§4.2 函数与方程
4.2调和函数的基本性质
第四章 调和方程一、小结本章讨论了调和方程、泊松方程的边值问题和调和函数的基本性质。
以三维情形为主。
1．边值问题调和方程和泊松方程通常描述平衡和稳定的自然现象，所以一般只讨论它的边值问题。
按边界条件的不同类型分别称为第一、第二、第三边值问题，又依区域的不同分为内问题和外问题。
这里只涉及到第一、第二边值问题的解法，给出了用分离变量法求解的例子，对有些简单情形可依据具体情况求解。
对调和方程的第一边值问题0()(I)()u u f∆=Ω⎧⎨=∂Ω⎩在内在上的求解着重介绍了格林函数法。
这个方法的基本思想是把问题（I ）的求解转化为格林函数001(,)(,)4ppG p p g p p r π=-其中g 满足00()1(II)()4p pu p u p r π∆=∈Ω⎧⎪⎨=∈∂Ω⎪⎩这时（I ）的解为00(,)()()p G p p u p f p d S n∂Ω∂=-∂⎰⎰而问题( II)是一个具特定边界值的调和方程的第一边值问题,所以格林函数G 只与区域Ω有关,对某些规则的特殊区域,如上半空间、球（或上半平面、圆）可用镜像法求得，从而得到这类区域的问题（I ）的解的积分表达式（泊松公式）。
2．调和函数的性质利用格林公式和基本积分公式得出了调和函数的球面平均值性质和沿任何闭曲面的法向导数积分为零。
这两条性质也是连续函数成为调和函数的充分条件。
由球面平均值性质证明了刘维尔定理和调和函数的极值性质，利用法向导数的积分为零得到了第二边值问题可解得必要条件。
重点: 调和方程第一、第二边值问题的求解 ；基本积分公式；格林公式；格林函数；调和函数的性质。
难点：调和方程第一、第二边值问题的求解；如何找格林函数 二、习题及解答4.1 定解问题和基本解1. 试验证: 1211,(u u r r===在单位球面上都等于1,在球外都满足调和方程.证:2. 举例说明:二维调和方程的第一边值外问题,若在无穷远处不加有界的限制,则解可能不唯一.解：考虑单位圆外的调和函数，它在圆的边界上等于常量1.即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=>+=∂∂+∂∂=+1)1(0122222222y x u yxyu x u显之然1=u 是问题的解，又221ln1yxu ++=也是问题的解。
高阶线性微分方程的解法
高阶线性微分方程的解法实变量复值函数——预备知识常系数线性方程的解法求变系数齐线性方程特解的幂级数法要存在注意极限 ,) sin (cos )(t i t e e t t i b b a b a ±=± , )(21 t i t i e e t b b b -+=. )(21 sin t i t i e e t b b b --=; )()(lim 00t z t z t t =®)()()(t i t t z y j +=; )(lim )(lim )(lim 000t i t t z t t t t t t y j ®®®+=连续，若在0)(t t z 实变量复值函数——预备知识导数定义：; )()(lim )()(0000000dtt d i dt t d t t t z t z dt t dz t z t t )(+)(=--=º¢®y j,)()()]()([2121dt t dz dt t dz t z t z ＋=+,)()](dt t dz c t cz =.)()()()()]()(212121dt t dz t z t z dt t dz t z t ××=×＋,t k t k e =,)(2121t k t k t k k e e e ×=+,)3( t k tk ke .)( )4( tk n t k n n e k e dt d =的性质)( b i a k t k +=.(4.2)中所有系数都是),,2,1( )(n i t a i L =)()()( t i t t z x y j +==是它的复值解，则.)2.4( )( )(的解都是方程和共轭复值函数t z t y 非齐线性微分方程有复值解)( )(][ t V i t U x L +=、及解中的和这里)( )()(),,2,1( )(t u t 、V t U n i t a i L =分别是方程和虚部的实部都是实值函数，则该解)()( t v t u 的实)(t z , ))(][t U x L =)(][t V x L =和的解.变换法. 求常系数齐线性方程通解的特征根法(4.19)0][1111 =++++º---x a dtdx a dt x d a dt x d x n n n n n n L .,,2为实常数n a L 由希望它有指数函数形式的解,t e x l =, 0)( )(][111=º++++º--t t n n n n t e F ea a a e L l l l l l l l L 数方程(4.20) 0)(111 =++++º--n n n n a a a F l l l l L . 这个方程称为(4.19)对应的特征根.特征方程,它的根称为特征根是单根的情形.个解有 (4.19)n 个彼此不相等的的是特征方程 (4.20) ,,,21 n n l l L ,,,, 21t t t n e e e l l l L 无关的，从而组成方程的基本解组. 这时，若的通解为均为实根，方程(4.19)),,2,1(n i L =; 2121tn t t n e c e c e c x l l l +++=L 复也一定是特征根，则( b a l b a l i i -=+=)，它们对应方程(4.19)的两个实值解.sin ,cos t e t e t t b b a a 特征根有重根的情形.111(4.19)(4.20) k k 的重根，则它对应的是特征方程设 l 线性无关的解;,,,,1111112t k t t t e t e t te e l l l l -L;,,, ,,,3232m m k k k L L 的重数依次为l l l 则当 , )( , ),,,2,1 21j i n k k k n j i m ¹¹=+++l l L L 还有解;,,,,2222212t k t t t e te t te e l l l l -L .,,,,12tk t t t m m m m m e t e t te e l l l l -L L L L L n 个解, 是线性无关的, 构成了(4.19)的基本解组.b a l b a l l i i k -=+=则重复根是某个特征根,我们将用以下的2k 个实值解来替代：,cos ,,cos ,cos ,cos 12t e tt e t t te t e t k t t t b b b b a a a a -L . sin ,,sin ,sin ,sin 12 t e t t e t t te t e tk t t t b b b b a a a a -L. 0 44的通解=-x dtx d ,014=-l ., , 1, 14321i i -==-==l l l l .sin, cos , , t t e e t t -了4 个线性无关的解，故通解为.sin cos 4321t c t c e c e c x t t +++=-. 012167223的通解=-+x dtdx dt x d 出特征方程, 01216723=+－－l l l,0)1(2222246=+=++l l l l l , 0)2)(3(2=--l l ，2, 3321===l l l .)(23231t t e t c c e c x ++=. 