福建省四地六校2015届高三上学期第三次月考数学(文)试题

福建省四地六校2015届高三上学期第三次月考试卷数学（文）（考试时间：120分钟 总分：150分）第Ⅰ卷 (选择题 共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．集合2{|90},{|15}A x x B x x =-<=-<≤，则AB = （ ）A ．()3,1--B ．(]3,5 C.()13-， D.(]3,5- 2．已知角α的终边经过点)3,4(-，则=αcos （ ）A ． 54B ．53C ．53-D ．54-3. 已知i 为虚数单位, 则复数z =i (2+i ）在复平面内对应的点位于 （ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 4．下列函数中, 在区间(0,)+∞上为增函数的是( )A.y =2(1)y x =- C. 2x y -= D. 0.5log y x =5.如果直线210ax y ++=与直线20x y +-=互相垂直，那么a =（ ）A.1B.13-C. 23- D. 2- 6. 为了得到函数()sin(2)6f x x π=+的图象，则只要将()sin 2g x x =的图像（ ）A. 向右平移π12个单位长度 B. 向右平移π6个单位长度 C. 向左平移π12个单位长度 D. 向左平移π6个单位长度7．设向量a ,b 满足||=10a b +，||=6a b -，则a b ⋅=( )A.1B.2C.3D.58．中心在坐标原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线方程为430x y +=，则该双曲线的离心率为( )9．程序框图如右图所示，则输出的值为( ) A ．15B ．21C ．22D ．281,0n S ==10．函数log 1(0,1)m y x m m =+>≠的图像恒过定点M ，若点M 在直线1(0,0)ax by a b +=>>上，则14a b+的最小值为( )A ．8B ．9C ．10D ．1211．若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．812.已知定义在R 上的函数()f x 的图象关于点304-（，）成中心对称图形，且满足3()()2f x f x =-+，(1)1f -=,(0)2f =-，则(1)(2)(3)(2014)f f f f ++++的值为( )A.1B.2C. 0.-2第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卷的相应位置. 13.设抽测的树木的底部周长均在区间[80，130]上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有 株树木的底部周长小于100cm.14．已知函数2log ,0,()31,0,x x x f x x >⎧=⎨+≤⎩则1(())4f f 的值是15．P 是抛物线24x y =上一点，抛物线的焦点为F ，且5PF =，则P 点的纵坐标为________．16. 若直线l 与曲线C 满足下列两个条件：)(i 直线l 在点()00,y x P 处与曲线C 相切；)(ii 曲线C 在点P 附近位于直线l 的两侧，则称直线l 在点P 处“切过”曲线C . 下列命题正确的是__ ____(写出所有正确命题的编号)100 80 90 110 120 底部周长(第13题)①直线0:=y l 在点()0,0P 处“切过”曲线C ：3x y = ②直线:1l y x =-在点()1,0P 处“切过”曲线C ：ln y x = ③直线:l y x π=-+在点(,0)P π处“切过”曲线C ：x y sin = ④直线:1l y x =+在点(0,1)P 处“切过”曲线C ：x y e =三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.(本小题满分12分)在ABC ∆中，角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，且3,a =3=b ,31cos =B . (Ⅰ)求边c 的长度； (Ⅱ)求)cos(C B -的值.18（本小题满分12分）已知数列{}n a 中，11a =，且点,1()n n a a +在函数1y x =+的图象上(n N*)∈,数列{}n b 是各项都为正数的等比数列，且242,8b b ==. （Ⅰ）求数列{}n a ,{}n b 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n c 满足(1)n n n n c a b =-+，记数列{}n c 的前n 项和为n T ,求100T 的值.19．（本小题满分12分）根据调查，某学校开设了“街舞”、“围棋”、“武术”三个社团，三个社团参加的人数如下表所示：为调查社团开展情况，学校社团管理部采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为n 的样本，已知从“街舞”社团抽取的同学8人。

