二次函数与幂函数——2021届新课改地区高三高考数学一轮专题复习
2021届高三数学总复习第一轮——幂函数与二次函数
2021届高三数学总复习第一轮——幂函数与二次函数一、考纲二、讲义导航三、知识梳理1．幂函数的概念一般地，形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中底数x是自变量，α为常数．幂函数的特征:(1) 自变量x处在幂底数的位置，幂指数α为常数；(2) xα的系数为1；(3) 只有一项．2．五种常见幂函数的图象与性质四、常用结论对于形如f(x)＝x n/m (其中m∈N*，n∈Z，m与n互质)的幂函数：(1)当n为偶数时，f(x)为偶函数，图象关于y轴对称；(2)当m，n都为奇数时，f(x)为奇函数，图象关于原点对称；(3)当m为偶数时，x>0(或x≥0)，f(x)是非奇非偶函数，图象只在第一象限(或第一象限及原点处)．二次函数1．二次函数解析式的三种形式一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；顶点式：f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)；两根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．2．二次函数的图象与性质二次函数系数的特征(1)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，系数a的正负决定图象的开口方向及开口大小；(3)c 的取值决定图象与y 轴的交点；(4)b 2－4ac 的正负决定图象与x 轴的交点个数．常用结论1．一元二次不等式恒成立的条件(1)“ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)恒成立”的充要条件是“a >0，且Δ<0”． (2)“ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)恒成立”的充要条件是“a <0，且Δ<0”．2．二次函数在闭区间上的最值设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)，闭区间为[m ，n ]． (1)当－b2a≤m 时，最小值为f (m )，最大值为f (n )；(2)当m <－b 2a ≤m ＋n2时，最小值为f ⎝⎛⎭⎫－b 2a ，最大值为f (n )； (3)当m ＋n 2<－b2a≤n 时，最小值为f ⎝⎛⎭⎫－b 2a ，最大值为f (m )； (4)当－b2a >n 时，最小值为f (n )，最大值为f (m )．问题一考查幂函数的概念【题1】（2019•昌平区二模）已知幂函数f（x）的图象经过点，则f（4）的值为．【题2】（2017秋•海淀区校级期末）已知函数f（x）＝（2m2+m）x m是定义在[0，+∞）上的幂函数，则f（4x+5）≥x的解集为．【题3】（2017秋•丰台区校级期中）若幂函数在（0，+∞）上是减函数，则m的值是．【题4】（2017春•昌平区校级月考）已知幂函数f（x）＝（m∈N+）经过点（2，），试确定m的值，并满足条件f（2﹣a）＞f（a﹣1）的实数a的取值范围．【题5】（2017秋•昌平区校级月考）已知函数是幂函数，则m＝．问题二考查幂函数的图像与性质【题1】下列是y＝的图象的是（）A．B．C．D．n n(n∈Z)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，【题2】已知幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)x23－则n的值为()A．－3B．1C．2D．1或2【题3】已知当x∈(0,1)时，函数y＝x p的图象在直线y＝x的上方，则p的取值范围是________．【题4】（2018秋•西城区校级期中）已知，，则（）A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．b＜a＜c【题5】已知a＝，b＝，c＝，则（）A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b【题6】（2018春•西城区期末）若函数则f（1）+f（﹣1）＝0；使得方程f（x）＝b有且仅有两解的实数b的取值范围为___________.问题三考查二次函数的图像与性质【题1】若一次函数y＝ax＋b的图象经过第二、三、四象限，则二次函数y＝ax2＋bx的图象只可能是()【题2】（2018•海淀区校级模拟）已知函数，其中m＞0，若存在实数b，使得关于x的方程f（x）＝b有三个不同的零点，则m的取值范围是．【题3】（2018秋•西城区校级期中）已知函数f（x）＝，若函数g（x）＝f （x）﹣m有3个零点，则实数m的取值范围是．问题四考查二次函数图像的单调性与最值问题【题1】（2017秋•海淀区校级期中）写出函数f（x）＝﹣x2+2|x|的单调递增区间．【题2】已知函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在x∈[0,1]时，有最大值2，则a的值为________．【题3】（2018秋•海淀区校级期中）已知函数f（x）＝ax2﹣2x﹣2在区间[1，+∞）上不单调，则实数a的取值范围是．【题4】（2019春•平谷区期末）已知二次函数y＝mx2﹣（m+3）x﹣1，（m≠0），（Ⅰ）如果二次函数恒有两个不同的零点，求m的取值范围；（Ⅱ）当m＞0时，讨论二次函数在区间[0，2]上的最小值．【解题技法】1．二次函数最值问题的类型及解题思路(1)类型：①对称轴、区间都是给定的；②对称轴动、区间固定；③对称轴定、区间变动．(2) 解决这类问题的思路：抓住“三点一轴”数形结合，“三点”是指区间两个端点和中点，“一轴”指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想解决问题．2．二次函数单调性问题的求解策略(1)对于二次函数的单调性，关键是开口方向与对称轴的位置，若开口方向或对称轴的位置不确定，则需要分类讨论求解．(2)利用二次函数的单调性比较大小，一定要将待比较的两数通过二次函数的对称性转化到同一单调区间上比较．问题五考查与二次函数有关的恒成立问题【题1】已知函数f(x)＝x2＋2x＋1，f(x)>x＋k在区间[－3，－1]上恒成立，则k的取值范围为________．【题2】（2019•丰台区一模）若存在x∈[0，1]使不等式a≤x2﹣x成立，则实数a的取值范是．【题3】（2017秋•崇文区校级期中）已知函数f（x）＝ax2+x﹣a﹣1，a为常数．（1）若（1，+∞）⊆{xf（x）＞0}，求a的取值范围．（2）若对任意的x∈R都有不等式﹣x﹣3≤f（x）成立，求a的值．（3）在（2）的条件下，若函数y＝|f（x）|﹣f（x）﹣2mx﹣2m2的图象与x轴恰有三个相异的公共点，求实数m的取值范围．【题4】已知二次函数f（x）满足f（x+1）﹣f（x）＝2x且f（0）＝﹣1．（1）求f（x）的解析式；（2）已知g（x）＝f（x）﹣（m﹣1）x+m．i．若对任意x∈[m，m+1]，都有g（x）＜0恒成立，求实数m的范围；ii．关于x的不等式a≤g（x）≤b的解集为{x|a≤x≤b}（其中a，b为整数，且a＜b），试求a，b的练习A【练1】（2018秋•海淀区校级月考）已知幂函数y ＝f （x ）的图象过（﹣8，﹣2），则f （x ）＝( )【练2】若幂函数y ＝f (x )的图象过点(4,2)，则f (8)的值为( )A ．4B.2C ．22D ．1【练3】函数y ＝的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【练4】若幂函数f (x )＝x k 在(0，＋∞)上是减函数，则k 可能是( )A ．1B ．2 C.12D ．－1【练5】已知幂函数f (x )＝(m 2－3m ＋3)x m ＋1为偶函数，则m ＝( )A ．1B ．2C ．1或2D ．3【练6】下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的为( )A ．y ＝x －4B ．y ＝x －1C ．y ＝x2D ．y ＝x 13【练7】已知幂函数f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫2，14，则函数g (x )＝f (x )＋x24的最小值为( ) A ．1 B ．2 C ．4D ．6【练8】设a ＝（，，，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a ＞c ＞bB ．a ＞b ＞cC ．c ＞a ＞bD ．b ＞c ＞a【练9】幂函数y ＝x |m －1|与y ＝x 23－m m (m ∈Z)在(0，＋∞)上都是增函数，则满足条件的整数m 的值为( )A ．0B ．1和2C ．2D ．0和3【练10】已知幂函数f (x )＝(m －1)2x242－＋m m 在(0，＋∞)上单调递增，函数g (x )＝2x －k ，当x ∈[1,2)时，记f (x )，g (x )的值域分别为集合A ，B ，若A ∪B ＝A ，则实数k 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．[0,1)C ．(0,1]D ．[0,1]【练11】已知函数f (x )＝(m 2－m －5)x m 是幂函数，且在(0，＋∞)上为增函数，则实数m 的值是______．【练12】当0＜x ＜1时，f (x )＝x 2，g (x )＝x 12，h (x )＝x －2，则f (x )，g (x )，h (x )的大小关系是_______．【练13】已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋1的图象的对称轴方程是x ＝1，并且过点P (－1,7)，则a ，b 的值分别是( )A ．2,4B ．－2,4C ．2，－4D ．－2，－4【练14】已知函数f (x )＝－x 2＋4x ＋a ，x ∈[0,1]，若f (x )有最小值－2，则a 的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．－2【练15】一次函数y ＝ax ＋b 与二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 在同一坐标系中的图象大致是( )【练16】已知a ，b ，c ∈R ，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，若f (0)＝f (4)>f (1)，则( )A ．a>0,4a ＋b ＝0B ．a<0,4a ＋b ＝0C ．a>0,2a ＋b ＝0D ．a<0,2a ＋b ＝0【练17】若关于x 的不等式x 2－4x －2－a >0在区间(1,4)内有解，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)B ．(－2，＋∞)C ．(－6，＋∞)D ．(－∞，－6)【解析】选A 不等式x 2－4x －2－a >0在区间(1,4)内有解等价于a <(x 2－4x －2)max ，令f (x )＝x 2－4x －2，x ∈(1,4)，所以f (x )<f (4)＝－2，所以a <－2.【练18】已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋3，若y ＝f (x )在区间[－4,6]上是单调函数，则实数a 的取值范围为________．【练19】已知二次函数y ＝f (x )的顶点坐标为⎝⎛⎭⎫－32，49，且方程f (x )＝0的两个实根之差等于7，则此二次函数的解析式是________．【练20】y ＝2ax 2＋4x ＋a －1的值域为[0，＋∞)，则a 的取值范围是________．【练21】求函数f (x )＝－x (x －a )在x ∈[－1,1]上的最大值__________.【练22】已知二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1.(1)求f (x )的解析式；(2)当x ∈[－1,1]时，函数y ＝f (x )的图象恒在函数y ＝2x ＋m 的图象的上方，求实数m 的取值范围．练习B【练1】（2017春•崇文区校级期末）给出四个等式： ①f （a +b ）＝f （a ）+f （b ） ②f （a +b ）＝f （a ）f （b ） ③f （ab ）＝f （a ）f （b ） ④f （ab ）＝f （a ）+f （b ）则不满足任一等式的函数是（ ）A ．f （x ）＝2xB ．f （x ）＝lgxC ．f （x ）＝xD ．f （x ）＝2x ﹣3【练2】若(a ＋1)12<(3－2a )12，则实数a 的取值范围是________．【练3】已知幂函数f (x )＝x 12，若f (a ＋1)<f (10－2a )，则a 的取值范围是________．解析：由题意得，【练4】已知幂函数f (x )＝x()21－＋m m (m ∈N *)的图象经过点(2，2)．(1) 试确定m 的值；(2) 求满足条件f (2－a )>f (a －1)的实数a 的取值范围．【练5】（2018秋•石景山区期末）已知函数f （x ）＝，若f （x 0）＝﹣1，则x 0＝ ，若关于x 的方程f （x ）＝k 有两个不同零点，则实数k 的取值范围是 ．【练6】已知幂函数（m ∈N *）的图象关于y 轴对称，且在（0，+∞）上是减函数．（1）求m 的值；（2）求满足的a的取值范围．【练7】已知幂函数y＝f（x）的图象经过点（2，4），对于偶函数y＝g（x）（x∈R），当x≥0时，g（x）＝f（x）﹣2x．（1）求函数y＝f（x）的解析式；（2）求当x＜0时，函数y＝g（x）的解析式，并在给定坐标系下，画出函数y＝g（x）的图象；（3）写出函数y＝|g（x）|的单调递减区间．【练8】已知点在幂函数f（x）的图象上，点在幂函数g（x）的图象上．（1）求函数f（x），g（x）的解析式；（2）判断函数g（x）的单调性并用定义证明；（3）问x为何值时有f（x）≤g（x）．【练9】如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A(－3,0)，对称轴为x＝－1.给出下面四个结论：①b2>4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5a<b.其中正确的是()A．②④ B．①④C．②③ D．①③【练10】（2018秋•西城区校级期中）如果二次函数y ＝x 2﹣（k +1）x +k +4有两个不同的零点，则实数k 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，﹣3）∪（5，+∞） B ．（﹣∞，﹣5）∪（3，+∞）C ．（﹣3，5）D ．（﹣5，3）【练11】已知f (x )＝－4x 2＋4ax －4a －a 2在[0,1]内的最大值为－5，则a 的值为( )A.54 B ．1或54C ．－1或54D ．－5或54【练12】若函数y ＝x 2－3x ＋4的定义域为[0，m ]，值域为⎣⎡⎦⎤74，4，则m 的取值范围为( )A ．(0,4] B.⎣⎡⎦⎤32，4 C.⎣⎡⎦⎤32，3 D.⎣⎡⎭⎫32，＋∞【练13】已知y ＝f (x )是偶函数，当x >0时，f (x )＝(x －1)2，若当x ∈⎣⎡⎦⎤－2，－12时，n ≤f (x )≤m 恒成立，则m －n 的最小值为( )A.13B.12C.34 D ．1【练14】已知函数f (x )＝a 2x ＋3a x －2(a >1)，若在区间[－1,1]上f (x )≤8恒成立，则a 的最大值为_______．【练15】已知函数f (x )＝x 2＋(2a －1)x －3.(1) 当a ＝2，x ∈[－2,3]时，求函数f (x )的值域； (2) 若函数f (x )在[－1,3]上的最大值为1，求实数a 的值．【练16】求函数y ＝x 2－2x －1在区间[t ，t ＋1](t ∈R)上的最大值．【练17】已知二次函数f （x ）＝x 2+2（a ﹣1）x +3；①当a ＝﹣1，且x ∈[1，4]时，求函数y ＝f （x ）的最大值与最小值； ②若函数y ＝f （x ）在[3，+∞）上是增函数，求a 的取值范围．【练18】已知f （x ）是二次函数，对任意x ∈R 都满足f （x +1）﹣f （x ）＝﹣2x +1，且f （0）＝1． （1）求f （x ）的解析式；（2）当x ∈[﹣2，1]时，y ＝f （x ）的图象恒在y ＝﹣x +m 的图象上方，求实数m 的取值范围．练习C【练1】已知二次函数f（x）满足f（0）＝1，f（x+1）﹣f（x）＝2x+5．（1）求f（x）的解析式；（2）若x∈[﹣3，1]，若f（x）≤m2﹣5m恒成立，求m的取值范围．【练2】已知二次函数f（x）＝ax2+bx+c（a，b，c均为实常数，且a≠0），满足条件f（0）＝f（2）＝0，且方程f（x）＝2x有两个相等的实数根．（1）求函数f（x）的解析式；（2）试确定一个区间P，使得f（x）在P内单调递减且不等式f（x）≥0在P内恒成立；（3）是否存在这样的实数m、n，满足m＜n，使得f（x）在区间[m，n]内的取值范围恰好是[4m，4n]？如果存在，试求出m、n的值；如果不存在，请说明理由．【练3】已知二次函数f（x）＝ax2+bx+1（a，b∈R），x∈R．