2015北师大附中高一(上)期末数学
北京师范大学附属中学2017-2018学年高一上学期期末考试数学试题(解析版)
2017-2018学年北京师大附中高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.如果cosθ＜0，且tanθ＞0，则θ是（）A. 第一象限的角B. 第二象限的角C. 第三象限的角D. 第四象限的角2.下列函数中，在R上为奇函数的是（）A. B. C. D.3.函数的一个对称中心是（）A. B. C. D.4.设全集U=R，集合＜＜，B={x|ln x＞0}，则A∩B=（）A. B. C. D.5.已知a=2log32，b=log35，，则（）A. B. C. D.6.已知＜＜，则“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7.把函数的图象经过怎样的平移可得到函数y=cos3x的图象（）A. 向左平行移动个单位B. 向右平行移动个单位C. 向左平行移动个单位D. 向右平行移动个单位8.设f（x）是定义在R上的函数，且对任意实数x，有f（x+7）•f（x）=-1．当0≤x＜7时，f（x）=log2（9-x），则f（-100）的值为（）A. B. C. D. 2二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9.计算：=______．10.当，时，函数f（x）=tan x的值域为______．11.角α终边上一点的坐标为（1，2），则tan2α=______．12.已知a＞0，则不等式ax2+（1-a）x-1＜0的解集为______．13.若存在x＞0，使得＜，则实数a的取值范围是______．14.已知函数y=f（x）是定义在区间[a，b]上的增函数，其中a，b R，且0＜b＜-a．设函数F（x）=|f（x）|-|f（-x）|，且F（x）不恒等于0，则下列命题中正确的是______（写出所有正确命题的序号）①F（x）的定义域为[-b，b]；②F（x）是奇函数；③F（x）的最小值为0；④F（x）在定义域内单调递增．三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.已知，且α（0，π）．（Ⅰ）求cosα；（Ⅱ）求的值．16.已知函数．（Ⅰ）求；（Ⅱ）当，时，求函数f（x）的最值及对应x的值．17.已知函数＞，＞，＜的部分图象如图所示，N为f（x）图象的一个最高点，M、Q为f（x）图象与x轴的交点．（Ⅰ）若，，，，求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求函数f（x）的单调递减区间；（Ⅲ）若△MNQ为直角三角形，求A•ω的值．18.m）是时间t（0≤t≤24，单位：h）的函数，下面是该港口的水深表：经过长时间的观察，描出的曲线如图所示，已知该曲线可近似的看成函数y=A sinωt+B的图象．（Ⅰ）试根据水深表和曲线，求A，ω，B的值；（Ⅱ）一般情况下，船舶航行时船底同海底的距离不少于4.5m时是安全的．如果某船的吃水深度（船底与水面的距离）为7m，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？（忽略离港所用的时间）请说明理由．19.已知函数．（Ⅰ）若f（a）=1，求a的值；（Ⅱ）试判断函数f（x）的奇偶性，并证明你的结论；（Ⅲ）写岀方程f（x）=sin x+2根的个数（不需证明）．20.给定函数f（x），对于实数t，若存在a＞0，b＞0，满足：对任意的x[t-a，t+b]，|f（x）-f（t）|≤2，则记a+b的最大值为H（t）．（Ⅰ）是否存在函数f（x），使得H（t）是R上的常值函数？试说明理由；（Ⅱ）若f（x）=x2，当t[l，2]时，①求函数H（t）的解析式；②求函数H（t）的值域．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵cosθ＜0，∴θ是第二、第三象限角或x负半轴角，又tanθ＞0，∴θ是第一或第三象限角，∴θ是第三象限角．故选：C．根据三角函数的符号，判断θ是哪一象限角即可．本题考查了根据三角函数值判断三角函数符号的应用问题，是基础题目．2.【答案】B【解析】解：对于A，f（x）是偶函数，对于B，f（x）是奇函数，对于C，D，f（x）是非奇非偶函数，故选：B．根据函数的奇偶性的定义判断即可．本题考查了函数的奇偶性，熟练掌握函数的单调性的定义是解题的关键．3.【答案】B【解析】解：令x-=kπ，k Z，求得x=kπ+，故函数的对称中心为（kπ+，0），令k=0，可得函数的一个对称中心是（，0），故选：B．利用正弦函数的图象的对称性，求得函数的一个对称中心．本题主要考查正弦函数的图象的对称性，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：∵=（-1，3），B={x|lnx＞0}=（1，+∞），∴A∩B=（1，3）．故选：C．求解指数不等式和对数不等式化简A，B，再由交集运算得答案．本题考查指数不等式与对数不等式的解法，考查交集运算，是基础题．5.【答案】D【解析】解：∵1=log33＜a=2log32=log34＜b=log35＜log39=2，＜（）0=1，∴c＜a＜b．故选：D．利用对数函数、指数函数的单调性直接求解．本题考查三个数的大小的比较，考查对数函数、指数函数的单调性等基础知识，是基础题．6.【答案】C【解析】解：∵，∴＜＜，又“”∴α+=，解得α=．∴“”是“”的充要条件．故选：C．由，知＜＜，又可得α+=，解得α．即可判断出结论．本题考查了三角函数求值、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7.【答案】C【解析】解：把函数的图象向左平行移动个单位，可得函数y=cos（3x+3•-）=cos3x的图象，故选：C．由题意利用y=Asin（ωx+φ）的图象的变换规律，得出结论．本题主要考查y=Asin（ωx+φ）的图象的变换规律，属于基础题．8.【答案】A【解析】解：∵对任意实数x，有f（x+7）•f（x）=-1．∴对任意实数x，有f（x+7）•f（x+14）=-1．即f（x）=f（x+14），即函数是周期为14的周期函数，故f（-100）=f（-2），∵当0≤x＜7时，f（x）=log2（9-x），∴f（5）=2，∵f（-2）•f（5）=-1．，故f（-100）=f（-2）=-，故选：A．先由已知得到函数是周期为14的周期函数，进而得到答案．本题考查的知识点是函数的周期性，函数求值，对数运算，难度不大，属于基础题．9.【答案】2【解析】解：=-2+4=2．故答案为：2．利用指数、对数的性质、运算法则直接求解．本题考查指数式、对数式的化简求值，考查指数、对数的性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．10.【答案】（，+∞）【解析】解：当时，函数f（x）=tanx单调递增，故：当时，函数在x=时，函数存在最小值，即：y=．所以f（x）的值域为：．故答案为：直接利用正切函数的性质求出结果．本题考查的知识要点：正切函数的性质的应用．11.【答案】【解析】解：角α终边上一点的坐标为（1，2），则tanα=2，tan2α===-．故答案为：．求出角的正切函数值，然后利用二倍角公式求解即可．本题考查任意角的三角函数以及二倍角公式的应用，考查计算能力．12.【答案】，【解析】解：不等式ax2+（1-a）x-1＜0，即（ax+1）（x-1）＜0，∵a＞0，∴，不等式ax2+（1-a）x-1＜0的解集为：故答案为：利用因式分解，结合二次函数的性质即可求解．本题考查不等式的解法，主要考查二次不等式，考查运算能力，属于基础题．13.【答案】a＞2【解析】解：存在x＞0，使得，则a＞x+，∵x+≥2=2，当且仅当x=时取等号，∴a＞2，故答案为：．分离参数则a＞x+，求出x+的最小值即可得到a的取值范围．本题考查了基本不等式的应用，属于基础题14.【答案】①②【解析】解：根据题意，依次分析4个命题：对于①，对于F（x）=f2（x）-f2（-x），有a≤x≤b，a≤-x≤b，而又由0＜b＜-a，则F（x）=f2（x）-f2（-x）中，x的取值范围是-b≤x≤b，即其定义域是[-b，b]，则①正确；对于②，F（-x）=f2（-x）-f2（x）=-F（x），且其定义域为[-b，b]，关于原点对称，则F（x）为奇函数，②正确；对于③，由y=f（x）无零点，假设f（x）=2x，F（x）=22x-2-2x=22x-无最小值，故③错误；对于④，由于F（x）是奇函数，则F（x）在[-b，0]上与[0，b]上的单调性相同，故F（x）在其定义域内不一定单调递增，④错误；故答案为：①②对于①，根据F（x）的解析式以及f（x）的定义域，可得a≤x≤b，a≤-x≤b，又由0＜b＜-a，可得F（x）定义域，可得①正确；对于②，先求出F（-x），可得F（-x）=-F（x），再结合F（x）的其定义域，可得F（x）为奇函数，②正确；对于③，举出反例，当f（x）＞1时，可得F（x）的最小值不是0，故③错误；对于④，由于F（x）是奇函数，结合奇函数的性质，可得④错误；综合可得答案本题考查函数的性质，涉及函数的定义域、奇偶性、单调性、最值等性质，判断②时，注意要结合函数F（x）的定义域．15.【答案】解：（Ⅰ）∵，∴可得：sinα=cosα+，∵sin2α+cos2α=1，∴（cosα+）2+cos2α=1，可得：8cos2α+4cosα-3=0，∴cosα=，∵α（0，π）．cosα=sinα-（-，），∴cosα=．（Ⅱ）∵cosα=，sinα=．∴sin2α=2sinαcosα=，cos2α=2cos2α-1=-，∴===．【解析】（Ⅰ）由已知及同角三角函数基本关系式可得8cos2α+4cosα-3=0，结合范围α（0，π）．可求cosα的值．（Ⅱ）由（Ⅰ）利用同角三角函数基本关系式，二倍角公式可求sinα，sin2α，cos2α的值，利用两角和的正弦函数公式化简所求即可计算得解．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角公式，两角和的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了运算求解能力和转化思想，属于中档题．16.【答案】解：（Ⅰ）函数．那么=（sin）2+sin cos==；（Ⅱ）由函数=cos2x+sin2x=sin（2x-）+，∵，时，∴2x-[，]，∴当2x-=，即x=0时，有最小值为0，当2x-=，即时，有最大值．【解析】（Ⅰ）将x=带入计算即可；（Ⅱ）利用二倍角和辅助角化简，时，求解内层函数范围，结合三角函数的性质可得最值及对应x的值．本题考查三角函数的最值的求解，考查转化思想以及计算能力．属于基础题．17.【答案】解：（Ⅰ）若，，，，则A=3，=-==，即周期T=π，又=π，则ω=2，则f（x）=3sin（2x+φ），∵f（）=3sin（2×+φ）=3，∴sin（+φ）=1，即+φ=+kπ，k Z，则φ=-+kπ，∵|φ|＜，∴当k=0时，φ=-，则f（x）=3sin（2x-）．（2）由2kπ+≤2x-≤2kπ+，k Z，得kπ+≤x≤kπ+，k Z即函数的单调递减区间为，，k Z．（Ⅲ）设M，Q的中点是P，若△MNQ为直角三角形，则AP=MP，即△MNP是等腰三角形，则=，即A2==，则A=T=，则．【解析】（Ⅰ）根据M，N的坐标，找出A，T之间的关系求出A，ω和φ的值即可求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）利用三角函数单调性的性质即可求函数f（x）的单调递减区间；（Ⅲ）若△MNQ为直角三角形，结合勾股定理建立方程进行求解即可．本题主要考查三角函数的图象和性质，根据条件求出函数的解析式是解决本题的关键．考查学生的运算和转化能力．18.【答案】解：（Ⅰ）由题意，．可知A==3，B==10．图象过（3，13）即可求解ω．那么：13=3sin3ω+10，可得：sin3ω=1，∴ω=故得：A=3，，B=10．（Ⅱ）航行时船底同海底的距离不少于4.5m时是安全的．如果某船的吃水深度（船底与水面的距离）为7m，那么水深y≥11.5，即y=3sin t+10≥11.5，∴sin t≥，∵0≤t≤24，∴1≤t≤5或13≤t≤17．故：该船在凌晨1点-5点，或13点-17点能够安全进港；若该船当天港内停留的时间最长，应从凌晨1点进港，17点前离港，最长停留时间为16小时．【解析】（Ⅰ）由题意提供函数y=Asinωt+B的图象．可知A==3，B==10．图象过（3，13）即可求解ω．（Ⅱ）航行时船底同海底的距离不少于4.5m时是安全的．如果某船的吃水深度（船底与水面的距离）为7m，那么水深y≥11.5，结合三角函数的性质即可求解；本题主要考查三角函数的图象和性质，根据图象求出函数的解析式是解决本题的关键．要求熟练掌握函数图象之间的变化关系19.【答案】解：（Ⅰ）由f（a）=ln=1，即=e，解得a=；（Ⅱ）函数f（x）为奇函数．由＞0，解得x＞2或x＜-2，故函数f（x）的定义域是（-∞，-2）∪（2，+∞），关于原点对称，而f（-x）=ln=ln=-ln=-f（x），故函数是奇函数；（Ⅲ）1个．【解析】（Ⅰ）由f（a）=1，结合对数的定义，解方程可得a的值；（Ⅱ）函数f（x）为奇函数．运用函数的奇偶性的定义，结合对数的运算性质可得；（Ⅲ）结合f（x）的图象和y=sinx+2的图象，可得根的个数．本题考查函数的奇偶性和方程的根的个数，考查运算能力，属于中档题．20.【答案】解：（Ⅰ）存在一次函数f（x）=kx+m（k≠0），使得H（t）是R上的常值函数．事实如下：当f（x）=kx+m时，由|f（x）-f（t）|≤2，得|kx+m-kt-m|≤2，即|k|•|x-t|≤2，解得t≤x≤t+，则a=，b=，∴H（t）=a+b=0为R上的常值函数；（Ⅱ）①由|f（x）-f（t）|≤2，得f（t）-2≤f（x）≤f（t）+2，即t2-2≤x2≤t2+2，（*）当时，解（*）得：，此时；当＜t≤2时，解（*）得：，此时．综上，有H（t）=．＜②由函数单调性可得H（t），∪，．∴函数H（t）的值域为，∪，．【解析】（Ⅰ）根据题意，当f（x）=kx+m（k≠0）时，由不等式|f（x）-f（t）|≤2可得t≤x≤t+，则a=，b=，得出H（t）为常值函数；（Ⅱ）①根据题意，当f（x）=x2且t[1，2]时，不等式|f（x）-f（t）|≤2化为|x2-t2|≤2，利用不等式的性质求出x的取值范围，写出函数H（t）的解析式；②由函数的单调性求解H（t）的值域．本题考查了新定义函数的性质与应用问题，也考查了不等式的解法与应用问题，是中档题．。
北京师大附中高一数学上册期末试题
