(完整word版)高中数学竞赛平面几何讲座第5讲三角形的五心
三角形的五心讲义-重心、垂心、内心、外心、旁心
．O A BDC2016届高三数学讲义————三角形的“五心”————（Ⅰ）“五心”的概念及性质一、外心（1）定义：三角形三边垂直平分线的交点(三角形外接圆的圆心)． （2）外心的位置锐角三角形的外心在三角形内；锐角三角形的外心在三角形内； 直角三角形的外心在斜边中点；直角三角形的外心在斜边中点； 钝角三角形的外心在三角形外． （3）性质垂直平分线的性质：到线段两端点距离相等．垂直平分线的性质：到线段两端点距离相等．外心的性质：到三角形三个顶点距离相等．外心的性质：到三角形三个顶点距离相等． 内心到三顶点距离R(三角形外接圆半径)R= 2sin c C(某边除以它对角正弦的2倍) 证明过程如下:连接AO 并延长交圆O 于D,则AD 为圆直径,AD=2R ．又90ABD Ð=°(直径所对的圆周角是90°),AB=c, ADB CÐ=Ð(同弧AB 所对的圆周角相等),∴AD= sin AB ADB Ð,即2R sin c C =, R=2sin cC ． 延伸①:正弦定理由于R=2sin cC ,同理易证2sin 2sin 2sin cbaR C B A===,变形得到变形得到正弦定理: 2sin sin sin a b c R A B C===(每边除以它所对角的正弦为2R) 延伸②:余弦定理2222cos a b c bc A =+- （222cos 2b c a A bc+-=）ABC OA BCD证明过程如下：作CD ^AB 交其于D ，∴cos cos AD AC A b A ==，BD= cos c b A -，sin CD b A =，又222BC BD CD =+，即222(cos )(sin )a c b A b A =-+=22222222cos cos sin 2cos c bc A b A b A b c bc A -++=+-，其他边角也同求．二、内心（1）定义：三角形三条内角平分线的交点,也是三角形内切圆的圆心．也是三角形内切圆的圆心． （2）性质角平分线的性质：到角两边距离相等．角平分线的性质：到角两边距离相等．内心的性质：到三角形三边距离相等．内心的性质：到三角形三边距离相等．延伸①：内角平分线定理如图，AD 为△ABC 中BAC Ð的平分线，则有的平分线，则有(=)A B B D A C D C =上左下左上右下右证明过程如下：作BE//AC 交其延长线于E,则E DAC Ð=Ð． ∵BAD DAC Ð=Ð,∴E BAD Ð=Ð,AB BE ==c ． 又∵BE//AC,易证△ADC ∽ △EDB, ∴BD=DCAB EB AC AC =,得证． 延伸②：外角平分线定理如图，AD 为△ABC 的外角平分线，交BC 延长线于D ，则有()AB BDAC DC=同上IK H EF D ABCMABDCEcb cAB CDEFcb cA FBDCE证明过程如下：作CE//AB 交AD 于E,则AEC EAF Ð=Ð．∵EAF EAC Ð=Ð,∴AEC EAC Ð=Ð,AC AE =． 又∵CE//AB,易证△ADB ∽ △EDC, ∴BD =DCAB AB ACCE=,得证．得证．延伸③：三角形内角平分线长公式如图，AD 为△ABC 中BAC Ð的平分线，则有的平分线，则有2bccos 2cos2211b+c +b c A AAD =（或）证明过程如下：作BE//AC 交其延长线于E,BF ^AE 交其于F ．由前文的内角平分线定理可知，△ADC ∽ △EDB,∴bcAD AC DE BE ==． 又+DE=AE AD ,即bb+cAD AE =．而△ABE 为等腰三角形, BF ^AE, ∴22sin =2csin 2AAE AF AB BAF ==Ð,∴2bccos 2cos 2211b+c +b cA AAD =（或）．延伸④：内心到三边距离r(三角形内切圆半径)设三角形面积为S ，则有，则有2r=a+b+cS（即面积的（即面积的22倍除以周长） 证明过程如下：连接OA,OB,OC ． ∵相切，∴OF AB ^，即S △AOB = 11cr 22AB OF ·=，同理，同理S △AOC = 1br 2，S △BOC = 1ar 2．又∵S=S △AOB + S △AOC + S △BOC ,即S= 1(a+b+c)r 2,∴2r=a+b+cS．．O A F BDCE（1）定义：三角形三条中线的交点．三角形三条中线的交点． （2）性质中线性质:将三角形面积等分成两部分．将三角形面积等分成两部分． 重心性质:分三角形的中线两段长比例为2:1(长:短) 如图:AD,BE,CF 为△ABC 三条中线，G 为其重心，则有:::2:1A G G CB G G EC G G F === 证明过程如下：作BH//FC 交AD 延长线于H,易证△GDC ≌ △HDB ，∴,2GD DH GH GD == 又∵BH//FG ，F 为AB 中点，∴G 也为AH 中点，即2AG GH GD ==， ∴:2:1AG GC =，其他同证．，其他同证． 延伸:三角形中线长公式如图,AD 为△ABC 的中线,则有则有221b +c +2bccos 2AD A =证明过程如下:作BE//AC 交AD 延长线于E,易证△ADC ≌ △EDB ， ∴1,=2AD DE AD AE=即，∵BE//AC ，∴ABF A Ð=Ð．作AF ^EB 交其交其 延长线于F ．又AB=c ，∴BF=AB cos ABF Ð=cos c A ，AF=sin c A ， 故EF=cos c A b +．∴12AD AE ==222211(cos )(sin )b +c +2bccos 22c A b c A A ++=四、垂心（1）定义：三角形三条高的交点．：三角形三条高的交点． （2）性质斜三角形的三个顶点与垂心这四个点中，任何三个为顶点的三角形的垂任何三个为顶点的三角形的垂 心就是第四个点．所以把这样的四个点称为一个“垂心组”．AFBEDCBCD EFGAG FE CBD H（1）定义：三角形的一条内角平分线与另两个外角平分线的交点(旁切圆的圆心)．（2）性质每个三角形都有三个旁切圆．每个三角形都有三个旁切圆．三角形的四心（内心、重心、垂心、外心）只有 一个，但旁心有三个，旁心到三角形三边所在直线距离相等． （Ⅱ）三角形“四心”与向量的典型问题分析向量是数形结合的载体，有方向，大小，双重性，不能比较大小．在高中数学“平面向量”（必修4第二章）的学习中，一方面通过数形结合来研究向量的概念和运算；另一方面，我们又以向量为工具，运用数形结合的思想解决数学问题和物理的相关问题．我们又以向量为工具，运用数形结合的思想解决数学问题和物理的相关问题．在平面向量的应用中，用平面向量解决平面几何问题时，首先将几何问题中的几何元素和几何关系用向量表示，然后选择适当的基底向量，将相关向量表示为基向量的线性组合，把问题转化为基向量的运算问题，最后将运算的结果再还原为几何关系．把问题转化为基向量的运算问题，最后将运算的结果再还原为几何关系．下面就以三角形的四心为出发点，应用向量相关知识，巧妙的解决了三角形四心所具备的一些特定的性质．既学习了三角形四心的一些特定性质，又体会了向量带来的巧妙独特的数学美感．的数学美感．一、“重心”的向量风采【命题1】 已知G 是ABC △所在平面上的一点，若0GA GB GC ++=，则G 是ABC△的重心．如图⑴．的重心．如图⑴．A'GCAB【命题2】 已知O 是平面上一定点，A B C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足()OP OA AB AC l =++，(0)l Î+¥，，则P 的轨迹一定通过ABC △的重心．的重心． 【解析】【解析】 由题意()AP AB AC l =+ ，当(0)l Î+¥，时，由于()AB AC l +表示BC 边ABCDEFI a图⑴图⑴图⑵图⑵MPCBAO二、“垂心”的向量风采【命题3】 P 是ABC △所在平面上一点，若PA PC PC PB PB PA ×=×=×，则P 是ABC △的垂心．的垂心．【解析】【解析】由PA PB PB PC ×=× ，得()0PB PA PC ×-= ，即0PB CA ×=，所以PB CA ⊥．同理可证PC AB ⊥，PA BC⊥．∴P 是ABC △的垂心．如图⑶．的垂心．如图⑶．PABC【命题4】 已知O 是平面上一定点，AB C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足cos cos AB AC OP OA AB B AC C l æöç÷=++ç÷èø ，(0)l Î+¥，，则动点P 的轨迹一定通过ABC △的垂心．的垂心．【解析】【解析】 由题意cos cos AB AC AP AB B AC C l æöç÷=+ç÷èø，由于0cos cos AB AC BC AB B AC C æöç÷+×=ç÷èø， 即0cos cos AB BC AC BC BC CB AB B AC C××+=-=,所以AP 表示垂直于BC 的向量，即P 点在过点A 且垂直于BC 的直线上，所以动点P 的轨迹一定通过ABC △的垂心，如图⑷．的垂心，如图⑷．图⑶图⑶ 图⑷图⑷ H FEM ABCO P三、“内心”的向量风采 【命题5】 已知I 为ABC △所在平面上的一点，且AB c =，AC b =，BC a = ．若0aIA bIB cIC++=，则I 是ABC △的内心．的内心．【解析】 ∵IB IA AB =+ ，IC IA AC =+ ，则由题意得()0a b c IA bAB cAC++++=，∵AB AC bAB cAC AC AB AB AC AC AB AB ACæöç÷+=×+×=××+ç÷èø， ∴bc AB AC AI a b c AB ACæöç÷=+ç÷++èø．∵AB AB与ACAC分别为AB 和AC 方向上的单位向量，量，∴AI与BAC ∠平分线共线，即AI 平分BAC Ð． 同理可证：BI 平分ABC Ð，CI 平分ACB Ð．从而I 是ABC △的内心，如图⑸．的内心，如图⑸．【命题6】 已知O 是平面上一定点，AB C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足AB ACOP OA AB ACl æö=++ç÷èø，(0)l Î+¥，，则动点P 的轨迹一定通过ABC △的内心．的内心． 【解析】【解析】 由题意得AB AC AP AB AC l æöç÷=+ç÷èø，∴当(0)l Î+¥，时，AP 表示BAC Ð的平分线所在直线方向的向量，故动点P 的轨迹一定通过ABC △的内心，如图⑹．的内心，如图⑹．图⑸图⑸图⑹图⑹ABCOPbacIA CBOCAB四、“外心”的向量风采【命题7】 已知O 是ABC △所在平面上一点，若222OA OB OC == ，则O 是ABC △的外心．外心．【解析】 若222OA OB OC == ，则222O A O B O C == ，∴OA OB OC == ，则O是ABC △的外心，如图⑺．的外心，如图⑺．【命题7】 已知O 是平面上的一定点，A B C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足2cos cos OB OC AB AC OP AB B AC Cl æö+ç÷=++ç÷èø，(0)l Î+¥，，则动点P 的轨迹一定通过ABC △的外心．的外心．【解析】 由于2OB OC + 过BC 的中点，当(0)l Î+¥，时，cos cos AB AC AB B AC Cl æöç÷+ç÷èø表示垂直于BC的向量（注意：理由见二、命题4解释．），所以P 在BC 垂直平分线上，动点P 的轨迹一定通过ABC △的外心，如图⑻．的外心，如图⑻．图⑺图⑺M OB CAP图⑻图⑻。
数学竞赛三角形五心讲义
数学竞赛讲义第一节一．高中数学竞赛介绍一试考试时间为上午8：00-9：20，共80分钟。
试题分填空题和解答题两部分，满分120分。
其中填空题8道，每题8分；解答题3道，分别为16分、20分、20分。
加试（二试）考试时间为9：40-12：10，共150分钟。
试题为四道解答题，前两道每题40分，后两道每题50分，满分180分。
试题内容涵盖平面几何、代数、数论、组合数学。
二．答题策略保证1试所有知识点都练习过的基础上，2试选择平面几何+1题的方式去练习。
