因式分解的概念课件
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因式分解ppt课件
（华师大版）八年级 上
第12章
整式的乘除
12.5 因式分解
内容总览
目录
01
教学目标
02
新知导入
03
新知讲解
04
课堂练习
05
课堂总结
06
作业布置
07
教学目标
教学目标：
1、理解因式分解的意义和概念及其与整式乘法的区别和联系；
2、理解并掌握提公因式法并能熟练地运用提公因式法分解因式；
3、认识平方差公式、完全平方公式的特点，会运用这两种公式
b
=（a ±b）2
完全平方公式:
完全平方式的特点：
1.必须是三项式（或可以看成三项的）；
2.有两个同号的数或式的平方；
3.中间有两底数之积的±2倍.
简记口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央.
凡具备这些特点的三项式，就是完全平方式，将它写成完全平方形式，便
实现了因式分解.
a2 ± 2 . a . b + b2 = (a ± b)²
原式=(2×1.5-2)×(0.5-2)=-1.5
作业布置
【综合拓展类作业】
3.在一块边长为a=6.6米的正方形空地的四角均留出一块边长为
b=1.7米的正方形空地修建花坛，其余的地方种植草坪.问草坪的面
积有多大？
解：由题意可知，草坪的面积是边长为a米
的正方形的面积减去四个边长为b米的小正
方形的面积，即a2-4b2 =(a+2b)(a-2b)
2
2
∴ab +a b=ab(a+b)=− ；
，
（2）∵(a+b)2=a2+2ab+b2，
第12章
整式的乘除
12.5 因式分解
内容总览
目录
01
教学目标
02
新知导入
03
新知讲解
04
课堂练习
05
课堂总结
06
作业布置
07
教学目标
教学目标：
1、理解因式分解的意义和概念及其与整式乘法的区别和联系；
2、理解并掌握提公因式法并能熟练地运用提公因式法分解因式；
3、认识平方差公式、完全平方公式的特点，会运用这两种公式
b
=（a ±b）2
完全平方公式:
完全平方式的特点：
1.必须是三项式（或可以看成三项的）；
2.有两个同号的数或式的平方；
3.中间有两底数之积的±2倍.
简记口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央.
凡具备这些特点的三项式，就是完全平方式，将它写成完全平方形式，便
实现了因式分解.
a2 ± 2 . a . b + b2 = (a ± b)²
原式=(2×1.5-2)×(0.5-2)=-1.5
作业布置
【综合拓展类作业】
3.在一块边长为a=6.6米的正方形空地的四角均留出一块边长为
b=1.7米的正方形空地修建花坛，其余的地方种植草坪.问草坪的面
积有多大？
解：由题意可知，草坪的面积是边长为a米
的正方形的面积减去四个边长为b米的小正
方形的面积，即a2-4b2 =(a+2b)(a-2b)
2
2
∴ab +a b=ab(a+b)=− ；
，
（2）∵(a+b)2=a2+2ab+b2，
苏科版七年级数学下册：96因式分解二课件
分组分解法
分组分解法是将多项式中的项分成若干组，然后对每组进行因式分解的方法。
例如，对于多项式 $4x^2 - 4xy + y^2$，可以将其分为两组 $4x^2 - 4xy$ 和 $y^2$，然后分别进行因式分解得到 $(2x-y)^2$。
十字相乘法
01
十字相乘法是用于将二次多项式 进行因式分解的一种方法，通过 将二次项和常数项的系数进行交 叉相乘，得到一次项的系数。
几个整式的积的形式，便于解决相关问题。
03 因式分解的方法
提公因式法
提公因式法是因式分解中最常用的方 法之一，其基本步骤是先找到多项式 中的公因式，然后将其提取出来。
例如，对于多项式 $ax^2 + bx + c$， 其中公因式为 $a$，提取公因式后得到 $a(x^2 + frac{b}{a}x + frac{c}{a})$。
形式。
公式法
公式法是因式分解的另一种常用方 法，通过利用平方差公式或完全平 方公式，将多项式进行因式分解。
因式分解的应用
通过因式分解，可以解决一些实际 问题，如计算面积、体积等几何问 题，以及解决一些代数问题。
下节课预告
分组分解法的应用
通过分组分解法，我们可以解决一些 复杂的代数问题，如计算一些复杂的 数学表达式等。
苏科版七年级数学下 册96因式分解二课件
目录
CONTENTS
• 引言 • 因式分解的基本概念 • 因式分解的方法 • 因式分解的应用 • 练习与巩固 • 总结与回顾
01 引言
课程目标
掌握因式分解的基本 概念和原理。
培养学生的数学思维 和逻辑推理能力。
学会应用因式分解的 方法解决实际问题。
14.3.1因式分解(提公因式法)八年级数学上册课件(人教版)
拓展训练
人教版数学八年级上册
3.△ABC的三边长分别为a、b、c，且a＋2ab＝c＋2bc，请 判断△ABC是等边三角形、等腰三角形还是直角三角形？并 说明理由． 解：整理a＋2ab＝c＋2bc得，a＋2ab-c-2bc＝0，
(a-c)＋2b(a-c)＝0，(a-c)(1＋2b)＝0，
∴a-c＝0或1＋2b＝0，
解：原式=-（a2-ab+ac）=-2a（a-2b+3c） （6）-2x3+4x2-2x
解：原式=-（2x3-4x2+2x）=-2x（x2-2x+1）
人教版数学八年级上册
拓展训练
人教版数学八年级上册
1.已知m-4n=-2，mn=5，求-m3n+8m2n2-16mn3的值. 解：-m3n+8m2n2-16mn3=-mn(m2-8mn+16n2)=-mn(m-4n)2 .