北京师大附中高一数学上册期末试题一、选择题1．全集U =R ，集合{}|31xA x y ==-，则UA（ ）A ．[0,)+∞B ．(,0)-∞C ．(0,)+∞D ．(,0]-∞2．函数01()(2)2f x x x=++-的定义域为（ ） A ．(,2)(2,)-∞⋃+∞B ．(,2)(2,2)-∞--C ．(,2)-∞-D ．(,2)-∞3．若α是第二象限角，角β的终边经过点(cos(),sin())2ππαα+-，则β为（ ）A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角4．已知角α的终边经过点()3,1P -，则cos α=（ ） A ．1010B ．1010-C ．31010-D ．310105．下列关于函数2()log 26f x x x =+-的零点所在区间最准确的是（ ） A ．(1,2)B ．(0,1)C ．(2,3)D ．(3,4)6．二十四节气是中华民族上古农耕文明的产物，是中国农历中表示季节变迁的24个特定节令．如图，现行的二十四节气是根据地球在黄道（即地球绕太阳公转的轨道）上的位置变化而制定的每个节气对应地球在黄道上运动15所到达的一个位置根据描述，从立冬到立春对应地球在黄道上运动所对圆心角的弧度数为（ ）A ．3π-B ．3π C ．512π D ．2π7．已知函数()f x 是定义在R 上的增函数，()0,1A -，()3,1B 是其图象上的两点，那么|(2sin 1)|1f x +≤ 的解集为（ ）A ．,33xk x k k ππππ⎧⎫-≤≤+∈⎨⎬⎩⎭Z ∣ B ．722,66xk x k k ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭Z ∣ C ．,63xk x k k ππππ⎧⎫-≤≤+∈⎨⎬⎩⎭Z ∣ D ．722,66xk x k k ππππ⎧⎫-≤≤+∈⎨⎬⎩⎭Z ∣ 8．已知不共线向量,OA OB 夹角为α，1OA =，2OB =，()1OP t OA =-，(01)OQ tOB t =≤≤，PQ 在t t =0处取最小值，当0105t <<时，α的取值范围为 A ．(0,)3πB ．(,)32ππC ．2(,)23ππD ．2(,)3ππ 二、填空题9．下列说法正确的是（ ）A ．若定义在R 上的函数()f x 满足()()11f f -=，则()f x 是偶函数B ．若定义在R 上的函数()f x 满足()()11f f -≠，则()f x 不是偶函数C ．若定义在R 上的函数()f x 满足()()11f f -<，则()f x 在R 上是增函数D ．若定义在R 上的函数()f x 满足()()11f f -<，则()f x 在R 上不是减函数 10．下列命题中为真命题的是（ ） A ．“0a b -=”的充要条件是“1ab=” B ．“a b >”是“11a b<”的既不充分也不必要条件 C ．命题“x ∃∈R ，220x x -<”的否定是“x ∀∈R ，220x x -≥” D ．“2a >，2b >”是“4ab >”的必要条件 11．设0b a <<，则下列不等式中正确的是（ ）A ．0a b +>B ．2211ab a b< C ．11b a a b+<+ D ．22ln ln a b < 12．一般地，对任意角α，在平面直角坐标系中，设α的终边上异于原点的任意一点P 的坐标为(),x y ，它与原点的距离是r .我们规定：比值x y ，r y ，rx分别叫做角α的余切、余割、正割，分别记作cot α，csc α，sec α，把cot y x =，csc y x =，sec y x =分别叫做余切函数、余割函数、正割函数，下列叙述正确的有（ ） A ．5cot 14π=B ．sin sec 1αα⋅=C ．sec y x =的定义域为,2xx k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭∣ D ．2222sec sin csc cos 5αααα+++≥三、多选题13．若“220x R x x a ∃∈++，≤”是假命题，则实数a 取值范围为____． 14．函数1()lg 1f x x m x =-++在区间()0,9上有零点，则实数m 的取值范围为____________.15．中国扇文化有着深厚的文化底蕴，文人雅士喜在扇面上写字作画.如图，是书画家唐寅（1470—1523）的一幅书法扇面，其尺寸如图所示，则该扇面的面积为______cm 2.16．已知0a >，且1a ≠，log 2a x =，则x a =________；22x x a a -+=_________.四、解答题17．设32:1,:|1|(0)23x p q x a a x --<>-． （1）若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围； （2）若p 是q 的必要条件，求实数a 的取值范围． 18．已知10sin α=,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.（1）求sin 2α的值； （2）求cos3α的值.19．已知函数()f x 和()g x 的图象关于原点对称，且2()2g x x x =-+. （1）求函数()f x 的解析式； （2）解不等式:()()1f x g x x ≤+-20．已知函数()log a f x x =（0a >，且1a ≠），且()31f =. （1）求a 的值，并写出函数()f x 的定义域；（2）设函数()()()11g x f x f x =+--，试判断()g x 的奇偶性，并说明理由；（3）若不等式()()42x xf t f t ⋅≥-对任意[]1,2x ∈恒成立，求实数t 的取值范围.21．已知函数()xf x a =（0a >，且1a ≠）.（1）证明：()()()1212222f x f x f x x +≥+；（2）若()12f x =，()23f x =，()128f x x =，求a 的值； （3）x ∀∈R ，()212xx f x -+≤恒成立，求a 的取值范围.22．已知函数()2f x x a =-，()()11g x x a =-++，x ∈R . （1）若0a =，试求不等式()()2f x g x ≥的解集；（2）若[]0,6a ∈，求函数()()(){}max ,h x f x g x =在[]2,6x ∈上的最小值.【参考答案】一、选择题 1．B 【分析】解指数不等式，可化简集合A ，再根据补集的定义求解即可. 【详解】由310x -≥，得033x ≥，所以0x ≥，所以[0,)A =+∞，所以(,0)UA .故选：B 2．B 【分析】根据函数解析式，只需解析式有意义，即2020x x ->⎧⎨+≠⎩，解不等式即可求解.【详解】 由0()(2)f x x =++， 则2020x x ->⎧⎨+≠⎩，解得2x <且2x ≠-， 所以函数的定义域为()(),22,2-∞-⋃-. 故选：B3．D 【分析】由α是第二象限角及诱导公式判断cos(),sin()2ππαα+-的正负，从而判断β为第几象限角.【详解】由诱导公式：cos()=cos ,sin()=cos 2ππαααα+--，因为α是第二象限角，所以cos 0,cos 0,sin02παπαα，故β为第四象限角. 故选：D 4．C 【分析】由三角函数的定义即可求得cos α的值． 【详解】角α的终边经过点(3,1)P -，cos α∴==故选：C ． 5．C 【分析】根据零点存在性定理判断即可； 【详解】解：函数2()log 26f x x x =+-在定义域上单调递增，且()21log 1264f =+-=-，()22log 22261f =+⨯-=-，()223log 3236log 30f =+⨯-=>，因为()()230f f ⋅<，所以函数2()log 26f x x x =+-的零点在()2,3上； 故选：C 6．D 【分析】计算出从立冬到立春对应地球在黄道上运动所对圆心角的角度数，转化为弧度即可. 【详解】根据题意，从立冬到立春对应地球在黄道上运动所对圆心角的弧度数为61590⨯=，即2π． 故选：D. 7．D 【分析】由题意可得()01f =-，()31f =，所要解的不等式等价于()()0(2sin 1)3f f x f ≤+≤，再利用单调性脱掉f ，可得02sin 13x ≤+≤，再结合正弦函数的图象即可求解. 【详解】由|(2sin 1)|1f x +≤可得1(2sin 1)1f x -≤+≤， 因为()0,1A -，()3,1B 是函数()f x 图象上的两点， 所以()01f =-，()31f =，所以()()0(2sin 1)3f f x f ≤+≤， 因为()f x 是定义在R 上的增函数，可得02sin 13x ≤+≤，解得：1sin 12x -≤≤，由正弦函数的性质可得722,66k x k k Z ππππ-+≤≤+∈， 所以原不等式的解集为722,66xk x k k ππππ⎧⎫-≤≤+∈⎨⎬⎩⎭Z ∣， 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是将要解得不等式转化为()()0(2sin 1)3f f x f ≤+≤利用单调性可得02sin 13x ≤+≤. 8．C 【分析】由平面向量的线性运算得：得：(1)PQ OQ O P OA B O t t =-=--，由向量模的运算得：222||[(1)](54cos )2(12cos )1PQ tOB t OA t t αα=--=+-++，由二次函数图象的性质可得：当012cos 54cos t t αα+==+时，PQ 取最小值，再求向量夹角的取值范围即可． 【详解】由题意可得21cos 2cos ,(1)OA OB PQ OQ OP t t OA OB αα⋅=⨯⨯==-=--, ， ∴222[(1)](54cos )2(12cos )1PQ tOB t OA t t αα=--=+-++，由二次函数图像性质知，当012cos 54cos t t αα+==+时，PQ 取最小值，即12cos 1054cos 5αα+<<+，求得1cos 02α-<<，又[0,]απ∈，∴223ππα<<，故选C 。
北京师大附中2015届上学期高三年级期末考试数学试卷(AP班) 后有答案
北京师大附中2015届上学期高三年级期末考试数学试卷（AP 班）本试卷满分100分，考试时间为90分钟。
一、选择题（每小题5分，共30分）1. 直线053=++y x 的倾斜角是（ ）A. 30°B. 120°C. 60°D. 150°2. 直线026=++y x 在x 轴和y 轴上的截距分别是（ ）A. 31,2B. 31,2--C. 3,21--D. 3,2--3. 与直线0543:=+-y x l 关于x 轴对称的直线的方程为（ ）A. 0543=-+y xB. 0543=++y xC. 0543=+-y xD. 0543=--y x 4. 圆()22-x ()232=++y 的圆心和半径分别是（ ）A. ()2,3,2- B. ()2,3,2- C. ()1,3,2- D. ()2,3,2- 5. 方程022=++-+m y x y x 表示一个圆，则m 的取值范围是（ ）A. 2≤mB. 2<mC. 21<mD. 21≤m 6. 下列圆中，与直线03=+-y x 相切的圆的方程为（ ）A. 122=+y xB. ()()21122=-++y xC. ()21+x 22=+yD. ()()21122=++-y x 二、填空题（每空5分，共35分）7. 若直线()53-=-x k y 过点（-1，-2），则k 的值为___________。
8. 过点A （0，1），B （2，0）的直线方程为_____________。
9. 已知过点P （-2，m ），Q （m ，4）的直线与直线012=-+y x 平行，则=m __________。
10. 两圆222r y x =+与()()()013222>=++-r r y x 外切，则r 的值为_________。
11. 圆064622=++-+y x y x 截直线05=--y x 所得的弦长为___________。
2015北师大附中高一(上)期末数学
2015北师大附中高一（上）期末数学一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．（4分）下列四个式子中，计算结果可能为负数的是（）A．sin（arccosx）B．cos（arcsinx）C．sin（arctanx）D．cos（arctanx）2．（4分）记sin35°=a，则tan2015°的值等于（）A．B．C．D．3．（4分）下列函数中，既是奇函数，又在区间[0，+∞）上单调递增的函数是（）A．y=tanx B．y=sinx C．D．4．（4分）将函数y=cosx的图象上的每个点的横坐标变为原来的2倍、纵坐标不变，再将所得图象向右平移个单位，则最后得到的图象对应的函数解析式为（）A．B．C．D．5．（4分）函数的相邻两个对称中心之间的距离是（）A．2πB．πC．D．6．（4分）若空间向量，满足，则一定有（）A．x=0 B．y=0 C．z=0 D．7．（4分）已知A（cosx，0），B（0，1﹣cosx），则的最小值是（）A．B． C．D．18．（4分）设函数y=sinx在区间上的最大值为M（t），最小值为m（t），则M（t）﹣m （t）的最小值和最大值分别为（）A．1，2 B．C．D．9．（4分）已知直线l的方向向量是，平面α的法向量是，则下列命题正确的是（）A．若，则l∥αB．若，则l⊥αC．若，则l∥αD．若，则l⊥α10．（4分）如图，将矩形纸片ABCD（其中，BC=1）沿对角线AC折起后，使得异面直线BC⊥AD，则此时异面直线AB和CD所成的角的余弦值是（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．把答案填在答题纸上．11．（4分）计算=．12．（4分）设，，则=．13．（4分）平面向量=（1，2），=（4，2），，且与的夹角等于与的夹角，则m=．14．（4分）如图，ABCD﹣A′B′C′D′是棱长为1的正方体，点P是BC′上的动点，，则的值是．15．（4分）在棱长为1的正四面体ABCD中，M，N分别是BC和AD的中点，则线段MN的长是．16．（4分）如图，给定单位向量和，它们的夹角为120°，点C在以O为圆心的上运动．若，其中x，y∈R，则x+2y的最大值是．三、解答题：本大题共3小题，36分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）设a∈R，函数f（x）=cosx（2asinx﹣cosx）+sin2x的图象的一条对称轴是直线．（Ⅰ）求的值和a的值；（Ⅱ）求函数f（x）在上的最大值和最小值．18．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A′B′C′，∠BAC=90°，AB=AC=λAA′，点M，N分别为A′B和B′C′的中点．（Ⅰ）证明：MN∥平面A′ACC′；（Ⅱ）若二面角A′﹣MN﹣C为直二面角，求λ的值．19．（12分）已知是（空间）非零向量，构造向量集合，记集合P中模最小的向量为．（Ⅰ）对于，求t的值（用表示）；（Ⅱ）求证：；（Ⅲ）若，且，构造向量序列，其中n∈N*，n≥3，请直接写出的值（用n表示，其中n≥3）．一、填空题：共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题纸上．20．（4分）已知集合A，B都是数集，1，b，a+b都是A中的元素，a﹣b，ab都是B中的元素，且A ∩B={﹣1，0}，则有序数对（a，b）=．21．（4分）已知函数f（x）为R上的增函数，且对于任意实数x，都有f[f（x）﹣3x]=4，则f（2015）的值为．22．（4分）函数的单调递增区间是．23．（4分）设函数，且对任意x∈R，x≠0，f（ax）＜f（x）恒成立，则实数a的取值范围是．24．（4分）若实数x，y满足=，则=．二、解答题：共3小题，共30分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．25．（10分）函数称为“双曲正弦函数”，类似地，函数称为“双曲余弦函数”．（Ⅰ）判断双曲正弦函数的奇偶性，并证明你的结论；（Ⅱ）双曲函数的恒等变形多具有与三角函数的恒等变形相似甚至相同的形式，请判断下列等式恒成立的是．（填写序号）①sinh2x+cosh2x=1；②sinh2x=2sinhx•coshy；③cosh2x=cosh2x﹣sinh2x．（Ⅲ）请合理定义“双曲正切函数”y=tanhx，写出用tanhx表示tanh2x的恒等变形式，并证明之．26．（10分）设a为常数，记函数，x＞1的反函数为f﹣1（x）．已知y=f﹣1（x）的图象经过点．（Ⅰ）求实数k的值和反函数f﹣1（x）的解析式；（Ⅱ）定义函数，其中常数c＞0且c≠1，求函数F（x）的值域．27．（10分）定义在R上的函数f（x）同时满足：（i）f（1）=2；（ii）∀x，y∈R，f（x+y+1）=f（x﹣y+1）﹣f（x）f（y）；（iii）f（x）在区间[0，1]上是单调增函数．（Ⅰ）求f（0）和f（﹣1）的值；（Ⅱ）求函数f（x）的零点；（Ⅲ）解不等式f（x）＞．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．【解答】∵arccosx∈[0，π]，∴sin（arccosx）∈[0，1]；∵arcsinx∈[﹣，]，∴cos（arcsinx）∈[0，1]；arctanx∈（﹣，），∴sin（arctanx）∈（﹣1，1）；cos（arctanx）∈（0，1）．故选：C．2．【解答】sin35°=a，∴cos35°==，∴tan2015°=tan35°=，故选：A．