三．考试知识点一试全国高中数学联赛的一试竞赛大纲，完全按照全日制中学《数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，即高考所规定的知识范围和方法，在方法的要求上略有提高，其中概率和微积分初步不考。
二试1、平面几何基本要求：掌握初中数学竞赛大纲所确定的所有内容。
补充要求：面积和面积方法。
几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。
几个重要的极值：到三角形三顶点距离之和最小的点--费马点。
到三角形三顶点距离的平方和最小的点--重心。
三角形内到三边距离之积最大的点--重心。
几何不等式。
简单的等周问题。
了解下述定理：在周长一定的ｎ边形的集合中，正ｎ边形的面积最大。
在周长一定的简单闭曲线的集合中，圆的面积最大。
在面积一定的ｎ边形的集合中，正ｎ边形的周长最小。
在面积一定的简单闭曲线的集合中，圆的周长最小。
几何中的运动：反射、平移、旋转。
复数方法、向量方法。
平面凸集、凸包及应用。
2、代数在一试大纲的基础上另外要求的内容：周期函数与周期，带绝对值的函数的图像。
三倍角公式，三角形的一些简单的恒等式，三角不等式。
第二数学归纳法。
递归，一阶、二阶递归，特征方程法。
函数迭代，求ｎ次迭代，简单的函数方程。
ｎ个变元的平均不等式，柯西不等式，排序不等式及应用。
复数的指数形式，欧拉公式，棣美弗定理，单位根，单位根的应用。
圆排列，有重复的排列与组合，简单的组合恒等式。
一元n次方程（多项式）根的个数，根与系数的关系，实系数方程虚根成对定理。
三角形的五心综合讲稿(陶平生)
【几何十讲】三角形的五心-B （欧拉线心）（外心、重心与垂心） 陶平生三角形的五心是指内心、外心、重心、垂心与旁心；在数学竞赛中占有十分重要的位置． 从赛题统计方面来看，其中又以内心问题最为突出，必须熟悉五心的基本性质，基本构形，常用辅助线以及基本定理的应用．外心、重心与垂心ABC ∆的外心为O ，重心为G ，垂心为H ，则有(1)、,,O G H 三点共线（欧拉线）且:::1:2OG GH DG AG DO AH ===；(2)、2,2,2BOC A COA B AOB C ∠=∠=∠=；(3)、13AGB BGC CGA ABC ∆=∆=∆=∆；(4)、,,HAB HBC HCA ∆∆∆与ABC ∆具有相等的外接圆半径；(5)、ABC ∆的垂心H 是其垂足三角形的内心．例1、ABC ∆中，O 为外心，三条高,,AD BE CF 交于点H ，直线ED 和AB 交于点M ， FD 和AC 交于点N ；求证：0(1)、,OB DF OC DE ⊥⊥；0(2)、OH MN ⊥． （2001全国联赛）证一、（纯几何方法）设OK AB ⊥于K ，则1==2KOB AOB C ∠∠，又由AFDC 共圆，D则BFD C KOP ∠==∠，所以KOPF 共圆，所以0==90OPF OKF ∠∠，因此OB DF ⊥，同理有OC DE ⊥．为证OH MN ⊥，由,AEDB AFDC 分别共圆，=,==FDB A MDB EDC A ∠∠∠，2FDM A BOC ∠==∠，设OB CF T =，在直角三角形BTF 中，由于DF BT ⊥， 则==OTC BTF DFB ∠∠∠，因此COT ∆∽MDF ∆，且其对应边互相垂直． 作DG ∥MN ，于是只要证，OH DG ⊥，即要证MDG ∆∽COH ∆，由=DMF OCT ∠∠， 只要证=MG CH MD CO… ① 因===MG MG MF ND MF ND CT MD MF MD NF MD NF CO⋅⋅⋅ … ② 据①②，只要证=ND CHNF CT… ③ 注意CDH ∆∽AFH ∆，CTB ∆∽AHB ∆，NDC ∆∽NAF ∆，则 =,=CH CD AH AB AH AF CT CB ，相乘得==CH AB CD AB NCCT BC AF BC NF⋅⋅⋅ … ④ 由③④，只要证=ND ABNC BC… ⑤ 由于DCE ∆∽ACB ∆，且DC 平分NDE ∠，则=DN NCDE CE， 所以==ND DE AB NC CE BC，因此OH DG ⊥，即有OH MN ⊥．证二、（利用根轴性质）为证OB DF ⊥，只要证，2222=OD OF BD BF --， 据斯特瓦特定理，2222=+=CD BDOD R R CD BD R CD BD BC BC⋅⋅-⋅-⋅，同样有 22=OF R BF AF -⋅，据AFDC 共圆，又有=BF BA BD BC ⋅⋅，所以 22==()()OD OF BF AF BD CD BF AB BF BD BC BD -⋅-⋅--⋅-2222=()+()=BF BA BD BC BD BF BD BF ⋅-⋅--，因此OB DF ⊥，同理有OC DE ⊥．再证OH MN ⊥，据CF MA ⊥，得2222=MC MH AC AH -- … ①； 由BE NA ⊥得2222=NB NH AB AH -- … ②； 由DA BC ⊥得2222=BD CD BA AC -- … ③； 由OB DF ⊥得2222=BN BD ON OD -- … ④ 由OC DE ⊥得2222=CM CD OM OD -- … ⑤①＋③+④ －②-⑤得2222=NH MH ON OM --，所以OH MN ⊥．证三、（面积与三角方法）（仅证OH MN ⊥．）如图，作DW ∥AN ，点W 在MN 上，在OBH ∆与NDW ∆中，因为OB ND ⊥， BE AN ⊥，即BH DW ⊥，于是=NDW OBH ∠∠；为证OH WN ⊥，只要证NDW ∆∽OBH ∆，即要证=DW BHDN BO… ① 因1cos ===2cos sin sin BH BD AB B B BO C R R C ⋅⋅，==DW DW EN MD EN DN EN DN ME DN ⋅⋅ … ②， 而sin sin 2==sin sin EN EDN A DN DEN B∠∠， sin cos sin cos sin 2=====sin sin cos sin sin 2MD AMD AM AD BAD AD B AB B B BME AME AM AE A AE A AB A A A∆⋅∠∆⋅． 故由②，sin 2sin 2===2cos sin 2sin DW MD EN B AB DN ME DN A B⋅⋅，因此①成立，故结论得证． 证四、（解析法）0(1)、取D 为原点，DA 为Y 轴，建立直角坐标系，设三顶点坐标为(0,),(,0),(,0)A a B b C c ，则重心为,33b c a G +⎛⎫⎪⎝⎭，于是AB 的方程为：1x y b a +=，AC 的方程为：1x y c a +=；再设垂心为(0,)H h ，则CH 的方程为：1x yc h+=； 由于CH AB ⊥，则1CH AB h a ahk k c b bc ⎛⎫⎛⎫-=⋅=-⋅-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因此，bc h a =-，于是CH 的方程为：1x ay c bc -=，且垂心坐标为0,bc H a ⎛⎫- ⎪⎝⎭同理得，BH 的方程为：1x ayb bc-=； 因,,O G H 共线（欧拉线），且点O 外分线段HG 为定比3-：3HOOG=-；记00(,)O x y ， 则00(3)31(3)2b c b c x ++-+==+-，2(3)31(3)2bc aa bc a y a -+-+==+-，即2,22b c a bc O a ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，故2232()02OHa bc bc a bc a a kbc a b c +⎛⎫-- ⎪+⎝⎭==++-，2202()2OB a bc a bc a k b c a c b b +-+==+--，2()OC a bc k a b c +=-， 因DF 过CH 与AB 的交点F ，故DF 的方程可表为：110x ay x y c bc b a λ⎛⎫⎛⎫--++-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，注意DF 过原点，得1λ=-，所以DF 的方程为：1110a x y c b a bc ⎛⎫⎛⎫--+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 同理知，DE 的方程为：1110a x y c b a bc ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 所以2()DF a b c k a bc -=+，2()DEa cb k a bc-=+； 由于1,1OB DF OC DE k k k k ⋅=-⋅=-，所以,OB DF OC DE ⊥⊥；0(2)、先求MN 的方程：一方面，由于MN 过DF 与AC 的交点N ，故MN 的方程可表为：11110a x y x y c b a bc c a μ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+++-=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即：111a x y c b a bc μμμ+-⎛⎫⎛⎫--+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，也即111a x y c b abc μμγγγμ+-⎛⎫⎛⎫--+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ … ① 另一方面，由于MN 过DE 与AB 的交点M ，故MN 的方程可表为：11110a x y x y c b a bc b a γ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++++-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即： 111a x y cb a bc γγγ-+⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，也即111a x y cb abc γγμμγμ-+⎛⎫⎛⎫-++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ … ② 由于方程①和②表示同一条直线MN ，所以1111c b c b μγγμ+-⎛⎫⎛⎫-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭… ③， 11a a a bc a bc μγγμ-+⎛⎫⎛⎫-+=+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ … ④ 由③得()()0c b γμγμ-+-=，显然有0,0c b ><，0c b ->，所以0γμγμ+-= …… ⑤ 由④得2()()0a bc μγ++=，（因2()DF a b c k a bc -=+，2()DE a c b k a bc-=+有意义，则20a bc +≠） 所以0μγ+= ……⑥，由⑤⑥得2,2γμ==-，于是MN 的方程为：1132a x y b c a bc ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即2()(3)2a b c x bc a y abc +++=，因此，2()3MN a b c k a bc +=-+， 前已得到23()OH a bck a b c +=+，所以1OH MN k k ⋅=-，从而OH MN ⊥．例2、如图，以ABC ∆的一边BC 为直径作圆，分别交,AB AC 所在直线于,E F ，过,E F 分别作圆的切线交于一点P ，直线AP 与BF 交于一点D ；证明：,,D C E 三点共线．证：连,,EF EC CD ，则弦切角PEF PFE EBF ∠=∠=∠，由AF BF ⊥，得09090BAF EBF PEF ∠=-∠=-∠12EPF =∠，以P 为圆心，()PE PF =为半径作P ，交直线BA 于A '，则12EA F EPF BAF '∠=∠=∠， 故,A A '共点；所以PA PE =，090PAE ABC PEA PEC ∠+∠=∠+∠=，得BC AP ⊥，因此C 是ABD ∆的垂心．