典例精析
例1 把8a3b2+12ab3c分解因式.
分析：找公因式
1.系数的最大公约数 4
2.找相同字母
ab
3.相同字母的最低指数 a1b2
公因式为：4ab2
解：8a3b2+12ab3c =4ab2•2a2+4ab2•3bc =4ab2(2a2+3bc)
人教版数学八年级上册
典例精析
人教版数学八年级上册
复习引入
人教版数学八年级上册
单项式与多项式相乘的法则：单项式与多项式相乘，就是 用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.
p(a+b+c)=pa+pb+pc
多项式与多项式相乘的法则: 多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一个 多项式的每一项,再把所得的积相加.
《因式分解》ppt课件人教版初中数学1
第5课时 一元二次方程的解法(4) 第二十一章 一元二次方程
(2)4(2x－1) ＝8x－4. 2 第二十一章 一元二次方程
第5课时 一元二次方程的解法(4) 第二十一章 一元二次方程 第5课时 一元二次方程的解法(4) 第二十一章 一元二次方程 第5课时 一元二次方程的解法(4)
1 第二十一章 一元二次方程 x ＝1，x ＝ 1 2 第二十一章 一元二次方程 2 第5课时 一元二次方程的解法(4)
第二十一章 一元二次
方程
第5课时 一元二次方程的解法 (4)
——因式分解法
学习目标
1.了解因式分解法的概念． 2．掌握因式分解法解一元二次方程的步骤，体会“降次” 的数学思想方法.
知识要点
知识点一：回顾因式分解的概念
(1)提公因式法 ma＋mb＝ m(a＋b) ； (a＋b)m＋(a＋b)n＝ (a＋b)(m＋n)． (2)公式法 完全平方公式：a2±2ab＋b2＝ (a±b)2； 平方差公式：a2－b2＝ (a＋b)(a－b).
7.【例4】三角形的两边长分别为3和6，第三边长为方程x2－ 7x＋10＝0的一个根，求这个三角形的周长．
解：解方程x2－7x＋10＝0，可化为(x－2)(x－5)＝0，得x＝2 或5， ∴第三边长为2或5.
∵边长为2,3,6不能构成三角形， 而3,5,6能构成三角形， ∴三角形的周长为3＋5＋6＝14.
对点训练
(a＋b)(m＋n)
第5课时 一元二次方程的解法(4)
第5课时 一元二次方程的解法(4)
第二十一章 一元二次方程
1.把下列各式进行因式分解： 第5课时 一元二次方程的解法(4)
第二十一章 一元二次方程
第5课时 一元二次方程的解法(4)
(2)4(2x－1) ＝8x－4. 2 第二十一章 一元二次方程
第5课时 一元二次方程的解法(4) 第二十一章 一元二次方程 第5课时 一元二次方程的解法(4) 第二十一章 一元二次方程 第5课时 一元二次方程的解法(4)
1 第二十一章 一元二次方程 x ＝1，x ＝ 1 2 第二十一章 一元二次方程 2 第5课时 一元二次方程的解法(4)
第二十一章 一元二次
方程
第5课时 一元二次方程的解法 (4)
——因式分解法
学习目标
1.了解因式分解法的概念． 2．掌握因式分解法解一元二次方程的步骤，体会“降次” 的数学思想方法.
知识要点
知识点一：回顾因式分解的概念
(1)提公因式法 ma＋mb＝ m(a＋b) ； (a＋b)m＋(a＋b)n＝ (a＋b)(m＋n)． (2)公式法 完全平方公式：a2±2ab＋b2＝ (a±b)2； 平方差公式：a2－b2＝ (a＋b)(a－b).
7.【例4】三角形的两边长分别为3和6，第三边长为方程x2－ 7x＋10＝0的一个根，求这个三角形的周长．
解：解方程x2－7x＋10＝0，可化为(x－2)(x－5)＝0，得x＝2 或5， ∴第三边长为2或5.
∵边长为2,3,6不能构成三角形， 而3,5,6能构成三角形， ∴三角形的周长为3＋5＋6＝14.
对点训练
(a＋b)(m＋n)
第5课时 一元二次方程的解法(4)
第5课时 一元二次方程的解法(4)
第二十一章 一元二次方程
1.把下列各式进行因式分解： 第5课时 一元二次方程的解法(4)
第二十一章 一元二次方程
第5课时 一元二次方程的解法(4)
课件《因式分解》课件PPT_人教版1
x=
（b2-4ac≥0）
( x －4 ) 2 － ( 5 － 2x )2=0.
5 ， x2=5.
导入新知
1. 解一元二次方程的方法有哪些？
直接开平方法 x2=a (a≥0)
配方法
(x+m)2=n (n≥0)
公式法
x= b b2 4ac（b2-4ac≥0）
2a
2. 什么叫因式分解?
把一个多项式分解成几个整式乘积的形式叫做因式 分解，也叫把这个多项式分解因式.
(4)移项，得 y2－2y－15＝0.
a b c (∵2ax＝∵＋31，)(b2＝＝x－－314，，)=c0＝. －＝1，－4， ＝－1，
②(x－1)2＝3；
把方程左边因式分解，
y y x①b=2x－∴2－4ax3c＝x=＋(－1－＝100)；－（2－b240-=41±a0c0≥0）－24×2－3 4×3×－1＝2±3
能力提升题
我们已经学习了一元二次方程的四种解法：直 接开平方法、配方法、公式法和因式分解法．请从 以下一元二次方程中任选一个，并选择你认为适当 的方法解这个方程．
降次，化为两个一次方程
x 0 或 10 4.9x 0
解两个一次方程，得出原方程的根
x1 0,
100 x2 49 2.04
这种解法是不是很简单？
探究新知
【思考】以上解方程 10x-4.9x2=0 的方法是如何使二次方 程降为一次的？
x(10-4.9x)=0 ①
x=0或10-4.9x=0 ②
（2）x(x+4)=8x+12. 解：x2-4x-12=0，
(x+1)2=-1.
