八年级数学下2.4一元二次方程根与系数的关系(选学)同步练习(浙教版含答案和解释)
春八年级数学下册2.4一元二次方程根与系数的关系同步练习(新版)浙教版【含解析】
2.4一元二次方程根与系数的关系一、选择题1.一元二次方程x2+4x−3=0的两根为x1，x2，则x1·x2的值是()A.4B.−4C.3D.−32.设α，β是方程x2−2x−1=0的两根，则代数式α+β+αβ的值是()A.1B.−1C.3D.−33.若x1、x2是一元二次方程x2−7x+5=0的两根，则1x1+1x2的值是()A.75B.−75C.57D.−574.已知α，β是一元二次方程x2−5x−2=0的两个实数根，则α2+αβ+β2的值为()A.−1B.9C.23D.275.已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2−(2m+3)x+m2=0的两个不相等的实数根，且满足x1+x2=m2，则m的值是()A.−1B.3C.3或−1D.−3或16.已知m，n是关于x的一元二次方程x2−3x+a的两个根，若(m−1)(n−1)=−6．则a的值为()A.−10B.−4C.4D.107.已知一元二次方程x2−6x+c=0有一个根为2，则另一个根为()A.2B.3C.4D.88.关于x的方程x2+|x|−a2=0的所有实数根之和等于()A.−1B.1C.0D.−a2二、填空题9.已知一元二次方程x2+2x−5=0的两根为x1，x2，则x1+x2=.10.已知关于x的方程x2−6x+k=0的两个根分别是m，n，且3m+2n=20，则k的值为．11.已知x1，x2是方程2x2−3x=3的两个根，则x1x2+x2x1的值为．12.若关于x的方程x2+px+1=0的一个实数根的倒数恰好是它本身，则p的值是．13.已知x1，x2是方程x2−x−2013=0的两个实数根，则x31+2014x2−2013=．14.若两个不相等的实数m，n满足m2−2m−1=0，n2−2n−1=0，则m2+n2的值是．三、解答题15.已知关于x的一元二次方程x2−(m−3)x−m2=0．(1)求证：方程总有两个不相等的实数根．(2)设这个方程的两个实数根分别为x1，x2，且|x1|=|x2|−2，求m的值及方程的根．16.设x1，x2是方程2x2−4mx+2m2+3m−2=0的两个实数根，当m为何值时，x21+x22有最小值?并求出这个最小值．17.已知关于x的一元二次方程x2−(k+1)x−6=0的一个根是2，求方程的另一根和k的值．18.已知一元二次方程ax 2−√2bx +c =0的两个根满足|x 1−x 2|=√2，且a ，b ，c 分别是△ABC 的∠A ，∠B ，∠C的对边．若a =c ，求∠B 的度数．小敏解得此题的正确答案”∠B =120◦”后，思考以下问题，请你帮助解答．(1)若在原题中，将方程改为ax 2−√3bx +c =0，要得到∠B =120◦，而条件”a =c ”不变，那么应对条件中的|x 1−x 2|的值作怎样的改变?并说明理由．(2)若在原题中，将方程改为ax 2−√nbx +c =0(n 为正整数，n ⩾2)，要得到∠B =120◦，而条件”a =c”不变，那么条件中的|x 1−x 2|的值应改为多少（不必说明理由)?19.已知关于x 的一元二次方程x 2+(m +3)x +m +1=0．(1)求证：无论m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根．(2)已知x 1，x 2是原方程的两个根，且|x 1−x 2|=2√2，求m 的值，并求出此时方程的根．20.已知x 1，x 2是关于x 的方程x 2−2x +t +2=0的两个不相等的实数根．(1)求t 的取值范围；(2)设S =x 21+x 22，求S 关于t 的函数关系式．2.4一元二次方程根与系数的关系—答案一、选择题12345678D A A D B B C C5.由题意，得x 1+x 2=m 2=2m +3，∴m 2−2m −3=0，解得m 1=3，m 2=−1．∵∆=[−(2m +3)]2−4m 2=12m +9>0，∴m >−34．∴m 2=−1不合题意，舍去．∴m =3．二、填空题9.−210.−1611.−7212.±2解析：由题意，得x 1·x 2=1，且有一个实数根的倒数恰好是它本身，∴x 1=1，x 2=1或x 1=−1，x 2=−1.∴p =−(x 1+x 2)=±2．13.2014解析：因为x 1+x 2=1，x 1·x 2=−2013.所以x 2=1−x 1.所以x 1(1−x 1)=−2013.所以x 21=x 1+2013.所以x 31+2014x 2−2013=x 1(x 1+2013)+2014x 2−2013=x 21+2013x 1+2014x 2−2013=x 1+2013+2013x 1+2014x 2−20132014(x 1+x 2)=2014×1=2014.14.6．解析：由题意，知m ，n 是一元二次方程x 2−2x −1=0的两个根，∴m +n =2，mn =−1，∴m 2+n 2=(m +n )2−2mn=22−2×(−1)=4+2=6.三、解答题15.(1)∵a =1，b =−(m −3)=3−m ，c =−m 2，∴∆=b 2−4ac =(3−m )2−4×(−m 2)=5Äm −35ä2=365>0，∴方程总有两个不相等的实数根．(2)∵x 1·x 2=ca=−m 2⩽0，∴x 1⩾0，x 2⩽0或x 1⩽0，x 2⩾0．∵|x 1|=|x 2|−2，∴|x 1|−|x 2|=−2．若x 1⩾0，x 2⩽0，则x 1+x 2=−2，∴x 1+x 2=m −3=−2，即m =1．方程可化为x 2+2x −1=0，解得x 1=−1+√2，x 2=−1−√2，∴x 1+x 2=m −3=2，即m =5．方程可化为x 2−2x −25=0，解得x 1=1−√26，x 2=1+√26．16.∵x 1，x 2是方程2x 2−4mx +2m 2+3m −2=0的两个实数根，∴x 1+x 2=2m ，x 1·x 2=2m 2+3m +22，∆=(−4m )2−4×2×(2m 2+3m −2)=16m 2−16m 2−24m +16⩾0，∴m ⩽23，x 21+x 22=(x 1+x 2)2−2x 1·x 2=4m 2−(2m 2+3m −2)=2m 2−3m +2=2 Äm −34ä2 +78.当m ⩽23时，易知2 Äm −34ä2 随m 的增大而减少，∴当m =23时，x 21+x 22有最小值，最小值为89．17.设方程的另一根为x 1，由韦达定理2x 1=−6，∴x 1=−3．由韦达定理−3+2=k +1，∴k =−2．18.(1)∵∠B =120◦，a =c ，∴b =√3a ，△=5a 2>0.又∵|x 1−x 2|=√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√3b 2a −4c a ∴|x 1−x 2|=√5．(2)|x 1−x 2|=√3n −4.19.(1)∵∆=(m +3)2−4(m +1)=m 2+6m +9−4m −4=m 2+2m +5=(m +1)2+4⩾4>0，∴无论m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根．(2)∵x 1，x 2是原方程的两个根，∴x 1+x 2=−(m +3)，x 1x 2=m +1．∵|x 1−x 2|=2√2，∴(x 1−x 2)2=8，∴(x 1+x 2)2−4x 1x 2=8，∴[−(m +3)]2−4(m +1)=8，整理，得m 2+2m −3=0，解得m 1=−3，m 2=1．当m =−3时，x 2−2=0，解得x 1=√2，x 2=−√2；当m =1时，x 2+4x +2=0，解得x 1=−2+√2，x 2=−2−√2．20.(1)由题意得△=(−2)2=−4(t +2)>0．解得t <−1．∴t 的取值范围是t <−1．(2)由韦达定理得．S =4−2(t +2)=−2t ．∴S 关于t 的函数关系式是S =−2t ．。
浙教版八年级数学下册 一元二次方程根与系数的关系同步练习
浙教版八年级下 2.4一元二次方程根与系数的关系同步练习一．选择题1．（2021•三水区一模）方程x2﹣6x+5＝0的两个根之和为（）A．﹣6 B．6 C．﹣5 D．52．（2021秋•硚口区校级月考）设x1、x2是一元二次方程x2+2x﹣1＝0的两个实数根,则x1•x2＝（）A．2 B．1 C．﹣2 D．﹣13．（2021秋•江油市月考）一元二次方程x2+px﹣2＝0的一个根为2,则p的值以及另一个根为（）A．1,﹣1 B．1,1 C．﹣1,﹣1 D．﹣1,14．（2020•遵义）已知x1,x2是方程x2﹣3x﹣2＝0的两根,则x12+x22的值为（）A．5 B．10 C．11 D．135．（2021春•乐清市期末）已知关于x的方程x2﹣7x+6a＝0的一个解是x1＝2a,则原方程的另一个解是（）A．x2＝0或7 B．x2＝3或4 C．x2＝3或7 D．x2＝4或76．（2021秋•黔西南州期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣1）x+a2﹣a﹣2＝0有两个不相等的实数根x1,x2．且x1,x2满足x12+x22﹣x1x2＝16,则a的值为（）A．﹣6 B．﹣1 C．1或﹣6 D．6或﹣17．（2021•济宁）已知m,n是一元二次方程x2+x﹣2021＝0的两个实数根,则代数式m2+2m+n的值等于（）A．2019 B．2020 C．2021 D．20228．（2021秋•霞浦县期中）已知关于x的一元二次方程（a+1）x2+2bx+（a+1）＝0有两个相等的实数根,下列判断正确的是（）A．1一定不是关于x的方程x2+bx+a＝0的根B．0一定不是关于x的方程x2+bx+a＝0的根C．1和﹣1都是关于x的方程x2+bx+a＝0的根D．1和﹣1不都是关于x的方程x2+bx+a＝0的根9．（2021秋•安州区期末）若α、β是一元二次方程x2+3x﹣6＝0的两个不相等的根,则α2﹣3β的值是（）A．3 B．15 C．﹣3 D．﹣1510．（2020秋•六盘水期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣mx+1＝0的两根之差为2,则m等于（）A．1或﹣1 B．2或﹣2 C．或﹣D．2或﹣2二．填空题11．（2021秋•滨湖区期中）已知x1、x2是一元二次方程2x2﹣4x﹣5＝0的两个根,则x1+x2＝,x1•x2＝．12．（2021秋•十堰期末）若x1,x2是一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个根,则x1+x2﹣x1•x2＝．13．（2021秋•新都区期末）若关于x的方程x2﹣3x+n＝0的一个根是﹣1,则另一个根是．14．（2021•孝南区二模）已知a,b是方程x2+3x﹣1＝0的两根,则a2b+ab2的值是．15．（2020春•文登区期中）已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2﹣2＝0的两根x1和x2,且x12﹣2x1+2x2＝x1x2,则k的值是．16．（2021春•拱墅区期末）在解一元二次方程x2+bx+c＝0时,小明看错了一次项系数b,得到的解为x1＝1,x2＝2；小刚看错了常数项c,得到的解为x1＝3,x2＝4．请你写出正确的一元二次方程．三．解答题17．（2021秋•越秀区校级期中）已知m和n是方程2x2﹣5x﹣3＝0的两根,求：（1）+的值；（2）m2﹣mn+n2的值．18．（2021秋•章贡区期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+m＝0（m为常数）．（1）求证：不论m为何值,方程总有两个不相等的实数根；（2）若x1,x2满足,求实数m的值．19．（2021秋•梁子湖区期中）已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2﹣2＝0有两个实数根x1,x2．（1）求实数m的取值范围；（2）当m＝1时,求代数式（x12+2x1）（x22﹣2）的值．20．（2021秋•荔城区校级期中）已知关于x的一元二次方程：x2﹣（t﹣1）x+t﹣2＝0．（1）求证：对于任意实数t,方程都有实数根；（2）若方程的两个根中,其中一个根是另一个根的3倍,求整数t的值．21．（2021秋•南安市期中）阅读下列材料：问题：已知方程x2+x﹣1＝0,求一个一元二次方程,使它的根分别是已知方程根的2倍．解：设原方程的根为x1,x2则新方程的根为2x1,2x2．因为x1+x2＝﹣1,x1•x2＝﹣1,所以2x1+2x2＝2（x1+x2）＝2×（﹣1）＝﹣2．2x1•2x2＝4x1x2＝4×（﹣1）＝﹣4．所以：所求新方程为x2+2x﹣4＝0．请用阅读材料提供的方法求新方程．（1）已知方程x2+x﹣2＝0,求一个一元二次方程,使它的根分别是已知方程根的相反数,则所求方程为．（2）已知一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0,求一个一元二次方程,使它的根分别是已知方程的根的倒数．答案与解析一．选择题1．（2021•三水区一模）方程x2﹣6x+5＝0的两个根之和为（）A．﹣6 B．6 C．﹣5 D．5【解析】解：方程x2﹣6x+5＝0的两个根之和为﹣＝﹣＝6,故选：B．2．（2021秋•硚口区校级月考）设x1、x2是一元二次方程x2+2x﹣1＝0的两个实数根,则x1•x2＝（）A．2 B．1 C．﹣2 D．﹣1【解析】解：∵x1、x2是一元二次方程x2+2x﹣1＝0的两个实数根,∴x1x2＝﹣1．故选：D．3．（2021秋•江油市月考）一元二次方程x2+px﹣2＝0的一个根为2,则p的值以及另一个根为（）A．1,﹣1 B．1,1 C．﹣1,﹣1 D．﹣1,1【解析】解：设方程的另一个根为t,根据题意得2+t＝﹣p,2t＝﹣2,解得t＝﹣1,p＝﹣1．故选：C．4．（2020•遵义）已知x1,x2是方程x2﹣3x﹣2＝0的两根,则x12+x22的值为（）A．5 B．10 C．11 D．13【解析】解：根据题意得x1+x2＝3,x1x2＝﹣2,所以x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝32﹣2×（﹣2）＝13．