3．【解答】y=tanx，y=sinx是奇函数，在[0，+∞）不单调，y=是奇函数，在[0，+∞）单调递增，y=不是奇函数，故选：C．4．【解答】函数y=cosx的图象上的所有点的横坐标变为原来的2倍、纵坐标不变，得到y=cos x，把图象向右平移单位，得到y=cos[（x﹣）]=cos（x﹣）．故选：D．5．【解答】函数=cos（2x+π）=﹣cos2x 的相邻两个对称中心之间的距离为=，故选：C．6．【解答】∵向量，，=（x+y+1，y+z+2，z+x+3），满足，∴，可得，解得y=0，故选：B．7．【解答】=（﹣cosx，1﹣cosx），则==，当cosx=时取等号．∴的最小值是．故选：B．8．【解答】函数y=sinx在区间上的最大值为M（t），最小值为m（t），区间的长度为，正好为函数的周期的，故当函数y=sinx在区间上单调时，则M（t）﹣m（t）取得最大值．不妨假设函数y=sinx在区间上单调递增，则M（t）﹣m（t）取得最大值为sin（t+）﹣sint=cost﹣sint=cos（t+）≤，故M（t）﹣m（t）取得最大值为．当区间关于它的图象的对称轴对称时，M（t）﹣m（t）取得最小值，此时，sin（t+）=±1，不妨设sin（t+）=1，即t+=2kπ+，k∈Z，即t=2kπ+，k∈Z，则M（t）﹣m（t）取得最小值为sin（t+）﹣sint=1﹣sin（2kπ+）=1﹣，故M（t）﹣m（t）的最小值和最大值分别为1﹣，，故选：D．9．【解答】A.，则l⊥α，因此不正确；B．由A可知正确；C．由，则l∥α或l⊂α，因此不正确；D．由C可知不正确．故选：B．10．【解答】设矩形纸片ABCD折起前B点为B1，连结BB1，DB1，∵BC⊥AD，BC⊥AB，AB∩AD=A，∴BC⊥平面ABD，∴BC⊥BD，∵，BC=1，∴BD==，∴AD2+BD2=AB2，∴AD⊥BD，∴BD⊥B1C，∵BB1∩BC=B，∴BD⊥BB1，∴BB1===，∵DC∥AB1，∴∠BAB1是异面直线AB和CD所成的角（或所成角的补角），cos∠BAB1===．∴异面直线AB和CD所成的角的余弦值为．故选：C．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．把答案填在答题纸上．11．【解答】设=θ，∵sin（arcsin）=，cos（arcsin）=，∴tan（arcsin）=，∴tanθ=tan[]===﹣1．由于arcsin和arctan7都是锐角，故θ=∈（﹣，），可得θ=﹣，故答案为：﹣．12．【解答】设，，则1﹣2sinαcosα=，∴2sinαcosα=．∴sinα+cosα===，∴====﹣，故答案为：﹣．13．【解答】=，=，=，=m+2，=4m+2，∵与的夹角等于与的夹角，∴=，∴，解得m=1．故答案为：1．14．【解答】如图所示，D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），C′（0，1，1）．=（﹣1，0，1）．=λ（﹣1，0，1）=（﹣λ，0，λ）．∴=（1﹣λ，1，λ）．∴=（﹣λ，1，λ）．=（0，1，0）．则=1．故答案为：1．15．【解答】如图，正四面体ABCD棱长为1，M，N分别是BC和AD的中点，连结MN、BN、CN，∵AB=BD=AC=CD=AD=1，N是AD中点，∴BN⊥AD，CN⊥AD，∴BN=CN==，∵BC=1，∴MN⊥BC，∴MN==．故答案为：．16．【解答】根据题意，建立如图所示的坐标系，则A（1，0），B（cos120°，sin120°），即B（﹣，）；设∠AOC=α，则=（cosα，sinα），∵，∴（cosα，sinα）=（x，0）+（﹣y，y）；即cosα=x﹣y，sinα=y，解得：x=sinα+cosα，y=sinα；∴x+2y=sinα+cosα=sin（α+θ），其中tanθ=；又sin（α+θ）≤1，∴x+2y≤．故答案为：．三、解答题：本大题共3小题，36分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．【解答】（Ⅰ）解法一：∵函数图象关于直线对称，∴=f（0）=﹣cos20=﹣1，即（﹣﹣）+=﹣1，解得：a=，故f（x）=cosx（2sinx﹣cosx）+sin2x=2sinxcosx﹣cos2x+sin2x=sin2x﹣cos2x=2sin（2x﹣）解法二：∵f（x）=cosx（2asinx﹣cosx）+sin2x=2asinxcosx﹣cos2x+sin2x=asin2x﹣cos2x=sin（2x ﹣φ）的图象的一条对称轴是直线．故当时，asin2x﹣cos2x=，或asin2x﹣cos2x=﹣，即﹣a﹣=，或﹣a﹣=﹣，解得：a=，故f（x）=sin2x﹣cos2x=2sin（2x﹣），故=2sin（﹣）=﹣1，（Ⅱ）当x∈时，2x﹣∈[，]，故当2x﹣=，即x=时，函数f（x）取最大值2；当2x﹣=，即x=时，函数f（x）取最小值1；18．【解答】（I）证明：连接AB′、AC′，由已知∠BAC=90°，AB=AC，三棱柱ABC﹣A′B′C′为直三棱柱，所以M为AB′中点，又因为N为B′C′的中点，所以MN∥AC′，又MN⊄平面A′ACC′，因此MN∥平面A′ACC′；法二：取A′B′的中点P，连接MP、NP，M、N分别为A′B、B′C′的中点，所以MP∥AA′，NP∥A′C′，所以MP∥平面A′ACC′，PN∥平面A′ACC′，又MP∩NP=P，因此平面MPN∥平面A′ACC′，而MN⊂平面MPN，因此MN∥平面A′ACC′．（II）以A为坐标原点，分别以直线AB、AC、AA′为x，y，z轴，建立直角坐标系，如图，设AA′=1，则AB=AC=λ，于是A（0，0，0），B（λ，0，0），C（0，λ，0），A′（0，0，1），B′（λ，0，1），C′（0，λ，1）．所以M（），N（），设=（x1，y1，z1）是平面A′MN的法向量，由，得，可取，设=（x2，y2，z2）是平面MNC的法向量，由，得，可取，因为二面角A'﹣MN﹣C为直二面角，所以，即﹣3+（﹣1）×（﹣1）+λ2=0，解得λ=．19．【解答】（I）解：∵对于，∴=，当t=﹣时，其模取得最小值．∴t=﹣．（II）证明：由（I）k可得：=﹣+=0，因此：．（III）解：不妨取=（1，0），=．向量序列，其中n∈N*，n≥3，∴=．=，∴||=≥，当且仅当t=﹣时取等号．∴=，∴=，同理可得：=，=，…，∴=．一、填空题：共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题纸上．20．【解答】∵集合A={1，b，a+b}，B={a﹣b，ab}，且A∩B={﹣1，0}，∴b=﹣1，a+b=0或b=0，a+b=﹣1，解得：b=﹣1，a=1或b=0，a=﹣1，将a=1，b=﹣1代入得：B={2，﹣1}，不合题意舍去；将a=﹣1，b=0代入得：B={﹣1，0}，符合题意，则a，b的值为﹣1，0．故答案为：（﹣1，0）．21．【解答】任意的x属于R都有有f （f （x）﹣3x）=4，而函数是单调的，所以对任何的x，f （x）﹣3x为定值c，即f（x）=3x+c，f（f（x）﹣3x）=f（c）=4而f（c）=3c+c，所以3c+c=4，解得：c=1，∴f（2015）=32015+1，故答案为：32015+122．【解答】设t=2x﹣x2，则t≥0，解得0≤x≤2，∴函数t=2x﹣x2=﹣（x﹣1）2+1在[0，1]上为增函数，在（1，2]上为减函数，且0≤t≤1，∴y=cost在[0，1]上为减函数，∴的单调递增区间为[1，2]，故答案为：[1，2]．23．【解答】当a=0时，f（ax）=f（0）=0，显然不成立，故a≠0；当a＞0时，函数f（ax）=，且f（ax）＜f（x）恒成立，∴ax＜x，1﹣ax＜1﹣x恒成立，∴0＜a＜1；当a＜0时，f（ax）=，∴1﹣ax＜x，ax＜1﹣x恒成立，显然不成立；故答案为0＜a＜1．24．【解答】∵=，∴y=．∴===．故答案为：．二、解答题：共3小题，共30分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．25．【解答】（Ⅰ）∵sin（﹣hx）==﹣sinhx，∴双曲正弦函数是奇函数；（Ⅱ）①sinh2x+cosh2x=+≠1，不正确；②sinh2x═=2sinhx•coshy，正确；③cosh2x﹣sinh2x=﹣≠cosh2x，不正确．（Ⅲ）y=tanhx=，∴e2x=tanh2x===﹣．故答案为：②．26．【解答】（Ⅰ）∵，且y=f﹣1（x）的图象经过点，∴，解得k=1，∴（x＞1），则，．∴（0＜x＜1）；（Ⅱ）==（0＜x＜1）．要使该函数有意义，则c﹣恒成立，∵0＜x＜1，∴c＞1．由t==，∵0＜x＜1，∴0，，∴，．∴函数F（x）的值域为[]．27．【解答】（Ⅰ）令x=y=0，可得f（1）=f（1）﹣f（0）f（0），∴f（0）=0；令x=y=﹣1代入f（x+y+1）=f（x﹣y+1）﹣f（x）f（y），可得f（﹣1）=f（1）﹣f（﹣1）f（﹣1），即f2（﹣1）+f（﹣1）﹣2=0，则f（﹣1）=﹣2或f（﹣1）=1．若f（﹣1）=1，令y=1，x=﹣1，可得f（1）=f（﹣1）﹣f（1）f（﹣1）=f（﹣1）﹣2f（﹣1）=﹣f（﹣1）=﹣1，矛盾，故f（﹣1）=2；∴f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2．（Ⅱ）∵f（﹣x）=f（﹣1﹣x+1）=f（﹣1+x+1）﹣f（﹣1）f（﹣x）=f（x）+2f（﹣x），∴f（﹣x）=﹣f（x），即f（x）是奇函数；令x=0，有f（1+y）=f（1﹣y）=﹣f（y﹣1），即f（2+y）=﹣f（y），则f（4+y）=﹣f（y+2）=f（y），且函数关于x=1对称，同时f（x）为周期函数，周期为4．）；∴函数在[﹣1，1]上有一个零点0，此时函数f（x）的零点是4n（n∈N+）；函数在[1，3]上有一个零点2，此时函数f（x）的零点是4n+2（n∈N+综上函数的零点为2n．（Ⅲ）∵f（x）在区间[0，1]上是单调增函数，且f（x）是奇函数∴f（x）在区间[﹣1，1]上是单调增函数，在[1，3]上是单调减函数，令x=y=，可得f（++1）=f（﹣+1）﹣f（）f（），即为f（2）=f（1）﹣f2（）=0，即为f（）=；f（x）＞，当0＜x＜1时，即为f（x）＞f（），解得＜x＜1，当1＜x＜3时，可得1＜x＜．则有﹣1＜x＜3时，f（x）＞的解为（，）．综上可得，f（x）＞的解集为（4n+，4n+），n为整数．。
东北师大附中2014—2015学年度高一上学期期末考试数学试题
2014—2015学年上学期高一年级（数学）学科 期末测试题考试时间：100分钟 试卷满分:100分一、选择题共12小题，每小题4分，共48分．1．设集合{1234}U =，，，，{13}A =，，{34}B =，，则C U ()A B = （ ）A ．{134}，，B ．{14}，C ．}2{D ．}3{2．函数()f x =（ ）A ．(1)-+∞，B ．(1)-∞，C ．(11)-，D ．(11]-， 3．cos 2010=（ ）A ．12-B ．C ．12D 4．在ABC ∆中，若1sin 2A =，则A =（ ）A ．30B ．60C ．30或150D ．60或1205．下列函数中是幂函数的为（ ）A ．21xy =B ．22x y =C ． x x y +=2D ．1=y6．已知函数2(3)log f x =(1)f 的值为 （ ）A ．21B ． 1C ．5log 2D ． 27．将函数x y 2sin =的图象先向左平行移动6π个单位长度，再向上平行移动1个单位长度，得到的函数解析式是（ ）A ．1)62sin(+-=πx y B ．1)32sin(+-=πx y C ．1)62sin(++=πx yD ．1)32sin(++=πx y8．2sin31cos31a =和sin 28cos35cos 28sin35b =+之间的大小关系是 （ ） A ．a b > B ．a b < C ．a b = D ．不能确定9．设1a >，且2log (1)a m a =+，log (1)a n a =+，log 2a p a =，则m n p ，，的大小关系是A ．n m p >>B ．m p n >>C ．m n p >>D ．p m n >>10．函数y ＝cos x ·|tan x | ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<x <π2 的大致图象是( )11．在锐角ABC ∆中，若31tan ,55sin ==B A ，则=+B A （ ） 434.ππ或A 4.πB 43.πC 22.D 12．下列不等式中，正确的是（ ）A ．tan513tan413ππ< B ．sin )7cos(5ππ-> C ．tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π7<tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π8 D ．cos )52cos(57ππ-< 13．函数]0,[),3sin(2)(ππ-∈-=x x x f 的单调递增区间是（ ）A ．]65,[ππ-- B ．]6,65[ππ-- C ．]0,3[π- D ．]0,6[π- 14．已知2tan α·sin α＝3，－π2<α<0，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6的值是( ) A ．0 B.32 C ．1 D.1215．若10sin 3cos =-αα，则=αtan （ ） A ．3； B ．53-; C ．3-; D ．8316．定义在R 上的函数满足，当时，，则（*** ）A ．B ．C ．)45(tan)6(tanππf f < D ． 17．函数()tan f x x x =-在区间[22]ππ-，上的零点个数是 （ ）A ．3个B ．5个C ．7个D ．9个NMDCBA18．高为H ，满缸水量为V 的鱼缸的轴截面如图1，其底部碰了一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为h 时，水的体积为'V ，则函数'()V f h =的大致图象是 （ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题共4小题，每小题4分，共16分．11. 已知扇形的弧长和面积的数值都是2，则其圆心角的正的弧度数为________.12．若集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪ sin θ≥12，0≤θ≤π，N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪cos θ≤12，0≤θ≤π，则M ∩N =____. 13．如图,在正方形ABCD 中,M 是边BC 的中点,N 是边CD 的中点,设α=∠MAN ,那么αsin 的值等于_______***_____.14．若10≠>a a 且，则函数1)1(log +-=x y a 的图象恒过定点 .15．设()f x 是()-∞+∞，上的奇函数，()(3)0f x f x ++=，当01x ≤≤时，()21x f x =-， 则=)5.5(f .16．在下列结论中：①函数)sin(x k y -=π()k Z ∈为奇函数； ②函数44sin cos y x x =-的最小正周期是2π； ③函数cos(2)3y x π=+的图象的一条对称轴为23x π=-； ④函数1sin(+)23y x π=在[22]ππ-，上单调减区间是5[2][2]33ππππ-- ，，. 其中正确结论的序号为 把所有正确结论的序号都．填上．. 三、解答题共6小题，共56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．本题满分8分．已知集合{}|34A x x =-≤≤，{}22|132B x m x m =-≤≤-，且A B A = ，求实数m 的取值范围.图118．（本题满分10分）已知角α的终边经过点(3,4)P -，(1) 求sin()cos()tan()πααπα-+-+的值; （2）求1sin 2cos 212αα++的值．19．（本题满分10分）已知函数)sin()(φx ωA x f +=)22,0,0(πφπωA <<->>一个周期的图象如图所示。