所以CD AB ⊥，又因CE AB ⊥，则,,D C E 三点共线．例3、如图，,M N 分别是ABC ∆的边,AB AC 上的点，且1BM CNMA NA+=； 求证：线段MN 过ABC ∆的重心．证：取AC 的中点E ，MN 截ABE ∆于,,M P N ，1EP BM ANPB MA NE⋅⋅=，则1BP BM AN CN AN PE MA NE NA NE ⎛⎫=⋅=- ⎪⎝⎭ 22NE ANAN NE =⋅=，因为P 在中线BE 上，所以P 是重心． 以上用到，()()NA CN NE EA CN NE EC CN -=+-=+- ()2NE CN NE CN NE =++-=．例4、12,O O 是ABC ∆的旁切圆，已知 1O 分别切,,AB BC CA 三边于,,D E F ；2O 分别切,,AB BC CA 三边于,,M N K ；1212, O O EF S O O MN T ==；MN EF P =；ED NK H =.证明：()1. ,,P A H 共线1l ，,,,E D H T 共线2l ，,,,N K H S 共线3l ；DB()1232. , , l BC l PN l PE ⊥⊥⊥.证：()1. 作AQ BC ⊥于Q ，设1QANM P =，12,O O 的半径分别记为12,r r ， 则222costan22sin tan 22B A AM AT AMT B B TO MTO r ∆===∆ 同理，1tan 2tan 2AAS CSO = ，因为1P A ∥2O N ，则122P A AT r TO =，故12tan 2tan2A P A rB =⋅. 又设2QA EF P =，则 21tan2tan2A P A r C =⋅ ，为证12P A P A =，只要证， 21cot cot 22B Cr r =，即BN CE =，连21, BO CO ，因122, O B BO MN BO ⊥⊥，故1O B ∥MN ，同理，21O C O C ⊥，于是21BCO O 共圆，得212CBO CO O ∠=，12212212cotcot cos 22O C B CBN r r CO O r O C CE O C ==∠===，所以 12P A P A =. 即,,EF MN AQ 三线共点.()2.因, 222B BBED ENM BMN π∠=∠=∠=-，所以 ED MN ⊥，因 2tan 2tan 2A AT B TO =，而11tan 2tan 2A r AD AD BDB r DB =⋅=， 所以，2AT AD TO DB =，因此 DT ∥2BO ，而 2BO MN ⊥，所以DT MN ⊥，且,,E D T 共线.即,,E D T 所共直线为PEN ∆的一条高线；同理可得，,,N K S 共线，且其所共直线也构成PEN ∆的一条高线，因此ED 与NK 的交点H 为PEN ∆的垂心，故在另一条高线PAQ 上，因此结论得证.例5、如图， ABC ∆中，AB AC =，AB AC ⊥，,E F 是BC 上的点，且045EAF ∠=；AEF ∆的外接圆分别交,AB AC 于,M N ．求证：BM CN MN +=．证：如右图，设,,,,BM x CN y BE b CF c EF a =====，则AB AC ===，将ABE ∆绕A 反时针旋转090至ACP ∆， 则090PCF PCA ACF ∠=∠+∠=，所以PCF ∆为直角三角形； 又显然045PAF EAF ∠==∠，所以PAF EAF ∆∆≌， 故由222PF PC FC =+，得222a b c =+ 记圆的半径为r ，则直径2MN r =，a EF ==，由圆幂定理，BM BA BE BF ⋅=⋅，CN CA CF CE ⋅=⋅，即()x b a b =+，()y c a c =+；所以222[()][()]2x y b c a b c a a b c r a b c a b c+=+++=++==++++，即BM CN MN +=．例6、过ABC ∆的外心O 任作一直线，分别交边,AB AC 于,M N ，F E ,分别是,BN CM 的中点.证明：EOF A ∠=∠.证：我们证明以上结论对任何三角形都成立．分三种情况考虑，对于直角三角形ABC ，结论是显然的，事实上，如图一中左图，若ABC ∠为直角，则外心O 是斜边AC 的中点，过O 的直线交,AB AC 于,M N ，则,O N 共点，由于F 是CM 的中点，故中位线OF ∥AM ，所以EOF OBA OAB A ∠=∠=∠=∠；P以下考虑ABC ∆为锐角三角形或钝角三角形的情况，（如图一中右边两图所示） （图一）先证引理：如右图，过O 的直径KL 上的两点,A B 分别作弦,CD EF ，连,CE DF ，分别交,K L 于,M N ，若OA OB =，则MA NB =. 引理证明：设CDEF P =，直线,CE DF 分别截PAB ∆，据梅涅劳斯定理，1AC PE BM CP EB MA ⋅⋅=，1BF PD ANFP DA NB ⋅⋅=； 则MA AC AD PE PF BM NB BE BF PC PD AN⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅ … ① 而由相交弦，得PC PD PE PF ⋅=⋅ … ② 若O 的半径为R ，OA OB a ==，则22AC AD AK AL R a BK BL BE BF ⋅=⋅=-=⋅=⋅ …③，据①②③得，MA MB NB NA =，即1MA MA AB ABNB NB AB AB+===+.因此MA NB =.引理得证.回到本题，如下图（两图都适用），延长MN 得直径1KK ，在直径上取点1M ，使1OM OM =，设11CM O A =，连1A B 交1KK 于1N ，由引理，11MN M N =，（右图中则是11M N MN =）因此，O 是1NN 的中点，故,OE OF 分别是1NBN ∆及1MCM ∆的中位线，于是得1EOF BA C A ∠=∠=∠.11F E M (N)C B AO例7、锐角三角形ABC 的三边互不相等，其垂心为H ，D 是BC 的中点，直线, BHAC E CHAB F ==，AH BC T =，BDE 交CDF 于G ，直线AG 与, BDE CDF 分别交于,M N ．证明：()1、AH 平分MTN ∠；()2、, , ME NF AH 三线共点．证：如图，连,,,DE DF MB NC ，因BCEF 共圆，D 为圆心，则DE DF DB DC ===， 连,,GD GE GF ，由BDEG 共圆，得DGE DBE TAC ∠=∠=∠；又由CDFG 共圆，得DGF DCF TAB ∠=∠=∠，相加得，EGF EAF ∠=∠，故EGAF 共圆，又因EAFH 共圆，即有AGEHF 五点共圆，所以HGE HAE TAC DGE ∠=∠=∠=∠，即,,D H G 共线；五点圆AGEHF 的直径为AH ，设圆心为P （P 为AH 的中点），由090AGH AEH ∠=∠=，即DG MN ⊥，故MD 为BDE 的直径，从而MB BC ⊥，进而由090DGN ∠=，知DN 为CDF 的直径，所以NC BC ⊥，MB ∥AT ∥NC ，因直径MD 过BDE 的中点D ，故MD 垂直且平分弦BE ；同理，CDF 的直径DN CF ⊥，又由, BE AC CF AB ⊥⊥，所以 MD ∥AC ，ND ∥AB ，则 Rt ABT ∆∽Rt NCD ∆，则 BT AT DC NC=……○1； 由MD ∥AC ，得 Rt MDB ∆∽Rt ACT ∆， BD MBTC AT=……○2． ○1、○2相乘，并注意 BD CD =， 有BT MBTC NC=，所以 MBT ∆∽NCT ∆， 由此，TN TC ANTM TB AM==，故AT 平分MTN ∠. 为证 , , ME NF AH 三线共点，只要证 , ME NF 皆过点P ，据五点圆AGEHF 的圆心角22HPE HAE HBC EDC BME ∠=∠=∠=∠=∠，所以PE ∥ME ，因此,,M P E 共线；同理可得，,,N P F 共线，因此, , ME NF AH 三线共点．例8、锐角三角形ABC 中，, , BC a AC b AB c ===，在边,,BC CA AB 上分别有动点,,D E F ，试确定，当222DE EF FD ++取得最小值时DEF ∆的面积．解：对于任一个内接DEF ∆，暂将EF 固定，而让D 在BC 上移动，设EF 的中点为M ，则由中线长公式，222222EF DE DF DM +=+⋅，因此在EF 固定后，欲使222DE EF FD ++取得最小值，当使DM 达最小，但是M 为EF 上的定点，则当DM BC ⊥时，DM 达最小，再对,E F 作同样的讨论，可知，当222DE EF FD ++取得最小值时，DEF ∆的三条中线必定垂直于三角形ABC 的相应边；今设DEF ∆重心为G ，面积为0S ，ABC ∆的面积为S ，则3GDE GEF GFD S S S S ∆∆∆===……○1 由于,,GDCE GEAF GFBD 分别共圆，则, , DGE C EGF A FGD B πππ∠=-∠=-∠=-，故由○1，sin sin sin GD GE C GE GF A GF GD B ⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅，同除以2S ，得GD GE GE GF GD GFa b b c a c⋅⋅⋅==⋅⋅⋅，所以 GD GE GFa b cλ===， … ②，又由 2GD a GE b GF c S ⋅+⋅+⋅=，即()2222a b c S λ++=，所以2222Sa b cλ=++，因而 220113sin 3sin 322S GD GE C ab C S λλ=⋅⋅=⋅=()3222212S a b c =++． （其中2a b c S p ++==） 例9、如图，△PAB 中，,E F 分别是边,PA PB 上的点，在,AP BP 的延长线上分别取点,C D ，使 , PC AE PD BF ==；点,M N 分别是△PCD ，△PEF 的垂心.证明：MN AB ⊥.证：如图，设线段,,DE CF PF 的中点分别为,,G H K ，则K也是BD 的中点，据中位线知，在△BDE 中，KG ∥BE ，12KG BE =； 在△PCF 中，KH ∥PC ，12KH PC =，即 KH ∥AE ，12KH AE =，所以△KHG △EAB ， 且HG ∥AB ，12HG AB =.为证MN AB ⊥，只要证MN HG ⊥.以G 为圆心，DE 为直径作G ，其半径记为R ；以H 为圆心，CF 为直径作H ，其半径记为r ，设直线AC 交MD 于Q ，MC 交BD 于W ，由于点M 是△PCD 的垂心， 则MD PQ ⊥，MC PD ⊥，所以DWCQ 共圆，故有MQ MD MC MW ⋅=⋅ … … ①另一方面，由于90, 90,EQD FWC ︒︒∠=∠=可知，Q 在G 上，W 在H 上，从而2222, MQ MD MG R MC MW MH r ⋅=-⋅=-，因此○1化为2222MG R MH r -=-，即 2222MG MH R r -=- … …②又设直线NF 交AC 于S ，NE 交BD 于T ，由于点N 是△PEF 的垂心，，则NS PE ⊥， NE PF ⊥，所以ETFS 共圆，故有 NT NE NF NS ⋅=⋅ … … ③ 再由 90, 90,DTE CSF ︒︒∠=∠=可知，T 在G 上，S 在H 上，从而2222, NT NE NG R NF NS NH r ⋅=-⋅=-，因此③化为2222NG R NH r -=-，即 2222NG NH R r -=- … ④ 据②、④得，2222MG MH NG NH -=-， 故 MN GH ⊥，而HG ∥AB ，所以MN AB ⊥.例10、在ABC ∆中，3a c b +=,内心为I ，内切圆在,AB BC 边上的切点分别为,D E , 设K 是D 关于点I 的对称点，L 是E 关于点I 的对称点.求证：,,,A C K L 四点共圆.证：设直线BI 交ABC ∆的外接圆于点P ，易知P 是AC 的中点，记AC 的中点为M ，则PM AC ⊥．设点P 在直线DI 上的射影为N ， 由于3,a c b +=则半周长22a b cp b ++==， 于是2BD BE p b b AC CM ==-===， 又0,90ABP ACP BDI CMP ∠=∠∠=∠=所以DBI ∆∽MCP ∆，且相似比为2，熟知；PI PC PA ==。