故选：D．5．（2021春•乐清市期末）已知关于x的方程x2﹣7x+6a＝0的一个解是x1＝2a,则原方程的另一个解是（）A．x2＝0或7 B．x2＝3或4 C．x2＝3或7 D．x2＝4或7【解析】解：∵关于x的方程x2﹣7x+6a＝0的一个解是x1＝2a,∴4a2﹣14a+6a＝0,解得a＝0或a＝2,∴当a＝0时,方程为x2﹣7x＝0,∵x1＝0,∴x2＝7；当a＝2时,x2﹣7x+12＝0,∵x1＝4,∴x2＝7﹣4＝3,故选：C．6．（2021秋•黔西南州期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣1）x+a2﹣a﹣2＝0有两个不相等的实数根x1,x2．且x1,x2满足x12+x22﹣x1x2＝16,则a的值为（）A．﹣6 B．﹣1 C．1或﹣6 D．6或﹣1【解析】解：根据题意得△＝4（a﹣1）2﹣4（a2﹣a﹣2）＞0,解得a＜3,根据根与系数的关系得x1+x2＝2（a﹣1）,x1x2＝a2﹣a﹣2,∵x12+x22﹣x1x2＝16,∴（x1+x2）2﹣3x1x2＝16,即4（a﹣1）2﹣3（a2﹣a﹣2）＝16,整理得a2﹣5a﹣6＝0,解得a1＝﹣1,a2＝6,而a＜3,∴a的值为﹣1．故选：B．7．（2021•济宁）已知m,n是一元二次方程x2+x﹣2021＝0的两个实数根,则代数式m2+2m+n的值等于（）A．2019 B．2020 C．2021 D．2022【解析】解：∵m是一元二次方程x2+x﹣2021＝0的实数根,∴m2+m﹣2021＝0,∴m2+m＝2021,∴m2+2m+n＝m2+m+m+n＝2021+m+n,∵m,n是一元二次方程x2+x﹣2021＝0的两个实数根,∴m+n＝﹣1,∴m2+2m+n＝2021﹣1＝2020．故选：B．8．（2021秋•霞浦县期中）已知关于x的一元二次方程（a+1）x2+2bx+（a+1）＝0有两个相等的实数根,下列判断正确的是（）A．1一定不是关于x的方程x2+bx+a＝0的根B．0一定不是关于x的方程x2+bx+a＝0的根C．1和﹣1都是关于x的方程x2+bx+a＝0的根D．1和﹣1不都是关于x的方程x2+bx+a＝0的根【解析】解：∵关于x的一元二次方程（a+1）x2+2bx+（a+1）＝0有两个相等的实数根,∴,∴b＝a+1或b＝﹣（a+1）．当b＝a+1时,有a﹣b+1＝0,此时﹣1是方程x2+bx+a＝0的根；当b＝﹣（a+1）时,有a+b+1＝0,此时1是方程x2+bx+a＝0的根．∵a+1≠0,∴a+1≠﹣（a+1）,∴1和﹣1不都是关于x的方程x2+bx+a＝0的根．故选：D．9．（2021秋•安州区期末）若α、β是一元二次方程x2+3x﹣6＝0的两个不相等的根,则α2﹣3β的值是（）A．3 B．15 C．﹣3 D．﹣15【解析】解：∵α、β是一元二次方程x2+3x﹣6＝0的两个不相等的根,∴α2+3α＝6,由根系数的关系可知：α+β＝﹣3,∴α2﹣3β＝α2+3α﹣3α﹣3β＝α2+3α﹣3（α+β）＝6﹣3×（﹣3）＝15故选：B．10．（2020秋•六盘水期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣mx+1＝0的两根之差为2,则m等于（）A．1或﹣1 B．2或﹣2 C．或﹣D．2或﹣2【解析】解：设方程x2﹣mx+1＝0的两根分别为a、b,根据根与系数的关系得a+b＝m,ab＝1,而|a﹣b|＝2,∴（a﹣b）2＝4,∴（a+b）2﹣4ab＝4,∴m2﹣4×1＝4,解得m＝±2,∵Δ＝m2﹣4＞0,∴m的值为2或﹣2．故选：D．二．填空题11．（2021秋•滨湖区期中）已知x1、x2是一元二次方程2x2﹣4x﹣5＝0的两个根,则x1+x2＝2,x1•x2＝﹣．【解析】解：∵x1、x2是一元二次方程2x2﹣4x﹣5＝0的两个根,∴a＝2,b＝﹣4,c＝﹣5,∴x1+x2＝﹣＝﹣＝2,x1•x2＝＝﹣,故答案为：2,﹣．12．（2021秋•十堰期末）若x1,x2是一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个根,则x1+x2﹣x1•x2＝2．【解析】解：根据题意得x1+x2＝3,x1x2＝1,所以x1+x2﹣x1•x2＝3﹣1＝2．故答案为：2．13．（2021秋•新都区期末）若关于x的方程x2﹣3x+n＝0的一个根是﹣1,则另一个根是4．【解析】解：∵关于x的方程x2﹣3x+n＝0的一个根是﹣1,设另一根为a,∴﹣1+a＝3,解得：a＝4,则另一根为4．故答案为：4．14．（2021•孝南区二模）已知a,b是方程x2+3x﹣1＝0的两根,则a2b+ab2的值是3．【解析】解：∵a,b是方程x2+3x﹣1＝0的两根,∴根据根与系数的关系得：a+b＝﹣3,ab＝﹣1,∴a2b+ab2＝ab（a+b）＝（﹣1）×（﹣3）＝3,故答案为：3．15．（2020春•文登区期中）已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2﹣2＝0的两根x1和x2,且x12﹣2x1+2x2＝x1x2,则k的值是﹣2或﹣．【解析】解：∵x12﹣2x1+2x2＝x1x2,x12﹣2x1+2x2﹣x1x2＝0,x1（x1﹣2）﹣x2（x1﹣2）＝0,（x1﹣2）（x1﹣x2）＝0,∴x1﹣2＝0或x1﹣x2＝0．①如果x1﹣2＝0,那么x1＝2,将x＝2代入x2+（2k+1）x+k2﹣2＝0,得4+2（2k+1）+k2﹣2＝0,整理,得k2+4k+4＝0,解得k＝﹣2；②如果x1﹣x2＝0,则Δ＝（2k+1）2﹣4（k2﹣2）＝0．解得：k＝﹣．所以k的值为﹣2或﹣．故答案为：﹣2或﹣．16．（2021春•拱墅区期末）在解一元二次方程x2+bx+c＝0时,小明看错了一次项系数b,得到的解为x1＝1,x2＝2；小刚看错了常数项c,得到的解为x1＝3,x2＝4．请你写出正确的一元二次方程x2﹣7x+2＝0．【解析】解：∵小明看错了一次项系数b,∴c＝x1•x2＝1×2＝2；∵小刚看错了常数项c,∴﹣b＝x1+x2＝3+4＝7,∴b＝﹣7．∴正确的一元二次方程为x2﹣7x+2＝0．故答案为：x2﹣7x+2＝0．三．解答题17．（2021秋•越秀区校级期中）已知m和n是方程2x2﹣5x﹣3＝0的两根,求：（1）+的值；（2）m2﹣mn+n2的值．【解析】解：（1）∵m和n是方程2x2﹣5x﹣3＝0的两根,∴m+n＝,mn＝﹣,∴+＝＝＝﹣；（2）m2﹣mn+n2＝（m+n）2﹣3mn＝（）2﹣3×（﹣）＝+＝10．18．（2021秋•章贡区期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+m＝0（m为常数）．（1）求证：不论m为何值,方程总有两个不相等的实数根；（2）若x1,x2满足,求实数m的值．【解析】解（1）证明：△＝（m+2）2﹣4×1⋅m＝m2+4,∵无论m为何值时m2≥0,∴m2+4≥4＞0,即Δ＞0,所以无论m为何值,方程总有两个不相等的实数根；（2）∵关于x的方程x2﹣（m+2）x+m＝0有两个实数根x1,x2∴x1+x2＝m+2,x1x2＝m．∵,∴（m+2）2﹣2m＝16+m,即m2+m﹣12＝0,解得：m＝﹣4或m＝3∴实数m的值为﹣4或3．19．（2021秋•梁子湖区期中）已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2﹣2＝0有两个实数根x1,x2．（1）求实数m的取值范围；（2）当m＝1时,求代数式（x12+2x1）（x22﹣2）的值．【解析】解：（1）由题意△≥0,∴（2m﹣1）2﹣4（m2﹣2）≥0,∴m≤2；（2）当m＝1时,方程为x2+x﹣1＝0,则x1+x2＝﹣1,x1x2＝﹣1,x12+x1＝1,x22﹣1＝﹣x2,∴（x12+2x1）（x22﹣2）＝（1+x1）（﹣x2﹣1）＝﹣x1x2﹣1﹣x1﹣x2＝1﹣1﹣（﹣1）＝1．20．（2021秋•荔城区校级期中）已知关于x的一元二次方程：x2﹣（t﹣1）x+t﹣2＝0．（1）求证：对于任意实数t,方程都有实数根；（2）若方程的两个根中,其中一个根是另一个根的3倍,求整数t的值．【解析】（1）证明：∵Δ＝[﹣（t﹣1）]2﹣4×（t﹣2）＝（t﹣3）2≥0,∴对于任意实数t,方程都有实数根；（2）解：x2﹣（t﹣1）x+t﹣2＝0,（x﹣t+2）（x﹣1）＝0,解得x1＝t﹣2,x2＝1,∵方程的两个根中,其中一个根是另一个根的3倍,∴t﹣2＝3×1,解得t＝5；或3（t﹣2）＝1,解得t＝（舍去）．故整数t的值为5．21．（2021秋•南安市期中）阅读下列材料：问题：已知方程x2+x﹣1＝0,求一个一元二次方程,使它的根分别是已知方程根的2倍．解：设原方程的根为x1,x2则新方程的根为2x1,2x2．因为x1+x2＝﹣1,x1•x2＝﹣1,所以2x1+2x2＝2（x1+x2）＝2×（﹣1）＝﹣2．2x1•2x2＝4x1x2＝4×（﹣1）＝﹣4．所以：所求新方程为x2+2x﹣4＝0．请用阅读材料提供的方法求新方程．（1）已知方程x2+x﹣2＝0,求一个一元二次方程,使它的根分别是已知方程根的相反数,则所求方程为x2﹣x﹣2＝0．（2）已知一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0,求一个一元二次方程,使它的根分别是已知方程的根的倒数．【解析】解：（1）设原方程的根为x 1,x2,则新方程的根为﹣x1,﹣x2．因为x1+x2＝﹣1,x1•x2＝﹣2,所以﹣x1+（﹣x2）＝﹣（x1+x2）＝﹣1×（﹣1）＝1．（﹣x1）•（﹣x2）＝x1x2＝﹣2,所以所求新方程为x2﹣x﹣2＝0；故答案为x2﹣x﹣2＝0；（2）设原方程的根为x1,x2,则新方程的根为,,因为x1+x2＝,x1•x2＝﹣,所以+＝＝＝﹣3,•＝＝＝﹣2,所以所求新方程为x2+3x﹣2＝0．。
2.4 一元二次方程根与系数的关系 浙教版数学八年级下册素养提升练习(含解析)
第2章 一元二次方程选学2.4 一元二次方程根与系数的关系基础过关全练知识点 一元二次方程根与系数的关系1.【新独家原创】下列4个方程中,其中两根互为倒数的是( )A.x 2-3x+1=0B.2x 2-3x+1=0C.x 2-3x+2=0D.x 2-3x+3=02.【易错题】一元二次方程2x 2-4x+2=1的两根为x 1,x 2,则下列各式正确的是( )A.x 1x 2=1B.x 1+x 2=4C.x 1+x 2=-2D.x 1x 2=123.【新课标例67变式】若两实数a,b 满足a+b=-3,ab=2,则以a,b 为根的一元二次方程可以是( )A.x 2-3x+2=0B.x 2+3x+2=0C.x 2-3x-2=0D.x 2+3x-2=0能力提升全练4.(2023浙江宁波鄞州期中,7,★★☆) 已知x 1,x 2是一元二次方程x 2+2ax+b=0的两个根,且x 1+x 2=3,x 1x 2=1,则a,b 的值分别是( )A.-3,1B.3,1C.-32,-1D.-32,15.【一题多解】(2022贵州黔东南州中考,5,★★☆)已知关于x 的一元二次方程x 2-2x-a=0的两根分别记为x 1,x 2,若x 1=-1,则a-x 21-x 22的值为( )A.7 B.-7 C.6 D.-66.【教材变式·P45例1】若一元二次方程x 2-3x+2=0的两根分别为x 1、x 2,则x 21+x 22= .7.(2023湖北黄冈中考,12,★★☆)已知一元二次方程x 2-3x+k=0的两个实数根为x 1,x 2,若x 1x 2+2x 1+2x 2=1,则实数k= .8.(2023浙江杭州外国语学校期中,14,★★☆)若x 1,x 2是一元二次方程x 2+x-3=0的两个实数根,则x 22-x 1+2 023的值为 .9.(2023浙江杭州观城教育集团期中,21,★★☆)已知关于x 的方程kx 2-2(k+1)x+k-1=0有两个不相等的实数根.(1)求k 的取值范围;(2)是否存在实数k,使此方程的两个实数根的倒数和等于1? 若存在,求出k 的值;若不存在,说明理由.素养探究全练10.【运算能力】如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根,且其中一个根比另一个根大1,那么称这样的方程为“邻根方程”.例如,一元二次方程x2+x=0的两个根是x1=0,x2=-1,则方程x2+x=0是“邻根方程”.(1)通过计算,判断下列方程是不是“邻根方程”:①x2-x-6=0;②2x2-23x+1=0.(2)已知关于x的方程x2-(m-1)x-m=0(m是常数)是“邻根方程”,求m的值.第2章 一元二次方程选学2.4 一元二次方程根与系数的关系答案全解全析基础过关全练1.A 易知选项A 、B 、C 中的方程均有两个实数根.若x 2-3x+1=0的两根为x 1,x 2,则x 1x 2=1,所以x 1,x 2互为倒数,所以A 符合题意.若2x 2-3x+1=0的两根为x 1,x 2,则x 1x 2=12,所以x 1,x 2不互为倒数,所以B 不符合题意.若x 2-3x+2=0的两根为x 1,x 2,则x 1x 2=2,所以x 1,x 2不互为倒数,所以C 不符合题意.x 2-3x+3=0中a=1,b=-3,c=3,则b 2-4ac=(-3)2-4×1×3=-3<0,所以方程无实数根,所以D 不符合题意.故选A.2.D 本题考查一元二次方程的根与系数的关系.一元二次方程2x 2-4x+2=1,化为一般形式,得2x 2-4x+1=0,因为一元二次方程2x 2-4x+2=1的两根为x 1,x 2,所以x 1+x 2=2,x 1x 2=12,只有D 符合,故选D.易错点 易因未化为一般形式而出错.3.B 根据一元二次方程根与系数的关系x 1+x 2=-b a ,x 1x 2=c a ,可知B 符合.故选B.能力提升全练4.D 因为x 1,x 2是一元二次方程x 2+2ax+b=0的两个根,所以x 1+x 2=-2a,x 1x 2=b,因为x 1+x 2=3,x 1x 2=1,所以-2a=3,b=1,解得a=-32,b=1.故选D.5.B 解法一:【代入求根法】因为关于x 的一元二次方程x 2-2x-a=0的两根分别记为x 1,x 2,x 1=-1,所以(-1)2+2-a=0,解得a=3.所以x 1+x 2=--21=2,x 1x 2=-a 1=-3.