数学中考总复习30讲(一轮复习)第6讲 二次根式
2024年中考数学一轮复习考点突破课件---二次根式
C.5和6之间
D.6和7之间
二、填空题.
6. 计算： − ＝______.
3
7. 的算术平方根是________.
2
8. 一个正数的平方根分别是x＋1和 x－5，则x＝________.
2
9. 已知 －＋ － ＝0，则a＋1＝________.
三、解答题.
10. 计算：
(1)
D.x≤－1
2. (2021·深圳)计算 － ° 的值是( C ).
A.1－
C. －1
B.0
D.1－
3. (2021·广东)设6－ 的整数部分为a，小数部分为b，则(2a＋
)b的值是( A ).
A.6
B.2
C.12
D.9
6
4. (2023·广东)计算： × ＝____________.
【例2】估计 的值在(
).
A.2和3之间
B.3和4之间
C.4和5之间
D.5和6之间
分析与解答 ∵ ＜ ＜ ，∴4＜ ��＜5.故选C.
规律方法
估算无理数的本质就是确定这个无理数的取值范围.要想
准确地估算出无理数的取值范围，需要记住一些常用数的平方.
变式练习
2. 如图，已知A，B，C，D是数轴上的四个点，这四个点中最适合
二次根式
知识梳理
1. 开方
项目
正数a
0
负数a
平方根
±
0
无
算术平方根
0
无
立方根
0
2. 二次根式
(1)二次根式的性质
①
＝a ≥ .
中考数学必备复习第一章数与式第6讲二次根式课件
•考点2：二次根式的运算
•思路分析：首先化简第一个二次根式，计算后边的两个二次 根式的积，然后合并同类二次根式即可求解。
•方法指导：本题考查了二次根式的混合运算，正确运用二 次根式的乘法简化了运算，正确观察式子的特点是关键。
•考点2：二次根式的运算
•思路分析：先根据绝对值的性质、负指数幂、算术平方根、 0次幂的性质、特殊角的三角函数值等计算出各数，再根据 实数混合运算的法则进行计算即可。
被开方数和根指数不变。
• (2)二次根式的乘除法
•①
②
• 二次根式的运算结果一定要化成最简二次根式。
•名师点评·课堂精讲
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•课堂精讲
•过关测试
•考点1：二次根式的意义和性质
•A
•思路分析：根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式进 行计算即可得解。
•方法指导：解答本题时，注意二次根式有意义的条件是被 开方数是一个非负数，分式有意义的条件是分母不等于0。
• (3)同类二次根式：化成最简二次根式后，被开方数相同的
二次根式，叫做同类二次根式。
• 2.二次根式的性质
• (1)
(2)
(3)
• 特别提醒：三个具有非负性的式子：
• 3.二次根式的运算
• (1)二次根式的加减：
• ①先把各个二次根式化成最简二次根式；
• ②再把同类二次根式分别合并，合并时，仅合并系数，
中考数学必备复习第一章数 与式第6讲二次根式课件
•基础巩固·课前小练
•课前小练
•知识梳理
•课堂精讲
•过关测试
•B •B
•D •C
•课前小练
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二次根式-中考数学一轮复习考点专题复习大全(全国通用)
考向08 二次根式【考点梳理】1、二次根式：一般地，形如a （a ≥0）的代数式叫做二次根式。
当a ＞0时，a 表示a 的算术平方根,其中0=02、 理解并掌握下列结论：（1）)0(≥a a 是非负数（双重非负性）； （2）)0()2≥=a a a （； （3）⎩⎨⎧≤->=⎩⎨⎧<-≥=⎪⎩⎪⎨⎧<-=>==)0()0()0()0()0()0(0)0(2a a a a a a a a a a a a a a a ；口诀：平方再开方，出来带“框框” 3、二次根式的乘法：)0,0(≥≥=•b a ab b a ，反之亦成立4、二次根式的除法：)0,0(>≥=b a b a ba ，反之亦成立5、满足下列两个条件的二次根式叫做最简二次根式：（1)被开方数不含分母，（2）被开方数不含开得尽方的因数或因式。
6、同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式是同类二次根式。
【题型探究】题型一：二次根式的概念和性质1．（2022·湖北黄石·统考中考真题）函数11y x =+-的自变量x 的取值范围是（ ） A ．3x ≠-且1x ≠B ．3x >-且1x ≠C ．3x >-D ．3x ≥-且1x ≠2．（2022·广东广州·广东番禺中学校考三模）若3y =，则2022()x y +等于（ ） A ．1B ．5C ．5-D ．1-3．（2022·湖北黄石·校联考模拟预测）函数y 中，自变量x 的取值范围是（ ） A ．5x >B ．35x ≤<C ．5x <D ．35x ≤≤题型二：二次函数的化简4．（2022·河北·统考中考真题）下列正确的是（ ）A 23+B 23=⨯C D 0.75．（2023·河北·b a 的值是（ ） A ．6B ．9C ．12D ．276．（2022·四川绵阳·统考三模）已知y =，则xy ＝（ ）A ．3B ．－6C ．±6D ．±3题型三：二次根式的乘除7．（2022·广东广州· ）A B C D ．8．（2022·天津南开·二模）计算3)的结果等于______．9．（2022·河北唐山·=a ＝______；b ＝__．题型四：二次根式的加减10．（2022·黑龙江哈尔滨·=_____． 11．（2022·黑龙江绥化·统考中考真题）设1x 与2x 为一元二次方程213202x x ++=的两根，则()212x x -的值为________．12．（2022·黑龙江哈尔滨·______．题型五：分母的有理化13．（2022·河北保定·统考一模）已知x =2y = （1）22x y +=________； （2）2()x y xy --=________．14．（2022·广东中山·统考二模）小明喜欢构建几何图形，利用“数形结合”的思想解决代数问题．在计算tan 22.5︒时，如图，在Rt ACB 中，9045C ABC ∠=︒∠=︒，，延长CB 使BD AB =，连接AD ，得22.5D ∠=︒，所以tan 22.51AC CD ︒===，类比小明的方法，计算tan15︒的值为________．15．（2020·四川成都·四川省成都列五中学校考三模）3的整数部分是m ，小数部分是n ，则mn+3＝_____．题型六：二次根式的比较大小16．（2021·四川成都·766517．（2020·陕西西安·西安市铁一中学校考二模）比较大小：1013-（填“＞”、“=”、“＜”）18．（2021·陕西宝鸡·17﹣5（填“>”或“<”）题型七：二次根式的化简求值问题19．（2023·江西·九年级专题练习）先化简，再求值：22169211x x x x x ⎛⎫-++-÷ ⎪+-⎝⎭，其中53x =． 20．（2022·四川广元·统考一模）先化简，再求值：222a ab b a b a b a b ab ⎛⎫---÷ ⎪--⎝⎭，其中32a =+32b = 21．（2022·辽宁抚顺·模拟预测）先化简，再求值：22124()(1)442x x x x x x x-+-÷--+-，其中x ＝2+tan30°．【必刷基础】一、单选题22．（2023·广西玉林·一模）下列运算正确的是（ ） A 257B ．22525=+C 532=D ．233323．（2022·福建泉州·校考三模）在函数32y x =+中，自变量x 的取值范围是（ ） A ．23x ≠-B ．23x >-C ．23x -D ．23x -24．（2022·上海松江·校考三模）下列式子属于同类二次根式的是（ ） A ．2与22B ．3与24C ．5与25D ．6与1225．（2022春·河北保定·九年级保定市第十七中学校考期中）如图，把一张矩形纸片ABCD 按如图所示方法进行两次折叠后，BEF △恰好是等腰直角三角形，若2BE =，则CD 的长度为（ ）A ．22B ．22+C ．222+D ．224+26．（2021·广西百色·统考二模）将一组数2，2，6，22，10，…，210，按下列方式进行排列： 2，2，6，22，10； 23，14，4，32，25；…若2的位置记为()1,2，23的位置记为()2,1，则36这个数的位置记为（ ）A ．()54，B ．()44，C ．()43，D ．()35，27．（2022·山东青岛·统考中考真题）计算1(2712)3-⨯的结果是（ ） A ．33B ．1C ．5D ．328．（2022·河北廊坊·统考二模）一次函数()32y k x k =++-的图象如图所示，则使式子()011k k ++-有意义的k 的值可能为（ ）A ．－3B ．－1C ．－2D ．229．（2021·北京·统考中考真题）若7x -在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围是_______________． 30．（2018·江苏苏州·校联考中考模拟）若x 满足|2017-x|+-2018x =x ， 则x-20172=________31．（2021·辽宁鞍山·统考中考真题）先化简，再求值：22131242a a a a a-⎛⎫-÷ ⎪--+⎝⎭，其中62a =+． 32．（2022春·福建泉州·九年级福建省安溪第一中学校考阶段练习）已知实数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示，化简：222||()()a a c c a b -++--.【必刷培优】一、单选题33．