18.2.1 矩形的判定
18.2.1矩形的判定方法
矩形的性质
文字表述
边 角 对角线
矩形的对边平行且相等
D
矩形的四个角都是直角
矩形的对角线互相平分且相等 A
图形
C
O
B
证明：有四个角是直角的四边形是矩形.
已知：在四边形ABCD中，A B C D 90o 求证：四边形ABCD是矩形.
D
C
O
A
B
A
D
O
B
C
例1：判断下列命题是否正确？
（1）对角线相等的四边形是矩形.（ X）
（2）对角线互相平分且相等的四边形是矩形.（ ）
（3）对角线相等且互相垂直的四边形是矩形.（X ）
（4）一组邻角相等的平行四边形是矩形.（ ） （5）对角互补的平行四边形是矩形.（ ）
例2：如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC, BD 相交于点O,且OA OD, OAD 50o.求OAB的度数.
D
C
O
A
B
平行四边形
①
四边形
有三个角是直角
②
矩形
必做题：教材55页练习1、2 选做题：
如图，AC、BD是矩形ABCD的两条对角线， 且 AE=CG=BF=DH.求证：四边形EFGH是矩形.
D
C
A
B
证明：有三个角是直角的四边形是矩形.
已知：在四边形ABCD中，A B C 90o 求证：四边形ABCD是矩形.
D
C
A
B
证明：对角线互相平分且相等的四边形是矩形.
已知：在四边形 ABCD中，OA OC ,OB OD, AC BD. 求证：四边形 ABCD是矩形.
18.2.1 第2课时 矩形的判定
第2课时 矩形的判定1．掌握矩形的判定方法；(重点)2．能够运用矩形的性质和判定解决实际问题．(难点) 一、情境导入 我们已经知道，有一个角是直角的平行四边形是矩形．这是矩形的定义，我们可以依此判定一个四边形是矩形．除此之外，我们能否找到其他的判定矩形的方法呢？矩形是一个中心对称图形，也是一个轴对称图形，具有如下的性质：1．两条对角线相等且互相平分； 2．四个内角都是直角．这些性质，对我们寻找判定矩形的方法有什么启示？二、合作探究 探究点一：有一个角是直角的平行四边形是矩形如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD是BC 边上的高，AE 是△BAC 的外角平分线，DE ∥AB 交AE 于点E .求证：四边形ADCE 是矩形．解析：首先利用外角性质得出∠B ＝∠ACB ＝∠F AE ＝∠EAC ，进而得到AE ∥BC ，即可得出四边形AEDB 是平行四边形，再利用平行四边形的性质得出四边形ADCE 是平行四边形，再根据AD 是高即可得出四边形ADCE 是矩形．证明：∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠ACB .∵AE 是△BAC 的外角平分线，∴∠F AE ＝∠EAC .∵∠B ＋∠ACB ＝∠F AE ＋∠EAC ，∴∠B ＝∠ACB ＝∠F AE ＝∠EAC ，∴AE ∥BC .又∵DE ∥AB ，∴四边形AEDB是平行四边形，∴AE 平行且等于BD .又∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ，∴BD ＝DC ，∴AE 平行且等于DC ，故四边形ADCE 是平行四边形．又∵∠ADC ＝90°，∴平行四边形ADCE 是矩形． 方法总结：平行四边形的判定与性质以及矩形的判定常综合运用，解题时利用平行四边形的判定得出四边形是平行四边形再证明其中一角为直角即可．探究点二：对角线相等的平行四边形是矩形如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，延长OA 到N ，ON ＝OB ，再延长OC 至M ，使CM ＝AN .求证：四边形NDMB 为矩形．解析：首先由平行四边形ABCD 可得OA ＝OC ，OB ＝OD .若ON ＝OB ，那么ON ＝OD .而CM ＝AN ，即ON ＝OM .由此可证得四边形NDMB 的对角线相等且互相平分，即可得证．证明：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AO ＝OC ，OD ＝OB .∵AN ＝CM ，ON ＝OB ，∴ON ＝OM ＝OD ＝OB ，∴MN ＝BD ，∴四边形NDMB 为矩形．方法总结：证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对角线相等．探究点三：有三个角是直角的四边形是矩形如图，▱ABCD 各内角的平分线分别相交于点E ，F ，G ，H .求证：四边形EFGH 是矩形．解析：利用“有三个内角是直角的四边形是矩形”证明四边形EFGH 是矩形． 证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∴∠DAB ＋∠ABC ＝180°.