所以a-x 21-x 22=a-(x 21+x 22)=a-[(x 1+x 2)2-2x 1x 2]=3-[22-2×(-3)]=-7.解法二:【根与系数关系法】∵关于x 的一元二次方程x 2-2x-a=0的两根分别记为x 1,x 2,∴x 1+x 2=2,x 1x 2=-a,∵x 1=-1,∴x 2=3,∴x 1x 2=-3=-a,∴a=3,∴原式=3-(-1)2-32=3-1-9=-7.方法解读 关于一元二次方程根与系数关系的问题,通常解法是先求出两根之和与两根之积,然后化简或整理所求代数式,将两根之和与两根之积整体代入求值,最后一定不能忘记计算判别式检验取值范围.6 答案 5解析 ∵一元二次方程x 2-3x+2=0的两根分别为x 1、x 2,∴x 1+x 2=3,x 1x 2=2,∴x 21+x 22=(x 1+x 2)2-2x 1x 2=32-2×2=5.7 答案 -5解析 ∵方程有两个实数根,∴b 2-4ac=(-3)2-4k≥0,解得k≤94,∵一元二次方程x 2-3x+k=0的两个实数根为x 1,x 2,∴x 1+x 2=3,x 1x 2=k,∵x 1x 2+2x 1+2x 2=x 1x 2+2(x 1+x 2)=1,∴k+2×3=1,解得k=-5,综上可知实数k=-5.8 答案 2 027解析 ∵x 2是一元二次方程x 2+x-3=0的一个实数根,∴x 22+x 2-3=0,∴x 22=-x 2+3,∵x 1,x 2是一元二次方程x 2+x-3=0的两个实数根,∴x 1+x 2=-1,∴x 22-x 1+2 023=-x 2+3-x 1+2 023=-(x 1+x 2)+2 026,=-(-1)+2 026=2 027.9 解析 (1)∵关于x 的方程kx 2-2(k+1)x+k-1=0有两个不相等的实数根,∴[-2(k+1)]2-4k(k-1)>0且k≠0,解得k>-13且k≠0.(2)不存在.理由如下:设方程的两根为x 1,x 2,则x 1+x 2=2k +2k ,x 1x 2=k ―1k,由题意得,1x 1+1x 2=1,即x 1+x 2x 1x 2=2k +2k ―1=1,解得k=-3,经检验,k=-3是分式方程的根,∵k>-13且k≠0时方程有两个不相等的实数根,∴不存在实数k,使此方程的两个实数根的倒数和等于1.素养探究全练10.解析 (1)①解方程x 2-x-6=0,得x=3或x=-2,∵3-(-2)=5,∴x 2-x-6=0不是“邻根方程”.②解方程2x 2-23x+1=0,得x=23±12―84=3±12,∵3+12-3-12=1,∴2x 2-23x+1=0是“邻根方程”.(2)设方程x 2-(m-1)x-m=0的两根分别为x 1,x 2,则x 1+x 2=m-1,x 1x 2=-m,∵方程x 2-(m-1)x-m=0(m 是常数)是“邻根方程”,∴|x 1-x 2|=1,即(x 1-x 2)2=1,∴(x 1-x 2)2=(x 1+x 2)2-4x 1x 2=(m-1)2+4m=1,解得m=0或m=-2.。
2020-2021年浙教版八年级数学下册《2.4一元二次方程根与系数关系》同步训练(附答案)
2020-2021年浙教版八年级数学下册《2.4一元二次方程根与系数关系》同步训练（附答案）1．已知一元二次方程x2﹣8x+c＝0有一个根为2，则另一个根为（）A．10B．6C．8D．﹣22．如果方程x2﹣x﹣2＝0的两个根为α，β，那么α2+β﹣2αβ的值为（）A．7B．6C．﹣2D．03．设x1，x2是方程x2+3x﹣3＝0的两个实数根，则x12x2+x1x22的值为（）A．9B．﹣9C．1D．﹣14．已知α、β是方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根，则α4+3β的值是（）A．4B．4C．5D．55．设a，b是方程x2+x﹣2022＝0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（）A．2019B．2020C．2021D．20226．设a，b是方程x2+3x﹣2021＝0的两个实数根，则a2+4a+b的值为（）A．2018B．2020C．2021D．20247．已知a、b是关于x的一元二次方程x2﹣6x﹣n+1＝0的两个根，若a、b、5为等腰三角形的边长，则n的值为（）A．﹣4B．8C．﹣4或﹣8D．4或﹣88．设a，b是方程x2+x﹣2021＝0的两个实数根，则（a﹣1）（b﹣1）的值为（）A．2020B．﹣2021C．﹣2019D．20229．设a，b是方程x2+x﹣2021＝0的两个实数根，则a2+b2+a+b的值是（）A．0B．2020C．4040D．404210．若x1，x2是方程x2﹣4x﹣2020＝0的两个实数根，则代数式x12﹣2x1+2x2的值等于（）A．2020B．2019C．2029D．202811．已知α，β是方程x2﹣3x﹣2＝0的两个实数根，则α2﹣3α﹣αβ的值为．12．若x1，x2是一元二次方程x2+4x﹣2020＝0的两个根，则x1+x2﹣x1x2的值是．13．α是一元二次方程x2﹣2x﹣4＝0的一个根，α+β＝2，则β2﹣2β的值是．14．已知一元二次方程x2﹣4x﹣3＝0的两根为m，n，则代数式（m﹣n）2+5mn的值为．15．设x1、x2是方程x2﹣4x+1＝0的两个根，则x13+4x22+x1﹣1的值为．16．已知实数满足a2﹣6a+4＝0，b2﹣6b+4＝0，且a≠b，则+的值是．17．已知α、β为方程x2+4x+2＝0的二实根，则α3+14β+2069＝．18．已知a、b是方程2x2+5x+1＝0的两实数根，则式子的值为．19．已知m，n是方程x2+5x+1＝0的两根，则m2﹣5n+2020＝．20．设α，β是一元二次方程x2+3x﹣2020＝0的两个根，则α2+4α+β＝．21．已知关于x的一元二次方程x2+2x﹣k＝0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）若1是方程的一个根，求k的值及方程的另一个根．22．关于x的一元二次方程x2+mx+m﹣2＝0．（1）求证：无论m取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根；（2）设该方程两个同号的实数根为x1，x2，试问是否存在m使x12+x22+m（x1+x2）＝m2+1成立，若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由．23．已知关于x的一元二次方程x2﹣（a﹣3）x﹣a＝0．（1）求证：无论a取何值时，该方程总有两个不相等的实数根；（2）若该方程两根的平方和为21，求a的值．24．关于x的一元二次方程x2﹣4x+k﹣3＝0的两个实数根是x1、x2．（1）已知k＝2，求x1+x2+x1x2．（2）若x1＝3x2，试求k值．25．已知关于x的一元二次方程x2﹣5x+m＝0．（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；（2）若方程两实数根为x1，x2，且满足3x1﹣2x2＝5，求实数m的值．26．已知关于x的一元二次方程x2﹣6x﹣k2＝0（k为常数）．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设x1，x2为方程的两个实数根，且x1+2x2＝14，试求出方程的两个实数根和k的值．27．已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根分别为x1，x2，利用一元二次方程的求根公式x1+x2＝﹣，x1x2＝可得利用上述结论来解答下列问题：（1）已知2x2﹣x﹣1＝0的两个根为m，n，则m+n＝，mn＝；（2）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k﹣1）x﹣k+2＝0有两个实数根x1，x2，若（x1+x2+2）（x1+x2﹣2）+2x1x2＝﹣2，求k的值．参考答案1．解：设方程的另一个根为t，根据题意得2+t＝8，解得t＝6，即方程的另一个根是6．故选：B．2．解：∵方程x2﹣x﹣2＝0的两个根为α，β，∴α+β＝1，αβ＝﹣2,α2＝α+2，∴α2+β﹣2αβ＝α+2+β﹣2αβ＝1+2﹣2×（﹣2）＝7,故选：A．3．解：根据题意得x1+x2＝﹣3，x1x2＝﹣3，所以原式＝x1x2（x1+x2）＝﹣3×（﹣3）＝9．故选：A．4．解：∵α、β是方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根，∴α2﹣α﹣1＝0，α+β＝1，∴α2＝a+1，∴α4＝α2+2α+1，则α4+3β＝α2+2α+1+3β＝α2﹣α﹣1+3α+3β+2＝3×1+2＝5．故选：C．5．解：∵a，b是方程x2+x﹣2020＝0的两个实数根，∴a2+a＝2020，a+b＝﹣1，∴a2+2a+b＝（a2+a）+（a+b）＝2020﹣1＝2019．故选：A．6．解：∵a，b是方程x2+3x﹣2021＝0的两个实数根，∴a2+3a＝2021，a+b＝﹣3，∴a2+4a+b＝（a2+3a）+（a+b）＝2021﹣3＝2018．故选：A．7．解：∵a，b是关于x的一元二次方程x2﹣6x﹣n+1＝0的两根，∴a+b＝6．又∵等腰三角形边长分别为a，b，5，∴a＝b＝3或a，b两数分别为1，5．当a＝b＝3时，﹣n+1＝3×3，解得：n＝﹣8；当a，b两数分别为1，5时，﹣n+1＝1×5，解得：n＝﹣4．故选：C．8．解：∵a，b是方程x2+x﹣2021＝0的两个实数根，∴a+b＝﹣1，ab＝﹣2021，∴（a﹣1）（b﹣1）＝ab﹣a﹣b+1＝ab﹣（a+b）+1＝﹣2021﹣（﹣1）+1＝﹣2019，故选：C．9．解：∵a，b是方程x2+x﹣2021＝0的两个实数根，∴a2+a＝2021、b2+b＝2021、a+b＝﹣1，∴则a2+b2+a+b＝（a2+a）+（b2+b）＝2021+2021＝4042．故选：D．10．解：∵x1，x2是方程x2﹣4x﹣2020＝0的两个实数根，∴x1+x2＝4，x12﹣4x1﹣2020＝0，即x12﹣4x1＝2020，则原式＝x12﹣4x1+2x1+2x2＝x12﹣4x1+2（x1+x2）＝2020+2×4＝2020+8＝2028．故选：D．11．解：∵α，β是方程x2﹣3x﹣2＝0的两个实数根，∴α2﹣3α﹣2＝0，αβ＝﹣2，∴α2﹣3α＝2，∴α2﹣3α﹣αβ＝（α2﹣3α）﹣αβ＝2﹣2＝0，故答案为0．12．解：∵x1，x2是一元二次方程x2+4x﹣2020＝0的两个根，∴x1+x2＝﹣4，x1x2＝﹣2020，则x1+x2﹣x1x2＝﹣4﹣（﹣2020）＝2016，故答案为2016．13．解：设一元二次方程x2﹣2x﹣4＝0的另一个根是x2，∴α+x2＝2，∵α+β＝2，∴方程的另一个根是β，∴β2﹣2β﹣4＝0，∴β2﹣2β＝4，故答案为4．14．解：∵一元二次方程x2﹣4x﹣3＝0的两根为m，n，∴m+n＝4，mn＝﹣3，则原式＝m2﹣2mn+n2+5mn＝m2+2mn+n2+mn＝（m+n）2+mn＝42﹣3＝16﹣3＝13，故答案为：13．15．解：由题意可知：x1+x2＝4，x1x2＝1，＝4x1﹣1，∴＝4﹣x1，∴原式＝4﹣x1+4+x1﹣1＝4（+）﹣1＝4（x1+x2）2﹣8x1x2﹣1＝4×16﹣8﹣1＝55，故答案为：5516．解：∵a2﹣6a+4＝0，b2﹣6b+4＝0，且a≠b，∴a、b是一元二次方程x2﹣6x+4＝0的两个不相等的实数根，∴a+b＝6，ab＝4，∴+＝＝＝7．故答案为7．17．解：∵α、β是x2+4x+2＝0的二实根．∴α+β＝﹣4．α2+4α+2＝0．α2＝﹣4α﹣2．α3＝﹣4α2﹣2α＝﹣4（﹣4α﹣2）﹣2α＝14α+8．∴α3+14β+2069＝14α+8+14β+2069＝14（α+β）+2077＝14×（﹣4）+2077＝﹣56+2077＝2021．故答案为：2021．18．解：∵a、b是方程2x2+5x+1＝0的两实数根，∴a+b＝﹣，a•b＝，∴a＜0，b＜0，∴＝+＝＝＝＝﹣．故答案为：﹣．19．解：∵m为方程x2+5x+1＝0的根，∴m2+5m+1＝0，∴m2+5m+1＝0，∴m2﹣5n+2020＝﹣5m﹣1﹣5n+2020＝﹣5（m+n）+2019，∵m，n是方程x2+5x+1＝0的两根，∴m+n＝﹣5，∴m2﹣5n+2020＝﹣5×（﹣5）+2019＝2044．故答案为2044．20．解：∵α，β是一元二次方程x2+3x﹣2020＝0的两个根，∴α+β＝﹣3，α2+3α﹣2020＝0，∴α2+3α＝2020，∴α2+4α+β＝α2+3α+α+β＝2020﹣3＝2017，故答案为：2017．21．解：（1）根据题意得△＝22+4k＞0，解得k＞﹣1；（2）把x＝1代入方程可得1+2﹣k＝0，解得k＝3，∴方程为x2+2x﹣3＝0，解得x＝1或x＝﹣3，即方程的另一根为﹣3．22．（1）证明：∵△＝m2﹣4×1×（m﹣2）＝m2﹣4m+8＝（m﹣2）2+4＞0，∴无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根；（2）解：不存在，理由是：∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2+mx+m﹣2＝0的两个同号的实数根，∴x1+x2＝﹣m，x1•x2＝m﹣2＞0，∴x12+x22+m（x1+x2）＝（x1+x2）2﹣2x1•x2+m（x1+x2）＝m2﹣2（m﹣2）﹣m2＝﹣2（m ﹣2）＜0，∵m2+1＞0，∴不存在m使x12+x22+m（x1+x2）＝m2+1成立．23．（1）证明：∵△＝[﹣（a﹣3）]2﹣4（﹣a）＝a2﹣2a+9＝（a﹣1）2+8＞0，∴无论a取何值时，该方程总有两个不相等的实数根；（2）解：设方程的两根分别为m、n，∴m+n＝a﹣3，mn＝﹣a，∴m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝（a﹣3）2+2a，由题意可得（a﹣3）2+2a＝21，解得a＝6或a＝﹣2．24．解：（1）∵方程x2﹣4x+k﹣3＝0的两个实数根是x1、x2，k＝2，∴x1+x2＝4，x1x2＝k﹣3＝﹣1，∴x1+x2+x1x2＝4﹣1＝3．（2）∵x1+x2＝4，x1＝3x2，∴x1＝3，x2＝1，∴k＝x1x2+3＝6．25．解：（1）∵方程有实数根，∴△＝25﹣4m≥0，解得，m≤；（2）由一元二次方程根与系数的关系可知，x1+x2＝5，x1•x2＝m，∵3x1﹣2x2＝5，∴3x1+3x2﹣5x2＝5，∴﹣5x2＝﹣10，解得，x2＝2，把x＝2代入原方程得，m＝6．26．解：（1）证明：∵在方程x2﹣6x﹣k2＝0中，△＝（﹣6）2﹣4×1×（﹣k2）＝36+4k2≥36，∴方程有两个不相等的实数根．（2）∵x1，x2为方程x2﹣6x﹣k2＝0的两个实数根，∴x1+x2＝6，∵x1+2x2＝14，∴x2＝8，x1＝﹣2．将x＝8代入x2﹣6x﹣k2＝0中，得：64﹣48﹣k2＝0，解得：k＝±4．答：方程的两个实数根为﹣2和8，k的值为±4．27．解：（1）∵一元二次方程2x2﹣x﹣1＝0的两个根为m，n，∴m+n＝，mn＝﹣．故答案为：；﹣．（2）∵关于x的一元二次方程x2﹣（k﹣1）x﹣k+2＝0有两个实数根x1，x2，∴x1+x2＝k﹣1，x1x2＝2﹣k．∵（x1+x2+2）（x1+x2﹣2）+2x1x2＝﹣2，即（x1+x2）2﹣4+2x1x2＝﹣2，∴（k﹣1）2﹣4+2（2﹣k）＝﹣2，整理，得：k2﹣4k+3＝0，∴k＝，∴k1＝3，k2＝1．当k＝3时，原方程为x2﹣2x﹣1＝0，∵△＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）＝8，∴k＝3符合题意；当k＝1时，原方程为x2+1＝0，∵△＝02﹣4×1×1＝﹣4＜0，∴k＝1不符合题意，舍去．∴k的值为3．。
