《广义变分原理》第三章

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变分原理-3_2007

3 弹性静力学变分原理一、弹性力学平衡问题的基本方程：回顾,0ij j i f σ+= 在域V 内(3.1),,()/2ij i j j i u u ε=+ (3.2) ij ijkl kl c σε= 或 ij ijkl kl s εσ= (3.3a ,b )式中ijkl ijlk jikl klij c c c c ===(3.4)边界条件：在域V 的边界B 上，12B B B =⋃，有i i u u =，在1B 上(3.5) ij ij i p n p σ==，在2B 上(3.6)补注1：有限变形应变公式不限于小变形的应变定义依据坐标的选取分两类，一类是以变形前坐标i X 来衡量，称为Lagrange 应变或者Green 应变，另一类则是以变形后坐标i x 来衡量，称为Euler 应变或者Almansi 应变，分别为12j i k k ij j i i j u uu u L X X X X ⎛⎫∂∂∂∂=++⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭12j i k k ij ji i j u u u u E x x x x ⎛⎫∂∂∂∂=+- ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭ (s-3.1)补注2：微极弹性理论经典的弹性力学中，从微六面体的平衡出发推导平衡方程时，六面体各面上仅有一合力作用，自然有三个分量。

但我们在研究宏观构件，比如弹性直梁时，其截面上除了一个合力外，尚有一个合力矩（即三个力矩分量）。

也就是说，在经典的弹性理论中，微元体面上的合力矩被忽略了。

如果考虑这一合力矩的影响，我们便得到所谓的Cosserat 理论，相应的介质称为Cosserat 介质。

事实上，第一个考虑合力矩影响的是德国学者W. V oigt ，他于1887年发表论文，发现这一考虑将导致应力张量的非对称性。

E. Cosserat 和F. Cosserat 兄弟俩于1909年完善了Voigt 的工作，特别是提出了物体在变形过程中其每一点不仅有平移变位，而且伴随着转动变位。

弹性力学的广义变分原理

弹性力学的广义变分原理摘要：研究了在弹性力学的三类变量广义变分原理中，变量三个变量是否独立，是否包含了应力应变关系。

指出了在应用广义变分原理时应满足下列条件：泛函中的应变能用应变表示、应变余能用应力表示：在用广义变分原理求实际问题的近似解时。

三类变量的试探函数可以独立选择，但各类变量之间应不违背力学基本关系。

为了解除应力应变关系的变分约束，我们提出了一个高阶拉格朗日乘子法。

用这个高阶拉氏乘子法，我们从胡鹭原理和海赖原理分别导出了前所未知的更普遍的广义变分原理。

我们也证明了在这两类变分原理之间，有等价定理和相关的等价关系存在。

关键词：弹性力学；广义变分原理前言：弹性力学广义变分原理是弹性力学最小势能原理和弹性力学最小余能原理的推广，其特点是，变分式中各量都可有独立的变分，并且事前不受任何限制。

1.广义变分原理Ⅰ1.1广义函数及其构造。

弹性力学最小势能原理和弹性力学最小余能原理的推广，其特点是，变分式中各量都可有独立的变分，并且事前不受任何限制。

在弹性力学空间问题中，最一般的广义变分原理可叙述为：弹性力学空间问题的解必须满足弹性体的广义势能变分为零的条件，该条件又称为驻值条件，即方程，包括应变-位移关系，应力-应变关系、平衡方程和边界条件。

上述变分原理的独立变量有位移、应变、应力三类，因此称为三类变量广义变分原理。

它是中国力学家胡海昌于1954年首先提出的，日本的鹫津久一郎于1955年也独立地得到这一原理，所以又称胡-鹫津原理。

弹性力学广义变分原理有一种稍弱的形式，即二类变量广义变分原理，又称为赫林格-瑞斯纳原理。

它由E．赫林格于1914年和E．瑞斯纳于1950年分别独立提出，其数学表达式为：在有限元法和工程弹性理论中，广义变分原理有广泛的应用。

例如，在板壳弯曲的有限元计算中，用它处理变形的不协调性，可得到较好的结果。

对于解决几何非线性问题，胡-鹫津原理是一个有力的工具。

在工程弹性理论中，广义变分原理可用于推导各种近似理论；在弹性振动和稳定理论中，可用于求固有频率和临界载荷，并能获得较好的结果。

3[1].变分法与Hamilton原理

；
泛函Φ 的自变量为
定义域，自变量的变分
,
数的无穷小改变。
，即函
小参量法的定义为
，其中为任意无穷小量，为任意连续有界函数。类似于数
学分析中的 ‐ 语言，这是严格的数学定义。下面的叙述我们不追求数学上的严格性。
3. 泛函的变分
函数的微分
,,,
,
,,
,,, .
泛函的变分 Φ
Φ
Φ.
1 / 40
例Φ
解出 , ，得
⁄
0.562551 0.422487 π θ θ 0.211530 π θ θ 0.0604328 π θ θ
⁄
0.0173699 π θ θ 0.00202953 π θ θ
0.000561428 π θ θ
⁄
0.00164894 π θ θ
1 绳长不变，得约束条件
0
1
由于有约束，不独立。引进拉氏乘子，得 0
10 / 40
1 1 1 1
1 1
1 1
1 1
1
1
1
1
01
0 1
可以直接求解方程，也可以利用“广义能量积分”，
1 1
1
,
1 1
1
ln cosh
3 个待定常数（2 个积分常数，1 个来自拉氏乘子）由代数方程
,
,
1
1 sinh
2 cosh
点为原点，设 0, 0。 , 两点之间用曲线
连接，一个质点被束缚在曲线上运
动，在重力作用下自由下降，初速为 0。什么样的曲线形状可以使质点从到所花的时间最少？
解机械能守恒，通过这段弧所需的时间为
2 ；弧长