∵AH ，BH 分别平分∠DAB 与∠ABC ，∴∠HAB ＝12∠DAB ，∠HBA ＝12∠ABC ，∴∠HAB ＋∠HBA ＝12(∠DAB ＋∠ABC )＝12×180°＝90°，∴∠H ＝90°.同理∠HEF ＝∠F＝90°，∴四边形EFGH 是矩形．方法总结：题设中隐含多个直角或垂直时，常采用“三个角是直角的四边形是矩形”来判定矩形．探究点四：矩形的性质和判定的综合运用【类型一】 矩形的性质和判定的运用如图，O 是矩形ABCD 的对角线的交点，E 、F 、G 、H 分别是OA 、OB 、OC 、OD 上的点，且AE ＝BF ＝CG ＝DH .(1)求证：四边形EFGH 是矩形；(2)若E 、F 、G 、H 分别是OA 、OB 、OC 、OD 的中点，且DG ⊥AC ，OF ＝2cm ，求矩形ABCD 的面积．解析：(1)证明四边形EFGH 对角线相等且互相平分；(2)根据题设求出矩形的边长CD 和BC ，然后根据矩形面积公式求得．(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴OA ＝OB ＝OC ＝OD .∵AE ＝BF ＝CG ＝DH ，∴AO －AE ＝OB －BF ＝CO －CG ＝DO －DH ，即OE ＝OF ＝OG ＝OH ，∴四边形EFGH 是矩形；(2)解：∵G 是OC 的中点，∴GO ＝GC .∵DG ⊥AC ，∴∠DGO ＝∠DGC ＝90°.又∵DG ＝DG ，∴△DGC ≌△DGO ，∴CD ＝OD .∵F 是BO 中点，OF ＝2cm ，∴BO ＝4cm.∵四边形ABCD 是矩形，∴DO ＝BO ＝4cm ，∴DC ＝4cm ，DB ＝8cm ，∴CB ＝DB 2－DC 2＝43cm ，∴S 矩形ABCD ＝4×43＝163(cm 2)．方法总结：若题设条件与这个四边形的对角线有关，要证明一个四边形是矩形，通常证这个四边形的对角线相等且互相平分． 【类型二】 矩形的性质和判定与动点问题如图所示，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝90°，AD ＝24cm ，BC ＝26cm ，动点P 从点A 出发沿AD 方向向点D 以1cm/s 的速度运动，动点Q 从点C 开始沿着CB 方向向点B 以3cm/s 的速度运动．点P 、Q 分别从点A 和点C 同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止运动．(1)经过多长时间，四边形PQCD 是平行四边形？(2)经过多长时间，四边形PQBA 是矩形？解析：(1)设经过t s 时，四边形PQCD 是平行四边形，根据DP ＝CQ ，代入后求出即可；(2)设经过t ′s 时，四边形PQBA 是矩形，根据AP ＝BQ ，代入后求出即可． 解：(1)设经过t s ，四边形PQCD 为平行四边形，即PD ＝CQ ，所以24－t ＝3t ，解得t ＝6；(2)设经过t ′s ，四边形PQBA 为矩形，即AP ＝BQ ，所以t ′＝26－3t ′，解得t ′＝132. 方法总结：①证明一个四边形是平行四边形，若题设条件与这个四边形的边有关，通常证这个四边形的一组对边平行且相等；②题设中出现一个直角时，常采用“有一角是直角的平行四边形是矩形”来判定矩形．三、板书设计 1．矩形的判定有一角是直角的平行四边形是矩形； 对角线相等的平行四边形是矩形； 有三个角是直角的四边形是矩形． 2．矩形的性质和判定的综合运用在本节课的教学中，不仅要让学生掌握矩形判定的几种方法，更要注重学生在学习的过程中是否真正掌握了探究问题的基本思路和方法．教师在例题练习的教学中，若能适当地引导学生多做一些变式练习，类比、迁移地思考、做题，就能进一步拓展学生的思维，提高课堂教学的效率．。
人教版数学八年级下册18.2.1.2矩形的判定
+
∠DCB
=
180°
ABC ABCD 证明：四边形ABCD中，AB∥CD，∠BAD=90°，
问题1:我们会看到∠α会随着对∴角线∠变化而变化=,观察9中0°间一,幅又图，∵当四两条边对角形线长度相等是时平,∠α是行什四么角边，此形时平行四边形是什么图形
？
∴ □ D．测量其中三个角是否都为直角
（）
∴四边形ABCD又是矩∵形．∠OAD=50°，
∴∠OAB=40°.
变式训练1：如图 ABCD中, ∠1= ∠2中.此时四边形ABCD是矩形吗？为什么？
解：四边形ABCD是矩形.理由如下：
A 1
D
O
∵四边形ABCD是平行四边形
2
∴ AO=CO,DO=BO.
B C
又∵ ∠1= ∠2
∴AO=BO
∴AC=BD
O
B
C
考点一：利用对角线判定矩形
ABCD AC BD O 例1 如图，在 中，对角线 ， 相交于点 ，且 有一个角是直角的平行四边形是矩形.