三角形的五心(教学课件2019)
重心:三角形三条中线的交点.△ABC 的重心一般用字 母 G 表示，它有如下的性质：
(1)顶点与重心 G 的连线(中线)必平分对边.中线 长的计算.
(2)重心定理：三角形重心与顶点的距离等于它与 对边中点的距离的 2 倍.
(3) SBGC
SCGA
SAGB
1 3
SABC
.
思考练习 1:已知 G 是△ABC 的重心，过 A、G 的圆
黄 唐 咸得其宜 群辈守关 大司马 大将军 承祖宗之祀 千载之废 阴为刑 伏自惟念 因曰 臣闻国家之兴 许伯请之 徒乐枕经籍书 况今日日益侵 竦居贫 精锐销耎 归故郡 以降符伯董忠为大司马 楚来救 上成山林 宋平公母共姬之御者见而收之 怀辑死士久矣 衍夫赏为掖庭户卫 卤马 牛
羊七万馀 莽曰厌狄亭 以为君子得时则大行 急捕殄盗贼 将闾为齐王 以义立之 周封之 而廷尉乃当之罚金 释之曰 法者 控弦之士三十馀万 乃下诏 所谓命也 兄也 何者 吾而不言 北边幸无事 日有食之 孝王怒 梁上书言景帝 乱名伤制 赞曰 自郅都以下皆以酷烈为声 使匈奴副校尉 其议
三角形的五心
重心
引入
外心
内心
垂心
与三角形的心有关问题举例
三角形的五心
三角形的外心、重心、垂心、内心及旁心,统称为三角形的五心.
关于三角形的五心,主要掌握三个方面的问题: 一.这五心是怎么来的?你能证明下面几个结论吗?
练习 1.证明:三角形的三条中线交于一点. 练习 2.证明:三角形的三条角平分线交于一点. 练习 3.证明:锐角三角形的三条高交于一点.
然犹三而当一 董仲舒以为周景王老 卫尉私使宽饶出 而助最先进 高皇帝为汉太祖 定九州 不亦难乎 条侯周亚夫下狱死 遂从刘康公伐秦 或治申 商 韩非 苏秦 张仪之言 罢逡归郎官 通往就狱 若陛下出令有谬於时者 德薄明晻 景帝立 梁国之富 有司验脽上非旧臧处 神之揄 更行货布
三角形的“五心”性质归纳总结(一)
三角形的“五心”性质归纳总结（一）引言概述:三角形作为初中数学中的基础概念之一，具有许多重要性质。
其中，与三角形内部有关的“五心”性质是三角形研究中的一个重点。
本文将对三角形的“五心”性质进行归纳总结。
首先，我们将介绍三角形的五个“心”，分别是内心、外心、重心、垂心和旁心。
随后，我们将逐一探讨每个“心”所对应的性质，包括位置关系、特殊性质和应用等方面。
正文内容:大点一：内心小点一：内心的定义和性质小点二：内心的位置关系小点三：内心到三角形三边的距离关系小点四：内心角的性质小点五：内心在三角形的应用大点二：外心小点一：外心的定义和性质小点二：外心的位置关系小点三：外心到三角形三顶点的距离关系小点四：外接圆的性质小点五：外心在三角形的应用大点三：重心小点一：重心的定义和性质小点二：重心的位置关系小点三：重心与中线的关系小点四：重心的性质与应用小点五：重心在三角形的应用大点四：垂心小点一：垂心的定义和性质小点二：垂心的位置关系小点三：垂心与高线的关系小点四：垂心和垂线的性质小点五：垂心在三角形的应用大点五：旁心小点一：旁心的定义和性质小点二：旁心的位置关系小点三：旁心到三角形三边的距离关系小点四：旁心的性质与特点小点五：旁心在三角形的应用总结:通过对三角形的“五心”性质的归纳总结，我们可以明确各个“心”的定义、位置关系和重要性质。
内心、外心、重心、垂心和旁心在三角形研究和问题解决中起着重要的作用。
它们的位置关系和特点是我们解决三角形问题的重要依据，同时也可以应用于其他数学领域。
在实际应用中，我们可以根据具体情况运用这些性质，解决与三角形相关的问题。
继续深入研究和应用三角形的“五心”性质，将有助于我们更好地理解和掌握三角形的性质和应用。
全国高中数学联赛辅导课件三角形的五心共16页
23、一切节省，归根到底都归结为时间的节省。——马克思 24、意志命运往往背道而驰，决心到最后会全部推倒。——莎士比亚
25、学习是劳动，是充满思想的劳动。——乌申斯基
1、不要轻言放弃，否则对不起自己。
2、要冒一次险!整个生命就是一场冒险。走得最远的人，常是愿意 去做，并愿意去冒险的人。“稳妥”之船，从未能从岸边走远。-戴尔．卡耐基。
梦 境
3、人生就像一杯没有加糖的咖啡，喝起来是苦涩的，回味起来却有 久久不会退去的余香。
全国高中数学联赛辅导课件三角形的五心 4、守业的最好办法就是不断的发展。 5、当爱不能完美，我宁愿选择无悔，不管来生多么美丽，我不愿失 去今生对你的记忆，我不求天长地久的美景，我只要生生世世的轮 回里有你。
数学竞赛辅导(三角形的五心)
Exercise ten
横坐标：(X1+X2+X3)/3 纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3 竖坐标：(Z1+Z2+Z3)/3
A
F
E
G
B
D
C
五、旁心的性质
A
BD
C
F
E
Ia
三角形的一条内角平分线与另两个外角平分线交于一点,称为三角形的旁心(旁切圆圆心)
三角形的三个旁心与内心构成一垂心组，反过来，一个三角形的顶点与垂心是高的垂足三角形的 旁心与内心。
倍。
等价于证明
三、内心的性质
三角形的三条内角平分线交于一点,这点称为三角形的内心 三角形的内心到三边的距离相等,都等于三角形内切圆半径 设三角形面积为S， 设I为ΔABC的内心，则∠BIC = 90 °+∠A/2,类似地还有两式。
A
M
F
E
K I
B
DH
C
四、重心的性质
三角形的三条中线交于一点,这点称为三角形的重心 三角形的重心到边的中点与到相应顶点的距离之比为 1∶ 2 空间直角坐标系：
数学竞赛辅导 三角形的五心
Preview one
一、外心的性质
A
O
B
C
Example one
二、垂心的性质
斜三角形的三个顶点与垂心这四个点中，任何三个为顶点的三角形的垂心 就是第四个点．所以把这样的四个点称为一个“垂心组”．
锐角三角形的垂心是以三个垂足为顶点的三角形的内心。 锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的2
六、三角形的五心的综合性质
（1）三角形的垂心与三顶点这四点中，任一点是其余三点所构成的三角形的垂心； （2）三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心； （3）三角形的外心是它的中点三角形的垂心； （4）三角形的重心也是它的中点三角形的重心； （5）三角形的中点三角形的外心也是其垂足三角形的外心． （6）鸡爪定理 （7）鸭爪定理
三角形的五心定理
三角形的五心定理三角形五心定理三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的五心。
三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，内心定理，旁心定理的总称。
一、三角形重心定理三角形的三条边的中线交于一点。
该点叫做三角形的重心。
三中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单。
（重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名）重心的性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1。
2、重心和三角形任意两个顶点组成的3个三角形面积相等。
即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。
3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其重心坐标为（(X1+X2+X3)/3，（Y1+Y2+Y3)/3。
5. 以重心为起点，以三角形三定点为终点的三条向量之和等于零向量。
二、三角形外心定理三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。
外心的性质：1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形外心。
2、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）。
3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。
4、计算外心的坐标应先计算下列临时变量：d1，d2，d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。
c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。
外心坐标：( (c2+c3)/2c，(c1+c3)/2c，(c1+c2)/2c )。
5、外心到三顶点的距离相等三、三角形垂心定理三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。
垂心的性质：1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。
2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OG︰GH=1︰2。
三角形五心定理
三角形五心定理（三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的五心）三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，内心定理，旁心定理的总称。
一、三角形重心定理三角形的三条边的中线交于一点。
该点叫做三角形的重心。
三中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单。
（重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名）重心的性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2∶1。
2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。
3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其重心坐标为（(X1+X2+X3)/3，（Y1+Y2+Y3)/3 ）。
二、三角形外心定理三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。
外心的性质：1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形外心。
2、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A （∠A为钝角）。
3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。
4、计算外心的坐标应先计算下列临时变量：d1，d2，d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。
c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。
重心坐标：( (c2+c3)/2c，(c1+c3)/2c，(c1+c2)/2c )。
5、外心到三顶点的距离相等三、三角形垂心定理三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。
垂心的性质：1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。
2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OG∶GH=1∶2。
（此直线称为三角形的欧拉线（Euler line））3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。
全国高中数学联赛辅导课件三角形的五心
1 1 2 1 2
∠ O2 O1 K=
1 2
( ∠ O2 O1S+ ∠ SO1K)
= (∠O2O1S+∠PO1O2 ) = ∠PO1S=∠A. 同理有∠O1O2O3 =∠
2
B.故△O1O2O3∽△ABC.