（2021·广东·统考中考真题）设610-的整数部分为a ，小数部分为b ，则()210a b +的值是（ ） A ．6B ．210C ．12D ．91034．（2021·湖南娄底·统考中考真题）2,5,m 是某三角形三边的长，则22(3)(7)m m -+-等于（ ） A ．210m -B ．102m -C ．10D ．435．（2021·内蒙古·统考中考真题）若21x =+，则代数式222x x -+的值为（ ） A ．7 B ．4C ．3D ．322-36．（2020·河北·统考中考真题）如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案．现有五种正方形纸片，面积分别是1，2，3，4，5，选取其中三块（可重复选取）按图的方式组成图案，使所围成的三角形是面积最大．．的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是（ ）A ．1，4，5B ．2，3，5C ．3，4，5D ．2，2，4二、填空题37．（2019·广西柳州·中考模拟）如图，数轴上点A 表示的数为a ，化简：a 244a a +-+=_____．38．（2021·四川眉山·统考中考真题）观察下列等式：12211311112212x =++==+⨯； 22211711123623x =++==+⨯； 3221113111341234x =++==+⨯； ……根据以上规律，计算12320202021x x x x ++++-=______．39．（2022·湖北荆州·统考中考真题）若32-的整数部分为a ，小数部分为b ，则代数式()22a b +⋅的值是______． 40．（2021·河南信阳·河南省淮滨县第一中学校考三模）已知625x =-为一元二次方程20x ax b ++=的一个根，且a ，b 为有理数，则=a ______，b =______．41．（2019·江苏·校考中考模拟）若a ，b 都是实数，b ＝12a -+21a -﹣2，则a b 的值为_____． 42．（2022·四川遂宁·统考中考真题）实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，化简()()2211a b a b +--+-=______．三、解答题43．（2021·四川成都·统考中考真题）先化简，再求值：2269111a a a a ++⎛⎫+÷⎪++⎝⎭，其中33=a ．44．（2022·安徽·统考二模）阅读下列解题过程： 21+21(21)(21)-+-2-1； 32+32(32)(32)-+-32； 43+434343-+-()()433 …解答下列各题： （1109+＝ ；（2＝ ．（3）利用这一规律计算：）×）．45．（2019·福建泉州·统考中考模拟）先化简，再求值：2443(1)11m m m m m -+÷----，其中2m .46．（2013·贵州黔西·中考真题）阅读材料： 小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：231+（，善于思考的小明进行了以下探索：设(2a m ++（其中a 、b 、m 、n 均为整数），则有2222a m n +++∴2222a m n b mn =+=，．这样小明就找到了一种把部分a + 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：（1）当a 、b 、m 、n 均为正整数时，若(2a m +=+，用含m 、n 的式子分别表示a 、b ，得a ＝ ，b ＝ ；（2）利用所探索的结论，找一组正整数a 、b 、m 、n ，填空： ＋ ＝( ＋2；（3）若(2a m +＋，且a 、b 、m 、n 均为正整数，求a 的值．参考答案：1．B【分析】直接利用二次根式有意义的条件、分式有意义的条件分析得出答案．【详解】解：依题意，3010 xx+>⎧⎨-≠⎩∴3x>-且1x≠故选B【点睛】此题主要考查了函数自变量的取值范围，正确掌握二次根式与分式有意义的条件是解题关键．2．A【分析】直接利用二次根式中被开方数是非负数，得出x的值，进而得出y的值，再利用有理数的乘方运算法则计算即可．【详解】解：由题意可得：20 420xx-≥⎧⎨-≥⎩，解得：x＝2，故y＝-3，∴20222022()(213)=x y+=-．故选：A．【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件以及有理数的乘方运算，正确掌握被开方数为非负数是解题关键．3．C【分析】根据二次根式、立方根、分式的性质分析，即可得到答案．【详解】根据题意，得50x->∴5x<故选：C．【点睛】本题考查了二次根式、立方根、分式的知识；解题的关键是熟练掌握二次根式的性质，从而完成求解．4．B【分析】根据二次根式的性质判断即可．【详解】解：23+，故错误；23=⨯，故正确；=≠0.7，故错误；故选：B．【点睛】本题主要考查二次根式的性质，掌握二次根式的性质是解题的关键．5．D【分析】由二次根式的性质、二次根式的减法运算法则进行计算，即可得到答案．∴3a =，3b =， ∴3327=， 故选：D【点睛】本题考查了二次根式的性质、二次根式的减法运算，解题的关键是掌握运算法则，正确的进行解题． 6．B【分析】利用二次根式的被开方数具有非负性求出x 的值后，再求出y 的值，即可求解． 【详解】解：∵229090x x -+≥-≥，， ∴29x =， 又∵30x +≠， ∴3x =， ∴0012233y --==-+，∴()326xy =⨯-=-， 故选：B ．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件以及性质，解题关键是求出x 的值与y 的值． 7．A【分析】根据二次根式的乘除运算法则进行计算，最后根据二次根式的性质化简即可．=== 故选：A ．【点睛】)0,0a b ≥≥)0,0a b ≥>，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 8．4【分析】根据平方差公式计算即可．【详解】解：3)=223-=13-9 =4，故答案为：4．【点睛】本题考查二次式的混合运算，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 9． 2 6化为最简二次根式，再利用二次根式的乘法法则解题．=2,6a b ∴==故答案为：2，6．【点睛】本题考查利用二次根式的性质化简计算，涉及最简二次根式、二次根式的乘法等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．10．-【分析】先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可．【详解】解：原式==-故答案为：-【点睛】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 11．20【分析】利用公式法求得一元二次方程的根，再代入求值即可； 【详解】解：∵213202x x ++=△=9-4=5＞0，∴13x =-23x =-，∴()212x x -=((223320-==，故答案为：20；【点睛】本题考查了一元二次方程的解，掌握公式法解一元二次方程是解题关键． 12【分析】根据二次根式的性质和二次根式的减法法则，即可求解．3==【点睛】本题主要考查二次根式的化简，掌握二次根式的性质和运算法则，是解题的关键． 13． 14 11【分析】根据分母有理化得到2x =x 和y 分别代入（1）（2）中根据二次根式的混合运算法则计算求解．【详解】解：∵123x =+， ∴()()12323232323x ===+-+--， ∴（1）22x y +()()222323=-++ 44334433=-++++14=，故答案为：14；（2）()2x y xy -- ()()()223232323⎡⎤=--+--+⎣⎦()()22343=---121=-11=，故答案为：11．【点睛】本题主要考查了分母有理化、二次根式的混合运算法则，理解相关知识是解答关键．14．23-【分析】仿照题意构造含15度角的直角三角形进行求解即可．【详解】解：如图，在Rt ACB 中，9030C ABC ∠=︒∠=︒，，延长CB 使BD AB =，连接AD ，∴∠BAD =∠D ，2AB BD AC ==，∴cos =3BC AC ABC AC =⋅∠，∴()23CD BC BD AC =+=+，∵∠ABC =∠BAD +∠D ，∴=15D ︒∠，∴1tan =tan15===2323AC D CD ︒-+∠， 故答案为：23-．【点睛】本题主要考查了解直角三角形，三角形外角的性质，等腰三角形的性质，正确理解题意构造出含15度角的直角三角形是解题的关键．15．2m 的值，小数部分n m ，把m 、n 代入分式m n+3中，应用分母有理化的方法进行化简，即可得到答案．【详解】解：∵12，∴m ＝1，n 1， ∴=n+3m＝2．故答案为：2．【点睛】本题主要考查二次根式的分母有理化，熟练掌握分母有理化的方法是解题的关键．16．＜【分析】直接利用二次根式的性质分别变形，进而比较得出答案．==<故答案为：＜．【点睛】此题主要考查了二次根式的分母有理化，正确化简二次根式是解题关键．17．＞ 【分析】先将这两个数分别平方，通过比较两个数的平方的大小即可得解．【详解】解：∵21(10=，211()39-=且11109<，1<，∴13>- 故答案为：＞【点睛】此题主要考查了无理数的估算能力，两个二次根式比较大小可以通过平方的方法进行，两个式子平方的值大的，对应的正的式子的值就大，负的式子就小．