证明：四边形ABCD中，AB∥CD，∠BAD=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴∠AEC＝90°∠AFC＝90°
OA=OD，∠OAD=50°．求∠OAB的度数． ∵四边形ABCD是平行四边形，
AD分别是∠EAC、 对角线相等的平行四边形是矩形.
∴ AO=CO,DO=BO.
∠MCA、
∠
ACN、∠CAF的平分线,则四
（对角线相等且互相平分的四边形是矩形.
边形ABCD是 （ C ） 活动1: 利用一个活动的平行四边形教具演示,拉动一对不相邻的顶点时, 注意观察两条对角线的长度.
18.2.1矩形的判定
平行四边形
矩形
∵在□ABCD中 ， ∠A=90° 想一想：你认为判 断一个四边形是不 ∴□ABCD是矩形
是矩形，还能用一 些什么方法呢？
木工师傅是怎样知道窗户是矩形的呢?
那么，除度量角度之外,木工师傅 度量什么也能知道做好的门框是矩 形呢?
B
∟ ∟
已知：在四边形ABCD中，
A
D
C
矩形的判定定理2
有三个角是直角的四边形是矩形
几何语言： ∵四边形ABCD中， ∠A= ∠B= ∠C=90° ∴四边形ABCD是矩形∟AD来自∟BC
定义
矩形判定定理1
对角线相等的平行四边形是矩形。
有一个角是直角的平行四边形是矩形。
矩形判定定理2
有三个角是直角的四边形是矩形。
考考你
• • • • • • 对角线相等的四边形是矩形。 对角线互相平分且相等的四边形是矩形。 有一个角是直角的四边形是矩形。 四个角都是直角的四边形是矩形。 四个角都相等的四边形是矩形。 对角线相等且有一个角是直角的四边形是 矩形。 • 对角线相等且互相垂直的四边形是矩形。
解：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴OA=OC=AC，OB=OD=BD 又∵ OA=OD ∴AC=BD ∴四边形ABCD是矩形 ∴ ∠DAB=90O 又∵ ∠OAD=50O ∴ ∠OAB=40O
∴S BC = 4×4 3 =16 3 cm ABCD =AB·
2
C
矩形常用的判定方法 一个角是直角的平行四边形是矩形
∵在□ABCD中 ， ∠A=90° ∴□ABCD是矩形
A B
D
C
对角线相等的平行四边形是矩形
18.2.1 第2课时 矩形的判定
18.2 特殊的平行四边形18.2.1 矩形第2课时 矩形的判定学习目标：1、学习矩形的判定定理，解决简单的证明题和计算题，进一步培养分析能力；2、培养综合应用知识分析解决问题的能力.重难点：掌握矩形的判定定理 学习过程：一、复习旧知二、探究新知1、探究归纳矩形的判定定理，并用模式表示：（1）你能确定有三个角是直角的四边形是矩形吗？（自己探究）。
判定定理1（从四边形⇒矩形）：有三个角是直角的四边形是矩形。
几何语言: 在四边形ABCD 中，∵ ∴（2）我们知道矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
由此这个定义可以作为一个判定吗？判定定理2（从平行四边形⇒矩形）：有一个角是直角（900）的平行四边形是矩形。
几何语言: 在平行四边形ABCD 中， ∵ 或 或 或 ∴（3）矩形的对角线 ，对角线相等的平行四边形是矩形吗？（证明你的回答） 证明：判定定理3（从平行四边形⇒矩形）：对角线相等的平行四边形是矩形。
几何语言: 在平行四边形ABCD 中， ∵ ∴【归纳总结】矩形的判定方法：A BD A BD DCDC1、有一个角是的平行四边形是矩形；2、四个角都是的四边形是矩形；3、对角线的四边形是矩形。
或者说，对角线的平行四边形是矩形三、课堂练习思考：下列命题是否正确，正确的加以证明，不正确的通过举反例或画图加以说明（1）有一个角是直角的四边形是矩形（2）对角线互相平分且又相等的四边形是矩形（3）四个角都相等的四边形是矩形四、课堂小结（1）证明四边形是矩形的方法：一般先证明它是平行四边形，然后再证明一个直角或者对角线相等（2）证明平行四边形是矩形的方法：一般可在角上找条件，也可在对角线上找条件。
判定方法：从角的条件看、( 种)从对角线的条件看。
五、课后作业1、在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是某合作学习小组的4位同学拟定的方案，其中正确的是（）．A、测量对角线是否相互平分B、测量两组对边是否分别相等C、测量一组对角是否都为直角D、测量其中三个角是否都为直角2、如图，已知ABCD的对角线AC、BD 相交于O，△ABO是等边三角形，AB=4cm，求这个平行四边形的面积六、课后反思。
【课件】18.2.1 矩形(第2课时矩形的判定)
归纳：
对角线相等且互相平分的 四边形是矩形 ∵ AC=BD 且OA=OC OB=OD ∴四边形ABCD是矩形
本节课我们学习了什么内容，你能总结吗？
谈一谈，今天你有何收获？
1.判定一个四边形是矩形的方法是： ABCD ∠A=90°
ABCD AC = BD ∠A= ∠B= ∠C=90°
ABCD 是矩形
四边形ABCD 是矩形
拓展：
(1)对角线相等的四边形是矩形吗? (2)需要添加什么条件才能使 对角线相等的四边形是矩形吗? 等腰梯形
木工朋友在制作窗框后，需 要检测所制作的窗框是否是矩 形，那么他需要测量哪些数据， 其根据又是什么呢？
测量…？
矩形的判定方法1：
有一个角是直角的平行四边形是矩形.