《变分法》课程教学大纲

《变分法》课程教学大纲
课程名称：变分法学分：2学时：32 实验学时：0
适用（学科）专业：应用数学执笔人：王杰
学科负责人签字：单位负责人签字：
一、课程目的
本课程主要是系统学习变分法的基本理论和方法，用广泛的变分方法来解决弹性力学的边值问题，建立弹性力学的几个变分原理，从这些变分原理出发，用一致的方法导出各种类型弹性力学的平衡方程。

二、课程学习要求
了解变分方法在工程实际问题中的应用，建立弹性力学的边值问题的数学模型。

为进一步学习有限元理论，塑性力学等奠定必要的理论基础
三、教学内容与学时分配
第一章绪论（2学时）
第一章变分问题与泛函极值（6学时）
第三章变分极值问题解答（2学时）
第四章含有多个未知数的变分问题（4学时）
第五章依赖于多元函数的泛函（4学时）
第六章弹力的变分方法（4学时）
第七章虚功原理综述（2学时）
第八章位移、应力变分法（8学时）
四、教材及主要参考资料
教材:自编讲义。

参考书: 《弹性力学》徐芝纶编著高等教育出版社
《弹性和塑性力学的变分法》鹫津久一郎著《广义变分原理》钱伟长著。

变分原理基础_讲义

变分原理基础罗建辉2009年夏季1 能量原理能量原理是以能量形式表述的力学定律。

概括地说，在所有满足一定的约束条件的可能状态中，真实状态应使其能量取极值或驻值。

本课程讨论结构力学、弹性力学、薄板的能量原理，只讨论线性平衡问题。

2 弹性系统真实平衡状态的能量特征举例从能量角度看，弹性系统的真实平衡状态具有如下的能量特征：即与其他可能状态相比，真实状态的能量为极值或驻值。

对这一能量特征举几个简例。

例0—1. 弹簧系统真实平衡状态的能量特征图0—1 所示为一弹簧下端挂一重物。

弹簧的刚度系数为k ，重物的重力为P 。

用∆表示位移，当弹簧系统处于平衡状态时，求得位移∆的真解为kP =∆=∆0)(真解 (1)真解的能量特征是弹簧系统的势能p ∏为极小。

现检验如下：∆-∆=∏P k p221 (2)式(2)右边第一项是弹簧的应变能，第二项是重力P 的势能。

系统势能p ∏是位移∆的二次式。

由式(2)得221()22pP Pk kk∏=∆--(3)现考察真解的能量特征。

显然，真解(1)使势能p ∏取极小值。

换一个角度，求p ∏的一阶及二阶导数，得Pk d d p-∆=∆∏ (4)22>=∆∏k d d p(5)将真解(1)代入式(4)，得0=∆∏d d p，故知势能p∏为驻值。

根据式(5)，又知势能p∏变分原理广义变分原理单变量形式多变量形式为极小值。

例0—2 超静定梁真实平衡状态的能量特征图0—2a 所示为一超静定梁，取图0—2b 所示静定梁为其基本结构。

根据平衡条件，基本结构的弯矩可表示为PMX M M +=11 (6)其中p M 是在荷载作用下基本结构的弯矩，1M 是在单位多余力11=X 作用下基本结构的弯矩，1X 是任意值。

式(6)同时也是超静定梁满足平衡条件的可能弯矩，由于1X 是任意参数，因此超静定梁的可能弯矩尚未唯一确定。

为了确定1X 的真解，还必须应用变形协调条件)(1111=∆+p X 真解δ (7)式中⎰=∆dxEI M M pp 11 (8)⎰=dxEIM 2111δ试验证真解的能量特征是梁的余能c ∏为极小值，余能c ∏的表示式为dxMX M EIdx EIMpc ⎰⎰+==∏2112)(212 (9)余能c ∏是1X 的二次函数，由式(9)得11111122211221212211112221111111111(2)21[2]21[2]21[()]2p c p p p p p p p p M X M M X M dxEIM dx M M dx M dx X X EIEI EIM dx X X EIM dx X EIδδδδ∏=++=++=+∆+=+∆-∆+⎰⎰⎰⎰⎰⎰(10)由式(10)可知变形协调条件(7)使余能c ∏取极小值。

弹性力学广义变分原理中的一个悖论

弹性力学广义变分原理中的一个悖论弹性力学广义变分原理中的一个悖论在弹性力学中，广义变分原理是非常重要的一个概念，它描述了物体的力学行为可以通过极小化能量或其他类似的量来计算。

然而，这个原理在某些情况下却会导致一个悖论，即所得到的方程组与实际的物理行为不符合。

一、弹性力学广义变分原理的基本概念弹性力学广义变分原理是描述弹性物体力学行为的基本概念。

它的主要思想是，将物体的位移场看作一个无限维度的函数空间，从中找到一个合适的位移函数，使得物体的总能量达到最小值。

在弹性力学中，物体的总能量可以表示为弹性能量和势能两部分之和。

其中，弹性能量是由物体内部的应变产生的能量，而势能则是物体在外力作用下所获得的能量。

为了得到物体的最小能量，我们可以采用变分法的思想，通过对位移场的微小改变来求得位移函数的变化。

这里的变分法指的是将原问题转化为一个最小化函数的问题，通过对函数进行微小改变来找到最小值。

二、弹性力学广义变分原理中的悖论虽然弹性力学广义变分原理在很多情况下都可以准确地描述物体的力学行为，但在某些情况下，所得到的方程组却会与实际物理行为不符合。

这种情况被称为“悖论”。

一个著名的例子就是薄板弯曲问题。

当我们试图用广义变分原理来求解薄板的弯曲问题时，所得到的方程组与实际物理行为不符。

这是因为广义变分原理假设物体的形变是小量，而在薄板弯曲问题中，物体的形变可以非常大。

为了解决这个问题，研究者们提出了不同的方法，例如使用非线性广义变分原理或是采用更加精细的数学模型。

但这些方法也存在一定的局限性，无法完全解决所有的悖论问题。

三、如何解决弹性力学广义变分原理中的悖论为了解决弹性力学广义变分原理中的悖论，我们可以采用以下几种方法：1. 采用更加精细的数学模型如上文所述，一弹性力学广义变分原理是描述弹性体运动的基本原理之一，它是建立在能量原理基础之上的。