02 224466的通解=++dt x d dt x d dt x d ., ,0654321i i -======l l l l l l 通解为.sin )(cos )(654321t t c c t t c c t c c x ++++=＋(4.32) )(]1111t f x a dtdx a dt x d a dt x d n n n n n n =++++º---L 最广泛而常见的右端函数是,]sin )(cos )([)( t t B t t A e t f t b b a +=次的实系数多项式，最高是t t B t A )(),(代数方程(4.20)仍然称为(4.32)对应的特征，)( )()(1110 m m m m t t b t b t b t b e t A e t f ++++==--L a a 时，即0=b 1.是单根的根时它的重数是特征方程a l a (0)(=F 是待定常数，将上是特征根m B B B k ,,, );0 10L =t 的同次项系数来确定.,]sin )(cos )([~ t k e t t Q t t P t x a b b +=),( ;0)(t P F i 的根时它的重数 是特征方程=+l b a .次实系数待定多项式. 13322的通解+=--t x dtdx dt 应的特征方程是, 0)1)(3( 0322=+-=--l l l l 或有形如下式的特解时，方程(4.32)0有如下形式的特解,)(~ 110t m m m k e B t B t B t x a +++=-L,0 13)( =+=b ，对应一般形式中的t t f ，故特解形式为不是特征根，因此00==k a .~Bt A x +=,13332+º---t Bt A B 系数，得îíì=--=-,132, 33A B B 特解为 ; 1 , 31-==B , 31~t x -=原方程通解为.31231+-+=-t e c e c x t t 的通解是因此对应的齐线性方程.1,321-==l l .231t t e c e c x -+=. 32 2的通解t e x dtdt -=--对应一，这里特征方程，特征根同上 ,)( t e t f -=确定正是单根，所以而, 11 , 1 , 0=-=-==k a a b .~ t Ate x -=一步，其余略.. )5(332233的通解-=+++-t e x dtdx dt x d dt x d t 特征方程为,0)1(133323=+=+++l l l l 形正是这三重根，故特解三重根 1; 1321-=-===a l l l ,)(~3 t e Bt A t x -+=其余步骤略.. 2cos 44 2的通解＋t x dtdt =+一特征方程为,0)2(4422=+=++l l l ，对应一般形右端函数 t t f 2cos )( , 2 21=-==l l 而; 0)(, 1)( , 2 ,ºº=t B t A b ii 2=+b a .故特解形式为2sin 2cos ~t B t A x +=化简得2sin 82cos 8t A t B º-从而特解是 同类项系数，得. 81,0==B A , 2sin 81~t x =.2sin 81)(221t e t c c x t ++=-二因为右端函数)Re(2cos )(2it e t t f ==的结论，先求方程itex dt dx dt x d 22244 =+＋再取其实部，就是原方程的解.不是特征根，故对应的右端函数i e it 22=a ,~2it Ae x =，得方程并消去因子 it e 2 , 8 18iA iA -==或为. 2sin 812cos 88~2t t i e i x it +-=-=原方程的实特解为{}, 2sin 81~Re t x =. 2sin 81)(221t e t c c x t ++=-。
常微分方程4.2
（4.24） 直接计算易得 因此 从而 ，
可见（4.21）的根对应于（4.24）的根，而且重数相同。这样，问题就 化为前面已经讨论过的情形了。方程（4.24）的重根对应于方程 （4.23）的个解，因而对应于特征方程（4.21）的重根，方程（4.19） 有个解：
在讨论常系数线性方程时，函数将起着重要的作用，这里是复值常
数，我们现在给出它的定义，并且讨论它的简单性质。
设是任一复数，这里是实数，而为实变量，我们定义
有上述定义立即推得
并且用表示复数的共轭复数。
此外，还可容易证明函数具有下面的重要性质：
，其中为实变量
由此可见，实变量的复值函数的求导公式与实变量的实值函数的求
例1 求方程的通解；
解 特征方程的根为，，，。有两个实根和两个复根，均是单根，故方
程的通解为
这里是任意常数。
例2 求解方程。
解 特征方程有根，，因此，通解为
其中为任意常数。
例3 求方程的通解。
解 特征方程，或，即是三重根，因此方程的通解具有形状
其中为任意常数。
例4 求解方程。
解
特征方程为，或，即特征根是重根。因此，方程有四个实值解
（4.32） 的求解问题，这里是常数，而为连续函数。 （一）比较系数法 类型Ⅰ
设，其中及为实常数，那么方程（4.32）有形如 （4.33）
的特解，其中为特征方程的根的重数（单根相当于；当不是特征根时， 取），而是待定的常数，可以通过比较系数来确定。 （1）如果，则此时 现在再分两种情形讨论。 1）在不是特征根的情形，即，因而，这时，取，以代入方程 （4.32），并比较的同次幂的系数，得到常数必须满足的方程：
42 非线性方程组的迭代解法讲解
x ( k ) x ( k 1) x
(k )
；
2o 由
L知简单迭代法是线性收敛的；
3o 对线性方程组迭代函数G ( x ) Bx d , 有L= B <1是收敛的充分 必要条件。
局部收敛定理 定理5(局部收敛定理 ) 设G：D R n R n ,x * int( D )
其中, 0 k 1, k 1, 2,
, n。
三、收敛向量序列的收敛速度
定义3 设向量序列 xk 收敛于 x * , ek x * xk 0,
k 1,2,
, 如果存在常数r 1和常数c 0，使极限
lim
k
e
k
e k 1
r
c
r
成立，或者使得当k K (某个常数)时，有 ek 1 ek
（4Байду номын сангаас2.2）
其中，F : D R n R n是定义在区域D R n上的向量 值函数。 若存在x * D , 使F ( x * ) ，则称x *是方程组(4.2.1)或 (4.2.2)的解。
二、多元微分学补充
定义1 设f ：D R n R，x int( D ) (即x是D的内点)， 若存在向量l ( x ) R n ,使极限
L (k ) ( k 1) L(1 L ) ( k ) ( k 1) x x x x 1 L 1 L L * (k ) 再让m , 得 x x x ( k ) x ( k 1) ■ 1 L
m
i 1 i 1
说明
1o 简单迭代法的精度控制与终止条件e( k ) x * x ( k +1) x x
03-4.2 对数与对数函数-4.2.1 对数运算 4.2.2 对数运算法则高中必修第二册人教B版
（2）［多选题］(2024·山东省淄博市期末)若,,都是正数，且 ,则( )
BCD
A. B. C. D.
【解析】设,则，， ，，，，所以 ,A错误，B正确.,因为，所以 ，则等号不成立，所以，则 ，C正确.因为，所以 ,D正确.
（3）已知,,,则 的值为___.
（2）(全国Ⅰ卷)设,则 ( )
B
A. B. C. D.
【解析】 因为，所以 ，
则有，所以 .
因为，所以，所以 ，所以 .
因为，所以，所以 ，两边同时平方得，所以 .
（1） ；
【解析】 .
（2） ;
【解析】 .
（3） .
【解析】 .
例1-3 将下列对数式改写成指数式：
（1） ;
【解析】 .
（2） ;
【解析】 .
（3） .
【解析】 .
例1-4 ［多选题］(2024·辽宁省大连八中期中)下列式子中正确的是( )
AB
A. B. C.若,则 D.若,则
知识点3 换底公式
例3-6 ［教材改编P24 T1］ 的值为__.
【解析】 .（【巧解】利用推论三求解： ）
例3-7 (2024·河北省唐山市期中)计算： ( )
B
A. B. C.1 D.2
【解析】原式 .