A D
∵在 ABCD中 ∠B=90°
B
C
∴四边形ABCD是矩形
∟
有一个角是直角 有两个角是直角 有三个角是直角 的 四边形是矩形吗？
O B
D C
证明： ∵四边形ABCD是矩形 ∴ AO=BO=CO=DO 又∵ AE=BF=CG=DH ∴OE=OF=OG=OH
7、已知： 矩形ABCD的对角线AC、BD相交于O， E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO上的一点， A 且AE=BF=CG=DH。 D 求证：四边形EFGH是矩形。 E H O
（3）四个角都是直角的四边形是矩形。（
（4）对角线相等的四边形是矩形； （ ） （5）对角线互相平分且相等的四边形是矩形（ ） （6）两组对边分别平行，且对角线相等的四 边形是矩形． ( )
ห้องสมุดไป่ตู้
用一用
例 如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点 O，且OA=OD，∠OAD=50°．求∠OAB的度数． D
18.2.1矩形的判定
检测题(2)
必做题： P55 练习 2 选做题： p55 练习 1 要求：1.仿照例题，过程规范，书写工整. 2.6分钟独立完成,比谁做的又对又快.
课堂作业
必做题： P60 习题18.2 1 2 思考题： P61 习题18.2 8
• 矩形的判定：
• 对角线相等的平行四边形是矩形 • 有三个角是直角的四边形是矩形 • 有一个角是直角的平行四边形是 矩形
检测题(1)
1.下列说法正确的有：（ ） A.有一个角是直角的四边形是矩形； B.对角线相等的四边形是矩形； C.三个角都相等的四边形是矩形； D.有三个角是直角的四边形是矩形.
记并会正确运用矩形的判定
定理.
自学指导
认真看课本P53练习下—P55练习上 1.回答“思考”中问题； 2.思考矩形的判定方法有哪几种？ 3.由平行四边形转化为矩形须满足哪些条件？由四 边形转化为矩形须满足哪些条件？ 4.看例2的解题格式和步骤，思考是如何运用矩形 的判定定理. 5分钟后，比谁能熟背矩形的判定定理并会运用 做对检测题. 如有疑难，请小声问同学或举手问老师.
18.2.1 第2课时 矩形的判定
∴四边形ABCD是矩形．
图18－2－12
第2课时
矩形的判定
重难互动探究
探究问题一 例1 矩形的判定
如图18－2－13所示，已知ABCD，下列条件：①AC＝
BD；②AB ＝AD；③∠1＝∠2 ；④AB⊥BC.其中能说明 ABCD是矩
形的有________(填序号)．
[答案] ①④ 图18－2－13
第2课时
矩形的判定
(3)将直角尺靠窗框的一个角，如图18－2－30③，调整窗框
的边框，当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时，如图18－2－
矩 形，由此可得 30④，说明窗框合格，这时窗框是____ 有一个角是直角的平行四边形是矩形 _______________________________________________ ． ◆知识链接——[新知梳理]知识点一
需要测量什么
判定
[ 解析 ] 利用绳子测量 ，只能检验这个四边形的两组对边是 否相等以及其对角线是否相等，结合矩形的定义和判定定理去解
决问题．
第2课时
矩形的判定
解：因为是用绳子测量，所以利用判定定理1比较好． 当AD＝BC，AB＝CD时，四边形ABCD是平行四边形．
图18－2－14
第2课时
矩形的判定
[ 解析 ] 利用平行四边形的邻角互补和角平分线的性质，可 得△EBC，△AFD和△AMB都是直角三角形，且∠AMB＝∠E＝∠F＝
90°，从而得到四边形MENF中有三个角是直角，使问题得证．
第2课时
矩形的判定
解：四边形 MENF 是矩形． 理由：∵四边形 ABCD 为平行四边形， ∴∠ABC＋∠BCD＝180°. ∵BE ，CE 分别是∠ABC，∠BCD 的平分线， 1 1 ∴∠EBC＝ ∠ABC ，∠ECB＝ ∠BCD， 2 2 1 1 ∴∠EBC＋∠ECB＝ ∠ABC＋ ∠BCD＝90°， 2 2 ∴∠E ＝90°. 同理∠F＝90°，∠AMB＝90°， ∴∠EMF＝90°， ∴四边形 MENF 是矩形．
18.2.1矩形的判定
你知道如何判定一个平行四边形是矩形吗？
定义判定：
有一个角是直角的平行四边形是矩形。（判定方法一）
几何语言：
A
D
∵ ∠A=90o □ ABCD
∴ □ ABCD是矩形
（矩形的定义）
B
C
你还有其它的判定方法吗？你是怎么想到的？
第三页，编辑于星期五：八点 三十一分。
情境一：李芳同学用四步画
出了一个四边形，她的画法是“
第五页，编辑于星期五：八点 三十一分。
情境二：工人师傅为了检