北京师大附中高一数学上学期期末考试试卷新人教A版【会员独享】
北京师大附中高一数学上学期期末考试试卷新人教A 版【会员独享】满分150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷（模块卷）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 如果角θ的终边经过点)21,23(-，则=θcos （ ） A.21B. 23-C. 3D. 33-2. 若02<<-απ，则点)cos ,(tan αα位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3.105sin 15cos 75cos 15sin +等于（ ）A. 0B.21C. 23D. 14. 若向量a =（2,1），b =（4,x +1），a ∥b ，则x 的值为（ ）A. 1B. 7C. －10D. －95. 把函数x y cos =的图象上的所有点的横坐标缩小到原来的一半（纵坐标不变），然后把图象向左平移4π个单位，则所得图象对应的函数解析式为（ ） A. )421cos(πx y += B. )42cos(πx y += C. )821cos(πx y += D. )22cos(πx y += 6. 已知四边形ABCD 的三个顶点)2,0(A ，)2,1(--B ，)1,3(C ，且AD BC 2=，则顶点D 的坐标为（ ）A. )27,2( B. )21,2(- C. )2,3( D. )3,1( 7. 函数||sin x x y +=，],[ππx -∈的大致图象是（ ）8. 如图，在△ABC 中，设a AB =，b AC =，AP 的中点为Q ，BQ 的中点为R ，CR 的中点为P ，若b n a m AP +=，则=+n m （ ）A.21 B. 32 C. 76D. 1 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
9. 求值=-+-ππππ313cos 4tan 713cos )623sin( 。
10. 已知向量a =)sin ,(cos θθ，向量b =)1,3(，且a ⊥b ，则θtan 的值是 。
北京师大附中2014-2015学年下学期高一年级期末考试数学试卷 后有答案
北京师大附中2014-2015学年下学期高一年级期末考试数学试卷 后有答案本试卷分第I 卷（模块卷，80分）和第II 卷（综合卷，70分）两部分，共150分，考试时间120分钟。
第I 卷（模块卷）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 下列各组事件中，不是互斥事件的是（ ）A. 一个射手进行一次射击，事件“命中环数大于8”与“命中环数小于6”B. 统计一个班数学考试成绩，事件“平均分不低于90分”与“平均分不高于90分”C. 播种菜籽100粒，事件“恰有90粒发芽”与“恰有80粒发芽”D. 检查某种产品，事件“合格率高于70%”与“合格率为70%”2. 样本1a ，2a ，3a ，…，10a 的平均数为a ，样本1b ，2b ，3b ，…，10b 的平均数为b ，那么样本1a ，1b ，2a ，2b ，3a ，3b ，…10a ，10b 的平均数为（ ）A. b a +B.)(21b a + C. ()b a +2D.)(101b a + 3. 口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黑球的概率是（ ）A. 0.42B. 0.28C. 0.3D. 0.74. 根据下图所示的程序框图，输入2146=m ，1813=n ，则输出的实数m 的值为（ ）A. 36B. 37C. 38D. 395. 有四组数据，它们的平均数都是5，频率分布图如下图所示，标准差最大的一组是（ ）A. 第一组B. 第二组C. 第三组D. 第四组6. 对两组变量x ，y 进行观测，得到9组数据),(i i y x ,9,,2,1 =i ，绘制散点图如图1，同理对另外两组变量u ，v 观测，得到9组数据),(i i v u ，9,,2,1 =i ，绘制散点图如图2，由这两个散点图可以判断（ ）A. 由图1可知，变量x,y 正相关B. 由图1可知，第5个数据点（A 点）离变量x,y 的回归直线最近C. 由图2可知，变量u,v 正相关D. 由图2可知，第5个数据点（B 点）必在变量u,v 的回归直线上7. 在样本的频率分布直方图中，共有11个小长方形，若正中间一个小长方形的面积等于其他10个小长方形的面积的和的41，且样本容量为160，则正中间这一组的频数为（ ） A. 32B. 0.2C. 40D. 0.258. 如图所示向一个边长为10厘米的正方形区域中抛撒200颗绿豆，经过统计，有68颗绿豆落在图中的区域D 中，那么由此估计，区域D 的面积大约是（ ）平方厘米。
2015高一上学期期末考试数学试题 word版
2015学年第一学期期末教学质量检测高一数学试题卷一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 已知集合{1,2,3,4,5,6,7}U =，集合{2,4,5}A =，则U C A =A. ∅B. {1,3,5}C. {1,3,6,7}D.{1,3,5,7} 2. 当1a >时，在同一坐标系中，函数x y a =与log a y x =的图象是3．下列函数中，是奇函数且在区间(0,1)内单调递减的函数是A ．2log y x = B ．1y x x =- C ．3y x =- D ．x y tan =4. 把函数sin 3y x =的图像向右平移4π个长度单位，所得曲线的对应函数式A. )433sin(π-=x yB. )43sin(π+=x yC. )43sin(π-=x yD. )433sin(π+=x y5. 若3cos θ=5 (0)2πθ-<<，则cos()6πθ-的值是 A ．10433± B ．10334± C ．10433- D ． 10433+ 6．函数||()5x f x =的值域是A. ]1,(-∞B. ),1[+∞C. ]1,0(D. ),0(+∞7. 函数230()30151x x f x x x x x +≤⎧⎪=+<≤⎨⎪-+>⎩的最大值是A ．1B ．2C ．3D ．4 8. 已知()f x 是R 上的增函数，对实数,a b ，若 0a b +>，则有 A.()()()()f a f b f a f b +>-+- B.()()()()f a f b f a f b +<-+- C.()()()()f a f b f a f b ->--- D.()()()()f a f b f a f b -<-+- 9．若log 2log 20a b <<，则a ，b 满足的关系是A ．1a b <<B ．1b a <<C ．01a b <<<D ．01b a <<<10．函数sin tan y x x =+，[,]44x ππ∈-的值域是A.[B.[2,2]-C.[D.[1]- 11．若()()11sin ,sin 23αβαβ+=-=，则βαtan tan 为A.5 1B.5C.6 1D.612. 已知()f x 为偶函数，当0x ≥时，()()211f x x =--+，则满足()1122f f a ⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦的实数a 的个数为 A.2 B.4 C.6 D.8二．填空题（本大题共6小题，单空每小题4分,多空每小题6分，共28分，将答案填在答题卷的相应位置．）13．若函数1()3sin()23f x x π=+，则()f x 的周期是 ▲ ;()f π=▲ .14．若2tan =α，则sin()cos()απα-=+ ▲ ；sin cos α⋅α= ▲ .15．已知某扇形的周长是16，圆心角是2弧度，则该扇形的面积是 ▲ . 16．若函数2()35f x x x a =-+的一个零点在区间(2,0)-内，另一个零点在区间(1,3)内， 则实数a 的取值范围是 ▲ .17．已知2()log (4)f x ax =-在区间[3,1-]上是增函数,则a 的取值范围是 ▲ .18．已知定义在R 上的函数)(x f 满足: )(1)1(x f x f =+,当]1,0(∈x 时,x x f 2)(=,则=)9(log 2f ▲ .三．解答题（本大题共4小题，共44分．解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤．）19．（本题满分10分）函数()sin(),(0,0,0)f x A x A ωϕωϕπ=+>><<图象的一段如图所示．（1）求此函数的解析式；（2）求函数()f x 在区间[0,]2π上的最大值和最小值．20．（本题满分10分）已知2()21x x af x +=+是奇函数.（1）求实数a 的值；（2）试判断函数()f x 的单调性并加以证明；（3）对任意的x R ∈，不等式()f x m <恒成立，求实数m 的取值范围.21.（本题满分12分）已知函数()2cos 2cos 1f x x x x =+-()x ∈R ．（1）求函数()f x 的单调递减区间; （2）若()065f x =，0,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求0cos 2x 的值．22．（本题满分12分）如图，正方形ABCD 的边长为1，Q P ,分别为DA AB ,上动点，且APQ ∆的周长为2，设 y AQ x AP ==,. （1）求y x ,之间的函数关系式)(x f y =；（2）判断PCQ ∠的大小是否为定值？并说明理由； （3）设ΔPCQ 的面积分别为S ，求S 的最小值.2015学年第一学期期末教学质量检测 高一数学试题参考答案及评分标准一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 二、填空题（本大题共6小题，单空每小题4分,多空每小题每空6分，共28分，将答案填在答题卷的相应位置.）13. 4π，32 14. 2，2515. 16 16.{|120}a a -<< 17. {|40}a a -<< 18. 89三、解答题（本大题有4小题，前2题每题10分，后2题每题12分，共44分．解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤.）19.解：（1）显然23A = …………………… 1分由()212122T πππ=---=得T π=，所以2ω= ……………………3分由于22()sin(2)3123f x x πϕ=+过点（－，），故有sin()16πϕ-+=又0ϕπ<<，则5666πππϕ-<-< ，故62ππϕ-= 即 23πϕ= (4)分 所以此函数的解析式为22()sin(2)33f x x π=+. …………………… 5分（2）因为02x π≤≤，所以 2252333x πππ≤+≤…………………… 6分因此()f x 在22233x ππ+=即0x =时取得最大值22(0)sin 33f π==…… 8分()f x 在23232x ππ+=即512x π=时取得最小值232(0)sin 323f π==- (10)分题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案CBCACBDADDAC20.解：（1）方法一：因为()f x 是R 上的奇函数，所以(0)0f =， 即102a+= 所以1a =- ， ………… 2分此时 21()21x x f x -=+因211221()()211221x x x x xx f x f x ------===-=-+++ ，故1a =-成立 …… 4分 方法二：因为()f x 是R 上的奇函数，所以()()0f x f x -+=即2202121x x x x a a--+++=++，化简得(1)(222)0x x a -+++=，所以 1a =- (4)分（2）设12x x <，则121222220x x x x <-< 即 ……………… ５分12121212222(22)()()(1)(1)02121(21)(21)x x x x x x f x f x --=---=<++++ ……… ７分所以()f x 是单调递增函数. ………… ８分 （３）因为2()1121x f x =-<+，要使不等式()f x m <对任意的x R ∈恒成立， 只要1m ≥，所以实数m 的取值范围是{|1}m m ≥ …………… 10分21. 解:（1）由()2cos 2cos 1f x x x x =+-得())()22sin cos 2cos 12cos 22sin(2)6f x x x x x x x π=+-=+=+．…… 2分由 3222262k x k πππππ+≤+≤+得263k x k ππππ+≤≤+()k Z ∈．所以函数()f x 的单调递减区间是2[,]63k k ππππ++()k Z ∈． ………………6分（2）由（1）知，()002sin(2)6f x x π=+，又由已知()065f x =，则03sin(2)65x π+=． …………………………7分因为0,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则0272,636x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，因此0cos(2)06x π+<，所以04cos(2)65x π+=-， …………………………10分于是00cos 2cos (2)66x x ππ⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦00cos(2)cos sin(2)sin 6666x x ππππ=+++431552=-+⨯=………………………… 12分22. 解：（1）由已知可得2PQ x y =--，根据勾股定理有 22PQ 2=AP +AQ即：2222)x y x y --=+（ ……… 2分化简得：2x y x y xy --=+-即有22<x<2x y f x x -==-（）（01） ………… 3分（2）tan 1tan 1DQ BPDCQ y BCP x DC BC∠==-∠==-； ……………… 5分112tan 11)(1y x x yDCQ BCP y x x y xy-+---∠+∠==---+-（）（）（）（)=1 ……………… 7分024DCQ BCP DCQ BCP ππ⎛⎫∠+∠∈∴∠+∠= ⎪⎝⎭，，24PCQ DCQ BCP ππ∴∠=-∠+∠=（）（定值） (8)分（3）1111111222APQ BCP DCQ S S S S xy x y ∆∆∆=---=-----（）（） 12x y xy =+-（）21222212222222x x x x x x x x x ---+=+-⋅---（）=（） ……10分 令212t x t =-∈，（，）212212122t t S t t t-+∴=⋅=+-（）min .1S ∴=由双勾函数知S 在 ……………… 12分。
北京市北师大附中高一数学上学期月考试卷【会员独享】
北京市师大附中-上学期高一年级月考数学试卷试卷说明：本试卷满分120分，考试时间为90分钟一、选择题（每小题5分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项） 1. 下列四个选项中正确的是（ ）A. {}1,01∈B. {}1,01∉C. {}1,1x ⊆D. {}{}1,01∈ 2. 已知集合{}2,1-=A ，{}20≤≤∈=x Z x B ，则B A ⋂等于（ ）A. {}0B. {}2C. {}2,1,0D. φ 3. 下列函数中，与函数x y =相同的是（ ）A. 2)(x y = B. 33x y = C. 2x y = D. xx y 2=4. 下列图象中不能作为函数图象的是（ ）5. 下列各函数中为奇函数的是（ ）A. 3+=x yB. x x y +=2C. 11+--=x x yD. x y -=6. 已知函数)(x f y =，[]b a x ,∈，那么集合()[]{}{}2),(,),(,=∈=x y x b a x x f y y x 中元素的个数为（ ）A. 1B. 0C. 1或0D. 1或27. 设集合{}21<≤-=x x A ，{}a x x B <=，若φ≠B A ，则a 的取值范围是（ ）A. 21≤<-aB. 2>aC. 1-≥aD. 1->a8. 设{}4,3,2,1=I ，A 与B 是I 的子集，若{}3,1=B A ，则称),(B A 为一个“理想配集”。
