广州执信中学-度第二学期高三数学(文科)第三次统一考试试卷

2007-2008学年度第二学期高三级数学（文科）第三次统一考试试卷一、选择题： 1． 2)1(i i -⋅等于．A ．2-2iB ．2+2iC ．-2D ．2 2. 若集合{}21,A a =-，{}4,2=B ，则“2a =-”是“{}4=B A ”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．下面给出的四个点中，到直线10x y ++=，且位于1010x y x y --<⎧⎨++>⎩所表示的平面区域内的点是 A 、(1,1)B 、(1,1)-C 、(1,1)-D 、(1,1)--4. 已知3sin 5α=，α为钝角，则tan 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为A ．7-B ．7C ．17-D ．175. 如图，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正三角形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的侧面积．．．为A .4π B . 4 C . 2D . 12π 6. 若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，焦距为6，则椭圆的方程为A ．116922=+y x B ．1162522=+y x C ．1162522=+y x 或1251622=+y x D ．以上都不对 7. 已知等差数列{}n a 的前n 项的和为n S ，且210S =，555S =，则和过点(,)n P n a 和点2(2,)()n Q n a n N *++∈的直线的斜率是A ．41 B ．4 C ．－41D ．－4 8．已知m 、n 是两条不重合的直线，γβα,,是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题：①若,,//m m αβαβ⊥⊥则；②若,,//αγβγαβ⊥⊥则；③若,,//,//m n m n αβαβ⊂⊂则；④若m、n是异面直线，,//,,//,//m m n n αββααβ⊂⊂则．其中真命题是A ．①和②B ．①和③C ．③和④D ．①和④9．()f x 是定义在R 上的以3为周期的奇函数，且(2)0f =，则方程()0f x =在区间(0,6) 内解的个数的最小值是A ．2B ．3C ．4D ．5 10. 将2n 个正整数21,2,3,,n 填入n n ⨯方格中，使其每行、每列、每条对角线上的数的和都相等，这个正方形叫做n 阶幻方.记)(n f 为n 阶幻方对角 线上数的和，如右图就是一个3阶幻方，可知(3)15f =.已知将等差数列：1,2,3,4,5,前16项填入44⨯方格中,可得到一个4阶幻方,则其对角线上数的和等于 A ．30 B ．32 C ．34 D ．36二、填空题11．某校高一新生有480名学生，初一新生有420名学生，现要用分层抽样的方法从中抽取一个容量为150的的样本，则需要从高一新生中抽取的学生人数为 .12..已知201(1)(1)(1)n n n x x x a a x a x ++++++=+++，则o n a a =___.13．若框图所给程序运行的结果为S=90，那么判断框 中应填入的关于k 的判断条件是 .从以下两个小题中选做一题（做两个按得分最低的记分）．14．将极坐标方程cos()4πρθ=-化为直角坐标方程是 .15．如图，四边形ABCD 是等腰梯形，//AB CD ．由4个这样的等腰梯形可以拼出图乙所示的平行四边形,则四边形ABCD 中A ∠度数为 .第13题图第15题图三、解答题16．（本小题满分12分）已知ABC ∆及不等式||||()AB xBC x CA x R +>∈ （1）若2B π∠=，试解此不等式；（2）若此不等式对于任意1x >恒成立，判断ABC ∆的形状。

(供选用)17．（本小题满分14分）如图，四棱锥P —ABCD 中,ABCD 为矩形,△PAD 为等腰直角三角形，∠APD=90°，面PAD ⊥面ABCD ，且AB=1，AD=2，E 、F 分别为PC 和BD 的中点.（1）证明：EF ∥面PAD ；（2）证明：面PDC ⊥面PAD ； （3）求四棱锥P —ABCD 的体积.18．（本小题满分12分）设有关x 的一元二次方程0222=++b ax x（1）若a 从0，1，2，3四个数中任取一个数，b 从0，1，2三个数中任取一个数，求上述方程有实根的概率；（2）若a 是从区间[0,3]上任取的一个数，b 是从区间[0,2]上任取的一个数，求上述方程有实根的概率．19．（本小题满分14分）已知点P 是曲线22x y 14+=()y 0≥上一动点,Q 是X 轴上一动点，点M 满足QP PM , MQ OQ 0=⋅=，（O 为坐标原点）（1）求点M 的轨迹C 的方程；（2）若直线()3+=x a y 与点M 的轨迹C 交于A 、B 两点，过点()4 , 3-D 和线段AB 中点T 的直线与X 轴交于点()0 , n N ，把n 表示成a 的函数()a f 。