验两组对边相等的四边形窗框是
否成矩形，一种方法是量一量这 个四边形的两条对角线长度，如 果对角线长相等，则窗框一定是 矩形，你知道为什么吗？
猜想：
对角线相等的平行四边形是矩形 。
第六页，编辑于星期五：八点 三十一分。
命题：对角线相等的平行四边形是矩形。
已知： □ ABCD，AC=BD。
求证： □ ABCD是矩形。
A
D
B
C
第七页，编辑于星期五：八点 三十一分。
矩形的判定方法三：
对角线相等的平行四边形是矩形
A
D
O
几何语言：
B
C
∵ AC=BD， □ ABCD
∴ □ ABCD是矩形
第八页，编辑于星期五：八点 三十一分。
谁正确？
一位很有名望的木工师傅，招收了两名徒弟。一天，师傅有
第十一页，编辑于星期五：八点 三十一分。
学以致用
2、如果E、F、G、H是四边形ABCD四条边的中点，要使 四 边 形 EFGH 是 矩 形 ， 那 么 四 边 形 ABCD 应 具 备 的 条 件 是 （ ）C
A、一组对边平行而另一组对边不平行 B、对角线相等 C、对角线互相垂直 D、对角线相等互相平分
18.2.1第2课时矩形的判定
第2课时矩形的判定知识点1有一个角是直角的平行四边形是矩形1．如图18－2－16，要使平行四边形ABCD成为矩形，需要添加的条件是()A．∠A＋∠B＝180°B．∠B＋∠C＝180°C．∠A＝∠B D．∠B＝∠D图18－2－16图18－2－172．如图18－2－17是一个平行四边形的活动框架，对角线是两根橡皮筋．若改变框架的形状，则∠α也随之变化，两条对角线的长度也在发生改变．当∠α是______度时，两条对角线的长度相等．3．如图18－2－18所示，E是▱ABCD的边AB的中点，且EC＝ED.求证：四边形ABCD是矩形．图18－2－18知识点2有三个角是直角的四边形是矩形4．如图18－2－19，在四边形ABCD中，∠C＝∠D＝90°，若再添加一个条件，就能推出四边形ABCD是矩形，你所添加的条件是________．(写出一个条件即可)．图18－2－195．如图18－2－20，▱ABCD的四个内角的平分线分别交于点E，F，G，H.求证：四边形EFGH是矩形．图18－2－20知识点3对角线相等的平行四边形是矩形6．▱ABCD中，AC，BD是对角线，如果添加一个条件，即可推出▱ABCD是矩形，那么这个条件可以是()A．AB＝BC B．AC＝BD C．AC⊥BD D．AB⊥BD7．用一把刻度尺来判定一个零件是矩形的方法是先测量两组对边是否分别相等，然后测量两条对角线是否相等，这样做的依据是__________________________________________．8．如图18－2－21，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O.E，F，G，H分别是OA，OB，OC，OD的中点．求证：四边形EFGH是矩形．图18－2－21提升能力9．下列关于矩形的说法中正确的是()A．对角线相等的四边形是矩形B．矩形的对角线相等且互相平分C．对角线互相平分的四边形是矩形D．矩形的对角线互相垂直且平分10．[2019·上海]已知平行四边形ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是()A．∠A＝∠B B．∠A＝∠C C．AC＝BD D．AB⊥BC11．如图18－2－22，▱ABCD的对角线相交于点O，请你添加一个条件：________(只添一个即可)，使▱ABCD是矩形．图18－2－2212．[2019·宁波模拟]如图18－2－23，在平行四边形ABCD中，E，F为BC上两点，且BE＝CF，AF＝DE.求证：(1)△ABF≌△DCE；(2)四边形ABCD是矩形．图18－2－2313．[2019·通辽]如图18－2－24，△ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，且AF＝CD，连接CF.(1)求证：△AEF≌△DEB；(2)若AB＝AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．图18－2－24冲刺满分14．如图18－2－25，在△ABC中，点O是边AC上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，交∠ACB的平分线于点E，交△ABC的外角∠ACD的平分线于点F.(1)求证：OE＝OF；(2)若CE＝12，CF＝5，求OC的长；(3)当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．图18－2－25教师详解详析1．C2．90[解析] ∵平行四边形活动框架的两条对角线的长度相等，∴该平行四边形是矩形．