（1）若函数f（x）的最小值为f（﹣1）＝0，求f（x）的解析式，并写出单调区间；（2）在（1）的条件下，f（x）＞x+k在区间[﹣3，﹣1]上恒成立，试求k的取值范围．【练4】若二次函数f（x）＝ax2+bx+c（a，b，c∈R）满足f（x+1）﹣f（x）＝4x+1，且f（0）＝3．（1）求f（x）的解析式；（2）若在区间[﹣1，1]上，不等式f（x）＞6x+m恒成立，求实数m的取值范围．【练5】已知二次函数，且f（0）＝0，f（x+1）＝f（x）+x+1，（1）求f（x）（2）利用单调性的定义证明f（x）在x∈（1，2）为单调递增函数．（3）求f（x）在区间x∈（t，t+1）上的最值．【练6】已知二次函数y＝f（x）的图象经过原点，函数f（x+1）是偶函数，方程f（x）+1＝0有两相等实根．（1）求y＝f（x）的解析式；（2）若对任意x∈[，8]，2f（log2x）+m≥0恒成立，求实数m的取值范围；【练7】（2017秋•海淀区校级期中）对a、b∈R，记，函数f（x）＝max{|x|，﹣x2﹣2x+4}（x∈R）．（1）求f（0），f（﹣4）．（2）写出函数f（x）的解析式，并作出图象．（3）若关于x的方程f（x）＝m有且仅有3个不等的解，求实数m的取值范围．（只需写出结论）【练8】已知二次函数f（x）＝ax2+bx﹣1在x＝﹣1处取得极值，且在点（0，﹣1）处的切线与直线2x﹣y＝0平行．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）求函数g（x）＝xf（x）+2x的极值．【练9】已知二次函数f（x）满足f（x+1）﹣f（x）＝2x且f（0）＝﹣1．（1）求f（x）的解析式；（2）已知g（x）＝f（x）﹣（m﹣1）x+m．i．若对任意x∈[m，m+1]，都有g（x）＜0恒成立，求实数m的范围；ii．关于x的不等式a≤g（x）≤b的解集为{x|a≤x≤b}（其中a，b为整数，且a＜b），试求a，b 的值．课后作业【题1】（2018•西城区模拟）如果幂函数f（x）＝xα的图象经过点，则α＝（）A．﹣2 B．2 C．D．【题2】（2017秋•丰台区期末）已知幂函数y＝f（x）的图象经过点（2，4），则f（3）＝．【题3】（2017秋•密云县月考）已知幂函数y＝f（x）的图象经过点，则f（2）＝．【题4】函数的图象关于（）A．y轴对称B．直线y＝﹣x对称C．坐标原点对称D．直线y＝x对称【题5】给出三个等式：f（xy）＝f（x）f（y），f（x+y）＝f（x）f（y），f（x+y）＝f（x）+f （y），下列函数中不满足任何一个等式的是（）A．y＝x2B．y＝2x C．y＝3x D．y＝log5x【题6】如图，给出幂函数y＝x n在第一象限内的图象，n取四个值，则相应于曲线C1，C2，C3，C4的n依次为．【题7】函数是幂函数，当x＞0时，f（x）单调递减，则m＝．【题8】设二次函数f(x)＝ax2－2ax＋c在区间[0,1]上单调递减，且f(m)≤f(0)，则实数m的取值范围是________．【题9】已知二次函数f（x）＝x2+2（a﹣1）x+3；①当a＝﹣1，且x∈[1，4]时，求函数y＝f（x）的最大值与最小值；②若函数y＝f（x）在[3，+∞）上是增函数，求a的取值范围．【题10】已知二次函数f（x）＝ax2+bx+1（a，b∈R），x∈R．（1）若函数f（x）的最小值为f（﹣1）＝0，求f（x）的解析式，并．写出单调区间；（2）在（1）的条件下，f（x）＞x+k在区间[﹣3，﹣1]上恒成立，试求k的取值范围．。
幂函数与二次函数(课件)2024届高三数学一轮全方位基础复习(新教材新高考)
不等式 + 1
> 3 − 2
化为：
< 4，
2
所以实数a的取值范围为( 3 , 4)．
2
故答案为：( 3 , 4)
+1
2
> 3 − 2
2 ，即(3
2
− 2)( − 4) < 0，解得： 3 <
从而解不等式求参数的范围．
考向典题讲解
题型四：二次函数“动轴定区间”、“定轴动区间”问题
【例4】（2023·上海·高三专题练习）已知 = 2 + 2 + 4 , , ∈ ．
（1）若 0 = −1 ， + 2 = 0 ，解关于 的不等式 < + 1 − 3 ；
单调性
在
b
－∞，－
2a
b
－∞，－
2a
在
b
－
，＋∞
2a
b
－
，＋∞
2a
减
上单调递____；
在
增
上单调递____
在
增
上单调递____；
减
上单调递____
考点知识梳理
常用结论
1、幂函数 = ( ∈ )在第一象限内图象的画法如下：
目还需讨论轴与区间中点的位置关系），从而对参数值的范围进行讨论.
（2）对于二次方程实根分布问题，要抓住四点，即开口方向、判别式、对称轴位置及
第2章 第5讲幂函数与二次函数-2021版高三数学(新高考)一轮复习课件共50张PPT
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第二章 函数、导数及其应用
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根据已知条件确定二次函数解析式，一般用待定系数法，选择规律如下：
第二章 函数、导数及其应用
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〔变式训练1〕 (1)若函数f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)(常数a，b∈R)是偶函数，且它的值域为(－∞， 4]，则该函数的解析式f(x)＝____－__2_x_2＋__4______. (2)已知二次函数f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，且f(0)＝0，f(1)＝1，则f(x)的解析式 为___f_(x_)_＝__－__x_2_＋__2_x ___. [解析] (1)因为f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)＝bx2＋a(b＋2)x＋2a2，由f(x)是偶函数可 知：f(x)的图象关于y轴对称，所以b＝－2或a＝0，当a＝0时，f(x)＝bx2与值域(－ ∞，4]矛盾，当b＝－2时，f(x)＝－2x2＋2a2，又因为f(x)的值域为(－∞，4]，所以2a2 ＝4，因此f(x)＝－2x2＋4.
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第二章 函数、导数及其应用
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解法二：利用“顶点式”解题：设 f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)． ∵f(2)＝f(－1)，∴抛物线的对称轴为 x＝2＋2－1＝12，∴m＝12. 又根据题意，函数有最大值 8，∴n＝8， ∴y＝f(x)＝a(x－12)2＋8. ∵f(2)＝－1，∴a(2－12)2＋8＝－1，解得 a＝－4， ∴f(x)＝－4(x－12)2＋8＝－4x2＋4x＋7.
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第二章 函数、导数及其应用
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新课程2021高考数学一轮复习第二章第4讲二次函数与幂函数课件
③当a2≤0，即 a≤0 时，f(x)在[0,1]上递减， ∴f(x)max＝f(0)＝－4a－a2. 令－4a－a2＝－5，解得 a＝－5 或 a＝1(舍去). 综上所述，a＝54或－5.故选 D.
角度 4 与二次函数有关的恒成立问题 4.已知函数 f(x)＝x3，若不等式 f(－4t)>f(2m＋mt2)对任意实数 t 恒成立， 则实数 m 的取值范围是( ) A.(－∞，－ 2) B.(－ 2，0) C.(－∞，0)∪( 2，＋∞) D.(－∞，－ 2)∪( 2，＋∞) 答案 A
2．如图是二次函数 y＝f(x)的图象，若|OC|＝|OB|＝3|OA|，且△ABC 的 面积 S＝6，求这个二次函数的解析式.
解 设二次函数解析式为 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 因为|OB|＝|OC|＝3|OA|，所以|AB|＝|OA|＋|OB|＝4|OA|， 且 4|OA|×3|OA|×12＝6，得|OA|＝1， 所以 A(－1,0)，B(3,0)，C(0,3).
1
(2)已知幂函数 y＝f(x)的图象过点(2， 2)，则函数的解析式为_f(_x_)_＝__x_2_．
解析 设 f(x)＝xα，因为函数 f(x)的图象过点(2， 2)，所以 2＝2α，即
2
1 2
＝2α，所以
α＝12，所以
f(x)＝x
1 2
.
(3)若二次函数 y＝－2x2－4x＋t 的图象的顶点在 x 轴上，则 t 的值是 ___－__2___．
2．小题热身 (1)若 a<0，则 0.5a,5a,0.2a 的大小关系是( ) A．0.2a<5a<0.5a B．5a<0.5a<0.2a C．0.5a<0.2a<5a D．5a<0.2a<0.5a 答案 B 解析 因为 a<0，所以函数 y＝xa 在(0，＋∞)上是减函数，又 0.2<0.5<5， 所以 0.2a>0.5a>5a，即 5a<0.5a<0.2a.
2021届新高考数学一轮专题复习(新高考版)第07讲 幂函数与二次函数(讲义版)
第07讲-幂函数与二次函数一、考情分析1.通过具体实例，结合y＝x，y＝1x，y＝x2，y＝x，y＝x3的图象，理解它们的变化规律，了解幂函数；2.理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题．二、知识梳理1.幂函数(1)幂函数的定义一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数.(2)常见的5种幂函数的图象(3)幂函数的性质①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减.2.二次函数(1)二次函数解析式的三种形式：一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n).零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点.(2)二次函数的图象和性质函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)y＝ax2＋bx＋c(a<0)图象(抛物线)定义域R值域 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫4ac －b 24a ，＋∞ ⎝⎛⎦⎥⎤－∞，4ac －b 24a对称轴 x ＝－b2a 顶点 坐标 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a，4ac －b 24a奇偶性当b ＝0时是偶函数，当b ≠0时是非奇非偶函数单调性在⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－b 2a 上是减函数； 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞上是增函数 在⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－b 2a 上是增函数； 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞上是减函数 [微点提醒]1.二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关.2.若f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则当⎩⎨⎧a >0，Δ<0时恒有f (x )>0，当⎩⎨⎧a <0，Δ<0时，恒有f (x )<0.三、 经典例题考点一 幂函数的图象和性质【例1-1】（2019·河北省沧州市一中高一月考）已知幂函数()y f x =的图象过点(8,)m 和(9,3)，则实数m 的值为（ ） A ．2 B ．12C ．3D ．22【答案】D 【解析】设()a f x x ，依题意可得93α=，所以12α=.所以12()f x x =.故所求实数12(8)822m f ===.【例1-2】（2020·土默特左旗金山学校高一开学考试（文））函数43y x =的图像大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】43y x ==∴该函数的定义域为R ，所以排除C ；因为函数为偶函数，所以排除D ； 又413>，43y x ∴=在第一象限内的图像与2y x 的图像类似，排除B.规律方法 1.对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x ＝1，y ＝1，y ＝x 所分区域.根据α<0，0<α<1，α＝1，α>1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定.2.在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较. 考点二 二次函数的解析式【例2-1】 (一题多解)已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，试确定该二次函数的解析式.【解析】 法一 (利用“一般式”解题) 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0).由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，4ac －b 24a ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝4，c ＝7.∴所求二次函数为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7. 法二 (利用“顶点式”解题) 设f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0). 因为f (2)＝f (－1)，所以抛物线的对称轴为x ＝2＋（－1）2＝12，所以m ＝12.又根据题意，函数有最大值8，所以n ＝8， 所以y ＝f (x )＝a ⎝⎛⎭⎫x －122＋8. 因为f (2)＝－1，所以a ⎝⎛⎭⎫2－122＋8＝－1，解得a ＝－4， 所以f (x )＝－4⎝⎛⎭⎫x －122＋8＝－4x 2＋4x ＋7. 法三 (利用“零点式”解题)由已知f (x )＋1＝0的两根为x 1＝2，x 2＝－1， 故可设f (x )＋1＝a (x －2)(x ＋1)(a ≠0)， 即f (x )＝ax 2－ax －2a －1.又函数有最大值8，即4a （－2a －1）－（－a ）24a ＝8.解得a ＝－4或a ＝0(舍).故所求函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.【例2-2】（2020·四川省泸县第一中学高一期中）已知函数()()220f x ax ax b a =-+>在区间[]1,3-上的最大值为5，最小值为1.（1）求a 、b 的值及()f x 的解析式； （2）设()()f x g x x=，若不等式()330x xg t -⋅≥在[]0,2x ∈上有解，求实数t 的取值范围. 【解析】()22f x ax ax b =-+对称轴方程为1x =, 因为()f x 在区间[]1,3-上的最大值为5，0a >, 故1x =时,()f x 取得最小值为1,即顶点为(1,1)，1x =-或3x =，()f x 取得最大值5. ()11(1)35f a b f a b ⎧=-+=⎨-=+=⎩,解得12a b =⎧⎨=⎩, 21,2,()22a b f x x x ∴===-+.（2）()()222,(3)323x x x f x g x x g x x ==+-=+-, ()23332303x x x x x g t t -⋅=+--⋅≥, 即2221(3)3x x t ≤+-在[]0,2x ∈上有解, 令[]11,0,2,[,1]39x m x m =∈∈ 22111()2212(),[,1]229h m m m m m =-+=-+∈max ()1t h m ≤=时，不等式()330x x g t -⋅≥在[]0,2x ∈上有解. ∴实数t 的取值范围1t ≤.规律方法 求二次函数的解析式，一般用待定系数法，其关键是根据已知条件恰当选择二次函数解析式的形式，一般选择规律如下：考点三 二次函数的图象及应用【例3-1】（2020·全国高一专题练习）函数y ＝ax 2＋bx 与y ＝ax ＋b(ab≠0)的图象只可能是( ) A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】令()()()2,0f x ax bx g x ax b ab ==≠＋＋，()f x 的对称轴为2ba-。
二次函数与幂函数——2021年高考理科数学一轮复习热点题型全归纳与高效训练突破(附解析)
【例 3】(2020·河南中原名校联考)已知函数 f(x)＝2ax2＋4(a－3)x＋5 在区间(－∞，3)上是减函数，则 a 的取 值范围是( )
A. 0，3 4
B.