20．（本小题满分14分）设等差数列{}n a 的各项均为整数，其公差0d ≠，65=a . （Ⅰ）若2100a a ⋅>，求d 的值；（Ⅱ）若23=a ，且12t 35n n n a a a a a ，，，，，， 12t (5n n n )<<<<<成等比数列，求t n ；（Ⅲ）若12t 35n n n a a a a a ，，，，，， 12t (5n n n )<<<<<成等比数列，求1n 的取值集合.21．（本小题满分14分）已知,,a b c R ∈且三次方程32()0f x x ax bx c =-+-=有三个实根123,,x x x （1）类比一元二次方程根与系数关系，写出此方程根与系数的关系。

（2）若,,a b c 均大于零，试证明123,,x x x 都大于零。

（3）若,,||2a Z b Z b ∈∈<，()f x 在,x x αβ==处取得极值，且101αβ-<<<<。

试求此方程三个根两两不相等时c 的取值范围。

2007-2008学年度第二学期高三级数学（文科）第三次统一考试试卷参考答案二、填空题11．80 12。

n 13。

8≤k 14。

221((4x y += 15．60 三.解答题16．解：记,,AB c BC a CA b ===。

若0x <，不等式明显成立；若0x ≥，则有222()AB xBC x CA +> 即 222222AB xAB BC x BC x CA ++>222222cos()c xca B a x b x π+-+>22222222()2a c b c xca ax b x ac+-+-+>所以2222222()()0a b x a c b x c --+-+> 即222(1)[()]0x a b x c ---> 若2B π=，则222b ac =+，当0x ≥时，原不等式即为 2(1)(1)0c x x --+> 即 (1)(1)0x x -+<所以11x -<<，因此01x ≤< 又0x <时，不等式成立。

所以原不等式的解集为(,1)-∞不等式对于任意1x >恒成立，即 222(1)[()]0x a b x c --->对任意1x >恒成立，等价于222()0a b x c -->对于1x >恒成立。

由于不等式左边为x 的一次函数，根据一次函数的单调性得：222222220()10a b a b c a b c ⎧->⎪⇔≥+⎨--≥⎪⎩ 当222a b c =+时，ABC ∆为直角三角形；当222a b c >+时，222cos 02b c a A ac+-=<，所以A 为钝角。