∵矩形的每个内角都等于90°，∴∠α＝90°.3．[解析] 利用平行四边形的性质和已知条件证明△AED与△BEC全等，从而得到∠A＝∠B＝90°.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC.∵E是边AB的中点，∴AE＝BE.又∵EC＝ED，∴△AED≌△BEC，∴∠A＝∠B.又∵AD∥BC，∴∠A＋∠B＝180°，∴∠A＝∠B＝90°，∴平行四边形ABCD是矩形．4．∠A＝90°或∠B＝90°或AB∥CD(答案不唯一)5．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC∥AD，AB∥CD，∴∠BAD＋∠ABC＝180°，∠ABC＋∠BCD＝180°.又∵▱ABCD的四个内角的平分线分别交于点E，F，G，H，∴∠BAF＋∠ABF＝90°，∠GBC＋∠GCB＝90°，∴∠GFE＝∠AFB＝90°，∠G＝90°，同理可证∠GHE＝∠DHC＝90°，∴四边形EFGH是矩形．6．B7．两组对边分别相等的四边形是平行四边形，对角线相等的平行四边形是矩形[解析] 先测量两组对边是否分别相等，若相等，则四边形为平行四边形，其根据是两组对边分别相等的四边形是平行四边形．然后测量两条对角线是否相等，若对角线相等，则该平行四边形是矩形，其根据是对角线相等的平行四边形是矩形．8．证明：∵矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∴OA＝OB＝OC＝OD.又∵E，F，G，H分别是OA，OB，OC，OD的中点，∴OE＝OF＝OG＝OH，∴四边形EFGH是平行四边形，EG＝HF，∴▱EFGH是矩形．9．B10．B[解析] ∵∠A＝∠B，AD∥BC，∴∠A＝∠B＝90°，故A选项能判定平行四边形ABCD是矩形；∵∠A＝∠C是一组对角相等，任意平行四边形都具有这一性质，故B选项不能判定平行四边形ABCD是矩形；∵对角线相等的平行四边形是矩形，故C选项能判定平行四边形ABCD 是矩形；∵AB ⊥BC ，∴∠B ＝90°，故D 选项能判定平行四边形ABCD 是矩形．11．答案不唯一，如∠ABC ＝90°或AC ＝BD 等12．证明：(1)∵BE ＝CF ，BF ＝BE ＋EF ，CE ＝CF ＋EF ， ∴BF ＝CE .∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ＝DC .在△ABF 和△DCE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝DC ，BF ＝CE ，AF ＝DE ，∴△ABF ≌△DCE (SSS)．(2)∵△ABF ≌△DCE ，∴∠B ＝∠C .∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，∴∠B ＋∠C ＝180°，∴∠B ＝∠C ＝90°，∴四边形ABCD 是矩形．13．解：(1)证明：∵E 是AD 的中点，∴AE ＝DE .又∵AF ∥BC ，∴∠AFE ＝∠DBE ，∠EAF ＝∠EDB ，∴△AEF ≌△DEB .(2)四边形ADCF 是矩形．证明：∵AF ∥CD ，且AF ＝CD ，∴四边形ADCF 是平行四边形．∵△AEF ≌△DEB ，∴AF ＝BD ，∴BD ＝CD ，即AD 是△ABC 的中线．∵AB ＝AC ，∴AD ⊥BC ，∴∠ADC ＝90°，∴四边形ADCF 是矩形．14．解：(1)证明：∵CF 平分∠ACD ，且MN ∥BD ， ∴∠ACF ＝∠FCD ＝∠CFO ，∴OF ＝OC .同理可证OC ＝OE ，∴OE ＝OF .(2)由(1)知∠OCF ＝∠OFC ，∠OCE ＝∠OEC ， ∴∠OCF ＋∠OCE ＝∠OFC ＋∠OEC .而∠OCF ＋∠OCE ＋∠OFC ＋∠OEC ＝180°， ∴∠ECF ＝∠OCF ＋∠OCE ＝90°，∴EF ＝CE 2＋CF 2＝122＋52＝13，∴OC ＝12EF ＝132.(3)当点O 运动到AC 的中点时，四边形AECF 是矩形． 理由：由(1)知OE ＝OF ，当点O 运动到AC 的中点时，有OA ＝OC ，∴四边形AECF 是平行四边形．又∵∠ECF ＝90°，∴平行四边形AECF 是矩形．。
18.2.1矩形的判定
18.2.1矩形的判定编制:目标：明确矩形的判定方法能利用矩形判定方法解决一般地应用重点：矩形的判定方法难点：矩形判定方法及一般运用 一． 知识要点 1.有一个角是直角的平行四边形是矩形。
符号语言：在平行四边形ABCD 中，90BAD ∠=o Q ,∴平行四边形ABCD 是矩形.2.有三个角是直角的四边形是矩形。