(I) 求n 的值和从“围棋”社团抽取的同学的人数；(II)若从“围棋”社团抽取的同学中选出2人担任该社团活动监督的职务，已知 “围棋”社团被抽取的同学中有2名女生，求至少有1名女同学被选为监督职务的概率。

20．（本小题满分12分）如图，四棱锥ABCD P -中，ABCD 为矩形，平面⊥PAD 平面ABCD ．（Ⅰ）求证：;PD AB ⊥（Ⅱ）若PA PD AB 2===，问当AD 为何值时，四棱锥ABCD P -的体积最大？并求其最大体积.21. (本小题满分12分)已知椭圆Γ：22221x y a b +=（0a b >>）的长半轴长为2，离心率为12，左右焦点分别为()1,0F c -，()2,0F c ．（Ⅰ）求椭圆Γ的方程；（Ⅱ）若直线1:2l y x m =-+与椭圆Γ交于A ，B 两点，与以1F ，2F 为直径的圆交于C ，D 两点，且满足AB CD=l 的方程．22．（本小题满分14分） 已知函数()()211ln 2f x x a x a x =--+，其中常数a R ∈. （Ⅰ）当6a =时，求函数()f x 的极值点； （Ⅱ）证明：对任意[)2(1)1,,ln 1x x x x -∈+∞≥+恒成立； （III ）对于函数()f x 图象上的不同两点1,12,212(),()()A x y B x y x x <，如果在函数()f x 图象上存在点0,0()M x y （其中012(,)x x x ∈）,使得在点M 处的切线l ∥AB，则称直线AB 存在“伴侣切线”．特别地，当1202x x x +=，又称直线AB 存在“中值伴侣切线”． 试问：当1a =时，对于函数()f x 图象上不同两点A 、B ，直线AB 是否存在“中值伴侣切线”,并证明你的结论．“四地六校联考”2014-2015学年上学期第三次月考高三数学（文）参考答案一、本大题共12小题，每小题5分，共60分．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. 13. 24 14. 10915 .4 16 ①③17. (本小题满分12分)（Ⅰ）由余弦定理，得2222cos b a c ac B =+-.又3,a =3=b ,31cos =B ， 2199233c c ∴=+-⨯⨯. ………2分2202(c c c ∴-=∴=舍去0） ………4分（Ⅱ）在△ABC 中，sin B =，……………………………6分 由正弦定理，得2224sin sin 3c C B b === .………………………………8分因a =b >c ，所以C 为锐角，因此7cos 9C ……………10分于是1723cos()cos cos sin sin 3927B C B C B C -=+=⨯+=. …………………12分18. (本小题满分12分)解：(1) 因点,1()n n a a +在直线y=x+1的图象上，11n n a a +=+，即11n n a a +-=∴数列{a n }是以1为首项，1为公比的等比数列.故数列{}n a 的通项公式为n a n = …………………………………………4分 数列{b n }为等比数列，设公比为q ， ∵21b b q =，b 4＝b 1q 3＝8，0n b >∴11b =,q ＝2.∴b n ＝2n －1(n ∈N *)．…………………………………8分（Ⅱ）12nn n c n -=+（-1）,01299100(1234100)(2222)T =-+-+-++++++[]01299(12)(34)99100)(2222)=-++-+++-++++++（100100125024912-=+=+-……12分19．(本小题满分12分)解：（Ⅰ）8176032040n ==19n ∴= …………………………………2分 从“围棋”社团抽取的同学1240640⨯= …………………………………4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，从“围棋”社团抽取的同学为6人，其中2位女生记为A ，B ，4位男生记为C ，D ，E ，F ………5分则从这6位同学中任选2人，不同的结果有{A ，B}，{A ，C}，{A ，D}，{A ，E}，{A ，F}，{B ，C}，{B ，D}，{B ，E}，{B ，F}， {C ，D}，{C ，E}，{C ，F}，{D ，E}，{D ，F}，{E ，F}， 共15种． ……………………………………8分 法1：其中含有1名女生的选法为 {A ，C}，{A ，D}，{A ，E}，{A ，F}， {B ，C}，{B ，D}，{B ，E}，{B ，F}，共8种； 含有2名女生的选法只有{A ，B}1种． 