广义变分原理的核心是作用量原理，其基本思想是运动的轨迹使得作用量取极值。

变分法的基本原理

变分法的基本原理
变分原理是物理学的一条基本原理，以变分法来表达。

根据科内利乌斯·兰佐斯的说法，任何可以用变分原理来表达的物理定律描述一种自伴的表示。

这种表示也被说成是厄米的，描述了在厄米变换下的不变量菲利克斯·克莱因的爱尔兰根纲领试图鉴识这类在一组变换下的不变量。

在物理学的诺特定理中，一组变换的庞加莱群(现在广义相对论中被称为规范群)定义了在一组依赖于变分原理的变换下的对称性，即作用原理。

把一个力学问题(或其他学科的问题)用变分法化为求泛函极值(或驻值)的问题，就称为该物理问题(或其他学科的问题)的变分原理。

如果建立了一个新的变分原理，它解除了原有的某问题变分原理的某些约束条件，就称为该问题的广义变分原理;如果解除了所有的约束条件，就称为无条件广义变分原理，或称为完全的广义变分原理。

1964年，钱伟长教授明确提出了引进拉格朗日乘子(Lagrange multiplier)把有约束条件的变分原理化为较少(或没有)约束条件的变分原理的方法。

日本的鹫津一郎教授、中国科学院院士钱伟长教授和刘高联教授等都是这方面的世界级大师。

变分原理在物理学中尤其是在力学中有广泛应用，如著名的虚功原理、最小位能原理、余能原理和哈密顿原理等。

在当代变分原理已成为有限元法的理论基础，而广义变分原理已成为混合和杂交有限元的理论基础。

在实际应用中，通常很少能求
出精确的解析解，因此大多采用近似计算方法。

近似计算方法主要有:李兹法、伽辽金法、康托洛维奇法、屈列弗兹法等。

有限元法与程序-变分原理及广义变分原理

( y( x)) 0
课后思考题：查资料理解强变分、弱变分，强极大（小）、弱极大（小）的概念
二、欧拉方程 1 变分法的基本预备定理如果函数F(x)在线段(x1, x2)上连续且对于只满足某些一般条件的任意选定的函数δy(x)，有

x2Biblioteka x1F ( x) y( x)dx 0
则在线段(x1, x2)上有 F ( x) 0 δy(x)的一般条件是：（1）一阶或若干阶可微；
0
这就是决定w(x,y)[在边界C上满足w= wC(x,y)]的微分方程，也称欧拉方程。
（2）常见泛函极值及对应的欧拉方程泛函
w w w (w( x, y, z )) F x, y, z, w( x, y, z ), , , dxdydz x y z
F y wy
wdxdy
F F w w dxdy x w y w x y S
由格林公式(G. Green)
由驻值条件δ Π =0，根据变分法基本预备定理
F F S w x wx F y wy wdxdy 0
F F w x wx
F w y y
F F sin cos wdl C w w y x 在边界C上，w(x,y)已知且为wC(x,y)，对于都通过 wC(x,y)的任意w(x,y)的变分δ w在边界上恒等于零。
因此
F F S w x wx F y wy wdxdy
从而说明变分法与欧拉方程的等价性

