关于特征值与特征向量的求解方法与技巧

关于特征值与特征向量的求解方法与技巧摘 要:矩阵的初等变换是高等代数中运用最广泛的运算工具，对矩阵的特征值与特征向量的求解研究具有一定意义。

本文对矩阵特征值与特征向量相关问题进行了系统的归纳，得出了通过对矩阵进行行列互逆变换就可同时求出特征值及特征向量的结论。

文章给出求解矩阵特征值与特征向量的两种简易方法: 列行互逆变换方法与列初等变换方法。

关键词: 特征值，特征向量; 互逆变换; 初等变换。

1引言物理、力学、工程技术的许多问题在数学上都归结为求矩阵的特征值与特征向量问题，直接由特征方程求特征值是比较困难的，而在现有的教材和参考资料上由特征方程求特征值总要解带参数的行列式，且只有先求出特征值才可由方程组求特征向量。

一些文章给出了只需通过行变换即可同步求出特征值及特征向量的新方法，但仍未摆脱带参数行列式的计算问题。

本文对此问题进行 了系统的归纳，给出了两种简易方法。

一般教科书介绍的求矩阵的特征值和特征向量的方法是先求矩阵A 的特征方程()0A f I A λλ=-=的全部特征根(互异) ，而求相应的特征向量的方法则是对每个i λ 求齐次线性方程组()0i I A X λ-=的基础解系，两者的计算是分离的，一个是计算行列式，另一个是解齐次线性方程组, 求解过程比较繁琐，计算量都较大。

本文介绍求矩阵的特征值与特征向量的两种简易方法， 只用一种运算 ——矩阵运算， 其中的列行互逆变换法是一种可同步求出特征值与特征向量的方法， 而且不需要考虑带参数的特征矩阵。

而矩阵的列初等变换法， 在求出特征值的同时， 已经进行了大部分求相应特征向量的运算， 有时碰巧已完成了求特征向量的全部运算。

两种方法计算量少， 且运算规范，不易出错。

2 方法之一： 列行互逆变换法定义1 把矩阵的下列三种变换称为列行互逆变换: 1. 互换i 、j 两列()i j c c ↔，同时互换j 、i 两行()j i r r ↔ ；2. 第i 列乘以非零数()i k kc ， 同时第i 行乘11i c k k⎛⎫ ⎪⎝⎭； 3. 第i 列k 倍加到第j 列()j i c kc +， 同时第j 行- k 倍加到第i 行()ijr kr -。

定理1 复数域C 上任一n 阶矩阵A 都与一个Jordan 标准形矩阵1212,,....r k k kr J diag J J J λλλ⎧⎫⎪⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎨⎬ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎩⎭=相似， 其中111110...0001...00..................000...1000...0ki kiJ λλλλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦称为Jordan 块， 12r k k k n +++=并且这个Jordan 标准形矩阵除去其中Jordan 块的排列次序外被矩阵A 唯一确定， J 称为A 的Jordan 标准形。

定理2 A 为任意n 阶方阵, 若T A J I P ⎛⎫⎛⎫−−−−−−→ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭一系列列行互逆变换其中1212,,....r k k kr J diag J J J λλλ⎧⎫⎪⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎨⎬ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎩⎭=是Jordan 标准形矩阵,()()1r P P P =，()()11,,iii iki r P ββ== ，12r k k k n +++=。

则i λ为A 的特征值， ik αβ=为A 的对应特征值i λ的特征向量。

证: 由定理1可知， 任一矩阵必相似于一约当阵， 按定理2中化简方法， 有矩阵A 的转置矩阵T A 相似于一约当矩阵J ， 即存在可逆矩阵P ， 使()T T T P A P J=， 故T AP PJ =其中1111r rP βαβα⎛⎫ ⎪⎝⎭=111110...0001...00..................000...1000...0ki kiJ λλλλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦111110...0001...00..................000 (1)000...0Tki kiJ λλλλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 所以()()111111111Tk r r r r T kr J J A βαβαβαβα⎡⎤=⎢⎥⎣⎦故有()1,,i i i i r A λαα== 所以i λ 为A 的特征值， i i ik βα=为A 的对应特征值i λ 的特征向量。

为了运算的方便，约定：（１）i i r kr+−−−−→表示矩阵第ｊ行ｋ倍加到第ｉ行； （２）i i c kc-−−−−→表示矩阵第ｊ列－ｋ倍加到第ｉ列。

例1 求矩阵211031213A -⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦=的特征值与特征向量。