那么符合此条件的“理想配集”（规定),(B A 与),(A B 是两个不同的“理想配集”）的个数是（ ）A. 4B. 8C. 9D. 16二、填空题 （每小题5分，共30分，）9. 函数xx x f -++=211)(的定义域为______________________ 10. 已知函数⎩⎨⎧-+=44)(x x x f 0><x x ，则)]3([-f f 的值为_______________。
北京师大附中10-11学年高一数学上学期期末考试新人教A版
北京师大附中2010—2011学年度第一学期期末考试高一数学试卷第Ⅰ卷（模块卷）说明：1．本试卷分第I 卷（模块卷，100分）和第II 卷（综合卷，50分）两部分，共150分，考试时间120分钟．2．请将答案填写在答题纸上，考试结束后，监考人员只将答题纸收回．一、 选择题（4＇×10＝40分）：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案填写在答题纸上．1．角α的终边上有一点)2,1(-，则αsin = （ ）A.55-B.552-C.55 D.552 2．已知1sin ,tan 03αα= <，则cos α的值是 ( ）(A ) 13-(B )13(C ) (D 3．已知向量a ＝（3,4），b ＝（sin α，cos α），且a //b ，则tan α＝ （ ）（A ）43 (B)－43 (C)34 (D) －344．如果奇函数)(x f 在区间[3，7]上是增函数且最大值为5，那么)(x f 在区间]3,7[--上是（ ）A. 增函数且最小值是5-B.增函数且最大值是5-C. 减函数且最大值是5-D.减函数且最小值是5- 5．已知函数)5sin(3π+=x y 的图像为C ，为了得到函数)5sin(3π-=x y 的图像，只需把C上所有的点（ ）A ．向左平行移动5π个单位； B ．向右平行移动5π个单位 C ．向左平行移动52π个单位 D ．向右平行移动52π个单位6．已知扇形的周长是6cm ，面积是2cm 2，则扇形的中心角的弧度数是 （ ）A.1B.1或4；C.4D.2或4 7．函数sin()(0)62y x x ππ=+≤≤的值域是 ( )A.[1,1]-B. 1[,1]2C. 1[,22 D.28．如图，□ABCD 中，＝，＝，则下列结论中正确的是 （ ）（A ）＋＝－ （B ）＋＝ （C ）BD ＝a ＋b（D ）AD －BA ＝a ＋b9．下列说法：①若0,a b a c a b c ⋅=⋅≠= 且则 ②若0,0,0a b a b ⋅===则或 ③△ABC 中，若AB BC 0⋅>，则△ABC 是锐角三角形 ④△ABC 中，若AB BC 0⋅=，则△ABC 是直角三角形其中正确的个数是 （ ） (A )0 (B ) 1 (C ) 2 (D ) 3 10．函数x x f sin )(2=对于R x ∈，都有)()()(21x f x f x f ≤≤，则21x x -的最小值为（ ） A ．4π B ． 2πC ． πD ． π2 二、填空题（4＇×5＝20分）：请将答案填在答题纸上．11．设向量a 与b 的夹角为θ，且)3,3(=a，)2,1(b ，则=θcos ______．12．函数⎩⎨⎧->-≤+=)1(,)1(,2)(2x x x x x f ，则((2))f f -= ；()3,f x =则x= ___. 13．已知向量a =(2,0)， b =(1,)x ，且a 、b 的夹角为3π，则x =_______． 14．（1）计算：16cos()3π-=___________________； （2）已知1sin 2α=，]2,0[πα∈，则=α___________ 15．已知52cos()3sin()22tan 2,4sin(2)9cos()x x x x x ππππ--+= =-++则_________．北京师大附中2010——2011学年度第一学期期末考试高 一 数 学 试 卷（答题纸）班级_______ 姓名_______ 学号_______ 成绩_______二、填空题11．______________________________ 12．______________；________________ 13．______________________________ 14．_______________；_______________ 15．______________________________三、解答题16. 已知向量b a ,满足：||1,||2||a b a b = =＝，－（1）求|2|;a b －（2）若(2)a b ka b +⊥)（－，求实数k 的值．17. 已知函数m x x f ++=)42sin(2)(π的图象经过点,24π⎛⎫⎪⎝⎭．（Ⅰ）求实数的m 值；（Ⅱ）求函数()f x 的最大值及此时x 的值的集合； （III ）求函数()f x 的单调区间.18. 已知函数()sin(3)(0,(,),0f x A x A x ϕϕπ=+>∈-∞+∞<<在12x π=时取得最大值4．(1) 求()f x 的最小正周期； (2) 求()f x 的解析式； (3) 若f (23α +12π)=125,求cos2α．北京师大附中2010——2011学年度第一学期期末考试高 一 数 学 试 卷第II 卷（综合卷）班级_______ 姓名_______ 学号_______一、填空题（5＇×2＝10分）1．函数]65,3[,3sin 2cos )(2ππ∈++=x x x x f 的最小值是_________．2．已知集合{}2log 2,(,)A x x B a =≤=-∞，若A B ⊆，则实数a 的取值范围是 ．二、解答题（共40分）3．在平面直角坐标系xOy 中，点A(－1,－2)、B(2,3)、C(－2,－1)。
北京师大附中高一数学上学期期末考试新人教A版
北京师大附中第一学期期末考试高一数学试卷第Ⅰ卷（模块卷）说明：1．本试卷分第I 卷（模块卷，100分）和第II 卷（综合卷，50分）两部分，共150分，考试时间120分钟．2．请将答案填写在答题纸上，考试结束后，监考人员只将答题纸收回．一、 选择题（4＇×10＝40分）：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案填写在答题纸上．1．角α的终边上有一点)2,1(-，则αsin = （ ）A.55-B.552-C.55D.552 2．已知1sin ,tan 03αα= <，则cos α的值是 ( ）(A ) 13-(B )13(C ) 223-(D )2233．已知向量a ＝（3,4），b ＝（sin α，cos α），且a //b ，则tan α＝ （ ）（A ）43 (B)－43 (C)34 (D) －344．如果奇函数)(x f 在区间[3，7]上是增函数且最大值为5，那么)(x f 在区间]3,7[--上是（ ）A. 增函数且最小值是5-B.增函数且最大值是5-C. 减函数且最大值是5-D.减函数且最小值是5- 5．已知函数)5sin(3π+=x y 的图像为C ，为了得到函数)5sin(3π-=x y 的图像，只需把C 上所有的点（ ）A ．向左平行移动5π个单位； B ．向右平行移动5π个单位 C ．向左平行移动52π个单位 D ．向右平行移动52π个单位6．已知扇形的周长是6cm ，面积是2cm 2，则扇形的中心角的弧度数是 （ ）A.1B.1或4；C.4D.2或4 7．函数sin()(0)62y x x ππ=+≤≤的值域是 ( )A.[1,1]-B. 1[,1]2C. 13[,]2 D.3[,1] 8．如图，□ABCD 中，AD ＝a ，AB ＝b ，则下列结论中正确的是 （ ） （A ）AB ＋BD ＝a －b （B ）BC ＋AC ＝b （C ）BD ＝a ＋b（D ）AD －BA ＝a ＋b9．下列说法：①若0,a b a c a b c ⋅=⋅≠=且则 ②若0,0,0a b a b ⋅===则或 ③△ABC 中，若AB BC 0⋅>，则△ABC 是锐角三角形 ④△ABC 中，若AB BC 0⋅=，则△ABC 是直角三角形其中正确的个数是 （ ） (A )0 (B ) 1 (C ) 2 (D ) 3 10．函数x x f sin )(2=对于R x ∈，都有)()()(21x f x f x f ≤≤，则21x x -的最小值为（ ） A ．4π B ． 2πC ． πD ． π2 二、填空题（4＇×5＝20分）：请将答案填在答题纸上．11．设向量a 与b的夹角为θ，且)3,3(=a ，)2,1(b ，则=θcos ______．12．函数⎩⎨⎧->-≤+=)1(,)1(,2)(2x x x x x f ，则((2))f f -= ；()3,f x =则x= ___. 13．已知向量a =(2,0)， b =(1,)x ，且a 、b 的夹角为3π，则x =_______． 14．（1）计算：16cos()3π-=___________________； （2）已知1sin 2α=，]2,0[πα∈，则=α___________ 15．已知52cos()3sin()22tan 2,4sin(2)9cos()x x x x x ππππ--+= =-++则_________．北京师大附中2010——2011学年度第一学期期末考试高 一 数 学 试 卷（答题纸）班级_______ 姓名_______ 学号_______ 成绩_______二、填空题11．______________________________ 12．______________；________________ 13．______________________________ 14．_______________；_______________ 15．______________________________三、解答题16. 已知向量b a ,满足：||1,||2||7a b a b = =＝，－．（1）求|2|;a b －（2）若(2)a b ka b +⊥)（－，求实数k 的值．17. 已知函数m x x f ++=)42sin(2)(π的图象经过点,24π⎛⎫⎪⎝⎭． （Ⅰ）求实数的m 值；（Ⅱ）求函数()f x 的最大值及此时x 的值的集合； （III ）求函数()f x 的单调区间.18. 已知函数()sin(3)(0,(,),0f x A x A x ϕϕπ=+>∈-∞+∞<<在12x π=时取得最大值4．(1) 求()f x 的最小正周期； (2) 求()f x 的解析式； (3) 若f (23α +12π)=125,求cos2α．北京师大附中2010——2011学年度第一学期期末考试高 一 数 学 试 卷第II 卷（综合卷）班级_______ 姓名_______ 学号_______一、填空题（5＇×2＝10分）1．函数]65,3[,3sin 2cos )(2ππ∈++=x x x x f 的最小值是_________．2．已知集合{}2log 2,(,)A x x B a =≤=-∞，若A B ⊆，则实数a 的取值范围是 ．二、解答题（共40分）3．在平面直角坐标系xOy 中，点A(－1,－2)、B(2,3)、C(－2,－1)。
2015北师大附中高一(上)期中数学
2015北师大附中高一（上）期中数学一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，将正确答案的序号填在答题卡上）1．（5分）下列四个函数中，在（0，+∞）上单调递增的是（）A．f（x）=1﹣2x B．f（x）=x2﹣3x C．f（x）=﹣D．f（x）=﹣|x|2．（5分）如果A={x|x＞﹣1}，那么下列表示正确的是（）A．0⊆A B．{0}∈A C．∅∈A D．{0}⊆A3．（5分）已知集合，M={﹣1，1}，则M∩N=（）A．{﹣1，1} B．{0} C．{﹣1} D．{﹣1，0}4．（5分）当0＜a＜1时，在同一坐标系中，函数y=a x与y=log a x的图象是（）A．B． C． D．5．（5分）函数y=lg（x2﹣x）的定义域为（）A．{x|x≤0，或x≥1} B．{x|x＜0，或x＞1} C．{x|0≤x≤1} D．{x|0＜x＜1}6．（5分）三个数a=0.32，b=log20.3，c=20.3之间的大小关系是（）A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．b＜c＜a7．（5分）命题p：∀x1，x2∈R，x1≠x2，有＞0，命题q：f（x）为R上的增函数；则命题p是命题q的（）条件．A．充分不必要B．必要不充分C．充要 D．不充分且不必要8．（5分）根据统计，一名工人组装第x件产品所用的时间（单位：分钟）为f（x）=（a，c为常数）．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第a件产品用时5分钟，那么c和a的值分别是（）A．75，25 B．75，16 C．60，144 D．60，16二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将正确答案填在横线上）9．（5分）已知：命题p：∀x＞1，有x2＞1，则命题¬p为：．10．（5分）f（x）为奇函数，且x＞0时，f（x）=x2﹣2x，则x＜0时，f（x）= ．11．（5分）已知奇函数f（x）在x≥0时的图象如图所示，则不等式xf（x）＜0的解集．12．（5分）已知偶函数f（x）在区间[0，+∞）上单调增加，则满足f（2x﹣1）＜f（）的x取值范围是．三、解答题（本大题共3小题，共40分，写出必要的解答过程）13．（12分）全集U=R，A={x||x|≥1}，B={x|x2﹣2x﹣3＞0}，求（∁U A）∩（∁U B）．14．（16分）计算：（1）（2）．15．（12分）已知：函数f（x）=，x∈[1，+∞），（1）当a=﹣1时，判断并证明函数的单调性并求f（x）的最小值；（2）若对任意x∈[1，+∞），f（x）＞0都成立，试求实数a的取值范围．四、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将正确答案的序号填在横线上）16．（5分）不等式（3﹣x）≥﹣2的解集为：．17．（5分）若函数f（x）=a x﹣x﹣a（a＞0且a≠1）有一个零点，则实数a的取值范围为．18．（5分）函数y=lg（1﹣x2），x∈（﹣1，1）的值域为．19．（5分）已知f（x）=是（﹣∞，+∞）上的减函数，那么a的取值范围是．五、解答题（本大题共3小题，共30分，写出必要的解答过程）20．（10分）设集合A={x|﹣1≤x≤3}，B=，若A∩B≠∅，求实数a的取值范围．21．（10分）A={x|x2﹣4x+3＜0，x∈R}，B={x∈R|21﹣x+a≤0且x2﹣2（a+7）x+5≤0}．若A⊆B，求实数a的取值范围．22．（10分）若函数f（x）不是常函数，且对∀a，b∈R，有f（a+b）+f（a﹣b）=2f（a）f（b）成立．（1）求f（0）的值；（2）求证：f（x）为偶函数；（3）求证：若f（2）=1，f（1）≠1，则对∀x∈R有f（x+2）=f（x）．数学试题答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，将正确答案的序号填在答题卡上）1．【解答】f（x）=1﹣2x在R上递减，f（x）=x2﹣3x的对称轴x=，在（0，）递减，f（x）=﹣在（0，+∞）递增，f（x）=﹣|x|在（0，+∞）递减，故选：C．2．【解答】A={x|x＞﹣1}，由元素与集合的关系，集合与集合关系可知：{0}⊆A．