广义变分原理

广义变分原理广义变分原理是数学中的一个重要原理，它在物理学、工程学、经济学等领域都有着广泛的应用。

它的提出和发展，为许多复杂问题的求解提供了重要的思路和方法。

本文将对广义变分原理进行介绍和解释，希望能够帮助读者更好地理解这一重要的数学原理。

首先，我们来简单了解一下什么是变分。

在数学中，变分是一种函数的微积分运算，它是对函数的微小变化进行研究。

而变分原理则是研究在一定条件下，函数取得极值的性质和方法。

广义变分原理是对变分原理的一种推广和扩展，它适用于更加广泛的函数类别和问题类型。

广义变分原理的核心思想是在一定的边界条件下，寻找函数的极值。

这个边界条件可以是函数在某些点上的取值，也可以是函数在某些区间上的取值。

通过对函数的微小变化进行研究，我们可以得到函数的变分，进而求解函数的极值。

广义变分原理在物理学中有着重要的应用，比如在经典力学中，通过广义变分原理可以得到运动方程；在量子力学中，广义变分原理也有着重要的地位，它是波动方程的基础。

除了物理学，广义变分原理在工程学中也有着广泛的应用。

比如在结构力学中，通过广义变分原理可以得到结构的位移场方程；在流体力学中，广义变分原理也可以用来描述流体的运动规律。

在经济学中，广义变分原理可以用来描述经济系统的优化问题，比如成本最小化、利润最大化等。

总之，广义变分原理是数学中的一个重要原理，它在各个领域都有着广泛的应用。

通过对函数的微小变化进行研究，我们可以得到函数的变分，进而求解函数的极值。

这一原理的提出和发展，为许多复杂问题的求解提供了重要的思路和方法，对于深入理解和应用数学具有重要的意义。

希望本文对广义变分原理有所帮助，也希望读者能够进一步深入学习和研究这一重要的数学原理。

感谢您的阅读！。

变分原理-第3章

6 个应变分量在弹性力学中共有三类 15 个待求的函数—3 个位移分量 u i ，
eij ，6 个应力分量 σ ij 。
令物体所占空间为 V，V 的边界为 S，边界 S = S u + S p ，在 S u 上给定位移，在 S p 上给定外力。在 V 中给定体积力 Fi 。弹性力学的方程很多，其中直接从某一客观规律导出的方程称为基本方程。弹性力学的客观规律有三条，因此相应的基本方程也有三类。 1、连续条件—包括几何方程和位移边界条件
eij =
1 (ui, j + u j ,i ) 2
（在 V 域内）
（1）
ui − u i = 0
（在 S u 边界上）
2、应力应变关系—又称本构方程，通常有两种表示法
∂A = σ ij ∂eij
或
∂B = eij ∂σ ij
（在 V 域内）
（2） 3、平衡方程—包括 V 内的平衡方程和力的边界条件
Sp Su
(
)
[(
)
]
（10）
δu i , δλi 在 S u 上， δu i 在 S p 上都是独立的，令 δΠ * = 0 , 得由于 δeij , δu i , δλij 在 V 内，
∂A + λij = 0 ∂eij
（在 V 域内）
（11）
eij =
1 (ui, j + u j ,i ) 2
（10）
σ ij , j + Fi = 0
λi − u i = 0
（11）（12）
σ ij n j − p i = 0 η i + λi = 0
将上面各式与式（1）（2 ）（4 ）（5）对比，很容易确定

几何非线性非保守系统弹性力学广义拟变分原理

分原理．
关
蕾
词：何非线性；保守系统ｆ弹性力学；变分原理几非拟
文献标识码：Ａ文章编号：００—１９（０７００２１０８１２０）１— １０—０６
中圈分类号：４０３
各种自然现象和过程（力学现象）含通常由一组数理方程（微分方程、分一微分方程或积分方程）偏积及初边值条件描述，人们通过长期的探索研究，但发现这些现象和过程常常使系统的某一整体量（函）泛取驻值或极值，因而又可以用相应的变分原理描述．变分原理既体现了数学形式上的简洁优美，又体现了物理内容上的丰富深刻，具有工程应用上的价值，表了数学与物理的交融与贯通，更代以及理论与实用的结合与统一．特别是自２Ｏ世纪６Ｏ年代起，有限元法的兴起与蓬勃发展，使作为其主要理论基础的变分原理又重新焕发了青春，取得了长足的发展［］１．但是，于非线性系统和非保守系统变分原理的研究较少．关非线性系统方面，ＵＦＥ提出了放松连续性要求的非线弹性广义变分原理Ｌ；ＧＤＥＲＷ也ＢＬＲＨ７ＯＮ
・
（ａ）（ｂ）
涛（９１）女，士生，１８一，博主要从事本构理论及变分原理方面的研究
１０・２
维普资讯

准静态电磁热弹性体余能原理和广义变分原理

ｔｉｓＨｒｉｓｔｔｏｅｈｏｇ，ａｂｎ１００，ｈａｅａ，ａｂｎＩｔｕｅｆｃｎｌｙＨｒｉ５０１Ｃｉ）ｒｌｎｉＴｏｎＡｂｔａｔＴｅｂｓｃｅｕｔｎｆｃｕｌｄｅｅｔ — ｇｅｏｔｅｍｏｅａｔｉｒｅｙｃｍｐｉａｅ．Ｔｅｅｏｅｔｉｓｒｃ：ｈａｉｑａｉｓｏｏｐｅｌｃｒｍａｎｔ－ｒ — ｌｓｃｔａｅｖｒｏｌｔｄｏｏｈｉｙｃｈｒｆｒ．ｉｓ
ｈｒｏｏｔｉａａｙｉａｓｌｔｏｓｅｅｎｔｅｉｌｓｏｄｔｏｓ，Ｓｐｒｘｍａｅｏｕａｉｎｌａｄｔｂａｎｎｌｔｃｌｏｕｉｎ，ｖｎｉｈｓｍｐｅｔｃｎｉｉｎＯａｐｏｉｔｃｍｐｔｔａｍｅｈｏｓｒｏｔｄａｅｕｅｓｄ．Ｈｏｖｒａａｉｎｌｐｎｉｌｓａｅｔｅｆｕｄａｉｎｏｅｆｎｔｌｍｅｔｏｎｔｅｐｒｘｍａｅｃｍｐ — ｗｅｅ，ｖｒｔａｒｃｐｅｒｈｏｎｔｏｆｔｉｅｅｅｎｔｍｅｈｄａｄｏｈｒａｐｏｉｔｏｕｉｏｉｈｉｔｔｏａｔｏｓＡｃｏｄｎｏｔｅｏｒｓｏｄｉｇｒｌｔｏｓｅｗｅｎｇｎｒｌｚｄｆｒｅｎｅｅａｉｅｄｓｌｃ — ａｉｎｌｍｅｈｄ．ｃｒｉｇｔｈｃｒｅｐｎｎｅａｉｎｂｔｅｅｅａｉｅｏｃｓａｄｇｎｒｌｚｄｉｐａｅｍｅｔ，ｂｓｃｅｕｔｏｒｌｉｌｄｂｙｃｒｅｐｎｉｇｖｒｕｌｑａｔｉｓｈｎｉｔｇａｅｔｏｕｎｒａｎｓａｉｑａｉｎｓｗｅｅｍｕｔｐｉｏｒｓｏｄｎｉｔａｕｎｉｅ，ｔｅｎｅｒｔｄｗｉｖｌｍｅａｄａｅｅｔｈａｄａｄｄａｇｂａｃｌｙＣｏｌｍｅｔｒｎｒｙｐｉｃｐｅａｄｔｅｆｒｔＨ— ｇｎｒｌｚｄｖｒａｉｎｌｐｎｉｌｓｏｎｄｅｌｅｒｉａｌ．ｍｐｅｎａｅｅｇｒｎｉｌｓｎｈｓＲｅｅａｉｅａｉｔｏａｒｃｐｅｆｙｉｉｑａｉｓａｉｌｃｒ — ｇｅｏｔｒ－ｌｓｉｉｙｗｅｅｅｔｂｉｈｄ．ｏｆｒｎｈｏｅｉａｕｐｏｏｐｒｘｍａｅｃｌｕａｕｓ— ｔｔｃｅｅｔｏｍａｎｔ —ｈｅｍｏｅａｔｃｔｒｓａｌｓｅｆｅｉｇｔｅｒｔｃｌｓｐｒｆｒａｐｏｉｔａｃｌ — ｔｔｏｆｍｕｔ— ｈｓｃｅｄｐｏｌｍｓｏｌｃｒｍａｎｅｏｔｅｍｏｅａｔｃｔ．Ｒｅｕｌｓｏｔｔｏａａｕｅｃｎｉｉｎｈｗｉｎｏｌｉｐｙｉｓｆｌｒｂｅｆｅｅｔｏ— ｇｔ－ｈｒ — ｌｓｉｉｙｉｓｔｆｓａｉｎｒｖｌｏｄｔｓｓｏｙｏ