方法帮丨关键能力构建
题型1 对数的简单运算
例8 化简下列各式：
（1） ;
【解析】原式 .
B
A. B. C. D.
【解析】由对数运算法则可得 .
3.(2024·浙江省杭州市期中)若,则 ( )
C
A. B. C.1 D.
【解析】因为,所以,,所以, ,则 .
4.2常系数线性微分方程的解法
因 而 与 这 对 共 轭 复 数 对应 的, 方 程 （4.19） 有 两 个 复 值 解,
e(it) eat cos t i sin t e(it) eat cos t i sin t
再由定理8知方程（4.19）的两个实值解eat cos t, eat sin t.
少有一个系数不等于零, Pm (t) 0, 将恒等式（4.27）除以e1t ,然
m1 y (m1)
m(m 2!
1)
1
2
y
(m2)
1m y,
L[ ye1t ] ( d n y
dt n
b1
d n1 y dt n1
bn y)e1t
L1
y e1t
于是方程（4.19）化为
L1[ y]
dny dt n
b1
d n1 y dt n1
bn1
dy dt
bn y
0
其 中b1, b2 , , bn仍 为 常 数,而 相 应 的 特 征 方 程 为
L(x)
d net dt n
a1
d n1et dt n1
an1
de t dt
anet
(n a1n1 a n1 an )et F ()et
其中F () (n a1n1 an1 an )是的n次多项式
易知x et为方程（4.19）的解的充要条件是是代数方程
F () (n a1n1 an1 an ) 0
L(x)
dnx dt n
a1
d n1 x dt n1
an1
dx dt
an x
0
(4.19)
一阶常系数齐次线性微分方程 dx ax 0,它有形如x eat
高中数学专题函数方程教案
高中数学专题函数方程教案
一、教学目标
1. 了解函数方程的定义和基本概念；
2. 掌握函数方程的解法和计算方法；
3. 提高学生对函数方程的理解和运用能力。
二、教学重点和难点
重点：函数方程的定义和基本概念；
难点：解决函数方程的方法及计算过程。
三、教学准备
1. 教材：高中数学教材；
2. 工具：黑板、彩色粉笔、教学PPT等。
四、教学过程
1. 引入：通过几个实际问题引导学生认识函数方程的概念，引出本节课的主题；
2. 学习：结合具体例题，介绍函数方程的定义和基本性质，讲解解决函数方程的常见方法；
3. 练习：组织学生进行练习，巩固所学知识，培养学生的解题能力；
4. 拓展：引导学生应用函数方程解决更复杂的问题；
5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调重点和难点，梳理知识结构，加深学生印象。
五、课后作业
1. 完成课后习题，巩固所学知识；
2. 总结本节课的重点内容，准备下节课的学习。
六、教学反思
教师根据学生学习情况和反馈，及时调整教学方法和内容，确保教学效果。
高三数学一轮课件 第四章 三角函数与解三角形 4.2 同角三角函数的基本关系及诱导公式
=
25.
5
关闭 关闭
解析 答案
知识梳理 双基自测
12345
-11-
自测点评
1.平方关系和商数关系式中的角都是同一个角,且商数关系式中
α≠
π 2
+kπ,k∈Z.
2.利用平方关系式解决问题时,要注意开方运算结果的符号,需要
根据角α的范围确定.
3.公式化简求值时,要利用公式化任意角的三角函数为锐角三角
函数,其步骤:去负—脱周—化锐,特别注意函数名称和符号的确定.
(2)若 α∈R,则 tan α=csoins������������恒成立. (
)
(3)sin(π+α)=-sin α成立的条件是α为锐角. ( )
(4)若 cos(nπ-θ)=13(n∈Z),则 cos θ=13. ( )
(1)× (2)× (3)× (4)×
关闭
答案
-7-
知识梳理 双基自测
12345
什(1)么1 ? (2) 3
答案
考点1
考点2
考点3
-25-
解析: (1)原式=-sin 1 200°·cos 1 290°-cos 1 020°sin 1 050°
=-sin(3×360°+120°)cos(3×360°+210°)-
cos(2×360°+300°)sin(2×360°+330°)
=
-
4 5
,
cos������
=
3 5
,
于是 1
cos ������-sin ������
=
1 35- -45
= 57.
考点1
考点2
考点3
常系数线性微分方程的解法
(4.2)的解.
定理4.2.2 设方程
dnx
d n1 x
dx
dt n a1(t ) dt n1 L an1(t ) dt an(t)x u(t ) iv(t )
§4.2 常系数线性微分方程的解法
一、复值函数与复值解 二、常系数齐线性微分方程的解法 三、常系数非齐线性微分方程的解法
一. 复值函数与复值解
定义 : 如果对于区间a t b中的每一个实数t,有复
数z(t)=(t)+i (t)与它对应,则称z(t)是定义在实值
区间[a, b]上的一个复值函数.
例1：求方程
d3 dt
x
3
d2x dt 2
2x
0的一个基本解组。
问题：如何求实系数方程的实值基本解组？
结果1'：如果L[ x] 0的特征方程F n a1 n1 ... an 0 有k个互异的实根1，2，...,k , 及2l(k 2l n)个复根
为代数方程
F n a1 n1 ... an 0
的根。
定义1：
称多项式F n a1 n1 ... an为L[ x] 0的特征多项式； 称方程F n a1 n1 ... an 0为L[ x] 0的特征方程； 称方程F n a1 n1 ... an 0的根为L[ x] 0的特征根。
实变量的复值函数的极限, 连续性, 可导性与实 变量的实值函数相应概念一致.