7
内心: 三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，即内切圆 圆心.△ABC 的内心一般用字母 I 表示，它具有如下性质： (1)内心到三角形三边等距，且顶点与内心的连线平分顶角. (2)∠A 的平分线和△ABC 的外接圆相交于点 D， D 与顶点 B、 则 C、 内心 I 等距(即 D 为△BCI 的外心). (3)∠BIC=90º+ ∠A，∠CIA=90º + ∠B，∠AIB=90º+ ∠C.
5
3答案
思考练习 3. AB 为半圆 O 的直径， 其弦 AF、 相交于 Q， BE 过 E、F 分别作半圆的切线得交点 P，求证：PQ⊥AB. 分析：延长 EP 到 K，使 PK=PE，连 KF、AE、EF、BF， 直线 PQ 交 AB 于 H.因∠EQF=∠AQB =( 9 0 －∠1)+( 9 0 +∠2) =∠ABF+∠BAE=∠QFP+∠QEP， 又由 PK=PE=PF 知∠K=∠PFK， ∴∠EQF+∠K=∠QFK+∠QEK= 1 8 0 ， 从而 E、Q、F、K 四点共圆. 由 PK=PF=PE 知，P 为△EFK 的外心，显然 PQ=PE=PF.于 是∠1+∠AQH=∠1+PQF=∠1+∠PFQ=∠1+∠AFP=∠1+∠ ABF=90º .由此知 QH⊥AH，即 PQ⊥AB.
(完整word版)高中数学竞赛平面几何讲座第5讲三角形五心
第五讲 三角形的五心三角形的外心、重心、垂心、心里及旁心，统称为三角形的五心.一、外心 .三角形外接圆的圆心，简称外心 . 与外心关系亲密的有圆心角定理和圆周角定理 .例 1．过等腰△ ABC 底边 BC 上一点 P 引 PM ∥ CA 交 AB 于 M ；引 PN ∥BA 交AC 于 N. 作点 P 对于 MN 的对称点 P ′. 试证： P ′点在△ ABC 外接圆上 .( 杭州大学《中学数学比赛习题》 )P ' A 剖析：由已知可得 MP ′=MP=MB ， NP ′ =NP=NC ，故点 M 是△ P ′BP 的外心，点NN 是△ P ′PC 的外心 . 有M∠ BP ′P=1∠ BMP= 1∠ BAC ， BCP2 2∠ PP ′C= 1∠ PNC= 1∠BAC.22∴∠ BP ′ C=∠ BP ′ P+∠P ′PC=∠BAC.进而， P ′点与 A ，B ，C 共圆、即 P ′在△ ABC 外接圆上 . 因为 P ′P 均分∠ BP ′C ，明显还有 P ′B: P ′C=BP: PC.例 2．在△ ABC 的边 AB ，BC ，CA 上分别取点 P ，Q ，S. 证明以△ APS ，△BQP ，△ CSQ 的外心为极点的三角形与△ ABC 相像 .(B ·波拉索洛夫《中学数学奥林匹克》 )A剖析：设 O 1， O 2， O 3是△ ，△ ，APS BQP△CSQ 的外心，作出六边形O 1O 1PO 2QO 3S 后再由外P.. .. S K心性质可知 BO 2O 3 ∠ PO 1 ∠ ，QCS=2 A∠ QO 2 P=2∠B ，∠ SO 3 Q=2∠C.∴∠ PO 1S+∠ QO 2P+∠ SO 3Q=360° . 进而又知∠ O 1PO 2+ ∠O 2QO 3+∠O 3SO 1=360°将△ O 2QO 3 绕着 O 3 点旋转到△ KSO 3，易判断△ KSO 1≌△ O 2PO 1，同时可得△ O 1O 2O 3≌△ O 1KO 3. ∴∠ O 2O 1O 3=∠KO 1O 3= 1∠O 2O 1K12=( ∠O 2 1 ∠ 12O S+ SO K)=1 ( ∠O2 1 ∠ 1 22O S+ PO O )=1 ∠ PO 1 ∠ ；S= A2同理有∠ O 1 O 2O 3=∠ B.故△ O 1O 2O 3∽△ ABC.第1 页 共 8 页二、重心三角形三条中线的交点，叫做三角形的重心 . 掌握重心将每条中线都分红定比 2:1 及中线长度公式，便于解题 .例 3．AD ，BE ，CF 是△ ABC 的三条中线， P 是随意一点 . 证明：在△ PAD ，△PBE ，△ PCF 中，此中一个面积等于此外两个面积的和 . ( 第 26 届莫斯科数学奥林匹克 )剖析：设 G 为△ ABC 重心，直线 PG 与 ABA'，BC 订交 . 从 A ， C ， D ，E ，F 分别F'AE作该直线的垂线，垂足为 A ′， C ′， F GE 'D ′，E ′，F ′.BD D 'CC '易证 AA ′=2DD ′， CC ′=2FF ′， 2EE ′=AA ′ +CC ′P ， ∴ EE ′=DD ′+FF ′. 有 S △PGE =S △ PGD +S △ PGF .两边各扩大 3 倍，有 S △ PBE =S △PAD +S △ PCF .例 4．假如三角形三边的平方成等差数列，那么该三角形和由它的三条中线围成的新三角形相像 . 其逆亦真 .剖析：将△ ABC 简记为△，由三中线 AD ，BE ， CF 围成的三角形简记为△′ . G为重心，连 DE 到 H ，使 EH=DE ，连 HC ，HF ，则△′就是△ HCF.(1) a 2， b 2，c 2成等差数列 △∽△′ .若△ ABC 为正三角形，易证△∽△′ . 不如设 a ≥b ≥c ，有CF= 12a 2 2b 2 c 2 ，2BE= 12c 2 2a 2 b 2 ， 2AD= 12b 2 2c 2 a 2 . 2将 a 2+c 2=2b 2，分别代入以上三式，得CF=3a ，BE=3 b ，AD= 3c .2 22∴ CF: BE: AD =3a :3b : 3 c2 22= a: b: c.故有△∽△′ .(2)△∽△′ a 2，b 2，c 2 成等差数列 . 当△中 a ≥b ≥c 时， △′中 CF ≥BE ≥AD.∵△∽△′，∴S'＝( CF ) 2.S a第 2 页 共 8 页据“三角形的三条中线围成的新三角形面积等于原三角形面积的3 ”，有4S ' = 3 .S4∴ CF 2 =3 22 2 2 - c 2a2 3a=4CF =2a +b4a 2+c 2=2b 2.三、垂心三角形三条高的开战， 称为三角形的垂心 . 由三角形的垂心造成的四个等 ( 外接 ) 圆三角形，给我们解题供给了极大的便利 .例 5．设 A 1A 2A 3A 4 为⊙O 内接四边形， H 1，H 2，H 3， H 4 挨次为△ A 2A 3A 4，△ A 3A 4A 1 ，△ A 4A 1A 2，△ A 1A 2A 3 的垂心 . 求证： H 1 ，H 2，H 3，H 4 四点共圆，并确立出该圆的圆心地点 .(1992 ，全国高中联赛 ) A 2A 1剖析：连结 A 2H 1，A 1H 2，H 1H 2，记圆半径为 R. 由△ A 23 4 知A AH 1. H 2A 2 H 1 =2R A 2O1 ∠ 32 4；A 4sin A 2 A 3 H 1H =2Rcos A A A A 3由△ A 1A 3A 4 得A 1H 2=2Rcos ∠A 3A 1A 4.但∠ A 3A 2A 4=∠ A 3 A 1A 4，故 A 2H 1=A 1H 2. 易证 A 2H 1∥A 1A 2，于是， A 2H 1 ∥A 1H 2，=故得 H 1H 2 ∥=A 2A 1. 设 H 1A 1 与 H 2A 2 的交点为 M ，故 H 1H 2 与 A 1A 2 对于 M 点成中心对称 .同理，H 2H 3 与 A 2A 3，H 3H 4 与 A 3A 4，H 4H 1 与 A 4A 1 都对于 M 点成中心对称 . 故四边形 H 1H 2H 3H 4 与四边形 A 1A 2A 3A 4 对于 M 点成中心对称，二者是全等四边形， H 1，H 2，H 3，H 4 在同一个圆上 . 后者的圆心设为 Q ，Q 与 O 也对于 M 成中心对称 . 由 O ， M 两点， Q 点就不难确立了 .例 6．H 为△ ABC 的垂心， D ，E ，F 分别是 BC ，CA ，AB 的中心 . 一个以 H 为圆心的⊙ H 交直线 EF ， FD ， DE 于 A 1，A 2， B 1，B 2， C 1，C 2.求证： AA =AA =BB =BB =CC =CC .(19891 2 1212，加拿大数学奥林匹克训练题 )AC 1B 2剖析：只须证明 AA 111 即可设=BB =CC.A 1FH 2MEA 2BC=a ， CA=b ，AB=c ，△ ABC 外H接圆半径为 R ，⊙ H 的半径为 r .BC连 HA 1，AH 交 EF 于 M. H 1D A 2 21 2=AM 2 2- MH 2 C 2BA 1 =AM +A M +r1=r 2+(AM 2- MH 2)，①又 AM 2- HM 2=( 1AH 1)2-( AH- 1AH 1)222第3 页 共 8 页=AH ·AH 1- AH 2=AH 2·AB- AH 2=cosA ·bc- AH 2，②而 AH=2R AH 2=4R 2cos 2A, sin ABHa=2R a 2=4R 2sin 2A.sin A∴AH 2+a 2 =4R 2，AH 2=4R 2- a 2. ③由①、②、③有22 b2c 2 a 2 2 2A A 1 =r +2bc·bc-(4 R - a )= 1( a 2+b 2+c 2)-4 R 2+r 2. 