故选：D．3．【解答】∵集合={x|﹣1＜x+1＜2，x∈z}={x|﹣2＜x＜1，x∈z}={﹣1，0}，M={﹣1，1}，∴M∩N={﹣1}，故选C．4．【解答】∵函数y=a x与y=log a x互为反函数，∴它们的图象关于直线y=x对称，且当0＜a＜1时，函数y=a x与y=log a x都是减函数，观察图象知，D正确．故选D．5．【解答】∵函数y=lg（x2﹣x），∴x2﹣x＞0，解得x＜0，或x＞1；∴y的定义域为{x|x＜0，或x＞1}．故选：B．6．【解答】由对数函数的性质可知：b=log20.3＜0，由指数函数的性质可知：0＜a＜1，c＞1∴b＜a＜c故选C7．【解答】∀x1，x2∈R，x1≠x2，有＞0⇔f（x）为R上的增函数；则命题p是命题q的充要条件，故选：C．8．【解答】由题意可得：f（a）==5，所以c=5，而f（4）==30，可得出=30，故c=60，a=144，故选：C二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将正确答案填在横线上）9．【解答】因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题p：∀x＞1，有x2＞1，则命题¬p为：∃x＞1，x2≤1；故答案为：∃x＞1，x2≤1；10．【解答】∵函数y=f（x）是奇函数∴f（﹣x）=﹣f（x）∵x＞0时，f（x）=x2﹣2x，由x＜0时，﹣x＞0可得f（x）=﹣f（﹣x）=﹣[（﹣x）2﹣2﹣x]=﹣x2+2﹣x故答案为：﹣x2+2﹣x；11．【解答】∵xf（x）＜0①当x＞0时，f（x）＜0，结合函数的图象可得，1＜x＜2，（2）x＜0时，f（x）＞0，根据奇函数的图象关于原点对称可得，﹣2＜x＜﹣1，∴不等式xf（x）＜0的解集为（﹣2，﹣1）∪（1，2）．故答案为：（﹣2，﹣1）∪（1，2）．12．【解答】如图所示：∵f（2x﹣1）＜f（）∴﹣＜2x﹣1＜，即＜x＜．故答案为：（，）三、解答题（本大题共3小题，共40分，写出必要的解答过程）13．【解答】由已知得：A={x||x|≥1}={x|x≥1或x≤﹣1}，B={x|x2﹣2x﹣3＞0}={x|（x+1）（x﹣3）＞0}={x|x＜﹣1或x＞3}，∵全集U=R，∴C U A={x|﹣1＜x＜1}，C U B={x|﹣1≤x≤3}，∴（C U A）∩（C U B）={x|﹣1＜x＜1}．故答案为（C U A）∩（C U B）={x|﹣1＜x＜1}．14．【解答】（1）原式===2．（2）原式=﹣1﹣+=﹣+=0.5．15．【解答】（1）当a=﹣1时f（x）==x﹣+2f′（x）=1+＞0，x∈[1，+∞），所以f（x）在x∈[1，+∞）上是增函数，所以x=1时f（x）取最小值，最小值为2（2）若对任意x∈[1，+∞）f（x）＞0恒成立，则＞0对任意x∈[1，+∞）恒成立，所以x2+2x+a＞0对任意x∈[1，+∞）恒成立，令g（x）=x2+2x+a，x∈[1，+∞），因为g（x）=x2+2x+a在∈[1，+∞），上单调递增，所以x=1时g（x）取最小值，最小值为3+a，∵3+a＞0，∴a＞﹣3．四、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将正确答案的序号填在横线上）16．【解答】（3﹣x）≥﹣2=，∴，解得﹣1≤x＜3，故不等式的解集为[﹣1，3），故答案为：[﹣1，3）．17．【解答】函数f（x）=a x﹣x﹣a（a＞0且a≠1）有一个零点等价于：函数y=a x（a＞0，且a≠1）与函数y=x+a的图象有一个交点，由图象可知当0＜a＜1时两函数只有一个交点，符合条件．当a＞1时（如图2），因为函数y=a x（a＞1）的图象过点（0，1），而直线y=x+a所过的点（0，a），此点一定在点（0，1）的上方，所以一定有两个交点，所以实数a的取值范围是0＜a＜1．故答案为：0＜a＜118．【解答】由函数y=lg（1﹣x2），x∈（﹣1，1），得0＜1﹣x2≤1，∴y=lg（1﹣x2）≤lg1=0．即函数的值域为（﹣∞，0]，故答案为：（﹣∞，0]．19．【解答】∵当x≥1时，y=log a x单调递减，∴0＜a＜1；而当x＜1时，f（x）=（3a﹣1）x+4a单调递减，∴a＜；又函数在其定义域内单调递减，故当x=1时，（3a﹣1）x+4a≥log a x，得a≥，综上可知，≤a＜．故答案为：≤a＜五、解答题（本大题共3小题，共30分，写出必要的解答过程）20．【解答】B=={x|＜0}={x|（x﹣a）（x﹣3a）＜0} 当a=0时，B=ϕ，不合题意；当a＞0时，B=（a，3a），解得：0＜a＜3；当a＜0时，B=（3a，a），解得：﹣1＜a＜0；综上：0＜a＜3或﹣1＜a＜0．21．【解答】∵A={x|x2﹣4x+3＜0，x∈R}=（1，3），若A⊆B，则对A中任意一数，均满足B中的两个条件21﹣x+a≤0且x2﹣2（a+7）x+5≤0；令f（x）=21﹣x+a，g（x）=x2﹣2（a+7）x+5，则f（x），g（x）在（1，3）上的图象均在x轴的下方，故，即解得：﹣4≤a≤﹣1；22．【解答】（1）解：令a=b=0，得：2f（0）=2f2（0），所以f（0）=0或1；若f（0）=0，则令b=0，得：f（a）=0与f（x）不是常函数矛盾，所以f（0）=0舍去．所以：f（0）=1；（2）证明：令a=0得：f（b）+f（﹣b）=2f（b）⇔f（b）=f（﹣b），所以：f（x）为偶函数；（3）解：令a=b=1，可得f（2）+f（0）=2f（1）f（1），因为f（2）=1，f（1）≠1，所以；所以f（﹣x）=﹣f（1+x）⇒f（x）=f（x+2）．。
2022-2023学年北京师范大学附属中学高一上学期期末数学试题(解析版)
2022-2023学年北京师范大学附属中学高一上学期期末数学试题一、单选题1．设全集R U =，集合{}220A x x x =--≤，{}lg 0B x x =>，则A B =（ ）A ．{}12x x -≤≤B ．{}12x x <≤C ．{}12x x <<D ．{}1x x ≥-【答案】B【分析】利用一元二次不等式的解法和对数不等式的解法求解. 【详解】由220x x --≤解得12x -≤≤，所以{}12A x x =-≤≤， 由lg 0x >解得1x >，所以{}1B x x =>， 所以{}12A B x x ⋂=<≤， 故选:B.2．已知{|02}A x x =，{|12}B y y =，下列图形能表示以A 为定义域，B 为值域的函数的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】A.其值域为[0,2]，故不符合题意；B.符合题意；CD 是函数图象，值域为{1,2}，故不符合题意.【详解】解：A 是函数图象，其值域为[0,2]，与已知函数的值域为{|12}B y y =不符，故不符合题意；B 是函数的图象，定义域为[0,2]，值域为[1,2]，故符合题意；C 是函数图象，值域为{1,2}，与已知函数的值域为{|12}B y y =不符，故不符合题意；D 是函数图象，值域为{1,2}，故不符合题意. 故选：B3．单位圆上一点P 从()0,1出发，逆时针方向运动π3弧长到达Q 点，则Q 的坐标为（ ）A ．12⎛- ⎝⎭B ．12⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭C ．1,2⎛- ⎝⎭D ．21⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【答案】D【分析】由题意得5π6ππ23QOx ∠=+=，从而得到π55cos ,πsin 66Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，结合诱导公式求出答案.【详解】点P 从()0,1出发，沿单位圆逆时针方向运动π3弧长到达Q 点，所以5π6ππ23QOx ∠=+=， 所以π55cos ,πsin 66Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，其中5coscos cos 6611π6πππ⎛⎫=-=- ⎭=⎪⎝，25s s 1in sin in 66ππ611ππ⎛⎫=-= ⎭=⎪⎝，即Q 点的坐标为：21⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭．故选：D ．4．不等式21216x +>的解集为（ ） A ．3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．53,,22⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．53,,22⎛⎤⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎝⎦⎝⎭D ．52⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭,【答案】B【分析】根据指数函数单调性解不等式，得到解集. 【详解】不等式21216x +>， ∴21422x +>，即214x +>． ∴214x +<-或214x +>， 解得：52x <-或32x >，∴解集是53,,22⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故选：B ．5．《九章算术》是我国算术名著，其中有这样的一个问题：“今有宛田，下周三十步，径十六步．问为田几何？”意思是说：“现有扇形田，弧长30步，直径16步，问面积是多少？”在此问题中，扇形的圆心角的弧度数是（ ） A ．154B ．415C ．158D ．120【答案】A【分析】根据扇形面积公式得到面积为120步，设出扇形圆心角，根据212S R α=求出扇形圆心角.【详解】因为直径16步，故半径为8R =步， 3081202S ⨯==（平方步）， 设扇形的圆心角为α，则212S R α=，即1151206424αα=⨯⇒=．故选：A6．设a =0.80.9b =，0.9log 0.8c =，则（ ） A ．c a b >> B ．a c b >> C ．a b c >> D ．c b a >>【答案】A【分析】利用幂函数，指数函数以及对数函数的单调性以及中间值法即可比较大小.【详解】12a =<=<=0.800.90.91b =<=，0.90.9log 0.8log 0.812c =>=， 所以c a b >>． 故选：A7．已知函数212()log (45)f x x x =--，则函数()f x 的减区间是（ ） A ．(,2)-∞ B ．(2,)+∞ C ．(5,)+∞ D ．(,1)-∞-【答案】C【解析】先求得()f x 的定义域，然后根据复合函数同增异减确定()f x 的减区间.【详解】由()()245510x x x x --=-+>解得1x <-或5x >，所以()f x 的定义域为()(),15,-∞-+∞.函数245y x x =--的开口向上，对称轴为2x =， 函数12log y x=在()0,∞+上递减，根据复合函数单调性同增异减可知函数()f x 的减区间是()5,+∞. 故选：C8．已知实数0x y >>，且111216x y +=+-，则x y -的最小值是（ ） A ．21 B ．25 C ．29 D ．33【答案】A【分析】根据基本不等式即可求解. 【详解】∵0x y >>，等式111216x y +=+-恒成立， ∴()()111321621x y x y x y ⎛⎫-+=++-+ ⎪+-⎝⎭，由于0x y >>，所以10,20y x ->+>∵()1121212242112x y x y x y y x ⎛⎫+-+++-=++≥+ ⎪+--+⎝⎭， 当且仅当21x y +=-时，即10,11x y ==-时取等号． ∴()1346x y -+≥，∴21x y -≥，故x y -的最小值为21． 故选：A二、多选题9．下列命题中，是存在量词命题且是真命题的是（ ） A ．x ∃∈R ，0x ≤B ．存在x ∈R ，使得210x x ++=C ．至少有一个无理数x ，使得3x 是有理数D ．有的有理数没有倒数【答案】ACD【分析】根据存在量词可判断存在量词命题，进而根据数与式的性质即可判断真假.【详解】对于A.命题是存在量词命题，所以0x ∃=，使0x =，所以A 是真命题，故A 正确； 对于B ．对应方程210x x ++=，30∆=-<，方程无解，故B 错误；对于C ．命题是存在量词命题，x ∃=33=是有理数，所以C 是真命题；对于D ．有理数0没有倒数 ，故D 正确； 故选:ACD ．10．下列说法正确的是（ ）A ．若sin cos 0αα⋅>，则α为第一象限角B ．将表的分针拨快5分钟，则分针转过的角度是30-︒C ．终边经过点()(),0a a a ≠的角的集合是ππ,Z 4k k αα⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭D ．在一个半径为3cm 的圆上画一个圆心角为30︒的扇形，则该扇形面积为23πcm 2【答案】BC【分析】A 选项，根据sin ,cos αα同号，确定角所在象限； B 选项，顺时针转动了30°，故B 正确；C 选项，根据终边在第一、三象限的角平分线上，确定角的集合；D 选项，由扇形面积公式进行求解.【详解】A 选项，若sin cos 0αα⋅>，则α为第一象限角或第三象限角，故A 错误； B 选项，将表的分针拨快5分钟，顺时针转动30°，故分针转过的角度是30-︒，故B 正确； C 选项，终边经过点()(),0a a a ≠的角的终边在直线y x =上，故角的集合是ππ,Z 4k k αα⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭，C正确；D 选项，扇形面积为22211π3π3cm 2264S R α==⨯⨯=，故D 错误． 故选：BC ． 11．已知函数()12f x x =-，则下列结论中正确的是（ ） A ．()f x 是偶函数 B ．()f x 在(),2-∞-上单调递增 C ．()f x 的值域为R D ．当()2,2x ∈-时，()f x 有最大值【答案】ABD【分析】A 选项，根据分母不为0得到定义域，再由奇偶性的定义判断A 正确； B 选项，先求出()12f x x =-在()2,+∞上均单调递减，结合奇偶性得到B 正确； C 选项，由()12f x x =-在()0,2和()2,+∞上的单调性结合奇偶性得到()f x 的值域，C 错误； D 选项，根据()f x 在()2,2x ∈-上的单调性得到最大值. 【详解】对于A ，由20x -≠得函数()f x 定义域为{}2x x ≠±， 所以()()122f x x x =≠±-． 由()()1122f x f x x x -===---， 可得函数()f x 为偶函数，其图象关于y 轴对称，故A 正确； 对于B ，当0x >且2x ≠时，函数()12f x x =-，该函数图象可由函数1y x=图象向右平移2个单位得到， 所以函数()12f x x =-在()0,2和()2,+∞上均单调递减， 由偶函数性质，可知()f x 在(),2-∞-上单调递增，故B 正确； 对于C ，由B 可得，当0x >且2x ≠时， 函数()12f x x =-在()0,2和()2,+∞上均单调递减， 所以该函数在()()0,22,+∞的值域为()1,0,2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭；又因为函数()f x 为偶函数，且()102f =-，所以()f x 在其定义域上的值域为()1,0,2⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦，故C 错误；对于D ，当()2,2x ∈-时，函数()f x 在()2,0-上单调递增，在()0,2上单调递减，所以()f x 有最大值为()102f =-，故D 正确．故选：ABD ．12．如图所示，边长为2的正方形ABCD 中，O 为AD 的中点，点P 沿着A B C D →→→的方向运动，设AOP ∠为x ，射线OP 扫过的阴影部分的面积为()f x ，则下列说法中正确的是（ ）A ．