0，3 4
C.
0，43
D.
0，43
【例 4】函数 f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1 在区间[－1，＋∞)上是单调递减的，则实数 a 的取值范围是________．
2021 年高考理科数学一轮复习：题型全归纳与高效训练突破
专题 2.4 二次函数与幂函数
目录 一、题型全归纳.............................................................................................................................................................1
【题型要点】 研究二次函数单调性的思路
(1)二次函数的单调性在其图象对称轴的两侧不同，因此研究二次函数的单调性时要依据其图象的对称轴进 行分类讨论．
2021届高考数学(理)考点复习：幂函数与二次函数(含解析)
2021届高考数学（理）考点复习幂函数与二次函数1．幂函数 (1)幂函数的定义一般地，形如y ＝x α的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α是常数． (2)常见的五种幂函数的图象和性质比较函数y ＝xy ＝x 2y ＝x 3y ＝12xy ＝x －1图象性质定义域 R R R {x |x ≥0} {x |x ≠0} 值域 R {y |y ≥0} R {y |y ≥0} {y |y ≠0} 奇偶性 奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性在R 上单调递增在(－∞，0]上单调递减；在(0，＋∞)上单调递增在R 上单调递增在[0，＋∞)上单调递增在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减公共点(1,1)2.二次函数的图象和性质解析式f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a <0)图象定义域 RR值域 ⎣⎡⎭⎫4ac －b 24a ，＋∞ ⎝⎛⎦⎤－∞，4ac －b 24a单调性在x ∈⎝⎛⎦⎤－∞，－b2a 上单调递减； 在x ∈⎝⎛⎦⎤－∞，－b2a 上单调递增；在x ∈⎣⎡⎭⎫－b2a ，＋∞上单调递增 在x ∈⎣⎡⎭⎫－b2a ，＋∞上单调递减 对称性函数的图象关于直线x ＝－b2a对称概念方法微思考1．二次函数的解析式有哪些常用形式？ 提示 (1)一般式：y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)； (2)顶点式：y ＝a (x －m )2＋n (a ≠0)； (3)零点式：y ＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)．2．已知f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，写出f (x )≥0恒成立的条件． 提示 a >0且Δ≤0.3．函数y ＝2x 2是幂函数吗？ 提示 不是．1．（2016•新课标Ⅲ）已知432a =，254b =，1325c =，则( ) A ．b a c << B ．a b c << C ．b c a << D ．c a b <<【答案】A【解析】423324a ==， 2244255534(2)22b a ===<<，1233242554233c a ==>==，综上可得：b a c <<， 故选A ．2．（2015•北京）某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况 加油时间 加油量（升) 加油时的累计里程（千米） 2015年5月1日 12 35000 2015年5月15日4835600注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程，在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为( )A ．6升B ．8升C ．10升D ．12升【答案】B【解析】由表格信息，得到该车加了48升的汽油，跑了600千米，所以该车每100千米平均耗油量4868÷=； 故选B ．3．（2017•浙江）若函数2()f x x ax b =++在区间[0，1]上的最大值是M ，最小值是m ，则(M m -)A ．与a 有关，且与b 有关B ．与a 有关，但与b 无关C ．与a 无关，且与b 无关D ．与a 无关，但与b 有关【答案】B【解析】函数2()f x x ax b =++的图象是开口朝上且以直线2ax =-为对称轴的抛物线，①当12a ->或02a-<，即2a <-，或0a >时，函数()f x 在区间[0，1]上单调， 此时|M m f -=（1）(0)||1|f a -=+， 故M m -的值与a 有关，与b 无关 ②当1122a-，即21a --时， 函数()f x 在区间[0，]2a -上递减，在[2a-，1]上递增，且(0)f f >（1），此时2(0)()24a a M m f f -=--=，故M m -的值与a 有关，与b 无关 ③当1022a -<，即10a -<时， 函数()f x 在区间[0，]2a -上递减，在[2a-，1]上递增，且(0)f f <（1），此时M m f -=（1）2()124a a f a --=++，故M m -的值与a 有关，与b 无关 综上可得：M m -的值与a 有关，与b 无关 故选B ．4．（2017•上海）函数2()(1)f x x =-的单调递增区间是( ) A ．[0，)+∞ B ．[1，)+∞ C ．(-∞，0] D ．(-∞，1]【答案】B【解析】函数()f x 的对称轴是1x =，开口向上， 故()f x 在[1，)+∞递增， 故选B ．5．（2016•新课标Ⅱ）已知函数()()f x x R ∈满足()(2)f x f x =-，若函数2|23|y x x =--与()y f x =图象的交点为1(x ，1)y ，2(x ，2)y ，⋯，(m x ，)m y ，则1(mi i x ==∑ )A ．0B ．mC ．2mD ．4m【答案】B【解析】函数()()f x x R ∈满足()(2)f x f x =-， 故函数()f x 的图象关于直线1x =对称，函数2|23|y x x =--的图象也关于直线1x =对称，故函数2|23|y x x =--与()y f x = 图象的交点也关于直线1x =对称， 故122mi i mx m ==⨯=∑， 故选B ．6．（2018•上海）已知{2α∈-，1-，11,22-，1，2，3}，若幂函数()f x x α=为奇函数，且在(0,)+∞上递减，则α=__________． 【答案】1-【解析】{2α∈-，1-，11,22-，1，2，3}，幂函数()f x x α=为奇函数，且在(0,)+∞上递减， a ∴是奇数，且0a <，1a ∴=-．故答案为：1-．7．（2019•上海）如图，已知正方形OABC ，其中(1)OA a a =>，函数23y x =交BC 于点P ，函数12y x-=交AB 于点Q ，当||||AQ CP +最小时，则a 的值为__________．3【解析】由题意得：P 点坐标为(3a ，)a ，Q 点坐标为1()a a ，11||||233a AQ CP a+=，当且仅当3a = 38．（2016•上海）函数221y x x =-+在区间[0，]m 上的最小值为0，最大值为1，则实数m 的取值范围是__________． 【答案】12m 【解析】22()21(1)f x x x x =-+=-，∴对称轴1x =，f ∴（1）0=，f （2）1=，(0)1f =，2()21f x x x =-+在区间[0，]m 上的最大值为1，最小值为0， ∴21()(1)1m f m m ⎧⎨=-⎩，12m ∴， 故答案为：12m ．1．（2020•重庆模拟）已知点1(2,)8在幂函数()n f x x =的图象上，设3(a f =，()b f ln π=，2(2c f =，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．b a c << B ．a b c << C ．b c a << D ．a c b <<【答案】C【解析】点1(2,)8在幂函数()n f x x =的图象上，∴128n =，3n ∴=-， ∴幂函数331()f x x x -==，在(0,)+∞上单调递减， 又321ln π<<<， ∴32((()f f f ln π>>，即a c b >>， 故选C ．2．（2020•三明模拟）已知幂函数2242()(1)mm f x m x -+=-在(0,)+∞上单调递增，函数()2x g x t =-，对于任意1[1x ∈，5)时，总存在2[1x ∈，5)使得12()()f x g x =，则t 的取值范围是( ) A ．∅ B ．7t 或1t C ．7t >或t l < D ．17t【答案】D【解析】幂函数2242()(1)m m f x m x -+=-在(0,)+∞上单调递增，∴22(1)1420m m m ⎧-=⎨-+>⎩，解得0m =，2()f x x ∴=，当1[1x ∈，5)时，1()[1f x ∈，25)，设集合[1A =，25)，又当2[1x ∈，5)时，2()[2g x t ∈-，32)t -，设集合[2B t =-，32)t -， 由题意得：A B ⊆，∴213225t t -⎧⎨-⎩，解得：17t ，故选D ．3．（2020•武昌区模拟）已知点(,8)m 在幂函数()(1)n f x m x =-的图象上，设()ma f n=，()b f ln π=，()c f n =，则( )A ．b a c <<B ．a b c <<C ．b c a <<D ．a c b <<【答案】B【解析】由幂函数的定义可知，11m -=，2m ∴=，∴点(2,8)在幂函数()n f x x =上，28n ∴=，3n ∴=，∴幂函数解析式为3()f x x =，在R 上单调递增，23m n =，13ln π<<，3n =， ∴mln n nπ<<， a b c ∴<<，故选B ．4．（2020•金安区校级模拟）已知幂函数1()n f x mx +=是定义在区间[2-，]n 上的奇函数，设2(sin)7a f π=，2(cos )7b f π=，2(tan )7c f π=，则( )A ．b a c <<B ．c b a <<C ．b c a <<D ．a b c <<【答案】A【解析】根据幂函数1()n f x mx +=是定义在区间[2-，]n 上的奇函数， 得1m =，且20n -+=，解得2n =；3()f x x ∴=，且在定义域R 上是单调增函数； 又20472πππ<<<， 222cossin 1tan777πππ∴<<<， 222(cos)(sin )(tan )777f f f πππ∴<<， 即b a c <<． 故选A ．5．（2020•B 卷模拟）已知幂函数()y f x =的图象经过点(4,2)，则f （2）(= ) A ．14B ．4C 2D 2【答案】D【解析】设()a f x x =，因为幂函数图象过(4,2)， 则有24a=，12a ∴=，即12()f x x =，f ∴（2）1222==故选D ．6．（2020•江门模拟）若函数()f x 是幂函数，且满足(4)3(2)f f =，则1()2f 的值为( ) A ．3- B ．13-C ．3D ．13【答案】D【解析】设()(f x x αα=为常数），满足(4)3(2)f f =，∴432αα=，2log 3α∴=．∴23()log f x x =．则2311()223log f -==．故选D ．7．（2020•福田区校级模拟）已知幂函数1()(21)a g x a x +=-的图象过函数1()(0,1)2x b f x m m m -=->≠的图象所经过的定点，则b 的值等于( ) A ．12±B ．22±C ．2D ．2±【答案】B【解析】函数1()(21)a g x a x +=-是幂函数， 211a ∴-=，解得1a =，2()g x x ∴=；令0x b -=，解得x b =，∴函数1()2x b f x m -=-的图象经过定点1(,)2b ，212b ∴=，解得2b =．故选B ．8．（2013秋•鹰潭期末）对于幂函数45()f x x =，若120x x <<，则12()2x x f +，12()()2f x f x +大小关系是( ) A ．1212()()()22x x f x f x f ++>B ．1212()()()22x x f x f x f ++<C ．1212()()()22x x f x f x f ++=D ．无法确定 【答案】A【解析】幂函数45()f x x =在(0,)+∞上是增函数，图象是上凸的，∴当120x x <<时，应有1212()()()22x x f x f x f ++>． 故选A ．9．（2018•保定一模）已知函数()f x 既是二次函数又是幂函数，函数()g x 是R 上的奇函数，函数()()1()1g x h x f x =++，则(2018)(2017)(2016)h h h h +++⋯+（1）(0)(1)(2016)(2017)(2018)(h h h h h ++-+⋯-+-+-= )A ．0B ．2018C ．4036D ．4037【答案】D【解析】函数()f x 既是二次函数又是幂函数，2()f x x ∴=，()1f x ∴+为偶函数； 函数()g x 是R 上的奇函数， ()()()1g x m x f x =+为定义域R 上的奇函数；函数()()1()1g x h x f x =++，()()()()()()[1][1][]22()1()1()1()1g x g x g x g x h x h x f x f x f x f x --∴+-=+++=++=+-+++，(2018)(2017)(2016)h h h h ∴+++⋯+（1）(0)(1)(2016)(2017)(2018)h h h h h ++-+⋯+-+-+- [(2018)(2018)][(2017)(2017)][h h h h h =+-++-+⋯+（1）(1)](0)h h +-+ 2221=++⋯++ 220181=⨯+4037=．故选D ．10．（2019•大武口区校级三模）已知点(2,8)在幂函数()n f x x =的图象上，设32(),(),(a f b f ln c f π===，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a c b << B ．a b c << C ．b c a << D ．b a c <<【答案】A【解析】由点(2,8)在幂函数()n f x x =的图象上，得82n =，即3n =．3()f x x ∴=，单调递增， 又1ln π>321<， a c b ∴<<．故选A ．11．（2019•陕西二模）已知点(2,8)在幂函数()n f x x =图象上，设0.51(())2a f =，0.2(2)b f =，21(log )2c f =，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．b a c >>B ．a b c >>C ．c b a >>D ．b c a >>【答案】A【解析】点(2,8)在幂函数()n f x x =图象上， f ∴（2）28n ==，解得3n =，3()f x x ∴=， 0.5 1.5 1.511(())()222a f -===，0.20.6(2)2b f ==，321(log )(1)(1)12c f f ==-=-=-，a ∴，b ，c 的大小关系为b a c >>．故选A ．12．（2019•陕西二模）已知点(2,8)在幂函数()n f x x =图象上，设0.30.212455(()),(()),(log )544a fb fc f ===，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．b a c >>B ．a b c >>C ．c b a >>D ．b c a >>【答案】A【解析】点(2,8)在幂函数()n f x x =图象上， f ∴（2）28n ==，解得3n =，3()f x x ∴=， 设0.30.212455(()),(()),(log )544a fb fc f ===，∴0.330.904444[()]()()15555a <==<=，0.230.605555[()]()()14444b >==>=， 3311225()(log 1)04c log =<=，a ∴，b ，c 的大小关系是b a c >>．故选A ．13．（2019•西湖区校级模拟）若幂函数2()(33)m f x m m x =--在(0,)+∞上为增函数，则实数(m =) A ．4 B ．1- C ．2 D ．1-或4【答案】A【解析】幂函数2()(33)m f x m m x =--在(0,)+∞上为增函数， 所以2331m m --=，并且0m >， 解得4m =． 