(x-2)2=16.
此方程无解.
x1=6, x2=-2.
因式分解(十字相乘)课件
探索因式分解在其他学科中的应用， 如物理、化学等。
感谢您的观看
THANKS
十字相乘法是一种用于因式分解的数学方法，通过将一个多项式分解为两个因式的 乘积，从而简化问题。
它基于二次多项式的根与系数之间的关系，通过构造一个交叉相乘的方程组来找到 因式。
这种方法在代数、方程求解和数学竞赛等领域有广泛应用。
十字相乘法的应用
01
02
03
04
解决一元二次方程
通过十字相乘法，可以将一元 二次方程转化为两个一次方程
通过实例分析和练习，掌握十 字相乘法的运用。
结合实际问题和数学模型，加 深对因式分解的理解和应用。
课程安排
介绍因式分解的概念和意义 。
讲解因式分解的基本方法和 步骤。
02
01
重点介绍十字相乘法的原理
和应用。
03
通过实例演示和练习，巩固 所学知识。
04
05
总结课程重点和难点，提出 学习建议。
02
因式分解的基本概念
因式分解的步骤
总结词
因式分解通常按照一定的步骤进行。
详细描述
因式分解通常按照以下步骤进行：首先观察多项式的各项，尝试将其转化为整式的积的形式；然后提取公因式； 最后利用公式法或分组法进行因式分解。在每一步中，都需要仔细分析多项式的各项，并灵活运用数学规则和技 巧。
03
十字相乘法
什么是十字相乘法
因式分解(十字相乘)ppt 课件
目录 CONTENT
• 引言 • 因式分解的基本概念 • 十字相乘法 • 因式分解的实例解析 • 练习与巩固 • 总结与回顾
01
引言
课程目标
掌握因式分解的基本 原理和方法。
因式分解ppt课件
因式分解
根据左面的算式填空: (1) 3x2-3x=_______ (2) m2-16=__________ (3) y2-6y+9=______ (4) ma+mb-mc=
归纳小结
想一想 因式分解与整式乘法有什么关系？
整式积的形式 整式乘法
整式乘法 因式分解
互逆运算
多项式 因式分解
典例精析
例1 若多项式 ax+B可分解为a(x+y)，则B等于( )
第四章 因式分解
第一节 因式分解
温故知新
一、用简便方法计算
（1）66×42- 42×6
（2）16.9× 1 +15.1× 1
8
8
探索一：因式分解的概念
993-99能被100整除吗？
乘法对加法分配律Βιβλιοθήκη 逆用解：993-99=99×992-99×1 =99×(992-1) =99×9800 =99×100×98
8
8
5.若多项式2x2+mx+n分解因式的结果为(2x-2)(x+3) 求m，n的值。
能力提升
6:仔细阅读下面的例题,并解答问题
例题:已知二次三项式x2-4x+m有一个因式为x十3，求另
一个因式及m的值
解:设另一个因式为x+n,则x2-4x+m=(x+3)(x+n)
即:x2-4x+m=x2+(n+3)x+3n.
在这里，解决问题的关键是把 一个数式化成几个数的积的形式。
所以，993-99能被100整除. 想一想: 993-99还能被哪些整数整除?
探索一：因式分解的概念
议一议 你能尝试把
因式分解(十字相乘)课件
提取公因式
将每一项的公因式提取出来， 将原多项式变成各项公因式的 乘积。
配方法
通过配方法，将不能直接提取 公因式的多项式进行因式分解。
分组分解
如果多项式中含有四个以上的 项，我们可以通过分组的方式 来进行因式分解。
常见的因式分解公式
1 平方差公式
a² - b² = (a + b)(a - b)
2 完全平方公式
因式分解(十字相乘)ppt课 件
因式分解是数学中重要的概念之一，它能够帮助我们解决各种代数问题，本 课程将详细介绍因式分解的定义、基本方法、常见公式和解题技巧。
因式分解的概念和定义
因式分解是将一个多项式拆分成多个较简单的乘积的过程，通过因式分解， 我们可以更好地理解一个多项式的结构和性质。
因式分解的基本方法和步骤
ห้องสมุดไป่ตู้
3 三项平方差公式
a² + 2ab + b² = (a + b)²
a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)
应用因式分解解决问题的例题
1
例题一
利用因式分解，求解二次方程2x² + x - 6 = 0的解。
2
例题二
利用因式分解，化简表达式(4x + 3)(2x - 5) + 7x。
总结和提醒
因式分解是解决代数问题的重要工具，通过学习和掌握因式分解的方法和技巧，我们可以更加轻松地解决各种 数学难题。
3
例题三
应用因式分解，计算多边形的面积。
因式分解的技巧和窍门
在进行因式分解时，需要灵活运用一些技巧和窍门，如提取公因式时寻找最大公约数，或使用配方法时查找合 适的形式进行配对。
因式分解(完全平方公式)课件
公式
$x^2+4x+4=(x+2)^2$
解析
这是一个完全平方公式，其中$a=x$，$b=2$，$c=2$。将$a$和$b$的平方和 加上$2ab$得到$(x+2)^2$。
实例二
公式
$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$
解析
这是一个完全平方公式，其中$a=x$，$b=y$，$c=y$。将$a$和$b$的平方和加上$2ab$得到 $(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$。
完成因式分解
如果多项式可以被完全分解为 几个整式的积，则因式分解完
成。
03
完全平方公式的概念和形 式
完全平方公式的定义
完全平方公式是指一个多项式等于一 个平方数与另一个平方数的乘积。
完全平方公式通常表示为 a^2+2ab+b^2或a^2-2ab+b^2，其 中a和b是实数。
完全平方公式的形式
完全平方公式可以表示为(a+b)^2或(a-b)^2，其中a和b是任意实数。 展开后得到a^2+2ab+b^2或a^2-2ab+b^2。