浙教版八年级数学下册 一元二次方程根与系数的关系(选学) 同步练习
2.4一元二次方程根与系数的关系(选学)知识点1利用一元二次方程根与系数的关系求值1.如果x1，x2是一元二次方程x2-3x-4=0的两个根，那么x1+x2=，x1·x2=.2.若关于x的一元二次方程的两个根分别为x1=1，x2=2，则这个方程可能是()A.x2+3x-2=0B.x2-3x+2=0C.x2-2x+3=0D.x2+3x+2=03.(2020温州月考)已知关于x的方程x2+6x+a=0有一个根为-2，则方程的另一个根为.4.设一元二次方程x2-6x+k=0的两根分别为x1，x2.(1)若x1=2，求x2的值;(2)若k=4，且x1，x2是Rt△ABC的两条直角边的长，试求Rt△ABC的面积.知识点2利用一元二次方程根与系数的关系确定一元二次方程中未知字母的值5.若关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两个实数根分别为x1=-2，x2=4，则b+c的值是()A.-10B.10C.-6D.-16.(2021诸暨月考)一元二次方程x2+px-2=0的一个根为2，则p的值以及另一个根为()A.1，-1B.1，1C.-1，-1D.-1，17.若关于x的方程x2-6x+m-3=0的两个根互为倒数，则m=.8.若a，b为方程2x2-5x-1=0的两个实数根，则2a2+3ab+5b的值为()A.-13B.12C.14D.159.若关于x的方程x2-ax+2a=0的两根的平方和是5，则a的值是()A.-1或5B.1C.5D.-110.方程2x2-3x-1=0的两根分别为x1，x2，则+=.11.x1，x2为方程x2-4x-2022=0的两根，则-2x1+2x2的值为.12.(2021十堰)已知关于x的一元二次方程x2-4x-2m+5=0有两个不相等的实数根.(1)求实数m的取值范围;(2)若该方程的两个根都是符号相同的整数，求整数m的值.13.若ab≠1，且有5a2+2022a+9=0，9b2+2022b+5=0，求的值.详解详析1.3-42.B3.-44.解:(1)∵x1，x2是一元二次方程x2-6x+k=0的两根，且x1=2，∴x1+x2=-(-6)，即2+x2=6，∴x2=4.(2)∵x1，x2是一元二次方程x2-6x+k=0的两根，k=4，∴x1x2=k=4.又∵x1，x2是Rt△ABC的两条直角边的长，∴S Rt△ABC=x1x2=×4=2.5.A6.C7.48.B9.D[解析] 由根与系数的关系，得x1+x2=a，x1x2=2a.由已知，得+=5，则(x1+x2)2-2x1x2=5，即a2-4a=5，解得a1=5，a2=-1.又因为当a=5时方程没有实数根，所以a=-1.10.11.2030[解析] 根据方程根的定义和根与系数的关系求解.∵x1为方程x2-4x-2022=0的根，∴-4x1-2022=0，∴-4x1=2022.∵x1，x2为方程x2-4x-2022=0的两根，∴x1+x2=4，∴-2x1+2x2=-4x1+2(x1+x2)=2022+2×4=2030.12.解:(1)根据题意，得b2-4ac=(-4)2-4(-2m+5)>0，解得m>.(2)设x1，x2是方程的两根.根据题意，得x1+x2=4>0，x1x2=-2m+5.由题意，得-2m+5>0，解得m<，所以m的取值范围为<m<.因为m为整数，所以m=1或m=2.当m=1时，方程为x2-4x+3=0，解得x1=1，x2=3.方程两根都是整数;当m=2时，方程为x2-4x+1=0，解得x1=2+，x2=2-，方程两根都不是整数，不合题意，舍去.所以整数m的值为1.13.解:∵9b2+2022b+5=0，∴b≠0.方程9b2+2022b+5=0两边同除以b2，得5×+2022×+9=0.又∵5a2+2022a+9=0，ab≠1，∴a和是方程5x2+2022x+9=0的两个根，∴=a·=.。
浙教版八年级数学下册第二章一元二次方程第4节一元二次方程根与系数的关系同步练习(含答案)
八年级数学下册第二章一元二次方程第4节一元二次方程根与系数的关系同步练习一、单选题1．设—元二次方程2240x x --=的两个实根为1x 和2x ，则下列结论正确的是（ ）.A ．122x x +=-B ．122x x ⋅=-C ．124x x +=-D ．124x x ⋅=-2．若,a b 方程2230x x --=的两个根，则a b +=（ ）A ．2B ．2-C ．3D ．3-3．已知x 1，x 2是方程0152=+-x x 的两根，则x 12+x 22的值为（ ）A ．3B ．5C ．7D ．44．若α，β是方程x 2﹣2x ﹣3＝0的两个实数根，则α2+β2+αβ的值为（ ）A ．10B ．9C ．7D ．55．已知m ，n 是关于x 的一元二次方程2x 3x a 0-+=的两个解，若()()m 1n 16--=-，则a 的值为（ ） A ．﹣10 B ．4 C ．﹣4 D ．106．一元二次方程22x 5x 10-+=的根的情况是A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．无法确定7．已知关于x 的一元二次方程mx 2﹣（m+2）x+4m =0有两个不相等的实数根x 1，x 2．若11x +21x =4m ，则m 的值是（ ）A ．2B ．﹣1C ．2或﹣1D ．不存在8．若a≠b ，且22410,410a a b b -+=-+=则221111a b +++的值为（ ） A ．14 B ．1 C ．.4D ．3二、填空题9．设x 1、x 2是方程x 2－mx ＋3＝0的两个根，且x 1＝1，则m －x 2＝____．10．若关于x 的一元二次方程230x x a ++=有一个实数根为2x =-，则另一个实数根为__________．11．已知命题“对于正整数a ，关于 x 的一元二次方程ax 2 -4x +1=0 没有实数根”，能说明这个命题是假命题的一个反例是a =___________．12．已知α、β是一元二次方程x 2﹣4x ﹣1＝0的两实数根，则代数式αβ﹣2（α+β）＝ ．13．已知12x x ，是一元二次方程2360x x +-＝的两个实数根，那么直线()22121211y x x x x x ⎛⎫=+-+⎪⎝⎭不经过第__象限．14．已知m 是负整数，关于x 的一元二次方程2240x mx --=的两根是1x 、2x ，若1212x x x x +>，则m 的值等于__________．15．对任意实数a ，若多项式22253b ab a +﹣的值总大于3﹣，则实数b 的取值范围是_____． 16．对于一切不小于2的自然数n ，关于x 的一元二次方程x 2﹣（n+2）x ﹣2n 2=0的两个根记作a n ，b n （n≥2），223311(2)(2)(2)(2)a b a b +----++202020201(2)(2)a b --=_____．三、解答题 17．已知k 为实数，关于x 的方程222(1)x k k x +=-有两个实数根12,x x ．（1）求实数k 的取值范围．（2）若()()12112x x ++=，试求k 的值．18．关于x 的一元二次方程()23220x k x k ---+=． （1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程的两根分为1x 、2x ，且12122x x x x ++=，求k 的值．19．定理：若1x 、2x 是关于x 的一元二次方程20x mx n ++=的两实根，则有12x x m +=-，12x x n =，请用这一定理解决问题：已知1x 、2x 是关于x 的一元二次方程()222120x k x k -+++=的两实根，且()()12118x x ++=，求k 的值．20．已知一元二次方程20ax bx c ++=（0a ≠，240b ac -≥）的两根为1x ，2x ．（1）利用求根公式求：方程两根与其系数之间的关系；（2）设m ，n 是方程2630x x ++=的两实数根，根据题设及上述结论求解．①求m n +及mn 的值；②求25m m n +-的值．21．如果关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．（1）请问一元二次方程x 2﹣6x +8＝0是倍根方程吗？如果是，请说明理由．（2）若一元二次方程x 2+bx +c ＝0是倍根方程，且方程有一个根为2，求b 、c 的值．22．阅读材料：已知方程a 2-2a -1=0，1-2b -b 2=0且ab ≠1，求1ab b +的值. 解：由a 2-2a -1=0及1-2b -b 2=0，可知a ≠0，b ≠0，又∵ab ≠1，1a b∴≠. 1-2b -b 2=0可变形为211210b b ⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，根据a 2-2a -1=0和211210b b ⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的特征.a ∴、1b是方程x 2-2x -1=0的两个不相等的实数根， 则12a b +=，即12ab b+=. 根据阅读材料所提供的方法，完成下面的解答.已知：3m 2-7m -2=0，2n 2+7n -3=0且mn ≠1，求1n mn m ++的值.23．阅读材料I:教材中我们学习了:若关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=的两根为12,x x 、1212,b c x x x x a a+=-=，根据这一性质，我们可以求出己知方程关于12x x 、的代数式的值．问题解决:（1）已知12x x 、为方程2310x x +-=的两根，则:12x x += __ _，12x x =__ _，那么_2212x x += (请你完成以上的填空)阅读材料:II已知221010m m n n --=+-=,，且1mn ≠．求,m n mn +的值．解:由210n n +-=可知0n ≠ 21110n n∴+-= 21110.n n∴--= 又210,m m --=且1mn ≠，即1m n≠ 1,m n∴是方程210x x --=的两根． 111,1m m n n∴+=⋅=- 问题解决:（2）若1,ab ≠且222201830,3201820,a a b b ++=++=则a b= ； （3）已知222310320,m m n n --=+-=,且1mn ≠．求221m n +的值．知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。
浙教版八年级数学下册：2.4一元二次方程根与系数的关系(选学)
已知一元二次方程的实数根，求两根 的代数式的和 例2 一元二次方程x2-3x+1=0的两实根分别为x1、 x2，求（x1-2）（x2-2）的值. 分析：先根据根与系数的关系得到x1+x2=3， x1·x2=1，再利用乘法公式把（x1-2）（x2-2） 展开得到x1·x2-2（x1+x2）+4，然后利用整体代 入的方法计算. 解：根据题意得x1+x2=3，x1·x2=1，所以（x1-2） （x2-2）=x1·x2-2（x1+x2）+4=1-2×3+4=-1.
6 3 解：设方程的另一个根是x1，则2x1=- ，∴x1=- . 5 5 3 k k 又∵x1+2=- ，∴- 5 +2=- 5 ，∴k=-7. 5
注意点：对于一元二次方程（ ≥0），当已知 二次项系数和常数项时，可求得方程的两根之积； 当已知二次项系数和一次项3;(a-1)x+a2=0的两根互为倒 数，则a= . 错答：因为方程的两根互为倒数，所以两根的乘 积为1，即x1x2=a2=1，解得a=1或-1. 正答：-1. 错因：方程有两个根，所以根的判别式 ≥0， 即(a-1)2-4·a2≥0，即-3a2-2a+1≥0，当a=1时， -3a2-2a+1=-4，不符合条件，舍去. 当a=-1时，符合题意. 故填-1.
注意点：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根 与系数的关系：若方程两个根为x1·x2，则 c b x1+x2= ，x1·x2= . a a
已知两数的和与积，构造一元二次方程 求这两个数
例3 已知两个数的和等于8，积等于7，求这两个 数的值. 分析：可将-8作为一次项系数，7作为常数项， 构造一个二次项系数为1的一元二次方程，则这个 一元二次方程的解就是所要求的两个数. 解：根据根与系数的关系可知，这两个数是方程 x2-8x+7=0的两个根，解这个方程得x1=7，x2=1. 因此这两个数是1，7. 注意点：由于方程（x-x1）（x-x2）=0可化为x2（x1+x2）x+x1x2=0，如果已知两根之和与两根之 积，可根据这一性质构造出一个符合要求的一元 二次方程.