18．>【分析】首先利用二次根式的性质可得【详解】解：∵∴＞﹣故答案为：＞．【点睛】本题主要考查了二次根式的大小比较，准确计算是解题的关键．19．13x x -+【分析】直接将括号里面通分运算，再利用分式的混合运算法则计算得出答案． 【详解】解：22169211x x x x x ⎛⎫-++-÷ ⎪+-⎝⎭ ()()()23221111x x x x x x ++-+=÷++- ()()()211313x x x x x +-+=⨯++13x x -=+．当3x =时，原式=． 【点睛】此题主要考查了分式的化简以及二次根式混合运算，正确化简分式是解题关键．20．ab ；7【分析】根据分式的混合运算法则化简，再代入3a =3b = 【详解】解：原式222a ab b a b a b ab-+-=÷- ()2a b ab ab a b a b-=⋅=--．当3a =3b =原式(33927==-=．【点睛】此题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟知分式、二次根式及乘法公式的运用．21．()212x -；3【分析】先根据异分母分式的加减化简括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，最后根据特殊角的三角函数值求得x 的值，代入化简结果进行计算即可． 【详解】解：22124()(1)442x x x x x x x -+-÷--+- ()()()()()22122422x x x x x x x x x x ⎡⎤-+-=-⨯⎢⎥---⎢⎥⎣⎦()2224=42x x x x x x x --+⨯-- ()241=42x x x -⋅-- ()212x =-2tan 302x =+︒=∴原式21322==⎛⎫ ⎪⎝⎭【点睛】本题考查了分式的化简求值，特殊角的三角函数值，实数的混合运算，二次根式的混合运算，正确的计算是解题的关键．22．D【分析】利用二次根式的加减运算法则进行计算，然后作出判断．【详解】解：AB、= CD、=故选：D ．【点睛】本题考查二次根式的加减运算，掌握运算法则是解题关键．23．C【分析】根据被开方数大于等于0，列式求解即可．【详解】解：根据题意得：320x +，解得23x -．【点睛】本题主要考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．24．A【分析】根据同类二次根式的概念判断即可．【详解】解：A 、2与22是同类二次根式，符合题意；B 、3与26不是同类二次根式，不符合题意；C 、5与5不是同类二次根式，不符合题意；D 、6与23不是同类二次根式，不符合题意；故选A ．【点睛】本题考查了同类二次根式，掌握一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式是解题的关键．25．D【分析】根据翻折过程补全图形，然后根据矩形的性质和勾股定理即可解决问题．【详解】解：由折叠补全图形如图所示，四边形ABCD 是矩形，'90ADA B C A ∴∠=∠=∠=∠=︒，AD BC =，CD AB =，由第一次折叠得：'90DA E A ∠=∠=︒，1452ADE ADC ∠=∠=︒， 45AED ADE ∴∠=∠=︒，AE AD ∴=，在Rt ADE △中，根据勾股定理得，2DE AD =，由第二次折叠知，CD DE AB ==，222DE AE ∴=，2222()2(2)CD AB BE CD ∴=-=-，422CD ∴=+【点睛】本题考查了翻折变换，矩形的性质，等腰直角三角形，解决本题的关键是掌握翻折的性质．26．C∵36218÷=，18533÷=4行，第3个数字．故选：C ．【点睛】此题考查的是数字的变化规律以及二次根式的化简，找出其中的规律是解题的关键．27．B再合并即可．【详解】解：94321 故选：B ．【点睛】本题考查的是二次根式的乘法运算，掌握“二次根式的乘法运算法则”是解本题的关键．28．B【分析】通过一次函数图象可以得出：3020k k +>⎧⎨->⎩，解得：32k -<<．()01k -有意义的条件为：1010k k +≥⎧⎨-≠⎩，解得：1k ≥-且0k ≠．将两个关于k 的解集综合，得到k 的范围是：12k -≤<且0k ≠．根据所求范围即可得出答案选B ．【详解】解：由图象得：3020k k +>⎧⎨->⎩，解得：32k -<<()01k -有意义，则1010k k +≥⎧⎨-≠⎩，解得：1k ≥-且1k ≠ ∴综上所述，k 的取值范围是：12k -≤<且0k ≠．A 、-3不在k 的取值范围内，不符合题意；B 、-1在k 的取值范围内，符合题意；C 、-2不在k 的取值范围内，不符合题意；D 、2不在k 的取值范围内，不符合题意．故选B ．【点睛】本题主要考查知识点为，一次函数图象与一次函数系数的关系、使二次根式有意义的条件，零指数幂中底29．7x ≥【分析】根据二次根式有意义的条件可直接进行求解．【详解】解：由题意得：70x -≥，解得：7x ≥；故答案：为7x ≥．【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练掌握二次根式有意义的条件．30．2018【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，求解得出x 的取值范围，再根据绝对值的意义化简即可得出方程=2017，将方程的两边同时平方即可解决问题．【详解】解：由条件知，x-2018≥0， 所以x≥2018，|2017-x|=x-2017.所以x-2017+ =x ，即 =2017，所以x-2018=20172 ，所以x-20172=2018，故答案为：2018．【点睛】本题主要考查了二次根式的内容，根据二次根式有意义的条件找到x 的取值范围是解题的关键．31．2a a -，1+【分析】根据分式的混合运算的运算法则把原式化简为2a a -，再代入求值． 【详解】解：22131242a a a a a-⎛⎫-÷ ⎪--+⎝⎭ ()()()2132221a a a a a a ⎡⎤+=-⨯⎢⎥-+--⎣⎦()()()21221a a a a a a +-=⨯+-- 2a a =-．当2a 时，原式1==== 【点睛】本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值． 32．a b -【分析】直接利用数轴判断得出：a<0，a+c<0，c-a<0，b>0，进而化简即可．【详解】由数轴，得a<0，0a c +<，0c a -<，0b >.【点睛】此题考查二次根式的性质与化简，数轴，解题关键在于利用数轴进行解答.33．Aa 的值，进而确定b 的值，然后将a 与b 的值代入计算即可得到所求代数式的值．【详解】∵34，∴263<<，∴62a =，∴小数部分624b ==∴(((22244416106a b =⨯==-=．故选：A ．【点睛】本题考查了二次根式的运算，正确确定6a 与小数部分b 的值是解题关键．34．D【分析】先根据三角形三边的关系求出m 的取值范围，再把二次根式进行化解，得出结论．【详解】解：2,3,m 是三角形的三边，5252m ∴-<<+， 解得：37x ，374m m -+-=，故选：D ．【点睛】本题考查了二次根式的性质及化简，解题的关键是：先根据题意求出m 的范围，再对二次根式化简．35．C【分析】先将代数式222x x -+变形为()211x -+，再代入即可求解．【详解】解：())22222=111113x x x -+-+=-+=． 故选：C【点睛】本题考查了求代数式的值，熟练掌握完全平方公式是解题关键，也可将x 的值直接代入计算．36．B【分析】根据勾股定理，222+=a b c ，则小的两个正方形的面积等于大正方形的面积，再分别进行判断，即可得到面积最大的三角形．【详解】解：根据题意，设三个正方形的边长分别为a 、b 、c ，222A 、∵1+4=5，则两直角边分别为：1和2，则面积为：112=12⨯⨯；B 、∵2+3=512 C 、∵3+4≠5，则不符合题意；D 、∵2+2=4112=；1>， 故选：B ．【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理的应用，以及三角形的面积公式，解题的关键是熟练掌握勾股定理，以及正方形的性质进行解题．37．2【分析】直接利用二次根式的性质以及结合数轴得出a 的取值范围进而化简即可．【详解】解：由数轴可得：0＜a ＜2，则a=a =a +（2﹣a ）=2．故答案为：2．【点睛】本题主要考查了二次根式的性质与化简，解题的关键是正确得出a 的取值范围．38．12021-【分析】根据题意，找到第n 1与1n(n 1)+的和；利用这个结论得到原式＝112+116+1112+…+1120202021⨯﹣2021，然后把12化为1﹣12，16化为12﹣13，120202021⨯化为12015﹣12016，再进行分数的加减运算即可．11(1)n n =++，20201120202021x =+⨯ 12320202021x x x x ++++-＝112+116+1112+…+1120202021⨯﹣2021 ＝2020+1﹣12+12﹣13+…+12020﹣12021﹣2021 ＝2020+1﹣12021﹣2021＝12021-． 故答案为：12021-． 【点睛】本题考查了二次根式的化简和找规律，解题关键是根据算式找的规律，根据数字的特征进行简便运算． 39．2【分析】先由12<得到132<<，进而得出a 和b ，代入()2b ⋅求解即可．【详解】解：∵ 12<，∴132<<，∵ 3的整数部分为a ，小数部分为b ，∴1a =，312b ==∴()((222242b ⋅=⨯=-=，故答案为：2．