实例三
公式
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
解析
这是一个完全平方公式，其中$a=a$，$b=b$，$c=b$。将$a$和$b$的平方和加上$2ab$得到 $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$。
05
因式分解(完全平方公式) 的练习题
练习题一：将下列多项式因式分解
题目1
$x^2 - 4x + 4$
应用在数学问题中
因式分解是解决某些数学 问题的重要方法，如解方 程、求值等。
$x^2+4x+4=(x+2)^2$
解析
这是一个完全平方公式，其中$a=x$，$b=2$，$c=2$。将$a$和$b$的平方和 加上$2ab$得到$(x+2)^2$。
实例二
公式
$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$
解析
这是一个完全平方公式，其中$a=x$，$b=y$，$c=y$。将$a$和$b$的平方和加上$2ab$得到 $(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$。
完成因式分解
如果多项式可以被完全分解为 几个整式的积，则因式分解完
成。
03
完全平方公式的概念和形 式
完全平方公式的定义
完全平方公式是指一个多项式等于一 个平方数与另一个平方数的乘积。
完全平方公式通常表示为 a^2+2ab+b^2或a^2-2ab+b^2，其 中a和b是实数。
完全平方公式的形式
完全平方公式可以表示为(a+b)^2或(a-b)^2，其中a和b是任意实数。 展开后得到a^2+2ab+b^2或a^2-2ab+b^2。
实例三
公式
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
解析
这是一个完全平方公式，其中$a=a$，$b=b$，$c=b$。将$a$和$b$的平方和加上$2ab$得到 $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$。
05
因式分解(完全平方公式) 的练习题
练习题一：将下列多项式因式分解
题目1
$x^2 - 4x + 4$
应用在数学问题中
因式分解是解决某些数学 问题的重要方法，如解方 程、求值等。
因式分解的概念PPT
宽都是８m，长分别是55.5m，24.4m，20.1m，那么这 些绿化带的面积之和是________
8
55.5 24.4 20.1
（3）填空x2-8x+m=(x-4)(
),且m=______
你知道因式分解的定义吗?
你会判别哪些代数式的变形是因式分解吗? 你知道因式分解与整式的乘法的关系吗? 你会验证因式分解是否正确吗? 你会利用因式分解快速解决某些问题吗?
a2-b2=(a+b)(a-b) a2+2ab+b2 =(a+b)2 am+bm =m(a+b)
整式乘法
因式分解
一般地，把一个多项式转化成几个
整式的积的形式，叫做因式分解，有时
我们也把这一过程叫做分解因式。
下列代数式从左到右的变形是因式分解吗？
是 a a ( a 1) 2 （2）( a 3)( a 3) a 9 不是 不是 （3）4 x 2 4 x 1 (2 x 1) 2
1.请叙述因式分解的定义 2.说说因式分解与整式的乘法的关系 3.检验下列因式分解是否正确： (1) x2y-xy2=xy(x-y)； (2) 2x2-1=(2x+1)(2x-1)； (3) x2+3x+2=(x+1)(x+2). 4.计算下列各题，并说明你的算法： (1)872+87×13 (2)1012-992
做一做
你能否先写出整式相乘的两个例子， 你能由此得到相应的两个多项式的因式 分解吗？把结果与你的同伴交流。
（1）∵3a(a+4) =3a2+12a
∴ 3a2+12a = 3a ( )( a ＋4
（2）∵ (a+3)2=a2+6a+9 ∴a2+6a+9 = ( )( a ＋ 3＋3 a） ＋2 3 （ a
因式分解
二、翻折 指把一个图形按某一直线翻折180 指把一个图形按某一直线翻折180度后所 180度后所 形成的新的图形的变化。 形成的新的图形的变化。关于翻折还有二个 基础知识点： 基础知识点： 一个图形沿一条直线翻折， 1、一个图形沿一条直线翻折，如果直线 一、平移 两旁的部分能够互相重合， 两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫 做轴对称图形， 在平面内，将一个图形沿某个 做轴对称图形，这条直线就叫做这个图形的 对称轴。 方向移动一定的距离，这样的图形 对称轴。
整式的概念
•
单项式和多项式统称为整式。 单项式和多项式统称为整式。 代数式中的一种 有理式.不含除法运算或分数,以及虽有除法运算及分数, 有理式.不含除法运算或分数,以及虽有除法运算及分数,但除 式或分母中不含变数者，则称为整式。 式或分母中不含变数者，则称为整式。整式可以分为定义和 运算，定义又可以分为单项式和多项式， 运算，定义又可以分为单项式和多项式，运算又可以分为加 减和乘除。 加减包括合并同类项，乘除包括基本运算、 减和乘除。 加减包括合并同类项，乘除包括基本运算、法则 和公式，基本运算又可以分为幂的运算性质， 和公式，基本运算又可以分为幂的运算性质，法则可以分为 整式、除法，公式可以分为乘法公式、 整式、除法，公式可以分为乘法公式、零指数幂和负整数指 数幂。 数幂。
因式分解
概念： 概念：