设K i是任一复数,定义
高考数学总复习 第四章4.2 同角三角函数的基本关系及三角函数的诱导公式教案 理 北师大版
2013年高考第一轮复习数学北师(江西版)理第四章4.2 同角三角函数的基本关系及三角函数的诱导公式考纲要求1．理解同角三角函数的基本关系式：sin 2α＋cos 2α＝1，sin αcos α＝πtan π2k αα⎛⎫≠ ⎪⎝⎭＋(k ∈Z ))．2．能利用单位圆中的三角函数线推导出π2α±，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式，并能灵活运用．知识梳理1．同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系：__________； (2)商数关系：__________； (3)倒数关系：__________. 2．诱导公式总口诀为：奇变偶不变，符号看象限，其中“奇”“偶”是指“k ·π2±α(k ∈Z )”中k 的奇偶性；“符号”是指把任意角α看作锐角时，原函数值的符号．即α＋k ·2π(k ∈Z )，－α，π±α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成__________时原函数值的符号；π2±α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．1．已知cos(α－π)＝－513，且α是第四象限角，则sin α＝( )．A ．－1213B ．1213C ．±1213D ．5122．已知sin x ＝2cos x ，则sin 2x ＋1＝( )．A ．65B ．95C ．43D ．533．已知α是第四象限角，tan α＝－512，则sin α等于( )．A ．15B ．－15C ．513D ．－5134．已知sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，则sin 2α－sin αcos α的值是________．思维拓展1．有人说sin(k π－α)＝sin(π－α)＝sin α(k ∈Z )，你认为正确吗？提示：不正确．当k ＝2n (n ∈Z )时，sin(k π－α)＝sin(2n π－α)＝sin(－α)＝－sin α；当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，sin(k π－α)＝sin[(2n ＋1)·π－α]＝sin(2n π＋π－α)＝sin(π－α)＝sin α.2．“符号看象限”中，符号是否与α的大小有关？提示：无关，只是把α从形式上看作锐角，从而2k π＋α(k ∈Z )，π＋α，－α，π－α，π2－α，π2＋α分别是第一，三，四，二，一，二象限的角．一、同角三角函数关系式的应用【例1－1】已知tan α＝14，则cos 2α＋sin 2α的值为__________．【例1－2】已知α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝15.(1)求tan α的值；(2)把1cos 2α－sin 2α用tan α表示出来，并求其值． 方法提炼1．利用sin 2α＋cos 2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用sin αcos α＝tan α⎝ ⎛⎭⎪⎫α≠k π＋π2，k ∈Z 可以实现角α的弦切互化．2．注意公式逆用及变形应用：1＝sin 2α＋cos 2α，sin 2α＝1－cos 2α，cos 2α＝1－sin 2α.请做[针对训练]1二、诱导公式的应用 【例2－1】化简：sin(540°－x )tan(900°－x )·1tan(450°－x )tan(810°－x )·cos(360°－x )sin(－x )＝__________.【例2－2】化简：cos(π＋θ)cos θ[cos(π－θ)－1]＋cos(θ－2π)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－3π2cos(θ－π)－sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π2＋θ.【例2－3】已知cos(π＋α)＝－12，且α是第四象限角，计算：sin[α＋(2n ＋1)π]＋sin[α－(2n ＋1)π]sin(α＋2n π)·cos (α－2n π)(n ∈Z )．方法提炼利用诱导公式化简求值时的原则为：1．“负化正”，运用公式三将任意负角的三角函数化为任意正角的三角函数．2．“大化小”，利用公式一将大于360°的角的三角函数化为0°到360°的三角函数，利用公式二将大于180°的角的三角函数化为0°到180°的三角函数．3．“小化锐”，利用公式六将大于90°的角化为0°到90°的角的三角函数．4．“锐求值”，得到0°到90°的三角函数后，若是特殊角直接求得，若是非特殊角可由计算器求得．请做[针对训练]2三、sin x ±cos x 与方程思想【例3】已知sin θ－cos θ＝12，求：(1)sin θcos θ；(2)sin 3θ－cos 3θ；(3)sin 4θ＋cos 4θ.方法提炼1．已知a sin x ＋b cos x ＝c 可与sin 2x ＋cos 2x ＝1联立，求得sin x ，cos x ，一般此法不常用，原因是计算麻烦．2．sin x ＋cos x ，sin x －cos x ，sin x cos x 之间的关系为：(sin x ＋cos x )2＝1＋2sin x cos x ，(sin x －cos x )2＝1－2sin x cos x ，(sin x ＋cos x )2＋(sin x －cos x )2＝2.因此已知上述三个代数式中的任意一个代数式的值可求其余两个代数式的值．请做[针对训练]3考情分析从近几年的高考试题来看，同角三角函数的基本关系和诱导公式中是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题．主要考查诱导公式在三角函数式求值，化简的过程中与同角三角函数的关系式，和差角公式及倍角公式的综合应用，在考查基本运算的同时，注重考查等价转化的思想方法．预测2013年高考仍将以诱导公式为主要考点，重点考查考生的运算能力与恒等变形能力．针对训练 1．(2011重庆高考，文12)若cos α＝－35，且α∈⎝⎛⎭⎪⎫π，3π2，则tan α＝__________.2．已知A ＝sin(k π＋α)sin α＋cos(k π＋α)cos α(k ∈Z )，则A 的值构成的集合是__________．3．已知关于x 的方程2x 2－(3＋1)x ＋m ＝0的两根为sin θ和cos θ，θ∈(0,2π)，求m 的值．参考答案基础梳理自测 知识梳理1．(1)sin 2α＋cos 2α＝1(2)tan α＝sin αcos α⎝ ⎛⎭⎪⎫α≠k π＋π2，k ∈Z(3)tan α·cot α＝12．sin α －sin α －sin α sin α cos αcos α cos α －cos α cos α －cos α sin α －sin α tan α tan α －tan α －tan α 锐角3．0 π6 π4 π3 π2 2π3 56ππ 3π2 0 12 22 32 1 32 120 －1 132 22 12 0 －12－32 －1 0 0 331 3 不存在 － 3 －33不存在基础自测1．A 解析：cos(α－π)＝－cos α＝－513，cos α＝513.sin α＝±1－cos 2α＝±1213，∵α是第四象限角，∴sin α＝－1213.2．B 解析：∵sin 2x ＋cos 2x ＝1，∴sin 2x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x 2＝1，∴sin 2x ＝45，∴sin 2x ＋1＝95.3．D 解析：由tan α＝sin αcos α＝－512，sin 2α＋cos 2α＝1及α是第四象限角，解得sin α＝－513.4．