【点睛】本题主要考查无理数及代数式化简求值，解决本题的关键是要熟练掌握无理数估算方法和无理数整数和小数部分的求解方法．40． 2； 4-；【分析】将x =1x =，则20x ax b ++=)()260a b a -+-+=，根据a ，b 为有理数，可得2a -，6b a -+)()260a b a -+-+=时候，只有20a -=，60b a -+=，据此求解即可．【详解】解：∵x ====1∴20x ax b ++=∴))2110a b ++= ∴60a b --+=60a b -++=)()260a b a -+-+=∵a ，b 为有理数，∴2a -，6b a -+也为有理数，∴2a =，4b =-，故答案是：2，4-；【点睛】本题考查了二次根式的化简，利用完全平方公式因式分解，一元二次方程的解，有理数，无理数的概念的理解，熟悉相关性质是解题的关键．41．4【分析】直接利用二次根式有意义的条件得出a 的值，进而利用负指数幂的性质得出答案．【详解】解：∵b 2，∴120210a a -≥⎧⎨-≥⎩∴1-2a=0，解得：a=12，则b=-2， 故ab=（12）-2=4． 故答案为4．【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，以及负指数幂的性质，正确得出a 的值是解题关键． 42．2【分析】利用数轴可得出102a b -<<<<，1，进而化简求出答案．【详解】解：由数轴可得：102a b -<<<<，1，则10,10,0a b a b +>->-<∴1a +=|1||1|||a b a b +--+-=1(1)()a b a b +----=11a b a b +-+-+=2．故答案为：2．【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出a ，b 的取值范围是解题关键．43．13a +【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x 的值代入计算即可求出值．【详解】解：2269111a a a a ++⎛⎫+÷ ⎪++⎝⎭212(3)111a a a a a ++⎛⎫=+÷ ⎪+++⎝⎭2311(3)a a a a ++=⋅++ 13a =+，当3=a 时，原式= 【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，二次根式的混合运算，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则．44．（13；（2（3）2020【分析】（1，然后利用平方差公式和二次根式的性质计算，即可得到答案；（2（3）根据（1）和（2）的结论，先分母有理化，经加减运算后，再利用平方差公式计算，即可得到答案．【详解】（133；（2==（3）×）1+）×）1）×） ＝20211-＝2020．【点睛】本题考查了二次根式和数字规律的知识：解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算、数字规律、平方差公式的性质，从而完成求解．45．22m m-+ 1． 【详解】分析：先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将m 的值代入计算可得．详解：原式=221m m --（）÷（31m -﹣211m m --） =221m m --（）÷241m m -- =221m m --（）•122m m m --+-（）（） =﹣22m m -+ =22m m-+当m 2时，原式===﹣=1．点睛：本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则． 46．（1）223m n +，2mn ；（2）13，4，2，1（答案不唯一）；（3）7或13．【分析】根据题意进行探索即可.【详解】（1）∵2(a m +=+，∴2232a m n +=++∴a ＝m 2＋3n 2，b ＝2mn ．故答案为m 2＋3n 2，2mn ．（2）设m ＝1，n ＝2，∴a ＝m 2＋3n 2＝13，b ＝2mn ＝4．故答案为13，4，1，2(答案不唯一)．（3）由题意，得a ＝m 2＋3n 2，b ＝2mn ．∵4＝2mn ，且m 、n 为正整数，∴m ＝2，n ＝1或m ＝1，n ＝2，∴a ＝22＋3×12＝7，或a ＝12＋3×22＝13．【点睛】本题考查二次根式的运算.根据题意找出规律是解决本题的关键.。
2015年中考数学一轮复习《第6讲二次根式》课件
【真题专练】 1.(2013·苏州中考)若式子 x的取值范围是 A.x>1 ( B.x<1
2 x－ 1 在实数范围内有意义，则 2
) C.x≥1 D.x≤1
1 在实数范围内有意义，∴x-1≥0， 【解析】选C.∵式子 x－
解得x≥1.
2.(2014·连云港中考)使 .
x－ 1 有意义的x的取值范围是
【解析】要使二次根式
所以x≥- 1 .
答案：x≥- 1
2 2
5.(2013·安徽中考)若 1－3x 在实数范围内有意义，则x的取 值范围是 . 【解析】根据二次根式的被开方数是非负数，建立不等式
1-3x≥0，解得x≤ 1 .
1 答案：x≤ 3 3
6.(2013·襄阳中考)使代数式 是 .
1 且x≠3 2
【规律方法】理解二次根式的性质需注意的两个问题
1. a(a≥0)的双重非负性：
(1)被开方数a非负.
(2) a 本身非负. 2. a 2 与 ( a )2 的异同：
2 a 2 中的a可以取任何实数，而 ( a ) 中的a必须取非负数，只
有当a取非负数时， a 2 = ( a )2 .
【真题专练】 1.(2014·江西中考)计算： 9 =_______. 【解析】 9 32 3 . 答案：3 2.(2012·黔西南中考)计算： (3.14－π)2－ 2－π ＝ 【解析】 (3.14－π)2 ―|2―π|＝|3.14―π|―|2―π| ＝π―3.14―(π―2)＝―1.14. 答案：―1.14 .
热点考向一
二次根式有意义的条件
m 1
【例1】(1)(2014·巴中中考)要使式子 m 1 有意义，则m的 取值范围是( A.m>-1 C.m>-1且m≠1 ) B.m≥-1 D.m≥-1且m≠1
中考数学一轮复习《二次根式》知识梳理及典型例题讲解课件
1
10，则a－ 的值为
±
.
6. （2022·
南通海门模拟）如图，四边形ABCD和CEFG是两个相邻的正
方形，其中B，C，E三点在同一条直线上，点D在CG上，它们的面积分
7
别为27平方米和48平方米，则BE的长为
1
2
3
4
5
6
7
米.
8
7. 计算：
（1） 48÷ 3＋
1
×
2
解：原式＝ ÷ ＋
典例7 （2023·
南通二模）如图，从一个大正方形中恰好可以裁去面积为
2cm2和8cm2的两个小正方形，余下两个全等的矩形（图中涂色部分），
则大正方形的边长为
3
cm.
典例8 （2023·
海安模拟）先化简，再求值：
4+4
＋
+2
÷ 2 ，其中m
＝ 2－2.
++ + （+）
C ）
1
的结果是（
3
4. （2022·
青岛）计算（ 27－ 12）×
A.
3
3
C. 5
B. 1
B ）
D. 3
5. 已知2，5，m是某三角形三边的长，则 （ − 3）2 ＋ （ − 7）2 的
值为（
D ）
A. 2m－10
B. 10－2m
C. 10
D. 4
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
6. （2022·
呼伦贝尔）实数a在数轴上的对应点的位置如图所示，则化简
中考复习第一轮课件6二次根式
课时训练
1. (2007天津非课改 ).已知 a=2,则代数式 天津非课改 已知 则代数式
a+ 2 a− a− a a
的值等于 - 3
( a −b ) 2
2. 若实数 ＜b，则化简 若实数a＜ ， A.a+b B.a-b
的结果是 ( D )
C.-a-b
D.-a+b
3. (2007山东莱芜非课改 ) x3 −x2 =x x−1 成立 则x的取值范 成立,则 的取值范 山东莱芜非课改 x≥1 . 围是 4. 当m≥2时，化简： 4 − 4 m + m 2 = 化简： ≥
5− 5 的整数部分是 2
． 。
3.若 ( x − 2 ) 2 = 2 − x 若
，则的取值范围是 x≤2
4.(2007广东课改 )若代数式 x − 3 有意义，则实数 广东课改 若代数式 有意义， x的取值范围是 ( x≥3 ) 的取值范围是
1 5.(2007广东河池非课改 )化简 2 − 3 =2+ 广东河池非课改 化简
1 1 1 1 =2 , 2+ =3 , 3 3 4 4
请你将猜想到的规律用含自然数
n(n≥1)的代数式表示出来： 的代数式表示出来： 的代数式表示出来
1 1 n+ = ( n +1 ) n +2 n +2
Hale Waihona Puke 要点、 要点、考点聚焦1.二次根式的定义 1.二次根式的定义 (1)式子 a≥0)叫做二次根式 叫做二次根式. (1)式子 a (a≥0)叫做二次根式. (2)二次根式 被开方数必须非负， a≥0， (2)二次根式 a 中，被开方数必须非负，即a≥0， 据此可以确定被开方数为非负数. 据此可以确定被开方数为非负数. (3)公式 公式( (3)公式( a )2=a(a≥0). 2.积的算术平方根 积的算术平方根， (1)积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的 积. a≥0 b≥0 (2)公式 ab = a • b (a≥0，b≥0).