因式分解(分解因式) 因式分解(分解因式) ，把一个多项 式化为几个最简整式的积的形式， 式化为几个最简整式的积的形式，这种变形叫 做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式。 做把这个多项式因式分解，也叫作分解因因式分解没有普遍的方法，初中 数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法。 数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法。 而在竞赛上，又有拆项和添减项法， 而在竞赛上，又有拆项和添减项法，分组分 解法和十字相乘法，待定系数法， 解法和十字相乘法，待定系数法，双十字相 乘法，对称多项式，轮换对称多项式法， 乘法，对称多项式，轮换对称多项式法，余 式定理法，求根公式法，换元法，长除法， 式定理法，求根公式法，换元法，长除法， 短除法，除法等。 短除法，除法等。
数与式第2课时整式与因式分解(共32张PPT)
分割与拼接
在解决几何问题时，有时需要通过因式分解将图形分割或拼接成易于处理的形式 。
04
整式与因式分解的练习题
基础练习题
基础题目1
请将下列多项式进行因 式分解：$x^2 - 4$
基础题目2
请计算：$frac{2x + 1}{x - 3} times frac{3x
- 9}{2x - 4}$
基础题目3
总结词
提公因式法是因式分解中最基本的方法，通过提取多项式中的公 因式，将多项式化为几个整式的积。
详细描述
提公因式法的关键是找到多项式中的公因式，通常是最简公分母 。提取公因式后，原多项式化为几个整式的积，便于进一步因式 分解或简化。
公式法
总结词
公式法是利用完全平方公式、平 方差公式等对多项式进行因式分 解的方法。
b}$
提高题目3
请化简：$frac{a^2 - 2ab + b^2}{a^2 - b^2} div
frac{a^2 + 2ab + b^2}{a^2 + b^2}$
提高题目4
请解方程：$x^2 - 4x - 3 = 0$
综合练习题
01
02
03
04
综合题目1
综合题目2
请计算：$frac{a^3 - a}{a^2 a} + frac{b^3 - b}{b^2 - b}$
整式的分类
按项数分类
单项式和多项式。
按次数分类
零次式、一次式、二次式、三次式等。
按系数分类
正整式、负整式和零整式。
整式的性质
整式的乘法满足交换律 、结合律和分配律。
整式的除法可以转化为 乘法运算。
整式的幂运算满足指数 律和乘法定理。
在解决几何问题时，有时需要通过因式分解将图形分割或拼接成易于处理的形式 。
04
整式与因式分解的练习题
基础练习题
基础题目1
请将下列多项式进行因 式分解：$x^2 - 4$
基础题目2
请计算：$frac{2x + 1}{x - 3} times frac{3x
- 9}{2x - 4}$
基础题目3
总结词
提公因式法是因式分解中最基本的方法，通过提取多项式中的公 因式，将多项式化为几个整式的积。
详细描述
提公因式法的关键是找到多项式中的公因式，通常是最简公分母 。提取公因式后，原多项式化为几个整式的积，便于进一步因式 分解或简化。
公式法
总结词
公式法是利用完全平方公式、平 方差公式等对多项式进行因式分 解的方法。
b}$
提高题目3
请化简：$frac{a^2 - 2ab + b^2}{a^2 - b^2} div
frac{a^2 + 2ab + b^2}{a^2 + b^2}$
提高题目4
请解方程：$x^2 - 4x - 3 = 0$
综合练习题
01
02
03
04
综合题目1
综合题目2
请计算：$frac{a^3 - a}{a^2 a} + frac{b^3 - b}{b^2 - b}$
整式的分类
按项数分类
单项式和多项式。
按次数分类
零次式、一次式、二次式、三次式等。
按系数分类
正整式、负整式和零整式。
整式的性质
整式的乘法满足交换律 、结合律和分配律。
整式的除法可以转化为 乘法运算。
整式的幂运算满足指数 律和乘法定理。
人教版《因式分解》(完整版)课件
（2）3mx 6my；
（3） 8m2n 2mn ；
（4）12xyz 9x2 y2 ；
（5） 2a( y z) 3b(z y) ； （6）p(a2 b2) q(a2 b2) ．
人教版《因式分解》教学实用课件（P PT优秀 课件）
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强化训练
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例题解析
说出下列多项式各项的公因式： (1)ma + mb ； （m）
(2)4kx－ 8ky ； （4k ）
(3)5y3+20y2 ；
（5 y 2）
(4)a2b－2ab2+ab . （ab）
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(3) (5a-1)2=25a2-10a+1 ； （ 整式乘法 ）
(4) x2+4x+4=(x+2)2.
（ 因式分解 ）
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提公因式法
怎样分解因式: pa pb pc ？
公因式：多项式中各项都有的因式，叫做这个多 项式的公因式．
3.什么是提公因式法？用提公因式法分解因式时 要注意什么问题？
人教版《因式分解》教学实用课件（P PT优秀 课件）
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布置作业
教科书第119页习题14.3第1题．
人教版《因式分解》教学实用课件（P PT优秀 课件）
由 p(a b c) pa pb pc ，可得 pa pb pc p(a b c)
北师大版八年级下册数学《提公因式法》因式分解PPT教学课件
(3)8a3b2－12ab3c＋ab；(4)－24x3＋12x2－28x.