2.4一元二次方程根与系数的关系(选学)同步练习含答案解析
浙教版八年级下册第2章 2.4一元二次方程根与系数的关系同步练习一、单选题（共15题；共30分）1、已知x1、x2是一元二次方程x2﹣4x+1=0的两个根，则x1+x2等于（）A、-4B、-1C、1D、42、△ABC的一边长为5，另两边分别是方程x2﹣6x+m=0的两根，则m的取值范围是（）A、m＞B、＜m≤9C、≤m≤9D、m≤3、已知x1、x2是方程x2﹣（k﹣2）x+k2+3k+5=0的两个实数根，则x12+x22的最大值是（）A、19B、18C、15D、134、如果关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为x1=2，x2=﹣1，那么p，q的值分别是（）A、1，﹣2B、﹣1，﹣2C、﹣1.2D、1，25、若一元二次方程﹣3x2+6x+m=0的一个根为x1=3，则该方程的另一个根是（）A、x2=﹣1B、x2=﹣3C、x2=﹣5D、x2=56、已知一元二次方程x2﹣3x﹣3=0的两根为α与β，则的值为（）A、-1B、1C、-2D、27、方程x2﹣2012|x|+2013=0的所有实数根之和是（）B、0C、2012D、20138、已知3m2﹣2m﹣5=0，5n2+2n﹣3=0，其中m，n为实数，则|m﹣|=（）A、0B、C、D、0或9、如果关于x的方程x2﹣ax+a2﹣3=0至少有一个正根，则实数a的取值范围是（）A、﹣2＜a＜2B、C、D、10、设x1、x2是一元二次方程x2+x﹣3=0的两根，则x13﹣4x22+15等于（）A、-4B、8C、6D、011、若α，β是方程x2﹣2x﹣2=0的两个实数根，则α2+β2的值为（）A、10B、9C、8D、712、若关于x的方程x2+2mx+m2+3m﹣2=0有两个实数根x1、x2，则x1（x2+x1）+的最小值为（）A、1B、2C、D、13、若关于x的一元二次方程的两个根为x1=1，x2=2，则这个方程是（）A、x2+3x﹣2=0B、x2﹣3x+2=0D、x2+3x+2=014、若α，β是方程x2+2x﹣2005=0的两个实数根，则α2+3α+β的值为（）A、2005B、2003C、﹣2005D、401015、如果关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为x1=3，x2=1，那么这个一元二次方程是（）A、x2+3x+4=0B、x2+4x﹣3=0C、x2﹣4x+3=0D、x2+3x﹣4=0二、填空题（共5题；共6分）16、已知x1，x2是一元二次方程4x2﹣（3m﹣5）x﹣6m2=0的两个实数根，且，则________．17、已知a，b是方程x2﹣x﹣3=0的两个根，则代数式a2+b+3的值为________ ．18、等腰△ABC中，BC=8，若AB、AC的长是关于x的方程x2﹣10x+m=0的根，则m的值等于________．19、从﹣4、- 、0、、4这五个数中，任取一个数作为a的值，恰好使得关于x的一元二次方程2ax2﹣6x﹣1=0有两个不相等的实数根，且使两个根都在﹣1和1之间（包括﹣1和1），则取到满足条件的a 值的概率为________．20、已知分式，当x=2时，分式无意义，则a=________；当a为a＜6的一个整数时，使分式无意义的x的值共有________个．三、解答题（共3题；共15分）21、已知实数m，n（m＞n）是方程的两个根，求的值．22、已知x1，x2是方程x2﹣（k﹣2）x+k2+3k+5=0的实数根（x1，x2可相等）（1）证明方程的两根都小于0；（2）当实数k取何值时x12+x22最大？并求出最大值．23、已知：关于x的方程x2+2x﹣k=0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）若α，β是这个方程的两个实数根，求：的值；（3）根据（2）的结果你能得出什么结论？四、综合题（共3题；共35分）24、已知△ABC的两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2=0的两个实数根，第三边BC=5．(1)k为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形？(2)k为何值时，△ABC是等腰三角形？并求此时△ABC的周长．25、已知：关于x的一元二次方程mx2﹣3（m﹣1）x+2m﹣3=0（m＞3）．(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；(2)设方程的两个实数根分别为x1，x2（用含m的代数式表示）；①求方程的两个实数根x1，x2（用含m的代数式表示）；②若mx1＜8﹣4x2，直接写出m的取值范围．26、如果方程x2+px+q=0的两个根是x1，x2，那么x1+x2=﹣p，x1•x2=q，请根据以上结论，解决下列问题：(1)若p=﹣4，q=3，求方程x2+px+q=0的两根．(2)已知实数a、b满足a2﹣15a﹣5=0，b2﹣15b﹣5=0，求+ 的值；(3)已知关于x的方程x2+mx+n=0，（n≠0），求出一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程两根的倒数．答案解析部分一、单选题1、【答案】D【考点】根与系数的关系【解析】【解答】解：∵方程x2﹣4x+1=0的两个根是x1，x2，∴x1+x2=﹣（﹣4）=4．故选D．【分析】据一元二次方程的根与系数的关系得到两根之和即可．2、【答案】B【考点】根与系数的关系，三角形三边关系【解析】【解答】解：设三角形另两边分别为a、b（a≥b），根据题意得△=（﹣6）2﹣4m≥0，解得m≤9，a+b=6，ab=m，∵a＜b+5，即a﹣b＜5，∴（a﹣b）2＜25，∴（a+b）2﹣4ab＜25，即36﹣4m＜25，∴m＞，∴m的取值范围是＜m≤9．故选B．【分析】设三角形另两边分别为a、b（a≥b），先利用判别式的意义得到m≤9，根据根与系数的关系得到a+b=6，ab=m，由于a＜b+5，则利用完全平方公式变形得到（a﹣b）2＜25，所以（a+b）2﹣4ab＜25，即36﹣4m＜25，解得m＞，于是可得到m的取值范围是＜m≤9．3、【答案】B【考点】根与系数的关系，二次函数的最值【解析】【解答】解：由方程有实根，得△≥0，即（k﹣2）2﹣4（k2+3k+5）≥0所以3k2+16k+16≤0，所以（3k+4）（k+4）≤0解得﹣4≤k≤﹣．又由x1+x2=k﹣2，x1•x2=k2+3k+5，得x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=（k﹣2）2﹣2（k2+3k+5）=﹣k2﹣10k﹣6=19﹣（k+5）2，当k=﹣4时，x12+x22取最大值18．故选：B．【分析】根据x1、x2是方程x2﹣（k﹣2）x+（k2+3k+5）=0的两个实根，由△≥0即可求出k的取值范围，然后根据根与系数的关系求解即可．4、【答案】B【考点】根与系数的关系【解析】【解答】解：根据题意得2+（﹣1）=﹣p，2×（﹣1）=q，所以p=﹣1，q=﹣2．故选：B．【分析】根据根与系数的关系得2+（﹣1）=﹣p，2×（﹣1）=q，然后解方程即可．5、【答案】A【考点】根与系数的关系【解析】【解答】解：由根与系数的关系得3+x2=﹣=2，解得x2=﹣1．故选A．【分析】设方程的另一个解为x2，根据根与系数的关系得到3+x2=﹣=2，然后解一次方程即可．6、【答案】A【考点】根与系数的关系【解析】【解答】解：根据题意得α+β=3，αβ=﹣3，所以===﹣1．故选A．【分析】先根据根与系数的关系得到α+β=3，αβ=﹣3，再通分得到=，然后利用整体代入的方法计算．7、【答案】B【考点】根与系数的关系【解析】【解答】解：当x＞0时，原方程化为x2﹣2012x+2013=0，方程的两根之和为2012；当x＜0时，原方程化为x2+2012x+2013=0，方程的两根之和为﹣2012，所以方程x2﹣2012|x|+2013=0的所有实数根之和是0．故选B．【分析】先根据绝对值的意义分类讨论：当x＞0时，原方程化为x2﹣2012x+2013=0；当x＜0时，原方程化为x2+2012x+2013=0，然后根据根与系数的关系分别得到两个方程的两根之和，再求所有根之和．8、【答案】D【考点】一元二次方程的解，根与系数的关系【解析】【解答】解：由3m2﹣2m﹣5=0得m1=﹣1，m2=；由5n2+2n﹣3=0得n1=，n2=﹣1．=，①当m=﹣1，n=时，原式=；②当m=﹣1，n=﹣1时，原式=0；③当m=，n=时，原式=0；④当m=，n=﹣1时，原式=．综上所述，=0或．故答案为0或．【分析】先分别解方程求m，n的值，再把m，n的值分别组合出不同的情形计算求解．9、【答案】C【考点】根的判别式，根与系数的关系【解析】【解答】解：∵△=a2﹣4（a2﹣3）=12﹣3a2（1）当方程有两个相等的正根时，△=0，此时a=±2，若a=2，此时方程x2﹣2x+1=0的根x=1符合条件，若a=﹣2，此时方程x2+2x+1=0的根x=﹣1不符舍去，（2）当方程有两个根时，△＞0可得﹣2＜a＜2，①若方程的两个根中只有一个正根，一个负根或零根，则有a2﹣3≤0，解可得﹣≤a≤，而a=﹣时不合题意，舍去．所以﹣＜a≤符合条件，②若方程有两个正根，则，解可得a＞，综上可得，﹣＜a≤2．故选C．【分析】根据方程x2﹣ax+a2﹣3=0至少有一个正根，则方程一定有两个实数根，即△≥0，关于x的方程x2﹣ax+a2﹣3=0至少有一个正根⇔（1）当方程有两个相等的正根，（2）当方程有两个不相等的根，①若方程的两个根中只有一个正根，一个负根或零根，②若方程有两个正根，结合二次方程的根的情况可求．10、【答案】A【考点】根与系数的关系【解析】【解答】解：∵x1、x2是一元二次方程x2+x﹣3=0的两根，∴x1+x2=﹣1，x1x2=﹣3，∵x13=x1x12=x1（3﹣x1）=3x1﹣x12，∴x13﹣4x22+15=3x1﹣x12﹣4x22+15=3x1﹣x12﹣x22﹣3x22+15=3（x1+x2）﹣（x1+x2）2+2x1x2+6，∴x13﹣4x22+15=﹣3﹣1﹣6+6=﹣4，故选：A．【分析】首先求出两个之和与两根之积，然后把x13﹣4x22+15转化为3（x1+x2）﹣（x1+x2）2+2x1x2+6，然后整体代入即可．11、【答案】C【考点】根与系数的关系【解析】【解答】解：根据题意得α+β=2，αβ=﹣2，所以α2+β2=（α+β）2﹣2αβ=22﹣2×（﹣2）=8．故选C．【分析】根据根与系数的关系得到α+β=2，αβ=﹣2，再利用完全平方公式变形得α2+β2=（α+β）2﹣2αβ，然后利用整体代入的方法计算．12、【答案】D【考点】根与系数的关系【解析】【解答】解：根据题意得△=4m2﹣4（m2+3m﹣2）≥0，解得m≤x1+x2=﹣2m，x1x2=m2+3m﹣2，x1（x2+x1）+=（x2+x1）2﹣x1x2=4m2﹣（m2+3m﹣2）=3m2﹣3m+2=3（m﹣）2+，所以m=时，x1（x2+x1）+有最小值，最小值为．故选D．【分析】根据判别式的意义得到m≤，再利用根与系数的关系得到x1+x2=﹣2m，x1x2=m2+3m﹣2，所以x1（x2+x1）+=（x2+x1）2﹣x1x2=3m2﹣3m+2，利用配方法得到原式=3（m﹣）2+，然后利用非负数的性质可判断x1（x2+x1）+的最小值为．13、【答案】B【考点】根与系数的关系【解析】【解答】解：两个根为x1=1，x2=2则两根的和是3，积是2．A、两根之和等于﹣3，两根之积等于﹣2，所以此选项不正确；B、两根之和等于3，两根之积等于2，所以此选项正确；C、两根之和等于2，两根之积等于3，所以此选项不正确；D、两根之和等于﹣3，两根之积等于2，所以此选项不正确，故选：B．【分析】解决此题可用验算法，因为两实数根的和是1+2=3，两实数根的积是1×2=2．解题时检验两根之和是否为3及两根之积是否为2即可．14、【答案】B【考点】一元二次方程的解，根与系数的关系【解析】【解答】解：α，β是方程x2+2x﹣2005=0的两个实数根，则有α+β=﹣2．α是方程x2+2x﹣2005=0的根，得α2+2α﹣2005=0，即：α2+2α=2005．所以α2+3α+β=α2+2α+（α+β）=α2+2α﹣2=2005﹣2=2003．故选B．【分析】根据一元二次方程根的定义和根与系数的关系求解则可．设x1，x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的两个实数根，则x1+x2= ，x1x2= ．而α2+3α+β=α2+2α+（α+β），即可求解．15、【答案】C【考点】根与系数的关系【解析】【解答】解：方程两根分别为x1=3，x2=1，则x1+x2=﹣p=3+1=4，x1x2=q=3∴p=﹣4，q=3，∴原方程为x2﹣4x+3=0．故选C．【分析】由根与系数的关系求得p，q的值．二、填空题16、【答案】m=1或m=5【考点】根与系数的关系【解析】【解答】解：∵方程有两个实数根，由韦达定理知：，∵，而由知，x1，x2异号．故=﹣，令x1=3k，x2=﹣2k，则得：，从上面两式消去k，得：，即：m2﹣6m+5=0，解之得：m1=1，m2=5．故答案为：1或5．【分析】x1，x2是一元二次方程4x2﹣（3m﹣5）x﹣6m2=0的两个实数根，根据根与系数的关系即可解答．17、【答案】7【考点】一元二次方程的解，根与系数的关系【解析】【解答】解：∵a是方程x2﹣x﹣3=0的根，∴a2﹣a﹣3=0，∴a2=a+3，∴a2+b+3=a+3+b+3=a+b+6，∵a，b是方程x2﹣x﹣3=0的两个根，∴a+b=1，∴a2+b+3=1+6=7．故答案为7．【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到a2﹣a﹣3=0，即a2=a+3，则a2+b+3化简为a+b+6，再根据根与系数的关系得到a+b=1，然后利用整体代入的方法计算即可．18、【答案】25或16【考点】根与系数的关系，三角形三边关系，等腰三角形的性质【解析】【解答】解：当AB=BC=8，把x=8代入方程得64﹣80+m=0，解得m=16，此时方程为x2﹣10x+16=0，解得x1=8，x2=2；当AB=AC，则AB+AC=10，所以AB=AC=5，则m=5×5=25．故答案为25或16．【分析】讨论：根据等腰三角形性质当AB=BC=8，把x=8代入方程可得到m=16，此时方程另一根为2，满足三角形三边关系；当AB=AC，根据根与系数得关系得AB+AC=10，所以AB=AC=5，所以m=5×5=25．