广义变分原理

广义变分原理广义变分原理是经典物理学中的一个基本原理，它在力学、电磁学、光学等领域都有重要的应用。

广义变分原理是指在一定的边界条件下，系统的作用量在真实轨迹和任意变分轨迹之间的差值为零。

这个原理的提出和发展，对于物理学的发展和应用有着深远的影响。

首先，我们来看看广义变分原理在经典力学中的应用。

在经典力学中，广义变分原理可以用来推导出哈密顿原理和拉格朗日方程，这两个方程是描述系统运动的重要工具。

哈密顿原理指出，对于保守系统，系统的作用量在真实轨迹和任意变分轨迹之间的差值为零。

而拉格朗日方程则是描述了系统的运动方程。

通过广义变分原理，我们可以得到这些重要的方程，从而更好地理解和描述系统的运动规律。

其次，广义变分原理在电磁学中也有重要的应用。

在电磁学中，麦克斯韦方程组描述了电磁场的行为。

而通过广义变分原理，我们可以推导出这些方程，从而揭示了电磁场的基本规律。

广义变分原理的应用使得我们能够更深入地理解电磁场的性质，为电磁学的发展提供了重要的理论基础。

此外，广义变分原理在光学中也有着重要的应用。

在光学中，光的传播和折射是一个重要的研究课题。

通过广义变分原理，我们可以推导出光的传播和折射的基本规律，从而更好地理解光的行为。

广义变分原理的应用为光学的研究提供了重要的理论支持，推动了光学理论的发展。

总之，广义变分原理是经典物理学中的一个基本原理，它在力学、电磁学、光学等领域都有重要的应用。

通过广义变分原理，我们可以推导出许多重要的物理方程，从而更好地理解和描述自然界的规律。

广义变分原理的应用为物理学的发展和应用提供了重要的理论基础，对于推动物理学的发展有着重要的意义。

课程论文：弹塑性力学广义变分原理

《弹塑性力学中的广义变分原理》课程论文题目：广义变分原理在结构力学中的应用姓名：储迅易专业：工程力学学号：131310040008老师：邵国建河海大学力学与材料学院2014年4月1日摘要：把一个力学问题用变分法化为求泛函极值的问题，就称为该物理问题的变分原理。

如果建立了一个新的变分原理，它解除了原有的某问题变分原理的某些约束条件，就称为该问题的广义变分原理；如果解除了所有的约束条件，就称为无条件广义变分原理，或称为完全的广义变分原理。

本文在总结部分课程内容的基础上，运用广义变分原理探讨了结构力学中柱体扭转问题。

关键字：变分法弹性力学变分原理柱体的扭转问题1 概述变分法的早期思想是Johann Bernoulli 在1696年以公开信的方式提出最速降线命题，并在1697年进行了解决。

关于变分法的一般理论是Euler 于1774年、Lagrange 于1762年共同奠基的，我们称之为Euler-Lagrange 变分原理。

1872年Betti 提出了功的互等定理。

1876年意大利学者Castigor 提出了最小功原理。

德国学者Hellinger 于1914年发表了有关不完全广义变分原理，后来美国学者Reissner 发表了与Hellinger 相类似的工作，此工作被称之为Hellinger-Reissner 变分原理。

我国学者钱令希于1950年发表“余能原理”论文。

我国学者胡海昌于1954年发表了有关广义变分原理的论文，日本学者鹫津久一郎(Washizu)于1955年发表了与有胡海昌相类似的工作，此工作被称之为胡-鹫变分原理。