故选A ．14．（2019•西城区模拟）函数2y x -=在区间上1[2，2]的最大值是( )A ．14B ．1-C ．4D ．4-【答案】C【解析】函数2y x -=在第一象限是减函数，∴函数2y x -=在区间1[2，2]上的最大值是211()()422f -==．故选C ．15．（2019•西湖区校级模拟）幂函数()f x x α=的图象过点(2,4)，那么函数()f x 的单调递增区间是()A ．(2,)-+∞B ．[1-，)+∞C ．[0，)+∞D ．(,2)-∞-【答案】C【解析】幂函数()f x x α=的图象过点(2,4)， 所以42α=，即2α=，所以幂函数为2()f x x = 它的单调递增区间是：[0，)+∞ 故选C ．16．（2017•长沙一模）已知函数12()f x x =，则( ) A ．0x R ∃∈，使得()0f x < B ．[0x ∀∈，)+∞，()0f x C ．1x ∃，2[0x ∈，)+∞，使得1212()()0f x f x x x -<-D ．1[0x ∀∈，)+∞，2[0x ∃∈，)+∞使得12()()f x f x > 【答案】B【解析】由函数12()f x x =，知： 在A 中，()0f x 恒成立，故A 错误； 在B 中，[(0,)x ∀+∞，()0f x ，故B 正确； 在C 中，1x ∃，2[0x ∈，)+∞，使得1212()()0f x f x x x ->-，故C 错误；在D 中，当10x =时，不存在2[0x ∈，)+∞使得12()()f x f x >，故D 不成立． 故选B ．17．（2019•西湖区校级模拟）若11222(21)(1)m m m +>+-，则实数m 的取值范围是( ) A ．(-∞51-- B ．51[-，)+∞ C ．(1,2)- D ．51[-，2) 【答案】D【解析】考察幂函数12y x =，它在[0，)+∞上是增函数， 11222(21)(1)m m m +>+-， 22110m m m ∴+>+-，解得，51[x -∈，2)． 故选D ．18．（2020•海南模拟）已知函数2()5f x x mx =-+在(2,)+∞上单调递增，则m 的取值范围为( ) A ．[4，)+∞ B ．[2，)+∞ C ．(-∞，4] D ．(-∞，2]【答案】C【解析】函数2()5f x x mx =-+的对称轴为2mx =， 函数()f x 在区间(2,)+∞上单调递增，∴22m，解得4m ， 故选C ．19．（2019•西湖区校级模拟）若函数2()8f x x kx =+-在区间[2-，3]上是减函数，则( ) A ．6k - B ．6k - C ．4k D ．4k【答案】【解析】由2()8f x x kx =+-，抛物线开口向上，对称轴22b kx a =-=-， 若()f x 在区间[2-，3]上是减函数，则32k-，即6k -， 故选A ．20．（2019•西湖区校级模拟）二次函数2()y ax bx c x R =++∈的部分对应值如表：x3- 2-1- 0 1 2 3 4 y64-6-6-4-6则不等式20ax bx c ++>的解集是( ) A ．(-∞，6)(6--，)+∞ B ．(-∞，2)3-，)+∞ C ．(2,3)- D ．(6,)-+∞【答案】B【解析】由表格中的数据可得，122b a -=， 又(2)f f -=（3）0=，且在对称轴左边为减函数，右边为增函数，∴不等式20ax bx c ++>的解集是(-∞，2)3-，)+∞．故选B ．21．（2019•西湖区校级模拟）设函数22()f x x mx n =++，22()(4)24g x x m x n m =+++++，其中x R ∈，若对任意的t R ∈，()f t ，()g t 至少有一个为非负值，则实数m 的最大值是( )A ．1B 2C ．2D 5【答案】C【解析】222221()()24m f x x mx n x n m =++=++-， 2222241()(4)24()24m g x x m x n m x n m +=+++++=++-，根据二次函数的图象与性质可知，若对任意的n ，t R ∈，()f t 和()g t 至少有一个为非负值， 只需两个函数图象交点处的函数值大于等于0即可， 由()()f x g x =，可得22m x +=-， 所以22224()()0224m m m f g n ++--=-=+，解得222121n m n -++ 所以0n =时m 取得最大值为2． 故选C ．22．（2020•静安区二模）若幂函数()y f x =的图象经过点1(,2)8，则1()8f -的值为__________．【答案】2-【解析】设幂函数为：y x α= 幂函数的图象经过点1(8，2)，312()28αα-∴==；13α∴=-；13y x -∴=；则1()8f -的值为：113331()(2)28----=-=-．故答案为：2-．23．（2020•吉林模拟）93(,)42M 是幂函数()n f x x =图象上的点，将()f x 的图象向右平移2个单位长度，再向上平移32个单位长度，得到函数()y g x =的图象，若点(n T n ，*)(m n N ∈，且2)n 在()g x 的图象上，则239||||||MT MT MT ++⋯+=__________． 【答案】30 【解析】由39()24n=，解得12n =．()f x x ∴=可得：3()22g x x -， 点(n T n ，*)(m n N ∈，且2)n 在()g x 的图象上，322m n ∴=-+． 23()22m n -=-，3()2m ．抛物线23()22y x -=-的焦点9(4M ，3)2，准线方程为17244x =-=．根据抛物线的性质可得：7||4n MT n =-， 则239777(29)87||||||23983044424MT MT MT +⨯++⋯+=-+-+⋯⋯+-=-⨯=． 故答案为：30．24．（2020•攀枝花模拟）已知幂函数(,)n y mx m n R =∈的图象经过点(4,2)，则m n -=__________． 【答案】12【解析】函数(,)n y mx m n R =∈为幂函数，则1m =； 又函数y 的图象经过点(4,2)，则42n =，解得12n =； 所以11122m n -=-=． 故答案为：12． 25．（2020•郑州二模）幂函数2()(33)m f x m m x =-+的图象关于y 轴对称，则实数m =__________． 【答案】2【解析】函数2()(33)m f x m m x =-+是幂函数， 2331m m ∴-+=，解得1m =或2m =；当1m =时，函数y x =的图象不关于y 轴对称，舍去；当2m =时，函数2y x =的图象关于y 轴对称；∴实数2m =．故答案为：2．26．（2019•西湖区校级模拟）如果幂函数221(33)mm y m m x --=-+的图象不过原点，则m 的值是__________． 【答案】1【解析】幂函数221(33)m m y m m x --=-+的图象不过原点，所以2210331m m m m ⎧--⎨-+=⎩解得1m =，符合题意． 故答案为：127．（2015•黄冈模拟）已知幂函数()f x k x α=的图象过点1(22，则()k f α+=__________．【答案】212+【解析】幂函数()f x k x α=的图象过点1(22，1k ∴=，112()()22f α==， 解得12α=，2()1k f α∴+=， 故答案为：212+． 28．（2020•松原模拟）幂函数()f x x α=的图象经过点1(2,)4，则α=__________．【答案】2-【解析】幂函数()f x x α=的图象经过点1(2,)4，21224α-∴== 2α∴=-故答案为：2-．29．（2019•西湖区校级模拟）已知函数223()(2,)nn f x x n k k N -++==∈的图象在[0，)+∞上单调递增则n =__________，f （2）=__________．【答案】0，2；8 【解析】函数223()n n f x x -++=的图象在[0，)+∞上单调递增，所以2230n n -++>， 即2230n n --<， 解得13n -<<； 又2n k =，且k N ∈， 所以0n =，2， 当0n =时，3()f x x =； 当0n =时，3()f x x =； 所以f （2）328==． 故答案为：0，2；8．30．（2019•西湖区校级模拟）若幂函数()f x 的图象过点(2,8)，则f （3）=__________． 【答案】27【解析】设()a f x x =，因为幂函数图象过(2,8)， 则有82a =，3a ∴=，即3()f x x =， f ∴（3）=（3）327=故答案为：27．31．（2019•西湖区校级模拟）幂函数()f x 的图象过点427)，则()f x 的解析式是__________． 【答案】34()f x x =【解析】由题意设()a f x x =， 幂函数()f x 的图象过点427)， f ∴（3）3443273a=， 34a ∴=， 34()f x x ∴=，故答案为：34()f x x =．32．（2020•浙江模拟）已知函数2()(0)f x ax bx c a =++≠，对一切[1x ∈-，1]，都有|()|1f x ，则当[2x ∈-，2]时，()f x 的最大值为__________． 【答案】7【解析】由题意(1)(1)(0)f a b cf a b c f c =++⎧⎪-=-+⎨⎪=⎩，有得1[(1)(1)2(0)]21[(1)(1)]2(0)a f f f b f f c f ⎧=+--⎪⎪⎪=--⎨⎪=⎪⎪⎩所以()f x f =（1）222()(1)()(0)(1)22x x x xf f x +-+-+-对一切[1x ∈-，1]，都有|()|1f x 所以当21x -<-时， 222222|()|(1)(1)(0)1)|12222x x x xx x x xf x f f f x x +-+-+-+-++- 2222()()(1)21722x x x xx x +-=++-=-当12x <时，222222|()|(1)(1)(0)1)|12222x x x xx x x xf x f f f x x +-+-+-+-++- 2222()()(1)21722x x x xx x +-=++-=-综上所述，当[2x ∈-，2]时，()f x 的最大值为7．33．（2020•余姚市校级模拟）已知2()f x x ax =-，若对任意的a R ∈，存在0[0x ∈，2]，使得0|()|f x k 成立，则实数k 的最大值是__________． 【答案】1282-【解析】设2()g x x =，()h x ax =，当[0x ∈，2]时，由|()|f x 可看作函数()g x 与函数()h x 的纵向距离，当切点与端点(2,4)到直线()h x ax =纵向距离相等时，|()|f x 取得最大值的最小值，由()2g x x a '==，得2ax =，则切线方程为24a y ax =-，过端点(2,4)的平行线为24y ax a =-+，当纵向距离2244a a -+=时，即442a =-+时，纵向距离有最大值的最小值，此时纵向距离22412824a a -+==-，即1282k -．故答案为：1282-．34．（2020•江苏一模）已知函数2()(2)(8)()f x m x m x m R =-+-∈是奇函数，若对于任意的x R ∈，关于x 的不等式2(1)f x f +<（a ）恒成立，则实数a 的取值范围是__________． 【答案】(,1)-∞【解析】由奇函数的性质可得，()()f x f x -=-恒成立， 即22(2)(8)(2)(8)m x m x m x m x ---=----，故20m -=即2m =，此时()6f x x =-单调递减的奇函数， 由不等式2(1)f x f +<（a ）恒成立，可得21x a +>恒成立， 结合二次函数的性质可知，211x +， 所以1a <． 故答案为：(,1)-∞．35．（2020•江都区校级模拟）函数2()2(3)1f x x a x =+-+在区间(,3)-∞-上递减，则实数a 的取值范围是__________． 【答案】{|6}a a 【解析】2()2(3)1f x x a x =+-+在区间(,3)-∞-上递减，33a ∴--，解可得，6a 故答案为：{|6}a a ．36．（2019•西湖区校级模拟）已知函数223()()mm f x x m Z -++=∈为偶函数，且f （3）f <（5）．（1）求函数()f x 的解析式；（2）若()log [()](0a g x f x ax a =->且1)a ≠在区间[2，3]上为增函数，求实数a 的取值范围． 【解析】（1）()f x 为偶函数，223m m ∴-++为偶数，又f （3）f <（5），∴22232335mm mm -++-++<，即有：2233()15m m -++<，2230m m ∴-++>，312m ∴-<<，又m Z ∈，0m ∴=或1m =． 当0m =时，2233m m -++=为奇数（舍去）， 当1m =时，2232m m -++=为偶数，符合题意． 1m ∴=，2()f x x =（2）由（1）知：()log [()]log a a g x f x ax =-= 2()x ax - (0a >且1)a ≠在区间[2，3]上为增函数．令2()u x x ax =-，log a y u =；①当1a >时，log a y u =是关于u 的增函数，只需2()u x x ax =-在区间[2，3]上为增函数． 即：2122(2)420aa u a ⎧⎪⇒<<⎨⎪=->⎩②当01a <<时，log a y u =是关于u 的减函数，只需2()u x x ax =-在区间[2，3]上为减函数． 即：32(3)930a a u a ⎧⎪⇒∈∅⎨⎪=->⎩，综上可知：a 的取值范围为：(1,2)．。
数学一轮复习第二章函数导数及其应用第四节二次函数与幂函数学案含解析
第四节二次函数与幂函数最新考纲考情分析1。
了解幂函数的概念．2．结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝1x，y＝的图象，了解它们的变化情况．3．理解并掌握二次函数的定义、图象及性质．4．能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题。
1。
幂函数一般不单独命题，而常与指数函数，对数函数交汇命题，题型一般为选择题、填空题，主要考查幂函数的图象和性质．2．对二次函数相关性质的考查是命题热点，大多以选择题、填空题出现．3．试题难度以中、低档题为主,个别试题难度较大.知识点一二次函数的图象和性质1。
二次函数解析式的三种形式:（1)一般式：f（x)＝ax2＋bx＋c（a≠0）;（2)顶点式：f(x）＝a(x－m）2＋n(a≠0）；（3)零点式:f(x）＝a（x－x1)(x－x2）(a≠0）．2．一元二次不等式恒成立的条件：（1）ax2＋bx＋c〉0(a≠0)恒成立的充要条件是“a〉0且Δ〈0”;（2）ax2＋bx＋c〈0（a≠0）恒成立的充要条件是“a<0且Δ<0”．知识点二幂函数1．定义:形如y＝xα（α∈R）的函数称为幂函数，其中x是自变量,α是常数．2．常见的五种幂函数的图象和性质比较1．思考辨析判断下列结论正误（在括号内打“√”或“×"）(1)函数y＝是幂函数．（×)(2）当n>0时，幂函数y＝x n在(0,＋∞）上是增函数．(√）(3）二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈R）不可能是偶函数．(×）(4）二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈[a，b］)的最值一定是错误!.（×)解析:(1）由于幂函数的解析式为f（x)＝xα，故y＝不是幂函数，(1)错．(3）由于当b＝0时,y＝ax2＋bx＋c＝ax2＋c为偶函数，故（3）错．（4）对称轴x＝－错误!，当－错误!小于a或大于b时，最值不是4ac－b24a,故(4)错．2．小题热身（1)已知幂函数f(x）＝k·xα的图象过点错误!，则k＋α＝(C）A。
2021届新高考版高考数学一轮复习课件：§3.3 二次函数与幂函数(讲解部分)
解析式 图象
定义域 值域
最值
f(x)=ax2+bx+c(a>0)
f(x)=ax2+bx+c(a<0)
R
4ac-b2 4a
,
f(x)min= 4ac-b2
4a
R
③
-
,
4ac-b2 4a
4ac-b2
f( 顶点 坐标 对称性
在⑤
-
,-
b 2a
上
单调递减,
2a
设x1,x2是实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的两实根,则x1,x2的分布范围 与一元二次方程系数之间的关系如下表:
零点的分布(m,n,p为常数)
图象
x1<x2<m
m<x1<x2
满足条件
Δ 0
b 2a
m
f(m) 0
Δ 0
b 2a
m
f(m) 0
x1<m<x2
m<x1<x2<n m<x1<n<x2<p 只有一个零点 在(m,n)之间
3
可知a=-1 .