19、【答案】【考点】根的判别式，根与系数的关系，概率公式【解析】【解答】解：∵当a=﹣4时，原方程可化为﹣8x2﹣6x﹣1=0，解得x1=﹣，x2=﹣，符合题意；当a=﹣时，原方程可化为﹣7x2﹣6x﹣1=0，解得x1=﹣，x2=﹣，符合题意；当a=0时，原方程可化为﹣6x﹣1=0，解得x1=﹣，不符合题意；当a= 时，原方程可化为7x2﹣6x﹣1=0，解得x1=1，x2=﹣，符合题意；当a=4时，原方程可化为8x2﹣6x﹣1=0，解得x1=﹣，x2= ，符合题意．∴取到满足条件的a值的概率= ．故答案为：．【分析】分别把这5个数代入关于x的一元二次方程2ax2﹣6x﹣1=0，求出x的值，再根据概率公式即可得出结论．20、【答案】6；2【考点】分式有意义的条件，根与系数的关系【解析】【解答】解：由题意，知当x=2时，分式无意义，∴分母=x2﹣5x+a=22﹣5×2+a=﹣6+a=0，∴a=6；当x2﹣5x+a=0时，△=52﹣4a=25﹣4a，∵a＜6，∴△=25﹣4a＞0，故当a＜6的整数时，分式方程有两个不相等的实数根，即使分式无意义的x的值共有2个．故答案为6，2．【分析】根据分式无意义的条件：分母等于零求解．三、解答题21、【答案】解：∵方程的二次项系数a=1，一次项系数b=﹣2，常数项c=2，∴b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×1×2=4，∴x===±1，∴m=+1，n=﹣1；∴+====4．【考点】根与系数的关系【解析】【分析】根据根与系数的关系求得一元二次方程的根，然后将其代入所求的代数式求值．22、【答案】（1）证明：∵△=（k﹣2）2﹣4（k2+3k+5）≥0，∴﹣4≤k≤﹣，∵x1+x2=k﹣2，x1x2=k2+3k+5，∴x1+x2=k﹣2＜0，x1x2=k2+3k+5＞0，∴方程的两根都小于0；（2）解：x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=（k﹣2）2﹣2（k2+3k+5）=﹣k2﹣10k﹣6=﹣（k+5）2+19，∵﹣4≤k≤﹣，∴k=﹣4时，x12+x22有最大值，最大值为﹣（﹣4+5）2+19=18．【考点】根的判别式，根与系数的关系【解析】【分析】（1）根据判别式的意义得到△=（k﹣2）2﹣4（k2+3k+5）≥0，解此不等式得到﹣4≤k≤﹣，再由根与系数的关系得x1+x2=k﹣2，x1x2=k2+3k+5，利用k的取值范围有x1+x2=k﹣2＜0，x1x2=k2+3k+5＞0，于是利用有理数的性质即可判断方程的两根都小于0；（2）利用完全平方公式得到x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=（k﹣2）2﹣2（k2+3k+5）=﹣（k+5）2+19，然后根据二次函数的最值问题求解．23、【答案】解：（1）△=4+4k，∵方程有两个不等实根，∴△＞0，即4+4k＞0∴k＞﹣1（2）由根与系数关系可知α+β=﹣2，αβ=﹣k，∴=，（3）由（1）可知，k＞﹣1时，的值与k无关．【考点】根与系数的关系【解析】【分析】（1）由方程x2+2x﹣k=0有两个不相等的实数根，可以求出△＞0，由此可求出k的取值范围；（2）欲求的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可．（3）只要满足△＞0（或用k的取值范围表示）的值就为一定值．四、综合题24、【答案】（1）解：根据题意得[x﹣（k+1）][x﹣（k+2）]=0，解得，x1=k+1，x2=k+2，若△ABC是直角三角形，且BC是斜边，那么有（k+1）2+（k+2）2=52，解得k1=2，k2=﹣5（不合题意舍去），∴k=2（2）解：①如果AB=AC，△=（2k+3）2﹣4（k2+3k+2）=0 4k2+12k+9﹣4k2﹣12k﹣8=1≠0，不可能是等腰三角形．②如果AB=5，或者AC=5x1=5，52﹣（2k+3）×5+k2+3k+2=0k2﹣7k+12=0（k﹣4）（k﹣3）=0k=4或者k=3（都符合题意）k=4时：x2﹣11x+30=0（x﹣5）（x﹣6）=0，∴AB=5，AC=6，周长L=5+5+6=16，k=3时：x2﹣9x+20=0（x﹣4）（x﹣5）=0，∴AB=4，AC=5，周长L=4+5+5=14【考点】根与系数的关系，等腰三角形的性质，勾股定理【解析】【分析】（1）先解方程可得x1=k+1，x2=k+2，若△ABC是直角三角形，且BC是斜边，那么有（k+1）2+（k+2）2=52，易求k，结合实际意义可求k的值；（2）由（1）得x=k+1，x2=k+2，若△ABC是等腰1三角形，则x1=BC或x2=BC，易求k=4或3，再分两种情况求周长．25、【答案】（1）证明：∵mx2﹣3（m﹣1）x+2m﹣3=0（m＞3）是关于x的一元二次方程，∴△=[（﹣3（m﹣1）]2﹣4m（2m﹣3）=m2﹣6m+9=（m﹣3）2，∵m＞3，∴（m﹣3）2＞0，即△＞0，∴方程总有两个不相等的实数根（2）①由求根公式得x= ，∴x=1，或x= ，∵m＞3，∴＞3，当x1＜x2，∴x1=1，x2=2﹣；当x1＞x2，这种情况不存在；∴x1=1，x2=2﹣；②∵mx1＜8﹣4x2，∴m＜8﹣4（2﹣），解得：3＜m＜2 ．【考点】根的判别式，根与系数的关系【解析】【分析】（1）由于m＞3，此方程为关于x的一元二次方程，再计算出判别式△=（m﹣3）2，然后根据判别式的意义即可得到结论；（2）②由求根公式得到x=1，或x= ，即可得到结论；②根据mx1＜8﹣4x2，即可得到结果．26、【答案】（1）解：当p=﹣4，q=3，则方程为x2﹣4x+3=0，解得：x1=3，x2=1（2）解：∵a、b满足a2﹣15a﹣5=0，b2﹣15b﹣5=0，∴a、b是x2﹣15x﹣5=0的解，当a≠b时，a+b=15，a﹣b=﹣5，+ = = = =﹣47；当a=b时，原式=2（3）解：设方程x2+mx+n=0，（n≠0），的两个根分别是x1，x2，则+ = =﹣，•= = ，则方程x2+ x+ =0的两个根分别是已知方程两根的倒数【考点】根与系数的关系【解析】【分析】（1）根据p=﹣4，q=3，得出方程x2﹣4x+3=0，再求解即可；（2）根据a、b满足a2﹣15a﹣5=0，b2﹣15b﹣5=0，得出a，b是x2﹣15x﹣5=0的解，求出a+b和ab的值，即可求出+ 的值；（3）先设方程x2+mx+n=0，（n≠0）的两个根分别是x1，x2，得出+ =﹣，•= ，再根据这个一元二次方程的两个根分别是已知方程两根的倒数，即可求出答案．。
八年级数学下册2-4一元二次方程根与系数的关系选学同步练习新版浙教版
课堂笔记
如果x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠ 0）的两ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ根，那么x1+x2=，x1·x2=.
课时训练
A组基础训练
1.（枣庄中考）已知关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为-2，则另一个根为（）
A．5B．-1C．2D．-5
2.下列方程中的两实数根之和为－4的是（）
（ 3）①当9为底边时，此时方程x2-2（m+2）x+m2=0有两个相等的实数根， =4（m+2）2-4m2=0，解得：m=-1，∴方程变为x2-2x+1=0，解得：x 1=x2=1，∵1+1＜9，∴不能构成三角形；
②当9为腰时，设x1=9，代入方程得：81-18（m+2）+m2=0，解得：m=15或3，当m=15时方程变为x2-34x+225=0，解得：x=9或25，∵9+9＜25，∴不能组成三角形；当m=3时方程变 为x2-10x+9=0，解得：x=1或9，此时三角形的周长为9+9+1=19.
A．x2+2x-4=0B．x2-4x+4=0
C．x2+4x+10=0D．x2+4x-5=0
3.已知关于x的一元二次方程x2-mx+2m-1=0的两个实数根的平方和 为7，那么m的值是
（）
A. 5 B. -1
C. 5或-1D. -5或1
4.如果a、b是方程x2-3x+1=0的两根，那么代数式a2+2b2-3b的值为（）
（1）求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根；
（2）若x1，x2是原方程的两根，且 =2 ，求m的值，并求出此时方程的两根．
2021年浙教版数学八年级下册2.4《一元二次方程根与系数的关系》精选练习 (含答案)
浙教版数学八年级下册2.4《一元二次方程根与系数的关系》精选练习一、选择题1.若关于y的一元二次方程ky2﹣2y﹣1=0有两个不相等实数根，则k取值范围是( )A.k＞﹣1B.k＞﹣1且k≠0C.k＜1D.k＜1 且k≠02.不解方程判断下列方程中无实数根的是( )A.-x2=2x-1B.4x2+4x+1.25=0;C.错误!未找到引用源。
D.(x+2)(x-3)=-53.若关于x的一元二次方程(a-5)x2-4x-1=0有实数根，则a满足( )A.a≠5B.a≥1C.a≥1且a≠5D.a＜1且a≠54.如果关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为x1=3，x2=1，那么这个一元二次方程是( )A.x2+3x+4=0B.x2+4x﹣3=0C.x2﹣4x+3=0D.x2+3x﹣4=05.若α，β是方程x2﹣2x﹣2=0的两个实数根，则α2+β2的值为( )A.10B.9C.8D.76.若一次函数y=kx+b的图象不经过第二象限，则关于x的方程x2+kx+b=0的根的情况是( )A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.无实数根D.无法确定7.已知关于x的一元二次方程x2+5x﹣m=0的一个根是2，则另一个根是( )A．﹣7 B．7 C．3 D．﹣38.一元二次方程x2﹣3x﹣2=0的两根为x1，x2，则下列结论正确的是（）A．x1=﹣1，x2=2 B．x1=1，x2=﹣2 C．x1+x2=3 D．x1x2=29.已知a，b，c是△ABC的三边长，且方程(c-b)x2＋2(b-a)x＋a-b=0有两个相等的实数根，则这个三角形是( )A.等腰三角形B.等边三角形C.不等边三角形D.直角三角形10.若一元二次方程x2-2x-m=0无实数根，则一次函数y=(m+1)x+m-1的图象不经过第( )象限.A.四B.三C.二D.一11.若关于x方程x2+2mx+m2+3m﹣2=0有两个实数根x1.x2，则x1(x2+x1)+x22最小值为( )A.1B.2C.0.75D.1.2512.若α，β是方程x2+2x﹣2025=0的两个实数根，则α2+3α+β的值为( )A.2025B.2023C.﹣2025D.4050二、填空题13.若一元二次方程(k-1)x2-4x-5=0 有两个不相等实数根, 则k 的取值范围是_______.14.如果关于x一元二次方程2x(kx-4)-x2+6=0没有实数根,则k 最小整数值是______.15.一元二次方程kx2-(k＋2)x-3=0的根的判别式为8，则k的值为_________.16.写出二次项系数为5，以x1=1，x2=2为根的一元二次方程________17.若关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两个实数根分别为x1=﹣1，x2=2，则b+c的值是．18.如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于“倍根方程”的说法，正确的有_____(填序号).①方程x2-x-2=0是“倍根方程”；②若(x-2)(mx+n)=0是“倍根方程”，则4m2+5mn+n2=0；③若p,q满足pq=2，则关于x的方程px2+3x+q=0是“倍根方程”；④若方程ax2+bx+c=0是“倍根方程”，则必有2b2=9ac.三、解答题19.不解方程，利用判别式判断下列方程根的情况：(1)3x2＋4x-3=0； (2)4x2=12x-9； (3)7y=5(y2＋1).20.已知关于x的方程(k﹣1)(k﹣2)x2+(k﹣1)x+5=0.求：(1)当k为何值时，原方程是一元二次方程；(2)当k为何值时，原方程是一元一次方程，并求出此时方程的解.21.已知a，b是方程x2﹣2x﹣1=0的两个实数根，求ab﹣a2+3a+b的值.22.已知关于x的一元二次方程x2-2kx+0.5k2-2=0.(1)求证:不论k为何值,方程总有两不相等实数根.(2)设x1,x2是方程的根,且 x12-2kx1+2x1x2=5,求k的值.23.已知关于x的一元二次方程（a+b）x2+2cx+（b﹣a）=0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．（1）如果x=﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．参考答案1.答案为：B2.答案为：B.3.答案为：C4.答案为：C5.答案为：C6.答案为：A7.答案为：A8.C9.答案为：A10.答案为：D11.答案为：D12.答案为：B13.答案为：k>0.2且k≠1.14.答案为：2.15.答案为：-8±21716.答案为：5x2﹣15x+10=017.答案为：﹣3．18.答案为：②③④.19.解：(1)方程有两个不相等的实数根；(2)方程有两个相等的实数根(3)方程没有实数根20.解：(1)依题意，得(k﹣1)(k﹣2)≠0，解得k≠1且k≠2；(2)依题意，得(k﹣1)(k﹣2)=0，且k﹣1≠0，解得k=2.此时该方程为x+5=0，解得x=﹣5.21.解：有题意可知：ab=-1,a+b=2,a2-2a=1,所以原式=ab-(a2-2a)+a+b=-1-1+2=0.22.解：(1)△=2k2+8>0, ∴不论k为何值,方程总有两不相等实数根.(2)k=±错误!未找到引用源。
八年级数学下册 2.4 一元二次方程根与系数的关系同步