(3)8a3b2－12ab3c＋ab
(4)－24x3＋12x2－28x
＝ab·8a2b－ab·12b2c＋ab·1
＝－( 24x3－12x2＋28x)
＝ab(8a2b－12b2c＋l)；
＝－(4x·6x2－4x·3x＋4x·7)
第四章 因式分解
提公因式法
知识回顾
1. 因式分解的概念
把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这
个多项式分解因式 .
2. 整式乘法与分解因式之间的关系.
互为逆运算
获取新知
1.多项式ma+mb+mc有哪几项？
ma, mb, mc
2.每一项的因式都分别有哪些？
依次为m, a和m, b和m, c
－
1
2
时此式的值．
解：x(x＋y)(x－y)－x(x＋y)2
＝x(x＋y)[(x－y)－(x＋y)]
＝－2xy(x＋y)．
1
2
当x＋y＝1，xy＝－ 时，
1
原式＝－2×(－
2
)×1＝1.
随堂练习
1．多项式a(m－2)＋(m－2)分解因式等于( B
)
A．2(m－2)
B．(m－2)(a＋1)
C．(m－2)(a－1)
解：原式＝(a－1)(7＋x)．
(4)(2a＋b)(2a－3b)－3a(2a＋b)．
解：原式＝ (2a＋b)(2a－b－3a)
＝－(2a＋b)(a＋3b)．
请在下列各式等号右边填入“+”或“-”号,使等式成立.
(1) 2-a=____(
－ a-2)
因式分解ppt课件
02
03
04
因式分解的基本概念：定义、 性质、方法等
因式分解的技巧：提公因式、 平方差公式、十字相乘法等
因式分解的应用：代数式化简 、解方程等
Hale Waihona Puke 学习方法：理论学习、练习、 小组讨论等
因式分解的应用与重要性
01
02
03
04
代数式化简
利用因式分解简化复杂的代数 式，提高计算效率
解方程
通过因式分解将方程转化为多 个简单方程，便于求解
因式分解的作用
有助于理解方程的解 法
可以用于解决一些数 学问题，如求根、解 方程等
可以将一个复杂的多 项式简化成易于理解 的形式
课程目标和学习方法
掌握因式分解的基本方法 学习如何将一个多项式分解成几个整式的乘积
通过练习，达到能够快速、准确地完成因式分解的目标
02
因式分解的基本概念
整式和因式的定义
分解6a4b3+18a3b2+12a2b
首先，我们可以发现6a4b3和18a3b2可以组合成一项，得到(6a4b3+18a3b2)，接着观察多项式，我 们可以发现12a2b可以单独列出来，所以原多项式可以分解为(6a4b3+18a3b2)+12a2b。
应用题中的例子
在一个水池设计中，需要将一个圆形的水池分割成若干个小 的区域，这时候就需要使用到因式分解的方法，将圆形水池 的面积分解成若干个小的面积之和，这样就可以更加方便地 进行设计和规划。
掌握因式分解的方法
因式分解的方法有很多种，初学者可能难以掌握。解决办 法是加强对方法的学习，可以通过大量的练习来掌握。
解决因式分解的问题
因式分解的问题可能比较复杂，初学者可能难以解决。解 决办法是加强对问题的分析，学会拆解问题，找出合适的 解决方法。
初中数学精品课件： 因式分解
【答案】 D
2．(2019·临沂)将 a3b－ab 进行因式分解，正确的是 ( )
A．a(a2b－b)
B．ab(a－1)2
C．ab(a＋1)(a－1)
D．ab(a2－1)
【答案】 C
3．(2案】 x(y＋2)(y－2)
4．(2019·衢州)已知实数 m，n 满足mm－ ＋nn＝ ＝13， ，则代数式
利用因式分解将多项式分解之后整体代入求值，也可 逆向思维，根据因式分解后的几个多项式(因式)结合恒等 变形的性质求值．
【典例 2】 在当今“互联网＋”时代，有一种用“因式分 解法”生成密码的方法：如将多项式 x3＋2x2－x－2 进行因 式分解，结果为(x－1)(x＋1)(x＋2)．当 x＝19 时，x－1＝ 18，x＋1＝20，x＋2＝21，此时可得到数字密码 182021. (1)根据上述方法，当 x＝37，y＝12 时，对于多项式 x3－xy2 分解因式后可以形成哪些数字密码(写出两个即可)? (2)将多项式 x3＋(m－3n)x2－nx－21 因式分解后，利用题 目中所示的方法，当 x＝87 时可以得到密码 808890，求 m，n 的值．
联
立
m＋n＝0， m－n＝2，
解得mn＝＝－1，1，
∴m2
＋
n2－
mn ＝1
＋
1
＋
1
＝3.
【答案】 3
4．分解因式：(x2＋4)2－16x2.
【解析】 原式＝(x2＋4＋4x)(x2＋4－4x) ＝(x＋2)2(x－2)2.
5．运用简便方法计算：
(1)992＋110908＋1．
(2)1982－396×98＋982．
【解析】 (1)∵x3－xy2＝x(x－y)(x＋y)， ∴当 x＝37，y＝12 时，x－y＝25，x＋y＝49， ∴可得到数字密码 372549 或 374925(答案不唯一)． (2)∵当 x＝87 时，密码为 808890，且 x3 的系数是 1， ∴由(1)可知：x－7＝80，x＋1＝88，x＋3＝90， ∴x3＋(m－3n)x2－nx－21＝(x－7)(x＋1)(x＋3)＝x3－3x2 －25x－21， ∴m－3n＝－3，n＝25，∴m＝72，n＝25.
