上海市黄浦区敬业中学2014-2015学年高一上学期期中考试数学试题 Word版含解析

黄浦区敬业中学高一上学期数学期中试卷
一、选择题
1、用列举法表示：大于0且不超过6的全体偶数的集合A =_________.{}2,4,6 解析：{}{}=2,06,2,4,6A x x k x k Z =<≤∈=.
2、集合{}1A =-,集合{}
230B x x x a =-+=且A B Ü,则实数a =_________.4- 解析：由A B Ü，得1B -∈，所以4a =-.
3、写出命题“2x >”的一个充分非必要条件__________.3x >
解析：由题意得，只需找一个2x >的一个真子集即可，则3x >，答案不唯一. 4、不等式2210x x --<的解集为__________.R 解析：2210x x -+>，21870∆=-=-<，得x R ∈.
5、已知函数()22f x ax x =+是奇函数，则实数a =_________.0 解析：()()()
2222220f x f x ax x ax x ax +-=++-==恒成立，得0a =. 6
、函数y =
_________.)
+∞
解析：函数的定义域为[)1,+∞
，又函数单调递增，则函数的值域为)
+∞.
7、若函数()22f x x a x b =++在区间(],4-∞上为减函数，则实数a 的取值范围是
________.(],16-∞-.
解析：由题意可知函数的对称轴44
a
x =-≥，即16a ≤-.
8、函数11212y x x x ⎛⎫
=+
> ⎪-⎝⎭
的最小值是
解析：11111121221222
y x x x x ⎛
⎫=+
=-++≥= ⎪--⎝⎭. 9、定义在()2,2-上的偶函数()f x ，当0x ≥时，()f x 是减函数，若()()1f a f a -<，则实数a 的取值范围_________.
解析：由题意得212
221a a a a
⎧-<-<⎪-<<⎨⎪<-⎩
，解得：11,2a ⎛
⎫∈- ⎪⎝⎭.
10、已知函数(25)y f x =+的定义域为[]2,2-，则函数()y f x =的定义域为_______.[]1,9
解析：[][]2,2,251,9x x ∈-+∈，得()y f x =的定义域为[]1,9.
11、某火车驶出A 站5千米后，以60千米/小时的速度行驶了50分钟，则在这段时间内火
车与A 站的距离S （千米）与t （小时）之间的函数解析式是____________.5560,0,6S t t ⎡⎤
=+∈⎢⎥⎣⎦
解析：由问题的背景可得：50分钟=56小时，则5560,0,6S t t ⎡⎤
=+∈⎢⎥⎣⎦
.
12、函数()()2
321f x ax ax x
R =-+∈在()1,1-内有一个零点，则实数a 的取值范围是___________.
解析:（1）当24120a a ∆=-=，即30a or =，对称轴()1
1,13
x =∈-成立.但0a =时，不满足，
舍去.
（2）当0∆≠，要满足题意，即()()()()115110f f a a -=++<，即11,5a ⎛
⎫∈-- ⎪⎝
⎭.
综上：{}11,35a ⎛
⎫∈-- ⎪⎝
⎭.
13、设[]x 表示不大于x 的最大整数，则方程[]2440510x x -+=的实数解的个数是___________.
解析：由[]x 表示不大于x 的最大整数，即[]1x x x -<≤，又[]2151
1040
x x =+
，即215111040x x x
-<+≤，解得：371317,,2222x ⎡⎫
⎛⎤
∈⎪ ⎢⎥⎣⎭
⎝⎦
，所以[]1,2,3,6,7,8x =，代入，均不成立，则方程解得个数为0. 二、选择题
14、集合(){},0,,x y xy x R y R ≥∈∈是指（ ）D
A .第一象限内的所有点；
B .第三象限内的所有点；
C .第一象限和第三象限内的所有点；
D .不在第二象限、第四象限内的所有点. 解析：由题意可知,x y 同号，或者是至少有一个为0，则答案选D .