解：()()1321311212211111200031131121213004004............... (1)00100110010010010001101111c c c c r r r r A I --++--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=−−−→−−−→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢--⎣⎦⎣⎦⎣⎦()()322333121232124200200120120004004............ (1112111011201)11112111c cr r c r -+−−−→⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦所以特征值1232,4λλλ===， 对应特征值122λλ==的特征向量1111α-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦=，对应34λ=的特征向量3111α⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦=。

注: 解答过程中(1)处的ｋ= - 1是由方程2+ 3k+ ( 2+ k) ( - k)=0确定的，(2)处的k= - 1是由方程k= - 1+ k+ ( 3+ k) ( - k) = 0确定的，(3)处的k= -1|2是由方程- 1k+ 2k+ 4( - k) = 0确定的。

3. 方法之二：列初等变换法定理3 设A 是n 阶方阵, I 为n 阶单位阵， λ为待求特征值。

若对矩阵I A λ- 施行一系列列初等变换， 可得到下三角矩阵M(λ)， 则令M (λ)的主对角线上元素乘积为零， 求得λ值即为矩阵A 的特征值。

证明: 设111212122212-n n n n nn a a a a a a a a a I A λλλλ--⎡⎤⎢⎥---⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦-=考察I A λ-的第一行元素: 若1i a 不全为零(2,,i n =)， 任取其一,记为()1b λ，通过列初等变换化为()()110*b c λλ⎡⎤⎢⎥⎣⎦；若()102,,i a i n ==， 则I A λ- 就具有这种形式， 再对()1c λ进行相应的列初等变换，化为()()220*b c λλ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，再对()2c λ 进行类似的计算, 直至I A λ- 化为三角矩阵()()()()()121000=*0Mn n b b b b γλλλλ-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦， 由以上运算可知, I A λ-与M (λ)等价, 则I A λ- 与M (λ)有相同的初等因子，定理得证。

由定理3求出λi ( i= 2, …, n) ， 将每个特征值λi 代入M(λ)得M (λ1 ) , 再由定理4求出相应的特征向量。

定理4对矩阵λI- A 施行一系列列初等变换，化为列阶梯形， 同时对单位阵也施行相应的列初等变换， 即存在n 阶可逆阵Qn, n ，使22n r n n n n n r n n I A C Q Q QQ I λ---⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦其中()R I A λ-=r ， n r C 为满秩矩阵，()n n n r n n r Q Q Q -= ，则分块矩阵n n r Q -的n-r 个n 维列向量即为矩阵A 的特征值1λ对应的特征向量。

证明: 对矩阵()I A λ-, 经过有限次初等变换化为标准形，即存在n阶可逆阵n n P 及n n Q 使()n n n n PI A Q λ- =r r r n r n r rn r n r I Q Q Q ----⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦， 于是1()n n n nI A Q P λ--=r rr n r n r r n r n r I Q Q Q ----⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦， 根据分块矩阵的运算()n r n n rI A Q Q λ--11n r n n rP P ---=r r r n r n r r n r n r I Q Q Q ----⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦(()())n r n n r n r n n r I A Q I A Q C Q λλ----=()0n n r I A Q λ--=()n n r n n r I A Q IQ λλ---=故Qn, n- r 的n- r 个n 维列向量即为矩阵A 的特征值λi 对应的特征向量， 又因为Qn, n 可逆， 知这些特向量线性无关。

证毕。

由定理3、定理4可知计算特征值与特征向量的步骤:( 1)计算I A I λ-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦一系列初等变化()()C Q λλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦， 其中C(λ)为含λ的下三角矩阵, Q (λ)为I 经过初等列变换得到的矩阵；( 2)令C(λ)主对角线元素之积为零，求出根即为特征值λi ( i= 1, 2, ……, n) ；( 3)将求出的λi ( i= 1, 2, …, n)代入()()C Q λλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦中为()()i i C Q λλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 再进行列初等变换, 当C (λ)化为列阶梯形， 当非零列向量个数为r 时， Q (λ)中后的n- r 个列向量即为λi 对应的特征向量。

例2 重做例1解:()213113222111120311302133121000010100100011001001223454001010112c c c c c c I A I λλλλλλλλλλλλλλλ++-⇔----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-------⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=−−−→−−−−→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦-⎡⎤⎢⎥--⎢⎢---+⎢⎢⎢⎢⎢⎢-⎣⎦()()()()311001203442001011113c c C Q λλλλλλλλ--⎡⎤⎢⎥-⎥⎢⎥⎥⎢⎥⎡⎤----⎥⎢⎥⎢⎥−−−→=⎥⎢⎥⎢⎥⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎥⎢⎥-⎥⎢⎥⎥⎢⎥-⎣⎦令C (λ)主对角线元素之积为零， 即()()242λλ---= 0， 特征值λ1 =λ2 = 2， λ3 = 4。