25 解析：由sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5得，tan α＋33－tan α＝5，即tan α＝2.所以sin 2α－sin αcos α＝sin 2α－sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α－tan αtan 2α＋1＝25. 考点探究突破【例1－1】1617 解析：cos 2α＋sin 2α＝1－2sin 2α＋sin 2α＝cos 2α＝cos 2αcos 2α＋sin 2α＝11＋tan 2α＝1617. 【例1－2】解：(1)联立方程 ⎩⎪⎨⎪⎧ sin α＋cos α＝15，sin 2α＋cos 2α＝1.①②由①得cos α＝15－sin α，将其代入②.整理得25sin 2α－5sin α－12＝0. ∵α是三角形的内角，∴⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝45，cos α＝－35.∴tan α＝－43.(2)1cos 2α－sin 2α＝sin 2α＋cos 2αcos 2α－sin 2α＝sin 2α＋cos 2αcos 2αcos 2α－sin 2αcos 2α＝tan 2α＋11－tan 2α.∵tan α＝－43， ∴1cos 2α－sin 2α＝tan 2α＋11－tan 2α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－432＋11－⎝ ⎛⎭⎪⎫－432＝－257. 【例2－1】sin x 解析：原式＝sin(180°－x )tan(180°－x )·1tan(90°－x )tan(90°－x )·cos x－sin x＝sin x－tan x ·ta n x ·tan x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1tan x ＝sin x . 【例2－2】解：原式＝－cos θcos θ(－cos θ－1)＋cos θcos θ(－cos θ)＋cos θ＝11＋cos θ＋11－cos θ＝2sin 2θ. 【例2－3】解：∵cos(π＋α)＝－12.∴－cos α＝－12，cos α＝12.则sin[α＋(2n ＋1)π]＋sin[α－(2n ＋1)π]sin(a ＋2n π)·cos (α－2n π)＝sin(2n π＋π＋α)＋sin(－2n π－π＋α)sin(2n π＋α)·cos (－2n π＋α)＝sin(π＋α)＋sin(－π＋α)sin α·cos α＝－sin α－sin(π－α)sin α·cos α＝－2sin αsin αcos α＝－2cos α＝－4.【例3】解：(1)∵sin θ－cos θ＝12，∴(sin θ－cos θ)2＝14，即sin 2θ－2sin θcos θ＋cos 2θ＝14.由平方关系sin 2θ＋cos 2θ＝1，可得sin θcos θ＝38.(2)sin 3θ－cos 3θ＝(sin θ－cos θ)(sin 2θ＋cos θsin θ＋cos 2θ)．由平方关系及sin θ－cos θ＝12，可得sin 3θ－cos 3θ＝12×⎝⎛⎭⎪⎫1＋38＝1116.(3)由(sin 2θ＋cos 2θ)2＝sin 4θ＋2sin 2θ·cos 2θ＋cos 4θ＝1，可得sin 4θ＋cos 4θ＝1－2sin 2θ·cos 2θ＝1－2×964＝2332.演练巩固提升 针对训练1．43 解析：由1＋tan 2α＝1cos 2α，则tan 2α＝169.又因α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，故tan α＞0，则tan α＝43.2．{－2,2} 解析：当k 为偶数时，A ＝sin αsin α＋cos αcos α＝2；k 为奇数时，A ＝－sin αsin α－cos αcos α＝－2.3．解：由韦达定理可知⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＋cos θ＝3＋12，sin θcos θ＝m 2.①②由①式平方得1＋2sin θcos θ＝2＋32，∴sin θcos θ＝34，由②得m 2＝34.∴m ＝32.。
4.2 指数函数课件-2023届广东省高职高考数学第一轮复习第四章指数函数与对数函数
A
B
C
D
【解析】 ∵0＜a＜1，∴y＝ax在R上是减函数，y＝x＋a与y轴的交点
在(0，1)点的下方，(0，0)点的上方，故选C.
10．函数 f(x)＝22xx－＋11是( A )
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数
【解析】 该函数的定义域是 R，f(1)＝22－ ＋11＝13，f(－1)＝22－ －11－ ＋11＝1212－ ＋11
因为a0＝1，令x＋2＝0，即x＝－2时，y＝a0＋1＝1＋1＝2，则定点
为(－2，2)，故选B.
【融会贯通】 函数y＝ax－3＋5(a＞0且a≠1)恒过的定点是__(_3_，__6_)_ _． 【解析】 因为a0＝1，令x－3＝0，即x＝3时，y＝a0＋5＝1＋5＝6， 即定点为(3，6)．
1．下列函数中，指数函数的个数是( B )
2．下列函数在其定义域内单调递增的是( A )
A．＝3x
B．y＝－3x
C．y＝3－x
D．y＝x2
【解析】 y＝－3x，y＝3－x均为单调递减函数；y＝x2先减后增；y＝
3x为单调递增函数，故选A.
3．已知方程3x－3－3＝0，则x＝___4___． 【解析】 3x－3－3＝0⇒3x－3＝3⇒x－3＝1⇒x＝4.
＝－13，f(－1)＝－f(1)，则函数为奇函数，故选 A.
二、填 空 题
11．若 f(3x)＝2x，则 f(9)＝___8___． 【解析】 令 3x＝9，∴x＝3，则 f(9)＝23＝8.
12．已知 f(x)是偶函数，且 x≥0 时，f(x)＝2x，则 f(－2)＝___4___． 【解析】 x≥0 时，f(x)＝2x，∴f(2)＝22＝4.∵f(x)是偶函数，∴f(－2) ＝f(2)＝4.
2020-2021数学北师大版第一册教师用书：第2章 §4 4.2简单幂函数的图象和性质含解析
2020-2021学年新教材数学北师大版必修第一册教师用书：第2章§4 4.2简单幂函数的图象和性质含解析4.2简单幂函数的图象和性质学习目标核心素养1。
了解幂函数的概念．(重点）2．掌握y＝x，y＝x2,y＝x3，y＝错误!，y＝x错误!的图象与性质．(重点)3．掌握幂函数在第一象限的分类特征，能运用数形结合的方法处理幂函数有关问题．（重点、难点)1.借助幂函数的图象的学习，培养直观想象素养．2．通过幂函数的性质的学习，培养逻辑推理素养．1．幂函数的概念形如y＝xα(α为常数)的函数，即底数是自变量、指数是常数的函数称为幂函数．思考：y＝1错误!是幂函数吗？提示:是．因为它可写成y＝x0错误!的形式．2．幂函数的图象如图在同一坐标系内作出函数(1)y＝x；（2）y＝x错误!；(3）y ＝x2;（4）y＝x－1；(5）y＝x3的图象．3．幂函数的性质(1）所有的幂函数在（0,＋∞)上都有定义，并且图象都过点（1,1）;（2)α〉0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间［0，＋∞）上是增函数．特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸;当0<α〈1时，幂函数的图象上凸；（3)α〈0时，幂函数的图象在区间（0,＋∞)上是减函数．1．已知幂函数f错误!＝kxα的图象过点错误!，则k＋α等于(）A．错误!B．1C．错误!D．2C[由幂函数的定义知k＝1.又f错误!＝错误!，所以错误!错误!＝错误!，解得α＝错误!，从而k＋α＝错误!。