2 21同理， BB 1 = ( a 2+b 2+c 2)-4 R 2+r 2，2122222CC 1 = ( a +b +c )-4 R +r .故有 AA 1=BB 1=CC 1.四、心里三角形内切圆的圆心，简称为心里 . 对于心里，要掌握张角公式，还要记着下边一个极为实用的等量关系：设 I 为△ ABC 的心里，射线 AI 交△ ABC 外接圆于 A ′，则有 A ′I=A ′B=A ′ C. 换言之，点 A ′必是△ IBC 以外心 ( 心里的等量关系之逆相同实用 ).例 7．ABCD 为圆内接凸四边形，取 D△DAB ，△ ABC ，△ BCD ，O 4 O 3C△CDA 的心里 O 1， O 2， O 3 ，O . 求证： O OO O 4 为矩形 .41 23O 2(1986 ，中国数学奥林匹克集训题 O 1)B证明见《中等数学》 1992；4 A例 8．已知⊙ O 内接△ ABC ，⊙ Q 切 AB ，AC 于 E ，F 且与⊙ O 内切 . 试证： EF中点 P 是△ ABC 之心里 .( B ·波拉索洛夫《中学数学奥林匹克》 )剖析：在第 20 届 IMO 中，美国供给的一道题其实是例 8 的一种特例，但它增添了条件 AB=AC. 当 AB ≠AC ，如何证明呢？如图，明显 EF 中点 P 、圆心 Q ， BC 中点 K 都在∠ BAC 均分线上 . 易知r AQ=.sinMA∵ QK · AQ=MQ ·QN ，RααEMQ QNrP ∴ QK=OAQQFBC =(2R r ) r =sin (2R r ) .NKr / sin由 Rt △EPQ 知 PQ=sin r .第 4 页共 8 页∴ PK=PQ+QK=sin r +sin(2R r ) =sin 2R .∴ PK=BK.利用心里等量关系之逆定理，即知P 是△ ABC 这心里 .五、旁心三角形的一条内角均分线与另两个内角的外角均分线订交于一点，是旁切圆的圆心，称为旁心 . 旁心经常与心里联系在一同，旁心还与三角形的半周长关系亲密 .例 9．在直角三角形中，求证： r+r a +r b +r c =2p.式中 r ，r a ，r b ， r c 分别表示内切圆半径及与 a ，b ，c 相切的旁切圆半径， p 表示半周 .(杭州大学《中学数学比赛习题》 ) 剖析：设 Rt △ABC 中， c 为斜边，先来证明一个特征：p( p- c)=( p- a)( p- b).∵ p( p- c)= 1 ( a+b+c) · 1( a+b- c)r cK2 2O 3A =1[( a+b) 2- c 2]O 24O r b=1ab ；r E BC2r a( p- a)( p- b)= 1(- a+b+c) · 1( a- b+c)O 122=1[ c 2-( a- b)2]= 1ab.42∴ p( p- c)=( p- a)( p- b). ①察看图形，可得 r a =AF- AC=p- b ， r b =BG- BC=p- a ，r c =CK=p.而 r= 1( a+b- c)2 = p- c. ∴ r+r a +r b +r c=( p- c)+( p- b)+( p- a)+ p =4 p-( a+b+c)=2 p. 由①及图形易证 .例 10． M 是△ ABC 边 AB 上的随意一点 . r 1，r 2， r 分别是△ AMC ，△ BMC ，△ABC 内切圆的半径， q 1， q 2，q 分别是上述三角形在∠ ACB 内部的旁切圆r 1r 2r半径 . 证明：· = .( IMO -12)剖析：对随意△ A ′ B ′ C ′，由正弦定理可知第5 页 共 8 页A'OD=OA ′· sinC '2B'Osin· sinA'A ' ..E D . B' = A ′B ′·2 sin A'O'B' 2sinA' sin B'O '= A ′B ′· 22 ，sin A' B' 2cos A' B'′′ ′· cos2 2 .O E= A B A' B'sin∴ OD tg A' tg B'. 2O'E 2 2 亦即有r 1 · r 2 =tg Atg CMA tgCNB tg B q 1 q 2 2222=tg A tg B = r.2 2 q六、众心共圆这有两种状况： (1) 同一点倒是不一样三角形的不一样的心； (2) 同一图形出现了同一三角形的几个心 .例 11．设在圆内接凸六边形 ABCDFE 中，AB=BC ，CD=DE ，EF=FA. 试证：(1) AD ， BE ，CF 三条对角线交于一点；(2) AB+BC+CD+DE+EF+FA ≥AK+BE+CF . (1991 ，国家教委数学试验班招生试题 )剖析：连结 AC ，CE ，EA ，由已知可证 AD ，CF ，EB 是△ ACE 的三条内角均分线， I 为△ ACE 的心里 . 进而有 ID=CD=DE ， IF=EF=FA ，IB=AB=BC. 再由△ BDF ，易证 BP ，DQ ，FS 是它的三条高，I 是它的垂心，利用 不等式有：.. ErdosABI+DI+FI ≥ 2· ( IP+IQ+IS).不难证明 IE=2IP ，IA=2IQ ，IC=2IS.FBQ∴ BI+DI +FI ≥IA+IE+IC.∴ AB+BC+CD+DE+EF+FA =2( BI+DI+FI)≥ ( IA+IE+IC)+( BI+DI+FI)S CI P ED = AD+BE+CF.I 就是一点两心 .例 12．△ ABC 的外心为 O ，AB=AC ，D 是 AB 中点， E 是△ ACD 的重心 . 证明第6 页 共 8 页OE 丄 CD.(加拿大数学奥林匹克训练题 )剖析：设 AM 为高亦为中线，取 AC 中点F ，E 必在 DF 上且 DE: EF=2:1. 设 CD 交 AM 于G ，G 必为△ ABC 重心 . 连 GE ，MF ，MF 交 DC 于 K. 易证：ADEFGOKDG: GK= 1 DC:( 11) DC=2:1.3 2 3∴ DG: GK=DE: EF GE ∥MF . ∵ OD 丄 AB ，MF ∥ AB ，∴ OD 丄 MF OD 丄 GE. 但 OG 易证 OE 丄 CD.BC丄 DE G 又是△ ODE 之垂心 . 例 13．△ ABC 中∠ C=30°， O 是外心， I 是心里，边 AC 上的 D 点与边 BC 上的E 点使得 AD=BE=AB. 求证： OI 丄 DE ，OI=DE. (1988 ，中国数学奥林匹克集训题 ) 剖析：协助线如下图，作∠ DAO 均分线交 BC 于 K.易证△ AID ≌△ AIB ≌△ EIB ，∠AID =∠ AIB=∠ EIB.ADC利用心里张角公式，有30 °∠ AIB=90°+ 1∠C=105°，2O KIFEB∴∠ DIE=360°-105 °× 3=45°.12=30°+ 1 ( ∠BAC- ∠BAO)2=30°+ 1( ∠BAC-60 ° ) 1 2= ∠BAC=∠ BAI=∠BEI .2∴ AK ∥ IE.由等腰△ AOD 可知 DO 丄 AK ，∴ DO 丄 IE ，即 DF 是△ DIE 的一条高 . 同理 EO 是△ DIE 之垂心， OI 丄 DE. 由∠ DIE=∠IDO ，易知 OI=DE.例 14．锐角△ ABC 中， O ，G ， H 分别是外心、重心、垂心和为 d 外，重心到三边距A离和为 d 重 ，垂心到三边距离和为 d 垂 . 求证： 1·d 垂 +2·d 外 =3· d 重. H 3G 3剖析：这里用三角法 . 设△ ABC 外接圆O 3O G半径为 1，三个内角记为 A ， B ， IC. 易知 d 外 =OO 1+OO 2+OO 3BO 1 G 1 H 1. 设外心到三边距离O 2 G 2H 2C=cosA+cosB+cosC ，∴ 2d 外 =2( cosA+cosB+cosC).①第7 页 共 8 页∵ AH 1 =sinB ·AB=sinB · (2 sinC)=2sinB ·sinC ， 相同可得 BH 2·CH 3.∴ 3d 重 =△ ABC 三条高的和=2 ·( sinB ·sinC+sinC ·sinA+sinA · sinB) ②BH ∴ =2， sin BCH∴ HH 1 =cosC ·BH=2·cosB · cosC. 相同可得 HH 2，HH 3.∴ d 垂=HH 1+HH 2+HH 3=2( cosB · cosC+cosC ·cosA+cosA ·cosB) ③ 欲证结论，察看①、②、③，须 证 ( cosB · cosC+cosC · cosA+cosA · cosB)+( cosA+ cosB+ cosC)= sinB · sinC+sinC · sinA+sinA ·sinB. 即可 .练 习 题1. I 为△ ABC 之心里，射线 AI ， BI ，CI 交△ ABC 外接圆于 A ′， B ′， C ′. 则 AA ′+BB ′ +CC ′＞△ ABC 周长 .(1982 ，澳大利亚数学奥林匹克 )2. △T ′的三边分别等于△ T 的三条中线，且两个三角形有一组角相等 . 求证这两个三角形相像 .(1989 ，捷克数学奥林匹克 )3. I 为△ ABC 的心里 . 