中考数学一轮复习精品讲义 二次根式 人教新课标版
中考数学一轮复习精品讲义二次根式人教新课标版本章小结小结本章学习重难点【本章重点】利用二次根式的概念及性质进行二次根式的化简，运用二次根式的加、减、乘、除法的法则进行二次根式的运算．【本章难点】a≥0)是一个非负数的理解，对等式)2＝a(a≥0)a(a≥0)的理解及应用，对二次根式乘、除法公式的条件的正确理解．小结3 学法指导1．注意观察、分析、归纳、探究等能力的培养，在本章知识的呈现方式上，重视体现“问题情境——数学活动——概括——巩固、应用和拓展”的模式．2．注重数学知识与现实生活的联系．无论是学习二次根式的概念，还是学习二次根式的性质和运算，都尽可能把所学的知识与现实生活联系，重视运用所学知识解决实际问题能力的培养．3．充分利用图形，使代数和几何有机结合．对于数与代数的内容，应重视有关内容的几何背景，运用几何直观帮助理解、解决有关代数问题是对数学的一种导向．4．运用类比思想．学习时注意回顾与类比，充分运用类比思想学习、理解算理和算法，提高运算能力．知识网络结构图a b（a≥0（a≥0，b一、知识性专题专题1 二次根式的最值问题【专题解读】涉及二次根式的最值问题，应根据题目的具体情况来决定应采用的方法，不能一概而论，但一般情况下利用二次根式的非负性来求解.例1 当x3的值最小？最小值是多少？分析00，因为3是常数，3+的最小值为3.0，33≥，∴当9x+1=0，即19x=-3有最小值，最小值为3.0（a≥0）.专题2 二次根式的化简及混合运算||a=这一性质，但应用性质时，要根据具体情况对有关字母的取值范围进行讨论.例2 下列计算正确的是（）13=====分析根据具体选项，应先进行化简，再计算. A==B=，C选项逆用平方差公式可求得2+（=4-5=-1，而D选项=.故选A.例3计算200620071)1)的结果是（）1分析本题可逆用公式（ab）m=a m b m及平方差公式，将原式化为20061)]1) 1.=故选D.例4 书知2228442142x x y x x x y x x++=--+，求的值. 分析 本题主要利用二次根式的定义及非负性确定x 的值，但要注意所得x 的值应使分式有意义.解：由二次根式的定义及分式性质，得2240,4,2,20,x x x x ⎧-⎪-∴=⎨⎪+⎩≥≥0≠22222872442,22277214222142277142214214.22y x y x ++∴=--=+∴===【解题策略】 本题中所求字母x 的取值必须使原代数式有意义. 例5 223541294-202522a a a a a -++-（≤≤）.22353252-302-502223)(25)|23||25|(23)(25)48.a a a a a a a a a a a ∴∴∴=--=---=-+-=-解：≤≤，≤≤，≥，≤,原式（ 【解题策略】 2(0)||-(0).a a a a a a ⎧==⎨⎩≥，＜例 6 已知实数，a ，b ，c 在数轴上的位置如图21-8所示，化简222||()().a a c c a b -+-解：由a ，b ，c 在数轴上的位置可知：0,00,0,||||||||()().c a b a c c a a a c c a b a a c c a b a a c c a b a b ∴+-∴=-++--=-++---=-++-+-=-＜＜＞＜＜原式【解题策略】 利用间接给出的或隐含的条件进行化简时，要充分挖掘题目中的隐含条件，再进行化简. 专题2 二次根式的化简及混合运算图21-8127 |1||1||1||2|.10,201,2,-112,2x x x x x x x x x x x +=+=+--+=-==-=-例化简解：原式令，得于是实数集被分为＜，≤＜≥三部分，-110,-20,-(1)(-2)-3.-1210,-20(1)(2)2 1.x x x x x x x x x x x +∴=++=+∴=++-=-①当＜时，＜＜原式②当≤＜时，≥＜.原式210,20,x x x +-③当≥时，＞≥1)(2) 3.3(1)21(12)3(2).x x x x x x ∴=+--=--⎧⎪∴=--⎨⎪⎩原式（＜，原式≤＜，≥ 规律·方法 对于无约束条件的化简问题需要分类讨论，用这种方法解题分为以下步骤：首先，求出绝对值为零时未知数的值，这些未知数的值在数轴上的对应点称为零点；其次，以这些零点为分点，把数轴划分为若干部分，即把实数集划分为若干个集合，在每个集合中分别进行化简，简称“零点分区间法”.例8已知3,12,.a b ab +=-=求 分析 这是一道二次根式化简题，在化为最简二次根式的过程中，要注意a ，b 的符号，本题中没明确告诉，a ，b 的符号，但可从a +b =-3，ab =12中分析得到.解：∵a +b =-3，ab =12，∴a ＜0，b ＜0.b a ∴==-=-=- 【解题策略】 本题最容易出现的错误就是不考虑a ，b 的符号，把所求的式子化简，直接代入. 专题3 利用二次根式比较大小、进行计算或化简 例9的运算结果应在 （ ） A. 6到7之间 B. 7到8之间 C. 8到9之间D. 9到10之间分析 本题应计算出所给算式的结果，原式4==+，由于，即2 2.5849+，所以＜. 故选C.例10 已知mnm nm n-+的值.解：∵9＜13＜16，343，即m =3，3，即，∴m n m n -===+ 二、规律方法专题 专题4 配方法【专题解读】a |化简. 例11|=====规律·方法 一般地，对于a ±可采用观察法进行配方，即找出x ，y (x ＞y ＞0)，使得xy =b ，x +y =a，则2a ±===.例12 若a ，b 为实数，且b15的值.分析 本题中根据b15可以求出a ，b. 解：由二次根式的性质得3503350..5305a a a a -⎧∴-=∴=⎨-⎩≥，≥，150,0.b a b a b ∴=∴+-，＞＜a b b aab ab==+-⎛=-⎝=当3215.55a b====，时，原式【解题策略】对于形如22b a b aa b a b++-+或形式的代数式都要变为2()a bab+或2()a bab-的形式，当它们作为被开方式进行化简时，要注意.a b a b ab+-和以及的符号专题5 换元法【专题解读】通过换元将根式的化简和计算问题转化为方程问题.例13解：令x22x=，∴x2=（3）（3x x∴==＞，专题6 代入法【专题解读】通过代入求代数式的值.例14已知222400,5760,.a b ab==222332400,5760 2.42400, 2.42400,1000,10, 2.41024,26.a b ab b aa b aa a b====∴=∴=∴=∴=⨯====解：由，两式相除得，专题7 约分法【专题解读】通过约去分子和分母的公因式将第二次根式化简.例15======例16).x y ≠====解：原式三、思想方法专题 专题8 类比思想 【专题解读】 类比是根据两对象都具有一些相同或类似的属性，并且其中一个对象还具有另外某一些属性，从而推出另一对象也具有与该对象相同或相似的性质.本章类比同类项的概念，得到同类二次根式的概念，即把二次根式化简成最简二次根式后，若被开方数相同，则这样的二次根式叫做同类二次根式.我们还可以类比合并同类项去合并同类二次根式.例17 计算.12（（解：（1）原式=（1+2（2）原式【解题策略】 对于二次根式的加减法，应先将各式化为最简二次根式，再类比合并同类项的方法去合同类二次根式.专题9 转化思想【专题解读】 当问题比较复杂难于解决时，一般应采取转化思想，化繁为简，化难为易，本章在研究二次根式有意义的条件及一些化简求值问题时，常转化为不等式或分式等知识加以解决.例18 函数y中，自变量x 的取值范围是 .分析 本题比较容易，主要考查函数自变量的取值范围的求法，是二次根式，所以被开方数2x -4≥0,所以x ≥2.故填x ≥2.例19 如图21-9所示的是一个简单的数值运算程序，若输入x，则输出的数值为 .图21-9分析 本题比较容易，根据程序给定的运算顺序将问题化为二次根式求值问题，易知图中所表示的代数式为21x -32-1=2.故填2.专题10 分类讨论思想【专题解读】 当遇到某些数学问题存在多种情况时，应进行分类讨论.2||a a =进行化简时，若字母的取值范围不确定，应进行分类讨论.例20 若化简2|1|816x x x ---+25x -，则x 的取值范围是 （ ） A. x 为任意实数 B. 1≤x ≤4 C. x ≥1 D. x ≤4分析 由题意可知|1||4|25x x x ---=-，由此可知|1|1x x -=-，且|4|4x x -=-，由绝对值的意义可知10x -≥，且40x -≥，所以14x x ≤≤，即的取值范围是14x ≤≤.故选B.【解题策略】 2a |a |形式的式子的化简都应分类讨论.例21 如图21-10所示的是一块长、宽、高分别为7cm ，5cm 和3cm 的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A 处，沿着长方体的表面爬到和顶点A 相对的顶点B 处吃食物，那么它要爬行的最短路径的长是多少？分析 这是一个求最短路径的问题，一个长方体有六个面，蚂蚁有三种不同的爬行方法，计算时要分类讨论各种方法，进而确定最佳方案.22(57)3153++=22(37)5125++=22(35)7113++=(cm). 113规律·方法 沿表面从长方体的一个顶点爬到相对的顶点去，共有三个爬行路线，每个路线长分别是它爬行两个展开图的对角线的长.2011中考真题精选 一、选择题1. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ）A 、51B 、5.0C 、5D 、50 考点：最简二次根式．图21-10专题：计算题． 分析：判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．解答：解：A 、51=55，被开方数含分母，不是最简二次根式；故此选项错误 B 、5.0= 22，被开方数含分母，不是最简二次根式；故此选项错误 C 、，是最简二次根式；故此选项正确；D. 50=52，被开方数，含能开得尽方的因数或因式，故此选项错误故选C ．此题主要考查了最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 2. （2011•江苏徐州，5，21x -x 的取值范围是（ ） A 、x≥1 B 、x ＞1 C 、x ＜1 D 、x≤1 考点：二次根式有意义的条件。
中考数学深度复习讲义：二次根式
中考数学深度复习讲义：二次根式
2019年中考数学深度复习讲义：二次根式
◆知识讲解
1.二次根式
式子 (a0)叫做二次根式.