]2．函数y＝x错误!的图象是（）A B C DB[当0<x〈1时，x错误!>x；当x〉1时，x错误!<x，故选B。
］3．已知幂函数f(x)＝（t3－t＋1)x错误!(t∈Z)是偶函数，且在(0，＋∞)上是增加的,则函数的解析式为________．f（x）＝x2［∵f(x)是幂函数,∴t3－t＋1＝1，解得t＝－1或t＝0或t＝1.当t＝0时,f(x）＝x错误!是非奇非偶函数，不满足题意；当t＝1时，f（x）＝x－2是偶函数，但在(0，＋∞）上是减少的，不满足题意；当t＝－1时，f(x)＝x2，满足题意．综上所述,实数t的值为－1，所求解析式为f(x)＝x2.］4．已知函数f(x）＝（2m－3)x m＋1是幂函数．(1）求m的值；（2)判断f(x）的奇偶性．[解］(1）因为f(x)是幂函数，所以2m－3＝1,即m＝2。
2020-2021学年新教材数学北师大版必修第一册：第1章§44.2一元二次不等式及其解法
4.2一元二次不等式及其解法学习目标核心素养1.掌握图象法解一元二次不等式．(重点)2．能根据“三个二次”之间的关系解决简单问题．(难点)1. 通过一元二次不等式的学习，培养数学运算素养．2. 通过一元二次不等式的应用，培养逻辑推理素养．1．一元二次不等式的概念只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫作一元二次不等式．2．一元二次不等式的解集使一元二次不等式成立的所有未知数的值组成的集合叫作一元二次不等式的解集．3．一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的关系如下表：判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的根有两相异实根x1，x2(x1＜x2)有两相等实根x1＝x2＝－b2a没有实数根ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集{x|x＞x2或x＜x1}⎩⎨⎧⎭⎬⎫x⎪⎪⎪x≠－b2a Rax2＋bx＋c＜0 (a＞0)的解集{x|x1＜x＜x2}∅∅么？提示：⎩⎨⎧a ＝b ＝0c >0 或⎩⎨⎧a >0b 2－4ac <0.2．关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为∅，a ，b ，c 满足的条件是什么？ 提示：⎩⎨⎧a ＝b ＝0c ≤0 或⎩⎨⎧a <0b 2－4ac ≤0 .1．不等式x 2－3x ＋2＜0的解集为( ) A ．(－∞，－2)∪(－1，＋∞) B ．(－2，－1) C ．(－∞，1)∪(2，＋∞) D ．(1，2)D [∵(x －1)(x －2)＜0，∴1＜x ＜2. 故原不等式的解集为(1，2).]2．设集合S ＝{x ||x |<5}，T ＝{x |x 2＋4x －21<0}，则S ∩T ＝( ) A ．{x |－7<x <－5} B ．{x |3<x <5} C ．{x |－5<x <3}D ．{x |－7<x <5} C [S ＝{x |－5<x <5}，T ＝{x |－7<x <3}， ∴S ∩T ＝{x |－5<x <3}．]3．不等式2x 2－x －1＞0的解集是________．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪()1，＋∞ [∵2x 2－x －1＝(x －1)(2x ＋1)＞0，∴x ＞1或x ＜－12. 故原不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪()1，＋∞.]4．不等式(a ＋1)x 2＋ax ＋a >0对任意实数x 恒成立，求实数a 的取值范围． [解] 当a ＋1＝0，即a ＝－1时，原不等式化为－x －1>0，得x <－1，不合题意；当a ＋1≠0时，由题意，则⎩⎨⎧a ＋1>0，Δ＝a 2－4a （a ＋1）<0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a >－1a >0或a <－43⇒a >0. 故实数a 的取值范围为(0，＋∞).一元二次不等式的解法角度一二次项系数大于0【例1】解不等式3x2＋5x－2>0.[思路点拨]先解方程，得不等式解集的端点；再画图象，确定不等式解集的结构，是取“两边”还是取“中间”．[解]方程3x2＋5x－2＝0的两解是x1＝－2，x2＝1 3.函数y＝3x2＋5x－2的图象是开口向上的抛物线，与x轴有两个交点(－2，0)和(13，0).观察图象(右图)可得，不等式的解集为{x|x<－2，或x>1 3}．角度二二次项系数小于0【例2】解不等式－2x2＋3x＋2≤0.[思路点拨]把二次项系数化为正是求解的关键．[解]原不等式化为2x2－3x－2≥0，∵2x2－3x－2＝0的两解为x1＝－1 2，x2＝2，且a＝2>0，∴不等式2x2－3x－2≥0的解集是{x|x≤－12或x≥2}．即原不等式的解集是{x|x≤－12或x≥2}．一元二次不等式一般解题步骤(1)通过对不等式变形，使二次项系数大于零；(2)计算对应方程的判别式，若判别式不小于零，求出相应的一元二次方程的根；(3)画出对应函数的简图，由图象得出不等式的解集．[跟进训练]1．解不等式：x2>2x－1.[解] 原不等式化为x 2－2x ＋1>0. ∵Δ＝0，∴方程x 2－2x ＋1＝0有两相等实根x 1＝x 2＝1.函数y ＝x 2－2x ＋1的图象是开口向上的抛物线，如下图观察图象可得，原不等式的解集为{x |x ≠1}．含参数的一元二次不等式的解法【例3】 解关于x 的不等式ax 2＋2x ＋1<0.[思路点拨] 对二次项系数a 分a >0，a ＝0，a <0三种情况讨论，并且对a >0这种情况还需分Δ>0，Δ≤0讨论．[解] (1)当a ＝0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <－12，(2)当a >0时，Δ＝4－4a ， ①Δ>0即0<a <1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－1－1－a a <x <－1＋1－a a ； ②Δ≤0即a ≥1时， 不等式的解集为∅.(3)当a <0时，Δ＝4－4a >0， 不等式的解集为{x |x <－1＋1－a a 或x >－1－1－aa}．解含参数的一元二次不等式时，应对系数中的参数进行讨论： (1)讨论二次项系数的符号，即相应二次函数图象的开口方向． (2)讨论判别式的符号，即相应二次函数图象与x 轴交点的个数． (3)当Δ>0时，讨论相应一元二次方程两根的大小． 简记为“一a ，二Δ，三两根大小”.最后对系数中的参数进行完全分类，即将(－∞，＋∞)分成若干个区间，根据相应二次函数在各个区间的值，写出一元二次不等式的解集．[跟进训练]2．解关于x 的不等式x 2－ax －2a 2<0 [解] 原不等式变形为(x －2a )(x ＋a )<0.①若a >0，则－a <x <2a ，此时不等式的解集为{x |－a <x <2a }; ②若a <0，则2a <x <－a ，此时不等式的解集为{x |2a <x <－a }; ③若a ＝0，则原不等式即为x 2<0，此时解集为∅.三个二次关系的应用 [探究问题]已知ax 2＋bx ＋c >0的解集是{}x |x 1<x <x 2 1．二次项系数a 大于0，还是小于0? 提示：a ＜0.2．Δ＝b 2－4ac 与0有怎样的关系？ 提示：Δ＝b 2－4ac >03．x 1＋x 2与x 1x 2如何用系数a ，b ，c 表示出来？ 提示：x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝ca . 【例4】 不等式ax 2＋5x ＋c ＞0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪13＜x ＜12，则a ，c 的值为( )A ．a ＝6，c ＝1B ．a ＝－6，c ＝－1C ．a ＝1，c ＝1D ．