()f x 在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上为减函数B ．π142f ⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．()()π4f x f x +-=D ．()f x 图象的对称轴是π2x =【答案】BC【分析】当点P 在AB 的中点时，此时π4AOP ∠=，即可判断B ，根据阴影部分的面积变化可知()f x 的单调性，进而可判断A ，根据面积的之和为4，可判断对称性，进而可判断CD.【详解】对于A 选项，取BC 的中点为G ，当π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,点P 在GCD 之间运动时，阴影部分的面积增加，所以()f x 在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，A 选项错误；对于B 选项，当点P 在AB 的中点时，此时π4AOP ∠=，所以，()11111222f x OA AP =⋅=⨯⨯=，故B 正确，对于C 选项，取BC 的中点G ，连接OG ，作点P 关于直线OG 的对称点F ，则FOD x ∠=，所以πAOF x ∠=-，OF 绕O 点按顺时针方向旋转扫过正方形ABCD 的面积为S ，由对称性可知()S f x =， 因为()π4S f x +-=，即()()π4f x f x +-=，C 选项正确；对于D 选项，由C 选项可知，()()π4f x f x +-=，则π3π+=444f f ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以，3ππ7π44424f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=≠ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以，函数()f x 的图象不关于直线π2x =对称，D 选项错误． 故选：BC三、填空题 13．求值：26π17πsin cos()34+-=__________． 32+【分析】利用终边相同的角同名三角函数值相等和诱导公式即可求解 【详解】26π2π2π3sinsin(8π)sin 333=+= 17πππ2cos cos 4πcos cos 4444π⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以26π17πsincos()3432-=++32+14．已知幂函数()()257mf x m m x =-+是R 上的增函数，则m 的值为______．【答案】3【分析】根据幂函数的定义与性质，即可求出m 的值．【详解】由题意()()257mf x m m x =-+是幂函数，2571m m ∴-+=，解得2m =或3m =，又()f x 是R 上的增函数,则 3m =. 故答案为：3.【点睛】本题考查了幂函数的定义与性质的应用问题，解题的关键是得出关于m 的方程和不等式，是基础题．15．若“13x <<”的必要不充分条件是“22a x a -<<+”，则实数a 的取值范围是______． 【答案】[]1,3【分析】将必要不充分条件转化为集合之间在关系，即可列不等式求解. 【详解】由于“13x <<”的必要不充分条件是“22a x a -<<+”，所以{}13x x << {}22x a x a -<<+则2123a a -≤⎧⎨+≥⎩且两个等号不同时取得，解得13a ≤≤，经检验1a =和3a =均符合要求， 故a 的取值范围是[]1,3． 故答案为：[]1,316．已知函数()()25,2lg 2,2x x f x x x x ⎧-≤-⎪=⎨+>-⎪⎩，若方程()1f x =的实根在区间()(),1Z k k k +∈上，则k 的所有可能值是______． 【答案】－3，－2或1【分析】先由()2512x x -=≤-求出x =3k =-，再变形得到()1lg 2(2)x x x+=>-，画出两函数图象，数形结合得到两个根，结合零点存在性定理得到两根分别在()2,1--与()1,2内，从而确定k 的所有可能值.【详解】①由方程()2512x x -=≤-，解得：x =因为()3,2--， 故3k =-；②由于方程()lg 21(2)x x x +=>-即方程()1lg 2(2)x x x+=>-，分别作出左右两边函数的图象，从图象上可得出：方程()1lg 2x x+=在区间()2,1--内有一个实根． 故方程()lg 21x x +=在区间()2,1--内有且仅有一个实根．此时2k =-， 下面证明：方程()lg 21x x +=在区间()1,2内有一个实根，⇔函数()()lg 21f x x x =+-，在区间()2,1--和()1,2内各有一个零点，因为()1,2x ∈时，()lg 20x +>，故函数()()lg 21f x x x =+-在区间()1,2是增函数， 又()1lg310f =-<，()22lg410f =->，即()()120f f <， 由零点存在性定理知，函数()()lg 21f x x x =+-在区间()1,2内仅有一个零点， 即方程()lg 21x x +=在区间()1,2内有且仅有一个实根， 此时1k =.故答案为：－3，－2或1．四、解答题17．（1）计算240.530364812(π)22716--⎛⎫⎛⎫⨯÷+⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭； （2）计算3log 4622713log 832log 3log 81log 232++⋅．【答案】（1）0；（2）3.【分析】（1）利用分数指数幂运算法则进行计算； （2）利用对数运算法则及性质进行计算.【详解】（1）2040.53364812(π)(2()()2716--⨯÷+⨯-2323234649499992()2()222032716348164--⎡⎤⎛⎫=÷+⨯⨯+⨯-=+⨯-=⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦；（2）3log4622713log832log log81log232++⋅3462311log24log log3log232=++-⨯662323log24log2log3log=++-⨯66log2log234++=-6log6421423=+-=+-=.18．已知集合{}22A x a x a=-≤≤+，{|1B x x=≤或}4x≥．（1）当3a=时，求A B⋂；（2）“x A∈”是“Rx B∈”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【答案】（1）{|11A B x x⋂=-≤≤或}45x≤≤；（2）{}|1a a<【分析】（1）先求出集合{}15A x x=-≤≤，再求A B⋂；（2）先求出{}|14RB x x=<<，用集合法分类讨论，列不等式，即可求出实数a的取值范围. 【详解】（1）当3a=时，{}15A x x=-≤≤.因为{|1B x x=≤或}4x≥，所以{|11A B x x⋂=-≤≤或}45x≤≤；（2）因为{|1B x x=≤或}4x≥，所以{}|14RB x x=<<.因为“x A∈”是“Rx B∈”的充分不必要条件，所以A BR.当A=∅时，符合题意，此时有22a a+<-，解得：a<0.当A≠∅时，要使A BR，只需222421a aaa+≥-⎧⎪+<⎨⎪->⎩，解得：01a≤<综上：a<1.即实数a的取值范围{}|1a a<.19．已知α是第四象限角．(1)若cos α=()()π3πcos sin 222sin πcos 2παααα⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭++-的值； (2)若25sin 5sin cos 10ααα++=，求tan α的值．【答案】(1)15- (2)12-或13-【分析】（1）先由余弦值求出正切值，再结合诱导公式，化弦为切，代入求值即可；（2）变形得到22222sin sin cos tan tan 1sin cos tan 15αααααααα++==-++，求出tan α的值. 【详解】（1）∵α是第四象限角，cos α=sin α= ∴sin tan 2cos ααα==-， ∴()()π3πcos sin sin cos tan 11222sin πcos 2π2sin cos 2tan 15αααααααααα⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭===-++--+-+．（2）∵21sin sin cos 5ααα+=-， ∴22222sin sin cos tan tan 1sin cos tan 15αααααααα++==-++， ∴1tan 2α=-或1tan 3α=-． 20．已知函数()3131-=+x x f x ． (1)证明函数()f x 为奇函数；(2)解关于t 的不等式：()()3120f t f t -+-<．【答案】(1)证明见解析 (2)12t t ⎧⎫<-⎨⎬⎩⎭【分析】（1）根据奇偶性的定义即可证明，（2）根据函数的单调性以及奇偶性即可转化成自变量的大小关系，解不等式即可.【详解】（1）因为函数()f x 的定义域为R ，关于原点对称，且()()11311331311313xxx x xxf x f x ------====-+++，所以函数()f x 是奇函数；（2）由()3131221313131x x x x x f x -+-===-+++，由于31x y =+为定义域内的单调递增函数且310x y =+>，所以131x y =+单调递减，因此函数()f x 是定义域为R 的增函数， 而不等式()()3120f t f t -+-<可化为()()312f t f t -<--，再由()()f x f x -=-可得()()312f t f t -<-，所以312t t -<-，解得21t <-， 故不等式的解集为12t t ⎧⎫<-⎨⎬⎩⎭． 21．某生物病毒研究机构用打点滴的方式治疗“新冠”，国际上常用普姆克实验系数（单位：pmk ）表示治愈效果，系数越大表示效果越好．元旦时在实验用小白鼠体内注射一些实验药品，这批治愈药品发挥的作用越来越大，二月底测得治愈效果的普姆克系数为24pmk ，三月底测得治愈效果的普姆克系数为36pmk ，治愈效果的普姆克系数y （单位：pmk ）与月份x （单位：月）的关系有两个函数模型(0,1)=>>x y ka k a 与12(0,0)y px k p k =+>>可供选择．(1)试判断哪个函数模型更合适并求出该模型的解析式；(2)求治愈效果的普姆克系数是元旦治愈效果的普姆克系数10倍以上的最小月份．（参考数据：lg20.3010≈，lg30.4711≈） 【答案】(1)选择模型(0,1)=>>x y ka k a 符合要求；该函数模型的解析式为32332xy ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，112x ≤≤，*N x ∈；(2)六月份.【分析】（1）根据两函数特征选择模型(0,1)=>>x y ka k a ，并用待定系数法求解出解析式； （2）先求出元旦治愈效果的普姆克系数，从而列出不等式，结合*N x ∈，解出6x ≥，得到答案.【详解】（1）函数(0,1)=>>x y ka k a 与12(0,0)y px k p k =+>>在()0,∞+上都是增函数， 随着x 的增加，函数(0,1)=>>x y ka k a 的值增加的越来越快， 而函数12y px k =+的值增加的越来越慢，由于这批治愈药品发挥的作用越来越大，因此选择模型(0,1)=>>x y ka k a 符合要求．根据题意可知2x =时，24y =；3x =时，36y ，∴232436ka ka ⎧=⎨=⎩，解得32332k a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩． 故该函数模型的解析式为323()32x y =⋅，112x ≤≤，*N x ∈； （2）当0x =时，323y =，元旦治愈效果的普姆克系数是32pmk 3， 由32332()10323x ⋅>⨯，得3()102x >， ∴32lg1011log 10 5.93lg3lg 20.47110.3010lg 2x >==≈≈--， ∵*N x ∈，∴6x ≥，即治愈效果的普姆克系数是元旦治愈效果的普姆克系数10倍以上的最小月份是六月份． 22．已知函数()f x 对任意实数m 、n 都满足等式()()()2f m n f m n f m -++=，当0x >时，()0f x <，且()24f =-．(1)判断()f x 的奇偶性；(2)判断()f x 的单调性，求()f x 在区间[]3,5-上的最大值；(3)是否存在实数a ，对于任意的[]1,1x ∈-，[]1,1b ∈-，使得不等式()222f x a ab <-+恒成立．若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】(1)奇函数；(2)()f x 为R 上的减函数；()f x 在[]3,5-上的最大值为6；(3)存在，实数a 的取值范围为()(),22,∞∞--⋃+．【分析】（1）赋值法得到()00f =，()()f x f x -=-，得到函数的奇偶性；（2）先由0x >时，()0f x <利用赋值法得到函数单调递减，再用赋值法和奇偶性得到()36f -=，从而得到()f x 在区间[]3,5-上的最大值；（3）先根据单调性得到()()()112f x f f ≤-=-=，问题转化为220a ab ->，[]1,1b ∀∈-恒成立，令()22g b ab a =-+，为一次函数，得到不等式组，求出实数a 的取值范围.【详解】（1）取0m n ==，则()()020f f =，∴()00f =，取0m =，n x =，则()()()00f x f x f +-==，∴()()f x f x -=-对任意x ∈R 恒成立，∴()f x 为奇函数；（2）任取()12,,x x ∈-∞+∞且21x x <， 则120x x ->，因为()()()2f m n f m n f m -++=，故()()()2f m f m n f m n -+=-， 令112,22x x m n x ==-，则有()11111222222x x x x f x f x f x ⎛⎫⎛⎫-+-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即()()()1212f x f x f x x -=-，∵0x >时，()0f x <，故120x x ->时，()120f x x -<，∴()()120f x f x -<，∴()()12f x f x <．故()f x 为R 上的减函数．∴[]3,5x ∈-，()()3f x f ≤-，∵()()()2f m n f m n f m -++=，()24f =-，令1,0==m n ，则()()()1124f f f +==-，故12f ，因为令1,2m n ==，则()()()12122f f f -++=，即()()()1324f f f -+==-， 由（1）知：()f x 为奇函数，故()()112f f -=-=，故()234f +=-，解得：()36f =-，故()()336f f -=-=，故()f x 在[]3,5-上的最大值为6；（3）∵()f x 在[]1,1-上是减函数，∴()()()112f x f f ≤-=-=，∵()222f x a ab <-+，对所有[]1,1x ∈-，[]1,1b ∈-恒成立． ∴2222a ab -+>，[]1,1b ∀∈-恒成立； 即220a ab ->，[]1,1b ∀∈-恒成立，令()22g b ab a =-+，则()()1010g g ⎧->⎪⎨>⎪⎩，即222020a a a a ⎧+>⎨-+>⎩， 解得：2a >或2a <-．∴实数a 的取值范围为()(),22,∞∞--⋃+．。