2．(2019·临沂)将 a3b－ab 进行因式分解，正确的是 ( )
A．a(a2b－b)
B．ab(a－1)2
C．ab(a＋1)(a－1)
D．ab(a2－1)
【答案】 C
3．(2案】 x(y＋2)(y－2)
4．(2019·衢州)已知实数 m，n 满足mm－ ＋nn＝ ＝13， ，则代数式
利用因式分解将多项式分解之后整体代入求值，也可 逆向思维，根据因式分解后的几个多项式(因式)结合恒等 变形的性质求值．
【典例 2】 在当今“互联网＋”时代，有一种用“因式分 解法”生成密码的方法：如将多项式 x3＋2x2－x－2 进行因 式分解，结果为(x－1)(x＋1)(x＋2)．当 x＝19 时，x－1＝ 18，x＋1＝20，x＋2＝21，此时可得到数字密码 182021. (1)根据上述方法，当 x＝37，y＝12 时，对于多项式 x3－xy2 分解因式后可以形成哪些数字密码(写出两个即可)? (2)将多项式 x3＋(m－3n)x2－nx－21 因式分解后，利用题 目中所示的方法，当 x＝87 时可以得到密码 808890，求 m，n 的值．
联
立
m＋n＝0， m－n＝2，
解得mn＝＝－1，1，
∴m2
＋
n2－
mn ＝1
＋
1
＋
1
＝3.
【答案】 3
4．分解因式：(x2＋4)2－16x2.
【解析】 原式＝(x2＋4＋4x)(x2＋4－4x) ＝(x＋2)2(x－2)2.
5．运用简便方法计算：
(1)992＋110908＋1．
(2)1982－396×98＋982．
【解析】 (1)∵x3－xy2＝x(x－y)(x＋y)， ∴当 x＝37，y＝12 时，x－y＝25，x＋y＝49， ∴可得到数字密码 372549 或 374925(答案不唯一)． (2)∵当 x＝87 时，密码为 808890，且 x3 的系数是 1， ∴由(1)可知：x－7＝80，x＋1＝88，x＋3＝90， ∴x3＋(m－3n)x2－nx－21＝(x－7)(x＋1)(x＋3)＝x3－3x2 －25x－21， ∴m－3n＝－3，n＝25，∴m＝72，n＝25.
七年级下《因式分解》(苏科版)-课件
电子设备应用
许多电子设备和在线应用程序也具有因式分解的功 能。这些应用程序可以轻松地将表达式转化为简单 的乘积形式，使学生更容易地完成作业和考试。
因式分解实战：练习题解析
1
练习题1
将2x²+4x+2分解为乘积的形式。
练习题2
2
将5x³-10x²+5x分解为乘积的形式。
3
练习题3
将3x²-12分解为乘积的形式。
2
组项法
当一个多项式无法使用其它因式分解法进行处理时，我们可以尝试使用组项法将 其转化为易于操作的形式。
3
结合运用
拆项法和组项法可以结合使用，以便更深入地理解一个多项式的性质和因式分解 的方法。
如何判断一个表达式能否进行因式分 解？
1 首先看表达式的形式
如果一个表达式不是多项式，那么它就不能进行因式分解。例如无理数、指数、对数等 等。
因式分解
在学习数学时，我们会遇到各式各样的方程式。因式分解是解决这些方程式 的关键。这个PPT将会为你详细介绍因式分解的基本概念、方法和应用。
什么是因式分解？
方程式
因式分解是指将一个式子拆分成不可再分解的乘积 的过程。
因式分解
因式分解可以用来简化复杂的算术问题，从而使它 们更容易被理解。
类比
因式分解就像是把一个拼图拆散，然后把每个单独 的拼图拼接起来，最后形成整个图片。
常见错误及优化Βιβλιοθήκη 略错误1 ：略过公因数当多项式中存在公因数时，一些学生可能会疏 忽掉它，导致无法正确进行因式分解。应该一 步步进行，先找到公因数，再继续进行因式分 解。
策略：重复练习
因式分解是一个需要反复练习的过程。只有在 实践中不断尝试和发现错误，才能逐渐掌握因 式分解的规律和技巧，并且在考试或其它应用 中更准确、更快捷地进行因式分解。
因式分解的概念
• 因式分解
ab+ac =a(b+c)
������2-������2 =(������+������)(������-������) ������2 + 2������������ + ������2 = (������ + ������)2
������2-������-12=(������+3)(������-4)
因式分解的概念
把一个多项式写成几个整式乘积的形式称为把这个多项式因式分解。
（2）下列各式从左往右属于因式分解的有(
①6 ������ − ������ = 6������ − 6������
② ③④ )
②2������2 + ������ = ������(2������ + 1) ③������2 − 4������ + 4 = (������ − 2)2 ④������3 − ������ = ������(������ + 1) ������ − 1
因式分解的概念
整式乘法
a(b+c)=ab+ac
(������+������)(������-������)=������2-������2 (������ + ������)2= ������2 + 2������������ + ������2
(������+3)(������-4)=������2-������-12
因式分解
把一个多项式写成几个整式乘积的形式称为把这个多项式因式分解。
把一个多项式写成几个整式乘积的形式称为把这个多项式因式分解。
（1）下列各式从左往右属于因式分解的有(
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因式分解定义
像上面右边是整式乘法、左边是把一个多项 式化成几个整式（单项式和多项式）的积的 形式,这种变形叫做把这个多项式分解因式
自学指导
思考整式乘法与因式分解之间的关系？ 整式乘法与因式分解是互为逆运算变形过程.
因式分解有什么特点： 1、等式左边是多项式，右边是整式乘积的形式 2、等式右边（即分解结果）不能含独立的加减号 3、分解到不能再分解为止
例1 下列各式由左边到右边的变形，哪些是 因式分解，哪些不是，为什么？
（1） a2 + 2ab + b2 = (a+b)2； （2） m2 + m - 4 = (m+3)(m-2)+ 2 .