一元二次方程根与系数的关系1．[2012·烟台]下列一元二次方程两实数根的和为－4的是 ( D )A ．x 2＋2x －4＝0B ．x 2－4x ＋4＝0C ．x 2＋4x ＋10＝0D ．x 2＋4x －5＝02．[2013·雅安]已知x 1，x 2是一元二次方程x 2－2x ＝0的两根，则x 1＋x 2的值是 ( B )A ．0B ．2C ．－2D ．43．已知方程3x 2－5x －7＝0的两根为x 1，x 2则下列各式中正确的是 ( C ) A ．x 1＋x 2＝5，x 1·x 2＝7 B ．x 1＋x 2＝－5，x 1·x 2＝－7 C ．x 1＋x 2＝53，x 1·x 2＝－73D ．x 1＋x 2＝－53，x 1·x 2＝－734．[2013·泸州]设x 1，x 2是方程x 2＋3x －3＝0的两个实数根，则x 2x 1＋x 1x 2的值为( B ) A ．5 B ．－5C ．1D ．－15．[2012·攀枝花]已知一元二次方程x 2－3x －1＝0的两个根分别是x 1，x 2，则x 12x 2＋x 1x 22的值为 ( A ) A ．－3 B ．3 C ．－6 D ．6【解析】 ∵一元二次方程x 2－3x －1＝0的两个根分别是x 1，x 2，∴x 1＋x 2＝3，x 1·x 2＝－1，∴x 12x 2＋x 1x 22＝x 1x 2·(x 1＋x 2)＝－1×3＝－3.6．[2012·张家界]已知m 和n 是方程2x 2－5x －3＝0的两根，则1m ＋1n ＝__－53__．【解析】 ∵m 和n 是方程2x 2－5x －3＝0的两根， ∴m ＋n ＝－－52＝52，m ·n ＝－32，∴1m ＋1n ＝m ＋n mn ＝52－32＝－53. 7．[2012·枣庄]已知关于x 的方程x 2＋mx －6＝0的一个根为2，则这个方程的另一个根是__－3__．【解析】 方法一：(根与系数的关系法)∵方程x 2＋mx －6＝0的一个根为2，设另一个根为x 1，则2x 1＝－6，解得x 1＝－3，则方程的另一个根是－3.方法二：(根代入法)把x ＝2代入原方程，得22＋2m －6＝0，解得m ＝1，把m ＝1代入原方程，得x 2＋x －6＝0，解得x 1＝2，x 2＝－3.8．已知2－5是关于x 的一元二次方程x 2－4x ＋c ＝0的一个根，求方程的另一个根． 解：设方程的另一个根为x 1，由x 1＋2－5＝4，得x 1＝2＋ 5.9．已知关于x 的方程x 2－mx －3＝0的两实数根为x 1，x 2，若x 1＋x 2＝2，求x 1，x 2的值．解：解法一：已知关于x 的方程x 2－mx －3＝0的两实数根为x 1，x 2， 由根与系数的关系可得x 1·x 2＝－3， 又∵x 1＋x 2＝2， ∴x 1(2－x 1)＝－3，解得x 1＝3，x 2＝－1或x 1＝－1，x 2＝3. 解法二：∵x 1＋x 2＝2， ∴m ＝2.∴原方程为x 2－2x －3＝0，即(x －3)(x ＋1)＝0， 解得x 1＝3，x 2＝－1或x 1＝－1，x 2＝3.10．[2012·莱芜]已知m ，n 是方程x 2＋22x ＋1＝0的两根，则代数式m 2＋n 2＋3mn 的值为 ( C ) A ．9 B ．±3 C ．3 D ．5【解析】 ∵m ，n 是方程x 2＋22x ＋1＝0的两根， ∴m ＋n ＝－22，mn ＝1，∴m 2＋n 2＋3mn ＝（m ＋n ）2＋mn ＝（－2 2）2＋1＝9＝3.故选C.11．[2012·南通]设α，β是一元二次方程x 2＋3x －7＝0的两个根，则α2＋4α＋β＝__4__．【解析】 因为α，β是一元二次方程x 2＋3x －7＝0的两个根，则α2＋3α－7＝0，α＋β＝－3，∴α2＋4α＋β＝4.12．[2013·呼和浩特]已知α，β是关于x 的一元二次方程x 2＋(2m ＋3)x ＋m 2＝0的两个不相等的实数根，且满足1α＋1β＝－1，求m 的值．解：根据条件知：α＋β＝－(2m ＋3)，αβ＝m 2， ∴1α＋1β＝β＋ααβ＝－（2m ＋3）m2＝－1， 即m 2－2m －3＝0，所以，得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －3＝0，（2m ＋3）2－4m 2>0. 解得m ＝3.13．[2012·南充]关于x 的一元二次方程x 2＋3x ＋m －1＝0的两个实数根分别为x 1，x 2. (1)求m 的取值范围；(2)若2(x 1＋x 2)＋x 1x 2＋10＝0，求m 的值． 解：(1)∵原方程有两个实数根， ∴Δ＝9－4(m －1)≥0，解得m ≤134.(2)由韦达定理，得x 1＋x 2＝－3，x 1·x 2＝m －1， ∴2×(－3)＋(m －1)＋10＝0，解得m ＝－3.14．[2013·荆门改编]设x 1，x 2是方程x 2－x －2 013＝0的两实数根，求x 13＋2 014x 2－2 013.解：∵x 2－x －2 013＝0，∴x 2＝x ＋2 013，x ＝x 2－2 013，又∵x 1，x 2是方程x 2－x －2 013＝0的两实数根， ∴x 1＋x 2＝1，∴x 13＋2 014x 2－2 013＝x 1·x 12＋2 013x 2＋x 2－2 013＝x 1·(x 1＋2 013)＋2 013x 2＋x 2－2 013＝(x 1＋2 013)＋2 013x 1＋2 013x 2＋x 2－2 013 ＝x 1＋x 2＋2 013(x 1＋x 2)＋2 013－2 013 ＝1＋2 013 ＝2 014.15．[2013·南充]关于x 的一元二次方程为(m －1)x 2－2mx ＋m ＋1＝0. (1)求出方程的根；(2)m 为何整数时，此方程的两个根都为正整数？ 解：(1)根据题意得m ≠1，Δ＝(－2m )2－4(m －1)(m ＋1)＝4， ∴x 1＝2m ＋22（m －1）＝m ＋1m －1，x 2＝2m －22（m －1）＝1.(2)由(1)知x 1＝m ＋1m －1＝1＋2m －1， ∵方程的两个根都是正整数， ∴2m －1是正整数， 又∵m －1是整数， ∴m －1＝1或2， ∴m ＝2或3.。
八年级数学下册2.4一元二次方程根与系数的关系同步检测浙教版
2。
4一元二次方程根与系数的关系1．设x1，x2是方程2x2－6x＋3＝0的两个根，则代数式（1＋错误!)(1＋错误!）的值为（）A．11 B.错误! C．13 D。
错误!2．若两个不等实数m，n满足条件：m2－2m－1＝0,n2－2n－1＝0，则m2＋n2的值是____．3．设x1，x2是一元二次方程2x2＋6x－5＝0的两根,求下列代数式的值．（1)错误!＋错误!；（2)|x1－x2｜。
4．设a,b是方程x2＋x－2 020＝0的两个不相等的实数根，则a2＋2a＋b的值为____．点拨：∵a，b是方程x2＋x－2020＝0的根，∴a2＋a－2020＝0，a＋b＝－1，∴a2＋a＝2020,∴a2＋2a＋b＝a2＋a＋（a＋b）＝2020－1＝20195．设x1，x2是一元二次方程x2＋5x－3＝0的两个实根，且2x1（x22＋6x2－3)＋a＝4，则a＝____．6．已知α，β是关于x的一元二次方程x2＋（2m＋3)x＋m2＝0的两个不相等的实数根，且满足错误!＋错误!＝－1,则m的值是( ）A．3或－1 B．3 C．1 D．－3或17．若关于x的方程x2＋（a－1）x＋a2＝0的两根互为倒数,则a＝____．8．已知关于x的方程x2＋2(a－1)x＋a2－7a－4＝0的两根为x1，x2，且满足3x1＋3x2＝x1x2＋4，求a的值．9．已知方程x2＋5x－2＝0,作一个新的一元二次方程,使它的根分别是已知方程各根的平方的倒数，则此新方程是（ )A．4y2－29y＋1＝0 B．4y2－25y＋1＝0C．4y2＋29y＋1＝0 D．4y2＋25y＋1＝010．已知关于x的方程x2＋(2m－3)x＋m2＋6＝0的两根x1,x2的积是两根和的2倍．(1）求m的值;(2)求作以错误!，错误!为两根的一元二次方程．答案：1。
B2. 63。
（1）解：－错误!(2) 解：194。
2019点拨：∵a，b是方程x2＋x－2020＝0的根,∴a2＋a－2020＝0，a＋b＝－1，∴a2＋a＝2020，∴a2＋2a＋b＝a2＋a＋(a＋b)＝2020－1＝20195。
八年级数学下册《2.4 一元二次方程根与系数的关系(选学)》同步练习 浙教版(2021学年)
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2。
4 一元二次方程根与系数的关系（选学）课堂笔记如果ｘ1,ｘ2是一元二次方程ax2+ｂx+c=0（a≠0）的两个根，那么x１＋x2= ,x1·x2= 。
课时训练A组基础训练1. （枣庄中考)已知关于ｘ的方程x2+3x＋a＝0有一个根为-2,则另一个根为( )A．5ﻩＢ．-１ﻩ C. 2ﻩＤ. －5２. 下列方程中的两实数根之和为－4的是( )A．x２+２ｘ—4=0 B．x2-４ｘ+4=0Ｃ．ｘ2＋4x+10=0ﻩ D. x2+4x—5=０3. 已知关于x的一元二次方程ｘ2—ｍｘ+2m－1=0的两个实数根的平方和为7,那么m的值是( )A. ５B. —1C。
5或—１ﻩD．—5或１4. 如果ａ、b是方程x2—3x+１＝0的两根，那么代数式a2＋２ｂ２-3b的值为（）A. ６ﻩB. -6C．7 ﻩＤ．-75. 已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程2ｘ2—８x+7=0的两个根,则这个直角三角形的斜边长是( )Ａ．3Ｂ. 3C. ６ ﻩ Ｄ. 9６. 已知方程ｘ2—3x+1=0的两个根为α，β,则α+β= ，αβ= . ７. 写出一个以2-3和2+3为两根且二次项系数为1的一元二次方程 .8. 已知方程2x 2—3x+k ＝0的两根之差为221,则k= .9. 甲、乙两同学解方程x 2+ｐx+q ＝０,甲看错了一次项系数,得根为2和7;乙看错了常数项，得根为１和-1０,则原方程为 .10。
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八年级数学下2.4一元二次方程根与系数的关系(选学)同步练习(浙教版含答案和解释)浙教版八年级下册第2 24一元二次方程根与系数的关系同步练习一、单选题（共1题；共30分）1、已知x1、x2是一元二次方程x2﹣4x+1=0的两个根，则x1+x2等于（）A、-4B、-1、1D、42、△AB的一边长为，另两边分别是方程x2﹣6x+=0的两根，则的取值范围是（）A、＞B、＜≤9、≤≤9D、≤3、已知x1、x2是方程x2﹣（﹣2）x+2+3+=0的两个实数根，则x12+x22的最大值是（）A、19B、18、1D、134、如果关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为x1=2，x2=﹣1，那么p，q的值分别是（）A、1，﹣2B、﹣1，﹣2、﹣12D、1，2、若一元二次方程﹣3x2+6x+=0的一个根为x1=3，则该方程的另一个根是（）A、x2=﹣1B、x2=﹣3、x2=﹣D、x2=6、已知一元二次方程x2﹣3x﹣3=0的两根为α与β，则的值为（）A、-1B、1、-2D、27、方程x2﹣2012|x|+2013=0的所有实数根之和是（）A、﹣2012B、0、2012D、20138、已知32﹣2﹣=0，n2+2n﹣3=0，其中，n为实数，则|﹣|=（）A、0B、、D、0或9、如果关于x的方程x2﹣ax+a2﹣3=0至少有一个正根，则实数a的取值范围是（）A、﹣2＜a＜2B、、D、10、设x1、x2是一元二次方程x2+x﹣3=0的两根，则x13﹣4x22+1等于（）A、-4B、8、6D、011、若α，β是方程x2﹣2x﹣2=0的两个实数根，则α2+β2的值为（）A、10B、9、8D、712、若关于x的方程x2+2x+2+3﹣2=0有两个实数根x1、x2 ，则x1（x2+x1）+ 的最小值为（）A、1B、2、D、13、若关于x的一元二次方程的两个根为x1=1，x2=2，则这个方程是（）A、x2+3x﹣2=0B、x2﹣3x+2=0、x2﹣2x+3=0D、x2+3x+2=014、若α，β是方程x2+2x﹣200=0的两个实数根，则α2+3α+β的值为（）A、200B、2003、﹣200D、40101、如果关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为x1=3，x2=1，那么这个一元二次方程是（）A、x2+3x+4=0B、x2+4x﹣3=0、x2﹣4x+3=0D、x2+3x﹣4=0二、填空题（共题；共6分）16、已知x1 ，x2是一元二次方程4x2﹣（3﹣）x﹣62=0的两个实数根，且，则________．17、已知a，b是方程x2﹣x﹣3=0的两个根，则代数式a2+b+3的值为________ ．18、等腰△AB中，B=8，若AB、A的长是关于x的方程x2﹣10x+=0的根，则的值等于________．19、从﹣4、- 、0、、4这五个数中，任取一个数作为a的值，恰好使得关于x的一元二次方程2ax2﹣6x﹣1=0有两个不相等的实数根，且使两个根都在﹣1和1之间（包括﹣1和1），则取到满足条的a值的概率为________．20、已知分式，当x=2时，分式无意义，则a=________；当a为a ＜6的一个整数时，使分式无意义的x的值共有________个．三、解答题（共3题；共1分）21、已知实数，n（＞n）是方程的两个根，求的值．22、已知x1 ，x2是方程x2﹣（﹣2）x+2+3+=0的实数根（x1 ，x2可相等）（1）证明方程的两根都小于0；（2）当实数取何值时x12+x22最大？并求出最大值．23、已知：关于x的方程x2+2x﹣=0有两个不相等的实数根．（1）求的取值范围；（2）若α，β是这个方程的两个实数根，求：的值；（3）根据（2）的结果你能得出什么结论？四、综合题（共3题；共3分）24、已知△AB的两边AB、A的长是关于x的一元二次方程x2﹣（2+3）x+2+3+2=0的两个实数根，第三边B=．(1)为何值时，△AB是以B为斜边的直角三角形？(2)为何值时，△AB是等腰三角形？并求此时△AB的周长．2、已知：关于x的一元二次方程x2﹣3（﹣1）x+2﹣3=0（＞3）．(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；(2)设方程的两个实数根分别为x1 ，x2（用含的代数式表示）；①求方程的两个实数根x1 ，x2（用含的代数式表示）；②若x1＜8﹣4x2 ，直接写出的取值范围．26、如果方程x2+px+q=0的两个根是x1 ，x2 ，那么x1+x2=﹣p，x1•x2=q，请根据以上结论，解决下列问题：(1)若p=﹣4，q=3，求方程x2+px+q=0的两根．(2)已知实数a、b满足a2﹣1a﹣=0，b2﹣1b﹣=0，求+ 的值；(3)已知关于x的方程x2+x+n=0，（n≠0），求出一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程两根的倒数．答案解析部分一、单选题1、【答案】D【考点】根与系数的关系【解析】【解答】解：∵方程x2﹣4x+1=0的两个根是x1 ，x2 ，∴x1+x2=﹣（﹣4）=4．故选D．【分析】据一元二次方程的根与系数的关系得到两根之和即可．2、【答案】B【考点】根与系数的关系，三角形三边关系【解析】【解答】解：设三角形另两边分别为a、b（a≥b），根据题意得△=（﹣6）2﹣4≥0，解得≤9，a+b=6，ab=，∵a＜b+，即a﹣b＜，∴（a﹣b）2＜2，∴（a+b）2﹣4ab＜2，即36﹣4＜2，∴＞，∴的取值范围是＜≤9．