15、若03x ≤≤，则243y x x =-+ （ ）
A .有最小值0，最大值3
B .有最小值1-，最大值0
C .有最小值1-，最大值1
D .有最小值1-，最大值3
解析：()2
24321y x x x =-+=--，函数在[]0,2x ∈单调递减，在[]2,3x ∈单调递增，所以()()min 21f x f ==-，()()max 03f x f ==.答案选D. 16、如果0a b <<，那么下列不等式中正确的是（ ）
A .
B .22a b <
C .33a b <
D .2ab b >
解析：由不等式的性质知：C 为正确答案.
17、下列四个命题： （1）函数1
y x x
=+
的最小值是2； （2）函数22
1
y x x =+的最小值是2； （3）函数2
y =
的最小值是2；
（4）函数()4
230y x x x
=--
>的最大值是2- 其中错误的命题个数是（ ）
A .2
B .4
C .3
D .1 解析：（1）1
y x x
=+的值域为(][),22,-∞-+∞，无最小值，故错误；
（2）221
y x x
=+
的值域为[)2,+∞，最小值为2，正确;
（3）2
2y =
==
，即21x =-，不成
立，故错误；
（4）44232322y x x x x ⎛⎫
=--
=-+≤-- ⎪⎝
⎭
. 答案选A .
三、解答题
18、现有命题“矩形的两条对角线长度相等”，写出它的逆命题与逆否命题，并说明其真或假的理由.
解析：逆命题“若四边形的对角线相等，则该四边形是矩形”假命题，反例：等腰梯形 逆否命题“若四边形的对角线不相等，则该四边形不是矩形”真命题.
19、若函数y R ，求实数a 的取值范围. 解析：由题意得：2690ax ax -+≥对一切x R ∈恒成立. （1）当0a =时，即90≥恒成立.
（2）当0a ≠时，则()2
6360
a a a >⎧⎪⎨∆=--≤⎪⎩，解得(]0,1a ∈. 综上：[]0,1a ∈.
20、已知全集U R =，集合{}10A x x a =-+≤，集合{}20B x x a =-->，集合40x C x x ⎧-⎫
=≥⎨⎬⎩⎭
，若()U C A
B C ⊆,求实数a 的取值范围.
解析：由题意得：(],1A a =-∞-，()2,B a =++∞，()[),04,C =-∞+∞.
（1）若()U C A B =∅，即A B R =,得：21a a +≤-，不成立. （2）若()U C A
B ≠∅，所以()(]1,2U
C A
B a a =-+，得14a -≥或20a +<，即
52a ora ≥<-.
得()[),25,a ∈-∞-+∞.
21、设a 为实数，函数()21,f x x x a x R =+-+∈. （1）讨论()f x 的奇偶性； （2）求()f x 的最小值.
解析：()21f x x x a -=+++，()()f x f x x a x a --=--+，只有当0a =时，此时()f x 为偶函数，()()2220f x f x x x a x a +-=+-+++>，所以()f x 不可能是奇函数，所以 当0a =时，()f x 为偶函数；当0a ≠时，()f x 为非奇非偶函数.
（2）当x a ≥时，有()2
2
13124f x x x a x a ⎛
⎫=+-+=+-+ ⎪⎝
⎭，对称轴为12x =-，若12a ≤-，
则()min 1324f x f a ⎛⎫
=-=-+ ⎪⎝⎭
；若12a >-，则()()2min 1f x f a a ==+；
当x a <时，有()2
2
13124f x x x a x a ⎛
⎫=-++=-++ ⎪⎝
⎭，对称轴为12x =，若12a ≥，则
()m i n 1324f x f a ⎛⎫
==+ ⎪⎝⎭
；若12a <时，则()()2min 1f x f a a ==+.
综上:当11,22a ⎛⎫
∈- ⎪⎝⎭时， ()2min 1f x a =+；当12a ≥时，()min 34f x a =+；当12a ≤-时，
()min 3
4
f x a =-+.。