3
方法总结 二次函数求最值问题,一般先用配方法化成y=a(x-m)2+n(a≠0) 的形式,得其图象的顶点坐标为(m,n),对称轴方程为x=m,再结合二次函数的 图象求解,常见的有三种类型: (1)对称轴、区间都是给定的;(2)对称轴动,区间固定;(3)对称轴定,区间变 动.解决这类问题的思路是抓住“三点一轴”进行数形结合,三点指的是区 间两个端点及两个端点的中点,一轴指的是对称轴.具体方法是利用函数的 单调性及分类讨论的思想求解. 对于(2)、(3),通常要分对称轴在区间内、对称轴在区间外两大类情况进 行讨论. 简单地讲,轴在区间外,端点处取最值,轴在区间内,顶点和端点处有最值.
专题五二次函数与幂函数(2021年高考数学一轮复习专题)
专题五二次函数与幂函数一、题型全归纳题型一幂函数的图象及性质【题型要点】1．巧识幂函数的图象和性质2.幂函数的图象与性质问题的解题策略(1)关于图象辨识问题，关键是熟悉各类幂函数的图象特征，如过特殊点、凹凸性等．(2)关于比较幂值大小问题，结合幂值的特点利用指数幂的运算性质化成同指数幂，选择适当的幂函数，借助其单调性进行比较或应用．(3)在解决幂函数与其他函数的图象的交点个数、对应方程根的个数及近似解等问题时，常用数形结合的思想方法，即在同一坐标系下画出两函数的图象，数形结合求解．【例1】已知幂函数y＝x m2－2m－3(m∈N*)的图象与x轴、y轴没有交点，且关于y轴对称，则m的所有可能取值为．【解析】因为幂函数y＝x m2－2m－3 (m∈N*)的图象与x轴、y轴没有交点，且关于y轴对称，所以m2－2m－3≤0且m2－2m－3(m∈N*)为偶数．由m2－2m－3≤0得－1≤m≤3，又m∈N*，所以m＝1，2，3，当m＝1时，m2－2m－3＝1－2－3＝－4为偶数，符合题意；当m＝2时，m2－2m－3＝4－4－3＝－3为奇数，不符合题意；当m＝3时，m2－2m－3＝9－6－3＝0为偶数，符合题意．综上所述，m＝1，3.【例2】幂函数y＝f(x)的图象过点(4,2)，则幂函数y＝f(x)的图象是()【解析】设幂函数的解析式为y ＝x α，因为幂函数y ＝f (x )的图象过点(4，2)，所以2＝4α，解得α＝12， 所以y ＝x ，其定义域为[0，＋∞)，且是增函数，当0<x <1时，其图象在直线y ＝x 的上方．故选C. 题型二 求二次函数的解析式【题型要点】求二次函数解析式的方法根据已知条件确定二次函数的解析式，一般用待定系数法，但所给条件不同选取的求解方法也不同，选择规律如下：【例1】已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．【解析】解法一(利用一般式)：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，4ac －b 24a ＝8， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝4，c ＝7.所以所求二次函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.解法二(利用顶点式)：设f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)．因为f (2)＝f (－1)，f (－1)＝－1，所以抛物线的对称轴为x ＝2＋（－1）2＝12.所以m ＝12.又根据题意函数有最大值8，所以n ＝8，所以f (x )＝a 221⎪⎭⎫ ⎝⎛-x ＋8.因为f (2)＝－1，所以a 221⎪⎭⎫ ⎝⎛-x ＋8＝－1，解得a ＝－4，所以f (x )＝－4221⎪⎭⎫ ⎝⎛-x ＋8＝－4x 2＋4x ＋7. 解法三(利用零点式)：由已知得f (x )＋1＝0的两根为x 1＝2，x 2＝－1，故可设f (x )＋1＝a (x －2)(x ＋1)，即f (x )＝ax 2－ax －2a －1.又函数有最大值8，即4a （－2a －1）－a 24a ＝8.解得a ＝－4或a ＝0(舍去)， 所以所求函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.题型三 二次函数的图象与性质命题角度一 二次函数图象的识别问题【题型要点】确定二次函数图象应关注的三个要点一是看二次项系数的符号，它确定二次函数图象的开口方向．二是看对称轴和最值，它确定二次函数图象的具体位置．三是看函数图象上的一些特殊点，如函数图象与y 轴的交点、与x 轴的交点，函数图象的最高点或最低点等． 从这三个方面入手，能准确地判断出二次函数的图象．反之，也可以从图象中得到如上信息．【例1】(2020·陕西榆林一中模拟)如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的一部分，图象过点A (－3，0)，对称轴为x ＝－1.给出下面四个结论：①b 2>4ac ；②2a －b ＝1；③a －b ＋c ＝0；④5a <b .其中正确的结论是( )A ．②④B ．①④C ．②③D ．①③【答案】B【解析】因为二次函数的图象与x 轴交于两点，所以b 2－4ac >0，即b 2>4ac ，①正确；对称轴为x ＝－1，即－b 2a ＝－1，2a －b ＝0，②错误；结合图象，当x ＝－1时，y >0，即a －b ＋c >0，③错误；由对称轴为x ＝－1知，b ＝2a ，又函数图象开口向下，所以a <0，所以5a <2a ，即5a <b ，④正确．故选B.命题角度二 二次函数的单调性及最值问题【题型要点】二次函数的单调性及最值问题(1)类型：①对称轴、区间都是给定的；②对称轴动、区间固定；③对称轴定、区间变动．(2)解决这类问题的思路：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成．【例1】求函数f (x )＝x 2＋2ax ＋1在区间[－1，2]上的最大值．【解析】f (x )＝(x ＋a )2＋1－a 2，所以f (x )的图象是开口向上的抛物线，对称轴为x ＝－a .①当－a <12即a >－12时，f (x )max ＝f (2)＝4a ＋5.②当－a ≥12即a ≤－12时，f (x )max ＝f (－1)＝2－2a ， 综上，f (x )max ＝⎩⎨⎧4a ＋5，a >－12，2－2a ，a ≤－12. 【例2】函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1在区间[－1，＋∞)上是递减的，则实数a 的取值范围是 ．【解析】当a ＝0时，f (x )＝－3x ＋1在[－1，＋∞)上递减，满足条件．当a ≠0时，f (x )的对称轴为x ＝3－a 2a ，由f (x )在[－1，＋∞)上递减知⎩⎪⎨⎪⎧a <03－a 2a≤－1， 解得－3≤a <0.综上，a 的取值范围为[－3，0]．故填[－3，0]．命题角度三 一元二次不等式恒成立问题【题型要点】1.不等式恒成立求参数取值范围的思路一是分离参数；二是不分离参数．两种思路都是将问题归结为求函数的最值或值域．2.记牢一元二次不等式恒成立的条件(1)ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)恒成立的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a >0，b 2－4ac <0. (2)ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)恒成立的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a <0，b 2－4ac <0.【例1】已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0成立，则实数m 的取值范围是 ．【解析】作出二次函数f (x )的草图，对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0，则有⎩⎪⎨⎪⎧f （m ）<0，f （m ＋1）<0，即⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m 2－1<0，（m ＋1）2＋m （m ＋1）－1<0，解得－22<m <0. 【例2】已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋1，f (x )>x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，则k 的取值范围为 ．【解析】由题意得x 2＋x ＋1>k 在区间[－3，－1]上恒成立．设g (x )＝x 2＋x ＋1，x ∈[－3，－1]，则g (x )在[－3，－1]上递减．所以g (x )min ＝g (－1)＝1.所以k <1.故k 的取值范围为(－∞，1)．题型四 分类讨论思想在二次函数问题中的应用【题型要点】二次函数是单峰函数(在定义域上只有一个最值点的函数)，x ＝－b 2a为其最值点横坐标，在其两侧二次函数具有相反的单调性，当已知二次函数在某区间上的最值求参数时，要根据对称轴与已知区间的位置关系、二次函数开口方向进行分类讨论，研究其最值【例1】已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1在区间[－1，2]上有最大值4，则实数a 的值为________．【解析】：f (x )＝a (x ＋1)2＋1－a .(1)当a ＝0时，函数f (x )在区间[－1，2]上的值为常数1，不符合题意，舍去；(2)当a >0时，函数f (x )在区间[－1，2]上是增函数，最大值为f (2)＝8a ＋1＝4，解得a ＝38； (3)当a <0时，函数f (x )在区间[－1，2]上是减函数，最大值为f (－1)＝1－a ＝4，解得a ＝－3.【例2】已知函数f (x )＝x 2－2tx ＋1在区间[2，5]上单调且有最大值为8，则实数t 的值为 ．【解析】 函数f (x )＝x 2－2tx ＋1图象的对称轴是x ＝t ，函数在区间[2，5]上单调，故t ≤2或t ≥5.若t ≤2，则函数f (x )在区间[2，5]上是增函数，故f (x )max ＝f (5)＝25－10t ＋1＝8，解得t ＝95；若t ≥5，则函数f (x )在区间[2，5]上是减函数， 此时f (x )max ＝f (2)＝4－4t ＋1＝8，解得t ＝－34，与t ≥5矛盾．综上所述，t ＝95.综上可知，a 的值为38或－3. 二、高效训练突破一、选择题1.(2020·洛阳一中月考）抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点在第一象限，与x 轴的两个交点分别位于原点两侧，则a ，b ，c 的符号为( )A ．a ＜0，b ＜0，c ＜0B ．a ＜0，b ＞0，c ＞0C ．a ＜0，b ＜0，c ＞0D ．a ＜0，b ＞0，c ＜0【解析】 由题意知抛物线开口向下，故a <0.由抛物线与x 轴的两个交点分别位于原点两侧得c a<0，所以c >0.再由顶点在第一象限得－b 2a>0，所以b >0. 2．二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋5满足条件f (－1)＝f (3)，则f (2)的值为( )A ．5B ．6C ．8D ．与a ，b 的值有关【解析】因为函数f (x )＝ax 2＋bx ＋5满足条件f (－1)＝f (3)，所以f (x )＝ax 2＋bx ＋5的图象关于x ＝－1＋32＝1对称，则f (2)＝f (0)＝5.故选A.3.如图是①y ＝x a ；②y ＝x b ；③y ＝x c 在第一象限的图象，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c <b <aB ．a <b <cC ．b <c <aD ．a <c <b【解析】：根据幂函数的性质，可知选D.4．(2020·辽宁第一次联考)设函数f (x )＝x 23，若f (a )>f (b )，则( )A ．a 2>b 2B ．a 2<b 2C ．a <bD ．a >b 【答案】A.【解析】：函数f (x )＝x23＝(x 2)13，令t ＝x 2，易知y ＝t 13，在第一象限为单调递增函数．又f (a )>f (b )，所以a 2>b 2.故选A. 5．对任意的x ∈[－2,1]，不等式x 2＋2x －a ≤0恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，0]B ．(－∞，3]C ．[0，＋∞)D ．[3，＋∞)【解析】设f (x )＝x 2＋2x －a (x ∈[－2,1])，其对称轴为x ＝－1，所以当x ＝1时，f (x )取得最大值3－a ， 所以3－a ≤0，解得a ≥3.故选D.6.(2020·石家庄市模拟(一))若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的图象与x 轴的交点为(1，0)和(3，0)，则函数f (x )( )A ．在(－∞，2)上递减，在[2，＋∞)上递增B ．在(－∞，3)上递增C ．在[1，3]上递增D ．单调性不能确定【解析】：由已知可得该函数图象的对称轴为x ＝2，又二次项系数为1>0，所以f (x )在(－∞，2)上是递减的，在[2，＋∞)上是递增的．7.(2020·福建连城一模)已知函数f (x )＝2ax 2－ax ＋1(a <0)，若x 1<x 2，x 1＋x 2＝0，则f (x 1)与f (x 2)的大小关系是( )A ．f (x 1)＝f (x 2)B ．f (x 1)>f (x 2)C ．f (x 1)<f (x 2)D ．与x 的值无关【解析】：由题知二次函数f (x )的图象开口向下，图象的对称轴为x ＝14，因为x 1＋x 2＝0，所以直线x ＝x 1，x ＝x 2关于直线x ＝0对称，由x 1<x 2，结合二次函数的图象可知f (x 1)<f (x 2)．8.