至少有1名女同学共9种 ……………………10分故至少有1名女同学被选中的概率915=35． ..................... (12)分法2：从这6位同学中任选2人，没有女生的有：{C ，D}，{C ，E}，{C ，F}，{D ，E}，{D ，F}，{E ，F}，共6种故至少有1名女同学被选中的概率1-615=35．20.(本小题满分12分) 解：（1）Q 面PAD ⊥面ABCD ,面PAD ⋂面ABCD =AD ,AB AD ⊥ AB ∴⊥面PAD ……………………………………4分 又PD ⊂Q 面PAD ……………………………………5分 AB PD ∴⊥……………………………………6分 （2）取AD 中点，连结PO ,PA PD =PO AD ∴⊥,由（1）有PO ⊥面ABCD, ………………8分AB设AD=x.PO ===1112333P ABCD ABCD V OP S AB AD OP x -=⨯⨯=⨯⨯⨯==g ……… (10)分= ……………………11分 ∴ 当28x =即x =maxV =83………………………………12分21. (本小题满分12分)（Ⅰ）由题设知2222,1,2,a c ab ac =⎧⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎩……………………2分解得2,1,a b c ===∴ 椭圆的方程为22143x y +=．……………………4分（Ⅱ）由题设，以12F F 为直径的圆的方程为221x y +=，……………………5分∴ 圆心的直线l的距离d =，由1d <得m <．（*）……………………6分 ∴CD ==7分 设1122(,),(,),A x y B x y 由2212143y m x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得2230x mx m -+-=，……………………8分 由求根公式可得21212,3x x m x x m +==-．……………………9分∴AB =10分由ABCD =1，解得m =，满足（*）．……………11分 ∴ 直线l的方程为12y x =-+或12y x =--．…………………12分22. (本小题满分14分) （Ⅰ）当6a =时，21()56ln 2f x x x x =-+ ()()()2236565x x x x f x x x x x---+'=-+== (0)x > …1分， ()0f x '=当时23x x ==或当02x <<或3x >时()0f x '>，即()f x 在()()0,2,3,+∞上单调递增……2分， 当23x <<时，()0f x '<，()f x 在()2,3上单调递减 ……3分，2x ∴=为函数()f x 的极大值点，3x =为函数()f x 的极小值点 ………………4分（Ⅱ）令2(1()ln x+1x g x x -=-）(1)x ≥212(1()(x+1)x g x x +'∴=-）-2(x-1)22x(x+1)=(x-1) …6分 1()0x g x '≥∴≥所以()g x 在[)1,+∞上递增,()(1)0g x g ∴≥=（当且仅当x=1时等号成立），即证： 对任意[)2(1)1,,ln 1x x x x -∈+∞≥+恒成立； ……………8分（III ）当1a =，21()ln ,(0)2f x x x x =+>，1()f x x x'=+，假设函数()f x 存在“中值伴侣切线”.设A 1,12,2(),()x y B x y ,0,0()M x y 是曲线()y f x =上的不同点，且120x x <<，122o x x x += 则直线AB 的斜率：22221121212111(ln )(ln )22ABx x x x y y k x x x x +-+-==--211221ln ln 1()2x x x x x x -=++-……9分曲线在点0,0()M x y 处的切线斜率：12120122()()22l x x x x k f x f x x ++''===++ ……10分 依题意：AB l k k =,即2112122112ln ln 12()22x x x x x x x x x x -+++=+-+化简得212112ln ln 2x x x x x x -=-+，…11分 即22211211212(1)2()ln1x x x x x x x x x x --==++ 设21xt x = (1)t >，上式化为2(1)ln 1t t t -=+,(1)t > …………12分 由（2）知1t >时，2(1)ln 1x x x ->+恒成立.所以在()1,+∞内不存在t ,使得2(1)ln 1t t t -=+成立.综上所述，假设不成立.所以，函数()f x 不存在“中值伴侣切线” ………………14分。