a ＝－1，c ＝－6[思路点拨] 利用一元二次不等式的解集的端点与相应的一元二次方程的根之间的关系求解．B [由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋5×13＋c ＝0，a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋5×12＋c ＝0，解得⎩⎨⎧a＝－6，c＝－1.]1．若不等式ax2＋bx－2＜0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x⎪⎪⎪－2<x<14，则ab＝() A．－28B．－26C．28D．26C[－2，14是方程ax2＋bx－2＝0的两根，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2a＝（－2）×14＝－12－ba＝－74，∴a＝4，b＝7.∴ab＝28.]2．已知不等式ax2－bx－1≥0的解集是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，－13，则不等式x2－bx－a＜0的解集是()A．(2，3)B．(－∞，2)∪(3，＋∞)C．(13，12)D．(－∞，13)∪(12，＋∞)A[依题意，－12与－13是方程ax2－bx－1＝0的两根，则⎩⎪⎨⎪⎧b a＝－12－13，－1a＝－12×⎝⎛⎭⎪⎫－13即⎩⎪⎨⎪⎧b a＝－561a＝－16又a＜0，不等式x2－bx－a＜0可化为1a x2－ba x－1＞0，即－16x2＋56x－1＞0，解得2＜x＜3.]这种题型是已知一元二次不等式的解集，根据三个“二次”之间的关系，由解集得到方程的根，运用根与系数的关系，将含有参数的不等式转化为不含参数的不等式，从而使问题得到求解．求解时，需要根据不等式解集的结构(“取两边”还是“取中间”)判断二次项系数的正负．1．一元二次不等式的解法(1)图象法：由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系，可以得到解一元二次不等式的一般步骤：①化不等式为标准形式：ax2＋bx＋c＞0(a＞0)或ax2＋bx＋c＜0(a＞0)；②求方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根，并画出对应函数y＝ax2＋bx＋c图象的简图；③由图象得出不等式的解集．(2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解．当m<n时，若(x－m)(x－n)＞0，则可得{x|x＞n或x＜m}；若(x－m)(x－n)＜0，则可得{x|m＜x＜n}．有口诀如下：大于取两边，小于取中间．2．含参数的一元二次不等式的解法在解含参数的一元二次型的不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到分类“不重不漏”，讨论需从如下三个方面进行考虑(1)关于不等式类型的讨论：二次项系数a＞0，a＜0，a＝0.(2)关于不等式对应的方程根的讨论：两根(Δ>0)，一根(Δ＝0)，无根(Δ<0).(3)关于不等式对应的方程根的大小的讨论：x1＞x2，x1＝x2，x1＜x2.1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)关于x的不等式ax2＋bx＋c>0是一元二次不等式．()(2)若a>0，则关于x的不等式ax2＋1≤0的解集是空集．()(3)若关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集是R ，则⎩⎨⎧a >0b 2－4ac <0. ( )[答案] (1)× (2)√ (3)×2．设集合M ＝{x |x 2－x <0}，N ＝{x |4－x 2>0}，则( ) A ．M ∩N ＝∅ B ．M ∩N ＝M C ．M ∪N ＝MD ．M ∪N ＝RB [依题意M ＝{}x |0<x <1，N ＝{x |－2<x <2}, ∴M ∪N ＝N ，∴M ∩N ＝M . ]3．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (x ∈R )的部分对应值如下表：{x |x >3或x <－2} [法一：当x 1＝－2，x 2＝3时，y ＝0，又根据所给数值，函数值随着x 的增大，先减后增，故开口向上，故不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集是{x |x >3或x <－2}．法二：由表中数据可求得a ＝1，b ＝－1，c ＝－6，代入原不等式得x 2－x －6>0，所以可解得解集为{x |x >3或x <－2}．]4．已知集合A ＝{x |x 2－3x －10≤0}，集合B ＝{x |p ＋1≤x ≤2p －1}．若B ⊆A ，求实数p 的取值范围．[解] 由题可知A ＝{x |－2≤x ≤5}． ①当B ≠∅时，即p ＋1≤2p －1⇒p ≥2. 由B ⊆A ，得－2≤p ＋1，且2p －1≤5. 解得－3≤p ≤3，∴2≤p ≤3. ②当B ＝∅时，即p ＋1>2p －1⇒p <2. 由①②得p ≤3.莘莘学子，最重要的就是不要去看远方模糊的，而要做手边清楚的事。
4.2 函数的凸性与拐点
f '' ( x )
即有
f '' ( x ) 0
例
讨论
3 2 y 12 x 12 x ,
的凹凸区间.
解 D ( , )
36 x ( x 2 3)
时， y 0
2 (0, 0 3) 0 2 3
当 x1 0 , x2 列表
2 3
x ( ,0) y y 凸
由于 f () 0 , 可知
o
f ( x ) f ( x0 ) f ' ( x0 )( x x0 )
x0
x
性质2
f ( x )是[a, b]上二阶可导的凸函数,[ x1 , x2 ]是[a, b]的
f ( x) x x2 x x1 f ( x1 ) f ( x2 ) x1 x2 x2 x1
x1 x2 f ( x1 ) f ( x0 ) f ' (1 ) ( x1 x0 ) f '(1 ) , x1 1 x0 2
x2 x1 f ( x2 ) f ( x0 ) f ' ( 2 ) ( x2 x0 ) f '( 2 ) , x0 2 x 2 2 相加得 1 f ( x1 ) f ( x 2 ) 2 f ( x0 ) [ f ' ( 2 ) f ' (1 )]( x 2 x1 ) 2 由于 f (x) 单调增 , 2 > 1 , 知 f (2) > f (1)
§4.2 函数的凸性与拐点
前面我们研究了单调性, 然而我们注意到仅知 道单调性对了解函数的性态是不够的
(1)单调增 (2)单调增
o
a
常微分方程(王高雄)第三版-4.2
et cos t, tet cos t, , t e k 1 t cos t;
et sin t, tet sin t, , t k 1et sin t.
(3) 求方程(4.19)通解的步骤
第一步: 求(4.19)特征方程的特征根 1, 2,, k ,
d n1 y dxn1
an1x
dy dx
an y
0,
(4.29)
的方程,称为欧拉方程. 这里a1, a2 ,, an为常数,
(1) 引进变换 x et (t ln x)
dy dx
dy dt dt dx
et
dy dt
1 x
dy , dt
d2y dx2
d
dy
d
dy dx
dt
dx dx dt dx
an an1 ank1 0, ank 0;
从而特征方程有如下形式
n a1n1 ank k 0,
而对应方程(4.19)变为
dnx dt n
a1
d n1x dt n1
ank
dkx dt k
0
显然它有 k个解1,t,t 2,,t k1,且它们是线性无关的 ;
从而可得 : 特征方程(4.21)的k重零根对应着
F () n a1n1 an1 an 0, (4.21)
的根,方程(4.21)称为方程(4.19)的特征方程,它的根为 方程(4.19)的特征根.