(2020·甘肃甘谷一中第一次质检)若函数y ＝x 2－3x －4的定义域为[0，m ]，值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡4-425-，，则m 的取值范围是( )A ．[0，4] B.⎥⎦⎤⎢⎣⎡423， C.⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+，23D.⎥⎦⎤⎢⎣⎡323， 【解析】：二次函数图象的对称轴为x ＝32，且⎪⎭⎫ ⎝⎛23f ＝－254，f (3)＝f (0)＝－4，结合函数图象(如图所示)可得m ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡323，9．(2019·襄阳五中期中)已知a ，b ，c ，d 都是常数，a ＞b ，c ＞d .若f (x )＝2 019－(x －a )(x －b )的零点为c ，d ，则下列不等式正确的是( )A ．a ＞c ＞b ＞dB ．a ＞b ＞c ＞dC ．c ＞d ＞a ＞bD ．c ＞a ＞b ＞d 【解析】 f (x )＝2 019－(x －a )(x －b )＝－x 2＋(a ＋b )x －ab ＋2 019，又f (a )＝f (b )＝2 019，c ，d 为函数f (x )的零点，且a ＞b ，c ＞d ，所以可在平面直角坐标系中作出函数f (x )的大致图象，如图所示，由图可知c ＞a ＞b ＞d .故选D.10.(2019·杭州测试)若函数f (x )＝x 2－2x ＋1在区间[a ，a ＋2]上的最小值为4，则实数a 的取值集合为( )A ．[－3,3]B ．[－1,3]C ．{－3,3}D ．{－1，－3,3}【解析】因为函数f (x )＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2的图象的对称轴为直线x ＝1，f (x )在区间[a ，a ＋2]上的最小值为4，所以当a ≥1时，f (x )min ＝f (a )＝(a －1)2＝4，a ＝－1(舍去)或a ＝3；当a ＋2≤1，即a ≤－1时，f (x )min ＝f (a ＋2)＝(a ＋1)2＝4，a ＝1(舍去)或a ＝－3；当a ＜1＜a ＋2，即－1＜a ＜1时，f (x )min ＝f (1)＝0≠4.故a 的取值集合为{－3,3}．故选C.二、填空题1.二次函数的图象过点(0,1)，对称轴为x ＝2，最小值为－1，则它的解析式为________．【解析】依题意可设f (x )＝a (x －2)2－1(a ＞0)，又其图象过点(0,1)，所以4a －1＝1，所以a ＝12，所以 f (x )＝12(x －2)2－1. 2.(2020·甘肃兰州一中月考)已知函数f (x )＝(m 2－m －1)x m2－2m －3是幂函数，且在x ∈(0，＋∞)上递减，则实数m ＝ ．【解析】：根据幂函数的定义和性质，得m 2－m －1＝1.解得m ＝2或m ＝－1，当m ＝2时，f (x )＝x －3在(0，＋∞)上是减函数，符合题意；当m ＝－1时，f (x )＝x 0＝1在(0，＋∞)上不是减函数，所以m ＝2.3.设函数f (x )＝mx 2－mx －1，若对于x ∈R ，f (x )<0恒成立，则实数m 的取值范围是 ．【解析】：当m ＝0时，f (x )＝－1<0，符合题意．当m ≠0时，f (x )为二次函数，则由f (x )<0恒成立得⎩⎪⎨⎪⎧m <0，Δ<0，即⎩⎪⎨⎪⎧m <0，（－m ）2－4m ×（－1）<0，解得－4<m <0.故实数m 的取值范围是(－4，0]． 4.若函数f (x )＝x 2－2x ＋1在区间[a ，a ＋2]上的最小值为4，则a 的取值集合为 ．【解析】：因为函数f (x )＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2，对称轴x ＝1，因为f (x )在区间[a ，a ＋2]上的最小值为4， 所以当1≤a 时，f (x )min ＝f (a )＝(a －1)2＝4，解得a ＝－1(舍去)或a ＝3，当a ＋2≤1，即a ≤－1时，f (x )min ＝f (a ＋2)＝(a ＋1)2＝4，解得a ＝1(舍去)或a ＝－3，当a <1<a ＋2，即－1<a <1时，f (x )min ＝f (1)＝0≠4，故a 的取值集合为{}－3，3.5.(2020·重庆(区县)调研测试)已知函数f (x )＝－2x 2＋mx ＋3(0≤m ≤4，0≤x ≤1)的最大值为4，则m 的值为 ．【解析】：f (x )＝－2x 2＋mx ＋3＝－224⎪⎭⎫ ⎝⎛-m x ＋m 28＋3， 因为0≤m ≤4，所以0≤m 4≤1，所以当x ＝m 4时，f (x )取得最大值，所以m 28＋3＝4，解得m ＝2 2. 6.(2019·河北师大附中期中)若函数f (x )＝mx 2－2x ＋3在[－1，＋∞)上单调递减，则实数m 的取值范围为________．【解析】当m ＝0时，f (x )＝－2x ＋3在R 上单调递减，符合题意；当m ≠0时，函数f (x )＝mx 2－2x ＋3在[－1，＋∞)上单调递减，只需对称轴x ＝1m≤－1，且m ＜0，解得－1≤m ＜0，综上，实数m 的取值范围为[－1,0]． 7.定义：如果在函数y ＝f (x )定义域内的给定区间[a ，b ]上存在x 0(a <x 0<b )，满足f (x 0)＝f （b ）－f （a ）b －a，则称函数y ＝f (x )是[a ，b ]上的“平均值函数”，x 0是它的一个均值点，如y ＝x 4是[－1，1]上的平均值函数，0就是它的均值点．现有函数f (x )＝－x 2＋mx ＋1是[－1，1]上的平均值函数，则实数m 的取值范围是 ．【解析】：因为函数f (x )＝－x 2＋mx ＋1是[－1，1]上的平均值函数，设x 0为均值点，所以f （1）－f （－1）1－（－1）＝m ＝f (x 0)，即关于x 0的方程－x 20＋mx 0＋1＝m 在(－1，1)内有实数根， 解方程得x 0＝1或x 0＝m －1.所以必有－1<m －1<1，即0<m <2，所以实数m 的取值范围是(0，2)．三、解答题1.(2019·杭州模拟)已知值域为[－1，＋∞)的二次函数f (x )满足f (－1＋x )＝f (－1－x )，且方程f (x )＝0的两个实根x 1，x 2满足|x 1－x 2|＝2.(1)求f (x )的表达式；(2)函数g (x )＝f (x )－kx 在区间[－1,2]上的最大值为f (2)，最小值f (－1)，求实数k 的取值范围．【解析 (1)由f (－1＋x )＝f (－1－x )可得f (x )的图象关于直线x ＝－1对称，设f (x )＝a (x ＋1)2＋h ＝ax 2＋2ax ＋a ＋h (a ≠0)，由函数f (x )的值域为[－1，＋∞)，可得h ＝－1，根据根与系数的关系可得x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝1＋h a ，所以|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝－4h a＝2，解得a ＝1，所以f (x )＝x 2＋2x . (2)由题意得函数g (x )在区间[－1,2]上单调递增，又g (x )＝f (x )－kx ＝x 2－(k －2)x .所以g (x )的对称轴方程为x ＝k －22，则k －22≤－1，即k ≤0，故k 的取值范围为(－∞，0]．2.(2020·辽宁第一次联考)已知幂函数f (x )＝(m －1)2x m 2－4m ＋3(m ∈R )在(0，＋∞)上单调递增．(1)求m 的值及f (x )的解析式； (2)若函数g (x )＝－3f （x ）2＋2ax ＋1－a 在[0，2]上的最大值为3，求实数a 的值．【解析】：(1)幂函数f (x )＝(m －1)2x m 2－4m ＋3 (m ∈R )在(0，＋∞)上单调递增，故⎩⎪⎨⎪⎧（m －1）2＝1，m 2－4m ＋3>0，解得m ＝0，故f (x )＝x 3. (2)由f (x )＝x 3，得g (x )＝－3f （x ）2＋2ax ＋1－a ＝－x 2＋2ax ＋1－a ，函数图象为开口方向向下的抛物线，对称轴为x ＝a .因为在[0，2]上的最大值为3，所以 ①当a ≥2时，g (x )在[0，2]上单调递增，故g (x )max ＝g (2)＝3a －3＝3，解得a ＝2. ②当a ≤0时，g (x )在[0，2]上单调递减，故g (x )max ＝g (0)＝1－a ＝3，解得a ＝－2. ③当0<a <2时，g (x )在[0，a ]上单调递增，在[a ，2]上单调递减，故g (x )max ＝g (a )＝a 2＋1－a ＝3，解得a ＝－1(舍去)或a ＝2(舍去)．综上所述，a ＝±2.3.已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋5(a >1)．(1)若函数f (x )的定义域和值域均为[1，a ]，求实数a 的值；(2)若f (x )在区间(－∞，2]上是减函数，且对任意的x 1，x 2∈[1，a ＋1]，总有|f (x 1)－f (x 2)|≤4，求实数a 的取值范围．【解析】：(1)因为f (x )＝x 2－2ax ＋5在(－∞，a ]上为减函数，所以f (x )＝x 2－2ax ＋5(a >1)在[1，a ]上单调递减，即f (x )max ＝f (1)＝a ，f (x )min ＝f (a )＝1，所以a ＝2或a ＝－2(舍去)．即实数a 的值为2.(2)因为f (x )在(－∞，2]上是减函数，所以a ≥2.所以f (x )在[1，a ]上单调递减，在[a ，a ＋1]上单调递增，又函数f (x )的对称轴为直线x ＝a ，所以f (x )min ＝f (a )＝5－a 2，f (x )max ＝max{f (1)，f (a ＋1)}，又f(1)－f(a＋1)＝6－2a－(6－a2)＝a(a－2)≥0，所以f(x)max＝f(1)＝6－2a.因为对任意的x1，x2∈[1，a＋1]，总有|f(x1)－f(x2)|≤4，所以f(x)max－f(x)min≤4，即6－2a－(5－a2)≤4，解得－1≤a≤3.又a≥2，所以2≤a≤3.即实数a的取值范围为2≤a≤3.。
2021高考一轮复习 第七讲 二次函数与幂函数
2021高考一轮复习第七讲二次函数与幂函数一、单选题(共14题；共28分)1．（2分）已知幂函数f(x)=x n的图象过点(8,1)，且f(a+1)<f(3)，则a的取值范围是4（）A．(−4,2)B．(−∞,−4)∪(2,+∞)C．(−∞,−4)D．(2,+∞)2．（2分）已知函数f(x)=(m−1)2x m2−4m+2是在(0,+∞)上单调递增的幂函数，则m=（）A．0或4B．0或2C．0D．23．（2分）设a=(1)0.5，b=(13)0.5，c=log0.30.2，则a、b、c的大小关系是()2A．a>b>c B．a<b<c C．b<a<c D．a<c<b4．（2分）二次函数f(x)=−x2+2tx在[1 , +∞)上最大值为3，则实数t＝（）A．±√3B．√3C．2D．2或√35．（2分）已知二次函数f(x)满足f(3+x)=f(3−x)，若f(x)在区间[3,+∞)上单调递减，且f(m)≥f(0)恒成立，则实数m的取值范围是（）A．(−∞,0]B．[0,6]C．[6,+∞)D．(−∞,0]∪[6,+∞)6．（2分）一次函数y＝ax＋b与二次函数y＝ax2＋bx＋c在同一坐标系中的图象大致是()A．B．C．D．7．（2分）若二次函数f(x)=ax2−x+4对任意的x1,x2∈(−1,+∞)，且x1≠x2，都有f(x1)−f(x2)x1−x2<0，则实数a的取值范围为（）A．[−1,0)B．[−12,+∞)C．(−12,0)D．(−12,+∞)28．（2分）如果二次函数y＝x2+mx+（m+3）有两个不同的零点，则m的取值范围是（）A．｛-2,6｝B．（-2,6）C．[-2,6]D．(-∞，-2)∪(6，+∞)9．（2分）已知二次函数f(x)=x2+bx+c(b∈R,c∈R)，M,N分别是函数f(x)在区间[−1,1]上的最大值和最小值，则M−N的最小值（）A．B．C．D．10．（2分）二次函数f(x)的二次项系数为正数，且对任意项x∈R都有f(x)=f(4−x)成立，若f(1−2x2)<f(1+2x−x2)，则x的取值范围是（）A．B．或C．0D．或11．（2分）二次函数f(x)=x2−4x+1（x∈[3，5]）的值域为（）A．[−2，6]B．[−3，+∞)C．[−3，6]D．[−3，−2] 12．（2分）二次函数y=ax2+bx+c和y=cx2+bx+a( ac≠0, a≠c)的值域分别为M 和N,命题p:MÜ N,命题q:M∩N≠∅,则下列命题中真命题的是（）A．p∧q B．p∨(¬q)C．(¬p)∧(¬q)D．(¬p)∧q13．（2分）二次函数f（x）满足f（x＋2）＝f（-x＋2），且f（0）＝3，f（2）＝1，若在[0，m]上f （x）的最大值为3，最小值为1，则m的取值范围是（）A．（0，＋∞）B．[2，＋∞）C．（0，2]D．[2，4]14．（2分）若二次函数f（x）=ax2+bx+c图象的顶点在第四象限且开口向上，则导函数f′（x）的图象可能是（）A．B．C．D．二、填空题(共3题；共3分)15．（1分）幂函数f(x)的图像经过点P(4,2)，则f(9)=.16．（1分）已知集合A={−2,−1,−12,13,12,1,2,3}，任取k∈A，则幂函数f(x)=x k为偶函数的概率为（结果用数值表示）17．（1分）幂函数y=(m2−m−1)x−5m−3在x∈(0,+∞)时为减函数，则m=。
第14讲 二次函数与幂函数(解析版)2021届新课改地区高三数学一轮专题复习
A．－3
B．1
C．2
D．1 或 2
【答案】B
【解析】∵幂函数 f(x)＝(n2＋2n－2)x n2－3n在(0，＋∞)上是减函数，
n2＋2n－2＝1， ∴ n2－3n<0， ∴n＝1，
又 n＝1 时，f(x)＝x－2 的图象关于 y 轴对称，故 n＝1.故选 B.
