轴的直线方程为 .②已知直线的纵截距为b ,可设其方程为 . ③已知直线的横截距为a ,可设其方程为 .④过原点的直线且斜率是k 的直线方程为 .【自我检测】1．若直线1l 的倾斜角为 120，则1l 的斜率是，若直线2l 的斜率为33，则2l 的倾斜角是，经过两点)2,3(-、)3,2(-的直线的斜率是，倾斜角是 .2．经过点)1,2(，且斜率为3-的直线l 的点斜式方程是，斜截式方程是，经过两点)8,1(-和)2,4(-的直线l 的两点式方程是，截距式方程是，一般式方程是 .3．已知三点(3,1)A ，(2,)B k -，(8,11)C 共线，则k 的取值是 .4．已知直线l 的倾斜角为α，且0135≤α≤°，则直线l 的斜率取值范围是 .5．m 为任意实数时，直线(1)(21)5m x m y m -+-=-必过点 . 6．经过点(1,3)A -，倾斜角等于直线21y x =-的倾斜角的2倍的直线方程为 .二、课堂活动：【例1】（1）已知点A （3，4），则经过点A 且在两坐标轴上截距相等的直线方程为 .（2）若直线l 的方程是)(5)12()32(22R m m y m m x m m ∈+=-++--，其倾斜角为45，则m = .（3）直线l 经过)1,2(A ，),1(2m B 两点)(R m ∈，那么直线l 的倾斜角的取值范围是 __.（4）已知点(2,3),(4,2)A B -，直线l 过点(0,2)P -与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是 .【例2】设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R )．（1）若l 在两坐标轴上截距相等，求l 的方程，（2）若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围．【例3】过点(2,1)P 的直线l 交两坐标轴的正半轴于A 、B 两点，求使：（1）△AOB 面积最小时L 的方程．（2）PB PA ⋅最小时l 的方程．课堂小结三、课后作业 1．直线023tan =++y x π的倾斜角α是 .2．直线023cos =-+y x θ的倾斜角的范围是 .3．已知0a >，若平面内23(1,),(2,),(3,)A a B a C a -三点共线，则a = .4．过点),0(),1,3(m Q P -的直线的倾斜角的范围m 那么],32,3[ππα∈值的范围是 .5．已知直线b kx y +=满足1=-b k ，则该直线过定点．6．下列说法中正确的有．1）过点P )2,1(-的直线方程可设为)1(2-=+x k y 2）若直线l 在两轴上的截距相等，则其方程可以设为)0(1≠=+a bya x 3）经过两点P )2,(a ，Q )1,(b 的直线的斜率为ba k -=1 4）如果AC<0，BC>0那么直线0=++C By Ax 不通过第二象限7．过点（－2，1）在两条坐标轴上的截距绝对值相等的直线条数有条．8．直线20kx y ++=和以(2,1),(3,2)M N -为端点的线段相交,则实数k 的取值范围 .9．已知直线l 在x 轴上的截距比在y 轴上的截距大1，且过定点()6,2P -，求直线l 的方程．10．已知两点A （－1，2）、B （m ，3）. （1）求直线AB 的斜率k 与倾斜角α，（2）求直线AB 的方程．参考答案：【自主梳理】1． [)π,0 2．正切， tan α， (,)-∞+∞ 斜率 3．① αtan =k ；不存在；② 1212x x y y k --= 倾斜角，斜率.4．①y=b ②b kx y +=; ③a my x +=; ④y=kx 【自我检测】1．， 30， 1- ， 135 . 2．12)y x -=-，1y =++512841y x -+=--+ ， 136x y+=--， 260x y ++=.3． -9 . 4．()[),10,-∞-⋃+∞. 5．()9,4-. 6． 4350x y ++= .二、课堂活动：【例1】（1）430,70x y x y -=+-= （2）43 （3）0,,42πππ⎡⎫⎛⎫⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭ （4） [)5,1,2⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦.【例2】(1)当直线过原点时，该直线在x 轴和y 轴上的截距为零，∴a ＝2，方程即为3x ＋y ＝0. ∵当直线不经过原点时，由截距存在且均不为0， ∴a －2a ＋1＝a －2，即a ＋1＝1，∴a ＝0，方程即为x ＋y ＋2＝0. (2)解法一：将l 的方程化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2，∴⎩⎨⎧－a ＋a －2≤0或⎩⎨⎧－a ＋＝0，a －2≤0，∴ a ≤－1.综上可知a 的取值范围是a ≤－1解法二：将l 的方程化为(x ＋y ＋2)＋a (x －1)＝0(a ∈R)．它表示过l 1：x ＋y ＋2＝0与l 2：x －1＝0的交点(1，－3)的直线系(不包括x ＝1)．由图象可知l 的斜率为－(a ＋1)≥0，即当a ≤－1时，直线l 不经过第二象限．【例3】方法一设直线的方程为1=+by ax (a ＞2,b ＞1),由已知可得112=+ba.（1）∵2b a 12∙≤b a 12+=1，∴ab≥8.∴S △AOB =21ab≥4.当且仅当a2=b1=21,即a=4,b=2时，S △AOB 取最小值4，此时直线l 的方程为24y x +=1,即x+2y-4=0.（2）由a2+b1=1,得ab-a-2b=0,变形得(a-2)(b-1)=2,|PA|·|PB|=22)01()2(-+-a ·22)1()02(b -+-=]4)1[(]1)2[(22+-+-b a ≥)1(4)2(2--b a .当且仅当a-2=1,b-1=2,即a=3,b=3时，|PA|·|PB|取最小值4. 此时直线l 的方程为x+y-3=0.方法二设直线l 的方程为y-1=k(x-2) (k ＜0),则l 与x 轴、y 轴正半轴分别交于A ⎪⎭⎫⎝⎛-0,12k、B （0，1-2k ）.（1）S △AOB =21⎪⎭⎫ ⎝⎛-k 12（1-2k ）=21×⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-+)1()4(4k k ≥21（4+4）=4. ··当且仅当-4k=-k1,即k=-21时取最小值，此时直线l 的方程为y-1=-21(x-2),即x+2y-4=0.（2）|PA|·|PB|=22441)1(k k++=84422++k k≥4,当且仅当24k =4k 2,即k=-1时取得最小值，此时直线l 的方程为y-1=-(x-2),即x+y-3=0.另解析：依题意作图，设∠BA O ＝θ，则PA PB ==12sin cos θθ，，∴===PA PB ·22442sin cos sin cos sin θθθθθ，当sin21θ=，即θ=︒45时PA PB ·||的值最小，此时直线l 的倾斜角为135°， ∴斜率k l =︒=-tan1351。