符号语言：在四边形ABCD 中，90,BAD ADC DCB ∠=∠=∠=∴o Q 四边形ABCD 是矩形.3.对角线相等的平行四边形是矩形。
符号语言：在平行四边形ABCD 中，,AC BD =∴Q 平行四边形ABCD 是矩形.二．经典例题和变式知识点1：矩形的判定方法例1.如图，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于O.已知下列6个条件：①AB//DC;②AB=DC;③AC=BD;④∠ABC=90°;⑤OA=OC;⑥OB=OD则其中不能使四边形ABCD 成为矩形的一组条件是（ ）A.①②③B.②③④C.②⑤⑥D.④⑤⑥变式练习1. 已知平行四边形ABCD ，AC 、BD 是它的两条对角线，那么下列条件中，能判断这个平行四边形为矩形的是（ ）A. ∠BAC=∠DCAB.∠BAC=∠DACC.∠BAC=∠ABDD.∠BAC=∠ADB2. 如图，ABCD 的对角线相交于点O ，请你添加一个条件____________（只添加一个即可），使ABCD 是矩形.3. 如图，AB=AC ，AD=AE ，DE=BC ，且∠BAD=∠CAE ，求证：四边形BCDE 是矩形.例2.如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连接BF．（1）证明：BD=CD；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由．变式练习4.如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，△AOD为正三角形，AD=4,则平行四边形的面积为：_________5.如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，AD是BC边上的中线，四边形ADBE是平行四边形. （1）求证：四边形ADBE是矩形（2）求矩形ADBE的面积6.如图，点M是平行四边形ABCD的边AD的中点，点P是边BC上的一个动点，PE//MB，PF ∥MC，分别交MC于点E、交MB于点F，如果AB：AD=1：2，试判断四边形PEMF的形状，并说明理由．三、 分层达标阶梯训练： A 基础演练 1. 下列命题正确的是（ ） A. 有一个角是直角的四边形是矩形 B.两条对角线互相平分的四边形是矩形C.有三个角是直角的四边形是矩形D.两条对角线互相垂直的四边形是矩形2.如图，四边形ABCD 为平行四边形，延长AD 到点E ，使DE=AD ，连接EB 、EC 、DB ，添加一个条件，不能使四边形DBCE 成为矩形的是（ ）A.AB=BEB.DE ⊥DCC.∠ADB=90°D.CE ⊥DE3.四边形ABCD 的对角线相交于点O ，在下列条件中，不能判断它是矩形的是（ ）A.AB=CD ，AD=BC ，∠BAD=90°B.AO=CO ，BO=DO ，AC=BDC.∠ADC+∠BCD=180°，∠ABC=∠BAD=90°D.∠BAD=∠ABC=90°，∠BCD+∠BAD=180°4.如图，在ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，且OA=OB ，若AD=4，∠AOD=60°，则AB 的长为_________5.如图，在矩形ABCD 中，M 为AD 边的中点，P 为BC 上一点，PE ⊥MC ，PF ⊥MB ，当AB 、BC 满足条件______时，四边形PEMF 为矩形．2题图 4题图 5题图6.如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=8，BC=6，点P 是AB 上的任意一点，作PD ⊥AC 于点D ，PE ⊥CB 于点E ，连结DE ，则DE 的最小值为___________7.如图,矩形ABCD 中,点E. F 分别是AB 、CD 的中点,连接DE 和BF,分别取DE 、BF 的中点M 、N,连接AM,CN,MN,若AB=22,BC=32，则图中阴影部分的面积为 .6题图 7题图8.如图，在ABCD 中，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，点F 在边CD 上，DF=BE ，连接AF 、BF.（1）求证：四边形BFDE 是矩形．（2）若CF=3，BF=4，DF=5，求证：△ADF 是等腰三角形．9.如图，将ABCD 的边AB 延长到点E ，使BE=AB ，连接DE ，交边BC 于点F.（1）求证：△BEF ≌△CDF ．（2）连接BD ，CE ，若∠BFD ＝2∠A ，求证四边形BECD 是矩形B.能力提升10.