12
12
11
变式 2、若 a＝ 2 3，b＝ 5 3，c＝ 2 3，则 a，b，c 的大小关系是( )
又
ln
1
π>1>2－2＝
2>1， 23
1
所以
f(ln
1
π)>f(2－2)>f
3
，则
b>c>a.
3、若二次函数 y＝kx2－4x＋2 在区间[1，2]上是单调递增函数，则实数 k 的取值范围为( )
A．[2，＋∞)
B．(2，＋∞)
C．(－∞，0)
D．(－∞，2)
【答案】A
【解析】二次函数 y＝kx2－4x＋2 的对称轴为 x＝2，当 k>0 时，要使函数 y＝kx2－4x＋2 在区间[1，2]上是 k
即 f(x)＝ax2－ax－2a－1. 又函数有最大值 ymax＝8，即4a（－2a－1）－a2＝8.
4a 解得 a＝－4 或 a＝0(舍去)，
故所求函数解析式为 f(x)＝－4x2＋4x＋7.
1，c<x≤3.
若
c＝0，则
f(x)的值域是________；若
f(x)的值域是
－1，2 4
，
x
则实数 c 的取值范围是________．
【答案】
－1，2 4
；1≤c≤1.
2021高考数学(新高考版)一轮复习考点考法精练：第二章 第三讲 二次函数与幂函数 Word版含解
Word版含解析姓名，年级：时间：Word 版含解析第三讲 二次函数与幂函数1.[2020浙江联考］在同一直角坐标系中,函数y =ax 2+bx ,y =a x — b(a >0且a ≠1）的图象可能是（ )2. ［2020南阳一中模拟］“函数f （x )= - x 2+2mx 在区间［1,3］上不单调”的一个必要不充分条件是 （ ) A 。
1〈m <3 B.1〈m 〈4 C 。
2≤m ≤3 D .2〈m 〈523。
[2020贵州省安顺市第一次联考］已知a =（23)13，b =（32)13,c =log 312，则（ ）A 。
c <b <a B.a 〈c <b C.b <a 〈c D 。
c <a <b4.［2020湖南长沙雅礼中学模拟］如果f (x ）=ax 2— （2 — a ）x +1在区间( - ∞,12]上为减函数,则a 的取值范围是 ( ）A.(0，1］ B 。
［0,1) C.[0,1] D .（0,1）5.[2020山西省吕梁市高三阶段测试］已知函数f (x ）=x 2- 2x +3在区间[m ，m +2］上的最大值为6,则m 的取值集合为 ( ) A 。
{ — 1，3} B 。
{ — 1,1｝ C 。
{ - 3，1｝ D.{ — 3,3}6.[2020沈阳市东北育才学校模拟］已知函数y =f （x ）为偶函数，且在［0,+∞)上单调递减,则y =f （2 — x 2）的一个单调递增区间为 ( ） A.( — ∞，0］ B 。
[0,+∞） C 。
［0，√2］ D.［√2，+∞)7。
[2019皖中名校第二次联考］设a ∈R,若函数f (x ）在区间(0，+∞)上是增函数,则 ( )A.f （a 2+a +2）>f （74) B .f （a 2+a +2）<f （74)C.f （a 2+a +2)≥f (74） D 。
f (a 2+a +2)≤f (74) 8.［易错题］函数f （x ）=ax 2+3x - a （a ∈R) （ ）A.没有零点B.有一个零点C.有两个零点D.有一个零点或有两个零点9.[2019衡水模拟］已知函数f (x)=（m+2）x m2+m-2是幂函数，设a=log54，b=lo g1513,c=0.5— 0.2,则f （a),f （b），f （c)的大小关系是（)A。
2021届课标版高考数学一轮复习考点分层训练：第二章第三讲 二次函数与幂函数
2021届课标版高考数学一轮复习考点分层训练第三讲二次函数与幂函数1.下列说法正确的个数是()①二次函数y=ax2+bx+c,x∈[a,b]的最值一定是②二次函数y=ax2+bx+c(x∈R)不可能是偶函数③二次函数y=x2+mx+1在[1,+∞)上单调递增的充要条件是m≥ - 2④幂函数的图象不可能出现在第四象限⑤当n>0时,幂函数y=x n在(0,+∞)上是增函数.⑥若幂函数y=x n是奇函数,则y=x n是增函数.A.2B.3C.4D.52.[2017浙江,5,4分]若函数f (x)=x2+ax+b在区间[0,1]上的最大值是M,最小值是m,则M - m()A.与a有关,且与b有关B.与a有关,但与b无关C.与a无关,且与b无关D.与a无关,但与b有关3.[2020南阳模拟]已知点(m,9)在幂函数f (x)=(m - 2)x n的图象上,设a=f (),b=f (ln ),c=f (),则a,b,c 的大小关系为()A.a<c<bB.b<c<aC.c<a<bD.b<a<c4.若四个幂函数y=x a,y=x b,y=x c,y=x d在同一平面直角坐标系中的图象如图2 - 3 - 1所示,则a,b,c,d的大小关系是()A.d>c>b>aB.a>b>c>dC.d>c>a>bD.a>b>d>c图2 - 3 - 15.[2018上海,7,5分]已知α∈{ - 2, - 1, - ,,1,2,3},若幂函数f (x)=xα为奇函数,且在(0,+∞)上递减, 则α=.考法1二次函数的图象及应用1 对数函数y=log a x(a>0且a≠1)与二次函数y=(a - 1)x2 - x在同一坐标系内的图象可能是。
2021年高考文科数学(人教A版)一轮复习讲义：第3讲二次函数与幂函数
第 3 讲二次函数与幂函数、知识梳理1. 幕函数⑴定义：形如v= x a( a R)的函数称为幕函数，其中底数X是自变量，a为常数•常见1 的五类幕函数为y= x, y= x2, y= x3, y= X2, y= x_1.(2)性质①幕函数在(0,+s )上都有定义；②当o>0时，幕函数的图象都过点(1, 1)和(0, 0)，且在(0,+^ )上单调递增；③当a<0时，幕函数的图象都过点(1 , 1)，且在(0,+^ )上单调递减.2. 二次函数(1) 二次函数解析式的三种形式①一般式：f(x) = ax2+ bx+ c(a z 0);②顶点式：f(x) = a(x—m)2+ n(a^ 0);③零点式：f(x) = a(x—X1)(x—X2)(a^ 0).(2) 二次函数的图象和性质1 •巧识幕函数的图象和性质2 •记牢一元二次不等式恒成立的条件 (1) ax 2+ bx + c>O(a z 0)恒成立的充要条件是(2) ax 2+ bx + c<0(a z 0)恒成立的充要条件是 二、习题改编1.(必修1P79习题T1改编)已知幕函数f(x)= kx a的图象过点 中，孑，则k +a=()A. 1 B . 13 CQD . 21y[2i a解析：选C.因为f(x) = kx%幕函数，所以k = 1•又f(x)的图象过点2，2，所以2 =：*‘21 1 32，所以a= 3,所以k + a= 1 + 2= 2•故选C.2. ________________________________________________________________________ (必修1P39B 组T1改编)函数y = 2x 2- 6x + 3,x € [ — 1,1],则y 的最小值为 ____________________ .3 2 3 3解析：函数y = 2x 2— 6x + 3 = 2 x — 2 — 2的图象的对称轴为直线 x = ?>1,所以函数y = 2/ — 6x + 3 在[—1, 1]上单调递减，所以 y min = 2— 6 + 3 =— 1.a>0, b 2— 4ac<0. a<0, b 2—4ac<0.答案：—1一、 思考辨析判断正误(正确的打“V”，错误的打“X”)1⑴函数y = 2X 3是幕函数.()(2)当n>0时，幕函数y = x n 在(0,)上是增函数.() ⑶二次函数y = ax 2+ bx + c(x € R)不可能是偶函数.( ) (4)如果幕函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点. ()4ac _ b 2⑸二次函数y = ax 2+ bx + c , x € ［a , b ］的最值— 答案：(1)X (2) V (3) X (4) V (5) X二、 易错纠偏常见误区(1)幕函数定义不清晰，导致出错； (2) 二次函数的性质理解不到位出错；(3) 忽视对二次函数的二次项系数的讨论出错.1. 已知幕函数 _______________________________________________ y = f(x)的图象过点 2,孑，则此函数的解析式为 ________________________________________ ； 上递减.解析：设y = f(x) = x a,因为图象过点2, ¥ ,代入解析式得a=_1,则y = x 由性质可知函数y = x _2在(0, + g )上递减.答案：y = x _2(0,+g )在区间a 的取2. _________ 已知函数f(x) = x2+ 2ax+ 3,若y= f(x)在区间［—4, 6］上是单调函数，则实数值范围为___________ .解析：由于函数f(x)的图象开口向上，对称轴是x=—a,所以要使f(x)在[—4, 6]上是单调函数，应有一a w—4或一a > 6,即a < —6或a> 4.答案：(一a, —6] U [4 ,+^ )3. 已知函数f(x) = ax2+ x+ 5的图象在x轴上方，则a的取值范围是解析：a>0, 1因为函数f(x)= ax2+ x + 5的图象在x轴上方，所以2解得a> .A= 12—20a <0, 20答案：— +8 20，幕函数的图象及性质(典例迁移)(1)幕函数y= f(x)的图象过点(4, 2),则幕函数y = f(x)的图象是()2- -(2)已知幕函数y= x m 2m3(m€ N*)的图象与x轴、y轴没有交点，且关于y轴对称，则m的所有可能取值为_________ .【解析】(1)设幕函数的解析式为y= x a,因为幕函数y= f(x)的图象过点(4, 2),1所以2= 4",解得a= ,所以y= x,其定义域为［0, +R),且是增函数，当0<x<1时，其图象在直线y= x的上方.故选C.2- _⑵因为幕函数y= x m 2m 3 (m€ N*)的图象与x轴、y轴没有交点，且关于y轴对称，所以m2—2m—3< 0 且m2—2m—3(m € N*)为偶数.由m2—2m—3< 0 得一1 < m< 3,又m€ N*, 所以m= 1, 2, 3,当m= 1时，m2—2m—3 = 1 —2—3 = —4为偶数，符合题意；当m= 2 时，m2—2m—3= 4 —4 —3=—3 为奇数，不符合题意；当m= 3 时，m2—2m—3 = 9—6 —3 =0为偶数，符合题意.综上所述,m= 1, 3.【答案】(1)C (2)1 , 32_ _【迁移探究1】(变条件)若本例⑵中，将函数“ f(x)= x m—2m「3”变为“f(x)= (m2+ 2m2——2)x m —3m” ,其他条件不变，贝U m的值为 _____________ .解析：由于f(x)为幕函数，所以m2+ 2m—2 = 1,解得m= 1或m =—3,经检验只有m= 1适合题意，所以m= 1.答案：1【迁移探究2】(变条件)本例⑵中f(x)不变，m€ N*.若函数的图象关于y轴对称，且在(0,+^ )上是减函数，则m的值为__________________________ .解析：因为f(x)在(0 , +^)上是减函数，所以m2—2m—3<0 ,解得—1<m<3.又m€ N*,所以m= 1或m = 2.由于f(x)的图象关于y轴对称.所以m2—2m—3为偶数，又当m= 2时，m2—2m —3为奇数，所以m= 2舍去，因此m= 1.答案：1幕函数的图象与性质问题的解题策略⑴关于图象辨识问题，关键是熟悉各类幕函数的图象特征,如过特殊点、凹凸性等.(2) 关于比较幕值大小问题，结合幕值的特点利用指数幕的运算性质化成同指数幕，选择适当的幕函数，借助其单调性进行比较或应用.(3) 在解决幕函数与其他函数的图象的交点个数、对应方程根的个数及近似解等问题时，常用数形结合的思想方法，即在同一坐标系下画出两函数的图象，数形结合求解.1.已知点在幕函数f(x)的图象上，贝U f(x)是()解析：选A.设f(x) = x a,由已知得111解析：选C.因为a = 8泸，b = 165, c = 12',由幕函数 a>b>c ,故选 C.ii3. ______________________________________________ 若(a + 1)2<(3 — 2a)2，则实数a 的取值范围是 _______________________________________________ .1解析：易知函数y = x 2的定义域为［0, +8),在定义域内为增函数a + 1》0,2 所以 3— 2a > 0,解得一1 < a<§.a + 1<3— 2a ,答案：—1, 2求二次函数的解析式(师生共研)因此f(x) = x ,易知该函数为奇函数.4212.已知 a = 35, b = 45, c = 125，则 a , b , c 的大小关系为()A . b<a<cB . a<b<cC . c<b<aD . c<a<b解得a=— 1 ,A .奇函数C .定义域内的减函数B. 偶函数D .定义域内的增函数+)上为增函数，知(一题多解)已知二次函数 f(x)满足f(2)=-1, f(- 1) = - 1，且f(x)的最大值是8,试确定此二次函数的解析式.【解】 法一(利用一般式):4a+ 2b + c =— 1,设f(x) = ax 2 + bx + c(a 丰0).由题意得4ac — b 2218•因为 f(2) = — 1,所以 a 2 —+ 8=— 1,a -b +c =— 1, 4a =8,a =— 4,解得 b = 4,所以所求二次函数的解析式为 f(x) = — 4x 2 + 4x + 7.c = 7.法二(利用顶点式):设f(x) = a(x — m)2+ n(a 丰0).因为f(2) = f(— 1), f(— 1) = — 1,所以抛物线的对称轴为x2 1 2 解得 a =— 4,所以 f(x) = — 4 x — 2 + 8 =— 4x+ 4x + 7.法三(利用零点式):由已知得f(x)+ 1 = 0的两根为X 1 = 2, X 2=— 1,故可设 f(x) + 1 = a(x — 2)(x + 1), 即 f(x) = ax 2 — ax — 2a — 1.4a (— 2a — 1) — a ?又函数有最大值8,即 4a=8.解得a =- 4或a = 0(舍去),所以所求函数的解析式为 f(x)=— 4X 2 + 4x + 7.2 +(— 1) 21 =2•所以 1 m = ^.又根据题意函数有最大值 8,所以 n = 8,所以 f(x)= a x —?求二次函数解析式的方法般用待根据已知条件确定二次函数的解析式方法也不同，选择规律如下:1.