故三角形ABC 为直角三角形（2A π=）或钝角三角形（2A π>）17．解．（1）如图，连接AC ， ∵ABCD 为矩形且F 是BD 的中点， ∴AC 必经过F 1分 又E 是PC 的中点， 所以，EF ∥AP 2分∵EF 在面PAD 外，PA 在面内， ∴EF ∥面PAD …………4分（2）∵面PAD ⊥面ABCD ，CD ⊥AD ，面PAD面ABCD=AD ，∴CD ⊥面PAD ，又AP ⊂面PAD ，∴AP ⊥CD …………6分又∵AP ⊥PD ，PD 和CD 是相交直线，AP ⊥面PCD …………8分 又AD ⊂面PAD ，所以，面PDC ⊥面PAD …………10分 （3）取AD 中点为O ，连接PO ，因为面PAD ⊥面ABCD 及△PAD 为等腰直角三角形，所以PO ⊥面ABCD ， 即PO 为四棱锥P —ABCD 的高 …………………………12分 ∵AD=2，∴PO=1，所以四棱锥P —ABCD 的体积1233V PO AB AD =⋅⋅=……………………14分18．解：设事件A 为“方程0222=++b ax x 有实根”，由题意：方程有实根的充要条件是22b a ≥ …………………………2分a 从0，1，2，3四个数中任取一个数，b 从0，1，2三个数中任取一个数，有：（0，0），（0，1），（0，2），（1，0），（1，1），（1，2），（2，0），（2，1），（2，2），（3，0）（3，1），（3，2）共12种结果．事件A 含有：（0，0），（1，0），（1，1），（2，0），（2，1），（2，2），（3，0）（3，1），（3，2）共9种结果． ∴P(A)=43129= 答：方程有实根的概率为43 a 是从区间[0,3]上任取的一个数，b 是从区间[0,2]上任取的一个数，所有的结果可用区域{（a,b ）20,30≤≤≤≤b a }表示如图中矩形事件A 可用区 域{（a,b ）b a b a ≥≤≤≤≤,20,30}表示如图中阴影部分,所以所求的概率为：P(A)=3223221232=⨯⨯-⨯答：方程有实根的概率为3219．解：（1）由0 , =⋅=可知X MQ ⊥轴，设()()00,,,y x P y x M 则有⎪⎩⎪⎨⎧==y y x x 2100代入1422=+y x 得1242020=⎪⎭⎫ ⎝⎛+y x ， 化简得所求M 的轨迹C 的方程为422=+y x ()0≥y ； （2）设()()()t t y x T y x B y x A ,,,,,2211联立()⎩⎨⎧+==+3422x a y y x 消去y 得()049612222=-+++a x a x a由韦达定理得222116a a x x +-=+,所以2221132aa x x x t +-=+=, 代入()3+=x a y 得213a ay t +=所以直线DT 的斜率为34343134132222-+-=++--+=a a aa a ak 所以直线DT 的方程为()3343442+-+-=-x a a y , 令0=y 得3434122-+-=a a x ,所以()3434122-+-=a a a f ,下面求()a f 的定义域, 当直线()3+=x a y 与点M 的轨迹C 相切的时候2132=+=a a d ,解得52=a （其中52-=a 已舍去） 因为直线()3+=x a y 点M 的轨迹C 有两个交点，所以520<≤a所以所求函数为()3434122-+-=a a a f （⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈52,0a ）20．解：（Ⅰ）因为等差数列{}n a 的各项均为整数，所以d ∈Z . 由2100a a ⋅>，得55(3)(5)0a d a d -+>，即(36)(56)0d d -+<，解得625d -<<. 注意到d ∈Z ，且0d ≠，所以1d =-， 或 1.d = （Ⅱ）解：由23=a ，65=a ，得53253a a d -==-， 从而3(3)2(3)224n a a n d n n =+-=+-⨯=-， 故24t n t a n =-. 由 ，，，，，，t n n n a a a a a 2153成等比数列，得此等比数列的公比为533a a =，从而113323.t t t n a a ++=⋅=⋅由12423t t n +-=⋅，解得132t t n +=+， 123t =，，，. （Ⅲ）解：由5336532a a a d --==-， 得113313(3)(6)(3)2n n a a a n d a --=+-=+. 由 ，，，，，，t n n n a a a a a 2153成等比数列，得1253336n a a a a ==. 由1333(3)(6)362n a a a --+=，化简整理得13125.n a =+因为15n >，从而30a >， 又1n ∈Z 且0d ≠， 从而3a 是12的非6的正约数， 故3123412.a =，，，，① 当31a =或33a =时，3542a a a +=∉Z ，这与{}n a 的各项均为整数相矛盾， 所以，31a ≠且33a ≠.② 当34a =时，由11253 9n n a a a a =⋅⇒=， 但此时1225n n a a a =∉Z ，这与{}n a 的各项均为整数相矛盾， 所以，34a ≠.③ 当312a =时，同理可检验2n a ∉Z ， 所以，312a ≠. 当23=a 时，由（Ⅱ）知符合题意.综上，1n 的取值只能是111n =，即1n 的取值集合是{11}. 21．解：（1）比较两边系数得：123122313123x x x a x x x x x x b x x x c ++=⎧⎪++=⎨⎪=⎩（2）由0c >得123,,x x x 全正或一正两负。