(1) 特征根是单根的情形
设1, 2,, n是特征方程(4.21)的n个彼此不相
等的特征根,则相应方程(4.19)有如下n个解
e1t , e2t ,, ent
例6
北师大版八年级数学上册：4.2《一次函数与正比例函数》说课稿
北师大版八年级数学上册：4.2《一次函数与正比例函数》说课稿一. 教材分析《一次函数与正比例函数》这一节的内容，主要出现在北师大版八年级数学上册第4章第2节。
本节课的主要内容是让学生了解一次函数与正比例函数的定义、性质及其应用。
在教材中，通过丰富的实例，引导学生从实际问题中抽象出一次函数与正比例函数的关系，进而探究其性质。
教材还提供了大量的练习题，以便学生巩固所学知识。
二. 学情分析在八年级的学生中，他们已经具备了一定的代数基础，对于图形的认识也有一定的了解。
但是，对于一次函数与正比例函数的定义、性质及其应用，他们可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，我需要从学生的实际出发，引导他们从具体的问题中抽象出一次函数与正比例函数的关系，并通过大量的练习，使学生能够熟练地运用所学知识解决实际问题。
三. 说教学目标1.知识与技能：使学生了解一次函数与正比例函数的定义、性质，能够运用一次函数与正比例函数解决实际问题。
2.过程与方法：通过实例，引导学生从实际问题中抽象出一次函数与正比例函数的关系，培养学生的抽象思维能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养他们勇于探究、积极向上的精神。
四. 说教学重难点1.教学重点：一次函数与正比例函数的定义、性质。
2.教学难点：一次函数与正比例函数的图像特征，以及如何从实际问题中抽象出一次函数与正比例函数的关系。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例教学法、小组合作学习法等。
2.教学手段：利用多媒体课件、黑板、粉笔等。
六. 说教学过程1.导入：通过展示一些生活中的实例，如商品价格与数量的关系，引导学生思考如何用数学模型来描述这种关系。
2.新课导入：介绍一次函数与正比例函数的定义，并通过实例使学生理解一次函数与正比例函数的关系。
3.性质探究：引导学生通过观察、实验、总结等方法，探究一次函数与正比例函数的性质。
4.应用拓展：提供一些实际问题，让学生运用一次函数与正比例函数的知识解决问题。
高三数学知识点全总结大全
高三数学知识点全总结大全一. 函数与方程1.一次函数1.1 定义与性质1.2 求解一次方程2. 二次函数2.1 定义与性质2.2 求解二次方程3. 指数函数与对数函数3.1 指数函数的定义与性质3.2 对数函数的定义与性质4. 复合函数与反函数4.1 复合函数的概念4.2 反函数的概念与性质5. 三角函数5.1 正弦函数、余弦函数、正切函数的定义与性质5.2 三角恒等式的运用6. 方程与不等式6.1 一元二次方程与不等式6.2 绝对值方程与不等式7. 线性规划与整式卷积7.1 线性规划的概念与解法7.2 整式卷积的概念与运算二. 三角学1. 三角函数与三角恒等式1.1 三角函数的图像与性质1.2 三角恒等式的证明与运用2. 三角函数的应用2.1 三角函数在几何中的应用2.2 三角函数在物理中的应用3. 平面直角坐标系3.1 平面直角坐标系的引入与性质3.2 向量的概念与运算4. 复数与平面向量4.1 复数的定义与运算4.2 平面向量的定义与运算5. 解析几何5.1 点、直线、圆的方程5.2 曲线的方程与性质三. 空间解析几何1. 空间直角坐标系1.1 空间直角坐标系的引入与性质1.2 距离与中点公式的运用2. 空间中的直线2.1 直线的方程与性质2.2 直线与平面的位置关系3. 空间中的平面3.1 平面的方程与性质3.2 平面与平面的位置关系4. 空间中的曲线与曲面4.1 曲线的方程与性质4.2 曲面的方程与性质5. 空间中的向量5.1 向量的概念与运算5.2 平面与向量的关系四. 数列与数学归纳法1. 数列的概念与性质1.1 通项与递推式1.2 数列的极限与收敛性2. 数学归纳法2.1 数学归纳法的基本思想 2.2 数学归纳法的应用五. 概率与统计1. 事件与概率1.1 事件的定义与性质1.2 概率的定义与运算2. 排列与组合2.1 排列的定义与性质2.2 组合的定义与性质3. 随机变量与概率分布3.1 随机变量与概率分布的概念3.2 常见离散与连续概率分布的特点与应用4. 统计与抽样4.1 统计的概念与性质4.2 抽样技术与统计推断以上就是高三数学知识点的全面总结大全。
第一章-4.2-一元二次不等式及其解法-4.3-一元二次不等式的应用高中数学必修第一册北师大版
+ −
或
>
− −
｝；
> ,∴ 原不等式的解集为
{| ≠ −}；
当 < ，即 < −时，原不等式的解集为.
综上所述，当 ≥ 时，原不等式的解集为⌀ ;
当 < <
− −
时，原不等式的解集为{|
当 = 时，原不等式的解集为{| > };
= { ∈ 2 + 4 − 5 < 0} = { ∈ − 5 < < 1} = {−4，−3，−2，−1，0}，则
∩ = {−2，−1，0}．
例5 解关于的不等式：2 2 + − ≤ 0.
【解析】Δ = 2 + 8 = + 8 .
（1）当Δ > 0，即 < −8或 > 0时，方程2 2 + − = 0有两个不相等的实根，
−2 + 1
则ቐ
−2 ×
= ,
变形可得ቊ
1= ,
= −,
= −2,
故函数 = 2 + + = 2 − − 2 = − 2 + 1 的图象开口向下，且与
轴的交点坐标为 −1,0 和 2,0 .
故C选项的图象符合.
4.［多选题］(2024·山东省菏泽一中月考)已知关于的不等式 2 + + ≥ 0的解
当−1 < < 0时，原不等式的解集为{|1 < <
1
1
− ｝;
当 < −1时，原不等式的解集为{| − < < 1};
弹性力学基本方程和一般原理
小结
➢ 一般说，位移场 ui 和 ui 之间还可能差一个刚体位移，
但是绝大多数弹性力学问题都给定足以限制刚体运动 的位移约束条件，因而位移场的解也是唯一的。
➢ 以上证明的前提是叠加原理、应变能正定性和应力张 量对称性。线弹性理论能自动满足这些条件，因为线 弹性问题的解是唯一的。
ji j Xi on S
不能消除刚体位移； 要满足整体平衡条件。
V
SSt
X3
X2 X1
SSuU Chapter 6.1
分量形式为：
x l yx m zx n X
xy
l
y
m
zy
n
Y
xz
l
yz
m
z
n
Z
◎ 当 X Y Z 0 时称为自由表面，是力边界的特殊情况。 ◎ 集中力可化为静力等效的在微小面积上的均布表面力。 ◎ 集中力矩化为静力等效的非均布（线性）表面力。
（3）在部分边界S 上给定外力，部分边界Su上给定 位移的混合边界S。这时要求
S Su S S Su
对于弹性动力学问题，还应给定 初始条件：初始位移和初始速度。
V
SSt
X3
X2 X1
SS uU
Chapter 6.1
2. 界面条件：
• 界面： 如果弹性体由两种以上材料组成，则不同材 料间的交界面称为界面。有时，物体虽由同样材料 的两部分组成，两者的连接面也称为界面。
如对集中力、集中力矩分别可以看作应力的合 力、合力矩处理。
利用圣维南原理可将位移边界转化为等效的力 边界,如图所示:
P l 位移边界
P M=Pl
w εz z ,