2.最简二次根式
同时满足：①被开方数的因数是整数，因式是整式(分母中不含根号);②被开方数中含能开得尽方的因数或因式.这样的二次根式叫做最简二次根式.
3.同类二次根式
几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式.
4.二次根式的性质
①( )2=a(a ② =│a│= ;
③ = (a0，b ④ (b0，a0).
5.分母有理化及有理化因式
把分母中的根号化去，叫做分母有理化;两个含有二次根式的代数式相乘，•若它们的积不含二次根式，则称这两个代数式互为有理化因式.
6.二次根式的运算
(1)因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面;如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，•变形为积的。
2024年中考第一轮复习 数的开方与二次根式 课件
3
B. -8=2
( D )
C.-a
1
=
-
D.- 64=-8
■ 知识梳理
正数 a
平方根
0
负数 b
等于其本身的数
0
没有
0
0
没有
0,1
0± (一正一来自)算术平方根立方根
3
3
0,1,-1
考点二
二次根式的相关概念及性质
4.[2020·济宁]下列各式是最简二次根式的是 ( A )
个数据应是 -3 (结果需化简).
7.[2020·湖州]计算: 8+| 2-1|.
解:原式=2 2 + 2-1=3 2-1.
最简二
(1)被开方数中的因数是整数,因式是整式;
次根式
(2)被开方数中不含开得尽方的因数或因式
(1) ≥0,a≥0(双重非负性);
二次根式
(3)
2 =|a|=
的性质
② a ( ≥ 0),
(4) =④
③ -a ( < 0);
(5)
=⑤
(2)( )2=① a
(a≥0,b>0)
(a≥0);
求百以内整数(对应的负整数)的立方根,会用计算器求平方根和立方根.
4.能用有理数估计一个无理数的大致范围.
考点一
平方根与立方根
1.[2020·南京]3 的平方根是
A.9
( D )
B. 3
2.[2020·常州]8 的立方根是
C.- 3
D.± 3
( C )
A.2 2
B.±2 2
C.2
D.±2
中考数学专题复习 第6讲 二次根式及其运算课件
考点四
二次根式的性质
1. a(a≥0)是非负数； 2．( a)2 ＝a(a≥0)； a a≥0 2 3. a ＝|a|＝ ； －aa＜0 4. ab＝ a· b(a≥0，b≥0)； a a 5. ＝ (a≥0，b＞0)． b b
考点五 二次根式的运算 1．二次根式的加减法 先将各根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式． 2．二次根式的乘除法 二次根式的乘法： a· b＝ ab(a≥0，b≥0)； a a 二次根式的除法： ＝ (a≥0，b＞0)． b b 二次根式的运算结果一定要化成最简二次根式．
1－ 8．计算：( ) 3＋( 3－2 010) 0－( 27－6tan 30° ) 3 28－ 3.
考点训练 6
二次根式及其运算 二次根式及其运算 训练时间：60分钟 分值：10 训练时间：60分钟 分值：100分
一、选择题(每小题 3 分，共 42 分)
1．(2010· 德化)下列计算正确的是( ) A. 20＝2 10 B. 2· 3＝ 6 C. 4－ 2＝ 2 D. －32＝－3
2 2 【解析】x＝1－( 2－1)＝1－ 2＋ 1＝2－ 2，|x－ 2|＋ ＝|2－ 2－ 2|＋ ＝|2－ x 2－ 2 2 2|＋(2＋ 2)＝2 2－2＋2＋ 2＝3 2.
【答案】C
二、填空题(每小题 3 分，共 24 分)
15．(2010· 北京)若二次根式 2x－1有意义，则 x 的取值范围是________．
1
2x－ 1 1 B．x≤3 且 x≠ 2 1 D. <x≤3 2
有意义，则 x 应满足(
)
1 【解析】3－x≥0 且 2x－1>0，故 <x≤3. 2
【答案】D
4．(2010· 济南)下列各式中，运算正确的是( A. 6÷ 3＝ 2 B．2 2＋3 3＝5 5 6 3 2 C．a ÷ a ＝a D．(a3) 2＝a5
第6课时 二次根式中考总复习
专题05 二次根式一、知识梳理1.二次根式：式子)0(≥a a 叫做二次根式，二次根式必须满足：含有二次根号“”；被开方数a 必须是非负数。
2.最简二次根式：被开方数的因数是整数，因式是整式；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫做最简二次根式。
3.化二次根式为最简二次根式的方法和步骤：（1）如果被开方数是分数（包括小数）或分式，先利用商的算数平方根的性质把它写成分式的形式，然后利用分母有理化进行化简。
（2）如果被开方数是整数或整式，先将他们分解因数或因式，然后把能开得尽方的因数或因式开出来。
4.同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式。
5.二次根式的性质及运算：（1）)0()(2≥=a a a （2）⎪⎩⎪⎨⎧<-=>==）（）（）（00002a a a a a a a（3）)0,0(≥≥•=b a b a ab （4）)0,0(≥≥=b a ba b a 6.二次根式混合运算二次根式的混合运算与实数中的运算顺序一样，先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的（或先去括号）。
二、课前小练习 1. (2019 江苏南通 ) 化简 的结果是（ ）A. 4B. 2C. 3D. 22. (2019 湖南益阳) 下列运算正确的是( ) A.＝﹣2 B. (2)2＝6 C.D.3. (2019 内蒙包头) 在函数 中，自变量 的取值范围是（ ）A.B.C.且 D.且4. (2019 四川内江) 若 ，则________．5. (2019 山东滨州) 计算： ________．三、考点互动【考点1 二次根式相关概念】 【例1】在式子，，，（y ≤0），和（a ＜0，b ＜0）中，是二次根式的有（ ）A．3个B．4个C．5个D．6个变式：若两个最简二次根式和是同类二次根式，则n的值是（）A．﹣1 B．4或﹣1 C．1或﹣4 D．4【考点2 二次根式有意义条件】【例2】式子在实数范围内有意义的条件是（）A．x≥1 B．x＞1 C．x＜0 D．x≤0【考点3 利用二次根式性质化简符号】【例3】把a根号外的因式移入根号内，运算结果是（）A．B．C．﹣D．﹣变式：已知ab＜0，则化简后为（）A．a B．﹣a C．a D．﹣a【考点4 二次根式的混合运算】【例4】计算：（1）（2）3变式:计算：（1）（）÷（2）（3）2﹣（）（）【考点5 利用二次根式性质求代数式的值】【例5】已知，，求下列式子的值：（1）a2b+ab2；（2）a2﹣30b+b2；四、分层达标： A 组1．已知a x y =+，b x y =-，那么ab 的值为( ) A ．2xB ．2yC ．x y -D ．x y +2．下列式子中，与232-互为有理化因式的是( ) A ．232-B ．232+C ．322+D ．322-3．在下列各组二次根式中，是同类二次根式的是( ) A ．2和12B ．2和12C ．2ab 和3abD ．1a -和1a +4．若a 为实数，则下列式子中正确的个数为( )（1）2a a = （2）22a a = （3）2||a a =（4）63a a = A ．1B ．2C ．3D ．45．若23a <<，则2244(3)a a a -+--等于( ) A ．52a -B ．12a -C ．25a -D ．21a -6.计算：1832+= ．7.如果二次根式3x -有意义，那么x 的取值范围是 ． 8.计算（1）﹣×+（2）（2﹣）2018（2+）2019﹣2×|﹣|﹣（）（3）（4）B 组1.二次根式：①；②；③；④；⑤中最简二次根式是（ ）A ．①②B ．③④⑤C ．②③D ．只有④ 2.为使有意义，x 的取值范围是（ ） A ．x ≥﹣2且x ≠2 B ．x ＞﹣2且x ≠2C ．x ＞2D ．x ＞2或x ≤﹣23.使代数式有意义的整数x有（）A．5个B．4个C．3个D．2个4.若0＜x＜1，则﹣等于（）A．B．﹣C．﹣2x D．2x5.已知x＝，y＝，求：（1）x2y﹣xy2的值；（2）x2﹣xy+y2的值．6.已知﹣＝2，求的值．7.阅读下述材料：我们在学习二次根式时，熟悉的分母有理化以及应用其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式比如：﹣＝＝分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较﹣和﹣的大小可以先将它们分子有理化如下：﹣＝﹣＝因为﹣＞+，所以﹣＜﹣再例如：求y＝﹣的最大值．做法如下：解：由x+2≥0，x﹣2≥0可知x≥2，而y＝﹣＝当x＝2时，分母﹣有最小值2，所以y的最大值是2解决下述两题：（1）比较3﹣4和2的大小；（2）求y＝+﹣的最大值和最小值．8.阅读理解：对于任意正整数a，b，∵（﹣）2≥0，∴a﹣2+b≥0，∴a+b≥2，只有当a＝b 时，等号成立；结论：在a+b≥2 （a、b均为正实数）中，只有当a＝b时，a+b有最小值2．根据上述内容，回答下列问题：（1）若a+b＝9，≤；（2）若m＞0，当m为何值时，m+有最小值，最小值是多少？9.阅读与计算：请阅读以下材料，并完成相应的任务．古希腊的几何学家海伦在他的《度量》一书中给出了利用三角形的三边求三角形面积的“海伦公式”：如果一个三角形的三边长分别为a、b、c，设p＝，则三角形的面积S＝．我国南宋著名的数学家秦九韶，曾提出利用三角形的三边求面积的“秦九韶公式”（三斜求积术）：如果一个三角形的三边长分别为a、b、c，则三角形的面积S＝．（1）若一个三角形的三边长分别是5，6，7，则这个三角形的面积等于．（2）若一个三角形的三边长分别是，求这个三角形的面积．10.已知一个三角形的三边长分别为12，，．（1）求此三角形的周长P（结果化成最简二次根式）；（2）请你给出一个适当的a的值，使P为整数，并求出此时P的值．。
人教版初中数学中考复习 一轮复习-数的开方与二次根式
伦﹣秦九韶公式．若p＝5，c＝4，则此三角形面积的最大值为（ ）
A. 5
B.4
C.2 5
D.5
知识点四、二次根式-二次根式的运算
解：p a b c a b 4 5
2
2
所以a b 6, a 6 b
s pp ap bp c 55 a5 b5 4
55 (6 b)5 b1 5 b 15 b
3 的结果是______.