1956年Biot 建立了热弹性力学变分原理。

1964年钱伟长提出用Lagranger 乘子构造广义分原理的方法。

1964年Gurtin 提出了线弹性动力学变分原理。

1967年意大利学者Tonti 提出了四类变量的广义变分原理，在这类变分原理中，-位移、应变、应力及Beltrami 应力函数都是变分变量。

广义变分原理

广义变分原理广义变分原理是数学物理中的一个重要概念，它在许多领域都有着广泛的应用。

广义变分原理是变分法的一个基本原理，它描述了一个系统在给定边界条件下，其物理量的变分必须满足的方程。

通过广义变分原理，我们可以得到系统的运动方程或者平衡方程，从而可以描述系统的运动和平衡状态。

在物理学中，广义变分原理通常用于描述系统的运动方程。

通过对系统的作用量进行变分，我们可以得到系统的运动方程。

作用量是描述系统在一段时间内的整体运动所需要的量，它是系统的拉格朗日量与时间的积分。

根据广义变分原理，系统的真实轨迹使得作用量取极值。

通过对作用量进行变分，我们可以得到系统的运动方程，从而可以描述系统的运动状态。

在力学中，广义变分原理可以用于描述系统的平衡状态。

通过对系统的势能函数进行变分，我们可以得到系统的平衡方程。

势能函数是描述系统在外力作用下的势能，它是系统的哈密顿量与广义坐标的函数。

根据广义变分原理，系统的平衡状态使得势能函数取极值。

通过对势能函数进行变分，我们可以得到系统的平衡方程，从而可以描述系统的平衡状态。

在量子力学中，广义变分原理可以用于描述系统的波函数。

通过对系统的哈密顿量进行变分，我们可以得到系统的薛定谔方程。

哈密顿量是描述系统的总能量，它是系统的动能与势能的和。

根据广义变分原理，系统的波函数使得哈密顿量取极值。

通过对哈密顿量进行变分，我们可以得到系统的薛定谔方程，从而可以描述系统的波函数。

总之，广义变分原理是描述系统运动和平衡状态的基本原理。

通过对系统的作用量、势能函数或者哈密顿量进行变分，我们可以得到系统的运动方程或者平衡方程，从而可以描述系统的运动和平衡状态。

广义变分原理在物理学、工程学、数学等领域都有着重要的应用，它为我们理解和描述自然界中的各种现象提供了重要的理论工具。

广义变分原理及其应用

用于单元时，考虑结点力作用可同样修改。当用此泛函作有限元分析时，要求位移场跨单元 (C0级)协调，由《有限元Ⅰ》可知，这是不难做到的。因此，一般用它分析。
1.4.2 单元列式及说明
V R e V e{A [T u ]T 1 2 T D 1 u T F b } d V -S - eu T F S d S S u e[u u 0 ]T L d S F e T e
中在σ势ij能是泛泛函函变量，其他是增广变量。
Ve=Vε+VP =1/2∫VσijεijdV
-∫VFbiuidV- ∫SσFsiuidS
中ui 是泛函变量，其他是增广变量。
2) 泛函所满足的条件泛函中泛函变量事先所需满足的条件，称为
泛函的强制条件。在余能泛函中σij 所需满足的平衡条件（内部和边界）即为强制条件。
如果广义等价的两泛函，其变量和条件均对应相同，称此两泛函为等价的。如果两泛函等价，且只相差一比例系数，则称这两泛函互等。
1.2.2 泛函的三种变换格式 1) 泛函的放松格式——拉氏乘子法（传统）
基本思路是，将强制条件用拉氏乘子引入泛函，从泛函变分判断拉氏乘子含义，并得到放松了强制条件的多自变量泛函的变换格式。
哈尔滨建筑大学王焕定教授制作27hermann提出用分部积分和奥高公式对上述泛函进行改造获得如下的herrmann函教材上有这种纯数学的具体推导有了广义变分泛函和平面问题一样设出挠度场w和弯矩场m后代入泛函即可建立薄板弯曲的混合元性质方程
1.广义变分原理及其应用
1.1 虚力原理与余能原理 1.2 泛函的变换格式
1.4 基于Reissner原理的混合元
1.4.1 原理的使用选择
前面介绍了从余能原理获得了二变量广义余能原理如下：

第三章变分原理与有限元方法

变分理论与数值分析方法教案
（第三章变分原理与有限元方法）
蔡中义
变分理论与数值分析方法
第三章变分原理与有限元方法
泛函的极值函数可以通过求解相应的 Euler 方程（微分方程的边值问题）来获得，另一方面，也可以通过求解泛函的极值函数获得相应微分方程的解。这就是说，求解微分方程边值问题等价于求解相应泛函极值问题，这种相关性通常叫做变分原理。把这一原理应用于各类物理问题就构成了各种物理问题的变分原理，变分原理是以积分形式表达的物理定律，这种积分形式的泛函常常代表能量，习惯上也把微分方程边值问题转化为泛函极值问题的求解方法叫做能量法，如力学中的最小势能原理、虚功原理等。
对于 M 中任意的 u u0 ，应有
J[u] J[u0 ] L(u0 ),u0 2 f ,u0
（3.1.3-3）
因为 L 是对称正算子，根据内积的性质，上式可以展开
J[u] L(u0 ),u0 L(u0 ), L(),u0 L(), 2 f ,u0 2 f ,
J[u] L(u),u 2 f ,u
（3.1.3-1）（3.1.3-2）
4
变分理论与数值分析方法
在 u u0 处取极小值。
定理中的泛函 J[u] ，一般称为算子方程的能量泛函。
证明先证明必要性：
若 u u0 是算子方程（3.1.3-2）的解，则有
L(u0 ) f 0
由（3.1.1-1）式可以看出，两个函数的内积是一个实数，它由积分值所确定。
从内积的定义可以得到内积的如下性质：
设为 u(P) 、 v(P) 、 u1 (P) 、 u2 (P) 是定义域在上的连续函数，、是任意实数，则 ① 对称性： u, v v, u ② 线性： (u1 u2 ), v u1 , v u2 , v ③ 非负性： u, u 0 ④ u, u 0 u(P) 0 ， P