如图，在△ABC 中，AC 的垂直平分线分别交AC 、AB 于点D 、F ，BE ⊥DF 交DF 的延长线于点E.已知∠A=30°,BC=2，AF=BF ，则四边形BCDE 的面积为( )A.32B.33C.4D.3411.如图，在四边形ABCD 中，对角线AC ⊥BD ，垂足为O ，点E 、F 、G 、H 分别为边AD 、AB 、BC 、CD 的中点，若AC=8，BD=6，则四边形EFGH 的面积为______．12.如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，D 是AC 的中点，DE ⊥AC ，AE//BD ，若BC=4，AE=5，则四边形ACBE 的周长是______．10题图 11题图 12题图13.如图，已知平行四边形ABCD ，∠ABC ，∠BCD 的平分线BE 、CF 分别交AD 于E 、F ，BE ，CF 交于点G ，点H 为BC 的中点，GH 的延长线交GB 的平行线CM 于点M ，连接BM ，判断四边形GBMC 的形状并说明理由。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
18.2.1矩形的判定
基础知识、技能与思想方法
1．矩形的判定3种：
一个直角+平行四边形；对角线相等+平行四边形；三个直角+四边形 2．常常需要把解决线段或角的问题转化为证矩形的问题；
典型例题
例1已知：如图所示，平行四边形ABCD 中，E 、F 分别为AB 、CD 的中点，连接AF 、CE 、AC ，若CA=CB ，判断四边形AECF 是什么四边形？ 并证明 分析： 解答：
例2 已知：如图所示，l 1∥l 2，l 3交l 1、l 2于A 、C 两点，过A 、C 两点分别作两组内错角的平分线，交于B 、D 两点，判断四边形ABCD 的形状，并说明理由。
分析： 解答：
例3已知：如图所示，在矩形ABCD 中，AB=3cm ，AD=4cm ，P 是AD 上的一动点，PE ⊥AC 于点E ，PF ⊥BD 于点F ，求PE+PF 的值。
分析： 解答：
F
D
C E
A
H
G
N M l 3l 2
l
1D
C
B
A
P
F
D
C
E B
A
O
巩固练习
1．下列各句判定矩形的说法是否正确？为什么？
（1）对角线相等的四边形是矩形；（ ）
（2）对角线互相平分且相等的四边形是矩形；（） （3）有一个角是直角的四边形是矩形；（） （4）有四个角是直角的四边形是矩形；（） （5）四个角都相等的四边形是矩形；（）
（6）对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形；（） （7）一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是矩形；（）
（8）对角线相等且互相垂直的四边形是矩形．（） 2．判断并填空：
（1）有一组对角是直角的四边形一定是矩形。
（ ） （2）有一组邻角是直角的四边形一定是矩形。
（ ） （3）对角线互相平分的四边形是矩形。
（ ） （4）对角互补的平行四边形是矩形。
（ ） （5）有三个角是是矩形，有一个角是是矩形。
（6）两组对边分别平行，且对角线的四边形是矩形。
（7）满足下列条件（ ）的四边形是矩形。
（A ）有三个角相等 （B ）有一个角是直角
（C ）对角线相等且互相垂直 （D ）对角线相等且互相平分
3．四边形ABCD 中∠A:∠B:∠C:∠D=1:1:1:1且AB=3cm,BC=4cm 则其对角线长为．
4．在□ABCD 中,对角线ＡＣ，ＢＤ相交于点Ｏ，且∠OBC=∠OCB. □ABCD 是理由：
5．已知：如图，在平行四边形ABCD 中，E 为CD 中点，△ABE 是等边三角形，求证：四边形ABCD 是矩形。
6．如图，E 为□ABCD 外一点,且AE ⊥EC,BE ⊥ED,求证:□ABCD 为矩形。
7．已知□ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，△AOB 是等边三角形，AB=4cm ，求这个平行四边形的面积． A
B
D C
E O
8．已知：如图，□ABCD 的四个内角的平分线分别相交于点E ，F ，G ，H ．求证：四边形EFGH 是矩形．
9．如图，△ABC 中，点O 是AC 边上的一动点，过O 作直线MN ，设MN 交∠BCA 的平分线于点E ，交∠BCA 的外角平分线于F 。
(1)求证：EO=FO
(2)当O 点运动到何处时，四边形AECF 是矩形？证明你的结论。
10．已知：如图所示，在△ABC 中，AB=AC ，P 为BC 上一点，PE ⊥AB 于点E ，PF ⊥AC 于点F ，试说明PE+PF 为定值。
N
A
B D C
E
O F
M P
F C
E B
A。