故选B．【分析】设三角形另两边分别为a、b（a≥b），先利用判别式的意义得到≤9，根据根与系数的关系得到a+b=6，ab=，由于a＜b+，则利用完全平方公式变形得到（a﹣b）2＜2，所以（a+b）2﹣4ab＜2，即36﹣4＜2，解得＞，于是可得到的取值范围是＜≤9．3、【答案】B【考点】根与系数的关系，二次函数的最值【解析】【解答】解：由方程有实根，得△≥0，即（﹣2）2﹣4（2+3+）≥0所以32+16+16≤0，所以（3+4）（+4）≤0解得﹣4≤≤﹣．又由x1+x2=﹣2，x1•x2=2+3+，得x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=（﹣2）2﹣2（2+3+）=﹣2﹣10﹣6=19﹣（+）2 ，当=﹣4时，x12+x22取最大值18．故选：B．【分析】根据x1、x2是方程x2﹣（﹣2）x+（2+3+）=0的两个实根，由△≥0即可求出的取值范围，然后根据根与系数的关系求解即可．4、【答案】B【考点】根与系数的关系【解析】【解答】解：根据题意得2+（﹣1）=﹣p，2×（﹣1）=q，所以p=﹣1，q=﹣2．故选：B．【分析】根据根与系数的关系得2+（﹣1）=﹣p，2×（﹣1）=q，然后解方程即可．、【答案】A【考点】根与系数的关系【解析】【解答】解：由根与系数的关系得3+x2=﹣=2，解得x2=﹣1．故选A．【分析】设方程的另一个解为x2 ，根据根与系数的关系得到3+x2=﹣=2，然后解一次方程即可．6、【答案】A【考点】根与系数的关系【解析】【解答】解：根据题意得α+β=3，αβ=﹣3，所以= = =﹣1．故选A．【分析】先根据根与系数的关系得到α+β=3，αβ=﹣3，再通分得到= ，然后利用整体代入的方法计算．7、【答案】B【考点】根与系数的关系【解析】【解答】解：当x＞0时，原方程化为x2﹣2012x+2013=0，方程的两根之和为2012；当x＜0时，原方程化为x2+2012x+2013=0，方程的两根之和为﹣2012，所以方程x2﹣2012|x|+2013=0的所有实数根之和是0．故选B．【分析】先根据绝对值的意义分类讨论：当x＞0时，原方程化为x2﹣2012x+2013=0；当x＜0时，原方程化为x2+2012x+2013=0，然后根据根与系数的关系分别得到两个方程的两根之和，再求所有根之和．8、【答案】D【考点】一元二次方程的解，根与系数的关系【解析】【解答】解：由32﹣2﹣=0得1=﹣1，2= ；由n2+2n﹣3=0得n1= ，n2=﹣1．= ，①当=﹣1，n= 时，原式= ；②当=﹣1，n=﹣1时，原式=0；③当= ，n= 时，原式=0；④当= ，n=﹣1时，原式= ．综上所述，=0或．故答案为0或．【分析】先分别解方程求，n的值，再把，n的值分别组合出不同的情形计算求解．9、【答案】【考点】根的判别式，根与系数的关系【解析】【解答】解：∵△=a2﹣4（a2﹣3）=12﹣3a2（1）当方程有两个相等的正根时，△=0，此时a=±2，若a=2，此时方程x2﹣2x+1=0的根x=1符合条，若a=﹣2，此时方程x2+2x+1=0的根x=﹣1不符舍去，（2）当方程有两个根时，△＞0可得﹣2＜a＜2，①若方程的两个根中只有一个正根，一个负根或零根，则有a2﹣3≤0，解可得﹣≤a≤ ，而a=﹣时不合题意，舍去．所以﹣＜a≤ 符合条，②若方程有两个正根，则，解可得a＞，综上可得，﹣＜a≤2．故选．【分析】根据方程x2﹣ax+a2﹣3=0至少有一个正根，则方程一定有两个实数根，即△≥0，关于x的方程x2﹣ax+a2﹣3=0至少有一个正根⇔（1）当方程有两个相等的正根，（2）当方程有两个不相等的根，①若方程的两个根中只有一个正根，一个负根或零根，②若方程有两个正根，结合二次方程的根的情况可求．10、【答案】A【考点】根与系数的关系【解析】【解答】解：∵x1、x2是一元二次方程x2+x﹣3=0的两根，∴x1+x2=﹣1，x1x2=﹣3，∵x13=x1x12=x1（3﹣x1）=3x1﹣x12 ，∴x13﹣4x22+1=3x1﹣x12﹣4x22+1=3x1﹣x12﹣x22﹣3x22+1=3（x1+x2）﹣（x1+x2）2+2x1x2+6，∴x13﹣4x22+1=﹣3﹣1﹣6+6=﹣4，故选：A．【分析】首先求出两个之和与两根之积，然后把x13﹣4x22+1转化为3（x1+x2）﹣（x1+x2）2+2x1x2+6，然后整体代入即可．11、【答案】【考点】根与系数的关系【解析】【解答】解：根据题意得α+β=2，αβ=﹣2，所以α2+β2=（α+β）2﹣2αβ=22﹣2×（﹣2）=8．故选．【分析】根据根与系数的关系得到α+β=2，αβ=﹣2，再利用完全平方公式变形得α2+β2=（α+β）2﹣2αβ，然后利用整体代入的方法计算．12、【答案】D【考点】根与系数的关系【解析】【解答】解：根据题意得△=42﹣4（2+3﹣2）≥0，解得≤x1+x2=﹣2，x1x2=2+3﹣2，x1（x2+x1）+ =（x2+x1）2﹣x1x2=42﹣（2+3﹣2）=32﹣3+2=3（﹣）2+ ，所以= 时，x1（x2+x1）+ 有最小值，最小值为．故选D．【分析】根据判别式的意义得到≤ ，再利用根与系数的关系得到x1+x2=﹣2，x1x2=2+3﹣2，所以x1（x2+x1）+ =（x2+x1）2﹣x1x2=32﹣3+2，利用配方法得到原式=3（﹣）2+ ，然后利用非负数的性质可判断x1（x2+x1）+ 的最小值为．13、【答案】B【考点】根与系数的关系【解析】【解答】解：两个根为x1=1，x2=2则两根的和是3，积是2．A、两根之和等于﹣3，两根之积等于﹣2，所以此选项不正确；B、两根之和等于3，两根之积等于2，所以此选项正确；、两根之和等于2，两根之积等于3，所以此选项不正确；D、两根之和等于﹣3，两根之积等于2，所以此选项不正确，故选：B．【分析】解决此题可用验算法，因为两实数根的和是1+2=3，两实数根的积是1×2=2．解题时检验两根之和是否为3及两根之积是否为2即可．14、【答案】B【考点】一元二次方程的解，根与系数的关系【解析】【解答】解：α，β是方程x2+2x﹣200=0的两个实数根，则有α+β=﹣2．α是方程x2+2x﹣200=0的根，得α2+2α﹣200=0，即：α2+2α=200．所以α2+3α+β=α2+2α+（α+β）=α2+2α﹣2=200﹣2=2003．故选B．【分析】根据一元二次方程根的定义和根与系数的关系求解则可．设x1 ，x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+=0（a≠0，a，b，为常数）的两个实数根，则x1+x2= ，x1x2= ．而α2+3α+β=α2+2α+（α+β），即可求解．1、【答案】【考点】根与系数的关系【解析】【解答】解：方程两根分别为x1=3，x2=1，则x1+x2=﹣p=3+1=4，x1x2=q=3∴p=﹣4，q=3，∴原方程为x2﹣4x+3=0．故选．【分析】由根与系数的关系求得p，q的值．二、填空题16、【答案】=1或=【考点】根与系数的关系【解析】【解答】解：∵方程有两个实数根，由韦达定理知：，∵，而由知，x1 ，x2异号．故=﹣，令x1=3，x2=﹣2，则得：，从上面两式消去，得：，即：2﹣6+=0，解之得：1=1，2=．故答案为：1或．【分析】x1 ，x2是一元二次方程4x2﹣（3﹣）x﹣62=0的两个实数根，根据根与系数的关系即可解答．17、【答案】7【考点】一元二次方程的解，根与系数的关系【解析】【解答】解：∵a是方程x2﹣x﹣3=0的根，∴a2﹣a﹣3=0，∴a2=a+3，∴a2+b+3=a+3+b+3=a+b+6，∵a，b是方程x2﹣x﹣3=0的两个根，∴a+b=1，∴a2+b+3=1+6=7．故答案为7．【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到a2﹣a﹣3=0，即a2=a+3，则a2+b+3化简为a+b+6，再根据根与系数的关系得到a+b=1，然后利用整体代入的方法计算即可．18、【答案】2或16【考点】根与系数的关系，三角形三边关系，等腰三角形的性质【解析】【解答】解：当AB=B=8，把x=8代入方程得64﹣80+=0，解得=16，此时方程为x2﹣10x+16=0，解得x1=8，x2=2；当AB=A，则AB+A=10，所以AB=A=，则=×=2．故答案为2或16．【分析】讨论：根据等腰三角形性质当AB=B=8，把x=8代入方程可得到=16，此时方程另一根为2，满足三角形三边关系；当AB=A，根据根与系数得关系得AB+A=10，所以AB=A=，所以=×=2．19、【答案】【考点】根的判别式，根与系数的关系，概率公式【解析】【解答】解：∵当a=﹣4时，原方程可化为﹣8x2﹣6x﹣1=0，解得x1=﹣，x2=﹣，符合题意；当a=﹣时，原方程可化为﹣7x2﹣6x﹣1=0，解得x1=﹣，x2=﹣，符合题意；当a=0时，原方程可化为﹣6x﹣1=0，解得x1=﹣，不符合题意；当a= 时，原方程可化为7x2﹣6x﹣1=0，解得x1=1，x2=﹣，符合题意；当a=4时，原方程可化为8x2﹣6x﹣1=0，解得x1=﹣，x2= ，符合题意．∴取到满足条的a值的概率= ．故答案为：．【分析】分别把这个数代入关于x的一元二次方程2ax2﹣6x﹣1=0，求出x的值，再根据概率公式即可得出结论．20、【答案】6；2【考点】分式有意义的条，根与系数的关系【解析】【解答】解：由题意，知当x=2时，分式无意义，∴分母=x2﹣x+a=22﹣×2+a=﹣6+a=0，∴a=6；当x2﹣x+a=0时，△=2﹣4a=2﹣4a，∵a＜6，∴△=2﹣4a＞0，故当a＜6的整数时，分式方程有两个不相等的实数根，即使分式无意义的x的值共有2个．故答案为6，2．【分析】根据分式无意义的条：分母等于零求解．三、解答题21、【答案】解：∵方程的二次项系数a=1，一次项系数b=﹣2 ，常数项=2，∴b2﹣4a=（﹣2 ）2﹣4×1×2=4，∴x=== ±1，∴= +1，n= ﹣1；∴+ ====4．【考点】根与系数的关系【解析】【分析】根据根与系数的关系求得一元二次方程的根，然后将其代入所求的代数式求值．22、【答案】（1）证明：∵△=（﹣2）2﹣4（2+3+）≥0，∴﹣4≤≤﹣，∵x1+x2=﹣2，x1x2=2+3+，∴x1+x2=﹣2＜0，x1x2=2+3+＞0，∴方程的两根都小于0；（2）解：x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=（﹣2）2﹣2（2+3+）=﹣2﹣10﹣6=﹣（+）2+19，∵﹣4≤≤﹣，∴=﹣4时，x12+x22有最大值，最大值为﹣（﹣4+）2+19=18．【考点】根的判别式，根与系数的关系【解析】【分析】（1）根据判别式的意义得到△=（﹣2）2﹣4（2+3+）≥0，解此不等式得到﹣4≤≤﹣，再由根与系数的关系得x1+x2=﹣2，x1x2=2+3+，利用的取值范围有x1+x2=﹣2＜0，x1x2=2+3+＞0，于是利用有理数的性质即可判断方程的两根都小于0；（2）利用完全平方公式得到x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=（﹣2）2﹣2（2+3+）=﹣（+）2+19，然后根据二次函数的最值问题求解．23、【答案】解：（1）△=4+4，∵方程有两个不等实根，∴△＞0，即4+4＞0∴＞﹣1（2）由根与系数关系可知α+β=﹣2，αβ=﹣，∴= ，（3）由（1）可知，＞﹣1时，的值与无关．【考点】根与系数的关系【解析】【分析】（1）由方程x2+2x﹣=0有两个不相等的实数根，可以求出△＞0，由此可求出的取值范围；（2）欲求的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可．（3）只要满足△＞0（或用的取值范围表示）的值就为一定值．四、综合题24、【答案】（1）解：根据题意得[x﹣（+1）][x﹣（+2）]=0，解得，x1=+1，x2=+2，若△AB是直角三角形，且B是斜边，那么有（+1）2+（+2）2=2 ，解得1=2，2=﹣（不合题意舍去），∴=2（2）解：①如果AB=A，△=（2+3）2﹣4（2+3+2）=0 42+12+9﹣42﹣12﹣8=1≠0，不可能是等腰三角形．②如果AB=，或者A=x1=，2﹣（2+3）×+2+3+2=02﹣7+12=0（﹣4）（﹣3）=0=4或者=3（都符合题意）=4时：x2﹣11x+30=0（x﹣）（x﹣6）=0，∴AB=，A=6，周长L=++6=16，=3时：x2﹣9x+20=0（x﹣4）（x﹣）=0，∴AB=4，A=，周长L=4++=14【考点】根与系数的关系，等腰三角形的性质，勾股定理【解析】【分析】（1）先解方程可得x1=+1，x2=+2，若△AB是直角三角形，且B是斜边，那么有（+1）2+（+2）2=2 ，易求，结合实际意义可求的值；（2）由（1）得x1=+1，x2=+2，若△AB是等腰三角形，则x1=B或x2=B，易求=4或3，再分两种情况求周长．2、【答案】（1）证明：∵x2﹣3（﹣1）x+2﹣3=0（＞3）是关于x的一元二次方程，∴△=[（﹣3（﹣1）]2﹣4（2﹣3）=2﹣6+9=（﹣3）2 ，∵＞3，∴（﹣3）2＞0，即△＞0，∴方程总有两个不相等的实数根（2）①由求根公式得x= ，∴x=1，或x= ，∵＞3，∴＞3，当x1＜x2 ，∴x1=1，x2=2﹣；当x1＞x2 ，这种情况不存在；∴x1=1，x2=2﹣；②∵x1＜8﹣4x2 ，∴＜8﹣4（2﹣），解得：3＜＜2 ．【考点】根的判别式，根与系数的关系【解析】【分析】（1）由于＞3，此方程为关于x的一元二次方程，再计算出判别式△=（﹣3）2 ，然后根据判别式的意义即可得到结论；（2）②由求根公式得到x=1，或x= ，即可得到结论；②根据x1＜8﹣4x2 ，即可得到结果．26、【答案】（1）解：当p=﹣4，q=3，则方程为x2﹣4x+3=0，解得：x1=3，x2=1（2）解：∵a、b满足a2﹣1a﹣=0，b2﹣1b﹣=0，∴a、b是x2﹣1x ﹣=0的解，当a≠b时，a+b=1，a﹣b=﹣，+ = = = =﹣47；当a=b时，原式=2（3）解：设方程x2+x+n=0，（n≠0），的两个根分别是x1 ，x2 ，则+ = =﹣，• = = ，则方程x2+ x+ =0的两个根分别是已知方程两根的倒数【考点】根与系数的关系【解析】【分析】（1）根据p=﹣4，q=3，得出方程x2﹣4x+3=0，再求解即可；（2）根据a、b满足a2﹣1a﹣=0，b2﹣1b﹣=0，得出a，b 是x2﹣1x﹣=0的解，求出a+b和ab的值，即可求出+ 的值；（3）先设方程x2+x+n=0，（n≠0）的两个根分别是x1 ，x2 ，得出+ =﹣，• = ，再根据这个一元二次方程的两个根分别是已知方程两根的倒数，即可求出答案．。