固体力学的一个广义变分原理

固体力学的一个广义变分原理1 什么是超变分原理超变分原理（UVP）是一种泛函固体力学（FFT）原理，它是由多种变分原理推导而来的。

它是由威尔琼斯（Willians）和其他力学学家在40年代后期用来求解固体力学问题的泛函方法。

它是将计算机技术和数学技术相结合的一种新型研究方法。

这种新的研究方法比传统的数学方法更快速、更有效，在许多工程应用中发挥着重要作用。

2 超变分原理的基本原理超变分原理的基本思想是，使用泛函理论求解固体力学问题时，需要引入一个加速参数，这个参数就叫做超变分因子。

超变分因子能够减少算法的运行时间，加快计算速度，这是它的最大特点所在。

另外，要想正确应用超变分原理，需要了解它的基本原理，并按照相应的基本原理给出计算公式。

其中，最重要的原理就是“变分不变原理”，即变分可以影响求解的结果，但是所求解的结果与变分原理无关。

3 超变分原理的应用超变分原理在泛函理论中有着重要的应用。

它可以用来快速、有效地解决固体力学问题，在结构力学，材料力学，汽车工程，航空航天工程等多个领域得到广泛应用。

超变分原理还可以用来求解复杂的多尺度问题，在求解多层结构、计算机模拟等方面发挥作用。

4 超变分原理的特点超变分原理的主要优点就是能够快速有效地求解固体力学问题，并且可以应用于多层复杂结构的分析，加快计算速度。

此外，超变分原理具有计算精度可控的优点，只需要调整超变分因子α的取值即可得到理想的解，从而具有良好的精度和可靠性。

总之，超变分原理是一种高效、可靠的泛函固体力学原理，能够快速有效地解决多层复杂结构的计算问题，已经在很多工程应用中被广泛使用，取得了巨大的成功。

变分原理正文

第1章泛函和变分1.1引言以前我们在微积分中遇到的都是类似下面的函数极值问题: 一个足够光滑的连续函数12(,,...,)n y f x x x =，其在区域n R Ω⊂内任何一点12(,,...,)T n x x x =x 都可以作以下的Taylor 展开21212()()()()(||||)(),,...,T T T Tn f f f f o f f f f x x x +∆=+∆+∆∆+∆⎛⎫∂∂∂= ⎪∂∂∂⎝⎭x x x x x x D x x x x ∇∇ (1.1.1)22221121222212...()...n n n n f f f x x x x x f f f f x x x x x ⎡⎤∂∂∂⎢⎥∂∂∂∂∂⎢⎥⎢⎥=⎢⎥∂∂∂⎢⎥⎢⎥∂∂∂∂∂⎣⎦D x函数在某一点有极值的必要条件是12,, 0n f f f f x x x ⎛⎫∂∂∂== ⎪∂∂∂⎝⎭∇但是，我们这们课程中要讨论的则是另一类极值问题—泛函的极值问题(泛函简单地讲，就是函数的函数，详细见后面)。

例1.1 一个简单的变分问题: 最短线问题图1.1最短线问题假设经过,A B 两点距离最短的曲线方程为*()y y x =(1.1.2)另有一任意的连续可导函数()x ηη=，()x η满足两端固定的边界条件01()()0x x ηη== (1.1.3)显然()()y y x x αη=+依旧是过固定两点,A B 的连续曲线，其对应的长度为1()x x L x α=⎰(1.1.4)当0α=,()y y x =时()L α取到极小值，也就是说0d ()|0d L ααα== (1.1.5) 把(1.1.4)代入(1.1.5), 展开后有()()101110001100033d ()||d |d ''''''d d 0x x x x x x x x x x x x L y x y y y x x y y y y y x xααααηηη==='⎛⎫==-⎛⎫⎪=-=-⎪⎪⎭=⎰⎰⎰⎰⎰ (1.1.6)由于(1.1.6) 对于任意的()x ηη=都成立，根据变分引理(见2.2.2节), 我们可以得到()3''0y = (1.1.7)意味着 12y C x C =+ (1.1.9)因此, 在平面上过固定两点距离最近的光滑曲线是直线。

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ij n j p i 两类边界条件： u i u i
() () ( )
( S ) ( Su )
第一节
弹性力学基本方程的张量表示
弹性矩阵
关于弹性矩阵 d ijkl ：
在连续介质力学中，若介质满足均匀、连续、
小变形和线弹性假设，其本构关系为：
ij dijklekl
（ 1）
其中 A 为弹性理论微分算子。

第二节
能量泛函极值问题
按位移求解
弹性理论微分算子 A 的矩阵形式为：
2 2 2 2 ( G ) ( G ) ( G) 2 G x1 x1x2 x1x3 2 2 2 A ( G ) ( G) 2 G 2 ( G ) x2x1 x2 x1x3 2 2 2 ( G ) ( G ) ( G) 2 G 2 x3x1 x3x2 x3
(Su )
u
k ,k
ij G(ui , j u j ,i )n j p i
( S )
第一节
弹性力学基本方程的张量表示
按应力求解
3、按应力求解的基本方程（Michel方程）
2 2 (1 ) x 2 0 x 相容方程： 2 2 (1 ) xy 0 （常体力） xy
S