故直线l 的方程为()()y x -=--112·，即x y +-=30。

三、课后作业1．23π ． 2． 5[0,][,)66πππ．3． 14． 4m ≥≤或m -2． 5． (1,1)--． 6． 4）．7． 3．8． 43k ≥≤3或k -2.9．分析：可用四种形式的直线方程假设，比较繁简，能根据题意灵活选择直线方程的形式。

简解：(点斜式)设():26l y k x +=-，即()16262x yk k k+=+-+，则()62621k k k +++=，解得，23k =-或12-，:220l x y ∴+-=或2360x y +-=；(两点式)设l 交y 轴于()0,b ，则0260y b x b --=---，令0y =得，62bx b =+，则612bb b -=+，解得，1b =或2，:220l x y ∴+-=或2360x y +-=；(斜截式)设:l y kx b =+，令0y =得，bx k=-，又l 过定点()6,2P -，则11112162kk b b b k b ⎧⎧=---=⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪=+=-⎩⎩或22232k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，:220l x y ∴+-=或2360x y +-=；(截距式)设:11x y l b b +=+，又l 过定点()6,2P -，则6211b b-+=+，x·解得，1b =或2，:220l x y ∴+-=或2360x y +-=．10．（1）当m=-1时，直线AB 的方程为x=-1,当m≠-1时，直线AB 的方程为y-2=11+m (x+1).（2）①当m=-1时，α=2π;②当m≠-1时，m+1∈(]3,00,33 ⎪⎪⎭⎫⎢⎢⎣⎡-，∴k=11+m ∈（-∞，-3］∪⎪⎪⎭⎫⎢⎢⎣⎡+∞,33， ∴α∈⎥⎦⎤ ⎝⎛⎪⎭⎫⎢⎣⎡32,22,6ππππ .综合①②知，直线AB 的倾斜角α∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡32,6ππ.。