3 12
解： 3 1 1 1 3 12 1 4 1 2 3
5. 化简： 1 1 49
解： 1 1 9 4 13 13 4 9 36 36 36 6
知识点三、二次根式-二次根式的性质
D 1.[2019·济宁]下列计算正确的是 ( )
A. 3 2 3
解：原式 9 — 1 8 22
9 2 — 1 2 2 2 22 22
3 2 — 2 2 2 22
3 — 1 2 2 2 2
3 2
知识点四、二次根式-二次根式的运算
2、（2021. 铜仁）计算（ 27 — 18）（ 3 — 2）
解：原式 （3 3 - 3 2）（ 3 - 2） 9-3 6 -3 6 6 15- 6 6
一轮复习
数的开方与二次根式
课标要求
1. 了解平方根、算术平方根、立方根的概念,会用根号表示数的平方根、算术平方 根 、 .立方根。 2. 了解乘方与开方互为逆运算,会用平方运算求百以内整数的平方根,会用立方运算求
百以内整数(对应的负整数)的立方根,会用计算器求平方根和立方根. 3. 能用有理数估计一个无理数的大致范围. 4. 了解二次根式、最简二次根式的概念,了解二次根式(根号下仅限于数)加、减、乘、
5 4 b3 2
中考数学全程大一轮复习课件 第2单元 第6课时 二次根式
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【变式训练】
7．(2019·重庆)估计2 3＋6 2× 13的值应在 ( C )
A．4和5之间
B．5和6之间
C．6和7之间
D．7和8之间
【解析】 ∵原式＝2 3 ×
1 3
＋6
2×
1 3
＝2＋
24 ，而
16 <
24 <
25 ，即
4< 24<5，
∴2＋4<2＋ 24<5＋2，即6<2 3＋6 2×
二次根式 的乘法
a· b＝ ab (a≥0，b≥0)．
二次根式 的除法
a
a＝ b
b (a≥0，b>0).
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归类探究
类型之一 二次根式有意义的条件
1 (1)(2018·怀化)使 x－3有意义的x的取值范围是( C )
A．x≤3
B．x<3
C．x≥3
D．x>3
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(2)(2019·岳阳改编)函数y＝ xx＋2中，自变量x的取值范围是( B )
选A.
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6．已知实数x，y满足 x－1＋|y＋3|＝0，则x＋y的值为( A )
A．－2
B．2
C．4
D．－4
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类型之三 二次根式的运算 3 计算：
(1)(2017·大连)( 2＋1)2－ 8＋(－2)2； (2)(2018·北京)4sin 45°＋(π－2)0－ 18＋|－1|. 解：(1)原式＝3＋2 2－2 2＋4＝7. (2)原式＝4× 22＋1－3 2＋1＝－ 2＋2. 【点悟】 在二次根式的运算或化简的过程中，乘法公式、因式分解等相关法 则、方法均可使用．
6 2020年中考数学复习第六讲：二次根式
2020年中考数学复习第六讲：二次根式【基础知识回顾】一、 二次根式: 式子a （ ）叫做二次根式 【①次根式a 必须注意a___o 这一条件，其结果也是一个非数即：a ___o ②二次根式a （a ≥o ）中，a 可以表示数，也可以是一切符合条件的代数式】二、二次根式的性质： ①（a ）2= （a ≥0）= （a ≥0 ,b≥0）= (a ≥0, b≥0) 【二次根式的性质注意其逆用：如比较23和a ）2=a(a ≥0)将根号外的整数移到根号内再比较被开方数的大小】三、最简二次根式：1、被开方数的因数是 ，因式是整式2、被开方数不含 的因数或因式四、二次根式的运算：1、二次根式的加减：先将二次根式化简，再将 的二次根式进行合并，合并的方法同合并同类项法则相同2、二次根式的乘除：= （a ≥0 ,b≥0）=（a ≥0，b ＞0） 3、二次根式的混合运算顺序：先算 再算 最后算【1、二次根式除法运算过程一般情况下是用将分母中的根号化去这一方法进= = 2、二次根式混合运算过程要特别注意两个乘法公式的运用3、二次根式运算的结果一定要化成 】【重点考点例析】（a ≥o ） （a ＜o ）考点一：二次根式有意义的条件A ．x ≠3B ．x ＜3C ．x ＞3D ．x ≥3对应训练A ．x≥0B ．x≠12C ．x≥0且x≠12D ．一切实数 考点二：二次根式的性质 例2 （2019•张家界）实数a 、b 在轴上的位置如图所示，且|a|＞|b|，则化简2||a a b -+的结果为（ ）A ．2a+bB ．-2a+bC ．bD ．2a-b点评：本题考查了二次根式的化简和性质、实数与数轴，解题的关键是注意开方结果是非负数、以及绝对值结果的非负性．对应训练考点三：二次根式的混合运算点评：此题主要考查了二次根式的混合运算以及负整数指数幂的性质，熟练利用这些性质将各式进行化简是解题关键．对应训练考点四：与二次根式有关的求值问题对应训练A ．0B ．25C ．50D ．80点评：本题考查了平方差公式，因式分解，二次根式的运算等知识点的应用．1．（2019•泰安）下列运算正确的是（ ）A 5=-B ．21()164--=C ．x 6÷x 3=x 2D ．（x 3）2=x 52.（2019•临沂）计算：= ． 0(3)-= ．。
人教版九年级中考数学总复习课件第6课时 二次根式(共17张PPT)
.
点悟:二次根式中被开方数为非负数是根据平方根的定义, a(a ≥ 0) 是非负数是指非负数的算术平方根也是非负数,常见的有三种 非负数:绝对值、平方、二次根式(算术平方根)；几个非负数 的和等于 0,则这几个数都为 0.
【考点2】二次根式的化简
最简二 被开方数不含 分母 ,或分母不含二次根式. 次根式 被开方数中不含能 开得尽方的 因数或因式.
第6课时 二次根式
【考点 1】 二次根式的概念与性质 定义 形如 a (a ≥ 0)的式子叫做二次根式.
a ≥ 0 (a ≥0) ；
性质 ( a )2 a (a ≥0) ；
a2 | a | a(a ≥ 0) . a(a 0)
1.[教材原题]当 a 是怎样的实数时,下列各式在实数范围内有意义?
2
2
∴ S p( p a)( p b)( p c)
9 (9 2) (9 3) ( 9 4)
22
2
2
3 4
15
在秦九韶公式中,
S 1 a2b2 ( a2 b2 c2 )2
2
2
1 22 32 ( 22 32 42 )2
2
2
3 15 . 4
13.[变式]阅读材料:小明在学习二次根式后,发现一些含根号 的式子可以写成另一个式子的平方,如: 3 2 2 （1 2）2 . 小明进行以下探索:
除 法
a
a b
b
反过来,有 a b
(a ≥ 0, b 0) ；
a b
(a ≥ 0, b 0) .