第三项（利用分步积分和奥-高公式）：
ui G 2ui d G (ui , j ), j ui d

G ui , j ui n j ds G ui , j ui , j d
S

第二节
能量泛函极值问题
按位移求解
( Au , u ) (uk ,k ) 2 Gu i , j (u j ,i ui , j ) d 则：
u
2 x
G 2
(
u 2 v w 2 v w 2 ) G ( ) ( )2 ( ) y z y z x

u v 2 v w 2 w u 2 ( ) ( ) ( ) y x z y x z
1 E s s E s n En E 1 E E s n n s s n En n E n 1 En A 此时 A 矩阵为： 2 ( 1 ) E s s 1 Gn 1 Gn
第一节
弹性力学基本方程的张量表示
弹性矩阵
（e）各向同性线弹性体
ekk 2Geij ij 2Geij (i j ) (i j )
ij ekk ij 2Geij

ij uk ,k ij 2G(ui, j u j ,i )
其中拉梅系数和剪切模量分别为：
第二节
能量泛函极值问题
按位移求解
一、齐次边界情况
u i
Au f
Su
0, p i
S
0
这是一个椭圆型方程的解，由变分基本定理知，只要算子A在区域和边界上是正的和对称的，则可由内积构造上述定解问题对应的泛函。
u( x, y, z) ( Au, u) 2( f , u)
第二节
能量泛函极值问题
按位移求解
讨论：按位移求解问题转化为能量泛函的极小值问题。将按位移求解的定解方程改写为：
uk 2 ( Au)i Aiju j ( G) ( ) G ui f i (i 1,2,3) xi xk
或：Aiju j ( G)(u j , j ),i G(ui, j ), j fi (i 1,2,3)
就只剩下21个独立的了。这可用于一般各向异性
材料。
第一节
弹性力学基本方程的张量表示
弹性矩阵
（c）正交各向异性材料有三个正交的弹性对称面，若坐标轴选取的方向与弹性对称面正好重
合，则广义虎克定律的矩阵形式为：
x d11 d12 d13 x d d d y 21 22 23 y z d 31 d 32 d 33 z d 44 xy xy yz yz d 55 d 66 zx zx
其中：( Au , u ) ui ( Au )i d, ( f , u ) ui f i d

第二节
能量泛函极值问题
按位移求解
先证明算子A是正的： ( Au, u ) 0
( Au , u ) ui ( Au )i d ui ( G)(u j , j ),i G 2 ui d
为应变能密度（比能）。
第二节
能量泛函极值问题
按位移求解
因边界条件为齐次 (ui
Su
0, p S 0) ，故有：

S
ij
n j ui ds 0
又因： W (u ) A(eij ) ij eij ijui , j 所以： ( Au , u ) 2 W (u )d 2 W (u )d 0
( x, y , z ) ( x, y , z )
平衡方程： ij, j f i 0
(1 )( ij,k ),k ( kk ,i ), j 0 () 张量表示： ij, j f i 0 ()
应力边界条件： ij n j p i
( S )
其中： e u v w x y z
第一节
弹性力学基本方程的张量表示
按位移求解
张量表示：
( G)(e jj ),i G ui fi 0
2
() ()
或：( G)(u j , j ),i
G ui fi 0
2
位移边界条件： ui ui 应力边界条件：

S
uk ,k ui ni G (ui , j u j ,i
2 W (u )d ij n j ui ds
S

)n u ds
j i
其中：
W (u )

2

(u k , k ) 2
G ui , j (u j ,i ui , j ) 2
第一节第二节第三节第四节
弹性力学基本方程的张量表示弹性力学边值问题转为能量泛函极值问题极小势能原理与位移协调模型极小余能原理与平衡模型Ⅰ
第五节第六节第七节第八节第九节
广义变分原理复杂边界条件下的广义位能原理不完全的广义变分原理分区的广义变分原理修正的余能原理与杂交应力元
（ 4）
这时独立的弹性常数只剩下5个。
第一节
弹性力学基本方程的张量表示
弹性矩阵
若改为应力表示应变的形式： A
A 称为柔度矩阵。
因为xy为弹性各向同性平面，则有关系：
Es Ex E y Es , Ez En , xy s , yz xz n , Gxy , Gxz Gyz Gsn 2(1 s )
（ 3）
这时独立的弹性常数只剩下9个。
第一节
弹性力学基本方程的张量表示
弹性矩阵
（d）横观各向同性体设该弹性体内每一点都有平行于xy坐标面的平面，其上任意一方向对弹性性质而言是等效的。广义胡克定律形式为：
x x d11 d12 d13 d 21 d 22 d 23 y y d 31 d 32 d 33 z z 1 ( d d ) xy 11 12 xy 2 yz d 44 yz d 44 zx zx
第一节
弹性力学基本方程的张量表示
按位移求解
2、按位移求解的基本方程（Lame方程）
e 2 ( G ) x G u f x 0 e 标量表示： 2 ( G ) G v f y 0 y ( G ) e G 2 w f 0 z z

1 2
1 2
即算子A正的得证。
第二节
能量泛函极值问题
按位移求解
再证明算子A是对称的： ( Au, v) ( Av, u) 利用功的互等定理来证明：
Au f u 设为两种平衡状态。 Av f v
由功的互等定理，有：

f u vd f v ud Au vd Av ud
一般而言， dijkl (i, j, k , l 1,2,3) 表示弹性
常数矩阵中共有81个元素。
第一节
弹性力学基本方程的张量表示
弹性矩阵
（a）考虑到应变张量和应力张量的对称性，弹性常数由81个减少到36个。其矩阵形式为：
D
（ 2）
（b）考虑到弹性矩阵的对称性，弹性常数
第十节
修正的Hellinger-Reissner原理与杂交元
第三章
弹性问题的变分原理
弹力方程的张量表示
§3-1 弹性力学方程的张量表示
1、一般形式
ij, j f i 0 1 三大方程：eij (ui , j u j ,i ) 2 d e ij ijkl kl
E E ,G (1 )(1 2 ) 2(1 )
第一节
弹性力学基本方程的张量表示
弹性矩阵
此时
d ijkl 为：
dijkl ij kl G( ik ji il jk )
2G 2 G 2G G G 矩阵形式为： D G G G G G G G G G G