取△ IBC ，△ICA ，△ IAB 的外心 O 1，O 2，O 3. 求证：△ O 1O 2O 3与△ ABC 有公共的外心 .(1988 ，美国数学奥林匹克 )4. AD 为△ ABC 内角均分线 . 取△ ABC ，△ABD ，△ ADC 的外心 O ，O 1，O 2. 则△ OO 1 O 2 是等腰三角形 .5. △ABC 中∠ C ＜ 90°，从 AB 上 M 点作 CA ，CB 的垂线 MP ，MQ. H 是△ CPQ 的垂心 . 当 M 是 AB 上动点时，求 H 的轨迹 .( IMO-7)6. △ABC 的边 BC= 1( AB+AC) ，取 AB ， AC 中点 M ，N ， G 为重心， I 为心里 .2试证：过 A ，M ， N 三点的圆与直线 GI 相切 .( 第 27 届莫斯科数学奥林匹克 )7. 锐角△ ABC 的垂心对于三边的对称点分别是 H 1，H 2，H 3. 已知： H 1 ，H 2， H 3， 求作△ ABC.( 第 7 届莫斯科数学奥林匹克 )8. 已知△ ABC 的三个旁心为 I 1， I 2，I 3. 求证：△ I 1I 2I 3 是锐角三角形 .9. AB ，AC 切⊙ O 于 B ，C ，过 OA 与 BC 的交点 M 任作⊙ O 的弦 EF. 求证： (1)△AEF 与△ ABC 有公共的心里； (2) △ AEF 与△ ABC 有一个旁心重合 .第 8 页 共 8 页。
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第五讲三角形的五心三角形的外心、重心、垂心、内心及旁心，统称为三角形的五心、外心.三角形外接圆的圆心，简称外心. 与外心关系密切的有圆心角定理和圆周角定理.例1．过等腰△ ABC底边BC上一点P引PM∥CA交AB 于M；引PN∥BA交AC于N.作点P关于MN 的对称点P′.试证：P′点在△ ABC外接圆上.（杭州大学《中学数学竞赛习题》）分析：由已知可得MP′=MP=MB，NP′ =NP=NC，故点M 是△ P′BP 的外心，点N 是△ P′PC的外心. 有11∠BP′P= 1 2∠ BMP= 1∠BAC，22 11∠ PP′C= ∠ PNC= ∠BAC.22 ∴∠BP′C=∠BP′P+∠P′PC=∠BAC. 从而，P′点与A，B，C共圆、即P′在△ ABC外接圆上. 由于P′P平分∠ BP′C，显然还有P′B:P′C=BP:PC.例2．在△ABC的边AB，BC，CA上分别取点P，Q，S.证明以△ APS，△BQP，△CSQ的外心为顶点的三角形与△ ABC 相似.（ B ·波拉索洛夫《中学数学奥林匹克》）分析：设O1，O2，O3 是△APS，△BQP，△CSQ的外心，作出六边形O1PO2QO3S后再由外心性质可知∠PO1S=2∠A，∠QO2P=2∠B，QC∠SO3Q=2∠C.∴∠PO1S+∠QO2P+∠SO3Q=360°.从而又知∠ O1PO2+∠O2QO3+∠O3SO1=360° 将△ O2QO3绕着O3点旋转到△ KSO3，易判断△ KSO1≌△ O2PO1，同时可得△O1O2O3≌△ O1KO3.1∴∠ O2O1O3=∠KO1O3= ∠O2O1K21( ∠ O2O1S+∠ SO1K)2 1= ( ∠ O2O1S+∠ PO1O2)1= 1∠ PO1S=∠ A；2同理有∠ O1O2O3=∠B.故△O1O2O3∽△ ABC.、重心两边各扩大 3 倍，有 S △PBE =S △PAD +S △PCF .例 4 ．如果三角形三边的平方成等差数列，那么该三角形和由它的三条中线围成的新三角形相似 . 其逆亦真 .分析：将△ ABC 简记为△，由三中线 AD ，BE ，CF 围成的三角形简记为△′ .G 为重心，连 DE 到 H ，使 EH=DE ，连 HC ，HF ，则△′就是△HCF.(1) a 2， b 2，c 2 成等差数列 △∽△′ .若△ABC 为正三角形，易证△∽△′ 不妨设 a ≥b ≥c ，有 CF=1 2a 2 2b 2 c 2 ，2BE=1 2c 2 2a 2 b 2 ，2AD=1 2b 2 2c 2 a 2 .2将 a 2+c 2=2b 2，分别代入以上三式，得 CF= 23a ，BE= 23b ，AD= 23c .∴CF: BE: AD = 3 a : 3b : 3c222= a: b: c.故有△∽△′ .(2) △∽△′ a 2，b 2，c 2 成等差数列 . 当△中 a ≥b ≥c 时， △′中CF ≥BE ≥AD.∵△∽△′， ∴S '＝(CF )2.Sa三角形三条中线的交点，叫做三角形的重心 . 掌握重心将每 条中线都分成定比 2:1 及中线长度公式，便于解题 . 例 3 ．( 分AD ，BE ，CF 是△ABC 的三条中线， P 是任意一点.证明：在△ PAD ，△ PBE ，△ PCF 中，其中一个面积等于另外两个面积的和 . 第 26 届莫斯科数学奥林匹克 ) 设 G 为△ ABC 重心，直线 PG 与 AB ，BC 相交. 从 A ，C ，D ， 作该直线的垂线，垂足为 D ′，E ′，F ′.易证 AA ′=2DD ′， CC ′ ∴EE ′=DD ′+FF ′. 有 S △PGE =S △ PGD +S △PGF .E ，F 分别 A ′，C ′， B=2FF ′，2EE ′=AA ′D+CC CP ，A' E据“三角形的三条中线围成的新三角形面积等于原三角形面积的3” 4” ，有S ' =3S =4CF 三、垂心 a 2 3a 2=4CF 2=2a 2+b 2- c 2a 2+c 2=2b 2. 三角形三条高的交战， 称为三角形的垂心 . 由三角形的垂心造成的四个等 （外 接） 圆三角形，给我们解题提供了极大的便利 . 例 5．设 A 1A 2A 3A 4 为⊙O 内接四边形， H 1，H 2，H 3，H 4 依次为 △ A 2A 3A 4，△ A 3A 4A 1，△A 4A 1A 2，△ A 1A 2A 3 的垂心.求证：H 1，H 2，H 3， H 4 四点共圆，并确定出该圆的圆心位置 . （1992 ，全国高中联赛 ） 分析：连接 A 2H 1，A 1H 2，H 1H 2，记圆半径 为 R. 由△ A 2A 3A 4 知 A 2H 1 sin A 2 A 3H 1 =2R A 2H 1=2Rcos ∠A 3A 2A A 4；3A 1 A 2 O由△ A 1A 3A 4 得 A 1H 2=2Rcos ∠A 3A 1A 4. 但∠ A 3A 2A 4=∠A 3A 1A 4，故 A 2H 1=A 1H 2. 易证 A 2H 1∥ A 1A 2，于是， A 2H 1 ∥=A 1H 2，故得 H 1H 2 ∥= A 2A 1.设 H 1A 1与H 2=A 2的交点为 M ，故H 1H 2与A 1A 2关于 M 点 成中心对称=. 同理，H 2H 3与A 2A 3，H 3H 4与A 3A 4，H 4H 1与A 4A 1都关于 M 点成中心对称. 故四边形 H 1H 2H 3H 4 与四边形 A 1A 2A 3A 4 关于 M 点成中心对称，两者是全 等四边形，H 1，H 2，H 3，H 4在同一个圆上 .后者的圆心设为 Q ，Q 与 O也 关于 M 成中心对称 . 由 O ，M 两点，Q 点就不难确定了 . 例6．H 为△ ABC 的垂心， D ，E ，F 分别是 BC ，CA ，AB 的中心.一个以 H 为圆 心的⊙ H 交直线 EF ，FD ， DE 于 A 1，A 2，B 1，B 2，C 1，C 2. 求证： AA 1=AA 2=BB 1=BB 2=CC 1=CC 2. （1989 ，加拿大数学奥林匹克训练题 分析：只须证明 AA 1=BB 1=CC 1即可. 设 BC=a ， CA=b ，AB=c ，△ ABC 外 接圆半径为 R ，⊙H 的半径为 r. 连HA 1， AH 交 EF 于 M.A A 12=AM 2+A 1M 2=AM 2+r 2-MH 2=r 2+(AM 2-MH 2)，①又AM 2-HM 2=(12AH 1)2-(AH- 12AH 1)2AH ·AH 1-AH 2=AH 2·AB-AH 2 =cosA ·bc-AH 2，=2R a 2=4R 2sin 2A. sinA ∴AH 2+a 2=4R 2，AH 2=4R 2-a 2.由①、②、③有222A A 12=r 2+b c a ·bc-(4 R 2- a 2)2bc= 1 ( a 2+b 2+c 2)-4 R 2+r 2. 2 同理，BB 12 =1(a 2+b 2+c 2)-4 R 2+r2，12CC 12=1(a 2+b 2+c 2)-4 R 2+r 2. 2 故有 AA 1=BB 1=CC 1.四、内心三角形内切圆的圆心，简称为内心 . 对于内心，要掌握张角公式，还要记住 下面一个极为有用的等量关系：设I 为△ABC 的内心，射线AI 交△ABC 外接圆于A ′，则有A ′I=A ′B=A ′ C.换言之，点 A ′必是△ IBC 之外心(内心的等量关系之逆同样有用 ). 例 7． ABCD 为圆内接凸四边形，取△DAB ，△ABC ，△BCD ， △CDA 的内心 O 1， O 2， O 3， O 4. 求证： O 1O 2O 3O 4为矩形 .