加 一般可以先将二次根式化成 最简二次根式 , 减 再将 被开方数 相同的二次根式进行合并.
8.[教材原题]计算:
(1)
2 3
广东省中考数学复习配套课件：二次根式
- (2)由 x＋3 > 0，得 x > 3
所以当 x >-3 时， x 有意义.
x＋3
2.当 x 取何值时， 2x 3 1 在实数范围内有意义？ x 1
解：由2x+3≥0,得x≥ 3
2
由x+1≠0，得x≠-1
所以，当x≥ 3 且x≠-1时
2x 3
1
2
在实数范围内有意义
x 1
3.化简： 8 ×( 2－ 1) 2
3.计算： 4 2 ＝_-___4 _21_14____． 37
4.下列计算正确的是( A )
A. 2× 3＝ 6 B. 2＋ 3＝ 5
C. 8＝4 2
D. 4－ 2＝ 2
二.强化训练
1.当 x 取何值时，下列二次根式有意义？
(1) 2x－4；
(2) x ； x＋3
解：(1)由 2x－4 ≥ 0，得 x ≥ 2 所以当 x ≥ 2 时， 2x－4有意义；
x
＝x－1× x 1x 1（将除法转化为乘法）
x
x
＝ x1
（化简）
当 x＝ 3－1 时，
1
3
原式＝ 3 1 1 ＝ 3
.
6. 先化简，再求值：
1 ＋1 x－1 ÷
x ，其中 x＝ 5－1.
x2－1
解：原式=
x x 1
÷
x
x 2
1
=
x x 1
× x1x1
x
= x+1
当x= 5 1 时，原式= 5 11 = 5
解：原式= 8 × 2
－
8
×1 2
= 16 － 4
= 4-2
=2
2
4.计算： 5 2 3
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第6讲 二次根式
【考点总汇】
一、二次根式的概念
二次根式：形如 的式子。
微拨炉：
二、二次根式的性质
1.当 时，0≥a 。
2.=2)(a ( )。
3.=2a ｜ ｜ ⎩⎨⎧<≥=。
，，
，0________0________a a 4.=ab ﹒ ，( ， )。
5.=b a
( ， )。
微拨炉：
三、二次根式的运算 1.最简二次根式
最简二次根式要同时具备下列两个条件： （1）被开方数中不含 。
（2）被开方数中不含 的因数或因式。
2.二次根式的乘除
（1）=⋅b a 0(≥a ，)0≥b 。
（2）=b a
0(≥a ，)0>b 。
3.二次根式的加减：先将二次根式化成 ，再将 相同的二次根式合并。
微拨炉：
高频考点1、二次根式有意义的条件 【范例】若x 31-在实数范围内有意义，则x 的取值范围是 。
得分要领：
1.若二次根式有意义，则需被开方数为非负数。
2.若二次根式出现在分母中，则需被开方数为正数。
3.若所得式子既含二次根式又含分母，则需被开方数为非负数，且分母不为0，要综合考虑字母的取值，如1
2+-x x 有意思的条件为2≥x ，而不是2>x ，且1-≠x 。
【考题回放】
1.若代数式3-x 在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ）
A.3-≥x
B.3>x
C.3≥x
D.3≤x
2.若121
-x 在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ）
A.21≥x
B.21-≥x
C.21>x D .2
1≠x 3.若22
44--+-=x x y ，则=+y y x )( 。
4.已知x ，y 为实数，且49922+---=
x x y ，则=-y x 。
高频考点2、二次根式的性质及化简
【范例】若02)1(2=++-n m ，则n m +的值是（ ）
A.－1
B.0
C.1
D.2
得分要领：
1.2a 中的a 可以取任何实数，而2)(a 中的a 必须取非负数，只有当a 取非负数时，22)(a a =。
2.当0≥a 时，a a =2；当0≤a 时，a a -=2，如2)2(2=-。
3.a a a ,,2都具有非负性。
【考题回放】
1.已知实数x ，y 满足031=++-y x ，则y x +的值为（ ）
A.－2
B.2
C.4
D.－4
2.下列各式与3是同类二次根式的是（ ） A.8 B.24 C.125 D.12
3.计算2)3(-的结果是（ ）
A.－3 B .3 C.－9 D.9
4.下列二次根式中，不能与2合并的是（ ） A.
21 B.8 C.12 D.18
高频考点3、二次根式的运算 【范例】计算：=⨯-
505245 。
得分要领：
1.二次根式的运算顺序与有理数的运算顺序相同。
2.二次根式相乘时要有一定的灵活性。
例如，计算b a ⋅时，如果b a ,不是最简二次根式，也可以先把它们化成最简二次根式，然后再相乘，这样简单一些。
3.二次根式的乘法运算和除法运算中，常结合积的算术平方根和商的算术平方根的性质将二次根式化成最简二次根式。
【考题回放】
1.下列计算错误的是（ ） A.632=⋅ B.532=+ C.2312=÷ D.228=
2.如果0>ab ，0<+b a ，那么下面各式：①b a b a =，②1=⋅a b b a ，③b b
a a
b -=÷，其中正确的是（ ）
A.①②
B.②③
C.①③
D.①②③
3.已知231+=x ，232-=x ，则=+2
221x x 。
4.先化简，再求值：11
)112(2-÷--+a a a
a a ，其中12+=a 。
5.先化简，再求值：)9
6()3
1(x x x x --÷-，其中32014+=x 。
【错误诊断】分析下面解题的错误并纠正在右边
【例题】化简：31
948-。
解：原式31
9316⨯-⨯=………………①
334-= ………………②
33= ………………③
【规避策略】
当二次根式有系数且能化简时，应先将二次根式化简再与其前面的系数相乘。
【实战演练】
1.下列计算正确的是（ ） A.532=+ B.132-=- C.632=⨯ D.3218=÷
2.若0)3(12=++-+x y x ，则y x -的值为（ ）
A.1
B.－1
C.7
D.－7
3.在函数11
-=x y 中，自变量x 的取值范围是（ ）
A.1≤x
B.1≥x
C.1<x
D.1>x
4.下列计算正确的是（ ） A.2828+=+ B.9
4)9()4(-⋅-=-⋅- C.32321
+=- D.21
2214=
5.若a a -=-2)2(2，则a 的取值范围是 。
6.若21
-x 在实数范围内有意义，则x 的取值范围是 。
7.当x 时，代数式21
--x x 有意义。
8.已知最简二次根式2+a 与8能合并，则=a 。
9.计算：1
)31(-－0)32(-－4 60sin +12＝ 。
10.计算：48÷3－21×12+24。
11.计算：0
)21()12(8+-+。
12.计算：)31
332(8--×6+0)12(-。
13.计算：2021515+－45×54+45÷5。
【限时小测】建议用时30分钟。
总分50分
一、选择题（每小题3分，共12分）
1.下列二次根式是最简二次根式的是（ ） A.31
B.23
C.24
D.27 2.要使式子11
-+m m 有意义，则m 的取值范围是（ ）
A.1->m
B.1-≥m
C.1->m 且1
≠m D.1-≥m 且1≠m 3.下列计算正确的是（ ） A.13334=- B.532=+
C.221
2= D.25223=+
4.计算831
321
4-+的结果是（ ） A.23+ B.3 C.33
D.23-
二、填空题（每小题3分，共12分）
5.已知：最简二次根式b a +4与b a -23可以合并，则=+b a 。
6.化简=+-20142015)25()25( 。
7.已知0)2014(12=-++y x ，则=y x 。
8.对于任意实数b a ,，定义一种运算＆如下：a ＆)()(b a b b a a b -++=,如3＆2
17)23(2)23(3=-⨯++⨯=。
那么3＆=2 。
三、解答题（共26分）
9.（6分）先化简，再求值：)12(22222
2-+÷+-ab b a ab b a b a ，其中53+=a ，53-=b 。
10.（8分）观察下列运算：
a.由1)12)(12(=-+，得12121
-=+；
b.由1)23)(23(=-+，得23231
-=+；
c.由1)34)(34(=-+，得34341
-=+；…
①通过观察你得出什么规律：用含n 的式子表示出来。
②利用①中你发现的规律计算：
++++++341
231
121
(…)12015(201420151
+⨯++。
【培优训练】
11.（12分）小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个含根号的式子的平方，如
2)21(223+=+，善于思考的小明进行了如下探索设2)2(2n m b a +=+，
（其中n m b a ,,,均为正整数），则有222222n mn m b a ++=+，∴222n m a +=，mn b 2=。
这样，小明找到了把部分2b a +的式子化为平方式的方法。
请你仿照小明的方法探索并解决问题：
（1）当n m b a ,,,均为正整数时，若2)3(3n m b a +=+，用含n m ,的式子分别表示b a ,得，=a ，=b 。
（2）利用所探索的结论，找一组正整数n m b a ,,,填空
=( 2。
（3）若2)3(34n m a +=+用n m a ,,均为正整数，求a 的值。