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2015北师大附中高一（上）期末数学一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．（4分）下列四个式子中，计算结果可能为负数的是（）A．sin（arccosx）B．cos（arcsinx）C．sin（arctanx）D．cos（arctanx）2．（4分）记sin35°=a，则tan2015°的值等于（）A．B．C．D．3．（4分）下列函数中，既是奇函数，又在区间[0，+∞）上单调递增的函数是（）A．y=tanx B．y=sinx C．D．4．（4分）将函数y=cosx的图象上的每个点的横坐标变为原来的2倍、纵坐标不变，再将所得图象向右平移个单位，则最后得到的图象对应的函数解析式为（）A．B．C．D．5．（4分）函数的相邻两个对称中心之间的距离是（）A．2πB．πC．D．6．（4分）若空间向量，满足，则一定有（）A．x=0 B．y=0 C．z=0 D．7．（4分）已知A（cosx，0），B（0，1﹣cosx），则的最小值是（）A．B． C．D．18．（4分）设函数y=sinx在区间上的最大值为M（t），最小值为m（t），则M（t）﹣m （t）的最小值和最大值分别为（）A．1，2 B．C．D．9．（4分）已知直线l的方向向量是，平面α的法向量是，则下列命题正确的是（）A．若，则l∥αB．若，则l⊥αC．若，则l∥αD．若，则l⊥α10．（4分）如图，将矩形纸片ABCD（其中，BC=1）沿对角线AC折起后，使得异面直线BC⊥AD，则此时异面直线AB和CD所成的角的余弦值是（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．把答案填在答题纸上．11．（4分）计算=．12．（4分）设，，则=．13．（4分）平面向量=（1，2），=（4，2），，且与的夹角等于与的夹角，则m=．14．（4分）如图，ABCD﹣A′B′C′D′是棱长为1的正方体，点P是BC′上的动点，，则的值是．15．（4分）在棱长为1的正四面体ABCD中，M，N分别是BC和AD的中点，则线段MN的长是．16．（4分）如图，给定单位向量和，它们的夹角为120°，点C在以O为圆心的上运动．若，其中x，y∈R，则x+2y的最大值是．三、解答题：本大题共3小题，36分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）设a∈R，函数f（x）=cosx（2asinx﹣cosx）+sin2x的图象的一条对称轴是直线．（Ⅰ）求的值和a的值；（Ⅱ）求函数f（x）在上的最大值和最小值．18．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A′B′C′，∠BAC=90°，AB=AC=λAA′，点M，N分别为A′B和B′C′的中点．（Ⅰ）证明：MN∥平面A′ACC′；（Ⅱ）若二面角A′﹣MN﹣C为直二面角，求λ的值．19．（12分）已知是（空间）非零向量，构造向量集合，记集合P中模最小的向量为．（Ⅰ）对于，求t的值（用表示）；（Ⅱ）求证：；（Ⅲ）若，且，构造向量序列，其中n∈N*，n≥3，请直接写出的值（用n表示，其中n≥3）．一、填空题：共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题纸上．20．（4分）已知集合A，B都是数集，1，b，a+b都是A中的元素，a﹣b，ab都是B中的元素，且A ∩B={﹣1，0}，则有序数对（a，b）=．21．（4分）已知函数f（x）为R上的增函数，且对于任意实数x，都有f[f（x）﹣3x]=4，则f（2015）的值为．22．（4分）函数的单调递增区间是．23．（4分）设函数，且对任意x∈R，x≠0，f（ax）＜f（x）恒成立，则实数a的取值范围是．24．（4分）若实数x，y满足=，则=．二、解答题：共3小题，共30分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．25．（10分）函数称为“双曲正弦函数”，类似地，函数称为“双曲余弦函数”．（Ⅰ）判断双曲正弦函数的奇偶性，并证明你的结论；（Ⅱ）双曲函数的恒等变形多具有与三角函数的恒等变形相似甚至相同的形式，请判断下列等式恒成立的是．（填写序号）①sinh2x+cosh2x=1；②sinh2x=2sinhx•coshy；③cosh2x=cosh2x﹣sinh2x．（Ⅲ）请合理定义“双曲正切函数”y=tanhx，写出用tanhx表示tanh2x的恒等变形式，并证明之．26．（10分）设a为常数，记函数，x＞1的反函数为f﹣1（x）．已知y=f﹣1（x）的图象经过点．（Ⅰ）求实数k的值和反函数f﹣1（x）的解析式；（Ⅱ）定义函数，其中常数c＞0且c≠1，求函数F（x）的值域．27．（10分）定义在R上的函数f（x）同时满足：（i）f（1）=2；（ii）∀x，y∈R，f（x+y+1）=f（x﹣y+1）﹣f（x）f（y）；（iii）f（x）在区间[0，1]上是单调增函数．（Ⅰ）求f（0）和f（﹣1）的值；（Ⅱ）求函数f（x）的零点；（Ⅲ）解不等式f（x）＞．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．【解答】∵arccosx∈[0，π]，∴sin（arccosx）∈[0，1]；∵arcsinx∈[﹣，]，∴cos（arcsinx）∈[0，1]；arctanx∈（﹣，），∴sin（arctanx）∈（﹣1，1）；cos（arctanx）∈（0，1）．故选：C．2．【解答】sin35°=a，∴cos35°==，∴tan2015°=tan35°=，故选：A．3．【解答】y=tanx，y=sinx是奇函数，在[0，+∞）不单调，y=是奇函数，在[0，+∞）单调递增，y=不是奇函数，故选：C．4．【解答】函数y=cosx的图象上的所有点的横坐标变为原来的2倍、纵坐标不变，得到y=cos x，把图象向右平移单位，得到y=cos[（x﹣）]=cos（x﹣）．故选：D．5．【解答】函数=cos（2x+π）=﹣cos2x 的相邻两个对称中心之间的距离为=，故选：C．6．【解答】∵向量，，=（x+y+1，y+z+2，z+x+3），满足，∴，可得，解得y=0，故选：B．7．【解答】=（﹣cosx，1﹣cosx），则==，当cosx=时取等号．∴的最小值是．故选：B．8．【解答】函数y=sinx在区间上的最大值为M（t），最小值为m（t），区间的长度为，正好为函数的周期的，故当函数y=sinx在区间上单调时，则M（t）﹣m（t）取得最大值．不妨假设函数y=sinx在区间上单调递增，则M（t）﹣m（t）取得最大值为sin（t+）﹣sint=cost﹣sint=cos（t+）≤，故M（t）﹣m（t）取得最大值为．当区间关于它的图象的对称轴对称时，M（t）﹣m（t）取得最小值，此时，sin（t+）=±1，不妨设sin（t+）=1，即t+=2kπ+，k∈Z，即t=2kπ+，k∈Z，则M（t）﹣m（t）取得最小值为sin（t+）﹣sint=1﹣sin（2kπ+）=1﹣，故M（t）﹣m（t）的最小值和最大值分别为1﹣，，故选：D．9．【解答】A.，则l⊥α，因此不正确；B．由A可知正确；C．由，则l∥α或l⊂α，因此不正确；D．由C可知不正确．故选：B．10．【解答】设矩形纸片ABCD折起前B点为B1，连结BB1，DB1，∵BC⊥AD，BC⊥AB，AB∩AD=A，∴BC⊥平面ABD，∴BC⊥BD，∵，BC=1，∴BD==，∴AD2+BD2=AB2，∴AD⊥BD，∴BD⊥B1C，∵BB1∩BC=B，∴BD⊥BB1，∴BB1===，∵DC∥AB1，∴∠BAB1是异面直线AB和CD所成的角（或所成角的补角），cos∠BAB1===．∴异面直线AB和CD所成的角的余弦值为．故选：C．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．把答案填在答题纸上．11．【解答】设=θ，∵sin（arcsin）=，cos（arcsin）=，∴tan（arcsin）=，∴tanθ=tan[]===﹣1．由于arcsin和arctan7都是锐角，故θ=∈（﹣，），可得θ=﹣，故答案为：﹣．12．【解答】设，，则1﹣2sinαcosα=，∴2sinαcosα=．∴sinα+cosα===，∴====﹣，故答案为：﹣．13．【解答】=，=，=，=m+2，=4m+2，∵与的夹角等于与的夹角，∴=，∴，解得m=1．故答案为：1．14．【解答】如图所示，D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），C′（0，1，1）．=（﹣1，0，1）．=λ（﹣1，0，1）=（﹣λ，0，λ）．∴=（1﹣λ，1，λ）．∴=（﹣λ，1，λ）．=（0，1，0）．则=1．故答案为：1．15．【解答】如图，正四面体ABCD棱长为1，M，N分别是BC和AD的中点，连结MN、BN、CN，∵AB=BD=AC=CD=AD=1，N是AD中点，∴BN⊥AD，CN⊥AD，∴BN=CN==，∵BC=1，∴MN⊥BC，∴MN==．故答案为：．16．【解答】根据题意，建立如图所示的坐标系，则A（1，0），B（cos120°，sin120°），即B（﹣，）；设∠AOC=α，则=（cosα，sinα），∵，∴（cosα，sinα）=（x，0）+（﹣y，y）；即cosα=x﹣y，sinα=y，解得：x=sinα+cosα，y=sinα；∴x+2y=sinα+cosα=sin（α+θ），其中tanθ=；又sin（α+θ）≤1，∴x+2y≤．故答案为：．三、解答题：本大题共3小题，36分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．【解答】（Ⅰ）解法一：∵函数图象关于直线对称，∴=f（0）=﹣cos20=﹣1，即（﹣﹣）+=﹣1，解得：a=，故f（x）=cosx（2sinx﹣cosx）+sin2x=2sinxcosx﹣cos2x+sin2x=sin2x﹣cos2x=2sin（2x﹣）解法二：∵f（x）=cosx（2asinx﹣cosx）+sin2x=2asinxcosx﹣cos2x+sin2x=asin2x﹣cos2x=sin（2x ﹣φ）的图象的一条对称轴是直线．故当时，asin2x﹣cos2x=，或asin2x﹣cos2x=﹣，即﹣a﹣=，或﹣a﹣=﹣，解得：a=，故f（x）=sin2x﹣cos2x=2sin（2x﹣），故=2sin（﹣）=﹣1，（Ⅱ）当x∈时，2x﹣∈[，]，故当2x﹣=，即x=时，函数f（x）取最大值2；当2x﹣=，即x=时，函数f（x）取最小值1；18．【解答】（I）证明：连接AB′、AC′，由已知∠BAC=90°，AB=AC，三棱柱ABC﹣A′B′C′为直三棱柱，所以M为AB′中点，又因为N为B′C′的中点，所以MN∥AC′，又MN⊄平面A′ACC′，因此MN∥平面A′ACC′；法二：取A′B′的中点P，连接MP、NP，M、N分别为A′B、B′C′的中点，所以MP∥AA′，NP∥A′C′，所以MP∥平面A′ACC′，PN∥平面A′ACC′，又MP∩NP=P，因此平面MPN∥平面A′ACC′，而MN⊂平面MPN，因此MN∥平面A′ACC′．（II）以A为坐标原点，分别以直线AB、AC、AA′为x，y，z轴，建立直角坐标系，如图，设AA′=1，则AB=AC=λ，于是A（0，0，0），B（λ，0，0），C（0，λ，0），A′（0，0，1），B′（λ，0，1），C′（0，λ，1）．所以M（），N（），设=（x1，y1，z1）是平面A′MN的法向量，由，得，可取，设=（x2，y2，z2）是平面MNC的法向量，由，得，可取，因为二面角A'﹣MN﹣C为直二面角，所以，即﹣3+（﹣1）×（﹣1）+λ2=0，解得λ=．19．【解答】（I）解：∵对于，∴=，当t=﹣时，其模取得最小值．∴t=﹣．（II）证明：由（I）k可得：=﹣+=0，因此：．（III）解：不妨取=（1，0），=．向量序列，其中n∈N*，n≥3，∴=．=，∴||=≥，当且仅当t=﹣时取等号．∴=，∴=，同理可得：=，=，…，∴=．一、填空题：共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题纸上．20．【解答】∵集合A={1，b，a+b}，B={a﹣b，ab}，且A∩B={﹣1，0}，∴b=﹣1，a+b=0或b=0，a+b=﹣1，解得：b=﹣1，a=1或b=0，a=﹣1，将a=1，b=﹣1代入得：B={2，﹣1}，不合题意舍去；将a=﹣1，b=0代入得：B={﹣1，0}，符合题意，则a，b的值为﹣1，0．故答案为：（﹣1，0）．21．【解答】任意的x属于R都有有f （f （x）﹣3x）=4，而函数是单调的，所以对任何的x，f （x）﹣3x为定值c，即f（x）=3x+c，f（f（x）﹣3x）=f（c）=4而f（c）=3c+c，所以3c+c=4，解得：c=1，∴f（2015）=32015+1，故答案为：32015+122．【解答】设t=2x﹣x2，则t≥0，解得0≤x≤2，∴函数t=2x﹣x2=﹣（x﹣1）2+1在[0，1]上为增函数，在（1，2]上为减函数，且0≤t≤1，∴y=cost在[0，1]上为减函数，∴的单调递增区间为[1，2]，故答案为：[1，2]．23．【解答】当a=0时，f（ax）=f（0）=0，显然不成立，故a≠0；当a＞0时，函数f（ax）=，且f（ax）＜f（x）恒成立，∴ax＜x，1﹣ax＜1﹣x恒成立，∴0＜a＜1；当a＜0时，f（ax）=，∴1﹣ax＜x，ax＜1﹣x恒成立，显然不成立；故答案为0＜a＜1．24．【解答】∵=，∴y=．∴===．故答案为：．二、解答题：共3小题，共30分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．25．【解答】（Ⅰ）∵sin（﹣hx）==﹣sinhx，∴双曲正弦函数是奇函数；（Ⅱ）①sinh2x+cosh2x=+≠1，不正确；②sinh2x═=2sinhx•coshy，正确；③cosh2x﹣sinh2x=﹣≠cosh2x，不正确．（Ⅲ）y=tanhx=，∴e2x=tanh2x===﹣．故答案为：②．26．【解答】（Ⅰ）∵，且y=f﹣1（x）的图象经过点，∴，解得k=1，∴（x＞1），则，．∴（0＜x＜1）；（Ⅱ）==（0＜x＜1）．要使该函数有意义，则c﹣恒成立，∵0＜x＜1，∴c＞1．由t==，∵0＜x＜1，∴0，，∴，．∴函数F（x）的值域为[]．27．【解答】（Ⅰ）令x=y=0，可得f（1）=f（1）﹣f（0）f（0），∴f（0）=0；令x=y=﹣1代入f（x+y+1）=f（x﹣y+1）﹣f（x）f（y），可得f（﹣1）=f（1）﹣f（﹣1）f（﹣1），即f2（﹣1）+f（﹣1）﹣2=0，则f（﹣1）=﹣2或f（﹣1）=1．若f（﹣1）=1，令y=1，x=﹣1，可得f（1）=f（﹣1）﹣f（1）f（﹣1）=f（﹣1）﹣2f（﹣1）=﹣f（﹣1）=﹣1，矛盾，故f（﹣1）=2；∴f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2．（Ⅱ）∵f（﹣x）=f（﹣1﹣x+1）=f（﹣1+x+1）﹣f（﹣1）f（﹣x）=f（x）+2f（﹣x），∴f（﹣x）=﹣f（x），即f（x）是奇函数；令x=0，有f（1+y）=f（1﹣y）=﹣f（y﹣1），即f（2+y）=﹣f（y），则f（4+y）=﹣f（y+2）=f（y），且函数关于x=1对称，同时f（x）为周期函数，周期为4．）；∴函数在[﹣1，1]上有一个零点0，此时函数f（x）的零点是4n（n∈N+）；函数在[1，3]上有一个零点2，此时函数f（x）的零点是4n+2（n∈N+综上函数的零点为2n．（Ⅲ）∵f（x）在区间[0，1]上是单调增函数，且f（x）是奇函数∴f（x）在区间[﹣1，1]上是单调增函数，在[1，3]上是单调减函数，令x=y=，可得f（++1）=f（﹣+1）﹣f（）f（），即为f（2）=f（1）﹣f2（）=0，即为f（）=；f（x）＞，当0＜x＜1时，即为f（x）＞f（），解得＜x＜1，当1＜x＜3时，可得1＜x＜．则有﹣1＜x＜3时，f（x）＞的解为（，）．综上可得，f（x）＞的解集为（4n+，4n+），n为整数．。