（1） a2 + 2ab + b2 = (a+b)2
解 是. 因为从左边到右边是把多项式 a2+2ab+b2表示成了多项式a+b与a+b 的积的形式.
（2） m2 + m - 4 = (m+3)(m-2)+ 2 .
解 不是. 因为(m+3)( m-2)+2不是几个 多项式乘积的形式.
例2 检验下列因式分解是否正确. （1） x2 + xy = x(x+y) ； （2） a2 - 5a + 6 = (a-2)(a-3) ； （3） 2m2 -n2 = (2m-n)(2m+n) .
解方程
x2 1 0
③
把③式左端的多项式因式分解，得
x 1 x 1 0 ④
从④式得 x 1 0 或 x 1 0
即 x 1 或 x 1
因此方程③的解是 x 1或x 1
同样地，每一个多项式可以表示成若干个最 基本的多项式的乘积的形式，从而为许多问题的 解决架起了桥梁．
例如，以后我们要学习的分式的约分，解一 元二次方程等，常常需要把多项式进行因式分解.
因式分解的概念
复习与回顾
1.整式乘法有几种形式? (1)单项式乘以单项式 (2)单项式乘以多项式: a(m+n)=a_m__+_a_n__ (3)多项式乘以多项式: (a+b)(m+n)=a_m__+_an_+_b_m__+_b_n__ 2.乘法公式有哪些?
(1)平方差公式: (a+b)(a-b)=a_2___b_2__ (2)完全平方公式: (a±b)2=_a_2__2_a_b_+__b_2_
计算下列个式:
根据左面的算式填空:
(1) 3x(x-1)=3_x_2-_3_x_
(2) (m+4)(m-4)= _m_2_-1_6
(3) (y-3)2= _y_2-_6y_+_9__
(4) a(a+1)(a-1)= __a3_-_a
(1) 3x2-3x=_3_x_(_x_-1_)_ (2) m2-16=_(m__+_4_)_(_m_-_4_) (3) y2-6y+9=_(y_-_3_)_2_ (4) a3-a=_a_(_a_+_1_)(_a_-_1_)_ (5)ma+mb+mc
(5) m(a+b+c)
=_m__(a_+__b_+_c_) __
=_左右两边的运算有什么特点?
（1）6 等于 2 乘哪个整数？
6＝2×3
（2）x2－1等于x+1乘哪个多项式？
x2 1 x 1 x 1
对于整数 6 与 2，有整数 3 使得 6＝2×3，我们把2叫作6的一个因数．同 理，3也是6的一个因数．
分析 检验因式分解是否正确 ，只要看等式右边的几个多项 式的乘积与左边的多项式是否 相等.
（1） x2 + xy = x(x+y)
解 因为x( x + y ) = x2 + xy ， 所以因式分解 x2 + xy = x(x + y)正确.
自学检测 一 理解概念
判断下列各式哪些是整式乘法?哪些是因式分解? (1).x2-4y2=(x+2y)(x-2y)因式分解 (2).2x(x-3y)=2x2-6xy 整式乘法 (3).(5a-1)2=25a2-10a+1 整式乘法 (4).x2+4x+4=(x+2)2 因式分解 (5).(a-3)(a+3)=a2-9 整式乘法 (6).m2-4=(m+4)(m-4) 因式分解 (7).2 πR+ 2 πr= 2 π(R+r) 因式分解
在现代数学文献中，把单项式看成是只有一项的多项式．
把 x2 1 写成 x 1 x 1 的形式，叫作把 x2 1 的因式分解
一般地，把一个含字母的多项式表示成若干个均 含字母的多项式的乘积的形式，称为把这个多项 式因式分解．
为什么要把一个多项式因 式分解呢？
你会解方程 x2 1 0 吗?
利用平方差公式，把方程的左边 x2 1写成(x+1)(x－1)， 就得到方程
(x+1)(x－1)＝0
这样就可以求出解了．
把 x2 1 写成 (x+1)(x－1)，叫作把 x2 1因式分解．
多项式的因式分解为解决许多问题架起了桥梁．
做一做
计算下列个式:
(1) 3x(x-1)=3_x_2-_3_x_
(2) (m+4)(m-4)= _m_2_-1_6
(3) (y-3)2= _y_2-_6y_+_9__
对于多项式 x2 1与x 1 ，有多项式x－1使得 x2 1 x 1 x 1
，我们把x+1叫作x2－1的一个因式，同理，x－1也是 x2－1 的一个因式．
一般地，对于两个多项 f 与 g，如果有多项式 h 使得 f = gh ，那么我们把 g 叫作 f 的一个因式，此 时，h 也是 f 的一个因式．
(4) a(a+1)(a-1)= __a3_-_a
(5) m(a+b+c) =_m__a_+_m_b_+_m_c
根据左面的算式填空: (1) 3x2-3x=_3_x_(_x_-1_)_ (2) m2-16=_(m__+_4_)_(_m_-_4_) (3) y2-6y+9=_(y_-_3_)_2_ (4) a3-a=_a_(_a_+_1_)(_a_-_1_)_ (5)ma+mb+mc =_m__(a_+__b_+_c_) __
探究
993-99能被100整除吗?
小明是这样想的: 993-99=99×992-99 ×1
=99 ×(992-1) =99 (99+1)(99-1) = 99×100×98 所以, 993-99能被100整除. 你知道每一步的根据吗? 想一想: 993-99还能被哪些整数整除?
答：98， 99
做一做