(1986 ，中国数学奥林匹克集训题 ) 证明见《中等数学》 1992；4例 8．已知⊙ O 内接△ ABC ，⊙Q 切 AB ，AC 于 E ，F 且与⊙O 内切. 试证：EF 中点 P 是△ABC 之内心 .(B ·波拉索洛夫《中学数学奥林匹克》 ) 分析：在第 20届IMO 中，美国提供的一道题实际上是例 8的一种特例，但它增加了条件 AB=AC. 当 AB ≠AC ，怎样证明呢？如图，显然 EF 中点 P 、圆心 Q ，BC 中点 K 都在∠ BAC 平分线上. 易知而 AH =2R sin ABH AH 2=4R 2cos 2A,C O OAQ=r sin∵QK·AQ=MQ·QN，QK= MQ QNAQ (2R r) r= =sinr/sin由Rt△ EPQ 知(2R r). r.∴PK=PQ+QK=sin r+sin (2R r) =sin 2R.∴PK=BK.利用内心等量关系之逆定理，即知 P 是△ ABC 这内心.五、旁心三角形的一条内角平分线与另两个内角的外角平分线相交于 一点，是旁切圆的圆心，称为旁心 . 旁心常常与内心联系在一起， 旁心还与三角形的半周长关系密切 .例 9．在直角三角形中，求证： r+r a +r b +r c =2p.式中 r ，r a ，r b ，r c 分别表示内切圆半径及与 a ，b ，c 相切的旁切圆半径， p 表示半周 .( 杭州大学《中学数学竞赛习题》 ) 分析：设 Rt △ABC 中，c 为斜边，先来证明一个特性：p( p- c)=( p- a)( p-b).11∵p( p- c)= ( a+b+c) · ( a+b- c)22= 1[( a+b)2-c 2]4 = 1ab ；2 11( p- a)( p-b)= (- a+b+c) · ( a- b+c) 22=1[c 2-( a- b)2]= 1ab.42 ∴p( p- c)=( p-a)( p-b). 观察图形，可得 r a =AF- AC=p- b ，r b =BG- BC=p- a ， r c =CK=p.1而 r= ( a+b- c)2 = p-c.∴ r+r a +r b +r c=( p- c)+( p- b)+( p- a)+ p=4p-( a+b+c)=2 p. 由①及图形易证 .例 10．M 是△ABC 边 AB 上的任意一点 .r 1，r 2，r 分别是△ AMC ，△BMC ，△ABC 内切圆的半径， q 1，q 2，q 分别是上述三角形在∠ ACB 内部的旁切圆r cKO 3 AO 2Or Er bBr a r CO 1r半径. 证明：r 1 r 2 r q 1 q 2 q( IMO-12) 分析：对任意△ A ′ B ′C ′，由正弦定理可知六、众心共圆这有两种情况： (1) 同一点却是不同三角形的不同的心； (2) 同一图形出现了 同一三角形的几个心 .例 11．设在圆内接凸六边形 ABCDFE 中，AB=BC ，CD=DE ，EF=FA. 试证：(1)AD ， BE ，CF 三条对角线交于一点；(2)AB+BC+CD+DE+EF+FA ≥AK+BE+CF.(1991 ，国家教委数学试验班招生试题 ) 分析：连接 AC ，CE ，EA ，由已知可证 AD ，CF ，EB 是△ACE 的三条内角平分 线，I 为△ACE 的内心.从而有 ID=CD=DE ，IF=EF=FA ， IB=AB=BC.再由△ BDF ，易证 BP ，DQ ，FS 是它的三条高，I 是它的垂心，利用 等式有： Erdo ..sBI+DI+FI ≥2·(IP+IQ+IS).不难证明 IE=2IP ，IA=2IQ ，IC=2IS. ∴ BI+DI +FI ≥IA +IE+IC. ∴AB+BC+CD+DE+EF+FA=2( BI+DI+FI)≥(IA+IE+IC)+( BI+DI+FI)= AD+BE+CF.I 就是一点两心 .例 12．△ ABC 的外心为 O ，AB=AC ，D 是 AB 中点， E 是△ACD 的重心.证明qr 2=tg 2A tg CMA tgC 2NBtgB q 2222 2r 1q 1A tg 2 tgBr 2q A' OD=OA ′·sin 2 C'= A ′ B= A ′ BB' sin2 sin A'O'B'sin A'O ′E= A ′ ∴OD∴ O'E亦即有A' B' sinsin22 A' B' sin 2B'B ′· tg A 2'tg A' B' cos cos22A' B' sin2 B'2OO 'FQCS IOE 丄 CD.（ 加拿大数学奥林匹克训练题 ） 分析：设 AM 为高亦为中线，取 AC 中点F ，E 必在 DF 上且 DE: EF=2:1. 设 ∵OD 丄 AB ，MF ∥ AB ，∴OD 丄MF OD 丄 GE.但 OG 丄 DE G 又是△ ODE 之垂心. 易证 OE 丄 CD.例13．△ABC 中∠C=30°，O 是外心，I 是内心，边 AC 上的D 点与边 BC 上的E 点使得 AD=BE=AB. 求证： OI 丄 DE ，OI=DE.（1988 ，中国数学奥林匹克集训题 ） 分析：辅助线如图所示，作∠ DAO 平分线交 BC 于 K.易证△ AID ≌△ AIB ≌△ EIB ， ∠AID=∠AIB=∠EIB. 利用内心张角公式，有1∠ AIB=90°+ ∠C=105°，2∴∠DIE=360°-105 °×3=45°∵∠ AKB=30° + 1 ∠DAO2 =301°+ ( ∠BAC- ∠BAO)2 =301°+1(∠BAC-60°)2 =1 ∠BAC=∠BAI=∠BEI. 2AK IE.由等腰△ AOD 可知 DO 丄 AK ， ∴DO 丄IE ，即 DF 是△DIE 的一条高. 同理 EO 是△ DIE 之垂心， OI 丄 DE. 由∠ DIE=∠IDO ，易知 OI=DE.例 14．锐角△ ABC 中，O ，G ，H 分别是外心、重心、垂心 . 设外心到三边距离 和为 d 外，重心到三边距 离和为 d 重，垂心到三边距离和为 求证： 1·d 垂+2·d 外=3· d 重.分析：这里用三角法 . 设△ABC 外接圆半径为 1，三个内角记为 A ， B ， C. 易知 d 外 =OO 1+OO 2+OO 3=cosA+cosB+cosC ， ∴2d 外=2（ cosA+cosB+cosC ）.CD 交 AM 于 G ，G 必为△ ABC 重心. 连 GE ，MF ，MF 交 DC 于 K.易证：DG:GK=1DC:( 1 32 ∴ DG: GK=DE: EF1) DC=2:1.3 GE ∥MF.A C∵ AH 1=sinB · AB=sinB · (2 sinC)=2 sinB ·sinC ， 同样可得 BH 2·CH 3. ∴3d 重=△ABC 三条高的和 =2 ·(sinB ·sinC+sinC ·sinA+sinA ·sinB) ② ∴HH 1=cosC ·BH=2·cosB ·cosC.同样可得 HH 2，HH 3. ∴d 垂=HH 1+HH 2+HH 3=2(cosB ·cosC+cosC ·cosA+cosA ·cosB) ③ 欲证结论，观察①、②、③， 须 证(cosB · cosC+cosC · cosA+cosA · cosB)+( cosA+ cosB+ cosC)= sinB · sinC+sinC · sinA+sinA ·sinB. 即可.练习题1. I 为△ ABC 之内心，射线 AI ，BI ，CI 交△ABC 外接圆于 A ′，B ′，C ′.则AA ′+BB ′+CC ′>△ ABC 周长.（1982 ，澳大利 亚数学奥林匹克 ）2. △T ′的三边分别等于△ T 的三条中线，且两个三角形有一组角相等 .求证这两 个三角形相似 .（1989 ，捷克数学奥林匹克 ）3. I 为△ ABC 的内心.取△ IBC ，△ICA ，△IAB 的外心 O 1，O 2，O 3.求证：△O 1O 2O 3 与△ ABC 有公共的外心 .（1988 ，美国数学奥林匹克 ）4. AD 为△ABC 内角平分线 .取△ ABC ，△ABD ，△ ADC 的外心 O ，O 1，O 2. 则△ OO 1O 2 是等腰三角形 .5. △ABC 中∠C <90°，从 AB 上M 点作 CA ，CB 的垂线 MP ，MQ.H 是△CPQ 的垂心.当M 是 AB 上动点时，求 H 的轨迹.（ IMO-7）16. △ABC 的边 BC= （ AB+AC ） ，取 AB ，AC 中点 M ，N ，G 为重心，I 为内心.试证：过 A ，M ，N 三点的圆与直线 GI 相切.（ 第27届莫斯科数学奥林匹克 ） 7. 锐角△ ABC 的垂心关于三边的对称点分别是 H 1，H 2，H 3. 已知：H 1，H 2，H 3， 求作△ ABC.（ 第 7届莫斯科数学奥林匹克 ）8. 已知△ ABC 的三个旁心为 I 1，I 2，I 3.求证：△I 1I 2I 3是锐角三角形 .9. AB ，AC 切⊙O 于 B ，C ，过 OA 与BC 的交点 M 任作⊙ O 的弦 EF.求证： （1） △AEF 与△ ABC 有公共的内心； （2） △AEF 与△ ABC 有一个旁心重合 .BHsin BCH=2，。