已知二次函数f(x)= ax2+ bx+ 5的图象过点P(—1, 11)，且其对称轴是直线x= 1,则a+ b的值是( )A. —2B. 0C. 1D. 2解析：选A.因为二次函数f(x)= ax2+ bx+ 5的图象的对称轴是直线x= 1,所以一严=12a①.又f(—1)= a — b + 5= 11,所以a— b = 6 ②.联立①②，解得a= 2, b =—4,所以a + b=-2,故选A.2.已知二次函f(x)有两个零点0和—2,且它有最小值—1,贝U f(x)的解析式为f(x)解析：由二次函数f(x)有两个零点0和一2,可设f(x)= a(x+ 2)x,则f(x)= a(x2+ 2x)= a(x+1)2—a.又f(x)有最小值—1,则a= 1.所以f(x) = x2+ 2x.答案：x2+ 2x二次函数的图象与性质（多维探究）角度一二次函数图象的识别问题如图是二次函数y= ax2+ bx+ c图象的一部分，图象过点A（—3, 0）,对称轴为x=- 1•给出下面四个结论：①b2>4ac;②2a- b= 1;③a- b + c= 0;④5a<b.其中正确的结论是（）A .②④B.①④C. ②③D.①③【解析】因为二次函数的图象与x轴交于两点，所以b2一4ac>0,即b2>4ac,①正确；b对称轴为x=- 1,即一2a=—1, 2a-b = 0,②错误；结合图象，当x=- 1时，y>0,即a —b + c>0,③错误；由对称轴为x=- 1知，b = 2a,又函数图象开口向下，所以a<0,所以5a<2a,即5a<b,④正确.故选 B.【答案】B确定二次函数图象应关注的三个要点是看二次项系数的符号，它确定二次函数图象的开口方向. 二是看对称轴和最值，它确定二次函数图象的具体位置.三是看函数图象上的一些特殊点 ，如函数图象与y 轴的交点、与x 轴的交点，函数图象 的最咼点或最低点等.从这三个方面入手，能准确地判断出二次函数的图象. 反之，也可以从图象中得到如上信息.角度二二次函数的单调性及最值问题(1)函数 f(x) = ax 2 3 + (a — 3)x + 1 在区间［—1,+^ )上是递减的，则实数 a 的取值范围是 ____________ .(2)求函数f(x)= x 2 + 2ax + 1在区间［—1, 2］上的最大值.【解】 ⑴当a = 0时，f(x)=— 3x + 1在［—1, +^)上递减，满足条件.解得—3< a<0.综上，a 的取值范围为［—3, 0］.故填［—3, 0］. (2)f(x)= (x + a)2+ 1 — a 2,所以f(x)的图象是开口向上的抛物线，对称轴为x =— a.1 1① 当一a<2即 a> — 2时,f(x)max = f(2) = 4a + 5.2 1② 当一a >2即 a w — 2时，f(x)max = f(— 1) = 2 — 2a ,当a 丰0时，f(x)的对称轴为3 — ax =2a a<0由f(x)在3— a 2a。
高考数学一轮复习专题2.5二次函数与幂函数(讲)(2021年整理)
5 二次函数与幂函数【考纲解读】1．已知幂函数y ＝f (x )的图象过点（2，错误!）,则函数的解析式为________________． 【答案】f (x ）＝x 错误!(x ≥0)2．已知f (x ）＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，且其定义域为[a －1，2a ］,则y ＝f (x ）的值域为________． 【答案】错误!【知识清单】1 二次函数解析式的求法二次函数有三种形式：一般式、顶点式、两根式．求二次函数的解析式，使用待定系数法，即根据题设条件,恰当选择二次函数的形式，可使运算简捷． 2 二次函数的图象与性质的应用①二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论．②二次函数的单调性问题则主要依据二次函数图象的对称轴进行分析讨论求解．对于与二次函数有关的不等式恒成立或存在问题注意等价转化思想的运用． 3．五种常见幂函数的图象与性质｛x｜4．二次函数的图象和性质R从近几年的高考试题来看，二次函数图像的应用与其最值问题是高考的热点，题型多以小题或大题中关键的一步的形式出现，主要考查二次函数与一元二次方程及一元二次不等式三者的综合应用．【重点难点突破】错误!1．已知幂函数f(x）＝(m2－3m＋3）x m＋1为偶函数，则m＝________.【答案】1【解析】因为幂函数f（x)＝（m2－3m＋3)x m＋1为偶函数，所以m2－3m＋3＝1，即m2－3m＋2＝0,解得m＝1或m＝2.当m＝1时，幂函数f（x)＝x2为偶函数，满足条件．当m＝2时，幂函数f（x)＝x3为奇函数,不满足条件．2．已知幂函数f(x）＝(n2＋2n－2)·xn2－3n（n∈Z）的图象关于y轴对称，且在（0，＋∞）上是减函数，则n＝________.【答案】13．若(a＋1）12<(3－2a)错误!,则实数a的取值范围是________．【答案】错误!【解析】易知函数y＝x错误!的定义域为［0，＋∞）,在定义域内为增函数，所以｛a＋1≥0，3－2a≥0，，a＋1〈3－2a解得－1≤a<错误!.［谨记通法］幂函数的指数与图象特征的关系(1）幂函数的形式是y＝xα（α∈R)，其中只有一个参数α,因此只需一个条件即可确定其解析式．(2）若幂函数y＝xα（α∈R）是偶函数，则α必为偶数．当α是分数时，一般将其先化为根式,再判断．（3）若幂函数y＝xα在(0，＋∞）上单调递增,则α>0，若在（0，＋∞）上单调递减,则α〈0。
二次函数与幂函数-2021新高考数学自主复习优质课件(共53张PPT)
二次函数与幂函数
考点3 幂函数的图像与性质
7．[内蒙古呼市二中2020届月考]若幂函数y＝f(x)的图像过点(8，2 2 )，则
函数 f(x－1)－[f(x)]²的最大值为(
A. 1
B． 1
2
2
)
C. 3 4
D．－1
【解析】
【答案】C
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；
1．二次函数的定义和表达式
①幂函数的图像一定会出现在第一象限，一定不会出现在第四象限，是否出现在第二、三象限要看函数的奇偶性．
第3节 二次函数与幂函数
4
【答案】 3
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第3节
二次函数与幂函数
3．关于二次函数的几个常用结论
(1)已知二次函数f(x)＝ax²＋bx＋c(a≠0)．
①若f(x)的图像与x轴的交点为A(x1，0)，B(x2，0)，则x₁，x₂是方程f(x)＝0的
实根，且|AB|＝|x₁－x₂|＝ ＝
；
②f(x)＞0恒成立⇔
③f(x)＜0恒成立⇔
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C．4
D．115
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B．(2，＋∞)
C．(－∞，0)
D．(－∞，2)
7，4 4、若函数 y＝x2－3x＋4 的定义域为[0，m]，值域为 4 ，则 m 的取值范围为( )
A．(0，4]
3，4 B. 2
3，3 C. 2
3，＋∞ D. 2
5、不等式 x2+a|x|+4≥0 对一切实数 x 恒成立，则实数 a 的取值范围为（ ）
(3)幂函数的性质 ①幂函数在(0，＋∞)上都有定义； ②当α>0 时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增； ③当α<0 时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减. 2.二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式 一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0). 顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n). 零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2 为 f(x)的零点. (2)二次函数的图象和性质
A．[0，+∞）
B．[﹣4，+∞）
C．[﹣4，4]
D．（﹣∞，﹣4]
6、若对任意 m∈[－1，1]，函数 f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2m 的值恒大于零，求 x 的取值范围
．
7、已知函数 f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0，1]，若 f(x)有最小值－2，则 f(x)的最大值为________.
考点二 一元二次函数的解析式
4 / 29
例 2、已知二次函数 f(x)满足 f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且 f(x)的最大值是 8，求二次函数 f(x)的解析式．
变式、已知二次函数 f(x)的图象经过点(4，3)，它在 x 轴上截得的线段长为 2，并且对任意 x∈R，都有 f(2－ x)＝f(2＋x)，则 f(x)＝________.
x
则实数 c 的取值范围是________．
四、例题选讲 考点一 幂函数的图像与性质 例 1（1）下图给出 4 个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是（ ）
A．①
，②y＝x2，③
，④y＝x﹣1
B．①y＝x3，②y＝x2，③
，④y＝x﹣1
3 / 29
C．①y＝x2，②y＝x3，③
，④y＝x﹣1
D．①
，②
，③y＝x2，④y＝x﹣1
3 （2）、幂函数 y＝f(x)的图象经过点(3， 3)，则 f(x)是( )
A．偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数
B．偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数
C．奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数
D．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数
变式 1、已知幂函数 f(x)＝(n2＋2n－2)xn2－3n(n∈Z)的图象关于 y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则 n
第 14 讲：二次函数与幂函数
一、课程标准
1.通过实例，了解幂函数的概念．
2．结合函数
y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝1，y＝x x
1 2的图象，了解它们的变化情况．
3．理解并掌握二次函数的定义、图象及性质
二、基础知识回顾 1.幂函数 (1)幂函数的定义 一般地，形如 y＝xα的函数称为幂函数，其中 x 是自变量，α为常数. (2)常见的五种幂函数的图象
方法总结 求二次函数的解析式，一般用待定系数法，其关键是根据已知条件恰当选择二次函数解析式的形 式，一般选择规律如下：
考点三 根的分布问题
1 / 29
函数
y＝ax2＋bx＋c(a>0)
y＝ax2＋bx＋c(a<0)
图象 (抛物线)
定义域 值域
对称轴 顶点 坐标
4ac－b2，＋∞ 4a
R x＝－ b
2a
－∞，4ac－b2 4a
－ b ，4ac－b2 2a 4a
奇偶性 单调性 [常用结论与微点提醒]
当 b＝0 时是偶函数，当 b≠0 时是非奇非偶函数
3.(1)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限；
(2)幂函数的图象过定点(1，1)，如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.
三、自主热身、归纳总结 1、幂函数 y＝f(x)的图象过点(4，2)，则幂函数 y＝f(x)的大致图象是( )
1
2、(2020·衡水中学调研)已知点(m，8)在幂函数
8、(2017 徐州、连云港、宿迁三检）已知对于任意的 x (,1) (5, ) ，都有 x2 2(a 2)x a 0 ，则
实数 a 的取值范围是 ▲ ．
x2＋x，－2≤x≤c，
－1，2
9、(一题两空)已知函数 f(x)＝ 1，c<x≤3.
若 c＝0，则 f(x)的值域是________；若 f(x)的值域是 4 ，
f(x)＝(m－1)xn 的图象上，设
a＝f
3
，b＝f(ln
1
π)，c＝f(2－2)，
则 a，b，c 的大小关系是( ) A.a<c<b C.b<c<a
B.a<b<c D.b<a<c
2 / 29
3、若二次函数 y＝kx2－4x＋2 在区间[1，2]上是单调递增函数，则实数 k 的取值范围为( )
A．[2，＋∞)
－∞，－ b
在
2a 上是减函数；
－ b ，＋∞
在 2a
上是增函数
－∞，－ b
在
2a 上是增函数；
－ b ，＋∞
在 2a
上是减函数
1.二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关.
a>0，
a<0，
2.若 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则当 Δ<0 时恒有 f(x)>0；当 Δ<0 时，恒有 f(x)<0.
的值为( )
A．－3
B．1
C．2
D．1 或 2
12
12
11
变式 2、若 a＝ 2 3，b＝ 5 3，c＝ 2 3，则 a，b，c 的大小关系是( )
A．a<b<c
B．c<a<b
C．b<c<a
D．b<a<c
变式 3、已知点（2，8）在幂函数 f（x）＝xn 图象上，设
，则 a，
Байду номын сангаас
b，c 的大小关系是（ A．b＞a＞c
） B．a＞b＞c
C．c＞b＞a
D．b＞c＞a
方法总结： (1)幂函数的形式是 y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式． (2)在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近 x 轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函 数中指数越大，函数图象越远离 x 轴． (3)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂 函数的图象和性质是解题的关键．